WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи

МАСЛОВА Наталья Владимировна

МАКСИМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ НЕЧЕТНОГО ИНДЕКСА В

КОНЕЧНЫХ ПОЧТИ ПРОСТЫХ ГРУППАХ

01.01.06 математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург 2011

Работа выполнена в отделе алгебры и топологии Института математики и механики УрО РАН.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор, КОНДРАТЬЕВ Анатолий Семенович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профеcсор, чл.-корр. РАН МАЗУРОВ Виктор Данилович доктор физико-математических наук, профессор, КАЗАРИН Лев Сергеевич

Ведущая организация: Южно-Уральский государственный университет

Защита состоится 1 февраля 2011 года в 12.00 часов на заседании специализированного совета Д 004.006.03 в Институте математики и механики УрО РАН по адресу:

620990, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Института математики и механики УрО РАН (г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16).

Автореферат разослан декабря 2010 года

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физ.-мат. наук И.Н. Белоусов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

.

Постановка задачи и актуальность темы диссертации.

Диссертационная работа относится к классическому направлению теории групп исследованию подгруппового строения конечных групп. Она посвящена завершению классификации максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных почти простых группах.

В начале 1980-х годов была анонсирована классификация конечных простых групп (ККПГ), одно из самых впечатляющих достижений математики XX века. В соответствии с этой классификацией, конечные простые группы подразделяются на следующие серии: циклические группы простого порядка, знакопеременные группы, классические группы, исключительные группы лиева типа и 26 спорадических групп (см., например, [3]).

Пусть G конечная группа, p простое число и |G|p наибольшая степень числа p, делящая |G|. Фундаментальная теорема Силова (1872 г.) утверждает, что группа G содержит подгруппу порядка, равного |G|p, и все такие подгруппы сопряжены в G. Такие подгруппы называются силовскими p-подгруппами группы G. В 1963 г. Фейт и Томпсон [17] доказали разрешимость конечных групп нечетного порядка, решив тем самым знаменитую проблему Бернсайда.

Как следствие получается, что конечная неразрешимая группа имеет четный порядок. В частности, любая конечная неабелева простая группа имеет четный порядок и, следовательно, неединичную силовскую 2-подгруппу. Классификация конечных простых групп базируется на этом факте.

Подгруппа конечной группы G, порожденная всеми ее минимальными неединичными нормальными подгруппами, называется цоколем группы G и обозначается через soc(G). Конечная группа G называется почти простой, если ее цоколь L есть неабелева простая группа, т.е. L G Aut(L) при отождествлении L с Inn(L).

В постклассификационной теории конечных групп большое внимание уделяется изучению свойств (известных) конечных простых групп и групп их автоморфизмов, прежде всего подгрупповому строению и представлениям. Это связано с применениями классификации конечных простых групп, с необходимостью ее ревизии, с развитием ее связей с другими областями математики, а также с наличием многих вопросов о конечных простых группах, на которые классификация не дает ответа.

Максимальные подгруппы играют большую роль в теории конечных групп.

Одним из магистральных направлений этой теории является изучение максимальных подгрупп конечных почти простых групп (см. [5]).

К настоящему времени проблема классификации максимальных подгрупп в конечных группах с простым спорадическим цоколем решена для всех спорадических групп, кроме Монстра, для которого известны все локальные максимальные подгруппы и многие нелокальные максимальные подгруппы, но пока работа не завершена. Большой вклад в эту работу внес Р. Уилсон [35].

Пусть G одна из групп An или Sn, действующих естественно на множестве I = {1,..., n}, где n 6. Доказанная с использованием ККПГ теорема О’НэнаСкотта [32] утверждает, что для любой подгруппы H из G, не содержащей An, либо H содержится в некотором члене определенного семейства A(G) подгрупп из G (интранзитивных, импримитивных, аффинных, диагональных или сплетенных), либо H принадлежит множеству S всех почти простых подгрупп из G, действующих примитивно на I. Исправленные и модифицированные версии этой теоремы появились позже в статьях М. Ашбахера и Л. Скотта [13] и М.

Либека, Ч. Прэгер и Я. Саксла [26]. Последняя статья была использована ее авторами [25] для следующей классификации максимальных подгрупп в G: если H A(G) S, то либо H максимальна в An H, либо H < K < An H, где (H, K, n) принадлежит явному списку троек. Заметим, что за исключением нескольких случаев, элементы из A(G) максимальны в G.



Основной теоремой о подгруппах конечных классических групп остается теорема Ашбахера [10], которая является аналогом теоремы О’Нэна-Скотта.

Пусть L простая классическая группа, ассоциированная с векторным пространством V размерности n над полем Fq порядка q, где q - степень простого числа p. Пусть X = P L(V ) - полная проективная полулинейная классическая группа, соответствующая L. Тогда L X Aut(L), причем X = Aut(L), за исключением случаев, когда L = P SLn (q), P Sp4 (q) (q четно) или P + (q). В случае, когда L G X, М. Ашбахер [10] определил большое семейство C(G) естественных геометрически определенных подгрупп группы G, которое было разбито им на восемь классов Ci (G) (1 i 8), называемых теперь классами Ашбахера. Теорема Ашбахера утверждает, что если L G X, то для любой подгруппы H из G, не содержащей L, либо H содержится в некотором члене семейства C(G), либо H S, где S множество всех почти простых подгрупп K из G таких, что (проективное) представление подгруппы soc(K) на V абсолютно неприводимо и не реализуется над собственным подполем поля Fq. Аналог этой теоремы справедлив также и для случая, когда L G Aut(L) и G X.

Для групп L = P SLn (q) или P Sp4 (q) (q четно) этот аналог доказал сам М. Ашбахер [10]. П. Клейдман [20] классифицировал все максимальные подгруппы в группах G с цоколем, изоморфным P + (q). П. Клейдман и М. Либек [23], используя ККПГ, для каждой почти простой классической группы G определили:

теоретико-групповое строение каждого члена семейства C(G); сопряженность в G членов семейства C(G); при степени soc(G), большей 12, максимальные элементы семейства C(G) и для немаксимальных элементов H C(G) их максимальные надгруппы в G.

Изучением максимальных подгрупп в конечных простых классических группах малых степеней занимались многие авторы (см. обзор А. С. Кондратьева по подгруппам конечных групп Шевалле [5]).

Описание всех максимальных подгрупп конечных групп с простым классическим цоколем степени не выше 12 было анонсировано П. Клейдманом (см. [23, теор. 1.2.2]), список максимальных подгрупп конечных простых классических групп степени не выше 11 был приведен Клейдманом в его докторской диссертации (см. [19]), такой список есть и для конечных простых классических групп степени 12, но он явно требует корректировки. Результаты Клейдмана так и не были полностью опубликованы и нуждаются в проверке. Сейчас группа британских ученых под руководством Д. Холта заканчивает ревизию результатов Клейдмана. В скором времени они планируют выпустить посвященную этому вопросу книгу. Поэтому в настоящей работе мы, в основном, будем рассматривать классические группы степени не менее 13.

Для некоторых исключительных групп лиева типа, таких как 2 B2 (q), G2 (q), G2 (q), 3 D4 (q), 2 F4 (q), F4 (2), E6 (2) известен полный список их максимальных подгрупп (см. [5, 16, 21, 22, 24, 29, 30, 33]). В общем случае исследование теоретико-групповой структуры исключительных групп лиева типа продолжается. Так, в работах А. В. Боровика [2], М. Либека и Г. Зейца [28] доказан аналог теоремы Ашбахера для исключительных групп лиева типа.

Сотни работ посвящены результатам о конечных неразрешимых группах, связанным с их подгруппами нечетного индекса или, другими словами, подгруппами, содержащими силовскую 2-подгруппу (см., например, [4, 6, 8, 9, 15]).

Такими подгруппами являются сами силовские 2-подгруппы, централизаторы инволюций из центра некоторой силовской 2-подгруппы и, более общо, нормализаторы неединичных 2-подгрупп, нормальных в некоторой силовской 2подгруппе, и т.д. Приведенные примеры подгрупп играют основополагающую роль в классификация конечных простых групп.

М. Либеком и Я. Сакслом в [27] и независимо В. Кантором в [18] был получен один из самых сильных результатов последних лет в теории конечных групп подстановок, а именно, было дано описание конечных примитивных групп подстановок нечетной степени. Это описание во многом сводится к изучению максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных почти простых группах.

Максимальные подгруппы нечетного индекса в конечных группах с простым спорадическим цоколем известны (см. [12, 16]). Для каждой конечной почти простой группы G, цоколь которой есть знакопеременная группа или группа лиева типа, в [27, 18] приведены типы тех подгрупп, которые могут являться максимальными подгруппами нечетного индекса в G. Однако в случае, когда цоколь группы G классический или знакопеременный, не каждая подгруппа указанного типа является максимальной подгруппой нечетного индекса в группе G. Так что классификация максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных почти простых группах оставалась незавершенной.

Приведем более точную формулировку результатов работ [27, 18]. Наши терминология и обозначения в основном стандартны, их можно найти в [11, 5, 23, 16].

Пусть q натуральная степень простого числа, G конечная группа, L = soc(G) либо одна из знакопеременных групп An, либо одна из конечных простых классических групп P SLn (q), P SUn (q), P Spn (q) для четного n, P n (q) для нечетного n и P (q) для четного n, где {+, }. Будем обозначать через V естественное векторное пространство размерности n над полем F с определенной на нем соответствующей тождественно нулевой, эрмитовой, кососимметрической или квадратичной формой, ассоциированное с конечной простой классической группой L, где F = Fq для линейных, симплектических и ортогональных групп и F = Fq2 для унитарных групп.

Из основных результатов [27, 18] следует Теорема Либека–Саксла–Кантора. Пусть G конечная группа и L = soc(G) неабелева простая группа.

(I) Если L An и H максимальная подгруппа нечетного индекса в конечной группе G, то H = K G, где K Sn, и выполняется одно из следующих утверждений:

(II) Если L = L(q) конечная простая классическая группа над полем F и H максимальная подгруппа нечетного индекса в G, то либо q четно и LH параболическая подгруппа в L, либо q нечетно и для G и H выполняется одно из следующих утверждений:

(1) H = NG (CL ()) для полевого автоморфизма простого нечетного порядка группы L;

(2) H стабилизатор невырожденного подпространства из V или в случае L = P SLn (q) стабилизатор любого подпространства из V ;

(3) L H стабилизатор ортогонального разложения V = Vi в прямую сумму изометричных подпространств Vi или в случае L = P SLn (q) стабилизатор любого разложения V = Vi в прямую сумму подпространств одинаковой размерности;

(4) L = P SLn (q) и H стабилизатор пары {U, W } подпространств из V содержит автоморфизм группы L, переставляющий U и W ;

(9) L = P 8 (q) для простого q ±3 (mod 8) и LH изоморфна 23.26.P SL3 (2).

В пункте (II) при четном q и в пунктах (II)(1) и (II)(6)–(II)(9) при нечетном q подгруппа H всегда будет подгруппой нечетного индекса в G (см. [27, 18]).

В остальных случаях случаях четность индекса H в G существенно зависит от нескольких параметров, в том числе от n и q. Параболические подгруппы конечных простых классических групп хорошо изучены в терминах групп лиева типа (см. [5]). Поэтому в пункте (II) можно рассматривать только классические группы над полями нечетной характеристики.

В пункте (II)(3) теоремы Либека–Саксла–Кантора возможен случай, когда L H = L, но для описания всех таких подгрупп H достаточно рассмотреть группу Aut(L), которая хорошо изучена (см., например, [14]), поэтому далее можно предполагать, что L H < L.

Цель диссертации. Целью данной работы является завершение классификации максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных почти простых группах.

Методы исследования. Основными методами исследования в настоящей диссертации являются методы теории групп (теория конечных групп и теория классических групп) и элементы теории чисел.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и снабжены полными доказательствами.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут быть использованы для дальнейших исследований теоретико-групповой структуры конечных почти простых групп.

Классификация максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных простых классических группах, полученная автором в [36], уже нашла свое применение при вычислении числа классов сопряженности холловых подгрупп в конечных почти простых группах [31].

Апробация работы. Результаты диссертации в период с 2007 по 2010 год были представлены на следующих конференциях: Международных алгебраических конференциях ”Алгебра и ее приложения” (Красноярск, 2007 и Нальчик, 2009), Международных школах-конференциях по теории групп (Челябинск, 2008 и Нальчик, 2010), Международных конференциях ”Мальцевские чтения” (Новосибирск, 2008 и 2009), Международной конференции ”Группы Сент Эндрюс – 2009” (Великобритания, г. Бат, 2009), Международной школе-конференции ”Алгоритмические вопросы теории групп и смежных областей” (Новосибирск, 2010), Международной конференции ”Группы и их действия – 2010” (Польша, г.

Бедлево, 2010), 39 Региональной молодежной конференции ”Проблемы теоретической и прикладной математики” (Екатеринбург, 2008), 40 и 41 Всероссийских молодежных конференции ”Проблемы теоретической и прикладной математики” (Екатеринбург, 2009 и 2010), см. [39]–[46].

Результаты работы докладывались на семинарах ”Теория групп” и ”Алгебра и логика” Института математики СО РАН и НГУ (Новосибирск, 2009), на городском алгебраическом семинаре ”Алгебраические системы” (Екатеринбург, 2008 и 2009) и на алгебраическом семинаре Института математики и механики УрО РАН (Екатеринбург, 2008 – 2010).

Публикации. Результаты автора по теме диссертации опубликованы в [36]– [48]. Из них статьи [36]–[38] опубликованы в журналах, которые на момент публикации входили в перечень ВАК ведущих рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени кандидата наук.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Работа изложена на 63 страницах, список литературы содержит 50 наименований. Главы диссертации подразделяются на параграфы.

Основные результаты диссертации сформулированы в виде теорем 1–3. Вспомогательные утверждения (леммы) имеют тройную нумерацию: первая цифра номер главы, вторая номер параграфа в текущей главе, третья номер утверждения в текущем параграфе. Более важные утверждения сформулированы в виде предложений. Их нумерация двойная: первая цифра номер главы, вторая номер предложения в главе.

Результаты диссертации.

В случае ортогональной группы L для каждого невырожденного подпространства U четной размерности m из V определяется также знак = sign(U ).

Положим Если V является прямой суммой невырожденных, ортогональных друг другу подпространств U и W четной размерности, то D(V ) = D(U ) · D(W ) и sign(V ) = sign(U ) · sign(W ) (в последнем случае умножение понимается в обычном смысле “умножения знаков”). Также определяется естественный гомоморфизм : Aut(L) F /(F )2 (см. [23, § 2]).

Пусть j натуральное число, k целое число. Положим Пусть M множество всех последовательностей (x0, x1,..., xn,...), где xi {0, 1} для всех i и число ненулевых компонент конечно. Введем на M естественный частичный порядок, считая 1 > 0, а для u = (u0, u1,..., un,...), v = (v0, v1,..., vn,...) из M, полагая u v тогда и только тогда, когда ui vi для всех i. Через обозначим функцию, которая ставит в соответствие каждому целому неотрицательному числу s последовательность (s0, s1,..., sk,...) из M такую, что sk sk1... s0 запись числа s в двоичной системе счисления и sn = 0 для всех n > k.

Во введении приводится мотивировка исследования и формулируются основные результаты диссертации. Основными результатами настоящей работы являются следующие три теоремы.

Теорема 1. Пусть G конечная группа, подгруппа L = soc(G) изоморфна одной из групп P SLn (q), P SUn (q) или P Spn (q), где q нечетно, n 13, и V естественный проективный модуль для L. Подгруппа H группы G, не содержащая цоколь L, является максимальной подгруппой нечетного индекса в G тогда и только тогда, когда H = NG (P ), где P подгруппа из L, и выполняется одно из следующих утверждений:

число, причем (It (q0 ), n) = 1 или G L · NAut(L) (P SLn (q0 ));

(2) L = P SLn (q), P стабилизатор в L подпространства размерности m n 1 пространства V, (n) (m) и G P Ln (q);

(3) L = P SLn (q), P стабилизатор в L пары {U, W } подпространств пространства V размерностей m < n/2 и n m соответственно таких, что V = U W, (n) (m), G P Ln (q) и G содержит элемент, переставляющий U сумму подпространств одинаковой размерности m и либо m = 2w 2, либо число, причем (It (q0 ), n) = 1 или G L · NAut(L) (P SUn (q0 ));

число;

(7) L = P SUn (q) или L = P Spn (q), P стабилизатор в L невырожденного подпространства размерности m < n/2 пространства V и (n) (m);

(8) L = P SUn (q), P стабилизатор в L ортогонального разложения V = Vi в прямую сумму изометричных подпространств Vi размерности m и либо (9) L = P Spn (q), P стабилизатор в L ортогонального разложения V = Vi в прямую сумму изометричных подпространств Vi размерности m и m = 2w 2.

Теорема 2. Пусть G конечная группа, L = L(q) = soc(G) изоморфна одной из простых ортогональных групп P n (q) для нечетного n 13 или P (q) для четного n 13 и {+, }, q везде нечетно, V естественный проективный модуль для L. Подгруппа H, не содержащая цоколь L, является максимальной подгруппой нечетного индекса в G тогда и только тогда, когда H = NG (P ), где P некоторая собственная подгруппа в L, и выполняется одно из следующих утверждений:

(1) P = NL (L(q0 )), где q = q0 и t простое нечетное число;

(2) L = P n (q), P стабилизатор в L невырожденного подпространства U четной размерности m пространства V, D(U) = 1 и (n) (m);

(3) L = P n (q), P стабилизатор в L ортогонального разложения V = Vi в прямую сумму изометричных подпространств Vi размерности 1, q простое число и q ±3 (mod 8);

(4) L = P (q), P стабилизатор в L невырожденного подпространства U четной размерности m пространства V и либо D(U ) = D(V ) = 1, (n 2) (m 2) и (q, m, sign(U )) = (3, 2, +), либо D(U ) = D(V ) = 1 и (n) (m);

(5) L = P (q), P стабилизатор в L невырожденного подпространства U нечетной размерности m пространства V, D(V ) = 1, (n 2) (m 1) и G ker( );

(6) L = P (3), D(V ) = 1, P стабилизатор в L невырожденного подпроn странства U пространства V, где dim(U ) = 2 и sign(U ) = +, P = Y1 Y2, где Y1 и Y2 стабилизаторы в L различных невырожденных одномерных подпространств из U, сопряженные элементом из G;

(7) L = P (q), P стабилизатор в L ортогонального разложения V = Vi в прямую сумму изометричных подпространств Vi размерности m = 2w 2, D(V ) = D(Vi ) = 1 и (q, m, sign(U )) = (3, 2, ), (5, 2, +);

(8) L = P (q), P стабилизатор в L ортогонального разложения V = Vi в прямую сумму изометричных подпространств Vi размерности 1, q простое число, q ±3 (mod 8) и G ker( );

(9) L = P (q), P стабилизатор в L ортогонального разложения V = Vi в прямую сумму изометричных подпространств Vi размерности 2, где (q, sign(Vi )) = (3, ) или (5, +), и P = Y1 Y2, где Y1 и Y2 стабилизаторы в L различных ортогональных разложений пространства V в прямую сумму изометричных подпространств размерности 1, сопряженные элементом из G.

H является максимальной подгруппой нечетного индекса в G тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих утверждений:

(n) (m);

за исключением случая, когда H (S2 S4 ) A8 23 : S4 < 23 : P SL3 (2) < A8 G;

Таким образом, в теоремах 1–3 получена исчерпывающая классификация максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных группах с классическим или знакопеременным цоколем. Эта классификация проведена в терминах функции, которая не зависит от поля. Кроме того, ввиду простоты вычисления функции, полученная классификация допускает хорошую программную реализацию (см. [42, 47]).

Глава 1. Определения, обозначения и вспомогательные результаты.

Глава носит вспомогательный характер. В первом параграфе вводятся терминология и используемые обозначения из теории классических групп, формулируется теорема Либека–Саксла–Кантора и даются некоторые пояснения к этой теореме. Во втором параграфе формулируются в виде лемм и доказываются вспомогательные теоретико-числовые результаты, используемые в дальнейшем для вычисления индексов подгрупп конечных простых групп, возникающих в теореме Либека–Саксла–Кантора. В третьем параграфе также формулируются в виде лемм и доказываются вспомогательные теоретико-групповые результаты, которые затем используются для работы с конечными почти простыми группами.

Глава 2. Подгруппы нечетного индекса в конечных простых классических группах. Глава посвящена изучению подгрупп нечетного индекса в конечных простых классических группах. С помощью полученного Клейдманом и Либеком в [23] описания теоретико-групповой структуры подгрупп из классов Ашбахера конечных простых классических групп для каждой конечной простой классической группы устанавливаются условия, при которых ее подгруппы, возникающие в теореме Либека–Саксла–Кантора, имеют нечетные индексы в этой группе. В первом параграфе исследуются индексы подгрупп в конечных простых линейных группах, во втором в конечных простых унитарных группах, в третьем в конечных простых симплектических группах, а в четвертом и в пятом в конечных простых ортогональных группах нечетной и четной степени соответственно. Основные результаты второй главы сформулированы виде предложений. Методы, близкие к тем, которые мы применили для вычисления индексов подгрупп в конечных простых классических группах, используются также в [34, лемма 2] и [1, теоремы Б1,Б2]. В терминах функции нами получен простой критерий нечетности индексов подгрупп конечной простой классической группы, возникающих в теореме Либека–Саксла–Кантора, не зависящий от поля F. Результаты второй главы используются далее для доказательства теорем 1–3, кроме того, эти результаты вместе с анонсированным Клейдманом описанием максимальных подгрупп в конечных почти простых группах с классическим цоколем степени не более 12 дают классификацию максимальных подгрупп нечетного индекса конечных почти простых групп с классическим цоколем любой степени.

Результаты второй главы опубликованы в [36].

Глава 3. Классификация максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных почти простых группах. Глава посвящена доказательству теорем 1 – 3.

Если цоколь L группы G является конечной простой классической группой, то во многих пунктах теоремы Либека–Саксла–Кантора подгруппы L H, соответствующие подгруппам H, являются максимальными подгруппами в L.

Если подгруппа L H является максимальной подгруппой в L, то подгруппа NG (L H) является максимальной подгруппой в G тогда и только тогда, когда каждая подгруппа, сопряженная в G с L H, сопряжена в L с L H. В этом случае для доказательства основного результата диссертации мы используем результаты [23], касающиеся сопряженности подгрупп из классов Ашбахера конечных простых классических групп. Если же подгруппа L H не максимальна в L, то подгруппа NG (L H) являются так называемой новинкой (novelty).

Надгруппы немаксимальных подгрупп из классов Ашбахера конечных простых классических групп степени не менее 13 и возникающие в связи с этим новинки описаны в [23, § 3.3, таблицы 3.5.H, 3.5.I], в случае немаксимальности подгруппы L H мы используем эти описания.

Во первом параграфе доказывается теорема 1. Результаты этого параграфа опубликованы в [43, 44].

Во втором параграфе доказывается теорема 2. Результаты этого параграфа опубликованы в [38].

В третьем параграфе доказывается теорема 3. В доказательстве теоремы мы используем описание максимальных подгрупп в конечных знакопеременных и симметрических группах, полученное в [25]. Результаты этого параграфа опубликованы в [37].

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.

В настоящей диссертации получена классификация максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных почти простых группах со знакопеременным цоколем или с простым классическим цоколем степени не менее 13. Учитывая ожидаемые результаты британских ученых о максимальных подгруппах конечных групп с простым классическим цоколем степени не более 12, настоящая работа завершает классификацию максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных почти простых группах.

Благодарности. Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Анатолию Семеновичу Кондратьеву за постановку задачи и неизменное внимание. Я обязана своему научному руководителю гораздо большим, чем просто этой работой.

Автор также выражает благодарность Виктору Даниловичу Мазурову за полезные обсуждения результатов работы и ценные замечания, послужившие постановке задачи для почти простых групп со знакопеременным цоколем; Вячеславу Александровичу Белоногову, Виктору Ивановичу Зенкову, Евгению Петровичу Вдовину, Даниле Олеговичу Ревину, а также всем участникам алгебраического семинара ИММ УрО РАН за полезные замечания к статьям, легшим в основу настоящей диссертации.

Результаты работы получены при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 07-01-00148 и 10-01-00324), программы Отделения математических наук РАН (проект 09-T-1-1004), программ совместных исследований УрО РАН с СО РАН (проект 09-C-1-1007) и НАН Беларуси (проект 09-C-1-1009), гранта для молодых ученых УрО РАН (проект 80, 2010 г.) и гранта "Лучшие аспиранты РАН - 2010".

Список литературы [1] Белоногов В. А. Представления и их характеры в теории конечных групп.

Свердловск: УрО АН СССР, 1990.

[2] Боровик А. В. Строение конечных подгрупп простых алгебраических групп // Алгебра и логика. 1989. Т. 28, № 3. C. 249–279.

[3] Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию.

М.: Мир, 1985.

[4] Зенков В. И., Кондратьев А. С., Левчук В. М. Конечные группы, в которых нормализаторы пересечений пар силовских 2-подгрупп имеют нечетные индексы // Труды института математики и механики УрО РАН. 2007.

Т. 13, № 2. C. 90–103.

[5] Кондратьев А. С. Подгруппы конечных групп Шевалле // Успехи матем.

наук. 1986. Т. 41, № 1. C. 57–96.

[6] Кондратьев А. С. Нормализаторы силовских 2-подгрупп в конечных простых группах // Матем. заметки. 2005. Т. 78, № 3. C. 368–376.

[7] Кондратьев А. С. Группы и алгебры Ли. Екатеринбург: УрО РАН, 2009.

[8] Кондратьев А. С., Мазуров В. Д. 2-сигнализаторы конечных простых групп // Алгебра и логика. 2003. Т. 42, № 5. C 594–623.

[9] Кондратьев А. С., Махнев А. А, Старостин А. И. Конечные группы // Алгебра. Топология. Геометрия. Итоги науки. ВИНИТИ АН СССР. 1986.

[10] Aschbacher M. On the maximal subgroups of the nite classical groups // Invent. Math. 1984. Vol. 76, no. 3. P. 469–514.

[11] Aschbacher M. Finite group theory. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1986.

[12] Aschbacher M. Overgroups of Sylow subgroups in sporadic groups. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1986.

[13] Aschbacher M., Scott L. Maximal subgroups of nite groups // J. Algebra.

1985. Vol. 92, no. 1. P. 44–80.

[14] Carter R. W. Simple groups of Lie type. London: Wiley, 1972.

[15] Carter R., Fong P. The Sylow 2-subgroups of the nite simple groups // J.

Algebra. 1964. Vol. 1, no. 1. P. 139–151.

[16] Conway J., Curtis R., Norton S., Parker R., Wilson R. Atlas of nite groups.

Oxford: Clarendon Press, 1985.

[17] Feit W., Thompson J. Solvability of groups of odd order // Pacic J. Math.

1963. Vol. 13. P. 775–1029.

[18] Kantor W. Primitive permutation groups of odd degree, and an application to the nite projective planes // J. Algebra. 1987. Vol. 106, no. 1. P. 15–45.

[19] Kleidman P. The subgroup structure of some nite simple groups. Ph. D. thesis.

Cambridge: Cambridge University, 1986.

[20] Kleidman P. The maximal subgroup structure of the nite 8-dimensional orthogonal groups P + and of their automorphism groups // J. Algebra. 1987.

Vol. 110, no. 1. P. 173–242.

[21] Kleidman P. The maximal subgroups of the Steinberg triality groups 3 D4 (q) and their automorphism groups // J. Algebra. 1988. Vol. 115, no. 1. P. 182–199.

[22] Kleidman P. The maximal subgroups of the Chevalley groups G2 (q) with q odd, of the Ree groups 2 G2 (q) and of their automorphism groups // J. Algebra. 1988.

Vol. 117, no. 1. P. 30–71.

[23] Kleidman P., Liebeck M. The subgroup structure of the nite classical groups.

Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1990.

[24] Kleidman P., Wilson R. The maximal subgroups of E6 (2) and Aut(E6 (2)) // Proc. London Math. Soc. (3). 1990. V. 60, no. 2. P. 266–294.

[25] Liebeck M., Praeger C., Saxl J. A classication of the maximal subgroups of the nite alternating and symmetric groups // J. Algebra. 1987. Vol. 111, no. 2.

P. 365–383.

[26] Liebeck M., Praeger C., Saxl J. On the O’Nan-Scott theorem for nite primitive permutation groups // J. Austral. Math. Soc. (A). 1988. Vol. 44. P. 389–396.

[27] Liebeck M., Saxl J. The primitive permutation groups of odd degree // J.

London Math. Soc. 1985. Vol. 31, no. 2. P. 250–264.

[28] Liebeck M., Seitz G. Maximal subgroups of exceptional groups of Lie type, nite and algebraic // Geom. Dedicata. 1990. Vol. 35, no. 1-3. P. 353–387.

[29] Malle G. The maximal subgroups of 2 F4 (q 2 ) // J. Algebra. 1991. Vol. 17, no. 1.

[30] Norton S.. Wilson R. The maximal subgroups of F4 (2) and its automorphism group // Comm. Algebra. 1989. Vol. 17, no. 11. P. 2809–2824.

[31] Revin D. O., Vdovin E. P. On the number of classes of conjugate Hall subgroups in nite simple groups. // J. Algebra. 2010. Vol. 324, no. 12. P. 3614–3652.

[32] Scott L. Representations in characteristic p // Proc. Sympos. Pure Math. 1980.

Vol. 37. P. 318–331.

[33] Suzuki M. On a class of doubly transitive groups // Ann. Math. 1962. Vol. 75, no. 1. P. 105–145.

[34] Thompson J. Hall subgroups of the symmetric groups // J. Comb. Theory (A).

1966. Vol. 1, no. 1. P. 271–279.

[35] Wilson R. The nite simple groups. London: Springer-Verlag, 2009.

Работы автора по теме диссертации [36] Маслова Н. В. Классификация максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных простых классических группах // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2008. Т. 14, № 4. C. 100–118.

[37] Маслова Н. В. Максимальные подгруппы нечетного индекса в конечных группах со знакопеременным цоколем // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16, № 3. C. 182–184.

[38] Маслова Н. В. Максимальные подгруппы нечетного индекса в конечных группах с простым ортогональным цоколем // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16, № 4. C. 137–145.

[39] Маслова Н. В. О максимальные подгруппы нечетного индекса в конечных простых классических группах // Алгебра и ее приложения: Тез. межд.

конф., Красноярск, 2007. С. 92–93.

[40] Маслова Н. В. Максимальные подгруппы нечетного индекса в конечных простых классических группах // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 39-й Региональной мол. конф., Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2008. С. 28–30.

[41] Маслова Н. В. Максимальные подгруппы нечетного индекса в конечных простых классических группах// Теория групп: Тез. межд. школы-конф., Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2008. С. 65–66.

[42] Маслова Н. В. Программная реализация классификации максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных простых классических группах // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 40-й Всерос.

мол. конф., Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2009. С. 43–46.

[43] Маслова Н. В. Максимальные подгруппы нечетного индекса в конечных группах с простым линейным или унитарным цоколем степени не менее 13 // Алгебра и ее приложения: Труды Межд. конф., Нальчик: Каб.-Балк.

ун-т, 2009. С. 80–82.

[44] Маслова Н. В. Максимальные подгруппы нечетного индекса в конечных группах с простым симплектическим цоколем степени не менее 13 // Тез.

Межд. конф. ”Мальцевские чтения”, Новосибирск: ИМ и НГУ, 2009. С. 69.

[45] Маслова Н. В. О максимальных подгруппах нечетного индекса в конечных группах с простым ортогональным цоколем // Проблемы теоретической и прикладной математики: Тез. 41-й Всерос. мол. конф., Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2010. С. 48–52.

[46] Маслова Н. В. Максимальные подгруппы нечетного индекса в конечных группах с простым ортогональным цоколем размерности не менее 13 // Теория групп и ее приложения: Труды Межд. конф., Нальчик: Каб.-Балк.

ун-т, 2010. С. 165–170.

[47] Маслова Н. В. Программная реализация классификации максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных простых классических группах // Тез. Межд. школы-конф. ”Алгоритмические проблемы теории групп и смежных областей”, Новосибирск, 2010, http :

//math.nsc.ru/conf erence/isc2010/P articipantsr us.html [48] Maslova N. V. Maximal subgroups of odd index in nite groups with alternating socle // Intern. conf. ”Groups and Their Actions – 2010”, Abstracts, http://mat.polsl.pl/groups/bedlewo-2010-nowe1.pdf



Похожие работы:

«Зимагулов Анас Хафизович КОМПЛЕКСНОЕ СНИЖЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ НАГРУЗОК В РАБОЧИХ ПРОЦЕССАХ МАШИННО-ТРАКТОРНЫХ АГРЕГАТОВ Специальность 05.20.01 - Технологии и средства механизации сельского хозяйства Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук Казань - 2003 Работа выполнена на кафедрах Тракторы и автомобили, Эксплуатация МТП, Безопасность жизнедеятельности и производственное обучение при ФГОУ ВПО Казанская государственная сельскохозяйственная...»

«ЯЦЕНКО СВЕТЛАНА АНАТОЛЬЕВНА ПОВЫШЕНИЕ КАЧЕСТВА ОБСЛУЖИВАНИЯ ПАССАЖИРОВ НА ГОРОДСКИХ АВТОБУСНЫХ МАРШРУТАХ В УСЛОВИЯХ ПРИМЕНЕНИЯ ПОДВИЖНОГО СОСТАВА РАЗНОЙ ВМЕСТИМОСТИ Специальность 05.22.10 – Эксплуатация автомобильного транспорта АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Иркутск - 2012 Работа выполнена на кафедре менеджмента и логистики на транспорте ФГБОУ ВПО Иркутский государственный технический университет Научный руководитель : Колганов...»

«Ишимов Павел Леонидович ПРОЦЕССУАЛЬНЫЙ ПОРЯДОК ПОДГОТОВКИ УГОЛОВНОГО ДЕЛА К СУДЕБНОМУ РАЗБИРАТЕЛЬСТВУ Специальность 12.00.09 – уголовный процесс, криминалистика и судебная экспертиза; оперативнорозыскная деятельность Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата юридических наук Ижевск – 2005 2 Диссертация выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Удмуртский государственный университет. Научный руководитель –...»

«Попрыгина Татьяна Дмитриевна СИНТЕЗ, СТРУКТУРА И СВОЙСТВА ГИДРОКСИАПАТИТА, КОМПОЗИТОВ И ПОКРЫТИЙ НА ЕГО ОСНОВЕ. Специальность 02.00.01 – неорганическая химия АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата химических наук Воронеж - 2012 1 Работа выполнена в Воронежской государственной медицинской академии им.Н.Н.Бурденко Научный руководитель : доктор химических наук, профессор Пономарева Наталия Ивановна Официальные оппоненты : Ведущая организация : ОБЩАЯ...»

«Савченко Александр Максимович ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ МОДЕЛЬНЫХ ГАМИЛЬТОНИАНОВ В ТЕОРИИ КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕД Специальность 01.04.02 – теоретическая физика Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук Москва – 2009 Работа выполнена на кафедре квантовой статистики и теории поля физического факультета Московского государственного университета имени...»

«Шушеначев Ярослав Владимирович ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-КИНЕТИЧЕСКИЕ ПОДХОДЫ В ПРОТОЧНО-ИНЖЕКЦИОННОЙ СПЕКТРОФОТОМЕТРИИ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ d-ЭЛЕМЕНТОВ 02.00.02 – аналитическая химия АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата химических наук Москва – 2011 Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте общей и неорганической химии им. Н.С. Курнакова РАН доктор химических наук, профессор Научный руководитель : Шпигун Лилия Константиновна доктор химических...»

«КУКОБА Антон Игоревич СЛИЯНИЯ И ПОГЛОЩЕНИЯ КАК ФОРМА ПОВЫШЕНИЯ КОНКУРЕНТОСПОСОБНОСТИ ПРЕДПРИЯТИЯ В УСЛОВИЯХ ГЛОБАЛИЗАЦИИ (НА ПРИМЕРЕ КОНДИТЕРСКОГО БИЗНЕСА) Специальность: 08.00.05 – “Экономика и управление народным хозяйством” (предпринимательство) Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук Москва 2009 2 Работа выполнена на кафедре менеджмента и предпринимательства Государственного образовательного учреждения высшего профессионального...»

«ЛЕВШИНА Анастасия Андреевна СМЫСЛОЖИЗНЕННЫЕ СТРАТЕГИИ АКТИВНОГО СОЦИАЛЬНОГО ПОВЕДЕНИЯ РАЗЛИЧНЫХ ГРУПП МОЛОДЕЖИ Специальность 19.00.01 – Общая психология, психология личности, история психологии (психологические наук и) АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата психологических наук Ростов-на-Дону 2011 2 Работа выполнена на кафедре общей психологии и психологии развития факультета психологии ЮФУ доктор психологических наук, профессор, Научный руководитель –...»

«УДК 581.14: 633.5.511: 577.34: 58.035 МАВЛАНОВА САДБАРХОН АБДУКАРИМОВНА ФИЗИОЛОГО-БИОХИМИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ИНДУЦИРОВАННОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ХЛОПЧАТНИКА К СОСУЩИМ НАСЕКОМЫМ-ВРЕДИТЕЛЯМ И ВОЗБУДИТЕЛЮ ВЕРТИЦИЛЛЕЗНОГО ВИЛТА 03.00.12 – Физиология и биохимия растений АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата биологических наук Ташкент - Работа выполнена в Институте физиологии...»

«Ефимова Анжелика Ишкальевна Формирование и мониторинг системы менеджмента качества предприятий топливно-энергетического комплекса Специальность 08.00.05 - Экономика и управление народным хозяйством (стандартизация и управление качеством продукции) Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук Санкт-Петербург - 2013 2 Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования...»

«УДК 519.7:616-053.2 Татаринцев Павел Борисович Разработка систем диагностики, дифференциальной диагностики и прогнозирования заболеваний методами многомерного статистического анализа 05.13.01 – системный анализ, управление и обработка информации Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук. Барнаул – 2006 2 Работа выполнена на кафедре Дифференциальные уравнения Алтайского государственного университета Научные руководители: кандидат ф.-м....»

«ДЖОЙ ИВАН ЮРЬЕВИЧ ОЦЕНКА И ОТБОР ПЕРЕПЕЛОВ ПОРОДЫ ФАРАОН ПО ЖИВОЙ МАССЕ И МЯСНЫМ ФОРМАМ ТЕЛОСЛОЖЕНИЯ специальность 06.02.07 – разведение, селекция и генетика сельскохозяйственных животных АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата сельскохозяйственных наук Сергиев Посад, 2013 Диссертационная работа выполнена в Государственном научном учреждении Всероссийском научно-исследовательском и технологическом институте птицеводства Российской сельскохозяйственной...»

«Кучаева Елена Ивановна ИЗМЕНЕНИЕ СОЦИАЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ СЕЛА В РЫНОЧНЫХ УСЛОВИЯХ (НА ПРИМЕРЕ РЕСПУБЛИКИ ТАТАРСТАН) Специальность 22.00.03 – Экономическая социология и демография. АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата социологических наук Казань–2007 2 Диссертация выполнена в Казанском государственном финансовоэкономическом институте. Научный руководитель – Зиятдинова Флюра Газизовна доктор социологических наук, профессор Официальные оппоненты – Гильманов...»

«СТЕПАНОВ ВИТАЛИЙ АНДРЕЕВИЧ ГОСУДАРСТВЕННАЯ КОРПОРАЦИЯ КАК ИНСТИТУТ РЫНОЧНОЙ ЭКОНОМИКИ Специальность: 08.00.01 – Экономическая теория (Общая экономическая теория) Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук Москва – 2010 Работа выполнена на кафедре экономической теории факультета государственного управления Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова Научный руководитель : д.э.н., профессор Мысляева И.Н. Официальные...»

«Маняхин Артем Юрьевич Шлемник байкальский (Scutellaria baicalensis Georgi) на юге Приморского края (интродукция, состав флавоноидов, биологическая активность) 03.02.14 – биологические ресурсы Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата биологических наук Владивосток 2010 Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Горнотаежной станции им. В.Л. Комарова Дальневосточного отделения РАН Научный руководитель : доктор биологических наук, профессор...»

«НЕФЕДОВА Мария Владимировна СТАНОВЛЕНИЕ И РАЗВИТИЕ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В КАЗАНСКОМ ИМПЕРАТОРСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ (1804 — 1917 гг.) Специальность 13.00.01 – Общая педагогика, история педагогики и образования АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук Казань 2013 Работа выполнена на кафедре педагогики ФГАОУ ВПО Казанский (Приволжский) федеральный университет Научный руководитель Ратнер Фаина Лазаревна доктор педагогических наук,...»

«Гаганов Виктор Александрович Исследование и разработка программных средств распознавания образов для решения задачи трехмерного моделирования в микроскопии Специальность 05.13.11 – математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва – 2011 Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте прикладной математики имени М.В....»

«БЕРСТЕНЁВ Андрей Владимирович ОБОСНОВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ АВТОМАТИЧЕСКИ УПРАВЛЯЕМОГО ПНЕВМОГИДРОПРИВОДА КОРОСНИМАТЕЛЯ РОТОРНЫХ ОКОРОЧНЫХ СТАНКОВ 05.21.01 - Технология и машины лесозаготовок и лесного хозяйства Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Екатеринбург - 2012 2 Работа выполнена на кафедре сервиса и эксплуатации транс­ портных и технологических машин ФГБОУ Е1ПО Уральский государ­ ственный лесотехниче ский университет. Научный -...»

«Долгих Андрей Владимирович ФОРМИРОВАНИЕ ПЕДОЛИТОСЕДИМЕНТОВ И ПОЧВЕННО-ГЕОХИМИЧЕСКОЙ СРЕДЫ ДРЕВНИХ ГОРОДОВ ЕВРОПЕЙСКОЙ РОССИИ 25.00.23 – физическая география и биогеография, география почв и геохимия ландшафтов АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата географических наук Москва – 2010 Работа выполнена в Лаборатории географии и эволюции почв Института географии Российской академии наук Научный руководитель : доктор географических наук Александровский...»

«Поливникова Ольга Валентиновна УДК.621.385.7 ИССЛЕДОВАНИЕ И РАЗРАБОТКА ЭФФЕКТИВНЫХ МАГНЕТРОННЫХ КАТОДОВ НА ПРИНЦИПЕ ПЕРЕНОСА АКТИВНОГО ВЕЩЕСТВА ИЗ НЕЗАВИСИМОГО ИСТОЧНИКА НА ЭМИТИРУЮЩУЮ ПОВЕРХНОСТЬ ЧЕРЕЗ ВАКУУМ Специальность 05.27.02 Вакуумная и плазменная электроника АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Фрязино, 2006 г. 2 Работа выполнена на Федеральном Государственном Унитарном Предприятии Научно-производственное предприятие Исток...»








 
2014 www.av.disus.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.