«ПЛЮРИГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУРЬЕ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ...»

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ДУБЦОВ

Евгений Сергеевич

ПЛЮРИГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУРЬЕ

И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ

01.01.01 — математический анализ

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 2004 Содержание Введение 4 Основные обозначения и определения 10 Работы автора по теме диссертации 1 Глава 1. Плюригармонический анализ мер 1.1. Меры Хенкина 1.2. Плюригармонические меры и сингулярные множества 1.3. Плюригармонические произведения Рисса 1.4. L2 -обобщенные произведения Рисса 1.5. L -обобщенные произведения Рисса 1.6. L2 -допустимые мажоранты 1.7. Большие размерности 1.8. Многомерная теорема Ивашева-Мусатова 1.9. Сверточные степени срез-мер Глава 2. Гладкие меры и их интегралы Пуассона 2.1. Гладкие меры на сфере 2.2. Меры Зигмунда и симметричные меры 2.3. Кубы и параллелепипеды 2.4. Гармонические продолжения 2.5. Критическая скорость убывания Глава 3. Факторизация и задачи теории функций 3.1. Факторизационная теорема для класса Неванлинны 3.2. Ограниченные функции из малого пространства Блоха 3.3. Внутренние функции из малого пространства Блоха 3.4. Исправленные внешние функции и пространства Бесова 3.5. Слабо внешние внутренние функции 3.6. Циклические функции и теорема о короне 3.7. Слабо внешние функции с предписанным модулем 3.8. Операторы композиции и обратный сдвиг Лейбензона Литература Введение Настоящая работа в первую очередь посвящена исследованию функций и мер, заданных на единичной комплексной сфере S = Sn = { Cn : || = 1}, n 2.

Отметим, что сфера является однородным пространством, а именно, S = U(n)/U(n 1), где U(n) обозначает группу всех унитарных операторов на гильбертовом пространстве Cn.

Задачи гармонического анализа. Общие конструкции абстрактного гармонического анализа могут быть явно реализованы на сфере S в терминах пространств H(p, q), (p, q) Z2.

+ Определение. Зафиксируем размерность n. Векторное пространство H(p, q) по определению состоит из однородных гармонических многочленов бистепени (p, q) Z2. Это означает, что рассматриваемые полиномы + имеют степень p по переменным z1, z2,..., zn, степень q по переменным z 1, z 2,..., z n и общую степень p + q. Тот же символ будет использоваться для сужения H(p, q) на сферу S.

Часто H(p, q) называют пространством комплексных сферических гармоник.

Обозначим символом нормированную меру Лебега на сфере. Отметим, что Особенности гармонического анализа на S удачно иллюстрирует следующее правило умножения для пространств H(p, q): если f H(p, q) и g H(r, s), то произведение f g принадлежит сумме где L = min(p, s)+min(q, r). Доказательства сформулированных фактов и дальнейшие сведения о комплексных сферических гармониках изложены в главе 12 монографии [17].

Обозначим символом M (S) пространство всех комплексных регулярных борелевских мер на сфере S. Пусть Kpq (z, ) — воспроизводящее ядро для пространства H(p, q) L2 (). Тогда многочлен называют H(p, q)-проекцией меры µ M (S). Обозначение spec(µ) используется для спектра меры µ M (S) в терминах комплексных сферических гармоник. А именно, по определению полагаем Если n = 1 (одномерный случай), то многие пространства H(p, q) являются тривиальными: H(p, q) = {0} при pq = 0. Далее, в этом случае имеет место равенство Kp0 (z, ) = z, поэтому многочлены µp0 непосредственно выражаются через коэффициенты Фурье: µp0 (z) = µ(p)z p Всюду ниже будем отождествлять функцию f L1 (S) и меру f M (S). Таким образом, изложенные выше определения распространяются на функции из пространства L1 (S).

В первой главе диссертации решаются задачи гармонического анализа, мотивированные изучением общего принципа неопределенности и поиском количественных границ применимости данного принципа. А именно, вводится и исследуется понятие сингулярного спектрального множества (разделы 1.1–1.2). При этом естественно возникает вопрос о построении Q-плюригармонических сингулярных мер. Соответствующая задача и ее обобщения, связанные с классической теоремой Ивашева-Мусатова, решаются с помощью плюригармонических произведений Рисса (разделы 1.3–1.9).

Вторая глава практически целиком посвящена изучению влияния свойств меры на свойства ее интеграла Пуассона и наоборот. Конкретные исследуемые свойства таковы: ограничения на модуль непрерывности (раздел 2.1), свойство Зигмунда и симметричность (разделы 2.2–2.5).

Задачи теории функций. Во многих случаях конкретный выбор рассматриваемых вопросов гармонического анализа обусловлен задачами теории функций в единичном комплексном шаре Классическим примером подобного взаимодействия гармонического анализа и теории функций может служить взаимопроникновение анализа Фурье на единичной окружности T и теории функций в единичном круге D = { C : || < 1}. Соответствующие одномерные результаты часто мотивируют многомерные задачи, исследуемые в главе 3.

В третьей главе собраны приложения, которые в первую очередь обусловлены поиском правильных аналогов теоремы о канонической факторизации. Изучаются следующие случаи: классы Неванлинны и Смирнова в шаре (раздел 3.1), малое пространство Блоха в шаре (разделы 3.2–3.3), аналитические пространства Бесова в круге (раздел 3.4). Дальнейшее развитие данной темы связано с задачами о (слабо) внешних функциях и циклических векторах (разделы 3.5–3.7). Несколько обособленный вопрос об операторах композиции рассмотрен в разделе 3.8.

Компактные операторы Ганкеля. Также отметим, что связующим элементом между вопросами, рассматриваемыми в диссертации, оказывается свойство компактности для операторов типа Ганкеля.

Зафиксируем множество (спектр) Z2 и положим Рассмотрим ортогональный проектор K : L2 (S) L2 (S) (проектор Коши–Сегё).

Каждая функция (символ) L (S) порождает -спектральный оператор типа Ганкеля (кратко, -оператор Ганкеля) H, : L2 (S) L2 (S) с помощью формулы Определение. Спектр Z2 обладает свойством компактного оператора Ганкеля (кратко, (КГ)), если преобразование H, сохраняет пространство C(S) и оператор H, : C(S) C(S) компактен для каждого многочлена на сфере S.

Сформулированное свойство оказывается решающим при изучении мер Хенкина (раздел 1.1), а также при построении и исследовании плюригармонических произведений Рисса (разделы 1.3–1.9 и 3.3) и подобных объектов (см., например, раздел 3.2). Наконец, КГ-свойство позволяет доказать факторизационную теорему для класса Неванлинны в шаре (раздел 3.1).

Чтобы немедленно получить иллюстрацию применения подобного свойства компактности рассмотрим правильные тройки, введенные А.Б. Александровым в статье [2]. Здесь уместно отметить, что рассуждения из работы [2] служат отправной точкой для конструкции плюригармонического произведения Рисса.

Правильные тройки и тугие подпространства. Пусть K — сепарабельное топологическое компактное пространство и µ — конечная положительная регулярная борелевская мера на K. В пространстве непрерывных функций C(K) зафиксируем подпространство X. Всюду ниже символом будем обозначать произвольную строго положительную непрерывную функцию на K. Положим по определению Определение. Тройка (X, K, µ) называется правильной, если выполнено одно из следующих эквивалентных свойств:

(П1) Существует число > 0 такое, что для всех выполнена оценка (П2) Для каждой функции и любого числа > 0 существует функция Далее, напомним, что в работе [43] Б. Коул и Т. Гамелин ввели весьма близкое к КГ-свойству понятие тугого (tight) пространства. Исследование строго тугих пространств было начато С. Сакконе в статье [84] (см.

также обзоры [85] и [54]). По определению замкнутое подпространство X C(K) называется строго тугим, если обобщенный оператор Ганкеля Sg : X C(K)/X, действующий по правилу f f g + X, является компактным для каждой функции g C(K).

Правильные тугие пространства. Для получения вышеупомянутой иллюстрации рассмотрим ограниченную область D Cn и положим X = A(D) = C(D) Hol(D). Отметим, что подпространство X C(D) является строго тугим, если D — это строго псевдовыпуклая область с границей класса C 2.

Напомним, что С. Сакконе ([85], предложение 6.1) доказал равносильность следующих свойств:

(Т1) Пространство X C(D) является строго тугим.

(Т2) Если последовательность {fj } X ограничена и сходится к нулю поточечно на D, то для всех g C(D) выполнено свойство Таким образом, имеет место следующий факт.

Предложение. Пусть пространство A(D) является строго тугим.

Рассмотрим положительную меру µ M (D). Тогда правильность тройки (A(D), D, µ) равносильна следующему свойству:

(П3) Для любого числа > 0 существует такая непостоянная функция Доказательство. Свойство (П3) является частным случаем свойства (П2). Поэтому достаточно проверить, что (П3) (П1). Для этого зафиксируем строго положительную функцию C(D). Выберем столь малое > 0, что условие µE < гарантирует оценку Свойство (П3) доставляет соответствующую функцию f A(D). По предположению пространство A(D) является строго тугим, а также степени f A(D) сходятся к нулю поточечно на D. Поэтому можно восj пользоваться свойством (Т2) для g = 3/4. Следовательно, существует функция f A(D) такая, что |f | < и µ{|f | /2} > 1. Таким образом, Иными словами, свойство (П1) выполнено для = 1/5.

Основные обозначения и определения • B = Bn — единичный шар из Cn, n 1.

• S = Sn = Bn — единичная сфера.

• U = U(n) — группа всех унитарных операторов на гильбертовом пространстве Cn.

• = n и = n — нормированные меры Лебега на шаре B и сфере S соответственно.

При n = 1 часто удобно использовать специальные обозначения:

• M (S) — пространство всех комплексных регулярных борелевских мер на сфере S.

• Lp (S) = Lp (S, ). Функция f L1 (S) отождествляется с мерой • = pr(), где pr : Cn \ {0} CP n1 — каноническая проекция.

• = n — мера Лебега на Rn, n 1.

• Запись µ1 µ2 означает, что мера µ1 абсолютно непрерывна относительно меры µ2. Если меры µ1 и µ2 взаимно сингулярны, то используется обозначение µ1 µ2. Мера µ называется сингулярной, если µ и соответствующая мера Лебега взаимно сингулярны.

Гармонический анализ на сфере.

• H(p, q) — пространство однородных гармонических многочленов бистепени (p, q) Z2.

• µpq — H(p, q)-проекция меры µ M (S).

• spec(µ) = (p, q) Z2 : µpq 0 — спектр меры µ M (S).

• Мера µ M (S) называется плюригармонической, если Пусть Z2. Тогда • M (S) = {µ M (S) : spec(µ) };

Аналогично определяется пространство C (S).

• K : L2 (S) L2 (S) — ортогональный проектор.

Ядра и интегралы Пуассона.

• Ядро Пуассона в шаре:

• P [µ] — интеграл Пуассона меры µ M (S):

• Инвариантное ядро Пуассона в шаре:

• P[µ] — инвариантный интеграл Пуассона меры µ M (S):

• Ядро Пуассона для верхнего полупространства:

где константа Cn выбрана таким образом, что Пространства голоморфных функций.

• Hol(D) — пространство всех голоморфных функций в области D.

• H p (B) — классическое пространство Харди (p > 0):

Также в главе 3 вводятся и изучаются следующие пространства:

• N (B) — класс Неванлинны;

• N + (B) — класс Смирнова;

• B0 (B) — малое пространство Блоха;

• A1 (D) — аналитические пространства Бесова (0 < p 2);

• Hq (B) — весовые пространства Харди (q 0).

Организация работы. Диссертация разделена на три главы; результаты, полученные в первых двух главах, используются в третьей. Главы состоят из разделов. Для нумерации утверждений и формул используются номер раздела и номер по порядку.

Работы автора по теме диссертации 1. Дубцов Е.С. Правильные унитарно инвариантные пространства на комплексной сфере // Записки научных семинаров ПОМИ. 1998. Т.

255. С. 54–81.

2. Дубцов Е.С. Многомерная теорема Ивашева-Мусатова и срез-меры // Алгебра и анализ. 2002. Т. 14. Вып. 6. С. 101–128.

3. Дубцов Е.С. Слабо внешние внутренние функции // Функциональный анализ и его приложения. 2003. Т. 37. Вып. 2. С. 7–15.

4. Дубцов Е.С. Ограниченные циклические функции в шаре // Записки научных семинаров ПОМИ. 2003. Т. 303. С. 102–110.

5. Дубцов Е.С. Слабо циклические векторы с заданным модулем // Записки научных семинаров ПОМИ. 2003. Т. 303. С. 111–118.

6. Doubtsov E. Approximation on the sphere by Besov analytic functions // Studia Mathematica. 1997. V. 124. No. 2. P. 179–192.

7. Doubtsov E. Corrected outer functions // Proceedings of the American Mathematical Society. 1998. V. 126. No. 2. P. 515–522.

8. Doubtsov E. Henkin measures, Riesz products and singular sets // Annales de l’Institut Fourier (Grenoble). 1998. V. 48. No. 3. P. 699– 9. Doubtsov E. Singular measures with small H(p,q)-projections // Arkiv fr Matematik. 1998. V. 36. No. 2. P. 355–361.

10. Doubtsov E. Little Bloch functions, symmetric pluriharmonic measures and Zygmund’s dichotomy // Journal of Functional Analysis. 2000. V.

170. No. 2. P. 286–306.

11. Doubtsov E. Nevanlinna functions as quotients // Proceedings of the American Mathematical Society. 2000. V. 128. No. 10. P. 2899–2901.

12. Doubtsov E. Leibenzon’s backward shift and composition operators // Proceedings of the American Mathematical Society. 2001. V. 129. No. 12.

P. 3495–3499.

13. Doubtsov E. An inner function which is not weak outer // Comptes Rendus de l’Academie des Sciences de Paris. Sr. I. 2002. V. 334. No. 11.

P. 957–960.

14. Doubtsov E., Nicolau A. Symmetric and Zygmund measures in several variables // Annales de l’Institut Fourier (Grenoble). 2002. V. 52. No. 1.

P. 153–177.

1 Плюригармонический анализ мер Как отмечалось во введении, исследуемые в данной главе вопросы мотивированы эвристическим “принципом неопределенности”, который может быть сформулирован следующим образом:

Если ненулевая мера сосредоточена на малом множестве, то ее преобразование Фурье не может быть слишком малым.

Многочисленные конкретные проявления данного общего принципа представлены, например, в монографии [60]. В частности, классическая теорема братьев Риссов утверждает, что при µ M (T) из условия µ(k) = 0 для всех k Z следует, что мера µ абсолютно непрерывна.

Зафиксируем множество (спектр) Z2. Напомним, что по определению M (S) = {µ M (S) : spec(µ) }. Далее, положим M (S) = {µs : µs — сингулярная часть некоторой меры µ M (S)}.

Отметим, что в таких обозначениях теорема братьев Риссов приобретает следующий компактный вид: MZ+ (T) = {0}. Многомерные обобщеs ния данного результата были получены в статье [36]. Например, множество M (S) тривиально, если {(p, q) Z2 : q p} для некоторого Первая цель данной главы — исследовать спектральные множества, для которых заключение теоремы братьев Риссов не выполняется; точнее искомые множества должны обладать следующим довольно редким свойством.

Определение. Множество Z2 называется сингулярным, если (1.0.1) множества M (S) и MZ2 \ (S) нетривиальны;

(1.0.2) если µ M (S) и MZ2 \ (S), то µ (взаимно сингулярны).

Пусть Q Z+. Положим В разделе 1.2 будет установлен следующий результат.

Теорема 1.0.1 Для всех Q Z+ множество (Q) является сингулярным.

Спектр (0) является естественным объектом в комплексном анализе, так как spec(µ) (0) тогда и только тогда, когда интеграл Пуассона является плюригармонической функцией. Соответствующие меры называют плюригармоническими. Отметим, что в теории плюрипотенциала термин “плюригармоническая мера” применяется для совершенно иного объекта. По аналогии, если то будем говорить, что мера µ является Q-плюригармонической. Отметим, что добавление точки (0, 0) к множеству (Q) позволяет рассматривать положительные Q-плюригармонические меры.

Для доказательства свойства (1.0.2) будет использован аппарат мер Хенкина (см. раздел 1.1), а также асимптотическая формула типа Буля– Виноградова–Хрущева (теорема 1.2.1).

Далее, свойство (1.0.1) фактически известно для всех (Q). Действительно, в статье [7] показано, что тройка (C(Q) (S), S, ) является правильной в смысле работы [2] (см. введение). Таким образом, результаты статьи [2] гарантируют, что M(Q) (S) = {0}. Последний факт порождает задачи о свойствах элементов множества M(Q) (S) с точки зрения анализа Фурье. Отправной точкой для дальнейших результатов служат классические утверждения на окружности о существовании сингулярных мер с малыми (в определенном смысле) коэффициентами Фурье. Отметим, что соответствующие конструкции мотивированы поиском количественных границ применимости принципа неопределенности. В частности, такие утверждения можно формализовать с помощью следующего понятия поточечной допустимой мажоранты.

Определение. Функция h : Z+ R+ называется T-допустимой, если существует сингулярная вероятностная непрерывная мера µ M (T) такая, что µ(k) = O(h(|k|)) при k.

Для решения аналогичных многомерных задач в разделах 1.3–1.5 введены и исследованы плюригармонические произведения Рисса, которые, возможно, представляют самостоятельный интерес. Приложения построенных произведений Рисса к вопросам о допустимых мажорантах изложены в разделах 1.6–1.8. Дальнейшие приложения будут даны в главе 3.

Наконец, отметим, что для Q-плюригармонической меры µ определены срез-меры µ M (T) для -почти всех CP n1. Более того, в слабом смысле верны интегральные представления где µs (µs ) обозначает сингулярную часть меры µ (µ ) (детали изложены в разделе 1.2). Таким образом, возникают естественные вопросы о возможных свойствах семейства {µs }CP n1. Наиболее полные ответы на такие вопросы удается получить с помощью L -обобщенных произведений Рисса (см., например, разделы 1.8–1.9).

1.1 Меры Хенкина Основываясь на результатах Ж. Бургейна о свойстве Данфорда–Петтиса, Дж. Сима и Р. Тимони ввели в работе [42] следующее понятие.

Определение. Пусть A — банахова алгебра. Рассмотрим линейное подпространство X A. Алгебра Бургейна XB по определению состоит из таких элементов f A, что если fj 0 слабо в X.

В статье [30] Ж. Бургейн фактически показал, что подпространство X C(K) обладает свойством Данфорда–Петтиса, если XB = C(K).

Весьма близкое абстрактное понятие (вместо слабой сходимости рассматривается слабая* сходимость) оказывается полезным при исследовании мер Хенкина, соответствующих подпространству X C(K).

Алгебры Хенкина. В последующих определениях предполагается, что K — компактное хаусдорфово пространство, — положительная регулярная борелевская мера на K, замкнутый носитель меры совпадает с K и подпространство X C(K) замкнуто.

Определение. Функциональная последовательность {fj } X назыj= вается (X, )-последовательностью (кратко, -последовательностью), если Замечание. Иными словами, предполагается, что fj 0 слабо* относительно двойственности (L1 (), L ()) (здесь X C(K) L ()). В частности, fj C(K) = fj const.

Определение. Рассмотрим замкнутое подпространство X C(K). Алгеброй Хенкина XH () (относительно меры ) называется множество таких функций C(K), что для каждой -последовательности {fj } X.

Следующее стандартное наблюдение (ср. [42]) оправдывает использование термина алгебра в сформулированном определении.

Предложение 1.1.1 Пространство XH () является замкнутой подалгеброй пространства C(K).

Доказательство. Предположим, что {fj } является -последовательj= ностью.

1) Пусть 1, 2 XH (). Тогда существуют функции gj X такие, что 1 fj + gj 0 при j. Отметим, что {gj } является -последовательностью, следовательно, существуют hj X такие, что 2 gj + hj 0 при j. В сумме получаем Иными словами, 1 2 XH ().

2) Не умаляя общности, предположим, что fj 1. Пусть {k } XH () и k 0 при k. Выберем число k N такое, что k < ; тогда fj +X +fj k +X < 2 при достаточно большом j.

Определение. Элемент µ M (K) называется (X, )-мерой (или мерой для каждой -последовательности {fj } X.

Замечание. Безусловно, множество мер Хенкина замкнуто по норме пространства M (K).

Предложение 1.1.2 Предположим, что XH () = C(K). Пусть µ является (X, )-мерой и пусть µ. Тогда является (X, )-мерой.

Доказательство. Рассмотрим -последовательность {fj } и функцию C(K). Определение алгебры Хенкина доставляет последовательность {gj } X такую, что fj + gj 0 при j. Отметим, что {gj } является -последовательностью. Таким образом, так как µ является мерой Хенкина. Итак, с одной стороны, µ — мера Хенкина для всех C(K). С другой стороны, = µ для L1 (|µ|).

Так как множество мер Хенкина замкнуто, то является мерой Хенкина.

Имеется большое количество работ об алгебрах Бургейна, порожденных подпространствами различных равномерных алгебр (такие задачи для нескольких комплексных переменных изучаются, например, в статье [66], где также приведены дальнейшие ссылки). Многие из соответствующих утверждений имеют аналоги в случае алгебр Хенкина. Однако, далее наше внимание будет сконцентрировано на случае K = S и =.

Меры Хенкина на сфере. Напомним, что P [µ] обозначает интеграл Пуассона меры µ M (S).

Предложение 1.1.3 Последовательность {fj } X C(S) являj= ется -последовательностью тогда и только тогда, когда (1.1.1) (1.1.2) Доказательство. Предположим, что свойства (1.1.1) и (1.1.2) выполнены, а также g L1 (). Положим Pr [g]() = P [g](r), 0 r < 1, S. В силу теоремы Фубини имеем Отметим, что g Pr [g]1 0 при r 1, а также P [fj ] стремится к нулю равномерно на компактных подмножествах шара. Следовательно, Для проверки обратной импликации предположим, что {fj } являj= ется -последовательностью. Если z B, то P (z, ·) L1 (), поэтому свойство (1.1.1) выполнено. Далее, свойство (1.1.2) имеет место для всякой -последовательности.

Ниже всюду предполагается, что из включения f X следует, что Pr [f ] X.

Предложение 1.1.3 позволяет установить связь между (X, )-мерами и аннулятором X = µ M (S) : S f dµ = 0 для всех f X. Если X = A(S) := {f C(S) : P [f ] Hol(B)} (шар-алгебра), то следующее утверждение является теоремой Вальского ([17], раздел 9.2). Покажем, как рассуждение Р.Э. Вальского работает в общем случае.

Теорема 1.1.4 Пусть µ является (X, )-мерой и > 0. Тогда существует функция g L1 () такая, что ||g||1 ||µ||X + и µg X.

Сначала установим один вспомогательный факт.

Лемма 1.1.5 Пусть является (X, )-мерой и > 0. Тогда существует функция h L1 () такая, что ||h||1 |||| и || h||X <.

Доказательство. Положим ur = Pr [], 0 < r < 1. Достаточно проверить, что Действительно, в этом случае остается положить h = ur для достаточно большого r.

Предположим, что рассматриваемый предел не равен нулю. Тогда существуют > 0, rj 1 и fj X, ||fj || 1, такие, что По теореме Фубини S f ur d = S fr d, следовательно, Положим по определению gj (z) = fj (z) fj (rj z), z B. Отметим, что gj (z) 0 для всех z B. Таким образом, в силу предложения 1.1. {gj } является -последовательностью. Следовательно, S gj d при j по определению меры Хенкина. Полученное противоречие доказывает лемму.

Доказательство теоремы 1.1.4. Выберем числа j > 0 такие, что Положим µ1 = µ и предположим в качестве индукционной гипотезы, что 1, µ является (X, )-мерой и ||µ ||X <. По теореме Хана–Банаха ||µ || < для некоторой меры X. Лемма 1.1.5 (примененная к = µ ) доставляет функцию g L1 () такую, что ||g ||1 < и ||µ g ||X < +1. Положим по определению Отметим, что µ+1 является мерой Хенкина, таким образом, индукционный переход завершен.

Так как j X, то получаем при. Иными словами, µg X. Доказательство теоремы 1.1. завершено.

Теперь рассмотрим U-инвариантные подпространства пространства C(S). А именно, для Z2 положим Рассмотрим проектор Коши–Сегё K : L2 (S) L2 (S) и предположим, что L (S). Напомним, что действие -спектрального оператора типа Ганкеля H, : L2 (S) L2 (S) задается с помощью формулы Отметим следующее свойство дополнения: H, + HZ2 \, 0.

Далее, напомним, что по определению (КГ), если оператор H, :

C(S) C(S) компактен для каждого многочлена на сфере S.

Предложение 1.1.6 Предположим, что (КГ), мера M (S) положительна, замкнутый носитель меры равен S и оператор K ограничен относительно L2 ()-нормы. Тогда C (S)H () = C(S).

Доказательство. Рассмотрим полином и (C (S), )-последовательность {fj }. Отметим, что K [fj ] C (S), поэтому включение C (S)H () следует из свойства fj K [fj ]C(S) 0.

H, [fj ]C(S) 0. Так как fj C(S) 1 и (КГ), то существует подпоследовательность {jk } такая, что H, [fjk ] g в пространстве C(S) для некоторой функции g 0. С другой стороны, fj 0 слабо в пространстве L2 () и оператор K ограничен на L2 (), следовательно, H, [fj ] 0 слабо в L2 (). Получено противоречие.

Напомним, что алгебры Хенкина замкнуты, таким образом, доказательство завершено.

Для E, F Z+ положим Удобно представлять множество Z2 как первый квадрант целочисленной решетки. Тогда (E, F ) есть объединение горизонтальных и вертикальных лучей.

Следствие 1.1.7 Пусть = (E, F ) или = Z2 \ (E, F ) для конечных множеств E, F Z+. Предположим, что µ является (C (S), )мерой и µ. Тогда является (C (S), )-мерой.

Доказательство. Свойство (E, F ) (КГ) установлено в работе [7].

Поэтому достаточно применить предложения 1.1.6 и 1.1.2.

Следствие 1.1.8 Предположим, что множество удовлетворяет условиям следствия 1.1.7. Пусть µ L1 (S) + C (S) и µ. Тогда Доказательство. Воспользуемся следствием 1.1.7 и теоремой 1.1.4.

В завершение этого раздела приведем иные простые примеры алгебр Хенкина, порожденных унитарно инвариантными подпространствами.

Пример. Для Z+ положим D() = {(p, q) Z2 : p q = }. Пусть d — простое число, а также Тогда C (S)H () = C (S).

Доказательство. 1) Положим A = C (S)H (). Отметим, что A является U-инвариантной подалгеброй пространства C(S). Так как C (S) является алгеброй, то C (S) A.

2) Предположим, что A C (S), тогда A = C(S), так как C (S) является максимальной U-инвариантной подалгеброй пространства C(S) ([17], теоремы 12.4.7 и 12.5.6). Зафиксируем точку S. Пусть m обозначает меру Лебега на окружности Предполагается, что d > 1, поэтому при T имеем k m C (S) для некоторого k Z. В частности, k m является мерой Хенкина. Так как A = C(S), то m — мера Хенкина в силу предложения 1.1.2.

С другой стороны, выберем многочлены {fj } такие, что fj H(j, j), f () = 1, |f | 1 на S. Тогда {fj } является -последовательностью и S fj dm = 1 для всех j N. Полученное противоречие завершает рассуждение.

1.2 Плюригармонические меры и преобразования Коши Зафиксируем число Q Z+. В данном разделе удобно несколько сузить определение Q-плюригармонической меры и использовать это понятие в следующем случае: µ M (S) и Безусловно, такое изменение не влияет на результаты о сингулярных спектральных множествах.

Прежде всего получим интегральные представления для Q-плюригармонических мер в терминах срез-мер (в плюригармоническом случае такие результаты представлены в главе 5 обзора [3]).

Соглашение. Для функции f L1 (S) стандартная “формула интегрирования по срезам” имеет следующий вид Напомним, что pr : Cn \ {0} CP n1 обозначает каноническую проекцию и = pr(). Перепишем последнее равенство как теорему типа Фубини. А именно, В определенном смысле, при такой форме записи отождествляется сфера S и произведение CP n1 T. Отметим, что поэтому такой подход корректен с точки зрения теории меры (безусловно, рассматриваемые объекты различаются топологически).

Пусть Z2, µ M (S), spec(µ) и u = P [µ], тогда где µpq H(p, q). Теперь предположим, что µ является Q-плюригармонической мерой. Зафиксируем точку S и рассмотрим срез-функцию u () = u(), D. Имеем где гармоническая функция v определена (в круге D) с помощью последнего равенства.

Пусть ur () = u(r), тогда Доказательство. В силу (1.2.2) имеем Для одномерной проекции Коши C[] аналог доказываемой формулы имеет место для всех мер M (T) (см. [65]). Следовательно, в силу (1.2.1) рассматриваемый предел равен µs /.

Сингулярные спектральные множества. Напомним, что Далее, для произвольного числа Q Z+ имеем где Pk являются многочленами ([7], см. также [39]). Таким образом, теория сингулярных интегралов гарантирует, что граничные значения CQ [µ] существуют -п.в. для каждой меры µ M (S). Более того, оператор CQ : M (S) L1, (S) ограничен. В частности, при y + для каждой функции f L1 (S). Кратко запишем это свойство как Последнее наблюдение и использование мер Хенкина приводят к доказательству теоремы 1.0.1. На самом деле, следующее утверждение даже сильнее, чем соответствующее свойство (1.0.2).

Теорема 1.2.2 Пусть µs — сингулярная часть Q-плюригармонической меры и — такая мера на сфере S, что Тогда µs.

Доказательство. Обозначим символом s сингулярную часть меры.

Пусть s = a + s — разложение Лебега относительно меры µs.

Так как a s и a µs, то с помощью следствия 1.1.8 получаем С одной стороны, первое включение и свойство (1.2.3) гарантируют, что CQ [a ] L1, (S). С другой стороны, второе включение и свойство (1.2.3) дают Таким образом, a = 0.

Замечание. Сингулярные множества обладают некоторой симметрией относительно диагонали p = q. Действительно, для Z2 определим = {(q, p) : (p, q) } и предположим, что пересечение конечно.

Тогда спектр не является сингулярным. В самом деле, если µ M (S), то µ MZ2 \ (S).

Далее, предположим, что множества E, F Z+ конечны, E F = следствия 1.1.8 имеем M (S) MZ2 \.

1.3 Плюригармонические произведения Рисса Основная цель данного раздела — это изложение конструкции плюригармонического произведения Рисса, основанного на полиномах Рыля– Войтащика и свойстве компактности оператора Ганкеля. Отметим, что с помощью такой конструкции можно получить примеры вероятностных сингулярных Q-плюригармонических мер с некоторыми дополнительными свойствами.

Для упрощения обозначений ниже предполагается, что Q = 0, а затем указаны минимальные изменения, необходимые в случае произвольного Прежде всего напомним оригинальную конструкцию Ф. Рисса [78], которая лежит в основе дальнейших рассуждений.

Классические произведения Рисса на окружности. Зафиксируем последовательности a = {ak } D и J = {jk } N, где jk+1 /jk 3.

Произведение Рисса µ = µ(J, a) на единичной окружности T определяется с помощью формального равенства А именно, последовательность частичных произведений сходится к мере µ в слабой* топологии пространства M (T).

Напомним классический результат А. Зигмунда, который дает исчерпывающий ответ на вопрос о сингулярных и абсолютно непрерывных произведениях Рисса. Напомним, что символ m обозначает нормированную меру Лебега на окружности T.

Дихотомия Зигмунда.

(i) Пусть a 2. Тогда µ(J, a) m и dµ/dm L2 (T).

(ii) Пусть a 2. Тогда µ(J, a)m.

Пары Рисса на сфере. Дихотомия Зигмунда подсказывает, что при построении произведений Рисса на комплексной сфере удачной заменой для характеров z j может стать последовательность полиномов Рыля– Войтащика. А именно, предположим, что голоморфные многочлены Rj обладают следующими свойствами:

• Rj H(j, 0);

• Rj L2 (S) для универсальной константы > 0.

Первые примеры многочленов с указанными свойствами были построены Рылем и Войтащиком в статье [83]. Пусть R = {Rj }. Также заj= фиксируем последовательность a = {ak } D. Тогда пару (R, a) будем называть парой Рисса.

Здесь уместно указать два основных препятствия при построении плюригармонических аналогов произведений Рисса:

1) Нетрудно проверить, что для полинома P из условия P L (S) = P L2 (S) следует, что P = const. Иными словами, не существует последовательностей Рыля–Войтащика с константой = 1.

2) Правило умножения для сферических гармоник: если f H(p, q) и g H(r, s), то произведение f g принадлежит сумме где L = min(p, s) + min(q, r).

Стандартные произведения Рисса на сфере. Если не принимать во внимание последствия, вызванные указанным правилом умножения, то получается следующий стандартный вариант классических произведений Рисса.

Рассмотрим пару Рисса (R, a) и лакунарную последовательность J = {jk } N такую, что jk+1 /jk 3. Стандартное произведение = (R, J, a) является прямым аналогом классической меры Рисса и определяется равенством Иными словами, частичные произведения d (R, J, a) = слабо* схоk= дятся к мере (R, J, a) в пространстве M (S).

Формальные срез-произведения. Зафиксируем точку S и рассмотрим срезы частичных произведений (d ) () = d (R(), J, a), T. Тогда последовательность (d ) слабо* сходится в пространстве M (T).

Предельную меру = (R(), J, a) будем называть (формальным) срез-произведением меры. Отметим, что мера является классическим произведением Рисса µ(J, b), где b = {ak Rjk ()}.

Плюригармоническая проекция. Пусть P LH 2 (S) обозначает пространство таких функций f L2 (S), что интеграл Пуассона P [f ] плюригармоничен в шаре. Рассмотрим ортогональный проектор Тогда каждая функция L (S) порождает оператор типа Ганкеля с помощью формулы Теперь предположим, что является многочленом. Тогда оператор H :

C(S) C(S) компактен (см. раздел 1.1), следовательно, (1.3.1) Указанное свойство будет решающим при переходе от стандартных произведений Рисса к плюригармоническим. Излагаемое ниже рассуждение восходит к работе А.Б. Александрова [2]. Прототип подобной конструкции, использующий ограниченный ортонормальный базис в пространстве Харди H 2 (B), также представлен в статье Ж. Бургейна [31].

Плюригармонические произведения Рисса. Пусть (R, a) является парой Рисса. По индукции будем строить последовательность плюригармонических многочленов k, k > 0, на сфере и множество индексов J = {jk }, jk+1 /jk 3. В качестве базы индукции зафиксируем j1 N и определим 1 = 1 + Re (a1 Rj1 ).

Шаг k + 1. По индукционному предположению уже построен строго положительный плюригармонический многочлен k. Положим С помощью свойства (1.3.1) очередной индекс jk+1 выбирается столь большим, что k+1 > 0. Также из лакунарности последовательности J следует, что новый спектр spec(k+1 k ) не пересекается с некоторым квадратом [0, M ]2, который содержит множество spec(k ).

Напомним, что обозначает нормированную меру Лебега на сфере.

Наложенные выше ограничения гарантируют, что последовательность k слабо* сходится к некоторой вероятностной плюригармонической мере. Такую предельную меру = (R, J, a) будем называть плюригармоническим произведением Рисса.

Срезы плюригармонических произведений Рисса. С одной стороны, является вероятностной плюригармонической мерой, следовательно, канонические срезы определены для всех точек S. С другой стороны, стандартное рассуждение гарантирует, что срезы (k ) сходятся в слабой* топологии пространства M (T) к некоторым формальным срезам. Сравнение коэффициентов Фурье показывает, что =.

Замечание. Зафиксируем Q Z+. Пусть P LHQ (S) обозначает пространство таких функций f L2 (S), что интеграл Пуассона P [f ] является Q-плюригармоническим. Далее, напомним, что (Q) (КГ) для всех Q Z+. Следовательно, аналог свойства (1.3.1) имеет место для оператора Ганкеля HQ,, соответствующего проектору Таким образом, для построения Q-плюригармонических произведений Рисса достаточно рассмотреть полиномы Rj H(j, Q), обладающие вторым и третьим свойствами Рыля–Войтащика (существование таких многочленов доказано в обзоре [3], глава 1, раздел 3.6).

Абсолютно непрерывные меры Рисса. Напомним, что изложенная конструкция в значительной степени мотивирована классической дихотомией Зигмунда. Уместно немедленно отметить, что первая часть этой дихотомии без особых затруднений переносится на Q-плюригармонический случай.

Предложение 1.3.1 Зафиксируем Q Z+ и соответствующую пару Рисса (R, a). Пусть a 2, тогда все Q-плюригармонические произведения Рисса, основанные на паре (R, a), абсолютно непрерывны относительно меры Лебега.

Доказательство. Предположим, что произведение (R, J, a) корректно определено. Проверим, что (R, J, a) L2 (S), если a 2. Действительно, пусть (R, J, a) — это соответствующее стандартное произведение Рисса. Напомним, что Таким образом, с одной стороны, верна оценка С другой стороны, пусть pq обозначает H(p, q)-проекцию меры. Тогда что завершает доказательство.

Формулировка и доказательство Q-плюригармонического варианта второй части дихотомии Зигмунда приведены в следующем разделе. Более того, удобно сразу рассмотреть соответствующую обобщенную конструкцию. Основное приложение построенных выше плюригармонических мер Рисса отложено до раздела 1.9, где исследованы сверточные свойства канонических срезов.

L2 -обобщенные произведения Рисса 1. Для изучения допустимых мажорант потребуется заменить однородные многочлены Рыля–Войтащика на подходящие полиномы с редким спектром. Такой вариант конструкции Рисса на окружности называют обобщенным произведением. В многомерном случае мы будем различать L2 и L -обобщенные пары и произведения Рисса. Как и выше, для упрощения обозначений в определениях будет рассматриваться 0-плюригармонический случай.

Итак, пусть для всех j, L N зафиксированы такие однородные голоморфные многочлены Wd = Wd (j, L), d = 1, 2,..., D(j, L), что • |deg Wd1 deg Wd2 | L (лакуны в спектре);

• d Wd 2 2 (S) для универсальной константы > 0.

Тогда положим и определим R = {R(j, L)}j,L. Также зафиксируем последовательность коэффициентов a = {ak } D. При таких предположениях (R, a) называется L2 -обобщенной парой Рисса.

Безусловно, предположение о лакунарности спектра становится вырожденным при D(j, L) = 1. Иными словами, всякая пара Рисса является L2 -обобщенной. Также отметим, что L -версия получается при замене последнего предположения о многочленах Wd на более ограничительное условие Итак, зафиксируем L2 -обобщенную пару Рисса (R, a). По индукции будем строить последовательность плюригармонических многочленов k > 0 и множество индексов J = {jk }.

Во-первых, зафиксируем j1 N и определим 1 = 1 + Re [a1 R(j1, 1)].

Шаг k + 1. По предположению индукции уже построен плюригармонический многочлен k > 0. Положим Lk+1 = 2deg k + 2 и определим Индекс jk+1 выбирается столь большим, что k+1 > 0 (для этого применяется свойство (1.3.1)) и множество spec(k+1 k ) не пересекается с некоторым квадратом [0, M ]2, который содержит множество spec(k ).

Отметим, что выбор величины Lk+1 (размера лакуны) гарантирует ключевое свойство в определении меры Рисса. А именно, пусть c — степени многочленов в однородном разложении полинома k+1. Тогда для каждого h Z существует не более одного представления вида Установленные свойства гарантируют слабую* сходимость в M (S).

Предельную вероятностную меру = (R, J, a) будем называть L2 обобщенным плюригармоническим произведением Рисса.

Пусть Q Z+. При построении Q-плюригармонических обобщенных произведений вносятся стандартные изменения: используется ортогональный проектор KQ : L2 (S) P LHQ (S) и рассматриваются такие многочлены R(j, L), что spec R(j, L) {(p, Q) : p > Q}.

Следующий технический результат в определенной степени заменяет вторую часть дихотомии Зигмунда.

Пусть U = {Uj } — последовательность унитарных операторов (на Cn ) и R = {Rj } — последовательности полиномов. По определению полагаем RU = {Rj Uj }. Также для числовых последовательностей a = {ak } и b = {bk } определим ab = {ak bk }.

Теорема 1.4.1 Пусть Q Z+. Зафиксируем соответствующую L2 обобщенную пару Рисса (R, a). Предположим, что a 2. Тогда для каждого достаточно лакунарного множества индексов J N существуют последовательность знаков = {k }, k {±1}, и послеk= довательность унитарных операторов U = {Uj } такие, что (R U, J, a).

Для доказательства сформулированной теоремы потребуется один известный результат о лакунарных рядах Фурье. Для меры µ M (T) положим sk [µ]() = k j=k µ(j), T (k-ая частичная сумма ряда Фуj рье). Далее, пусть (1, 2 ) T обозначает наименьшую дугу с концами 1, 2 T. Тогда положим по определению если последний предел существует. Напомним, что Dµ() = f () для m-п.в. T, где f m — это абсолютно непрерывная часть меры µ.

Лемма 1.4.2 (см. [8], глава 3, теоремы 8.1 и 1.27). Предположим, что µ M (T), jk + и µ(j) = 0 для всех |j| (jk, 2jk ], k N. Тогда sjk [µ]() Dµ() для m-п.в. T при k.

Теперь все готово для исследования сингулярных L2 -обобщенных Qплюригармонических произведений Рисса.

Доказательство теоремы 1.4.1. Для многочлена R(j, L) будем использовать краткое обозначение Rj. По индукционному предположению на шаге с номером k + 1 имеется Q-плюригармонический многочлен k, k > 0. Построим многочлен k+1.

Рассмотрим полином R для достаточно большого. Правило умножения для сферических гармоник и определение L2 -обобщенной пары Рисса гарантируют, что с константой > 0. Далее, при f, g L1 (S) имеем поэтому можно выбрать оператор Uk+1 U такой, что Отметим, что (1 + x)1/2 + (1 x)1/2 2(1 x2 /8) при |x| 1, поэтому Итак, подходящий выбор знака k+1 {±1} гарантирует, что Положим (1.4.1) Тогда k+1 () k [1 + Re (k+1 ak+1 R Uk+1 )]C(S) 0 при.

Следовательно, для всех достаточно больших N имеем k+1 () > 0 и Наконец, пусть spec(k ) [0, Mk +Q]2. Будем предполагать, что число столь велико, что новый спектр spec(k+1 () k ) не пересекается с квадратом [0, 2Mk + Q]2.

Зафиксируем число, удовлетворяющее всем вышеперечисленным требованиям, и положим jk+1 =, Ujk+1 = Uk+1, k+1 = k+1, а также k+1 = k+1 (). Индукционный переход завершен.

Проверим, что полученная мера (R U, J, a) является сингулярной.

Прежде всего напомним, что для всех CP n1 определены канонические срезы. Теперь зафиксируем точку CP n1. Выбор индекса jk+ гарантирует, что (j) = 0 для всех |j| (Mk, 2Mk ]. Поэтому с помощью леммы 1.4.2 получаем для m-п.в. точек T.

Далее, (1.4.2). Так как последовательность k () сходится для -п.в. S, то получаем k 0 -п.в. Следовательно, для -п.в. точек CP n имеем D () = 0 для m-п.в. T. Таким образом, мера сингулярна для почти всех CP n1, а поэтому является сингулярной мерой.

Далее будут получены сингулярные L2 -обобщенные плюригармонические произведения с некоторыми дополнительными свойствами. В соответствующих конструкциях всегда предполагается, что выполнены следующие ограничения.

Общие ограничения на шаге с номером k + 1. Предположим, что a 2, ak = 0 и выполним построения из определения плюригармонического произведения Рисса и из доказательства теоремы 1.4.1. А именно, выберем унитарные операторы Uk+1 и знаки k+1 такие, что оценка (1.4.2) имеет место для Q-плюригармонического многочлена k+1 (), заданного равенством (1.4.1). Часто для упрощения записи соответствующие вспомогательные последовательности U и будут опускаться.

Малые H(p, q)-проекции. Зафиксируем Q Z+. В качестве первой иллюстрации рассмотрим произведения, основанные на произвольных полиномах Рыля–Войтащика, и проконтролируем размер проекций pQ и Напомним, что 0 = 1 и 1 = a1 Rj1 /2 + 1 + a1 Rj1 /2. Далее, при k N рассмотрим однородное разложение где fk (p) H(p, Q), если p Q Z+, а также fk (p) H(Q, p), если p Q Z+. В качестве индукционной гипотезы предположим, что fk (p)C(S) |ak | 1 при (p, Q) spec(k ) \ spec(k1 ). Безусловно, указанная оценка выполнена при k = 1.

Шаг k + 1. Как в определении (1.4.1), положим (вспомогательные последовательности U и опущены). Так как с точностью до комплексного сопряжения H(p, q)-проекции многочлена k симметричны относительно диагонали {p = q}, то достаточно исследовать проекции KQ [ak+1 fk (p)R ] /2, p Z. В силу (1.3.1) для всех достаточно больших имеем (1.4.3) для всех p Z (безусловно, предполагается, что |p| 3jk /2). Зафиксируем столь большое число, что выполнены оценка (1.4.3) и “общие ограничения на шаге с номером k + 1”. По определению jk+1 = и k+1 = k+1 (), следовательно, fk+1 (jk+1 + p + Q)C(S) = ak+1 KQ fk (p)Rjk+1 /2C(S) при 0 p 3jk /2 (если p > 0, то последняя оценка выполнена для fk+1 (jk+1 + p Q)).

Таким образом, Теперь работает индукционная процедура.

Так как на каждом шаге индукции применяется проекция на пространство P LHQ (S), то соответствующие срез-меры не являются классическими произведениями Рисса (как это было в стандартной конструкции). Тем не менее, оценка (1.4.3) гарантирует, что ситуация достаточно близка к классической.

В частности, рассмотрим последовательность a такую, что a 2 и одновременно ak 0. Тогда проведенное рассуждение доставляет многомерный вариант примера Д. Е. Меньшова на окружности T (см. [75]).

Следствие 1.4.3 Пусть n 2. Тогда существует вероятностная сингулярная Q-плюригармоническая мера µ M (Sn ) такая, что Замечание. Положим ak = 1/2 для всех k N, тогда в изложенных выше рассуждениях можно гарантировать оценку fk (jk ) с константой > 0. Итак, получаем вероятностную сингулярную Qплюригармоническую меру µ M (S) такую, что Отметим, что для произвольной вероятностной меры µ M (S) величины µpq L2 (S) могут быть еще больше. Действительно, пусть µ = (мера Дирака в точке S). Тогда µpq (z) = Kpq (z, ), где Kpq (z, ) обозначает воспроизводящее ядро для пространства H(p, q). Таким образом, в этом случае семейство {µpq L2 (S) : (p, q) Z2 } не ограничено.

L -обобщенные произведения Рисса 1. Безусловно, теорему 1.4.1 нельзя назвать полным аналогом второй части дихотомии Зигмунда, так как вместо изначального произведения (R, J, a) рассматривается мера (R, U, J,, a), в которой используются вспомогательная последовательностью знаков = {k } и перемешиk= вающая последовательность унитарных операторов U = {Uk }. Более того, часть (ii) классической дихотомии Зигмунда перестает быть верной, если рассматривать произвольные (L2 -обобщенные) плюригармонические произведения Рисса. Действительно, с помощью стандартных рассуждений (см., например, раздел 1.6, где изложена соответствующая модель) построим множество E S и последовательность многочленов Рыля–Войтащика R = {Rj } такие, что (E) > 0 и |Rj | 0 равноj= мерно на E. Далее, зафиксируем последовательность a = {ak } D, a 2. Наконец, предположим, что последовательность J = {jk } столь лакунарна, что • (R, J, a) µ(J, {ak Rjk ()}) L2 (T) для всех S (применяется свойство (1.3.1)); здесь (R, J, a) обозначает срез-меру произведения (R, J, a), а µ(J, {ak Rjk ()}) — это классическое произведение Теперь заметим, что в силу части (i) классической дихотомии имеем (R, J, a) L2 (T) для всех E. Иными словами, a 2, но мера (R, J, a) не является чисто сингулярной.

Таким образом, возникает задача о нахождении таких ограничений на многочлены Rj, что вторая часть дихотомии Зигмунда будет выполнена для соответствующих произведений (R, J, a).

Вторым мотивом для внесения изменений в конструкцию L2 -обобщенного произведения Рисса служат часто встречающиеся различия между свойствами, которые выполнены для почти всех точек S и соответствующими фактами, которые верны для всех точек S. В частности, напомним, что для положительной плюригармонической меры µ срезы µ определены для всех S. Поэтому возникает естественный вопрос о существовании плюригармонических произведений Рисса, все срезы которых являются сингулярными мерами.

L -обобщенные пары и произведения Рисса. Ниже будет показано, что на сформулированные вопросы о дихотомии Зигмунда и о срезмерах можно одновременно ответить с помощью L -обобщения определения пары Рисса. Точнее, в настоящем разделе исследуется свойство для плюригармонических произведений, построенных на основе следующих полиномов.

Определение. Пусть для всех j, L N зафиксированы такие однородные голоморфные многочлены Wd = Wd (j, L), d = 1, 2,..., D(j, L), что • |deg Wd1 deg Wd2 | L (лакуны в спектре);

• d |Wd ()|2 > 0 для всех S, где — универсальная константа.

Следует отдельно подчеркнуть, что многочлены R(j, L) не могут быть однородными; в частности, их нельзя заменить на полиномы Рыля–Войтащика. Также зафиксируем последовательность коэффициентов a = {ak } D. При таких предположениях (R, a) называется L -обобk= щенной парой Рисса. Способы построения таких объектов и дальнейшие приложения отложены до раздела 1.8.

Отметим, что каждая L -обобщенная пара Рисса является L2 -обобщенной. Таким образом, корректно определены соответствующие L -обобщенные плюригармонические меры Рисса.

Более жесткие ограничения, накладываемые на L -пары Рисса, гарантируют более предсказуемые свойства в сравнении с их L2 -аналогами. В частности, дихотомия Зигмунда (см. следствие 1.5.6) не использует вспомогательных последовательностей U и.

Вспомогательные результаты. Задачу о взаимной сингулярности для L -обобщенных произведений удается свести к соответствующему вопросу об одномерных срезах. Для этого будет использовано следующее общее наблюдение.

Лемма 1.5.1 Рассмотрим на сфере вероятностные плюригармонические меры µ(1) и µ(2). Предположим, что µ µ для -почти всех точек S. Тогда µ(1) µ(2).

Доказательство. Пусть CP n1 обозначает проективное пространство и пусть pr : Cn \{0} CP n1 является канонической проекцией. Положим = pr().

С одной стороны, рассмотрим произвольную вероятностную плюригармоническую меру µ M (S). Отметим, что срез µ, T, получается вращением среза µ. Поэтому можно определить срезы µ, CP n1.

Более того, из классических свойств интеграла Пуассона следует (см.

раздел 1.2), что для каждой функции f C(S) выполнено равенство Также имеем [3] С другой стороны, для произвольных вероятностных мер и свойства и = 2 эквивалентны. Таким образом, из предположений леммы получаем равенство Иными словами, имеем µ(1) µ(2).

Таким образом, для установления свойства (R, J, a)(R, J, b) достаточно проверить, что (R, J, a) (R, J, b) для почти всех точек S. Реализацию этого плана начнем с исследования формальных срезов стандартных произведений.

Прежде всего напомним критерий Пейрьера для взаимной сингулярности мер Рисса. Пусть µ = µ(J, a) обозначает классическое произведение Рисса на окружности.

Теорема 1.5.2 (Ж. Пейрьер [76]) Рассмотрим последовательности µ(J, a)µ(J, b) для всех лакунарных множеств индексов J N.

Так как формальные срез-произведения действительно являются произведениями, то для таких мер имеет место аналог критерия Пейрьера.

Теорема 1.5.3 Пусть (R, a) и (R, b) являются L -обобщенными парами Рисса на сфере. Предположим, что a b 2. Тогда для всех точек S выполнено свойство (R, J, a) (R, J, b) для всех лакунарных множеств индексов J N.

Для полноты изложения ниже воспроизведено хорошо известное рассуждение.

Доказательство. Зафиксируем точку S и переопределим символ Rk с помощью формулы Иными словами, требуется установить свойство µ, где Зафиксируем > 0. Положим 2k = ak Rk 2 и 2k = bk Rk 2.

Так как Rk 2 > 0, то выберем число N N такое, что Тогда существует последовательность {ck }N C такая, что Определим Отметим, что g f = 1.

Теперь заметим, что Следовательно, Теперь положим = и построим соответствующие многочлены fp и gp для всех p N. Выбирая подпоследовательности, добьемся выполнения свойств fp 0 µ-п.в. и gp 0 -п.в. Следовательно, тождество gp fp 1 гарантирует выполнение искомого свойства µ.

Следующая лемма показывает, что во многих рассуждениях срезмеры можно, в определенном смысле, заменять на срез-произведения Лемма 1.5.4 Пусть (R, a) является L -обобщенной парой Рисса. Тогда для всех точек S меры (R, J, a) и (R, J, a) взаимно абсолютно непрерывны для всех достаточно лакунарных множеств индексов J N. Более того, d /d L и d /d L.

По индукции будем строить обобщенное плюригармоническое произведение Рисса (R, J, a). А именно, на (k+1)-ом шаге индукции наложим дополнительные ограничения на индекс jk+1.

Пусть fk+1 = 1 + Re [ak+1 R(jk+1, Lk+1 )], k 0, тогда по определению k+1 = K[k fk+1 ]. Следовательно, имеем k+1 k fk+1 C(S) 0 при jk+1. Отметим, что k fk+1 const(k) > 0 и k+1 const(k) > для всех достаточно больших индексов jk+1. Таким образом, выберем индекс jk+1 столь большим, что выполнены оценки Индукционный переход совершен.

Изучим свойства построенных произведений и. Положим k = j=1 fj. Тогда получаем Иными словами, последовательность {(k ) /(k ) } ограничена в пространстве L ( ) для каждой точки S. Поэтому искомое свойство d /d L имеет место в силу сходимости в слабой* топологии при k. Оценка для производной d /d осуществляется аналогичным образом.

Взаимно сингулярные произведения Рисса. Доказанная лемма позволяет ожидать, что каждый результат о взаимной сингулярности (абсолютной непрерывности) для классических произведений Рисса имеет аналог для L -обобщенных плюригармонических произведений. В частности, критерий Пейрьера для L -обобщенных мер Рисса имеет следующий вид.

Теорема 1.5.5 Рассмотрим на сфере L -обобщенные пары Рисса (R, a) и (R, b). Предположим, что |ak bk |2 =. Тогда для всех достаk= точно лакунарных множеств индексов J N свойство (R, J, a) (R, J, b) справедливо для всех точек S. В частности, имеем (R, J, a)(R, J, b).

Доказательство. Для мер (R, J, a) и (R, J, b) синхронно повторим два доказательства леммы 1.5.4. Точнее, на каждом шаге одновременно накладываются соответствующие ограничения на индекс jk+1. Таким образом, получаем свойства (R, J, a) (R, J, a) и (R, J, b) (R, J, b) для всех точек S.

Рассмотрим вторую пару мер (R, J, a), (R, J, b). Теорема 1.5.3 гарантирует, что классические обобщенные произведения (R, J, a) и (R, J, b) взаимно сингулярны. Поэтому (R, J, a) (R, J, b). Наконец, в силу леммы 1.5.1 выполнено свойство (R, J, a)(R, J, b).

Заметим, что (R, J, 0) = для всех R и J. Таким образом, аналог дихотомии Зигмунда для L -обобщенных плюригармонических мер Рисса является частным случаем доказанной теоремы.

Следствие 1.5.6 (дихотомия Зигмунда). Зафиксируем L -обобщенную пару Рисса (R, a). Тогда (i) если a 2, то мера (R, J, a) абсолютно непрерывна и d/d L2 (S);

(ii) если a 2, то для всех достаточно лакунарных множеств индексов J срез-мера (R, J, a) и мера Лебега на окружности T взаимно сингулярны для всех точек S. В частности, имеем (R, J, a).

L2 -допустимые мажоранты 1. В данном и последующих разделах конструкция обобщенного произведения Рисса будет использована для мажорирования последовательности µpq r при условии, что мера µ M (S) является сингулярной. Прежде всего, напомним соответствующие классические результаты о поточечных мажорантах для преобразования Фурье.

Меры на окружности. Напомним, что функция h : Z+ R+ называется T-допустимой, если существует сингулярная вероятностная непрерывная мера µ M (T) такая, что Безусловно, T-допустимые функции не могут быть произвольно малыми. Действительно, по теореме Рисса–Фишера, если h является Tдопустимой, то h 2. Таким образом, возникает задача о поиске нетривиальных ограничений на T-допустимые функции. Отметим, что эвристический принцип неопределенности указывает на возможность существования таких ограничений. А именно, так как сингулярная мера сосредоточена на малом множестве, то ее преобразование Фурье не может быть слишком малым.

Однако очевидное свойство h 2 является единственным ограничением, если предположить, что мажоранта h достаточно регулярна. Например, в силу знаменитой теоремы Ивашева-Мусатова все стандартные тест-функции являются T-допустимыми ([9]; см. также [35], где дан обширный исторический обзор результатов, относящихся к обсуждаемой проблеме). Более того, Т. Кёрнер доказал в работе [70], что всякая убывающая мажоранта h 2 является T-допустимой.

Наконец, отметим, что многие результаты о T-допустимых мажорантах обобщаются на все локально компактные недискретные абелевы группы.

Меры на комплексной сфере. В случае многомерной сферы Sn, n 2, возможны различные обобщения понятия T-допустимости. В частности, для некоторого r (0, ] и мажоранты h : Z2 R+ можно рассматривать свойство µpq Lr (S) = O(h(p, q)). Однако с точки зрения комплексного анализа естественно дополнительно предположить, что h(p, q) = 0 при pq = 0. Наложенное ограничение приводит к следующему определению.

Определение. Пусть r (0, ]. Функция h : Z+ R+ называется Lr -допустимой (для размерности n 2), если существует сингулярная вероятностная мера µ M (Sn ) такая, что и µpq = 0 при pq = 0.

Иными словами, искомая мера µ M (S) должна быть плюригармонической. Напомним, что плюригармонические меры обладают значительной регулярностью; в частности, все плюригармонические меры непрерывны.

Также отметим, что L -допустимые мажоранты ограничивают коэффициенты Фурье всех срез-мер µ, S. Таким образом, утверждения об L -допустимых мажорантах можно считать наиболее точными аналогами теоремы Ивашева-Мусатова.

Отметим, что некоторая информация о допустимых мажорантах уже была получена в разделе 1.4. Действительно, в силу следствия 1.4.3 существует такая L -допустимая мажоранта h, что h(p) 0 при p.

В данном разделе будет доказано следующее количественное утверждение об L2 -допустимых мажорантах. Не умаляя общности, здесь и далее предполагается, что h(0) = h(1) = 1.

Теорема 1.6.1 Положим h(p) = p1/2, p N. Тогда мажоранта h является L2 -допустимой для размерности n = 2.

Более точный результат об L2 -допустимых мажорантах при n получен в следующем разделе. Также далее будет продолжено исследование L -допустимых мажорант.

Замечание. Очевидно, что мажоранта h не является L2 -допутимой, если h 2. Таким образом, теорема 1.6.1 точна относительно шкалы Замечание. Сформулированный результат имеет интерпретацию в вещественных терминах, так как соответствующая мера µ является плюриn гармонической. А именно, отождествим комплексную сферу Sn и SR R2n, тогда где µk обозначает проекцию меры µ на пространство Hk, состоящее из вещественных сферических гармоник.

Наконец, приведем следующий несложный и важный пример.

Пример. Существует функция h : Z2 R+ такая, что h 2 и h не является L2 -допустимой.

Доказательство. Положим h(0, 0) = h(2j, 0) = h(0, 2j ) = 1 для всех j Z+, а иначе положим h(p, q) = 0. Предположим, что µ M (S) и µpq 2 = O(h(p, q)). Покажем, что µ.

Проверяемое свойство фактически хорошо известно. Действительно, проекция Коши C[µ] принадлежит классу Харди H 1/2 (B). Следовательно, C[µ] H 1 (B), так как функция C[µ] имеет лакунарный спектр. Наконец, применение теоремы братьев Риссов (на сфере) показывает, что мера µ C[µ] абсолютно непрерывна.

Вернемся к теореме 1.6.1. Как отмечалась выше, для доказательства будут использованы L2 -обобщенные произведения Рисса. Таким образом, основная техническая задача заключается в построении надлежащих многочленов.

Вспомогательные многочлены.

Лемма 1.6.2 Пусть n = 2 и N, L N. Тогда существуют однородные голоморфные многочлены Wd = Wd (N, L), d = 1, 2,..., D(N, L), такие, что (1.6.1) (1.6.2) (1.6.3) (1.6.5) Отметим, что свойства (1.6.1–1.6.4) совпадают с ограничениями, налагаемыми на составные части L2 -обобщенной пары Рисса.

Временно предположим, что указанные многочлены уже построены и покажем, что применение теоремы 1.4.1 приводит к искомому результату.

Доказательство теоремы 1.6.1. По индукции будем строить L2 -обобщенное произведение Рисса, полагая ak = 1/2 и используя многочлены Wd из леммы 1.6.2. Пусть k,p обозначает H(p, 0)-проекцию соответствующего плюригармонического полинома k. Дополнительным индукционным предположением будет свойство k,p 1 для всех p.

Отметим, что нетривиальные однородные многочлены k+1,p либо совпадают с k,p, либо k+1,p = K [ak k,r Wd /2] для подходящих значений r и d. Остановимся на втором случае. Воспользуемся свойством (1.3.1) для операторов Ганкеля с символом k,r и выберем индекс jk+1 столь большим, что выполнены оценки k+1,p 2 k,r Wd 2 и k+1,p k,r Wd 1. Таким образом, дополнительное предположение выполнено на очередном шаге и индукционная конструкция работает. Теорема 1.4.1 доставляет такие последовательности J, U и, что произведение (R U, J, a) является сингулярным.

Остается заметить, что Иными словами, имеем p0 2 = O p1.

Оставшаяся часть данного раздела будет посвящена доказательству леммы 1.6.2. Прежде всего, введем вспомогательные обозначения. Для точек, S положим d2 (, ) = 1 |, |2 и определим множество для 0 < 1. Напомним, что функция d удовлетворяет неравенству треугольника, а также (E ) = 2n2 ([82], раздел 2).

Следующее хорошо известное рассуждение будет служить отправной точкой для дальнейших построений.

Модель. Пусть N N. Положим = N 1/2. Выберем точки {j }M S такие, что множества E (j ) попарно не пересекаются и одновременно множества E2 (j ) покрывают сферу. В частности, имеем M 2n+2, таким образом, M N n1 (равенства с точностью до мультипликативной константы).

Определим функции gj (z) = z, j N, 1 j M, и положим G = gj. Проверим, что G для универсальной константы = (n).

Действительно, зафиксируем точку S. Для m Z+ введем множества Тогда, во-первых, мощность множества Hm не превосходит (m + 2)2n2.

Во-вторых, если j Hm, то |gj ()| exp(m2 /2). Следовательно, оценки по абсолютной величине дают желаемый результат. А именно, выполнены неравенства Замечание. Изложенное рассуждение работает, если рассмотреть функции gj (z) = z, j qj для qj N.

Доказательство леммы 1.6.2. Напомним, что n = 2.

1) В случае L = 1 рассмотрим функции Хорошо известно, что fj 2 = (N + j + 1)1. Следовательно, Остается заметить, что замечание после модельных построений гарантирует равномерную оценку (1.6.3) для суммы функций const fj.

2) Предположим, что величина L (размер лакуны) произвольна. Зафиксируем > 0 такое, что L 2. Выберем точки {p }L, для которых выполнено модельное свойство: множества E (p ) попарно не пересекаются и одновременно множества E2 (p ) покрывают сферу.

Далее, рассмотрим точку 1 и множество E1 = E/2 (1 ). Предположим, что N1 N и построим точки j с помощью модельных рассуждений для = N1. Введем обозначения k для точек j, попавших в множество E1. Так как (E1 ) L1, то набор {k } содержит (с точностью до мульпликативной константы) N1 /L элементов. Теперь положим по определению Не умаляя общности, можно считать, что построенный многочлен W (1) имеет спектр в промежутке [N1, 2N1 ]. Также будем предполагать, что число N1 много больше, чем лакуна L. Таким образом, W (1)2 1/L.

Для построения многочлена W (2) предположим, что N2 2N1 + L и рассмотрим множество E2 = E/2 (2 ). Аналогичным образом выполним построения для оставшихся точек {p }L.

Проверим, что однородные многочлены fk, с точностью до мульпликативной константы, удовлетворяют условиям леммы. Действительно, свойства (1.6.1), (1.6.2), (1.6.5) и (1.6.6) выполнены по построению. Далее, W (j)2 1/L при 1 j L, следовательно, свойство (1.6.4) имеет место.

Наконец, обратимся к равномерной оценке (1.6.3). Зафиксируем точку S. Если E (q ) для некоторого q, то неравенство |W (q)()| const имеет место в силу оценок из случая L = 1. Поэтому достаточно оценить сумму предполагая, что E (q ) для всех q. Не умаляя общности, рассмотрим многочлен W (1). Предположим, что m d(, 1 ) < (m + 1) для или Напомним, что набор {k } содержит C(/)2 элементов, поэтому Отметим, что выполненные рассуждения остаются в силе для всех многочленов W (p), так как изменяется лишь масштаб 2 = 1/Np.

Таким образом, общая сумма оценивается модельным выражением Доказательство леммы 1.6.2 завершено.

1.7 Большие размерности Ключевой технический результат данного раздела является непосредственным аналогом леммы 1.6.2 для n 3.

Лемма 1.7.1 Пусть n 3 и N, L N. Тогда существуют однородные голоморфные многочлены Wd = Wd (N, L), d = 1, 2,..., D(N, L), для которых выполнены свойства (1.6.1–1.6.5), а также Повторяя рассуждения из доказательства теоремы 1.6.1, немедленно получаем следующий результат о допустимых мажорантах.

Теорема 1.7.2 Положим h(p) = (p log p) 2 при p 2. Тогда мажоранта h является L2 -допустимой для размерности n 3.

Доказательство леммы 1.7.1. Ниже будут использованы обозначения из модельных рассуждений. В частности, 2 = 1/N.

1) Предположим, что L = 1. Удобно изменить нумерацию искомых многочленов и считать, что deg Wq = q. Также выражение log x будет подразумевать log2 x. В частности, для построения потребуется приблизительно log N шагов.

Шаг 1. Положим q = N, выберем N n2 / log N точек из последовательности {j } и определим fj,q (z) = z, j q. Положим Wq = j ±fj,q. Выберем знаки “+” и “” таким образом, что Wq 2 j fj,q 2. Хорошо известно, что fj,q 2 N 1n. Следовательно, получаем Повторим указанную процедуру для q = N + 1, N + 2,..., 2N 1. Отметим, что fj,q 2 N 1n для всех рассматриваемых q, поэтому Итого на первом шаге использовано N n1 / log N точек.

Шаг + 1 (предполагается, что + 1 log N ). Выберем очередные N n1 / log N точек из последовательности {j } и заменим их на точки j, используя излагаемое ниже правило. Зафиксируем точку j и положим () = 2/2. Предполагается, что j E/2 (j ), множества E() (j ) попарно не пересекаются, а также Таким образом, при фиксированном j количество новых точек j имеет порядок 2(n1), следовательно, всего получается 2 N / log N точек.

Дальнейшие действия происходят по аналогии с первым шагом. А точек из набора {j } и определим fk,j,q (z) = z, j q. Положим Отметим, что fk,j,q 2 (2 N )1n. Следовательно, подходящий выбор знаков “+” и “” гарантирует, что так как N 2 N N 2. Шаг + 1 завершен.

Положим W = N Wq, тогда W 2 log N/ log N = 1.

Таким образом, остается проверить свойства (1.6.3) и (1.6.5). Обратимся к первой оценке, иными словами, установим, что W const.

Для этого зафиксируем точку S.

Прежде всего, существует не более одного индекса j такого, что E (j ). Предположим, что точка j была выбрана на шаге с номером + 1. Рассмотрим соответствующий набор {j } (при = 0 формальk но положим j = j ). Напомним, что fk,j,q () =, j q. Отметим, что 2 N q 2+1 N, иными словами, q 2 N. Поэтому рассуждения из модельного случая для степени 2 N показывают, что Теперь обратимся к оставшимся точкам i, i = j. Зафиксируем индекс i и предположим, что при построении точка i была выбрана на шаге + 1. Тогда соответствующий набор {ik } состоит из 2(n1) элементов.

Предположим, что m d(, i ) < (m + 1), иными словами, i Hm, m 1. Напомним, что d(ik, i ) < /2, следовательно, d(, ik ) m/2.

Таким образом, имеем поэтому В сумме выполнена оценка Используя модельные рассуждения, окончательно получаем Так как оценка суммы для i = j получена ранее, то свойство (1.6.3) выполняется после умножения построенных многочленов на достаточно малую константу. Отметим, что свойство (1.6.5) также имеет место, так как выше использовались оценки по абсолютной величине. Случай L = разобран полностью.

2) Предположим, что величина L (размер лакуны) произвольна. Зафиксируем > 0 такое, что L 2n+2. Выберем точки {p }L, для которых выполнено модельное свойство: множества E (p ) попарно не пересекаются и одновременно множества E2 (p ) покрывают сферу.

Внутри множества E1 = E/2 (1 ) выполним построения из случая L = 1 для достаточно малого > 0. Точнее, рассмотрим только те точки j, которые попадают в множество E1, и оставим между используемыми частотами пропуски (лакуны) длины L. Отметим, что на каждом шаге построения количество создаваемых функций в L раз меньше обычного, следовательно, требуется в L раз меньше точек, что согласуется с условием (E1 ) L1. Итак, построенный многочлен W (1) имеет спектр в интервале [N1, N1 ), где N1 N. Также предполагается, что минимальная частота N1 много больше, чем лакуна L. Таким образом, W (1)2 1/L.

На следующем шаге строим многочлен W (2). Для этого рассматриваем множество E2 = E/2 (2 ) и предполагаем, что соответствующая минимальная частота N2 удовлетворяет условию N2 N1 + L. Далее выполним построения для всех точек {p }L.

Рассмотрим многочлен W = j W (j). Неравенство (1.6.1) выполнено, так как deg Wd N1 N для всех Wd, входящих в однородное разложение многочлена W. Условие (1.6.2) о лакунарности спектра также выполнено по построению. Так как W (j)2 1/L при 1 j L, то W 2 1. Таким образом, свойство (1.6.4) имеет место. Оценка (1.7.1) на каждом шаге наследуется из случая L = 1. Наконец, свойство (1.6.5) разве лишь проще, чем оценка равномерной нормы всего многочлена W, проверка которой выполнена ниже.

Итак, пусть S. Если E (p ) для некоторого p, то неравенство |W (p)()| const имеет место в силу оценок из случая L = 1. Поэтому достаточно оценить сумму r |W (r)()|, предполагая, что E (p ) для всех p. Рассмотрим первое слагаемое |W (1)()| и предположим, что Напомним, что для построений внутри множества E1 были использованы масштаб 2 = 1/N1, последовательность {j } и точки j. Зафиксиk руем индекс j и предположим, что при точка j была выбрана на шаге + 1. Тогда соответствующий набор {j } состоит из 2(n1) элементов.

следовательно, Теперь пусть индекс j произволен и пусть fk,j,q обозначают функции, соответствующие всем точкам j из множества E1. Последовательность {j } содержит (/)2(n1) элементов, поэтому Отметим, что для произвольного многочлена W (r) указанные оценки остаются в силе, так как изменяется лишь масштаб 2 = 1/Nr. Таким образом, общая сумма оценивается модельным выражением Доказательство леммы 1.7.1 завершено.

1.8 Многомерная теорема Ивашева-Мусатова В название данного раздела вынесен следующий результат.

Теорема 1.8.1 Для каждого > 0 функция h(p) = p 2 log p является L -допустимой для всех размерностей n 2.

Для доказательства сформулированной теоремы будет использовано подходящее L -обобщенное произведение Рисса. Поэтому прежде всего приведем явный пример L -обобщенной пары Рисса. Такая конструкция может служить моделью для дальнейших построений. Также соответствующие многочлены будут использованы в разделе 3.3.

L -обобщенные пары Рисса: модель. Напомним, что для, S, а также для S и > 0. Также отметим, что (E ()) = 2n2 при [0, 1] и (E ()) 2n2 при всех > 0.

Следующая лемма фактически содержится в работе [4]; см. также [98].

Лемма 1.8.2 Пусть A 1. Тогда найдется константа J = J(A, n) со следующим свойством: для (0, 1) существуют точки (k, j) S такие, что Доказательство. Выберем точки p S с помощью модельного правила: множества E/2 (p ) попарно не пересекаются и одновременно множества E (p ) покрывают всю сферу.

Положим J = (4A + 1)2n2. Индукция по индексу p показывает, что для точек p можно так ввести новые обозначения (k, j), что выполнено второе требование леммы (первое требование уже выполнено).

Действительно, предположим, что очередную точку p не удается переобозначить. Следовательно, для всех j = 1, 2,..., J найдутся такие индексы k(j), что d((k(j), j), p ) < 2A. Таким образом, непересекающиеся множества E/2 ((k(j), j)) содержатся в E(2A+1/2) (p ). Следовательно, M (/2)2n2 < ((2A+1/2))2n2, что противоречит определению числа M.

Лемма 1.8.3 Зафиксируем n 2. Тогда существуют константы D = D(n) N и = (n) (0, 1), для которых выполнено сформулированное далее свойство. Пусть L N. Тогда существуют такие однородные голоморфные многочлены Wd = Wd (L), d = 1, 2,..., D, что Доказательство. Пусть j N, j > L. Выберем достаточно большую величину A = A(n) и для = j 1/2 с помощью леммы 1.8.2 построим точки (k, d), 1 d D. Положим по определению Стандартные оценки (см. раздел 1.6, а также [4] и [98]) показывают, что многочлены W (j, L) удовлетворяют требованиям леммы при всех достаточно больших j.

Замечание. Зафиксируем последовательность коэффициентов a = {ak } D. Для получения примера L -обобщенной пары Рисса (R, a) применим лемму 1.8.3 и положим R = {R(j, L)}j,L, где Еще раз подчеркнем, что константа D не зависит от j и L.

Перейдем к доказательству теоремы 1.8.1. Для этого будет построена L -обобщенная пара Рисса, которая обладает дополнительными свойствами.

Вспомогательные полиномы на окружности. Следующее понятие является вариантом основного определения из статьи Г. Брауна и Э. Хьюитта [35].

Определение. Убывающая функция h : Z+ R+ называется 2-регулярной, если для каждого числа L N существует такое m > L, что • последовательность h(k) Рабочим примером 2-регулярной функции может служить В сформулированном определении ограничения накладываются на промежутке [m, 2m]. В оригинальной конструкции Брауна–Хьюитта рассматриваются произвольные интервалы [m1, m2 ]. По техническим причинам такие произвольные блоки частот не удается использовать в дальнейших рассуждениях. Однако непосредственная проверка показывает, что следующий вспомогательный результат является частным случаем основной леммы из работы [35].

Лемма 1.8.4 Существует абсолютная константа > 0 такая, что для каждой 2-регулярной функции h : Z+ R+ и каждого M N существуют натуральные числа m, L, удовлетворяющие условию m > L > M, и комплексные числа d такие, что (1.8.1) (1.8.3) Полиномы на сфере. Первое вспомогательное утверждение хорошо известно и следует из модельных рассуждений, приведенных в разделе 1.6.

Лемма 1.8.5 Существуют константы A = A(n) 1 и C = C(n) <, для которых выполнено сформулированное ниже свойство. Для p N положим 2 = 1/2p. Пусть j S и EA (j ) EA (k ) = при j = k. Тогда (1.8.4) (1.8.5) Обратимся к созданию строительных блоков, которые далее будут использованы в индукционной конструкции.

Лемма 1.8.6 Существует абсолютная константа > 0 такая, что для каждой 2-регулярной функции h : Z+ R+ и каждого натурального числа M выполнено следующее условие: существуют однородные голоморфные многочлены Wp такие, что deg Wp > M, а также (1.8.6) (1.8.7) (1.8.9) Доказательство. Во-первых, зафиксируем константу A = A(n), полученную в лемме 1.8.5. Во-вторых, с помощью леммы 1.8.2 выберем число J = J(A, n). Далее, воспользуемся леммой 1.8.4, подставив JM на место числа M. Таким образом, получены m, L N и d C, m d 2m 1.

Отметим, что L > JM.

Положим 2 = 1/2mL и построим с помощью леммы 1.8.2 точки (k, j) S. Для 0 j < J положим Ниже будет проверено, что с точностью до мультипликативной константы многочлены {Vdj }d,j удовлетворяют искомым оценкам.

Свойство (1.8.6). Безусловно, имеем deg Vdj1 deg Vdj2 M при j1 = j2. С другой стороны, если d1 = d2, то Свойство (1.8.7). Поскольку d m, свойство (1.8.5) дает Следовательно, оценка (1.8.1) гарантирует, что так как L > JM и функция h убывает.

Свойство (1.8.8). Для 0 j < J рассмотрим многочлены Отметим, что |Fj ()| 1 для всех T. Поэтому лемма Шварца гарантирует, что |Fj ()| ||mL при D.

Напомним, что 2 = 1/2mL. Следовательно, для всех точек z S имеем в силу оценки (1.8.5). Окончательно получаем m 2 log 2 m является 2-регулярной. Воспользуемся леммой 1.8.6 и построим однородные голоморфные полиномы Wp = Wp (M ), для которых выполнены свойства (1.8.6–1.8.9).

Тогда (R, a) является L -обобщенной парой Рисса. Так как a 2, то дихотомия Зигмунда (следствие 1.5.6) гарантирует сингулярность всех срезов = (R, J, a) для всех достаточно лакунарных множеств индексов J N.

Оценка равномерных норм многочленов m0. Несколько усложним изложенную выше индукционную процедуру. Как обычно, на шаге с номером k + 1 будут наложены некоторые дополнительные ограничения на индекс jk+1. Окончательное множество индексов J станет еще более разреженным. Безусловно, такое изменение не окажет воздействия на сингулярность срез-мер.

Итак, пусть многочлен k имеет однородное разложение pZ fp. Как в определении обобщенной пары Рисса, запишем (будем опускать символ Lk+1 ) Отметим, что многочлены Wd являются однородными. Рассмотрим новый спектр, появившийся на шаге с номером k+1, иными словами, спектр разности (k+1 k ).

Z+, тогда gm = K[ak fp Wd (jk+1 )/2] для некоторых p Z и d Z+. Имеют место неравенства m = deg gm deg Wd (jk+1 ) + deg fp deg Wd (jk+1 ) + Lk+1 := M, где число M определяется последним равенством. Так как оператор Ганкеля Hfp : C(S) C(S) ограничен, то с помощью свойства (1.8.7) устанавливаем неравенства для достаточно большого индекса jk+1. Иными словами, после завершения индукции имеем m0 = gm m 2 log m. Доказательство теоремы 1.8.1 завершено.

1.9 Сверточные степени срез-мер Давно известны примеры таких сингулярных вероятностных мер µ M (T), что µ µ Lp (T) для всех p <. Для общих локально компактных абелевых групп этот вопрос был рассмотрен Э. Хьюиттом и Х. Цукерманом в работе [64]. Подобный результат о срезах плюригармонической меры немедленно следует из теоремы 1.8.1.

Следствие 1.9.1 Существует вероятностная плюригармоническая мера µ такая, что срез-меры µ сингулярны и µ µ Lp (T) для всех Доказательство. С помощью теоремы 1.8.1 построим вероятностную плюригармоническую меру µ такую, что срез-меры µ сингулярны и µ (k) = O k log k для всех точек S. Применение теоремы Харди– Литтлвуда ([8], глава XII, теорема 3.19) показывает, что µ µ Lp (T) для всех p <.

Полученный пример порождает дальнейшие вопросы о сверточных свойствах срез-мер µ. В частности, напомним, что Г. Браун [33] построил на компактной абелевой группе меру, все сверточные степени которой взаимно сингулярны. Примеры противоположного типа были получены Б.М. Макаровым в статье [10]. А именно, на вещественной прямой существует непрерывная сингулярная мера, которая эквивалентна своему квадрату по свертке. Наконец, Г. Браун и Э. Хьюитт в работе [34] получили пример Б.М. Макарова в случае произвольной локально компактной абелевой группы.

Итак, пусть µ — вероятностная плюригармоническая мера. Основная цель данного раздела — показать, что при почти всех S сверточные степени µd и µk могут быть взаимно сингулярны для всех d = k.

Как и ранее, в качестве примера будет использована мера Рисса. Отd метим, что при непосредственном исследовании сверточных степеней, d N, предпочтение будет отдано обычным (необобщенным) плюригармоническим произведениям (см. раздел 1.3). Безусловно, теорема 1.4. наглядно иллюстрирует технические осложнения, возникающие при построении чисто сингулярных мер такого вида. Однако рассмотрим соответствующее стандартное произведение. Тогда срез и все его сверточные степени d являются классическими произведениями Рисса (в обобщенном случае меры d имеют более сложную структуру). Это преимущество оказывается решающим для дальнейших построений.

Вспомогательные результаты. Прежде всего установим аналог леммы 1.5.4, который позволяет в рассуждениях о взаимной сингулярности (абсолютной непрерывности) заменять срез-меры на соответствующие формальные срез-произведения. Предлагаемая конструкция решает вопрос о синхронизированном построении двух плюригармонических произведений с одинаковыми множествами J, U и. Более того, лемма гарантирует, что одно из полученных произведений будет чисто сингулярным.

Лемма 1.9.2 Зафиксируем пары Рисса (R, a(1) ) и (R, a(2) ). Предположим, что a(1) 2. Тогда существуют множество индексов J N, множество знаков = {k }, k {±1}, и последовательность U = {Uj } U такие, что выполнены следующие свойства:

• плюригармонические произведения (R U, J, a(d) ), d = 1, 2, корректно определены;

• при d = 1, 2 для почти всех точек S срез-мера (RU, J, a(d) ) и формальный срез (R U, J, a(d) ) эквивалентны; более того, имеем Доказательство. Зафиксируем последовательность {k } такую, что k > 0 и k=1 k <. Числа k будут использованы ниже в пункте 2.

В качестве основного каркаса доказательства используем две конструкции плюригармонических произведений Рисса. На (k + 1)-ом шаге индукции предположим, что на сфере уже построены строго положительные плюригармонические многочлены k и k.

1) Условия, обеспечивающие корректное определение и сингулярность.

Для произвольных функций f, g CR (S) имеем Следовательно, существуют унитарные операторы Uk+1 U такие, что Отметим, что имеем так как из определения полиномов Рыля–Войтащика следует, что Таким образом, выберем знак k+1 {±1} такой, что Для d = 1, 2 положим В силу свойства (1.3.1) имеем k+1 () const(k) > 0, d = 1, 2, для всех достаточно больших N, а также 2) Условия, гарантирующие эквивалентность срезов. Напомним, что при d = 1, 2 выполнена оценка k+1 () const(k) > 0, поэтому свойство (1.3.1) гарантирует, что для всех достаточно больших N выполнены неравенства для d = 1, 2.

3) Окончательный выбор индекса jk+1. Зафиксируем столь большое, что 6jk и выполнены все вышеперечисленные требования. Положим jk+1 = и соответственно Ujk+1 = Uk+1, k+1 = k+1. Наконец, опредеd) (d) лим k+1 = k+1 () для d = 1, 2. Индукционный шаг с номером k + завершен.

4) Проверка свойств произведений (d) = (R U, J, a(d) ). Сингулярность меры (1) следует из свойства (1.9.1) (условие лакунарности jk+1 /jk 6 позволяет повторить рассуждение из доказательства теоремы 1.4.1). Поэтому обратимся к срезам стандартных произведений.

Дальнейшие рассуждения не зависят от индекса d, поэтому он будет опущен.

Введем вспомогательные функции свойства (1.9.2) имеем Иными словами, последовательность {(k ) /(k ) } ограничена в проk= странстве L ( ) для каждой точки S. При k сходимость имеет место в слабой* топологии пространства M (T). Следовательно, получаем d /d L. Рассуждение для производной d /d проходит аналогичным образом с помощью свойства (1.9.3).

Также напомним одно хорошо известное свойство свертки, которое имеет место при весьма общих предположениях (cм. [58], предложение A.6.1).

Лемма 1.9.3 Пусть µ и — положительные меры на окружности T.

Взаимно сингулярные сверточные степени.

Теорема 1.9.4 Существует такое плюригармоническое произведение Рисса, что для почти всех точек S выполнены следующие свойства:

• срез-мера сингулярна;

• все сверточные степени меры взаимно сингулярны.

Доказательство. Пусть R — некоторая последовательность полиномов Рыля–Войтащика. Положим ak = 1/ k и ak = 1/2 для k 1. Воспользуемся леммой 1.9.2 для пар Рисса (R, a(1) ) и (R, a(2) ) и построим меры (d) = (R U, J, a(d) ), d = 1, 2. Отметим, что соответствующие стандартные произведения (d) = (R U, J, a(d) ) автоматически корректно определены.

Ниже будет показано, что мера (2) обладает требуемыми свойствами. Сначала изучим вспомогательное плюригармоническое произведение (1).

1) Так как мера Рисса (1) сингулярна (относительно меры Лебега на сфере), то срез-произведения сингулярны (относительно меры Лебега на окружности) для почти всех S. Зафиксируем такую точку Напомним, что также сингулярна относительно меры Лебега на окружности. Напомним, что формальные срезы стандартных произведений являются мерами Рисса на окружности. А именно, срез = (R U, J, a(1) ) есть классическое произведение Рисса µ(J, a(1) ), где = {k } и k = k (Rjk Ujk ) ().

Так как рассматриваемая мера µ(J, a(1) ) сингулярна, то из дихотомии Зигмунда следует, что a(1) 2. В частности, имеем 2. Более того, пусть > q 2 и 1/q + 1/q = 1. Напомним, что a(1) = 1/ k, поэтому неравенство Гёльдера дает оценку для всех N N. Так как q > 1, то получаем, что 2q для всех q 2.

2) Продолжим рассмотрение прежней точки S и обратимся к мере Рисса (2) = (R U, J, a(2) ) и срезу.

Во-первых, проверим, что срез-мера сингулярна. Действительно, соответствующий формальный срез классической мерой Рисса µ(J, a(2) ). Так как ak = 1/2 для всех k 1, то a(2) 2. Следовательно, дихотомия Зигмунда гарантирует, что срез является сингулярной.

Во-вторых, обратимся к сверткам. Начнем с исследования степеней ( )p1 и ( )p2 при p1 = p2. Отметим, что сверточная степень классического произведения Рисса вновь является произведением Рисса. В частности, имеем ( )p = µ J, 21p a(2) = µ(J, 212p p ). Поэтому обратимся к разности = 212p1 p1 212p2 p2. Не умаляя общности, предположим, что p1 < p2. Тогда получаем так как 2p1 и |k | 1. Применив критерий Пейрьера (теорема 1.5.2), устанавливаем, что сверточные степени ( )p1 и ( )p2 взаимно сингулярны. Теперь напомним, что. Следовательно, лемма 1.9. гарантирует, что степени ( )p и ( )p также эквивалентны при всех p N. Таким образом, искомое свойство ( )p1 ( )p2 установлено.

2 Гладкие меры и их интегралы Пуассона Излагаемые в данной главе результаты можно объединить с помощью следующей общей схемы:

Задан некоторый набор гладких (в определенном смысле) мер µ на сфере S или на евклидовом пространстве Rn. Требуется найти описание рассматриваемого набора в терминах соответствующих гармонических продолжений, т.е. в терминах интегралов Пуассона P [µ].

Задачи такого типа хорошо известны в теории функций. Например, подобный подход использован в классической монографии [19], где в главе 2 “основным средством изучения функции, определенной на Rn, является переход к определенной на (n+1)-мерном верхнем полупространстве гармонической функции, для которой f служит граничным значением”.

В настоящей главе будут использованы три способа формализации понятия “гладкая мера”: с помощью модулей непрерывности, меры Зигмунда и симметричные меры. В каждом случае моделью будет служить известный одномерный результат о мерах на окружности T. Также в заключительном разделе 2.5 будет изучен количественный вопрос о существовании положительных сингулярных симметричных мер и мер Зигмунда.

Гладкость в терминах модулей непрерывности исследуется для мер, заданных на сфере. Эти результаты найдут свое применение при изучении слабо внешних внутренних функций (раздел 3.5).

При исследовании мер Зигмунда и симметричных мер мы несколько отклонимся от основной линии изложения и рассмотрим меры на Rn.

С одной стороны, данное отклонение обусловлено техническими причинами, в частности, возможностью использования диадических мартингалов. С другой стороны, излагаемые доказательства показывают, что соответствующие результаты имеют вещественную природу. Безусловно, в приложениях потребуются результаты о симметричных мерах, заданных на сфере S. Однако в рассматриваемых ниже задачах о функциях из малого пространства Блоха (разделы 3.2–3.3) удается воспользоваться свойствами одномерных симметричных мер.

2.1 Гладкие меры на сфере Прежде всего напомним модельный одномерный результат.

Гладкие меры на окружности. Пусть µ — положительная сингулярная мера на окружности T. Тогда равенство задает соответствующую сингулярную внутреннюю функцию.

Определение. Модулем непрерывности положительной меры µ M (T) называется функция где J T обозначает произвольную дугу, а |J| = m(J) — ее нормированная длина.

Теорема 2.1.1 (Г. Шапиро [88]) Пусть µ — положительная сингулярная мера на окружности T. Тогда (µ; t) = O(t log 1 ) в том и только том случае, когда для некоторых констант C, N > 0.

Несколько комплексных переменных. Пусть n 2. По аналогии с одномерным случаем рассмотрим функцию где µ — некоторая положительная сингулярная плюригармоническая мера на единичной сфере S. Так как функция log |Iµ | является плюригармонической, то где обозначает классическое (вещественное) ядро Пуассона. Напомним, что классический интеграл Пуассона меры совпадает с ее инвариантным интегралом Пуассона тогда и только тогда, когда рассматриваемая мера является плюригармонической. С помощью этого наблюдения получаем еще одно интегральное представление обозначает инвариантное (комплексное) ядро Пуассона.

Таким образом, в плюригармоническом случае естественно использовать следующие два метода измерения гладкости мер на сфере.

Определение. Вещественным модулем непрерывности положительной меры µ M (S) называют функцию Комплексным модулем непрерывности положительной меры µ M (S) называют функцию является квазиметрикой на сфере. Следовательно, множество Q(, ) является квазишаром.

Далее, напомним, что для каждой положительной плюригармонической меры µ определены срез-меры µ для всех S. Поэтому существует еще один способ для измерения гладкости плюригармонических мер.

Определение. Модулем непрерывности на срезах положительной плюригармонической меры µ M (S) называется функция где J T обозначает произвольную дугу.

Предложение 2.1.2 Пусть µ — положительная сингулярная плюригармоническая мера на сфере Sn. Тогда следующие свойства равносильны:

(i) |Iµ (z)| C(1 |z|)N для некоторых положительных констант C, N ;

(iii) C (µ; t) = O(tn log 1 );

(iv) R (µ; t) = O(t2n1 log 1 ).

Доказательство. (iii) (i). Пусть S и 0 r < 1. Тогда Отметим, что для всех r [0, 1] и всех || 1. Поэтому Разобьем сферу на непересекающиеся множества вида Тогда последнее неравенство и свойство (iii) приводят к следующим оценкам:

log |Iµ (r)| Таким образом, |Iµ (r)| eC (1 r)C. Иными словами, свойство (i) выполнено.

(iv) (i). Для доказательства будет видоизменено рассуждение, использованное при проверке комплексной импликации (iii) (i). А именно, пусть S и 0 r < 1. Тогда Отметим, что для всех r [0, 1] и всех, S. Следовательно, Используя диадическое разбиение, получаем оценки log |Iµ (r)| Иными словами, выполнено неравенство |Iµ (r)| eC (1r)C. Таким образом, свойство (i) выполнено.

(i) (ii). Это свойство является переформулировкой теоремы 2.1.1, (ii) (iii). Прежде всего напомним, что всякая плюригармоническая мера является интегралом своих срезов. Действительно, пусть — положительная плюригармоническая мера. Тогда корректно определены срез-меры для CP n1, а также имеет место равенство при условии f C(S) (см. раздел 1.2).

Теперь зафиксируем точку S и рассмотрим квазишар Qt = Q(, t), t > 0. Множество Qt приблизительно выглядит как (2n 1)-мерный (евклидов) эллипсоид. Пересечение окружности и множества Qt есть дуга Jt, для которой |Jt | t. В направлении, ортогональном к окружности T, множество Qt покрывается (2n 2)мерным (евклидовым) шаром радиуса C t (см. [17], раздел 5.1.3 и предложение 5.1.4). По предположению µ (Jt ) = O(t log 1 ). Следовательt но, интегрирование относительно меры приводит к оценке µ(Qt ) = ( )2n O(t log 1 ) = O(tn log 1 ), что и требовалось.

(ii) (iv). Вновь для доказательства будет видоизменено комплексное рассуждение, использованное при проверке свойства (ii) (iii). Итак, зафиксируем точку S и рассмотрим множество Et = E(, t), t > 0.

Множество Et приблизительно выглядит как (2n 1)-мерный (евклидов) шар. Пересечение окружности T = { : T} и множества Et является дугой Jt, для которой |Jt | t. В направлении, ортогональном к окружности T, множество Et покрывается (2n 2)-мерным шаром радиуса Ct. По предположению имеем µ (Jt ) = O(t log 1 ). Слеt довательно, интегрирование относительно меры приводит к оценке µ(Et ) = t2n2 O(t log 1 ) = O(t2n1 log 1 ), как и требовалось.

Замечание. Возможно, импликации (iii) (ii) и (iv) (ii), а также равносильность свойств (iii) и (iv) представляют независимый интерес.

С другой стороны, ниже сформулированы предложения, которые показывают, что аналоги теоремы 2.1.1 имеют место для всех мер на сфере.

Предложение 2.1.3 Пусть µ — положительная мера на сфере Sn. Тогда неравенство P[µ]((1t)) C log 1 выполнено для всех S в том и только том случае, когда C (µ; t) = O(tn log 1 ) при t 0.

Доказательство. () Пусть S и 1/2 t > 0. По определению квазишара Q(, t) неравенство |1 (1 t), | Ct выполнено для всех Q(, t). Поэтому получаем Иными словами, C (µ; t) = O(tn log 1 ).

Доказательство импликации () повторяет рассуждение, использованное при проверке импликации (iii) (i) в предложении 2.1.2.

Доказательство следующего (вещественного) варианта предложения 2.1.3 проводится аналогично. Поэтому мы его опустим.

Предложение 2.1.4 Пусть µ — положительная мера на сфере Sn. Тогда неравенство P [µ]((1t)) C log 1 выполнено для всех S в том и только том случае, когда R (µ; t) = O(t2n1 log 1 ) при t 0.

2.2 Меры Зигмунда и симметричные меры Свойство Зигмунда. Вещественная борелевская мера µ на единичной окружности T называется мерой Зигмунда, если существует константа C = C(µ) > 0 такая, что (2.2.1) для всех пар дуг I+, I T, имеющих равную длину m(I+ ) = |I+ | = |I | и ровно одну общую точку (далее такие дуги будем называть соседними).

Если при приближении длины |I+ | к нулю указанная оценка выполняется для произвольно малой константы C, то µ называется малой мерой Зигмунда.

Мерам Зигмунда соответствуют функции из пространства Блоха. По определению аналитическая в единичном круге функция f принадлежит пространству Блоха, если для некоторой константы C = C(f ) > 0. Малое пространство Блоха состоит из тех элементов f пространства Блоха, которые удовлетворяют условию П. Дюрен, Г. Шапиро и А. Шилдс доказали следующий результат.

Теорема 2.2.1 ([49]) Пусть µ — мера на единичной окружности. Рассмотрим ее преобразование Герглотца Тогда µ является (малой) мерой Зигмунда в том и только том случае, когда H[µ] принадлежит (малому) пространству Блоха.

Меры Зигмунда естественно возникают и в иных задачах. Например, для таких мер выполняется утверждение, обратное к классической теореме Фату о радиальных пределах (см. [38]).