Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

На правах рукописи

ЧЕЧУРИН Леонид Сергеевич

ЧАСТОТНЫЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ АНАЛИЗА РОБАСТНОСТИ

ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Специальность: 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук

Санкт-Петербург 2010 Содержание Список сокращений и обозначений

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Постановка задачи, обзор, основные результаты 1.1. Постановка задачи, определения, обзор 1.2. Линейные стационарные системы: основные результаты 1.3. Критерии робастности нестационарных систем 1.4. Критерии робастной устойчивости процессов в нелинейных системах.

Приложения ГЛАВА 2. Робастность линейных стационарных систем 2.1. Робастность при параметрической неопределенности 2.2. Робастность при структурной неопределенности. Робастность систем с распределенными параметрами 2.3. Робастность в системах с обратной связью 2.4. Робастная редукция 2.5. Робастное качество ГЛАВА 3. Робастность линейных нестационарных систем 3.1. Исходные положения 3.2. Достаточный критерий робастности нестационарных систем 3.3. Приближенная оценка робастности нестационарных систем 3.4. Робастность на классе функций изменения параметра 3.5. Робастные по структуре периодически нестационарные системы 3.6. Робастность неавтономных нестационарных систем 3.7 Робастность периодически нестационарных систем при многочастотном изменении параметра 3.8 Системы с синхронными периодическими параметрами ГЛАВА 4. Робастность нелинейных систем 4.1. Робастность на классе нелинейностей 4.2. Робастность в первом гармоническом приближении ГЛАВА 5. Применение частотных моделей в прикладных задачах исследования робастности 5.1. Синтез робастного регулятора для системы магнитного подвеса 5.2. Исследование устойчивости электромашинного преобразователя с 5.3. Исследование робастности моделей экономической динамики Основные научные результаты диссертации

БИБЛИОГРАФИЯ

ПРИЛОЖЕНИЕ. Документы о внедрении или использовании результатов диссертации

ЧАСТО ВСТРЕЧАЮЩИЕСЯ СОКРАЩЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ

АМП – активный магнитный подвес п.ф. – передаточная функция АЧХ, ФЧХ – амплитудно-частотная, фазо-частотная характеристики ЛМН – линейные матричные неравенства МКЭ – метод конечных элементов БЛП – билинейное преобразование ПИД – пропорционально-интегрально-дифференциальный ЭМП – электромашинный преобразователь j = 1 – мнимая единица I – единичная матрица p – оператор Лапласа z – дискретный оператор Лапласа – частота сигнала или колебаний в системе – частота изменений параметра в нестационарной системе [u, v], [u 0, v 0 ] – действительные и мнимые оси комплексной плоскости прямого и обратного годографов Найквиста G(p), W(p) – передаточные функции или передаточные матрицы G(j) – передаточная функция нестационарного элемента, где – разность фаз колебаний системы и параметра а(t) – функция, описывающая нестационарный элемент F(x) – функция, описывающая нелинейный элемент частотная норма G(p), где (a) – максимальное сингулярное число Введение Цель предлагаемого исследования заключалась в решении проблемы разработки частотных математических моделей и создании на этой основе общей частотной методологии оценки робастности динамических систем.

Для этого в работе развиваются методы анализа и синтеза линейных робастных стационарных систем управления, создаются новые частотные модели и методы оценки робастности в нестационарных и нелинейных системах.

В качестве основы для разработки новых аналитических результатов автоматического управления, функциональный анализ, теория колебаний, метод гармонического баланса, метод стационаризации. Для проверки результатов применялся численный эксперимент.

(частотного) нестационарных и нелинейных динамических систем. Для ряда известных задач исследования робастной устойчивости получены новые решения в форме точных и приближенных частотных критериев устойчивости для достаточно широких классов нестационарных и нелинейных объектов.

применительно к различным классам неопределенности нестационарных (устойчивость периодическим изменением структуры и др.) и нелинейных (устойчивость процессов на классах нелинейностей, амплитуд и частот входного сигнала и др.) систем и получены их решения в форме приближенных частотных параметрами предложена новая методика получения их частотных математических моделей. Проведено моделирование и частотный анализ устойчивости некоторых экономических объектов.

Практическая ценность полученных результатов заключается в появившейся возможности оценки робастности широкого класса нестационарных и нелинейных систем управления по построенным или полученным из эксперимента частотным характеристикам их линейных частей. Диссертация содержит главу, специально посвященную примерам анализа робастности применительно к различным техническим и экономическим системам.

Основными выносимыми на защиту результатами являются:

1. Для линейных стационарных объектов - асимптотическая модификация синтеза робастного регулятора с помощью двух уравнений Риккати в случае сингулярности задачи, - методика получения передаточных функций объектов с распределенными параметрами, - методика редукции робастного регулятора.

2. Методика составления частотных математических моделей для исследования робастности.

3. Частотно-алгебраические критерии робастной устойчивости нелинейных и нестационарных систем.

4. Частотные оценки робастной устойчивости нестационарных систем.

5. Частотные оценки робастности процессов в нелинейных системах.

6. Решение прикладных задач.

Результаты были апробированы на ряде научных конференций, среди которых IASTED International Conference on Modeling, Identification and Control, Иннсбрук, 1999, «Physics and Control – PhysCon», Санкт-Петербург, 2004 и 2005 г.г., «Advanced Problem in Mechanics – APM», Репино, 2003 и 2005 г.г., и др.

Работа представлялась в ведущих российских научных школах по теории управления, в частности, семинарах лаборатории «Управление сложными системами» Института проблем машиноведения РАН (рук. проф. А.Л. Фрадков), кафедры «Прикладная математика и кибернетика» факультета математики и механики Санкт-Петербургского государственного университета чл.-корр. РАН Г.А. Леонов), лаборатории №7 Института проблем управления РАН (рук. проф.

Б.Т. Поляк). Все полученные результаты публиковались в рецензируемых изданиях и монографиях.

Диссертация построена следующим образом: в первой главе даются определения, приводится исторический обзор исследований, связанных с робастностью, приводится краткое изложение основных результатов по главам. Вторая глава посвящена анализу и синтезу линейных стационарных систем. В третьей разрабатываются точные и приближенные частотные критерии робастности нестационарных систем. В четвертой приводятся частотные методы оценки робастности процессов в нелинейных системах.

Наконец, в пятой главе собраны примеры применения разработанных методов для решения задач анализа и синтеза ряда робастных технических систем.

Глава 1. Постановка задачи исследования робастности Цель главы заключается в кратком изложении сути всей диссертации.

Даются исходные определения, ставятся задачи, проводится общий обзор трудов по анализу устойчивости на классе (робастности), обосновываются методы исследования. Приводится краткое содержание каждого раздела работы с полученными в нем результатами.

1.1 Постановка задачи, основные определения, обзор Смысл одного из направлений изучения моделей динамических объектов, имеющего с конца прошлого века наименование "робастность", можно передать в виде следующих общих задач анализа и синтеза.

динамического объекта, включающая в себя линейные (описываемые нестационарные (функция a(t)) части, а также описание внешних воздействий на объект w(t). В модели указан контролируемый выход z(t) и выбран некоторый показатель качества. Спрашивается, сохраняется ли выбранное качество, если в силу некоторых внутренних возмущений (параметрических или структурных) описание объекта отличается от номинального на величину, или если действующее на него возмущение отличается от номинального на величину (рис. 1.1)?

Рис. 1.1. Задача анализа робастности объекта вышевыбранного качества при изменении параметров? В частности, как на основании измерений y(t) построить регулятор обратной связи K(p), гарантирующий приемлемое сохранение качества при любой реализации неопределенности из классов и (рис. 1.2)?

Рис. 1.2. Задача синтеза робастной системы управления Обоснованный ответ на эти вопросы, очевидно, весьма интересен для практики, где неопределенность неизбежна по двум причинам. Во-первых, параметры объекта, а иногда и структура изучаемой системы могут быть подвержены изменениям, т.е. отличаться от номинальных в принятой модели. Во-вторых, любая модель в большей или меньшей степени упрощает свой физический оригинал, это отличие можно трактовать как неопределенность описания. И в том и в другом случае заключение о робастности позволит дать определенные гарантии применимости проведенного анализа к реальному объекту.

«робастность», работы, либо в чистом виде попадающие в эту обнаруживаются уже среди ранних трудов по теории колебаний, теории устойчивости и математической теории динамических систем. Так, один из важнейших методов анализа динамических объектов – метод малого параметра, развитый А. Пуанкаре [42], основан на весьма близкой идее оценки влияния малых возмущений на решение уравнений опорной модели.

Задачу оценки устойчивости стационарной параметрически возмущенной динамической системы, то есть системы, у которой параметры известны неточно, но фиксированы, впервые поставил в 1876 г.

И.А. Вышнеградский. Подход, предложенный в его известнейшей работе [12], основывался на построении в пространстве параметров областей, которым соответствует асимптотическая устойчивость или заданное распределение корней характеристического уравнения. Для случая параметрической плоскости (область устойчивости в пространстве двух параметров, допускающих настройку) широкое применение в свое время имел так называемый метод D-разбиений, предложенный в Ю.И. Неймарком [30]. При работе с представлением в пространстве состояний анализ устойчивости при параметрических возмущениях можно проводить с помощью метода А.М. Ляпунова [28]. Частотный критерий для исследования устойчивости линейных стационарных систем при непараметрическом возмущении, то есть систем, структура которых известна неточно, но фиксирована, предложил Найквист (Nyquist) в 1932 г.

[91] Известен также критерий В.М. Попова, [94] получившего в 1958 г.

достаточные условия абсолютной устойчивости на языке требований, предъявляемых к линейной части системы.

Однако никакой критерий устойчивости не дает ответа на вопрос насколько близка система к потере устойчивости, насколько она чувствительна к изменениям (возмущениям) ее параметров или структуры.

Начало развитию именно этого направления теории было положено в 1937 г. работой А.А. Андронова и Л.С. Понтрягина, где было введено принципиальное понятие грубой системы. Так называлась система, у которой топологическая структура фазовой плоскости не изменялась при малых изменениях дифференциальных уравнений [3]. Впоследствии Е.Н. Розенвассер и Р.М. Юсупов развили и дополнили эту работу анализом чувствительности динамических систем [44]. В настоящее время грубость является практически одним из стандартов качества математической модели неособых физических систем и процессов.

В начале 80х г.г. Зеймс (Zames) описал класс робастных 1 систем управления, имеющих свойство сохранять устойчивость при достаточно больших, но ограниченных возмущениях описания [109]. Именно то, что возмущения предполагались нелокальными, а основным показателем была выбрана устойчивость, а не фазовый портрет, позволило выделить это определение в отдельную (от грубости), хотя и весьма созвучную тему.

Причем на русском языке это различие оказалось подчеркнутым тем, что такие системы решено было именовать с помощью кальки с английского – робастными. Однако к этому времени результаты по параметрической устойчивости характеристического полинома, коэффициенты которого принадлежат многомерному параллелепипеду [48].

Принципиальным пунктом в поиске методов синтеза робастных систем при непараметрических возмущениях стало сведение этой задачи к стандартному построению обратной связи с функционалом в виде равномерно-частотной (или H) нормы. Успехи в оптимизации с равномерно-частотной нормой (В.Д. Адамян, Д.З. Аров, М.Г. Крейн [2], Дж. Дойл (J.Doyle), К. Гловер (K.Glover), Б. Френсис (B.Francis) [63]) породили множество работ по «H управлению», ставшему на некоторое время синонимом робастного управления. Среди них выделяются труды К. Шерера (C.Scherer) [102], Х. Квакернаака (H.Kwakernaak) [80, 81], robust - сильный, грубый, крепкий (англ.) А.С. Позняка [38], А.Е. Барабанова [6], Б.Т. Поляка и П.С. Щербакова [40], А.П. Курдюкова, К.А. Пупкова, А.В. Тимофеева и др. Наиболее развернутую и проработанную картину состояния исследований на конец прошлого столетия дает монография Б.Френсиса, К.Жу (K.Zhou) и Дж.Дойла [111]. Приведем лишь некоторые публикации разных авторов на тему управления с равномерно-частотной нормой и робастного управления, сделанные в последнее десятилетие [1, 7, 9, 46, 50, 84].

Благодаря успехам в решении общей задачи оптимизации с равномерно-частотной и квадратичной нормой, удалось сформулировать критерии и способы реализации робастной стабилизации. Более того, в рамках частотного синтеза обратной связи предлагаются теоретические подходы к более сложным задачам: управление по смешанному критерию робастности и точности, многокритериальный синтез и др. Укажем на работы К.Гловера, Дж.Дойла [64], К.Шерера, П.Гайне [100], П.Каргонекара (P.Khargonekar) [79], А.А. Первозванского [34] и других [92, 106].

С. Бхатачарья (Bhattacharyya S.P.) [60]) на основе годографа Михайлова и интервальных матриц (В.Н. Шашихин) [57] на основе анализа уравнений Лурье-Риккати. Эти и другие подходы освещаются в монографии Дж.

Акермана (J. Ackermann) [59].

Весьма популярно последние два десятка лет сведение многих задач теории управления к решению линейных матричных неравенств, ЛМН.

Основы этого подхода заложены трудами А.М.Ляпунова и В.А. Якубовича, современный его вид, ориентированный на использование стандартных решателей ЛМН, можно найти в работах П. Гайне (P.Gainet) и П. Апкарян (P.Apkarian), А. Немировского [90], А.Н. Чурилова и А.В. Гессена. Аспекты анализа робастности нелинейных систем управления затрагивают работы современных авторов, использующих классические методы: А.в.-д. Шафта (A.v.-d.Schaft) [96], А.Исидори (A.Isidori) [75, 76], Ж. Слотина (J.Slotine) [101], Г.А. Леонова [20, 21], Г.Х. Гелига [13].

Многие из указанных исследований отличаются строгой постановкой задачи и используют надежный, но абстрактный формализм, который не всегда соотносится с особенностями инженерной практики и, как правило, не дает возможности вскрыть физический смысл результатов. Следствием этого является относительное проникновение методов анализа робастности в конструкторскую деятельность. Кроме того, эти методы отличает необщность, выражающаяся в строгом разделении подходов для различных классов систем. Актуальна необходимость пополнения такой академичной теории единым и достаточно (хотя бы и приближенным) наглядным подходом к оценке робастности, использующим физически измеримые величины. Фундамент такого подхода логично искать в частотных математических моделях и построенных на них методах анализа динамических процессов, распространенных на нестационарные и нелинейные системы с помощью гармонического приближения (это направление сформировано работами Н.М. Крылова и Н.Н. Боголюбова и развито Л.С. Гольдфарбом, В.М. Поповым, Дж. Бонджиорно, Е.И. Хлыпало, Е.П. Поповым [41] и др.). Важной вехой стала работа А.И. Лурье (1956), открывшая возможности представления нелинейных систем в форме с обратной связью [24].

исследования связана с разработкой частотных математических моделей приближенных частотных методов анализа робастности различных классов нестационарных и нелинейных систем.

1.2 Линейные стационарные системы: основные результаты Робастность линейных стационарных динамических объектов при параметрической и структурной неопределенности в описании, частотные модели систем с распределенными параметрами и вопросы робастной редукции математических моделей систем управления обсуждаются во второй главе. Ее начало посвящено вопросам моделирования неопределенности описания объекта управления и, когда это имеет смысл, оценке его устойчивости на классе этих возмущений. Дается краткий обзор известных подходов к оценке устойчивости объектов управления, параметры которых стационарны, но могут принадлежать некоторым интервалам (т.н. интервальные системы). Разделяются случаи возмущения матриц пространства состояний и коэффициентов (знаменателя) дробнорациональной передаточной функции (далее – п.ф.) объекта G(p). В первом случае обзор охватывает методы теории возмущений матриц, в частности, методику с использованием линейных матричных неравенств. Во втором (частотном) служит для изложения теоретической основы, используемой для получения ряда новых результатов. Это теорема Харитонова.

Пусть задано характеристическое уравнение объекта D(p)=dn pn+dn–1pn–1 +… + d1p+d0=0, в котором действительные коэффициенты берутся из многомерного параллелепипеда, то есть, di [di ;di ], i = 0, 1, …n. Для устойчивости объекта при любом наборе коэффициентов из указанного множества необходимо и достаточно гурвицевости четырех полиномов D1(p) = d0 + d1p +d2p2 +d3p3 + d4p4 + d5p5 + …, D3(p) =d0 +d1p + d2p2 + d3p3 +d4p4 +d5p5 + …, D4(p) =d0 + d1p + d2p2 +d3p3 +d4p4 + d5p5 + ….

динамических возмущений, связанных, как правило, с изменением порядка передаточной функции объекта. Возмущения номинальной (возможно, матричной) устойчивой п.ф. G0(p) обозначаются G(p) и называются в зависимости от того, как они входят в п.ф. исследуемого объекта аддитивными A, если мультипликативными P, если дробно-рациональными [M(p), N(p)], если G0(p)=M0(p)/N0(p), где M0(p), N0(p), M(p), N(p) – устойчивые строго реализуемые дробнорациональные п.ф. Как правило, в общем случае ограничения на возмущения (p) задаются в форме равномерно-частотной нормы или частотно-зависимой мажоранты:

где (а) обозначает максимальное сингулярное собственное число матрицы а, ||•|| – верхняя граница этого числа по частотам (или норма в пространстве Харди, или H норма п.ф.).

Характер разрабатываемого единого частотного подхода к анализу распределенными параметрами. Предлагается методика получения их в форме п.ф., позволяющей строить приближения заданного порядка (порядок явно входит в выражение аппроксимирующей п.ф.). Во-первых, это достаточно простой способ построения частотной модели линейной части системы, необходимой, в частности, для подходов анализа нестационарных и нелинейных систем, разрабатываемых в следующих главах. Во-вторых, это дает возможность исследовать робастность замены описываемого уравнением в частных производных второго порядка. Затем метод применяется к более сложной задаче построения частотной модели балки Тимошенко, описываемой следующей системой уравнений Здесь x – линейная координата оси балки, f(x,t) – распределенная нагрузка, V(x,t) – перерезывающая сила, M(x,t) – перерезывающий момент, w(x,t) – прогиб, (x,t) – угол поворота сечения; А, I, G,, k – параметры балки.

Применяя определенную конечно-разностную аппроксимацию (1.3), получаем дифференциально-разностное уравнение. К нему применяются обыкновенное (по времени) и дискретное (по координате) преобразования Лапласа с получением легко разрешаемой алгебраической системы уравнений. Совершив обратное z-преобразование, получаем искомые п.ф.

как явные функции номера ячейки (сечения) n где ri, ui,, w – выражения с физическими параметрами системы. Учет граничных условий приводит к матричному выражению вида где аij – некоторые трансцендентные функции от n и p. При p=j из него получаются частотные характеристики при различных граничных условиях.

Следующий раздел посвящен аспектам синтеза обратной связи для объектов с неопределенностью. Приведен краткий обзор истории вопроса, постановки задач и современных подходов (в большинстве своем опирающихся на ЛМН) синтеза регулятора. Акцент сделан на постановке задачи и методах решения в частотной области: на задачу робастной фильтрации внешних возмущений неизвестного, но ограниченного по мощности спектра w (рис. 1.3), и сводимую к ней задачу синтеза стабилизирующего регулятора для объекта с ограниченными аддитивными возмущениями в п.ф.

Рис. 1.3. Общий вид линейной системы с обратной связью стандартной процедуры синтеза робастного регулятора в ряде задач (например, чувствительности) и суть предлагаемой асимптотической регуляризации в форме двух теорем.

Рис. 1.4. Задача синтеза робастного управления при дробно-рациональных возмущениях в объекте: a) общий вид, б) эквивалентная схема Две следующие задачи эквивалентны возмущениях объекта (рис. 1.4, a) G0(p)= M0-1(p) N0(p), 2. Минимизация H нормы передаточной функции Tz(p) в следующей системе (рис. 1.4, б) y = H0(p)u = M0-1(p) N0(p) u, u= K(p)y, где |U(j)| и |V(j)| – частотные мажоранты максимального сингулярного собственного числа M(j) и N(j), соответственно.

Пусть все нули знаменателя передаточной функции V(p)M0-1(p) [A,Bi,Ci,Dij] есть матрицы пространства состояний задачи рис. 1.4, б.

Тогда где ()= max{P, D(), ()}. Здесь P обозначает нижнюю границу значений параметра определенное решение P уравнения D() обозначает… (аналогично) …решение D уравнения () обозначает нижнюю границу значений параметра, при котором выполняется неравенство