«КОМБИНАТОРИКА ПАРАЛЛЕЛОЭДРОВ И ЕЕ СВЯЗЬ С ГИПОТЕЗОЙ ВОРОНОГО ...»

Для доказательства основных результатов главы проведем индукцию по d. Шаг этой индукции заключается в доказательстве Теорем 4.2 и 4. для параллелоэдров размерности d 2, а затем Теоремы 4.4 для d-мерных параллелоэдров. Такой выбор размерностей, смещенных друг относительно друга, необходим для доказательства. Тем не менее, как только индукция будет завершена, Теоремы 4.2, 4.6 и 4.4 будут доказаны полностью.

В качестве базы индукции возьмем условие d 4. В самом деле, Теоремы 4.2 и 4.6 очевидны для параллелоэдров размерности 1 и 2. Теорема 4. верна для d 4 поскольку эквивалентное утверждение Теоремы 4.1 сразу следует из гипотезы Вороного, которая верна в размерностях 4 (см. [19]).

База проверена.

Переход индукции будет выполнен в Разделах 5.4 и 5.5. Перед этим в Разделе 5.3 вводится понятие обобщенного удлинения параллелоэдра Вороного и устанавливается его связь с ранее введенным понятием креста из двух гиперплоскостей, покрывающего фасетные векторы.

4.3. Операция обобщенного удлинения параллелоэдров Вороного Пусть — положительно определенная квадратичная форма, а n — произвольный вектор в Ed. Рассмотрим новую квадратичную форму Для любого ненулевого вектора x Ed выполняется неравенство и поэтому форма n положительно определена. Если явно не оговорено противное, всегда будем предполагать, что n = 0.

Несложно видеть, что условия эквивалентны. Это значит, что n является нормалью к одной и той же линейной гиперплоскости относительно обеих квадратичных форм и n.

Параллелоэдр вида P (, n ) назовем обобщенным удлинением параллелоэдра P (, ).

Выбор термина «обобщенное удлинение» объясняется следующим образом. Пусть P = P (, ) и P + I(n) — параллелоэдры Вороного и P неприводим. Тогда параллелоэдр P + I(n) (т.е. удлинение параллелоэдра P ) аффинно эквивалентен параллелоэдру P (, n ) при некотором > (это следует, например, из результата С. С. Рышкова и Е. А. Большаковой [13, «Краеугольная теорема»]).

Пусть F(, ) — множество всех фасетных векторов параллелоэдра P (, ). Для дальнейшего нам потребуется описание элементов F(, ) в терминах пустых сфер. А именно, точки x, x являются концами вектора, равного одному из фасетных векторов параллелоэдра P (, ) тогда и только тогда, когда замкнутый шар не содержит точек решетки, отличных от x и x. Такое описание имеет место, поскольку отрезок [x, x ], где x, x, является одномерной гранью соответствующего разбиения Делоне в тои и только том случае, когда x x F(, ), а пустую сферу для отрезка [x, x ] всегда можно считать построенной на отрезке [x, x ] как на диаметре (см. [20, Lemma 13.2.7]).

Введем обозначение Включение, доказываемое ниже, необходимо для доказательства ключевого факта — Следствия 4.8.

Лемма 4.7. Fn (, n ) Fn (, ).

Доказательство. Рассмотрим разбиение Делоне для решетки относительно квадратичной формы n. Проследим за изменением множества Fn (, n ) при непрерывном возрастании от 0 до 1.

Предположим, что при некотором значении = 0 (0, 1) во множестве Fn (, n ) появляется новый вектор. Тогда этот вектор должен соединять пару точек x, x, для которой:

1. При 0 шар Bn (x, x ) не содержит точек решетки, отличных 2. При 0 шар Bn (x, x ) содержит и какие-то другие точки решетки .

Если при любом достаточно малом > 0 имеет место включение то Лемма 4.7 верна. Действительно, в этом случае при любых 1, 2 с условием 0 1 2 1 выполнено включение В частности, оно верно и для 1 = 0, 2 = 1.

Рассмотрим замкнутый шар B0 n (x, x ). По непрерывности, этот шар содержит точки решетки, отличные от x and x, но лишь на границе.

Значит, многогранник является многогранником Делоне решетки относительно квадратичной формы 0 n, имеет разерность хотя бы 2 и симметричен относительно точки (x + x )/2. Его ребра — ребра разбиения Делоне для решетки относительно квадратичной формы 0 n, а также для квадратичных форм (0 )n, где — любое достаточно малое число.

Скажем, что точка y находится выше точки y (ниже точки y, на одном уровне с точкой y ), если скалярное произведение n(y y ) положительно (отрицательно или равно нулю соответственно). Поскольку x и x — не на одном уровне, будем, не умаляя общности предполагать, что x выше x.

Будем доказывать, что x и x можно соединить последовательностью ребер многогранника D так, чтобы каждое ребро последовательности соединяло две вершины на разных уровнях. Из этого будет следовать, что x x линейная комбинация векторов множества Fn (, (0 )n ), т.е. выполняется (4.2).

Рассмотрим произвольную вершину многогранника D, лежащую внутри шара B(0 )n (x, x ). Легко видеть, что эта вершина должна лежать либо выше x, либо ниже x. Поскольку многогранник D симметричен относительно точки (x + x )/2, то у него есть вершины как выше x, так и ниже Далее, никакая вершина многогранника D, отличная от x не лежит на одном уровне с вершиной x. В самом деле, пусть z — такая вершина. Тогда точки x, x, z и z = x + x z лежат на сфере B0 n. Поэтому Из-за того, что z лежит на одном уровне с вершиной x, а z лежит на одном уровне с вершиной x, имеют место равенства А следовательно, равенство (4.3) остается верным и при замене всех 0 n на n при любом действительном. Это значит, что отрезок [x, x ] никогда не является одномерной гранью Делоне для решетки и квадратичной формы n, поскольку замкнутый шар Bn (x, x ) всегда содержит и точки z и z. Противоречие. Значит, все вершины многогранника D, отличные от x и x, лежат либо x, либо ниже x.

';

Из линейного программирования [39, § 3.2] следует, что вершину x можно соединить хотя бы с одной из самых высоких вершин (обозначим ее через y) многогранника D последовательностью ребер, направленных строго вверх. Поскольку x — не самая высокая вершина D, имеем y = x.

Рассмотрим отрезок [x, y]. если он является ребром многогранника D, то мы уже соединили x и x требуемой последовательностью ребер. Иначе (см. [20, Lemma 13.2.7]) [x, y] является диагональю некоторой грани D D, симметричной относительно точки (x + y)/2.

Пусть y не является единственной самой высокой точкой многогранника D. Тогда найдется вершина y D на том же уровне, что и y. Но тогда, в силу симметричности многогранника D, точка z = x + y y — также вершина D и лежит на том же уровне, что и x. Но по доказанному ранее, это невозможно. Значит, y — единственная самая высокая точка многогранника D.

Следовательно, можно соединить x и y последовательностью ребер многогранника D, идущих строго вверх. Объединяя эту последовательность с уже найденной, соединяющей y и x, получаем искомую последовательность ребер, соединяющую x и x. Тем самым Лемма 4.7 доказана.

Следствие 4.8. Пусть P = P (, ) — параллелоэдр Вороного. Пусть также существует крест из двух гиперплоскостей (, ), покрывающий все фасетные векторы параллелоэдра P. Пусть n — вектор нормали к гиперплоскости относительно квадратичной формы. Тогда пара (, ) является крестом, покрывающим все фасетные векторы параллелоэдра P (, n ).

Доказательство. Условие о том, что (, ) — крест для параллелоэдра P означает, что Далее, множество F(, n ) \ Fn (, n ) лежит в ортогональном дополнении к прямой n относительно квадратичной формы n, т.е. в гиперплоскости. Поэтому т.е. пара гиперплоскостей (, ) — крест и для параллелоэдра P (, n ).

4.4. Шаг индукции для Теорем 4.2 и 4. Докажем Теоремы 4.2 and 4.6 для параллелоэдров размерности n = d в предположении, что они уже доказаны для меньших размерностей, а Теорема 4.4 доказана в размерностях до n включительно. В силу индукционного предположения, мы могли бы считать Теорему 4.4 доказанной и в размерности n + 1. Доказательство представим в виде серии лемм.

Лемма 4.9. Пусть Теорема 4.2 верна для любой размерности, не превосходящей n 1. Тогда Теорема 4.6 верна в размерности n.

Доказательство. Пусть привдоимый параллелоэдр Вороного P таков, что dim P = n и P = P1 P2... Pk — его разложение в прямую сумму неприводимых слагаемых. Тогда k > 1 и dim Pi n 1 для любого i = 1, 2,..., k.

Пусть (1, 2 ) — пара гиперплоскостей, образующая крест для параллелоэдра P. Для каждого i = 1, 2,..., k необходимо показать, что a Pi Предположим противное, а именно, не умаляя общности, пусть a P 1 и a Pi 2. Тогда (lin a P1 1, lin a P1 2 ) — пара гиперплоскостей в пространстве lin a P1, образующая крест для параллелоэдра P1. Но dim Pi n 1, поэтому по Теореме 4.2 параллелоэдр P1 приводим, что не так по построению. Противоречие.

Лемма 4.10. Пусть n-мерный параллелоэдр Вороного P = P (, ) имеет существуют такие ненулевые векторы n1 и n2, что 1. n1 — нормаль к гиперплоскости 1 относительно формы.

2. n2 — нормаль к гиперплоскости 2 относительно формы n1.

3. Плоскость n1, n2 является свободной для двукратнго обобщенного удлинения параллелоэдра P, параллелоэдра P (, (n1 )n2 ).

Доказательство. Рассмотрим решетку 1 2. Ее размерность равна (n 2). В самом деле, каждая из гиперплоскостей 1 и 2 допускает базис, состоящий из векторов с целыми координатами, следовательно ограничение каждой из них на Qn (т.е. линейное пространство, состоящее из векторов, имеющих рациональные координаты относительно базиса решетки ) является гиперплоскостью. Тогда ограничение 1 2 на Qn — линейное подпространство размерности (d2). Следовательно 1 2 имеет базис, состоящий из векторов с рациональными координатами. После домножения на общий знаменатель, получаем базис подпространства 1 2, состоящий из d 2 целочисленных векторов.

Для любого возможного выбора векторов n1 и n2 ограничение формы (n1 )n2 на подпространство 1 2 и ограничение формы на то же подпространство совпадают. Через обозначим наибольший радиус пустой сферы для решетки 1 2 в евклидовой метрике, заданной квадратичной формой |(1 2 ).

Пусть n1 — произвольный нормальный вектор к гиперплоскости 1 относительно формы. Тогда все точки решетки можно покрыть дискретным пучком X1 попарно параллельных гиперплоскостей, заданных уравнениями of hyperplanes вательными гиперплоскостями Аналогично, пусть n2 — произвольный нормальный вектор к гиперплоскости 1 относительно формы n1. Тогда все точки решетки можно покрыть дискретным пучком X2 попарно параллельных гиперплоскостей, заданных уравнениями двумя последовательными гиперплоскостями Переход от формы n1 к форме (n1 )n2 не уменьшает никакое расстояние между точками, следовательно, расстояние между последовательными гиперплоскостями пучка X1 в метрике, заданной формой (n1 )n2, остается Рассмотрим разбиение Делоне D для решетки относительно формы (n1 )n2. Покажем, что у каждого треугольника D есть хотя бы одно ребро, параллельное 1 2.

По Следствию 4.8, любое ребро разбиения D параллельно либо гиперплоскости 1, либо гиперплоскости 2, либо им обеим. По принципу Дирихле, у треугольника есть 2 ребра, параллельные одной и той же Предположим, что никакое ребро треугольника не параллельно пересечению 1 2. Это означает, что ни одно ребро треугольника не параллельно j, где {i, j} = {1, 2}. В таком случае вершины треугольника принадлежат попарно различным гиперплоскостям пучка Xj. Обозначим вершины треугольника через x1, x2, x3 так, чтобы гиперплоскость пучка Xj, проходящая через x2 лежала между гиперплоскостями того же пучка, проходящими через x1 и x3.

Рассмотрим подмножество Xj Xj, состоящее из тех гиперплоскостей пучка X1, которые содержат хотя бы одну точку двумерной решетки a. Легко видеть, что все расстояния между последовательными гиперплоскостями пучка Xj одинаковы, и что пересечение каждой гиперплоскости пучка Xj с гиперплоскостью 2 содержит (d 2)-мерную подрешетку решетки. Наконец, те гиперплоскости пучка Xj, которые проходят через точки x1, x2 и x3, принадлежат и пучку Xj.

Пусть интервал (x1, x3 ) пересекается в точности с m гиперплоскостями пучка Xj. При этом, очевидно, m 1. Положим Очевидно, x4 [x1, x3 ]. Неформально говоря, формула (4.4) означает, что x4 — точка пересечения отрезка [x1, x3 ] и третьей по направлению от x к x3 плоскости пучка Xj, если считать плоскость, проходящую через x1, первой.

Т.к. [x1, x3 ] — ребро разбиения Делоне D, сфера B(n1 )n2 (x1, x3 ) является пустой. Сделаем гомотетию этой сферы с центром в точке x1 и коэффициентом m+1. При этом шар B(n1 )n2 (x1, x3 ) перейдет в шар B(n1 )n2 (x1, x4 ).

Поскольку m+1 1, имеем а значит сфера B(n1 )n2 (x1, x4 ) также пуста.

По выбору точки x4, точка (x1 +x4 )/2 принадлежит некоторой плоскости пучка Xj. Поэтому (n 2)-мерная аффинная плоскость содержит (n 2)-мерную решетку, и все ее пустые сферы относительно формы (n1 )n2 имеют радиус, не превосходящий. С другой стороны, сфера пуста и имеет радиус поскольку точки x1 и x4 принадлежат двум плоскостям пучка Xj, между которыми есть еще отна плоскость того же пучка. Из полученного противоречия следует, что у любого треугольника D есть хотя бы одно ребро, параллельное плоскости 1 2.

По Теореме 3.3, ортогональное дополнение относительно формы (n1 )n к плоскости 1 2 является свободным пространством параллелоэдра Вороного P (, (n1 )n2 ). Но несложно проверить, что векторы n1 и n2 независимы и ортогональны плоскости 1 2 относительно формы (n1 )n2.

Лемма 4.11. Пусть Теоремы 4.4 и 4.6 выполняются для всех параллелоэдров размерности не более n. Тогда любой n-мерный параллелоэдр Вороного, имеющий крест, приводим, т.е. Теорема 4.2 выполняется для параллелоэдров Вороного размерности n.

Доказательство. Пусть n-мерный параллелоэдр Вороного P = P (, ) имеет крест. Тогда множество фасетных векторов F(, ) можно разделить на 2 подмножества F1, F2 так, что dim Fi < n. При необходимости добавим к каждому из множеств F1 и F2 по несколько векторов решетки так, чтобы получились базисы двух гиперплоскостей, которые обозначим через 1 and 2 соответственно. По построению, пара (1, 2 ) является крестом для параллелоэдра P, и при этом удовлетворяет условиям Леммы 4.10.

Согласно Лемме 4.10, существует параллелоэдр P (, (n1 )n2 ), для которого плоскость n1, n2 является свободной. Также, в силу Следствия 4.8, пара (1, 2 ) является крестом и для параллелоэдра P (, (n1 )n2 ).

Воспользуемся Теоремой 4.4, которая, по предположению, верна для n-мерных параллелоэдров. Из нее следует, что параллелоэдр P (, (n1 )n2 ) приводим. Пусть его разложение в прямую сумму неприводимых слагаемых имеет вид Тогда по Теореме 4.6 для каждого j = 1, 2,..., k выполняется a Pj Пусть R1 — прямая сумма всех тех слагаемых, аффинные оболочки которых параллельны гиперплоскости 1, и пусть R2 — прямая сумма всех остальных слагаемых. Тогда причем a Ri i (i = 1, 2). Из результата [5, Леммы 5, 6] следует, что аффинные оболочки a R1 и a R2 взаимно ортогональны относительно формы (n1 )n2.

Отсюда следует, что (n1 )n2 = 1 + 2, где 1 и 2 неотрицательно определенные квадратичные формы с ядрами lin a R2 and lin a R1 соответственно.

Ядром квадратичной формы (n1 )n2 n1 является гиперплоскость 2, содержащая в себе линейное подпространство lin a R2. Поэтому ядро формы также содержит lin a R2. С другой стороны форма 1 должна быть положительно определенной на линейном подпространстве lin a R1, поскольку в противном случае форма n1 = 2 + 1 не является положительно определенной.

Формы 1 и 2 имеют ядра lin a R2 и lin a R1 соответственно, т.е.

ker 1 ker 2 = Rn. Следовательно, имеет место равенство P (, n1 ) = R1 R2, где a R1 1. Отметим также, что пара гиперплоскостей (1, 2 ) является крестом для параллелоэдра P (, n1 ).

Таким образом, из приводимости параллелоэдра P (, (n1 )n2 ) была выведена приводимость параллелоэдра P (, n1 ). Точно так же из приводимости параллелоэдра P (, n1 ) выведем приводимость параллелоэдра P.

4.5. Шаг индукции для Теоремы 4. Закончим доказательство основных результатов данной главы выполнением шага индукции для Теоремы 4.4. Для этого будем использовать Теоремы 4.2 and 4.6 для (d 2)-мерных параллелоэдров. Это возможно благодаря доказанному в Разделе 5.4.

Также мы будем интенсивно использовать результаты Раздела 4. extensively. Действительно, параллелоэдр P из условия Теоремы 4.4 имеет свободную двумерную плоскость, а значит, по Лемме 3.16, он должен иметь и совершенную свободную двумерную плоскость.

Разобьем доказательство на шаги, представленные в виде отдельных лемм.

Лемма 4.12. Пусть R = P (, ) — параллелоэдр Вороного, а v — вектор, параллельный a R. Будем также считать, что одной из ячеек разбиения T (R) является сам параллелоэдр R, а ценром параллелоэдра R является начало координат.

Перенесем параллелоэдр R на вектор v. Для каждой гиперграни F R изучим локальную структуру T (R) в точке v + 2 s(F ), центре соответствующей гиперграни F + v рассматриваемого параллельного переноса R + v. Будем говорить, что гипергрань F хорошая (относительно вектора v), если среди граней T (R), сходящихся в точке v + 1 s(F ), нет гиперграни вида F + t, где t (R). В противном случае назовем гипергрань F плохой.

Рассмотрим любой вектор v такой, что Тогда вектор v параллелен всем плохим гиперграням параллелоэдра R.

Доказательство. Пусть F R — плохая гипергрань. По определению из условия Леммы 4.12, точка v + 1 s(F ) принадлежит замыканию какой-либо грани F + t разбиения T (R), при этом t. Т.е. многогранники F + t и F + v имеют общую точку v + 1 s(F ).

Это значит, что многогранники F и F + v t имеют общую точку Поэтому, по аналогии с [17] (где показывается, что трансляты симметризаций Минковского выпуклого множества допускают упаковку параллельными переносами, если само множество допускает упаковку теми же переносами), имеем Отметим 2 следствия из включения (4.5). Во-первых, v t F. Вовторых, поскольку F — также гипергрань параллелоэдра R, имеет место отношение v t R. Следовательно, найден конкретный радиус-вектор v t, конец которого принадлежит пересечению ( + v) R, а сам вектор параллелен F. Осталось доказать параллельность гиперграни F для любого другого радиус-вектора, конец которого лежит в ( + v) R.

R является фундаментальной областью группы параллельных переносов. Поэтому, если v t rel int R, то пересечение ( + v) R состоим из единственной точки vt, радиус-вектор которой, как показано, параллелен гиперграни F.

Следовательно, остается рассмотреть случай v t R. Пусть E — наименьшая по включению грань параллелоэдра R, содержащая точку vt.

Все точки множества (+v)R можно представить как vt+t, где t и E + t R. Т.к. R — параллелоэдр Вороного относительно квадратичной формы, условия E R и E + t R дают ортогональность вектора t и грани E относительно той же формы.

С другой стороны, многогранник 1 F + 1 (F ) есть серединное сечение призмы conv(F (F )). Поэтому включение (4.5) гарантирует, что условие v t E влечет Значит, s(F ) lin a E, и поэтому векторы t и s(F ) ортогональны относительно формы. Как следствие, t F, т.е. v t + t F.

Лемма 4.13. Пусть P = P (, ) — параллелоэдр Вороного, а — его двумерная совершенная свободная плоскость. Тогда выполнено хотя бы одно из следующих условий.

1. P — призма над одной из своих (d 1)-мерных граней.

2. Параллелоэдр R = proj (P ) имеет крест.

Доказательство. Напомним, что по Лемме 3.20 в плоскости есть ровно две совершенные прямые, которые, как и ранее, обозначим через и 2. Также, как и ранее, выберем произвольный отрезок I, параллельный обозначим отрезок, параллельный j. Как и в Разделе 4.6, для j = 1, определим множество CI (P ) формулой (3.10).

Как и в условии Леммы 3.23, положим Согласно Лемме 3.20, многогранник P + Y1 + Y2 — параллелоэдр. Поскольку его ширина в направлении положительна, оба множества многогранников образуют разбиения пространства Ed2 параллельными переносами параллелоэдра R = proj (P ). Пусть векторы v1 и v2 таковы, что Пусть оказалось так, что v1 (R). Тогда R — ячейка разбиения T1, более того, это единственная из всех ячеек разбиения T1, имеющая (d 2)мерное пересечение с многогранником R.

Из Леммы 3.23 немедленно следует |CI (P )| = 1.

В самом деле, если s(F ) CI (P ) и s(F ) CI (P ), то оба многогранника являются ячейками разбиения T1, имеющими (d 2)-мерное пересечение с многогранником R.

Таким образом, все гиперграни параллелоэдра P кроме двух параллельны прямой 2. Следовательно P — призма. Аналогично, параллелоэдр P является призмой, если v2 (R).

Пусть P не является призмой. По Лемме 3.21, R — параллелоэдр Вороного для некоторой евклидовой метрики пространства Ed2, в котором он лежит. Покажем, что если каждая гипергрань параллелоэдра R является хорошей (в смысле Леммы 4.12) относительно хотя бы одного из векторов v1 or v2, то R имеет крест. Для j = 1, 2 выберем вектор Поскольку показано, что в случае vj = 0 параллелоэдр P — призма, будем предполагать, что vj = 0 при j = 1, 2.

В силу Леммы 4.12, любая гипергрань параллелоэдра R параллельна хотя бы одному из векторов — v1 или v2. Это равносильно тому, что каждый фасетный вектор параллелоэдра R ортогонален хотя бы одному из векторов v1 или v2 относительно той метрики, в которой R — параллелоэдр Вороного. Таким образом, ортогональные дополнения к прямым v1 и v образуют крест для R.

Остается показать, что никакая гипергрань параллелоэдра R не может быть плохой одновременно и относительно v1, и относительно v2.

Пусть гипергрань E параллелоэдра R плохая и относительно v1, и относительно v2. Тогда можно так выбрать два параллельных переноса параллелоэдра R, R1 T1 and R2 T2, чтобы выполнялось В самом деле, в смысле (d 3)-мерой меры Лебега, почти любая точка грани E, достаточно близкая к центру симметрии E, покрыта в точности одним параллелоэдром разбиения T1 и в точности одним параллелоэдром разбиения T2.

Для j = 1, 2 введем обозначение Rj = projp (Pj ), где Pj = P + tj, tj j.

В силу Леммы 3.23, грань P P1 P2 является (d 2)-мерной и имеет (d 3)-мерную подгрань E, для которой Но dim a E = dim a proj (E) = d 3, и поэтому плоскость трансверсальна грани E. Следовательно, взаимное расположение и E отвечает одному из случаев из Леммы 3.19 (см. рис 3.3). Но ни в одном из этих случаев соотношение (4.6) невозможно. Противоречие показывает, что, действительно, никакая гипергрань параллелоэдра R не может быть плохой одновременно и относительно v1, и относительно v2.

Лемма 4.14. Пусть P = P (, ) — d-мерный параллелоэдр Вороного, а — его двумерная свободная плоскость. Пусть также Теоремы 4.2 и 4. выполняются для всех размерностей до d 2 включительно. Тогда параллелоэдр P приводим.

Доказательство. В силу Леммы 3.16 можно, не умаляя общности, предполагать, что — совершенная свободная плоскость.

Будем использовать обозначения, введенные в доказательстве Леммы 4.13. Кроме того, не умаляя общности, будем предполагать, что proj — это проекция вдоль плоскости на подпространство Ap (P ) Bp (P ).

Если параллелоэдр P — призма, то P, очевидно, приводим, что и требовалось.

Пусть P — не призма. Тогда, как было показано, многогранник R = proj (P ) есть параллелоэдр Вороного. Далее, говоря об ортогональности в (d 2)-мерной плоскости proj (Rd ), будем иметь в виду ортогональность в той метрике, относительно которой R является параллелоэдром Вороного.

По Лемме 4.13, любая гипергрань параллелоэдра R ортогональна хотя бы одному из векторов v1 или v2. Следовательно, R имеет крест и поэтому приводим. Из Теоремы 4.6 следует, что существует разложение R = S1 S2, для которого аффинные оболочки a S1 и a S2 ортогональны векторам v и v2 соответственно. Поэтому v1 lin a S2 и v2 lin a S1.

Следовательно, если вектор t 1 таков, что dim a((R +t)R) = d2, И аналогично, если t 2 и dim a((R + t) R) = d 2, то Но для каждой гиперграни F параллелоэдра P такой, что s(F ) CI (P ), имеем где t = proj (s(F )). В частности, отсюда следует Таким образом, Каждый элемент множества B (P ) (т.е. каждый фасетный вектор параллелоэдра P, ортогональный плоскости ) совпадает с некоторым фасетным вектором параллелоэдра R, а значит, Объединяя формулы (4.7) и (4.8), получаем, что каждый фасетный вектор параллелоэдра P принадлежит одному из подпространств пересекающихся в точности по нулевому вектору. По Лемме 4.3, параллелоэдр P приводим.

Доказательство Леммы 4.14 завершает переход индукции и, тем самым, доказательство всех основных результатов данной главы.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. А. Д. Александров, О заполнении пространства многогранниками // Вестник Ленинградского Университета, сер. мат., физ., хим., (1954), 33 – 43.

2. С. С. Рышков, Е. П. Барановский C-типы n-мерных решеток и пятимерные примитивные параллелоэдры (с приложением к теории покрытий) // Тр. МИАН СССР, 137 (1976), 3 – 131.

3. Б. А. Венков, Об одном классе эвклидовых многогранников // Вестник Ленинградского Университета, сер. мат., физ., хим., 2 (1954), 4. Б. А. Венков, О проектировании параллелоэдров // Матем. сб., 49(91):2 (1959), 207 – 224.

5. А. А. Гаврилюк, Класс аффинно эквивалентных параллелоэдров Вороного // Мат. заметки, готовится к печати.

6. В. П. Гришухин, Параллелоэдры ненулевой толщины // Матем. сб., 195:5 (2004), 59 – 78.

7. В. П. Гришухин, Сумма параллелоэдра и отрезка по Минковскому // Матем. сб., 197:10 (2006), 15 – 32.

8. Б. Н. Делоне, Геометрия положительных квадратичных форм (Часть I) // УМН, 3 (1937), 16 – 62.

9. Н. П. Долбилин, Свойства граней параллелоэдров // Геометрия, топология и математическая физика. II, Сборник статей. К 70-летию со дня рождения академика Сергея Петровича Новикова, Тр. МИАН, 266 (2009), 112 – 126.

10. Н. П. Долбилин, Параллелоэдры: ретроспектива и новые результаты // Тр. ММО, 73:2 (2012), 259 – 276.

11. А. Н. Магазинов, К теореме Делоне о классификации схождений параллелоэдров в гранях коразмерности 3 // Модел. и анализ информ.

систем., 20:4 (2013), 71 – 80.

12. А. Н. Магазинов, Гипотеза Вороного для удлинений параллелоэдров Вороного // УМН, 69:3 (2014).

13. С. С. Рышков, Е. А. Большакова, К теории коренных параллелоэдров // Изв. РАН. Сер. матем., 69:6 (2005), 187 – 210.

14. Е. С. Федоров, Начала учения о фигурах. С.-Петербург, 1885.

Переиздание: Е. С. Федоров, Начала учения о фигурах. М., АН СССР, 1953.

15. А. Т. Фоменко, Д. Б. Фукс, Курс гомотопической топологии, Москва, Наука, 1989.

16. М. И. Штогрин, Правильные разбиения Дирихле–Вороного для второй триклинной группы, Тр. МИАН СССР, 123 (1973), ред. С. М. Никольский, 128 с.

17. L. Danzer, B. Grunbaum, Uber zwei Probleme bezuglich konvexer K rper von P. Erd s und von V. L. Klee // Math. Zeitschrift, 79 (1962), 18. B. N. Delaunay, Sur la sph` re vide // in Proc. Math. Congr. Toronto, August 11 – 16, 1924, Univ. of Toronto Press, Toronto, 1928, 695 – 19. B. N. Delaunay, Sur la partition r guli` re de l’espace a 4 dimensions // Известия АН СССР. Серия VII, отделение физико-математических наук, 1 – 2 (1929), 79 – 110, 147 – 164.

20. M. M. Deza, M. Laurent, Geometry of Cuts and Metrics. Springer, Berlin – Heidelberg – New York, 1997.

21. M. Deza, V. Grishukhin, Properties of parallelotopes equivalent to Voronoi’s conjecture // European Journal of Combinatorics, 25 (2004), 22. N. P. Dolbilin, The extension theorem, Discrete Math., 221:1-3, Selected papers in honor of Ludwig Danzer (2000), 43 – 59.

23. M. Dutour, The six-dimensional Delaunay polytopes // European Journal of Combinatorics, 25 (2004), 535 – 548.

http://dx.doi.org/10.1016/j.ejc.2014.05.005.

25. P. Engel, The contraction types of parallelohedra in E5 // Acta Crystallographica Section A, 56 (2000), 491 – 496.

26. P. Engel, V. Grishukhin: There are exactly 222 L-types of primitive vedimensional lattices // European Journal of Combinatorics, 23:3 (2002), parallelohedra // European Journal of Combinatorics, 20:6 (1999), 527 – 28. A. G. Horv th, On the boundary of an extremal body // Beitr ge zur Algebra und Geometrie 40:2 (1999), 331 – 342.

29. A. G. Horv th, On the connection between the projection and the extension of a parallelotope // Monatshefte fur Mathematik, 150: (2007), 211 – 216.

30. A. Magazinov, An upper bound for a valence of a face in a parallelohedral tiling // European Journal of Combinatorics, 34:7 (2013), 1108 – 1113.

31. A. Magazinov, Voronoi’s Conjecture for extensions of Voronoi parallelohedra // Preprint: arXiv:1308.6225, 2013.

32. P. McMullen, Space tiling zonotopes // Mathematika, 22:2 (1975), 33. P. McMullen, Convex bodies which tile space by translation // Mathematika, 27:1 (1980), 113 – 121.

34. H. Minkowski, Allgemeine Lehrs tze uber die konvexe Polyeder // Nach. Ges. Wiss., G ttingen, 1897, 198 – 219.

35. A. Ordine, Proof of the Voronoi conjecture on parallelotopes in a new special case // диссертация, Queen’s University, Ontario, 2005.

36. G. C. Shephard, Convex bodies which tile space by translation // Mathematika, 21:2 (1974), 261 – 269.

37. A. V gh, R csok, k r- es g mbelrendez sek // диссертация, BME, Budapest, 2006.

38. G. F. Voronoi, Nouvelles applications des param` tres continus a l` th oe rie des formes quadratiques, Deuxi` me M moire, Recherches sur les parall lloedres primitifs // J. Reine Angew. Math. 134 (1908) 198–287, 136 (1909) 67–181.

Переиздание: Г. Ф. Вороной, Исследования по теории примитивных параллелоэдров. Собр. соч., Т. 2. Киев: Изд. АН УССР, 1952. – 482 c.

39. G. M. Ziegler, Lectures on polytopes, Graduate Texts in Mathematics, Springer–Verlag, New York, 1995.

40. O. K. Zitomirskij, Versch rfung eines Satzes von Woronoi // Журнал Ленинградского физ.-мат. общества, 2 (1929), 131 – 151.