«НОВЫЕ АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОБЫЧНОЙ И ОБОБЩЕННОЙ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО ...»

ФГУП «ГНЦ РФ – ФИЗИКО-ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ

А.И. ЛЕЙПУНСКОГО»

На правах рукописи

Раскач Кирилл Федорович

НОВЫЕ АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОБЫЧНОЙ

И ОБОБЩЕННОЙ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ

МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО

Специальность 05.13.18 – математическое моделирование, численные методы и комплексы программ диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Обнинск – 2014

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 1 Вычисление производных и возмущений нейтроннофизических функционалов 1.1 Математическая модель процессов переноса нейтронов в реакторных системах 1.2 Детерминистический подход 1.2.1 Основные определения 1.2.2 Формулы теории возмущений для различных типов функционалов и задач 1.3 Метод Монте-Карло 1.3.1 Основные определения 1.3.2 Метод коррелированной выборки 1.3.3 Метод дифференциального оператора 1.3.4 Использование формул теории возмущений Выводы к главе 1 2 Пример использования метода дифференциального оператора для расчета коэффициентов чувствительности нейтроннофизических функционалов к нейтронным данным 2.1 Случай аналогового моделирования 2.2 Случай неаналогового моделирования Выводы к главе 2 3 Алгоритмы учета возмущения источника деления в методе дифференциального оператора для однородной задачи 3.1 Метод функции ценности для расчета первых производных от Кэфф 3.1.1 Основы метода 3.1.2 Способы вычисления ценности нейтронов методом.

Монте-Карло. Метод Усачева-Гурвица 3.1.3 Вычисление эффективных параметров нейтронной кинетики с использованием метода Усачева-Гурвица 3.2 Метод прямого дифференцирования источника деления 3.2.1 Кусочно-постоянное представление возмущения источника 3.2.2 Поточечное представление возмущения источника 3.2.3 Использование метода дифференциального оператора для расчета эффективных параметров нейтронной кинетики Выводы к главе 3 4 Эффективный алгоритм решения неоднородной задачи методом Монте-Карло Выводы к главе 4 5 Учет возмущения источника деления в методе дифференциального оператора для неоднородной задачи Выводы к главе 5 6 Проблемы использования многогруппового приближения при расчете производных и возмущений 6.1 Гомогенные среды 6.2 Гетерогенные среды Выводы к главе 6 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ПРИЛОЖЕНИЕ А. Использование коэффициентов чувствительности для анализа на непротиворечивость экспериментальных данных, оценки точности и ПРИЛОЖЕНИЕ Б. Оценка погрешностей расчета на основе розыгрыша ПРИЛОЖЕНИЕ В. Пример расчета коэффициентов реактивности

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время расчет физики и защиты ядерных реакторов из физической дисциплины превратился в хорошо разработанный раздел вычислительной математики. Первые физические теории исходили из невозможности в то время решить аналитически, либо численно, основное уравнение, описывающее перенос нейтральных частиц, – уравнение Больцмана (называемое также кинетическим уравнением или уравнением переноса) для реальных геометрических конфигураций. Кроме того, в то время не имелось и необходимой информации о микроскопических свойствах взаимодействия частиц с веществом. Необходимость, в то же время, расчета весьма сложных (даже с точки зрения сегодняшнего дня) систем привела к появлению физических теорий, основывающихся на физическом анализе различных аспектов переноса частиц и их формальном описании с помощью небольшого количества интегральных экспериментально измеряемых параметров. Со временем быстрое развитие вычислительной техники полностью вытеснило из практики эти теории, которые, однако, сохранили свою учебную ценность – с них обычно начинается изучение реакторной физики. Практические же расчеты все больше стали основываться на прямом численном решении кинетического уравнения и его приближений. Этот процесс шел параллельно с процессом пополнения экспериментальных данных о взаимодействии частиц с веществом и переработке этих данных в данные (т.н. константы), непосредственно использующиеся в физическом расчете.

Реакторный расчет разделился на две большие ветви: детерминистический метод, основанный на конечно-разностном представлении уравнения переноса и его приближений, и статистический метод или метод Монте-Карло. К основным детерминистическим методам относятся численные схемы решения уравнения переноса как в интегро-дифференциальной, так и в интегральной формах: метод дискретных ординат, метод характеристик, метод вероятностей первых столкновений, PN-метод и его наиболее простая форма – P1-приближение, сводящееся к до сих пор широко используемому диффузионному приближению [6, 8, 37].

Метод Монте-Карло является статистическим методом решения уравнения переноса в интегральной форме [26, 33, 94]. Уникальность этого метода заключается в возможности свести до минимума физические и геометрические приближения, используемые при решении практических задач. В частности, этот метод позволяет уйти от общего для детерминистических методов мультигруппового приближения и использовать непрерывные зависимости ядерных данных от энергии. Тем не менее, как хорошо известно, метод Монте-Карло не является “панацеей”. В частности, органически трудными для метода Монте-Карло являются задачи на глубокое прохождение частиц (распространяющихся от какого-либо источника сквозь толстые слои защиты [28]) и получение с хорошей статистической точностью оценок функционалов в очень малых областях фазового объема системы. В обоих случаях это связано с малой посещаемостью частицами соответствующих областей при использовании аналогового моделирования из-за ограниченности выборки. Остроту проблемы удается значительно уменьшить путем использования неаналогового (весового) моделирования и соответствующих методов уменьшения дисперсии. Тем не менее, проблема все равно остается, во-первых, поскольку эффективность методов уменьшения дисперсии имеет определенные пределы и, во-вторых, поскольку неаналоговые методы из-за ограниченности выборки в ряде случаев могут приводить к смещенным значениям оценок, что в той или иной мере маскирует видимое уменьшение статистических погрешностей расчета, кардинально не уменьшая их полных значений. Контроль таких смещений затруднен, что может вызывать у расчетчика определенные сомнения по поводу надежности полученных результатов. Кроме всего прочего, при использовании некоторых наиболее простых и эффективных неаналоговых схем метод Монте-Карло оказывается несамодостаточным, т.к. для определения необходимых для проведения расчета данных приходится привлекать детерминистические программы и соответствующие (часто упрощенные) расчетные модели (например, для расчета ценности относительно вклада в тот или иной интересующий процесс).

К проблемным вопросам использования метода Монте-Карло относится также решение нестационарного уравнения переноса. В последнее время, благодаря существенно выросшим вычислительным возможностям, включая параллельные вычисления, здесь наблюдается существенный прогресс. Однако, уровень практических расчетов различных типов переходных процессов для больших промежутков времени с корректным описанием запаздывающих нейтронов, возможностью учета обратных связей и удовлетворительными статистическими точностями все еще не достигнут.

Работа в данном направлении ведется ведущими российскими (коды MCU (НИЦ КИ), ПРИЗМА (ВНИИТФ), TDMCC (ВНИИЭФ)) и зарубежными (коды MCNP (США), TMCC (Китай), TRIPOLI (Франция) и др.) Монте-Карловскими группами.

Еще одной проблемной областью метода Монте-Карло до сих пор остаются задачи вычисления производных и возмущений различных функционалов потоков нейтронов и гамма-квантов, а также задачи вычисления важнейших билинейных функционалов потока и ценности нейтронов. Производные вычисляются относительно каких-либо параметров рассматриваемой задачи, в качестве которых могут выступать ядерные константы, материальные плотности т.п. Возмущения функционалов могут представлять собой отклики на конечные изменения тех же параметров или отклики на какие-либо возмущения комплексного характера, которые невозможно описать одним или несколькими параметрами (например, типичным случаем такого рода является замена одного элемента моделируемой системы на другой, обладающий другим геометрическим строением и материальным наполнением). Говоря в дальнейшем о производных и возмущениях различных функционалов, там, где это не будет приводить к недоразумениям, для краткости, будем опускать указание на конкретные параметры дифференцирования и источники возмущений.

При использовании детерминистических методов указанные выше задачи вычисления производных и возмущений решаются с помощью алгоритмов, построенных на основе различных вариантов теории возмущений [2, 7, 12, 18, 23, 24, 53, 58, 110], которые зависят от типа функционала (эффективный коэффициент размножения и связанные с ним характеристики, произвольные линейные и дробно-линейные функционалы потока нейтронов и гамма-квантов) и типа уравнения переноса (однородное или неоднородное). Оказывается, однако, что в рамках метода Монте-Карло все эти алгоритмы являются практически неприменимыми, вопервых, из-за невозможности расчета детальных распределений прямых и сопряженных потоков нейтронов и, во-вторых, из-за отсутствия в общем случае алгоритмов расчета методом Монте-Карло сопряженных потоков – приближенные алгоритмы существуют лишь для отдельных частных случаев. Поэтому, наряду с ограниченным использованием результатов теории возмущений, в методе МонтеКарло развивались специфические, приспособленные именно к этому методу, алгоритмы расчета производных и возмущений. До последнего времени, однако, здесь существовали “белые пятна”, так что в общем случае реально можно было использовать лишь весьма приближенные варианты этих алгоритмов, что сводило на нет отмеченные выше преимущества метода Монте-Карло, связанные с возможностью вполне точного описания геометрии моделируемой системы и процессов взаимодействия частиц с веществом. В последнее время здесь произошли существенные изменения, приведшие к тому, что все эти “белые пятна” оказались, в целом, заполненными. Это продвижение, как и в случае других вышеперечисленных проблемных областей метода Монте-Карло, тесно связано с беспрецедентным ростом вычислительных мощностей. Существенный вклад в решение этого вопроса в общей постановке внесли работы автора диссертации.

Совокупность полученных в них результатов составила предмет данной диссертации.

В настоящее время новые алгоритмы расчета производных и возмущений различных функционалов потоков нейтронов и гамма-квантов внесены или вносятся в отечественные (MMKKENO и MMKC (ГНЦ РФ-ФЭИ), ПРИЗМА (ВНИИТФ)) и зарубежные (MCNP и KENO (США), MVP (Япония), MONK (Великобритания), MORET (Франция)) производственные Монте-Карловские коды. Однако, современное развитие методов и алгоритмов расчета, а также расчетных программ основано на использовании многих результатов, полученных в предшествующие десятилетия. Среди отечественных специалистов здесь следует отметить Г.А. Михайлова, М.З. Брайнину, В.Г. Золотухина, А.Д. ФранкаКаменецкого, М.С. Юдкевича, Д.А. Усикова, В.Б. Полевого, А.А. Блыскавку, В.В.

Коробейникова, Я.З. Кандиева и др. [20, 21, 22, 25, 26, 31, 36, 38, 45, 46, 48, 51, 66, 98, 99, 102, 108, 113, 114]. Упомянем лишь некоторые, наиболее, на наш взгляд, примечательные работы. В работе [36] для расчета конечных возмущений предложен т.н. метод интегрирования по параметру, который является альтернативой предложенному ранее американскими исследователями методу коррелированной выборки [9, 17, 33], но обладает, по сравнению с последним, некоторыми преимуществами. В работах [48, 51] рассмотрены различные варианты метода коррелированной выборки применительно к расчету конечных возмущений реактивности: метод корреляционных весов и метод коррелированных случайных чисел. В работе [31] метод оценки функции ценности нейтронов в прямом блуждании, известный за рубежом как метод Гурвица [16], был использован для расчета важной реакторной характеристики – времени жизни мгновенных нейтронов деления Данный метод правильнее называть методом Усачева-Гурвица (что в последующем и будет делаться), поскольку он основан на непосредственном использовании физического смысла функции ценности нейтронов, являющейся решением сопряженного условно-критического уравнения и использующейся при построении обычной теории возмущений для важнейшей реакторной характеристики – эффективного коэффициента размножения (коэффициента k 0 ). Этот смысл был выявлен в широко известной в среде специалистов работе Л.Н. Усачева [2]. Заслугой Х. Гурвица являлось осознание того, что физическая трактовка этой функции может быть использована не только в теоретических, но и в расчетных целях, что оказалось чрезвычайно важным для метода Монте-Карло, где, при использовании поточечного представления нейтронных данных, альтернативного методу Усачева Гурвица способа определения функции ценности нет. В работе [31] также было отмечено, что аналогичный подход может быть использован для оценки других билинейных функционалов, в частности, возмущений коэффициента k 0. Эта идея была реализована в работах [38, 45], где метод Усачева-Гурвица (представляющий собой метод определения случайного значения функции ценности нейтронов в заданной точке фазового объема системы) был скомбинирован с двумя основными Монте-Карловскими методами расчета производных и возмущений коэффициента k 0 : методом коррелированной выборки и методом дифференциального оператора (этот метод, как и метод коррелированной выборки, впервые был предложен американским исследователем). Основным результатом данной работы явилось решение главной проблемы этих методов в применении к размножающим средам – проблемы учета возмущения источника деления (эта проблема представляет собой одно из упоминавшихся выше “белых” пятен алгоритмов расчета производных и возмущений методом Монте-Карло: сами по себе эти алгоритмы применимы лишь в частном случае неразмножающих сред с фиксированным источником частиц) – для частного случая функционала – коэффициента k 0. Правда, для метода дифференциального оператора эта проблема была решена лишь для частного случая расчета первой производной. В работе автора [113], помимо демонстрации уже известных способов вычисления первых производных от коэффициента k 0, а также времени жизни мгновенных нейтронов деления, была рассмотрена и корректно решена задача расчета еще одной важнейшей реакторной характеристики – эффективной доли запаздывающих нейтронов с различным определением соответствующих ценностей (различно для мгновенных нейтронов и для запаздывающих из заданного числа групп запаздывания). В работах автора [97, 102, 108, 114] были предложены алгоритмы расчета производных любого порядка и конечных возмущений произвольных линейных и дробно-линейных функционалов (включая и коэффициент k 0 ) потоков нейтронов, являющихся решениями одно-родного и неоднородного уравнений переноса для случая размножающих сред. Эти алгоритмы построены на основе метода прямого учета возмущения источника деления в приближении конечнопостоянной аппроксимации по пространственной переменной и в более точном поточечном представлении. В работе [66] для оценки функционалов потока нейтральных частиц, а также возмущений таких функционалов, в локализованных областях фазового объема системы разработаны т.н. методы сопряжения решений, позволяющие разложить исходную сложную задачу на ряд более простых. Данный прием позволяет значительно увеличить посещаемость этих областей частицами и, соответственно, увеличить вероятности их вкладов в интересующие функционалы.

В работах [98, 99] был описан оригинальный способ повышения эффективности расчета возмущений реактивности по методу коррелированной выборки.

Много важных работ было выполнено зарубежными специалистами. В частности, в ранних работах Н.Дж. Керли и Л.А. Ондиса [17], а также Х.

Стейнберга и Р. Аронсона [9] были предложены различные варианты метода коррелированной выборки, позволяющего рассчитывать конечные отклики на возмущения комплексного характера в малых областях фазового объема системы.

В работах [10, 11] Дж.Е. Олхоефтом были заложены основы метода дифференциального оператора, позволяющего рассчитывать производные любого порядка, а также конечные возмущения (для вычисления которых используются их степенные разложения) функционалов относительно изменений каких-либо параметров системы (ядерных констант, материальных плотностей и т.п.) в не слишком малых областях ее фазового объема. Оба метода в своей исходной форме подходили лишь для расчета неразмножающих сред. В русле развития и применения метода дифференциального оператора лежат также работы [30, 49, 78]. В работе [35] предложен алгоритм расчета возмущений эффективного коэффициента размножения (коэффициента k 0 ) 2-го порядка точности с учетом возмущения источника деления по методу сопряженной функции (функции ценности). Расчет последней проводится с помощью алгоритма, являющегося следствием метода УсачеваГурвица, однако, в отличие от работы [45], здесь используется кусочно-постоянная аппроксимация этой функции. В работах [55, 57, 67] приведен обзор имевшихся на момент их выхода в свет алгоритмов расчета производных и возмущений методом Монте-Карло, а также предложен приближенный вариант решения общей для всех этих алгоритмов проблемы учета возмущения источника деления, не позволяющей применять их при расчете размножающих сред. В частности, впервые была предложена схема прямого (т.е. без использования метода сопряженной функции) учета возмущения источника в кусочно-постоянном представлении на основе метода матрицы деления [3]. Другой приближенный вариант решения этой проблемы для метода дифференциального оператора был предложен в работе [88].

В работах [42, 70] была использована общая идея прямого учета возмущения источника деления, предложенная в упомянутых выше работах [55, 57, 67], но конкретный способ реализации этой идеи был иной, а рассмотрение было ограничено задачей вычисления возмущений коэффициента k 0 по методу коррелированной выборки. Наконец, в работе [100] японцы Я. Нагайя и Т. Мори, независимо от упомянутых выше работ [102, 108] автора диссертации и несколько раньше, предложили алгоритм прямого учета возмущения источника деления в поточечном представлении при расчете 1-й производной от коэффициента k 0. Как в работе [100], так и в работе [108], решение проблемы возмущения источника деления при решении однородного (условно-критического) уравнения переноса нейтронов было найдено на основе метода супер-поколения. Этот метод представляет собой развитие обычного метода поколения нейтронов, использующегося при решении методом Монте-Карло условно-критической задачи, по аналогии с методом итерации источника деления в детерминистических расчетах. Отличие алгоритмов, предложенных в работах [100] и [108] заключается, во-первых, в конкретной реализации метода супер-поколения. Во-вторых, в работе [108] рассмотрена более общая задача расчета производных любого порядка и возмущений для произвольных дробно-линейных функционалов потока нейтронов, являющегося решением условно-критического уравнения. Как отмечалось выше, наряду с использованием специфических методов коррелированной выборки и дифференциального оператора, в методе Монте-Карло имеется возможность ограниченного использования результатов теории возмущений в адаптированном для этого метода виде. Последнее означает, что, вместо того, чтобы, как в детерминистическом подходе, вычислять детальные распределения потока и ценности нейтронов, а затем вычислять билинейные свертки, входящие в формулы теории возмущений, в методе Монте-Карло целесообразно пытаться непосредственно вычислять эти свертки. В русле такого подхода лежат работы [115, 116], в которых решается частная задача вычисления первых производных от коэффициента k 0. Соответственно, для определения функции ценности в этих работах используется метод Усачева-Гурвица. В работе [96] эта же задача решается без использования данного метода. Вместо этого, производится предварительное определение функции ценности по методу сопряженных блужданий, что, однако, влечет за собой существенное ограничение, связанное с невозможностью использования поточечного представления ядерных данных.

Из представленного обзора, который не претендует на полноту, видно, что в настоящее время существует три основных подхода к решению задач теории возмущений методом Монте-Карло. Два из них – метод коррелированной выборки и метод дифференциального оператора – являются специфичными, именно МонтеКарловскими, подходами, в полной мере учитывающими специфику этого метода и эксплуатирующими его характерные особенности. Метод коррелированной выборки и метод дифференциального оператора являются методами решения задач теории возмущений, непосредственно не использующими результаты самой этой теории (этим объясняется название диссертации), за исключением использования отдельных ее элементов в некоторых частных своих вариантах (учет возмущения источника деления методом сопряженной функции в случае, когда в качестве исследуемого функционала выступает коэффициент k 0 ). Еще одним подходом, который носит заведомо частный характер, является использование для расчета первых производных от коэффициента k 0 формул теории возмущений в адаптированной для метода Монте-Карло форме. Далее, если говорить о методах коррелированной выборки и дифференциального оператора, то, в принципе, эти методы позволяют решать весь круг практически важных задач теории возмущений. В этом отношении оба метода хорошо дополняют друг друга. Метод коррелированной выборки, который можно рассматривать как один из методов уменьшения дисперсии, очень эффективен при расчете единичных или небольшого числа откликов различных функционалов на локальные возмущения исходных данных, описывающих моделируемый объект. Причем, эти возмущения могут носить комплексный характер, т.е. их невозможно описать каким-либо одним параметром. В практике физического расчета реакторных установок задачи определения таких возмущений возникают, например, при анализе экспериментов по измерению реактивностей малых образцов [124], измерений величины доплерэффекта при нагреве таких образцов, при определении значений эффективностей “легких” стержней СУЗ и т.п. Метод дифференциального оператора, напротив, очень эффективен при проведении массовых расчетов производных и возмущений различных функционалов относительно заданных параметров (ядерных констант взаимодействия частиц с веществом, плотностей материалов и т.п.). Под массовыми расчетами подразумевается необходимость одновременной (в одном расчете) оценки большого (от сотен до сотен тысяч и более) производных и возмущений. Если используется аналоговое моделирование, то при использовании метода дифференциального оператора, как обычно, подразумевается, что параметры возмущаются в не слишком малых областях фазового объема моделируемой системы, имеющих достаточно высокую посещаемость частицами в процессе их случайных блужданий. В противном случае увеличиваются статистические погрешности расчета производных и возмущений рассматриваемых функционалов. В таких ситуациях, как и при расчете самих значений функционалов, требуется использовать те или иные неаналоговые схемы расчета, искусственно увеличивающие посещаемость интересующих областей фазового объема системы с соответствующим пересчетом весов блуждающих частиц. Тем не менее, большинство практических задач успешно решается с использованием аналогового моделирования. К таким задачам относятся, прежде всего, расчет коэффициентов чувствительности к ядерным данным и технологическим параметрам. Эти величины используются при переносе результатов интегральных и макроскопических экспериментов (на подкритических и критических экспериментальных сборках и работающих реакторах) на проектируемые реакторы, при оценке расчетных точностей и поиске расчетных смещений, минимизирующих расчетные погрешности, при оценке макроскопических экспериментов и обработке больших совокупностей данных по таким экспериментам, в деятельности по совершенствованию систем ядерных констант. К массовым расчетам производных и возмущений сводится также задача определения коэффициентов реактивности, представляющих собой необходимый элемент одной из широко используемых схем анализа переходных процессов в ядерных реакторах в обоснование их безопасности. Возможность расчета более высоких производных в данном случае позволяет производить контроль линейности отклика и при необходимости вводить соответствующие поправки. Кроме указанных выше, чрезвычайно актуальных, задач, Монте-Карловское решение которых иными способами вообще не представляется возможным, метод дифференциального оператора также хорошо себя зарекомендовал при решении оптимизационных задач и различных специальных задач, возникающих в практике физического расчета.

Итак, существуют хорошо друг друга дополняющие подходы, в принципе, позволяющие решать методом Монте-Карло весь круг практических задач теории возмущений (в ее разных вариантах). В чем же состоит проблема? Проблема состоит в том, что, как уже отмечалось в приведенном выше обзоре, методы коррелированной выборки и дифференциального оператора в их классическом виде, строго говоря, позволяют проводить расчеты лишь для задач о переносе нейтронов и гамма-квантов в неразмножающих средах. В таких задачах стационарное поле частиц возникает в результате действия внешнего (независимого от решения) источника таких частиц. С точки зрения метода Монте-Карло это означает, что функция плотности вероятности источника частиц априори задана, и для получения случайных откликов на изменения входных параметров (исходных данных) для какой-либо случайной истории частицы, достаточно той информации (по переходным вероятностям), которая имеется в наличии при розыгрыше этой истории, а информация о других историях никак не используется. Необходимость решения таких задач возникает, например, при расчете радиационной защиты.

Однако, важнейшие для реакторных приложений задачи имеют дело с переносом нейтронов в размножающих или делящихся средах, в состав которых входят делящиеся под действием нейтронного облучения ядра тяжелых элементов (урана, плутония и т.п.). Как известно, в процессе деления ядра образуется, как правило, два осколка, т.е. более легких ядра, а также 2-3 и даже более свободных нейтронов (нейтронов деления), которые вносят принципиальный вклад в формирующийся нейтронный поток. Часть образующихся нейтронов безвозвратно теряется в актах поглощения и утечки. Однако, некоторая их часть индуцирует новые деления. Так, что, в принципе, возникают условия для самоподдерживающейся цепной реакции.

Критерием возможности такой реакции служит значение максимального собственного числа, которое, вместе с соответствующей собственной функцией (потоком нейтронов) является решением однородного (т.н. условно-критического) уравнения переноса нейтронов. Эта важнейшая реакторная характеристика называется эффективным коэффициентом размножения и обозначается через k эфф или k 0 (как в данной работе). Ее физический смысл чрезвычайно прост. В размножающей системе, предоставленной самой себе, т.е. в отсутствие внешних источников нейтронов, она представляет собой отношение скорости образования свободных нейтронов к скорости их исчезновения. Если k 0 1 (критический режим), то в системе может иметь место постоянная во времени самоподдерживающаяся цепная реакция. Именно этому случаю соответствуют рабочие режимы ядерных реакторов и экспериментальных критических сборок. Если k 0 1 (надкритический режим), и в системе присутствуют свободные нейтроны, то имеет место постоянное увеличение их числа до тех пор, пока, в силу каких-то причин (температурные эффекты при не слишком быстрых скоростях разгона или разрушение целостности системы при процессах взрывного характера) не произойдет снижение k 0 до критического или подкритического уровня. Если k 0 1 (подкритический режим), то стационарный поток нейтронов в системе может быть обеспечен лишь введением в нее внешнего источника нейтронов. Этому случаю соответствуют рабочие режимы электроядерных реакторов и экспериментальных подкритических сборок, а также пусковые и стояночные режимы ядерных реакторов. Для определения потока нейтронов в таких системах и связанных с ним физических характеристик требуется решать неоднородное уравнение переноса.

Таким образом, при моделировании методом Монте-Карло процесса переноса нейтронов в размножающих средах функция плотности вероятности внутреннего источника нейтронов (источника деления) не задана априори, т.к. сама зависит от решения задачи. Это означает, что определение случайных значений производных и возмущений различных функционалов для какой-либо случайной истории частицы не может быть произведено на основе информации, относящейся к одной лишь этой истории, т.к. возмущение какого-либо параметра ведет к перераспределению функции плотности вероятности внутреннего источника, которая, в свою очередь, определяется в результате розыгрыша большого числа историй. Если, все-таки, пытаться использовать методы коррелированной выборки и дифференциального оператора в их классическом виде, то это будет эквивалентно введению приближения, согласно которому считается, что внутренний источник не возмущается. Однако, оказывается, что использование данного приближения во многих случаях ведет к неудовлетворительным результатам – смещениям расчетных значений производных и возмущений на десятки, а в некоторых случаях и сотни, процентов. В диссертации рассмотрены возможные способы решения этой проблемы и предложены новые алгоритмы, позволяющие ее решить в наиболее общем виде для случая условно-критической задачи и для случая неоднородной задачи [97, 102, 108, 113, 114]. В последнем случае построению эффективного алгоритма расчета производных и возмущений мешает еще одна известная трудность, связанная с плохой сходимостью источника деления при использовании метода поколений для малых уровней подкритичности, которые чаще всего и реализуются на практике. Аналогичная проблема возникает и при использовании детерминистического метода, где, поэтому, разработаны специальные методы ускорения сходимости итераций по источнику деления [62, 63, 74, 75, 80, 127]. Один из таких методов был разработан автором диссертации [75]. Уникальность этого метода заключается в том, что до сих пор лишь его удалось приспособить к методу Монте-Карло [77]. Он играет ключевую роль и с точки зрения построения алгоритма расчета производных и возмущений, хотя имеет и самостоятельное значение.

Говоря о расчете производных и возмущений с использованием специальных методов расчета, в том числе и Монте-Карловских, существует еще один вопрос, который в некоторых случаях приобретает достаточную остроту. Как правило, эти случаи также характерны для задач о переносе нейтронов в размножающих средах.

В настоящее время в практике проведения расчетов по методу Монте-Карло широкое распространение получили три формы представления ядерных данных (или, как их часто называют, ядерных констант): многогрупповая, подгрупповая и непрерывная или поточечная (при использовании детерминистического метода, в основном, используются только первые две). Многогрупповая форма представления исторически сложилась первой, т.к. является более экономной с точки зрения вычислительных затрат, затрат по хранению соответствующих данных и их использованию в расчете. Она до сих пор широко используется (российские программы MMKFK [64] и MMKKENO [111], американские программы KENO [84, 85] и MORSE [122]; многогрупповая опция имеется в американской программе MCNP [89], во французской программе MORET [106] и во многих других программах). Эта форма представления основана на кусочно-постоянной аппроксимации энергетических зависимостей сечений взаимодействия нейтронов и гамма-квантов с веществом. Для правильного усреднения сечений в пределах групповых интервалов используются специальные методы [15, 54] и программы [65, 81, 82]. В результате применения этих методов многогрупповые константы приобретают зависимость от конкретной расчетной ситуации, т.е. становятся проблемно-ориентированными. Более того, многогрупповые сечения различных “изотопов” (так в расчетной практике принято условно называть реальные изотопы элементов, или природные смеси таких изотопов, включая моноизотопы), относящихся к одному и тому же материалу, а в общем случае, даже и к различным материалам, становятся взаимозависимыми в резонансной области энергий. Между тем, сами по себе алгоритмы вычисления производных и возмущений различных функционалов, как правило, исходят из независимости парциальных сечений друг от друга. Таким образом, эти результаты требуют корректировки, учитывающей наличие такой зависимости. Как показывает практика, пренебрежение такой зависимостью в некоторых случаях может приводить к ощутимым погрешностям расчета. По этой причине и исходя из практической важности многогруппового приближения, в диссертации разработаны алгоритмы корректировки результатов расчетов производных и возмущений, выполняемых с использованием данного приближения, для наиболее характерных расчетных ситуаций [121, 128]. Построение универсального подхода, применимого во всех случаях здесь оказывается затруднительным. Предпочтительным, по-крайней мере, для метода Монте-Карло, здесь выглядит использование гибридных схем, когда для основных резонансных “изотопов” используется подгрупповое представление, а для остальных – многогрупповое (данная схема, конечно, может быть эффективной лишь при использовании поизотопного розыгрыша, т.к. в противном случае, в силу особенностей подгруппового приближения суммарное число подгрупп оказывается слишком большим).

Выше была очерчена область науки и техники, к которой относится данная диссертационная работа, определены конкретные проблемы, относящиеся к этой области и составившие предмет изучения. Диссертационная работа посвящена решению крупной научной проблемы, связанной с возможностью проведения высокоэффективных расчетов методом Монте-Карло производных и возмущений относительно различных параметров (ядерных констант, материальных плотностей и т.п.) линейных и дробно-линейных функционалов потоков нейтральных частиц (нейтронов и гамма-квантов), являющихся решениями двух основных типов стационарного уравнения переноса: 1) однородного условно-критического уравнения, описывающего рабочие режимы ядерных реакторов, критических сборок и установок внешнего и внутреннего топливного цикла, и 2) неоднородного уравнения с внешним источником нейтронов или гамма-квантов, описывающего рабочие режимы электроядерных реакторов и экспериментальных подкритических сборок, пусковые и стояночные режимы ядерных реакторов, работу элементов радиационной и биологической защиты. Данная проблема имеет важное научнотехническое значение, т.к. проведение массовых расчетов производных и возмущений без использования приближений по геометрии, по описанию процессов взаимодействия частиц с веществом и законов их переноса требуется при решении важных практических задач, среди которых, прежде всего, следует отметить задачу повышения точности расчетного предсказания основных характеристик проектируемых установок по результатам интегральных и макроскопических экспериментов (экспериментов на экспериментальных критических и подкритических сборках и работающих реакторах, защитных экспериментов).

Решение этой задачи ведет, в конечном счете, к повышению надежности, безопасности и экономичности этих установок. Кроме того, необходимость проведения массовых расчетов производных и возмущений возникает при подготовке данных для анализа переходных процессов в ядерных и электроядерных реакторах с учетом обратных связей в обоснование их безопасности, при оптимизационных расчетах, в работе по совершенствованию систем ядерных констант и при решении целого ряда других задач, возникающих в практике физического расчета.

Ниже сформулированы обязательные для работы данного типа положения.

Цель работы заключалась в разработке набора методов и алгоритмов, совокупность которых могла бы служить замкнутой методической базой для проведения массовых расчетов по методу Монте-Карло производных и возмущений произвольных линейных и дробно-линейных функционалов потоков нейтронов и гамма-квантов относительно различных параметров (ядерных констант, материальных плотностей и т.п.) для двух основных типов стационарного уравнения переноса при любом использующемся в настоящее время представлении ядерных данных: многогрупповом, подгрупповом и поточечном. К функционалам указанного типа относятся все наиболее важные характеристики реакторных систем: эффективный коэффициент размножения, связанные с ним эффекты реактивности (эффективность органов СУЗ, пустотный эффект реактивности, доплер-эффект), коэффициенты воспроизводства и конверсии, коэффициенты источника и умножения для размножающих систем с внешним источником нейтронов, всевозможные скорости различных процессов взаимодействия нейтронов и гамма-квантов с веществом, энерговыделение, скорости наработки и трансмутации различных изотопов.

Актуальность работы При решении уравнения переноса детерминистическими методами для определения производных и возмущений различных функционалов традиционно используются различные варианты теории возмущений, зависящие от конкретного функционала и типа уравнения. Однако, при решении уравнения переноса методом Монте-Карло, который в последнее время является исключительно популярным, результаты теории возмущений оказываются практически неприменимыми, за исключением отдельных частных случаев. Это связано со спецификой метода Монте-Карло, не позволяющего определять детальные распределения потока и ценности нейтронов. По этой причине были разработаны специализированные Монте-Карловские методы расчета производных и возмущений, основными из которых являются метод коррелированной выборки и метод дифференциального оператора. Эти методы успешно применяются при решении задач о переносе нейтронов и гамма-квантов в неразмножающих средах. Однако, при решении наиболее важных для реакторной физики задач о переносе нейтронов в размножающих (делящихся) средах эти алгоритмы, сами по себе, являются весьма приближенными, что сводит на нет основные преимущества метода Монте-Карло.

Часто применение этих методов в их классической форме к размножающим средам ведет к появлению недопустимых методических погрешностей расчета. Таким образом, возникает проблема их развития для корректного решения указанных задач. Существует достаточно большое количество работ, посвященных решению этой проблемы. Но, все они давали или частное ее решение, или различные приближенные решения, хотя, в целом, и улучшающие ситуацию, но все еще неудовлетворительные как с точки зрения требований по методической точности, так и с точки зрения требований по техническому удобству их применения. Кроме того, во всех этих работах рассматривался лишь один тип стационарного уравнения переноса – условно критическое уравнение (а в большинстве работ и лишь один функционал – эффективный коэффициент размножения). Неоднородное уравнение переноса для случая размножающей среды, решение которого, в общем случае, само по себе представляет определенные сложности, вообще не рассматривалось.

Таким образом, за пределами рассмотрения оказалась большая часть указанных выше практических приложений. С учетом всего этого представляется, что сформулированная цель диссертационной работы является вполне актуальной.

Положения, выносимые на защиту Метод супер-поколения для учета возмущения источника деления при расчете производных и возмущений произвольных линейных и дробнолинейных функционалов потока нейтронов по методу дифференциального оператора.

Алгоритмы расчета методом Монте-Карло производных любого порядка и конечных возмущений произвольных дробно-линейных функционалов потока нейтронов, представляющего собой решение однородного стационарного уравнения переноса (условно-критического уравнения).

Алгоритмы ускорения сходимости источника деления при решении неоднородного стационарного уравнения переноса нейтронов для размножающих сред, пригодные при использовании детерминистических методов и метода Монте-Карло.

Алгоритм расчета методом Монте-Карло производных любого порядка и конечных возмущений произвольных линейных и дробно-линейных функционалов потока нейтронов, представляющего собой решение неоднородного стационарного уравнения переноса нейтронов для размножающей Алгоритмы корректировки результатов многогрупповых расчетов производных и возмущений произвольных функционалов потока нейтронов для стационарных реакторных задач, учитывающие взаимозависимость многогрупповых констант в резонансной области энергий. Алгоритмы могут использоваться при расчете производных и возмущений как по теории возмущений, так и методом Монте-Карло.

Результаты тестовых расчетов в обоснование предлагаемых методов и алгоритмов с использованием разработанных автором расчетных программ.

Научная новизна Разработанные алгоритмы впервые позволяют проводить прецизионные расчеты методом Монте-Карло производных любого порядка и конечных возмущений произвольных линейных и дробно-линейных функционалов потока нейтронов, являющегося решением однородной стационарной реакторной задачи или неоднородной стационарной реакторной задачи с внешним источником нейтронов. Ранее такой расчет был возможен лишь для случая однородной задачи, для ограниченного круга функционалов и с использованием приближений, существенно снижающих точность расчета.

Разработанный алгоритм ускорения сходимости источника деления при решении неоднородной реакторной задачи в рамках детерминистического подхода может применяться наряду с другими известными алгоритмами.

Однако, с точки зрения его использования в методе Монте-Карло, он не имеет известных аналогов. Использование этого алгоритма является ключевым для разработанного на его основе алгоритма расчета производных и возмущений различных функционалов методом Монте-Карло. Однако, он имеет и самостоятельное значение, т.к. сама по себе проблема решения неоднородной реакторной задачи для малых уровней подкритичности является актуальной.

Разработанные алгоритмы расчета производных и возмущений методом Монте-Карло имеют преимущество по сравнению с детерминистическими алгоритмами, основанными на результатах теории возмущений. В частности, в отличие от последних они позволяют в одном расчете определять производные и возмущения для любого числа различных функционалов. При использовании теории возмущений каждый новый функционал требует повторного проведения расчета.

При определении конечных возмущений с использованием прямых пересчетов или по теории возмущений в одном расчете может быть определено лишь одно конкретное значение отклика заданного функционала на единичное изменение какого-либо параметра. При использовании разработанных алгоритмов в одном расчете могут вычисляться непрерывные кривые откликов функционалов для всего диапазона изменения параметров.

Разработанные алгоритмы корректировки результатов многогрупповых расчетов производных и возмущений не имеют отечественных аналогов. От имеющихся зарубежных аналогов они отличаются тем, что приспособлены к алгоритмам и формам представления данных, использующимся в отечественных программах подготовки многогрупповых нейтронных констант.

Разработанные алгоритмы расчета производных могут использоваться для расчета билинейных функционалов потока и ценности нейтронов. К такому типу функционалов относятся некоторые важнейшие реакторные характеристики, в частности – эффективные параметры нейтронной кине-тики.

Уникальность данного способа расчета билинейных функционалов заключается в том, что при его использовании не требуется оценка функции ценности нейтронов.

Практическая значимость Практическая значимость работы состоит в разработке набора методов и алгоритмов, совокупность которых может служить замкнутой методической базой для проведения массовых высокоэффективных расчетов методом Монте-Карло производных и возмущений относительно различных параметров (ядерных констант, материальных плотностей и т.п.) линейных и дробно-линейных функционалов потоков нейтральных частиц (нейтронов и гамма-квантов), являющихся решениями двух основных типов стационарного уравнения переноса:

1) однородного условно-критического уравнения, описывающего рабочие режимы ядерных реакторов, критических сборок и установок внешнего и внутреннего топливного цикла, и 2) неоднородного уравнения с внешним источником нейтронов или гамма-квантов, описывающего рабочие режимы электроядерных реакторов и экспериментальных подкритических сборок, пусковые и стояночные режимы ядерных реакторов, работу элементов радиационной и биологической защиты. К функционалам указанного типа относятся все наиболее важные характеристики реакторных систем: эффективный коэффициент размножения, связанные с ним эффекты реактивности (эффективность органов СУЗ, пустотный эффект реактивности, доплер-эффект), коэффициенты воспроизводства и конверсии, коэффициенты источника и умножения для размножающих систем с внешним источником нейтронов, всевозможные скорости различных процессов взаимодействия нейтронов и гамма-квантов с веществом, энерговыделение, скорости наработки различных изотопов и их трансмутации. Проведение указанных выше расчетов без использования приближений по геометрии, по описанию процессов взаимодействия частиц с веществом и законов их переноса требуется при решении важных практических задач, среди которых, прежде всего, следует отметить задачу повышения точности расчетного предсказания основных характеристик проектируемых установок по результатам интегральных и макроскопических экспериментов (экспериментов на экспериментальных критических и подкритических сборках и работающих реакторах, защитных экспериментов). Решение этой задачи ведет, в конечном счете, к повышению надежности, безопасности и экономичности этих установок. Кроме того, необходимость проведения массовых расчетов производных и возмущений возникает при подготовке данных для анализа переходных процессов в ядерных и электроядерных реакторах с учетом обратных связей в обоснование их безопасности, при оптимизационных расчетах, в работе по совершенствованию систем ядерных констант и при решении целого ряда других задач, возникающих в практике физического расчета.

Достоверность полученных результатов Все новые алгоритмы реализованы в разработанных автором программах и прошли тестирование на достаточно представительном наборе тестовых задач.

Случаев неработоспособности предлагаемых алгоритмов отмечено не было.

Личный вклад автора Основная часть научных результатов, связанных с положениями, выносимыми на защиту, получена автором лично. В случае совместных работ, относящихся к этим положениям, автору принадлежала ведущая роль. В работах прикладного характера, связанных с использованием разработанных методов, автор принимал участие в постановке задачи, расчетах и анализе результатов.

Апробация Материалы диссертации были представлены на следующих конференциях и семинарах:

На международных конференциях по математическому моделированию и расчету ядерных реакторов M&C-2005 (г. Авиньон, Франция) и M&C- (г. Рио де Жанейро, Бразилия);

На международных конференциях по расчету ядерных реакторов PHYSORг. Питтсбург, США) и PHYSOR-2012 (г. Ноксвилл, США);

На международных конференциях по расчетным методам в области критической безопасности ICNC-2003 (г. Токаи-Мура, Япония), ICNC- (г. Санкт-Петербург, Россия);

На заседаниях ежегодного российского межведомственного семинара «Нейтронно-физические проблемы атомной энергетики», г. Обнинск.

Публикации по теме диссертации Статьи в журналахиз списка ВАК 1. Раскач К.Ф., Коробейников В.В. Эффективный метод решения задачи о подкритическом реакторе с источником // Атомная энергия. – 1998. – Т. 85.

2. Раскач К.Ф., Рожихин Е.В., Цибуля А.А., Цибуля А.М. Исследование приближений, используемых в системе константного обеспечения CONSYST для расчета ячеек водо-водяных реакторов // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Ядерные константы. – 2001. – Вып. 2.

3. Ivanova T.T., Nikolaev M.N., Raskach K.F., Rozhikhin E.V., Tsiboulia A.M.

Influence of the Correlations of Experimental Uncertainties on Criticality Prediction // Nuclear Science and Engineering. – 2003. – Vol. 145. No. 1.

4. Ivanova T.T., Nikolaev M.N., Raskach K.F., Rozhikhin E.V., Tsiboulia A.M. Use of International Criticality Safety Benchmark Evaluation Project Data for Validation of the ABBN Cross-Section Library with the MMK-KENO Code // Nuclear Science and Engineering. – 2003. – Vol. 145. No. 2.

5. Raskach K.F. An Improvement of the Monte Carlo Generalized Differential Operator Method by Taking into Account First- and Second-Order Perturbations of Fission Source // Nuclear Science and Engineering. – 2009. Vol. 162. No. 2.

6. Raskach K.F. Extension of Differential Operator Method to Inhomogeneous Problems with Internal and External Neutron Sources // Nuclear Science and Engineering. – 2010. Vol. 165. No. 3.

7. Раскач К.Ф. Введение поправок, учитывающих взаимозависимость мультигрупповых констант, к результатам мультигрупповых расчетов по теории возмущений // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Физика ядерных реакторов. – 2011. – Вып. 1.

8. Ашурко Ю.М., Волков А.В., Раскач К.Ф. Разработка программных модулей для расчета запроектных аварий в реакторах типа БН с учетом пространственно-временной кинетики // Атомная энергия. – 2013. – Т. 114.

9. Raskach K.F. A Technique for Accounting for Multigroup Cross Section Interdependence in Sensitivity Calculations // Nuclear Science and Engineering. – 2012. – Vol. 170, No. 2.

10. Тамбовцев С.Д., Дулин В.А., Раскач К.Ф. Исследование эффекта реактивности Доплера образцов реакторных материалов на критических сборках // Атомная энергия. – 2012. – Т. 113. Вып. 3.

11. Швецов Ю.Е., Ашурко Ю.М., Суслов И.Р., Раскач К.Ф., Забудько Л.М., Мариненко Е.Е. Мультифизичный код UNICO для анализа переходных процессов в быстрых натриевых реакторах // Ядерная энергетика. Известия ВУЗов. – 2014. – Вып. 1.

12. Peregudov A., Andrianova O., Raskach K., Tsibulya A. GRS Method for Uncertainties Evaluation of Parameters in a Perspective Fast Reactor // Nuclear Data Sheets. – 2014. – Vol. 118. – P. 548–550.

13. Перегудов А.А., Андрианова О.Н., Мантуров Г.Н., Раскач К.Ф., Семенов М.Ю., Цибуля А.М. Использование метода GRS для оценки погрешности нейтронно-физических характеристик перспективного быстрого реактора // Ядерная энергетика. Известия ВУЗов – 2014. – В печати.

Доклады на конференциях 14. Ivanova T.T., Manturov G.N., Nikolaev M.N., Raskach K.F., Rozhikhin E.V., Tsiboulia A.M. Estimation of Accuracy of Criticality Prediction of Highly Enriched Uranium Homogeneous Systems on the Basis of Analysis of Data from ICSBEP Handbook. Proc. Int. Conf. on Nuclear Criticality Safety (ICNC 2003).

Tokai-Mura, Japan, October 20-24, 2003.

15. Ivanova T.T., Nikolaev M.N., Raskach K.F., Rozhikhin E.V., Tsiboulia A.M.

Attempt of the Joint Analysis of the Entire Set of the HEU-SOL Type Experiments from the International Handbook of Evaluated Criticality Safety Benchmark Experiments. Proc. Int. Conf. on Nuclear Criticality Safety (ICNC 2003). TokaiMura, Japan, October 20-24, 2003.

16. Blyskavka A.A., Raskach K.F., Tsiboulia A.M. Algorithm for Calculating keff Sensitivities to Group Cross Sections Using Monte Carlo Method and Features of Its Implementation in the MMKKENO Code. Proc. Int. Conf. on Mathematics and Computational Methods Applied to Nuclear Science and Engineering (M&C 2005). Avignon, France, September 12-15, 2005.

17. Blyskavka A.A., Jerdev G.M., Manturov G.N., Raskach K.F., Tsiboulia A.M. Use of the SKALA Code Package for Computing Criticality and Its Uncertainty. Proc.

Int. Conf. on Nuclear Criticality Safety (ICNC 2007). St. Petersburg, May 28 – 18. Raskach K., Hopper C. Statistical Analysis of PST Types of Experiments Relative to Examining “Safety Applications”. Proc. Int. Conf. on Nuclear Criticality Safety (ICNC 2007). St. Petersburg, May 28 – June 1, 2007.

19. Raskach K.F., Blyskavka A.A. An Experience of Applying Iterated Fission Probability Method to Calculation of Effective Kinetics Parameters and keff Sensitivities with Monte Carlo. Proc. Int. Conf. on Reactor Physics (PHYSOR 2010). Pittsburgh, PA, USA, May 9-14, 2010.

20. Raskach K.F., Blyskavka A.A., Kislitsina T.S. Monte Carlo Transport Correction of Sodium Reactivity Worth Spatial Distribution in Perspective Sodium Cooled Fast Reactor. Proc. Int. Conf. on Mathematics and Computational Methods Applied to Nuclear Science and Engineering (M&C 2011), Rio de Janeiro, Brazil, 21. Ivanova T., Laville C., Dyrda J., Mennerdahl D., Golovko Y., Raskach K., Tsiboulia A., Lee G.S., Woo S.-W., Bidaud A., Sabouri P., Patel A., Bledsoe K., Rearden B., Gulliford J., Michel-Sendis F. Benchmark On Sensitivity Calculation (Phase III). Proc. Int. Conf. on Reactor Physics (PHYSOR 2012). Knoxville, TN, USA, April 15-20, 2012.

22. Peregudov A., Andrianova O., Raskach K., Tsibulya A. Application of GRS Method to Evaluation of Uncertainties of Calculation Parameters of Perspective Sodium-Cooled Fast Reactor. Proc. Int. Conf. on Reactor Physics (PHYSOR 2012). Knoxville, TN, USA, April 15-20, 2012.

23. Блыскавка А.А., Жемчугов Е.В., Раскач К.Ф. Пилотная версия программы всероссийский межведоственный семинар «Нейтронно-физические (НЕЙТРОНИКА 2012)». Обнинск, 30 октября – 2 ноября 2012.

Другие работы 24. Комлев О.Г., Раскач К.Ф. Пакет программ для расчета коэффициентов чувствительности Кэфф и отношений средних сечений к коэффициентам уравнения переноса в 1D- и 2D-геометрии. Препринт ФЭИ-3013, Обнинск, 25. Раскач К.Ф. Алгоритм расчета производных Кэфф по коэффициентам разложения индикатрисы рассеяния по полиномам Лежандра для модели рассеяния, принятой в программе KENO. Препринт ФЭИ-3015, Обнинск, 26. Раскач К.Ф. Комплекс программ КАРНАВАЛ для расчета коэффициентов чувствительности Кэфф и дробно-линейных функционалов потока к нейтронным данным на основе решения кинетического уравнения. Препринт ФЭИ-3014, Обнинск, 2004.

27. Раскач К.Ф. Методика и комплекс программ расчета коэффициентов чувствительности Кэфф к нейтронным данным на основе кинетического уравнения: дис. … канд. физ.-мат. наук: 05.13.18 – Обнинск, 2005.

Публикации автора по теме диссертации цитируются в работах других авторов. Список известных работ, в которых имеются ссылки на работы автора по теме диссертации, приведены ниже.

Работы других авторов, содержащие ссылки на работы автора 1. Коробейников В.В. Универсальный алгоритм метода Монте-Карло для расчета бланкетов электроядерных установок // Ядерная энергетика.

Известия ВУЗов. – 1999. – Вып. 2.

2. Румянцев Г.Я. Два эффективных способа построения итераций для решения неоднородных задач теории переноса нейтронов // Атомная энергия. – 2000.

3. Tsuji M., Suzuki N., Shimazu Y. Subcriticality Measurement by Neutron Source Multiplication Method with a Fundamental Mode Extraction // Journal of Nuclear Science and Technology. – 2003. – Vol. 40. No. 3.

4. Mennerdahl D., Weber W., Naito Y., Anno J. Reference Values for Nuclear Criticality Safety. NEA No. 5433. OECD, 2006.

5. Leal L.C., Wiarda D., Rearden B.T., Derrien H. U Cross-Section and Covariance Data Update for SCALE 5.1 Libraries. ORNL/TM-2007/115, Oak Ridge, TN, USA, February 2008.

6. Ivanova T., Rouyer V., Rozhikhin Y., Tsiboulia A. Towards validation of criticality calculations for systems with MOX powders // Annals of Nuclear Energy. – 2009. – Vol. 36. No. 3.

7. He T. MCNP-Based Analysis on Simulating Small Changes in System Responses.

Ph.D. Thesis in Nuclear Engineering. The University of Cincinnati, OH, USA, 8. Rearden B.T., Perfetti C.M., Williams M.L., Petrie L.M. SCALE Sensitivity Calculations Using Contributon Theory. Proc. Joint Int. Conf. on Supercomputing in Nuclear Applications and Monte Carlo (SNA + M&C 2010). Tokyo, Japan, October 17-21, 2010.

9. Broadhead B.L., Williams M.L., Wagschal J.J. Generalized Linear Least-Squares Adjustment, Revisited // Journal of American Society for Testing and Materials International. – 2010. – Vol. 3. No. 7.

10. Nagaya Y., Mori T. Calculation of effective delayed neutron fraction with Monte Carlo perturbation techniques // Annals of Nuclear Energy. – 2011. – Vol. 38. P.

11. Chiba G., Nagaya Y., Mori T. On Effective Delayed Neutron Fraction Calculations with Iterated Fission Probability // Journal of Nuclear Science and Technology. – 2011. – Vol. 48. No. 8.

12. Nagaya Y., Mori T. Estimation of Sample Reactivity Worth with Differential Operator Sampling Method // Journal of Nuclear Science and Technology. – 2011.

– Vol. 2. P. 842-850.

13. Tomatis D., Dall’Osso A. Flux Stabilization in Neutron Problems with Fixed Sources. Proc. Int. Conf. on Reactor Physics (PHYSOR 2012). Knoxville, TN, USA, April 15-20, 2012.

14. Alexis J. tudes de la convergence d’un calcul Monte Carlo de criticit :

Utilisation d’un calcul dterministe et dtection automatise du transitoire. Thse Pour obtenir le grade de Docteur de l’universit de Grenoble, France, 2012.

15. Perfetti C.M. Advanced Monte Carlo Methods for Eigenvalue Sensitivity Coefficient Calculations. Ph.D. Thesis in Nuclear Engineering. The University of Michigan, Ann Arbor, MI, USA, 2012.

16. Trottier A., Blomeley L., Chow J.C., Colton A., Masala E., Shukhman B., Watts D., Wilkin B. Implementation of a direct perturbation method in MCNP and application to SCALE verification // Annals of Nuclear Energy. – 2013. – Vol. 62.

17. Dez C.J., Herrero J.J., Cabellos O., Martnez J.S. Propagation of Cross-Section Uncertainties in Criticality Calculations in the Framework of UAM-Phase I Using MCNPX-2.7e and SCALE-6.1 // Hindawi Publishing Corporation Science and Technology of Nuclear Installations. – 2013 – Vol. 2013, Article ID 380284.

18. Roberts J.A., Rearden B.T., Wilson P.P.H. Determination and Application of Partial Biases in Criticality Safety Validation // Nuclear Science and Engineering.

– 2013. – Vol. 173. P. 43–57.

19. Salvatores M., Palmiotti G., Aliberti G., McKnight R. Methods and Issues for the Combined Use of Integral Experiments and Covariance Data. NEA/NSC/WPEC/ DOC(2013)445, December 2013.

20. Sabouri P. Application of Perturbation Theory Methods to Nuclear Data Uncertainty Propagation using the Collision Probability Method. Thse Pour obtenir le grade de Docteur de l’universit de Grenoble, France, May 5, 2014.

21. Bcares V., Prez-Martn S., Vzquez-Antoln M., Villamarn D., Martn-Fuertes F., Gonzlez-Romero E.M., Merino I. Review and comparison of effective delayed neutron fraction calculation methods with Monte Carlo codes // Annals of Nuclear Energy. – 2014. – Vol. 65. P. 402-410.

22. Yamamoto T., Sakamoto H. A new concept of Monte Carlo kinetics parameter calculation using complex-valued perturbation // Annals of Nuclear Energy. – 2014. – Vol. 71. P. 480–488.

23. Kiedrowski B.C. Methodology for Sensitivity and Uncertainty-Based Criticality Safety Validation. LANL Report LA-UR-14-23202. Los Alamos, NM, USA, May Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы из 135 наименований и трех приложений, содержит 237 страниц, 19 таблиц и 59 рисунков.

1 Вычисление производных и возмущений нейтроннофизических функционалов 1.1 Математическая модель процессов переноса нейтронов в Основной задачей физического расчета реакторных систем является определение для всех их элементов пространственной, энергетической и угловой зависимости потока нейтронов или гамма-квантов (которые считаются точечными, невзаимодействующими между собой частицами) – функции ( R, E, ). В дальнейшем для определенности ограничимся основной для данной работы задачей о переносе нейтронов в делящихся средах. Однако, все сказанное, за исключением отдельных деталей и обозначений, будет справедливо и для задачи о переносе гамма-квантов. Поток нейтронов выражается через плотность этих частиц:

( R, E, ) v n( R, E, ), где v v - скорость нейтрона, связанная с его энергией E (измеряется в эВ), а величина n( R, E, ) dRdEd дает количество нейтронов, заключенных в пространственном объеме dR около точки R (измеряется в см), имеющих энергию, лежащую в интервале dE около значения E и движущихся внутри телесного угла d около направления ( представляет собой единичный вектор, совпадающий по направлению с вектором скорости v v ).

Величины, характеризующие состояние движение нейтрона даются в лабораторной системе отчета. В работе рассматриваются лишь стационарные задачи переноса нейтронов и, соответственно, их поток считается не зависящим от времени.

Основой математической модели переноса нейтронов является одна из двух эквивалентных форм уравнения переноса, выражающего баланс частиц, – интегродифференциальное уравнение Больцмана или интегральное уравнение Пайерлса [8, 37] (предполагается, что эти уравнения дополнены соответствующими граничными условиями). Оба этих уравнения содержат одни и те же коэффициенты, которые определяются геометрическим строением и материальным наполнением моделируемой системы. В качестве таких коэффициентов выступают макроскопические сечения (измеряющиеся в см-1), являющиеся функциями от фазовой переменной (под которой будем понимать совокупность переменных R, E и : x ( R, E, ) ) и имеющие смысл вероятностей нейтронам испытать те или иные взаимодействия на единице длины их пути: полное сечение t ( R, E ), сечение генерации нейтронов v f ( R, E ) v f ( R, E ) f ( R, E ), где v f ( R, E ) - среднее число вторичных (мгновенных и запаздывающих) нейтронов деления, f ( R, E ) - макроскопическое сечение деления (энергетическое распределение нейтронов деления определяется функцией ( R, E, E ) ; величина ( R, E, E ) dE есть вероятность вторичному нейтрону деления иметь энергию, лежащую в интервале dE около значения E, при условии, что деление было вызвано первичным нейтроном с энергией E в точке R ), s ( R, E,, E, ) s ( R, E ) f ( R, E,, E, ) - дифференциальное макроскопическое сечение рассеяния, где s ( R, E ) - полное сечения рассеяния, f ( R, E,, E, ) dE d - вероятность того, что, если нейтрон с энергией E и направлением движения испытает рассеяние в точке R, то его энергия будет лежать в интервале dE около значения E, а направление движения – в телесном угле d около направления. На практике, как правило, сечения являются кусочно-постоянными функциями пространственной переменной R, правда, элементы постоянства этих величин в современных расчетных моделях могут быть очень малыми, а их число весьма велико.

Все вышеперечисленные макроскопические сечения материальных зон, из которых состоит моделируемая система, выражаются через микроскопические сечения отдельных “изотопов”, входящих в состав материалов. Под “изотопами”, как уже отмечалось, в расчетной практике принято понимать, как реальные изотопы элементов, так и природные смеси таких изотопов и даже некоторые фиктивные изотопы, использующиеся в различных методических целях. Например, “изотопами”, входящими в состав типичного топливного материала – диоксида урана, – будут реальные изотопы урана 234U, 235U, 236U, 238U, кислород, являющийся моноизотопом, природные смеси изотопов различных технологических примесей, а также (если топливо подвергалось облучению) нуклиды, соответствующие осколкам деления, или же, в зависимости от способа описания, обобщенные осколки – псевдоизотопы, использующиеся для эффективного, усредненного описания большого количества реальных осколков деления (ядерные константы псевдоизотопов получают путем усреднения ядерных констант реальных осколков с учетом их выходов при делении). Макроскопическое сечение какого-либо типа для данного материала вычисляется как сумма макроскопических сечений того же типа для всех, входящих в состав этого материала, “изотопов”. Например, полное макроскопическое сечение материала есть t i 1 t,i, где t,i i t,i - полное макроскопическое сечение “изотопа” с номером i (полное число изотопов равно I ), t,i - микроскопическое полное сечение этого изотопа, i 10 24 N A i / Ai - его атомная плотность, i - массовая плотность, Ai - атомный вес. Эти величины имеют следующие размерности:

i [г см-3]. Микроскопические сечения “изотопов” t и s, сами по себе, еще не представляют первичные данные. Так, полное сечение t выражается через парциальные сечения различных процессов (деления, радиационного захвата и других реакций захвата, упругого и неупругого рассеяния, реакций (n,2n), (n,3n) и т.д.): t f e in n, n, 2 n.... Точно также, дифференциальное микроскопическое сечение рассеяния s складывается из дифференциальных сечений упругого и неупругого рассеяния. Кроме того, с его помощью могут учитываться дифференциальные характеристики реакций (n,2n), (n,3n) и т.д.

Наряду с микроскопическими сечениями, массовыми или атомными плотностями различных “изотопов”, в качестве параметра в модели может присутствовать заданная функция плотности S ( R, E, ) внешнего (независимого) источника нейтронов, так, что величина S ( R, E, ) dRdEd представляет собой количество частиц, возникающих в единицу времени, в пространственном объеме dR около точки R, имеющих энергию, лежащую в интервале dE около значения E и движущихся внутри телесного угла d около направления.

С учетом всего вышесказанного, математическую модель переноса нейтронов в реакторных системах можно записать в следующей форме:

формально может меняться от нуля до бесконечности (в сложившейся практике нейтронно-физических расчетов обычно полагают 10 5 эВ E 20 МэВ ), а вектор лежит в элементе телесного угла 4. Символ M означает процедуру решения одной из форм уравнения переноса (их явный вид приведен в следующих разделах) при сделанных выше допущениях и соответствующих граничных условиях, задаваемых на внешней поверхности пространственной области V.

Данная математическая модель может модифицироваться, в зависимости от специальных потребностей. Например, ее можно уточнить, введя более подробное описание энергетического и углового распределения нейтронов деления, а также выделив процессы испускания мгновенных и запаздывающих нейтронов, первые из которых испускаются непосредственно в момент деления ядра, а вторые – с относительно большой задержкой осколками деления. Несколько иной вид модель принимает и при использовании многогруппового приближения [54], когда, как отмечалось выше, непрерывные зависимости нейтронных сечений заменяются кусочно-постоянными. В данном случае нейтронные сечения одного и того же “изотопа” для одного и того же интервала энергии приобретают зависимость от пространственной переменной:

где переменные R и меняются в тех же пределах, что и раньше, а область изменения энергии покрыта последовательностью из G групповых интервалов – энергетических групп, g 1,..., G. В модели также принято разложение угловой зависимости сечения рассеяния по полиномам Лежандра до N -го порядка включительно (в нейтронно-физических расчетах обычно принимается N 5 ).

Символ M по прежнему означает процедуру решения уравнения переноса, а символ C - процедуру нахождения проблемно-ориентированных микро-констант “изотопов”, учитывающих эффекты резонансной самоэкранировки сечений, по табличным значениям сечений, содержащихся в библиотеках многогрупповых нейтронных констант.

Многогрупповая математическая модель переноса нейтронов кажется более громоздкой. Однако, привлечение дополнительных приближений и расчетных заключающийся в решении уравнения переноса. Это уравнение для скольконибудь реальных, даже очень простых, задач может быть решено лишь численно.

Выбор между двумя формами уравнения определяется конкретным подходом к его решению. Например, большинство детерминистических подходов имеет дело с интегро-дифференциальной формой уравнения переноса, т.к. оно лучше поддается решению конечно-разностными методами. Напротив, метод Монте-Карло имеет дело с интегральной формой этого уравнения.

Через поток нейтронов выражаются все физические характеристики безопасности, сопровождении и т.п. Все эти характеристики являются функционалами потока нейтронов. За исключением нескольких величин, все важнейшие реакторные характеристики относятся к классу линейных функционалов вида где L - некоторый линейный оператор, или представляют собой отношения таких функционалов, т.е. являются дробно-линейными функционалами потока нейтронов:

где для сокращения записи интегрирование обозначается угловыми скобками с указанием переменной интегрирования справа внизу (это обозначение будет часто использоваться и в дальнейшем).

В частности, функционалами вида (4) являются важнейшие характеристики условно-критических и подкритических реакторных систем с внешними источниками нейтронов – эффективный коэффициент размножения k 0, коэффициенты источника k s и умножения. В данном случае, в качестве линейных операторов L и M выступают соответствующие операторы, входящие в определение уравнения Больцмана (см. ниже).

Важными частными случаями линейных и дробно-линейных функционалов являются функционалы типа скалярного произведения и их отношения:

где функции a (r, E, ) и b (r, E, ) считаются заданными. Часто эти функции выражаются через макроскопические сечения каких-либо нейтронно-физических процессов. Например, к набору линейных функционалов сводится распределение энерговыделения по каким-либо пространственным подобластям Vn, n 1,..., N в подкритической реакторной системе, в которой постоянный по времени поток нейтронов s поддерживается постоянным внешним источником нейтронов S :

где [Дж/дел] - энерговыделение в акте деления. В условно-критической реакторной системе, с учетом условия нормировки на мощность (в данном случае поток нейтронов 0, являясь решением однородного уравнения переноса, изначально имеет произвольную нормировку), такое распределение описывается набором дробно-линейных функционалов:

где P0 [Вт] - полная тепловая мощность системы. Другим характерным примером дробно-линейных функционалов являются коэффициенты воспроизводства ( КВ ) и конверсии ( КК ):

Pu, а поток нейтронов может представлять собой решение однородного условнокритического или неоднородного уравнения переноса. Оба эти коэффициента характеризуют отношение скоростей наработки и “сгорания” ядерного топлива.

Эти примеры можно было бы многократно продолжить.

Наряду с первейшей задачей расчета нейтронно-физических функционалов, во многих приложениях требуется знать влияние на их значения различных изменений входных параметров математической модели, которыми являются ядерные данные, материальные плотности и т.п. Такие влияния можно характеризовать частными производными от интересующих функционалов по указанным параметрам: J J /, K K /. Эти производные позволяют оценивать и конечные возмущения функционалов в предположении линейности отклика. Например, для J имеем:

где J и K представляют конечные изменения функционалов, связанные с конечным изменением входного параметра около своего невозмущенного значения.

Если отклики являются нелинейными, то их можно характеризовать, наряду с первыми, частными производными более высоких порядков: J 2 J / 2, K 2 K / 2, и использовать для их оценки степенные разложения. Например, для J имеем:

Для приближенной оценки производных и возмущений нейтронно-физических функционалов можно попытаться воспользоваться методом прямых пересчетов, когда численные значения параметров, один за другим, варьируются в определенных пределах, и при каждом таком варьировании производится полный цикл моделирования, включая самый трудоемкий этап – решение численными методами уравнение переноса нейтронов. В некоторых случаях, а именно, когда требуется варьировать лишь небольшое число параметров, такой подход, в принципе, применим. Однако, для таких важных с точки зрения практики задач, как подготовка данных для анализа точности расчета проектных характеристик реакторных систем, переноса результатов экспериментов на такие системы, анализа безопасности, такой подход оказывается абсолютно неприемлемым, так как становится чрезмерно высокой его вычислительная трудоемкость. Например, современные алгоритмы решения первых двух из указанных выше задач основаны на использовании коэффициентов чувствительности к ядерным и технологическим параметрам. Для иллюстрации трудоемкости метода прямых пересчетов оценим ориентировочное количество варьируемых параметров. Пусть в расчетной модели (под расчетной моделью здесь и далее подразумевается конкретная геометрическая конфигурация и набор материальных составов, приближенно представляющих реальный моделируемый объект) присутствует 50 “изотопов” и коэффициенты чувствительности нужно получить в представлении 50 энергетических интервалов для 5 типов нейтронных констант. Допустим, что время расчета одного варианта длится 5 минут. Тогда, для получения всего вектора чувствительностей потребуется более 40 суток расчетного времени. Рассмотренная ситуация является достаточно идеализированной. Так, количество энергетических интервалов может достигать нескольких сотен, времена расчета реальных моделей, использующихся в проектах, могут составлять от десятков минут до нескольких и, даже, многих часов. Так, что для формального обсчета всех вариантов могут потребоваться месяцы расчетного времени. Аналогичная ситуация будет наблюдаться и при определении использующихся в анализе безопасности коэффициентов реактивности – величин, выражающихся через производные от эффективного коэффициента размножения или, в зависимости от типа реакторной системы, коэффициента источника. В данном случае отсутствует необходимость получения энергетического спектра производных, однако, появляется необходимость получения их распределения по пространству. Помимо указанных сложностей, связанных с проведением массовых расчетов производных и возмущений по методу прямых пересчетов, существуют и другие сложности. В частности, при вычислении откликов на возмущения в достаточно локализованных (по энергетической или по пространственной переменной) областях фазового объема достигаемые за разумные времена расчетные точности могут быть неприемлемо низкими, особенно при использовании метода Монте-Карло (из-за присущих этому методу статистических погрешностей расчета), но и конечно-разностных методов тоже (из-за наличия проблем со сходимостью и устойчивостью счета). Выходом в таких ситуациях может являться значительное повышение величины возмущения того или иного параметра. Но, при этом возникает опасность выхода за пределы линейности отклика функционала на вносимое возмущение – предположение, существенное для корректной оценки первых производных.

Все вышесказанное послужило стимулом для развития специальных алгоритмов расчета производных и возмущений нейтронно-физических функционалов. Эти алгоритмы различны при использовании детерминистических методов решения уравнения переноса и метода Монте-Карло. В первом случае решение подобных задач, главным образом, основывается на результатах специально для этого разработанной теории возмущений. Во втором случае используются методы оценки производных и возмущений, специально приспособленные для метода Монте-Карло. Основными из них являются метод коррелированной выборки и метод дифференциального оператора, некоторые варианты которых носят комбинированный характер, т.к. используют отдельные результаты теории возмущений. Более подробно все эти вопросы будут рассмотрены в следующих разделах диссертации.

Большинство детерминистических методов решения уравнения переноса нейтронов имеют дело с его интегро-дифференциальной формой – уравнением Больцмана (большинство, но не все: например, метод вероятностей первых столкновений имеет дело с интегральной формой уравнения переноса). Запишем это уравнение для т.н. условно-критической задачи, когда распределение нейтронов соответствует протекающей в системе с постоянной скоростью самоподдерживающейся цепной реакции деления. Необходимым условием такой реакции является строгое равенство между установившимися скоростями возникновения новых нейтронов в процессе деления ядер и их исчезновения в процессах поглощения и безвозвратного выхода (утечки) за пределы системы. Отношение этих скоростей называется эффективным коэффициентом размножения данной системы:

Таким образом, условием самоподдерживающейся цепной реакции деления является строгое равенство k 0 1. В расчете, однако, для реально критических систем, из-за неизбежных методических, константных и технологических погрешностей этот коэффициент, как правило, отличается от единицы. Поэтому, в расчете реальная критическая система заменяется на условно-критическую, строгая критичность которой достигается уменьшением всех сечений генерации нейтронов (или, что эквивалентно) всех средних чисел вторичных нейтронов деления в k 0 раз.

Этот прием позволяет обеспечить наблюдаемую стационарность потока нейтронов в критической системе, причем, его влияние на функцию распределения потока нейтронов в системе, как показывает практика, оказывается несущественным.

Величина отличия расчетного значения коэффициента k 0 от единицы может характеризовать суммарную погрешность расчета, связанную с различными источниками неопределенности. Если руководствоваться соображениями баланса нейтронов в малых элементах фазового объема системы, можно прийти к следующему однородному стационарному интегро-дифференциальному уравнению [6, 8, 37]:

где - векторный оператор “набла”, / 4, а все остальные величины были определены в предыдущем разделе. Индекс “0” у величины потока нейтронов указывает, что он соответствует условно-критическому состоянию системы.

Уравнение (14) дополняется граничным условием на внешней поверхности системы. Граничные условия могут быть различными, в зависимости от специфики задачи. В полномасштабном моделировании чаще всего используется т.н. условие утечки:

где предполагается, что система ограничена выпуклой поверхностью (точки Rгр ) и поверхность извне.

Выше был сформулирован физический смысл эффективного коэффициента размножения. Из уравнения (14) виден и его математический смысл. Перепишем это уравнение в операторной форме:

где индекс “0” опущен по причине, которая будет понятна из последующего изложения, Уравнение (16) с математической точки зрения описывает задачу на собственные функции и собственные значения “оператора переноса” (оператор L обладает свойством обратимости). Известно, что эти уравнения имеют бесконечный спектр собственных чисел k n, n 0,...,, уменьшающихся с ростом n [2]. Максимальное собственное число k 0 совпадает с эффективным коэффициентом размножения, а соответствующая собственная функция 0 - с наблюдаемым потоком нейтронов (иногда физическая наблюдаемость потока ставится под сомнение, однако, с практической точки зрения это, без сомнения, имеет место, т.к., даже при заметных отклонениях расчетных значений коэффициента k 0 от единицы, распределение потока нейтронов и производных от него величин хорошо согласуются с результатами экспериментов на критических сборках и реакторах).

При построении конечно-разностной схемы решения уравнения (14) его предварительно преобразуют в форму, соответствующую многогрупповому приближению. Далее, правая часть этого уравнения, характеризующая приход нейтронов в “пучок” n( R, E, ), считается известной. Для источника рассеяния это будет соответствовать действительности, если начинать “проход” по энергетическим группам от больших энергий к меньшим, т.к. для большей части области энергий (для быстрого и промежуточного ее интервалов) нейтроны в процессе упругого и неупругого рассеяния замедляются, т.е. теряют энергию в процессе столкновений (исключение представляет т.н. область термализации, где энергия нейтронов становится сравнимой с энергией теплового движения атомов среды и, соответственно, нейтроны могут приобретать энергию). Источник деления, однако, заранее неопределен, в результате чего требуются итерации (т.н. внешние итерации) по этому источнику. Общепринятый алгоритм таких итераций следующий [8, 40, 52]:

где n и n 1 - номера соседних итераций, начальное приближение потока нейтронов выбирается произвольным. Можно доказать [2], что при сделанных выше предположениях данный алгоритм сходится именно к первому собственному числу уравнения (16), совпадающему с эффективным коэффициентом размножения: lim k 0( n ) k 0, и к соответствующей собственной функции, совпадающей с потоком нейтронов: lim (0n ) 0. Скорость сходимости итерационного процесса в значительной степени зависит от т.н. доминантного отношения k1 / k0 - отношения двух первых собственных чисел уравнения (15) [2, 52]. Величину, можно вычислять, например, таким образом [5, 101]:

Проблемы со сходимостью возникают, когда эта величина слабо отличается от единицы, что на практике реализуется при расчете физически очень больших, т.н. слабо-связанных систем (примером может служить активная зона реактора РБМК или хранилище отработавшего топлива). Однако, в большинстве случаев итерационная схема (18) работает хорошо и в ускорении не нуждается (реакторы проектируются, в том числе, исходя из требования устойчивости нейтронного поля, откуда и возникает достаточная “разнесенность” двух первых собственных чисел).

Область применения уравнения (14) – задачи, связанные с определением нейтронно-физических характеристик, соответствующих рабочим режимам ядерных реакторов и критических сборок, а также задачи ядерной безопасности установок внешнего и внутреннего топливного цикла. Все эти задачи объединяет то, что в них интересуются возможностью возникновения и развития самоподдерживающейся цепной реакции деления и характеристиками реакторных систем в состоянии, когда имеет место такая реакция. В практике нейтронно-физического расчета имеют дело и с задачами другого рода, когда система является заведомо подкритической, а постоянный по времени уровень потока нейтронов поддерживается работой внешнего (независимого, т.е. никак не связанного с внутренними нейтронно-физическими процессами, происходящими в системе) источника нейтронов. Такие задачи соответствуют рабочим режимам подкритических сборок и электроядерных реакторов, а также пусковым и стояночным режимам ядерных реакторов. В данном случае поток нейтронов s ( R, E, ) удовлетворяет неоднородному уравнению переноса:

с граничным условием В операторной форме оно запишется так:

где S – распределение внешнего источника нейтронов.

Алгоритмы решения уравнения (22) с заданной правой частью не отличаются от соответствующих алгоритмов решения условно-критической задачи.

Для итераций же по источнику деления чаще всего используется простейшая схема [8, 74]:

где в качества начального приближения потока нейтронов обычно принимают Скорость сходимости итерационного процесса (23) существенно зависит от близости коэффициента k 0 к единице. Действительно, откуда Следовательно, С другой стороны, согласно (18), если положить (00 ) (s0 ), то можно записать:

Как было отмечено, для большинства практических задач итерационный процесс (18) достаточно быстро сходится. Поэтому, предполагая что практическая сходимость этого процесса достигается к l -й итерации ( l m ), т.е., начиная с этой итерации, (0n ) 0, k 0( n ) k 0, имеем:

и, следовательно, итерационный процесс сходится линейно со скоростью k0 [60]:

Таким образом, понятно, что при близости коэффициента k0 к единице метод простой итерации сходится весьма, часто неприемлемо, медленно, а большинство практических случаев как раз и характеризуются близкими к единице (0.95-0.999) значениями величины k0.

В связи с проблемой сходимости итерационного процесса (23) предложен ряд альтернативных расчетных схем [62, 63, 74, 75, 80, 127]. Автором диссертации предложена одна из таких схем [75], отличительной особенностью которой является то, что она очень удобна при расчетах по методу Монте-Карло (соответствующий алгоритм описан в главе 4). Более того, ее использование является ключевым элементом разработанного автором алгоритма расчета производных и возмущений линейных функционалов потока нейтронов, являющегося решением уравнения (22). Идея этой схемы заключается в нормировании априори искомого решения уравнения (22) и в одновременном поиске в ходе итерационного процесса форм-функции этого решения и нормировки независимой правой части уравнения.

Ниже приведен соответствующий итерационный алгоритм:

где S 0 S / S x, т.е. S 0 x 1, а величина k s совпадает с т.н. коэффициентом источника, который является важной нейтронно-физической характеристик подкритических реакторных систем с внешним источником нейтронов. Этот коэффициент дает долю нейтронов деления среди всех рождающихся нейтронов:

где (1 k s ) 1 - т.н. коэффициент умножения, являющийся характеристикой указанных систем (в частности, на анализе поведения этой величины основан метод обратного умножения, применяемый при наборе критической массы) и дающий интенсивность генерации нейтронов на один нейтрон внешнего источника.

Теоретический анализ алгоритма (24) дан в работе [80]. Этот алгоритм оказывается работоспособным для большинства задач, имеющих практическую важность для реакторной физики. Из опыта известно, что эффективность алгоритма примерно совпадает с эффективностью итерационной схемы (18), используемой при решении условно-критической задачи для той же системы. Между прочим, данный алгоритм сохраняет свою работоспособность и при k0 1, когда он сводится просто к схеме (18) решения условно-критической (в данном случае, строго критической) задачи, а также при k 0 1, хотя этот случай не имеет очевидной физической интерпретации, т.к. соответствует наличию независимых стоков частиц.

Ниже приведены результаты решения тестовой задачи, показывающие преимущества алгоритма (24) по сравнению с алгоритмом (23). Рассматривается международный расчетный бенчмарк, представляющий собой упрощенную модель электроядерного реактора, управляемого линейным ускорителем протонов. Пучок ускоренных протонов из ускорителя падает на свинцовую мишень, в результате чего образуются нейтроны, умножающиеся затем подкритическим бланкетом. R-Z картограмма расчетной модели показана на рисунке 1. Область источника нейтронов обозначена на рисунке звездочкой (энергетический спектр источника по форме близок к спектру деления среды, но средняя его энергия лежит несколько выше).

Состав физических зон расчетной модели: 1 – Зоны 1 и 2 различаются содержанием 233U (зоны профилирования).

Было рассмотрено три случая, характеризующиеся различными значениями эффективного коэффициента размножения: k 0 0.94, k 0 0.96 и k 0 0.98 (уровень подкритичности изменялся путем изменения содержания урана в уран-ториевой смеси).

Расчеты проводились по разработанной автором диффузионной программе RADAR [129] в приближении 26 энергетических групп БНАБ [15] (наиболее известная российская система многогрупповых констант для расчета реакторов и защиты, названа по имени своих создателей – И.И. Бондаренко, М.Н. Николаева, Л.П. Абагян и Н.О. Базазянц; за рубежом известна как ABBN). В программе RADAR решаются многогрупповые уравнения диффузии нейтронов, которые во многих случаях являются достаточно неплохим приближением уравнения переноса. Эти уравнения имеют вид:

tr tg sg s - транспортное сечение, sg лабораторной системе, cfd c gf h g 1 sg h - т.н. сечение увода из группы g за счет процессов захвата, деления и замедления, - параметр, определяющий тип граничного условия (на левой и нижней границах расчетной модели 0 - т.н.

условие отражения, выражающее симметрию решения относительно указанных границ, на правой и верхней границах расчетной модели 0.94, что соответствует занулению потока на расстоянии 0.71 / tr снаружи от границы.

В таблице 1 для трех указанных выше случаев подкритичности приведены характеристики процессов численного решения неоднородного уравнения (26) по схемам (23) и (24) и соответствующего однородного уравнения (которое отличается от (26) тем, что в нем отсутствует член источника S g (R), а перед источником деления имеется множитель k 01 ) по схеме (18). На рисунках 2-3 для случая k 0 0.98 показаны радиальные распределения при z 0 (центр активной зоны по высоте) суммарного по группам потока нейтронов при различных числах внешних итераций.

Примечание. N1 - число внешних итераций (итераций по источнику деления); N 2 - число внутренних итераций (при решении конечно-разностных уравнений диффузии).

Рисунок 2. Ход итерационного процесса по схеме (23): 1-6 – числа Рисунок 3. Ход итерационного процесса по схеме (24): 1-6 – числа Из приведенных результатов видно, что при использовании схемы (24) число итераций по источнику деления примерно равно числу итераций при решении условно-критической задачи. Видно, что это число практически не зависит от уровня подкритичности системы. В качестве критерия сходимости внешних и внутренних итераций использовалось условие, согласно которому относительное изменение потока нейтронов в каждой энергетической группе и в каждом расчетном узле должно быть меньше 10-5.

1.2.2 Формулы теории возмущений для различных типов Как было сказано выше, при использовании детерминистических методов решения уравнения переноса нейтронов, массовые расчеты производных и возмущений основываются на использовании результатов теории возмущений. Эта теория строится с помощью сопряженных уравнений переноса, играющих, таким образом, важную роль в теории реакторов. Помимо этого, сопряженные уравнения переноса приходится решать при определении нескольких очень важных нейтронно-физических характеристик, являющихся билинейными функционалами решений прямого и сопряженного потоков нейтронов.

Решения сопряженных уравнений переноса имеют смысл ценностей нейтронов относительно различных функционалов. Эти уравнения могут быть выведены из физических соображений на основе закона сохранения ценности, согласно которому суммарная ценность потомков некоторого нейтрона равна исходной ценности этого нейтрона. Анализ уравнений для ценностей нейтронов показывает, что они являются сопряженными в математическом смысле по отношению к соответствующим уравнениям для потока нейтронов. Разумеется, можно было бы подойти к задаче и с другой стороны и выводить сопряженные уравнения чисто формальным путем [1], исходя из условия сопряженности (так и делалось до выхода в свет работы [2]). Но, при этом теряется их физический смысл, который имеет важное познавательное и практическое значение: в частности, на основе физической интерпретации функции ценности строятся некоторые расчетные алгоритмы (например, метод Усачева-Гурвица [16] получения случайных оценок сопряженной функции методом Монте-Карло в прямых блужданиях).

В данном разделе рассмотрены три типа сопряженных уравнений, на основе которых строятся наиболее употребительные варианты теории возмущений.

Первые два из них связаны с условно-критической задачей, а третий – с задачей о подкритическом реакторе с внешним источником нейтронов.

1) Теория возмущений для эффективного коэффициента размножения и эффективные параметры нейтронной кинетики [2, 19, 34] Данный вариант теории возмущений для анализа реакторных систем возник первым и иногда называется обычной теорией возмущений. Этот термин используется и в данной работе (в частности, он фигурирует в ее названии). Обычная теория возмущений строится на основе условно-критического сопряженного уравнения переноса (в основе которого лежит закон сохранения ценности) вида:

с граничным условием где, по прежнему, считается, что система ограничена выпуклой поверхностью (точки Rгр ) и окружена пустотой, а наруж есть любое направление, пересекающее эту границу изнутри.

В операторной форме уравнение (28) можно записать так:

и выполняются условия сопряженности по Лагранжу [8]:, L x, L x, которых действуют соответствующие операторы, причем, предполагается, что операторы и системы функций являются вещественными.

Решение уравнения (27) – сопряженный поток нейтронов – в данном случае имеет ясный физический смысл. Он представляет собой ценность нейтронов по отношению к асимптотической мощности. Это значит, что, при впускании в различные фазовые точки условно-критического реактора нейтронов уровень асимптотической нейтронной мощности будет устанавливаться пропорционально ценности нейтронов в этих точках:

Рассмотрим некоторую условно-критическую систему, в которой строго критическое состояние достигнуто уменьшением всех сечений генерации нейтронов в k 0 раз. Пусть свойства системы, выражаемые параметрами модели (1), претерпели некоторое изменение. При этом операторы L и B переходят в операторы L L L и B B B, в результате чего изменяется решение Если теперь умножить уравнение (31) на 0, а уравнение (29) – на 0, проинтегрировать получившиеся соотношения по всем переменным и вычесть их одно из другого, то, используя условия сопряженности, можно получить такую формулу для вариации k 0, связанной с вариацией операторов L и B :

Если в (32) приближенно заменить возмущенный поток на невозмущенный, в знаменателе заменить B на B и расписать оператор L, то получим следующую формулу теории возмущений первого порядка для расчета малых возмущений [2]:

где M - оператор рассеяния: