Санкт-Петербургский государственный университет

На правах рукописи

Самбурская Ксения Сергеевна

Параллельная квантовая память

для оптических изображений

на основе -схемы атомных уровней

Диссертация на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Специальность: 01.04.05 – оптика

Научный руководитель д. ф.-м. н., профессор Иван Вадимович Соколов Санкт-Петербург 2012 2 Оглавление 1 Введение 5 2 Обзор литературы 2.1 Схемы квантовой памяти на двухуровневых атомных ансамблях..... 2.1.1 Память на основе эффекта фотонного эха с неоднородным контролируемым уширением среды.................... 2.1.2 Схема памяти на основе атомной частотной гребенки....... 2.1.3 Схема памяти с динамическим контролем скорости спонтанного распада.................................. 2.2 Схемы квантовой памяти на трехуровневых атомных ансамблях.... 2.2.1 Схема памяти на основе эффекта электромагнитной индуцированной прозрачности.......................... 2.2.2 Схема адиабатической памяти.................... 2.2.3 Схема памяти для коротких импульсов............... 2.3 Схема квантовой памяти на основе модели четырехуровневых атомов.. 2.3.1 Многомодовость в задачах квантовой памяти............ 2.3.2 Тонкая квантовая голограмма.................... 2.3.3 Объемная квантовая голограмма.................. 2.3.4 Неколлинеарное направление импульсов.............. 2.4 Оптимизация эффективности квантовой памяти.............. 2.5 Квантовая память для сжатого и перепутанного света.......... 3 Модель взаимодействия многомодового света с атомной средой 3.1 Модель квантовой памяти на атомах в -конфигурации............................... 3.2 Характерные времена и размеры исследуемой системы.......... 3.3 Гамильтониан системы и определение коллективных переменных.... 3.4 Система уравнений Гайзенберга-Ланжевена................ 3.5 Уравнения в адиабатическом приближении................ 3.6 Формирование источников шума после адиабатического исключения.. 3.7 Локализация атомов и метод усреднения.................. 4 Оглавление 4 Общие решения в полуклассическом приближении 4.1 Запоминание поля в среде.......................... 4.1.1 Потери, возникающие при записи импульса света и оптимизация записи.................................. 4.2 Считывание поля............................... 4.2.1 Анализ потерь и оптимизация полного цикла записи/считывания.......................... 4.2.2 Эффективность восстановления импульса света.......... 4.3 Оценка числа сохраняемых мод....................... 5 Сохранение квантовых свойств излучения 5.1 Точные квантовые решения уравнений Гайзенберга-Ланжевена..... 5.2 Сигнальное поле с поперечным профилем................. 5.3 Особенности квадратурного сжатия в импульсном режиме....... 5.3.1 Изолированный импульс света от одномодового синхронизированного субпуассоновского лазера.................. 5.3.2 Изолированный импульс света от вырожденного оптического параметричееского генератора.................... 5.4 Сохранение импульсов сжатого света.................... 5.4.1 Развитие квадратурных компонент когерентности в процессе записи импульса на среду........................ 5.4.2 Корреляции в атомном ансамбле.................. 5.4.3 Сжатие в атомном ансамбле...................... 5.5 Сохранение корреляций в восстановленном импульсе........... 6 Заключение A Квадратурное сжатие в стационарном световом потоке B Неканонические амплитуды Глава Введение Актуальность работы. Данная работа посвящена теоретическому исследованию схемы пространственно многомодовой квантовой памяти и анализу применимости такой схемы в квантовых информационных протоколах. Квантовой памятью называют протокол взаимодействия световых полей и вещества, позволяющий хранение световых импульсов без разрушения их квантовых состояний. Схема квантовой памяти должна обеспечивать возможность записи, сохранения и последующего считывания одновременно двух некоммутирующих переменных (например, двух квадратурных компонент) сигнального поля. В протоколе квантовой памяти происходит перенос информации с сигнального светового импульса на вещество и обратно в восстановленный свет, как и в случае классической памяти. Отличия заключаются прежде всего в самой сохраняемой информации: в случае квантовой памяти, из сигнального поля сохраняется квантовая информация связанная со статистикой квантового излучения. Поэтому, для обеспечения корректного восстановления сигнального поля, необходимо исключить операцию квантово-механического усреднения на всех этапах реализации протокола квантовой памяти. Другими словами, процедура записи квантового излучения, должна существенным образом отличаться от процедуры измерения, переводя информацию из степеней свободы поля, в степени свободы, связанные с веществом. Кроме того, в отличие от классических носителей информации, в слуГлава 1. Введение чае квантовой памяти, восстановление квантового состояния сигнального импульса в процессе считывания происходит за счет разрушения квантового состояния вещества. Поэтому характеристики схемы квантовой памяти чрезвычайно чувствительны к потерям, возникающим из-за релаксационных процессов в среде. Для обеспечения возможности восстанавливать сигнальный импульс из атомного ансамбля по требованию необходимо, чтобы схема квантовой памяти позволяла длительное хранение квантового состояния.

Квантовая память принадлежит к наиболее актуальному и активно развивающемуся направлению квантовых информационных приложений и является существенной частью многих квантовых информационных протоколов. В течении последнего десятилетия сформировалось новое направление в науке об информации, которое использует возможности квантового мира для того, чтобы выполнить задачи трудные, а подчас и невозможные при традиционных методах обработки информации.

В этой широкой области исследований важное место занимает передача квантового состояния из одного места в другое. К ярким достижениям в этой области относятся, например, протоколы квантовой криптографии - полностью защищенный способ передачи информации, который реализован сейчас не только на демонстрационном, но и на коммерческом уровне. Однако, расстояния, на которых подобные протоколы могут работать, ограничены неустранимыми потерями при передаче информации. Кроме того, теорема о запрете клонирования квантовых состояний делает невозможным усиление передаваемых сигналов, обычно используемое в традиционных линиях связи. Таким образом, создание квантовых коммуникаций, работающих на больших расстояниях, требует инновационных концепций и компонентов. Возможное решение проблемы сформулировано в концепции квантового повторителя.

Идейно она заключается в разделении большой дистанции на короткие сегменты, связанные между собой квантовым перепутыванием. Ключевым моментом для реализации данной идеи является наличие ячеек квантовой памяти, позволяющих хранить перепутанные состояния на каждом из сегментов до определенного момента.

Следует подчеркнуть, что требования, предъявляемые к ячейкам квантовой памяти в рамках концепции квантовых повторителей очень высоки: оперируя в квантовом режиме они должны работать с высокой эффективностью. Другим недавно осознанным "узким местом"квантовой коммуникации является скорость передачи данных.

Очевидно, что создание многомодовых схем является важным шагом к увеличению пропускной способности квантовых каналов. Современный обзор по различным реализациям квантового интерфейса можно найти в работах [1, 2, 3].

Сказанное выше свидетельствует об актуальности темы диссертации, так как исследования квантовых и, в частности, многомодовых квантовых протоколов, а также квантовой памяти являются важными востребованными направлениями современной научно-исследовательской работы, в этой области заняты ведущие мировые теоретические и экспериментальные группы.

Целью диссертационной работы является теоретическое исследование параллельной квантовой памяти реализуемой на пространственно протяженном атомном ансамбле с -конфигурацией энергетических уровней.

Для этого рассматривались и решались следующие задачи:

1. Построение квантовой теории для описания взаимодействия световых полей и пространственно протяженной атомной среды с Лямбда-схемой атомных уровней.

2. Выявление влияния шумов на протокол квантовой памяти.

3. Оптимизация работы протокола.

4. Изучение особенностей сохранения квантовой статистики в импульсном режиме излучения.

5. Выявление параметров, характеризующих квантовые особенности атомной среды, возникающие при ее взаимодействии с импульсом света, обладающим квантовой статистикой излучения.

6. Анализ возможности сохранения сжатого света в рассматриваемой схеме памяти.

Научная новизна 1. Предложен и исследован протокол пространственно многомодовой квантовой памяти на основе взаимодействия сигнального импульса с поперечным пространственным профилем и ансамбля атомов с -схемой энергетических уровней. Построена квантовая теория взаимодействия световых полей с поперечным пространственным профилем и терхуровневой атомной среды на основе уравнений Гайзенберга-Ланжевена в параксиальном приближении. Решены уравнения Гайзенберга-Ланжевена в адиабатическом режиме в рамках указанных приближений.

2. Впервые исследованы шумы, присутствующие в системе. Рассчитаны источники квантовых шумов возникающих при записи сигнального поля и проведены оценки их корреляторов.

3. Найдена эффективность полного цикла записи-считывания квантовых состояний и оценены потери отдельно при записи и при считывании в зависимости от параметров системы. Предложен простой метод оптимизации протокола многомодовой квантовой памяти, обеспечивающий высокую эффективность восстановления квантового изображения.

4. Оценено число пространственных мод, которые позволяет хранить рассматриваемая схема квантовой памяти в атомном ансамбле. Показано, что для данной схемы квантовой памяти прямое направления считывания может быть предпочтительней обратного в отличие от других протоколов.

5. Проведен теоретический анализ сохранения квантовой статистики в импульсном режиме излучении. Исследованы квантовые корреляции импульсного сигнального поля. Дана оценка сохранения сжатия в импульсном режиме, по сравнению со стационарным потоком. Выявлены степени свободы материальной системы, проявляющие свойство сжатия при записи на нее сжатого сигнального поля. Приведена оценка сохранения степени сжатия входного сигнального импульса в востановленном излучении, в ходе полного процесса записисчитывания.

Практическая значимость предложенной в настоящей работе схемы параллельной квантовой памяти определяется перспективностью ее использования в квантовых информационных протоколах для оптических изображений, а также для хранения квантового излучения с поперечным пространственным профилем. Предложенная в настоящей работе схема может быть использована для создания масштабируемого оптического квантового компьютера [4] и эффективных квантовых повторителей [5], позволяющих существенно расширить дальность передачи информации методами квантовой криптографии. Подход, развитый в анализе парных корреляторов когерентности среды, дает физически наглядную картину преобразования квантовой статистики излучения в квантовые особенности атомной среды. Предложенная в данной работе процедура оптимизации протокола многомодовой квантовой памяти (по соотношению длительностей записи/считывания и оптической плотности среды), позволяет обеспечить высокую эффективность восстановления поперечного профиля квантового поля при достаточной простоте реализации. Кроме того, следует заметить, что приведенные оценки оптимальной протяженности атомной среды и времен записи и считывания, а также найденные оценки шумов и числа пространственных мод, соотносимы с реальными параметрами возможного эксперимента. Таким образом, знание выявленных свойств схемы будет полезным при выборе параметров для реализации эксперимента.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Теория взаимодействия протяженного ансамбля атомов c -конфигурацией энергетических уровней и пространственно многомодового квантованного электрического поля, развитая в формализме Гайзенберга-Ланжевена в адаиабатическом приближении.

2. Расчет и численный анализ эффективности процессов записи/считывания и утечки поля при записи в полуклассическом приближении. Оценка числа сохраняемых мод сигнального излучения в атомной среде при прямом и обратном считывании. Метод оптимизации эффективности.

3. Расчеты источников квантовых шумов возникающих в процессе взаимодействия атомного ансамбля с полями, и оценки их корреляторов.

4. Расчет и анализ парных корреляторов квадратурных компонент импульсного излучения, полученного путем вырезания части сигнала от стационарных источников сжатого света. Оценка сохранения сжатия в импульсном режиме, по сравнению со стационарным потоком.

5. Расчет сжатия в атомном ансамбле, возникающего при записи на него сжатого 6. Теоретический и численный анализ полного цикла записи/считывания импульса сжатого света в зависимости от параметров системы. Оценка сохранения степени сжатия импульса света в рассматриваемой конфигурации.

Апробация работы По материалам диссертации выполнены доклады на следующих конференциях:

• K. Samburskaya, T. Golubeva, Yu. Golubev, Storage of squeezing and entanglement in the -type memory on the base of resonant adiabatic interaction, 19th Central European Workshop on Quantum Optics (CEWQO-2012), Sinaia, Romania, 2 - July, 2012.

• K. Samburskaya, T. Golubeva, Yu. Golubev, and E. Giacobino, Eective multimode quantum memory on Lambda-atoms in adiabatic passage. 1st International Conference on Quantum Technologies, Moscow, Russia, July 13-17, 2011.

• K. Samburskaya, T. Golubeva, Quantum holography on Lambda-atoms in adiabatic passage. First GDR-IQFA colloquium,Nice, France, 23-25 march 2011.

• K. Samburskaya, T. Golubeva, Realization of parallel quantum memory on Lambdatype sсheme considering quantum noise. Bilateral Scientic Seminar and School “Ultracold atoms, metrology and quantum optics”, Les Houches, France, September 12-24, 2010.

• T. Golubeva, Yu. Golubev, K. Samburskaya, C. Fabre, N. Treps, M. Kolobov, Entanglement measurement of the quadrature components without the homodyne detection in the spatially multi-mode far-eld. Hideas Workshop, Leiden, Netherlands, September 14-16, 2009.

• T. Golubeva, Yu. Golubev, K. Samburskaya, C. Fabre, N. Treps, M. Kolobov, Coherent sources of a non-classical light: simultaneous following both quadrature components out of the homodyne detecting technique. NATO Workshop, Gdansk, Poland, September 09-12, 2009.

• T. Golubeva, K. Samburskaya, Temporal and spatial squeezed light of multi-pixel source of DOPO array in near and far eld. 17th annual international Laser Physics Workshop LPHYS’08, Trondheim, Norway, June 30 - July 4, 2008.

Публикации Основное содержание и результаты диссертации отражены в следующих публикациях:

1. Ксения С. Самбурская, Татьяна Ю. Голубева, Валентин А. Аверченко, Юрий М. Голубев. Квадратурное сжатие в изолированном импульсе света // Оптика и Спектроскопия, 2012, том 113, № 1, с. 88-98.

2. Ксения С. Самбурская, Татьяна Ю. Голубева, Юрий М. Голубев, Elisabeth Giacobino. Квантовая голография при резонансном адиабатическом взаимодействии полей с атомной средой в Lambda-конфигурации // Оптика и Спектроскопия, 2011, том 110, № 5, с. 827-839.

3. Tatiana Golubeva, Yuri Golubev, Ksenia Samburskaya, Claude Fabre, Nicolas Treps, Mikhail Kolobov. Entanglement measurement of the quadrature components without homodyne detection in the bright, spatially multimode far eld // Phys. Rev. A, 2010, 81(1),013831.

4. Yuri Golubev, Tania Golubeva and Ksenia Samburskaya. Multi-pixel Sources of Entangled Light in the Correlation Measurements Without Homodyne Detection // in book “Quantum cryptography and computing”, Edited by R. Horodecki et. al.

IOS Press, pp. 179-194, 2010.

Первые три статьи из этого списка принадлежат к перечню ВАК.

Личный вклад автора Основные результаты, представленные в диссертации, получены автором лично;

выбор общего направления исследования, обсуждение и постановка рассматриваемых задач осуществлялись совместно с научным руководителем.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, обзора литературы, трех глав, заключения и двух приложений. Полный объем диссертационной работы составляет 132 страницы текста, в том числе 22 рисунка и 80 наименований в списке литературы.

14 Глава 1. Введение Глава Обзор литературы Квантовая память относится к наиболее бурно развивающимся в последнее десятилетие разделам квантовой оптики и квантовой информатики. В основе задач квантовой памяти лежит описание взаимодействие света с атомным ансамблем. Хотя изучение такого взаимодействия никак нельзя назвать новым, аспекты, возникающие при описании записи, хранения и восстановления квантового состояния светового поля, выделяют особое направление квантовой оптики, называемое квантовой памятью.

Главный вопрос, решаемый исследователями квантовой памяти - как наилучшим образом сохранить состояние света, предполагает ответы на целый ряд вопросов: какие атомы предпочтительны для хранения (структура энергетических уровней, температура, необходимая оптическая плотность атомного ансамбля, его геометрическая конфигурация и т.п.), каковы достижимые времена и эффективности хранения, какой свет мы можем сохранить (длительность импульсов, модовая структура), какое взаимодействие - резонансное или нерезонансное, приводит к лучшим результатам, насколько хорошо сохраняются квантовые особенности света, как оценивать качество и информационную емкость схем квантовой памяти и многие другие. В этом разделе мы расскажем о некоторых наиболее известных на сегодня схемах квантовой памяти, проводя классификацию протоколов в соответствии с отмеченными выше вопросами. Мы начнем с обсуждения схем памяти, базирующихся на взаимодействии двухГлава 2. Обзор литературы уровневых атомов со световыми полями (яркими и однофотонными), далее будут рассмотрены трех- и четырехуровневые схемы. Обсудим три различных протокола памяти, отличающихся длительностью взаимодействия (память на основе эффекта электромагнитной индуцированной прозрачности, схема адиабатической памяти и память для коротких импульсов). Наконец, расскажем о способах оптимизации эффективности схем памяти и уделим особое внимание аспекту многомодовости.

2.1 Схемы квантовой памяти на двухуровневых атомных ансамблях.

В двухуровневой атомной среде, из-за короткого времени жизни возбужденного состояния и быстрого распада когерентности, нет степени свободы, которую можно было бы использовать для длительного хранения информации о поглощенном фотоне.

Поэтому, для создания квантовой памяти на двухуровневой атомной среде необходимо обеспечить такие условия, в которых излучение поглощенного фотона было бы вынужденным; это и наблюдается в эффекте фотонного эха. Фотонным эхом называют когерентное излучение, испускаемое средой по окончании воздействия на неё последовательности интенсивных коротких импульсов резонансного светового поля, и обусловленное восстановлением фазового согласования между отдельными излучателями.

Рассмотрим поведение резонансного отклика среды с неоднородным уширением резонансной спектральной линии, при последовательном воздействии на неё двух световых импульсов с частотой, близкой к частоте разрешённого перехода между квантовыми уровнями |a и |b атомов.

Первый, возбуждающий импульс переводит атомы, первоначально находившиеся в нижнем состоянии |a в когерентную суперпозицию состояний |a и |b, индуцируя тем самым элементарные диполи. Атомные диполи изначально колеблются с 2.1. Схемы квантовой памяти на двухуровневых атомных ансамблях. частотой поля и связаны между собой по фазе, а именно, выстроены вектором (по направлению сигнального квантового поля), тем самым вызывая макроскопическую поляризацию среды. По окончании воздействия возбуждающего импульса амплитуда наведённой резонансной макроскопической поляризации постепенно уменьшается под влиянием процессов релаксации. Это уменьшение обусловлено, во-первых, действием процессов необратимой релаксации, которые ведут к потере когерентного возбуждения отдельных излучателей с характерным временем когерентности необратимой релаксации T = 1, где - однородная полуширина линии. Во-вторых, дефазировкой оптических поляризаций от отдельных атомов. В силу неоднородного уширения оптические когерентности атомов прецессируют на различных частотах (так как отстройка от частоты атомного перехода будет различной для каждого атома), что приводит к дефазировке и, как следствие, к отсутствию излучения, из-за деструктивной интерференции излучения от разных атомов. Однако, этот процесс не связан с изменением энергии, поэтому затухание макроскопической поляризации обратимо. Таким образом, если преобладает неоднородное уширение (T T ), (T - время обратимой релаксации), то макроскопическая поляризация затухает прежде, чем релаксирует когерентное возбуждение отдельных излучателей. То есть, в отсутствии процессов необратимой релаксации, систему можно вернуть в исходное состояние, если облучить атомный ансамбль обращающим импульсом.

Второй импульс изменяет направление развития процесса дефазировки атомных диполей, что приводит к восстановлению коллективной атомной когерентности, и переизлучению светового импульса, поглощенного двухуровневой атомной средой. Для восстановления светового импульса через время T, на атомный ансамбль действуют через время T /2 сильным импульсом длительностью Timp, так что T Timp T (см. рис. 2.1). Приобретенные фазы атомных осцилляторов меняют знак, и расфазировка излучателей сменяется их фазировкой. Через промежуток времени, равный интервалу T /2 между возбуждающим и обращающим импульсами, макроскопическая поляризация среды достигает максимума, поскольку все осцилляторы окажутся в фазе. Это приводит к возникновению интенсивного светового импульса — фотонного эха. При увеличении времени задержки между импульсами интенсивность эха экспоненциально уменьшается, что объясняется действием процессов необратимой релаксации.

В обзорах [1, 2] рассмотрены различные схемы памяти на основе фотонного эха.

Выделяют различные подходы, в зависимости от начальной спектральной расстройки и способа контроля времени излучения импульса эха. Начиная с ранних экспериментов [6] и по сегодняшний день [7, 8], для системы с непрерывным спектральным распределением начальной расстройки используют память на основе эффекта фотонного эха с неоднородным контролируемым уширением среды (CRIB: controlled reversible inhomogeneous broadening). Для системы с дискретной начальной расстройкой может быть реализован протокол памяти на основе периодической структуры атомной частотной гребенки (AFC: atomic frequency comb).

2.1.1 Память на основе эффекта фотонного эха с неоднородным контролируемым уширением среды.

Различные варианты протоколов основанных на неоднородном контролируемом уширении среды представлены в работе [9]. Теоретическое описание этих протоколов базируется на эффекте скрытой симметрии по времени уравнений Максвелла-Блоха, описывающих эволюцию атома и света во время поглощения и испускания. Для обСхемы квантовой памяти на двухуровневых атомных ансамблях. ращения этих уравнений по времени необходимо изменить расстройки всех атомов.

Для этого должны выполняться условия сопоставления фаз атомов, которые состоят в том, что к каждому атому должен быть приложен соответствующий фазовый сдвиг.

Для возможности обращения системы по времени, необходима значительная оптическая плотность среды d, гарантирующая поглощение светового импульса. Основным преимуществом схем квантовой памяти, основанных на эффекте фотонного эха является отсутствие необходимости в сильном классическом управляющем поле [10].

Контроль восстановления записанного импульса обращением неоднородного уширения, принципиально позволяет добиться идеальной эффективности памяти [11, 12] (то есть энергия восстановленного импульса будет совпадать с энергией исходного записываемого импульса). В работах [13, 14] было показано, что память на основе обратимого уширения для хранения одной моды не имеет особых преимуществ по сравнению с другими протоколами памяти. Однако ситуация меняется при сохранении нескольких мод, в частности, в работах [15, 16] продемонстрировано, что такой подход позволяет значительно увеличить число сохраняемых мод излучения.

Для сравнения число сохраняемых мод в схеме памяти на основе контролируемого обратимого уширения увеличивается линейно с ростом оптической плотности d, в то время как в протоколах памяти на основе электро-магнитной индуцированной прозрачности оно нарастает пропорционально корню из оптической плотности d [15].

2.1.2 Схема памяти на основе атомной частотной гребенки.

В работе [17] был предложен подход для фотонного эха на основе атомной частотной гребенки.

Для создания периодической структуры типа гребенки используют неоднородно уширенный оптический переход, превращаемый в частотную гребенку путем частотноГлава 2. Обзор литературы селективной оптической накачки на вспомогательный уровень |aux (см. рис. 2.2).

Пики гребенки имеют ширину, и разделены частотным интервалом, так что Рис. 2.2: Эффект фотонного эха на атомной частотной гребенке.

добротность решетки определяется как F = /. Таким образом, функция атомной плотности состоит из узких пиков, покрывающих широкий диапазон частот. Такая же структура может быть реализована экспериментально значительно проще при помощи кристалла с вкраплениями редко-земельных ионов. Входная мода сигнального поля полностью поглощается и когерентно возбуждает AFC-моды. Созданное таким образом коллективное состояние будет терять свою сфазированность, которая, однако, восстановится через временной промежуток 2/, что ведет к когерентному переизлучению типа фотонного эха в прямом направлении. Эффективность этого процесса может достигать 54%. Однако, если заставить систему переизлучать в обратном направлении (что возможно сделать путем выбора правильных фазовых соотношений), то эффективность обратного считывания достигает (теоретически) 100%. Использование двух управляющих полей на переходе |e |s позволяет увеличить время хранения информации (в виде коллективной спиновой волны в |s) и производить ее восстановление по требованию через время Ts.

Используя одновременно атомы с различными резонансными частотами перехоСхемы квантовой памяти на двухуровневых атомных ансамблях. дов можно увеличить эффективное число атомов, участвующих в памяти, и, как следствие, добиться эффективной квантовой памяти с высокой модовой емкостью [17].

Сохранение однофотонного состояния света в кристалле с вкраплениями иона неодима продемонстрировано в экспериментальной работе [18].

2.1.3 Схема памяти с динамическим контролем скорости спонтанного распада.

В работе [19] рассмотрена теоретическая модель памяти, реализованной на одиночном двухуровневом атоме в полурезонаторе с двигающимся зеркалом. Эта работа является продолжением работ [20, 21, 22, 23, 24]. Одиночный двухуровневый атом находится перед двигающимся зеркалом, на расстоянии L от него (см. рис. 2.3). Импульс в однофотонном фоковском состоянии, длительность которого намного больше, чем L/c, где c - скорость света, распространяется вдоль оси z и сначала взаимодействует с атомом, а затем отражается от зеркала. Динамика развития состояний двухуровнего атома и светового импульса перед движущимся зеркалом задается зависящей от времени скоростью распада заселенности верхнего атомного уровня (t), которая достигает своего минимального значения 0 для атома, находящегося в узле и максимального значения 20 для атома, находящегося в пучности резонатора. Механизм Рис. 2.3: Эффект фотонного эха с динамическим контролем скорости спонтанного распада.

предложенной схемы памяти основан на возможности динамического изменения (t), путем изменения расстояния между атомом и зеркалом. Характерный для системы интервал частот, заданный удвоением скорости спонтанного распада атома в свободном пространстве, накладывает ограничения на ширину входного однофотонного пакета, при которой фотон может быть эффективно сохранен. В идеальном случае фотон должен поглотиться атомом, при максимальном связывании 20, что определяет нижний предел длительности фотонного импульса. Эффективность процесса памяти зависит от соотношения между шириной входного фотонного пакета и скоростью спонтанного распада.

Описанная схема памяти была реализована экспериментально [25]. В качестве одиночной двухуровневой системы в схеме памяти с подвижным зеркалом и сильным связыванием со световым полем, могут выступать ионы или атомы [20, 26], а также квантовые точки [27].

2.2 Схемы квантовой памяти на трехуровневых атомных ансамблях.

Часто для реализации различных протоколов квантовой памяти используется ансамбль атомов в -конфигурации, то есть с трехуровневой энергетической схемой, с одним возбужденным и двумя основными состояниями. Теоретически такие модели квантовой памяти достаточно подробно рассмотрены А. В. Горшковым и соавторами в работах [13, 14, 28, 29].

Гамильтониан, описывающий взаимодействие атомной среды с управляющим и сигнальным полями, может быть разного вида, в зависимости от того, в каком начальном состоянии приготовлена атомная система. Схема памяти предполагает, что квантовое сигнальное поле действует на переходе между заселенным основным уровнем |1 и верхним возбужденным уровнем |3, и управляющее поле действует на переходе между уровнями |2 |3 (см. рис. 2.4a). Если поля действующие на перехоСхемы квантовой памяти на трехуровневых атомных ансамблях. дах имеют отстройку от резонанса, то реализуемый в таком процессе тип квантовой памяти называют рамановским [30]. Процесс стимулированного рамановского рассеяния используют в качестве схемы квантовой памяти в работах [31, 32]. В случае очень больших отстроек, когда в системе происходят только двухфотонные процессы и отсутствуют источники шума, гамильтониан, описывающий такое взаимодействие идентичен гамильтониану преобразования на светоделительной пластине. Если же конфигурация взаимодействия "перевернута"(управляющее поле действует на переходе |1 |3, а сигнальное - на переходе |2 |3, см. рис. 2.4b), то гамильтониан системы формально идентичен гамильтониану параметрического усиления. В качестве критерия классификации протоколов квантовой памяти на трехуровневой атомной среде, нами выбрана длительность процесса взаимодействия полей и атомной среды, поскольку она определяет вид уравнений, описывающих развитие полевых и атомных операторов.

2.2.1 Схема памяти на основе эффекта электромагнитной индуцированной прозрачности.

Последнее время протоколы квантовой памяти, основанные на эффекте электромагнитной индуцированной прозрачности (EIT: electromagnetically induced transparency) привлекают много внимания [33, 34]. Основные принципы электромагнитной индуцированной прозрачности и их применение в протоколах когерентной памяти для света рассмотрены в обзоре [35]; Режим электромагнитной индуцированной прозрачности реализуется на атомах в -конфигурации при стационарном резонансном взаимодействии управляющего и сигнального полей с атомной средой, и устанавливается, когда под действием сильного управляющего оптического импульса среда становится прозрачной для сигнального импульса.

В полуклассическом описании наблюдение эффекта EIT связано с уменьшением до нуля групповой скорости сигнального импульса. Для установления режима электромагнитной индуцированной прозрачности сигнальное и управляющее поля включены. Для того чтобы выполнить запись, управляющее поле выключают, когда групповая скорость импульса сигнального поля vg уменьшается до нуля. Длительность сигнального импульса выбирается из условия Tsignal < L/vg, где Tsignal - длительность сигнального импульса, L - длина атомной среды, то есть условно можно говорить, что этот импульс должен целиком войти в среду, чтобы быть целиком записанным на когерентности нижних подуровней. В этом случае сигнальный импульс будет конвертирован в атомную когернетность нижних подуровней. Восстановление сигнального импульса, осуществляется включением опорного управляющего поля.

Рассмотрим одну из реализаций квантовой памяти на основе EIT [36]. У сильного "записывающего"опорного поля в рассматриваемом протоколе амплитуда постоянна до выхода системы в стационарный режим (до начала записи). После выключения управляющего поля происходит запись света на среду. После задержки на время хранения (в рассматриваемом протоколе оно составляет порядка 1 секунды) прикладывают сильное считывающее управляющее поле и атомное возбуждение считывается, при этом создавая сигнальный импульс. Общая эффективность для процессов записи и считывания, полученная в работе [36] составляет 17%. В эксперименте [36], также как и в работе [37] были использованы охлажденные атомы рубидия в магнито-оптических ловушках, в то время как эксперимент [38] был поставлен на 2.2. Схемы квантовой памяти на трехуровневых атомных ансамблях. атомах рубидия в ячейке с буферным газом (неоном) при комнатной температуре. Время хранения в последнем случае ограничивается движением атомов и/или неоднородностью магнитного поля, и составляет около 1 мкс. К наиболее ярким экспериментальным реализациям памяти на основе EIT можно отнести также работы [39, 40]. Хранение оптических изображений, основанное на использовании эффекта EIT, было экспериментально продемонстрировано на горячих атомных парах рубидия [41, 42].

2.2.2 Схема адиабатической памяти.

Рассматриваемый выше режим электромагнитной индуцированной прозрачности связан со стационарным взаимодействием полей и атомной среды, и реализуется только для весьма длительных импульсов, тем самым исключая возможность создания частотно многомодового протокола. Схема квантовой памяти, реализуемая в адиабатическом режиме, более гибкая в этом отношении, поскольку позволяет рассматривать частотно многомодовую конфигурацию. Адиабатический режим характеризуется тем, что рассматриваемые времена взаимодействия позволяют адиабатически исключить заселенность верхнего энергетического уровня трехуровневой атомной системы и быстро меняющиеся когерентности, но диктуют необходимость сохранить медленные атомные переменные.

Поскольку исследование, представленное в диссертации, посвящено именно этому режиму взаимодействия, здесь мы не будем подробнее останавливаться на его обсуждении, а проведем сравнение имеющихся результатов с полученными нами в следующих главах.

2.2.3 Схема памяти для коротких импульсов.

Привлекательность рассмотрения памяти для более коротких импульсов связана с возможностью сокращения времени, необходимого для передачи информации в кванГлава 2. Обзор литературы товых информационных протоколах. Недавно предложен протокол памяти для очень коротких импульсов [43], в котором присутствуют как спектральная так и пространственная многомодовость. В работе рассмотрена квантовая память, основанная на преобразовании сигнального импульса в долгоживущую спиновую когерентность, путем взаимодействия света и трехуровневой атомной среды -конфигурации, с сильным управляющим полем находящимся близко к резонансу с одним из переходов, и слабым сигнальным полем, близко к резонансу с другим переходом. В отличие от рассмотренных выше схем, характерные времена взаимодействия малы, что приводит к очень быстрому взаимодействию со средой и не позволяет сформироваться эффекту электромагнитной индуцированной прозрачности. В работе [43] основной акцент делается не на сохранении формы импульса, а на сохранении поперечных мод сигнального поля в восстановленном свете. Для этого число фотонов в каждой восстановленной поперечной моде должно быть таким же, как число фотонов в соответствующих модах записываемого поля. Для эффективного восстановления, при считывании в прямом направлении, длительность считывания должна значительно превышать длительность записи.

Эффективность восстановления различна, в зависимости от того, происходит считывание в прямом или в обратном направлении, и больше в обратном направлении, как и для других протоколов памяти. Однако, это видимое преимущество считывания связано с ограничениями из-за дифракции. В случае прямого считывания дифракционное искажение, возникающее в процессе записи, полностью компенсируется последующим считыванием, в результате выходное поле имеет общий дифракционный набег, который может быть скорректирован при помощи системы линз. В случае обратного считывание, дифракционные искажения образующиеся во время записи и считывания складываются друг с другом, и их нужно минимизировать независимо друг от друга. Это приводит к ограничению в таком важном параметре квантовой 2.3. Схема квантовой памяти на основе модели четырехуровневых атомов. памяти, как число мод или зерно изображения, которое можно сохранить в ячейке памяти.

Квантовая память для коротких импульсов реализована экспериментально на парах цезия в работе [44] при нерезонансном взаимодействии. Память работает с общей эффективностью 15%.

2.3 Схема квантовой памяти на основе модели четырехуровневых атомов.

Для четырехуровневого ансамбля рассматривают такую конфигурацию полей, что они совместно с атомной структурой образуют две, связанные между собой -схемы, при условии, что нижние уровни вырождены по энергии (см. рис. 2.5). Такой тип Рис. 2.5: Квантовое неразрушающее взаимодействие.

взаимодействия называют квантовым неразрушающим взаимодействием [45]. Протоколы на основе квантового неразрушающего взаимодействия были предложены теоретически и реализованы экспериментально. Так, одной из первых реализаций квантовой памяти является двухпроходный протокол памяти на основе квантового неразрушающего взаимодействия [46]. При квантовом неразрушающем взаимодействии одна из компонент коллективного спина атомов не взаимодействует с полем, осью вращения спинов является ось z, вдоль которой распространяются сигнальное и управляющее поля, а само вращение является слабым.

Взаимодействие четырехуровневых атомов с сигнальным и управляющим полями не всегда описывается гамильтонианом квантового неразрушающего взаимодействия. Так для рамановского взаимодействия, из-за наличия частотной отстройки между нижними уровнями, процессы происходят на разных частотах. Для достаточно больших отстроек две -схемы могут быть разделены, причем память реализуется только на одной из них, на другой реализуется перепутывание [47]. Так как в процессе запоминания участвует только одна -схема, то от рассмотрения четырехуровневой модели в этом случае можно опять перейти к рассмотрению трехуровневой модели.

Мы классифицировали трехуровневые схемы по длительности взаимодействия.

Для четырехуровневых схем в качестве критерия классификации нами была выбрана геометрия эксперимента, различия в которой диктуют разные возможности для сохранения поперечных пространственных мод. Однако, прежде чем перейти к обсуждению схем с различной геометрией, нам следует сказать о таком важном аспекте как многомодовость, принципиальном для последующего рассмотрения.

2.3.1 Многомодовость в задачах квантовой памяти.

Многомодовость или модовая емкость квантовой памяти определяется количеством оптических мод, которые могут храниться в ячейке памяти с эффективностью выше необходимого порога, и является одним из важнейших параметров для практического применения памяти.

Разработка и оптимизация протоколов многомодовой квантовой памяти важна в перспективе развития как квантовых коммуникаций [5] так и квантовых вычислений [48]. В частности, схемы многомодовой квантовой памяти способны значительно увеличить количество информации, переданное в единицу времени.

2.3. Схема квантовой памяти на основе модели четырехуровневых атомов. Сохранение нескольких продольных мод, как правило, затруднено, и обычно удается сохранить одну продольную моду, выделенную оптическими свойствами среды.

Кроме того, широкополосность схемы определяется ее временным режимом; так для памяти на основе эффекта электромагнитной индуцированной прозрачности, который наблюдается только в стационарном состоянии, многомодовости по времени заведомо нет. Как мы обсуждали выше, протоколы памяти на основе фотонного эхо предполагают возможность многомодовой реализации [17]. Многие из рассмотренных выше протоколов были обобщены на многомодовые конфигурации с поперечной пространственной структурой [43, 49, 50].

Далее мы рассмотрим несколько схем квантовой памяти для оптических изображений, предложенных И. В. Соколовым и соавторами, реализующих пространственномногомодовое хранение информации на основе квантового неразрушающего взаимодействия [51, 52] и на основе взаимодействия рамановского типа [47]. Эти схемы названы авторами квантовыми голограммами, из-за наличия в них двумерного поперечного распределения коллективной спиновой поляризации.

2.3.2 Тонкая квантовая голограмма В протоколе квантовой памяти на основе тонкой квантовой голограммы [51] в качестве среды, на которую производят запись рассматривают пространственно протяженный ансамбль неподвижных атомов, расположенных случайным образом. Долгоживущие атомные спины основного состояния Ja в начальный момент времени ориентированы вдоль магнитного поля в вертикальном направлении x (см. рис. 2.6).

Предполагают, что перед началом записи, спины ориентируются при помощи оптической накачки. Магнитное поле включают после первого прохода сигнального поля через среду, чтобы поменять ориентацию спинов. Во время записи сигнального поля магнитное поле отключено, и оба прохода сигнального поля осуществляется при выключенном магнитном поле. Классическое поле, отстроенная от резонанса x-поляризованная плоская волна, с медленно меняющейся амплитудой Ax распространяется вдоль оси z. Сигнальный импульс - слабое квантовое поле с амплитудой Ay и с y-поляризацией, рассматривают в параксиальном приближении; оно имеет такую же частоту и то же среднее направление распространения, что и управляющее.

Пространственно-многомодовый сигнальный импульс задан когерентным состоянием мод с неизвестными комплексными амплитудами. В работе [51] посвященной разработке метода тонкой голограммы, рассматривают конфигурацию, в которой длина слоя такая, что дифракцией на ней можно пренебречь. В отсутствии дифракции можно принять, что атомный слой сколь угодно тонкий. Процедуры записи и считывания основаны на предложенных ранее для одномодового случая двухпроходных протоколах [53]. Запись, переводящая входные параметры сигнала в коллективный атомный спин, основана на квантовом неразрушающем взаимодействии и реализуется в несколько этапов. Сначала происходит распространение сигнального импульса в атомной среде, но после одного прохода, в голограмму записывается только одна квадратура света. На втором шаге, атомные спины поворачиваются вокруг оси x импульсом /2 вспомогательного магнитного поля. На третьем шаге сигнальная волна снова распространяется сквозь атомную среду.

Достоинством тонкой квантовой голограммы, является то, что она может эффективно работать при фиксированном значении безразмерной постоянной связи (эта 2.3. Схема квантовой памяти на основе модели четырехуровневых атомов. величина должна принимать значение 1).

В протоколе квантовой памяти на основе тонкой квантовой голограммы модовая емкость существенно ограничена дифракцией. В этой работе для определения разрешающей способности схемы используют выделение пикселов, по которым усредняют сигнальное поле, то есть мысленное разбиение волнового фронта до и после прохождения атомной среды. Выбор оптимального размера пиксела определяется длиной поперечной когерентности поля ld. Так, для поля с шириной пространственного спектра W, не имеет смысл делать разбиение на пикселы меньше чем 1/W, поскольку такая детализация будет избыточной. В рассматриваемой схеме тонкой квантовой голограммы, вследствие ограниченности дифракцией, число сохраняемых мод N ограничено числом Френеля FN : N FN = (S/L), здесь S площадь поперечного сечения и L длина образца. Такая же емкость достигается и в работе по многомодовой оптической квантовой памяти на атомных ансамблях [49] с фазово-согласованным считыванием назад.

Возможной мерой качества передачи квантового состояния является верность (delity) F. Для чистого исходного состояния |in верность определяется следующим образом: F (|in ) = in |out |in. Здесь out обозначает матрицу плотности статистического ансамбля, соответствующего восстановленному состоянию системы.

Верность показывает близость конечного состояния системы к исходному, в пределе идеальной передачи F = 1. Верность зависит от шумовых свойств и, в условиях модели [51], ограничивается вакуумными флуктуациями начального коллективного спина и света, используемого для считывания из квантовой памяти. Поэтому модель тонкой голограммы требует изначального сжатия атомных спинов и света. Однако для пиксела небольшого размера Spixel ld (где Spixel - площадь пиксела), верность не превышает классического предела независимо от того, есть ли в системе сжатие или нет. Верность для многопиксельного массива F N для схемы с аддитивГлава 2. Обзор литературы но добавленным шумом рассчитывается как N -ная степень величины, называемой средней верностью на пиксел Fav : F N = (Fav )N [54].

Если начальное состояние коллективного спина атомного ансамбля вакуумное, то максимально достижимое значение верности Fav = 1/2 = 0.71. Для когерентного начального состояния атомов верность составляет Fav = 2/3 = 0.82, и может быть достигнута для пиксела большого размера S ld и идеально сжатого света. Таким образом, квантовая голограмма обеспечивает верность значительно большую, чем достигаемая в классических схемах, которая согласно работе [55] составляет 0.5.

Идеальная верность памяти для протокола тонкой квантовой голограммы принципиально достижима при использовании пикселов света больших размеров и при условии, что найден метод приготовления атомных спинов в пространно многомодовом сжатом состоянии, что позволяет использовать ее для хранения и восстановление многомодовых кубитов и перепутанных состояний.

2.3.3 Объемная квантовая голограмма Схема объемной голограммы, представленная в работе [47], отличается от схемы тонкой квантовой голограммы [51] большей оптической толщиной и иной геометрией распространения полей. Квантовое сигнальное и сильное классическое поля распространяются во встречных направлениях. Атомный ансамбль находится в постоянном магнитном поле в течение всего процесса взаимодействия полей и атомного ансамбля, что приводит к быстрому вращению атомных спинов вокруг вертикальной оси. Вращение спинов приводит к выделению различных спектральных компонент сигнальной волны. Взаимодействие полей и атомной среды можно рассматривать, условно разделив атомную среду на слои, толщина каждого из которых, меньше чем длина волны в направлении по оси z (см. рис. 2.7). Тогда, внутри одного слоя разность фаз сигнального и управляющего полей изменится незначительно, и взаСхема квантовой памяти на основе модели четырехуровневых атомов. имодействие описывается в терминах неразрушающего взаимодействия. В различных слоях под действием неразрушающего квантового взаимодействия, записываются разные квадратурные компоненты. Поскольку записываются обе квадратуры, то входное состояние пространственно многомодового света может быть записано на объемную голограмму и восстановлено из нее в один проход.

Благодаря встречной геометрии полей, объемная квантовая голограмма рассматриваемая в работе [47] в параксиальном приближении не чувствует дифракции (что отличает ее от тонкой квантовой голограммы). Это позволяет достичь более высокой плотности сохранения пространственных мод, по сравнению с тонкой квантовой голограммой. Кроме того, в рассматриваемом протоколе квантовой памяти может быть достигнута высокая эффективность хранения и восстановления света, без требования сжатия для считывающего света, необходимого для тонкой квантовой голограммы.

Однако для эффективной записи с помощью объемной голограммы, требуется большая оптическая плотность среды.

Разрешающая способность объемной квантовой голограммы определяется геометрией образца, и число сохраненных мод не превышает числа Френеля в квадрате N (S/L)2.

2.3.4 Неколлинеарное направление импульсов Еще один вариант параллельной пространственно многомодовой памяти - это двухпроходная квантовая голограмма основанная на схеме с неколлинеарной геометрией взаимодействия сильного управляющего и квантового сигнального полей [52], в которой, также как и в случае тонкой квантовой голограммы [51], взаимодействие между импульсами сигнального и управляющего полей происходит в отсутствии постоянного магнитного поля. Различные пространственные моды входного импульса сохраняются в соответствующих ортогональных пространственных модах долгоживущего коллективного спина ансамбля холодных спин-поляризованных атомов. Для записи и считывания с верностью выше классического предела необходимы два прохода, магнитное поле включается только между проходами сигнальных импульсов и поворачивает атомные спины.

В отличие от схемы неразрушающего взаимодействия [51], обе квадратурные компоненты света записываются в одном цикле взаимодействия поля с атомами. На различных участках срабатывают то одна, то другая квадратуры, при этом квадратура сигнального поля меняет фазу относительно опорной волны. Эта особенность схемы связана с неколлинеарной геометрией. Однако верность памяти после одного прохода будет ниже классического предела из-за квантовых флуктуации начальной амплитуды атомов и восстанавливающего света, так как свет и атомы "не забывают"своего начального состояния в процессе взаимодействия. После первого цикла записи следует повернуть спины на /2 относительно оси X (см. рис. 2.8).

Протокол двухпроходной квантовой голограммы с неколлинеарным направлением импульсов позволяет сохранять поперечные моды входного сигнала с такой же высокой плотностью, неограниченной дифракцией, как и объемная голограмма, представленная в работе [47]. Из-за характера схемы памяти, частично основанной на неразрушающем взаимодействии, двухпроходная квантовая голограмма с неколСхема квантовой памяти на основе модели четырехуровневых атомов. Рис. 2.8: Квантовая голограмма с неколлинеарным направлением импульсов линеарным направлением импульсов позволяет достичь хорошей эффективности с фиксированным значением постоянной взаимодействия, которая меньше,чем в схеме объемной голограммы [47], а значит, позволяет использовать среду с сравнительно меньшей оптической плотностью.

Для оптимизации взаимодействия в схеме двухпроходной квантовой голограммы с неколлинеарным направлением импульсов не требуется сжатие считывающего света, но необходимо сжатие начального состояния коллективного спина. Для начального коллективного спина приготовленного в вакуумном несжатом состоянии, наибольшее значение средней верности на пиксел составляет Fav 0.845, что значительно превышает, достигнутое в классических протоколах Fav = 1/2 для голографической памяти оптических изображений и предел квантового клонирования Fav = 2/3. Число сохраненных мод в двухпроходной голограмме с неколлинеарной геометрией импульсов такое же, как и в объемной голограмме с противоположно направленными импульсами [47], и равно N (S/L)2.

2.4 Оптимизация эффективности квантовой памяти.

Оптимизация эффективности (то есть отношения числа фотонов в считанном импульсе к числу фотонов в исходном импульсе) является многопараметрической задачей, на сегодняшний день разработаны схемы, осуществляющие ее только по отдельным критериям. Подходы по оптимизации эффективности квантовой памяти можно отнести к трем различным группам: по форме сигнального поля [32], по форме управляющего поля [13, 14, 28, 29] и по соотношению между длиной среды и длительностью импульсов [43, 50].

Оптимизация эффективности по форме сигнального поля, предложенная в теоретической работе Нунна [32], состоит в создании временного профиля сигнального поля, совпадающего с собственной функцией интегрального оператора, описывающего преобразование входного поля в выходное, отвечающей максимальному собственному значению. Эта методика для нахождения оптимальной формы импульса была также использована в экспериментах [29, 39], где итерационным методом отбирались восстановленные моды поля совпадающие с записываемыми. В этом эксперименте, проводимом в классическом режиме, была оптимизирована форма сигнального импульса с большим числом фотонов для заданного классического управляющего поля. Суть метода заключается в следующем: сначала записывают некий заданный импульс, затем, восстановленный импульс, (временной профиль которого сформировался в процессе взаимодействия) обращают по времени и используют в качестве сигнального для следующего цикла записи-считывания. Каждый раз при прохождении сигнального импульса через среду (в процессе записи и считывания), сохраняются моды с большими собственными числами. Эта процедура быстро сходится и в результате дает импульс, устойчивый к сохранению в атомной среде (отвечающий максимальному собственному числу ядра взаимодействия).

В работе [56], проводится теоретическая оптимизация формы классического управОптимизация эффективности квантовой памяти. ляющего поля, для сохранения и восстановления определенных форм сигнального поля, базирующаяся на анализе лагранжиана.

Вообще говоря, имея в качестве ресурса неограниченно большую оптическую плотность среды d, можно не учитывать конкретные формы импульсов, и изменять эффективность записи меняя оптическую плотность d. Однако в реальных экспериментах значение оптической плотности ограничено.

Оказывается, что для некоторых протоколов памяти имеет значение не оптическая плотность сама по себе, а соотношение между этой плотностью и длительностью импульсов. В работе [43] предложен вариант контроля эффективности протокола квантовой памяти для коротких импульсов, заключающийся в выборе оптимального соотношения между длительностью сохраняемого импульса и протяженностью атомного ансамбля, на основании минимизации полевых потерь, связанных в данном случае с утечкой сигнального поля. Этот метод оптимизации применим и для случая адиабатической памяти, когда нам требуется восстановить не форму исходного импульса, а число фотонов в нем, то есть при рассмотрении памяти для оптических изображений, однако минимизировать при этом следует полные потери в системе, а не только утечку [50]. О реализации этого метода мы поговорим в главе 4.

До настоящего времени, безусловная верность и/или эффективность экспериментально реализованных протоколов квантовой памяти, не превышают 70% и зачастую находятся на уровне 20%. Это происходит по ряду причин, таких как потери, связанные с неконтролируемым поглощением света атомами, на сопряженных переходах, ограничения из-за конечной оптической плотности, движение и столкновения атомов, геометрия атомного ансамбля и другие.

Часто, удобно говорить не об эффективности памяти, а об ее неэффективности (то есть о величине 1 Ef f, где Ef f - эффективность). При использовании пространственных мод оптимальной формы, неэффективность записи для квантовой памяти рамановского типа и памяти на основе эффекта электромагнитной индуцированной прозрачности составляет 1/d. Если предпочтительна запись или считывание пространственно симметричной моды, как, например, в принципиальной схеме квантового повторителя, где в этой моде генерируется вероятностное перепутывание, то неэффективность больше, и составляет 1/ d [29, 57]. Лучшие результаты достигнуты для атомных ансамблей в резонаторе, где неэффективность достигает только 1/(d) (где - это добротность резонатора), в частности в экспериментах [15, 58].

Существует порог наихудшей верности, за которым устойчивые к сбоям методы коррекции квантовых ошибок могут преодолеть несовершенство квантовой памяти [59]. Хотя, эффективность легко найти экспериментально, она не является универсальной характеристикой восстановления сигнала. Например, она не всегда описывает возможные пагубные последствия, такие как, например, зашумление восстановленного состояния из-за избыточного шума от начального состояния атомного ансамбля.

2.5 Квантовая память для сжатого и перепутанного Память для сжатого вакуумного состояния света была продемонстрирована в протоколах на основе электромагнитной индуцированной прозрачности в работах [60, 61] и рамановского взаимодействия в работе [30]. Полные эффективности процессов записи и восстановления, при использовании памяти на основе электромагнитной индуцированной прозрачности, достигнутые в экспериментах [36, 37, 38, 62] достаточно низки, что, однако, не исключает возможности сохранения неклассического света.

В частности, показано, что такие квантовые свойства света как перепутывание и нарушение неравенства Коши-Шварца могут быть сохранены. В 2004 впервые был поставлен эксперимент, в котором наблюдался эффект электромагнитной индуцироКвантовая память для сжатого и перепутанного света ванной прозрачности, где в качестве сигнального поля использовался сжатый вакуум [63], после чего в 2008 были получены первые экспериментальные демонстрации хранения сжатых вакуумных состояний [61, 64].

Работа [64], кроме того, является одной из первых экспериментальных работ по квантовой памяти в непрерывных переменных, в которой представлена техника записи и восстановления сжатого вакуумного состояния на атомных парах рубидия. В ней показано, что для восстановленного света сохраняется квадратурное сжатие, хотя и уменьшенное из-за поглощения света и атомной декогеренции. Также продемонстрировано, что оптическая фаза восстановленного сжатого вакуума в точности повторяет фазу входного сигнала. Важной особенностью этого эксперимента является то, что в ней представлена полная характеристика полей на входе и выходе ячейки память, с использованием импульсной гомодинной томографии [65, 66, 67] во временном представлении. Авторами получены матрицы плотности обоих световых полей, что позволяет сравнить их и, в частности, рассчитать верность квантовой памяти. Таким образом данный подход является универсальным и может быть применен для проверки квантовой памяти произвольного квантового состояния.

В течении последнего десятилетия эксперименты по квантовой памяти для сжатого и перепутанного света были поставлены многими известными научными группами [68, 69]. При этом большая часть экспериментов базировалась на использовании эффекта электромагнитной индуцированной прозрачности, авторы исследовали возможности сохранения сжатого света от различных квантовых источников - это уже не только сжатый вакуум, но и когерентный сжатый свет.

В работах [7, 70, 71] проведены теоретические исследования сохранения квантовой статистики излучения и предложен ряд критериев и тестов квантовости памяти, выполнение которых демонстрируется в эксперименте [72].

Говоря об экспериментальных реализациях памяти для света в перепутанном соГлава 2. Обзор литературы стоянии нельзя не отметить работу [36], где демонстрируется хранение и восстановление фотонного перепутывания на двух атомных ансамблях в режиме электромагнитной индуцированной прозрачности, каждая из квадратурных компонент света записывается на своем ансамбле, а квантовые свойства восстановленного света проверяются при детектировании в схеме совпадений.

Подводя итог представленному здесь обзору экспериментальных и теоретических работ в области квантовой памяти мы видим бурное развитие этой области науки в последнее десятилетие и активный поиск эффективных схем реализации памяти, приемлемых не только для демонстрационных экспериментов, но и для практического использования.

Глава Модель взаимодействия многомодового света с атомной средой 3.1 Модель квантовой памяти на атомах в -конфигурации В основе рассматриваемой реализации квантовой памяти лежит резонансное взаимодействие двух полей - слабого квантового сигнального поля и сильного классического управляющего поля, с трехуровневой атомной средой (см. рис. 3.1). Нижние энергетические уровни |1 и |2 рассматриваются как долгоживущие, распадом этих уровней на интересующих нас временах взаимодействия света с веществом, а также на временах, хранения информации, мы пренебрегаем. Когерентность между уровнями |1 и |2, создаваемая при взаимодействии полей с атомной средой, является базовым "инструментом"для записи, хранения и считывания информации о поперечной пространственной структуре квантового поля. В начальный момент времени все атомы находятся на уровне |1. Как будет показано ниже, хотя возбужденный уровень |3 почти не заселяется в ходе взаимодействия, наличие спонтанного распада этого уровня со скоростью является важным аспектом задачи. Резонансность, а также длительность взаимодействия отличают рассматриваемую схему от работ 42 Глава 3. Модель взаимодействия многомодового света с атомной средой Рис. 3.1: Модель трехуровневой атомной среды в -конфигурации, резонансно взаимодействующей с сигнальным и управляющим полями.

[43, 73, 74] и диктуют необходимость учета спонтанного распада, являющегося причиной квантовых шумов в системе.

Атомы будем описывать как неподвижные, начало координат совместим с передней границей атомного слоя. Положение каждого атома в пространстве задается сывает положение в поперечной плоскости, а индекс j нумерует атомы в ансамбле.

Атомный слой имеет длину L по оси z и бесконечно протяжен в поперечной плоскости.

Мы полагаем, что прямоугольные импульсы управляющего и сигнального полей распространяются в положительном направлении оси z и взаимодействуют со средой одновременно (см. рис. 3.2). Управляющее поле - это классическая, плоская монохроРис. 3.2: Схематическое соотношение длин и временных интервалов.

матическая волна. Напряженность управляющего поля Ed, зависит от непрерывной пространственной переменной и представлена следующим выражением:

здесь - постоянная Планка, c - скорость света, 0 - постоянная электрической проницаемости среды; d, kd и A(z,, t) - несущая частота, волновой вектор и амплитуда управляющего поля. Частота Раби управляющего поля определена следующим выражением:

где d23 - дипольный момент, индуцируемый на переходе 2 3, при действии на нем управляющего поля.

Квантовое сигнальное поле - это квазимонохроматическая волна с поперечным распределением, описываемая в рамках параксиального приближения. Напряженность сигнального поля описывается следующим выражением:

где 0 и k0 - несущая частота и волновой вектор сигнального поля; Здесь все быстрые зависимости вынесены в экспоненту ei0 t + ik0 z, что позволяет считать развитие амплитуды сигнального поля a(z,, t) медленным во времени и пространстве. Оператор a(z,, t) отвечает нормализованной амплитуде сигнального поля:

где kz проекция на ось z волнового вектора сигнального поля s, поперечная соkq ставляющая волнового вектора s. Здесь a† ( s ) и a( s ) имеют соответственно смысл операторов рождения и уничтожения фотонов в моде сигнального поля, зависящих от непрерывной переменной s, для которых выполняются следующие коммутационk ные соотношения:

44 Глава 3. Модель взаимодействия многомодового света с атомной средой Таким образом получили следующее выражение для коммутационного соотношения для нормализованной амплитуды сигнального поля a(z,, t) и a+ (z,, t):

Операторы a(z,, t) нормированы таким образом, что a† (z,, t)a(z,, t) имеет смысл среднего потока фотонов через единицу площади поперечного сечения за секунду.

Интегральное соотношение (3.6) является общим, однако в параксиальном приближении интеграл можно взять аналитически. В самом деле, в параксиальном приближении kz q, тогда разложим ks в ряд по малому параметру, сохраняя только младшие члены ряда:

Здесь в третьем слагаемом нами сделано квазиплоское приближение kz = k0. Подk) ставляем полученное разложение для в выражение (3.6), получаем коммутационное соотношение для a(z,, t) и a+ (z,, t) в параксиальном приближении:

Таким образом, в используемом нами параксиальном приближении, cигнальное поле в свободном пространстве описывается в терминах гайзенберговских операторов, для которых выполняются следующие коммутационные соотношения, зависящие от непрерывных пространственных переменных:

Отметим еще раз, что оба коммутационных соотношения являются приближенными:

вывод второго приведен выше, и в нем использовалось параксиальное приближение;

при выводе первого, помимо параксиального, также используется квазимонохромное приближение ((ks ) = 0 ).

3.2 Характерные времена и размеры исследуемой системы Импульсный характер излучения оказывается принципиально важным фактором работы схемы квантовой памяти. Возможности сохранения квантовой статистики излучения при использовании импульсного света рассмотрены нами в работе [75] и будут важным аспектом нашего обсуждения в главе 5. Строго говоря, в рамках квантовой механики мы не можем говорить о включении и выключении сигнального поля, так как оно существует всегда, хотя бы в вакуумном состоянии. Поэтому, говоря об импульсе сигнального поля, мы подразумеваем, что это та заведомо невакуумная часть сигнального поля, которая используется в схеме как носитель поперечного распределения поля. Это требование к амплитуде поля может быть выражено в явной форме:

Здесь индекс vac у гайзенберговского оператора означает, что при расчете измеряемых этот оператор должен усредняться по вакуумному состоянию. Функция T (t) принимает нулевые значения вне интервала времен 0 < t < T и равна единице внутри этого интервала. Здесь необходимо также подчеркнуть, что наша цель не просто 46 Глава 3. Модель взаимодействия многомодового света с атомной средой записать все, что содержит в себе сигнальный импульс, но запомнить поперечное распределение поля, которое, разумеется, никак не может быть реализовано на вакуумных флуктуациях сигнального поля.

Длительность импульсов управляющего и сигнального полей T совпадает, выбираем ее достаточно большой по сравнению с длиной атомного слоя T L/c).

Такое соотношение времен позволит нам не рассматривать времена, на которых поля только начинают распространяться вдоль среды и лишь часть среды вовлечена во взаимодействие с ними. То же самое относится и к выходу импульсов из среды.

Мы будем считать управляющее поле постоянным на временном интервале [0, T ], полагая, что как состояние сигнального поля, так и состояние среды, фактически не меняется на коротких временах входа импульса управляющего поля в среду и его выхода из среды.

Будем считать, что частота Раби управляющего поля много больше частоты Раби сигнального поля: ||2 g 2 n, где g - константа дипольного взаимодействия сигнального поля с атомами, n - число фотонов в сигнальном поле.

По длительности входного сигнального поля T условно различают три типа памяти: стационарную (память, основанную на эффекте электромагнитной индуцированной прозрачности), адиабатическую (T >> 1, где 1 - время жизни верхнего энергетического уровня), и быструю (T > 1/), при этом развитие системы рассматривается на временном интервале, позволяющем разделить быстро и медленно протекающие во времени процессы. В нашем случае быстрыми будут процессы, динамика которых определяется главным образом величиной ( >> >> g). Переписывая систему уравнений (3.31)-(3.37) в адиабатическом приближении мы должны положить 13 = 23 = N3 = 0. Тогда, уравнения (3.32), (3.34) и (3.37) превратятся из дифференциальных в алгебраические, и примут вид:

Эти равенства позволяют исключить из рассмотрения быстрые переменные и тем самым записать упрощенную систему уравнений для медленных переменных. Для этого сначала мы должны в явном виде выразить стационарные значения быстрых переменных 13, 23, N3 через медленные N1, N2, 12, a. Это возможно сделать с помощью уравнений (3.46)-(3.48), дополнив их комплексно сопряженными равенствами.

Записывая N3 через выражения для 13 и 32 получаем:

N3 = 2 (g 2 ||2 (N1 N3 ) + 2g+ 12 + ||2 (N2 N3 ) + S3 + g+ S13 + S32 ) (3.49) При записи последующих выражений мы пренебрегаем величинами порядка I = 4||2 / 2 и i = g 2 n/ 2 по сравнению с единицей, где n - оператор числа фотонов в сигнальном поле. Ниже мы увидим, что требование - это прямое следствие адиабатического приближения. Кроме того, по постановке задачи мы полагаем, что Эти неравенства позволяют нам заранее сказать, то среда при взаимодействии с сигнальным и управляющим импульсами возбуждается очень слабо. Поскольку число атомов N в системе постоянно, и в начальный момент времени все атомы находятся в состоянии |1, то на интересующем нас временном интервале основная часть атомов остается в состоянии |1.

Это позволяет в первом слагаемом в выражении (3.49) пренебречь N3 по сравнению с N1. Что приводит выражение (3.49) к следующему виду:

54 Глава 3. Модель взаимодействия многомодового света с атомной средой Полученный результат для N3 подставляем в выражения для 13 и 32 :

где величины образованы из ланжевеновских источников следующим образом:

Заметим, что, в силу неравенств (3.50) и (3.51), основной вклад в выражение (3.56) для источника 13 дает последнее слагаемое. По этим же причинам (а еще, поскольку состояние |2 остается практически не заселенным, а заселенность состояния |1 неизменна и велика) пренебрегаем первым членом по сравнению со вторым в выражении (3.54). Тогда можем переписать выражение для когерентности 13 в виде:

где, кроме отмеченных выше приближений, мы заменили оператор N1 на c-число N, представляющее собой концентрацию атомов. Подробнее о корректности такой замены будет сказано далее, в разделе 3.7.

Выражения для 13 и 32 подставляем в уравнение Гайзенберга-Ланжевена для 12, и получаем следующее выражение для 12 в адиабатическом приближении:

Действуя аналогично, приводим выражение для сигнального поля (3.30) к следующему виду:

Здесь, оставаясь в рамках наших приближений, в уравнении (3.60) мы опускаем производную по времени, то есть не учитываем эффекты запаздывания (временные интервалы, в течении которых фронты импульсов пробегают по среде, рассматриваются как пренебрежимо малые). Кроме того, пренебрегая малыми величинами, в выражении для источника шума (3.61) оставляем только первое слагаемое. В результате мы получили замкнутую систему из двух уравнений в частных производных, которая полностью описывает процесс записи и считывания квантового поля:

В то же самое время, разумеется, полное число уравнений, описывающих взаимодействие электромагнитных полей и атомной среды, осталось равным семи, но другие пять уравнений для оптических когерентностей и заселенностей напрямую не имеют отношения к процессам записи и считывания поля.

Как видно из уравнений (3.62)-(3.63), результирующий ланжевеновский источник в наших приближениях связан только с ланжевеновским источником в исходных уравнениях для оптической когерентности 13, парная корреляция для которого теперь записывается в виде:

Все остальные источники сюда вклада не дают. Мы могли бы записать ланжевеновские источники в наших уравнениях без всякого знания исходных источников, поскольку они задаются уже самой формой дифференциальных уравнений. Однако нас интересовала не только корректная форма источников, но и то, какие из исходных физических параметров влияют на появление шумов в рассматриваемом процессе квантовой памяти.

56 Глава 3. Модель взаимодействия многомодового света с атомной средой 3.6 Формирование источников шума после адиабатического исключения В предыдущем разделе мы выделили уравнения, описывающие процесс формирования когерентности нижних подуровней при взаимодействии атомного ансамбля с сигнальным и управляющим полями в адиабатическом приближении. Однако вопрос о формировании источников шумов в адиабатическом приближении кажется нам очень важным, и мы хотели бы остановиться на нем подробнее.

Делая приближения в источниках шума Fa и F12 нам следовало бы с большей аккуратностью отбрасывать малые слагаемые, поскольку не трудно представить себе ситуацию, при которой, не смотря на малость коэффициентов перед соответствующими операторами шумов, они могли бы вносить заметный вклад в средние Fa Fa и F12 F12 (например, если средние от других членов обнуляются). Поэтому, прежде чем переходить к решениям уравнений, мы еще раз проанализируем корректность записи источников шума.

Отметим, что существует несколько способов представления операторов источников шума в рассматриваемой схеме квантовой памяти. Один из них мы использовали выше, это метод Гайзенберга-Ланжевена: мы вводили источники шума в уравнения Гайзенберга-Ланжевена, полученные при помощи гамильтониана (3.16) и определяли их корреляционные свойства непосредственно из этих уравнений. Этот традиционный способ приводит к заведомо верным корреляционным соотношениям, однако, как было показано выше, он весьма громоздкий.

Другой путь состоит в том, чтобы сначала использовать адиабатическое исключение переменных из уравнений Гайзенберга и ввести источники шума в последнюю очередь (на завершающем этапе) таким образом, чтобы они исправляли коммутационные соотношения для операторов. Очевидно, что такой подход без использования дополнительных приближений не приведет к таким же результатам, что и первый, поскольку адиабатические уравнения не содержат некоторых переменных и, следовательно, некоторых источников шума. Однако такой метод намного проще в смысле вычислений, а поэтому предпочтительнее в использовании. Мы покажем, что оба метода, приводят к одним и тем же результатам, если последовательно использовать выбранные приближения.

Используя корреляционные соотношения(3.40)-(3.45) записываем выражения для корреляторов Fa Fa и F12 F12, учитывая вклад от всех источников шума в (3.59) и (3.61):

Однако корреляторы можно упростить, учитывая малость некоторых членов: