[ Московский Государственный Институт Международных Отношений
(Университет)
Кафедра математических методов и информационных технологий
Сернова Н.В., Котова Е.С., Цедрик В.Г.
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
ПО КУРСУ «ЭКОНОМЕТРИКА»
Для студентов 3-го курса факультета МЭО
(Первая редакция) Москва 2007 год
СОДЕРЖАНИЕ
ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ. 3
1. Цель курса. 3 2. Задачи курса. 3 3. Место курса в системе экономического образования. 4. Требование к уровню слушателей. Содержание программы курса 1. Введение. 2. Анализ временных рядов. 3. Методы корреляционного анализа в эконометрическом моделировании. 4. Основы регрессионного анализа 5. Системы одновременных уравнений. Распределение часов по темам и видам учебной нагрузки Формы итогового контроля. Контрольные вопросы. Учебно-методическое обеспечение курса. Рекомендуемая литература (основная). Рекомендуемая литература (дополнительная).УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ПО КУРСУ «ЭКОНОМЕТРИКА»
АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
Тема1. Введение Тема 2. Понятие и виды временных рядов. Простой метод наименьших квадратов.Тема 3. Прогнозирование экономических показателей на основе экстраполяции тренда. Тема 4. Методы прогнозирования временных рядов, основанные на анализе средних Тема 5. Методы анализа временных рядов с периодической компонентой. Анализ модели с аддитивной компонентой.
Анализ модели с мультипликативной компонентой.
АНАЛИЗ ВЗАИМОСВЯЗИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
Тема 6. Понятие корреляционного и регрессионного анализа. Тема 7. Парный корреляционный анализ. Корреляционное отношение. Тема 8. Множественный корреляционный анализ. Тема 9. Парная регрессия и корреляция ПРИЛОЖЕНИЯ Таблица П.1 Значения статистик Дарбина-Уотсона Таблица П.2 Распределение Стьюдента F – распределение. = 0, Таблица П.3 F – распределение. = 0, Таблица П.4 F – распределение. = 0, Таблица П.5 Таблица П.6 Функция ЛапласаОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ.
1. Цель курса.• Ознакомление студентов с проблемами, возникающими при практическом применении различных количественных моделей экономической теории, таких как модели спроса, производства, совокупного потребления, инвестиций.
• Подготовка студентов к прикладным исследованиям в области экономики.
2. Задачи курса.
• Освоение методов эконометрического анализа статистических данных.
• Освоение методов построения и анализа эконометрических моделей.
• Освоение методов статистического анализа временных рядов.
• Овладение навыками применения пакетов компьютерных программ эконометрического анализа статистических данных.
3. Место курса в системе экономического образования.
Эконометрика входит в число базовых дисциплин современного экономического образования, предусмотренных государственным образовательным стандартом Высшего профессионального образования по направлению 521600 «Экономика»
(степень – бакалавр экономики), введенным в 2000 г.
Материал курса может быть использован в других курсах, связанных с количественным анализом реальных экономических явлений, при подготовке дипломных работ и магистерских диссертаций, с применением количественных методов анализа статистических данных и моделирование экономических процессов.
Курс рассчитан на студентов, прослушавших:
• Курс математического анализа, включающий дифференциальное и интегральное исчисление.
• Курс линейной алгебры, включающий операции над векторами и матрицами.
• Курс экономической статистики.
• Курс теории вероятностей и математической статистики, включающий основные понятия, связанные с дискретными и непрерывными случайными величинами, построение доверительных интервалов и проверкой гипотез.
Задачи курса. Понятие эконометрики. Структура курса. Место эконометрики в системе экономико-математического моделирования. Задачи и цели эконометрики в сфере социально-экономических исследований.
Информационная база эконометрики. Основные типы моделей эконометрики.
Структура инструментария эконометрики.
Понятие временного ряда. Задачи эконометрического анализа временных рядов экономических показателей. Виды временных рядов. Анализ нестационарных рядов.
Понятие тренда.
Прогнозирование экономических показателей на основе нестационарных временных рядов. Условия правомерности экстраполяции. Методы анализа и прогнозирования временных рядов с периодическими (сезонными и циклическими) колебаниями.
Аддитивные и мультипликативные модели.
Модели «экономического роста» на основе временных рядов.
Тема 3. Методы корреляционного анализа в эконометрическом моделировании.
Задачи анализа взаимосвязи экономических показателей. Применение корреляционного анализа в эконометрическом моделировании. Условия применения, задачи и этапы корреляционного анализа. Виды корреляционной связи. Парная корреляция (линейная, нелинейная). Корреляционное поле, графики синхронности.
Линейный коэффициент корреляции. Множественная и частная корреляционная зависимость. Вычисление показателей и интерпретация результатов.
Многофакторные уравнения регрессии - основа эконометрической модели. Понятие модели регрессии. Парная и множественная регрессия. Интерпретация параметров модели. Коэффициенты регрессии и коэффициенты эластичности. Этапы построения регрессионной модели. Оценка качества модели. Анализ остатков. Коэффициент детерминации, его интерпретация. Основные статистические гипотезы, содержание и критерии проверки. Мультиколлинеарность факторов. Оценка ее влияния на свойства моделей. Способы построения модели регрессии. Анализ, интерпретация и прогнозирование экономических показателей на основе модели регрессии.
Примеры использования многофакторных регрессионных моделей в экономическом анализе.
Эконометрические модели в виде системы уравнений. Структура эконометрической модели. Типы переменных, их роль в экономическом анализе. Формы модели (структурная, приведенная, рекурсивная). Проблема оценки параметров. Двухшаговый метод наименьших квадратов. Применение эконометрических моделей для анализа и прогнозирования экономики. Анализ и оценка эффективности экономических программ при государственном регулировании экономики. Понятие мультипликаторов.
Импульсный и распределенный мультипликаторы. Примеры. Активное и пассивное прогнозирование на основе эконометрической модели. Примеры построения моделей в различных странах и международных организаций.
Распределение часов по темам и видам учебной нагрузки № Наименование тем часов корреляционного эконометрическом моделировании эконометрических моделей на основе регрессионного временных рядов одновременных Формы итогового контроля.
По курсу предусмотрены 4 контрольных работы, ИАС и экзамен.
Контрольные вопросы.
Понятие эконометрики. Задачи эконометрики.
Основные типы моделей эконометрики.
Задачи эконометрического анализа экономических процессов, представленных одним временным рядом.
Понятие временного ряда. Виды временных рядов.
Структура нестационарного временного ряда.
Виды моделей тренда в экономических исследованиях.
Прогнозирование на основе аддитивной модели временного ряда с периодической компонентой.
Прогнозирование на основе мультипликативной модели с периодической компонентой.
Оценка качества подбора аппроксимирующей функции тренда.
Анализ взаимосвязей экономических показателей, корреляционный анализ.
Исследование парной корреляции.
Коэффициент корреляции, вычисление, условия применения для анализа экономических данных.
Множественный корреляционный анализ. Понятие частной корреляции.
Вычисление коэффициентов частной корреляции. Интерпретация.
Понятие и задачи регрессионного анализа.
Понятие модели регрессии, экономическая интерпретация параметров.
Виды моделей регрессии, используемых в экономических исследованиях.
Парная регрессия, множественная регрессия.
Примеры эконометрических моделей множественной регрессии, используемых для анализа и прогнозирования реальных экономических показателей (спроса, цен и др.).
Основные предпосылки регрессионного анализа.
Основные этапы построения модели регрессии.
Проверка гипотез относительно коэффициентов регрессии.
Точечная и интервальная оценка коэффициента регрессии.
Коэффициент детерминации. Вычисление и экономический смысл.
Построение модели методом всех возможных регрессий.
Построение модели методом последовательного исключения.
Прогнозирование экономических показателей на основе модели регрессии.
Применение MS-EXEL в эконометрическом анализе.
Системные эконометрические модели в виде системы одновременных уравнений.
Структура модели.
Примеры использования системных моделей в выработке программ эффективной экономической политики.
Учебно-методическое обеспечение курса.
Эконометрические методы в социально-экономическом прогнозировании, коллектив авторов, учебное пособие, МГИМО, М. 2000 г.
Самохвалов С.Ю., Сернова Н.В. Практикум по эконометрическому моделированию, учебное пособие. МГИМО, М. 2001 г.
Елисеева И.И.* Эконометрика. Учебник, М, «Финансы и статистика», М. 2002 г.
Елисеева И.И., Курышева С.В.* Практикум по эконометрике. Учебное пособие, М.
«Финансы и статистика», М. 2001 г.
Магнус Я.Р., Катышев П.К. Эконометрика. Начальный курс. Учебник, М. Дело, 2000 г.
2. Рекомендуемая литература (дополнительная).
Айвазян С.А. и др.»Прикладная статистика и эконометрика», М, ЮНИТИ, 1998 г.
Доугерти К. «Введение в эконометрику», ИНФРА-М, М. 1997 г.
Дубров А.М. и др. «Многомерные статистические методы», М., «Финансы и статистика», 1998 г
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ПО КУРСУ «ЭКОНОМЕТРИКА»
АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
Эконометрика наряду с микроэкономикой и макроэкономикой входит в число базовых дисциплин современного экономического образования. Буквально «эконометрика»означает «измерения в экономике». Отсюда встречается расширительное толкование эконометрики, в которую включают самые разные виды методов и моделей, которые применяются в экономических исследованиях.
В современном понимании эконометрика – это самостоятельная экономикоматематическая дисциплина, объединяющая совокупность теоретических результатов, приемов, методов и моделей, предназначенных для того, чтобы на базе:
-экономической теории, данных экономической статистики, -математико-статистического инструментария придавать конкретное количественное выражение общим качественным закономерностям, обусловленным экономической теорией. Место эконометрики обусловлено теми задачами, которые ей приходится решать. Назначение эконометрики состоит в том, чтобы придать конкретное количественное значение тем параметрам экономико-математических моделей, которые созданы математической экономикой на основе концепций экономической науки. Эконометрика анализирует модели и выбирает с помощью методов математической статистики такую модель, которая в наибольшей степени соответствует статистическим данным, отражающим развитие данного экономического процесса.
В эконометрических исследованиях используются два типа данных: данные, представленные временными рядами экономических показателей и данные, представленные пространственной выборкой.
В эконометрике можно выделить три основных типа моделей: модели, основанные на данных одного временного ряда; модели, представленные одним многофакторным уравнением регрессии; модели, представленные системой «одновременных структурных» уравнений.
Практическое применение эконометрических моделей направлено на решение задач прогнозирования в социально-экономических системах, а также для проведения различных имитационных экспериментов с моделями экономических систем с целью выбора эффективной экономической политики.
Упорядоченная последовательность значений показателей (измеренных через равные промежутки времени), которые характеризуют развитие явления во времени, называется временным рядом.
Временные ряды экономических показателей можно подразделить на два основных вида: стационарные и нестационарные.
Стационарные временные ряды являются отражением некоторого случайного процесса, а сам процесс остается в равновесии относительно некоторого постоянного среднего уровня и его характеристики не зависят от момента времени.
В нестационарных временных рядах случайные колебания происходят относительно среднего уровня, который со временем изменяется под влиянием различных факторов.
Большинство экономических процессов описываются нестационарными временными рядами, в которых уровни ряда со временем повышаются или понижаются.
Общая долговременная тенденция временного ряда называется трендом.
Временные ряды некоторых экономических показателей обнаруживают периодичность изменения своих уровней относительно некоторого среднего уровня. Такие изменения во временном ряду принято называть периодическими. В зависимости от продолжительности периода колебаний последние подразделяются на сезонные и циклические колебания. Сезонные – период колебания до года, циклические – несколько лет.
Линейный тренд =0,7 свидетельствует о наличии четко выраженной возрастающей тенденции во временном ряду показателя объема продаж.
3. Итак, тенденция есть и она восходящая.Теперь необходимо определить класс функций, которому будет принадлежать наилучшая аппроксимирующая данный процесс функция. Для решения задачи этого этапа воспользуемся ранее построенным графиком. Из визуального анализа графика, можно предположить, что данный процесс можно аппроксимировать функцией из класса линейных.
Проверим эту гипотезу, используя метод конечных разностей. Суть его сводится к следующему: расчет конечных разностей n-ого порядка (первого, второго, третьего и т.д.).
Если конечные разности n-ого порядка приблизительно равны между собой, а средняя арифметическая разностей (n+1) порядка есть достаточно маленькая величина (близкая к 0), то аппроксимирующую функцию надо искать в классе функций, в основе которых лежит полином n-ой степени.
Конечные разности 1-ого порядка представляют собой разности между последующим и предыдущим значением уровней ряда. Из конечных разностей 1-ого порядка формируют ряд и для расчета конечных разностей 2-ого порядка используют этот ряд:
из последующего значения вычитают предыдущее и т. д.
Рассчитаем разности 1-ого порядка и среднюю арифметическую из разностей 2-ого порядка:
Итак, первые разности можно принять приблизительно равными; средняя арифметическая вторых разностей равна 0,05, что есть величина достаточно маленькая, а это означает, что аппроксимирующую функцию надо искать в классе линейных функций. Следовательно, уравнение тренда будет:
Воспользуемся МНК для оценки параметров линейной модели тренда. Система нормальных уравнений будет иметь вид:
Фактор времени t в модель вводится числами натурального ряда от 1 до n, где n – число уровней ряда.
Для осуществления расчетов составим вспомогательную таблицу:
показателя Подставим полученные значения в систему нормальных уравнений.
12 a0 + 78a 1 =126, 78a0 + 650 a 1 = Для решения системы нормальных уравнений воспользуемся правилом Крамера:
Итак, уравнение тренда имеет вид:
y t =0,05+1,6t 4. Прежде чем строить прогноз объема продаж на 2007 год необходимо проверить качество построенной модели тренда. Для этого рассчитаем следующие показатели:
- среднюю абсолютную погрешность: АП = t - среднеквадратическое отклонение: S = t - коэффициент несоответствия Тейла: U= где n – число наблюдений, m - число параметров модели, y – теоретическое значение признака, рассчитанное по модели;
y – фактическое значение признака.
Показатели S и АП обычно рассчитывают в тех случаях, когда имеется некоторый альтернативный метод построения прогноза. Оба показателя вычисляют для каждого метода и метод, для которого S и АП меньше, выбирают для построения прогноза.
ОП показывает, на сколько процентов в среднем отклоняется расчетное значение показателя. Если ОП достаточно большая величина (больше 8-10%), то модель не пригодна для прогнозирования.
Коэффициент несоответствия Тейла изменяется в пределах от 0 до 1. Чем ближе его значение к 0, тем выше качество модели. Этот показатель считается «универсальным»
для такого типа моделей и не требует сравнения со значениями, рассчитанных для альтернативных моделей прогнозирования.
5. Построение прогноза.
а) точечный на 2007 год. Для 2007 года t = 14.
Итак, имеем:
б) интервальный прогноз на 2007 г.:
-вычисляем среднеквадратичную ошибку S:
-рассчитываем ошибку на единицу y: = - определяем величину отклонения от истинного значения:
- строим интервальный прогноз:
В нашем случае имеем:
22,45 + 2,47 y прог 22,45 + 2, Полученные значения показателей можно отразить на графике.
Анализ построенного прогноза объема продаж товара позволяет специалистам фирмы L F P выработать линию поведения на 2007 год, связанную с объемом производства и реализации товара М.
В следующих заданиях необходимо выбрать лучший вид тренда для определения тенденции, наблюдаемой в данных.
Задача 1.
Руководство банка «Exim Banking» поручило сотрудникам отдела прогнозирования подобрать на основе фактических данных об объеме операций за первые 10 дней кризиса наилучшую модель тренда для последующего прогнозирования:
Объём операций (Млрд.руб) Задача 2.
Промышленное предприятие «А & Со» вывело на рынок новый продукт. Подберите наилучший тренд для определения тенденции, наблюдаемой в данных об объеме продаж:
Объем продаж (млн..долл) Задача 3.
Сотрудникам магазина по продаже зимнего спортивного инвентаря необходимо подобрать тренд для прогнозирования объема выручки на основе данных за последние 10 месяцев:
Выручка (млн.
руб.) Задача 4.
После сообщения 1.01 об уменьшении ставки рефинансирования объем операций на рынке кредитов резко возрос, а затем стабилизировался. Подберите наилучший тренд.
операций (млрд.тугр.) Задача 5.
Какой вид тренда лучше подходит для аппроксимации зависимости предложения плюшевых мишек от цены?
Задача 6.
Необходимо подобрать тренд для последующего прогнозирования тенденции, наблюдаемой в динамике мировых цен на бумажные салфетки:
Задача 7.
Объем мирового рынка самокатов медленно рос последние 10 месяцев. Подберите наилучший тренд:
Объем млн.долл.
Задача 8.
Обнаружив, что объем продаж: новой продукции начинает сокращаться, руководство компании «А & Со» решило в марте опустить уровень цен на данную продукцию, после чего объем продаж: стал снова расти. Подберите тренд для определения тенденции объема продаж:
продаж, млрд. руб.
Задача 9.
Какой вид тренда лучше подходит для аппроксимации зависимости спроса от цены?
Количество Задача 10.
В отличие от компании «А 8с Со» компания «В & Со» решила не уменьшать цены на свою новую продукцию. Поэтому обнаружившаяся тенденция сокращения объема продаж продолжилась. Подберите тренд для определения тенденции объема продаж:
продаж:, млрд. руб.
Тема 4. Методы прогнозирования временных рядов, основанные на анализе средних Методы прогнозирования, основанные на анализе средних, получили свое название от основного принципа, положенного в основу вычисления прогнозного значения показателя, представленного временным рядом.
В соответствии с этими методами, прогнозное значение определяется как средняя величина, в определении которой принимают участие в той или иной степени все уровни временного ряда.
Значения аппроксимирующей функции для каждого метода определяется по формулам, приведенным ниже.
Прогноз рассчитывается на один период вперед.
1. ( t ) 4. X (T +1) = F(T +1) Метод среднего абсолютного отклонения X (прогнозн = F(T +1) прогноз Прогноз вычисляется как среднее взвешенное всех элементов временного ряда.
Последний элемент «взвешивается» с множителем из интервала (0, 1), предпоследний с множителем (1- ) и т. д., первый с множителем (1 ) T 1, где Т – количество элементов ряда. Сумма всех весовых коэффициентов равна 1.
Коэффициент подбирается так, чтобы абсолютная квадратическая ошибка была минимальной. При построении прогноза учитывается, что первые уровни ряда менее значимы для тенденции, а последние – более значимы, им придается больший вес, а первым уровням – меньший.
t = 3,...T + X T +1 = S (T +1) Методом экспоненциального сглаживания получить прогнозную оценку объема продаж на 11-й месяц. Оценить качество аппроксимации на основе средней относительной погрешности. Коэффициент = 0,8.
Решение.
Х (прогноз)= S11 = 7, Далее необходимо проверить качество аппроксимации, аналогично предыдущей задаче.
Метод скользящей средней применяется для «сглаживания» временного ряда, что позволяет сделать вывод о характере тенденции развития данного явления и на основе этого позволяют выбрать адекватную модель тренда. Кроме этого скользящие средние используются в некоторых задачах прогнозирования.
Сущность метода скользящих средних состоит в укрупнении интервалов и определении средних для каждого укрупненного интервала. При этом применяют способ переменной или скользящей средней, при котором интервал усреднения сдвигают каждый раз на один шаг от начала ряда.
X (T +1) = MA(T +1) где N – интервал усреднения, порядок скользящей средней.
Yi - уровни временного ряда, - скользящая средняя N порядка.
При выборе интервала сглаживания необходимо иметь ввиду, что обычно вычисленное среднее относится к середине интервала сглаживания, который определяется по формуле :
При N четном средние относятся к серединам промежутков между двумя уровнями эмпирического ряда, что затрудняет сопоставление фактических уровней с их «сглаженными» значениями. В данном случае для сопоставления прибегают к центрированию сглаженного ряда, при этом центрированная скользящая средняя определяется как средняя двух рядом стоящих значений скользящей средней.
При использовании скользящей средней для прогнозных расчетов значение скользящей средней выносят на шаг вперед, как в рассматриваемом ниже примере или даже на несколько шагов вперед.
В рассмотренном ниже примере производится расчет скользящей средней с периодом сглаживания, равным 3, 4, а также расчет центрированной скользящей средней и определение прогноза на шаг вперед.
Прогнозное значение.
Далее необходимо проверить качество аппроксимации по приведенным ранее формулам.
Задача № Отдел рекламы фирмы SDI располагает следующими данными о затратах на рекламу за последние 12 лет:
(млн. руб.) Построить прогноз затрат на рекламу на 13-ый период на основе метода скользящих средних (период сглаживания принять равным 3).
Задача № На основе данных задачи № 1 методом скользящих средних определить есть ли тренд во временном ряду.
Задача № На основе данных приведенных ниже определить прогнозное значение показателя на период (t + 1), используя один из простейших методов (среднее абсолютное отклонение, среднее относительное отклонение, экспоненциальное сглаживание), обосновав предварительно его выбор:
времени Задача № По данным курса валюты ЦБ за любые две недели построить ex-post прогноз на основе метода экстраполяции тренда. Проанализировать расхождение показателя прогнозного и значения курса ЦБ на дату прогноза.
Задача № На основе данных приведенных ниже проверить наличие тренда во временном ряду показателя y и, если тренд обнаружен, построить прогноз (точечный и интервальный) на период (t + 1) и (t + 2):
времени t Задача № На основе данных приведенных ниже спрогнозировать показатель спроса на период (t + 1):
Период руб.) В следующих заданиях необходимо выбрать лучший вид тренда для определения тенденции, наблюдаемой в данных.
Задача № Руководство банка «Exim Banking» поручило сотрудникам отдела прогнозирования подобрать на основе фактических данных об объеме операций за первые 10 дней кризиса наилучшую модель тренда для последующего прогнозирования:
операций (Млрд.руб) Задача № Промышленное предприятие «А & Со» вывело на рынок новый продукт.
Подберите наилучший тренд для определения тенденции, наблюдаемой в данных об объеме продаж:
продаж млн. долл Задача № Сотрудникам магазина по продаже зимнего спортивного инвентаря необходимо подобрать тренд для прогнозирования объема выручки на основе данных за последние 10 месяцев:
Выручка, млн. руб.
Задача № После сообщения 1.01 об уменьшении ставки рефинансирования объем операций на рынке кредитов резко возрос, а затем стабилизировался.
Подберите наилучший тренд.
Объем операций, млрд.тугр.
Задача № Какой вид тренда лучше подходит для аппроксимации зависимости предложения плюшевых мишек от цены?
Цена, $ Количество, Задача № Необходимо подобрать тренд для последующего прогнозирования тенденции, наблюдаемой в динамике мировых цен на бумажные салфетки:
Задача № Объем рынка велосипедов медленно рос последние 10 месяцев. Подберите наилучший тренд:
Объем рынка, млн.долл.
Задача № Обнаружив, что объем продаж: новой продукции начинает сокращаться, руководство компании «А & Со» решило в марте опустить уровень цен на данную продукцию, после чего объем продаж: стал снова расти. Подберите тренд для определения тенденции объема продаж:
Задача № Какой вид,тренда лучше подходит для аппроксимации зависимости спроса от цены?
Задача № В отличие от компании «А 8с Со» компания «В & Со» решила не уменьшать цены на свою новую продукцию. Поэтому обнаружившаяся тенденция сокращения объема продаж продолжилась. Подберите тренд для определения тенденции объема продаж:
Тема 5. Методы анализа временных рядов с периодической Для анализа временных рядов с периодической компонентой в экономических исследованиях применяются различные методы и модели.
Модели с аддитивной компонентой применяются в том случае, когда амплитуду колебаний уровней ряда относительно тренда можно считать постоянной, если амплитуда, например, возрастает, то применяют модель с мультипликативной компонентой.
Анализ модели с аддитивной компонентой.
Общие этапы построения модели с аддитивной компонентой.
Этап 1 Анализ данных.
Построение графика на основе исходных данных.
Визуальный анализ данных и вывод о необходимости использовать модель с аддитивной компонентой.
Этап 2 Расчет сезонной компоненты.
Расчет скользящей средней с поквартальным шагом 4.
Центрирование скользящей средней.
Определение сезонной компоненты путем вычитания из уровней ряда значений центрированной скользящей средней за соответствующий момент времени.
Расчет средних значений сезонной компоненты по кварталам.
Корректировка средних значений сезонной компоненты (сумма средних значений сезонных компонент должна быть равна 0).
Этап 3. Определение тренда.
Десезонализация данных путем вычитания из фактических значений уровней ряда скорректированных средних значений сезонной компоненты за соответствующий квартал.
Построение модели тренда на основе десезонализированных данных методом наименьших квадратов.
Этап 4 Проверка качества модели и расчет ошибок.
Этап 5 Прогнозирование с учетом сезонной компоненты.
Расчет прогнозных значений на основе модели тренда.
Корректировка прогнозных значений с использованием скорректированных значений сезонной компоненты.
В таблице приведены данные по кварталам 1999-2001 гг. по ВВП Португалии в млн.
евро:
Год Квартал ВВП,млн.евро Требуется построить прогноз объема ВВП в Португалии на I, II, III, IV кварталы 2002года.
Решение:
Этап 1. Анализ данных.
Строим график на основе исходных данных:
I II III IV 1 11 III IV I II III IV
В результате визуального анализа графика делаем вывод о возможности использования аддитивной модели, так как размах вариаций фактических значений относительно линии тренда не меняется, то есть характер периодических колебаний относительно тренда примерно одинаков в течение анализируемого периода времени.Величину Y можно представить как Y=T+S+E.
Этап 2. Расчет сезонной компоненты.
Рассчитываем скользящую среднюю с шагом 4.
Центрируем скользящую среднюю.
Определяем сезонную компоненту путем вычитания из уровней ряда значений центрированной скользящей средней за соответствующий момент времени Результаты расчетов приведены в таблице:
2.4. Производим расчет средних значений сезонной компоненты по кварталам.
S I =(0,325 + 0,387)/2= 0, S II = (0,086 + 0,046)/2 = 0, S III = (- 0,205 - 0,274)/ 2 = - 0, S IV = ( - 0,21 - 0,166)/ 2 = - 0, Корректируем средние значения сезонной компоненты, так как сумма S cp по кварталам не равна нулю, а равна -0,006. Поэтому прибавляем к двум отрицательным S по 0,003.
Этап 3. Определение тренда.
3.1. Десезонализация данных.
От всех уровней ряда отнимаем соответствующее значение скорректированной сезонной компоненты и получаем значения, содержащие тренд и случайную компоненту:
У- S:Kop = Т + Е.
3.2. Построим модель тренда методом наименьших квадратов на основе десезонализированных данных объема ВВП Португалии. Строим график для Т+Е.
I (I III IV I II III IV I II III IV
На основе визуального сравнения графиков фактических данных и десезонализированных можно принять гипотезу о линейности модели тренда Подготовим данные для определения тренда (обозначим Т+Е = Z):Параметры определим из системы нормальных уравнений:
В результате расчетов составляем уравнение тренда:
Z = 25,75 +0,5*t Этап 4. Определяем ошибки.
Рассчитаем ошибки по формуле: Е = Y - S - Т Среднее значение ошибки по модулю равно 0,04. Это очень хороший показатель.
Модель пригодна для прогноза.
Этап 5. Построение прогноза с учетом сезонных колебаний.
А) Прогнозирование на основе тренда:
YIпр = 25,75 + 0,5 *13 = 32,, YIIпр2002 = 25,75 + 0,5 * 14 = 32, YIII, 2002 = 25,75 + 0,5 * 15 = 33, YIV, 2002 = 25,75 + 0,5 * 16 = 33, Б) Скорректируем прогноз с учетом фактора сезонности:
YIпр скор = 32,25 + 0,356 = 32,, YIIпр2002 = 32,75 + 0,066 = 32, YIII,скор = 33,25 0,237 = 33, YIV,скор = 33,75 0,186 = 33, Анализ модели с мультипликативной компонентой.
Общие этапы построения этой модели сходны с этапами построения аддитивной модели.
Построение графика на основе исходных данных.
Визуальный анализ данных и вывод о необходимости использования модели с 10B мультипликативной компонентой.
Расчет скользящей средней с шагом 4.
Центрирование скользящей средней.
12B Определение коэффициентов сезонности путем деления уровней ряда на значение 13B центрированной скользящей средней за соответствующий момент времени.
Расчет средних значений коэффициентов сезонности по кварталам.
14B Корректировка средних значений коэффициентов сезонности.
15B Десезонализация данных путем деления фактических значений уровней ряда на 16B скорректированные коэффициенты сезонности за соответствующий квартал.
Построение модели тренда на основе десезонализированных 17B данных методов наименьших квадратов.
Этап 4 Проверка качества модели и расчет ошибок (расчет ошибок можно Этап 5 Прогнозирование с учетом сезонной компоненты.
Расчет прогнозных значений на основе модели тренда.
18B Корректировка прогнозных значений с использованием коэффициента сезонности.
19B Получены данные:
Объём Этап 1. Анализ данных.
Строим график на основе данных таблицы Визуальный анализ данных позволяет сделать вывод о возможности использования мультипликативной модели, т.к. размах вариаций фактических значений относительно линии тренда постоянно возрастает:
Y=T*S*E Этап 2 Расчет сезонной компоненты.
Процедура этого этапа включает:
расчет скользящей средней с шагом, равным 4;
центрированной скользящей средней;
оценку сезонной компоненты на основе деления уровня ряда на значение центрированной скользящей средней за соответствующей момент времени. Результаты расчетов приведены в таблице:
Период Номер Объем Скользящая средняя за Центрированная скользящая Коэффициент Далее определяются средние значения сезонной компоненты по кварталам и проводится их корректировка. Среднее значение для каждого квартала года вычисляется на основе фактически имеющихся данных по одноименным кварталам по рассматриваемым годам.
Сумма оценок сезонной компоненты должна равняться 4.
Если сумма не равна 4, то производится корректировка сезонной компоненты.
Результаты расчетов приведены в таблице:
Итого Оценка сезонной компоненты Сумма сезонных Скорректированная компонента скорректированных Этап 3. Определение тренда.
На этом этапе проводится десезонализация данных путем деления фактических значений уровня ряда на скорректированные коэффициенты сезонности по кварталам.
Таким образом, получают значения, содержащие тренд и случайную компоненту:
Y/S=T*E Далее осуществляем построение модели тренда методом наименьших квадратов на основе десезонализированных данных объема продаж. Визуальное сравнение графиков фактических данных и десезонализированных данных дает возможность принять гипотезу о линейной модели тренда: T = a0 + a1 t Модель тренда с численными параметрами будет иметь вид:
Ti = 19.75 + 4.93 t Этап 4. Определение качества модели. Расчет ошибок.
О качестве модели можно судить по ошибкам. Рассчитываем их по формуле: E=Y/T*S Значения ошибок приведены в последней графе таблицы. Значения ошибок невелики и составляют порядка 1%. Это говорит о таком качестве модели, которое делает ее вполне пригодной для прогнозирования.
Этап 5. Построение прогноза с учетом сезонных колебаний.
Здесь осуществляется расчет прогноза на 3 квартал по модели тренда с последующей корректировкой прогноза на сезонную компоненту.
Рассчитаем прогноз на 3 квартал по модели тренда. Порядковый номер квартала 3 на год равен 15, тогда прогноз значения объема продаж по уравнению тренда будет следующим:
Т=19,75+4,93*15=93, Скорректируем это значение с учетом фактора сезонности:
Y4год 3квартал скор=(19,75+4,93*16)*1,264=124, Однако не следует забывать о том, что чем больше период упреждения, тем меньше степень обоснованности прогноза.
Задание На основе данных об объеме продаж фирмы в приведенных ниже задачах:
1) проанализировать имеющиеся данные;
2) выбрать модель для расчета прогноза;
3) обосновать выбор модели;
4) сделать прогноз на указанный период.
Задача 1.
Объем продаж (млн.руб.) Используя модель с периодической компонентой, построить прогноз объема продаж на декабрь.
Задача 2.
Используя модель с периодической компонентой, построить прогноз объема продаж на 3 и 4 кварталы года 4.
Задача 3.
Построить прогноз объема продаж на 4 квартал 5 года.
Задача 4.
Заполнить таблицу.
Задача 5.
I II III IV I II III IV I II III IV
Используя модель с периодической компонентой, построить прогноз объема продаж на кварталы следующего года.Задача 6.
I II III IV I II III IV I II III IV
Используя модель с периодической компонентой, построить прогноз объема продаж на кварталы следующего года.Задача 7.
I II III IV I II III IV I II III IV
Квартал продаж Спрогнозировать продажи на следующий год с учётом сезонных колебаний.Задача 8.
Объём Спрогнозировать продажи на следующие 2 квартала с учётом сезонных колебаний.
Задача 9.
I II III IV I II III IV I II III IV
Квартал продаж Спрогнозировать продажи на следующий год с учё50том сезонных колебаний.Задача 10.
Спрогнозировать продажи на следующие 2 квартала с учётом сезонных колебаний.
Задача 11.
I II III IV I II III IV I II III IV
Квартал Объём продаж Спрогнозировать продажи на следующий год с учётом сезонных колебаний.Задача 12.
Объём Спрогнозировать продажи на следующие 2 квартала с учётом сезонных колебаний.
Задача 13.
I II III IV II III IV I II III IV
Квартал Объём продаж Спрогнозировать продажи на следующий год с учётом сезонных колебаний.Задача 14.
Объём Спрогнозировать продажи на следующие 2 квартала с учётом сезонных колебаний.
Задача 15.
I II III IV II III IV I II III IV
Квартал Объём продаж Спрогнозировать продажи на следующий год с учётом сезонных колебаний.Задача 16.
Объём продаж Спрогнозировать продажи на следующие 2 квартала с учётом сезонных колебаний.
Задача 17.
I II III IV II III IV I II III IV
Квартал Объём продаж Спрогнозировать продажи на следующий год с учётом сезонных колебаний.Задача 18.
Объём прода Спрогнозировать продажи на следующие 2 квартала с учётом сезонных колебаний.
Задача 19.
I II III IV II III IV I II III IV
Квартал Объём продаж Спрогнозировать продажи на следующий год с учётом сезонных колебаний.Задача 20.
Объём прода Спрогнозировать продажи на следующие 2 квартала с учётом сезонных колебаний.
Задача 21.
I II III IV II III IV I II III IV
Квартал Объём продаж Спрогнозировать продажи на следующий год с учётом сезонных колебаний.Задача 22.
Объём прода Спрогнозировать продажи на следующие 2 квартала с учётом сезонных колебаний.
Задача 23.
I II III IV II III IV I II III IV
Квартал Объём продаж Спрогнозировать продажи на следующий год с учётом сезонных колебаний.Задача 24.
Объём продаж Спрогнозировать продажи на следующие 2 квартала с учётом сезонных колебаний.
Задача 25.
I II III IV II III IV I II III IV
Квартал Объём продаж Спрогнозировать продажи на следующий год с учётом 8сезонных колебаний.Задача 26.
продаж Спрогнозировать продажи на следующие 2 квартала с учётом сезонных колебаний.
Задача 27.
I II III IV II III IV I II III IV
Квартал Объём продаж Спрогнозировать продажи на следующий год с учётом сезонных колебаний.Задача 28.
Объём продаж Спрогнозировать продажи на следующие 2 квартала с учётом сезонных колебаний.
Задача 1.
Построить прогноз мировой цены на нефть марки БРЕНТ на следующие три года, используя следующие данные о динамике среднегодовых цен на нефть этой марки за 1995-2004 годы (БИКИ, дек.2005).
(дол/барр) Подобрать наиболее адекватную модель тренда. Оценить качество моделей на основе расчета средней относительной погрешности.
Задача 2.
Построить прогноз объема экспорта нефти из РФ на следующие 3 года при условии сохранения основных тенденций на основе следующих данных (БИКИ, дек. 2005).
Объем (Млн. тонн) Задача 3.
Имеются следующие данные об объеме продаж товара за три года:
(тыс. руб) Используя аддитивную модель построить прогноз объема продаж на 1, 2 и 3 кварталы следующего года. Обосновать выбор модели.
Задача 4.
Имеются следующие данные об объеме продаж товара за три года:
Период Объем продаж (тыс. руб) Используя мультипликативную модель построить прогноз объема продаж на 1,2 и кварталы следующего года. Обосновать выбор модели.
Задача 5.
Исследовать остатки в модели регрессии, если известны следующие данные:
Задача 6.
Туристическую фирму крупного курортного города интересует связь между числом отпускников, останавливающихся в отелях и расходами на рекламу отелей. Взято случайное число отелей 8, сходных по размерам.
Построить модель для объяснения влияния рекламы на выбор отеля.
Прокомментировать результаты анализа.
Задача 7.
Компания владеет 12 магазинами. Финансовый директор рассматривает возможность слияния мелких магазинов для увеличения прибыльности компании. Для принятия решения ему необходимо установить связь между прибылью и оборотом. Данные для каждого магазина за последний финансовый год в таблице:
АНАЛИЗ ВЗАИМОСВЯЗИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ.
Тема 6. Понятие корреляционного и регрессионного анализа.Основным аппаратом эконометрики является раздел математической статистики – корреляционно-регрессионный анализ.
Задача корреляционного анализа – выявление характера и степени взаимосвязи между экономическими показателями.
Задача регрессионного анализа – выявление того, насколько изменение одной экономической переменной (фактора) в среднем влияет на изменение другой экономической переменной (результативного признака).
В корреляционном анализе определяется один показатель, характеризующий степень тесноты взаимосвязи экономических показателей. В регрессионном анализе строится модель регрессии в виде математической функции, которая показывает влияние факторов на некоторый экономический показатель.
Теоретически корреляция и регрессия связаны между собой.
Рассматривается двумерная (многомерная) случайная величина, например Х, У.
Исследуется зависимость между случайными величинами.
Виды зависимости между случайными величинами - функциональная, – если значению случайной величины Х по определенному закону ставится в соответствие значение случайной величины У.
- статистическая (вероятностная), - если значению случайной величины Х ставится в соответствие определенное распределение случайной величины У.
Математическое ожидание У, определенное для каждого значения Х в вероятностной зависимости, называется условным математическим ожиданием.
Статистическая зависимость, в которой при изменении случайной величины Х изменяется условное математическое ожидание случайной величины У, называется корреляционной зависимостью. При этом, если условное математическое ожидание меняется по линейному закону, корреляционная зависимость называется линейной, если по нелинейному закону – криволинейной. Если условное математическое ожидание случайной величины У не изменяется при изменении значений Х, то корреляционной зависимости нет. (Т.е., любая корреляционная зависимость является статистической, но не всякая статистическая зависимость является корреляционной.) Функция, которая описывает закон изменения условного математического ожидания случайной величины У при изменении другой случайной величины Х, называется функцией регрессии Y на X. Если двумерная случайная величина (Х,У) распределена по нормальному закону, то функция регрессии линейная, корреляционная зависимость тоже линейная.
Из вышесказанного понятна практическая интерпретация корреляционного и регрессионного анализа – выводы исследования можно интерпретировать лишь как некоторые усредненные свойства, обобщенные характеристики экономических процессов. Это необходимо иметь в виду тем, кто применяет корреляционный и регрессионный анализ.
Корреляционный и регрессионный анализ являются методами математической статистики - дисциплины, целью которой является получение научных и практических выводов относительно некоторых явлений в целом на основе исследования корреляционной и регрессионной зависимости в выборке или временном ряду.
Любое конкретное исследование имеет дело с некоторыми выборочными данными из некоторой генеральной совокупности. Задача исследования состоит в том, чтобы на основе анализа выборки сделать выводы о свойствах всей совокупности. Эта задача решается с помощью специальных приемов математической статистики- проверки статистических гипотез.
Принимается с определенной вероятностью гипотеза о наличии (отсутствии) данного свойства в генеральной совокупности. Эта гипотеза проверяется с помощью специального показателя, определяемого по выборке, – статистического критерия, который позволяет с заданной вероятностью ошибки сделать вывод о том, значимы ли значения выборочных показателей для выводов о наличии определенных свойств в генеральной совокупности, или их значения случайно отличны от нуля и они не значимы. Для проверки статистической значимости различных видов выборочных статистических показателей существуют тесты, использующие свои критерии, каждый из которых является случайной величиной, имеющей то или иное известное вероятностное распределение, зависящее от степеней свободы и выбранного уровня значимости (доверительной вероятности). Далее эти вопросы будут рассмотрены более подробно и на конкретных примерах.
Корреляционный анализ. Парная зависимость.
Корреляционный анализ — метод математической статистики, используемый для изучения, исследования взаимосвязи между (генеральными) экономическими показателями на основе их наблюдаемых статистических (выборочных) представлений.
Парный корреляционный анализ — изучение взаимосвязи между двумя экономическими показателями, описывающими свойства однотипных объектов из некоторой совокупности.
Корреляционный анализ данных включает следующие шаги:
• Сбор и анализ данных; определение формы корреляционной связи (линейная, криволинейная).
• Вычисление показателя тесноты корреляционной связи.
• Оценка статистической значимости показателя тесноты корреляционной связи.
Целью корреляционного анализа является получение определенной информации о характере и степени взаимосвязи некоторых, интересующих исследователя, экономических показателей, связанных с тем или иным явлением.
б) Определение объекта и предмета исследования (объект исследования — некоторое экономическое явление; предмет исследования — пара признаков, свойств объекта исследования, между которыми существует определенная причинная зависимость и для исследования взаимосвязи между которыми будет привлечен корреляционный анализ).
а) Сбор данных осуществляется методом случайной выборки некоторого количества наблюдаемых объектов из некоторой однородной совокупности, фиксации для каждого выбранного объекта пары признаков (свойств), взаимосвязь которых будет предметом исследования Результаты наблюдения оформляются в виде корреляционной таблицы.
б) Анализ данных.
Визуальная оценка на основе графического анализа. Данные на графике представляются в виде корреляционного поля.
Рис. 1. Корреляционное поле. (Может быть принята гипотеза о линейной корреляционной связи) Рис. 2. Корреляционное поле. (Может быть принята гипотеза о криволинейной корреляционной связи) Рис. 3. Корреляционное поле. (Может быть принята гипотеза об отсутствии корреляционной связи) 3. Вычисление показателей тесноты корреляционной связи.
Основывается на результатах предыдущего этапа.
а) Если визуальный анализ позволяет принять гипотезу о линейной форме связи между показателями — для оценки степени тесноты связи применяется линейный коэффициент корреляции.
Границы измерения:
Если взаимосвязь между показателями обратная (отрицательная), то корреляционная связь отрицательная:
Если взаимосвязь между показателями прямая, то корреляционная зависимость положительная:
Если r = 0, линейная корреляционная зависимость отсутствует.
В крайних случаях |r| = 1 имеется функциональная линейная зависимость между показателями x и z т.е.
причём в первом случае b < 0, а во втром b > 0.
б) Если визуальный анализ не позволяет принять гипотезу о линейной форме связи, коэффициент корреляции в этом случае применять неправомерно.
4. Оценка статистической значимости показателя корреляционной связи.
а) Оценка статистической значимости линейного коэффициента корреляции проводится с помощью теста Стьюдента по t-статистике:
Если то коэффициент корреляции статистически значим.
то коэффициент корреляции статистически незначим.
Также необходимо особо остановиться на содержательной интерпретации коэффициента корреляции, которая наглядно демонстрируется формулой:
1. Если в соответствующих i наблюдениях величины отклонений xi и zi от своих средних в основном совпадают, т.е. большим отклонениям соответствуют большие отклонения то величина коэффициента корреляции будет больше по абсолютной величине, чем в случае, если большим отклонениям xi от своего среднего будут соответствовать меньшие отклонения zi и наоборот 2. Если направленность отклонений будет в основном одинакова, то коэффициент корреляции будет иметь знак «+», если противоположна, Эту интерпретацию удобно провести на основе анализа графиков.
Для расчета значений коэффициента корреляции удобнее пользоваться формулой:
Пусть в результате наблюдений над некоторыми двумерными случайными величинами [X1,X2], [Y1,Y2], [Z1,Z2] получены методом случайной выборки некоторые совокупности пар их значений. Пусть наблюдаемые пары значений величин [X1,X2], [Y1,Y2], [Z1,Z2] будут зафиксированы в некотором случайном порядке следующим образом:
На основе приведенных данных проведите визуальный анализ направленности и степени тесноты связи между величинами X1 и X2, Y1 и Y2, Z1 и Z2. Подтвердите выводы, определите коэффициенты корреляции, если связь линейная.
Решение Визуальный анализ проведем на основе двух видов графиков.
На первом виде графика в осях (N, X), (N, Y), (N, Z) проведем анализ степени синхронности изменения величин около своих средних.
На втором виде графика в осях (X1,X2), (Y1,Y2), (Z1,Z2) построим корреляционные поля распределения соответствующих величин.
Легко убедиться, что последовательность наблюдений не влияет на характер выводов о взаимосвязи рассматриваемых величин.
В каждом случае сравним выводы, сделанные на основе анализа одних и тех же показателей по двум видам графиков.
I. Анализ взаимосвязи между X1 и X2.
1. Визуальный анализ взаимосвязи величин X1 и X2.
а) Построим график в осях (N,X) (последовательно отложим значения соответствующих пар X1 и X2 на графике).
На графике видно, что степень синхронности в изменении X1 и X2 достаточно мала. В основном, там, где величина X1 резко возрастает, изменения величины X более плавные, меньшие, чем у X1, и наоборот, где X2 резко изменяется, величина X изменяется менее резко. Это дает основание сделать предположение о слабой корреляционной зависимости между величинами X1 и X2. При этом такая несинхронность в движении величин X1 и X2 будет наблюдаться при любой другой последовательности наблюдений.
2. Более точный ответ можно получить, анализируя характер распределения этих величин на корреляционном поле.
Анализ рис 2 подтверждает сделанное выше предположение.
3. Рассчитаем линейный коэффициент корреляции между X1 и X2:
Величина коэффициента корреляции равна в данном случае 0,161, что свидетельствует о весьма слабой прямой корреляционной связи. Проверка статистической значимости коэффициента корреляции показывает, что коэффициент статистически незначим:
tкрит=2, II. Анализ взаимосвязи Y1 и Y2.
1. Визуальный анализ взаимосвязи величин Y1 и Y2.
а) Построим график в осях (N, Y).
Рис. 3. Графики Y1 и Y2.
На графике видно, что степень синхронности в изменении Y1 и Y2 достаточно велика (сравните изменения величин X1 и X2).
При этом совпадает и направленность колебаний.
2. Построим корреляционное поле распределения величин Y1 и Y2.
Рис. 4. Корреляционное поле.
На рис. 4 явно прослеживается определенная взаимосвязь в изменении средних значений Y2 при изменении величины Y1 в сторону увеличения. Форму взаимозависимости можно считать линейной.
3. Рассчитаем линейный коэффициент корреляции между Y1 и Y2.
Величина коэффициента корреляции в данном случае равна что свидетельствует о довольно тесной положительной корреляционной связи.
Проверка статистической значимости коэффициента показывает, что коэффициент статистически значим.
tкрит(0,05; 8)=2, | tфактич | > tкрит.
Постановка задачи.
Имеются данные о среднегодовых темпах роста выпуска валовой продукции по десяти отраслям и темпах роста производительности труда на одного работника.
Определить в целом степень тесноты связи между производительностью труда и выпуском валовой продукции. Исходные данные в представлены в Таблица 1.
Решение Сбор и анализ данных Исходные данные представлены в табл. 1. Проведем визуальный анализ данных.
Построим корреляционное поле.
Вывод: Можно принять гипотезу о линейной связи.
Вычисление линейного коэффициента корреляции :
Валовая Производитель продукция (x) -ность труда (z) Полученная величина коэффициента корреляции свидетельствует о довольно тесной положительной корреляционной связи между изучаемыми экономическими показателями.
Проверка статистической значимости коэффициента корреляции.
tкрит(0,05;8)=2, | tфактич |>tкрит Коэффициент корреляции статистически значим. Это означает, что с вероятностью 0,95 данные наблюдений противоречат гипотезе о том, что между производительностью труда и выпуском валовой продукции отсутствует корреляционная зависимость.
Тема 7. Парный корреляционный анализ. Корреляционное В случае криволинейной корреляционной зависимости теснота связи между переменными может быть измерена с помощью корреляционного отношения.
Значение корреляционного отношения есть величина неотрицательная и изменяющаяся в пределах: 0 1. Отсутствие корреляционной связи между У и Х дает значение = 0.
коэффициент корреляции), то между У и Х существует криволинейная зависимость, в противном случае – линейная зависимость.
Проверка статистической значимости осуществляется на основе F-статистики:
числа степеней свободы противном случае ( F фактичч F критич) не является статистически значимым.
Продемонстрируем расчет на примере.
В таблице приведены результаты исследования двух экономических показателей У и Х.
Необходимо изучить вид связи между этими показателями и оценить тесноту связи между У и Х.
Строим корреляционное поле Между У и Х существует криволинейная корреляционная зависимость, как можно предположить из визуального анализа корреляционного поля.
Построим корреляционную таблицу:
Достаточно удобное представление данных в корреляционной таблице дает возможность довольно быстро осуществить расчет корреляционного отношения.
Расчёт можно осуществить на основе таблицы Рассчитаем на основе ниже приведённого соотношения:
Проверим статистическую значимость корреляционного отношения.
F фактич. < F критич, следовательно, не является статистически значимым.
Основываясь на нижеприведенных данных, проанализировать наличие и тесноту корреляционной связи между парой признаков, проведя полный корреляционный анализ (построить график синхронности, корреляционное поле, рассчитать парный коэффициент корреляции и корреляционное отношение).
Основываясь на данных, представленных в простой парной таблице (n=20), определить меру тесноты связи между двумя экономическими показателями у и х.
Определить, основываясь на рассчитанных значениях парного коэффициента корреляции и корреляционного отношения, является ли зависимость между парой показателей У и Х линейной или криволинейной:
На основе следующих данных провести корреляционный анализ. Вычислить коэффициент корреляции и корреляционное отношение.
Задача 2.
Задача 3.
Задача 4.
Задача 5.
Задача 6.
Задача 7.
Задача 8.
Тема 8. Множественный корреляционный анализ.
В экономике значение изучаемого показателя достаточно часто складывается под влиянием не одного, а многих факторов. При этом каждый из факторов в отдельности может не оказывать существенного влияния, однако их совместное влияние является достаточно сильным. Взаимосвязь между множеством экономических показателей изучает множественная корреляция. При этом могут исследоваться две проблемы:
1) влияние на один какой-либо показатель совокупности факторов;
2) анализ взаимосвязи двух каких-либо факторов при исключении влияния на них обоих других факторов.
Множественный корреляционный анализ основывается на парной корреляции.
Пусть имеется n экономических показателей. Для проведения множественного корреляционного анализа вычисляются парные коэффициенты корреляции между каждой парой экономических показателей и на их основе составляется корреляционная матрица.
в силу свойства матрицы К (см. парную корреляцию) в виде:
r n1 r n 2............ Для измерения интенсивности совместного влияния всех факторов на изучаемый признак используют коэффициент множественной корреляции, который рассчитывается на основе следующего соотношения:
где D - определитель полной матрицы корреляции:
D = det r
D11 - определитель подматрицы полной матрицы корреляции, содержащей все элементы за исключением элементов первой строки и первого столбца:
1 r23.................... r2n Границы изменения коэффициента множественной корреляции от 0 до 1. Чем ближе его значение к 1, тем теснее связь изучаемого признака со всем набором факторов.
Когда на признак оказывает влияние только два фактора, соотношение для расчета коэффициента множественной корреляции имеет вид:
где - квадрат множественного коэффициента корреляции;
n - число наблюдений k - число факторов, влияние которых изучается.
F фактич.
Пусть имеется 4 экономических показателя x, y, z, v. Известна матрица парных коэффициентов корреляции между ними.
Определить совместное влияние на переменную y всех остальных факторов.
Рассчитаем множественный коэффициент корреляции:
По таблице значений F критерия Фишера для уровня значимости = 0,10 и числа степеней свободы m1 = 3 и m2 = находим F табл.: F критич = 5,29, сравниваем его с F фактич.
F фактич. > F критич., следовательно, R yxzv статистически значим. Следовательно, можно сделать вывод о том, что совместное влияние факторов x, z, v на y достаточно сильное.
Кроме коэффициента множественной корреляции весьма полезным в сфере экономических исследований являются частные (чистые, парциальные) коэффициенты корреляции, оценивающие степень связи одного признака с одним фактором при исключении влияния всех прочих факторов.
Частные коэффициенты корреляции позволяют выявить «чистую» зависимость признака от одного из факторов и установить, каково было бы влияние этого фактора на величину признака при условии, что влияние других (другого) факторов на этот признак исключается.
Частные коэффициенты могут быть разных порядков. Порядок коэффициента определяется числом, факторов, влияние которых исключается.
Расчет частных коэффициентов корреляции может осуществляться двумя способами:
Недостатком этого способа является то, что для расчета коэффициента здесь требуется знание значений коэффициентов предыдущих порядков.
корреляции первого порядка.
Рассчитанные ранее парные коэффициенты для удобства пользователя оформляют в виде матрицы парных коэффициентов:
корреляции второго порядка.
Для вычисления r 34*12 необходимо исчислить частные коэффициенты первого порядка: r 34*1, r 32*1, r 42*1.
Общая рекуррентная формула для вычисления частных коэффициентов корреляции Пределы изменения частных коэффициентов корреляции -1 r част. + 1 и их интерпретаций такая же, как и у парных коэффициентов корреляции.
Проверка статистической значимости частных коэффициентов корреляции осуществляется на основе t – критерия:
где (n-2-l) – число степеней свободы ;
l - число факторов, влияние которых исключается;
n - объем выборки.
cтатистически значим. В противном случае не является статистически значимым.
Для выявления «чистой» зависимости между экономическими показателями и влияния на неё исключаемых факторов необходимо сравнить частные и соответствующие парные коэффициенты корреляции.
Расчет парных и частных коэффициентов корреляции и их последующее сравнение может привести к одному из следующих выводов:
сторону ее увеличения.
сторону ее уменьшения.
Y и X.
Изучается зависимость некоторого признака Y от трех факторов: X, Z, V (n = 20) Рассчитаны парные коэффициенты корреляции и построена матрица К этих коэффициентов:
Решение:
1) Рассчитаем r yxz исключении влияния z достаточно тесная. Причем фактор z влияет в сторону усиления предварительно вычислив показатели первого порядка Показатель r xvz также является статистически значимым.
Вычисляем частный коэффициент r yzzv :
Проверим статистическую значимость этого Данный показатель также является статистически значимым.
Продемонстрируем этот способ расчета.
= ((0,69 1 1 + 0,58 0,41 0,50 + 0,46 0,41 0,55) (0,55 1 0,50 + 0,41 0,41 0,69 + 0,58 0,46 1)) = = ((0,69 + 0,12 + 0,10) (0,27 + 0,12 + 0,26)) = (0,91 0,65) = 0, = (1 1 1 + 0,55 0,58 0,4 ) + (0,58 0,41 0,55) (0,55 1 0,55 + 0,41 0,41 1 + 0,58 0,58 1) = = (1,26 (0,30 + 0,17 + 0,34)) = (1,26 0,71) = 0, (0,50 1 0,50 + 0,41 0,41 1 + 0,46 0,46 1) = (1 + 0,09 + 0,09) (0,25 + 0,17 + 0,21) = 1,18 0,63 = 0, Для расчета определителей третьего порядка было использовано правило треугольников.
Итак, Проверяем статистическую значимость вычисленного показателя.
Расхождение в значениях коэффициента r yxzv, рассчитанного первым и вторым способами, получено за счет ошибки округления.
Задача № Исследование зависимости тормозного пути автомобиля х от скорости его движения у и состояния асфальтового покрытия z дало следующие результаты:
полученные результаты.
Задача № На основе данных за 25-летний период по трем экономическим показателям x, y, z были вычислены частные коэффициенты корреляции:
Проинтерпретировать полученные результаты.
Задача № На основе данных за 28 временных периодов были рассчитаны парные коэффициенты корреляции:
Определить частные коэффициенты корреляции и проинтерпретировать полученные результаты.
Задача № Рассчитаны парные коэффициенты корреляции между признаками X, Y, Z, V, W ( n = 25):
Вычислить частные коэффициенты корреляции первого, второго и третьего порядков и множественный коэффициент Rx yzvw. Пояснить полученные результаты.
На основе следующих данных вычислить частные и множественные коэффициенты корреляции 4. Rx yzv ;
5. Rv yzx ;
Проверить статистическую значимость и дать интерпретацию
X Y Z V X Y ZV X Y Z V X YZV
X Y Z V X Y ZV X Y Z V X YZV
X Y Z V X Y Z V XYZV XYZV
Парная регрессия-уравнение связи двух переменных у и х:y = f (x) где y - зависимая переменная (результативный признак);
x - независимая, объясняющая переменная (признак-фактор).
Различают линейные и нелинейные регрессии.
Линейная регрессия: y = a0 + a1 x + Нелинейные регрессии делятся на два класса: регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, и регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.
Регрессии, нелинейные по объясняющим переменным:
Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам:
Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров. Для оценки параметров регрессий, линейных по параметрам, используют метод наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака у от теоретических y x минимальна, т.е.
Для линейных и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, решается следующая система :
Можно воспользоваться готовыми формулами, которые вытекают из этой системы:
Тесноту связи изучаемых явлений оценивает линейный коэффициент парной корреляции rxy для линейной регрессии (1 rxy 1) :
и индекс корреляции R xy - для нелинейной регрессии (0 R xy 1) :
Оценку качества построенной модели даст коэффициент (индекс) детерминации R2, а также средняя ошибка аппроксимации.
Средняя ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических:
Допустимый предел значений ОП - не более 8-10%.
Средний коэффициент эластичности Э показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат у от своей средней величины при изменении фактора x на 1% от своего среднего значения:
Задача дисперсионного анализа состоит в анализе дисперсии зависимой переменной:
- сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией («объясненная»
или «факторная»);
(y y ) 2 - остаточная сумма квадратов отклонений.
Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака у характеризует коэффициент (индекс) детерминации R2:
R2 - коэффициент детерминации (квадрат коэффициента или индекса корреляции в парной корреляции).
F-тест - оценивание качества уравнения регрессии - состоит в проверке гипотезы Но об отсутствии регрессионной зависимости между величинами Х и У. Для этого выполняется сравнение фактического Fфакт и критического (табличного, компьютерного) Fкрит значений F-критерия Фишера. Fфакт определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы:
корреляции) где n - число единиц совокупности;
m - число параметров при переменных х.
Fкритич - это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости. Уровень значимости - вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно принимается равной 0,05 или 0,01.
Если Fкритич < Fфакт, то Но - гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность R2. Если Fкритич > Fфакт, то гипотеза Но не отклоняется и признается статистическая незначимость, ненадежность R2 уравнения регрессии.
Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитываются t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Выдвигается гипотеза Но о случайной природе показателей. Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью t-критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки:
t a1 = Случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции определяются по формулам:
S rxy = Сравнивая фактическое и критическое (табличное) значения t-статистики - tкритич и tфакт - принимаем или отвергаем гипотезу Но.
Связь между F-критерием Фишера и t-статистикой Стьюдента выражается равенством Если tкритич < |tфакт| то Hо отклоняется, т.е. aо, a1 и rxy не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора х. Если tкритич > |tфакт| то гипотеза Но не отклоняется и признается случайная природа формирования ао, a1 или rxy.
Для расчета доверительного интервала определяем предельную ошибку для каждого показателя:
Формулы для расчета доверительных интервалов имеют следующий вид:
Если в границы доверительного интервала попадает ноль, т.е. нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то оцениваемый параметр принимается нулевым, так как он не может одновременно принимать и положительное, и отрицательное значения.
стандартная ошибка прогноза где ост = и строится доверительный интервал прогноза:
где По семи регионам за 2006 г. Получаем следующие величины заработной платы и расходов на продовольствие.
Требуется:
1. Для характеристики зависимости у от х рассчитать параметры следующих функций:
а) линейной;
б) равносторонней гиперболы.
2. Оценить каждую модель через среднюю ошибку аппроксимации ОП и F-тест Фишера.
Решение l. Для расчета параметров a0 и a1 линейной регрессии y = a0 + a1 x решаем систему нормальных уравнений относительно а0 и a1:
По исходным данным рассчитываем a0 = y a1 x = 57,89 + 0,35 54,9 76, Уравнение регрессии: у = 76,88 - 0,35х. С увеличением среднедневной заработной платы на 1 руб. доля расходов на покупку продовольственных товаров снижается в среднем на 0,35 % пункта.
Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:
Определим коэффициент детерминации:
rxy = ( 0,35) = 0, Вариация результата на 12,7% объясняется вариацией фактора х. Подставляя в уравнение регрессии фактические значения х, определим теоретические (расчетные) y x. Найдем величину средней ошибки аппроксимации A :
значения В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 8,1%.
Рассчитаем F-критерий:
Полученное значение указывает на необходимость принять гипотезу Но о случайной природе выявленной зависимости и статистической незначимости параметров уравнения и показателя тесноты связи.
1б.
замене: z =. Тогда y = a0 + a1 z. Для расчетов используем данные табл. 1.5.
Таблица 1. значение a0 = y a1 z = 57,89 1051,4 0,0184 = 38, Получено уравнение:
По уравнению равносторонней гиперболы получена большая оценка тесноты связи: xy = 0,3944 (по сравнению с линейной).
Fфакт где Fкритич = 6,6 > Fфакт, при а = 0,05.
Следовательно, принимается гипотеза Но о статистически незначимых параметрах этого уравнения. Этот результат можно объяснить сравнительно невысокой теснотой выявленной зависимости и небольшим числом наблюдений.
Вычисление матрицы коэффициентов парной корреляции с Матрицу парных коэффициентов корреляции переменных можно рассчитать, используя инструмент анализа данных Корреляция. Для этого:
1) в главном меню последовательно выбираются пункты Сервис/Анализ данных/Корреляция;
2) заполняются в диалоговом окне поля параметров ввода и вывода данных;
3) результаты вычислений – матрица коэффициентов парной корреляции впишется в указанный диапазон.
Задача 1.
При исследовании взаимосвязи между числом заявок на недельные ссуды и текущей ставкой процента по закладным из 200 недель последних пяти лет случайным образом были выбраны 15. На основе отобранных данных была построена линейная модель регрессии и определены следующие параметры модели: а0=152,399, а1 = -6,8116, R =0,945. Объясните менеджеру, не имеющему статистической подготовки, экономический смысл полученных показателей.
Задача 2.
На основе данных о стоимости подержанных автомобилей «Ауди-80» в Москве построена эконометрическая модель, отражающая зависимость цены автомобиля(Y) от факторов : объем двигателя (Х1), пробега (тыс. км) (Х2), года выпуска(Х3), наличия инжектора(D1), музыкального центра(D2).
Y=- 17754,4 + 397 X1 – 7,71 X2 + 241,85 X3 + 360,95 D1 + 346,88 D R2=0, Дать интерпретацию параметров модели (в скобках указана величина средней квадратической ошибки коэффициента регрессии).
Известно, что динамика цен на природный газ обычно привязана к базовым ценам на нефть, следуя с некоторым лагом. На основе данных таблицы проанализировать взаимосвязь цен на нефть и природный газ, используя корреляционный и регрессионный анализ.
Динамика сопоставимых цен на нефть и природный газ
«