«С. А. Курганов, В. В. Филаретов СХЕМНО-АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И РАСЧЕТ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ Учебное пособие Ульяновск 2005 УДК 621.372.061 (075) ББК 31.27.01я7 К 93 Рецензенты: кафедра микроэлектроники ...»

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Ульяновский государственный технический университет

С. А. Курганов, В. В. Филаретов

СХЕМНО-АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ

МОДЕЛИРОВАНИЕ И РАСЧЕТ

ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ

ЦЕПЕЙ

Учебное пособие

Ульяновск 2005 УДК 621.372.061 (075) ББК 31.27.01я7 К 93 Рецензенты:

кафедра микроэлектроники Ульяновского государственного университета (зав. кафедрой доктор физико-математических наук, профессор Н. Т. Гурин);

доктор технических наук, профессор И. В. Семушин Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия Курганов, С. А.

К93 Схемно-алгебраическое моделирование и расчет линейных электрических цепей / С. А. Курганов, В. В. Филаретов : учебное пособие.

Ульяновск : УлГТУ, 2005. 319 с.

ISBN 5-89146- Излагаются основы схемно-алгебраического метода, предназначенного для получения символьных выражений токов и напряжений, параметров макромоделей подсхем и параметров неизвестных элементов в линейных электрических цепях. Используется непосредственно схема замещения или принципиальная схема цепи без составления уравнений, и минуя формирование схемных функций. Схемно-алгебраическое моделирование распространяется как на линейные схемы с двухполюсными элементами, так и на линеаризованные активные (электронные) схемы и схемы с многополюсными элементами, включая схемы на переключаемых конденсаторах.

Пособие предназначено для студентов, изучающих теоретические основы электротехники (специальности 180400 «Электропривод и автоматизация промышленных установок», 100400 «Электроснабжение»), основы теории цепей (специальность 200700 «Радиотехника»), электротехнику и электронику (специальность 071900 «Информационные системы и технологии»), и преподавателей, ведущих указанные дисциплины. Учебное пособие может использоваться также студентами других радио- и электротехнических специальностей.

УДК 621.372.061 (075) ББК 31.27.01я © Оформление. УлГТУ, ISBN 5-89146- © Курганов С. А., Филаретов В. В.,

ОГЛАВЛЕНИЕ

Список условных сокращений и обозначений……………………… ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………… 1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СХЕМНЫХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ.…… …… 1.1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ……………………..... 1.2. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕТОДА СХЕМНЫХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ ……………………................. 1.2.1. Законы Кирхгофа ………………………………………… 1.2.2. Вырождение схемы и нейтрализация элементов ………. 1.2.3. Эквивалентные упрощения электрических схем ……….

1.3. РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ СХЕМ

ПО ПАРАМЕТРАМ ДВУХПОЛЮСНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

И ПОДСХЕМ……………………………………………………... 1.3.1. Определители простейших схем ………………………... 1.3.2. Формулы Фойснера………………………………………. 1.3.3. Формулы выделения параметров управляемых источников …………………………………. 1.3.4. Выделение неудаляемых управляемых источников …… 1.4. АЛГОРИТМ РАЗЛОЖЕНИЯ СХЕМНЫХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ ………………………………………………

1.5. НАХОЖДЕНИЕ СИМВОЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ

ОТКЛИКОВ ………………………………………………………

1.6. ВЫРАЖЕНИЕ СИМВОЛЬНЫХ СХЕМНЫХ ФУНКЦИЙ

ЧЕРЕЗ СХЕМНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ………………………… 1.7. ПРИМЕРЫ ФОРМИРОВАНИЯ

СИМВОЛЬНЫХ СХЕМНЫХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ СХЕМ

С ДВУХПОЛЮСНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ ……………………. 1.7.1. Простейший делитель напряжения ……………………... 1.8.1. Анализ активного фильтра ………………………………. 1.8.4. Анализ активной RC-цепи

1.9. О ВЗАИМОСВЯЗИ СХЕМНОГО И МАТРИЧНОГО

1.10. ОТОБРАЖЕНИЕ МАТРИЦЫ Y-СХЕМОЙ И ПОНЯТИЕ 1.11. НЕУДАЛЯЕМЫЕ ДУГИ – ОТОБРАЖЕНИЕ

НЕУДАЛЯЕМЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

2. СХЕМНО-АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

2.2.1. Деление схемы на две части по трем узлам …………… 2.2.1.1. Формула бисекции с операциями вычитания ….. 2.2.3. Деление схемы на две части по четырем узлам ……….. 2.2.3.1. Формула бисекции с операциями вычитания …... 2.3. АНАЛИЗ АКТИВНОГО ПОЛОСОВОГО ФИЛЬТРА ………… 2.3.1. Анализ подсхем полосового фильтра…………………… 2.3.2. Объединение подсхем полосового фильтра ……………. 2.4. МЕТОД ВЫДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ 2.4.1. Понятие об определителе принципиальной схемы ……. 2.4.2. Схемно-алгебраические формулы для выделения параметров многополюсных элементов. 2.4.3. Доказательство схемно-алгебраических формул ………. 2.4.4. Определители элементарных схем многополюсников... 2.4.5. Анализ двухкаскадного трансформаторного усилителя.. 2.4.6. Анализ двухкаскадного транзисторного усилителя …… 2.4.7. Автоматизированное построение схемноалгебраических формул выделения 2.5. СХЕМНО-АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ

ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЦЕПНЫХ ПАРАМЕТРОВ

2.6. СХЕМНО-АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ТОЖДЕСТВА

ДЛЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

2.6.1. Схемно-алгебраические тождества 2.6.1.1. Тождества для многополюсников 2.6.2. Схемно-алгебраические тождества 2.6.3. Тождества для автономных многополюсников…………

2.7. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СХЕМНО-АЛГЕБРАИЧЕСКИХ

ВЫРАЖЕНИЙ ПРИ ВАРИАЦИИ ПАРАМЕТРОВ

3. ПРИМЕНЕНИЕ НЕЯВНОГО ПРИНЦИПА НАЛОЖЕНИЯ

ДЛЯ СИМВОЛЬНОГО АНАЛИЗА, ДИАГНОСТИКИ

И ДИАКОПТИКИ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ...

3.2. НЕЯВНЫЙ ПРИНЦИП НАЛОЖЕНИЯ ………………………...

3.3. СИМВОЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

МЕТОДОМ РАЗОМКНУТОГО ЕДИНИЧНОГО

3.4. СИМВОЛЬНАЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ДИАГНОСТИКА

3.4.1. Базисная задача диагностики ……………………………. 3.4.2. Понятие о компенсации электрокомпонентов …………. 3.4.3. Условия разрешимости задачи диагностики …………… 3.4.4. Рекомендации по выполнению условий

3.5. ПРИМЕР ДИАГНОСТИКИ ЭЛЕКТРОННОГО УСИЛИТЕЛЯ

МЕТОДОМ ПРЯМОЙ КОМПЕНСАЦИИ………………………

3.6. МЕТОД КОСВЕННОЙ КОМПЕНСАЦИИ НА ОСНОВЕ

УПРАВЛЯЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ……………………………... 3.6.1. Компенсация на основе собственного опорного источника…………… 3.6.2. Компенсация на основе дополнительного опорного источника ………

3.7. АНАЛИЗ И ДИАГНОСТИКА ЭЛЕКТРОННОГО

УСИЛИТЕЛЯ МЕТОДОМ РАЗОМКНУТОГО ЕДИНИЧНОГО

ИСТОЧНИКА……………………………………………………..

3.8. АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ С ПЕРЕКЛЮЧАЕМЫМИ

КОНДЕНСАТОРАМИ …………………………………………...

3.9. СХЕМНО-АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ БИСЕКЦИИ

АВТОНОМНЫХ СХЕМ…………………………………………. 3.9.1. Формулы бисекции автономных схем по двум узлам……………………………………………………….. 3.9.2 Формулы бисекции автономных схем на подсхемы с произвольным числом узлов……………………………. 3.10. МЕТОД СХЕМНО-АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ РЕДУКЦИИ……… 3.10.1. Схемно-алгебраические формулы 3.10.2. Топологические условия существования Y-параметров 3.10.3. Схемно-алгебраические формулы 3.10.4. Топологические условия существования Z-параметров 3.10.5. Расчет электрических цепей 3.11. ДИАКОПТИЧЕСКИЙ СХЕМНО-АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ

АНАЛИЗ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

В СИММЕТРИЧНЫХ КООРДИНАТАХ………………………. 3.11.1. Пример анализа электрической системы при однофазном коротком замыкании …………………

4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ АНАЛИЗА И ДИАГНОСТИКИ

4.1. СИМВОЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ДИАГНОСТИКА

ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

С ПОМОЩЬЮ ПРОГРАММЫ CIRSYMW……………………..

4.1.2. Особенности cir-файла программы CIRSYMW ……….. 4.1.3. Пример заполнения cir-файла …………………………… 4.1.5. Примеры использования программы CIRSYMW ……… 4.1.5.1. Анализ и диагностика 4.1.5.2. Анализ и диагностика 4.1.5.3. Анализ схемы полосового активного фильтра … 4.1.6. Комплект поставки программы CIRSYMW …………….

4.2. СИМВОЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ДИАГНОСТИКА

ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

С ПОМОЩЬЮ СИСТЕМЫ SCAD ………………………….......

4.2.1. Способы графического построения элемента…………..

4.2.2. Выделение схемы, ее подсхем и отдельных элементов... 4.2.3. Способы перемещения рабочего поля 4.2.4. Перемещение отдельного элемента, узла 4.2.5. Установление имени элемента в новом месте …………. 4.2.7. Удаление соединений, элементов и узлов………………. 4.2.8. Порядок расчета при помощи системы SCAD …………. 4.2.9.3. Опция «Автоматическая загрузка out-файла»…… 4.2.9.5. Опция «Автоматическое создание элемента»…… 4.2.9.10. Опции «Имена», «Значения», «Номера узлов»… 4.2.9.11. Опции «Цвет и толщина линий»………………... 4.2.9.13. Изменение языка надписей интерфейса……….. 4.2.9.14. Изменение масштаба изображения…………….. 4.2.10. Комплект поставки системы SCAD ……..……………. 4.2.11. Контактные адреса для консультаций, предложений и

4.3. АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ С ВЗАИМНЫМИ ИНДУКТИВНОСТЯМИ

4.4. ИССЛЕДОВАНИЕ ТОЧНОСТИ ЧИСЛЕННЫХ РАСЧЕТОВ... 4.4.1. Численный расчет схемных функций при наличии 4.4.2. Формирование символьных схемных функций 4.4.2.1. Комбинированная дробно-рациональная 4.4.2.2. Последовательная формула по методу 4.4.2.3. Последовательная формула по методу 4.4.2.4. Последовательная формула по методу 4.4.2.5. Последовательная формула 4.4.2.6. Последовательная формула 4.4.2.7. Последовательная формула по методу Гаусса….. 4.4.2.8. Единая свернутая дробно-рациональная формула 4.4.2.9. Единая свернутая дробно-рациональная формула 4.4.2.10. Каноническая, групповая 4.4.3. Численный эксперимент по расчету передаточной 4.4.3.1. Анализ полученных численных результатов……. 4.4.4. Расчет цепи с большим разбросом параметров 4.4.5. Рекомендации по численному расчету цепей…………... 4.5. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ…... 4.5.1. Автоматизированное формирование 4.5.2. Пример анализа устойчивости активного фильтра 4.5.3. Пример анализа устойчивости активного фильтра 4.5.4. Построение полиномиальных коэффициентов путем разложения определителя по параметрам реактивных 4.5.5. Алгоритм формирования коэффициентов полиномов

СПИСОК УСЛОВНЫХ СОКРАЩЕНИЙ И ОБОЗНАЧЕНИЙ

АЧХ амплитудно-частотная характеристика ДРФ дробно-рациональная функция ГНУИ генератор неудаляемого управляемого источника ИДС исходная диагностируемая схема ИНУН источник напряжения, управляемый напряжением ИНУТ источник напряжения, управляемый током ИТУН источник тока, управляемый напряжением ИТУТ источник тока, управляемый током ЛЭЦ линейная электрическая цепь МКК метод косвенной компенсации МПК метод прямой компенсации МСО метод схемных определителей НДВ неравновесные двоичные вектора НПН неявный принцип наложения НУИ неудаляемый управляемый источник ОУ операционный усилитель ПНУИ приемник неудаляемого управляемого источника ПФ последовательная формула РДВ равновесные двоичные вектора САВ схемно-алгебраическое выражение САФ схемно-алгебраическая формула САР схемно-алгебраическая редукция СВО символьное выражение отклика СВП символьное выражение параметра СКЭ схема с компенсированными элементами ССФ символьная схемная (системная) функция УИ управляемый источник ФЧХ фазо-частотная характеристика ЭДС электродвижущая сила ЭМГ эквивалентный многомерный генератор схемный определитель, знаменатель ССФ или СВО мгновенное значение функции источника тока мгновенное значение напряжения u, u(t) i, i(t) циклическая (круговая) частота оператор дифференцирования (p = d/dt) E(p), J(p) U(p), I(p) Z(p), Y(p) KU источник напряжения, управляемый напряжением (ИНУН)

ВВЕДЕНИЕ

Анализ и диагностика являются задачами, органично дополняющими друг друга в теории линейных электрических цепей (ЛЭЦ) [19, 20, 22].

Анализ состоит в определении переменных и характеристик электрического режима цепи по известной структуре и параметрам элементов, а диагностика заключается в нахождении переменных электрического режима и части параметров элементов по заданной структуре, известному множеству параметров и дополнительной информации о части измеренных напряжений и токов в диагностируемой цепи. Решать эти задачи желательно символьными методами, чтобы полученные таким образом аналитические выражения позволяли исследовать общие свойства функций и цепей [19], были «понятны самому широкому кругу специалистов и легко проверялись соответствующими экспертизами» [9, c. 44].

Использование символьных методов отличается, как правило, существенно большей трудоемкостью по сравнению с получением решения в численном виде. Это обусловливает целесообразность анализа по частям даже достаточно простых схем, содержащих несколько узлов и элементов. Важный в прикладном отношении раздел теории электрических цепей, предусматривающий исследование схем через их расчленение, то есть через деление схемы на части-подсхемы, анализ подсхем и объединение результатов этого анализа, называется диакоптикой. До сих пор в учебной литературе рассматривались только частные случаи получения символьных схемных функций на основе диакоптических формул. Существующий пробел призвано заполнить данное пособие, в котором обсуждаются эффективные диакоптические методы, предназначенные как для расчетов вручную, так и компьютерной реализации символьного анализа ЛЭЦ и решения базисной задачи диагностики в символьном виде.

Для символьного анализа электрических цепей разработаны как топологические [52], так и схемно-алгебраические [62, 63] методы. В 1845 году Кирхгоф, будучи студентом, опубликовал законы непрерывности токов в узле и равновесия напряжений в контуре электрической схемы [30]. С этого времени появилась возможность выполнять анализ сложных электрических цепей путем решения системы уравнений схемы методом Крамера, то есть через раскрытие определителей двух матриц. Однако и Кирхгоф (1847 г.) [30], и Максвелл (1873 г.) [43], очевидно, сознавая избыточность учета параметров схемы в ее уравнениях, предложили топологические правила для анализа электрических цепей, исключающие составление уравнений и использующие непосредственно схемную модель цепи. Тем самым ставилась задача сделать переход от схемы к выражениям для откликов тока и напряжения более простым и обусловленным структурой схемы.

Результаты Кирхгофа и Максвелла получили развитие в работах Фойснера [87,88], который в 1902 году ввел понятие определителя схемы с двухполюсными элементами. В этом году исполняется 100 лет со времени опубликования четырех формул Фойснера [87, 88], предназначенных для разложения определителей линейных электрических схем, которые содержат z- и y-ветви (сопротивления и проводимости).

Результаты Фойснера получили развитие в работах Брауна [80, 81], Партена и Сикета [99], Хашемина [92]. Наиболее подробно методы Кирхгофа, Максвелла, а также метод Фойснера, называемый здесь методом схемных определителей, рассмотрены в учебнике [52]. В году Браун ввел понятие ориентированного нуллора [80], что позволило выразить ССФ через определители схем с нораторами и нуллаторами, а также применить формулы Фойснера для анализа электрических цепей, содержащих идеальные операционные усилители (ОУ) [99]. В последние годы метод схемных определителей был усовершенствован и обобщен для анализа схем со всеми типами управляемых источников (УИ) [62, 63] и многополюсных компонентов [36], анализа сложных схем по частям [64], аналитического решения систем линейных алгебраических уравнений [35], получил методическую проработку [35, 37, 65]. В настоящем пособии развивается схемно-алгебраический метод схемных определителей (МСО) применительно к анализу цепей с многополюсниками, несколькими источниками воздействия и общему решению задач диакоптики и диагностики. Критерием, который положен в основу сравнения предлагаемых и известных методов, является вычислительная сложность формируемых выражений ССФ, характеризующаяся количеством требуемых алгебраических операций [85, 100]. При анализе ЛЭЦ используются так называемые схемно-алгебраические выражения (САВ), в которых, наряду с буквенными обозначениями параметров схемы и знаками операций, используются изображения производных схем, отождествляемые с их определителями.

Развитый в пособии неявный принцип наложения (НПН) [38] позволяет формировать на основе МСО символьные выражения откликов (СВО) при анализе ЛЭЦ с произвольным числом источников воздействия, минуя процедуру нахождения ССФ. При этом искомое СВО получается в виде отношения определителей двух схем: схемы числителя и схемы знаменателя. Заметим, что ССФ в случае нахождения СВО являются побочными результатами анализа ЛЭЦ. Важно подчеркнуть, что до сих пор понятие «схемная функция», которое, начиная с работы Максвелла [43], занимало центральное место в символьно-топологическом анализе электрических цепей [52], препятствовало рассмотрению с единых позиций ЛЭЦ с одним и несколькими источниками воздействий.

Применить непосредственно символьные методы анализа ЛЭЦ для их диагностики нельзя, поскольку по условию этой задачи часть параметров элементов не известна. Для преодоления этого препятствия используется компенсация элементов с неизвестными параметрами с помощью компенсационной схемы или компенсатора, состоящего из источника напряжения или тока с известным (измеренным) параметром и неудаляемого управляемого источника [32, 37]. Схема, полученная в результате замены компенсаторами всех элементов с неизвестными параметрами, называется схемой с компенсированными элементами (СКЭ). Эта схема эквивалентна исходной диагностируемой схеме (ИДС) и в отличие от нее может быть проанализирована МСО. Таким образом, минуя формирование уравнений схемы, получается прямое решение задачи символьной диагностики.

Главная цель пособия помочь студенту освоить символьный анализ линейных электрических цепей, научиться решать практические задачи их диагностики, требующие исследования аналитических выражений, а также выполнять анализ сложных электрических цепей делением их на части. В пособии приведены многочисленные примеры решения задач, в том числе с применением компьютерных программ – программы символьного анализа и диагностики – CIRSYMW и ее графической версии – SCAD, а также программы CIRMUL для генерации схемно-алгебраических формул-шаблонов к методу выделения параметров многополюсных элементов. Даются указания по использованию этих программ при выполнении расчетно-графических работ.

Задачами учебного пособия являются:

1. Сосредоточить внимание и усилия студентов на постижении физического смысла изучаемых явлений, исключив трудоемкое использование вспомогательных математических аппаратов матриц и графов, а также методов решения линейных алгебраических уравнений (Крамера, Гаусса и т. д.).

2. Предоставить в распоряжение студентов наглядный и эффективный инструмент для аналитического и численного исследования электрических цепей, который расширяет возможности аналитического представления зависимостей в курсе теоретических основ электротехники и смежных дисциплинах, способствует формированию критического отношения к учебной и справочной литературе.

3. Осуществить попытку изложения разделов ТОЭ «Методы расчета электрических цепей при установившихся синусоидальном и постоянном токах» и «Диагностика электрических цепей» [20,22], а также раздела «Диакоптика электрических цепей» на собственно схемной основе, то есть ориентируясь на физические схемные представления.

Учебное пособие состоит из четырех разделов.

В первом разделе рассматриваются базовые понятия теории ЛЭЦ, обсуждаются понятие схемного определителя, признаки вырождения схемы, удаление, стягивание и нейтрализация ее элементов [62, 63].

Вводится понятие неудаляемого управляемого источника (НУИ), обобщающее понятие ориентированного нуллора, и формулируются САВ для нахождения ССФ [63]. Выводятся формулы Фойснера для разложения определителя схемы путем выделения параметров пассивных элементов и приведения задачи к разложению определителей более простых производных схем. Рассматриваются примеры анализа электрических схем, составленных из двухполюсных элементов. Обсуждается обобщение метода схемных определителей для анализа схем с УИ. Выводятся формулы для разложения определителя схемы путем выделения параметров УИ, подобно параметрам двухполюсных элементов.

Предлагаются правила выделения НУИ, позволяющие свести задачу разложения определителя схемы с НУИ к более простой задаче выделения двухполюсных элементов. Даются примеры анализа схем с УИ всех четырех типов и идеальными ОУ.

Во втором разделе обсуждается анализ сложных ЛЭЦ по частям.

Предлагается диакоптический метод схемных миноров [64] и его реализации в виде метода бисекции и метода объединения подсхем.

Обсуждаются безызбыточные формулы (без операций вычитания) для трех- и четырехузловой бисекции схемы, обеспечивающие высокую точность расчетов. Рассматривается метод выделения многополюсников принципиальных схем как обобщение метода выделения параметров двухполюсников и УИ, для трех- и четырехполюсных взаимных и невзаимных элементов: взаимных индуктивностей, идеальных трансформаторов, гираторов, конверторов, инверторов, биполярных, полевых и составных транзисторов, длинных линий и т. д. [36], а также для схем на переключаемых конденсаторах.

Третий раздел посвящен символьному анализу и диагностике ЛЭЦ на основе НПН. Обсуждаются методы опорных источников, в том числе наиболее перспективный из них – метод разомкнутого единичного источника напряжения. Предлагается символьное решение базисной задачи диагностики ЛЭЦ, при которой выполняется однократный анализ СКЭ. Обобщаются топологические необходимые и достаточные условия диагностируемости ЛЭЦ [32, 37]. Обсуждаются примеры анализа и диагностики электронных усилителей.

Четвертый раздел посвящен символьному и численному анализу электрических и электронных цепей с помощью компьютерных программ и систем.

Подраздел 4.1. содержит руководство по применению компьютерной программы CIRSYMW, в которой В. В. Филаретовым реализованы методы схемных определителей и символьной диагностики.

В подразделе 4.2 (автор Р.И.Березуев – Институт геофизики НАН Украины) дается описание графической оболочки SCAD со схемным редактором для отображения исследуемых схем, разработанной и реализованной Р. И. Березуевым. В составе компьютерной системы SCAD, кроме программ моделирования разработанных и реализованных В.В.Филаретовым (CIRSYMW, CIRMUL, REDSYM и др.), используется интерпретатор сложных выражений, предназначенный для численного расчета токов, напряжений, частотных характеристик, который разработан и реализован Д. В. Шеиным (Ульяновский автомобильный завод). Программы обеспечивают вывод выражений, близких к оптимальным выражениям по вычислительной сложности. Важно, что символьные выражения для искомых токов, напряжений, параметров получаются в виде дробно-рациональных функций, удобных для последующего аналитического исследования. Кроме непосредственного учета всех типов УИ, предусматривается задание двухполюсных элементов, как проводимостями, так и сопротивлениями, а также смешанное задание параметров. Это исключает сложные преобразования выражений и обеспечивает экономию интеллектуального труда.

В подразделе 4.3, авторами которого являются Ф. А. Королев и В. В.

рассмотрен анализ цепей с взаимоиндуктивностями с Филаретов, помощью программ SCAD и CIRMUL.

В подразделе 4.4 всесторонне (в том числе с применением систем SCAD и Maple) изложены результаты компьютерного исследования вычислительной сложности и точности выражений передаточной функции кварцевого фильтра, которые получены двенадцатью различными методами.

Подраздел 4.5. включает аналитическую методику расчета устойчивости электрических цепей, реализованную в системе Maple.

1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СХЕМНЫХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Электрической цепью называется совокупность устройств и объектов, образующих путь для электрического тока, электромагнитные процессы в которых могут быть описаны с помощью понятий об электродвижущей силе (ЭДС), токе и напряжении. В теоретической электротехнике обычно имеют дело со схемой замещения электрической цепи или просто электрической схемой, которая отображает свойства цепи при определенных условиях. Поэтому здесь, во избежание недоразумений, вместо термина «электрическая цепь» будет преимущественно использоваться термин «электрическая схема» или, кратко, «схема».

Электрическая схема содержит элементы, выполняющие в ней заданные функции. Во многих случаях схема состоит только из двухполюсных элементов или двухполюсников, то есть элементов, имеющих со схемой две точки соединения. Такие элементы называются ветвями электрической схемы с указанием их функционального назначения. Границы ветви называются узлами. В результате объединения (отождествления) узлов отдельных ветвей образуется электрическая схема.

Между ветвью и ее узлами существует отношение, называемое отношением инцидентности (соответствия). Узлы ветви связаны другим отношением – отношением смежности. Говорят, что узлы i и j инцидентны (соответствуют) некоторой ветви, а сами узлы i и j смежны.

Вводятся две операции над ветвями – удаление и стягивание.

Операция удаления ветви приводит к образованию отдельных (изолированных) узлов. Если удаляемая ветвь присоединена к схеме, то в результате этой операции ветвь исключается из схемы путем отсоединения обоих ее полюсов. Операция стягивания ветви требует ее удаления и объединения (отождествления) инцидентных ей узлов.

Возможны случаи, когда ветвь подсоединяется к схеме только одним полюсом или обоими полюсами, но к одному узлу схемы. В первом случае ветвь называется разомкнутой ветвью, а во втором случае замкнутой ветвью или петлей.

Ветви, инцидентные некоторому узлу схемы, называются смежными, а количество таких ветвей – степенью данного узла. Степень ветви схемы равна количеству ветвей, смежных данной ветви. Два узла схемы связаны отношением достижимости, если любой из них можно достичь из другого, путешествуя (перемещаясь) по смежным ветвям. В частном случае достижимыми являются узлы ветви.

Если все пары узлов некоторой схемы достижимы, то схема называется связной. Несвязную схему можно представить в виде двух или более схем, называемых компонентами связности схемы. В каждой компоненте все пары узлов связаны отношением достижимости.

Вырожденным случаем компоненты является изолированный узел, который считается простейшим случаем связной схемы.

Некоторое подмножество узлов и ветвей схемы называется ее подсхемой. Таким образом, подсхема рассматриваемой схемы может быть несвязной и, в предельном случае, пустой схемой, то есть схемой без элементов. Любую схему можно считать подсхемой другой, более сложной схемы. Подмножества ветвей схемы могут образовывать сечения и контуры. Сечение (обобщенный узел связной схемы) – это подсхема, при удалении ветвей которой из исходной схемы получаются две компоненты связности. При этом ни одно подмножество ветвей сечения в случае удаления их из первоначальной схемы не обеспечивает получение несвязной схемы. В простейшем случае сечение образуют ветви, примыкающие к одному из узлов схемы. Удаление этих ветвей делит схему на две подсхемы, одна из которых является отдельным (изолированным) узлом.

K-разделимая схема – это схема, которая утрачивает связность или преобразуется в изолированный узел при удалении из нее по меньшей мере K узлов с инцидентными ветвями. Число K называется числом разделимости графа. При K = 1 получаем схему, называемую шарнирной.

Подсхемы этой схемы, имеющие только один общий (шарнирный) узел, также называются шарнирными. Частными случаями шарнирной схемы являются дерево (мультидерево), схема с разомкнутой ветвью (мультиветвью) и схема с мостом. Степень одного из узлов разомкнутой ветви равна единице. Мостом называется ветвь или мультиветвь, оба узла которой являются шарнирными.

Узлы, которые разделяют схему на несвязные части, называются узлами расчленения исходной схемы или внешними узлами (полюсами) подсхем, получаемых в результате ее расчленения по этим узлам. При этом оставшиеся узлы подсхем будем называть их внутренними узлами. В случае 2-разделимой схемы имеем два полюса, поэтому образующиеся подсхемы, сочленение которых приводит к исходной схеме, называются двухполюсными схемами или просто двухполюсниками. Расчленение схемы на две части называется его бисекцией.

Контуром называется схема, имеющая одинаковое число узлов и ветвей, удаление любой ветви которого приводит к образованию путевого дерева. Из этого определения следует, в частности, что дерево не может содержать контуров, а также, что степени всех узлов контура равны двум.

Контур в схеме – это подсхема, включающая все или часть из узлов исходной схемы и являющаяся контуром. Контуром схемы называется замкнутая непрерывная последовательность ветвей, в которой любой узел встречается только один раз.

Мультиветвь – это схема, содержащая два узла, соединенных двумя или более ветвями. Количество ветвей в мультиветви называется ее кратностью. Схема, содержащая хотя бы одну мультиветвь, иногда называется мультисхемой.

Макроветвью будем называть подсхему, образованную последовательно соединенными ветвями. Очевидно, макроветвь можно рассматривать как путевое дерево. Кратностью макроветви называется количество образующих его ветвей. Удаление концевых узлов макроветви, которыми она подсоединяется к оставшейся части схемы, делает ее несвязной.

Следовательно, схема, содержащая макроветвь, является 2-разделимой.

Следовательно, макроветвь можно рассматривать как двухполюсную схему, полюсами которой являются концевые узлы макроветви. Степени внутренних узлов макроветви-двухполюсника равны двум.

Однородной схемой называется схема, степени всех узлов которой одинаковы. Полная схема – это схема, каждая пара узлов которой соединена ветвью. Например, однородная схема степени два, является также полной схемой с тремя узлами. Очевидно, всякая полная схема однородна, однако обратное неверно. Например, однородная схема степени три (кубическая) не является полной. Число ветвей n в полной схеме находится как число сочетаний из числа ее узлов q по два, то есть n = q(q – 1)/2.

Деревом называется связная схема с q узлами, содержащая q–1 ветвь.

Деревья могут быть путевыми (в виде последовательного соединения ветвей), звездными (одна из узлов – центр такого дерева – смежна со всеми остальными) или иметь произвольную структуру.

Дерево схемы – это ее подсхема, включающая все узлы исходной схемы и являющаяся деревом.

В ряде случаев бывает полезно использовать обобщенные понятия дерева и дерева схемы.

Мультидерево – это связная схема с q узлами, содержащая q–1 ветвей и мультиветвей. В мультидереве, в отличие от дерева, обязательно наличие хотя бы одной мультиветви. Понятие «мультидерево мультисхемы» вводится аналогично понятию «дерево схемы».

K-лесом называется схема, образованная K компонентами связности, каждая из которых является деревом. Примером K-леса может служить пустая схема с K узлами.

K-дерево – это подсхема, включающая в себя все узлы исходной схемы и являющаяся K-лесом. K-дерево содержит q–K ветвей, где q – число узлов исходной схемы.

Путь в схеме – это подсхема, представляющая собой путевое дерево.

Дополнением дерева называется подсхема некоторой схемы, оставшаяся после удаления ветвей одного из ее деревьев. Отсюда следует, что количество ветвей в дополнении дерева схемы с q узлами и n ветвями равно p = n – q + 1. Каждая ветвь дополнения, называемая хордой, участвует в образовании с ветвями дерева одного и только одного контура схемы. Такие контура называются независимыми, а их число n – цикломатическим числом схемы.

Среди схем с низкой связностью (низким заполнением ветвями) выделяются лестничные и цепные схемы. Лестничная схема, содержащая p независимых контуров, называемых также звеньями, образована 2(p + 1) узлами и 3p + 1 ветвями. Число узлов и ветвей цепной схемы можно найти, используя число звеньев, по формулам q = p + 2, m = 2p + 1. Таким образом, число звеньев полностью определяет данные схемы.

Элементы электрической схемы подразделяются на активные и пассивные элементы. Активными элементами являются генераторы напряжения или генераторы тока, соответственно, e- и j-ветви. ЭДС e генератора напряжения не зависит от протекающего через него тока, а ток j генератора тока не зависит от напряжения на его полюсах. Если ЭДС генератора напряжения и ток генератора тока не зависят также от токов или напряжений других ветвей схемы, то такие генераторы называются независимыми (неуправляемыми) источниками и служат источниками энергии в схеме.

Независимость e от протекающего через генератор ЭДС тока требует, чтобы внутреннее сопротивление генератора ЭДС было равно нулю.

Аналогично этому неизменность j достигается в случае, когда внутреннее сопротивление генератора тока принимает бесконечно большое значение. В соответствии с физическим смыслом ориентация генератора ЭДС указывается на схемах непрерывной (замкнутой) стрелкой, а ориентация генератора тока – двойной (разомкнутой) стрелкой, как показано на рис. 1.1.1, где u = e. При этом условно положительное направление напряжения u на генераторе ЭДС противоположно ориентации ЭДС, а ориентация генератора тока совпадает с направлением вызванного им тока i, равного j.

Рис. 1.1.1. Независимые источники напряжения и тока В табл. 1.1.1. приведены обозначения всех четырех типов УИ. Эти источники перечислены ниже: 1) источник напряжения, управляемый напряжением (ИНУН); 2) источник напряжения, управляемый током (ИНУТ); 3) источник тока, управляемый напряжением (ИТУН); 4) источник тока, управляемый током (ИТУТ). Здесь K – коэффициент передачи напряжения ИНУН, Rу – передаточное сопротивление ИНУТ, Gу – передаточная проводимость ИТУН, B – коэффициент передачи тока ИТУТ. При значениях параметров, стремящихся к бесконечности, каждый из четырех типов УИ переходит в идеальный ОУ, обозначение которого приведено в пятом столбце табл. 1.1.1. Инвертирующий (помечен кружком) и неинвертирующий входы показаны слева на обозначении ОУ, а выход ОУ находится справа.

При анализе схемы идеальный ОУ замещается ориентированным нуллором или неудаляемым управляемым источником (НУИ), представленными на рис. 1.1.2,а,б. Входу идеального ОУ соответствует нуллатор или приемник НУИ (ПНУИ), а выходу – норатор или генератор НУИ (ГНУИ).

Рис. 1.1.2. Ориентированный нуллор (а) и НУИ (б) Идеальный ОУ обычно рассматривается как «некий источник, ток и напряжение на входе которого одновременно равны нулю при любых конечных значениях напряжения и тока на выходе» [48, с. 434] или как управляемый источник при бесконечно большом значении его параметра [15], поэтому использование понятия «НУИ» методически является более предпочтительным, чем использование понятия «нуллор». Кроме того, при необходимости параметру НУИ вместо значения, равного единице, можно присвоить значение, равное параметру некоторого УИ. Это отличает НУИ от обычного нуллора [29] и ориентированного нуллора [80, 99], которые сами по себе не имеют параметров, а моделируют ОУ с коэффициентом усиления, имеющим бесконечно большое значение.

Подключение к схеме независимых источников напряжения и тока обусловливает напряжения на других элементах схемы и токи, протекающие через эти элементы. Чтобы рассчитать напряжение на некотором элементе схемы, параллельно этому элементу подключается приемник напряжения – «расчетный вольтметр», внутреннее сопротивление которого имеет бесконечно большое значение. В соответствии с этим приемник напряжения обозначается стрелкой, которая не касается узлов подсоединения элемента, как показано на рис.

1.1.3 (см. также рис. 1.1.1). Для нахождения тока, протекающего через элемент схемы, последовательно с этим элементом включается «расчетный амперметр» – приемник тока, внутреннее сопротивление которого равно нулю. Его обозначение также приведено на рис. 1.1.3.

К пассивным элементам электрической схемы относятся z- и y-ветви, измеряемыми в Омах [Ом] и Сименсах [См]. Сопротивление и проводимость называются параметрами z- и y-ветвей. Электрическая схема является линейной, если параметры ее ветвей не зависят от напряжений и токов схемы. Инвариантная во времени электрическая схема имеет параметры, не зависящие от времени. Условно положительное направление напряжения на z- и y-ветвях принимается совпадающим с направлением протекающего через них тока.

Пассивные элементы могут быть элементами, рассеивающими (преобразующими в тепло и другие виды энергии) или накапливающими энергию электромагнитного поля. Параметры z- и y-ветвей, рассеивающих энергию, являются вещественными числами и называются соответственно резистивным сопротивлением R и резистивной проводимостью G. Эти параметры связаны с током, протекающим через элемент, и напряжением, падающим на элементе схемы, по закону Ома что иллюстрирует рис. 1.1.4.

Рис. 1.1.4. Резистивные сопротивление и проводимость Параметр z-ветви, накапливающей энергию магнитного поля, называется индуктивным сопротивлением и задается в операторной форме как pL. Здесь p – оператор дифференцирования или при установившемся гармоническом режиме комплексный оператор j, а L – индуктивность z-ветви. Параметр y-ветви, характеризуемой емкостью C и накапливающей энергию электрического поля, называется емкостной проводимостью и задается в операторной форме как pC.

Операторная форма индуктивного сопротивления и емкостной проводимости вытекает из фундаментальных соотношений между мгновенными напряжением и током для индуктивности и емкости, u(t) = Ldi(t)/dt дифференцирования p, и перейдя к операторным изображениям напряжений и токов, получаем уравнения которые иллюстрирует рис. 1.1.5.

Рис. 1.1.5. Реактивные сопротивление и проводимость Следует отметить, что МСО не требует указания на схеме условно положительных направлений токов и напряжений (см. рис. 1.1.4 и рис. 1.1.5), если эти токи и напряжения не являются искомыми или управляющими.

Наряду с перечисленными выше элементами электрическая схема может содержать соединительные проводники – короткозамкнутые ветви, сопротивление которых равно нулю. Соединительные проводники отличаются от приемников тока тем, что ток в этих проводниках не представляет интереса, поскольку не является искомым и не управляет генераторами напряжения или тока.

Цепи, содержащие двухполюсные элементы, УИ и НУИ, относятся к линейным электрическим цепям (ЛЭЦ). ЛЭЦ, включающие УИ и НУИ, называют обычно активными.

Искомыми обычно являются не все, а только некоторые напряжения и токи схемы. Как правило, электрическая схема рассматривается относительно двух пар своих полюсов, как проходной четырехполюсник (2x2-полюсник). При этом первая пара полюсов является входом, к которому подключается источник воздействия (генератор напряжения или тока), а со второй пары полюсов, являющейся выходом, снимается реакция (отклик) схемы на данное воздействие. Для этого к выходу схемы подсоединяется приемник напряжения или тока.

Отношение значения реакции электрической схемы к заданному значению воздействия, выраженное через параметры элементов схемы, называется ССФ. Численное значение ССФ получается в результате подстановки вместо обозначений параметров их вещественных или комплексных значений. В зависимости от вида реакций и источников воздействия, а также их расположения, различают шесть типов ССФ.

Данные выше определения иллюстрирует рис. 1.1.6, где токи, напряжения, ЭДС представлены действующими (комплексными) значениями.

Коэффициент напряжения Передаточная Передаточное передачи тока проводимость сопротивление Передаточные ССФ по напряжению и току не имеют размерности, а передаточные сопротивление и проводимость имеют размерность, соответственно, сопротивления и проводимости. В частных случаях, когда четырехполюсник рассматривается относительно одной пары своих полюсов, говорят о ССФ входного сопротивления или ССФ входной проводимости.

В задаче диагностики используются дополнительные понятия и элементы. Ветви с измеренным напряжением и током представляются вольтметром с известным напряжением и амперметром с известным током соответственно. При переходе от задачи диагностики к задаче анализа на основе ИДС строится схема замещения с компенсированными элементами (СКЭ). Токи и напряжения, соответствующие элементам с неизвестными параметрами, в СКЭ могут быть выражены через параметры независимых источников воздействия. Необходимо, чтобы среди независимых источников присутствовали как источники, представленные в ИДС, так и компенсационные источники, параметры которых равны показаниям измерительных приборов. Для этого используются прямая, косвенная или комбинированная компенсация электрокомпонентов с неизвестными параметрами. Прямая компенсация основана на классической теореме о компенсации и применяется, если вольтметр (амперметр) подключен параллельно (последовательно) элементу с неизвестным параметром. В этом случае элемент и вольтметр (амперметр) заменяются источником ЭДС E = U (тока J = I), как показано на рис. 1.1.7.

Рис. 1.1.7. Прямая компенсация сопротивления Косвенная компенсация используется, когда и напряжение, и ток на элементе с неизвестным параметром не могут быть измерены. Тогда для компенсации этого элемента применяется напряжение или ток любой другой ветви. В этом случае, как показано на рис. 1.1.8, приемник напряжения U заменяется фиксирующей ветвью по напряжению, а приемник тока I – фиксирующей ветвью по току. Фиксирующая ветвь по напряжению представляет собой встречное последовательное соединение источника ЭДС E = U и ПНУИ, а фиксирующая ветвь по току – согласное параллельное соединение источника тока J = I и ПНУИ. Сам элемент с неизвестным параметром замещается ГНУИ. Таким образом, в схему вместо элемента с неизвестным параметром помещается новый схемный элемент, названный компенсатором, который состоит из независимого источника и НУИ.

Рис. 1.1.8. Косвенная компенсация сопротивления Комбинированная компенсация применяется в ИДС, где заданы напряжения или токи части элементов с неизвестными параметрами.

Напряжения или токи оставшихся из элементов с неизвестными параметрами не могут быть измерены, поэтому для построения СКЭ требуется как прямая, так и косвенная компенсация элементов.

1.2. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕТОДА СХЕМНЫХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

В фундаменте теории электрических цепей лежат законы Кирхгофа.

Первый закон устанавливает непрерывность токов ветвей, сходящихся в узле или, в общем случае, образующих сечение, где ±Ik – ток k-й ветви, втекающий (со знаком «плюс») в сечение или вытекающий (со знаком «минус») из этого сечения; ±Jn – ток n-го генератора тока, втекающий (со знаком «минус») в сечение или вытекающий (со знаком «плюс») из этого сечения.

Второй закон Кирхгофа устанавливает равновесие напряжений в контуре, образованном ветвями схемы где ±Uk – напряжение k-й ветви, которое учитывается со знаком «плюс», если ее ориентация совпадает с произвольно выбранным направлением обхода контура ; ±En – ЭДС n-го генератора напряжения, учитываемое со знаком «плюс», если ориентация этого генератора совпадает с направлением обхода контура. В противном случае перед Uk и En ставится знак «минус». Правила выбора знаков правых частей в уравнениях (1.2.1) и (1.2.2) согласуются с рис. 1.1.1.

Уравнения (1.2.1) и (1.2.2) совместно с компонентными уравнениями (1.1.1) и (1.1.2) позволяют составить систему линейно независимых уравнений, описывающих поведение ЛЭЦ. Решение полученной системы, то есть вычисление каждого из искомых напряжений и токов ветвей, записывается по методу Крамера в виде отношения двух определителей, представляющего СВО того или иного типа. Если числитель СВО разложить по столбцу источников воздействия, то СВО выражается через ССФ, общий знаменатель которых называется определителем системы уравнений или системным определителем. Числители ССФ будут различными в зависимости от типа источников воздействия и искомых откликов, а также расположения рассматриваемых входов и выходов схемы.

Представляя системный определитель в операторной форме, как полином от оператора p, и приравнивая этот полином к нулю, получаем характеристическое уравнение схемы. Корни характеристического уравнения позволяют записать свободную составляющую переходного процесса в схеме, выполнить оценку ее устойчивости и т. д.

Принципиально важно уметь находить характеристическое уравнение схемы и ее ССФ, используя непосредственно электрическую схему и минуя построение системы уравнений с последующим алгебраическим решением. Это позволит не только сократить трудоемкость выкладок, но и сделать решение более компактным, избежав вычисления знаков и появления взаимно уничтожающихся слагаемых дубликаций, что присуще алгебраическому методу раскрытия определителей [2, 52].

Центральным понятием излагаемого ниже МСО является понятие определителя схемы или схемного определителя.

1.2.2. ВЫРОЖДЕНИЕ СХЕМЫ И НЕЙТРАЛИЗАЦИЯ ЭЛЕМЕНТОВ

Для обоснования МСО используем связь определителя схемы с системным определителем. Здесь и далее в качестве определителей будем рассматривать символьные определители, то есть аналитические выражения, в которых все параметры схемы представлены символами, а не числами. В системном определителе (матрице) возможно появление строк, которые состоят из элементов, равных нулю. Соответствующая этому определителю схема называется вырожденной. Таким образом, определитель вырожденной схемы тождественно равен нулю. Во избежание излишних выкладок необходимо уметь устанавливать вырожденность схемы непосредственно по ее структуре и составу элементов [62].

С физической точки зрения примем, что вырожденной является схема, в которой развиваются бесконечно большие токи и напряжения или значения токов и напряжений оказываются неопределенными. Так, внутренние сопротивления генератора напряжения и приемника тока равны нулю, поэтому в контуре, содержащем только генераторы напряжения и приемники тока, создается бесконечно большой ток. С другой стороны, внутренние проводимости генератора тока и приемника напряжения равны нулю, поэтому на элементах сечения, образованного только генераторами тока и приемниками напряжения появляются бесконечно большие значения напряжений.

Частными случаями контура и сечения являются, соответственно, петля и разомкнутая ветвь. Случаи вырождения схемы при образовании петель и разомкнутых ветвей отражены в табл. 1.2.1. Действительно, ток, протекающий через замкнутый накоротко приемник тока, и напряжение на разомкнутом приемнике напряжения имеют неопределенные значения (неопределенность вида 0/0). Убедиться в этом можно, подсоединив последовательно с приемником тока I и параллельно с приемником напряжения U, соответственно, источник ЭДС E = 0 и источник тока J = 0.

Как видно, замыкание и размыкание z- и y-ветвей не может привести к вырождению схемы. Действительно, z-ветвь можно представить в виде последовательного соединения генератора напряжения и приемника тока, а y-ветвь – в виде параллельного соединения генератора тока и приемника напряжения. Эти преобразования показаны на рис. 1.2.1.

Генератор напряжения управляется током приемника тока, а генератор тока – напряжением приемника напряжения. Таким образом, в первом случае имеем дело с ИНУТ, а во втором случае – с ИТУН. Стрелки генераторов УИ в отличие от стрелок независимых источников заключаются не в кружок, а в ромбик.

Таблица 1.2.1. Условия вырождения схемы и нейтрализации элементов Рис. 1.2.1. Замещение пассивных элементов управляемыми источниками Табл. 1.2.2 более наглядно иллюстрирует условия нейтрализации элементов и вырождения схем при замыкании и размыкании ветвей.

Каждая из этих операций приводит к тому, что ветвь оказывается связанной со схемой одним узлом. Обоснование вырожденности схем, содержащих замкнутый генератор ЭДС и разомкнутый источник тока, основано на возникновении в этом случае бесконечно большого тока и напряжения соответственно.

Обратим внимание на операции замыкания и размыкания ГНУИ и ПНУИ. Если в схеме замкнут (разомкнут) ГНУИ, то формируемая для этой недоопределенной – число уравнений меньше числа неизвестных. Это связано с тем, что ГНУИ не имеет компонентного уравнения, то есть его ток и напряжение могут принимать любые (неизвестные) значения, которые определяются всей схемой. В рассматриваемом случае оказывается неопределенным ток (напряжение) ГНУИ, если последний замкнут (разомкнут).

Если в схеме замкнут или разомкнут ПНУИ, то ее система уравнений также является недоопределенной. Неопределенным оказывается напряжение или ток ГНУИ, потому что известные (нулевые) ток и напряжение ПНУИ в формируемой системе уравнений не используются.

Случаи вырождения схем, содержащих УИ, при наличии в этих схемах EI-контуров и JU-сечений заслуживают специального рассмотрения. Следует отметить, что наличие в схеме контура, содержащего только генераторы напряжения и приемники тока, или сечения, образованного только генераторами тока и приемниками напряжения, не указывает на ее вырождение. Действительно, в отличие от параметров независимых источников, параметры УИ учитываются в левых частях уравнений (1.2.1) и (1.2.2), и поэтому системный определитель не включает строки или столбцы из элементов, равных нулю. Случаи вырождения схем с УИ отображены в табл. 1.2.2.

Таблица 1.2.2. Условия вырождения и нейтрализации элементов Неопределенным является значение тока в контуре, образованном приемниками тока. Действительно, включение в такой контур генератора напряжения с E = 0 приводит по закону Ома к неопределенности вида 0/0, так как сумма сопротивлений контура равна нулю. Аналогично этому невозможно определить напряжения на элементах сечения, образованного приемниками напряжения, поскольку включение в такое сечение генератора тока J = 0 обусловливает неопределенность вида 0/0.

Таблица 1.2.3. Следствия параллельного и последовательного соединения

ГНУИ ПНУИ ГНУИ ПНУИ

Проводимость (y-ветвь) Удаление Стягивание–выделение Сопротивление (z-ветвь) Удаление–выделение Стягивание Генератор напряжения (ГН) Вырождение НУИ Стягивание – Наиболее часто встречающимся случаем вырождения является случай, когда схема распадается на несколько (две и более) подсхем.

Формально такую схему можно представить в виде связной схемы, если соединить ее подсхемы генераторами тока с J = 0. Полученная схема является вырожденной вследствие наличия сечений, образованных только генераторами тока. Для доказательства можно поступить по-другому.

Возьмем два любых несвязных между собой узла, пронумеруем их по порядку 1 и 2. К узлу с номером 2 подсоединим одним из полюсов независимый источник ЭДС Е. Свободный узел источника обозначим номером 3. Определитель полученной схемы остался таким же, как у исходной схемы. Подключим между первым и вторым узлами приемник напряжения U12, а между первым и третьим узлами – приемник U13. Для полученной схемы по законам Кирхгофа можно сформулировать только одно уравнение U13 – U12 = E. Искомые напряжения U12, U13 найти нельзя, поскольку уравнение недоопределено. Таким образом, схема, состоящая из двух и более несвязных подсхем, является вырожденной.

Рассмотренные выше признаки вырождения (наличие EIконтуров, JU-сечений, несвязность схемы) должны отсутствовать у схем, подлежащих дальнейшему анализу. В противном случае задача анализа электрической схемы является тривиальной или некорректно поставленной. Следует отметить, что исходная схема также должна быть связной.

Схема не считается несвязной, если имеет с некоторой своей подсхемой только управляющие связи (обусловленные идеальными трансформаторами, взаимоиндуктивностями, УИ, НУИ и т. д.). Несвязной часто изображается, например, схема трансформаторного усилителя. В этом случае необходимо объединить два узла, принадлежащих разным обмоткам трансформатора. Такая модификация схемы не изменяет результатов ее анализа. В общем случае перед анализом несвязной схемы ее следует преобразовать к связной схеме путем объединения в один узел нескольких произвольных узлов, взятых по одному из каждой подсхемы, имеющей с другими подсхемами только управляющие связи. Такое топологическое преобразование является эквивалентным, то есть не изменяет определитель и не влияет на результат решения задачи анализа.

Например, если подсхемы связаны только управляющими связями, как показано на рис. 1.2.2 (слева), то следует соединить их в одном узле, как показано на рис. 1.2.2 (справа).

Условие невырожденности схемы – условие отличия от нуля ее определителя – является достаточным условием существования и единственности решения задачи анализа ЛЭС [38]. Как следует из табл.

1.2.2, схемы, содержащие УИ и НУИ, могут быть вырожденными, несмотря на выполнение свойства связности. Сформулируем общий критерий вырождения.

Теорема 1.2.1. Произвольная ЛЭС является вырожденной при выполнении хотя бы одного из трех топологических условий: 1) схема несвязна; 2) в схеме имеется хотя бы один контур, образованный исключительно генераторами напряжения и ГНУИ или исключительно приемниками тока и ПНУИ; 3) схема содержит сечение, включающее только генераторы тока и ГНУИ или только приемники напряжения и ПНУИ.

Частные случаи второго и третьего пунктов теоремы для контуров и сечений, образованных одним элементом (ГНУИ или ПНУИ), иллюстрируются на рис. 1.2.3 (см. табл. 1.2.1).

Рис. 1.2.3. Вырождение схемы в результате размыкания и замыкания ГНУИ или ПНУИ Случаи вырождения на рис. 1.2.3 обобщаются следствием теоремы о вырождении схемы, образованной исключительно НУИ.

Следствие 1.2.1. В невырожденной схеме с НУИ все ГНУИ должны образовывать дерево схемы, а ПНУИ входить в его дополнение и наоборот [62].

Частные случаи второго и третьего пунктов теоремы для контуров и сечений, образованных одним элементом (генератором напряжения, приемником тока, источником тока и приемником напряжения) иллюстрируются на рис. 1.2.4.

Рис. 1.2.4. Вырождение схемы в результате замыкания и размыкания элементов Более общие случаи контуров и сечений, вырождающих схему, приводятся на рис. 1.2.5–1.2.8.

Рис. 1.2.5. Вырожденные схемы с контуром из генераторов напряжения и ГНУИ Рис. 1.2.6. Вырожденные схемы с контуром из приемников тока и ПНУИ Рис. 1.2.7. Вырожденные схемы с сечением из генераторов тока и ГНУИ Рис. 1.2.8. Вырожденные схемы с сечением из приемников напряжения и ПНУИ

1.2.3. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ УПРОЩЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СХЕМ

Из уравнений (1.2.1) и (1.2.2) следует, что для получения системного определителя необходимо принять ЭДС генераторов напряжения и токи генераторов тока равными нулю. Это соответствует на схеме замене генераторов ЭДС и приемников искомых токов короткозамкнутыми проводниками с Z = 0 или Y =, а также замене генераторов тока и приемников искомых напряжений z-ветвями с Z = или y-ветвями с Y = 0.

Следует отметить, что приемники напряжения и тока управляемых источников указанные преобразования не затрагивают. Физический смысл этих преобразований состоит в том, что из схемы исключаются независимые источники E = 0 и J = 0, а значит, искомые напряжения и токи также обращаются в нуль: U = 0 и I = 0, как показано на рис. 1.2.9.

Другим источником появления в схеме ветвей с предельными значениями параметров как на постоянном токе, так и при гармоническом воздействии, являются энергоемкие элементы. Например, индуктивное сопротивление Z = pL = jL и емкостная проводимость Y = pC = jC имеют значение, равное нулю, и бесконечно большое значение на круговой частоте, соответственно, = 0 и =.

Рис. 1.2.9. Простейшие эквивалентные упрощения электрических схем, выполняемые перед нахождением схемного определителя Учет особенностей структуры и элементного состава позволяет упростить анализ электрических схем. Прежде всего, из схемы удаляются z-ветви с Z = и y-ветви с Y = 0. Далее в схеме замещаются короткозамкнутыми проводниками y-ветви c Y = и z-ветви c Z = 0.

Каждый из соединительных проводников необходимо стянуть в одну точку-узел, чтобы не загромождать схему, на которой не должно быть соединительных проводников и, разумеется, узлов, к которым подключены только короткозамкнутые проводники (см. рис. 1.2.9) Последовательно соединенные z-ветви замещаются на схеме одной эквивалентной z-ветвью, параметр которой равен сумме параметров исходных z-ветвей. С другой стороны, параллельно соединенные y-ветви замещаются одной эквивалентной y-ветвью, параметром которой является сумма параметров исходных y-ветвей. В табл. 1.2.4 приводятся правила упрощения последовательного, параллельного, последовательнопараллельного и параллельно-последовательного соединений проводимостей, сопротивлений и управляемых источников. Вывод указанных формул проводится на основе законов Кирхгофа.

нейтрализация (устранение) влияния элемента на режим схемы вследствие замыкания или размыкания этого элемента. Нейтрализацию элемента можно вызвать также приравниванием значения его параметра к нулю.

Случаи нейтрализации элементов отражены в табл. 1.2.1. Кроме традиционных элементов табл. 1.2.1 включает НУИ. ГНУИ и ПНУИ в отличие от обычных генераторов и приемников нельзя нейтрализовать ни замыканием, ни размыканием.

Таблица 1.2.4. Объединение схемных элементов Если напряжения на приемниках напряжения и токи в приемниках тока известны, а эти приемники управляют генераторами, то соответствующие генераторы становятся независимыми и поэтому исключаются из схемы. Напомним, что элемент, нейтрализация влияния которого на режим схемы установлена, исключается из схемы в соответствии с его физическими свойствами, то есть генераторы напряжения и приемники тока стягиваются, а генераторы тока и приемники напряжения удаляются (см. рис. 1.2.9).

Нейтрализацию генератора тока замыканием и генератора напряжения размыканием можно рассматривать как частные случаи нейтрализации генератора тока, помещенного в EI-контур, и генератора напряжения, включенного в JU-сечение. Действительно, в первом случае напряжение на генераторе тока не зависит от его тока J, а во втором случае ток через генератор напряжения не зависит от его ЭДС Е. Аналогично этому нахождение напряжения на приемнике напряжения, помещенном в EI-контур, не представляет затруднений, поскольку определяется алгебраической суммой ЭДС генераторов напряжения (см. формулу (1.2.2)). С другой стороны, ток в приемнике тока, включенном в JUсечение, выражается через токи генераторов тока согласно уравнению (1.2.1). Следует обратить внимание на то, что нейтрализацию УИ, как элемента схемы, образованного двумя ветвями, влечет нейтрализация либо его генератора, либо его приемника. Более общие случаи нейтрализации элементов отражены в табл. 1.2.2.

Рассмотренные выше схемные операции уменьшают трудоемкость метода схемных определителей при нахождении числителя и знаменателя символьных выражений откликов. Также ускоряют процесс нахождения выражений откликов некоторые операции, выполняемые перед анализом схемы. Эти операции позволяют отбросить однополюсник, двухполюсник или n-полюсник, если он не влияет на искомый отклик. Это имеет место, если у этого n-полюсника отсутствуют управляющие связи с основной подсхемой, содержащей приемник отклика, а схема в целом обладает топологическими особенностями. Например, одна из подсхем имеет с основной подсхемой только один общий узел, двухполюсник подключен параллельно источнику напряжения и т. п.

В строках 19 табл. 1.2.5 сгруппированы операции предварительных упрощений частных вариантов схем перед нахождением ССФ путем удаления или стягивания одного из двух двухполюсников (однополюсников). Это возможно, во-первых, при отсутствии управляющих связей между ними. Во-вторых, двухполюсник (однополюсник), оставляемый в схеме (см. строки 12, 57, 9) после ее преобразования, должен содержать приемники искомого тока или напряжения.

Таблица 1.2.5. Эквивалентные упрощения (преобразования) схем Удаление подсхемы, имеющей один общий узел со схемой Разложение определителя схемы с двухполюсником, который соединен параллельно управляемому источнику напряжения Удаление двухполюсника, параллельного приемнику тока – амперметру Удаление двухполюсника, параллельного приемнику тока УИ Выделение двухполюсника, параллельного приемнику тока УИ Стягивание двухполюсника, соединенного последовательно Стягивание двухполюсника, соединенного последовательно Выделение двухполюсника, последовательного управляемому источнику тока Стягивание двухполюсника, соединенного последовательно Стягивание двухполюсника, соединенного последовательно Выделение двухполюсника, последовательного приемнику напряжения УИ 10* В строках 35, 79 табл. 1.2.5 оставляемый двухполюсник должен иметь в своем составе независимый источник энергии. Удаляемый (стягиваемый) в строках 310 двухполюсник не содержит как приемников с искомым током или напряжением, так и независимых источников энергии. Рассмотренные эквивалентные упрощения доказываются в [37].

1.3. РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ СХЕМ

ПО ПАРАМЕТРАМ ДВУХПОЛЮСНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ И ПОДСХЕМ

1.3.1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ПРОСТЕЙШИХ СХЕМ Практическое значение имеют схемы, определители которых отличны от нуля. Определители простейших схем легко получаются из закона Ома (см. формулы (1.1.1)). Слева, на рис. 1.3.1,а–г, изображены схемы и очевидные выражения для ССФ (см. рис. 1.1.6).

Рис. 1.3.1. Получение определителей простейших схем Справа, на рис. 1.3.1,а–г, показаны производные схемы, полученные в результате исключения генераторов и приемников, вместе с выражениями для определителей этих схем.

Определитель схемы одиночного узла, помещенный в строку 1, равен единице, поскольку эта схема может быть получена из y-петли при y = 0. С другой стороны, одиночный (изолированный) узел эквивалентен разомкнутой z-ветви при z = 0, определитель которой также равен единице.

Первые две из этих формул позволяют свести разложение определителя исходной схемы к разложению определителей более простых производных схем, в которых отсутствует некоторая выделяемая ветвь z или y где – определитель схемы, нижний или верхний индексы при символе указывают на стягивание или удаление выделяемой ветви соответственно.

Стягивание ветви равносильно ее замене на схеме идеальным проводником («перемычкой»).

Другие две формулы требуют представления схемы в виде двух подсхем, имеющих один (формула (1.3.3)) или два (формула (1.3.4)) общих узла где 1 и 2 – определители первой и второй подсхем, из которых состоит схема; 1(a,b) и 2(a,b) – определители схем, образованных соответственно из первой и второй подсхем в результате объединения общих узлов. Формулу (1.3.4) можно рассматривать как обобщение формул (1.3.1) и (1.3.2) при рассмотрении в качестве подсхемы z- или yветви.

Формулы (1.3.1)–(1.3.4) наглядно представляются в виде схемноалгебраических выражений [37] (1.3.5)–(1.3.8) соответственно Рекурсивное применение формул (1.3.1)–(1.3.4) по отношению к исходной схеме и производным от нее схемам приводит к простейшим схемам в виде разомкнутых и замкнутых ветвей (петель), которые представлены на рис. 1.3. В результате стягивания и удаления ветвей могут образоваться вырожденные схемы, определитель которых тождественно равен нулю, что упрощает разложение определителей.

1.3.3. ФОРМУЛЫ ВЫДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ УПРАВЛЯЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

Невозможность непосредственного применения формул (1.3.1)–(1.3.4) для анализа схем с УИ, используемыми в моделях электронных ламп и транзисторов, обусловили забвение этих формул на многие десятилетия.

Лишь в 1977 году была опубликована формула выделения параметра УИ [92] где ( НУИ) – определитель первой производной схемы, полученной из исходной схемы путем придания выделяемому УИ статуса неудаляемого управляемого источника (НУИ); ( = 0) – определитель второй производной схемы, которая образована в результате нейтрализации выделяемого УИ, то есть принятия = 0. Однако два десятилетия (до конца 20 века) эта пятая формула метода схемных определителей не применялась, что обусловило преимущественное развитие матричных и графовых методов символьного анализа электрических цепей.

Схемно-алгебраические выражения, иллюстрирующие формулу (1.3.9) для различных типов УИ, приводятся на рис. 1.3.3.

В частных случаях формулы (1.3.1), (1.3.2) и (1.3.9) сводятся к одному слагаемому, которое может содержать или не содержать выделяемый параметр. Частные случаи выделения элементов и их нейтрализации сведены в табл. 1.3.1 и табл. 1.3.2.

Таблица 1.3.1. Частные случаи выделения параметров элементов № Исходное схемно- Эквивалентное схемноалгебраическое выражение алгебраическое выражение Параллельное соединение z-ветви с генератором напряжения Параллельное соединение z-ветви с приемником тока Последовательное соединение y-ветви с генератором тока Последовательное соединение y-ветви с ГНУИ Последовательное соединение y-ветви с приемником напряжения Последовательное соединение y-ветви с ПНУИ Параллельное соединение генератора напряжения УИ-1 с параметром A и Параллельное соединение генератора напряжения УИ-2 с параметром A Параллельное соединение приемника тока УИ-2 с параметром A и ГНУИ- Последовательное соединение приемника напряжения УИ- с параметром А и генератора тока УИ-2 с параметром В Последовательное соединение генератора тока УИ-2 с параметром А Последовательное соединение приемника напряжения УИ- Таблица 1.3.2. Эквивалентные упрощения схем нейтрализацией элементов Удаление y-ветви, включенной параллельно генератору напряжения Удаление y-ветви, включенной параллельно ГНУИ Удаление y-ветви, включенной параллельно приемнику тока Удаление y-ветви, включенной параллельно ПНУИ Стягивание z-ветви, включенной последовательно с генератором тока Стягивание z-ветви, включенной последовательно с ГНУИ Стягивание z-ветви, последовательной приемнику напряжения Стягивание z-ветви, включенной последовательно с ПНУИ Параллельное соединение генератора тока с генератором напряжения Параллельное соединение генератора тока с генератором НУИ Параллельное соединение приемника напряжения с приемником тока Параллельное соединение приемника напряжения с приемником НУИ Последовательное соединение генератора напряжения и генератора тока Последовательное соединение генератора напряжения и генератора НУИ Последовательное соединение приемника тока с приемником напряжения Последовательное соединение приемника тока с приемником НУИ Разумеется, основных формул (1.3.1), (1.3.2) и (1.3.9) достаточно, чтобы провести анализ любой линейной электронной цепи. Схемноалгебраические формулы, приведенные в табл. 1.3.1 и табл. 1.3.2, являются вспомогательными, легко выводятся с помощью основных формул и отражают частные варианты преобразования САВ. Эти преобразования ускоряют процесс получения ССФ и СВО, при этом они очень просты и быстро запоминаются. Более того, вывод этих формул может быть использован в качестве упражнений для освоения МСО.

Напомним, что нейтрализация УИ влечет стягивание генераторов напряжения и приемников тока, а также удаление генераторов тока и приемников напряжения. ГНУИ соответствует генератору выделяемого УИ, а ПНУИ – приемнику этого УИ с сохранением ориентации. Формула (1.3.9) обобщает формулы (1.3.1) и (1.3.2), поскольку проводимость и сопротивление являются частными случаями источника тока, управляемого напряжением, и источника напряжения, управляемого током, соответственно (см. рис. 1.2.1).

1.3.4. ВЫДЕЛЕНИЕ НЕУДАЛЯЕМЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

Выделение параметров пассивных элементов по формулам (1.3.1) и (1.3.2) может привести как к нейтрализации УИ, так и к их преобразованию в НУИ согласно табл. 1.2.2. Выделение параметров УИ по формуле (1.3.9) также приводит исходную схему к производным схемам, содержащим НУИ. Вместе с тем схема может содержать идеальные ОУ, которые замещаются НУИ.

Нахождение определителей схем с НУИ опирается на следующие простые правила [62, 63]:

1. Изменение ориентации у ГНУИ или у ПНУИ влечет изменение знака определителя этой схемы.

2. Взаимная замена номеров у двух ГНУИ или у двух ПНУИ также вызывает изменение знака определителя.

3. Параллельное соединение одноименных и одинаково направленных (по отношению к общему узлу) ГНУИ и ПНУИ эквивалентно короткозамкнутой ветви (идеальному проводнику).

4. Последовательное встречное соединение одноименных ГНУИ и ПНУИ эквивалентно разомкнутой ветви.

Табл. 1.3.3 иллюстрирует правила 3 и 4.

Важным следствием САВ из строк 1 и 2 табл. 1.3.3 являются простейшие схемы с НУИ, представленные на рис. 1.3.4, которые дополняют простейшие схемы из двухполюсных элементов на рис. 1.3.2.

Таблица 1.3.3. Преобразование определителей схем с НУИ № Исходное схемно- Эквивалентное схемноалгебраическое выражение алгебраическое выражение Замещение проводником однонаправленного параллельного соединения Замещение проводником противонаправленного параллельного соединения Исключение встречного последовательного соединения Исключение согласного последовательного соединения при согласной ориентации генератора и приемника при встречной ориентации генератора и приемника Выделение НУИ, генератор которого находится вне сечения при согласной ориентации генератора и приемника разноименных НУИ Выделение НУИ, приемник которого находится вне сечения при согласной ориентации генератора и приемника разноименных НУИ Выделение НУИ, генератор которого находится вне сечения при встречной ориентации генератора и приемника разноименных НУИ Выделение НУИ, приемник которого находится вне сечения при встречной ориентации генератора и приемника разноименных НУИ Рис. 1.3.4. Простейшие схемы с НУИ и их определители Если параллельно соединены разноименные ГНУИ и ПНУИ, то целесообразно использовать САВ, представленные на рис. 1.3.5 [62, 63].

Рис. 1.3.5. Выделение НУИ с разноименными генератором и приемником В САВ, представленных в строках 11 и 12 табл. 1.3.3, выделяемым считается тот НУИ, генератор которого находится вне этих подсхем. В частных случаях одноименные или разноименные ГНУИ и ПНУИ, находящиеся вне выделенных подсхем, могут быть параллельными друг другу. При этом, если подсхемы 1 и 2 содержат по одному узлу, то определитель объединенной схемы равен 1 или –1, что согласуется с рис.

1.3.4 (третьим правилом выделения НУИ). В свою очередь из случая последовательного соединения ГНУИ и ПНУИ (см. строки 7 и 8 табл. 1.3. при замене правой подсхемы единственным узлом) вытекает четвертое правило выделения НУИ.

Выделение НУИ с помощью САВ, представленных в табл. 1.3.3 и на рис. 1.3.5, позволяет не выполнять построение производных схем, а проводить суммирование числа НУИ, выделенных с отрицательным знаком, в уме. Этого достаточно, поскольку параметры НУИ считаются равными единице. Параметры УИ, согласно формуле (1.3.9), заносятся в выражение схемного определителя после придания этому УИ статуса НУИ. В зависимости от знака для краткости будем говорить о выделении НУИ «с плюсом» или «с минусом».

При отсутствии параллельно или последовательно соединенных ГНУИ и ПНУИ правил 1–4 оказывается недостаточно для раскрытия схемного определителя и применяется общая топологическая формула для выделения параметра НУИ с номером n [63] где n – определитель схемы, полученной из первоначальной схемы в результате следующих преобразований: 1) стягивания генератора (приемника) выделяемого НУИ таким образом, чтобы генераторы (приемники), которые инцидентны одному из узлов – опорному узлу этого генератора (приемника), переключились на другой его узел;

2) объединение опорных узлов выделяемого НУИ. Положительный (отрицательный) знак перед n выбирается в случае противоположной (одинаковой) ориентации генератора и приемника НУИ в первоначальной схеме по отношению к его опорным узлам.

Преобразования 1 и 2, выполняемые относительно выделяемого НУИ, называются его стягиванием. Опорные узлы, относительно которых выполняется стягивание НУИ, выбираются произвольно, но с одним условием – с опорными узлами должны быть соединены исключительно генераторы и приемники НУИ. При наличии у генератора и приемника общего узла целесообразно использовать его в качестве опорного узла и генератора, и приемника. Для этого случая преобразование 2 в операции стягивания опускается, а данное выше правило выбора знака инвертируется, то есть знак перед n считается положительным (отрицательным) при одинаковой (противоположной) ориентации генератора и приемника соответствующего НУИ по отношению к общему опорному узлу в первоначальной схеме.

1.4. АЛГОРИТМ РАЗЛОЖЕНИЯ СХЕМНЫХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Алгоритм разложения схемных определителей предусматривает рекурсивное выполнение следующей последовательности шагов для исходной схемы и производных от нее схем: 1) образование короткозамкнутых и разомкнутых ветвей в соответствии с правилами 1, и рис. 1.3.4; 2) сведение параллельных проводимостей и последовательных сопротивлений; 3) проверка вырожденности схемы с использованием теоремы и ее следствия; 4) применение формул (1.3.1), (1.3.2) и (1.3.9) по отношению к элементам, удаление или стягивание которых приводит к вырожденным схемам (частные случаи формул (1.3.1) и (1.3.2));

5) применение формулы (1.3.3); 6) применение формулы (1.3.4) по отношению к подсхемам, одна из которых становится вырожденной при объединении внешних узлов; 7) применение формулы (1.3.4) в общем случае, предпочтение отдается варианту, при котором подсхемы содержат примерно одинаковое число элементов и узлов; 8) использование формул (1.3.1), (1.3.2) или (1.3.9) в общем случае; предпочтение отдается тому элементу, нейтрализация которого приводит к нейтрализации или преобразованию в НУИ наибольшего числа элементов.

Иллюстрацией пункта 5 алгоритма служит табл. 1.4.1. В результате применения рассмотренного алгоритма получаются простейшие схемы, которые сведены в табл. 1.4.2.

Таблица 1.4.1. Частные случаи разложения определителей схем № Исходное схемноЭквивалентное схемно-алгебраическое алгебраическое Выделение двухполюсника, параллельного генератору НУИ Выделение двухполюсника, параллельного приемнику НУИ Выделение двухполюсника, соединенного последовательно с генератором Выделение двухполюсника, соединенного последовательно с приемником Таблица 1.4.2. Определители простейших схем № Схема, отображающая определитель Величина определителя Схема - параллельное соединение проводимостей Схема-контур из сопротивления Z и проводимости Y Простейшие схемы с неудаляемым управляемым источником (НУИ) Определители этих схем полезно запомнить для эффективного применения метода схемных определителей.

При делении на подсхемы в пунктах 5–7 не допускается размещение одноименных генератора и приемника в различных подсхемах. В результате работы алгоритма формируется вложенное выражение схемного определителя или обнаруживается вырожденность схемы.

Изменяя взаимно порядок следования шагов 6 и 7, можно получить выражение с первоочередным выделением параметров выбранных элементов. Таким образом, удается управлять процессом формирования ССФ, что полезно, например, в случае нахождения функций чувствительности к изменениям заданных параметров.

Случаи вырождения активной схемы и ее упрощения, инвариантные к схемному определителю, в полной мере согласуются с физическими представлениями о пассивных элементах и источниках напряжения и тока.

Важно, что упрощения и проверка вырожденности схемы выполняются путем выявления соответствующих особенностей ее структуры и состава элементов, что невозможно или затруднено при аналогичных проверках матрицы или графа этой схемы.

Для сокращения объема проводимых выкладок и формирования оптимальных по вычислительной сложности [61] выражений ССФ необходимы правила выбора мультиветвей (параллельно соединенных yветвей) и других подсхем, параметры которых подлежат выделению в первую очередь [61]. В частности, для этого среди мультиветвей схемы, состоящей из двухполюсных элементов, выбирается та, которая имеет наибольший показатель участия. Чтобы избежать использования трудоемкой процедуры вычисления количества деревьев и т. п., предлагаются правила выбора выделяемых элементов и подсхем [35].

Правило «минимума». В схеме рассматриваются узлы и сечения, которым инцидентно минимальное количество мультиветвей.

Принимается, что наибольшим показателем участия обладает та из них, которая смежна наименьшему числу мультиветвей.

Правила показателей участия и кратности. Первое правило заключается в первоочередном выделении мультиветвей, имеющих наибольшие показатели участия. Правило кратности требует, чтобы среди претендентов на выделение указывалась в первую очередь та мультиветвь, которая имеет наибольшую кратность, то есть количество образующих ее ветвей.

Правило половинного деления. Наряду с правилами показателей участия и кратности необходимо учитывать третье правило, которое называется правилом половинного деления. Оно означает, что получение оптимального выражения достигается выделением по возможности более сложных подсхем и минимизацией разности между количествами ветвей в выбранных подсхемах.

Формирование z- и yz-выражений ССФ имеет свои особенности.

Например, для лестничной схемы число узлов более чем в два раза превышает число независимых контуров. Поэтому в качестве параметров ветвей такой схемы целесообразно использовать сопротивления. Учитывая дуальность формул (1.3.1) и (1.3.2), для формирования оптимальных z- и yz-выражений схемных определителей вводится понятие макроветви, параметром которой является сумма сопротивлений образующих ее последовательно соединенных z-ветвей. Оптимальное z-выражение получается с учетом правил показателей участия, кратности и половинного деления. В силу дуальности формул (1.3.1) и (1.3.2) правило «минимума», используемое при выборе мультиветвей, модифицируется в правило «максимума» для выбора макроветвей, то есть среди макроветвей, инцидентных узлу или сечению с максимальным числом мультиветвей и макроветвей, выбирается та, которой смежно наибольшее их количество.

В случаях, когда количества независимых узлов и контуров схемы отличаются незначительно, смешанное представление параметров ветвей открывает возможности для получения yz-выражений ССФ, имеющих различную сложность и способных конкурировать по вычислительным свойствам с y- и z-выражениями. Для этого совместно используются формулы (1.3.1)–(1.3.4) и правила оптимального выделения параметров.

Задание параметров емкостей (индуктивностей) в виде емкостных проводимостей (индуктивных сопротивлений) позволяет избежать операций деления при получении ССФ в операторной форме. При надлежащем задании параметров ветвей всегда могут быть получены оптимальные безразмерные yz-выражения для передаточных ССФ. Такие выражения потенциально более устойчивы при численных расчетах. В этом случае также снижаются требования к диапазону представления чисел. Из правила показателей участия и формул (1.3.1), (1.3.2) следует, что уменьшение сложности схемного определителя достигается заданием проводимостями или сопротивлениями, соответственно, ветвей с меньшими или большими показателями участия.

1.5. НАХОЖДЕНИЕ СИМВОЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ ОТКЛИКОВ

Метод схемных определителей обычно предусматривает нахождение символьной схемной функции в виде отношения двух определителей:

схемы числителя и схемы знаменателя. Однако в теории цепей, как правило, особенно при наличии нескольких независимых источников, представляет интерес нахождение откликов напряжения и тока, а схемная функция рассматривается как промежуточный результат анализа. Поэтому рассмотрим нахождение откликов непосредственно из формулы (1.3.9), минуя нахождение схемных функций и применение каких-либо дополнительных формул.

Без потери общности будем рассматривать схему, содержащую источник ЭДС E, источник тока J и приемник с искомым током I, которая показана на рис. 1.5.1,а. От этой схемы, используя формальную замену I/I для множителя 1 при E и J нетрудно перейти к эквивалентной схеме на рис. 1.5.1,б.

Рис. 1.5.1. Эквивалентная замена независимых источников Схема на рис. 1.5.1,б не содержит независимых источников, следовательно, ее определитель при токе I, отличном от нуля, должен быть тождественно равен нулю, то есть схема на рис. 1.5.1,б является вырожденной. Применяя формулу (1.3.9) к схеме на рис. 1.5.1,а, получаем схемно-алгебраическое выражение которое с учетом вырожденности схемы на рис. 1.5.1,б приводит к выражению для искомого отклика Если ввести запрет на нейтрализацию приемника с искомым током, то схемно-алгебраическое выражение (1.5.1) записывается более компактно где символ I, который помечает схемный определитель, указывает на вырождение всех схем, образованных при его раскрытии и не содержащих приемника с током I. Это означает, что слагаемые числителя могут содержать в качестве сомножителей либо J, либо E, но не произведение EJ, поскольку последовательное включение двух ПНУИ порождает вырожденную схему согласно следствию 1.

Аналогично находится САВ для отклика напряжения в схеме на рис.

1.5.2,а.

Рис. 1.5.2. Эквивалентная замена независимых источников Опуская промежуточные выкладки, получаем где символ U, который помечает схемный определитель, указывает на вырождение всех схем, образованных при его раскрытии и не содержащих приемника c напряжением U. Это означает, что слагаемые числителя могут содержать в качестве сомножителей, либо J, либо E, но не произведение EJ, поскольку параллельное включение двух ПНУИ порождает вырожденную схему согласно следствию 1.

Таким образом, для эффективного символьного анализа электрических цепей с произвольным набором линейных элементов достаточно пяти формул разложения схемных определителей: (1.3.1)– (1.3.4) и (1.3.9), а выражения вида (1.5.2) и (1.5.3) легко могут быть получены как решения уравнения = 0. Минимизация объема схемноалгебраических выкладок и сложности результирующих выражений достигается использованием предложенного алгоритма. Предназначение формул (1.3.3) и (1.3.4) состоит в том, чтобы уменьшить объем проводимых выкладок и сложность формируемых выражений в результате деления исходной схемы и производных от нее схем на части. Формально, если не ставить задачу повышения эффективности символьного анализа, единственной формулы (1.3.9) – пятой формулы метода схемных определителей (формулы Хашемина [92]) – достаточно, чтобы выполнить анализ линейной инвариантной во времени цепи с сосредоточенными элементами и произвольным числом воздействий, минуя как отображение схем матрицами или графами, так и формирование схемных функций.

1.6. ВЫРАЖЕНИЕ СИМВОЛЬНЫХ СХЕМНЫХ ФУНКЦИЙ

ЧЕРЕЗ СХЕМНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ [62, 63] Схемно-алгебраические выражения для нахождения ССФ (см. рис.

1.1.6) получаются как частные случаи выражений (1.5.2) и (1.5.3) и представлены в табл. 1.4.1. Как видно, с учетом строки 1 табл. 1.3.3 при нахождении входных ССФ можно избежать использования НУИ.

Обсуждаемые САВ для ССФ (см. табл. 1.4.1) аналогичны предложенным Брауном схемным выражениям, содержащим ориентированные нуллоры [80].

Обратим внимание на то, что доказательство, приведенное в подразделе 1.5, не требует использования понятий матричной алгебры. В то же время доказательство Брауна опирается на то обстоятельство, что подключение к двум узлам схемы норатора (нуллатора) влечет объединение соответствующих этим узлам строк (столбцов) матрицы схемы. Кроме того, из работ Брауна [80, 81] не ясно, как следует выбирать ориентацию норатора и нуллатора по отношению к ориентации источника воздействия и отклика.

Необходимо подчеркнуть, что в случае изменения направления передачи напряжения или тока (с выхода на вход) ГНУИ и ПНУИ меняются местами. Как известно, для взаимной цепи соответствующие функции попарно равны, а для активной (невзаимной) эти функции отличаются друг от друга.

Таблица 1.6.1. Схемно-алгебраические выражения (САВ) схемных функций Обозначения ГНУИ и ПНУИ во избежание недоразумений напоминают, соответственно, обозначения норатора и нуллатора нуллора, а именно, символы бесконечности и нуля выполнены в виде стрелок (см. рис. 1.1.2). Вместе с тем, понятие НУИ обобщает понятия нуллора и ориентированного нуллора, поскольку параметру НУИ при необходимости можно присвоить значение. Это отличает НУИ от обычного нуллора и ориентированного нуллора которые сами по себе не имеют параметров, а моделируют ОУ с коэффициентом усиления, равным бесконечности. Возможно, поэтому Браун, а затем Партен и Сикет [99], сформулировав схемные выражения для нахождения ССФ, ограничились их применением для анализа схем с двухполюсниками и идеальными ОУ.

Это не позволило методу сингулярных (аномальных) элементов успешно предусматривающими задание УИ, что, в конечном счете, привело к забвению этого метода на десятилетия. С методической точки зрения использование понятия НУИ, а также терминов ГНУИ и ПНУИ более оправдано, поскольку последние являются взаимосвязанными элементами, образующими предельный случай именно УИ, а не абстрактного «нуллора».

1.7. ПРИМЕРЫ ФОРМИРОВАНИЯ СИМВОЛЬНЫХ СХЕМНЫХ

ФУНКЦИЙ ДЛЯ СХЕМ С ДВУХПОЛЮСНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ

1.7.1. ПРОСТЕЙШИЙ ДЕЛИТЕЛЬ НАПРЯЖЕНИЯ Схема резистивного делителя напряжения, а также САВ для нахождения передаточной ССФ по напряжению изображены на рис. 1.7. (рис. 1.1.6 и табл. 1.6.1).

Рис. 1.7.1. Схема делителя напряжения и выражение ее ССФ Здесь и далее N – определитель схемы числителя (numerator), а D – определитель схемы знаменателя (denominator). Схема числителя упрощается с помощью табл. 1.2.3 следующим образом: R1 стягивается как z-ветвь, соединенная последовательно с ГНУИ, R2 удаляется как z-ветвь, параллельная ПНУИ. При удалении ветви R2 выделяется параметр R2 в виде сомножителя. В результате получается схема, изображенная на рис.

1.3.4,а. Отсюда находится числитель искомой ССФ N = R2.

В схеме знаменателя последовательно соединенные ветви заменяются одной z-ветвью с параметром R1 + R2, которая является z-петлей (см.

рис. 1.3.1,а). Таким образом, знаменатель искомой ССФ D = R1 + R2.

Мостовая схема Уитстона [35] и соответствующее САВ изображены на рис. 1.7.2. Разложение определителя схемы числителя выполняется по формуле (1.3.1) для параметра R1. Первая производная схема упрощается путем стягивания R2 и R4, а также удаления R3, как показано на рис. 1.7.2.

При удалении z-ветви R3 выделяется ее параметр. Упрощение второй производной схемы выполняется через удаление ветвей R4 и R2, сопровождающееся выделением их параметров (см. рис. 1.7.2). Отсюда получаем N = R1R3 – R4R2.

Разложение определителя схемы знаменателя выполняется по формуле (1.3.3). Схема знаменателя представляется в виде двух подсхем, являющихся z-петлями. Таким образом, D=(R1 + R4)(R2 + R3).

Схема фильтра изображена на рис. 1.7.3. Ниже представлено САВ для нахождения передаточной ССФ по напряжению и его преобразование. Как видно, схема числителя упрощается следующим образом (см. рис. 1.7.3 и табл. 1.2.3): стягивается ветвь R, как z-ветвь, соединенная последовательно с ГНУИ; удаляются y-ветви pC1 и pC2, как параллельные ГНУИ и ПНУИ соответственно; стягивается ветвь pL, как z-ветвь, соединенная последовательно с ГНУИ (ПНУИ). При стягивании z-ветвей и удалении yветвей параметры не выделяются. Отсюда N = 1.

Для разложения определителя схемы знаменателя использованы формулы (1.3.1) и (1.3.2), как показано выше. Символ «0» в последнем САВ соответствует определителю вырожденной схемы, полученной в результате стягивания z-петли с параметром R (см. рис. 1.3.2). Таким образом, D = pC1 [R(p2 LC2 + 1)] + (R + pL)pC2 + 1.

Схема фильтра и САВ для нахождения передаточной ССФ по напряжению представлены на рис. 1.7.4. Как видно, нахождение числителя ССФ заключается в стягивании R1 и pC1, а также удалении R2 и pC2. При стягивании y-ветви pC1 и удалении z-ветви R2 выделяются их параметры.

Отсюда получаем N=pC1R2.

Рис. 1.7.4. Нахождение ССФ U/E для схемы полосового фильтра Для разложения определителя схемы знаменателя целесообразно использовать формулу (1.3.4). Схема знаменателя делится на две подсхемы, как показано на рис. 1.7.4. Левую подсхему будем считать первой, а правую – второй. В соответствии с изображениями производных схем, представленных на рис. 1.7.4, D = pC1R2 + (pC1 R1 + 1)(pC2R2 + 1).

Схема и САВ для нахождения ССФ входного сопротивления представлены на рис. 1.7.5. В результате получаем Рис. 1.7.5. Нахождение ССФ вида U/J для схемы полосового фильтра

1.8. ПРИМЕРЫ ФОРМИРОВАНИЯ ССФ ДЛЯ СХЕМ С УИ

Пример анализа схемы замещения активного фильтра [90], иллюстрирующий формулу (1.3.10) и соответствующий случаю общего опорного узла у выделяемых НУИ, помещен на рис. 1.8.1.

Удалены проводимости y1 и y Рис. 1.8.1. Нахождение передаточной функции активного фильтра Рассмотрим схему замещения операционного преобразователя [16], изображенную на рис. 1.8.2. Искомая ССФ представляется в виде отношения U/E = N/D согласно схемной формуле из табл. 1.6.1. Схема числителя получается из исходной схемы преобразованием независимого источника напряжения и отклика напряжения в НУИ, которому присвоен порядковый номер 1 или, кратко, НУИ-1. Эта схема согласно табл. 1.2. подлежит следующим эквивалентным упрощениям: 1) стягивание z-ветви pL, как включенной последовательно с ГНУИ-1; 2) удаление y-ветви pC, параллельной ПНУИ-1; 3) выделение z-ветви R1, параллельной ГНУИ-1.

Рис. 1.8.2. Схема замещения операционного преобразователя на базе ИТУН В результате последнего преобразования N может быть найден как произведение R1 на определитель схемы, изображенной на рис. 1.8.3.

Рис. 1.8.3. Схема числителя ССФ для схемы на рис. 1.8. Определитель схемы на рис. 1.8.3 раскрывается по формулам (1.3.1) и (1.3.9) с использованием табл. 1.2.3 и рис. 1.3.4, 1.3.5 в последовательности, представленной в табл. 1.8.1.

Таблица 1.8.1. Разложение определителя схемы на рис. 1.8. № Наименования операций и схемно-алгебраические выражения Выделение R2 по формуле (1.3.1). Стягивание R2 приводит к нейтрализации ИТУН s2U2.

Выделение r1 в первой производной схеме. Стягивание r1 приводит к нейтрализации ИТУН s1U1, удалению-выделению r2, преобразованию ИТУН s2U2 в НУИ-2. Во второй производной схеме нейтрализация ИТУН s1U1, удалениевыделение r1, стягивание r2 и выделение НУИ-1 с плюсом.

преобразование s2U2 в НУИ-2. Стягивание r2 приводит к нейтрализации s2U2 и преобразованию s1U1 в НУИ-2. Во второй производной схеме выделение НУИ-2 с плюсом.

В первой производной схеме выделяется НУИ-2 с плюсом. Во второй производной схеме выделяется НУИ-2 с плюсом. Определитель третьей производной схемы равен –1.

В первой производной схеме выполняется преобразование s1U1 в НУИ-2.

Определитель второй производной схемы (НУИ-контура) равен 1.

окончательного выражения При наличии некоторого навыка операции, выполняемые в табл. 1.8.1 над схемой рис. 1.8.3, можно выполнять мысленно (без изображений производных схем), используя иерархическую нумерацию, как показано ниже.

1. Удаление R2.

1.1. Удаление r1.

1.1.1. Удаление r2. Преобразование s2U2 в НУИ-2. Выделение НУИ-2 с плюсом. Преобразование s1U1 в НУИ-3. Выделение НУИ-3 с плюсом.

Выделение НУИ-1 с плюсом.

1.1.2. Стягивание r2. Нейтрализация s2U2. Преобразование s1U1 в НУИ-2. Выделение НУИ-2 с плюсом. Выделение НУИ-1 с плюсом.

1.2. Стягивание r1. Нейтрализация s1U1. Удаление r2. Преобразование s2U2 в НУИ-2. Выделение НУИ-2 с плюсом. Выделение НУИ-1 с минусом.

2. Стягивание R2. Нейтрализация s1U1 и s2U2. Удаление r1. Стягивание r2. Выделение НУИ-1 с плюсом.

Таким образом, определитель схемы на рис. 1.7.2 включает в себя определители производных схем с номерами 1, 1.1, 1.1.1, 1.1.2, 1.2 и 2.

Удаление z-ветвей и преобразование ИТУН в НУИ при разложении определителей этих производных схем сопровождается выделением параметров в следующем порядке.

1. R2. 1.1. r1. 1.1.1 r2, s2, s1. 1.1.2. s1. 1.2. r2, s2, –1. 2. r1.

Параметры НУИ, выделяемые с плюсом, можно не учитывать в формуле схемного определителя. Учитывая ранее выделенный параметр R1 и отделяя структурные части формируемого выражения скобками, получаем Заметим, что выражение в фигурных скобках является результатом выкладок, представленных в табл. 1.8.1.

Знаменатель ССФ D находится как определитель схемы, образованной из исходной схемы на рис. 1.8.2 путем стягивания независимого источника напряжения и удаления приемника искомого напряжения (см. табл. 1.6.1). В результате получается схема знаменателя, изображенная на рис. 1.8.4.

Рис. 1.8.4. Схема знаменателя ССФ для схемы на рис. 1.8. Ее можно представить в виде двух подсхем, как показано на этом рисунке, и применить формулу (1.3.4), поскольку первая (левая) и вторая (правая) подсхемы не имеют одна с другой управляющих связей.

Очевидно, параметры первой подсхемы 1 = pL + R1 и 1(a,b) = pLR1.

При раскрытии 2 следует учесть, что удаление R2 влечет вырождение второй подсхемы вследствие последовательного соединения приемников U1 и U2. Стягивание R2 приводит к нейтрализации ИТУН s2U путем удаления его генератора и приемника, а также преобразованию ИТУН s1U1 в проводимость с параметром –s1 (см. рис. 1.2.1). Выделяя –s1 по формуле (1.3.2), получаем 2 = –s1r1(pС r2 + 1) + (r1 + r2)pС + 1.

Для раскрытия 2(a,b) также используем формулу (1.3.4), выделив параллельное соединение элементов r1 и R2 (отнеся приемник U2 к правой подсхеме). Присвоим левой и правой подсхемам соответствующей 2(a,b) производной схемы номера 3 и 4. Параметры третьей подсхемы:

3 = r1 + R2 и 3(c,d) = r1R2. Параметры четвертой подсхемы: