«ОСОБЫХ АЛГЕБР ЛИ ...»

Московский Государственный университет

имени М. В. Ломоносова

Механико-математический факультет

Минченко Андрей Николаевич

На правах рукописи

УДК 512.813.4

О ПОЛУПРОСТЫХ ПОДАЛГЕБРАХ

ОСОБЫХ АЛГЕБР ЛИ

01.01.06 математическая логика, алгебра и теория чисел Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научные руководители:

д.ф.-м.н., профессор Э. Б. Винберг и к.ф.-м.н., доцент И. В. Аржанцев Москва – Оглавление 0 Введение 0.1 Исторические сведения и краткое описание работы....... 0.2 Результаты главы 1......................... 0.3 Результаты главы 2......................... 1 Классификация в комплексном случае 1.1 Предварительные сведения..................... 1.1.1 Эквивалентность и линейная эквивалентность...... 1.1.2 Описание регулярных подалгебр.............. 1.1.3 Полные регулярные подалгебры.............. 1.1.4 R- и S-подалгебры...................... 1.1.5 Одно свойство линейно сопряжённых подалгебр..... 1.2 Классификация простых вложений................. 1.2.1 Идентификация простых подалгебр............ 1.2.2 Результат Дынкина..................... 1.2.3 Описание таблиц 1.6-1.8................... 1.2.4 Несколько замечаний.................... 1.2.5 Случай g = E6........................ 1.2.6 Случай g = E7........................ 1.2.7 Случай g = E8........................ 1.3 Инварианты особых алгебр Ли................... 1.4 Классификация полупростых вложений.............. 1.4.1 Характеристики Дынкина 3-мерных подалгебр...... 1.4.2 Основная идея........................ 1.4.3 Случай D........................... 1.4.4 Случай E........................... 1.4.5 Основной результат..................... 1.5 Нормализаторы простых подалгебр................ 1.5.1 Результаты Алексеевского.................. 1.5.2 Нахождение групп N = Z............... 1.5.3 Описание таблиц 1.10-1.14.................. 1.5.4 Примеры нахождения группы Z = ZG (h)......... 1.5.5 Примеры нахождения группы N = ZG (h)...... 1.6 Таблицы................................ 2 Классификация в вещественном случае 2.1 Предварительные замечания.................... 2.2 Классификация инволюций..................... 2.2.1 Редукция к классификации внутренних инволюций... 2.2.2 Классификация внутренних инволюций.......... 2.2.3 Случай = Id........................ 2.3 Частичный порядок на множестве подалгебр........... 2.3.1 Задание частичного порядка................ 2.3.2 Определение µ для классических алгебр Ли....... 2.3.3 Определение µ для особых алгебр Ли........... 2.4 Отображение и его слои..................... 2.4.1 Теорема о редукции..................... 2.4.2 Сведение к случаю: r простая алгебра Ли, R = Aut r, G = R(C)........................... 2.4.3 Классификация вещественных форм µ[g] -примитивных 2.5 Группа автоморфизмов полупростой вещественной алгебры Ли 2.6 Вложения между особыми вещественными алгебрами Ли.... Глава Введение 0.1 Исторические сведения и краткое описание В диссертации решается проблема классификации с точностью до сопряженности полупростых подалгебр полупростых алгебр Ли над полями C и R.

Этот вопрос актуален со времени возникновения теории С. Ли о группах преобразований и тесно связан с классификацией однородных пространств групп Ли [11]. Проблемой описания подалгебр алгебр Ли занимались многие математики.

Первый значимый прогресс в этом направлении был сделан Э. Картаном [14], [15] и Г. Вейлем [22], развившим теорию представлений полупростых комплексных алгебр Ли. Тем самым была получена классификация полупростых подалгебр в An.1 Описание полупростых подалгебр других классических алгебр Ли Bn, Cn и Dn было дано А. И. Мальцевым [10], им же частично были исследованы подалгебры особых алгебр Ли G2 и F4.

Идея Мальцева использовать теорию представлений для классификации подалгебр, была реализована Е. Б. Дынкиным в работе [4] для классификации полупростых подалгебр особых комплексных алгебр Ли. А именно, Дынкин рассматривал классификацию с точностью до линейной сопряженности.

(Подалгебры h1 и h2 алгебры Ли g называются линейно сопряженными, если для любого линейного представления алгебры g образы подалгебр h и h2 сопряжены в алгебре матриц.) Сопряженные подалгебры линейно сопряжены, и в подавляющем большинстве случаев верно обратное, как было Поскольку группа внутренних автоморфизмов полупростой алгебры Ли раскладывается в прямое произведение соответствующих групп ее простых идеалов, для решения поставленной задачи достаточно классифицировать полупростые подалгебры простых алгебр Ли.

отмечено в [4]. (Дынкин классифицировал с точностью до сопряженности обширное и важное семейство подалгебр, о чем пойдет речь ниже.) Однако полный список линейно сопряженных несопряженных полупростых подалгебр особых комплексных алгебр Ли получен не был (в классическом случае ответ дается в работе [10]). В настоящей работе этот список найден, что в некотором смысле завершает классификацию полупростых подалгебр полупростых комплексных алгебр Ли.

Случай произвольного алгебраически замкнутого поля (с небольшими ограничениями на характеристику) был рассмотрен в [17]. А именно, были классифицированы простые подалгебры особых алгебр Ли с точностью до сопряженности, а также найдены их централизаторы.

Имея классификацию в комплексном случае, естественно попытаться получить таковую и для поля вещественных чисел. В предположении, что известна классификация с точностью до сопряженности полупростых подалгебр комплексной полупростой алгебры g, а также известны их нормализаторы в Int g, Ф. И. Карпелевич [6] предложил метод получения классификации с точностью до квазисопряженности полупростых подалгебр вещественных сопряжены, если существует автоморфизм Int g такой, что (r) = r и (s1 ) = s2 ). Таким образом им была получена классификация с точностью до квазисопряженности полупростых подалгебр классических вещественных алгебр Ли. Некоторые результаты в вопросе описания подалгебр особых вещественных алгебр Ли получены в работах [13], [23], [16], [8]. А именно, были найдены вещественные формы комплексных пар (g, h) в некоторых специальных случаях. (Комплексная (вещественная) пара это набор из полупростой комплексной (вещественной) алгебры Ли g и ее полупростой подалгебры h. Вещественная форма комплексной пары это набор из вещественной формы r алгебры g и вещественной формы s алгебры h такой, что s r. Всякая вещественная пара является вещественной формой комплексной пары.) Кроме того, Комраковым был предложен метод получения вещественных форм произвольных пар, зная вышеуказанные. Это дает некий способ описания всех полупростых подалгебр полупростых вещественных алгебр Ли, но тем не менее, вопрос о нахождении классов сопряженности остается открытым.

В настоящей диссертации излагается несколько отличное от предыдущего описание вещественных форм произвольных комплексных пар, а также дается классификация с точностью до сопряженности (и квазисопряженности) Формально Карпелевич классифицировал простые подалгебры, однако из его результатов, как мы увидим, легко вытекает и классификация полупростых подалгебр.

полупростых подалгебр полупростых вещественных алгебр Ли. В частности, мы получаем усиление классификации Карпелевича.

Отметим также работу [20], где классифицированы с точностью до сопряженности картановские подалгебры вещественных полупростых алгебр Ли.

(Как известно, в комплексных полупростых алгебрах Ли все картановские подалгебры сопряжены.) Автор выражает благодарность своим научным руководителям Э. Б. Винбергу и И. В. Аржанцеву за внимание к данной работе.

0.2 Результаты главы Особые комплексные алгебры Ли представлены пятью типами (т. е. классами изоморфности) G2, F4, E6, E7 и E8.3 В отличие от классических алгебр Ли, о которых удобно говорить на языке теории представлений, особые алгебры Ли, с точки зрения классификации их полупростых подалгебр, представляют собой довольно сложный объект в смысле какого бы то ни было матричного описания. Дынкин нашел выход из этой ситуации при помощи введения понятий регулярной подалгебры и S-подалгебры.

Полупростая подалгебра в g называется регулярной, если она порождена некоторым множеством корневых векторов относительно некоторой картановской подалгебры g. Описание множества регулярных подалгебр сводится к описанию подсистем системы корней алгебры g. Дынкин классифицировал все регулярные подалгебры с точностью до сопряженности. Оказывается, что как правило регулярные подалгебры одного типа сопряжены. Это позволяет обозначать их классы сопряженности при помощи их типов, с некоторыми уточнениями в исключительных случаях, например, A2, A2 при g = F4 или [3A1 ], [3A1 ] при g = E7.

Подалгебра, не содержащаяся ни в одной регулярной подалгебре, называется S-подалгеброй. Например, неприводимые подалгебры классических алгебр Ли являются S-подалгебрами, и как правило верно обратное (все исключения известны). В работе [4] классифицированы, с точностью до сопряженности, все S-подалгебры особых алгебр Ли. А именно, указаны их канонические образующие, выраженные через канонические образующие алгебры g.

Поскольку отношение регулярности транзитивно (регулярная подалгебра регулярной подалгебры g регулярна в g ), всякая полупростая подалгебра g является S-подалгеброй некоторой регулярной подалгебры g (называеИногда нам будет удобно к этому списку относить и D4, что будет специально оговариваться.

мой минимальной объемлющей регулярной подалгеброй). В силу того, что S-подалгебры g1 g2 характеризуются тем, что их проекции на g1, g2 являются S-подалгебрами, из описания регулярных подалгебр и S-подалгебр простых алгебр Ли выводится описание множества S[g] всех полупростых подалгебр g (как множества S-подалгебр регулярных подалгебр). Отметим, что несопряженные регулярные подалгебры могут содержать сопряженные S-подалгебры.

На множестве S[g] действует группа G = Int g внутренних автоморфизмов g с конечным множеством S[g]/G орбит (классов сопряженности). Под классификацией естественно было бы понимать перечисление представителей классов S[g]/G, а также решение вопроса о сопряженности произвольных двух подалгебр из S[g]. Первое выглядит проблематичным, если размерность G достаточно велика: классов сопряженности слишком много. Поэтому мы ограничимся только решением вопроса о сопряженности.

Программа Мальцева решения обозначенной проблемы состоит в следующем:

классифицировать полупростые подалгебры с точностью до линейной сопряженности, а затем в каждом классе линейной сопряженности описать классы сопряженности, на которые он разбивается. Например, в смысле этой программы имеется следующая классификация в классическом случае. Пусть V комплексное конечномерное векторное пространство g = sl(V ), so(V ) или sp(V ), h1, h2 g полупростые подалгебры, являющиеся образами вложений i : h g, i = 1, 2. Продолжение i до вложения в gl(V ) (представление hi в V ) обозначим через i, i = 1, 2. Рассмотрим три условия:

(C1) h1 и h2 линейно сопряжены;

(C2) 1 2 для некоторого автоморфизма Aut h ;

(C3) h1 и h2 сопряжены;

Из результатов работ [10], [4] непосредственно выводится Теорема 1. Если g = so(V ), то все условия эквивалентны. В любом случае верны импликации (C3) (C1) (C2). Пусть g = so(V ). Тогда условие (2) равносильно (C2’) h2 = (h1 ), где Aut g автоморфизм, индуцированный ортогональным преобразованием V.

Импликация (C2 ) (C1) (соотв. (C2 ) (C3) ) неверна тогда и только тогда, когда представление 1 не содержит нулевого веса и | det | = (соотв. нельзя выбрать и так, чтобы 1 = 1 ).

Теорема 1 дает ответы на все вопросы из программы Мальцева в классическом случае. Сформулируем известные результаты (см. [4]) относительно взаимосвязи условий (C1)(C3) для особых алгебр g. Определение i при этом обобщается следующим образом: i = i, i = 1, 2, где : g gl(V ) представление минимальной размерности.

Теорема 2. Пусть g особая комплексная алгебра Ли. Тогда верны импликации (C3) (C1) (C2) верны для всех особых алгебр Ли g. Если h1 и h2 регулярны или типа A1, то (C1) (C3). Если h1 и h2 являются S-подалгебрами g, то импликация (C1) (C3) неверна только в случаях g = E6, h A2 или G2. При этом h2 = (h1 ), где Aut E6 внешний автоморфизм.

Теорема 2 дает классификацию существенного (но не всего) множества полупростых подалгебр особых алгебр Ли. Для классификации подалгебр h S[g] с точностью до линейной сопряженности достаточно (по той же теореме) уметь находить ограничения на h минимального представления алгебры g. В силу определения h как S-подалгебры регулярной подалгебры, это сводится к нахождению ограничения на регулярную подалгебру и, затем, ограничения полученного представления на S-подалгебру. Как правило, определение представления |h не вызывает труда; при этом во многих случаях ответ дан в таблицах из [4], [19].

В работе [4] был получен следующий критерий линейной сопряженности.

Теорема 3. Две полупростые подалгебры полупростой алгебры Ли линейно сопряжены тогда и только тогда, когда их системы простых корней сопряжены. Дынкин классифицировал с точностью до линейной сопряженности простые подалгебры особых алгебр Ли. При этом для классификации трехмерных подалгебр была использована теорема 3, а для других подалгебр равносильность условий (C1) и (C2). А именно, были рассмотрены все пары (l, h), где регулярная подалгебра l g и S-подалгебра h l взяты с точностью до сопряженности (в частности, число таких пар конечно). В случае h sl2 (C), было найдено вложение в g полупростого элемента (характеристики) h sl2 (C) с квадратом длины 2 в терминах скалярных произведений h с простыми корнями относительно некоторой картановской подалгебры g.

В других случаях было вычислено представление (его класс эквивалентности) |h. Таким образом, для каждого класса линейной сопряженности были указаны все пары (l, h), в него входящие.

Система простых корней полупростой алгебры Ли вкладывается в ее картановскую подалгебру при помощи формы Картана-Киллинга.

Оказывается, почти всякий класс линейной сопряженности однозначно определяется типом T алгебры h и ее индексом (Дынкина) d. По определению, индекс простой подалгебры это коэффициент сжатия корней h при вложении в g с условием, что скалярные произведения на h и простых идеалах g одинаково нормированы: например, (, ) = 2 для максимального корня. В работе [4] доказано, что индекс является целым числом. Из теоремы 3 следует, что линейно сопряженные простые подалгебры имеют одинаковые индексы. Классы линейной сопряженности обозначаются как T d или T d, T d,..., если первое обозначение можно отнести к нескольким классам.

Основным результатом первой главы является Теорема 4. Классы линейной сопряженности A9, B2, G3 E6 и A6 E содержат ровно два класса сопряженности, при этом в случае g = E6 последние переводятся один в другой внешним автоморфизмом g. Остальные классы линейной сопряженности полупростых подалгебр особых алгебр Ли совпадают с классами сопряженности.

Мы обозначаем классы сопряженности, на которые распадается класс линейной сопряженности L, как L(1) и L(2). Все классы сопряженности простых подалгебр ранга больше 1 представлены в таблицах 1.10–1.14.

При доказательстве теоремы 4 мы пользуемся следующими соображениями.

Пусть h S[g]. Предположим, нам известна размерность m централизатора z(h). Пусть r наименьший возможный ранг редуктивной алгебры Ли размерности m. Тогда существует минимальная объемлющая h регулярная подалгебра l g ранга не более rk g r. Отметим, что число m есть кратность тривиального представления в ad g|h, в частности, это инвариант класса линейной сопряженности. В случае особой алгебры g и простой алгебры h ранга более 1 число m можно извлечь из таблицы 25 работы [4], где найдены ограничения ad g|h. Например, класс линейной сопряженности C4 E7, с минимальными объемлющими регулярными подалгебрами E6 и A7, имеет m = 1, а значит, и r = 1. Следовательно, любой представитель этого класса содержится в регулярной подалгебре ранга не более 6, т. е. в E6. Таким образом, все представители сопряжены, потому что S-подалгебры типа C4 сопряжены в E6. Для непростых подалгебр h g мы сводим вопрос к ее простым идеалам с помощью рассмотрения централизаторов их картановских подалгебр, а также теоремы 3. Оказывается, в этом случае класс линейной сопряженности h совпадает с классом сопряженности.

Второй результат первой главы касается альтернативного описания полупростых подалгебр особых алгебр Ли. А именно, мы находим централизаторы z(h) представителей всех классов сопряженности простых подалгебр h g ранга более 1. Алгебры z(h) находятся с помощью своей известной размерности m : если мы обнаружили подалгебру h z g и dim z = m, то z = z(h).

Алексеевским были найдены [1] группы ZInt g (h) в случае, когда h sl2 (C) иg особая алгебра Ли. Мы получили аналогичный результат для оставшихся простых подалгебр h g теми же методами, что использовались в упомянутой работе. Более того, нами был получен образ группового нормализатора NInt g (h) в Aut z(h). Соответствующие результаты представлены в таблицах 1.10–1.14. Они используются нами в главе 2.

В главе 2 объектом нашего исследования являются полупростые вещественные алгебры Ли и их полупростые подалгебры. Всякая полупростая вещественная алгебра Ли r допускает разложение (Картана) r = k p, где k r максимальная компактная подалгебра, p = k ее ортогональное дополнение. Все такие разложения сопряжены, иными словами, все максимальные компактные подалгебры r сопряжены. При этом инволютивный оператор на r, |k = E, |p = E является автоморфизмом r ; он называется инволюцией Картана алгебры r. Всякий автоморфизм алгебры r однозначно продолжается до автоморфизма ее комплексификации g = r(C) = r R C.

Соответствие r (g, ) определяет биекцию между типами полупростых вещественных алгебр Ли и классами изоморфизма пар (g, ), или пар (g, g ), полупростая комплексная алгебра Ли, Aut g, 2 = 1. (Пары где g (g1, 1 ) и (g2, 2 ) изоморфны, если существует изоморфизм : g1 g2 такой, что 2 ((x)) = (1 (x)), x g1.) При этом, если алгебра r проста и не имеет комплексной структуры5, то алгебра g также проста; в противном случае Типы некомпактных вещественных форм простых комплексных алгебр Ли перечислены в следующей таблице.

Т. е. не существует линейного оператора I : r r такого, что I 2 = E и I[x, y] = [x, Iy] ( x, y r ).

Первым нашим результатом в главе 2 является представление нового (комбинаторного) метода описания типов пар (g, ). При этом мы классифицируем инволюции не только с точностью до Aut g -сопряженности, но и с точностью до Int g -сопряженности, или (внутренней) сопряженности, что нам понадобится в дальнейшем. Мы сводим это описание к случаю простой алгебры g и Int g. Фиксируем картановскую подалгебру t g и систему простых корней t алгебры g. Тогда = exp ih для некоторого элемента h t, и для всякого верно (h) Z. Элементы x = (h) mod 2 не зависят от выбора h ; таким образом, имеем отображение I x() = {x, } Zn, где I Int g группа инволютивных элементов максимального тора T Int g, Lie T = t, n = rk g. Группа Вейля W алгебры g действует на I, причем ее орбиты являются пересечениями с I орбит группы Int g. Для каждой простой алгебры g мы выводим критерий сопряженности 1, 2 I в терминах x(1 ), x(2 ), т. е. наборов из 0 и 1.

Например, в случае g = F4 инвариантом на x(I) = Zn, разделяющим нетривиальные W -орбиты (их две), является Z2 -значная функция x x, где, длинные корни. Похожие критерии приводятся и в других случаях. В частности, мы устанавливаем, что для простых алгебр g внутренняя сопряженность инволюций из Aut g равносильна их Aut g -сопряженности за одной серией исключений. А именно, в случае g = D2n, n 3 (соотв.

n = 2 ), класс Aut g -сопряженности инволюции, для которой g имеет тип An1, содержит ровно два (соотв. три) класса сопряженности.

Пусть R G замкнутая подгруппа, причем Lie R = r g = Lie G.

Функтор комплексификации определяет отображение множеств полупростых подалгебр S[r] S[g], спускающееся до отображения множеств орбит где R и G действуют на S[r] и S[g] посредством присоединенного представления (как Ad R и Ad G ). Мы изложим метод, позволяющий перечислить представителей всех орбит произвольного слоя отображения. Тем самым получим классификацию полупростых подалгебр r с точностью до R -сопряженности на основе классификации полупростых подалгебр g с точностью до G -сопряженности.

Введем частичный порядок на S[g], положив h p, если h p и для всякого Aut g из того, что (h) = h, следует (p) = p. Алгебра g является наибольшим элементом относительно этого порядка. Пусть h, p соотношения pi = Ad gi (p) для некоторого gi G, 1 i s, определим hi = Ad gi (h). По аналогии с, имеем естественные отображения Пусть qij, 1 j si, Теорема 5. Подалгебры qij S[g], 1 i s, 1 j si, являются представителями всех R -орбит слоя 1 (Gh).

Подмножество S[g] назовем разделяющим, если для любой подалгебры h S[g] найдется подалгебра p такая, что h p. Обнаружение теоремы 5 является важнейшим шагом в классификации подалгебр вещественных алгебр Ли. Это позволяет свести задачу к случаю h. Итак, задача описания слоев отображения распадается на несколько задач:

(P1) построение разделяющего множества = [g] для произвольной полупростой комплексной алгебры Ли g ;

(P3) описание слоев в случае h ;

(P4) определение групп Ad P, Ad Q, где P = NG (h), Q = NR (s), s произвольная вещественная форма алгебры h, лежащая в R.

В данной работе эти вопросы решаются, однако, (P 3) и (P 4) с некоторыми пробелами, которые мы надеемся заполнить в последующих публикациях.

Проблема (P 1) легко сводится к случаю простых алгебр g, для которых мы получаем следующий результат. Если g классическая алгебра Ли, то положим = 1 2 3, где 1 множество регулярных подалгебр, а также типа Bk + Bnk1 в случае g = Dn ; 2 множество неприводимых подалгебр, заданных тензорными произведениями матричных алгебр slk (C), sok (C), spk (C), причем последние две возможности допускаются только в случаях g = son (C) и spn (C) ; 3 множество неприводимых простых подалгебр, а также G2 в случае g = D4. Если g особая алгебра Ли, то Когда речь идет о множестве представителей, предполагается, что они представляют различные орбиты.

положим = 4 5 6, где 4 множество максимальных среди полупростых подалгебр g ; 5 множество максимальных S-подалгебр, в случае g = E8 включающее также S-подалгебру 2G1 +A8 ; подалгебры h 6 исчерпываются в списке пар (g, h) : (F4, D4 ), (E6, D4 ), (E7, D4 + 3A1 ), (E7, 7A1 ), (E7, D4 ), (E8, 2D4 ), (E8, 8A1 ), (E8, 4A2 ), (E8, A40 ).

Теорема 6. Построенные множества = [g] являются разделяющими.

Комраков [8] построил разделяющие множества, которые совпадают с нашими в случае особых алгебр g. Подалгебры из этих множеств были названы почти-примитивными подалгебрами. Они представляют собой предмаксимальные элементы относительно выбранного выше упорядочения S[g]. Однако с практической точки зрения результат Комракова представляется мало полезным, поскольку вопрос (P 2) (а также остальные вопросы) оставался незатронутым. Мы решаем задачу (P 1) одновременно с (P 2). А именно, формула µ в классическом случае приводится для произвольных подалгебр h S[g], а в особом только для изотипных подалгебр (табл. 2.4). Этого достаточно, чтобы определить µ на остальных подалгебрах.

Предполагая задачу (P 4) решенной, мы сводим (P 3) к случаю R = Aut r, G = R(C) Aut g, r проста. В этом случае задача (P 3) фактически решена Карпелевичем [6] для h 1, 3 ; оставшийся классический случай h оказывается довольно простым. Для особых алгебр g задача (P 3) решается в случаях h 4, 5. Наш метод основан на представлении в виде композиции, где естественные отображения. (Хотя группа G не действует на r, на r определено отношение G -сопряженности.) Таким образом, задача (P 3) разбивается на две подзадачи:

(P3’) найти представителей классов эквивалентности в слоях отображения (P3”) найти представителей R -орбит слоев отображения ;

Пусть h S[g], Aut g некоторая инволюция Картана алгебры r. Рассмотрим множество E(, ) инволюций Aut g, внутренне сопряженных, таких, что (h) = h и инволюция |h NG (h) -сопряжена. Пусть i, i I, представители всех NG (h) -орбит инволюций алгебры h, для которых множество E(, ) не пусто. Соответствующие вещественные формы h обозначим через si, i I.

Теорема 7. Подалгебры si h, i I, образуют множество представителей в S[r] классов из слоя 1 (Gh).

Опять же, предположив задачу (P 4) решенной, задача (P 3 ) сводится к проблеме определения множеств E(, ). Мы решаем эту проблему для h 4, 5 (см. табл. 2.6–2.9). Вопрос (P 3 ) решается при помощи следующего утверждения.

Теорема 8. Пусть s r, h = s(C) S[g], Если h максимальна среди полупростых подалгебр либо является S-подалгеброй, то слой 1 (s) состоит из одной R -орбиты.

В случае S-подалгебры h, теорема 8 была доказана Карпелевичем [6]. В общем случае им же в основном (с нашими дополнениями) получена Теорема 9. R -орбиты слоя µ 1 (Gs) находятся во взаимно-однозначном соответствии с орбитами действия NG (h) : E(, ).

Соответствие, о котором идет речь в теореме 9, указано в тексте работы.

Таким образом, задача классификации решена по модулю (P 4) и (P 3) для h 6. В последнем разделе мы изучаем группу автоморфизмов полупростой вещественной алгебры Ли. Это создает почву для последующего решения проблемы (P 4).

В заключение приведем одно красивое утверждение, которое может быть доказано методами, изложенными в настоящей работе.

Теорема 10. Имеется следующая диаграмма включений:

EV III EIX

При этом любые два включения изоморфных вещественных форм соседних элементов цепочки G2 D4 F4 E6 E7 E8 сопряжены.

Некоторые обозначения.

g = Lie G алгебра Ли группы Ли G ; в дальнейшем, если не оговорено противное, будем считать группу G присоединённой;

G односвязная накрывающая связной группы Ли G ;

G связная компонента единицы группы G ;

Aut g группа всех автоморфизмов алгебры g ;

Int g группа внутренних автоморфизмов алгебры g ;

z(g) zg (h) централизатор подалгебры h в g ;

ng (h) = h + zg (h) нормализатор подалгебры h в g ;

ZG (h) zg (H) подалгебра алгебры g, состоящая из неподвижных векторов относительно присоединённого действия подгруппы H G ;

g подалгебра алгебры g, централизуемая автоморфизмом Aut g ;

NG (h) (g) = {1,... n } система простых корней простой алгебры Ли g ранга n ; нумерация простых корней такая же, как в [3];

1,... n фундаментальные веса, соответствующие 1,... n ;

R() представление алгебры Ли g со старшим весом ;

P Q полупрямое произведение групп P и Q, где Q является нормальным сомножителем;

циклическая группа порядка n ;

группа всех подстановок на n элементах;

группа чётных подстановок на n элементах;

V4 группа, изоморфная Z2 Z2, либо, в качестве подгруппы S4, четверная группа Клейна;

Id тождественное преобразование.

V = Hom(V, A) двойственный модуль A -модуля V ( A – кольцо), Глава Классификация в комплексном случае 1.1 Предварительные сведения 1.1.1 Эквивалентность и линейная эквивалентность Вложения i : h g, i = 1, 2, называются эквивалентными ( 1 2 ), если найдётся такой элемент Int g, что 2 = 1. Из классификации вложений нетрудно получить классификацию подалгебр: нужно объединить те классы эквивалентных вложений h g, которые переводятся один в другой внешним автоморфизмом алгебры h (и рассмотреть их образы в g ).

Обратно, имея описание подалгебр и зная, какие их внешние автоморфизмы реализуются в g, можно получить классификацию вложений.

По аналогии с понятием линейной сопряжённости подалгебр возникает понятие линейной эквивалентности вложений. А именно, вложения i : h g, i = 1, 2, линейно эквивалентны (1 2 ), если для любого представления : g gl(V ) соответствующие представления i, i = 1, 2, алгебры h изоморфны. Очевидно, что из эквивалентности следует линейная эквивалентность. Связь эквивалентности и линейной эквивалентности описывается следующей теоремой (см. [4, теорема 1.1]).

Теорема 11. Два вложения i : h g, i = 1, 2, линейно эквивалентны тогда и только тогда, когда их ограничения на картановскую подалгебру алгебры h эквивалентны.

Следствие 1. Две изоморфные подалгебры h1, h2 алгебры g линейно сопряжены тогда и только тогда, когда какие-то их двойственные системы простых корней сопряжены в g (двойственность будем понимать в смысле формы Картана-Киллинга).

Доказательство. В одну сторону утверждение очевидным образом следует из теоремы 11. Докажем, что из линейной сопряжённости следует сопряжённость систем дуальных простых корней. Для этого, ввиду теоремы 11, достаточно доказать, что существует такое представление алгебры g, что линейная эквивалентность произвольной пары вложений i : h g, i = 1, 2, определяется эквивалентностью представлений 1 и 2 алгебры h.

Пусть 1,..., n представления алгебры g, старшие веса которых порождают пространство t, где t картановская подалгебра в g. Известно [4, теорема 1.2], что тогда линейная эквивалентность пары вложений следует уже из их эквивалентности относительно представлений 1,..., n.

Пусть : h g произвольное вложение, M множество всех неприводимых представлений алгебры h и z = (k1,..., kn ) Nn набор целых положительных чисел. Рассмотрим композицию отображений:

где (x) = (m1 (x), m2 (x),..., mn (x)) набор кратностей вхождения представления x в i, z (w) = (z, w) обычное скалярное произведение.

Множество Im заведомо лежит в некотором ограниченном параллелепипеде (не зависящем от ), а следовательно, конечно. Значит, существует такая точка z Nn, что отображение z взаимно однозначно на Im. Докажем, что тогда соответствующее представление = n ki i искомое.

Действительно, z ((x)) кратность вхождения неприводимого представления x в. В силу выбора z, по ней однозначно определяется (x), что и требовалось.

Замечание 1. В работе [4] это следствие (теорема 1.5) формулируется без доказательства, и мы сочли уместным восполнить этот пробел. Отметим также, что существование представления из доказательства следствия было доказано в работе [18], правда, несколько иным способом.

В частности, классы линейной сопряжённости подалгебр h g получаются объединением классов линейной эквивалентности вложений h g, переводимых друг в друга внешними автоморфизмами алгебры h. Обратно, классификация вложений очевидным образом получается из классификации подалгебр, если известно, какие внешние автоморфизмы двойственных систем простых корней алгебр h реализуются в g (или, что то же самое, в группе Вейля алгебры g ).

В данной работе на самом деле решается задача классификации вложений в особые алгебры Ли с точностью до эквивалентности. Как уже отмечалось, это более общая задача, чем её аналог для подалгебр. С помощью теоремы 17, которую мы докажем в главе 4, классификация вложений с точностью до эквивалентности сведётся к их классификации с точностью до линейной эквивалентности. Последняя существенно упрощается с помощью следующего утверждения. вложения. Тогда где i фундаментальное представление, отвечающее i -му простому корню.

Замечание 2. Эта теорема в более слабом варианте была сформулирована в [4, теорема 1.3]. Дынкиным было доказано, что для проверки линейной эквивалентности достаточно рассмотреть те наборы представлений алгебры g, для которых совокупность весов, принадлежащих этажам ширины 1, порождает пространство t. Поэтому для случаев g = E7, E8 одним представлением ограничиться было нельзя: нужно было дополнительно рассматривать представления 6, 7 соответственно.2 Результат Дынкина усилен в работе [18] с помощью принципиально иных соображений.

Обсудим подробнее задачу классификации вложений : h g с точностью до линейной эквивалентности. Она оказывается вполне обозримой. Действительно, если g классическая алгебра Ли, то ответ даётся теоремой 12. Далее, в работе [4] получена классификация максимальных подалгебр особых алгебр Ли g с точностью до сопряжённости, а также найдены ограничения на них простейших ( g ) и присоединённых ( adg ) представлений алгебр g (см. [4, табл. 25, 35], [19]; отметим, что ограничения представлений adg на максимальные регулярные подалгебры могут быть легко получены с помощью метода, изложенного в [2]). Пусть (h) m g, m максимальная подалгебра в g. В силу сказанного, можно свести дело к случаю, когда алгебра m является суммой классических.

Напомним простейшие представления особых алгебр Ли:

В дальнейшем мы будем предполагать, что для алгебры so2n выполнено n 4.

Замечание после теоремы 11.2 в работе [4] относится к простым подалгебрам.

Отметим, что E8 adE8. Известно, что имеется следующая цепочка включений:

и все такие цепочки сопряжены в E8. При этом выполнено:

тривиальное представление, R Таким образом, проверка линейной эквивалентности вложений в особые алгебры Ли сводится к подсчёту ограничений на них представлений классических алгебр Ли (хотя во многих случаях и этого делать не нужно в силу таблиц из [4], [19]). Более подробное исследование мы делать не будем, поскольку для наших основных целей это не потребуется.

Приведём теперь известные факты, в определённых случаях сводящие классификацию вложений с точностью до эквивалентности к классификации с точностью до линейной эквивалентности. Пусть, как и выше, i : h g, Теорема 13. Равносильность 1 2 1 2 имеет место при выполнении любого из условий:

2. Im i, i = 1, 2, регулярные подалгебры;

3. g = sln, spn, so2n+1, G2, F4.

Прокомментируем утверждения теоремы. Утверждение 1 можно сформулировать так: две sl2 –подалгебры сопряжены тогда и только тогда, когда их характеристики сопряжены. Впервые, по-видимому, оно было доказано Мальцевым (см. [10]). Утверждение 2 мы обсудим в следующем пункте. Утверждение 3 в случае g = sln есть определение изоморфизма представлений.

Доказательство для алгебр g = spn, so2n+1 приведено в [10] (в последнем случае оно следует из доказанного ещё Фробениусом факта: эквивалентные вполне приводимые ортогональные представления ортогонально эквивалентны). Случай g = G2 очевиден в силу пунктов 1, 2. Случай g = F4 разобран в работе [18].

Теорема 14. Пусть в предыдущих обозначениях g = so2n. Тогда 1. если вложения 1, 2 линейно эквивалентны, но не эквивалентны, то 2 = 1, где внешний автоморфизм алгебры g, определённый элементом ортогональной группы O2n ;

2. вложения, линейно эквивалентны тогда и только тогда, когда представление 1 алгебры h содержит нулевой вес;

3. вложения, эквивалентны тогда и только тогда, когда представление 1 имеет нечётномерное ортогональное подпредставление.

Пункты 1 и 3 теоремы были доказаны в работе [10], а пункт 2 в [4, теорема 1.4].

Пример 1. Присоединённые представления алгебр sl3 и so5 определяют их вложения в алгебры so8 и so10 соответственно. Применяя теорему 14, нетрудно убедиться, что классы линейной эквивалентности этих вложений состоят из двух классов эквивалентных вложений и что это единственные вложения в указанные алгебры с таким свойством. Отметим, что для вложений h so2n, где h есть прямая сумма алгебр, изоморфных sl2, понятия эквивалентности и линейной эквивалентности совпадают, так как неприводимое чётномерное представление такой алгебры h не может иметь нулевого веса.

Таким образом, остаётся разобраться со случаями g = E6, E7 и E8. Соответствующий результат содержится в теореме 17. А именно, перечисляются все случаи, когда класс линейно эквивалентных вложений в g нетривиально распадается на классы эквивалентных вложений, а также указано, как именно происходит это распадение. Имеется 3 таких случая для алгебры E6, 2 для E7 и 10 для E8, причём в каждом из них распадение происходит ровно на два класса эквивалентности. Аналогичное утверждение (следствие 3) доказывается для подалгебр. Отметим, что методы работы с простыми и непростыми полупростыми вложениями существенно различаются.

В первом случае мы будем опираться на классификацию Дынкина простых вложений, а во втором на теоремы 13, 14.

1.1.2 Описание регулярных подалгебр Редуктивная подалгебра h g называется регулярной, если выполнено одно из следующих эквивалентных условий:

(1) подалгебра h нормализуется некоторым максимальным тором t алгебры g ;

(2) редуктивная подалгебра ng (h) g имеет максимальный ранг.

В частности, если подалгебра h g регулярна, то из соотношения ng (h) = h+zg (h) следует, что t = th+tzg (h). Регулярным вложением называется вложение, образ которого является регулярной подалгеброй. Если заменить в данных определениях алгебры Ли группами Ли, то получим определения регулярной подгруппы и регулярного вложения. Отметим, что подалгебры (подгруппы) максимального ранга регулярны.

Отметим, что из определения следует, что регулярное вложение однозначно с точностью до эквивалентности определяется по своему ограничению на картановскую подалгебру (утверждение 2 теоремы 13)3. Действительно, пусть : h g регулярное вложение и k h картановская подалгебра. Выберем максимальный тор t zg (k). Сопряжением при помощи элемента из zg (k) можно добиться выполнения условия t ng (h). Тогда отображение будет переводить корневые подпространства в корневые подпространства, причём корню k будет отвечать корень алгебры g, равный на t zg ((h)) и равный ( |(k) )1 () на (k). Из этого рассуждения и сопряжённости максимальных торов в zg ((k)) следует, что линейно эквивалентные регулярные вложения эквивалентны.

Дынкин [4] предложил конструкцию, которая позволяет описать все полупростые регулярные подалгебры данной полупростой алгебры Ли g. Ясно, что достаточно научиться находить максимальные из этих подалгебр. Следовательно, можно считать алгебру g простой. Рассмотрим подалгебры, системы простых корней которых получаются вычёркиванием одного элемента либо из расширенной, либо из обычной систем простых корней алгебры g. Тогда всякая максимальная регулярная подалгебра в g сопряжена одной из получаемых таким образом. Из этого описания, в частности, следует Предложение 1. Всякая собственная регулярная подалгебра имеет нетривиальный централизатор в группе G = Int g. Централизатор полупростой максимальной подалгебры максимального ранга имеет простой порядок.

Следствие 2. Пусть R G связная редуктивная подгруппа максимального ранга связной редуктивной группы Ли G и Z = ZG (R) = Z(R) её централизатор (он же совпадает с её центром). Тогда R = ZG (Z).

Это утверждение доказано также в [18] В дальнейшем, для простоты, мы будем часто опускать обозначение, например, zg (k) = zg ((k)) Доказательство. Положим R = ZG (Z). Тогда R R подгруппа максимального ранга, причём Z(R) = Z(R ). Профакторизовав группы R и R по общему центру, имеем, согласно первой части предложения 1, что полученные факторы совпадают. Но тогда R = R.

Можно ожидать, что в случае небольших rk g полупростые регулярные подалгебры одного типа сопряжены. Это действительно так: если g одна из особых алгебр Ли, то имеется лишь 6 исключений для g = E7 и 5 для g = E8, причём в каждом таком случае множество регулярных подалгебр одного типа содержит ровно два класса сопряжённости. А именно, один из этих классов выделяется тем, что система простых корней некоторого его представителя содержится в A7 (соотв. в A8 ) в случае g = E7 (соотв. E8 ).

Если обозначать регулярные подалгебры так же, как их типы (в дальнейшем мы так и будем делать), то для обозначения этого класса мы будем дополнительно использовать штрих, а для другого класса два штриха. Например, Отметим ещё одно хорошее свойство регулярных подалгебр. Напомним, что инволюцией Вейля редуктивной алгебры Ли называется автоморфизм, действующий умножением на -1 на некотором её максимальном торе. Такие автоморфизмы существуют и все они сопряжены посредством внутренних автоморфизмов.

Предложение 2. Пусть h регулярная подалгебра редуктивной алгебры Ли g. Тогда существует такая инволюция Вейля алгебры g, что (h) = h и |h есть инволюция Вейля алгебры h.

Доказательство. В качестве надо взять инволюцию, действующую инверсией на торе, нормализующем подалгебру h.

Замечание 3. Известно, что для простой алгебры g имеем Int g лишь в случаях g = sln, n 3, so4n+2, E6.

1.1.3 Полные регулярные подалгебры Регулярная подалгебра редуктивной алгебры Ли g называется полной, если она не содержится в качестве собственной подалгебры ни в одной регулярной подалгебре того же ранга. Полные полупростые подалгебры характеризуются тем, что они являются коммутантами централизаторов торов или тем, что их система простых корней может быть дополнена до системы простых корней алгебры g. В дальнейшем множество регулярных (соотв. полных регулярных) подалгебр, содержащих данную подалгебру h g, рассматриваемых с точностью до сопряжённости в g, мы будем обозначать R(h) (соотв. R(h) ).

Полные регулярные подалгебры важны для нас по следующей причине:

Предложение 3. Пусть h полупростая подалгебра полупростой алгебры Ли g. Тогда 1. найдётся единственная (с точностью до сопряжённости) подалгебра 2. если вложения i : h g, i = 1, 2, эквивалентны в g, то элеr мент Int g из определения эквивалентности можно выбрать так, Доказательство. Выберем максимальный тор k zg (h). Тогда в качестве нужно взять коммутант подалгебры zg (k). Утверждения предложения следуют из сопряжённости максимальных торов в zg (k).

1.1.4 R- и S-подалгебры Пусть h редуктивная подалгебра полупростой алгебры Ли g и G = Int g.

Подалгебра h называется R-подалгеброй, если R(h) = {g}. В противном случае она называется S-подалгеброй. Сама алгебра g считается своей Sподалгеброй. Ясно, что всякая собственная регулярная подалгебра является R-подалгеброй, а главная 3-мерная подалгебра S-подалгеброй. Аналогично определяются R- и S-вложения, а также R- и S-подгруппы. Заметим, что S-подалгебра обязательно полупроста (иначе она содержалась бы в централизаторе нетривиального тора). Такие подалгебры могут быть просто охарактеризованы:

Предложение 4. Связная подгруппа H G = Int g является S-подгруппой тогда и только тогда, когда ZG (H) = {e}.

Доказательство. Импликация ’тогда’ немедленно вытекает из предложения 1. Пусть теперь H S-подгруппа в G. Возьмём произвольный полупростой элемент s ZG (H). Тогда ZG (s) является регулярной подгруппой в G, содержащей H. Она совпадает со всей группой G лишь в случае s = e.

Для нас будут представлять интерес также подалгебры, имеющие тривиальные централизаторы в группе Aut g. Назовём их T-подалгебрами. Легко видеть, что всякая T-подалгебра является S-подалгеброй. Обратное не верно.

Например, подалгебра F4 алгебры E6 является S-, но не T-подалгеброй. То же можно сказать про диагональное включение h h + h.

Предложение 5. Пусть i : h r g, i = 1, 2 эквивалентные вложения полупростых алгебр Ли, являющиеся T-вложениями в r, и R(h) = {r, g}. Тогда элемент Int g из определения эквивалентности нормализует r.

Доказательство. Положим Z = ZG (r) простое число (см. предложение 1). Достаточно показать, что Z0 ZG (h) = Z (будем отождествлять подалгебру h, например, с 1 (h) ). Заметим, что группа Z не содержит элементов порядка, отличного от p. Предположим, что порядок группы Z0 не прост. Тогда найдётся элемент в Z0, нормализующий (и даже централизующий) подгруппу Z и не лежащий в ней. Значит он нетривиально действует на подалгебре r и централизует подалгебру h. Получаем противоречие с тем, что h является T-подалгеброй.

В работе [4] классифицированы с точностью до сопряжённости S-подалгебры особых алгебр Ли (но не классифицированы нерегулярные R-подалгебры). Sподалгебры особых алгебр Ли являются аналогами неприводимых подалгебр классических алгебр Ли. Действительно, в случаях g = sln, spn, so2n+1 Sподалгебры это в точности неприводимые подалгебры. Для g = so2n класс S-подалгебр несколько шире: в него дополнительно включаются подалгебры, относительно которых основное векторное пространство разлагается в сумму двух неэквивалентных простых нечётномерных невырожденных (в смысле скалярного произведения) подмодулей.5 В последнем случае доказательство основано на том, что максимальные регулярные подалгебры в so2n это so2k + so2(nk), k = 2,... n 2, и sln. Интересно отметить, что всякая R-подалгебра при любом точном представлении алгебры g представляется приводимой системой матриц [4, теорема 7.1].

Ясно, что проекции S-подалгебр на идеалы алгебры g являются S-подалгебрами последних.

Пример 2. Предположим, что алгебра g есть прямая сумма двух своих изоморфных идеалов: g = h h. Тогда имеется взаимно однозначное соответствие между элементами группы Aut h/ Int h и классами сопряжённости Sподалгебр, изоморфных h. А именно, эти классы могут быть описаны следуВ [4, теорема 7.2] имеется неточность: не требуется, чтобы подмодули не были изоморфными.

ющими представителями:

где i Aut h представители смежных классов Aut h по Int h. Ясно, что внешние автоморфизмы подалгебр hi не реализуются в g. Поэтому, если говорить о вложениях h g, то число их классов эквивалентности равно квадрату числа классов сопряжённости подалгебр в g, изоморфных h.

Этот пример может быть очевидным образом обобщён на случай произвольного количества изоморфных идеалов, в сумму которых разлагается алгебра g.

Пусть h максимальная S-подалгебра простой особой алгебры Ли g. Тогда, согласно результату Дынкина, алгебра h изоморфна одной из следующего списка:

причём изоморфные подалгебры сопряжены, кроме случаев sl2 E7, E (где таких подалгебр соответственно две и три), A2, G2 E6, которые не сопряжены своим образам при внешнем автоморфизме E6 (см. [4, теорема 11.1]).

1.1.5 Одно свойство линейно сопряжённых подалгебр Пусть h полупростая подалгебра полупростой алгебры Ли g. В дальнейшем нам будет удобно использовать обозначение Корангом подалгебры h назовём число cork h = rk g rk h. Для целого неотрицательного числа d обозначим через m(d) минимальный возможный ранг редуктивной алгебры Ли размерности d. Имеет место следующее очевидное Предложение 6. Пусть d = dim zg (h). Тогда существует полная регулярная подалгебра, содержащая h, коранга не менее m(d).

Рассмотрев присоединённое представление алгебры g, заметим, что централизаторы линейно сопряжённых подалгебр обязаны иметь равные размерности. Отметим в связи с этим Предложение 7. Пусть c, c максимальные возможные коранги подалL гебр из R(h), R(h) соответственно, причём c 2. Тогда c = c.

Доказательство. Ясно, что c c. Приведём к противоречию ситуацию c = 2, c = 1 (остальные случаи очевидны). Если c = 1, то подалгебра zg (h) изоморфна либо sl2, либо T1. Но алгебра размерности 3 или 1 не может иметь ранг 2.

1.2 Классификация простых вложений Начиная с этого момента мы будем предполагать, что g является простой особой алгеброй Ли и h её полупростая подалгебра. Мы получим классификацию простых подалгебр с точностью до сопряжённости, а затем исследуем реализуемость в g их внешних автоморфизмов. Тем самым придём к классификации простых вложений.

1.2.1 Идентификация простых подалгебр Простые подалгебры особых алгебр Ли в работе [4] идентифицируются при помощи своих индексов. В этом пункте мы объясним эти понятия.

Пусть : h g вложение простой алгебры Ли. Рассмотрим инвариантные скалярные произведения (, ) на алгебрах g и h, нормированные так, что наибольшая длина корня равна 2. Положим (x, y)1 = ((x), (y)) новое инвариантное скалярное произведение на h. Тогда для некоторого целого числа [4] j, называемого индексом вложения, имеем (x, y)1 = j (x, y).

Ясно, что индекс композиции вложений равен произведению индексов. Кроме того, индекс инвариантен относительно автоморфизмов алгебры h. Значит, имеет смысл говорить об индексах простых подалгебр.

Пусть вложения i : h g, i = 1,... k, таковы, что их образы коммутируют.

Тогда j1 +···+k = j1 + · · · + jk.

Как правило, несопряжённые подалгебры имеют разные индексы. Поэтому разумно задавать простые подалгебры, указывая их индекс сверху, например, A28 G2. Если индексы подалгебр одинаковы, но они не линейно сопряжены, то дополнительно используются штрихи: A6, A6 E8.

1.2.2 Результат Дынкина В этом пункте мы изложим классификацию Дынкина простых подалгебр особых алгебр Ли с точностью до линейной сопряжённости. В силу теоремы 13, нас будут интересовать только нерегулярные подалгебры ранга более 1 алгебр g = E6, E7, E8. Отметим, что S-подалгебры нам классифицировать не надо, поскольку это сделано Дынкиным; нужно только найти все их реализуемые автоморфизмы.

В [4, таблица 25] для каждой, с точностью до линейной сопряжённости, простой подалгебры h g указаны ограничения 1 |h и ad |h на h простейшего и присоединённого представлений алгебры g (интересно отметить, что по представлению ad |h класс линейной сопряжённости подалгебры h идентифицируется однозначно). Кроме того, указан набор R(h)LS, который называется набором минимальных объемлющих регулярных подалгебр. Он состоит из тех регулярных подалгебр, содержащих подалгебры h h, в которых h является S-подалгеброй.6 Отметим, что классификация с точностью до линейной эквивалентности простых вложений может быть легко получена из классификации Дынкина (теорема 12).

В классификации Дынкина имеется одна существенная для нас неточность:

не существует подалгебры so7 E8 с единственной минимальной объемлющей регулярной подалгеброй 2D4. Это можно понять, если выписать ограничения присоединённого представления алгебры E8 на всевозможные подалгебры so7 2D4 ; окажется, что каждая из них линейно сопряжена одной из подалгебр so7 A6, A7 или so7 A7. Кроме того, в [4, таблица 25] пропущены подалгебры sl3 и sl5 алгебры E8 с единственными минимальными объемлющими регулярными подалгебрами E6 +A2 и 2A4 соответственно (линейная сопряжённость всевозможных S-подалгебр sl3 E6 + A2 и sl5 2A может быть проверена непосредственно с помощью теоремы 12).

Результат Дынкина (точнее, та его часть, которая нам понадобится) представлен в первых трёх колонках таблиц 1.6, 1.7, 1.8.

1.2.3 Описание таблиц 1.6-1. В указанных таблицах содержится классификация с точностью до эквивалентности простых нерегулярных вложений ранга более 1 результат, к коТермин ’минимальная объемлющая регулярная подалгебра’ не надо понимать буквально: например, таковой может являться подалгебра r = A1 +A1 в случае g = F4 : диагонально вложенная sl2 -подалгебра h r регулярна в g (её простой корень отвечает короткому корню алгебры g ), но является S-подалгеброй в r. Впрочем, в случаях g = An, Dn, E6, E7, E8, таких "сюрпризов"быть не может [4, теорема 2.4] торому мы придём в данном параграфе. Первые три колонки таблиц содержат аналогичную классификацию с точностью до линейной эквивалентности (результат Дынкина).

В первой колонке указаны, с точностью до линейной сопряжённости, подалгебры h g, чьи минимальные объемлющие регулярные подалгебры перечислены во второй колонке таблиц. Положим V простейший модуль алгебры g. Обозначим (h) группу реализуемых в gl(V ) внешних автоморфизмов подалгебры R(1 )(h), иначе говоря, группу симметрии схемы представления R(1 )|h. Знание группы (h)L позволяет получить классификацию простых вложений с точностью до линейной эквивалентности. Эти группы для алгебр h, имеющих внешние автоморфизмы, указаны в третьей колонке таблиц.

В четвёртой колонке указано число n(h) классов сопряжённости, на которые распадается класс линейной сопряжённости подалгебры h. Если алгебра h имеет внешние автоморфизмы, то в пятой колонке указывается группа (h) реализуемых внешних автоморфизмов подалгебры h в g, т.е. образ естественного гомоморфизма Очевидно, что (h) (h)L. В случаях, когда n(h) > 1, группы (h) для представителей различных классов сопряжённости перечисляются через запятую. Специфика распадения соответствующих классов линейной эквивалентности даётся теоремой 17.

1.2.4 Несколько замечаний В следующих пунктах данного параграфа, опираясь на сведения из первых трёх колонок таблиц 1.6-1.8 и некоторые дополнительные соображения, мы обоснуем результат, представленный в четвёртой и пятой колонках указанных таблиц. Существенную помощь при этом нам окажет таблица 1.5 (см. [19]), в которой значок понимается как тензорное произведение представлений простых идеалов подалгебры r g. Из неё, например, следует, что все внешние автоморфизмы подалгебры D4 реализуются в F4 (а значит, и в E6, E7, E8 ). Следовательно, все S-подалгебры so7 D4 сопряжены в F4 (и в E6, E7, E8 ). Действительно, имеется три, с точностью до сопряжённости таких S-подалгебры, заданных представлениями алгебры so7 : R(1 ) + N, R(3 ), R(3 ) последнее представление определяет вложение, отличающееся от второго внешним автоморфизмом алгебры so8 (теорема 14). Данные подалгебры переводятся одна в другую посредством внешних автоморфизмов алгебры so8. В этом легко убедится непосредственно, но можно воспользоваться результатами работы [7]: не существует внешнего автоморфизма третьего порядка алгебры so8, централизующего подалгебру, изоморфную so7.

1.2.5 Случай g = E В этом пункте мы будем работать с таблицей 1.6. Докажем вначале, что верно содержимое четвёртой колонки.

Классификация подалгебр. Подалгебры под номерами 1-4 являются Sподалгебрами, и их классификация известна. Заметим только [4], что в случаях 1 и 2 подалгебры h не сопряжены своим образам при внешнем автоморфизме алгебры g. Случаи подалгебр с номерами 5-13 очевидны (следуют из понятия S-подалгебры). Случай 14 мы уже разобрали. Подалгебры под номерами 15, 16, 17 рассмотрим отдельно.

Случай 15. В алгебре so10 имеется две, с точностью до сопряжённости, S-подалгебры so5, вложенные посредством присоединённого представления (см. пример 1). Обозначим их h1 и h2. Из таблицы 1.6 следует, что они линейно сопряжены в g. Если бы они были сопряжены в g, то в силу предложения 3, они были бы сопряжены с помощью элемента, нормализующего D5.

Но из таблицы 1.5 видно, что внешний автоморфизм подалгебры D5 не реализуется в g. Следовательно, подалгебры h1 и h2 не сопряжены.

Случаи 16, 17. Положим r = 3A2 и исследуем S-подалгебры h r, изоморфные sl3. Перечислим их с точностью до сопряжённости в r :

где внешний автоморфизм алгебры sl3. Из таблицы 1.5 видно, что перестановки первых двух (соотв. последних двух) простых идеалов подалгебры r одновременно с внешним автоморфизмом третьего (соотв. первого) идеала реализуются в g. Следовательно, подалгебры h1, h3 и h4 сопряжены в g.

Значит, имеется не более двух классов сопряжённости, отвечающих перечисленным подалгебрам. С другой стороны, согласно результату Дынкина, их ровно два, поскольку существуют два класса линейной сопряжённости рассматриваемых подалгебр. Для определённости отметим, что случаю 16 отвечает подалгебра h2, а случаю 17 подалгебра h1. Осталось доказать, что Sподалгебры sl3 D4 и h2 r сопряжены. Но это следует из предложения и того, что обе S-подалгебры sl3 D4 (они вложены посредством присоединённого представления) сопряжены в g. Отметим здесь же, что внешние автоморфизмы алгебр h1, h2 реализуются элементами из NG (r).

Перейдём теперь к классификации вложений, т.е. проверке последней колонки таблицы 1.6.

Классификация вложений. Во всех случаях, за исключением подалгебр под номером 1, легко проверить, что (h)L = (h), причём все автоморфизмы реализуются элементами из NG (r) для некоторой минимальной объемлющей регулярной подалгебры r h. Разберём случай 1. Ясно, что достаточно найти группу (h) только для представителя одного из классов сопряжённости (напомним, что последние переводятся один в другой внешним автоморфизмом алгебры g ).

Положим {ei, hi, fi }, i = 1,... 6, стандартные образующие 3-мерных подалгебр, отвечающих простым корням алгебры g и eijk = [[ei, ej ], ek ], i, j, k = 1,... 6. Тогда следующие векторы будут корневыми, отвечающими простым корням x и y S-подалгебры h = sl3 g : Рассмотрим инволюцию алгебры g, определяемую самым длинным элементом её группы Вейля: (ei ) = f6i, i = 1,... 5, (e6 ) = f6. Легко видеть, что тогда (h) = h, (ex ) = fx, (ey ) = fy. Значит, автоморфизм индуцирует внешний автоморфизм подалгебры h и (h) = Z2.

На этом разбор случая g = E6 закончен.

Классификация подалгебр. Подалгебра под номером 1 таблицы 1.7 является S-подалгеброй, и тут доказывать нечего. Подалгебры под номерами 2- линейно сопряжены подалгебрам из E6. Случаи 2-12 уже разобраны в предыдущем пункте. Поскольку внешний автоморфизм подалгебры E6 реализуется в g (предложение 2), получаем, что в случаях 13-15 классы линейной сопряжённости не распадаются. В случаях 16, 17 (равно как и 24, 25) четвёртая В [4, таблица 24] имеется опечатка: коэффициент при f234 в формуле для fy равен i, а не i, что следует из предшествующих (там же) соотношений, или может быть проверено прямым вычислением при помощи приведённых здесь формул.

колонка обосновывается с помощью предложения 7. Линейно сопряжённые подалгебры под номером 18 сопряжены. Это следует из предложения 6: достаточно доказать, что dim zg (h) > 3. Но это очевидно, поскольку zg (A4 ) A2.

Случаи 19-23 очевидным образом следуют из классификации S-подалгебр классических алгебр Ли.

Случаи 26, 27. В алгебре sl6 + sl3 имеются две, с точностью до сопряжённости, S-подалгебры, изоморфные sl3 (последняя вкладывается в sl6 через симметрический квадрат своего тавтологического представления). Как видно из таблицы 1.7, эти подалгебры не являются линейно сопряжёнными.

Поэтому нужно только доказать, что найдутся две регулярные подалгебры r1 = A7, r2 = A5 + A2 g, которые пересекаются по подалгебре, изоморфной sl3, являющейся S-подалгеброй в каждой из них. Во всяком случае, они пересекаются по главной 3-мерной подалгебре s sl3 (теорема 13). Из работы [1] узнаём, что ZG (s) SO3. Заметим, что ZG (r1 ) Z2 и ZG (r2 ) Z (см. [7]). Известно, что любые две изоморфные конечные подгруппы в SO сопряжены. Поэтому нас не будет интересовать способ вложения той или иной подгруппы в SO3.

Положим Z = A4 SO3 и докажем, что zg (Z) sl3. Поскольку подалгебра so8 sl8 является централизатором некоторой инволюции алгебры sl8, заключаем, что ZG (so8 ) = V4 Z (более формально это будет доказано в примере 11). Имеет место разложение:

Поэтому на подалгебре so8 g возникает (нетривиальная) градуировка периода 3, при этом элементы нулевой степени образуют подалгебру so0 = zg (Z). Эта градуировка не может быть внутренней, так как можно проверить, что s so8 является S-подалгеброй. Значит [7], алгебра so0 изоморфна либо sl3, либо G2. Последний случай невозможен: G2 zg (Z3 ) = r2. Значит, zg (Z) = sl3 S-подалгебра в so8, а следовательно, и в r1. Таким образом, этот случай разобран.

Классификация вложений. Все случаи, за исключением 1 и 22, разбираются тривиально с помощью предложения 2. Найдём группы (h) для подалгебр под вышеуказанными номерами.

Случай 1. Этот случай разбирается аналогично случаю 1, когда g = E6. В тех же обозначениях, приведём формулы для корневых векторов Sподалгебры h = sl3 g : Очевидно, что автоморфизм алгебры g, соответствующий самому длинному элементу её группы Вейля реализует внешний автоморфизм подалгебры h.

Случай 22. Пусть s главная 3-мерная подалгебра алгебры h = so8. Тогда [1] ZG (s) SO3. Нам уже известно, что ZG (h) = V4 SO3. Поскольку в группе SO3 есть подгруппа, изоморфная S4, получаем, что найдётся подгруппа S3 SO3, действующая на подалгебре h. Ясно, что она действует внешними автоморфизмами. Тем самым, результат, представленный в пятой колонке таблицы 1.7 полностью обоснован.

Докажем результат, представленный в четвёртой и пятой колонках таблицы 1.8.

Классификация подалгебр. Подалгебра под номером 1 является Sподалгеброй, и интереса не представляет. Номерам 2-17 (соотв. 18-24) отвечают подалгебры, линейно сопряжённые подалгебрам в E6 (соотв. E7 ). Случаи 2-13 (соотв. 18-20) разбираются так же, как при g = E6 (соотв. g = E7 ).

Случаи 14-16 уже разобраны в предыдущем пункте.

Чтобы доказать, что класс линейной сопряжённости в случае 17 не распадается, достаточно доказать, что внешний автоморфизм подалгебры A2 реализуется в zg (A2 ) = E6. Но это очевидно, поскольку он реализуется уже в G2 E6.

Случаи 21, 22, 36 разбираются с помощью предложения 7, а в случаях 27- обоснование четвёртой колонки основано на классификации S-подалгебр и не представляет труда.

Докажем, что линейно сопряжённые подалгебры, отвечающие номеру 37 (38) сопряжены. Для этого достаточно доказать, что внешние автоморфизмы подалгебры D4 ( A3 ) реализуются в zg (A2 ) = E6 ( zg (A3 ) = D5 ). Но это нам уже известно (имеется две, с точностью до сопряжённости, подалгебры A3 D5, В [4, таблица 24] опять вкралась опечатка: скалярное произведение ( 7, hy ) равно 1, а не 1 ;

отсюда берётся неточность в формулах для ey, fy.

соответствующие представлениям R(1 ) + R(3 ) + 2N и R(2 ) + 4N ; в обоих случаях внешний автоморфизм реализуется).

Случаи 39, 40 легко разбираются с помощью предложения 5.

Осталось рассмотреть подалгебры под номерами 23-26 и 41-43.

Случаи 24-26. Пользуясь предложением 7 и тем, что все подалгебры so sl8 сопряжены, приходим к выводу, что любая из подалгебр h g в рассматриваемых случаях вкладывается в r = 2D4. Приведём для удобства схему Дынкина D4 (рис. 1.1).

Обозначим симметрии схемы с неподвижными вершинами i, 2 через i, i = 1, 3, 4, а цикл (134) через. Соответствующие автоморфизмы алгебры будем обозначать теми же буквами. В алгебре r имеются 6 классов сопряжённости S-подалгебр, изоморфных so8, с представителями:

С помощью таблицы 1.5 находим, что одновременные внешние автоморфизмы простых идеалов подалгебры r, а также их перестановка, реализуются в g. Поэтому подалгебры hi, i = 1, 3, 4, сопряжены. То же можно сказать и о подалгебрах h5, h6. Следовательно, имеем не более трёх классов сопряжённости S-подалгебр so8 r. С другой стороны, из таблицы 1.8 видно, что существует ровно три класса линейной сопряжённости таких подалгебр.

Значит, они совпадают с классами сопряжённости. Выписывая ограничения присоединённого представления алгебры g на подалгебры hi, i = 1,... 6, можно убедиться, что подалгебры h1, h2 линейно сопряжены (а значит, сопряжены) подалгебрам в A7, A7 соответственно.

Легко видеть, что (hi )L = (hi ), i = 1,... 6, причём соответствующие внешние автоморфизмы реализуются элементами из NG (r). Интересно отметить, что отсюда следует (предложение 3: = E7 ) реализуемость всех внешних автоморфизмов подалгебры под номером 22 таблицы 1.7 в g = E7.

Случай 23. Пользуясь предложением 7, получаем, что всякая подалгебра, линейно сопряжённая h, сопряжена одной из S-подалгебр h1 A7 или h2 A7. Из работы [4] узнаём, что подалгебра ng (h1 ) sl3 + sl2 является (максимальной) S-подалгеброй в g, чего нельзя сказать о ng (h2 ) = h2 + A1, которая, очевидно, является R-подалгеброй. Значит, подалгебры h1 и h2 не сопряжены (и, более того, их централизаторы не сопряжены, хотя и изоморфны).

Заметим, что подалгебры h1, h2 вкладываются в подалгебры под номерами соответственно 26 и 24. В частности, они содержатся в 2D4.

Случай 41. В обозначениях из разбора случаев 26, 27 для g = E7, имеем:

r1 = 2A4, r2 = A3 + D5, ZG (s) S5. Ввиду того, что все S-подалгебры so5 r1, so5 r2 каждом случае сопряжены (в последнем случае это вытекает из предложения 2), достаточно доказать, что найдутся подалгебры, сопряжённые r1, r2, содержащие общую S-подалгебру, изоморфную so5.

Заметим, что в группе S5 существует подгруппа Z4 Z5 (сомножители порождены циклами (2354) и (12345) соответственно). Это означает, что в алгебре g найдутся подалгебры, сопряжённые r1, r2 (будем их обозначать так же: r1, r2 ), которые пересекаются по подалгебре r0, состоящей из элементов нулевой степени относительно некоторой градуировки на r1 периода 4.

Эта градуировка не внутренняя, потому что s r1 является S-подалгеброй.

Тогда ясно, что r0 и есть искомая подалгебра so5.

Случаи 42, 43. В алгебре so16 имеются ровно две несопряжённые подалгебры, изоморфные so9, которые вкладываются в первую через спинорное представление и переводятся одна в другую внешним автоморфизмом алгебры so16. Как видно из таблицы 1.8, эти подалгебры линейно не сопряжены в g = E8. Поэтому достаточно рассмотреть только случай 42.

В обозначениях разбора предыдущего случая имеем: r1 = A8, r2 = D8, ZG (s) S3, ZG (r1 ) = Z3 S3, ZG (r2 ) = Z2 S3. Из того, что S3 = Z2 Z очевидно следует, что класс линейной сопряжённости подалгебры h g не распадается и в этом случае: r0 so9.

Классификация вложений. Все ещё не рассмотренные случаи легко разбираются с помощью предложений 2, 5.

На этом классификация простых вложений завершена.

1.3 Инварианты особых алгебр Ли Пусть H G редуктивная подгруппа редуктивной группы Ли, h g соответствующее включение алгебр Ли. Рассмотрим присоединённое действие Ad группы G. Соответствующая алгебра инвариантных полиномов обозначается C[g]G. Алгебра ограничений этих функций на подпространство h обозначается C[h]G. Её спектр h//G совпадает с замыканием множества G (h) в g//G, где G : g g//G морфизм факторизации. Пусть вестно [18], что морфизм конечен.

Рассмотрим цепочку включений:

В работе [18] доказана Теорема 15. Следующие условия эквивалентны:

1. Для любых двух вложений тора i : t h, i = 1, 2, таких что 2 = 2. Для любого полупростого элемента h H верно Gh H = Hh ;

3. Отображение биективно.

В силу (2) (5) имеем, что условия теоремы 15 выполнены для пар H = G2, G = F4 и H = F4, G = E6. В этом параграфе мы покажем, что эти условия имеют место в случае любого включения h g из (1.6). При этом в качестве групп выступают G = Int g, H = NG (h) Aut h. Отсутствие в (1.6) алгебры E8 объясняется тем, что для включения E7 E8 условия теоремы (15) не выполнены: регулярные подалгебры A5 и A5 в E7, получающиеся одна из другой внешним автоморфизмом D6 E7, линейно не сопряжены в E7, но являются таковыми в E8 (поскольку D6 B6 E8 ).

Теорема 16. Если h g включение (не обязательно соседних) подалгебр из (1.6), то Сведём доказательство к случаю h = E6, g = E7. Для начала отметим, что достаточно доказать теорему 16 для соседних включений.

Лемма 1. Пусть h1 h2 · · · hn включения полупростых алгебр Ли. Предположим, что для любой пары соседних включений hi hi+1, i = 1,... n2, существуют внешние автоморфизмы алгебры hi+1, централизующие hi и порождающие группу внешних автоморфизмов Aut hi+1 / Int hi+ алгебры hi+1. Тогда из выполнения условия C[hi ]Hk = C[hi ]NHk (hi ), i = k1 = 1,... n 1, Hi = Int hi следует его выполнение уже при любых i < k, Доказательство. Достаточно доказать лемму в случае i = 1, k = n. Доказывая утверждение индукцией по k, можно считать, что оно имеет место цепочка равенств: C[h1 ] = C[hn ] |h1 = (C[hn ] |hn1 )|h1 = C[hn1 ]Hn |h1 = Очевидно, лемма 1 будет применима к цепочке (1.6), если мы докажем теорему 16 применительно к соседним включениям из (1.6). Для этого приведём таблицу 1.1 степеней образующих алгебры C[g]G (см., напр., [3, справочный раздел]).

Известно, что если g простая алгебра Ли, то алгебра C[g]Int g порождается функциями tr 1 (xk ), x g, k пробегает множество степеней её минимальной системы образующих (см., напр., [9]). Отсюда и из таблицы 1.1 следует, что теорема 16 верна для включения G2 D4 (так как D4 |G2 G2 + N ).

Из соотношения (3) вытекает, что она верна и в случае F4 E6. В случае D4 F4 надо перейти к максимальным торам (теорема Шевалле) и заметить, что группа Вейля F4 получается расширением группы Вейля D4 при помощи группы S3. Таким образом, остаётся доказать Предложение 8. Имеет место равенство C[E6 ]E7 = C[E6 ]Aut E6.

Для доказательства нам понадобится Лемма 2. Пусть A B расширение коммутативных градуированных конечно–порождённых алгебр. Предположим, что в A и B можно так выбрать однородные образующие fi A, gi B, i = 1,... n, что выполнены условия:

1. deg fi = deg gi ;

2. система образующих fi A минимальна.

Тогда A = B.

Доказательство. Нужно доказать, что gi A для всех i = 1,... n. Применим индукцию по степени. Пусть g1,... gk1 образующие степени 1 (их может и не быть). Тогда f1,... fk1 через них линейно выражаются. Если соответствующая матрица вырождена, то получаем противоречие с минимальностью системы образующих алгебры A. Значит, g1,... gk1 A. Аналогично осуществляется шаг индукции для степени d > 1 с учётом того, что элементы алгебры B степеней меньше d принадлежат алгебре A.

Доказательство предложения 8. В качестве алгебр A и B из условия леммы возьмём В каждой из них можно выбрать образующие степеней 2, 6, 8, 10, 12, 14, 18.

Действительно, для алгебры A это следует из таблицы 1.1. Докажем это для алгебры B. Пусть C = C[E6 ]Int E6 = C[2, 5, 6, 8, 9, 12 ], где k инвариант степени k. Тогда элементы 2, 6, 8, 5, 12, 5 9, 9 принадлежат алгебре B. На самом деле они её порождают, так как инволюция Вейля алгебры E6 действует на элементы из C нечётной степени умножением на 1, и алгебра C свободна.

Для применения леммы нужно только проверить условие минимальности указанной системы порождающих для A. В силу того, что морфизм конечен, tr. deg Quot A = 6. Поэтому достаточно доказать, что алгебра A не свободно порождена. Из результатов работы [18] следует, что морфизм бирационален (следовательно, является нормализацией), если группы G и H простые и все внешние автоморфизмы подгруппы H реализуются в G. В частности, это выполнено в нашем случае. Если бы алгебра A была свободно порождена, то многообразие h//G было бы изоморфно векторному пространству и совпадало со своей нормализацией, что невозможно, так как алгебра B не свободна (соответствующая "группа Вейля"не порождается отражениями).

Осталось воспользоваться леммой и получить требуемый результат.

1.4 Классификация полупростых вложений В этом параграфе мы найдём все классы линейно эквивалентных вложений, которые распадаются на несколько классов эквивалентных вложений. Нам осталось рассмотреть вложения непростых полупростых алгебр Ли h в особые алгебры Ли g = E6, E7, E8.

1.4.1 Характеристики Дынкина 3-мерных подалгебр Этот пункт является вспомогательным. Мы изложим здесь некоторые результаты работы [4], которые нам пригодятся в этом параграфе.

Характеристикой простой 3-мерной подалгебры s = e, h, f g называется элемент h её картановской подалгебры. По теореме 13 подалгебра s определяется своей характеристикой однозначно с точностью до сопряжённости. Можно считать вектор h лежащим в некоторой фиксированной камере Вейля. Тогда он задаётся набором неотрицательных целых чисел (отметок) i (h), где i, i = 1,... n простые корни алгебры g. Можно доказать, что эти отметки равны 0, 1 или 2. Например, на характеристике главной 3-мерной подалгебры все простые корни принимают значение 2.

Дынкин нашёл характеристики всех простых 3-мерных подалгебр особых алгебр Ли [4, табл. 16-20]. Из этого, в свою очередь, легко получить список подалгебр zg (h), где h характеристика некоторой 3-мерной подалгебры.

Система простых корней коммутанта такой подалгебры состоит из тех корней i, которые равны 0 на h.

1.4.2 Основная идея Пусть h = h1 h2 разложение в сумму ненулевых идеалов и k h, ki hi, i = 1, 2, картановские подалгебры. В дальнейшем мы будем предполагать, что дано вложение : h g. Нас будет интересовать, насколько однозначно оно определяется по вложению |k, а именно, будет ли существовать в классе линейной эквивалентности неэквивалентное вложение. Вложения, класс линейной эквивалентности которых распадается, а также соответствующие подалгебры (h) g, мы будем называть интересными, а в противном случае неинтересными.

Мы будем рассматривать алгебру h как подалгебру в g, имея ввиду вложение. Положим ai = zg (hi ), zi = zg (ki ), i = 1, 2. Ясно, что ai zi и коммутант подалгебры zi является полной регулярной подалгеброй в g.

Предположим, что алгебра z1 не содержит простых идеалов типа Dn (n 4), E6, E7. Тогда, по теореме 13, вложение |h2 : h2 z1 определяется однозначно, с точностью до сопряжения в z1, по вложению |k2. Далее, если подалгебра a2 g не содержит простых идеалов перечисленных выше типов, то вложение |h1 : h1 a2 также определяется однозначно по вложению |k1. Таким образом, получаем, что при сделанных предположениях класс линейной эквивалентности вложения совпадает с классом эквивалентности. Докажем, что если не выполнено последнее предположение, то подалгебра a2 обязана быть регулярной. Действительно, достаточно рассмотреть только случай so8 E8 : в остальных случаях это следует из классификации простых подалгебр. Но из той же классификации (см. [4]) следует, что только в случае нерегулярной подалгебры so8 E7 E8 имеем dim zg (so8 ) 3 (номер 24 в таблице 1.8). При этом zg (so8 ) = A1, но zg (A1 ) = E7 = so8.

Предложение 9. Пусть интересное вложение. Тогда в алгебре h найдётся такой собственный идеал h1 h, что либо подалгебра a1 g, либо z1 g содержат ровно одну из подалгебр D4, D5, D6, E6, E7 в качестве простого идеала.

Доказательство. Единственное, что осталось доказать после уже проведённого рассуждения это то, почему в указанном в условии списке отсутствует подалгебра D7 g = E8. Ясно, что она не лежит в централизаторе никакой полупростой подалгебры в g. Более того, zg (D7 ) T1. Поэтому достаточно рассмотреть случай, когда zg (D7 ) является картановской подалгеброй некоторой простой 3-мерной подалгебры s g. Из классификации характеристик получаем, что существуют две подалгебры s1, s2 с таким свойством.

Приведём вспомогательное утверждение, доказательство которого вытекает непосредственно из определений.

Лемма 3. Для того, чтобы данная неинтересная подалгебра h g являлась идеалом некоторой интересной подалгебры в g, необходимо и достаточно, чтобы нашлись два вложения в zg (h), линейно эквивалентные в zg (k) ( k h картановская подалгебра), не переводимые одно в другое ни одним элементом группы ZG (h).

Согласно результату работы [1], ZG (s1 ) = Spin13, ZG (s2 ) = Z В таком случае подалгебры si, i = 1, 2, не могут быть идеалами интересных подалгебр. Действительно, линейно эквивалентные вложения в so14, лежащие в so13, линейно эквивалентны и в so13, чем объясняется первый случай.

Во втором случае претендентов на интересные вложения мало, учитывая, что максимальные полупростые подалгебры в G2 cуть A2 и A1 +A1. Несложный перебор вариантов доказывает предложение.

Пользуясь теоремой 14, легко найти все пары линейно эквивалентных, но не эквивалентных вложений в so8, so10, so12. В первых двух случаях они перечислены в примере 1. В последнем случае имеются ровно две пары таких вложений. Первая пара определяется вложением ad N N + N T T алгебры a = sl3 + sl2 + sl2, где N, T соответственно тривиальное и тавтологическое представления алгебры sl2. Вторая пара определяется ограничением указанного вложения на подалгебру, составленную из первых двух идеалов алгебры a.

Рассмотрим отдельно два случая: случай D (случай E), когда либо z1, либо a2 содержат в качестве простого идеала одну из подалгебр D4, D5, D (соотв. E6, E7 ) алгебры g. Соответствующие подалгебры h g мы будем называть подалгебрами типа D или E.

1.4.3 Случай D В силу приведённого выше описания линейно эквивалентных, но не эквивалентных вложений в so8, so10, so12, получаем, что среди простых идеалов алгебры h найдётся один типа A2 или B2. Тогда в первом случае его образ при вложении содержится в D4 либо в D4 + A2, а во втором в D5.

Поскольку S-подалгебра sl3 D4 + A2 (при g = E8 ) имеет 2-мерный тор в качестве централизатора в g, случай вложения в D4 + A2 не возможен (напомним, что мы рассматриваем только непростые подалгебры h g ).

Итак, можно считать, что h1 = sl3 D4 или h1 = so5 D5 (в обоих случаях вложение определяется присоединённым представлением). Нужно найти все пары таких линейно эквивалентных вложений в z1, которые не переводятся одно в другое элементом из группы ZG (h1 ) (см. лемму 3). Ясно, что сразу можно отбросить варианты тех особых алгебр g, для которых подалгебра a1 g имеет ранг полупростой части не больше 1.

Случай h1 = sl3. Используя классификацию Дынкина простых подалгебр, можно найти размерности подалгебр a1 и z1 для каждой особой алгебры g, после чего эти подалгебры легко угадать. Приведём соответствующую табличку 1.2. Как из неё видно, случай g = E6 невозможен. Пусть g = E7. В следующем параграфе мы покажем, что ZG (h1 ) = Z3 (SL2 SL2 SL2 ). Легко понять, что только при h2 = 2A1 и h2 = 3A1 имеем интересные вложения алгебр h = h1 + h2, причём распадение происходит ровно на два класса эквивалентности в каждом случае (они отличаются транспозицией простых идеалов подалгебры h2 ).

Рассмотрим, наконец, случай g = E8. В следующем параграфе мы установим, что ZG (h1 ) = Z3 Spin8. Тогда из теоремы 16 и леммы 3 следует, что всякая интересная подалгебра вида h = h1 + h2 должна удовлетворять условию: вложение 2 : h2 D4 ( zg (D4 )) таково, что 2 2, внешняя инволюция алгебры D4, а Z3 Int D4. Такие подалгде гебры h2 D4 мы будем называть чётными. Они характеризуются тем, что никаким внешним автоморфизмом алгебры D4 не переводятся в подалгебры, действующие на невырожденном нечётномерном подпространстве. Действительно, если алгебра h2 нормализует такое подпространство, то 2 2.

Обратно, если существует внешний автоморфизм (схема Каца которого имеет индекс 2) алгебры D4, централизующий h2, то h2 лежит в одной из подалгебр (см., напр., [7]) so7, so3 + so5. Отсюда получаем, что в качестве h могут выступать только четыре подалгебры: D4, 4A1, 3A1 и sl3 (последняя вложена в D4 через своё присоединённое представление). Соответствующие классы линейной эквивалентности содержат, очевидно, ровно по два класса эквивалентности.

Случай h1 = so5. В этом пункте мы будем использовать табличку 1.3.

Мы не будем заполнять те клетки, из которых не получим полезной информации.

Ясно, что представляет интерес только случай g = E8. Отметим, что ZG (h1 ) = SL4. Поскольку в алгебре D4 инволюция Вейля является внутренним автоморфизмом, получаем, что подалгебры h = h1 + h2, h2 = A3 либо h2 = A2, и только они являются интересными, содержащими h1 в качестве простого идеала. При этом соответствующие классы линейной эквивалентности распадаются на два класса эквивалентных вложений, отличающихся внешним автоморфизмом алгебры h.

Из полученной классификации уже следует, что непростых интересных вложений в E6 не существует. Следовательно, любые два линейно эквивалентных неэквивалентных вложения в E6 переводятся одно в другое внешним автоморфизмом алгебры E6.

1.4.4 Случай E Поскольку ZE7 (E6 ) = T1, достаточно разобраться со случаями, когда подалгебра h1 есть простая 3-мерная подалгебра, централизатор тора которой имеет тип E6. Из классификации характеристик находим, что имеется ровно один претендент для h1, причём [1] ZE7 (h1 ) = F4. Таким образом, в случае g = E7 интересных подалгебр типа E не существует (теоремы 16, 13).

Таким образом, мы получили классификацию интересных вложений в E7. В отличие от случая g = E6, здесь не существует простых интересных вложений, но существуют два полупростых.

Рассмотрим теперь алгебру g = E8. Все простые 3-мерные подалгебры si g, централизаторы характеристик hi которых имеют один из типов (не учитывая центров) E6, E6 + A1, E7, перечислены в таблице 1.4 (отметим, что указанная в таблице группа Spin5 содержится в регулярной подгруппе SL Таблица 1.4: Централизаторы 3-мерных подалгебр и их характеристик По теореме 16 и уже имеющейся классификации интересных вложений в E6, E7, получаем лишь одну серию интересных подалгебр h = h1 + h в g, где h1 sl2 : h1 = A1 ( i = 1 ), h2 интересная подалгебра в E7.

Осталось рассмотреть случай rk h1 = 2, zg (k1 ) = E6 + T2. Можно считать алгебру h1 простой, то есть одного из типов A2, B2, G2. Ясно, что главная 3-мерная подалгебра s h1 обязана быть представлена в таблице 1.4.

Индексы подалгебр si g, i = 1,... 5, равны соответственно 1, 3, 4, 12, (см. [4]), а индексы главных 3-мерных подалгебр s могут быть равными 4k, 10k, 28k, k N, соответственно в случаях h1 sl3, so5, G2. Поэтому нужно рассмотреть лишь случаи, когда h1 является подалгеброй sl3 g индекса 1 или 3 (индекса 7 быть не может [4]), либо h1 = G2 F4 g. В последнем случае имеем zg (k1 ) = zg (A2 ) = E6 ; этот случай не представляет интереса по теореме 16 (так как zg (G2 ) = F4 ). Пусть теперь h1 sl3 является подалгеброй индекса 3. Тогда zg (k1 ) = E6 только если h1 D S-подалгебра, что следует из [4, табл. 25]. Этот случай мы уже рассмотрели выше. Пусть, наконец, h1 = A2. Тогда zg (h1 ) = zg (k1 ) = E6. Следовательно, в этом случае получаем ещё одну серию интересных подалгебр h = h1 + h2 :

h1 = A2, h2 E6 интересная подалгебра в E6.

На этом классификация интересных подалгебр особых алгебр Ли завершена.

1.4.5 Основной результат Подведём итог всем нашим предыдущим рассмотрениям.

Теорема 17. Пусть g особая алгебра Ли и h полупростая алгебра Ли.

Тогда класс линейной эквивалентности произвольного вложения : h g состоит, как правило, из одного класса эквивалентных вложений. Все исключения перечислены в таблице 1.9.

Поясним обозначения в таблице 1.9: L = {1,... k } обозначает множество представителей классов эквивалентных вложений для данного класса линейной эквивалентности вложения = 1. При описании вложения 1 мы указываем регулярную подалгебру r, относительно которой 1 является Sвложением. Исключением из этого являются только случаи h = h0 +sl3 E8, когда h0 является либо интересной подалгеброй в E6, либо чётной подалгеброй в D4. Произвольный внешний автоморфизм второго порядка алгебры r обозначается, а алгебры h. Остальные обозначения очевидны.

Следствие 3. Пусть h полупростая подалгебра простой особой алгебры Ли g. Тогда класс линейной сопряжённости подалгебры h совпадает с её классом сопряжённости в случае g = E7. В остальных случаях имеются исключения, которые приводятся следующим списком:

(1) g = E6 : h1 = sl3, G2, so5 S-подалгебры соответственно в E6, E6, (2) g = E8 : h1 = sl Здесь hi, i = 1, 2, обозначают представителей классов сопряжённости одного класса линейной сопряжённости, внешняя инволюция соответствующей простой алгебры Ли.

Замечание 4. Дынкин [4] указал три (из четырёх) случая распадения классов линейной сопряжённости. А именно, два из них это S-подалгебры в E6, а третий случай S-подалгебра sl3 D4 + D4 E8. Правда, в последнем не было указано, на сколько классов сопряжённости происходит распадение.

Согласно следствию 3, этих классов ровно два в каждом таком случае.

1.5 Нормализаторы простых подалгебр В этом параграфе мы найдём нормализаторы простых подалгебр ранга h больше 1 в присоединённых особых группах Ли G, точнее, группы ZG (h), ляющем большинстве случаев группа реализуемых внешних автоморфизмов алгебры h вкладывается в NG (h), т.е. NG (h) = (H · ZG (h)). Вначале мы найдём группы ZG (h), а затем определим действие группы на группе ZG (h). Тем самым мы найдём группы ZG (h).

Централизаторы простых трёхмерных подалгебр были вычислены Алексеевским [1]. Способ, предложенный в указанной работе, годится и в нашем случае. Мы изложим его в удобной для нас форме.

1.5.1 Результаты Алексеевского Пусть G присоединённая полупростая группа Ли, h полупростая поS далгебра алгебры Ли g и R(h) = {r1,... rk } множество регулярных подалгебр, рассматриваемых с точностью до сопряжённости в g, в которых подалгебра h является S-подалгеброй.

Предположим, что для всякой подалгебры ri R(h), i = 1,... k выполнено условие С: если два вложения h ri эквивалентны в g, то они переводятся одно в другое с помощью элемента из NG (ri ). Это условие выполнено в случае, когда алгебра h изоморфна sl2. Это можно увидеть из классификации Дынкина [4, теоремы 9.2, 9.3] sl2 –подалгебр: трёхмерные S-подалгебры одинакового индекса в простых алгебрах Ли сопряжены. Если алгебра h простая и g особая алгебра Ли, то условие C также выполнено, за исключением двух случаев. Это следует из классификации простых вложений (для случаев G2 и F4 см. первые две колонки таблиц 1.10,1.11). Исключительные случаи: g = E7 или E8, h = so8 A7 E7.

Пусть Ri связная регулярная подгруппа в G с касательной алгеброй ri иR подгруппа максимального ранга с полупростой частью Ri. Рассмотрим множество D(h) = {D1,... Dk }, где Di = Z(Ri ). Из условия C вытекает, что классы сопряжённости подалгебр ri g, содержащих h, взаимно однозначно соответствуют классам сопряжённости подгрупп Di Z = ZG (h).

Подгруппы из D(h) характеризуются тем, что это максимальные, с точностью до сопряжённости в Z, квазиторы10 в Z, регулярные в G (т.е. лежащие в некотором максимальном торе группы G ). Отметим, что подгруппа в односвязной группе, изоморфная Zn Zm, регулярна. Это следует из того, что всякий полупростой элемент односвязной группы имеет связный централизатор (см., напр., [3]).

Полный набор инвариантов редуктивной группы Z таков:

(1) алгебра Ли z группы Z ;

(2) фундаментальная группа F полупростой части Z s группы Z ;

(4) группа компонент K = Z/Z ;

(5) класс расширения группы Z с помощью K.

В большинстве случаев группа F находится с помощью следующего утверждения.

Предложение 10. Предположим, что ни одна из групп Di /Di не содержит подгруппу вида Zp Zp, где p простой делитель порядка центра группы Z s. Тогда, если группа G односвязна, то односвязна и группа Z s.

В любом случае Z s Z s /S, где группа S изоморфна подгруппе центра односвязной накрывающей G группы G.

В случае, когда группа G односвязна, для большинства подалгебр h группа Z s односвязна, что доказывается применением предложения 10. В остальных случаях группу F можно найти также лишь из описания групп Di. Для неодносвязной группы G используется метод вложения в меньшую подгруппу. Он состоит в переходе от группы G к подгруппе ZG (Y ), где Y некоторая подгруппа центра группы Z. Ясно, что zg (Y ) h. Этот же метод Квазитор это коммутативная алгебраическая группа, состоящая из полупростых элементов. Такие группы ещё называют диагонализуемыми.

используется при нахождении группы P : в этом случае полагаем Y = C.

Всё это мы проиллюстрируем дальнейшими примерами. Полезно также иметь в виду, что коммутанты полных регулярных подгрупп односвязных групп односвязны (см., напр., [3]).

Пусть : K Aut Z / Int Z канонический гомоморфизм и K0 его ядро. Следующие предложения легко вытекают из характеризации подгрупп Предложение 11. Группа K0 тривиальна тогда и только тогда, когда среди групп Di D(h) найдётся связная группа максимальной размерности.

Предложение 12. Если все группы Di имеют одинаковую размерность, то K = K0.

Предложение 13. Пусть : Z K естественная проекция. Тогда, если Di /Di нетривиальная циклическая группа, то (Di ) = 1. Кроме того, всякий элемент группы K сопряжён в K элементу одной из подгрупп (Di ).

Класс расширения определяется элементом группы H 2 (K, C). В случаях K = 1, C = 1 группы K довольно маленькие ( Z2, Z3, V4 и S3 ), поэтому группы когомологий легко вычисляются. Они как правило тривиальны. В других случаях можно воспользоваться методом вложения в меньшую подгруппу.

Сделаем несколько замечаний, которые упростят вычисления. Некоторые примеры их применения будут разобраны в конце параграфа.

Как правило, если группа нетривиальна, то она изоморфна Z2 (исключением может быть только случай алгебры h типа D4 ). Поэтому фактически нужно найти действие на Z только одного элемента.

Во многих случаях внешний автоморфизм подалгебры h реализуется при помощи некоторой инволюции Вейля алгебры g, нормализующей некоторую регулярную подалгебру r1 R(h)S. Тогда будет действовать инверсией на соответствующей группе D1 Z. Если автоморфизм реализуется уже в r1, то соответствующий элемент группы будет коммутировать с D1.

С помощью этих соображений зачастую уже можно определить группу N.

Заметим, что если ZG (h) = ZL (h) · ZG (L) почти прямое произведение, где H L G, и внешние автоморфизмы подалгебры h реализуются в l, то Z = ( ZL (h)) · ZG (L).

Многое (если не всё) о группе N можно извлечь из группы Z0 = ZG (h ).

Это следует из того, что N Z0.

Если регулярная подалгебра минимального ранга r R(h)S только одна и является полной, что практически всегда выполнено, то элемент действует внутренним автоморфизмом на группе Z тогда и только тогда, когда автоморфизм подалгебры h, отвечающий, реализуется в r. Это следует из того, что централизатор максимального тора группы Z есть связная регулярная подгруппа с касательной алгеброй r (если предположения относительно подалгебры r не выполнены, то её нужно заменить на из r предложения 3).

Отметим, что для некоторых подалгебр h (а именно, для h = A1 E6, h = D4 E8 ) группа N была фактически найдена нами в параграфе 2.

1.5.3 Описание таблиц 1.10-1. В таблицах h g простая подалгебра особой алгебры Ли g. Напомним, что в случаях g = G2, F4, E8 группа G = Int g односвязна, а в случаях g = E6, E7 её фундаментальная группа изоморфна соответственно Z3, Z2.

Обозначения для подалгебр h взяты из работы [4] (т.е. указывается тип и индекс, возможно со штрихами). Мы их используем потому, что это согласуется с обозначениями из работы [1]. Таким образом обозначаются подалгебры, рассматриваемые с точностью до линейной сопряжённости. Согласно полученной нами классификации подалгебр с точностью до сопряжённости, для подалгебр, классы линейной сопряжённости которых распадаются, мы указываем соответствующий номер в скобках.

Во второй и третьей колонках приведены наборы R(h)S и D(h). Первые нам известны из полученной классификации простых подалгебр, а центры подалгебр максимального ранга можно взять, например, из работы [1]. В четвёртой колонке мы указываем алгебры zg (h), а их нетрудно определить, зная их размерности, которые были найдены в [4].

Пятая и шестая колонки содержат основной результат данного параграфа, а именно, в них указаны группы Z = ZG (h) и N = Z.

Поясним некоторые обозначения. Запись (G1 G2 · · · Gn )/S означает, что прямое произведение групп G1,... Gn факторизуется по подгруппе, изоморфной S и диагонально вложенной в прямое произведение центров этих групп. Во всех случаях, которые нам встретятся, такая подгруппа определена однозначно с точностью до автоморфизма группы G1 G2 · · · Gn.

Прямое произведение группы G на себя n раз мы будем записывать как Gn.

Запись G · T означает почти прямое произведение полупростой группы G и тора T, в котором GT = Z(G), за исключением случая, рассматриваемого в примере 8 (см. ниже). Запись G1 G2 во всех случаях означает такое полупрямое произведение, что ни один нетривиальный элемент из группы G не централизует группу G2. Как правило, с учётом такой оговорки, группа G1 G2 определяется однозначно с точностью до изоморфизма. Перечислим исключения:

(1) h = A1, g = E6, N = Z2 ((SL3 SL3 )/Z3 ), группа = Z2 действует перестановкой прямых сомножителей;

(2) h = A1, g = E6, N = Z2 ((SL2 SL2 ) · T1 ), группа = Z2 действует перестановкой сомножителей SL2 ;

(3) h = A1, g = E7, N = Z2 (SL3 · T1 ), нетривиальный элемент группы = Z2 действует как инволюция Вейля на Z ;

Через N (T1 ) обозначена группа, изоморфная нормализатору тора в SL2.

Группы V4, A4, S4 суть прообразы соответствующих групп при накрытии SL2 SO3.

1.5.4 Примеры нахождения группы Z = ZG(h) Пример 3. Рассмотрим подалгебру h = A3 алгебры g = F4. В этом случае D1 V4, D2 Z3 (напомним, что максимальные диагонализуемые подгруппы Di D(h) являются характеристиками минимальных объемлющих h регулярных подалгебр; для всех регулярных подалгебр они известны). Следовательно, группа Z конечна и содержит, кроме единицы, только элементы порядков 2 и 3 (так как всякая конечная циклическая подгруппа регулярна).

Значит, Z = S2 · S3, где Sp силовская p -подгруппа, причём S2 k 2. В силу односвязности группы G, имеем S3 Z3, иначе группа Z содержала бы регулярную подгруппу вида Z3 Z3, что неверно. Тогда из того, что все подгруппы в Z, изоморфные V4, сопряжены, получаем, что их число в S2 не больше, чем порядок подгруппы S3, то есть 3. Значит, k = 2. Далее, число силовских 2-подгрупп в Z равно либо 1, либо 3. Докажем, что последний случай невозможен. Предположим противное и рассмотрим естественный гомоморфизм перестановки силовских 2-подгрупп : Z S3. Очевидно, что он сюръективен (иначе его ядро было бы силовской 2-подгруппой, которая не может лежать в нормализаторе другой силовской 2-подгруппы). Значит, Ker Z2. Отсюда получаем существование элемента шестого порядка в группе Z, чего быть не может. Итак, Z Z3 V4 A4.