РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи

МАСЛОВА Наталья Владимировна

МАКСИМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ НЕЧЕТНОГО ИНДЕКСА В

КОНЕЧНЫХ ПОЧТИ ПРОСТЫХ ГРУППАХ

01.01.06 математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург 2011

Работа выполнена в отделе алгебры и топологии Института математики и механики УрО РАН.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор, КОНДРАТЬЕВ Анатолий Семенович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профеcсор, чл.-корр. РАН МАЗУРОВ Виктор Данилович доктор физико-математических наук, профессор, КАЗАРИН Лев Сергеевич

Ведущая организация: Южно-Уральский государственный университет

Защита состоится 1 февраля 2011 года в 12.00 часов на заседании специализированного совета Д 004.006.03 в Институте математики и механики УрО РАН по адресу:

620990, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Института математики и механики УрО РАН (г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16).

Автореферат разослан декабря 2010 года

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физ.-мат. наук И.Н. Белоусов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

.

Постановка задачи и актуальность темы диссертации.

Диссертационная работа относится к классическому направлению теории групп исследованию подгруппового строения конечных групп. Она посвящена завершению классификации максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных почти простых группах.

В начале 1980-х годов была анонсирована классификация конечных простых групп (ККПГ), одно из самых впечатляющих достижений математики XX века. В соответствии с этой классификацией, конечные простые группы подразделяются на следующие серии: циклические группы простого порядка, знакопеременные группы, классические группы, исключительные группы лиева типа и 26 спорадических групп (см., например, [3]).

Пусть G конечная группа, p простое число и |G|p наибольшая степень числа p, делящая |G|. Фундаментальная теорема Силова (1872 г.) утверждает, что группа G содержит подгруппу порядка, равного |G|p, и все такие подгруппы сопряжены в G. Такие подгруппы называются силовскими p-подгруппами группы G. В 1963 г. Фейт и Томпсон [17] доказали разрешимость конечных групп нечетного порядка, решив тем самым знаменитую проблему Бернсайда.

Как следствие получается, что конечная неразрешимая группа имеет четный порядок. В частности, любая конечная неабелева простая группа имеет четный порядок и, следовательно, неединичную силовскую 2-подгруппу. Классификация конечных простых групп базируется на этом факте.

Подгруппа конечной группы G, порожденная всеми ее минимальными неединичными нормальными подгруппами, называется цоколем группы G и обозначается через soc(G). Конечная группа G называется почти простой, если ее цоколь L есть неабелева простая группа, т.е. L G Aut(L) при отождествлении L с Inn(L).

В постклассификационной теории конечных групп большое внимание уделяется изучению свойств (известных) конечных простых групп и групп их автоморфизмов, прежде всего подгрупповому строению и представлениям. Это связано с применениями классификации конечных простых групп, с необходимостью ее ревизии, с развитием ее связей с другими областями математики, а также с наличием многих вопросов о конечных простых группах, на которые классификация не дает ответа.

Максимальные подгруппы играют большую роль в теории конечных групп.

Одним из магистральных направлений этой теории является изучение максимальных подгрупп конечных почти простых групп (см. [5]).

К настоящему времени проблема классификации максимальных подгрупп в конечных группах с простым спорадическим цоколем решена для всех спорадических групп, кроме Монстра, для которого известны все локальные максимальные подгруппы и многие нелокальные максимальные подгруппы, но пока работа не завершена. Большой вклад в эту работу внес Р. Уилсон [35].

Пусть G одна из групп An или Sn, действующих естественно на множестве I = {1,..., n}, где n 6. Доказанная с использованием ККПГ теорема О’НэнаСкотта [32] утверждает, что для любой подгруппы H из G, не содержащей An, либо H содержится в некотором члене определенного семейства A(G) подгрупп из G (интранзитивных, импримитивных, аффинных, диагональных или сплетенных), либо H принадлежит множеству S всех почти простых подгрупп из G, действующих примитивно на I. Исправленные и модифицированные версии этой теоремы появились позже в статьях М. Ашбахера и Л. Скотта [13] и М.

Либека, Ч. Прэгер и Я. Саксла [26]. Последняя статья была использована ее авторами [25] для следующей классификации максимальных подгрупп в G: если H A(G) S, то либо H максимальна в An H, либо H < K < An H, где (H, K, n) принадлежит явному списку троек. Заметим, что за исключением нескольких случаев, элементы из A(G) максимальны в G.

Основной теоремой о подгруппах конечных классических групп остается теорема Ашбахера [10], которая является аналогом теоремы О’Нэна-Скотта.

Пусть L простая классическая группа, ассоциированная с векторным пространством V размерности n над полем Fq порядка q, где q - степень простого числа p. Пусть X = P L(V ) - полная проективная полулинейная классическая группа, соответствующая L. Тогда L X Aut(L), причем X = Aut(L), за исключением случаев, когда L = P SLn (q), P Sp4 (q) (q четно) или P + (q). В случае, когда L G X, М. Ашбахер [10] определил большое семейство C(G) естественных геометрически определенных подгрупп группы G, которое было разбито им на восемь классов Ci (G) (1 i 8), называемых теперь классами Ашбахера. Теорема Ашбахера утверждает, что если L G X, то для любой подгруппы H из G, не содержащей L, либо H содержится в некотором члене семейства C(G), либо H S, где S множество всех почти простых подгрупп K из G таких, что (проективное) представление подгруппы soc(K) на V абсолютно неприводимо и не реализуется над собственным подполем поля Fq. Аналог этой теоремы справедлив также и для случая, когда L G Aut(L) и G X.

Для групп L = P SLn (q) или P Sp4 (q) (q четно) этот аналог доказал сам М. Ашбахер [10]. П. Клейдман [20] классифицировал все максимальные подгруппы в группах G с цоколем, изоморфным P + (q). П. Клейдман и М. Либек [23], используя ККПГ, для каждой почти простой классической группы G определили:

теоретико-групповое строение каждого члена семейства C(G); сопряженность в G членов семейства C(G); при степени soc(G), большей 12, максимальные элементы семейства C(G) и для немаксимальных элементов H C(G) их максимальные надгруппы в G.

Изучением максимальных подгрупп в конечных простых классических группах малых степеней занимались многие авторы (см. обзор А. С. Кондратьева по подгруппам конечных групп Шевалле [5]).

Описание всех максимальных подгрупп конечных групп с простым классическим цоколем степени не выше 12 было анонсировано П. Клейдманом (см. [23, теор. 1.2.2]), список максимальных подгрупп конечных простых классических групп степени не выше 11 был приведен Клейдманом в его докторской диссертации (см. [19]), такой список есть и для конечных простых классических групп степени 12, но он явно требует корректировки. Результаты Клейдмана так и не были полностью опубликованы и нуждаются в проверке. Сейчас группа британских ученых под руководством Д. Холта заканчивает ревизию результатов Клейдмана. В скором времени они планируют выпустить посвященную этому вопросу книгу. Поэтому в настоящей работе мы, в основном, будем рассматривать классические группы степени не менее 13.

Для некоторых исключительных групп лиева типа, таких как 2 B2 (q), G2 (q), G2 (q), 3 D4 (q), 2 F4 (q), F4 (2), E6 (2) известен полный список их максимальных подгрупп (см. [5, 16, 21, 22, 24, 29, 30, 33]). В общем случае исследование теоретико-групповой структуры исключительных групп лиева типа продолжается. Так, в работах А. В. Боровика [2], М. Либека и Г. Зейца [28] доказан аналог теоремы Ашбахера для исключительных групп лиева типа.

Сотни работ посвящены результатам о конечных неразрешимых группах, связанным с их подгруппами нечетного индекса или, другими словами, подгруппами, содержащими силовскую 2-подгруппу (см., например, [4, 6, 8, 9, 15]).

Такими подгруппами являются сами силовские 2-подгруппы, централизаторы инволюций из центра некоторой силовской 2-подгруппы и, более общо, нормализаторы неединичных 2-подгрупп, нормальных в некоторой силовской 2подгруппе, и т.д. Приведенные примеры подгрупп играют основополагающую роль в классификация конечных простых групп.

М. Либеком и Я. Сакслом в [27] и независимо В. Кантором в [18] был получен один из самых сильных результатов последних лет в теории конечных групп подстановок, а именно, было дано описание конечных примитивных групп подстановок нечетной степени. Это описание во многом сводится к изучению максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных почти простых группах.

Максимальные подгруппы нечетного индекса в конечных группах с простым спорадическим цоколем известны (см. [12, 16]). Для каждой конечной почти простой группы G, цоколь которой есть знакопеременная группа или группа лиева типа, в [27, 18] приведены типы тех подгрупп, которые могут являться максимальными подгруппами нечетного индекса в G. Однако в случае, когда цоколь группы G классический или знакопеременный, не каждая подгруппа указанного типа является максимальной подгруппой нечетного индекса в группе G. Так что классификация максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных почти простых группах оставалась незавершенной.

Приведем более точную формулировку результатов работ [27, 18]. Наши терминология и обозначения в основном стандартны, их можно найти в [11, 5, 23, 16].

Пусть q натуральная степень простого числа, G конечная группа, L = soc(G) либо одна из знакопеременных групп An, либо одна из конечных простых классических групп P SLn (q), P SUn (q), P Spn (q) для четного n, P n (q) для нечетного n и P (q) для четного n, где {+, }. Будем обозначать через V естественное векторное пространство размерности n над полем F с определенной на нем соответствующей тождественно нулевой, эрмитовой, кососимметрической или квадратичной формой, ассоциированное с конечной простой классической группой L, где F = Fq для линейных, симплектических и ортогональных групп и F = Fq2 для унитарных групп.

Из основных результатов [27, 18] следует Теорема Либека–Саксла–Кантора. Пусть G конечная группа и L = soc(G) неабелева простая группа.

(I) Если L An и H максимальная подгруппа нечетного индекса в конечной группе G, то H = K G, где K Sn, и выполняется одно из следующих утверждений:

(II) Если L = L(q) конечная простая классическая группа над полем F и H максимальная подгруппа нечетного индекса в G, то либо q четно и LH параболическая подгруппа в L, либо q нечетно и для G и H выполняется одно из следующих утверждений:

(1) H = NG (CL ()) для полевого автоморфизма простого нечетного порядка группы L;

(2) H стабилизатор невырожденного подпространства из V или в случае L = P SLn (q) стабилизатор любого подпространства из V ;

(3) L H стабилизатор ортогонального разложения V = Vi в прямую сумму изометричных подпространств Vi или в случае L = P SLn (q) стабилизатор любого разложения V = Vi в прямую сумму подпространств одинаковой размерности;

(4) L = P SLn (q) и H стабилизатор пары {U, W } подпространств из V содержит автоморфизм группы L, переставляющий U и W ;

(9) L = P 8 (q) для простого q ±3 (mod 8) и LH изоморфна 23.26.P SL3 (2).

В пункте (II) при четном q и в пунктах (II)(1) и (II)(6)–(II)(9) при нечетном q подгруппа H всегда будет подгруппой нечетного индекса в G (см. [27, 18]).

В остальных случаях случаях четность индекса H в G существенно зависит от нескольких параметров, в том числе от n и q. Параболические подгруппы конечных простых классических групп хорошо изучены в терминах групп лиева типа (см. [5]). Поэтому в пункте (II) можно рассматривать только классические группы над полями нечетной характеристики.

В пункте (II)(3) теоремы Либека–Саксла–Кантора возможен случай, когда L H = L, но для описания всех таких подгрупп H достаточно рассмотреть группу Aut(L), которая хорошо изучена (см., например, [14]), поэтому далее можно предполагать, что L H < L.

Цель диссертации. Целью данной работы является завершение классификации максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных почти простых группах.

Методы исследования. Основными методами исследования в настоящей диссертации являются методы теории групп (теория конечных групп и теория классических групп) и элементы теории чисел.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и снабжены полными доказательствами.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут быть использованы для дальнейших исследований теоретико-групповой структуры конечных почти простых групп.

Классификация максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных простых классических группах, полученная автором в [36], уже нашла свое применение при вычислении числа классов сопряженности холловых подгрупп в конечных почти простых группах [31].

Апробация работы. Результаты диссертации в период с 2007 по 2010 год были представлены на следующих конференциях: Международных алгебраических конференциях ”Алгебра и ее приложения” (Красноярск, 2007 и Нальчик, 2009), Международных школах-конференциях по теории групп (Челябинск, 2008 и Нальчик, 2010), Международных конференциях ”Мальцевские чтения” (Новосибирск, 2008 и 2009), Международной конференции ”Группы Сент Эндрюс – 2009” (Великобритания, г. Бат, 2009), Международной школе-конференции ”Алгоритмические вопросы теории групп и смежных областей” (Новосибирск, 2010), Международной конференции ”Группы и их действия – 2010” (Польша, г.

Бедлево, 2010), 39 Региональной молодежной конференции ”Проблемы теоретической и прикладной математики” (Екатеринбург, 2008), 40 и 41 Всероссийских молодежных конференции ”Проблемы теоретической и прикладной математики” (Екатеринбург, 2009 и 2010), см. [39]–[46].

Результаты работы докладывались на семинарах ”Теория групп” и ”Алгебра и логика” Института математики СО РАН и НГУ (Новосибирск, 2009), на городском алгебраическом семинаре ”Алгебраические системы” (Екатеринбург, 2008 и 2009) и на алгебраическом семинаре Института математики и механики УрО РАН (Екатеринбург, 2008 – 2010).

Публикации. Результаты автора по теме диссертации опубликованы в [36]– [48]. Из них статьи [36]–[38] опубликованы в журналах, которые на момент публикации входили в перечень ВАК ведущих рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени кандидата наук.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Работа изложена на 63 страницах, список литературы содержит 50 наименований. Главы диссертации подразделяются на параграфы.

Основные результаты диссертации сформулированы в виде теорем 1–3. Вспомогательные утверждения (леммы) имеют тройную нумерацию: первая цифра номер главы, вторая номер параграфа в текущей главе, третья номер утверждения в текущем параграфе. Более важные утверждения сформулированы в виде предложений. Их нумерация двойная: первая цифра номер главы, вторая номер предложения в главе.

Результаты диссертации.

В случае ортогональной группы L для каждого невырожденного подпространства U четной размерности m из V определяется также знак = sign(U ).

Положим Если V является прямой суммой невырожденных, ортогональных друг другу подпространств U и W четной размерности, то D(V ) = D(U ) · D(W ) и sign(V ) = sign(U ) · sign(W ) (в последнем случае умножение понимается в обычном смысле “умножения знаков”). Также определяется естественный гомоморфизм : Aut(L) F /(F )2 (см. [23, § 2]).

Пусть j натуральное число, k целое число. Положим Пусть M множество всех последовательностей (x0, x1,..., xn,...), где xi {0, 1} для всех i и число ненулевых компонент конечно. Введем на M естественный частичный порядок, считая 1 > 0, а для u = (u0, u1,..., un,...), v = (v0, v1,..., vn,...) из M, полагая u v тогда и только тогда, когда ui vi для всех i. Через обозначим функцию, которая ставит в соответствие каждому целому неотрицательному числу s последовательность (s0, s1,..., sk,...) из M такую, что sk sk1... s0 запись числа s в двоичной системе счисления и sn = 0 для всех n > k.

Во введении приводится мотивировка исследования и формулируются основные результаты диссертации. Основными результатами настоящей работы являются следующие три теоремы.

Теорема 1. Пусть G конечная группа, подгруппа L = soc(G) изоморфна одной из групп P SLn (q), P SUn (q) или P Spn (q), где q нечетно, n 13, и V естественный проективный модуль для L. Подгруппа H группы G, не содержащая цоколь L, является максимальной подгруппой нечетного индекса в G тогда и только тогда, когда H = NG (P ), где P подгруппа из L, и выполняется одно из следующих утверждений:

число, причем (It (q0 ), n) = 1 или G L · NAut(L) (P SLn (q0 ));

(2) L = P SLn (q), P стабилизатор в L подпространства размерности m n 1 пространства V, (n) (m) и G P Ln (q);

(3) L = P SLn (q), P стабилизатор в L пары {U, W } подпространств пространства V размерностей m < n/2 и n m соответственно таких, что V = U W, (n) (m), G P Ln (q) и G содержит элемент, переставляющий U сумму подпространств одинаковой размерности m и либо m = 2w 2, либо число, причем (It (q0 ), n) = 1 или G L · NAut(L) (P SUn (q0 ));

число;

(7) L = P SUn (q) или L = P Spn (q), P стабилизатор в L невырожденного подпространства размерности m < n/2 пространства V и (n) (m);

(8) L = P SUn (q), P стабилизатор в L ортогонального разложения V = Vi в прямую сумму изометричных подпространств Vi размерности m и либо (9) L = P Spn (q), P стабилизатор в L ортогонального разложения V = Vi в прямую сумму изометричных подпространств Vi размерности m и m = 2w 2.

Теорема 2. Пусть G конечная группа, L = L(q) = soc(G) изоморфна одной из простых ортогональных групп P n (q) для нечетного n 13 или P (q) для четного n 13 и {+, }, q везде нечетно, V естественный проективный модуль для L. Подгруппа H, не содержащая цоколь L, является максимальной подгруппой нечетного индекса в G тогда и только тогда, когда H = NG (P ), где P некоторая собственная подгруппа в L, и выполняется одно из следующих утверждений:

(1) P = NL (L(q0 )), где q = q0 и t простое нечетное число;

(2) L = P n (q), P стабилизатор в L невырожденного подпространства U четной размерности m пространства V, D(U) = 1 и (n) (m);

(3) L = P n (q), P стабилизатор в L ортогонального разложения V = Vi в прямую сумму изометричных подпространств Vi размерности 1, q простое число и q ±3 (mod 8);

(4) L = P (q), P стабилизатор в L невырожденного подпространства U четной размерности m пространства V и либо D(U ) = D(V ) = 1, (n 2) (m 2) и (q, m, sign(U )) = (3, 2, +), либо D(U ) = D(V ) = 1 и (n) (m);

(5) L = P (q), P стабилизатор в L невырожденного подпространства U нечетной размерности m пространства V, D(V ) = 1, (n 2) (m 1) и G ker( );

(6) L = P (3), D(V ) = 1, P стабилизатор в L невырожденного подпроn странства U пространства V, где dim(U ) = 2 и sign(U ) = +, P = Y1 Y2, где Y1 и Y2 стабилизаторы в L различных невырожденных одномерных подпространств из U, сопряженные элементом из G;

(7) L = P (q), P стабилизатор в L ортогонального разложения V = Vi в прямую сумму изометричных подпространств Vi размерности m = 2w 2, D(V ) = D(Vi ) = 1 и (q, m, sign(U )) = (3, 2, ), (5, 2, +);

(8) L = P (q), P стабилизатор в L ортогонального разложения V = Vi в прямую сумму изометричных подпространств Vi размерности 1, q простое число, q ±3 (mod 8) и G ker( );

(9) L = P (q), P стабилизатор в L ортогонального разложения V = Vi в прямую сумму изометричных подпространств Vi размерности 2, где (q, sign(Vi )) = (3, ) или (5, +), и P = Y1 Y2, где Y1 и Y2 стабилизаторы в L различных ортогональных разложений пространства V в прямую сумму изометричных подпространств размерности 1, сопряженные элементом из G.

H является максимальной подгруппой нечетного индекса в G тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих утверждений:

(n) (m);

за исключением случая, когда H (S2 S4 ) A8 23 : S4 < 23 : P SL3 (2) < A8 G;

Таким образом, в теоремах 1–3 получена исчерпывающая классификация максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных группах с классическим или знакопеременным цоколем. Эта классификация проведена в терминах функции, которая не зависит от поля. Кроме того, ввиду простоты вычисления функции, полученная классификация допускает хорошую программную реализацию (см. [42, 47]).

Глава 1. Определения, обозначения и вспомогательные результаты.

Глава носит вспомогательный характер. В первом параграфе вводятся терминология и используемые обозначения из теории классических групп, формулируется теорема Либека–Саксла–Кантора и даются некоторые пояснения к этой теореме. Во втором параграфе формулируются в виде лемм и доказываются вспомогательные теоретико-числовые результаты, используемые в дальнейшем для вычисления индексов подгрупп конечных простых групп, возникающих в теореме Либека–Саксла–Кантора. В третьем параграфе также формулируются в виде лемм и доказываются вспомогательные теоретико-групповые результаты, которые затем используются для работы с конечными почти простыми группами.

Глава 2. Подгруппы нечетного индекса в конечных простых классических группах. Глава посвящена изучению подгрупп нечетного индекса в конечных простых классических группах. С помощью полученного Клейдманом и Либеком в [23] описания теоретико-групповой структуры подгрупп из классов Ашбахера конечных простых классических групп для каждой конечной простой классической группы устанавливаются условия, при которых ее подгруппы, возникающие в теореме Либека–Саксла–Кантора, имеют нечетные индексы в этой группе. В первом параграфе исследуются индексы подгрупп в конечных простых линейных группах, во втором в конечных простых унитарных группах, в третьем в конечных простых симплектических группах, а в четвертом и в пятом в конечных простых ортогональных группах нечетной и четной степени соответственно. Основные результаты второй главы сформулированы виде предложений. Методы, близкие к тем, которые мы применили для вычисления индексов подгрупп в конечных простых классических группах, используются также в [34, лемма 2] и [1, теоремы Б1,Б2]. В терминах функции нами получен простой критерий нечетности индексов подгрупп конечной простой классической группы, возникающих в теореме Либека–Саксла–Кантора, не зависящий от поля F. Результаты второй главы используются далее для доказательства теорем 1–3, кроме того, эти результаты вместе с анонсированным Клейдманом описанием максимальных подгрупп в конечных почти простых группах с классическим цоколем степени не более 12 дают классификацию максимальных подгрупп нечетного индекса конечных почти простых групп с классическим цоколем любой степени.

Результаты второй главы опубликованы в [36].

Глава 3. Классификация максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных почти простых группах. Глава посвящена доказательству теорем 1 – 3.

Если цоколь L группы G является конечной простой классической группой, то во многих пунктах теоремы Либека–Саксла–Кантора подгруппы L H, соответствующие подгруппам H, являются максимальными подгруппами в L.

Если подгруппа L H является максимальной подгруппой в L, то подгруппа NG (L H) является максимальной подгруппой в G тогда и только тогда, когда каждая подгруппа, сопряженная в G с L H, сопряжена в L с L H. В этом случае для доказательства основного результата диссертации мы используем результаты [23], касающиеся сопряженности подгрупп из классов Ашбахера конечных простых классических групп. Если же подгруппа L H не максимальна в L, то подгруппа NG (L H) являются так называемой новинкой (novelty).

Надгруппы немаксимальных подгрупп из классов Ашбахера конечных простых классических групп степени не менее 13 и возникающие в связи с этим новинки описаны в [23, § 3.3, таблицы 3.5.H, 3.5.I], в случае немаксимальности подгруппы L H мы используем эти описания.

Во первом параграфе доказывается теорема 1. Результаты этого параграфа опубликованы в [43, 44].

Во втором параграфе доказывается теорема 2. Результаты этого параграфа опубликованы в [38].

В третьем параграфе доказывается теорема 3. В доказательстве теоремы мы используем описание максимальных подгрупп в конечных знакопеременных и симметрических группах, полученное в [25]. Результаты этого параграфа опубликованы в [37].

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.

В настоящей диссертации получена классификация максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных почти простых группах со знакопеременным цоколем или с простым классическим цоколем степени не менее 13. Учитывая ожидаемые результаты британских ученых о максимальных подгруппах конечных групп с простым классическим цоколем степени не более 12, настоящая работа завершает классификацию максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных почти простых группах.

Благодарности. Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Анатолию Семеновичу Кондратьеву за постановку задачи и неизменное внимание. Я обязана своему научному руководителю гораздо большим, чем просто этой работой.

Автор также выражает благодарность Виктору Даниловичу Мазурову за полезные обсуждения результатов работы и ценные замечания, послужившие постановке задачи для почти простых групп со знакопеременным цоколем; Вячеславу Александровичу Белоногову, Виктору Ивановичу Зенкову, Евгению Петровичу Вдовину, Даниле Олеговичу Ревину, а также всем участникам алгебраического семинара ИММ УрО РАН за полезные замечания к статьям, легшим в основу настоящей диссертации.

Результаты работы получены при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 07-01-00148 и 10-01-00324), программы Отделения математических наук РАН (проект 09-T-1-1004), программ совместных исследований УрО РАН с СО РАН (проект 09-C-1-1007) и НАН Беларуси (проект 09-C-1-1009), гранта для молодых ученых УрО РАН (проект 80, 2010 г.) и гранта "Лучшие аспиранты РАН - 2010".

Список литературы [1] Белоногов В. А. Представления и их характеры в теории конечных групп.

Свердловск: УрО АН СССР, 1990.

[2] Боровик А. В. Строение конечных подгрупп простых алгебраических групп // Алгебра и логика. 1989. Т. 28, № 3. C. 249–279.

[3] Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию.

М.: Мир, 1985.

[4] Зенков В. И., Кондратьев А. С., Левчук В. М. Конечные группы, в которых нормализаторы пересечений пар силовских 2-подгрупп имеют нечетные индексы // Труды института математики и механики УрО РАН. 2007.

Т. 13, № 2. C. 90–103.

[5] Кондратьев А. С. Подгруппы конечных групп Шевалле // Успехи матем.

наук. 1986. Т. 41, № 1. C. 57–96.

[6] Кондратьев А. С. Нормализаторы силовских 2-подгрупп в конечных простых группах // Матем. заметки. 2005. Т. 78, № 3. C. 368–376.

[7] Кондратьев А. С. Группы и алгебры Ли. Екатеринбург: УрО РАН, 2009.

[8] Кондратьев А. С., Мазуров В. Д. 2-сигнализаторы конечных простых групп // Алгебра и логика. 2003. Т. 42, № 5. C 594–623.

[9] Кондратьев А. С., Махнев А. А, Старостин А. И. Конечные группы // Алгебра. Топология. Геометрия. Итоги науки. ВИНИТИ АН СССР. 1986.

[10] Aschbacher M. On the maximal subgroups of the nite classical groups // Invent. Math. 1984. Vol. 76, no. 3. P. 469–514.

[11] Aschbacher M. Finite group theory. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1986.

[12] Aschbacher M. Overgroups of Sylow subgroups in sporadic groups. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1986.

[13] Aschbacher M., Scott L. Maximal subgroups of nite groups // J. Algebra.

1985. Vol. 92, no. 1. P. 44–80.

[14] Carter R. W. Simple groups of Lie type. London: Wiley, 1972.

[15] Carter R., Fong P. The Sylow 2-subgroups of the nite simple groups // J.

Algebra. 1964. Vol. 1, no. 1. P. 139–151.

[16] Conway J., Curtis R., Norton S., Parker R., Wilson R. Atlas of nite groups.

Oxford: Clarendon Press, 1985.

[17] Feit W., Thompson J. Solvability of groups of odd order // Pacic J. Math.

1963. Vol. 13. P. 775–1029.

[18] Kantor W. Primitive permutation groups of odd degree, and an application to the nite projective planes // J. Algebra. 1987. Vol. 106, no. 1. P. 15–45.

[19] Kleidman P. The subgroup structure of some nite simple groups. Ph. D. thesis.

Cambridge: Cambridge University, 1986.

[20] Kleidman P. The maximal subgroup structure of the nite 8-dimensional orthogonal groups P + and of their automorphism groups // J. Algebra. 1987.

Vol. 110, no. 1. P. 173–242.

[21] Kleidman P. The maximal subgroups of the Steinberg triality groups 3 D4 (q) and their automorphism groups // J. Algebra. 1988. Vol. 115, no. 1. P. 182–199.

[22] Kleidman P. The maximal subgroups of the Chevalley groups G2 (q) with q odd, of the Ree groups 2 G2 (q) and of their automorphism groups // J. Algebra. 1988.

Vol. 117, no. 1. P. 30–71.

[23] Kleidman P., Liebeck M. The subgroup structure of the nite classical groups.

Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1990.

[24] Kleidman P., Wilson R. The maximal subgroups of E6 (2) and Aut(E6 (2)) // Proc. London Math. Soc. (3). 1990. V. 60, no. 2. P. 266–294.

[25] Liebeck M., Praeger C., Saxl J. A classication of the maximal subgroups of the nite alternating and symmetric groups // J. Algebra. 1987. Vol. 111, no. 2.

P. 365–383.

[26] Liebeck M., Praeger C., Saxl J. On the O’Nan-Scott theorem for nite primitive permutation groups // J. Austral. Math. Soc. (A). 1988. Vol. 44. P. 389–396.

[27] Liebeck M., Saxl J. The primitive permutation groups of odd degree // J.

London Math. Soc. 1985. Vol. 31, no. 2. P. 250–264.

[28] Liebeck M., Seitz G. Maximal subgroups of exceptional groups of Lie type, nite and algebraic // Geom. Dedicata. 1990. Vol. 35, no. 1-3. P. 353–387.

[29] Malle G. The maximal subgroups of 2 F4 (q 2 ) // J. Algebra. 1991. Vol. 17, no. 1.

[30] Norton S.. Wilson R. The maximal subgroups of F4 (2) and its automorphism group // Comm. Algebra. 1989. Vol. 17, no. 11. P. 2809–2824.

[31] Revin D. O., Vdovin E. P. On the number of classes of conjugate Hall subgroups in nite simple groups. // J. Algebra. 2010. Vol. 324, no. 12. P. 3614–3652.

[32] Scott L. Representations in characteristic p // Proc. Sympos. Pure Math. 1980.

Vol. 37. P. 318–331.

[33] Suzuki M. On a class of doubly transitive groups // Ann. Math. 1962. Vol. 75, no. 1. P. 105–145.

[34] Thompson J. Hall subgroups of the symmetric groups // J. Comb. Theory (A).

1966. Vol. 1, no. 1. P. 271–279.

[35] Wilson R. The nite simple groups. London: Springer-Verlag, 2009.

Работы автора по теме диссертации [36] Маслова Н. В. Классификация максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных простых классических группах // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2008. Т. 14, № 4. C. 100–118.

[37] Маслова Н. В. Максимальные подгруппы нечетного индекса в конечных группах со знакопеременным цоколем // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16, № 3. C. 182–184.

[38] Маслова Н. В. Максимальные подгруппы нечетного индекса в конечных группах с простым ортогональным цоколем // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16, № 4. C. 137–145.

[39] Маслова Н. В. О максимальные подгруппы нечетного индекса в конечных простых классических группах // Алгебра и ее приложения: Тез. межд.

конф., Красноярск, 2007. С. 92–93.

[40] Маслова Н. В. Максимальные подгруппы нечетного индекса в конечных простых классических группах // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 39-й Региональной мол. конф., Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2008. С. 28–30.

[41] Маслова Н. В. Максимальные подгруппы нечетного индекса в конечных простых классических группах// Теория групп: Тез. межд. школы-конф., Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2008. С. 65–66.

[42] Маслова Н. В. Программная реализация классификации максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных простых классических группах // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 40-й Всерос.

мол. конф., Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2009. С. 43–46.

[43] Маслова Н. В. Максимальные подгруппы нечетного индекса в конечных группах с простым линейным или унитарным цоколем степени не менее 13 // Алгебра и ее приложения: Труды Межд. конф., Нальчик: Каб.-Балк.

ун-т, 2009. С. 80–82.

[44] Маслова Н. В. Максимальные подгруппы нечетного индекса в конечных группах с простым симплектическим цоколем степени не менее 13 // Тез.

Межд. конф. ”Мальцевские чтения”, Новосибирск: ИМ и НГУ, 2009. С. 69.

[45] Маслова Н. В. О максимальных подгруппах нечетного индекса в конечных группах с простым ортогональным цоколем // Проблемы теоретической и прикладной математики: Тез. 41-й Всерос. мол. конф., Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2010. С. 48–52.

[46] Маслова Н. В. Максимальные подгруппы нечетного индекса в конечных группах с простым ортогональным цоколем размерности не менее 13 // Теория групп и ее приложения: Труды Межд. конф., Нальчик: Каб.-Балк.

ун-т, 2010. С. 165–170.

[47] Маслова Н. В. Программная реализация классификации максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных простых классических группах // Тез. Межд. школы-конф. ”Алгоритмические проблемы теории групп и смежных областей”, Новосибирск, 2010, http :

//math.nsc.ru/conf erence/isc2010/P articipantsr us.html [48] Maslova N. V. Maximal subgroups of odd index in nite groups with alternating socle // Intern. conf. ”Groups and Their Actions – 2010”, Abstracts, http://mat.polsl.pl/groups/bedlewo-2010-nowe1.pdf