«Министерство образования Республики Беларусь Белорусский государственный университет ЭЛЕКТРОННЫЙ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА [Методические указания] [Типовые программы курсов] [Основные понятия] ...»

Пример 5.3. Графиком функции z = При n 3 геометрическая иллюстрация функции n переменных недоступна.

Назад 2.5.2 Предел.

Пусть f : X Rn R, a – предельная точка множества X. Число A R называется пределом функции При этом говорят, что функция u = f (x) стремится к пределу A при x a и обозначают lim f (x) = A или Как и для функции одной переменной, введенное понятие предела функции тесно связано с понятием предела последовательности.

Теорема 5.1 (Критерий Гейне). Для того, чтобы lim f (x) = A, необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности (xk ), xk X, xk = a, xk a выполнялось: f (xk ) A.

Пусть L X Rn, a – предельная точка множества L. Число A называют пределом функции f вдоль L при x a, если и обозначают xa f (x) = A.

Ясно, что lim f (x) = A тогда и только тогда, когда xa f (x) = A вдоль любого L, для которого a является предельной точкой.

Если L — луч {(x, y)|y = ax}, то при любом a R Назад Если L – вертикальный луч {(0, y)}, то Таким образом, f (x, y) стремится к 0 при (x, y) (0, 0) вдоль любого луча. Однако, взяв L = {(x, y)|x = y 2 }, получаем Следовательно, функция f не имеет предела в точке (0, 0).

Предел функции n переменных имеет свойства, аналогичные свойствам предела функции одной переменной.

В частности, предел любой арифметической комбинации функций равен такой же комбинации пределов этих функций (если такие комбинации имеют смысл).

Назад 2.5.3 Непрерывность.

Основные определения.

Пусть функция f (x1,..., xn ) определена в области D Rn и x0 D. Функцию f называют непрерывной в точке x0, если lim0 f (x) = f (x0 ). Это означает, что Пример 5.5. Рассмотрим функцию f (x1,..., xn ) = xk – проектор на ось xk. Тогда для x0 Rn имеем:

Следовательно функция-проектор непрерывна в любой точке из Rn.

Если в определении непрерывности вместо предела использовать предел вдоль множества L, то получим определение непрерывности в x0 вдоль L.

Пусть функция f (x1,..., xn ) определена в области D Rn и x0 D. Функцию f называют непрерывной в точке x0 вдоль множества L D если xx f (x) = f (x0 ).

Пусть функция f (x1,..., xn ) определена в области D Rn и x0 D. Функцию f называют непрерывной в точке x0 по переменной xk, если Назад Функция может быть непрерывной по каждой из своих переменных, однако не быть непрерывной.

Но функция не является непрерывной в (0, 0), так как lim f (x, y) не существует.

Функция называется непрерывной на множестве D, если она непрерывна в каждой точке из D вдоль D.

Используя это определение, можно говорить о непрерывности в граничных точках множества D (если такие точки принадлежат D и являются предельными точками D), о непрерывности на компакте и т.д.

Непосредственно из определений непрерывности следует, что всякая арифметическая комбинация непрерывных функций непрерывна в любой точке, где такая комбинация определена.

Пусть u = f (x1,..., xn ), x = (x1,..., xn ) X Rn и на [, ] определены n функций xi = i (t), i = 1,..., n, такие, что t [, ], (1 (t),..., n (t)) X. Тогда на [, ] можно определить функцию являющуюся композицией f и функций 1,..., n.

Теорема 5.2. Если i непрерывны в точке t0 и f непрерывна в точке x0 = (1 (t0 ),..., n (t0 )), то F непрерывна в точке t0.

Так как i непрерывны в t0, то Назад Обозначим x = (1 (t),..., n (t)). Тогда Пример 5.7. Функция f (x, y) = sin(x2 y) непрерывна в R2 как композиция непрерывной функции sin и арифметической комбинации функций-проекторов на ось x и на ось y.

Основные теоремы.

Для непрерывных функций нескольких переменных справедливы основные теоремы, доказанные для функций одной переменной.

Теорема 5.3 (о сохранении знака). Если f непрерывна в точке x0 и f (x0 ) = 0, то существует окрестность точки x0, в которой значения функции имеют то же знак, что f (x0 ).

Теорема 5.4 (о локальной ограниченности). Если f непрерывна в точке x0, то существует окрестность точки x0, в которой f ограничена.

Доказательства этих теорем можно провести так же, как доказательства аналогичных теорем для функции одной переменной.

Теорема 5.5 (о промежуточном значении)). Если f непрерывна на связном множестве M и принимает значения A и B (A < B) в некоторых точках из M, то она принимает на M и любое значение C, A < C < B.

существует непрерывная кривая Назад с концами в точках x и x, l M. Функция F (t) = f (1 (t),..., n (t)) непрерывна на [, ] как композиция непрерывных функций и F () = a, F () = B и поэтому принимает любое промежуточное значение C, A < C < B, т.е. t0 [, ], F (t0 ) = C. Обозначим x0 = (1 (t0 ),..., n (t0 )). Тогда f (x0 ) = f (1 (t0 ),..., n (t0 )) = F (t0 ) = C.

Теорема 5.6 (Вейерштрасса). Непрерывная на компакте M функция принимает на M свои наибольшее max f и наименьшее min f значения и, следовательно, ограничена на M.

Функцию f называют равномерно непрерывной на множестве M, если Равномерно непрерывная на M функция непрерывна в каждой точке из M. Обратное верно не всегда.

Теорема 5.7 (Кантора). Непрерывная на компактном множестве M функция равномерно непрерывна на M.

Доказательство проводят так же, как для функции одной переменной.

Назад 2.5.4 Дифференцируемость.

Производное отображение и дифференциал.

Рассмотрим функцию u = f (x1,..., xn ), определенную в области X Rn. Пусть x0 X.

Функцию u = f (x1,..., xn ) называют дифференцируемой в точке x0, если существуют постоянные A1,..., An такие, что полное приращение функции u = f (x0 + h) f (x0 ) в точке x0, вызванное приращением аргумента h = ( x1,..., xn ) представимо в виде Для функции f (x1,..., xn ), дифференцируемой в точке x0, имеет смысл следующее определение.

Производным отображением или просто производной функции f (x1,..., xn ) в точке x0 называют линейное отображение такое, что Значение (h) = A1 x1 +... + An xn называют дифференциалом функции f в точке x0 и обозначают df (x0 ).

Если переменные x1,..., xn являются независимыми (а не функциями от других переменных), то, как и в случае функций одной переменной, dxi = xi, i = 1,..., n. Тогда Геометрический смысл дифференцируемости выясним на примере n = 2. Пусть z = f (x, y). Дифференцируемость функции f в точке (x0, y0 ) означает, что существуют постоянные A1, A2 такие, что Назад Линейное уравнение задает в пространстве 0xyz плоскость. Равенство (5.1) (что равносильно дифференцируемости f ) означает, что плоскость (5.2) близка к графику z = f (x, y) так, что расстояние между точками графика и плоскости, соответствующими заданным (x, y), равно o().

Плоскость называется касательной плоскостью к графику функции z = f (x, y), построенной в точке (x0, y0, f (x0, y0 )).

Если функция f дифференцируема в точке x0, то из определения дифференцируемости следует, что u при h 0. Это означает, что f (x0 + h) f (x0 ) при h 0, т.е. f непрерывна в точке x0. Таким образом, дифференцируемая в x0 функция непрерывна в этой точке.

Частные производные.

Рассмотрим функцию u = f (x) = f (x1,..., xn ).

Приращение h = ( x1,..., xn ) переменной x = (x1,..., xn ) такое, что приращением переменной и обозначают xk. Приращение функции вызванное частным приращением переменной h = xk называют частным приращением функции и обозначают k f.

Если функция u = f (x) дифференцируема в точке x0, то для любого приращения h справедливо равенство Назад Величину где k f — частное приращение функции f (x1,..., xn ), соответствующее частному приращению переменной xk, называют частной производной функции f по переменной xk в точке x0 и обозначают Теорема 5.8 (Необходимое условие дифференцируемости.). Если функция n переменных u = f (x1,..., xn ) дифференцируема в точке x, то она имеет в этой точке частные производные по всем При практическом вычислении частной производной руководствуются правилами и приемами диффеxk ренцирования, сформулированными для функций одной переменной. При этом все другие переменные xi, i = k, воспринимают как постоянные.

Теорема 5.9 (Достаточное условие дифференцируемости). Если функция u = f (x1,..., xn ) имеет в окрестности точки x частные производные, k = 1,..., n, непрерывные в x, то f дифференцируема в точке x.

Назад Д о к а з а т е л ь с т в о. Для простоты проведём для случая n = 2. Для u = f (x, y) имеем Применяя к каждой из скобок теорему Лагранжа о конечных приращениях, получаем:

где 1 и 2 некоторые числа из [0, 1];

при 0, т.е. = o(). Поэтому выполнение (5.4) означает дифференцируемость f в точке (x, y).

Дифференцируемость сложной функции.

Пусть u = f (x1,..., xn ) определена на X Rn и xi = i (t), t (, ) R, i = 1,..., n. Тогда на (, ) можно определить функцию Назад Теорема 5.10. Пусть функции i дифференцируемы в точке t, а функция f дифференцируема в точке (1 (t),..., n (t)). Тогда F дифференцируема в точке t и Функция f дифференцируема, поэтому где C – ограниченная величина, то o() = o( t). Таким образом, на основании соотношения (5.6), если рассматривать u как функцию от t, u = F (t), то Это означает дифференцируемость функции F (t) и выполнение соотношения (5.5).

Назад Вычисление частной производной производят по правилу, аналогичному (5.5):

Производная по направлению.

Пусть u = f (x, y, z), (x, y, z) X R3, l = (, µ, ) — некоторый вектор, — приращение функции вдоль направления l. Производной функции u = f (x, y, z) по направлению l называют предел lim и обозначают.

Рассмотрим функцию F : t F (t) = f (x + t, y + µt, z + t). Для нее Тогда, по теореме 5.10, получаем grad u.

Назад Используя понятие градиента функции f (x, y, z) производную можно выразить через скалярное произl ведение Производная выражает скорость изменения функции u = f (x, y, z) в направлении, определяемом вектором l. Вектор grad u выражает направление и величину наибольшей скорости изменения функции.

Аналогично, для функции n переменных u = f (x1,..., xn ) можно выразить дифференциалы функции u = f (x) в виде скалярного произведения числяют формальным умножением вектора на скалярную функцию u = f (x) :

В дальнейшем увидим, что вектор удобно использовать и в других задачах.

Вычисление градиента производят по правилам дифференцирования. Если f и g – дифференцируемые функции, f, g : D Rn R, и, µ R – постоянные, то 1. grad(f + µg) = grad f + µ grad g.

3. Если h : R R – дифференцируемая функция, то grad h(f ) = h (f ) · grad f.

Назад 2.5.5 Экстремум функции Локальный экстремум Пусть функция f задана на некоторой области D, D Rn.

Точка x0 = (x0,.., x0 ) D называется точкой локального максимума функции f, если существует такая окрестность U (x0 ) точки x0, что для всех x = (x1,..., xn ) U (x0 ) выполнено неравенство Точка x0 = (x0,.., x0 ) D называется точкой локального минимума функции f, если существует такая окрестность U (x0 ) точки x0, что для всех x = (x1,..., xn ) U (x0 ) выполнено неравенство Общее название точек локального минимума и максимума – точки локального экстремума.

Пусть функция f задана на некоторой области D, D Rn.

Точка x0 = (x0,.., x0 ) D называется точкой строгого локального максимума функции f, если суn ществует такая проколотая окрестность U (x0 ) точки x0, что для всех x = (x1,..., xn ) U (x0 ) выполнено неравенство Точка x0 = (x0,.., x0 ) D называется точкой строгого локального минимума функции f, если существуn ет такая проколотая окрестность U (x0 ) точки x0, что для всех x = (x1,..., xn ) U (x0 ) выполнено неравенство Общее название точек строгого локального минимума и максимума – точки строгого локального экстремума.

Назад Необходимое условие локального экстремума. Укажем необходимое условие локального экстремума.

Теорема 5.11 (Необходимое условие локального экстремума). Если функция имеет точку локального экстремума x0 = (x0,.., x0 ) D и f дифференцируема в точке x0, то все частные производные первого порядка функции f в точке x0 равны нулю:

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что в точке x0 = (x0,.., x0 ) функция f имеет локальный экстремум.

Зафиксируем у функции f переменные x2 = x0,..., xn = x0. Получим функцию одной переменной (x1 ) = f (x1, x0.., x0 ). Из условий теоремы следует, что функция имеет в точке x0 локальный экстремум. Поэтому на основании необходимого условия экстремума функции одной переменной будет выполнено равенство Но тогда Аналогично доказывается равенство нулю первых производных функции f по остальным переменным.

Следствие 5.11.1. Если функция f дифференцируема в точке x0 = (x1, x0.., x0 ) ее локального эксn тремума, то дифференциал функции f в этой точке равен нулю Назад Точка, в которой все частные производные первого порядка функции обращаются в нуль, называется стационарной точкой этой функции.

Пример 5.9. Рассмотрим функцию f (x, y) = x2 + y 2 + 2x + 4y. Система (5.8) для этой функции имеет вид Решением системы является точка (x0, y 0 ) = (1, 2).

Выясним, является ли точка (1, 2) точкой локального экстремума. Для этого оценим приращение функции в этой точке:

Очевидно, что приращение положительно для всех x, y за исключением случая x = y = 0. Следовательно, в точке (x0, y 0 ) = (1, 2) функция f имеет локальный минимум, равный f (1, 2) = 5.

Пример 5.10. Рассмотрим функцию f (x, y) = xy. Система (5.8) для этой функции имеет вид Решением системы является точка (x0, y 0 ) = (0, 0). Выясним, является ли точка (0, 0) точкой локального экстремума. Для этого оценим приращение функции в этой точке:

Очевидно, что при x = y = 0 это приращение положительно, а при x = y = 0 – отрицательно.

Так как в любой окрестности точки (0, 0) приращение функции может менять знак в зависимости от величины приращений ее аргументов, то это означает, что исследуемая функция в точке (0, 0) не имеет ни максимума, ни минимума.

Последний пример показывает, что не все стационарные точки являются точками локального экстремума.

ного экстремума.

Теорема 5.12. Пусть функция f : D R, D Rn, дифференцируема в некоторой окрестности стационарной точки x0 = (x0,..., x0 ) D, и дважды дифференцируема в самой точке x0.

Назад Если d2 f (x0,..., x0 ) является положительно определенной квадратичной формой переменных dx1, ляется отрицательно определенной квадратичной формой, то точка x0 = (x0,..., x0 ) – точка ло- n кального максимума функции f ; если d2 f (x0,..., x0 ) – неопределенная квадратичная форма, то точка x0 = (x0,..., x0 ) не является точкой локального экстремума функции f.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Представим функцию f формулой Тейлора в окрестности U (x0 ) точки x0 = (x0,..., x0 ):

Так как x0 – стационарная точка, то df (x0,..., x0 ) = 0, поэтому достаточно малых dx1,..., dxn. Действительно, Так как то квадратичная форма Назад рассматривается на единичной сфере S, и, будучи непрерывной функцией, принимает на ней свои экстремальные значения (теорема Вейерштрасса), откуда Поэтому для любого достаточно малого.

Следовательно, если d2 f (x0,..., x0 ) является положительно определенной квадратичной формой переменn ных dx1,..., dxn, т.е. d2 f (x0,..., x0 ) > 0 при всех dx1,..., dxn, = 0, то для всех достаточно малых dx1,..., dxn, = 0. Последнее и означает, что x0 – точка локального минимума функции f.

Аналогично рассматривается случай, когда d2 f (x0,..., x0 ) является отрицательно определенной квадратичn ной формой.

Если d2 f (x0,..., x0 ) неопределенная квадратичная форма, то это означает, что существуют такие два приn ращения аргумента dx1 = (dx1,..., dx1 ) и dx2 = (dx2,..., dx2 ) при которых Рассмотрим отрезок x = x0 + tdx, 0 t 1. Тогда dxk = tdx1, k = 1,..., n. Обозначим Назад Тогда = t2 1. Поэтому при всех t (0, 1]. Поэтому при всех x = x0 + tdx1, 0 < t 1, имеем при всех достаточно малых.

Аналогично на промежутке x = x0 + tdx2, 0 < t 1, имеем максимума, а при A > 0 – точкой локального минимума.

Если же AC B 2 < 0, то точка (x0, y0 ) не является точкой локального экстремума.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Первая часть теорема следует из теоремы 5.12. Действительно, поэтому матрица этой квадратичной формы имеет вид Если выполнено условие AC B 2 > 0, то A = 0, и при A > 0 из критерия Сильвестра следует положительная определенность формы d2 f (x0, y0 ), а из A < 0 следует ее отрицательная определенность.

Пусть теперь AC B 2 < 0. Если A = 0, то на наборе (dx, dy) = (dt, 0) имеем На наборе (dx, dy) = (Bdt, Adt), dt = 0, имеем Следовательно, квадратичная форма меняет свой знак, т.е. является неопределенной, и, согласно теореме 5.12, точка (x0, y0 ) не является точкой экстремума.

Назад Аналогично рассматривается случай A = 0, C = 0.

и эта форма, очевидно, не является знакоопределенной, т.е. точка (x0, y0 ) не является точкой экстремума.

Отметим, что при AC B 2 = 0 требуются дополнительные исследования.

Пример 5.11. 1. Пусть f (x, y) = x2 + 2xy + y 2. Имеем Поэтому стационарными точками функции f являются все точки прямой y = x. Далее Поэтому стационарными точками функции f являются все точки вида (x0, 0), x0 R, т.е. все точки оси абсцисс. Далее Поэтому теорема 5.13 неприменима.

В этом случае рассмотрим разность f (x0 + x, y) f (x0, 0) = xy 3. Легко видеть, что при x > 0, y > 0 эта разность положительна, а при x > 0, y < 0 – отрицательна. Значит, ни одна из точек оси абсцисс не является точкой локального экстремума.

Назад Условный экстремум Пусть G – область в пространстве Rn+m, G = {x1,..., xn, y1,..., ym }, (x1,..., xn ) Rn, (y1,..., ym ) Rm.

Пусть заданы функция f : G R и еще m функций k : G R, k = 1,..., m. Пусть система равенств, называемых уравнениями связей, задает некоторую подобласть D G.

Точку (x0,..., x0, y1,..., ym ) D называют точкой условного локального максимума функции f, есn ли существует такая окрестность U (x0,..., x0, y1,..., ym ) G точки (x1,..., xn, y1,..., ym ), что для всех (x1,..., xn, y1,..., ym ) U D выполнено неравенство Точку (x0,..., x0, y1,..., ym ) D называют точкой условного локального минимума функции f, есn ли существует такая окрестность U (x0,..., x0, y1,..., ym ) G точки (x1,..., xn, y1,..., ym ), что для всех (x1,..., xn, y1,..., ym ) U D выполнено неравенство Сведение к безусловному экстремуму. Предположим, что функции k, k = 1,..., m, непрерывно дифференцируемы на G и ранг матрицы Якоби отображения = (1,..., m ) равен m. Не нарушая общности, считаем, Назад что для всех (x1,..., xn, y1,..., ym ) G можно разрешить относительно переменных y1,..., ym, т.е. построить такие функции что Заменив у функции f переменные y1,..., ym их значениями (5.11), получим новую функцию Теперь задача о наличии условного локального экстремума для функции f сведен к задаче о наличии обычного (безусловного) локального экстремума функции F, которая может быть решена так, как это было показано в разделе "Локальный экстремум". При этом, если (x0,..., x0 ) – точка локального экстремума функции F, то (x0,..., x0, g1 (x0,..., x0 ),..., gm (x0,..., x0 ) – точка условного локального экстремума функции f при выполнении условий связи (5.10).

Недостатком данного метода является необходимость решать систему, вообще говоря, нелинейных функциональных уравнений (5.10).

Пример 5.12. Требуется найти локальные экстремумы функции f (x, y) = x2 + y 2, при выполнения условия x + y = 1.

Назад Выразим переменную y из уравнения связи x + y = 1: y = 1 x. Подставим это значение в функцию f, получим новую функцию Стационарной точкой этой функции является корень уравнения F (x) = 0. Имеем 4x 2 = 0, откуда x0 = 1/2. Поскольку F (x0 ) = 4 > 0, то в точке x0 = 1/2 – локальный минимум функции F. Тогда точка (x0, y0 ) = (x0, 1 x0 ) = (1/2, 1/2) – точка условного локального экстремума функции f, f (1/2, 1/2) = 1/2.

Метод множителей Лагранжа. Метод, предложенный Лагранжем для нахождения условного локального экстремума не требует построения решений системы (5.10). Предположим, как и ранее, что ранг матрицы Якоби отображения = (1,..., m ) равен m, и выполнено условие (5.9). Назовем переменные x1,..., xn независимыми, а переменные y1,..., ym, которые могут быть выражены как решения системы (5.10), через x1,..., xn, – зависимыми переменными.

Рассмотрим равенство (для сокращения записей аргументы функций опускаем), которое необходимо должно быть выполнено в точке экстремума, и m равенств, полученных при дифференцировании уравнений связи

Умножим равенства последней системы на 1,..., m соответственно, сложим их и прибавим к результату равенство (5.13), получим Назад Из этого соотношения еще не следует, что все скобки должны быть равными нулю, так как переменные x1,..., xn, y1,...,ym не являются независимыми. Подберем значения 1,..., m так, чтобы Эта линейная относительно 1,..., m система всегда разрешима в силу условия (5.9). Поскольку x1,..., xn независимые переменные, то все коэффициенты при dx1,..., dxn в (5.13) также должны быть равными нулю.

Назад Поэтому система (x0,..., x0, y1,..., ym ).

Введем вспомогательную функцию называемую функцией Лагранжа, которую исследуем на безусловный экстремум.

Назад Система (5.15) в новых обозначениях принимает вид Решая эту систему, находим точки, подозрительные на экстремум.

Достаточные условия экстремума проверяются как достаточные условия локального экстремума функции L с учетом уравнений связи (5.10) (последние m уравнений системы (5.17)). Действительно, пусть (x0,..., x0, y1,..., ym ) – точка, подозрительная на экстремум. Предполагаем, что функn ции f и k, k = 1,..., m, дважды непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки (x0,..., x0, y1,..., ym ). Наличие или отсутствие экстремума у функции f зависит от того, сохраняет ли знак приращение функции при условии выполнение условий связи Назад Поэтому теперь наличие или отсутствие экстремума у функции f зависит от того, сохраняет ли знак приращение L. Следовательно, достаточно исследовать знакоопределенность квадратичной формы где (x0,..., x0, y1,..., ym, 0,..., 0 ) – решение системы (5.17). В силу условий связи, второй дифференциал функции L можно вычислять (как и в случае, когда переменные x1,..., xn, y1,..., ym независимы) по формуле Однако нам следует установить знакоопределенность квадратичной формы d2 L с учетом уравнений связи, поэтому в формулу (5.18) надо вместо дифференциалов dy1,..., dym подставить их выражения, полученные из системы (5.14).

Таким образом, алгоритм нахождение условного экстремума с помощью функции Лагранжа состоит в следующем:

1. Составляем функцию Лагранжа (5.16).

2. Записываем систему (5.17), решая которую находим точки возможного условного экстремума функции f.

3. Составляем квадратичную форму d2 L по формуле (5.18), в которую подставляем значения dy1,..., dym, полученные из системы (5.14).

4. Исследуя знакоопределенность полученной квадратичной формы переменных dx1,..., dxn, определяем являются ли найденные точки точками экстремума.

Назад 5. В особых случаях проводим дополнительные исследования найденных точек.

Пример 5.13. Найдем экстремумы функции f (x, y) = xy при наличии условия связи x2 + y 2 = 1.

Функция Лагранжа имеет вид L(x, y, ) = xy + (x2 y 2 1). Находим частные производные функции L по все ее переменным и Решая эту систему, находим четыре точки возможного экстремума Дифференцируя условия связи, получаем 2xdx + 2ydy = 0. Поэтому для точек M1, M2 имеем dy = dx, а для точек M3, M4 имеем dy = dx.

Находим по формуле (5.18) второй дифференциал функции Лагранжа:

Таким образом, с учетом связи dy и dx, получаем Следовательно, точки M1 и M2 – точки условного локального максимума, а точки M3 и M4 – точки условного локального минимума функции f (x, y) = xy.

Назад Глобальный экстремум Пусть функция f задана на некотором множестве E, E Rn.

Точка x0 = (x0,.., x0 ) D называется точкой максимума (глобального максимума) функции f на множеn стве E, если для всех x = (x1,..., xn ) E выполнено неравенство Точка x0 = (x0,.., x0 ) D называется точкой минимума (глобального минимума) функции f на множеn стве E, если для всех x = (x1,..., xn ) E выполнено неравенство Общее название точек глобального минимума и максимума – точки глобального экстремума.

Если функция f непрерывна на замкнутом ограниченном множестве E, то (теорема Вейерштрасса) она достигает на этом множестве своих минимального и максимального значений.

Предположим также, что функция f дифференцируема на E и функции, которые описывают границу E множества E, являются непрерывно дифференцируемыми функциями.

Если функция имеет внутри E конечное число стационарных точек, то для нахождения глобального экстремума функции f можно использовать следующий алгоритм.

1. Находим все стационарные точки M1,..., Mk функции f внутри множества E.

2. Находим все точки N1,..., Np возможного условного экстремума функции f при условии, что (x1,..., xn ) 3. Вычисляем значения функции f в точках M1,..., Mk и N1,..., Np.

4. Наибольшее и наименьшее значения из полученного множества и являются искомыми максимальным и минимальным значениями функции f на множестве E.

Пример 5.14. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции f (x, y) = xy на единичном круге x2 + y 2 1.

В соответствии с предложенным выше алгоритмом находим стационарные точки функции f внутри круга. Для этого вычисляем ее Назад частные производные и приравниваем их к нулю Следовательно, единственная стационарная точка внутри круга – точка M0 = (0, 0).

Найдем теперь точки возможного экстремума функции f (x, y) = xy на границе x2 + y 2 = 1 единичного круга. Эта задача была решена в примере 5.13. Таковыми точками являются точки Вычисляем теперь значения функции в найденных точках:

Таким образом, максимальное значение функции f (x, y) = xy на единичном круге x2 + y 2 1 равно 1/2, а минимальное ее значение равно 1/2.

Метод наименьших квадратов При анализе экономических процессов часто приходится решать задачу приближенного представления (аппроксимации) заданных функций другими, более простыми. Если, например, заданная функция представлена таблицей, то задача состоит в отыскании непрерывной функции какого-то определенного типа (линейной, квадратичной и т. п.), значения которой должны быть как можно более близкими к заданным.

Пусть заданы значения y1,..., ym некоторой функции F в точках x1,..., xm. Требуется построить такую функцию f (аппроксимирующую функцию), значения которой f (xk ) должны быть как можно более близкими к заданным значениям yk = F (xk ), k = 1,..., m.

Назад Разность k = yk f (xk ) называют ошибкой аппроксимации в k-й точке. В качестве меры отклонения аппроксимирующей функции от заданной выбирают некоторую функцию ошибок – функцию потерь Суммарные потери составляют величину Естественным требованием является требование, чтобы ошибкам разного знака соответствовали одинаковые потери. Такому требованию отвечают четные функции потерь. На практике наиболее часто в качестве функции потерь используют либо модуль либо простейшую квадратичную функцию Определение аппроксимирующей функции f (x) из условия минимума суммарных потерь (5.19) при квадратичной функции потерь (5.20) и составляет метод наименьших квадратов.

Как уже отмечалось, в качестве аппроксимирующих применяются функции сравнительно простого типа.

Например, линейные — f (x) = ax + b, квадратичные — f (x) = ax2 + bx + c, обратной пропорциональности – f (x) = a/x + b и некоторые другие. Величины a, b, c в этих соотношениях представляют собой параметры, подлежащие вычислению из условия минимума функции (5.19).

Тип аппроксимирующей функции f может быть или заранее задан или выбран по имеющимся табличным данным. В последнем случае можно на координатной плоскости отметить заданные точки (xk, yk ),k = 1,..., m, а затем построить кривую, по возможности наименее удаленную от этих точек, и по ее виду оценить вид функции Предположим, что в качестве аппроксимирующей задана или выбрана линейная функция f (x) = ax + b. В этом случае суммарные потери (которые можно рассматривать как функцию переменных a и b) примет вид Назад Требуется найти такие значения a и b, при которых функция P (a, b) достигает своего минимального значения.

Функция потерь в данном случае очевидно является положительно определенной и, следовательно, имеет по переменным и b единственный минимум. Поэтому, дифференцируя функцию потерь по переменным a и b и приравнивая полученные производные к нулю, получаем следующую систему уравнений для нахождения параметров a, b, минимизирующих суммарные потери (a, b):

или Решив эту систему линейных уравнений, найдем требуемые значения параметров и b.

Пример 5.15. В таблице приведены данные о росте производительности труда и снижении себестоимости продукции предприятия за 5 лет его работы по отношению к базисным данным, принимаемым за единицу:

Предполагая, что зависимость себестоимости продукции от производительности труда является линейной f (x) = ax + b, найдем коэффициенты a и b этой функции, применяя метод наименьших квадратов.

Для нахождения коэффициентов системы (5.21) составляем следующую таблицу:

Назад Следовательно, система (5.21) принимает вид Решая эту систему, находим a 0, 59, b = 1, 59.

Таким образом, функция, аппроксимирующая зависимость себестоимости продукции от производительности труда на предприятии в течение рассматриваемого пятилетия, имеет вид: f (x) = 0, 59x + 1, 59.

Для нахождения величины потерь составляем таблицу:

Значит, значение функции потерь при найденных a = 0.59 и b = 1, 59 равно 0, 00030502.

Производные высших порядков.

На X Rn рассмотрим функцию Частную производную функции fxk (x) = по переменной xl называют частной производной второго порядка функции f по переменным xk и xl и обозначают Назад Если k = l, то используют обозначение Частные производные более высоких порядков могут быть индуктивно определены аналогичным образом:

(Здесь, возможно, ki = kj для некоторых i, j).

Частная производная от частной производной порядка k 1, k = 2, 3,..., называется частной производной k-ого порядка. Частная производная, полученная дифференцированием по различным переменным, называется смешанной частной производной.

Функцию f (x1,..., xn ) называют k раз дифференцируемой в x0, если все частные производные порядка k этой функции дифференцируемы в точке x0.

Заметим, что в рассмотренном примере uxy = uyx. Следующий пример показывает, что так бывает не всегда.

Для этой функции при (x, y) = (0, 0) имеем:

Назад В точке (0, 0) производные вычисляем по определению.

т.е. fxy (0, 0) = fyx (0, 0).

Условия равенства смешанных производных дает Теорема 5.14 (Шварца). Пусть функция u = f (x) имеет в окрестности точки x0 производные fxk, fxl, fxk xl, fxl xk. Если смешанные производные fxk xl и fxl xk непрерывны в точке x0, то fxk xl (x0 ) = fxl xk (x0 ).

Аналогично можно сформулировать достаточные условия равенства смешанных производных более высоких порядков.

Дифференциалы высших порядков.

Пусть функция u = f (x1,..., xn ) имеет в области X Rn непрерывные частные производные первого порядка.

Тогда по теореме 5.9 она дифференцируема, а по теореме (5.8) ее дифференциал имеет вид где dx1,..., dxn — произвольные приращения независимых переменных x1,..., xn. Таким образом, дифференциал du также является некоторой функцией от x1,..., xn. Если функция u = f (x) имеет непрерывные частные производные второго порядка, то du будет иметь непрерывные частные производные первого порядка и, следовательно, будет дифференцируема. Дифференциал d(du) называется дифференциалом второго порядка и обозначается d2 u. При этом приращения dx1,..., dxn рассматриваются как постоянные и остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему.

Назад Дифференциалы более высоких порядков могут быть индуктивно определены аналогичным образом.

Дифференциалом k-ого порядка называется дифференциал от дифференциала k 1-порядка: dk u = d(dk1 u), k = 2, 3,....

Кроме того, принято считать, что d0 u = u.

Рассмотрим функцию двух переменных u = f (x, y). Тогда Если x и y являются независимыми переменными, а не промежуточными функциями, то d2 x = d2 y = 0 и формула для d2 u упрощается. Если к тому же выполнены условия теоремы Шварца, то Если обозначить через d оператор дифференцирования то дифференциал d2 u может быть записан следующим образом:

При сделанных предположениях дифференциал dm u можно вычислить аналогично:

Назад Например, Аналогично, для функции n переменных u = f (x1,...xn ) можно ввести оператор и тогда при условии, что x1,..., xn – независимые переменные. Однако, и в случае, когда x1,..., xn являются линейными функциями от независимых переменных t1,..., tp, это правило сохраняется.

Заметим, что при вычислении дифференциалов использовано одно и то же приращение h переменной x.

Поэтому, например, d2 u представляет собой квадратичную форму относительно приращений независимых переменных dx1,..., dxn. Матрицей этой квадратичной формы является матрица При выполнении условий теоремы Шварца матрица A симметрична.

Формула Тейлора.

Рассмотрим функцию двух переменных u = f (x, y), которая m + 1 раз непрерывно дифференцируема в окрестности точки (x, y). Для заданных x, y построим функцию Назад Тогда F (1) F (0) = u. Функция F непрерывно дифференцируема m + 1 раз и для неё Аналогично, Для F в окрестности точки t = 0 запишем формулу Тейлора Подставляя выражения для F (k) (0), при t = 1 получаем формулу Тейлора для функции u = f (x, y) Последнее слагаемое Rm (x, y) = Используя оператор дифференцирования d = x dx + y dy и то, что формулу Тейлора можно записать в виде Все приведенные выше рассуждения могут быть проведены для функции n переменных u = f (x). Полученная при этом формула Тейлора также имеет вид (5.22).

Назад 2.6.1. Функции, определяемые уравнением.

2.6.2. Теорема о неявной функции.

x x 2.6.1. Функции, определяемые уравнением.

Назад 2.6.1 Функции, определяемые уравнением.

Зависимость переменной xi от других переменных xk, k = i, k = 1,..., n, может быть задана уравнением Функции, определяемые уравнением вида F (x1,.., xn ) = 0, называются неявно заданными функциями (коротко — неявными) В ряде случаев уравнение F (x1,.., xn ) = 0 можно разрешить относительно xi, т.е. найти явное выражение такой зависимости Такое выражение может оказаться неединственным. Например, из уравнения получаем два различных выражения задающие зависимость y от x на интервале [1, 1]. В других случаях даже такое неоднозначное разрешение невозможно.

При рассмотрении функций, определяемых уравнением F (x1,.., xn ) = 0, важно знать, какими аналитическими свойствами должны обладать функции-решения. Например, простейшее уравнение x2 y 2 = 0 определяет бесконечное множество функций вида y = x, y = |x|, y = |x|. Дифференцируемых на R функций, определяемых заданным уравнением, только две: y = x, y = x.

Наконец, существует только одна дифференцируемая функция, определяемая этим уравнением и удовлетворяющая условию y(1) = 1. Это функция y = x.

Назад 2.6.2 Теорема о неявной функции.

Рассмотрим уравнение Теорема 6.1. Пусть F определена в области D R2 имеет непрерывные частные производные Fx, Fy. Если точка (x0, y0 ) D такая, что F (x0, y0 ) = 0, Fy (x0, y0 ) = 0, то существует интервал I, содержащий x0, на котором уравнение F (x, y) = 0 определяет единственную дифференцируемую функцию f : I R, f : x y = f (x), такую, что Д о к а з а т е л ь с т в о. Для определённости полагаем, что Fy (x0, y0 ) > 0. В силу непрерывности будет Fy (x, y) > 0 и в некоторой окрестности U точки (x0, y0 ). Так как Fy (x0, y0 ) > 0, то F (x0, y) строго возрастает и найдется h > 0 такая, что Из теоремы о сохранении знака следует, что существует интервал I = [x0, x0 + ] такой, что x I F (x, y0 h) < 0, F (x, y0 + h) > 0. По теореме о промежуточном значении y [y0 h, y0 + h], y = y(x), такое, что F (x, y) = 0, причем в силу строгой монотонности F (x, y) по переменной y при фиксированном x, существует только одно такое значение y = y(x).

Таким образом, определена единственная функция такая, что F (x, y) = F (x, y(x)) = 0, x I.

Зададим любое > 0. Если взять h, то x I |y(x) y0 |, т.е. y = y(x) непрерывна в точке x0.

В наших рассуждениях вместо точки (x0, y0 ) можно взять любую точку (x, y(x)), x I. Поэтому функция y(x) непрерывна на I.

Докажем дифференцируемость функции y(x). По формуле Тейлора Назад Откуда при т.е. функция y = y(x), дифференцируема и При практическом вычислении производных неявной функции дифференцируют уравнение F (x, y) = 0 по переменной x, считая, что y = y(x).

Для вычисления y (x) дифференцируют по x уравнение (6.3).

Подставляют y (x) и вычисляют y (x). И т.д.

Похожими рассуждениями доказывается теорема о неявной функции нескольких переменных, определяемой уравнением F (x1,.., xn ) = 0.

Теорема 6.2. Пусть F определена в области D Rn и имеет непрерывные частные производные Fxi, i = 1,..., n. Если точка x0 D такая, что F (x0 ) = 0, Fxn (x0 ) = 0, то существует окрестность U точки (x0,..., x0 ) Rn1, в которой уравнение F (x1,.., xn ) = 0 определяет единственную диффеn ренцируемую функцию Назад такую, что Частные производные fxk функции f можно найти, дифференцируя уравнение F (x1,.., xn ) = 0 по переменной xk, считая, что xn является функцией от xk.

Откуда Если F (x) имеет непрерывные производные до порядка k включительно, то функция xn = f (x1,...xn1 ) имеет непрерывные частные производные до порядка k включительно. Зная их и используя формулу Тейлора, можно построить приближенно функцию xn = f (x1,..., xn1 ) Здесь все производные вычислены в точке (x0,..., x0 ).

x x 2.7. Векторные функции нескольких переменных Назад 2.7.1. Функция и предел.

2.7.2. Непрерывность функции.

2.7.3. Линейные функции.

2.7.4. Дифференцируемость.

Назад 2.7.1 Функция и предел.

В этом разделе точки из Rk будет удобно записывать как векторы-столбцы.

Отображение f : D Rn Rm, называют векторной функцией n переменных x1,..., xn. Задание такой функции равносильно заданию m функций называемых компонентами функции f, т.е. f = (fi,..., fm ).

Пусть a – предельная точка множества D Rn. Точку b Rm называют пределом функции f : D Rm при x a, если где dn и dm – расстояния в Rn и Rm соответственно, определенные независимо.

Если обозначить расстояние d(u, v) = |u v|, то определение предела можно записать так же, как для функции f : R R Обозначения обычные : lim f (x) = b или f (x) b при x a.

Теорема 7.1 (Основной критерий сходимости). Пусть Тогда Назад Доказательство теоремы аналогично доказательстве основного критерия сходимости последовательности.

Пример 7.1.

Назад 2.7.2 Непрерывность функции.

Функцию f : D Rn Rm называют непрерывной в точке x0, если lim0 f (x) = f (x0 ), то есть если Теорема 7.2. Функция f = (f1,..., fm ) непрерывна в точке x0 тогда и только тогда, когда все ее компоненты f1,..., fm непрерывны в x0.

Доказательство следует из определения непрерывности и теоремы 7. Теорема 7.2 позволяет перенести на векторные функции многие свойства функций с числовыми значениями.

В частности, справедливы следующие утверждения.

Теорема 7.3. Арифметическая комбинация непрерывных функций непрерывна всюду, где она определена.

Теорема 7.4. Непрерывная на компакте функция ограничена.

Теорема 7.5 (Вейерштрасса для функций нескольких переменных). Функция f : D R, непрерывная на компакте D Rn, достигает на D своего наибольшего и наименьшего значения.

И в общем случае имеют смысл также аналоги теоремы о достижении экстремальных значений, теоремы о промежуточном значении, но формулировки усложняются, так как значения функций – векторы.

Пусть f : A Rn B Rm, g : B C Rp. Композицией отображений g и f называется отображение Теорема 7.6. Если f непрерывна в точке x0 A, g непрерывна в точке y 0 = f (x0 ) B, то h = g f Назад непрерывна в точке x0.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Зададим произвольное > 0. Так как g непрерывна в y 0, то такое, что Поскольку f непрерывна в точке x0, то такое, что Значит h = g f непрерывна в x0.

Назад 2.7.3 Линейные функции.

Функцию f : Rn Rm называют линейной, если Задание линейной функции равносильно заданию матрицы A этой линейной функции в некоторых базисах пространств Rn и Rm. Будем использовать канонические базисы. Матрица функции f имеет размеры m n.

Если A известна, то f (x) = Ax.

Если f : Rn Rm, g : Rm Rp – линейные функции, A и B – их матрицы, то композиция h = g f :

Rn Rp – линейная функция с матрицей C = B · A.

ции f, то k-я строка матрицы A является матрицей линейной функции fk, поэтому fk (x) = fk (x1,..., xn ) = ak1 x1 + ak2 x2 +... + akn xn.

Теорема 7.7. Линейная функция f : Rn Rm непрерывна в Rn.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Все функции fk, k = 1,..., m, непрерывны. На основании теоремы 7.2 f также непрерывна.

Пусть a = max|ai,j |. Тогда Поэтому Назад т.е. для линейной функции f существует постоянная M такая, что Назад 2.7.4 Дифференцируемость.

Функцию f, определенная в области D Rn со значениями в Rm, называется дифференцируемой в точке a D, если существует mn- матрица A такая, что приращение функции f (a+h)f (a) в точке a, вызванное приращением аргумента h = ( x1,..., xn )T = (dx1,..., dxn )T, представимо в виде Линейную функцию : x Ax называют производной функции f в точке a и обозначают Dfa. Значение этой функции (h) = Ah в точке h = ( x1,..., xn )T = (dx1,..., dxn )T называют дифференциалом функции f в точке a и обозначают df (a), то есть df (a) = Dfa (h).

Матрицу производной функции f : Rn Rm в точке a называют матрицей Якоби функции f в точке a и обозначают ее f (a).

Таким образом, Дифференцируемость функции f в точке a означает, что все компоненты f1,..., fm дифференцируемы в этой точке. Поскольку = (1,..., m )T, то, учитывая структуру матрицы линейной функции, можно утверждать, что k-я строка матрицы Якоби f (a) является матрицей линейной функции k : Rn R, которая является производной fk.

Теорема 7.8. Матрица Якоби функции f = (f1,..., fm )T имеет вид где все производные вычислены в точке a.

Назад Д о к а з а т е л ь с т в о. Дифференцируемость функции fk : Rn R означает, что существует линейная функция Значит, матрицей функции k является матрица-строка Отсюда следует утверждение теоремы.

Теорема 7.9. Если f дифференцируема в точке a и g дифференцируема в точке b = f (a), то h = g f дифференцируема в точке a, причем Назад По теореме 7.9 для h = g f имеем Вычислим h (a) непосредственно.

h(x, y) = g(f (x, y)) = ((x + y)(x y)xy, (x + y) + (x y) 2xy)T = (x3 y xy 3, 2x 2xy)T.

т.е. результаты вычислений разными способами совпадают.

Назад 2.8.1. Площадь фигуры.

2.8.2. Объем тела.

Назад 2.8.1 Площадь фигуры.

Рассмотрим множество точек плоскости R2. Фигурой будем называть любое подмножество множества R2.

Множество P = [a, b] [c, d] R2 является прямоугольником. Площадь прямоугольника P равна Элементарной фигурой D R2 назовем фигуру, составленную из конечного числа прямоугольников, каждые два из которых не имеют общих внутренних точек.

Площадь элементарной фигуры равна сумме площадей прямоугольников, составляющих эту фигуру, Элементарные фигуры D и D называют, соответственно, вписанной и описанной для фигуры F, если Число S, равное супремуму площадей элементарных фигур, вписанных в фигуру F, называют внутренней площадью фигуры F :

Аналогично, S = inf {SD } – внешняя площадь фигуры F.

Фигура F R2 называется квадрируемой, если ее внешняя S и внутренняя S площади равны. При этом число S = S = S называется площадью фигуры F.

Граница фигуры F содержится в элементарной фигуре S \S. Поэтому F квадрируема тогда и только тогда, когда площадь границы F равна нулю.

Назад 2.8.2 Объем тела.

Рассмотрим множество точек пространства R3. Телом будем называть любое подмножество множества R3.

Множество P = [a, b] [c, d] [g, h] R3 является прямоугольным параллелепипедом (коротко – параллелепипедом). Объем параллелепипеда P равен Элементарным телом D R3 назовем тело, составленное из конечного числа параллелепипедов, каждые два из которых не имеют общих внутренних точек.

Объем элементарного тела равна сумме объемов параллелепипедов, составляющих это тело, Элементарные тела D и D называют, соответственно, вписанным и описанным для тела F, если Число V, равное супремуму объемов элементарных тел, вписанных в тело F, называют внутренним объемом тела F :

Аналогично, V = inf {VD } – внешний объемом тела F.

Тело F R3 называется кубируемым, если его внешний V и внутренний V объемы равны. При этом число V = V = V называется объемом тела F.

Тело F кубируемо тогда и только тогда, когда объем границы F равен нулю.

Аналогичным образом определяют объем n-мерных тел, т.е. множеств F Rn.

Любое подмножество множества Rn будем называть n-мерным телом.

Назад Множество P = [a1, b1 ] [a2, b2 ]... [an, bn ] Rn называют n-мерным параллелепипедом. Объемом n-мерного параллелепипеда P называется число VP = n-мерное тело D называется элементарным, если оно состоит из конечного числа n-мерных параллелепипедов Pk, k = 1,..., m, каждые два из которых не имеют общих внутренних точек. Объем элементарного n-мерного тела D определяется как сумма объемов параллелепипедов Pk :

Элементарные тела D и D называют вписанным и описанным для тела F, если Внутренний V и внешний V объемы n-мерного тела F определяются формулами где D и D — вписанное и описанное для тела F элементарные тела.

Число V = V = V (если оно существует) называют объемом n-мерного тела F.

Назад 2.9.1. Определение двойного интеграла.

2.9.2. Свойства двойного интеграла.

2.9.3. Сведение двойного интеграла к повторному.

2.9.4. Замена переменных в двойном интеграле 2.9.1 Определение двойного интеграла.

Пусть D квадрируемое подмножество пространства R2, имеющее площадь S.

Разбиением множества D Rn будем называть конечную совокупность = {D1,..., Dk } непересекающихся множеств Di D, таких, что Di = D. Диаметром разбиения называется число = max i, где i — диаметр множества Di.

Пусть D R2, = {D1,..., Dk } — разбиение множества D, — диаметр разбиения, (i, i ) — промежуточная точка множества Di, Si — площадь Di. Функция f (x, y), определенная на D, называется интегрируемой на D, если существует конечный предел интегральных сумм При этом сам предел I называют двойным интегралом (коротко — интегралом) от f на D и обозначают Интегрируемость f на D означает, что > 0 > 0 такое, что для любого разбиения {Di }, i = 1,..., k, с диаметром при любом выборе промежуточных точек (i, i ) Di, i = 1,..., k, справедливо неравенство:

Пример 9.1. Постоянная на D функция, f (x, y) = c, (x, y) D является интегрируемой на D. Для нее Назад Если f интегрируема на D, то для вычисления интеграла можно взять последовательность разбиений (любую) с диаметрами n 0 и построить последовательность интегральных сумм n. Тогда f (x, y)dxdy = lim n, причём промежуточные точки можно брать любыми.

Заметим, что для неограниченной на D функции f сумму за счёт выбора промежуточных точек можно сделать как угодно большой (по модулю). Поэтому неравенство (??) не будет выполнено ни при каком I R, следовательно f не будет интегрируемой на D. Таким образом, ограниченность функции на D является необходимым условием интегрируемости.

Выделим основные классы интегрируемых функций.

1) Непрерывные на компакте D функции.

2) Ограниченные функции, непрерывные всюду на D за исключением точек множества L D, площадь которого равна нулю.

3) Ограниченные в области D функции, интегрируемые на любом компакте C D.

4) Произведение интегрируемых функций.

Назад 2.9.2 Свойства двойного интеграла.

Двойной интеграл обладает основными свойствами, присущими определённому интегралу.

Линейность.

Теорема 9.1. Если f и g — интегрируемые функции, то линейная комбинация f + g также интегрируема и Д о к а з а т е л ь с т в о. Для интегральных сумм имеет место равенство Переходя к пределу при 0, получим необходимое утверждение. Существование предела слева обеспечивается существованием предела в правой части, что, в свою очередь, вытекает из интегрируемости функций f и g.

Монотонность.

Теорема 9.2. Если функции f и g интегрируемы на D и f (x, y) Д о к а з а т е л ь с т в о. Для интегральных сумм имеет место неравенство Назад Переходя к пределу при 0, получим необходимое утверждение.

Основные оценки интеграла.

Неравенство (9.1) получается в частном случае из свойства монотонности с использованием постоянных функций, принимающих значения a или A на D. Если m = inf f (x, y), M = supf (x, y), то из (9.1) получаем Аддитивность.

Теорема 9.3. Пусть множество D разбито на две части D1 и D2, не имеющие общих внутренних точек.

Если f интегрируема на D1 и на D2, то f интегрируема на D. Обратно, если f интегрируема на D, то она интегрируема также на D1 и на D2. При этом Назад Д о к а з а т е л ь с т в о. Разбиение множеств D1 и D2 порождает разбиение D, при этом для соответствующих интегральных сумм будем иметь Переходя к пределу при 0, получим необходимое утверждение.

Теорема о среднем.

Теорема 9.4. Если f непрерывна на компакте D, то (u, v) D такая, что Д о к а з а т е л ь с т в о. Если площадь S компакта D равна нулю, то (9.3) очевидно. Пусть S = 0. Тогда из оценки (??) получаем Так как f непрерывна и D — компакт, то f принимает значения m и M в точках из D, а, значит, принимает и промежуточное значение µ = S Отсюда сразу следует (9.3).

Назад 2.9.3 Сведение двойного интеграла к повторному.

Рассмотрим функцию f (x, y), интегрируемую в квадрируемой области D.

Тогда Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмём > 0 и выберем > 0 так, чтобы для любой интегральной суммы, построенной на разбиении с диаметром выполнялось неравенство Разобьём [a, b ] точками xk, max xk = и построим интегральную сумму Так как F (k ) = f (k, y)dy, то для каждого k отрезок [c, d ] можно разбить точками yki, i = 0,..., mk, так, что интеграл F (k ) отличается от соответствующей интегральной суммы не больше, чем на, т.е.

на xk и просуммируем по k:

Назад В этом неравенстве суммы = f (k, yi )xk yki слева и справа является интегральными суммами для Поэтому, если < 2, то т.е. lim S = I. С другой стороны Множество D R2 называется выпуклым вдоль оси 0y, если любой отрезок, параллельный Oy, концы которого принадлежат D, целиком лежит в D. Это равносильно тому, что пересечение любой прямой, параллельная Oy, с границей множества D либо является отрезком, либо содержит не более двух точек.

Область D R2, ограниченную прямыми x = a, x = b, (a < b), снизу кривой y = y1 (x), сверху кривой y = y2 (x) будем называть криволинейной трапецией.

Теорема 9.6. Пусть D Rn — криволинейная трапеция, ограниченная прямыми x = a, x = b, (a < b), снизу кривой y = y1 (x), сверху кривой y = y2 (x) Если при x [a, b] существует F (x) = Назад и рассмотрим прямоугольник D = [a, b ] [c, d ]. Обозначим D0 = D \D и определим функцию f : D R, Функция f интегрируема на D, т.к. она интегрируема на D (там она совпадает с f ) и на D0 (там она постоянная). Используя аддитивность интеграла, имеем или Замечание 9.1. Если D ограничена прямыми y = c, y = d, (c < d) и кривыми x = x1 (y), x = x2 (y) (x = x1 (y) x = x2 (y), x [c, d ]), то Для произвольного множества D используют свойство аддитивности двойного интеграла, разбивая D на части Dk, k = 1,..., l, так, чтобы на каждой Dk можно было использовать теорему 9.6 или замечание 9.1.

x x 2.9.3. Сведение двойного интеграла к повторному.

Назад Назад 2.9.4 Замена переменных в двойном интеграле Преобразование фигуры.

Пусть функции взаимно однозначно отображают компакт R2 на компакт D R2 и имеют непрерывные частные производные по всем своим переменным. Рассмотрим в прямоугольник P1 P2 P3 P4, вершины которого имеют координаты Площадь этого прямоугольника равна u v. Функции (9.5) отображают прямоугольник P1 P2 P3 P4 на некоторый криволинейный четырехугольник M1 M2 M3 M4, где Mi имеют координаты Mi (x(Pi ), y(Pi )):

Если при вычислении координат точек Mi ограничиться членами первого порядка относительно приращений u, v, то получим точки Mi, близкие к Mi, M1 M2 M3 M4 – параллелограмм, площадь которого s равна модулю определителя, Назад Пусть функции xk = xk (u1,..., un ), k = 1,..., n, определены в области частные производные первого порядка по всем своим переменным. Тогда определитель называется определителем Якоби или якобианом функций xk, k = 1,..., n, где J(u, v) — якобиан функций x(u, v) и y(u, v).

Поскольку = uv — площадь P1 P2 P3 P4, то получаем Якобиан J(u, v) непрерывен, поэтому равенство можно сделать точным за счет выбора точки (u, v ), близкой к (u, v) так, что Соотношение (9.6) означает, что |J(u, v )| является коэффициентом растяжения площади при отображении множества на D, заданном функциями (9.5).

Назад Замена переменных.

Теорема 9.7. Пусть на компакте D Rn задана непрерывная функция f (x, y) и пусть функции имеющие непрерывные производные по u и v, взаимно однозначно отображают компакт R2 на компакт D R2. Тогда Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем разбиение {Dk }, k = 1,..., n, множества D с диаметром. При этом функции (9.7) определяют разбиение k множества с диаметром. Поскольку функции (9.7) непрерывны, то 0 при 0. Построим интегральную сумму и для каждой sk используем (9.6). Так как отображение (??) – биекция, то для Тогда Поскольку f интегрируема на D, то при построении интегральных сумм с последующим переходом к пределу при 0 промежуточные точки можно выбирать произвольно. Поэтому возьмем (k, k ) так, чтобы k = x(u, vk ), k = y(uk, vk ). Тогда Назад Переходя к пределу при 0, получим необходимое утверждение. Существование пределов и их равенство соответствующим интегралам обеспечивается тем, что подынтегральные функции непрерывны на D и соответственно.

Замечание 9.2. Теорема будет справедлива и при более общих предположениях относительно функции f : достаточно потребовать, чтобы f была интегрируемой на D.

Переход к полярным координатам.

Связь между декартовыми координатами (x, y) точки и ее полярными координатами (, ) задается формулами При замене переменных в f (x, y)dxdy якобиан J(, ) равен Поэтому, если (9.8) отображают биективно D на, получаем Назад Интеграл Пуассона.

Предположим, что на множестве D распределена масса с плотностью = (x, y). Тогда элементарная масса, т.е. масса, распределенная на элементе Dk множества D имеет значение где (k, k ) – некоторая точка из Dk, sk – площадь Dk. Тогда масса на D равна Если считать, что функция (x, y) непрерывна, то, переходя к пределу при 0, получим равна Назад Так как ma < µa < ma2, то диаметром при любом выборе промежуточных точек (i, i, i ) Ti, i = 1,..., k, справедливо неравенство:

Тройной интеграл изучают и используют по аналогии с двойным.

Необходимое условие интегрируемости. Если f интегрируема на T, то она ограничена на T.

Основные классы интегрируемых функций.

1) Непрерывные на компакте множестве функции.

2) Функции, непрерывные всюду на компакте множестве, за исключением множества L, объём которого равен нулю. В точках множества L допускаются разрывы I рода.

3) Ограниченные в области T и интегрируемые на любом компакте D T функции.

4) Произведение интегрируемых функций.

Назад 2.10.2 Свойства тройного интеграла.

Линейность.

Если f и g интегрируемы на T, то Монотонность.

Если f и g интегрируемы на T и f (x, y, z) Основные оценки.

Если m = inf f (x, y, z), M = sup f (x, y, z), то Назад Аддитивность.

Пусть T = T1 T2, причём T1 и T2 не имеют общих внутренних точек. Если f интегрируема на T1 и на T2, то Теорема о среднем.

Если f непрерывна на компакте T, то (u, v, w) T такая, что x x 2.10.3. Сведение тройного интеграла к повторному.

Назад 2.10.3 Сведение тройного интеграла к повторному.

Рассмотрим функцию f (x, y, z), интегрируемую на теле T, и пусть [a, b] — проекция T на ось Ox. Обозначим S(x) — сечение T плоскостью, проходящей через точку (x, 0, 0) параллельно плоскости Oyz, D(x) – проекция S(x) на плоскость Oyz. Если при любом x [a, b] функция f (x, y, z) интегрируема на D(x) R2, т.е. существует f (x, y, z)dydz, то D(x) Можно получить аналогичные формулы сведения тройного интеграла к повторному, рассматривая проекции тела не на Ox, а на оси Oy или Oz.

Сведение тройного интеграла к повторному может быть проведено по другой схеме.

Пусть f интегрируема на T, выпуклом вдоль оси Oz, и D – проекция T на плоскость Oxy. Выпуклость вдоль Oz означает, что при (x, y) D R2 пересечение прямой, проходящей через эту точку параллельно Oz с границей T, либо является отрезком, либо состоит не более, чем из двух точек z1 = z1 (x, y) и z2 = z2 (x, y), z1 < z2. Тогда Можно получить аналоги формулы (10.2), взяв за основу проекцию T на плоскость Oyz или на Oxz.

Пример 10.1. Вычислим объём V эллипсоида T :

По формуле (10.1) x x 2.10.3. Сведение тройного интеграла к повторному.

Назад Назад 2.10.4 Замена переменных.

взаимно однозначно отображают компакт R3 на компакт D R3 и имеют непрерывные частные призводные по всем своим переменным. Тогда где J(u, v, w) — якобиан системы функций (10.3). Формула (10.4) даёт правило замены переменных в тройном интеграле. При этом величина |J(u, v, w)| представляет собой коэффициент растяжения в точке (u, v, w) при отображении на D, осуществляемом функциями (10.3).

Декартовы координаты (x, y, z) произвольной точки пространства связаны с её цилиндрическими координатами (,, z) формулами Декартовы координаты (x, y, z) точки связаны с её сферическими координатами (r,, ) формулами Пример 10.2. Плотность шара T : x2 + y 2 + z 2 a2, зависит от координат точки, = (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2. Вычислим массу m шара. Масса элемента Tk шара равна mk = (k, k, k ) Vk. Суммируя элементарные массы mk и переходя к пределу, получим Назад В нашем случае, используя для вычисления интеграла переход к сферическим координатам, получаем Назад 2.11.1. Основные понятия.

2.11.2. Сведение к повторному интегралу.

2.11.3. Замена переменных.

Назад 2.11.1 Основные понятия.

Пусть T — подмножество пространства Rn, имеющее объем V.

Пусть T Rn, = {T1,..., Tk } — разбиение множества T, — диаметр разбиения, ti — промежуточная точка множества Ti, Vi — объем Ti. Функция n переменных f : T R, f (x1,..., xn ) = f (x), определенная на T, называется интегрируемой на T, если существует конечный предел интегральных сумм При этом сам предел I называют n–кратным интегралом (коротко — интегралом) от f на T и обозначают Интегрируемость f на T означает, что > 0 > 0 такое, что для любого разбиения {Ti }, i = 1,..., k, с диаметром при любом выборе промежуточных точек ti Ti, i = 1,..., k, справедливо неравенство:

Для n-кратного интеграла справедливы все свойства, сформулированные для двойного и тройного интеграла: линейность, аддитивность, монотонность, основные оценки, теорема о среднем. Необходимым условием интегрируемости функции на T является её ограниченность на T.

Перечислим основные классы интегрируемых функций.

1) Непрерывные на компакте множестве функции.

2) Ограниченные на T и непрерывные всюду, кроме множества L, объём которого равен нулю.

3) Произведение интегрируемых функций.

Назад 2.11.2 Сведение к повторному интегралу.

Практическое вычисление n-кратных интегралов осуществляется путем сведения такого интеграла к повторному. Пусть область T Rn выпукла вдоль оси Ox1 и D — проекция T на гиперплоскость Ox2 x3... xn.

Тогда каждая прямая, параллельная Ox1, либо имеет с границей T общий отрезок ненулевой длины, либо пересекает границу T не более, чем в двух точках, проекции которых на ось Ox1 равны 1 (x2,..., xn ) и Пусть функция f интегрируема на T и при (x2,..., xn ) T существует интеграл Аналогичные формулы могут быть получены для тела, ориентированного вдоль любой другой оси Oxi, i = Назад 2,..., n.

Назад 2.11.3 Замена переменных.

Пусть фнкции xk = xk (u1,..., un ), k = 1,..., n, задают взаимно-однозначное отображение области Rn на область D Rn и имеют непрерывные частные производные первого порядка по всем своим переменным.

где J(u1,..., un ) — якобиан функций xk = xk (u1,..., un ), k = 1,..., n,.

Пример 11.2. Найдём объём четырёхмерного шара Назад Замечание 11.1. При n = 3 формулы (11.1) имеют вид Здесь r - длина радиуса-вектора точки ;

1 – угол между радиусом-вектором и осью Ox1, 2 – угол между плоскостью Ox1 x2 и плоскостью, проходящей через точку и ось Ox1.

Назад 2.12.1. Кривая.

2.12.2. Длина кривой.

2.12.3. Поверхность.

2.12.4. Касательная плоскость и нормаль.

2.12.5. Односторонние и двусторонние поверхности.

2.12.6. Площадь поверхности.

2.12.7. Первая квадратичная форма поверхности.

2.12.8. Использование первой квадратичной формы.

Назад Дугой в Rn называют дифференцируемую функцию : [ a, b ] R Rn.

Дугу : [ a, b ] Rn называют гладкой или регулярной, если (t) = 0, t (a, b).

Кривой называют конечное множество дуг i, i : [ ai, bi ] Rn, i = 1,..., m, таких, что Кривую называют замкнутой, если m (bm ) = 1 (a1 ).

Кривую называют кусочно-гладкой, если она состоит из гладких дуг.

Если кривая состоит из нескольких дуг, то в точках "склеивания"дуг дифференцируемости может не быть, склеивание может быть не гладким.

При n = 2 или n = 3 введённые понятия допускают понятную геометрическую иллюстрацию.

Пример 12.1. Функция задаёт параметрически окружность (x, y) = 1 (t) это вектор для (x, y) = 2 (t) это вектор Назад При параметризации 2 вектор 2 (t) в 2 раз длиннее, чем 1 (t). Это значит, что при параметризации 2 окружность пробегается в 2 раз быстрее, чем при параметризации 1. При параметризации 3 вектор 3 (t) имеет переменную длину, следовательно точка (x, y) пробегает окружность с переменной линейной скоростью.

Назад 2.12.2 Длина кривой.

Рассмотрим дугу Разбиение отрезка [a, b] точками = tk tk1, = max tk. Величина |(tk ) (tk1 )| представляет собой длину хорды с концами в точках (tk1 ) и (tk ). Сумма – длина ломаной, вписанной в дугу. Используя теорему Лагранжа о конечных приращениях, получаем где k – некоторая точка из [tk1, tk ]. Поэтому Вектор (t) является касательным вектором к дуге в точке (t). Величина |(k )| tk – отрезок касательной, проведённой к дуге в точке (k ).

При уменьшении упомянутая ломаная приближается к дуге. Естественно назвать длиной дуги предел суммы при 0. Таким образом, длиной дуги : [a, b] R3 называют Назад В общем случае длину дуги : [a, b] Rn определяют аналогично.

Длиной дуги : [a, b] Rn называют величину Длиной кривой, состоящей из дуг 1,..., n, называют сумму длин этих дуг.

Пример 12.2. Вычислим длину окружности x2 + y 2 = 1, используя рассмотренные в примере 12.1 варианты параметризации. При параметризации При параметризации Можно показать, что длина дуги, а, значит и длина кривой является характеристикой дуги, связанной с геометрическим образом этой дуги и не зависит от способа задания дуги, т.е. от её параметризации.

Назад 2.12.3 Поверхность.

Пусть в области D R2 определены функции Рассмотрим отображение r = r(u, v), Значение функции r(u, v) можно рассматривать как точку в R3 или как радиус-вектор этой точки. Нам удобнее использовать радиусы-векторы и обозначать такие функции как векторы.

Параметрически заданной поверхностью называют множество точек пространства R3, являющееся образом непрерывного отображения то есть множество = {r(u, v), u, v D}. При этом само отображение r(u, v) называют параметрическим представлением поверхности.

задают сферу радиуса 1 с центром в точке O(0, 0, 0).

Параметрически заданная поверхность называется гладкой, если функции x(u, v), y(u, v) и z(u, v) ее параметрического представления непрерывны и имеют непрерывные производные в D.

Назад Мы будем рассматривать гладкие поверхности r(u, v), для которых матрица Якоби имеет ранг 2 в любой точке из D.

Пусть уравнение r = r(u, v) задаёт некоторую поверхность. Зафиксируем параметр v = v0. Получим уравнение которое задаёт некоторую кривую lv0, причём lv0. Аналогично, фиксируя u = u0, получим линию lu0, Линии lv0 и lu0, заданные уравнениями называют координатными линиями на поверхности Через любую точку M0 (x0, y0 z0 ) поверхности, x0 = x(u0, v0 ), y0 = y(u0, v0 ), z0 = z(u0, v0 ), проходят две координатные линии lv0 и lu0.

Совокупность координатных линий на поверхности называют координатной сетью.

Назад 2.12.4 Касательная плоскость и нормаль.

Пусть уравнение задает в R3 гладкую поверхность. Вектор является касательным вектором к координатной линии lv0 на поверхности. Вектор r v (u0, v0 ) является касательным вектором к lu0. Если ранг матрицы r (u, v) равен двум, то для любой точки (u0, v0 ) D векторы r u = r u (u0, v0 ) и r v = r v (u0, v0 ) неколлинеарны и определяют плоскость которая является касательной плоскостью к поверхности в точке M0 (x0, y0, z0 ).

Нормалью к поверхности в точке M0 называется прямая, проходящая через M0 и перпендикулярная к касательной плоскости в M0. Вектором нормали к поверхности в точке M0 называется ненулевой вектор, коллинеарный нормали в точке M0.

Если N — вектор нормали к поверхности в точке M0, то уравнение нормали имеет вид Вектор N = [r u, r v ] является нормальным вектором касательной плоскости. Его координаты A, B, C можно вычислить по формулам x x 2.12.5. Односторонние и двусторонние поверхности.

Назад 2.12.5 Односторонние и двусторонние поверхности.

Пусть — гладкая поверхность в R3, в каждой точке которой определена нормаль. Для вектора нормали можно выбрать два направления, то есть можно построить два единичных вектора нормали n1 и n2 = n1. Так как – гладкая поверхность, то направления этих векторов будут меняются непрерывно вместе с точкой.

Гладкая поверхность называется односторонней если существует замкнутая кривая на поверхности, при движении вдоль которой единичный вектор нормали изменит свое направление на противоположное. Если при движении вдоль любой замкнутой кривой на поверхности единичный вектор нормали не меняет свое направление при возвращении в исходную точку, то поверхность называется двусторонней.

Пример 12.4. Двухсторонними поверхностями являются плоскость, сфера, эллиптический параболоид и т. п.

Примером односторонней поверхности является лист Мёбиуса. Модель такой поверхности можно получить, склеив прямоугольную полоску бумаги ABCD так, что D совпадает с B, C с A.

В дальнейшем мы будем рассматривать двусторонние поверхности.

Пусть M0 — точка на поверхности, n1 — один из двух единичных векторов нормали к поверхности в точке M0, M – произвольная точка на. Соединим M0 с M какой–либо кривой l и построим в точке M вектор нормали nM так, чтобы при перемещении от M0 к M вдоль l направление вектора нормали менялось непрерывно. Совокупность точек поверхности с построенными таким образом векторами нормали называется стороной поверхности.

Назад 2.12.6 Площадь поверхности.

Рассмотрим поверхность, заданую уравнением Пусть = {1,..., k } — разбиение поверхности, полученное с помощью гладких кривых, – диаметр этого разбиения, Mi — произвольная точка на i, Si — площадь проекции поверхности i на касательную плоскость к поверхности в точке Mi. Поверхность называется квадрируемой, если существует конечный предел При этом сам предел S называют площадью поверхности.

Существование конечного предела S означает:

Квадрируемой является всякая двухсторонняя гладкая поверхность, заданная на замкнутой области D уравнением r = r(u, v) с условием r (u, v)= 0, (u, v) D. Если поверхность квадрируема, то для вычисления её площади S можно использовать любые разбиения {k } и любые точки Mk k. Рассмотрим разбиение, полученное с помощью координатных линий. Выделим один из кусочков k, образованный линиями lu, lu+u, lv, lv+v. В качестве точки M возьмём точку r(u, v). Площадь проекции k на касательную плоскость приближенно равна Суммируя Sk и переходя к пределу при 0, получаем x x 2.12.7. Первая квадратичная форма поверхности.

Назад 2.12.7 Первая квадратичная форма поверхности.

Первой квадратичной формой поверхности называют величину I является квадратичной формой относительно du и dv.

Обозначим коэффициенты первой квадратичной формы Пример 12.5. Рассмотрим сферу радиуса a.

Первая квадратичная форма сферы имеет коэффициенты Назад 2.12.8 Использование первой квадратичной формы.

Первая квадратичная форма является важнейшей характеристикой поверхности. Знание ее коэффициентов E, F, G позволяет решать различные задачи, связанные с поверхностью.

Вычисление длины дуги.

Пусть в D задана дуга Тогда уравнение задаёт дугу, лежащую на поверхности. Длина l этой дуги равна Используя инвариантность формы первого дифференциала, имеем Поэтому Пример 12.6. Длина дуги, лежащей на сфере, рассмотренной в примере 12.5, и задаваемой уравнениями имеет значение Назад Вычисление площади поверхности.

Пусть – угол между векторами r u и r v. Обозначим a = |r u |, b = |r v |. Тогда E = a2, G = b2, F = ab cos.

Поэтому Подставив в (12.1), получаем формулу для вычисления площади поверхности 12.6).

Назад 2.13.1. Определение.

2.13.2. Вычисление.

2.13.3. Свойства.

Назад 2.13.1 Определение.

Рассмотрим в R3 некоторую кривую : [a, b] R3, (t1 ) = (t2 ) t1, t2 ]a, b[.

Разбиением кривой : [a, b] R3 будем называть множество точек где t0,..., tn — разбиение отрезка [a, b]. Обозначим [Ak1, Ak ] — часть кривой, ограниченную точками Ak и Ak. Диаметром разбиения {Ak } называется число = max sk, где sk — длина [Ak1, Ak ].

Пусть : [a, b] R3 — некоторая спрямляемая кривая, {Ak } — ее разбиение, sk – длина куска кривой [Ak1, Ak ], = max sk — диаметр разбиения {Ak }, Mk (uk, vk, wk ) — произвольная точка на [Ak1, Ak ].

Функция f (x, y, z), определенная в точках { (t) | t [a, b] } называется интегрируемой на, если существует конечный предел интегральных сумм При этом сам предел I называют криволинейным интегралом I рода и обозначают Интегрируемость f на означает:

Пример 13.1. Предположим, что вдоль распределена масса и f (x, y, z) – плотность распределения массы (т.е. масса единицы длины кривой). Тогда масса элемента [Ak1, Ak ] кривой (элементарная масса) Назад а масса всей кривой При 0 получаем Назад 2.13.2 Вычисление.

Теорема 13.1. Пусть — гладкая дуга, f (x, y, z) — непрерывная функция, определенная в точках дуги. Тогда Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть {Ak } — разбиение дуги, — его диаметр и пусть точке Ak соответствует значение параметра tk, k = 0,..., n. Точки tk, k = 0,..., n, задают разбиение {tk } отрезка [a, b] с диаметром d, причем d 0 0. Используя теорему о среднем, длина куска [Ak1, Ak ] кривой будет равна где k – некоторая точка из ]tk1, tk [, определяемая теоремой о среднем, tk = tk tk1, причем tk sk 0.

Пусть точкам Mk [Ak1, Ak ] соответствуют значения параметра Тогда Назад где 0 при d 0. Поэтому, переходя к пределу при 0, получаем равенство (13.1).

Существование конечного предела слева в последнем равенстве обеспечивается существованием конечного предела справа, т.е. существованием определенного интеграла справа, которое в свою очередь обеспечено непрерывностью f.

Теорема 13.1 сводит вычисление криволинейного интеграла первого рода к вычислению обычного определенного интеграла.

Пример 13.2. Вычислим I = Воспользуемся формулой (13.1).

Криволинейный интеграл обладает обычными свойствами интеграла.

2. Аддитивность. Если разбита на две части 1 и 2, которые имеют общими только граничные точки, 4. Основная оценка. Пусть m = inf f (x, y, z), M = sup f (x, y, z), l – длина кривой. Тогда ml = f (u, v, w)l, где l – длина кривой, (u, v, w) – некоторая точка из.

Отметим, что, в частном случае, если кривая — плоская, то z(t) = 0, t [a, b] и формула (13.1) становится более короткой.

Формула (13.1) получена для гладкой дуги. Если – кусочно-гладкая кривая, то ее разбивают на гладкие дуги и используют аддитивность криволинейного интеграла.

Назад 2.14.1. Определение.

2.14.2. Вычисление.

2.14.3. Свойства.

2.14.4. Связь криволинейных интегралов первого и второго рода.

Назад 2.14.1 Определение.

Пусть : [a, b] R3 — кривая в R3, (a) = A, (b) = B, {Ak } — разбиение кривой, точки которого имеют координаты Ak (xk, yk, zk ), k = 0,..., n, и расположены последовательно, — диаметр разбиения. Обозначим Пусть Mk (uk, vk, wk ) [Ak1, Ak ] — промежуточные точки. Для функций P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z), определенных на, построим суммы Конечные пределы этих сумм при 0 обозначают соответственно и называют криволинейными интегралами второго рода. Обычно рассматривают сумму таких интегралов, обозначая её и называют криволинейным интегралом второго рода общего вида.

Пример 14.1. Пусть в области D R3 задано силовое поле, т.е. в каждой точке (x, y, z) D определена сила F = F (x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)). Вычислим работу S переменной силы F по перемещению точки вдоль кривой от точки A до точки B. Для этого выделим элементарный участок [Ak1, Ak ] кривой и, считаем приближённо, что на [Ak1, Ak ] значение силы F равно F (uk, vk, wk ). Заменив дугу [Ak1, Ak ] хордой Ak1 Ak, посчитаем приближенное значение элементарной работы на участке от Ak1 до Назад Суммируя элементарные работы и переходя к пределу при 0, получим криволинейный интеграл второго рода Назад 2.14.2 Вычисление.

Теорема 14.1. Пусть — гладкая дуга, P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) — непрерывные функции, определенные в точках дуги.

Тогда Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть {Ak } — разбиение дуги, — его диаметр и пусть точке Ak соответствует значение параметра tk, k = 0,..., n. Точки tk, k = 0,..., n, задают разбиение {tk } отрезка [a, b] с диаметром d, причем d 0 0. Используя теорему Лагранжа о конечных приращениях, получаем где k [tk1, tk ] — точка, определяемая теоремой Лагранжа. Тогда Переходя к пределу при 0, получаем (Здесь 0 при 0).

Аналогичные формулы имеют место и для других криволинейных интегралов, так что для интеграла общего вида получаем получаем равенство (14.1).

Назад Существование конечного предела слева в последнем равенстве обеспечивается существованием конечного предела справа, т.е. существованием определенного интеграла справа, которое в свою очередь обеспечено непрерывностью P, Q, R.

Теорема 14.1 позволяет свести вычисление криволинейного интеграла второго рода к вычислению определённого интеграла.

Пример 14.2. Вычислим I = где — дуга параболы y = x2, 0 1. Зададим параметрически, положив По формуле (14.1) Назад 2.14.3 Свойства.

При определении криволинейного интеграла второго рода мы предполагали, что точки A0, A1,..., An расположены на последовательно, так что соответствующие им точки t0, t1,..., tn удовлетворяют условию Это означает, что на кривой задано направление — от A к B. Если заменить направление на противоположное, то xk, yk, zk и tk поменяют знаки. Таким образом, получаем:

т.е. при изменении направления на кривой криволинейный интеграл второго рода меняет знак. (В формуле (14.2) и далее для краткости не написаны аргументы у P, Q, R).

Криволинейный интеграл второго рода обладает также свойствами линейности и аддитивности.

Формула (14.3) даёт основную оценку для криволинейного интеграла второго рода.

x x 2.14.4. Связь криволинейных интегралов первого и второго рода.

2.14.4 Связь криволинейных интегралов первого и второго рода.

Выведем формулу, устанавливающую связь между криволинейными интегралами первого и второго рода.

При этом ограничимся лишь приведением упрощенных соображений, не вдаваясь в строгие изложения.

Вектор d = dt = (dx, dy, dx) сонаправлен с вектором, и поэтому числа являются направляющими косинусами касательного вектора к кривой Обозначим их соответственно cos, cos µ, cos. Так как длина дуги, заданной на [t0, t], равна В формуле (14.4) слева криволинейный интеграл второго рода, справа — криволинейный интеграл первого рода.

Формулы (14.1) и (14.4) получены для случая, когда — гладкая дуга. Если — кусочно-гладкая кривая, то её разбивают на гладкие дуги и используют аддитивность криволинейных интегралов.

x x 2.15. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования Назад 2.15.1. Формула Грина.

2.15.2. Вычисление площадей.

2.15.3. Условия Эйлера.

2.15.4. Случай пространственной кривой.

Назад 2.15.1 Формула Грина.

Пусть в области D R2 определены функции P (x, y) и Q(x, y), и пусть G D — замкнутое связное множество, ограниченное кусочно гладкой кривой L. Зададим на L направление. Направление считают положительным, если при обходе L по такому направлению область G остаётся слева.

Теорема 15.1 (Формула Грина). Если P и Q имеют непрерывные частные производные первого порядка, то где L обходится в положительном направлении.

1. Пусть G - криволинейный четырёхугольник ABCD, ограниченный вертикальными отрезками BC = {(x, y)|x = b}, DA = {(x, y)|x = a} и кривыми AB : y = (x), DC : y = (x), a x b, (x) (x), x [a, b]. Тогда Назад

AB CD BC DA

т.е. выполняется (15.2).

2. Пусть G — произвольная область. Разобьём G на криволинейные четырёхугольники G1,..., Gk, рассмотренные в 1 и воспользуемся аддитивностью интегралов Граница Li области Gi состоит из части границы L и из дуг lj, которыми G разбита на Gi. При этом каждая из дуг lj является границей двух смежных четырёхугольников и при обходе каждого из четырёхугольников в положительном направлении lj пробегается дважды в противоположных направлениях и при суммировании в (15.3) соответствующие им интегралы дают ноль. Поэтому формула (15.3) приводит к (15.2).

II. Аналогичным образом доказывается формула Складывая (15.2) и (15.4), получаем (15.1).

Формула Грина устанавливает связь между двойным интегралом по области G и криволинейным интегралом II рода по границе L этой области.

2.15.2 Вычисление площадей.

Если в формуле Грина функции P и Q такие, что где s - площадь G. Таким образом, для вычисления площади можно использовать криволинейный интеграл. В частности, (15.5) выполнено, если Тогда Назад 2.15.3 Условия Эйлера.

Выражение называют полным дифференциалом в области G, если существует функция F : G R такая, что При этом функцию F называют первообразной для полного дифференциала.

Пусть A и B — точки из G. Говорят, что криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, если для всех кривых с началом в точке A и концом в B интеграл имеет одинаковое значение.

Если граница L области G состоит из нескольких непересекающихся замкнутых кривых (контуров), то область G называется многосвязной. Если G ограничена одним контуром то область называется односвязных.

Теорема 15.2. Пусть в односвязной области G заданы функции P (x, y), Q(x, y), имеющие непрерывные производные первого порядка. Тогда следующие четыре условия равносильны:

1) Для любого замкнутого контура L G выполняется условие P (x, y)dx + Q(x, y)dy не зависит от пути интегрирования для любых A, B G.

3) Выражение P (x, y)dx + Q(x, y)dy является полным дифференциалом в области G.

Назад 4) Выполнены условия Эйлера: Py (x, y) = Qx (x, y), Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство проведём по схеме:

1. 2. Возьмём две кривые A(1) B и A(2) B с началами в точке A и концами в B. Они образуют замкнутую кривую L = A(1) B(2) A. Тогда Откуда получаем 2. 3. Зафиксируем какую-либо точку A(x0, y0 ) G. Тогда для B(x, y) G определяется однозначно число F (x, y) = P dx + Qdy (не зависящее от пути интегрирования). Покажем, что функция является первообразной для P (x, y)dx + Q(x, y)dy.

Дадим переменным частное приращение (x, 0) и обозначим B1 – точку с координатами (x + x, y). Пусть BB1 – отрезок прямой. Тогда Назад Используя теорему о среднем, получаем где лежит между x и x + x. При x 0 имеем Аналогично, Fy (x, y) = Q(x, y). Поэтому 3. 4. Если P dx + Qdy – полный дифференциал, то С другой стороны Тогда Следовательно, Py (x, y) = Fxy (x, y), Qx (x, y) = Fyx (x, y). Так как Py и Qx непрерывны, то, на основании теоремы Шварца, Fxy (x, y) = Fyx (x, y), что равносильно условиям Эйлера.

4. 1. Пусть L - произвольный замкнутый контур, L G, и G1 - область ограниченная контуром L. По формуле Грина Назад Это завершает последний шаг доказательства по намеченной схеме.

При выполнении условий Эйлера интеграл для AB G зависит только от точек A и B. Такие интегралы принято обозначать При этом в G существует первообразная для P dx + Qdy, например Пусть M N G — произвольная гладкая дуга, задаваемая уравнениями Назад причём M и N имеют координаты M (x(), y()), N (x(), y()). Тогда Таким образом, справедлив аналог формулы Ньютона-Лейбница Пример 15.2. Вычислим I = (в качестве точки (x0, y0 ) в (15.7) взята точка (0, 0)). Тогда Назад 2.15.4 Случай пространственной кривой.

При рассмотрении интеграла можно ввести понятия полного дифференциала, первообразной, независимости интеграла от пути интегрирования аналогично тому, как это сделано в пунктах 2.15.1 и 2.15.3 для полного дифференциала функции двух переменных. Имеет место аналог теоремы 15.2, в котором условие Эйлера формулируются так:

При вычислении первообразной F (x, y, z) для выражения P dx+Qdy +Rdz можно использовать одну из формул и т.п. При этом для вычисления криволинейного интеграла можно использовать аналог формулы НьютонаЛейбница Назад 2.16.1. Определение.

2.16.2. Вычисление.

Назад 2.16.1 Определение.

Пусть — квадрируемая поверхность в R3, = {1,..., n } — разбиение поверхности, полученное с помощью гладких кривых, – диаметр этого разбиения, sk — площадь поверхности k, (k, k, k ) — произвольная точка на k. Функция f (x, y, z), f : R называется интегрируемой на, если существует конечный предел При этом сам предел I называют поверхностным интегралом первого рода и обозначают q = q(x, y, z). Считая, что плотность распределения заряда q мало меняется в пределах кусочка k и равна приближенно значению q в какой-то точке (k, k, k ) k, можно найти (приближенно) элементарный заряд (заряд на k ) Суммируя элементарные заряды и переходя к пределу, получаем Назад 2.16.2 Вычисление.

Теорема 16.1. Пусть — поверхность, заданная параметрическим уравнением на квадрируемом замкнутом связном множестве D R2, причем функция r(u, v) имеет непрерывные частные производные по u и v, а матрица Якоби r (u, v) имеет ранг 2 при (u, v) D. Если определенная на функция f (x, y, z) — непрерывна, то где E, G, F – коэффициенты первой квадратичной формы поверхности.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Разбиение поверхности на части k порождает разбиение области D на части Dk с площадями k, причем диаметры и d разбиений {k } и {Dk } стремятся к нулю одновременно. Точкам (k, k, k ) k соответствуют точки (uk, vk ) Dk, такие, что k = x(uk, vk ), k = y(uk, vk ), k = z(uk, vk ), k = 1,..., n.

Если E, G, F – коэффициенты первой квадратичной формы поверхности, то по теореме о среднем где k 0 при 0. Тогда где 0 при 0. Переход к пределу при 0 приводит к равенству (16.1) Назад Существование конечного предела слева, т.е. интегрируемость f на, обеспечивается существованием двойного интеграла справа, которое в свою очередь обеспечено непрерывностью f на.

В формуле (16.1) слева – поверхностный интеграл первого рода, справа – двойной интеграл.

Если поверхность задана явным уравнением то ее можно задать параметрически, положив Тогда первая квадратичная форма поверхности имеет коэффициенты Поэтому или, в исходных обозначениях Пример 16.2. Вычислим где – часть конической поверхности, сферы образует острый угол с осью Oz. Поэтому Для того нужно взять знак –. Имеем:

Пример 19.1. Примерами векторных полей являются:

1. Поле скоростей жидкости в некотором водоеме или резервуаре;

2. Поле векторов напряженности магнитного поля Земли;

3. Функция u : D R задает в D поле векторов u = grad u;

4. В каждой точке M (x, y, z) D определён радиус-вектор этой точки r = (x, y, z). Совокупность радиусов-векторов является векторным полем.

Пусть A(M ) = (Ax, Ay, Az ) — векторное поле в области D R3 и пусть в D задана некоторая гладкая двухсторонняя поверхность, на которой выбрана сторона, т.е. определён вектор нормали n(cos, cos, cos ).

Поверхностный интеграл называют потоком векторного поля A через выбранную сторону поверхности.

Пример 19.2. Физический смысл введенного понятия можно проиллюстрировать на примере 17.1. Если выделить элемент k поверхности, помещенной в жидкость, то количество жидкости, протекающей через k в единицу времени равно где Ak и nk - значения вектора A и вектора нормали n в некоторой точке Mk k, sk – площадь k. Суммируя Qk и переходя к пределу, получим количество жидкости Q, протекающей через выбранную сторону поверхности в единицу времени которое представляет собой поток вектора A через поверхность.

Назад Пусть тело T ограничено гладкой поверхностью, n – внешний вектор нормали к, A — дифференцируемое векторное поле на T. Вычислим поток поля A через поверхность, используя формулу Остроградского– Гаусса, Дивергенцией векторного поля A называют функцию Замечание 19.2. Для векторного поля f в пространстве Rn дивергенцией называют скалярное произведение Эта величина представляет собой след матрицы Якоби f (x) функции f.

Используя введённые в этом параграфе понятия, формулу Остроградского–Гаусса можно записать в виде Пример 19.3. Пусть T заполнено жидкостью, A – скорость жидкости. Выделим точку M T, окружим M замкнутой поверхностью ; P – область ограниченная, V – объем P. Предположим, что в T имеются источники (стоки) жидкости. Количество жидкости, протекающей через внешнюю сторону поверхности в единицу времени, называют производительностью источников, заключенных внутри.

Эта величина равна (A, n)ds. Если источники распределены непрерывно в T, то величина V (A, n)ds представляет среднюю плотность распределения источников внутри.

Назад Если функции Ax, Ay, Az имеют непрерывные частные производные, то div A – непрерывная функция. На основании теоремы о среднем, получаем Здесь C – некоторая точка из P. Перейдём к пределу в последнем равенстве, стягивая поверхность к точке M. При этом точка C стремится к M, и получаем Это означает, что дивергенция поля A в точке M – предельная плотность распределения источников, т.е. производительность источников в точке M.

Используя оператор, можно записать Назад 2.19.2 Оператор Лапласа.

Пусть в области D Rn задана функция f : D R, имеющая частные производные второго порядка.

Тогда на D определено векторное поле grad f. Вычислим дивергенцию этого поля.

Оператором Лапласа называют выражение Оператор Лапласа играет важную роль в математике и приложениях, особенно в уравнениях с частными производными.

Выразим оператор Лапласа для n = 2 в полярных координатах. Связь между декартовыми координатами (x, y) и полярными (r, ) задаётся формулами Назад Для функции u = f (x, y) можно рассматривать u как функцию от x и y или как функцию от r и. В условной записи При этом Аналогично дифференцируя, получаем Из (19.2) следует Используем (19.1) и окончательно получаем Формула (19.3) даёт выражение оператора Лапласа в полярных координатах.

При использовании в R3 цилиндрических координат связь между декартовыми координатами (x, y, z) и цилиндрическими (r,, z) даётся формулами:

Используя такие же рассуждения, как при рассмотрении полярных координат в R2, получаем выражение оператора Лапласа в цилиндрических координатах Назад Рассмотрим в R3 сферические координаты (r,, ), которые связаны с декартовыми координатами (x, y, z) формулами Вычисляя ur, u, u, urr, u, u для функции получим уравнения, используя которые можно выразить Формула (19.5) даёт выражение оператора Лапласа в сферических координатах.

Назад 2.19.3 Циркуляция.

Пусть A — векторное поле в области D R3, l D – гладкая кривая, заданная уравнением r = r(t), t I R, = – единичный касательный вектор к l. Интеграл называется линейным интегралом поля A вдоль кривой l. Если кривая l замкнутая, то линейный интеграл называют циркуляцией векторного поля A вдоль кривой l в заданном направлении.

Линейный интеграл зависит от направления на кривой. Он заведомо существует, если A – непрерывная функция.

Пример 19.4. Если A – силовое поле, то линейный интеграл представляет работу поля вдоль кривой l.

Назад 2.19.4 Ротор.

В D R3 рассмотрим гладкую поверхность с границей l. Предполагая, что направление на l согласовано с ориентацией, запишем формулу Стокса Ротором поля A называют вектор Пусть – единичный касательный вектор к кривой l, направление которого совпадает с направлением на l; n – единичный вектор нормали к, направление которого соответствует ориентации поверхности. Тогда, перейдя в (??) к поверхностному интегралу первого рода, получаем Формула (19.7) — запись формулы Остроградского-Гаусса в векторном виде. Формула может быть прочитана следующим образом: поток вектора rot A через поверхность равен циркуляции вектора A по границе l этой поверхности.

изведения Назад Такое представление делает очевидным следующие линейные свойства ротора:

Другие важные свойства вытекают из правил выполнения операций над векторами.

(смешанное произведение трёх векторов, два из которых совпадают).

Если u : D R – скалярная дифференцируемая функция, то Назад 2.19.5 Типы векторных полей.

Векторное поле A называют потенциальным, если существует функция u такая, что Функцию u называют потенциалом поля A.

Потенциальность поля A означает, что существует u, для которой В соответствии с терминологией §2.15 потенциал u = u(x, y, z) можно назвать первообразной для выражения Ax dx + Ay dy + Az dz. Используя §§2.15.3,2.15.3, получаем необходимые и достаточные условия потенциальности поля (см. условия Эйлера для пространственной кривой (15.8):

что равносильно условию Поле A называют соленоидальным, если существует векторное поле B такое, что Поле B называют векторным потенциалом поля A.

Необходимым и достаточным условием соленоидальности поля A является условие Пример 19.5. Если A – поле скоростей жидкости в области D, то соленоидальность поля A означает, что внутри D нет источников жидкости.

Назад Всякое векторное поле A можно представить в виде суммы потенциального поля A1 и соленоидального поля Действительно, возьмём A1 = grad u, где u – некоторая функция, которую определим позже. Тогда, на основании (19.8), rot A1 = rot grad u = 0, т.е. A1 – потенциальное. Так как A2 = A A1 = A grad u, то Таким образом, для того, чтобы A2 было соленоидальным, достаточно взять какую либо функцию u = u(x, y, z), которая является решением уравнения В теории уравнений с частными производными доказано, что такое уравнение имеет бесконечное множество решений.

Назад 2.20.1. Числовые ряды 2.20.2. Положительные ряды 2.20.3. Признаки сравнения для положительных рядов.

2.20.4. Знакопеременные ряды 2.20.5. Операции над числовыми рядами.

Назад 2.20.1 Числовые ряды Числовой ряд.

Пусть задана числовая последовательность (an ).

Последовательность сумм записывают в виде (коротко - ak ) и называют числовым рядом с элементами (или членами) ak.

Частными суммами числового ряда называют суммы Числовой ряд называют сходящимся, если существует конечный предел S = lim Sn последовательности частных сумм этого ряда. Если предел не существует или бесконечен, то говорят, что ряд расходится.

Назад Суммой ряда называют предел последовательности его частных сумм.

Пример 20.1. Числовой ряд имеет последовательность частных сумм которая расходится. Следовательно и ряд расходится.

Пример 20.2. Числовой ряд имеет частную сумму которая является суммой геометрической прогрессии, т.е.

при n. Следовательно, ряд сходится и его сумма S = 2.

Назад Условия сходимости ряда.

Рассматривается числовой ряд ak.

Теорема 20.1 (Необходимое условие сходимости ряда.). Если ряд сходится, то Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ряд сходится и имеет сумму S. Так как то, переходя в этом равенстве к пределу, получаем:

Следствие 20.1.1. Если то ряд расходится.

Теорема 20.2 (Критерий Коши сходимости ряда.). Ряд Назад сходится тогда и только тогда, когда Д о к а з а т е л ь с т в о. Сходимость ряда означает сходимость последовательности его частных сумм Sn.