На правах рукописи

Минькова Наталья Романовна

ДВУХЧАСТИЧНЫЕ И МНОГОЧАСТИЧНЫЕ

СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

ПОТОКА СОЛНЕЧНОЙ ПЛАЗМЫ

Специальность – 01.02.05 – механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск - 2005 2

Работа выполнена на кафедре математической физики физикотехнического факультета Томского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Васенин Игорь Михайлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Глазунов Анатолий Алексеевич доктор физико-математических наук, профессор Рудяк Валерий Яковлевич

Ведущая организация: Институт прикладной механики, УрО РАН.

Защита состоится 23 декабря 2005 года в 14.30 часов на заседании диссертационного совета Д 212.267.13 при Томском государственном университете по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36, ауд 503, корпус №10 (НИИ ПММ).

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета по адресу: г. Томск, пр. Ленина, 34а.

Автореферат разослан 17 ноября дата

Ученый секретарь диссертационного совета д.т.н. _ /Ю.Ф. Христенко/

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

.

Актуальность темы. В настоящее время активно развиваются астрофизические приложения механики газа и плазмы. В частности, многие исследования, проводимые в этом направлении, посвящены моделированию расширяющегося потока плазмы, испускаемого Солнцем и получившего название солнечного ветра. Солнечный ветер характеризуется резким изменением параметров с увеличением гелиоцентрического расстояния. Его числовая плотность и температура изменяются в периоды низкой солнечной активности соответственно от значений порядка 1014 м-3 и 106K у основания короны до 106 м-3 и 105 K на уровне орбиты Земли. При этом скорость потока плазмы возрастает от почти нулевых значений до величин порядка 400- км/с. Вспышки на Солнце сопровождаются увеличением скорости солнечного ветра в 2-3 раза и соответствующим уменьшением его плотности.

Такой характер потока солнечной плазмы ограничивает возможности приближения сплошной среды при его описании и приводит к необходимости применения методов статистической механики.

Актуальность изучения солнечного ветра обусловлена его воздействием на магнитосферу Земли. Возникающие в результате взаимодействия быстрого потока солнечной плазмы с геомагнитным полем возникают магнитные бури, оказывающие влияние на работу навигационных систем (в частности, известны случаи потери связи и управления околоземными спутниками), электрических и магнитных приборов, линий электропередачи, здоровье людей, урожайность сельскохозяйственных культур и т.д. Необходимо учитывать также влияние солнечного ветра на бортовые системы космических аппаратов в межпланетном пространстве, на проводимые на их борту измерения. Все это обуславливает важность и актуальность изучения природы солнечного ветра, основных его закономерностей и прогнозирования его параметров на основе адекватных моделей солнечной плазмы.

Кроме того, изучение Солнца, наиболее близкой к Земле звезды и наиболее доступной для наблюдения, имеет большое фундаментальное значение, поскольку способствует развитию теории звезд, звездного и межзвездного ветра.

Современная теория солнечного ветра за последние 40 лет достигла значительных успехов в моделировании процессов, происходящих в гелиосфере. Однако несмотря на многочисленность исследований факторов, влияющих на солнечный ветер, остается актуальным вопрос о природе ускорения солнечного ветра и его прогнозировании.

Цель и задачи исследования. Теоретическое исследование распространения плазмы солнечного ветра в широком диапазоне значений гелиоцентрического расстояния. Построение двухчастичных кинетических моделей солнечного ветра в приближении сферически симметричного течения квазинейтральной бесстолкновительной водородной плазмы без учета влияния магнитного поля. Получение в рамках этих моделей аналитических зависимостей средних параметров потока от гелиоцентрического расстояния и анализ возможности ускорения солнечного ветра за счет теплового движения частиц высокотемпературной плазмы у основания короны Солнца.

Разработка многочастичной статистической модели потока газа и плазмы, основанной на теореме Лиувилля, и методологии вывода в рамках этой модели среднестатистических характеристик такого потока. Получение с использованием данной модели аналитических выражений для числовой плотности и скорости плазмы солнечного ветра. Интерпретация двухчастичных моделей с точки зрения многочастичного подхода.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования диссертационной работы является конкретное природное явление - поток бесстолкновительной плазмы. Предмет исследования – анализ возможностей двух и более частичных статистических подходов к описанию бесстолкновительной плазмы, в частности к моделированию ускорения ее сферически расширяющегося потока.

Методы исследования и фактический материал. Проведенное исследование основывается на методах статистической механики и методах решения дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка.

Фактические материалы – данные астрофизических наблюдений, опубликованные в литературе.

Достоверность. Полученные аналитические решения для функции распределения частиц медленного и быстрого солнечного ветра по скоростям, для числовой плотности и скорости солнечного ветра сравниваются с известными теоретическими и наблюдательными данными, что демонстрирует их количественное согласование с последними.

Для проверки методики и результатов, представленных для многочастичной статистической модели, проведены решения тестовых классических задач, известных в литературе, а также сравнение с двухчастичной кинетической моделью.

Научная новизна работы заключается в следующем:

бесстолкновительной полностью ионизованной водородной плазмы, которые применены к описанию солнечного ветра. В рамках этих соответствующих кинетических уравнений для функций распределения вероятностей и аналитических пространственных зависимостей скорости и плотности солнечного ветра для случая стационарного сферически симметричного распространения квазинейтральной бесстолкновительной водородной плазмы в пренебрежении влиянием магнитного поля.

2. Показано в рамках рассматриваемых моделей, что ускорение потока солнечной плазмы в гравитационном поле Солнца обусловлено уменьшением доли частиц атмосферы (кинетическая энергия которых меньше гравитационного потенциального барьера) по сравнению с долей убегающих частиц (кинетической энергии потенциального барьера).

3. Построена кинетическая полуэмпирическая модель плазмы быстрого солнечного ветра, дающая результаты по плотности и скорости потока частиц, согласующиеся с данными наблюдений.

4. Построена многочастичная статистическая модель стационарного потока газа и плазмы, основанная на теореме Лиувилля, обобщенной на случай открытой системы с постоянным числом частиц, находящейся в динамическом равновесии с окружающей средой.

Разработана методика вычисления статистических моментов в рамках этой модели. Показано, что для стационарного сферически симметричного потока двухкомпонентной плазмы, истекающей со сферы заданного радиуса, многочастичный статистический подход, основанный на уравнении Лиувилля, сводится к двухчастичной кинетической модели, если движение частиц статистически независимо. Указаны частные случаи, когда понижение размерности функции распределения, описывающей течение плазмы (газа) возможно лишь до значений, больших числа компонент плазмы.

Теоретическая значимость полученных результатов. Впервые представлены двухчастичные кинетические модели сферически симметричного стационарного бесстолкновительного потока полностью ионизованной водородной плазмы. Их применение к описанию солнечного ветра позволило вывести аналитические пространственные зависимости для плотности и скорости солнечного ветра, не содержащие параметров согласования, которые в целом лучше согласуются с данными наблюдений по сравнению с одночастичными кинетическими моделями при тех же допущениях. Получены верхние и нижние оценки для профилей скорости и плотности на множестве реализаций поляризационного потенциала плазмы, обеспечивающих существование этих стационарных зависимостей в рамках рассматриваемых приближений. На основе указанных моделей показан механизм ускорения медленного солнечного ветра на фоне торможения испускаемых Солнцем частиц плазмы в его гравитационном поле. На основе представленной полуэмпирической двухчастичной кинетической модели потока плазмы в расширяющейся трубке тока исследовано влияние различных факторов на ускорение быстрого солнечного ветра.

Разработан многочастичный статистический подход к описанию потока газа и плазмы, основанный на уравнении Лиувилля, и предложена в его рамках методика вычисления статистических моментов для газа и полностью ионизованной многокомпонентной плазмы. Показано, что зависимости для плотности и скорости двухкомпонентного (электрон-протонного) солнечного ветра, полученные на основе данного подхода, совпадают с результатами двухчастичной кинетической модели для стационарного сферически симметричного бесстолкновительного потока плазмы.

Значимость работы для практики. Полученные аналитические результаты по радиальным профилям числовой плотности и скорости солнечного ветра позволяют в рамках принятых допущений прогнозировать изменение этих параметров при различных значениях гелиоцентрического расстояния в зависимости от наблюдаемых значений температуры и плотности плазмы у основания короны, а также восстанавливать последние по измерениям на других расстояниях от Солнца (например, вблизи земной орбиты, что более доступно для различных измерительных комплексов).

фундаментальным научным исследованиям Томского государственного университета «Исследования по математике и моделям естественно протекающих процессов» и по гранту РФФИ 01-01-00983, а также могут быть использованы в учебном процессе.

Апробация работы. Материалы, представленные в диссертации, докладывались и получили признание на 23 конференциях, в том числе:

1. Международная конференция «Математические модели и методы их исследования» (Красноярск, 2001).

2. Пятая Сибирская школа-семинар «Математические проблемы механики сплошных сред» (Новосибирск, 2001).

3. IV Всероссийский семинар «Моделирование неравновесных системКрасноярск, 2001).

4. Конференция «Проблемы и перспективы технологий атомной промышленности». (Томск, 2001).

5. 11-ый Международный конгресс по физике плазмы. (Сидней, Австралия, 2002 г.) 6. Международная конференция Strongly Coupled Coulomb Systems (Santa Fe, New Mexico, USA 2002 г.) «Фундаментальные и прикладные проблемы приборостроения, информатики, экономики и права» (Сочи, 2002) 8. V всероссийский семинар «Моделирование неравновесных системКрасноярск, 2002 г.) 9. Конференции стран СНГ и Прибалтики «Актуальные проблемы физики солнечной и звездной активности» (Нижний Новгород, 2003 года).

10. International Union of Geodesy and Geophysics (IUGG) General Assembly (Sapporo, Japan, 2003).

11. VI Всероссийский семинар “Моделирование неравновесных систем” (Красноярск, 2003 г.) 12. XXXI Звенигородская конференция по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу (г. Звенигород, Московской обл., 2004 г.).

13. Всероссийская Астрономическая Конференция ВАК-2004 «Горизонты Вселенной» (Москва, 2004 г.).

14. XXXII Звенигородская конференция по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу (г. Звенигород, Московской 15. Solar Wind 11 - SOHO 16 «Connecting Sun and Heliosphere». (Whistler, Canada, 2005).

16. International Conference on Strongly Coupled Coulomb Systems (SCCSMoscow, 2005).

Основные результаты диссертации опубликованы в 17 тезисах и статьях и докладах, список которых приведен в конце автореферата.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Новые двухчастичные кинетические модели солнечного ветра, построенные в приближении стационарного сферически симметричного бесстолкновительного потока квзаинейтральной водородной плазмы (без учета влияния магнитного поля).

2. Новые аналитические результаты по зависимости числовой плотности и скорости медленного и быстрого солнечного ветра от гелиоцентрического расстояния.

3. Объяснение, в рамках представленных моделей, ускорения потока солнечной плазмы в гравитационном поле Солнца уменьшением доли частиц атмосферы по сравнению с долей убегающих частиц.

4. Новый многочастичный статистический подход к моделированию потока частиц газа и плазмы, основанный на теореме Лиувилля, обощенной на случай системы с постоянным числом частиц, находящейся в динамическом равновесии с окружающей средой; новая методология расчета (в рамках этой модели) осредненных характеристик потока частиц в предположении о неразличимости частиц в объеме, масштаб которого обусловлен разрешением проводимых измерений или принятыми модельными допущениями.

5. Новые аналитические результаты по зависимости числовой плотности и скорости потока газа и плазмы, полученные на основе указанного выше мнгочастичного подхода.

6. Эквивалентность многочастичной модели, основанной на уравнении Лиувилля, и двухчастичной кинетической модели для стационарного сферически симметричного потока двухкомпонентной квазинейтральной бесстолкновительной плазмы, истекающей со сферы заданного радиуса.

7. Понижение размерности многочастичной статистической модели описывающей стационарное течение k-компонентной плазмы (газа) до значения, равного числу ее компонент k, в случае задания одинакового граничного условия для всех частиц потока, движение которых статистически независимо.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, одного приложения и списка использованной литературы. Работа изложена на 131 странице, содержит 13 рисунков, одну таблицу, список литературы включает 145 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сформулированы актуальность работы, цель и задачи исследования, их научная новизна, практическая и теоретическая значимость результатов, положения, выносимые на защиту, а также приведен список конференций, на которых были представлены результаты работы.

В главе 1 проведен обзор исследований по теме диссертации, затрагивающий избранные вопросы современного состояния теории солнечного ветра. Настоящий обзор отражает в основном развитие кинетической концепции солнечного ветра в соответствии с темой диссертации и не претендует на исчерпывающий характер (по причине обширности литературы в данной области исследований). Дана краткая характеристика развития кинетических теорий в приближении статической короны Солнца в 1920-ые гг., когда было получено поле поляризации гидростатически равновесной плазмы Паннекока-Росселанда, разработаны модели Чепменом, Гунном, Коулингом для нижних слоев солнечной атмосферы. Ряд исследователей с конца XIX века развивали также динамические модели солнечной короны как совокупности потоков частиц, основываясь на многочисленных визуальных наблюдениях солнечных затмений, демонстрирующих существование таких потоков (Шэберле, Бредихин в XIX в., численные расчеты Штёрмера движения частиц короны с учетом воздействия дипольного магнитного поля в 1910-1030-ых гг., теория Альвена ускорения заряженных частиц в неоднородном магнитном поле в 1940 г., модель Кипенхойера солнечной короны как совокупности газовых шаров).

В 1950-ые гг. на основе наблюдений, моделей статической равновесной атмосферы Солнца и механической теории короны формируются представления о солнечном ветре (непрерывно расширяющейся короне).

Характеристика современной теории солнечного ветра начинается с работ, обсуждавших вопрос о роли электростатического поля, которое порождается разделением зарядов в плазме, возникающим вследствие значительно бльших скоростей легких электронов по сравнению с тяжелыми протонами (Северный, Альвен, Ван де Хулст, Пикельнер). Современный этап в развитии теории солнечного ветра открыли в конце 1950-ых гг. работы Паркера, базирующиеся на приближении сплошной среды и рассматривающие солнечную атмосферу, расширяющуюся непрерывно до сверхзвуковых скоростей, в противоположность гидростатически равновесной модели Чепмена. Для достижения наблюдаемых значений скорости и плотности солнечного ветра на орбите Земли Паркер фактически ввел дополнительный источник энергии, предположив изотермическое течение плазмы вблизи Солнца. Следует подчеркнуть, что указанная проблема (дополнительных энергетических источников), вообще, характерна для гидродинамических моделей (основанных на допущении сплошности среды). Это объясняется тем, что плотность солнечной плазмы падает экспоненциально с характерным пространственным масштабом ~0.1R от значений ~1014 м-3 у основания короны (число Кнудсена Kn>r N = 0.5 N 0 exp(0.50 ) (0.5 e 0 )(0.5 p 0 ) r 2 с учетом зависимости для удельного потока приводит к следующему соотношению для предельного значения скорости солнечного ветра:

Здесь приближении Паннекока-Росселанда из формулы (8) получаем соотношение u = u e 0 u p 0 (2 0 ) (1 0 ), которое для наблюдаемых значений температуры T0=1.010 K при r0=1.5·R дает u 1.031 u e 0 u p 0 540 км / с.

На уровне орбиты Земли (ra.e215R) согласно полученным зависимостям скорость солнечного ветра ua.e равна примерно 460 км/c. Обе приведенные оценки для скорости солнечного ветра u и u согласуются с данными наблюдений. Заметим, что возрастание скорости u (r ) обусловлено уменьшением доли частиц атмосферы в потоке солнечной плазмы с удалением от Солнца. Частицы атмосферы играют роль балласта, поскольку их суммарный стационарный поток равен нулю, и, таким образом, они не дают вклад в общий поток плазмы Nu. Как следствие, u (r ) стремится к значению средней скорости убегающих частиц при r.

При r0=1.5R и T0=1.210 K, согласующихся с данными наблюдений, расхождение между теоретической зависимостью N (r ) и эмпирической зависимостью Рубцова N emp (r ) не превышает 8%. На рис.2 представлено сравнение теоретических результатов по скорости солнечного ветра U(r/R) при тех же значениях параметров r0 и T. (нижняя сплошная линия) с данными наблюдений, опубликованными в монографии Якубова, и другими моделями.

Представленные результаты демонстрируют адекватность предлагаемой модели для описания таких средних параметров солнечного ветра, как его числовая плотность, поток частиц и скорость. Они также позволяют заключить, что на больших гелиоцентрических расстояниях (включая орбиту Земли r/R 215) солнечный ветер состоит в основном из убегающих частиц (~64% при r=1а.е.) и, следовательно, может моделироваться бесстолкновительным потоком плазмы.

Зависимости скорости солнечного ветра от безразмерного гелиоцентрического расстояния u2 (r ) (штриховая линия) и u 2 (r ) (15) (верхняя сплошная линия) при T0=1.2 106K и r0=1.5R, в сравнении с зависимостью u (r ) (нижняя сплошная линия) и с данными наблюдений, опубликованными Якубовым.

Область, соответствующая неравенству (13) u (r ) u (r ) < u 2 (r ), закрашена серым цветом. Пунктирная и штрих-пунктирная линии соответствуют скоростям солнечного ветра, рассчитанным по двухжидкостной гидродинамической модели Хартля-Барнеса и по одночастичной кинетической модели Лемера.

В главе 3 предлагается другая модель стационарного сферически симметричного потока электронно-протонной плазмы, основанная на бесстолкновительном двухчастичном кинетическом уравнении. В ней вводится дополнительное замыкающее допущение о том, что решение задачи зависит только от суммарной кинетической энергии динамической пары электрон-протон и, таким образом, не содержит потенциал поляризации плазмы. Показывается, что эта модель дает верхнюю оценку (мажоранту) для радиальной зависимости числовой плотности и нижнюю оценку для радиальной зависимости скорости потока частиц солнечного ветра, полученных в рамках «квазинейтральной» модели в предыдущей главе.

Теоретические результаты сравниваются с данными наблюдений по медленному солнечному ветру. Исследуется возможность применения модификации рассматриваемой модели к быстрому солнечному ветру.

Предположение о квазинейтральности плазмы означает, как видно из главы 2, что движение электронов и протонов описывается двухчастичной функцией распределения, зависящей от суммы энергий электронов и протонов f = f (r, r, ), если начальная функция распределения f0 и граничные условия для нее обладают таким же свойством. Равновесное начальное состояние плазмы (максвелловское распределение частиц по скоростям (2)) соответствует этому требованию. Решение кинетического уравнения определено в фазовом пространстве скоростей в области, ограниченной характеристиками этого уравнения. Предположим, что в отличие от модели, рассмотренной в главе 2, первые интегралы вдоль граничных характеристик также зависят только от суммы энергий электронов и протонов. Тогда двухчастичное кинетическое уравнение с равновесными граничным условием при r = r0 запишется в следующем виде:

где re + rp = (me + m p ) d dr. Построенная таким образом модель замкнута, так как не зависит от потенциала поляризации плазмы.

Сравнивая задачи (1), (2) и (9), (10), заметим, что в рамках первой из них процесс описывается статистическими характеристиками электронов и протонов в отдельности в соответствующем четырехмерном фазовом пространстве скоростей - uкe, u e, urp, u p. Зависимость модели (1), (2) от поляризационного потенциала обусловлена граничными характеристиками (4) и условием для потенциального барьера, разделяющим частицы атмосферы и убегающие частицы: Модель (9), (10) не включает в себя характеристики кулоновского взаимодействия частиц и описывает статистику нейтральных псевдочастиц, каждая из которых, не имеет постоянного состава, а является динамическим образованием, состоящим из пары противоположно заряженных частиц. С физической точки зрения такое преобразование (re, e, rp, p) (r, ) можно интерпретировать как перенос условий квазинейтральности с уровня электростатического взаимодействия коллективов электронов и протонов (через среднее поляризационное поле) на уровень их индивидуального, попарного взаимодействия, неявно предполагает введение дополнительных источников энергии.

Решение задачи (9), (10) имеет также вид (3), однако область ее определения:

расширяется в четырехмерном фазовом пространстве скоростей U = {uкe, u e, urp, u p } по сравнению с областью определения D (4) первой модели. Иначе говоря, область определения решения «квазинейтральной»

модели D является подобластью области определения решения «нейтральной» модели D2 для любых реализаций поляризационного потенциала (r ), допустимых в рамках рассматриваемой стационарной задачи (6):

r = r r0, D - область (6) значений потенциала. Поскольку по областям D и D2 проводится интегрирование положительно определенной функции f при вычислении плотности числа частиц (5) в рамках соответственно первой N и второй N2 моделей, то, следовательно, N2(r) является верхней оценкой (мажорантой) для N(r) при любых допустимых реализациях потенциала :

Проведенный в главе анализ показывается с учетом (7), что имеют место следующие неравенства, связывающие аналитические зависимости, полученные в рамках двух моделей (r ) D при r > r0 :

Здесь индексом 2 помечены средние параметры потока плазмы, полученные в рамках второй («нейтральной») модели, а индексом atm - числовые плотности частиц атмосферы (то есть частиц, не обладающих достаточной кинетической энергией для преодоления потенциального барьера).

Неравенство (13) для скоростей солнечного ветра иллюстрирует рис.2 в виде области, закрашенной серым цветом и заключенной между графиками функций u (r ) (нижняя сплошная линия) и u 2 (r ) (штриховая линия).

4r 2 Nu 2 (r ) = const, которое должно выполняться для расхода частиц через сферическое сечение в случае стационарного течения. Это объясняется тем, что данная модель не обеспечена какими-либо физическими механизмами реализации упомянутой выше «попарной» квазинейтральности. Однако указанное условие выполняется для предельной зависимости Nu 2 (r ) :

На рис.2 верхняя сплошная линия соответствует зависимости u 2 (r ), вычисленной по формуле (14):

Предельные соотношения (14), (15), как показывается в работе, удовлетворяют следующим неравенствам:

последнее из которых иллюстрирует рис.2. Все зависимости на рис. построены при температуре T0=1.2 106K, при которой получено согласование теоретических и наблюдательных данных в предыдущей главе (r0=1.5R).

Однако мажорантные зависимости, полученные в рамках рассматриваемой «нейтральной» модели, также согласуются с данными наблюдений по медленному солнечному ветру как по числовой плотности, так и по скорости при температуре, несколько меньшей приведенного выше значения, а, именно, при T0=1.1510 К, r0=1.5R максимальное отклонение теоретической зависимости N 2 (r ) от эмпирической зависимости Рубцова N emp (r ) не превышает 13%, а теоретические значения скорости u2 (r ) лежат в пределах разброса данных измерений, опубликованных в монографии Якубова.

Сравнение теоретических зависимостей с наблюдательными данными проведено выше для граничного гелиоцентрического расстояния r0=1.5R.

Согласно имеющимся наблюдениям можно ожидать, что приближение равновесной плазмы (максвелловское распределение частиц по скоростям f0), заложенное в рассматриваемые модели, является удовлетворительным на этом расстоянии. Однако частота столкновений в этой области солнечной короны настолько высока, что предположение о бесстолкновительном характере течения на столь малых гелиоцентрических расстояниях представляется необоснованным. В то же время, зависимости для плотности и скорости солнечного ветра, полученные выше для бесстолкновительного приближения, согласуются количественно с данными наблюдений. Для потока частиц Nu это можно объяснить тем, что он формируется убегающими частицами, относящимися к высокоскоростной части функции распределения, а, следовательно, согласно проведенным в главе 2 оценкам относительные энергетические потери таких частиц при столкновениях на расстояниях полутора солнечных радиусов составляют порядка 20-25% и быстро убывают с расстоянием. Что касается числовой плотности частиц, то влияние столкновений на эту среднестатистическую величину обусловлено изменением числа частиц в области интегрирования D при учете этого фактора. Такое изменение числа частиц происходит за счет их перераспределения через фазовую поверхность, определяющую потенциальный барьер, и оно относительно мало. Однако влияние столкновений на вторые статистические моменты, например, температуру, существенно, и им нельзя пренебречь в отличие от рассмотренных выше первых моментов (плотности и скорости).

Учитывая, что медленный солнечный ветер можно рассматривать как бесстолкновительный поток, начиная с расстояний примерно в 6 радиусов Солнца (согласно оценкам Лемера и Шерера), и, с другой стороны, максвелловское распределение частиц по скоростям приемлемо в области, где столкновения играют значительную роль (и обеспечивают равновесное состояние), сдвинем задание граничных условий до r0=5R и сравним теоретические зависимости с эмпирическими, полученными В.Кенляйном в результате обработки результатов различных наблюдений медленного солнечного ветра. При r0=5R температура и плотность принимают в соответствии с эмпирическими зависимостями следующие значения:

T08.9105K и N(r0)4.51010м-3. При заданных таким образом входных параметрах различие между теоретическими зависимостями N2(r), u2(r) и соответствующими эмпирическими зависимостями при r>r0 составляет менее 30% для плотности и менее 16% для скорости потока. Интересно отметить,