На правах рукописи

Сиверцев Олег Николаевич

Алгоритм восстановления функций

Специальность 05.13.01 Системный анализ, управление

и обработка информации

Автореферат диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико–математических наук

МОСКВА 2007

Работа выполнена в Московском государственном институте электроники и математики

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Хаметов Владимир Минирович

Официальные оппоненты:

доктор физико–математических наук, профессор Бахшиян Борис Цолакович доктор экономических наук, профессор Шаров Виталий Филиппович

Ведущая организация:

Институт системного анализа Российской академии наук, г. Москва.

Защита состоится ”23” октября 2007 года в 12:00 на заседании диссертационного совета Д 212.133.01 в Московском государственном институте электроники и математики по адресу: 109028, Москва, Большой Трехсвятительский пер., д. 3/12.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Автореферат разослан ”20” сентября 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.133.01, кандидат технических наук, доцент Бузников С.Е.

Введение Актуальность темы. Задача оценивания случайных функций, как и задача восстановления неизвестной функции, в частности, по наблюдениям с ошибками, возникает во многих областях науки и техники: статистике, теории планирования эксперимента, радиолокации, связи, геологии, экономике, медицине, генетике и т.д. Эти задачи отличаются от задач классического статистического оценивания тем, что оцениваемый параметр является бесконечномерным, т.е. они являются задачами непараметрического оценивания.

Исследования в области теории восстановления функций проводились многими авторами. Так, в работе B. Levit, N. Stepanova [15] рассмотрен процесс диффузионного типа, описываемый стохастическим уравнением Ито, у которого коэффициенты сноса является неслучайной аналитической функцией, а коэффициент диффузии содержит малый параметр. В ней построена минимаксная оценка коэффициента сноса и исследованы ее асимптотические свойства.

В монографиях В. Н. Вапника [2, 3], основываясь на теореме ГливенкоКантелли, разработан алгоритм восстановления неизвестной функции по наблюдениям с ошибками. В этих книгах также содержатся программы, реализующие его на ЭВМ.

В книге С. М. Ермакова и А. А. Жиглявского [6] рассмотрены задачи асимптотического оптимального проекционного линейного оценивания функции регрессии, для суммарной погрешности которой построены оценки снизу.

В работах Б. С. Дарховского [4, 5] содержится подробный обзор современных результатов, связанных с решением задачи восстановления неизвестной функции как в детерминированной, так и в стохастической постановке. Доказаны условия существования оптимальной оценки неизвестной функции и найдены ее статистические свойства. Кроме того, доказаны условия применимости предложенного подхода к различным статистическим задачам.

В работе И. А. Ибрагимова [7] рассмотрена задача об оценке многомерной регрессии, при этом предполагается, что функция регрессии и ее оценка квадратично интегрируемы. В этой статье установлены границы величины погрешности в терминах поперечников по Колмогорову и Бернштейну, а также –энтропии, причем оценка функции регрессии здесь строится классическим методом наименьших квадратов.

В книге И. А. Ибрагимова и Р. З. Хасьминского [8] для выборки из генеральной совокупности с неизвестной плотностью распределения построены ядерные оценки Парзена–Розенблатта в задаче оценивания неизвестной плотности. Для этих оценок получены достаточные условия состоятельности.

В книге Ю. А. Кутоянца [9] для случая, когда восстанавливаемая функция принадлежит гильбертову пространству с воспроизводящим ядром, для нее построены оценки и исследованы их асимптотические свойства.

В статье И. Л. Легостаевой и А. Н. Ширяева [10] решена задача минимаксного оценивания неизвестных параметров полиномиального тренда, по наблюдениям за ним с некоррелированными гауссовскими ошибками.

В работе Н. Н. Ченцова [14] построены оценки неизвестной функции f (x) из L2 ([0, 1]) и исследованы их статистические и асимптотические свойства.

В работах Р. Л. Стратоновича [12, 13] рассмотрена задача восстановления неизвестной функции по наблюдениям с ошибками. В этих статьях, в предположении, что неизвестная функция представима в виде конечной линейной комбинации ”базисных” функций, а ошибки имеют гауссовское распределение, причем измерения равноточные, построен оптимальный, в смысле критерия минимума среднеквадратической ошибки, рекуррентный алгоритм восстановления и получены условия его сходимости.

Разработка новых методов решения задач восстановления неизвестных функций, а также оценивания гауссовских случайных функций по наблюдениям за ними с гауссовскими ошибками, является актуальной как теоретической, так и практической проблемой.

оптимального и –оптимального оценивания гауссовских случайных функций и восстановления функций по наблюдениям за ними с ошибками, а также их реализация в виде комплекса программ.

Методика исследования. В диссертационной работе применяются методы функционального анализа, теории вероятностей, математической статистики и численных методов.

1) оптимальный (в смысле минимума среднеквадратической ошибки) линейный рекуррентный алгоритм оценивания гауссовской случайной функции, значения которой наблюдаются с ошибками; 2) –оптимальный линейный рекуррентный алгоритм оценивания гауссовской случайной функции, значения которой наблюдаются с ошибками; 3) оптимальный и –оптимальный алгоритмы стохастического восстановления функции из L2 ([0, 1]); 4) комплекс программ восстановления неизвестной квадратично интегрируемой функции, значения которой наблюдаются с ошибками.

Теоретическая и практическая ценность. Теоретическая ценность диссертации состоит в том, что предложенные новые рекуррентные алгоритмы оптимального, –оптимального оценивания гауссовской случайной функции и стохастического восстановления неизвестной функции из L2 ([0, 1]) по наблюдениям с ошибками строго обоснованы. Практическая ценность диссертации состоит в том, что разработан комплекс программ ”МНК–тренд”, реализующий –оптимальный линейный рекуррентный алгоритм стохастического восстановления неизвестной квадратично интегрируемой функции, значения которой наблюдаются с ошибками.

Апробация работы. Материалы исследования докладывались и получили положительную оценку на научных форумах: Международная конференция и Российская научная школа ”Системные проблемы качества, математического моделирования, информационных, электронных и лазерных технологий” (Москва–Сочи, 2001); научно–техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ, посвященная 40–летию МИЭМ (Москва, 2002); на VII симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Кисловодск, 2006).

По теме диссертации были сделаны доклады на научно–технических конференциях студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ в 2003– 2006 гг., а также в процессе работы Международной студенческой школы– семинара ”Новые информационные технологии” в 2002, 2004 и в 2005 гг.

Помимо этого делались сообщения на семинарах кафедры ”Исследование операций” и на семинарах кафедры ”Кибернетика”.

Публикации. Основные результаты опубликованы в 11 печатных работах, список которых содержится в конце автореферата, в том числе свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ ”МНК–тренд”.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, заключения, 2 приложений и библиографического списка, включающего 87 наименований. Работа изложена на 185 страницах, содержит таблицу и 39 рисунков.

Во введении содержится обзор известных результатов теории восстановления неизвестной функции из L2 ([0, 1]) и теории оценивания гауссовских случайных функций. Кроме того, во введении приводится сравнительный анализ содержания статистических пакетов, реализующих методики восстановления функций. Здесь также дана общая характеристика работы, обоснована ее актуальность, научная новизна и практическая ценность. В заключении приводится краткое содержание работы по главам.

изложения результатов работы сведения из функционального анализа, теории меры, теории вероятностей и математической статистики. В ней также вводятся необходимые для изложения результатов диссертации обозначения.

Перейдем к краткому изложению результатов главы 2.

В § 1 приводятся известные результаты из теории гауссовских мер в сепарабельных гильбертовых пространствах.

В § 2 содержится постановка задачи оценивания гауссовской случайной функции по наблюдениям с ошибками. Пусть x [0, 1], а L2 ([0, 1]) множество квадратично интегрируемых функций f : [0, 1] R1, т.е.

f 2 (x) dx <, пусть (, F, P ) вероятностное пространство. Пусть задана случайная функция n : N+ [0, 1] R1, обозначаемая через nm (x), где m N+, x [0, 1], которую будем называть ошибками в точке x.

Относительно случайной функции nm (x) будем полагать, что для любых где M математическое ожидание относительно меры P. Положим, что для любых x [0, 1] и m = k Пусть f : [0, 1] R1 измеримая функция, обозначаемая через f (, x), такая, что Предположим, что мы наблюдаем функцию ym (x), которая является суммой двух случайных функций f (, x) и nm (x), т.е.

пространство, в нем существует полная счетная ортонормированная система функций, которую мы обозначим {i (x)}i1, (i (x) L2 ([0, 1])), т.е.:

как P –п.н. функция f (, x) L2 ([0, 1]), то она допускает представление:

где {i ()}i0 коэффициенты Фурье функции f (, x), которые являются случайными величинами. Пусть для любых i 0 и m 1.

В силу сделанных предположений, для любых i, m, интегралы (2) и (3) корректно определены и M(ym )2 + M(ni )2 <. Поэтому из (1) для любых i 0, m 1 имеем P –п.н.

{y1,..., ym, для всех i 0}.

случайная величина. Теперь мы можем дать необходимые для дальнейшего изложения определения, а также сформулировать постановку задачи.

Определение 1. Fm B([0, 1])–измеримую функцию, обозначаемую через fm (x), такую что M |fm (x)|2 dx <, назовем оценкой случайной функции f (, x). Множество таких оценок обозначим через M2,m (P ).

Опишем критерий оптимальности оценки случайной функции f (, x).

Требуется построить такую оценку fm (x) M2,m (P ), что Определение 2. Оценку fm (x) M2,m (P ) назовем оптимальной, если Определим теперь, что мы будем понимать под –оптимальной оценкой.

Определение 3. Оценку fm (x) M2,m (P ) назовем –оптимальной, > 0, для любого > 0, если обозначаемая через (m, ) такая, что для любых m N+, (0, 1) Заметим, что fm (x), f (, x) M2,m (P ). Поэтому для любого m 1 Р–п.н.

где im Fm –измеримые случайные величины, причем Определение 4. Оценки случайной функции f (, x) вида (8), (9), где {j (x)}j0 система ортонормированных функций в L2 ([0, 1]), называются проекционными.

Через M2,m (P ) обозначим множество бесконечномерных случайных Ясно, что M2,m (P ) изоморфно M2,m (P ). Поэтому Доказано следующее утверждение.

Предложение 1. Для любого m 1 оптимальная оценка fm (x) M2,m (P ) существует тогда и только тогда, когда существует { m } M2,m (P ) такое, что где i () = f (, x)i (x)dx.

В § 3 содержится один из основных результатов данной главы.

Сформулируем предположения.

Условия (S) :

1) семейство {i ()}i0 случайных величин образует гауссовскую систему некоррелированных случайных величин, причем Law(i ()) = N (ci, di ), систему некоррелированных случайных величин с Law(ni ) = N (0, i ), причем некоррелированны.

Теперь сформулируем основной результат этого параграфа.

Теорема 1. Пусть f (, x) M2,m (P ). Пусть выполнены условия (S).

Тогда существует оптимальная проекционная оценка fm (x), т.е. fm (x) P –п.н.

допускает представление удовлетворяют рекуррентным соотношениям любого m В § 4 содержится доказательство теоремы 1.

В § 5 устанавливаются несмещенность и состоятельность оценок (11).

Определение 5. Оценка fm (x) гауссовской случайной функции f (, x) называется несмещенной, если для любого x [0, 1] Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1, тогда оптимальная оценка fm (x), определяемая (11), является несмещенной.

Определение 6. Оценка fm (x) гауссовской случайной функции f (, x) называется состоятельной, если Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда оптимальная оценка fm (x), определяемая (11), является состоятельной.

Практическое использование оптимальной оценки fm (x), определяемой соотношением (11), технически затруднено из-за того, что оценок im необходимо построить счетное число. Поэтому в § 6 мы устанавливаем условия существования –оптимальной оценки гауссовской случайной функции.

Приведем сначала критерий существования –оптимальной оценки.

оптимальная оценка неизвестной функции определяемая соотношениями (11)–(13) и пусть > 0. Оценка fm (x) M2,m (P ) только тогда, когда Теперь сформулируем основной результат этого параграфа.

Теорема 4. Пусть выполнены условия (S) и для любого > 0 найдется число N0 () такое, что для любого k N0 () Тогда оценка рекуррентным соотношениям (12), (13) для i m, причем для любых m и> неслучайной функции f (x) L2 ([0, 1]) по наблюдениям ym (x) за ней с ошибками, т.е.

где nm (x) ранее описанная, гауссовская случайная функция.

Основным результатом здесь является следующее утверждение.

Теорема 5. Пусть выполнены условия (S) и f (x) L2 ([0, 1]). Тогда справедливы следующие утверждения.

1) Оптимальная оценка fm (x) в смысле критерия 2) –оптимальная оценка fm (x) M2,m (P ) неизвестной функции f (x) L2 ([0, 1]) имеет вид Третья глава диссертации посвящена решению задачи оценивания гауссовской случайной функции f (, x) по наблюдениям за ней с ошибками, которые в отличие от главы два проводятся в конечном числе точек xi [0, 1], i = 1, m. Поэтому модель наблюдений (1) примет вид В § 1 содержится постановка задачи оценивания гауссовской случайной функции по наблюдениям в конечном числе точек из [0, 1], а также приводятся необходимые определения.

Очевидно, что для любого i = 1, m P –п.н.

где что Предположим, что Mni nj = i ij. Последнее означает, что ошибки в различных точках xi некоррелированы. Предположим, что над моделью (19) проведено l независимых испытаний:

где k = 1, l.

Обозначим Fk Определение 7. F Y –оценкой гауссовской случайной функции f (, x) по наблюдениям Y1m,..., Ykm, проводимым в точках x1,..., xm [0, 1], функцию, такую, что M |fk,m (x)|2 dx <. Множество таких оценок обозначим через M2,k,m (P ), где k = 1, l.

Требуется построить такую F Y –оценку fk,m (x) M2,k,m (P ), что Оценку fk,m (x) M2,k,m (P ), определяемую (20), в дальнейшем будем называть оптимальной.

Пусть M2,k,m (P ) множество бесконечномерных случайных векторов изометрично M2,k,m (P ).

Определение 8. Fk –измеримую случайную величину, обозначаемую через fk,m (x) M2,k,m (P ), назовем –оптимальной F Y –оценкой ( > 0) гауссовской случайной функции f (, x) такой, что M |f (, x)|2 dx < по наблюдениям в точках x1,..., xm [0, 1], если случайной функции по наблюдениям с ошибками в конечном числе точек.

Для формулировки условий и основного результата введем ряд обозначений.

что M2,k,m, причем для любых i, j вектора ;

вектора M2,k,m.

4) для векторов:

i) N +1 (x) которого является l–ым элементом ортонормированного базиса в точке ii) { k }k0,...,l семейство (N + 1)–мерных Fk –измеримых векторов оценок гауссовского вектора N = (0,..., N )T ;

5) для матриц:

iii) EN +1 = (ij ) единичная матрица размера (N + 1) (N + 1);

kij симметрическая (N + 1) (N + 1)–матрица оценок { k }k{0,...,l}.

Через (·, ·)N +1 обозначим скалярное произведение в (N + 1)–мерном евклидовом пространстве.

Теперь мы можем сформулировать наши предположения.

Условия (S):

ii) пусть {ni }i=1,m,s=1,l семейство гауссовских случайных величин, где ni = ns (x)|x=xi, s 1, удовлетворяет условиям S2) и S3) (смотри условия S).

Условия (B):

Условия (E): для любого (0, 1 ) существуют целое число N = N () утверждение.

Теорема 6. Пусть выполнены условия (S), (B), (E). Тогда для любого > P –п.н. допускает представление где k Fk –измеримый (N + 1)–мерный случайный вектор такой, что размера (N + 1) (N + 1) имеет вид В § 3 рассматривается задача построения оптимальных оценок гауссовской случайной функции по наблюдениям с гауссовскими ошибками в конечном числе точек из [0, 1].

Для удобства формулировки основного утверждения данного параграфа введем обозначения Тогда существует оптимальная оценка fk,m (x) M2,k,m (P ), т.е.

1) k,m M2,k,m (P ) и допускает представление P –п.н.

2) дисперсионная матрица k,m оценок k,m имеет вид В § 4 решается задача –оптимального стохастического восстановления функции f (x) L2 ([0, 1]) по наблюдениям с ошибками в конечном числе точек из отрезка [0, 1]. Приведем основной результат данного параграфа.

Теорема 8. Пусть семейство m–мерных гауссовских случайных векторов { m }k = 1, l удовлетворяет условиям (S). Пусть для любого > 0 существует N () такое, что для всех n N () справедливы Фурье;

x[0,1] j=n+ положительная константа L2 (m) > 0 такая, что Пусть fk,m (x) M2,k,m (P ) и имеет вид где,k,j j–ая компонента (n + 1)–мерного случайного вектора,k, который имеет вид Тогда оценка (27) является –оптимальной Fk –измеримой проекционной оценкой, т.е.

где В пятом параграфе рассматривается случай тригонометрического ортонормированного базиса. В этом параграфе рассматривается задача выбора точек xi [0, 1], i = 1, m, в которых следует проводить наблюдения при –оптимальном стохастическом восстановлении функции из L2 ([0, 1]). В предположении, что для любого i 2 (xi ) = 2, показано, что оптимальными равномерное разбиение отрезка [0, 1].

реализации алгоритма стохастического восстановления функции вида j= Так, в § 1 рассматривается следующая модель наблюдений некоррелированы и Law(ni ) = N (0, 2 ). Модель (31) является обобщением модели наблюдений, рассмотренной в главе 3. Здесь строятся оптимальные оценки по методу наименьших квадратов.

Таким образом, (31) приводит к задаче Ясно, что задача (32) сводится к решению бесконечной системы нелинейных уравнений, построение решения которой в явном виде является сложной задачей. В этом параграфе разработан специальный численный метод построения решения задачи (32), основанный на идее метода динамического программирования. Поэтому рассмотрим следующее семейство задач:

где s N+ –любое.

Чтобы избежать громоздких выражений введем следующие обозначения:

Справедливо утверждение.

Тогда для любого s > 0 существует 0,s1, зависящее от y1,..., ym, такое, 2) Пусть выполняются условия:

a) для j s существуют 0, 1,..., s, такие, что:

b) для любых j Bj (m) удовлетворяет рекуррентному соотношению Тогда для любого j s Предложение 3 приводит нас к следующему численному алгоритму построения искомых оценок. Опишем его по шагам.

Шаг 1. i) Пусть ii) Обозначим iii) Для заданного T1 методом наименьших квадратов (МНК) оценим значения параметров 0, 1, 1, в результате имеем где 0m (T1 ), 1m (T1 ), 1m (T1 ) оптимальные МНК оценки, которые зависят от значения T1.

iv) Рассмотрим теперь следующую задачу Пусть задача (39) имеет решение, т.е. существует T1 (m) такое, что inf Qm (T1 ) = Qm (T1 (m)). Тогда остатки в модели (37) при T1 = T1 (m) T1 N + \{1} примут вид z1i (T1 (m)) Шаг 2. Образуем разность i = 1, m, где 2, 2, T2 оцениваемые параметры, причем 0 T задано и T2 = T1 (m).

Применим к z2i (T1, T2 ) процедуру, описанную на шаге 1, в результате которой находим оценки параметров T2, 2 (T1, T2 ), 2 (T1, T2 ).

Продолжая этот процесс далее, в результате получаем процедуру оценки параметров модели (31).

В § 2, основываясь на известной процедуре ортогонализации Грама– Шмидта, приводится методика построения ортонормированного базиса по результатам наблюдений {y1,..., ym }.

В § 3 содержится подробное описание алгоритма стохастического восстановления неизвестной функции по наблюдениям {y1,..., ym }, а также описание комплекса программ, названного ”МНК–тренд”, который реализует этот алгоритм оптимального восстановления функций. Отметим, что комплекс программ ”МНК–тренд” зарегистрирован в Реестре программ для ЭВМ.

§ 4 посвящен применению комплекса программ ”МНК–тренд” для построения модели, описывающей эволюцию котировок валют RUB/USD японская иена.

В § 5 рассматривается применение полученных результатов на примере задачи восстановления слайдов генных карт. Исходная информация была взята c информационного ресурса ”The Jackson Laboratory” в сети Internet (по адресу: http://www.jax.org).

Слайд генной карты представляет собой фотографию, на которой изображено 48 блоков, причем каждый блок содержит 650 областей овальной формы. Каждая область овальной формы имеет цвет, который является результатом интерференции трех цветов: красного, зеленого и синего различной интенсивности. По условиям эксперимента каждой овальной области соответствует экспрессия одного гена. Под экспрессией гена понимается ответная реакция гена на воздействие на него некоторого вещества. В предположении, что цвет всех точек внутри овала одинаков, в этом параграфе приводится решение задачи оптимального стохастического восстановления слайдов генных карт, которое основано на применении теоремы 6. Кроме того разработана программа, с помощью которой было осуществлено это восстановление.

На защиту выносятся следующие результаты:

1) процедуры оптимального и –оптимального, проекционного оценивания гауссовской случайной функции, наблюдаемой с гауссовскими ошибками;

2) процедуры оптимального и –оптимального непараметрического, проекционного оценивания функций из L2 ([0, 1]) в задаче стохастического восстановления;

3) процедуры –оптимального и оптимального, проекционного оценивания гауссовской случайной функции, наблюдаемой со случайными гауссовскими ошибками в конечном числе точек из отрезка [0,1];

4) процедура –оптимального непараметрического, проекционного оценивания функций из L2 ([0, 1]) в задаче стохастического восстановления по наблюдениям в конечном числе точек из отрезка [0,1];

5) алгоритм стохастического восстановления неизвестной функции по наблюдениям за ней с гауссовскими ошибками в конечном числе точек и комплекс программ его реализующий.

1. Айвазян С. А., Мхитарян B. C. Прикладная статистика и основы 2. Вапник В. Н. Алгоритмы и программы восстановления зависимостей.

М: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 3. Вапник В. Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным.

4. Дарховский Б. С. Новый подход к стохастической задаче восстановления C.36–53.

5. Дарховский Б. С. О стохастической задаче восстановления // Теория оптимального эксперимента: Учебное пособие. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1987. 320 с.

7. Ибрагимов И. А. Об оценке многомерной регрессии // Теория 8. Ибрагимов И. А., Хасьминский Р. З. Асимптотическая теория оценивания. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1979. 528 с.

9. Кутоянц Ю. А. Оценивание параметров случайных процессов, Ереван.:

10. Легостаева И. Л., Ширяев А. Н. Минимаксные веса в задаче выделения тренда случайного процесса // Теория вероятностей и ее применения.

11. Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика.

12. Стратонович Р. Л. Оптимальное расширение функционального подпространства в алгоритмах восстановления плотности и функции распределения// Известия АН СССР, Техническая кибернетика. 1970.

13. Стратонович Р. Л. Эффективность методов математической статистики в задачах синтеза алгоритмов восстановления неизвестной функции // 14. Ченцов Н. Н. Статистические решающие правила и оптимальные 15. B. Levit, N. Stepanova. Ecient estimation of multivariate analytic functions in the cube-like domains. Math. Methods Statist., v. 13, No. 3 (2004).

16. Szabo A., Boucher K., et al., Variable Selection and Pattern with Gene Expression Data Generated by the Microarray Technology. Mathematical Список опубликованных работ по теме диссертации 1. Сиверцев О. Н. -оптимальный алгоритм восстановления слайдов генных карт // Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ. Тезисы докладов. – М. : МИЭМ, 2006, C.22– 23.

2. Сиверцев О. Н. Алгоритм восстановления функций // Новые информационные технологии. Тезисы докладов XII Международной студенческой школы-семинара – М.: МГИЭМ, 2004, C.232–234.

3. Сиверцев О. Н. Алгоритм -оптимального восстановления случайных функций из L2 [0, 1] // Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ. Тезисы докладов. – М. : МИЭМ, 2005, C.29–30.

4. Сиверцев О. Н. Математические модели генетики // Научнотехническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ. Тезисы докладов. – М. : МИЭМ, 2003, C.34-35.

5. Сиверцев О. Н. Модель эволюции курсов валют // Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов института, посвященная 40-летию МИЭМ. Тезисы докладов. – М. : МИЭМ, 2002, C.21-23.

6. Сиверцев О. Н. О состоятельности оценок в задаче восстановления квадратично интегрируемых случайных функций // Новые информационные технологии. Тезисы докладов XIII Международной студенческой школысеминара – М.: МГИЭМ, 2005, C.113–115.

7. Сиверцев О. Н. Один метод восстановления функций // Научнотехническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ. Тезисы докладов. – М. : МИЭМ, 2004, C.39-41.

8. Сиверцев О. Н. Постановка задачи для модели прогнозирования финансового кризиса на основании динамики курса валют // Системные проблемы качества, математического моделирования, информационных, электронных и лазерных технологий. / Материалы Международной конференции и Российской научной школы. Часть 1. – Москва: ГНПО “Агат”, 2001, C.113.

9. Сиверцев О. Н. Прогноз котировок валют // Новые информационные технологии. Тезисы докладов X Юбилейной Международной студенческой школы-семинара в 2-х томах – М.: МГИЭМ, 2002. Т.1, C.292-294.

10. Сиверцев О. Н., Хаметов В. М. Задача восстановления функций.

Обозрение прикладной и промышленной математики, 2006, Т. 13, выпуск 2, C. 354–356.

11. Сиверцев О. Н., Хаметов В. М. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2004612393, от 20.10.2004 г. “МНКтренд”.