WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

Pages:     || 2 |

«КОСТЛЯВЫЕ АТТРАКТОРЫ И МАГИЧЕСКИЕ БИЛЬЯРДЫ ...»

-- [ Страница 1 ] --

Московский Государственный Университет имени М. В. Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи

УДК 517

Кудряшов Юрий Георгиевич

КОСТЛЯВЫЕ АТТРАКТОРЫ

И МАГИЧЕСКИЕ БИЛЬЯРДЫ

01.01.02 — Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2011 Содержание Введение 4 1 Костистые аттракторы 13 1.1 Введение 1.2 Определения и обозначения 1.2.1 Устойчивость неподвижных точек и инвариантных множеств 1.2.2 Аттрактор динамической системы. Определения и примеры 1.2.2.1 Максимальный аттрактор 1.2.2.2 Аттрактор Милнора 1.2.3 Сдвиг Бернулли и сдвиг Маркова 1.2.4 Косые произведения 1.2.4.1 Определение косого произведения 1.2.4.2 Примеры косых произведений 1.2.4.3 Ступенчатые и мягкие косые произведения 1.2.4.4 Обозначения 1.2.5 Хаусдорфова размерность и лемма Фальконера 1.3 Описание стратегии Городецкого--Ильяшенко--Негута 1.3.1 От случайных систем к ступенчатым косым произведениям 1.3.2 Гладкая реализация 1.3.2.1 Подкова Смейла 1.3.2.2 Отображение соленоида 1.3.2.3 Диффеоморфизм Аносова 1.3.3 Возмущения: от косых произведений к диффеоморфизмам общего вида 1.3.4 Краткое описание стратегии 1.4 Краткий обзор результатов, полученных при помощи стратегии 1.5 Пример в классе ступенчатых косых произведений 1.5.1 Определение костистого аттрактора для косых произведений 1.5.2 Пример 1.5.3 Наличие костей 1.5.4 Хаусдорфова размерность и мера 1.5.5 Плотность графика 1.5.6 Совпадение аттракторов 1.6 Возмущения в классе ступенчатых косых произведений 1.6.1 Открытое множество примеров 1.6.2 Наличие костей 1.6.3 Хаусдорфова размерность и мера 1.6.4 Отсутствие полых костей 1.7 Пример в классе гладких отображений 1.8 Возмущение в классе мягких косых произведений 1.8.1 Технические леммы 1.8.2 Наличие костей 1.8.3 Хаусдорфова размерность и мера 1.8.4 Плотность графика 1.8.5 Совпадение аттракторов 1.9 Открытое множество примеров в классе диффеоморфизмов 1.9.1 От отрезка к окружности 2 Бильярды 2.1 Введение 2.1.1 Основные результаты 2.1.2 От гипотезы Вейля к гипотезе Иврия 2.2 Сведение к аналитическому случаю 2.2.1 Идея доказательства 2.2.2 Формальное доказательство теоремы 2.1.3 2.3 Аналитический случай 2.3.1 Основные обозначения 2.3.2 Доказательство теоремы 2.1.4 2.3.3 Существование пределов 2.3.4 Случай двух особых точек 2.3.5 Случай касания 2.3.6 Совпадение пределов 2.4 Случай произвольного числа вершин Введение Диссертация посвящена изучению динамических систем. Динамические системы возникают естественным образом как математические модели процессов, происходящих в реальном мире. Различают два вида динамических систем: динамические системы с непрерывным временем, задающиеся дифференциальными уравнениями, и динамические системы с дискретным временем, которые задаются отображением перехода от состояния системы в настоящий момент времени к её состоянию через фиксированный период времени.

Для системы с непрерывным временем можно рассмотреть семейство отображений, переводящих состояние системы в настоящий момент в её состояние через секунд, а для системы с дискретным временем, заданной отображением, — семейство отображений.

В некоторых особенно простых случаях уравнения, описывающие динамическую систему, удаётся решить в явном виде, то есть получить явную формулу для или. В этом случае свойства решений можно изучать, исходя из полученных формул.

В силу теоремы существования и единственности решения задачи Коши, решение дифференциального уравнения существует и единственно и для более сложных систем. Однако, для этого решения почти никогда не существует явной формулы — выражения, содержащего только элементарные функции и знаки интеграла. Один из первых подобных примеров привел Лиувилль: решения уравнения = 2 нельзя записать в явном виде.

Но даже если нельзя выписать формулу для решения уравнения, можно выяснить некоторые свойства динамической системы — это и есть задача качественной теории динамических систем.

Вот несколько вопросов, касающихся динамических систем, на которые иногда получается ответить, не зная решений соответствующего уравнения.

• Сколько у системы положений равновесия и периодических орбит?

• Для каких подмножеств фазового пространства множество точек, притягивающихся к этому подмножеству, достаточно велико?

• Что произойдет с траекторией динамической системы, если слегка изменить начальные условия?

• Что произойдет с фазовым портретом динамической системы (то есть с разбиением фазового пространства на траектории системы), если немного изменить законы движения системы?

Диссертация состоит из двух частей. Первая часть диссертации (глава «Костистые аттракторы») касается аттракторов динамических систем. Рассмотрим динамическую систему с дискретным временем, заданную отображением. Неформально говоря, замкнутое подмножество фазового пространства называется аттрактором динамической системы, если • образы достаточно большого подмножества фазового пространства под действием итеративных степеней отображения стремятся к, когда стремится к бесконечности;

• — наименьшее по включению инвариантное множество, к которому притягивается это подмножество фазового пространства.



Есть несколько формализаций понятия аттрактора. Некоторые из них приведены в пункте 1.2.2 «Аттрактор динамической системы. Определения и... ».

Какой может быть геометрическая структура аттрактора динамической системы? В самых простых случаях аттрактор является дискретным множеством (или даже одной точкой — например, для отображения /2). Хорошо известны примеры, когда аттрактор локально представляет собой гладкое многообразие (например, для прямого произведения диффеморфизма Аносова и сжимающего отображения), канторово множество (например, соленоид Смейла – Вильямса) или канторову книжку (например, аттрактор Лоренца).

Мы построим открытое множество диффеоморфизмов 3 3 трёхмерного тора 3 в себя, обладающих следующими свойствами. Прежде всего, каждый диффеоморфизм из этого множества обладает инвариантным слоением фазового пространства 3 на окружности. Далее, имеет единственный аттрактор, и этот аттрактор пересекает большинство слоев по одной точке (эту часть аттрактора мы будем называть графиком), а остальные слои — по кривой (по кости). В этих свойствах пока что не содержится ничего нового. Более интересное свойство этого аттрактора состоит в том, что множество костей довольно велико, но не слишком велико. Точнее, выполнены следующие условия 1.

• И график, и объединение костей плотны в аттракторе.

• Множество костей несчётно.

• Мера аттрактора равна нулю (а значит, множество костей не слишком большое).

Опишем пример динамической системы, имеющей костлявый аттрактор.

Фазовое пространство этой системы будет не многообразием, а прямым произведением двух канторовых множеств и отрезка = [0, 1].

Формально говоря, динамическая система на не может иметь костлявого аттрактора в смысле того определения, которое мы привели выше.

Однако, наше отображение будет сохранять разбиение фазового пространства на отрезки {pt1 } {pt2 } и будет удовлетворять определению костлявого аттрактора, если в этом определении заменить инвариантное слоение тора слоением {pt1 } {pt2 }.

Рассмотрим пространство 3 двусторонних последовательностей символов 0, 1, 2:

Введём на пространстве 3 -адическую топологию: последовательности и будем считать близкими, если они совпадают на отрезке [, ] для большого, то есть для большого значения равенство = выполнено для всех, ||. Несложно проверить, что пространство 3 есть прямое произведение двух канторовых множеств: множества 3 всех правых хвостов 0 1 … … и множества всех левых хвостов … …2 1.

В нашем примере фазовым пространством является прямое произведение, а отображение задано следующим образом:

1 Подробнее см. определение 1.1.1 на странице 13.

где 3 3 — сдвиг Бернулли, () = +1, а отображения, = 0, 1, 2 задаются формулами Графики отображений изображены на рисунке 1 (a). Аттрактор соответствующей динамической системы приближенно изображен на рисунке 1 (b). Второй рисунок получен с помощью скрипта на языке программирования Ruby, который вычислил образы фазового пространства под действием отображения 8. На втором рисунке горизонтальная ось соответствует пространству 3 всевозможных последовательностей … …2 1, бесконечных влево, а вертикальная ось соответствует отрезку. На рисунке не изображена еще одна координата, параметризующая всевозможные значения последовательности 0, 1, …, бесконечной вправо; дело в том, что пересечение аттрактора со слоем {} не зависит от, 0. Таким образом, аттрактор — это прямое произведение нашего рисунка на канторовское множество.

Чтобы наглядно показать разницу между костлявыми и некостлявыми аттракторами, на рисунке 1 (c) мы приближенно изобразили аттрактор (вернее, снова фактор-множество аттрактора по пространству 2 ) другой динамической системы, построенной по отображениям 0 и 1 таким же образом, как отображение было построено по отображениям 0, 1 и 2 (см. (1)).

В главе 1 доказано, что приведенное отображение имеет костлявый аттрактор 2. Далее мы действуем в соответствии со стратегией, предложенной Ю.

С. Ильяшенко и А. С. Городецким [19 и 20] и развитой Ю. С. Ильяшенко и А.

Негутом [9], и получаем открытое множество 2 -гладких диффеоморфизмов тора 3, имеющих костлявый аттрактор.

Доказательство основано на двух важных наблюдениях.

2 Формальное определение костлявого аттрактора для таких отображений можно найти в параграфе 1.5 «Пример в классе ступенчатых косых произведений».

Рисунок 1 Графики отображений (1), костлявый аттрактор и (тонкий) некостлявый аттрактор • Марковское разбиение для диффеоморфизмов Аносова двумерного тора 2 позволяет переходить от автоморфизмов пространства 1 к диффеоморфизмам тора 3 определенного типа («косые произведения», см.

пункт 1.2.4).

• Стратегия Городецкого--Ильяшенко--Негута позволяет переходить от косых произведений к открытым множествам в пространстве 2 -гладких диффеоморфизмов. Эта стратегия основана на теореме M. W. Hirsch, C. C. Pugh и M. Shub [6, Теорема 6.8] и усиленных вариантах этой теоремы, полученных А. Городецким, Ю. С. Ильяшенко и А. Негутом [9 и 20].

В главе 2 «Бильярды» мы изучаем периодические орбиты в плоских бильярдах.

Математический бильярд — это математическая модель, описывающая движение частицы (идеального шара нулевого радиуса) на бильярдном столе; при этом граница бильярдного стола не обязательно должна быть многоугольником. Шар движется с постоянной скоростью внутри бильярдного стола, и отражается от границ бильярдного стола по обычному правилу (угол падения равен углу отражения).

Зачем нужно изучать такие динамические системы? По многим причинам;

мы приведем три из них.

Прежде всего, бильярды возникают как математические модели во многих физических задачах. Например, если область — внутренность зеркальной комнаты (пол, стены и потолок которой — зеркала), луч света будет двигаться по бильярдной траектории в области. Еще одна известная модель, в которой возникают математические бильярды, — модель Больцмана идеального газа.

Оказывается, что движение шаров, которые упруго соударяются друг с другом, можно описать с помощью бильярдной траектории в некоторой области пространства 3.

Далее, изучать свойства динамической системы (например, эргодичность или свойства перемешивания) проще в специальных классах динамических систем, чем в общей ситуации.

Наконец, бильярдный поток — естественный аналог геодезического потока, и в некоторых случаях периодические орбиты бильярда играют ту же роль, что замкнутые геодезические. В частности, так происходит в спектральной теории оператора Лапласа =. J. J. Duistermaat и V. Guillemin [4] обнаружили связь между свойствами множества замкнутых геодезических на римановом многообразии без края и асимптотическим поведением собственных значений задачи Дирихле для оператора Лапласа. Позже В. Я. Иврий показал, что в случае многообразия с краем множество замкнутых геодезических надо заменить на множество периодических траекторий бильярда.

Таким образом, оказывается, что асимптотика собственных значений лапласиана (то есть количество гармоник высокой частоты у барабана заданной формы) связана с периодическими траекториями соответствующего бильярда. Так как для основного текста этой диссертации результат В. Я. Иврия не понадобится, мы сформулируем только частный случай теоремы В. Я. Иврия, касающийся оператора Лапласа в области. История появления теоремы и её формулировка приведены в следующих абзацах петитом.

Пусть — область в с кусочно гладкой границей достаточно высокой гладкости. Рассмотрим задачу Дирихле для оператора Лапласа в этой области:

В 1911 Г. Вейль доказал, что для количества () собственных значений, не превосходящих 2, выполнена следующая асимптотическая формула:

где 0 = 0 () — известная геометрическая константа.

Он также предположил, что где 1 = 1 () — известная константа, а Vol1 — это ( 1)-мерный объём.

В 1975 J. J. Duistermaat и V. Guillemin [4] доказали гипотезу Вейля для многообразий без края 3, удовлетворяющих следующему геометрическому условию: мера множества замкнутых геодезических равна нулю.

В 1980 В. Я. Иврий [21] обобщил этот результат на случай многообразий с краем. Оказывается, в этом случае роль замкнутых геодезических играют замкнутые бильярдные траектории соответствующего бильярда. Точнее, В. Я. Иврий доказал гипотезу Г. Вейля для многообразий с краем, удовлетворяющих некоторому геометрическому условию. В случае области условие заключалось в том, что множество периодических орбит соответствующего бильярда имеет меру нуль.

Затем В. Я. Иврий сформулировал следующую гипотезу.

Гипотеза 1 (В. Я. Иврий, 1980) Для любой области, граница которой -гладкая, множество периодических орбит соответствующего бильярда имеет меру нуль.

Когда В. Я. Иврий сформулировал эту гипотезу на семинаре Синая, участники семинара считали, что гипотеза будет доказана через несколько дней; затем — что через несколько недель или несколько месяцев… Вопрос остается открытым уже 30 лет!

В главе 2 «Бильярды» приведено доказательство частного случая гипотезы Иврия. Точнее, в этой главе показано, что для любой области 2 с (кусочно) гладкой границей достаточной гладкости множество периодических четырёхугольных орбит имеет меру нуль.

3 Выше мы сформулировали гипотезу Вейля только для областей в, но на самом деле Г. Вейль формулировал её для любых римановых многообразий. В этом случае объёмы в формулировке гипотезы надо заменить на интегралы некоторых функций, зависящих от метрики.

Доказательство проходит в два этапа: в параграфе 2.2 показано, что утверждение гипотезы Иврия достаточно доказать для бильярдов с кусочно-аналитической границей (теорема 2.1.3), а в параграфе 2.3 показано, что не существует бильярда на плоскости с кусочно-аналитической границей, для которого множество четырёхугольных периодических орбит имеет меру нуль (теорема 2.1.4).

Первый из этих результатов получен автором самостоятельно, а второй — в соавторстве с А. А. Глуцюком (ENS Lyon).

Сведение гипотезы В. Я. Иврия к случаю бильярда с кусочно-аналитической границей основано на теории пфаффовых систем. Ключевую роль в доказательстве теоремы 2.1.3 играет теорема Картана--Рашевского--Кураниси о бесконечной серии продолжений пфаффовой системы.

Основная идея доказательства второго результата — изучить границу множества четырехугольных периодических траекторий. Оказывается, что точка общего положения на этой границе соответствует «вырожденной» периодической траектории. Мы рассматриваем всевозможные типы вырождений, и показываем, что для каждого типа вырождения множество соответствующих точек на границе не более чем счётно. Но множество точек границы равномощно вещественной прямой, и полученное противоречие завершает доказательство теоремы.

Я искренне благодарен моему научному руководителю профессору Юлию Сергеевичу Ильяшенко за постановку задачи, полезные обсуждения и постоянную поддержку во время моего обучения в аспирантуре. Я глубоко благодарен моему научному соруководителю академику Французской Академии Наук ведущему научному сотруднику Высшей Нормальной Школы Лиона Этьену Жису (tienne Ghys, UMPA NS Lyon) за полезные обсуждения и критику предварительного текста диссертации.

Я также признателен кандидату физико-математических наук Виктору Алексеевичу Клепцыну, который оказал огромное влияние на мой выбор научного руководителя и помогает мне до сих пор. Я благодарю моего соавтора кандидата физико-математических наук сотрудника CNRS (ENS Lyon) Алексея Антоновича Глуцюка за плодотворное сотрудничество. Огромное спасибо моей жене Наталии Борисовне Гончарук за терпение и помощь в подготовке текста диссертации.

1 Костистые аттракторы 1.1 Введение Эта глава диссертации посвящена исследованию возможной геометрической структуры аттрактора типичной динамической системы. Основным результатом этой главы является построение открытого множества динамических систем на трёхмерном торе, аттрактор Милнора каждой из которых имеет новый тип геометрической структуры — является костистым.

Неформальное описание понятия костистого аттрактора и иллюстрирующий это понятие рисунок можно найти во введении к диссертации на странице 8. Приведём формальное определение.

Определение 1.1.1 Пусть — компактное многообразие. Будем говорить, что непрерывное отображение имеет костистый аттрактор, если существует -инвариантное слоение с гладкими одномерными компактными слоями, для которого выполнены следующие условия.

1. Каждый слой инвариантного слоения либо не пересекает аттрактор Милнора (см. определение 1.2.7), либо пересекает по одной точке, либо пересекает по кривой (кости).

2. Объединение костей плотно в аттракторе Милнора, и множество костей равномощно.

3. Пусть — насыщение аттрактора Милнора слоями инвариантного слоения. Тогда хаусдорфова размерность dim аттрактора Милнора строго меньше хаусдорфовой размерности множества.

Дополнение к объединению костей в аттракторе Милнора будем называть графиком.

Второе условие означает, что множество костей достаточно большое, а последнее условие — что это множество не слишком большое.

Определение 1.1.2 Будем говорить, что непрерывное отображение имеет костистый аттрактор без полых костей, если отображение имеет костистый аттрактор и выполнены следующие два дополнительных условия.

1. График плотен в аттракторе Милнора: Cl =.

2. Аттрактор Милнора асимптотически устойчив.

Главным результатом этой главы диссертации является следующая теорема.

Теорема 1.1.3 Существует непустое открытое подмножество пространства 2 -гладких диффеоморфизмов трёхмерного тора, такое что каждый из диффеоморфизмов этого множества имеет костистый аттрактор без полых костей.

Доказательство будет проводиться в рамках стратегии Городецкого--Ильяшенко--Негута, описанию которой посвящён параграф 1.3. Перед этим в параграфе 1.2 мы напомним некоторые определения и классические результаты из теории динамических систем, а также введём используемые в этой главе обозначения. В параграфе 1.4 мы перечислим некоторые результаты, полученные другими авторами в рамках стратегии Городецкого--Ильяшенко--Негута.

В параграфе 1.5 построен один пример отображения, имеющего костистый аттрактор без полых костей. В соответствии со стратегией Городецкого--Ильяшенко--Негута, пример строится в пространстве случайных динамических систем на отрезке, или, что то же самое, в пространстве ступенчатых косых произведений со слоем отрезок над сдвигом Бернулли (левым сдвигом в пространстве последовательностей). При этом приходится немного модифицировать определение 1.1.1, чтобы оно стало применимо к динамическим системам Далее в параграфе 1.6 свойства построенного в предыдущем параграфе отображения распространены на открытое множество в пространстве ступенчатых косых произведений над сдвигом Маркова.

В параграфе 1.7 описана гладкая реализация исходного примера, то есть гладкое косое произведение, аттрактор которого имеет ту же структуру, что и аттрактор исходного косого произведения. В целях упрощения конструкции в этом параграфе пример приводится в классе косых произведений над соленоидом Смейла--Вильямса.

В последних двух параграфах происходит переход от ступенчатых косых произведений к гёльдеровым (параграф 1.8), а затем к диффеоморфизмам общего вида (параграф 1.9). При этом второй переход напрямую следует из теорем Городецкого--Ильяшенко и Ильяшенко--Негута, а большинство технических трудностей приходится преодолевать в параграфе 1.8. В результате получается построить косое произведение со слоем окружность над диффеоморфизмом Аносова двумерного тора, такое что любой близкий к этому косому произведению диффеоморфизм трёхмерного тора имеет костистый аттрактор без полых костей.

1.2 Определения и обозначения 1.2.1 Устойчивость неподвижных точек и инвариантных множеств Следующее понятие было введено Ляпуновым в работе [24].

Определение 1.2.1 Пусть — непрерывное отображение метрического пространства в себя. Неподвижная точка, = называется устойчивой по Ляпунову, если для сколь угодно малой окрестности существует меньшая окрестность,, такая что траектории, начинающиеся в, никогда не покидают. Другими словами, Рассмотрим отображения, изображённые на рисунке 1.1. У северо--южного отображения (см. рис. 1.1 (a)) есть две неподвижные точки: неустойчивый северный полюс и устойчивый южный полюс. У каждого из отображений, изображённых на рисунках 1.1 (b)–(f), есть ровно одна неподвижная точка — начало координат. Эта точка устойчива по Ляпунову для отображений на рисунках 1.1 (b) и (c) и неустойчива по Ляпунову для отображений на рисунках 1.1 (d)–(f).

Рисунок 1.1 Примеры устойчивый и неустойчивых неподвижных точек Хотя начало координат устойчиво по Ляпунову и для центра (рис. 1.1 (b)), и для устойчивого фокуса (рис. 1.1 (c)), эти отображения ведут себя вблизи начала координат совершенно по-разному. Это различие мотивирует следующее определение.

Определение 1.2.2 Устойчивая по Ляпунову неподвижная точка отображения называется асимптотически устойчивой, если все орбиты, начинающиеся в достаточно малой окрестности точки, стремятся к :

Замечание 1.2.3 В предыдущем определении требование устойчивости по Ляпунову нельзя опустить. Действительно, рассмотрим преобразования потока векторного поля = 2 на сфере Римана (см. рисунок 1.1 (f)). Все траектории этого отображения стремятся к началу координат, но начало координат неустойчиво по Ляпунову.

Вместо неподвижной точки можно рассматривать произвольное инвариантное множество.

Определение 1.2.4 Пусть — непрерывное отображение метрического пространства в себя. Инвариантное подмножество, () = называется устойчивым по Ляпунову, если для сколь угодно малой окрестности существует меньшая окрестность,, такая что траектории, начинающиеся в, никогда не покидают. Другими словами, 1.2.2 Аттрактор динамической системы. Определения и примеры Пусть — динамическая система с дискретным временем, то есть отображение полного метрического пространства в себя,. Неформально говоря, аттрактор отображения — это замкнутое множество, притягивающее достаточно много орбит отображения. У этого понятия есть несколько различных формализаций. Мы приведём две из них.

1.2.2.1 Максимальный аттрактор Напомним сначала, что область называется поглощающей областью отображения, если (), то есть содержит замыкание образа (), и это замыкание компактно.

Определение 1.2.5 Пусть — отображение полного метрического пространства в себя. Пусть — поглощающая область отображения. Максимальный аттрактор ограничения | — это пересечение всех образов области при итерациях 4 отображения :

Этот аттрактор называется максимальным, потому что он притягивает все точки поглощающей области.

Заметим, что понятие максимального аттрактора зависит от поглощающей области. Например, рассмотрим отображение, задаваемое в полярных координатах формулой Ограничение этого отображения на единичную окружность — северо-южное отображение, изображённое на рисунке 1.1 (a). Приведём некоторые поглощающие области и соответствующие им максимальные аттракторы.

Таблица 1.1 Поглощающие области и соответствующие максимальные аттракторы северо-южного отображения (1.2) 4 Здесь и далее — -я итерационная степень степень отображения.

Как выбрать, который из этих аттрактор изучать? Один из возможных ответов на этот вопрос приведён в следующем подпункте.

1.2.2.2 Аттрактор Милнора Представьте себе, что мы исследуем предельное поведение системы (1.2) при помощи следующего компьютерного эксперимента. Мы выбираем случайную точку, вычисляем её образы при большом количестве итераций отображения, рисуем черные кружочки с центрами в этих образах и смотрим на получившееся чёрное множество. Для северо-южного отображения (1.2) образы всех точек, не лежащих на луче = /2, стремятся к южному полюсу.

Но вероятность того, что случайно выбранная точка попадёт на этот луч, равна нулю. Следовательно, с вероятностью 1 мы увидим только чёрное пятно около южного полюса.

Естественно считать, что аттрактор отображения (1.2) содержит только южный полюс. Одно из определений аттрактора, согласно которому единственный аттрактор отображения (1.2) — это южный полюс, предложил Джон Милнор [13].

Определение 1.2.6 Пусть — отображение метрического пространства в себя. Множество () предельных точек последовательности (), > 0, называется -предельным множеством точки.

Определение 1.2.7 Пусть — метрическое пространство с мерой, — непрерывное измеримое отображение. Наименьшее замкнутое множество, которое содержит -предельные множества почти всех точек множества, называется аттрактором Милнора 5 отображения.

1.2.3 Сдвиг Бернулли и сдвиг Маркова В этом пункте мы дадим определения сдвига Бернулли и сдвига Маркова.

Фазовое пространство сдвига Бернулли — это пространство бесконечных в обе стороны последовательностей чисел, {0, …, 1}, а фазовое 5 Милнор в своей работе называет это множество likely limit set.

пространство сдвига Маркова — подмножество пространства. Оба сдвига задаются формулой () = +1. Главное различие между этими двумя понятиями заключается в выборе меры на пространстве.

Сначала определим сдвиг Бернулли. В этом случае элементы последовательности — независимые одинаково распределённые случайные величины.

Более формально, выберем набор вероятностей 0, …, 1, такой что = 1. На цилиндрах вида мера задаётся формулой а затем продолжается на сигма-алгебру, порождённую этими цилиндрами.

Мы также снабжаем пространство «(, + )-адической» метрикой где ± (, ) — наименьшее целое неотрицательное число, такое что ± ±. Часто мы будем рассматривать (, ) —адическую метрику.

Определение 1.2.8 Сдвигом Бернулли называется левый сдвиг () = + пространства, снабжённого (, + )-адической метрикой и мерой (1.3).

В случае сдвига Маркова величины перестают быть независимыми, но образуют однородную цепь Маркова. Другими словами, • величины одинаково распределены: P ( = ) = ;

• величина +1 зависит только от :

• вероятности перехода = P (+1 = || = ) не зависят от.

Формально говоря, возьмём матрицу размера и набор чисел, удовлетворяющих следующим условиям.

• Вероятности перехода неотрицательны, 0.

• Вероятности положительны, > 0.

• Матрица стохастическая, то есть • Сумма вероятностей находиться в каждом из состояний равна единице:

• Вероятность находиться в состоянии равна сумме вероятностей перехода в это состояние из некоторого предыдущего:

Другими словами, ( ) — левый собственный вектор матрицы с собственным значением 1.

Меру цилиндра () положим равной Вышеприведённые свойства матрицы и набора вероятностей позволяют продолжить меру на сигма-алгебру, порождённую цилиндрами ().

Левый сдвиг на пространстве, снабжённом мерой (1.4), естественно ограничить на множество разрешённых последовательностей то есть последовательностей, для которых вероятность каждого из переходов от символа к следующему положительна.

Определение 1.2.9 Сдвигом Маркова называется левый сдвиг () = + множества разрешённых последовательностей, снабжённого (, + )-адической метрикой и мерой (1.4).

Оказывается, во многих случаях набор вероятностей полностью определяется матрицей. Для формулировки точного результата нам потребуются следующее определение.

Определение 1.2.10 Матрица называется неотрицательной (соотв., положиельной), если все коэффициенты матрицы неотрицательны (соотв., положиельны).

Теорема 1.2.11 (Перрон, 1907; Фробениус, 1912) Пусть — неотрицательная стохастическая матрица, такая что для некоторого матрица положительна. Тогда 1 — однократное собственное значение матрицы, причём правый и левый собственные вектора, соответствующие этому значению, положительны, а все остальные собственные значения матрицы по модулю строго меньше единицы.

Другими словами, в условиях теоремы для матрицы существует и единственно стационарное распределение вероятностей { }.

1.2.4 Косые произведения 1.2.4.1 Определение косого произведения Ключевую роль в стратегии Городецкого--Ильяшенко--Негута играет класс косых произведений.

Определение 1.2.12 Пусть — непрерывное отображение метрического пространства в себя, —метрическое пространство. Непрерывное отображение называется косым произведением над отображением со слоем, если оно имеет вид Отображения называются послойными отображениями косого произведения.

1.2.4.2 Примеры косых произведений Очевидно, прямое произведение двух отображений является косым произведением. Приведём несколько менее тривиальных примеров.

Один из наиболее известных примеров косых произведений — это соленоид Смейла--Вильямса. Это Рисунок 1.2 Отображение соленоида 6 для где — маленькое положительное число. Мы обсудим некоторые свойства этого отображения в подпункте 1.3.2.2.

Пример 1.2.14 (Щетинистый аттрактор) 1, задаваемое формулой Это отображение — косое произведение над удвоением окружности 2.

Можно показать, что оно не сопряжено прямому произведению. Мы не будем ни доказывать этот факт, ни использовать его.

Продолжим отображение по непрерывности до отображения 1 1. Поскольку 1 log () < 0, из теоремы Биркгофа--Хинчина следует, что почти все точки фазового пространства стремятся к окружности 6 © Илья Щуров, работа в public domain. Рисунок получен при помощи программ gnuplot и pov-ray. Исходный код можно найти по адресу http://en.wikipedia.org/wiki/File:Smale -Williams_Solenoid.png {0}, а значит, эта окружность содержит милноровский аттрактор отображения. На самом деле милноровский аттрактор совпадает с этой окружностью.

С другой стороны, точки бесконечного множества слоёв {pt}1 („щетины”) стремятся к окружности 1 {}. Из этого следует, например, что милноровский аттрактор отображения неустойчив по Ляпунову.

Пример 1.2.15 (Перемежающиеся бассейны) Рассмотрим пространство косых произведений над удвоением окружности, сохраняющих границу цилиндра:

И. Кан [11] нашёл непустое открытое подмножество этого пространства, такое что каждая система из этого подмножества имеет два аттрактора, 1 {0} и 1 {1}, причём их области притяжения сильно перемешаны: для сколь угодно малой окрестности пересечение этой окрестности с каждой из областей притяжения имеет положительную меру. Вблизи каждой из граничных окружностей пример И. Кана устроен как щетинистый аттрактор, то есть Позже Ю. Ильяшенко, В. Клепцын, П. Салтыков [8 и 22] и независимо К. Бонатти, Л. Диаз и М. Виана [2] показали, что свойство перемежаемости аттракторов выживает при малых возмущениях в классе 2 -гладких отображений цилиндра, сохраняющих границу.

1.2.4.3 Ступенчатые и мягкие косые произведения Хотя изучать косые произведения проще, чем изучать отображения общего вида, бывает удобно начать изучение с ещё меньшего класса ступенчатых косых произведений.

Определение 1.2.16 Косое произведение над сдвигом Маркова называется ступенчатым, если послойные отображения зависят только от нулевого символа 0 последовательности :

Именно в классе ступенчатых косых произведений удобно строить новые типы предельного поведения динамических систем.

Ступенчатое косое произведение над сдвигом Бернулли можно рассматривать как случайную динамическую систему на : в каждый момент времени мы случайным образом выбираем, которое из отображений применить в данный момент.

Желая подчеркнуть, что мы рассматриваем косые произведения общего вида (а не ступенчатые), мы будем называть их мягкими косыми произведениями.

1.2.4.4 Обозначения В этом подпункте мы введём некоторые обозначения, относящиеся к косым произведениям.

Пусть, — ограничение -й композиционной степени на слой {}, а — ограничение отображения на тот же слой.

Полный образ отображения пересекает слой {} по множеству {},, где Следующие несколько обозначений имеют смысл только для косых произведений со слоем отрезок = [0, 1].

Ясно, что в этом случае множество, — отрезок. Далее мы будем обозначать этот отрезок,. В параграфе 1.8 мы введём обозначение, для конечного слова (см. определение 1.8.6), имеющее другой смысл. Путаницы не возникнет, так как одно из определений применимо только для конечных слов, а другое — только для точек базы, то есть точек 2 или.

Пусть () и + () — нижний и верхний концы отрезка,, соответственно, Очевидно,,0,1 …, …, значит, максимальный аттрактор пересекает слой {} по отрезку {}, где Лемма 1.2.17 Максимальный аттрактор косого произведения пересекает каждый слой {} по отрезку [ (), + ()], причём функция (соотв., + ) полунепрерывна снизу (соотв., сверху).

Доказательство Функции и + непрерывны в силу непрерывности отображения, следовательно, функция () = sup () полунепрерывна снизу, 1.2.5 Хаусдорфова размерность и лемма Фальконера Напомним определение хаусдорфовой размерности.

Определение 1.2.18 Пусть — метрическое пространство. Рассмотрим открытое покрытие пространства, то есть конечное или счётное семейство открытых шаров радиусов, такое что объединение шаров совпадает с пространством. Определим -мерный объём () покрытия по формуле Хаусдорфовой размерностью пространства называется точная нижняя грань всех чисел, таких что существует открытое покрытие пространства сколь угодно малого -мерного объёма.

Напомним, что хаусдорфова размерность компактного -мерного многообразия равна. Размерность любого подмножества положительной меры Лебега также равна. Видимо, наиболее известный пример метрического пространства, хаусдорфова размерность которого не является целым числом — это Канторово множество:

Следующая лемма оценивает, насколько может измениться хаусдорфова размерность под действием гёльдерова отображения.

Лемма 1.2.19 (Фальконер, [5]) Пусть — риманово многообразие, — подмножество. Пусть — гёльдерово отображение с показателем. Тогда В частности, если выполнено неравенство dim < dim, то из леммы Фальконера можно получить, что (()) = 0. Действительно, из этого неравенства и леммы Фальконера следует, что dim () < dim, откуда (()) = 0.

Заметим, что равенство () = 0, вообще говоря, не влечёт равенство (()) = 0. Например, образ стандартного канторова множества под действием отображения «канторова лестница» — отрезок.

1.3 Описание стратегии Городецкого--Ильяшенко--Негута Хотя отдельные примеры динамических систем с необычными свойствами и интересны, гораздо больший интерес представляют собой непустые открытые множества в пространстве динамических систем, полностью состоящие из систем с необычным поведением.

Можно облегчить себе задачу построения примеров систем с необычными свойствами, если разрешить рассматривать не только классические динамические системы (то есть действия группы ), но и действия свободной полугруппы с образующими. Действительно, действие такой полугруппы на некотором многообразии может быть устроено гораздо сложнее, чем действие одного диффеоморфизма на том же многообразии.

А. Городецкий и Ю. С. Ильяшенко [20] обнаружили, что динамика типичного действия свободной полугруппы на компактном многообразии тесно связана с динамикой типичной «классической» динамической системы на некотором другом фазовом пространстве. Эта связь приводит нас к эвристическому принципу: все явления, наблюдаемые для динамики типичного действия свободной полугруппы, можно пронаблюдать и для типичных гладких динамических систем 7.

В пунктах 1.3.1–1.3.3 мы поочерёдно опишем основные этапы стратегии Городецкого--Ильяшенко--Негута, перечислим возникающие трудности и некоторые способы их преодоления.

1.3.1 От случайных систем к ступенчатым косым произведениям Первый шаг стратегии Городецкого--Ильяшенко--Негута заключается в переходе от случайной динамической системы к ступенчатому косому произведению.

А именно, рассмотрим случайную динамическую систему на многообразии, в которой на каждом шаге применяется один из диффеоморфизмов 0, …, 1. Построим по набору отображений косое произведение над сдвигом Бернулли, как описано в подпункте 1.2.4.3. Видно, что орбиты полугруппы, порождённой диффеоморфизмами, совпадают с проекциями положительной части орбит отображения вдоль базы на слой. Следовательно, свойства действия полугруппы можно переформулировать в терминах ступенчатого косого произведения.

Часто бывает удобно пропустить этот шаг стратегии, и сразу формулировать результаты в терминах свойств ступенчатых косых произведений. В частности, именно так мы поступим при построении костистого аттрактора. В параграфе 1.5 мы приведем пример одного ступенчатого косого произведения, имеющего костистый аттрактор, затем в параграфе 1.6 мы покажем, что все свойства аттрактора выживают при малых возмущениях в классе ступенчатых косых произведений.

7 точнее, для динамических систем, типичных в некотором открытом множестве в пространстве диффеоморфизмов 1.3.2 Гладкая реализация Конечно, не является гладким многообразием, поэтому наличие странных свойств у динамической системы с таким фазовым пространством не очень удивительно. В этом пункте мы опишем несколько способов перехода от примера в классе ступенчатых косых произведений к примеру в классе косых произведений над гладким отображением. Сначала мы построим гладкую реализацию сдвига Бернулли (и сдвига Маркова). Есть два широко известных отображения, ограничения которых на их максимальные гиперболические множества (полу)сопряжены сдвигу Бернулли, и еще одно отображение, которое полусопряжено сдвигу Маркова. В следующих подпунктах мы опишем эти отображения. Чтобы построить гладкую реализацию косого произведения, надо заменить в базе сдвиг на одно из этих отображений.

1.3.2.1 Подкова Смейла Подкова Смейла — простейшая гладкая реализация сдвига Бернулли. Возьмём «горизонтальных» прямоугольников и «вертикальных» прямоугольников, Отображение подковы отображает каждый «горизонтальный» прямоугольник на соответствующий «вертикальный» прямоугольник, сжимая его по горизонтали и растягивая по вертикали:

Это отображение легко продолжить до гомеоморфизма двумерной сферы. У отображения (и, следовательно, у его продолжения) есть гиперболическое инвариантное множество, такое что ограничение | сопряжено сдвигу Бернулли. Множество состоит из точек (, ), таких что в записях обеих координат этих точек в системе счисления с основанием 2 + 1 встречаются только нечётные цифры.

Подкова Смейла позволяет легко построить гладкую реализацию любого ступенчатого косого произведения над сдвигом Бернулли. Действительно, достаточно взять косое произведение над, такое что = для.

Тогда ограничение | будет сопряжено исходному косому произведению Основной недостаток этой реализации состоит в том, что множество неустойчиво по Ляпунову для, а значит, множество неустойчиво по Ляпунову для.

1.3.2.2 Отображение соленоида Рисунок 1.3 Отображение соленоида 8 для где — маленькое положительное число.

= 2. Образ отображения — это «тонкое» полноторие, делающее оборотов внутри исходного полнотория (см. рис. 1.3 для = 2). Несложно показать, что максимальный аттрактор отображения пересекает каждый диск {} 2 по множеству канторовского типа.

Сдвиг Бернулли полусопряжён ограничению отображения на его максимальный аттрактор, то есть существует отображение, такое что следующая диаграмма коммутативна.

8 © Илья Щуров, работа в public domain. Рисунок получен при помощи программ gnuplot и pov-ray. Исходный код можно найти по адресу http://en.wikipedia.org/wiki/File:Smale -Williams_Solenoid.png Полусопряжение называется отображением судьбы. Оно задаётся следующим образом. Разделим окружность || = 1 на равных дуг, а исходное полноторие — на равных частей Для каждой последовательности её образ () — это единственная точка полнотория, такая что для любого целого точка () принадлежит замыканию множеств. Пусть — множество последовательностей, не имеющих правого хвоста из символов „ 1”. Можно показать, что отображение судьбы непрерывно на, а ограничение отображения на множество биективно. Более того, прямой образ стандартной меры Бернулли на — это SRB-мера на.

Соленоид — это максимальный аттрактор отображения. Следовательно, множество устойчиво по Ляпунову относительно отображения и, более того, содержит максимальный аттрактор этого отображения. Другими словами, динамика ограничения | характеризует динамику отображения на всём фазовом пространстве.

Однако теперь области, соответствующие разным символам 0, соприкасаются, поэтому ступенчатое косое произведение с послойными отображениями () =, разрывно.

Один из способов обойти эту трудность — это положить () = для ( 2 ), где — маленькие дуги вблизи концов дуг, и продолжить полученное косое произведение до непрерывного косого произведения. В этом случае о послойных отображениях над множествами 2 известно очень мало, и в доказательствах приходится следить, чтобы интересующие нас точки не принадлежали этим множествам. Хотя это и кажется несложным, иногда приходится избегать ещё и точек, образы которых принадлежат одной из таких дуг, а такие точки образуют множество полной меры.

Другой способ заключается в том, чтобы рассмотреть отображение соленоида, при котором образ исходного полнотория 1 делает не, а 2 оборотов внутри полнотория 1. Тогда можно положить () = при 2, и доопределить отображение, чтобы получилось гладкое косое произведение. На первый взгляд, при таком способе надо избегать ещё большего количества точек, однако теперь проекция образа каждой из частей 2 на — это вся окружность. Оказывается, этот факт позволяет перенести многие доказательсва со случая ступенчатого косого произведения на случай мягкого косого произведения над отображением соленоида.

При реализации сдвига Бернулли при помощи отображения соленоида возникают ещё две технические трудности. Во-первых, отображение соленоида только полусопряжено сдвигу Бернулли. Во-вторых, отображение соленоида сжимает в устойчивом направлении сильнее, чем растягивает в неустойчивом. Поэтому, если мы хотим, чтобы полусопряжение со сдвигом Бернулли было липшицевым, на пространстве приходится рассматривать метрику, у которой показатель сжатия + не равен показателю растяжения (см.

пункт 1.2.3). Обычно обе эти трудности несложно преодолеть.

1.3.2.3 Диффеоморфизм Аносова Мы не будем обсуждать здесь общее определение диффеоморфизма Аносова, а дадим лишь определение линейного диффеоморфизма Аносова двумерного тора 2 = 2 /2. Пусть 2 (), то есть — целочисленная матрица 2 2 с определителем 1. Тогда действие матрицы на плоскости 2 опускается до диффеоморфизма двумерного тора 2. Мы будем обозначать полученный диффеоморфизм тора той же буквой.

Определение 1.3.1 Действие матрицы 2 () на двумерном торе называется линейным диффеоморфизмом Аносова, если собственные значения матрицы вещественны и различны.

Оказывается, диффеоморфизм Аносова полусопряжён сдвигу Маркова на пространстве разрешённых слов. Чтобы это доказать, необходимо построить марковское разбиение тора на несколько параллелограммов со сторонами, параллельными собственным направлениям матрицы, и рассмотреть соответствующее отображение судьбы. Подробнее о Марковских разбиениях, соответствующих диффеоморфизмам Аносова, можно прочесть в [1 и 23].

Основным достоинством такой реализации является то, что множество совпадает со всем фазовым пространством, то есть наблюдаемый эффект относится не к некоторому подмножеству нулевой меры (пусть даже и максимальному аттрактору), а ко всему фазовому пространству.

С другой стороны, построить такую реализации технически сложнее, чем любую из предыдущих. Ко всем техническим трудностям, возникающим в случае соленоида, добавляется новая — отображение в базе полусопряжено не сдвигу Бернулли, а сдвигу Маркова (см. пункт 1.2.3), то есть некоторые переходы вида +1 запрещены, а вероятности разрешённых переходов различны.

1.3.3 Возмущения: от косых произведений к диффеоморфизмам Итак, на предыдущем этапе общей стратегии построен пример диффеоморфизма, обладающего требуемыми свойствами. На первый взгляд, на диффеоморфизм наложено очень сильное условие сохранения вертикального слоения, поэтому построенный пример не является типичным в пространстве диффеоморфизмов (скажем, с -топологией).

Однако, если построенный диффеоморфизм частично гиперболический, то по теореме Пью, Хирша и Шуба [6] любой близкий к нему диффеоморфизм сохраняет некоторое слоение, слои которого близки к вертикальным в топологии Трудность состоит в том, что хотя отдельные листы нового слоения — гладкие многообразия, эта теорема утверждает лишь непрерывную зависимость листов от точки в базе. Поэтому, выпрямляя близкий к косому произведению диффеоморфизм по теореме Хирша--Пью--Шуба, нам пришлось бы доказывать требуемое свойство для косых произведений, лишь непрерывно зависящих от точки в базе.

В работе [18] А. С. Городецкий доказал, что на самом деле слои нового центрального слоения зависят от точки в базе гёльдерово. Недавно эта теорема была уточнена Ю. С. Ильяшенко и А. Негутом [9]. Точная формулировка этой теоремы приведена несколькими абзацами ниже. В частности эта теорема утверждает, что для косых произведений над подковой, соленоидом и двумерным диффеоморфизмом Аносова, удовлетворяющих модифицированному условию dominated splitting, показатель гёльдеровости можно сделать сколь угодно близким к единице.

Эта теорема вместе с леммой Фалконера (см. с. 27) позволяет переносить утверждения о хаусдорфовой размерности с косых произведений на диффеоморфизмы.

Рассмотрим косое произведение над гиперболическим диффеоморфизмом. Пусть ограничение на устойчивое направление умножает длины всех векторов на числа, расположенные между и, а ограничение — на числа, расположенные между и :

Пусть, кроме того, устойчивое и неустойчивое расслоения тривиальны.

Определение 1.3.2 Будем говорить, что косое произведение над гиперболическим диффеоморфизмом удовлетворяет модифицированному условию dominated splitting, если Теорема 1.3.3 (Ильяшенко--Негут) Пусть — косое произведение над диффеоморфизмом с гиперболическим инвариантным множеством. Пусть диффеоморфизм удовлетворяет условию (1.8), а косое произведение — модифицированному условию dominated splitting. Тогда для достаточно малого > 0 и любого -возмущения отображения в классе 1 -гладких отображений выполнены следующие свойства.

• существует -инвариантное множество и непрерывное отображение, такое что =. Более того, отображение является гомеоморфизмом.

• листы = 1 () липшицево близки к вертикальным и гёльдерово зависят от. Это означает, что листы — графики липшицевых отображений, таких что Более того, отображение 1 тоже гёльдерово с тем же показателем 1.3.4 Краткое описание стратегии В этом пункте мы кратко напомним описанные выше этапы стратегии Городецкого--Ильяшенко--Негута.

• Построить локально типичный пример действия свободной полугруппы на многообразии с интересными динамическими свойствами.

• Используя конструкцию, описанную в пункте 1.3.1, получить из неё пример ступенчатого косого произведения с интересными свойствами, локально типичный в классе ступенчатых косых произведений.

• Используя одну из гладких реализаций сдвига Бернулли (см. пункт 1.3.2), построить пример гладкого отображения, обладающего аналогичными интересными свойствами. При этом приходится переходить от ступенчатых косых произведений к мягким.

• Доказать, что интересные свойства системы сохраняются при небольших возмущениях в классе гёльдеровых косых произведений с гладкими послойными отображениями. При этом можно считать, что показатель гёльдеровости близок к единице.

• Используя теорему Городецкого--Ильяшенко--Негута (см. пункт 1.3.3), перенести полученные результаты на гладкие отображения, близкие к исходному. При этом, возможно, придётся определить аналоги некоторых интересующих нас свойств для более общего класса отображений.

1.4 Краткий обзор результатов, полученных при помощи стратегии В этом параграфе мы перечислим некоторые результаты, полученные при помощи стратегии Городецкого--Ильяшенко--Негута. Данный список не претендует ни на полноту, ни на подробность.

Найдено открытое множество в просранстве гладких отображений кольца в себя, переводящих границу в себя, такое что для каждого из отображений этого множества имеет место перемежаемость бассейнов притяжения (Ю. С.

Ильяшенко, В. А. Клепцын и П. С. Салтыков, [8]).

Построено открытое множество диффеоморфизмов, обладающих эффектом невидимости некоторой части аттрактора. Это означает, что некоторую часть аттрактора невозможно пронаблюдать в численном эксперименте. Ю. С.

Ильяшенко, А. Негут, [10].

Найдено открытое множество диффеоморфизмов, обладающих «толстым аттрактором», то есть отображений, аттрактор Милнора которых имеет ненулевую и не полную меру; Ю. С. Ильяшенко, [7].

Получено описание типичной динамики частично гиперболических косых произведений со слоем отрезок; Д. С. Волк, В. А. Клепцын, [15], рукопись в работе.

В работе [25] показано, что орбитальное свойство отслеживания неплотно в топологии.

1.5 Пример в классе ступенчатых косых произведений В этом параграфе мы построим пример ступенчатого косого произведения, имеющего костистый аттрактор без полых костей. В первом пункте мы приведем пример и опишем структуру его аттрактора. Формально говоря, ступенчатое косое произведение не может иметь костистый аттрактор в смысле определения 1.1.1, поскольку фазовое пространство ступенчатого косого произведения не является гладким многообразием. Поэтому в пункте 1.5.1 мы приведём модифицированное определение костистого аттрактора, применимое в рассматриваемом случае.

В остальных пунктах этого параграфа (пп. 1.5.3–1.5.6) мы докажем, что косое произведение, описанное в пункте 1.5.2, действительно имеет костистый аттрактор без полых костей.

1.5.1 Определение костистого аттрактора для косых произведений Определение 1.5.1 Будем говорить, что косое произведение имеет костистый аттрактор, если • множество точек, для которых — отрезок ненулевой длины, имеет мощность континуум и всюду плотно в ;

• Хаусдорфова размерность максимального аттрактора меньше хаусдорфовой размерности фазового пространства, и ( ) = 0 (то есть костей не слишком много).

Определение 1.5.2 Будем говорить, что аттрактор косого произведения костистый без полых костей, если этот аттрактор костистый и выполнены два дополнительных требования.

• кости принадлежат замыканию графика ;

• максимальный аттрактор отображения совпадает с аттрактором Милнора: () = ().

1.5.2 Пример Пример в классе ступенчатых косых призведений получается, если в качестве послойных отображений взять отображения Отображения 0 и 1 — линейные сжатия к концам отрезка, а у отображения 2 есть репеллер 0.5.

Построим по этим трём отображениям соответствующее ступенчатое косое произведение, где — сдвиг Бернулли, () = +1, а мера и метрика на пространстве введены как в пункте 1.2.3.

Теорема 1.5.3 Аттрактор косого произведения 0 — костистый без полых костей.

Хотя эта теорема и следует из более общей теоремы 1.6.2, мы докажем её отдельно, чтобы продемонстрировать ключевые идеи на простейшем примере.

В остальных пунктах этого параграфа мы докажем теорему 1.5.3.

1.5.3 Наличие костей Рассмотрим отрезок = [0.4, 0.6]. Заметим, что 2 () = [2 (0.4), 2 (0.6)] Рассмотрим любую последовательность, для которой = 2 при достаточно больших, то есть Тогда для любого > имеем:

Следовательно, отрезок, содержит отрезок, (). Напомним, что — пересечение всех отрезков,. Следовательно, отрезок тоже содержит отрезок, (), откуда. Осталось заметить, что множество последовательностей вида (1.10) континуально и всюду плотно в 3. Таким образом, отображение 0 удовлетворяет первому условию определения 1.5.1.

1.5.4 Хаусдорфова размерность и мера В этом пункте мы будем использовать только одно свойство послойных отображений, а именно, что образы отображений 2 и 2 не пересекаются. Из этого свойства следует, что каждая точка не принадлежит хотя бы одному из этих образов.

Пусть = …1 — конечное слово. Напомним, что () — множество последовательностей 3, у которых на соответствующих позициях стоят те же символы, что и у, |[,1] =. Поскольку послойное отображение зависит только от текущего символа последовательности, отрезок, одинаков для всех последовательностей из цилиндра (). Обозначим этот отрезок.

Каждый отрезок можно покрыть 3 | | отрезками длины 3. Каждый цилиндр () можно покрыть 3+1 шарами радиуса 3. Следовательно, произведение () можно покрыть 3+1 3 | | шарами радиуса 3.

Объединение () по всем словам = …1 совпадает с (3 ), значит, это объединение содержит максимальный аттрактор. С другой стороны, это объединение цилиндров можно покрыть шарами радиуса 3.

Оценим сумму ||= | |. Пусть, — множество слов, таких что :

В силу теоремы Фубини, поэтому достаточно оценить ||, || равномерно по.

Докажем, что |,+2 | 8 ||, || для любого. Заметим, что для любого слова,+2 слово = …1 должно принадлежать,, то есть = 2 1,,. Действительно, поэтому, то есть,. Следовательно, ||,+2 || 9 ||, ||. Чтобы доказать неравенство |,+2 || 8 ||, ||, достаточно показать, что для любого слова, найдутся символы 2 и 1, такие что 2,+2.

Рассмотрим точку = 1 … 1 (). Как было показано в самом начале этого пункта, точка не принадлежит хотя бы одному из отрезков 2 () и 1 (), поэтому или 00,+2, или 11,+2. Итак, |,+2 | |, | Следовательно, |, | const(8), откуда Оценим теперь сумму (1.11).

Следовательно, хаусдорфова размерность максимального аттрактора не превосходит log3 98 < 3, а значит, его мера равна нулю. Итак, отображение удовлетворяет и второму условию определения 1.5.1, то есть отображение имеет костистый аттрактор.

1.5.5 Плотность графика Докажем теперь, что кости содержатся в замыкании графика, то есть что максимальный аттрактор совпадает с замыканием графика ограничения + |.

Возьмём произвольную точку = (, ) максимального аттрактора. Пусть () — её стандартная окрестность, то есть () — цилиндр, соответствующий слову = …|0 …, а — окрестность точки.

Нам надо найти точку в пересечении (() ). На самом деле мы найдём точку графика в меньшем множестве () {}. График инвариантен относительно отображения, поэтому достаточно найти точку графика в прообразе (() {}) = ( ) { ()}. Обозначим = (). Тогда ((){}) = ( ) { }. Таким образом, мы ищем последовательность, такую что и = { }. Заметим, что первое свойство зависит только от правой части последовательности, а второе — только от левой части. Следовательно, мы можем выбирать эти части независимо. В качестве правого хвоста + можно взять любую последовательность, начинающуюся с Заметим, что образы отображений 0 и 1 покрывают. Следовательно, для любой точки один из прообразов 1 () и 1 () определён. Поэтому мы можем выбрать последовательность = … … из нулей и единиц, такую что для любого точка, ( ) принадлежит образу отображения 1, значит,. С другой стороны, отображения 0 и 1 сжимают на с коэффициентом сжатия 0.7, поэтому длина отрезка, равна 0.7. Наконец, 0.7 стремится к нулю при стремящемся к бесконечности, поэтому Итак, отображение 0 удовлетворяет первому из требований определения 1.5.2.

1.5.6 Совпадение аттракторов Докажем, что максимальный аттрактор отображения 0 совпадает с его аттрактором Милнора. Заметим, что точка (, ) графика принадлежит -предельному множеству любой точки (, ), для которой последовательность принадлежит -предельному множеству последовательности. Действительно, если последовательности и совпадают на отрезке [, ], то точка () принадлежит отрезку,. С другой стороны, — единственная общая точка всех отрезков,.

Аттрактор Милнора сдвига Бернулли — это всё множество 3, поэтому аттрактор Милнора косого произведения 0 содержит график. Следовательно, аттрактор Милнора содержит замыкание графика, то есть содержит максимальный аттрактор. Но максимальный аттрактор содержит аттрактор Милнора для любого отображения (а значит, и для 0 ). Поэтому =.

Итак, отображение 0 имеет костистый аттрактор без полых костей.

1.6 Возмущения в классе ступенчатых косых произведений Итак, мы построили пример одной динамической системы с достаточно странными свойствами. После этого естественно задаться вопросом, уникальна ли такая система, или её свойства сохраняются при малых возмущениях в объемлющем пространстве. В этом параграфе мы изучим возмущения основного примера 0 в пространстве ступенчатых косых произведений. При этом мы заодно обобщим наши результаты на случай косого произведения над сдвигом Маркова.

Теорема 1.6.1 Рассмотрим сдвиг Маркова с матрицей переходов размера, 2 без нулевых вероятностей. Тогда в пространстве ступенчатых косых произведений над этим сдвигом Маркова со слоем = [0, 1] существует открытое множество ступенчатых косых произведений с костистыми аттракторами без полых костей.

Обозначим через (0, …, 1 ) выпуклую оболочку множества неподвижных точек послойных отображений. Максимальный аттрактор содержится в полосе (0, …, 1 ), поскольку все точки выше этой полосы движутся вниз, а все точки ниже этой полосы — вверх.

Следующая теорема даёт простые достаточные условия для теоремы 1.6.1.

Теорема 1.6.2 Пусть строго возрастающие отображения 0, …, 1 удовлетворяют следующим условиям:

1. существует конечный набор отображений из полугруппы, порождённой отображениями, такой что каждое из отображений сжимает на, а образы отрезка под действием этих отображений покрывают отрезок ;

2. существует конечная композиция отображений, у которой есть отталкивающая неподвижная точка.

Тогда соответствующее ступенчатое косое произведение имеет костистый аттрактор без полых костей.

Доказательство этой теоремы практически повторяет доказательство теоремы 1.5.3. Композиция из второго условия играет роль отображения 2, а отображения играют роль отображений 0 и 1.

1.6.1 Открытое множество примеров В этом пункте мы построим открытое множество ступенчатых косых произведених, каждое из которых удовлетворяет условиям теоремы 1.6.2. Таким образом мы сведём теорему 1.6.1 к теореме 1.6.2.

Для любого 3 можно построить открытое множество ступенчатых косых произведений, аналогичных основному примеру из параграфа 1.5. А именно, пусть 0 и 1 — два отображения, сжимающие к точкам 0 < 1, причём 0.5 <, < 1. Остальные отображения 2, …, 1 мы выберем так, что () (0, 1 ), а у одного из них есть репеллер. Тогда условие 2 выполнено.

Более того, в этом случае = [0, 1 ], а значит условие 0.5 0 и < 1. Рассмотрим пространство гёльдеровых косых произведений с гладкими послойными отображениями:

Расстояние между двумя отображениями и этого пространства определяется как наибольшее из 1 -расстояний между соответствующими послойными отображениями:

Теорема 1.8.1 Существует сдвиг Маркова и открытое множество в пространстве гёльдеровых косых произведений над этим сдвигом, такие, что каждое косое произведение из этого множества имеет костистый аттрактор без полых костей.

Мы построим это открытое множество в виде малой окрестности специально подобранного липшицевого косого произведения. Возмущаемое липшицево отображение будет частично ступенчатым в смысле следующего определения.

Определение 1.8.2 Будем говорить, что косое произведение над сдвигом Бернулли или сдвигом Маркова частично ступенчатое, если существует множество {0, …, 1}, такое что равенство 0 = 0 влечёт =.

Послойные отображения для 0 называются ступенчатыми послойными отображениями отображения.

В этом и следующем параграфах нам будет удобно заменить отображения 0, 1 и 2 на следующие три отображения:

Теорема 1.8.3 Пусть косое произведение над сдвигом Маркова удовлетворяет следующим условиям.

1. При = 0, 1, 2 для любого символа из алфавиа найдётся символ, такой что вероятность перехода от символа к символу не равна нулю, а послойное отображение, соответствующее символу, есть.

2. Послойные отображения и их обратные липшицевы с константой :

3. Отображения и 1 липшицевы с константой в топологии 0, 4. Отображение частично гиперболично. Более того, 5. Существует отрезок = [, ], такой что если (), то () < const 0, обозначим через, наименьший отрезок, содержащий все отрезки вида, для Через, обозначим множество слов = …, таких что,.

Напомним, что ключевую роль в доказательстве леммы 1.6.3 играл тот факт, что к каждому слову, можно было приписать слева слово длины так, чтобы получившееся слово не принадлежало,+. Следующая лемма обобщает это соображение на случай мягкого косого произведения.

Лемма 1.8.7 Существует такое натуральное число = (,, ), что для любых и для достаточно малых значений выполнено следующее.

Пусть — косое произведение, удовлетворяющее условиям теоремы 1.8.3.

Тогда для любого допустимого конечного слова = …+ и точки, найдётся слово длины, такое что слово допустимо, но не принадлежит Доказательство Если,, то нам подходит любое слово длины, такое что слово допустимо; поэтому далее мы предполагаем, что,.

Неформально говоря, слово будет состоять из большого количества символов, принадлежащих 0 1. Сначала мы припишем к началу слова достаточно много элементов 0, чтобы увеличить точность в оценке из леммы 1.8.5.

После этого будет достаточно приписать 10 элементов 0 или 10 элементов 1.

Перейдём к формальному доказательству. Поскольку 0.1-окрестности образов отображений 10 и 10 не пересекаются, для достаточно малых значений и любых последовательностей и, таких что 0, …, 9 0 и, …, 1, 0.1-окрестности образов отображений,10 и,10 также не пересекаются.

Кроме того, мы будем предполагать, что настолько мало, что первое слагаемое в лемме 1.8.5 меньше 0.1. Выберем теперь число 0 так, чтобы второе слагаемое в оценке из леммы 1.8.5 было меньше 0.1, Докажем лемму для = 0 + 10 и значений, принадлежащих выбранной в предыдущем абзаце окрестности нуля. Обозначим через такое слово из символов множества 0, что слово допустимо. Тогда в силу леммы 1.8.5, | (), ()| 0 отрезки покрывают отрезок.

Следовательно, либо, () 0, либо, () 1. Без ограничения общности рассуждений, можно предположить, что, () 0. Пусть (), 1 0. Докажем, что,1 (). Применяя лемму 1.8.5 к последовательностям и, получаем неравенство Поэтому Последнее включение выполняется поскольку 1 1 0 <.

Лемма 1.8.9 Если число элементов множества, растёт экспоненциально медленнее размера множества всех допустимых слов …, то хаусдорфова размерность максимального аттрактора меньше хаусдорфовой размерности фазового пространства. Точнее, Доказательство В силу определений множества, и отрезка, образ отображения содержится в объединении произведений вида () по всем словам,. Следовательно, множество () покрывается шарами радиуса. Оценим первое слагаемое.

Пользуясь полученными неравенствами, теперь легко доказать требуемую оценку:

1.8.2 Наличие костей Как и в предыдущих случаях (см. пункты 1.5.3 и 1.6.2), рассмотрим отрезок, такой что 2 (). Тогда для достаточно малых образ () содержит отрезок, если только 0 = 2. Поэтому для любой последовательности вида = …22…2 …1 |0 … множество содержит отрезок, () ненулевой длины. Очевидно, множество последовательностей с левым хвостом из цифр «2» всюду плотно в и равномощно.

1.8.3 Хаусдорфова размерность и мера Пусть — число из леммы 1.8.7, а возмущение настолько мало, что выполнено заключение этой леммы.

Пусть, — множество разрешённых слов = …, таких что = и =. Обозначим через, пересечение,,. Очевидно, В силу леммы 1.8.9, достаточно доказать, что поседовательность ||, || растёт экспоненциально медленнее последовательности || ||. Очевидно, для этого достаточно показать, что другая линейная комбинация чисел ||, || с положительными коэффициентами растёт экспоненциально медленнее линейной комбинации чисел |, | с теми же коэффициентами.

Рассмотрим две последовательности матриц: ( ) = ||, || и (, ) = | |. Пусть — матрица, получающаяся из заменой всех ненулевых элементов на единицы, то есть ( ) равно нулю, если переход запрещён, и единице, если такой переход разрешён.

Отсюда сразу следует, что = 2+1. Посмотрим на то, как связаны,+ и,. Слова …+, такие что подслово … принадлежит,, перечисляются матрицей,. В силу леммы 1.8.7, для каждого способа приписать к слову … символы +1 …+ найдётся такой способ выбрать символы …1, что полученное слово будет разрешённым, но не будет принадлежать,+. Следовательно, среди слов, перечисляемых матрицей,, как минимум ||, || слов не принадлежат множеству,+.

В силу теоремы Перрона–Фробениуса, у матрицы есть ровно один левый собственный вектор с положительными элементами, и ровно один правый собственный вектор с положительными коэффициентами:

Мы будем следить за асимптотикой последовательностей и,. Первая последовательность устроена очень просто:

Перейдём теперь ко второй последовательности.

Напомним, что среди слов, перечисляемых матрицей,, как минислов не принадлежат множеству где число зависит только от рассматриваемой цепи Маркова.

то есть последовательность линейных комбинаций,+ растёт экспоненциально медленнее последовательности линейных комбинаций. Значит, и размер множества, растёт экспоненциально медленнее, чем общее количество разрешённых слов длины 2 + 1. Прямое применение леммы 1.8. завершает доказательство.

Заметим, что полученная в этом пункте оценка на хаусдорфову размерность максимального аттрактора зависит только от матрицы переходов и числа (которое, в свою очередь, зависит только от чисел,, и ). Таким образом, полученная оценка не зависит от показателя гёльдеровости.

1.8.4 Плотность графика Выберем точку = (, ) максимального аттрактора и её стандартную окрестность = () (, + ).

Докажем сначала, что для некоторого > прообраз ({}(, +)) пересекает полосу. Действительно, иначе в силу условия 5 длины этих прообразов должны экспоненциально расти с ростом, что невозможно. Фиксируем такое ; пусть прообраз точки (, + ) принадлежит отрезку Теперь по индукции, используя на каждом шаге лемму 1.8.8, легко доказать, что существует бесконечная влево последовательность = … элементов 0 1, такая что …|0 …. Напомним, что отображения и 1 сжимают, следовательно, точка ( …|0 …, ) принадлежит графику.

Итак, точки графика (, ), для которых последовательность имеет бесконечный влево хвост из элементов 0 1, плотны в максимальном аттракторе.

1.8.5 Совпадение аттракторов Докажем, что =. Действительно, аттрактор Милнора сдвига Маркова есть всё фазовое пространство, поэтому аттрактор Милнора косого произведения над сдвигом Маркова пересекает каждый слой. С другой стороны, аттрактор Милнора является подмножеством максимального аттрактора, поэтому. Но график всюду плотен в максимальном аттракторе, поэтому максимальный аттрактор совпадает с аттрактором Милнора.

1.9 Открытое множество примеров в классе диффеоморфизмов В этом параграфе мы докажем основной результат этой главы — теорему 1.1.3.

Сначала мы построим мягкое косое произведение над диффеоморфизмом Аносова двумерного тора, такое что марковское кодирование этого произведения будет удовлетворять всем требованиям теоремы 1.8.3. После этого доказательство сведётся к аккуратному применению основной теоремы из статьи [9].

Наше отображение будет косым произведением над диффеоморфизмом Аносова с матрицей Несложно проверить, что собственные значения этой матрицы равны = + Напомним, как устроено марковское разбиение для такого диффеоморфизма. Сначала строится предмарковское разбиение, состоящее из двух параллелограммов, 1 и 2. При этом образ первого параллелограмма раз пересекает первый параллелограмм и +1 раз второй, а образ второго 1 раз пересекает первый параллелограмм и раз второй.

Параллелограммами марковского разбиения будут пересечения образов параллелограммов предмарковского разбиения с самими параллелограммами предмарковского разбиения. Будем говорить, что параллелограмм, полученный при пересечении образа параллелограмма с параллелограммом, относится к типу «–».

Всего при таких пересечениях получается параллелограммов, и матрица соответствующего топологического сдвига Маркова имеет вид где 0 и 1 — матрицы размера из нулей и единиц соответственно.

Выберем достаточно большое значение. После этого выберем три параллелограмма 01, 11 и 21 типа «1-1» и три параллелограмма 02, 12 и типа «2-2» так, чтобы попарные расстояния между ними были не менее 0.1. Теперь положим = при, = 0, 1, 2, = 1, 2. Такой выбор послойных отображений сразу обеспечит нам условие 1.

Поскольку попарные расстояния между параллелограммами не меньше 0.1, мы можем продолжить построенное отображения до косого произведения над диффеоморфизмом, липшицевого по слою с константой = 1.5 и липшицевого по базе с константой, не зависящей от. Значит, при достаточно больших значениях дробь будет меньше 0.01, то есть условие 5 также будет выполнено. Зафиксируем так, чтобы это неравенство выполнялось.

При доказательстве теоремы 1.8.3 мы показали, что хаусдорфова размерность максимального аттрактора косого произведения и всех близких к нему косых произведений меньше некоторой константы, на зависящей от показателя гёльдеровости. Выберем теперь настолько малую окрестность косого произведения в пространстве гладких отображений произведения 2 в себя, чтобы теорема Ильяшенко–Негута гарантировала нам показатель гёльдеровости > /3. Тогда хаусдорфова размерность максимального аттрактора отображения будет меньше, чем / < 3, значит, его мера будет равна нулю. Остальные требования в определении костистости и условие плотности графика — чисто топологические, поэтому сохраняются при сопряжении.

Итак, все гладкие отображения, достаточно близкие к построенному косому произведению, имеют костистый аттрактор, причём максимальный аттрактор совпадает с замыканием графика.

Единственное, что нам осталось доказать — это совпадение максимального аттрактора с аттрактором Милнора. Нам понадобится следующая лемма.

Лемма 1.9.1 Рассмотрим косое произведение над линейным диффеоморфизмом Аносова двумерного тора:

где — компактное многообразие. Предположим, что отображение частично гиперболическое, и его центральное слоение — это вертикальное слоение {}. Тогда существует такое число > 0, что для любого гладкого отображения, 2 (, ) < милноровский аттрактор отображения (по отношению к мере Лебега 3 на ) пересекает каждый центральный слой отображения.

Очень похожий результат был доказан (хотя и не сформулирован в виде отдельного утверждения) в книге [2, p. 215]. Я благодарен В. Клепцыну, который обратил мое внимание на эту книгу. Доказательство, приведенное ниже, во многом повторяет последний абзац доказательства Предложения 11. из этой книги, но излагается гораздо подробнее.

Доказательство Выберем таким образом, чтобы для любого гладкого отображения, 2 (, ) < выполнялось условие dominated splitting, и чтобы сильно неустойчивое слоение исходного отображения содержалось в сильно неустойчивых конусах возмущенного отображения.

Будем доказывать утверждение от противного. Предположим, что для некоторого 2 -гладкого возмущения, 2 (, ) <, существует такой слой центрального слоения, что милноровский аттрактор () не пересекает этот слой. Тогда милноровский аттрактор отображения не пересекает и насыщение малой окрестности этого слоя слоями центрального слоения.

Возьмем открытое множество. Рассмотрим множество таких точек 2, что их образы под действием никогда не попадают в :

Множество является пересечением семейства замкнутых множеств, поэтому замкнуто. Заметим, что объединение всех прообразов множества — множество () — содержит все точки, что -предельное множество точки не пересекается с :

Действительно, если точка не принадлежит объединению 0 (), то включение () выполнено для бесконечного количества. В таком случае орбита точки имеет предельную точку в Cl, следовательно, -предельное множество точки пересекается с.

Напомним, что по предположению аттрактор Милнора не пересекает ;

значит, множество точек, -предельное множество которых не пересекает, имеет полную меру. Следовательно, объединение всех прообразов () также имеет полную меру. Поэтому множество должно иметь положительную меру Лебега.

По теореме Фубини, тогда существует точка 0 и неустойчивый слой 2 линейного диффеоморфизма Аносова, что пересечение (() {0 }) имеет положительную одномерную меру Лебега. Через обозначим кривую () = ((), 0 ). Тогда множество { | () } имеет положительную меру Лебега. Не теряя общности, можно считать, что 0 является точкой плотности этого множества:

Выберем маленькое положительное число > 0. Возьмем интервал (, ), для которого Пусть ( ) — наименьшее натуральное число, для которого образ кривой |(, ) под действием отображения ( ) длиннее единицы. Из леммы Данжуа об искажении следует, что существует константа = (, ), такая, что Следовательно, Теперь рассмотрим семейство кривых = ( ) ((, )) для маленьких положительных чисел. По теореме Арцела--Асколи, у этого семейства есть предельная точка в пространстве 1 -гладких кривых. Эту предельную кривую (с натуральной параметризацией) обозначим 0. Из неравенства (1.24) следует, что пересечение Im 0 имеет полную меру в Im 0. Напомним, что — замкнутое множество, поэтому Im 0.

По теоремам Хирша--Пью--Шуба и Городецкого--Ильяшенко, существует проекция 2, для которой следующая диаграмма коммутативна.

Образ 0 кривой 0 под действием проекции — это гладкая кривая в 2, образы которой под действием итераций не пересекают открытое множество. Но это невозможно. Полученное противоречие завершает доказательство Используя эту лемму, легко показать, что максимальный аттрактор совпадает с аттрактором Милнора. Действительно, милноровский аттрактор возмущенного отображения пересекает каждый слой центрального слоения. С другой стороны, максимальный аттрактор содержит аттрактор Милнора. Значит, милноровский аттрактор должен содержать ту часть максимального аттрактора, которая представляет собой график. Но график плотен в максимальном аттракторе, значит, милноровский аттрактор совпадает с максимальным аттрактором.

Итак, мы доказали, что отображение имеет костлявый аттрактор без полых костей.

1.9.1 От отрезка к окружности Мы построили такое косое произведение над линейным диффеоморфизмом Аносова со слоем отрезок, что любое достаточно близкое к нему гладкое отображение имеет костлявый аттрактор без полых костей. Рассмотрим полосу = 2. Приклеим эту полосу к нашему фазовому пространству так, чтобы получился трехмерный тор, и продолжим отображение на весь трехмерный тор; в полосе отображение будет действовать линейными растяжениями. Тогда (), значит, и () для отображения, достаточно близкого к. Поэтому максимальный аттрактор исходного отображения | является локально максимальным аттрактором для нового отображения, и новое отображение имеет костлявый аттрактор без полых костей.

2 Бильярды Результаты этой главы получены совместно с А. Глуцюком.

2.1 Введение 2.1.1 Основные результаты Пусть — область с кусочно-гладкой границей. Рассмотрим бильярд в области — динамическую систему, которая описывает движение материальной точки («бильярдного шара») в области. Внутри области шар движется по отрезкам прямых, а от границы области отражается по обычному закону отражения: угол падения равен углу отражения. Фазовое пространство такой динамической системы — это множество пар (, ), где — точка отражения, а — скорость шара в этой точке (единичный вектор, направленный внутрь области ). Динамическую систему задаёт переход от одного момента отражения к следующему.

Эта глава посвящена частному случаю следующей проблемы, поставленной В. Я. Иврием в 1978 году.

Гипотеза 2.1.1 (В. Я. Иврий, 1978) Для области в с достаточно гладкой границей множество периодических орбит соответствующего бильярда имеет меру нуль.

Более формально, мы изучаем множество пар (, ), таких что орбита (, ) под действием бильярдного отображения конечна.

Очевидно, достаточно доказать, что для любого натурального числа множество -угольных орбит имеет меру нуль. Для = 2 это утверждение тривиально. Для треугольных траекторий в плоском бильярде это утверждение было доказано М. Рыхликом [14]. Позже Я. Воробец [17] обобщил результат Рыхлика на бильярды большей размерности.

Мы докажем, что множество четырехугольных периодических орбит в бильярде на плоскости имеет меру нуль.

Теорема 2.1.2 Существует такое натуральное число, что для любого бильярда на плоскости с кусочно -гладкой границей множество 4 имеет меру 0.

Эта теорема очевидным образом вытекает из двух следующих.

Теорема 2.1.3 Предположим, что для любого существует бильярд в с кусочно -гладкой границей, для которого множество имеет положительную меру. Тогда существует бильярд в с кусочно-аналитической границей, для которого множество имеет внутреннюю точку в пространстве всех орбит.

Теорема 2.1.4 Для любого бильярда на плоскости с кусочно-аналитической границей множество 4 не имеет внутренних точек.

2.1.2 От гипотезы Вейля к гипотезе Иврия Хотя гипотеза 2.1.1 сформулирована в терминах теории математических бильрядов, она возникла как геометрическое условие в следующей проблеме из теории уравнений в частных производных.

Рассмотрим задачу Дирихле для оператора Лапласа в некоторой области. Лапласиан — отрицательно определенный самосопряженный оператор, значит, его собственные значения с граничными условиями Дирихле | = 0 — отрицательные вещественные числа 0 2 2 … … Пусть () — количество собственных значений 2, для которых 2 < 2, то есть Вопрос 2.1.5 Каково асимптотическое поведение функции ()?

Г. Вейль [16] доказал, что число () асимптотически пропорционально Теорема 2.1.6 (H. Weyl, 1911) где 0 = (2), а — объём -мерного единичного шара.

Кроме того, он получил более точную асимптотику для функции () в где 1 = 1 (2)1 1, а mes — ( 1)-мерная мера. Вейль предположил, что полученная им формула (2.2) верна и для любой другой области с достаточно гладкой границей.

Над гипотезой Вейля работали многие математики, в том числе Р. Курант, Б. М. Левитан, В. Авакумович, Л. Хёрмандер, Дж. Дейстермаат, В. Гийемин, R. Seeley и В. Я. Иврий. Лучший результат был получен Иврием, который в работе [21] доказал гипотезу Вейля для областей, удовлетворяющих дополнительному геометрическому условию.

Теорема 2.1.7 (В. Я. Иврий, 1980) Пусть — область в с достаточно гладкой границей. Предположим, что в соответствующем бильярде множество периодических орбит имеет меру 0. Тогда для выполнено асимптотическое равенство (2.2).

Это геометрическое условие является непосредственным аналогом условия, возникающего при исследовании аналогичной задачи для римановых многообразий без края: в этом случае приходится требовать, чтобы мера множества замкнутых геодезических равнялась нулю.

В 1978 году В. Я. Иврий 10 сделал доклад на одном из ведущих семинаров по теории бильярдов — семинаре Я. Г. Синая в МГУ. В ходе доклада В. Я. Иврий сформулировал гипотезу 2.1.1 о том, что возникшее у него геометрическое 10 В этот момент теорема Иврия уже была доказана, но ещё не была опубликована условие выполнено для всех бильярдов с достаточно гладкой границей. Участники семинара сказали, что через неделю–другую докажут эту гипотезу. Однако… Вопрос до сих пор открыт!

Как мы уже говорили, случай треугольных орбит изучили М. Рыхлик в работе [14] и Я. Воробец в работе [17]. В данной работе изучен случай четырёхугольных траекторий в плоских бильярдах.

2.2 Сведение к аналитическому случаю В этом параграфе мы докажем теорему 2.1.3.

2.2.1 Идея доказательства Сначала для анализа ситуации предположим чуть больше, чем дано в условии теоремы. А именно, предположим, что существует бильярд, такой что у множества есть внутренняя точка, соответствующая -угольной орбите 1 2 …. Фазовое пространство бильярда 2( 1)-мерно, поэтому окрестность орбиты 1 2 … — 2( 1)-мерное семейство -угольных траекторий.

Рассмотрим это семейство как 2(1)-мерное подмногообразие в -мерном пространстве всех -угольников в. Заметим, что касательная плоскость к этому многообразию принадлежит ( 1)-мерной плоскости …, причём эта плоскость зависит только от самого многоугольника 1 2 …, а не от бильярда. Действительно, каждая касательная гиперплоскость — это ортогональное дополнение к биссектрисе угла 1 +1.

Таким образом, мы построили аналитическое ( 1)-мерное распределение в пространстве всех -угольников в. Окрестность внутренней точки множества — это 2( 1)-мерная интегральная поверхность распределения. Более того, можно показать, что бильярд с кусочно -гладкой границей задаёт 2( 1)-мерную интегральную -струю распределения :

-струю 2( 1)-мерной поверхности, которая в точке 1 2 … удовлетворяет не только всем уравнениям, задающим плоскость, но и частным производным этих уравнений до порядка 1 включительно.

В силу теоремы Картана--Кураниши--Рашевского [3, 12 и 26], если у аналитического распределения существуют интегральные -струи сколь угодно высокого порядка, то у этого распределения существует и аналитическая интегральная поверхность той же размерности. Для окончания доказательства нам остаётся показать, что по данному 2( 1)-мерному интегральному аналитическому многообразию распределения, далёкому от нескольких «вырожденных» семейств, можноо построить бильярд с кусочно-аналитической границей, для которого у множества есть внутренняя точка.

2.2.2 Формальное доказательство теоремы 2.1. Пусть для любого существует бильярд с кусочно -гладкой границей, для которого мера множества положительна.

Зафиксируем, и докажем, что существует -струя 2( 1)-мерного подмногообразия, касательная к распределению. Пространство всех бесконечных бильярдных траекторий 1 … +1 … имеет размерность 2( 1), причём оно инъективно проецируется на множество пар точек (1, 2 ). Следовательно, образ этого пространства при проекции на множество наборов (1, …, ) — подмногообразие в размерности 2( 1). Множество периодических орбит 1 … длины — подмножество многообразия ненулевой меры. Для каждого элемента этого множества касательное пространство к в точке (1, … ) содержится в соответствующей плоскости распределения. Следовательно, -струя этого -гладкого 2( 1)-мерного подмногообразия касается распределения в любой точке Лебега множества, причём ранг каждой из проекций 1 … равен 1.

Из основной теоремы главы XI книги П. К. Рашевского [26] следует, что для достаточно большого и для любой 2( 1)-мерной интегральной -струи распределения существует 2( 1)-мерный интегральный аналитический росток с такой -струей. Напомним, что проекции, (1 … ) =, имеют ранг 1. Рассмотрим кусочно-аналитический бильярд, граница которого содержит, в частности, образы проекций. Тогда для этого бильярда множество имеет внутреннюю точку.

2.3 Аналитический случай 2.3.1 Основные обозначения Вопрос о том, является ли данная -угольная периодическая траектория 1 2 … 1 внутренней точкой множества — локальный. То есть для ответа на этот вопрос достаточно знать только ростки границы в вершинах 1, …,. Поэтому естественным образом возникает следующее определение.

Определение 2.3.1 Набор ростков границы области в точках 1, …, называется -ударным бильярдным ростком, если траектория 1 2 … периодична и является внутренней точкой.

Ростки границы мы также будем называть зеркалами.

Наша цель — доказать, что аналитических 4-ударных бильярдных ростков не существует. Мы докажем этот факт от противного: предположим, что такой росток существует, и рассмотрим его максимальное аналитическое продолжение, а также максимальное аналитическое продолжение двумерного семейства четырёхугольных периодических орбит. Оказывается, что любая траектория, лежащая на границе такого аналитического продолжения, должна быть вырожденной. Мы будем изучать возможные типы её вырождений.

В дальнейшем иногда нам придётся выделять и отдельно рассматривать случай, когда вершина 4-угольной периодической траектории является особой точкой соответствующего зеркала. А иногда мы будем объединять разные типы вырождения и рассматривать случай, когда вершина 4-угольной периодической траектории является отмеченной в смысле следующего определения.

Определение 2.3.2 Пусть 1, 2, …, — аналитические кривые на плоскости. Будем говорить, что точка плоскости — отмеченная, если она или является особой точкой одной из кривых (включая точки самопересечения), или является точкой пересечения двух различных кривых.

Подчеркнём, что слова «двух различных кривых» в этом определении означают, что если даже для каких-то двух различных индексов кривые и совпадают, мы не будем по этой причине отмечать все точки кривой =.

Поэтому множество отмеченных точек не более чем счётно.

Нам часто придётся рассматривать семейства бильярдных траекторий, в которых одна из вершин приближается к особой точке соответствующего зеркала. При этом мы будем пользоваться следующим соглашением.

Соглашение 2.3.3 Будем говорить, что гладкая кривая имеет касательную в особой точке 0, если касательная в точке стремится к при В частности, мы можем говорить о касательной к кривой в особой точке типа касп.

Определение 2.3.4 Будем говорить, что четырёхугольник вырожден, если выполнено одно из следующих условий:

• один из углов четырёхугольника равен.

Обратим внимание на то, что невырожденный четырёхугольник может быть самопересекающимся.

2.3.2 Доказательство теоремы 2.1. Предположим, что заключение теоремы неверно. Тогда существует четырёхударный аналитический бильярдный росток (,,, ). Рассмотрим максимальные аналитические продолжения ростков зеркал и периодических семейств траекторий. Наша стратегия будет заключаться в том, чтобы продолжить зеркала достаточно далеко и получить противоречие.

А именно, в предложении 2.3.18 мы, грубо говоря, докажем, что если у четырёхугольника один из углов — развёрнутый, то он не может быть пределом двупараметрического семейства 4-периодических бильярдных траекторий.

Это следует из того, что соответствующее отображение Пуанкаре не тождественно: когда отражение близко к движению по касательной, задаваемое им отображение Пуанкаре на границе бильярда имеет вид (, ) ( +, );

такое отображение нельзя получить с помощью «обычных» отражений.

С другой стороны, мы покажем, что, «раскрывая» один из углов 4-периодической траектории, всегда можно в пределе получить четырёхугольник, один из углов которого — развёрнутый. Из этого противоречия будет следовать утверждение теоремы.

Заменим аналитические ростки,, и их аналитическими продолжениями до максимальных аналитических кривых. Ясно, что аналитические продолжения зеркал,, и могут пересекать бильярдные траектории, поэтому мы разрешим траекториям пролетать сквозь «неправильные» части зеркал.

Соглашение 2.3.5 Если аналитическая кривая имеет предел в положительном или отрицательном направлении, мы присоединим этот предел (или эти пределы) к кривой, и будем считать их особыми (а значит, отмеченными) точками полученной кривой.

Вершины четырёхугольника движутся в направлениях внешних биссектрис углов этого четырёхугольника, поэтому периметр четырёхугольника не меняется. Не ограничивая общности рассуждений, мы можем считать, что этот периметр равен единице:

Мы будем подходить к границе пространства четырёхугольных бильярдных траекторий вдоль специальных «угловых семейств»: =, угол = растёт. Точнее, фиксируем некоторую исходную четырёхударную траекторию. По определению четырёхударности, является внутренней точкой множества четырёхугольных бильярдных траекторий. Следовательно, зафиксировав точку, мы получим маленькое однопараметрическое семейство четырёхугольных бильярдных траекторий, параметризованное углом =. Пусть, (, + ) — максимальное аналитическое продолжение этого семейства. Очевидно, что, и для всех. Если угол + больше, то мы ограничим угловое семейство на интервал (, ) и изменим обозначения, положив + =. В дальнейшем мы будем предполагать, что +.

Замечание 2.3.6 Вершины, и могут быть особыми точками соответствующих зеркал для некоторых значений (, + ).

Обозначение 2.3.7 Обозначим через, и углы, и, соответственно. Обозначим через +, +, +, +, + и + пределы (если они существуют) точек,, и углов, и при +, соответственно.

Рассмотрим четвёртую степень бильярдного отображения (то есть отображение за четыре отражения от границы бильярда). Поскольку исходная траектория — четырёхударная, это отображение тождественно в некоторой окрестности исходной пары (, ). С другой стороны, это отображение — аналитическое. Следовательно, его аналитическое продолжение вдоль семейства траекторий тоже тождественно, то есть все траектории — четырёхударные.

Лемма 2.3.8 Для любого исходного четырёхугольника имеет место один из следующих случаев.

1. Хотя бы один из пределов + = lim, + = lim и + = lim не существует.

2. Четырёхугольник + + + вырожден в смысле определения 2.3.4.

3. Хотя бы две из точек +, + и + — особые точки соответствующих зеркал.

Доказательство Предположим противное. Тогда для какого-то углового семейства • существуют пределы +, + и + ;

• хотя бы два из этих пределов — неособые точки соответствующих зеркал;

• четырёхугольник + + + невырожден.

Без ограничения общности рассуждений можно считать, что точка + — неособая точка кривой, и одна из точек + и + — также неособая точка соответствующей кривой. Тогда семейство аналитически продолжается на больший интервал. Заметим, что лучи и зависят только от, и.

Действительно, прямая — образ прямой при симметрии относительно касательной к в точке, а луч выходит из точки под известным углом.

Рассмотрим два случая.

Случай I. + — неособая точка кривой. Тогда семейство аналитически продолжается на больший интервал как пересечение луча с кривой. Следовательно, мы можем определить луч для значений, достаточно близких к + (в том числе для значений, больших + ). Таким образом, мы можем определить точку как пересечение лучей и. Напомним, что +. Следовательно, для значений, достаточно близких к +, эта точка пересечения существует, единственна и аналитически зависит от. Итак, мы можем продолжить семейство на больший интервал, что противоречит предположению о максимальности интервала ( ; + ). Таким образом, этот случай невозможен.

Случай II. + — неособая точка кривой. Тогда семейство аналитически продолжается на больший интервал как точка пересечения луча с кривой. Следовательно, луч определён для значений, близких к + (в том числе для значений, превосходящих + ). Осталось определить точку как пересечение лучей и. Как и в предыдущем случае, это возможно в силу неравенства +. Итак, в этом случае мы тоже продолжили семейство на больший интервал. Следовательно, и этот случай невозможен.

Оказывается, раскрывать угол в произвольной вершине четырёхугольника неудобно, поэтому мы сначала перенумеруем вершины так, чтобы выполнялось следующее условие.

Соглашение 2.3.9 (Соглашение о нумерации) Будем говорить, что для четырёхударного ростка (,,, ) выполнено соглашение о нумерации, если 1. ни одно из зеркал и — не прямая;

2. если одно из зеркал — эллипс, то или, или — эллипс или прямая.

Заметим, что переименовать зеркала таким образом можно, если среди них не более одной прямой. Действительно, если одно из зеркал — прямая, достаточно переименовать зеркала так, чтобы зеркало было прямой. Если же среди зеркал нет ни одной прямой, первое требование выполнено автоматически, а выполнения второго требования легко добиться.

Лемма 2.3.10 Не более одного из зеркал,,, — прямая.

Следующее изящное доказательство было предложено В. А. Клепцыным.

Доказательство Предположим, что как минимум две из кривых,, и — прямые. Рассмотрим два случая.



Pages:     || 2 |


Похожие работы:

«КОЗЭЛЬ ОЛЬГА СЕРГЕЕВНА ПРОЗА ФАЗИЛЯ ИСКАНДЕРА. МИРОВИДЕНИЕ ПИСАТЕЛЯ. ПОЭТИКА Специальность: 10.01.02 – Литературы народов Российской Федерации ДИССЕРТАЦИЯ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ КАНДИДАТА ФИЛОЛОГИЧЕСКИХ НАУК Научный руководитель д.ф.н. Бигуаа В.А. Москва 2006 СОДЕРЖАНИЕ Введение..3 ГЛАВА I..10 ГЛАВА II..86 Заключение.. Библиография.. ВВЕДЕНИЕ В творчестве каждого крупного писателя, каким, несомненно,...»

«ИЗ ФОНДОВ РОССИЙСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЙ БИБЛИОТЕКИ Нуржасарова, Майра Абдрахмановна Теоретические и методологические принципы проектирования современной одежды на основе традиционного казахского костюма Москва Российская государственная библиотека diss.rsl.ru 2006 Нуржасарова, Майра Абдрахмановна.    Теоретические и методологические принципы проектирования современной одежды на основе традиционного казахского костюма  [Электронный ресурс] : Дис. . д­ра техн. наук  : 05.19.04. ­ Алматы: РГБ,...»

«КРАСНОВ Владимир Александрович ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ТЕОРИИ ОБЪЕМОВ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ МНОГОГРАННИКОВ 01.01.04 – геометрия и топология ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Научные руководители: доктор физико-математических наук В.П. Лексин, доктор физико-математических наук В.О. Мантуров Москва Оглавление Введение 0.1 Первичные определения и понятия.........»

«Евтеева Мария Юрьевна МОДЕЛИРОВАНИЕ СЕМАНТИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ ГЛАГОЛОВ ШИРОКОЙ СЕМАНТИКИ С ОБЩИМ ЗНАЧЕНИЕМ ДЕЛАТЬ В ЕСТЕСТВЕННОМ ЯЗЫКЕ 10.02.19 – теория языка Диссертация на соискание ученой степени кандидата филологических наук Научный руководитель – доктор филологических наук, профессор Сулейманова О. А....»

«УДК 621.372; 621.373 Чупраков Дмитрий Арефьевич ФОРМИРОВАНИЯ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СОЛИТОНОВ В СРЕДАХ С КВАДРАТИЧНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ (01.04.03 - радиофизика) Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор С У Х О Р У К О Е А. П. Москва - о ГЛ А В Л...»

«Сологуб Глеб Борисович РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ И КОМПЛЕКСА ПРОГРАММНЫХ СРЕДСТВ ИМИТАЦИОННОГО ТЕСТИРОВАНИЯ ЗНАНИЙ НА ОСНОВЕ СЕМАНТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ 05.13.11 —...»

«Гордеева Тамара Олеговна МОТИВАЦИЯ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ШКОЛЬНИКОВ И СТУДЕНТОВ: СТРУКТУРА, МЕХАНИЗМЫ, УСЛОВИЯ РАЗВИТИЯ 19.00.07 - Педагогическая психология (психологические наук и) Диссертация на соискание ученой степени доктора психологических наук Москва - 2013 2 ОГЛАВЛЕНИЕ Введение Глава 1. Проблема внутренних и внешних источников успешности учебной деятельности 1.1. Интеллектуальные...»

«Баранова Любовь Николаевна ФОРМИРОВАНИE КОМПЛЕКСНОГО ПОДХОДА К ВОЗВЕДЕНИЮ И ЭКСПЛУАТАЦИИ ЖИЛЫХ ОБЪЕКТОВ КАК НАПРАВЛЕНИЕ ПОВЫШЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ УПРАВЛЕНИЯ ЖИЛИЩНЫМ СТРОИТЕЛЬСТВОМ Специальность 08.00.05 -Экономика и управление народным хозяйством (экономика, организация и управление предприятиями, отраслями,...»

«ИЗ ФОНДОВ РОССИЙСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЙ БИБЛИОТЕКИ Ширяев, Валерий Анатольевич Совершенствование системы производственного контроля на угольных предприятиях Кузбасса Москва Российская государственная библиотека diss.rsl.ru 2006 Ширяев, Валерий Анатольевич.    Совершенствование системы производственного контроля на угольных предприятиях Кузбасса [Электронный ресурс] : Дис. . канд. техн. наук  : 05.26.03. ­ Кемерово: РГБ, 2006. ­ (Из фондов Российской Государственной Библиотеки)....»

«УДК 524.352; УДК 524.354 Пружинская Мария Викторовна Сверхновые звёзды, гамма-всплески и ускоренное расширение Вселенной Специальность: 01.03.02 астрофизика и звёздная астрономия ДИССЕРТАЦИЯ на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук Научный руководитель : д.ф.-м.н., профессор Липунов Владимир Михайлович Москва Содержание Введение...»

«Налегач Наталья Валерьевна ПУШКИНСКАЯ ТРАДИЦИЯ В ПОЭЗИИ И. АННЕНСКОГО 10. 01. 01. – Русская литература Диссертация на соискание ученой степени кандидата филологических наук Научный руководитель : кандидат филологических наук, доцент Л.А. Ходанен Томск, 2000 ВВЕДЕНИЕ § 1. ТВОРЧЕСТВО И. АННЕНСКОГО И ПРОБЛЕМА ЛИТЕРАТУРНОЙ ПРЕЕМСТВЕННОСТИ.4 § 2. ПРОБЛЕМА МИФОЛОГИЗМА В ТВОРЧЕСТВЕ А.С. ПУШКИНА И И.Ф....»

«Дмитриев Юрий Конетаитииович ~ РЕСУРСО-И ЭНЕРГОСБЕРЕГАЮЩИЕ ТЕХНОЛОГИИ ПРОИЗВОДСТВА ХЛОРОРГАНИЧЕСКИХ ПРОДУКТОВ НА ОСНОВЕ ЭТИЛЕНА И ПРОПИЛЕНА Специальность 02.00.13 -Нефтехимия ДИССЕРТАЦИЯ в виде научного доклада на соискание ученой степени доктора технических...»

«РОСЛАВЦЕВА Юлия Геннадьевна ОБОСНОВАНИЕ ОБЪЕМОВ ГОРНЫХ РАБОТ ПРИ ПОЭТАПНОЙ РАЗРАБОТКЕ МАЛЫХ МЕСТОРОЖДЕНИЙ ОТКРЫТЫМ СПОСОБОМ Специальность 25.00.21 – Теоретические основы проектирования горнотехнических систем Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук Научные руководители: Владимир Павлович Федорко доктор технических наук, профессор Федор...»

«ХОХЛОВА Анна Александровна ОСОБЕННОСТИ ВЛИЯНИЯ АБИОТИЧЕСКИХ И БИОТИЧЕСКОГО ФАКТОРОВ НА РЕПРОДУКТИВНУЮ СИСТЕМУ РАСТЕНИЙ ТОМАТА LYCOPERSICON ESCULENTUM MILL. Специальность: 06.01.05 – селекция и семеноводство сельскохозяйственных растений ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата биологических наук Научный...»

«Хомяков Иван Сергеевич ПРЕВРАЩЕНИЕ БЕНЗИНОВОЙ ФРАКЦИИ В ВЫСОКООКТАНОВЫЕ КОМПОНЕНТЫ БЕНЗИНА НА МОДИФИЦИРОВАННЫХ ЦЕОЛИТНЫХ КАТАЛИЗАТОРАХ 02.00.13 –Нефтехимия Диссертация на соискание ученой степени кандидата химических наук Научный руководитель : д-р техн. наук, профессор, заслуженный деятель науки РФ В.И....»

«БЕСЕДИН Артем Александрович ПОВЫШЕНИЕ КОМПЛЕКСНОСТИ ПЕРЕРАБОТКИ БОКСИТОВ ЗА СЧЕТ УТИЛИЗАЦИИ КРАСНОГО ШЛАМА В ПРОИЗВОДСТВЕ ПОРТЛАНДЦЕМЕНТА Специальность 05.16.02 – Металлургия черных, цветных и редких металлов ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата...»

«Грибский Максим Петрович УДК 537.86 ФИЗИКА ПРОЦЕССОВ НАПРЯЖЕННЫХ ТОКОВЫХ И ТЕПЛОВЫХ РЕЖИМОВ МИКРОСХЕМ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ИМПУЛЬСНЫХ СВЧ-ПОЛЕЙ 01.04.01 - Физика приборов, элементов и систем Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук Научный руководитель Старостенко Владимир Викторович доктор ф.-м. наук, доцент кафедры радиофизики и электроники...»

«ЧЕРНОВА Татьяна Львовна УДК 330.15; 540.06. ЭКОЛОГО-ОРИЕНТИРОВАННОЕ УПРАВЛЕНИЕ РАЗВИТИЕМ НЕФТЕГАЗОДОБЫВАЮЩЕГО КОМПЛЕКСА АВТОНОМНОЙ РЕСПУБЛИКИ КРЫМ Специальность 08.00.06 – экономика природопользования и охраны окружающей среды Диссертация на соискание ученой степени кандидата экономических наук Научный руководитель : Никитина Марина Геннадиевна, доктор географических наук, профессор Симферополь – СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ...»

«ОСИПОВА Елена Анатольевна АКСИОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ СВЯЗЕЙ С ОБЩЕСТВЕННОСТЬЮ В УСЛОВИЯХ ГЛОБАЛИЗАЦИИ Специальность 09.00.11 – социальная философия Диссертация на соискание ученой степени доктора философских наук Научный консультант : Доктор философских наук, доцент О.Б. Скородумова Москва – 2011 ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ.. 4 ГЛАВА I. ТЕОРЕТИКО-МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ АНАЛИЗА СВЯЗЕЙ С ОБЩЕСТВЕННОСТЬЮ КАК СОЦИОКУЛЬТУРНОГО...»

«Боженькина Светлана Александровна ВРАЧЕБНАЯ ПРОФЕССИЯ В ВОСПИТАТЕЛЬНОГУМАНИСТИЧЕСКОМ ИЗМЕРЕНИИ (ОПЫТ СОЦИАЛЬНОФИЛОСОФСКОГО АНАЛИЗА) Специальность 09.00.11 – социальная философия ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата философских наук Научный руководитель – доктор философских наук Ковелина Татьяна Афанасьевна...»






 
2014 www.av.disus.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.