к а з а н с к и й г о с уд а р с т в е н н ы й у н и в е р с и т е т

На правах рукописи

Абзалилов Дамир Фаридович

АЭРОДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ И

ОПТИМИЗАЦИЯ ФОРМЫ КРЫЛОВЫХ

ПРОФИЛЕЙ ПРИ УСЛОЖНЕННЫХ СХЕМАХ

ТЕЧЕНИЯ

01.02.05 механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

КАЗАНЬ – 2008

Работа выполнена в Научно-исследовательском институте математики и механики им. Н. Г. Чеботарева Казанского государственного универси тета им. В. И. Ульянова-Ленина.

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор, заслуженный деятель науки России и Татарстана Ильинский Николай Борисович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, доцент Аульченко Сергей Михайлович, доктор физико-математических наук, профессор Маклаков Дмитрий Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор Молочников Валерий Михайлович.

Ведущая организация: Центральный аэрогидродинамический институт им. Н. Е. Жуковского, г. Жуковский.

Защита состоится 30 октября 2008 г. в 14 часов 30 минут в аудито рии мех. 2 на заседании диссертационного совета Д 212.081.11 при Казан ском государственном университете им. В. И. Ульянова-Ленина по адресу:

420008, Казань, ул. Кремлевская, 18.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н. И. Ло бачевского Казанского государственного университета.

Автореферат разослан “ ” сентября 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук, доцент А.А.Саченков –2–

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена решению задач аэродинамического проекти рования крыловых профилей при усложненных схемах течения на основе теории обратных краевых задач аэрогидродинамики (ОКЗА); исследова нию различных способов моделирования устройств управления потоком;

оптимизации параметров этих устройств и геометрии крылового профиля с целью улучшения аэродинамических характеристик.

Актуальность темы. Использование устройств управления потоком является одним из перспективных способов, позволяющих влиять на аэро динамические свойства крыла, улучшения которых можно достичь, в част ности, за счет увеличения коэффициентов подъемной силы при безотрыв ном обтекании, уменьшения профильного сопротивления. К устройствам управления потоком относятся устройства для отбора внешнего потока, от соса пограничного слоя (ПС), выдува реактивной струи, закрылки и пред крылки. При их неудачном исполнении возможны нежелательные явления:

отсос ПС может привести к сильному возмущению течения, выдуваемая струя может мгновенно распасться на вихри. Кроме того, может оказать ся, что энергия, требуемая на работу устройства, больше, чем полная сэко номленная. Эффективным способом проектирования крыловых профилей с заданными свойствами является способ, основанный на теории ОКЗА.

Целью настоящей диссертации является:

Развитие численно-аналитических методов решения ОКЗА при услож ненных схемах течения при задании исходных данных как для одного режима обтекания, так и в заданном диапазоне.

Анализ влияния усложненных схем течения на геометрические и аэро динамические характеристики крыловых профилей. Оценка эффек тивности использования устройств управления потоком с учетом энер гетических затрат и получаемой выгоды.

Поиск рационального задания исходных данных задач, обеспечиваю щих получение максимального эффекта от устройств управления по Проведение и анализ числовых расчетов по поиску оптимальных форм дозвуковых крыловых профилей.

Теоретическое значение и научная новизна работы определя ются следующим:

1. Даны постановки и решения ОКЗА в диапазоне режимов обтекания для крыловых профилей с отбором внешнего потока через щель, моде лируемую кольцевым каналом.

2. Предложена итерационная схема решения ОКЗА в диапазоне режи мов обтекания для крылового профиля с выдувом реактивной струи, т. е. струи с учетом разных плотностей и полных давлений струи и внешнего потока.

3. Решена ОКЗА для двухэлементного крылового профиля с использо ванием аппарата эллиптических функций. Дано обобщение на случай задания распределения скорости в диапазоне углов атаки.

4. Разработаны метод построения квазирешения ОКЗА с учетом условия продольной устойчивости и метод построения устойчивого крылового профиля вблизи экрана в диапазоне режимов обтекания.

5. Предложен метод определения распределений давления на искомом контуре крылового профиля, положения проницаемого участка и ско рости отсоса на нем, обеспечивающих достижение максимального эф фекта от устройств распределенного отсоса ПС.

6. На основе решения модельных задач получены верхние оценки коэф фициента подъемной силы контуров при усложненных схемах течения:

при наличии отбора и выдува, при наличии экрана, в случае двухэле ментного контура.

Методика исследований. Проведенные исследования опираются на теорию ОКЗА и на метод квазирешений некорректных задач математиче ской физики. Для расчета двухэлементных крыловых профилей использо ван аппарат эллиптических функций. В работе используются методы опти мального управления для безусловной и условной численной оптимизации функционалов.

Обоснованность и достоверность полученных результатов и выте кающих из них выводов обеспечены в рамках принятых математических моделей применением строгих методов при построении решений и анали зе расчетов. Математическое моделирование опирается на известные моде ли механики жидкости и газа в теории крыла и физических предпосыл ках, отражающие реальный характер исследуемых процессов. Кроме того, спроектированные в диссертации крыловые профили были рассчитаны в вычислительном пакете Fluent, результаты сравнения даны в диссертации.

Практическая значимость. В диссертации разработаны быстродей ствующие методы решения ОКЗА, позволяющие находить формы профи лей крыльев с заданными свойствами; обеспечивать заданные характери стики профилей в диапазоне углов атаки; проектировать профили с устрой ствами отбора или выдува потока, двухэлементные профили или профили вблизи прямолинейного экрана. Полученные результаты решения оптими зационных задач позволяют теоретически оценить максимальную величи ну коэффициента подъемной силы контуров в рамках модели идеальной несжимаемой жидкости (ИНЖ) для различных схем течения и устройств управления потоком.

Эти результаты были получены при выполнении грантов Российского фонда фундаментальных исследований (1998–2007 гг.), гранта Президента РФ “Молодые кандидаты наук” (2005–2006 гг.), грантов НИОКР Республи ки Татарстан (2000–2006 гг.) и др.

Апробация работы. Результаты работы по мере их получения бы ли доложены на научных семинарах Отдела краевых задач НИИММ им. Н. Г. Чеботарева (1998–2008 гг.), на Итоговых научных конференциях Казанского государственного университета (1998–2008 гг.), Двустороннем немецко-российском симпозиуме “Airfoil design for wings with boundary-layer control” (Штутгарт, 1998 г.), Всероссийской молодежной школе-конферен ции по теории функций (Казань, 1998 г.), Международной научно-техни ческой конференции “Нелинейные науки на рубеже тысячелетий” (Санкт Петербург, 1999 г.), Всероссийской научной конференции “Краевые зада чи и их приложения” (Казань, 1999 г.), Двусторонних немецко-россий ских семинарах “Airfoil Design for Wings with Boundary-Layer Control” в рамках проектов РФФИ–ННИО (Штутгарт, Казань, 2000–2003 гг.), I и II международных научно-технических конференциях молодых ученых и специалистов “Современные проблемы аэрокосмической науки и тех ники” (Жуковский, 2000, 2002 гг.), Всероссийской научной конференции “Актуальные проблемы математики и механики” (Казань, 2000 г.), Меж дународной научной конференции, посвященной 90-летию Г. Г. Тумашева “Краевые задачи аэрогидромеханики и их приложения” (Казань, 2000 г.), V казанской международной летней школе-конференции “Теория функций, ее приложения и смежные вопросы” (Казань, 2001 г.), VIII и IX всероссий ских съездах механиков (Пермь, 2001 г.; Нижний Новгород, 2006 г.), VIII Четаевской международной научно-технической конференции “Аналитиче ская механика, устойчивость и управление движением” (Казань, 2002 г.), I и II международных летних научных школах “Гидродинамика больших скоростей” (Чебоксары, 2002, 2004 гг.), I и II научно-практических конфе ренциях молодых ученых и специалистов “Исследования и перспективные разработки в авиационной промышленности” (Москва, 2002, 2004 гг.), III, IV, VII международных школах-семинарах “Модели и методы аэродинами ки” (Евпатория, 2003, 2004, 2007 гг.), XVII сессии международной школы по моделям механики сплошной среды (Казань, 2004 г.), Международной конференции ICCES-05 (Индия, Мадрас, 2005 г.).

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в ра ботах [1–33]. При выполнении совместных работ автор диссертации прини мал непосредственное участие на всех этапах исследования. Автор выра жает искреннюю благодарность всем своим соавторам.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, ше сти глав, объединяющих 15 параграфов, заключения, списка цитирован ной литературы из 137 наименований. Общий объем работы – 226 страниц, включая 21 таблицу и 80 фигур.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении отмечены цели, характер и методика исследований. Их главным содержанием является развитие численно-аналитических методов решения ОКЗА для профилей при усложненных схемах течения: наличии отбора или выдува потока, обтекании многоэлементных профилей, профи лей вблизи экрана.

Суть ОКЗА заключается в определении формы крылового профиля по заданному на его контуре распределению давления, обеспечивающему требуемые аэрогидродинамические характеристики. В дальнейшем, вместо задания давления, будем говорить о задании скорости внешнего течения, связанной с давлением интегралом Бернулли.

Первые постановки и решения таких задач появились независимо друг от друга в 20-х – 30-х годах прошлого столетия в работах ученых разных стран (Ф. Вейниг, А. Бетц, В. Манглер, М. Дж. Лайтхилл, М. Б. Глауэрт, Р. Эпплер и др.). В нашей стране первые решения ОКЗА с доведением до практических результатов получены Л. А. Симоновым, Г. Ю. Степановым.

Существенное продвижение в исследовании ОКЗА достигнуто Г. Г. Тума шевым, рассмотревшим ОКЗА с использованием плоскости комплексного потенциала, что позволило получить решения многих задач аэрогидроди намики. Общую постановку обратной краевой задачи, сформулированную как задачу для аналитических функций, дал М. Т. Нужин. Им составлена классификация обратных задач, разработаны методы их решения, рассмот рены вопросы единственности и устойчивости.

С течением времени интерес к ОКЗА увеличивался. Применение со временной вычислительной техники позволило почти мгновенно получать результаты в виде профилей, обладающих заданными свойствами. Среди последних работ по теории ОКЗА отметим монографии А. М. Елизарова, Н. Б. Ильинского, А. В. Поташева, Г. Ю. Степанова и Р. Эпплера.

При решении ОКЗА используется модель ИНЖ. Эта модель совмест но с моделью ПС является довольно хорошим приближением для описания безотрывного течения вокруг профиля крыла особенно при больших чис лах Рейнольдса (Re 106). Обобщение на случай учета сжимаемости для дозвуковых течений может быть проведено с использованием формул Кар мана – Цзяна или модели газа Чаплыгина.

Использование теории ОКЗА при проектировании новых и модифи кации старых форм крыловых профилей обладает очевидными преимуще ствами по сравнению с методами, основанными на решении прямых задач.

Однако в связи с тем, что исходные данные в ОКЗА в значительной степе ни произвольны, обратные задачи являются некорректными, их решение существует лишь при выполнении определенных условий разрешимости. К ним относятся условия замкнутости искомого контура крылового профиля, условие совпадения заданной скорости набегающего потока с определяемой в процессе решения, а также условие однолистности искомого крылового профиля.

Далее приводятся основные результаты, выносимые на защиту:

1. Решение обратной краевой задачи аэродинамики в диапазоне режимов обтекания для крыловых профилей с отбором внешнего потока через щель, моделируемую кольцевым каналом. Способ задания исходных данных, обеспечивающих отсутствие на искомом контуре крылового профиля диффузорных участков для двух расчетных режимов обте кания.

2. Решение задачи нахождения формы крылового профиля с выдувом ре активной струи, т. е. с учетом разных плотностей и полных давлений струи и внешнего потока при задании исходных данных в диапазоне углов атаки. Анализ влияния энергии выдуваемой струи на характери стики крылового профиля.

3. Постановка и решение задачи построения двухэлементного крылово го профиля в диапазоне углов атаки. Способ задания исходных дан ных, обеспечивающий безотрывность обтекания в заданном диапазоне в рамках модели ПС.

4. Метод построения квазирешения ОКЗА с учетом условия продольной статической устойчивости. Методы решения задач построения и мини мальной модификации крыловых профилей как в безграничном пото ке, так и вблизи экрана с учетом условий устойчивости.

5. Способы выбора положения проницаемого участка на поверхности крылового профиля, обеспечивающие достижение максимального эф фекта от устройств распределенного отсоса ПС с учетом энергетиче ских затрат. Постановка и решение задачи оптимального управления по нахождению распределения давления и скорости отсоса на диффу зорном участке крылового профиля из условия минимальности суммы коэффициентов вязкого сопротивления и энергетических затрат.

6. Численно-аналитические решения модельных задач по максимизации подъемной силы контуров в потоке ИНЖ при усложненных схемах течения: при наличии отбора и выдува, при наличии экрана, в случае двухэлементного контура. Верхние оценки коэффициентов подъемной силы для рассмотренных схем течения.

Первая глава является вводной и содержит результаты, полученные в кандидатской диссертации1. В ней рассмотрены задачи построения про филей с устройствами отбора и выдува при определенном угле атаки.

В § 1 дан строгий вывод формул расчета аэродинамических сил, дей ствующих на крыловой профиль с проницаемым участком при отборе че рез него части внешнего потока ИНЖ и на крыловой профиль с выдувом струи, полное давление и плотность которой отличны от этих же харак теристик внешнего потока. Приведены формулы расчета энергетических затрат для профиля с одновременным отбором части внешнего потока и выдувом реактивной струи.

В § 2 предложен метод численно-аналитического построения крыло вого профиля со щелевым отбором воздуха из внешнего потока в моде ли ИНЖ. Щель отбора представляет канал с постоянными скоростями на стенках. Построены контуры крыловых профилей, на которых отсутствуют диффузорные участки.

В § 3 поставлена и решена задача нахождения формы крылового про филя с выдувом реактивной струи через щель конечных размеров. Как и в § 2, щель моделируется круговым каналом с постоянными скоростями на стенках. Плотности и полные давления выдуваемой струи и внешнего по тока различны, вследствие чего на линиях схода потока возникает разрыв касательных составляющих скорости. Эта задача относится к классу задач взаимодействия потоков с разными параметрами. При ее решении исполь зован метод Д. В. Маклакова2, заключающийся в том, что область течения отображается на одну каноническую область, в которой рассматривается кусочно-аналитическая функция, терпящая разрыв на линии раздела сред.

Эта линия и величина скачка на ней находятся в результате итераций. Этот же метод использовался при решении задач §§5, 9, 13. Приведены приме ры построения крыловых профилей для разных параметров выдуваемой струи в предположении их безотрывного обтекания.

Во второй главе дана постановка и решение ОКЗ построения крыло вых профилей с отбором и выдувом потока в диапазоне режимов обтека ния. Режим обтекания таких профилей определяется не только величиной Абзалилов Д.Ф. Аэродинамическое проектирование и оптимизация проницаемых крыловых про филей численно-аналитическими методами: Дис... канд. физ.-мат. наук: 01.02.05. – Казань, 1998.

Маклаков Д.В. Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными гра ницами. – М.: Янус-К, 1997.

Рис. 1. Течение в физической (а) и канонической (б) плоскостях.

угла атаки, как в случае непроницаемого профиля, но и величиной рас хода q через щель, характеристиками выдуваемой струи.

В § 4 поставлена и решена задача построения крылового профиля со щелевым отбором воздуха из внешнего потока (рис. 1, a) по заданным на контуре профиля распределениям скорости, не содержащим диффузорные участки в диапазоне = 2 1 изменения режимов обтекания. Отсут ствие участков падения скорости гарантирует безотрывность обтекания ис комого профиля. Формула пересчета распределения v() скорости с одного режима обтекания на другой имеет вид где – полярная координата в канонической области || > 1 плоскости (рис. 1, б), a, p – координаты точек A, P разветвления потока.

Разобьем точками k, k = 1, n, отрезок [0, 2] на участки, на каждом из которых скорость будем считать постоянной либо для первого, либо для второго режимов обтекания:

-1. -2. -3. Рис. 2. Пример построения профиля для первого случая при = 15.

Границы участков, как и число n, находились из условия неубывания ско рости при другом расчетном режиме. Возможны два различных случая взаимного расположения критических точек для каждого из двух режимов обтекания. Пусть для первого режима угловая координата a критической точки A меньше, чем для второго, т. е. a1 a2. Первым случаем будем считать вариант, когда p1 p2, а вторым – когда p1 > p2.

Установлено, что существует некоторое критическое значение, та кое что при > имеется решение для первого случая, а при < – для второго. При = получается предельная ситуация, когда точки p1 и p2 сливаются в одну, причем контур профиля в этой точке имеет точку возврата – аналог бесконечно-тонкой кромки. Для первого случая распределение скорости и соответствующий ему контур крылового профи ля изображены на рис. 2.

Построенные вышеизложенным методом крыловые профили были рас считаны в вычислительном пакете Fluent. Для расчета был взят профиль, изображенный на рис. 3, диапазон = 10, расчетные углы атаки 1 = = 1.8, 2 = 11.8.

Расчет в пакете Fluent проводился для трех различных моделей тече ния: ламинарного, турбулентного по модели Спаларта – Аллмараса (SA), турбулентного по модели SST k (SST). Жидкость считалась несжима емой, скорость набегающего потока выбрана равной v = 100м/с, хорда профиля b = 1м (что соответствует числу Рейнольдса Re = 5 · 106).

Расчетная сетка, содержащая около 50 тыс. ячеек, показана на рис. 3.

Она строилась следующим образом: вокруг крылового профиля была опи Рис. 3. Расчетная сетка: общий вид и вид вблизи контура профиля.

сана окружность, вне этой окружности выбрана регулярная четырехуголь ная сетка. Внутри окружности (за исключением входного канала для от бора потока, сетка которого была также четырехугольной) использовалась треугольная сетка. Получение нужного угла атаки достигалось поворотом окружности.

Граничные условия были следующие:

на входе в расчетную область задавалась скорость потока, на выходе – условие выхода, на боковых гранях – условие симметрии или гладкой стенки (вектор скорости параллелен боковой границе расчетной области), на крыловом профиле – условие прилипания, на границе щели задавалась скорость отбора потока.

В табл. 1 приведены коэффициенты cx сопротивления и cy подъемной силы для двух расчетных режимов. Результаты расчетов показали хоро шее совпадение с результатами численно-аналитического решения, отрыва потока для обоих углов атаки и для всех моделей течений не наблюдалось.

Небольшое расхождение наблюдается лишь в районе щели вследствие на личия вязких эффектов.

Табл. 1. Сравнение характеристик крыловых профилей с отбором.

В § 5 решена ОКЗА для крылового профиля с выдувом реактивной струи в диапазоне режимов обтекания. Приведем постановку задачи. В физической плоскости z = x + iy искомый крыловой профиль Lz с хордой b плавно обтекается плоским установившимся потоком ИНЖ под углами атаки 1 и 2 (2 > 1 ), задан диапазон = 2 1. Полное давле ние внешнего потока определяется по формуле p0 = p + v /2, где – плотность потока, v, p – скорость и давление на бесконечности.

На поверхности профиля имеется щель, которая моделируется завитком, асимптотически переходящим в бесконечнолистный круговой канал с по стоянными скоростями. Из этой щели выдувается струя ИНЖ с другой плотностью и полным давлением (при угле атаки k они равны jk и pj0k, k = 1, 2). Заметим, что в случае равных скоростей стенки канала асимпто тически стремятся к прямым. Заданы радиусы r1 и r2 закругления канала отбора. Контур профиля предполагается гладким, кроме точек B и P схода потока, внутренние к области течения углы в которых приняты равными 2. В дальнейшем рассмотрим случай jk =, струю будем характеризо вать скоростью на бесконечности vjk = v + 2(pj0k p0 )/.

На верхней поверхности ( < c ) задано распределение v2() скорости для угла 2, а на нижней ( > c ) задано v1() для 1. Связь между распределениями v1() и v2() скоростей в этой задаче имеет вид В формулу (1) входят неизвестные функции Tk (), k = 1, 2, где индекс k обозначает режим обтекания. Функция Tk () представляет собой действи тельную часть вспомогательной кусочно-аналитической функции, терпя щей скачок на линиях раздела сред. Для ее нахождения надо знать соответ ствующее этому режиму распределение скорости vk () на всей окружности, поэтому непосредственно воспользоваться формулой (1) можно лишь для простейшего случая нереактивной струи (в этом случае T1() = T2() 0).

Разработан итерационный процесс нахождения функций Tk () для реак тивной струи.

Табл. 2. Характеристики крыловых профилей с выдувом струи.

Табл. 3. Сравнение характеристик крыловых профилей с выдувом.

1 Числ.-аналит. решение 0.106 1.75 0.352 3. 2 Турбулентное (SST) 0.176 1.88 0.344 3. В табл. 2 представлены характеристики построенных крыловых про филей с выдувом в диапазоне режимов обтекания (каждый из которых характеризуется углом атаки, расходом через щель и параметрами струи).

Исходные данные для этих профилей были следующие: r1 = 12%, r2 = 9%, = 10, vj1 = v. Отличие примеров лишь в энергии выдуваемой струи при большем угле атаки: vj2/v = 1, 1.5, 2. Отметим рост cy при увели чении полного давления выдуваемой струи. Также при увеличении vj падают градиенты скорости на диффузорном участке (эффект Коанда).

На рис. 4 представлены распределение скорости и форма крылового профиля в случае vj2 /v = 2. Этот профиль был также рассчитан в вычислительном пакете Fluent, расчет проводился для двух моделей тур булентного течения: Спаларта – Аллмараса (SA) и модели SST. Модель жидкости, вид сетки, начальные и граничные условия выбраны такими же, как в § 4. На границе щели скорость выдува задавалась из условия Рис. 4. Крыловой профиль с выдувом струи при vj2/v = 2.

получения заданной vj: для первого режима vj = v, для второго – vj = 2v). В табл. 3 приведено сравнение коэффициентов cx и cy для расчетных режимов.

Заметим, что результаты численно-аналитического метода и пакета Fluent для профиля с выдувом получились не такими близкими, как это было для контура с отбором. По-видимому, это связано с тем, что высо коэнергетическая струя в турбулентном потоке размывается. Кроме того, на контуре имеется диффузорный участок с положительным градиентом давления, что также вносит некоторые погрешности в расчет. Но в то же время течение остается безотрывным для обоих расчетных режимов.

В третьей главе дана постановка и решение ОКЗА для двухэлемент ных крыловых профилей.

В § 6 приведено численно-аналитическое решение ОКЗА для двух элементного крылового профиля. В физической плоскости z (рис. 5, а) искомые непроницаемые крыловые профили Ak Bk (k = 1, 2) обтекаются установившимся безвихревым потоком ИНЖ; контуры Lzk профилей счи таются гладкими за исключением задних кромок Bk, где внутренний к Рис. 5. Область течения в физической и канонической плоскости.

области течения угол равен 2.

Начало системы координат выбрано в задней кромке B1 профиля Lz1, а ось абсцисс параллельна направлению заданного вектора скорости v набегающего потока. Периметры профилей известны и равны k. Дуговые абсциссы sk контуров профилей отсчитываются от 0 до k по часовой стрел ке, причем значения 0 и k соответствуют точке Bk. Распределение скорости по профилям Lzk в параметрическом виде есть где djk – свободные параметры. В дальнейшем djk в записи функции vk будем опускать. Функции vk (sk ) – кусочно-гладкие, обращающиеся в нуль в точках Ak разветвления потока sak и непрерывно дифференцируемы в них.

Для получения высоких cy при сохранении безотрывности обтекания эти распределения следует брать из класса гидродинамически целесообразных распределений.

Введем в рассмотрение комплексный потенциал w(z) = (x, y) + +i(x, y). Он определяется с точностью до комплексной постоянной. Будем считать, что в точке разветвления потока на первом контуре w(za1 ) = 0.

Для фиксирования взаимного расположения контуров друг относительно друга зададим комплексный потенциал в точке A2 w(za2) = a2 + ia2.

Требуется найти форму профилей и их аэродинамические характери стики.

Значения k = (sk ) вдоль профилей определятся формулами Циркуляции скорости по каждому контуру Lzk равны k = k (k ) k (0).

Пусть также bk = k (0).

Двухсвязную область Gz в плоскости z конформно отобразим на пря моугольник Gt со сторонами 1 = и 2 = i/2 в плоскости t = +i. При этом контуру Lz1 в плоскости t соответствует сторона N1 M1 прямоуголь ника Gt, а контуру Lz2 – сторона N2M2 (рис. 5, б), бесконечно удаленная точка в плоскости z переходит в точку E (t = i) на мнимой оси, а на боковых гранях прямоугольника выполняется условие периодичности.

Согласно решению прямой задачи о биплане3 можно записать w(t) = (, ) + i(, ) = u [ei (t i) + ei (t + i)]+ u(t) где u,,, C = C1 + iC2 – неизвестные постоянные; (t), (t), (t) – функции Вейерштрасса с полупериодами /2 и i/2; 1 = (t + ) (t) – постоянная, зависящая от. Пусть Для определения u,, и служит система из четырех уравнений Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. – М.: Наука, 1966.

Для ее решения использован метод Ньютона решения системы нелинейных уравнений. Постоянная C находится из условия w(a1) = 0.

Определив параметры, найдем функции k () на отрезках Nk Mk. Со поставив значения потенциалов скорости в первоначальном и преобразо ванном потоках, взятых в соответствующих друг другу точках, установим связь sk = sk () между точками контуров Lzk и отрезков Nk Mk прямо угольника Gt. Функция Жуковского – Мичела где – аргумент вектора скорости, имеет логарифмические особенности в точках Ak обращения скорости v в нуль. Поэтому введем в рассмотрение модифицированную функцию (t) в виде Заметим, что функция 0 (t) – периодическая в плоскости t и имеет такой же характер поведения в точках Ak, что и функция (t). Следовательно, (t) = S(, ) + i(, ) будет периодической и не имеет особенностей во всем прямоугольнике Gt. Действительная часть этой функции на верхней и нижней сторонах прямоугольника Gt известна где S1 () = S(, /2), S2 () = S(, 0).

Функцию восстановим по формуле Вилля где P2 – произвольная вещественная постоянная, а для P1 имеем условие которое является условием однозначности функции (t). По известной (t) определим ее мнимую часть на верхней и нижней сторонах прямоугольника Gt : 1() = Im ( + i/2), 2() = Im ().

Производную dz/dt определим по формуле Проинтегрировав это соотношение по верхней и нижней сторонам прямо угольника Gt, найдем параметрические уравнения контуров профилей.

В ОКЗА для двухэлементного крылового профиля, как и для изолиро ванного, имеются условия разрешимости. К ним относятся четыре условия замкнутости, условие совпадения заданной скорости набегающего потока с определяемой в процессе решения. Последним, шестым условием разреши мости, является упомянутое выше условие (3). Для удовлетворения этих условий воспользуемся введенными в распределения скорости (2) свобод ными параметрами.

В § 7 метод предыдущего параграфа обобщен на случай задания ис ходных данных в диапазоне углов атаки. Каждый контур разделен на две части (верхнюю и нижнюю поверхности) точкой Ck (s = sck ). На нижних поверхностях задано распределение скорости по профилям Lzk при угле атаки, а на верхних – при угле > :

Показано4, что отрыва потока не будет во всем диапазоне при задании безотрывного распределения скорости на верхних поверхностях контуров профилей при угле атаки и на нижних поверхностях – при угле.

Отметим, что для решения этой задачи необходимо выполнение 16-ти ограничений, для удовлетворения которых используются свободные пара метры в исходных распределениях скорости.

На рис. 6 приведены исходные распределения скорости и соответству ющий им двухэлементный крыловой профиль. При первом расчетном угле атаки 1 = 5.3 он имеет коэффициент cy1 = 0.32, при угле 2 = 20.3 – cy2 = 1.69.

Для изолированного крылового профиля этот факт был высказан Г. Ю. Степановым и строго обоснован А. М. Елизаровым.

Рис. 6. Пример построения двухэлементного профиля в диапазоне.

В четвертой главе предложен численно-аналитический метод постро ения устойчивых крыловых профилей.

В § 8 в рамках модели ИНЖ рассмотрена задача построения крылово го профиля, обладающего продольной устойчивостью. Искомый крыловой профиль Lz с бесконечно тонкой кромкой в точке B схода потока обтека ется плоским установившимся потоком ИНЖ с заданной на бесконечности скоростью v. Заданы периметр контура профиля и распределение ско рости v как функция дуговой абсциссы s.

Известно, что критерий устойчивости имеет вид x xm > 0, где x – положение аэродинамического фокуса по углу атаки, xm – положение цен тра масс. Поэтому для учета условия устойчивости требуется определить форму Lz крылового профиля, фокус x которого находился бы в заданной точке x > xm, а распределение скорости на его поверхности минимально отличалось от заданного.

Введем в рассмотрение каноническую область G : внешность единич ного круга || > 1 в плоскости. Для взаимно-однозначного конформного отображения областей Gz и G предполагается соответствие бесконечно удаленных точек, а также условие, что задняя кромка B (z = 0) переходит в точку = 1.

Введем в рассмотрение аналитическую в G функцию представляющую собой функцию Жуковского – Мичела = S i с ис ключенной особенностью в точке A. Действительная часть этой функции S() = Re (ei ) на границе круга = ei определится по формуле Для получения условий разрешимости разложим 2-периодическую функцию S() в ряд Фурье где Условие совпадения заданной скорости v с определяемой в процессе решения и условия замкнутости имеют вид5 a0 = 0, a1 = 1, b1 = 0.

Аэродинамический фокус также выражается через функцию S().

где H(A, ) – класс гельдеровских функций с фиксированными постоян ными A (0, ), (0, 1]. Требуется найти такую функцию S () K, что ||S () S()||L2[0,2] = inf ||F () S()||L2[0,2].

Елизаров А.М., Ильинский Н.Б., Поташев А.В. Обратные краевые задачи аэрогидродинамики. – М.: Наука, 1994.

Задача была решена численно. На рис. 7 показан пример, демонстрирую щий характер изменения распределения скорости и формы профиля при смещении x вправо. Разница между исходным и полученным распределе ниями скоростей при этом увеличивается, а профили приобретают S-образ ную форму, характерную для устойчивых профилей. Кривая 0 соответ ствует случаю без учета ограничения на положение фокуса, кривые 1–3 – случаям, когда фокус сдвинут вправо на 1 3% хорды.

В § 9 рассмотрена ОКЗА для крылового профиля над экраном в диа пазоне режимов обтекания. Задаются отстояния h1 и h2 задней кромки от экрана для двух заданных режимов и угол = 1 2, где 1, – углы атаки расчетных режимов. Вдоль контура профиля на верхней и нижней поверхности задаются распределения скорости v1() и v2() со ответственно для заданных режимов. Для решения задачи использован метод6 построения профиля для одного режима обтекания и на его основе разработан способ обобщения этого метода для диапазона режимов обте кания. На рис. 8 штриховой линией изображены распределение скорости и Ильинский Н.Б., Лотфуллин М.В., Маклаков Д.В., Поташев А.В. Определение формы крылового профиля, обтекаемого вблизи границы раздела двух сред, по заданной эпюре скорости // Изв. РАН.

Механика жидкости и газа. – 1992. – № 6.

Рис. 8. Пример построения профиля крыла экраноплана.

контур крылового профиля, построенные для случая h1 = 25 (численный аналог бесконечности), h2 = 0.1, = 7. Заданные распределения скорости выбраны из условия гидродинамической целесообразности в виде полочных распределений, причем на диффузорных участках закон падения скорости гарантировал в рамках принятой модели безотрывность обтекания (расчет ПС проводился при числе Re = 106).

При построении крыловых профилей летательных аппаратов, и осо бенно экранопланов, большую роль играет расчет их устойчивости. Для статической устойчивости вблизи экрана необходимо выполнение следую щих четырех неравенств7:

где xh – положение фокуса по высоте.

Для выполнения условий устойчивости использован метод § 8, основан ный на минимальной модификации распределения скорости при условии Жуков В.И. Особенности аэродинамики, устойчивости и управляемости экраноплана. – М.: ЦАГИ, 1997.

перемещения фокуса x в заданную точку. C целью сохранения безотрыв ного режима обтекания модификация скорости для получения нужного x проведена лишь по нижней поверхности. После чего была проведена последующая модификация распределения скорости с целью выполнения условий разрешимости, результирующее распределение скорости и соответ ствующий ему крыловой профиль показаны на рис. 8 сплошной линией.

В пятой главе рассмотрены задачи проектирования крыловых про филей с устройствами отсоса ПС. Для расчета ПС с отсосом использован интегральный метод Эпплера8.

В § 10 исследована задача усовершенствования аэродинамических ха рактеристик крылового профиля путем введения на нем проницаемого участка, через который осуществляется распределенный отсос ПС. Пред полагается, что имеется одна камера отсоса с давлением pc в ней, отсос ПС происходит по закону Дарси v0 (s) = K(s)[p(s) pc ], где v0(s) – скорость отсоса ПС, K(s) – распределение пористости проницаемого участка, p(s) – давление на внешней поверхности крылового профиля. Задача сформули рована следующим образом. Требуется найти: положение граничных точек sm и sn проницаемого участка, распределение K(s) пористости и давления pc1, pc2 в камере отсоса (для углов атаки 1 и 2 соответственно), чтобы сумма коэффициентов сопротивления принимала минимальное значение при условии отсутствия отрыва ПС. Ко эффициент cxi сопротивления при угле атаки i вычислялся по формуле Здесь cvi – коэффициент сопротивления за счет трения, а csi – коэффици ент сопротивления, эквивалентный энергетическим затратам и потерям в устройстве отсоса. Далее индекс i опускаем, имея в виду, что все величины в формуле относятся к одному режиму. Для вычисления cs использова на формула, учитывающая по максимуму потери в ПС при прохождении Eppler R. Airfoil design and data. – Berlin: Springer-Verlag, 1990.

проницаемой поверхности и каналов где vc = v 2(pc p )/. При вычислении cv применена формула Сквайра – Юнга где s = соответствует задней кромке, толщина 2 (s) потери импульса и формпараметр H12(s) – интегральные характеристики ПС в задней кромке.

Для оптимизации функции (4) использован генетический метод чис ленной многомерной оптимизации. В табл. 4 приведен пример оптимизации профиля NACA–0012 в диапазоне углов атаки от 9 до 9 для турбулент ного ПС при Re = 106.

Табл. 4. Параметры проницаемого участка для профиля NACA–0012.

0.655 1.041 2. В § 11 рассмотрена задача построения крылового профиля по распре делению скорости на его поверхности, заданному в многопараметрическом виде. На диффузорном участке закон падения скорости определяется из условия минимальности сопротивления при безотрывном обтекании.

В физической плоскости искомый крыловой профиль AB с бесконеч но тонкой задней кромкой B обтекается плоским установившимся потоком вязкой несжимаемой жидкости. Задана скорость v на бесконечности, ду говая абсцисса s отсчитывается по часовой стрелке от s = 0 в точке B до s = в ней же, где – периметр контура профиля. На участке s L1 = [sl, su ] задано распределение скорости v(s), зависящее от n свободных параметров, также задана скорость vb в точке B. Заданы мак симальная скорость v0 max отсоса (случаю профиля без отсоса соответству ет v0 max = 0), число Рейнольдса Re = v (/2)/. Требуется определить распределение скорости v(s) на участке L2 = (0, sl ) (su, ), положения (smk, snk ) L2 проницаемых участков, функцию скорости отсоса v0(s) на них и форму крылового профиля, имеющего минимальный коэффициент сопротивления при условии безотрывного обтекания.

Метод Эпплера расчета ПС заключается в совместном интегрировании уравнений импульса и энергии:

Здесь 1, 2, 3 – соответственно толщины вытеснения, потери импульса и потери энергии, cf, cd – коэффициенты трения и диссипации энергии.

Введем в рассмотрение функцию Заметим, что при g() = 0 значение cx () с точностью до множителя 1/b совпадает с коэффициентом сопротивления верхней поверхности (5). Про дифференцировав (7), получим cx (s) = 22(s) + 2 (s) ln Введем вспомогательные функции Добавим уравнения (8) и (9) к системе (6). Полученную систему схе матично запишем как где четырехкомпонентный вектор-функция x и начальные условия для него в точке su имеют вид x(s) = cx (s), (s), 2 (s), 3 (s), x(su) = cx0, ln, 20, 30.

Ограничение на безотрывность обтекания и условие () = ln v b учтем в виде штрафной функции g(s) Рис. 9. Распределения скорости и контуры профилей при решении задачи минимизации cx.

где As, Ah, Au 1.

В терминах задач оптимального управления функции (s) и µ(s) яв ляются управляющими. Для решения поставленной задачи использован принцип максимума Понтрягина.

Начальное распределение скорости и соответствующий ему контур про филя изображены на рис. 9, а. Для достижения большого коэффициента подъемной силы максимальная скорость на верхней поверхности на полке в задаваемом распределении v(s) выбрана равной 2.2. На диффузорном участке возникал отрыв потока (Re = 106, полностью турбулентный ПС), для его предотвращения введен проницаемый участок на верхней поверх ности. Значение максимальной скорости отсоса выбрано v0 max = 5 · 103.

В ходе оптимизации искались распределения скорости внешнего течения и отсоса на диффузорных участках: v(s) и v0 (s) – на верхней поверхности из условия минимальности cx при угле атаки 2 ; v(s) – на нижней поверхно сти из условия минимальности cx при 1. Полученное распределение v(s) и контур профиля изображены на рис. 9, б.

В шестой главе рассмотрены модельные задачи нахождения форм контуров с максимальной величиной коэффициента подъемной силы. За дача определения формы гладкого замкнутого контура, на котором дости гается наибольшее значение циркуляции скорости при обтекании потоком ИНЖ, исследовалась в ряде работ. Из формул М.А. Лаврентьева для ва риаций конформных отображений следует, что таким контуром является окружность при режиме обтекания с совпадающими точками торможения и схода потока. Коэффициент подъемной силы, отнесенный к периметру контура и скорости набегающего потока, в этом случае равен четырем. Ре зультаты, полученные в этой главе, позволяют теоретически оценить мак симальную величину коэффициента подъемной силы контуров в рамках модели ИНЖ для разных схем течения и устройств управления потоком.

В § 12 исследована задача нахождении гладкого замкнутого контура за данной длины, обладающего максимальной подъемной силой при плавном обтекании потоком ИНЖ при наличии на контуре точечных особенностей – источников и стоков и при условии расположения критических точек (точек, в которых скорость обращается в нуль) на этом контуре.

В плоскости z искомый замкнутый гладкий контур Lz фиксированного периметра обтекается потоком ИНЖ с заданной скоростью v набегаю щего потока. На контуре в точках Mj располагаются m источников и в точках Nk – n стоков. Величины безразмерных расходов через них обозна чим через qmj = Qmj /(v), (j = 1, m) и qnk = Qnk /(v), (k = 1, n) соответственно. Суммарные безразмерные расходы через все источники qm = m qmj и стоки qn = n qnk заданы. Считается, что выдуваемая через источники жидкость и внешний поток имеют одинаковые плотность и полное давление и предполагается, что все критические точки распола гаются только на контуре: Ak, (k = 0, n) – точки разветвления потока, Bj, (j = 0, m) – точки схода потока. Требуется определить форму контура, найти расположение на нем источников и стоков и величины расходов че рез них такие, чтобы коэффициент подъемной силы cy = 2/(v) был максимальным.

Дана математическая формулировка соответствующей оптимизацион ной задачи. Аналитическое решение сведено к двум более простым зада чам, исследование которых в общем случае проведено численно. Показано, что наибольшая циркуляция достигается на круге при слиянии всех стоков в один сток, а всех источников в один источник, причем их расположение должно быть таково, чтобы все критические точки слились в одну.

Рис. 10. Зависимость cy от расхода. Рис. 11. Зависимость cy от vj.

На рис. 10 сплошной линией показана зависимость коэффициента подъемной силы от расхода при расположении на контуре либо одного источника, либо одного стока, штриховой линией – при расположении ис точника и стока одинаковой интенсивности.

В § 13 рассмотрена задача максимизации коэффициента подъемной си лы контура с выдувом реактивной струи через точечный источник. Заданы периметр контура, интенсивность q источника, параметры выдуваемой струи (скорость струи на бесконечности равна vj ). Задача сведена к изо периметрической вариационной задаче, решение которой получено числен но. Показано, что в случае vj > v максимум cy достигается на контурах, отличных от окружности.

Зависимость cy от скорости vj выдуваемой струи на бесконечности приведена на рис. 11. Сплошной линией показана зависимость для оп тимального контура, форма которого менялась в зависимости от vj, а штриховой – зависимость, полученная для окружности. Величина расхода была выбрана q = 0.3. Из графика видно, что наибольший рост cy наблюда ется при vj, чуть больших 1. Это можно объяснить перестройкой картины течения, которое наиболее заметно в окрестностях точек B и P. В дальней шем при увеличении скорости vj коэффициент cy растет, но темп роста падает. Также заметим, что график cy для оптимального контура лежит лишь незначительно выше графика cy для окружности, откуда можно сде лать вывод, что форма контура при больших скоростях vj выдуваемой струи мало влияет на результирующий cy и зависит в основном от расхода Рис. 12. Оптимальные контуры (а) и зависимость cy от h (б).

q и числа vj.

В § 14 рассмотрена модельная задача максимизации коэффициента подъемной силы при обтекании системы двух гладких контуров.

Система из двух гладких контуров Lzk, k = 1, 2, с заданными длинами k (1 + 2 = ) обтекается потоком ИНЖ с заданной скоростью набегаю щего потока v. Также задано безразмерное расстояние h = H/ между контурами. Предполагается, что критические точки, т. е. точки, в кото рых скорость обращается в нуль, располагаются только на контурах: Ak – точки разветвления, Bk – точки схода потока. Точка B1 принята за начало координат, ось абсцисс выбрана параллельно скорости набегающего потока на бесконечности. Циркуляции скорости вокруг контуров обозначим через k. Требуется найти максимально возможный коэффициент cy = 2(1 + + 2 )/(v) подъемной силы обтекания такой системы и определить, при какой схеме обтекания он достигается, т. е. определить формы контуров, их взаимное расположение и положение точек Ak, Bk на них.

Задача сведена к изопериметрической вариационной задаче. Показано, что оптимум всегда достигается в случае, когда точки Ak разветвления потока совпадают с точками Bk схода потока.

На рис. 12, а приведены оптимальные контуры для случая 1 = 2, Табл. 5. Зависимость cy контура вблизи экрана от отстояния h.

h = 0.05. Значения максимального коэффициента подъемной силы cy = = 3.6195. Зависимость cy max от h для контуров с одинаковыми длинами 1 = 2 изображена на рис. 12, б сплошной линией, а штриховой линией показана зависимость cy для системы из двух одинаковых окружностей (оптимальное решение при h = ).

В § 15 исследована задача нахождения максимально возможного ко эффициента cy гладкого контура при его обтекании вблизи экрана при заданном периметре контура и его отстояния от экрана. Показано, что максимальный коэффициент подъемной силы будет достигаться при режи ме обтекания с совпадающими точками разветвления и схода потока.

Значения максимального коэффициента подъемной силы приведены в табл. 5, соответствующие им оптимальные контуры – на рис. 13. Контуры 1 и 8 являются предельными, в первом предельном случае (h = ) кон тур представляет собой окружность; второй предельный случай (h = 0) соответствует скользящему вдоль экрана контуру.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Абзалилов, Д. Ф. Минимизация сопротивления путем распределенного отсоса пограничного слоя / Д. Ф. Абзалилов // Тр. Матем. центра им.

Н.И.Лобачевского. Актуальные проблемы математики и механики: Ма тер. межд. науч. конф. Т. 5. Казань: УНИПРЕСС, 2000. С. 4–6.

2. Абзалилов, Д. Ф. Оптимизация распределенного отсоса турбулентного пограничного слоя / Д. Ф. Абзалилов // Матер. 1-й науч.-практ. конф.

молодых ученых и специалистов “Исследования и перспективные раз работки в авиационной промышленности”. М.: ОАО “ОКБ Сухого”, 2002. С. 6–13.

3. Абзалилов, Д. Ф. Проектирование крылового профиля экраноплана с заданными характеристиками в диапазоне режимов обтекания / Д. Ф. Абзалилов // Тез. докл. II межд. науч.-техн. конф. молодых уче ных и специалистов “Современные проблемы аэрокосмической науки и техники”. ЦАГИ: Изд-во “Авиационный печатный двор”, 2002.

4. Абзалилов, Д. Ф. О максимизации подъемной силы при обтекании си стемы двух гладких контуров / Д. Ф. Абзалилов // Журнал вычис лительной математики и математической физики. 2004. Т. 44, № 3. С. 528–535.

5. Абзалилов, Д. Ф. Минимизация коэффициента сопротивления крыло вого профиля методами оптимального управления / Д. Ф. Абзалилов // Матер. 2-й науч.-практ. конф. молодых ученых и специалистов “Ис следования и перспективные разработки в авиационной промышленно сти”. М.: Изд-во МАИ, 2004. С. 7–11.

6. Абзалилов, Д. Ф. Проектирование оптимальных по аэродинамическим характеристикам крыловых профилей методами задач оптимального управления / Д. Ф. Абзалилов // Матер. 4-й межд. шк.-семин. “Модели и методы аэродинамики”. М.: МЦНМО, 2004. С. 5–6.

7. Абзалилов, Д. Ф. Минимизация коэффициента сопротивления крыло вого профиля методом оптимального управления / Д. Ф. Абзалилов // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2005. № 6. С. 173–179.

8. Абзалилов, Д. Ф. Модельные задачи максимизации коэффициента подъемной силы для контуров с устройствами управления потоком / Д. Ф. Абзалилов // XI всерос. съезд по теор. и прикл. механике. Анно тации докл. Т. 2. Нижний Новгород: Изд-во Нижегород. гос. ун-та, 9. Абзалилов, Д. Ф. Проектирование крылового профиля экраноплана в диапазоне режимов обтекания / Д. Ф. Абзалилов // Изв. вузов. Авиа ционная техника. 2006. № 4. С. 22–25.

10. Абзалилов, Д. Ф. Максимизация коэффициента подъемной силы конту ра над экраном / Д. Ф. Абзалилов // Журнал вычислительной мате матики и математической физики. 2007. Т. 47, № 2. С. 302–309.

11. Абзалилов, Д. Ф. Максимизация коэффициента подъемной силы кон тура с выдувом реактивной струи / Д. Ф. Абзалилов // Доклады Ака демии наук России. 2007. Т. 412, № 3. С. 339–342.

12. Абзалилов, Д. Ф. Проектирование крыловых профилей с устройствами управления потоком в диапазоне режимов обтекания / Д. Ф. Абзали лов // Матер. 7-й межд. шк.-семин. “Модели и методы аэродинамики”.

М.: МЦНМО, 2007. С. 119–120.

13. Абзалилов, Д. Ф. Проектирование двухэлементного крылового профи ля в диапазоне углов атаки / Д. Ф. Абзалилов // Прикладная механика и техническая физика. 2008. № 5.

14. Абзалилов, Д. Ф. Решение обратной краевой задачи для двухэлементно го крылового профиля / Д. Ф. Абзалилов, П. А. Волков // Тез. докл. II межд. науч.-техн. конф. молодых ученых и специалистов “Современные проблемы аэрокосмической науки и техники”. ЦАГИ: Изд-во “Авиа ционный печатный двор”, 2002. С. 8–9.

15. Абзалилов, Д. Ф. Решение обратной краевой задачи аэрогидродина мики для двухэлементного крылового профиля / Д. Ф. Абзалилов, П. А. Волков, Н. Б. Ильинский // Сб. тр. XI всерос. науч.-техн. се мин. по управлению движением и навигации летательных аппаратов.

Самара: Изд-во СГАУ, 2003. С. 234–237.

16. Абзалилов, Д. Ф. Решение обратной краевой задачи аэрогидродина мики для двухэлементного крылового профиля / Д. Ф. Абзалилов, П. А. Волков, Н. Б. Ильинский // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2004. № 3. С. 16–24.

17. Абзалилов, Д. Ф. Построение и оптимизация высоконесущих крыловых профилей с отбором внешнего потока / Д. Ф. Абзалилов, Н. Б. Ильин ский // Ученые записки ЦАГИ. 1998. Т. 29, № 3–4. С. 52–60.

18. Абзалилов, Д. Ф. Построение крыловых профилей с выдувом реактив ной струи / Д. Ф. Абзалилов, Н. Б. Ильинский // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 1999. № 1. С. 134–143.

19. Абзалилов, Д. Ф. Расчет и оптимизация аэродинамических сил, дей ствующих на проницаемый крыловой профиль / Д. Ф. Абзалилов, Н. Б. Ильинский // Матер. 3-й межд. шк.-семин. “Модели и методы аэродинамики”. М.: МЦНМО, 2003. С. 5–6.

20. Абзалилов, Д. Ф. Построение устойчивого крылового профиля / Д. Ф. Абзалилов, Н. Б. Ильинский // Доклады Академии наук Рос сии. 2004. Т. 397, № 4. С. 481–485.

21. Абзалилов, Д. Ф. Расчет и оптимизация аэродинамических сил, дей ствующих на проницаемый крыловой профиль / Д. Ф. Абзалилов, Н. Б. Ильинский // Тр. Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. Мо дели механики сплошной среды: Материалы XVII сессии Межд. школы по моделям механики сплошной среды. Т. 27. Казань: Изд-во Ка зан. матем. об-ва, 2004. С. 7–14.

22. Абзалилов, Д. Ф. Об аэродинамических силах, действующих на крыло вой профиль с проницаемым участком / Д. Ф. Абзалилов, Н. Б. Ильин ский // Инженерно-физический журнал. 2006. Т. 79, № 2.

С. 126–130.

23. Абзалилов, Д. Ф. Усовершенствование аэродинамических характери стик крылового профиля путем введения распределенного отсоса по граничного слоя / Д. Ф. Абзалилов, Н. Б. Ильинский, Р. Марданов // Изв. вузов. Авиационная техника. 2004. № 2. С. 34–38.

24. Абзалилов, Д. Ф. Оптимизация распределения скорости отсасывания пограничного слоя на проницаемых крыловых профилях / Д. Ф. Аб залилов, Н. Б. Ильинский, Р. Ф. Марданов // Тр. Матем. центра им.

Н.И.Лобачевского. Т. 1. Казань: УНИПРЕСС, 1998. С. 154–159.

25. Абзалилов, Д. Ф. Задача максимизации циркуляции скорости при обте кании гладкого контура с источниками и стоками / Д. Ф. Абзалилов, Н. Б. Ильинский, Р. Ф. Марданов // Журнал вычислительной мате матики и математической физики. 2000. Т. 40, № 1. С. 82–90.

26. Абзалилов, Д. Ф. Оптимизация распределенного отсоса пограничного слоя с целью улучшения аэродинамических характеристик крылового профиля / Д. Ф. Абзалилов, Н. Б. Ильинский, Р. Ф. Марданов // Тез.

докл. межд. науч.-техн. конф. молодых ученых и специалистов “Совре менные проблемы аэрокосмической науки и техники”. ЦАГИ: Изд-во “Авиационный печатный двор”, 2000. С. 30–31.

27. Абзалилов, Д. Ф. Построение крылового профиля с отбором внешнего потока / Д. Ф. Абзалилов, Н. Б. Ильинский, Г. Ю. Степанов // Изв.

РАН. Механика жидкости и газа. 1996. № 6. С. 23–28.

28. Абзалилов, Д. Ф. К проблеме проектирования высоконесущих крыло вых профилей со щелевым отбором внешнего потока / Д. Ф. Абза лилов, Н. Б. Ильинский, Г. Ю. Степанов // Тр. Матем. центра им.

Н.И.Лобачевского. Краевые задачи и их приложения: Матер. всерос.

науч. конф. Т. 3. Казань: УНИПРЕСС, 1999. С. 206–216.

29. Абзалилов, Д. Ф. Построение безотрывно обтекаемого крылового про филя со щелевым отбором внешнего потока в диапазоне углов атаки / Д. Ф. Абзалилов, Н. Б. Ильинский, Г. Ю. Степанов // Изв. РАН. Ме ханика жидкости и газа. 2000. № 4. С. 185–191.

30. Абзалилов, Д. Ф. О максимизации подъемной силы гладкого контура с источником и стоком / Д. Ф. Абзалилов, Р. Ф. Марданов // Матер.

всерос. молодеж. науч. шк.-конф. по матем. моделированию, геометрии и алгебре. Казань: Изд-во Казан. матем. об-ва, 1998. С. 9–15.

31. Абзалилов, Д. Ф. Минимизация коэффициента аэродинамического со противления профилей с распределенным отсосом пограничного слоя / Д. Ф. Абзалилов, Р. Ф. Марданов // VIII всерос. съезд по теор. и прикл.

механике. Аннотации докл. Пермь: Издательский Дом “Типография купца Тарасова”, 2001. С. 17.

32. Abzalilov, D. F. Minimization of an airfoil drag coecient using optimum control methods / D. F. Abzalilov // Тез. докл. 2-й межд. летней науч. шк.

“Гидродинамика больших скоростей”. Чебоксары: 2004. С. 12–14.

33. Abzalilov, D. F. Minimization of an airfoil drag coecient using optimum control methods / D. F. Abzalilov // Proceeding of ICCES’05. India, Chennai: IIT, 2005. С. 805–810.