На правах рукописи

Иванов Денис Александрович

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА В НАНОЖИДКОСТЯХ И

В НАНОКАНАЛАХ

Специальность 01.02.05 – механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Новосибирск 2011

Работа выполнена в Новосибирском государственном архитектурностроительном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Рудяк Валерий Яковлевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Матвиенко Олег Викторович кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Головнев Игорь Федорович

Ведущая организация: Институт теплофизики им. С.С. Кутателадзе СО РАН, г. Новосибирск

Защита состоится 23 декабря 2011 г. в 1000 на заседании диссертационного совета Д 212.267.13 по присуждению ученой степени кандидата наук в Томском государственном университете по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина 36.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Томского государственного университета.

Автореферат разослан «_» ноября 2011 года

Ученый секретарь диссертационного совета Ю.Ф. Христенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. Изучение свойств гомогенных и гетерогенных сред всегда являлось актуальной задачей. В наши дни большой интерес представляют материалы с добавлением наночастиц, в частности, наножидкости. Наножидкость это двухфазная система, состоящая из несущей среды (жидкости или газа) и наночастиц (частицы с характерными размерами от 1 до нм). Наночастицы применяются при создании новых типов красителей и покрытий, в том числе антисептических. Уже сейчас наножидкости позволяют отводить тепло при комнатных температурах охладителя, в отличие от традиционных низкотемпературных охладителей. Установлено, что наночастицы изменяют вязкость несущей жидкости. Очевидно, что эти эффекты являются следствием физических процессов на наномасштабах. Таким образом, исследование наножидкостей является важной и актуальной задачей не только для прикладного применения, но и для фундаментального объяснения процессов, происходящих в таких системах. Так как наножидкости достаточно дороги, то их применение наиболее целесообразно в микроустройствах. В наши дни широкое применение получили микро- и наноканалы, которые широко встречаются в природе (кровеносная и дыхательная система человека) и в технике. В технический обиход вошли так называемые МЭМС-устройства (микоэлектромеханические) и МЭМС-технологии. Типичные размеры таких систем от одного до сотен микрон. МЭМС сегодня производятся для химических, биологических и биомедицинских применений, в компьютерных технологиях, в самолетостроении, в автомобильной промышленности и т.д.

Полноценная теория, описывающая процессы переноса для нанодисперсных систем (к которым относятся и наножидкости) и для течений в наноканалах пока отсутствует. Экспериментальное исследование наножидкостей сталкивается с рядом трудностей. Практически невозможно получить монодисперсные системы для наночастиц с необходимыми параметрами. Во время эксперимента может происходить коагуляция частиц. Экспериментальное изучение течений в микро- и наноканалах интенсивно ведется все последнее десятилетие. Однако оно осложнено чрезвычайно малыми размерами каналов. Традиционные измерительные устройства, в силу малости объекта исследования, вносят сильные возмущения, сопоставимые с измеряемыми величинами. Экспериментально удается измерить лишь интегральные свойства течения, такие, как расход жидкости, падение давления и т.п. Естественной альтернативой теории и эксперименту является численное моделирование таких систем с помощью метода молекулярной динамики (МД). Идея метода МД чрезвычайно проста: система моделируется набором N частиц с заданным законом взаимодействия, уравнения движения которой (система дифференциальных уравнений Ньютона) численно интегрируются. Метод МД уже почти пятьдесят лет с успехом используется при решении самых разных задач физики и механики жидкости, газа, плазмы и твердого тела. Свойства нанодисперсных сред неоднократно изучались методом МД. Однако до сих пор не решен вопрос об адекватном потенциале взаимодействия наночастиц с молекулами несущей среды и другими наночастицами. Как правило, в качестве таких потенциалов рассматривается потенциал Леннард-Джонса. При этом не обосновывается выбор параметров для этих потенциалов. В представленной работе впервые разработан и используется алгоритм МД с применением потенциала наночастица–молекула разработанного Рудяком и Краснолуцким. Этот потенциал был с успехом применен при исследовании диффузии наночастиц в разреженных газах. Адекватность применения этого потенциала была подтверждена экспериментально. Использование предложенного потенциала позволило впервые исследовать диффузию реальных наночастиц и рассмотреть влияние на результаты как параметров наночастицы (материал, радиус), так и параметров несущей среды (температура).

До сих пор адекватного потенциала для описания взаимодействия наночастиц между собой не создано. Построение такого потенциала является еще одной задачей диссертации. Существенным плюсом предложенного потенциала является то, что его параметры полностью определяются параметрами материалов и параметрами потенциала Леннард-Джонса для молекул составляющих наночастицы. Эти параметры, как правило, хорошо известны. Тем самым предложенный потенциал позволяет описывать взаимодействие реальных наночастиц.

Моделирование микротечений методом МД началось с середины восьмидесятых годов прошлого века. Однако до сих пор фактически отсутствуют алгоритмы МД, позволяющие моделировать течение Пуазейля. В наиболее распространенных алгоритмах для генерации течения вводилась некоторая фиктивная сила. А для компенсации роста скорости, вызываемого этой силой, используют различные процедуры регуляризации скорости (так называемые термостаты), не имеющие реального физического аналога. В результате использования столь искусственных процедур так и не удается смоделировать реальное течение Пуазейля. В частности, в таких течениях отсутствует градиент давления. Тем самым, возникает необходимость разработки и реализации нового алгоритма моделирования, позволяющего моделировать реальные течения и исследовать их свойства, что является еще одной задачей данной работы.

Изучение процессов переноса в наноканалах до сих пор практически не проводилось. Между тем уже в первых работал по моделированию флюида в таких каналах показано, что структура флюида в канале отличается от структуры в свободном объеме, профиль плотности неоднородный и возникают максимумы плотности у стенок канала. Как следствие, можно ожидать, что и процессы переноса в наноканале отличаются от свободного объема. Задача же изучения процессов переноса в микро- и наноканалах действительно является важной и актуальной, так как дальнейшая миниатюризация устройств неизбежно приведет к необходимости учета эффектов на таких масштабах.

Цель работы – исследование процессов переноса в наножидкостях и в наноканале с помощью метода МД.

Основные задачи:

1. Разработать алгоритм и пакет программ для расчета методом МД процессов переноса в наножидкостях.

2. Разработать потенциал взаимодействия наночастица–наночастица определяемый физическими параметрами наночастиц.

3. Исследовать динамические свойства фазовых траекторий системы многих взаимодействующих частиц.

4. Изучить самодиффузию молекул плотных газов и жидкостей в свободном 5. Исследовать диффузию наночастиц в свободном объеме.

6. Разработать новый алгоритм моделирования методом МД реальных течений в канале.

7. Изучить характеристики течений плотных газов и жидкостей в наноканалах.

8. Исследовать процессы переноса (самодиффузия молекул и вязкость) в наноканале.

Достоверность и обоснованность полученных результатов подтверждается сравнением с известными результатами молекулярно динамического моделирования других авторов, сопоставлением с данными различных экспериментов.

Новые научные результаты выносимые на защиту:

1. Разработан пакет программ для моделирования методом МД реальных наножидкостей с потенциалом Рудяка–Краснолуцкого и специально построенным потенциалом наночастица–наночастица.

2. Установлено, что диффузия молекул плотных газов и жидкостей носит неклассический характер и не описывается классическим соотношением Эйнштейна.

3. Показано, что коэффициент диффузии достаточно малых наночастиц существенно зависит от их материала. Изучена зависимость коэффициента диффузии наночастиц от температуры. Показано, что зависимость коэффициента диффузии наночастиц от радиуса и температуры не описывается соотношением Эйнштейна для броуновских частиц.

4. Предложен новый алгоритм МД, позволяющий моделировать течение в канале сопровождаемое постоянным градиентом давления.

5. Установлено, что коэффициент вязкости флюида в наноканале больше, чем в свободном объеме, и прирост значения коэффициента вязкости тем больше, чем меньше наноканал и чем меньше температура жидкости.

Научная и практическая значимость работы состоит в создании пакета программ для моделирования реальных наножидкостей. Построенный потенциал взаимодействия наночастица–наночастица делает возможным построение адекватной статистической теории процессов переноса наножидкостей.

Полученные нами зависимости коэффициента диффузии наночастиц от размера и температуры не описываются соотношением для броуновских частиц. Тем самым полученные нами результаты приводят к необходимости пересмотра стандартных методик измерения коэффициента диффузии малых частиц, в которых классическое соотношение заложено инструментально. С помощью нашего алгоритма моделирования течения в наноканале можно исследовать реальные течения сопровождаемые градиентом давления. Данные о вязкости флюида в наноканале можно использовать для контроля вязкости жидкости в наноканале меняя температуру, а также материал и высоту наноканала.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Данные о молекулярно-динамических свойствах фазовых траекторий системы многих взаимодействующих частиц.

2. Неклассический характер самодиффузии молекул плотных газов и жидкостей.

3. Потенциал взаимодействия наночастица–наночастица.

4. Данные о зависимости коэффициента диффузии наночастиц в плотных газах и жидкостях от их размеров, температуры и материала.

5. Данные о зависимости характеристик течений плотных газов и жидкостей в наноканале от размеров канала, плотности флюида, числа Рейнольдса.

6. Данные о зависимости коэффициента вязкости флюида в наноканале от температуры флюида, от высоты наноканала и от материала стенок.

7. Пакет программ для моделирования наножидкостей в свободном объеме Апробация работы. Результаты исследований докладывались на следующих семинарах и конференциях:

международные: Сопряжённые задачи механики, информатики и экологии (Томск, 2002), Europhysics Conference on Computational Physics (Genoa, 2004), 25th, 26th international symposium on rarefied gas dynamics (St. Petersburg, 2006; Kyoto, 2008), 1st European Conference on Microfluidics (Bologna, 2008), Conference on Method Aerophysical Reseach (Novosibirsk, 2008), 2nd Micro and nano Flows Conference (Brunel, 2009), XVI международная конференция по вычислительной механике и современным прикладным программным средствам (Алушта, 2009), 4th Int. Workshop on Two-Phase Systems for Ground and Space Applications (Bruxelles, 2009), Int. Conference Physics of Liquid Matter: Modern Problems (Kyiv, 2010);

российские: всероссийский семинар «Кинетическая теория и динамика разреженных газов» (Новосибирск, 2002), 61-я, 62-я, 63-я, 65-я научнотехническая конференция НГАСУ (Новосибирск, 2004, 2005, 2006, 2008), Устойчивость и турбулентность течений гомогенных и гетерогенных жидкостей (Новосибирск, 2005, 2008, 2010), Всероссийский семинар «Современные проблемы теоретической и прикладной механики» (2007), Всероссийский семинар «Фундаментальные основы МЭМС- и нанотехнологий» (Новосибирск, 2009, 2010, 2011), Рабочая группа «Аэрозоли Сибири» (Томск, 2010).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 20 печатных работ, из них 6 в рецензируемых научных журналах рекомендованных ВАК, 8 статей в трудах научных конференций. Список основных публикаций приведен в конце автореферата.

Вклад автора. Постановка и обсуждение задач проводилось совместно с научным руководителем Рудяком В.Я. Совместно в Рудяком В.Я. и Краснолуцким С.Л. построен потенциал взаимодействия наночастица–наночастица; изучена диффузия наночастиц в плотных газах и жидкостях. Совместно с Рудяком В.Я., Белкиным А.А. и Егоровым В.В. проведено исследование молекулярной диффузии плотных газов и жидкостей. Лично автором разработан и реализован пакет программ метода МД для моделирования наножидкостей; проведено исследование динамических свойств системы взаимодействующих частиц; разработан и реализован в программе алгоритм моделирования реальных течений флюида в плоском наноканале и исследованы свойства таких течений; проведено исследование структуры флиюда и процессов переноса в наноканале.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из четырех глав, введения, заключения, списка литературы и двух приложений.

Работа содержит 166 страниц, 58 рисунков, 15 таблиц, список литературы из 125 наименований и 2 приложения.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, дается обзор соответствующей литературы, сформулирована цель работы, описана структура и содержание работы, отмечена научная новизна.

Первая глава посвящена описанию пакета программ метода молекулярной динамики для моделирования наножидкостей. Раздел 1.1 содержит описание нового потенциала взаимодействия наночастиц. Потенциал взаимодействия наночастиц строится на основе межмолекулярного потенциала ЛеннардДжонса 6-12. Предполагается, что потенциал парный, а частицы твердые и однородные. Для вывода искомого потенциала рассмотрим взаимодействие наночастиц из разных материалов с радиусами R1 и R2. На первом этапе ищется потенциал взаимодействия первой наночастицы с изолированной молекулой второй. Это взаимодействие описывается потенциалом Рудяка–Краснолуцкого Здесь p – плотность материала дисперсной частицы, m p – масса молекулы (атома) вещества, из которого состоит наночастица, R p – радиус наночастицы, ij, ij – параметры потенциала Леннард-Джонса взаимодействия молекулы одной наночастицы с молекулой другой. Потенциал наночастица–наночастица определяется как сумма потенциалов взаимодействия первой наночастицы со всеми молекулами второй. Для этого потенциал (1) необходимо просуммировать по всем i молекулам второй наночастицы. Поскольку частицы предполагаются твердыми и однородными, то это суммирование следует заменить интегрированием по объему второй частицы. В результате интегрирования получаем выражение для искомого потенциала где Раздел 1.2 посвящен описанию алгоритма метода МД для потенциала твердых сфер.

В разделе 1.3 описан алгоритм метода МД для непрерывных потенциалов.

В разделе 1.4 проводится сопоставление реализованных схем численного интегрирования системы дифференциальных уравнений Ньютона. Были реализованы следующие схемы: Эйлера, Рунге-Кутта 2-го, 3-го и 4-го порядков, схема Верле и схема Шофилда. Схемы Верле и Шофилда выбраны как наиболее быстрые и точные.

В разделе 1.5 приведены методики и формулы для расчета термодинамических переменных (энергии, давления) и коэффициентов переноса (коэффициенты самодиффузии и диффузии, вязкости, теплопроводности).

Раздел 1.6 посвящен описанию общего алгоритма и интерфейса программы.

Вторая глава посвящена исследованию динамических и стохастических свойств систем многих взаимодействующих частиц. Очевидно, что, так как метод МД – это численный метод, то результат получается с некоторой точностью. Поэтому ключевым вопросом является следующий: насколько адекватны получаемые результаты при использовании ММД? Если в качестве моделируемой системы рассмотреть систему твердых сфер (дисков), то мы не будем решать систему уравнений Ньютона. Для таких систем ошибки компьютерного моделирования оказываются минимальными и поэтому исследования данной главы проводились именно для систем твердых сфер (дисков).

В разделе 2.1 исследуется необратимость фазовых траекторий таких систем. Система взаимодействующих твердых сфер является гамильтоновой и ее уравнения движения обратимы во времени. В случае абсолютно точного расчета динамики системы, когда отсутствуют погрешности численного моделирования, при инверсии времени в любой точке фазовой траектории мы пришли бы в начальную точку фазового пространства. Время обратимости Tr определялось как максимальное значение времени движения по фазовой траектории, из которого при инверсии времени можно вернутся в -окрестность начального положения. Как и следовало ожидать, компьютерные фазовые траектории очень быстро становятся необратимыми. Основным механизмом, определяющим эту необратимость, оказываются столкновения частиц. Траектории необратимы уже спустя 2–3 времени свободного пробега. И время обратимости Tr обратно пропорционально числу частиц N в системе.

Раздел 2.2 посвящен исследованию локальной неустойчивости системы взаимодействующих частиц (твердых дисков и сфер). Устойчивость системы понимается в смысле Ляпунова. Рассматривалась устойчивость траекторий системы в фазовом пространстве, в пространстве конфигураций и в пространстве скоростей относительно малых возмущений. Возмущения вводились изменением начальных координат частиц или их скоростей. Полученные траектории затем усреднялись по ансамблю, который строился вариацией начальных конфигураций частиц. Характер устойчивости траекторий определялся по эволюции функций где r0 | ri (t 0) |, kT / m – дисперсия распределения Максвелла частиц по скоростям, m – масса частиц, T – температура системы, r (t ), ~ (t ), v (t ), ~ (t ) – соr v ответственно точные и возмущенные значения координат и скоростей частицы i, l – число членов ансамбля. Типичная зависимость функции (t ) ln( (t )) от времени представлена на рис. 1. Здесь расчет сделан для системы твердых дисков диаметра d при N = 100, 2 nd 2 1.25 10 2, n – численная концентрация.

Время t измеряется во временах свободного пробега частиц. На представленных кривых можно выделить 4 основных участка На начальном участке при t t i 0.1 еще не все частицы в системе столкнулись и для подобных частиц внесенное начальное возмущение не изменяется. Затем изменение функции описывается экспонентой. Время t l ~ Tr – времени обратимости. На следующем нелинейном участке возмущение нарастает степенным образом, после чего функция выходит на некоторое практически постоянное квазиравновесное значение. Здесь функция (t ) описывает флуктуации вблизи этого значения. Наличие экспоненциального нарастания свидетельствует о том, что в системе имеет место локальная неустойчивость.

Инкремент локальной неустойчивости оказывается функцией температуры системы (параметра ) и при заданной плотности тем больше, чем больше число частиц в системе. Последнее является свидетельством того, что механизмом, генерирующим в системе неустойчивость, являются соударения частиц. Следует отметить, что характер эволюции всех трех функций, r и v качественно одинаков, практически одинаковы и инкременты локальной неустойчивости.

Рис. 1. Зависимость функции (t ) ln( (t )) при различных значениях начального возмущения. Кривая 1 – возмущение 10-15, 2 – 10-11, 3 – 10-7, 4 – 10- В разделе 2.3 рассматривается свойство перемешивания фазовых траекторий системы твердых частиц. Такая система не только локально неустойчива, но и должна быть системой с перемешиванием. Обычно перемешивание определяют, как свойство затухания корреляций двух динамических величин g и h где gh (t, 0) – соответствующая корреляционная функция. Причем, как правило, предполагается, что затухание корреляций происходит экспоненциально. Для системы твердых частиц была рассчитана автокорреляционная функция скорости (АКФС) где p – число разбиений временного интервала на котором рассчитывается АКФС. Во всех случаях АКФС стремится к нулю, следовательно, в системе твердых частиц есть перемешивание. Наличие локальной неустойчивости и перемешивания означает, что в системе есть динамический хаос.

В разделе 2.4 рассматривается влияние на характеристики системы стохастической составляющей силы взаимодействия. Гамильтоново описание систем многих частиц, являясь хорошей моделью описания различных систем, остается приближенным. Поэтому силу взаимодействия частиц i и j можно, как правило, представить в виде где Fij – некоторое среднее значение силы взаимодействия, а Fij – ее малая флуктуационная составляющая. В соответствие с (8) уравнения движения системы взаимодействующих частиц имеют вид При численном моделировании неизбежны погрешности, связанные с погрешностями вычислений, в том числе и при расчете сил взаимодействия. Поэтому на самом деле мы моделируем динамическую систему, описываемую системой уравнений (9). Таким образом, исследование поведения динамической системы (9) также чрезвычайно актуально. В модели твердых частиц наличие флуктуационной составляющей силы моделировалось при соударении введением у скоростей частиц после соударения некоторых случайных составляющих с равномерным распределением на интервале max, max ( max = 10-2 10-12). Были рассмотрены случаи: без выполнения законов сохранения; с сохранением импульса; с сохранением импульса и энергии. Расчеты показали, что свойства локальной устойчивости и перемешивания фазовых траекторий гамильтоновых систем и систем, взаимодействие которых описывается уравнениями (9), одинаковы (при одинаковом уровне вносимого возмущения). Результаты фактически не зависят и от того выполняются ли в процессе соударения законы сохранения или нет. Таким образом, это свидетельствует о том, что при численном изучении динамики N-частичной гамильтоновой системы фактически получаются результаты, соответствующие системе уравнений (9). При этом не происходит изменения значения инкремента даже при достаточно больших возмущениях. Следовательно, возмущения такого типа не оказывают существенного влияния на развитие локальной неустойчивости в системе.

Раздел 2.5 посвящен изучению влияния граничных условий. Все рассматривавшиеся ранее в данной главе системы являются открытыми и взаимодействуют с окружением, роль которого играет граница. Взаимодействие частиц с границей всегда являлось упругим, однако форма границы и ее масса изменялись. Это позволило смоделировать (I) систему, в которой сохраняется энергия, но изменяется импульс и момент импульса (квадратная или кубическая граница), (II) систему, в которой сохраняется энергия и момент импульса, но меняется импульс (круглая граница), (III) систему, в которой сохраняется энергия, импульс и момент импульса (круглая граница конечной массы). Как и следовало ожидать, наличие границы является принципиальным фактом. Индивидуальные фазовые траектории очень чувствительны к взаимодействию с границей, однако характеристики, получаемые усреднением по ансамблю, обладают определенной грубостью. В частности, инкременты роста возмущений определяются плотностью, числом частиц в системе и ее температурой и практически не зависят от формы границы. Указанная «грубость» системы увеличивается с ростом числа частиц в системе при фиксированной плотности.

Раздел 2.6 посвящен стохастическим свойствам систем частиц с реальными потенциалами взаимодействия. Изучение стохастических свойств систем частиц с потенциалом взаимодействия Леннард-Джонса проводилось Норманом с соавторами [1, 2]. Рассматривалась система N одинаковых частиц в объеме с периодическими граничными условиями. Очевидно, что в силу большего источника ошибок, для непрерывных потенциалов также будут наблюдаться локальная неустойчивость и перемешивание. В работах Нормана рассматривались функции разбегания фазовых траекторий в пространстве координат и скоростей. Во всех случаях эволюция этих функций разделялась на ряд характерных участков. На первом участке функции не меняются со временем. Затем следует участок экспоненциального роста. И наконец, выходят на константу в пространстве скоростей, и на линейный закон в пространстве координат. Показатель экспоненты и есть показатель Ляпунова (в работах Нормана этот показатель называется энтропией Крылова–Колмогорова). Как и для системы твердых дисков, рассмотренной нами выше, показатель Ляпунова одинаков и для координат и для скоростей. Исследование на различных схемах интегрирования и при различном шаге также не выявило различий в результатах. Отсюда делается вывод, что показатель Ляпунова является свойством исследуемой системы и зависит только от ее параметров состояния, но не от вычислительных параметров.

Третья глава посвящена исследованию диффузии наночастиц. Как было показано в главе 2, несмотря на то, что метод МД не дает точных индивидуальных фазовых траекторий, измеримые средние параметры системы моделируются адекватно. Одними из таких параметров являются коэффициенты переноса, в частности коэффициенты диффузии и самодиффузии. Для расчета этих коэффициентов используют либо формулу Грина–Кубо либо соотношение Эйнштейна Здесь – АКФС (7), R 2 (t ) – функция среднего квадрата смещения молекул системы. В свою очередь АКФС и функция среднего квадрата смещения молекул также экспериментально измеримы и могут служить критерием адекватности моделирования.

Раздел 3.1 посвящен исследованию АКФС молекул однородного флюида.

Поскольку коэффициенты самодиффузии и диффузии рассчитываются по формулам Грина–Кубо (10), то прежде чем приступать к исследованию коэффициента самодиффузии, было проведено моделирование и исследование АКФС.

Молекулы взаимодействуют между собой как твердые сферы. Плотность системы характеризуется параметром nd 3, где n – численная концентрация, d – диаметр твердых сфер. При высоких плотностях жидкости АКФС имеет отрицательный хвост, обусловленный появлением в системе ближнего порядка. Наличие отрицательных значений АКФС имеет пороговый характер и проявляется, начиная с плотностей 0.77. При меньших плотностях среды затухание АКФС имеет монотонный характер. АКФС имеет две существенно различные ветви. Первая является экспоненциальной и обусловлена индивидуальными взаимодействиями молекул, включая многочастичные столкновения, которые для системы твердых сфер представляют собой определенные последовательности парных столкновений. Вторая же связана с коллективными релаксационными процессами и имеет степенную асимптотику t 3 / 2, установленную Олдером и Ванрайтом [3]. Степенной характер затухания АКФС является чрезвычайно важным фактором эволюции. Во-первых, наличие таких степенных асимптотик АКФС свидетельствует о нелокальном характере процессов переноса даже в обычных молекулярных системах. Второе же обстоятельство связано с точностью вычисления коэффициентов переноса. Несмотря на то, что значения АКФС на хвосте сравнительно невелики, его вклад в вычисление коэффициентов переноса оказывается значительным, и тем больше, чем выше плотность среды (давление). На первом участке (малые времена) механизм релаксации скорости единственный – кинетический. Поэтому здесь АКФС адекватно моделируется функцией где r – время релаксации. Начиная же с некоторого времени t t*, практически вся эволюция должна описываться функцией пропорциональной (t t * ) 3 / 2. На этих временах кинетический механизм релаксации скорости также работает, но его вклад уже мал. Таким образом, АКФС хорошо описывается функцией Раздел 3.2 посвящен неклассическому характеру диффузии молекул в плотных газах и жидкостях.

В подразделе 3.2.1 исследуется самодиффузия молекул для потенциала твердых сфер. Коэффициент самодиффузии рассчитывается по формуле Грина– Кубо (10) как интеграл от АКФС. Проведенные нами исследования показали, что правильные значения коэффициента самодиффузии могут быть получены лишь при выходе интеграла (10) на платовое значение. Это значение достигается на временах тем больше, чем больше плотность системы. Другим важным фактором является число частиц: увеличение числа частиц приводит к тому, что степенной участок АКФС (13) рассчитывается точнее, и тем самым растет платовое, а значит и реальное значения коэффициента самодиффузии. Нами показано, что для получения правильных значений коэффициента самодиффузии молекул плотных газов и жидкостей необходимо использовать при моделировании несколько тысяч молекул, а в жидкостях, при 0.47, несколько десятков тысяч. Проведенное сопоставление с результатами МД моделирования других авторов показало хорошее соответствие.

В подразделе 3.2.2 исследуется самодиффузия молекул для потенциала Леннард-Джонса. Как и в предыдущем разделе, коэффициент самодиффузии рассчитывается по формуле Грина–Кубо (10). Качественно результаты совпадают с результатами для твердых сфер: значения коэффициента самодиффузии получаются при выходе интеграла от АКФС на некоторое платовое значение, которое зависит от числа частиц в системе. Проведено сопоставление полученных значений с экспериментом для жидкого аргона. Получено хорошее соответствие.

Подраздел 3.2.3 посвящен моделированию коэффициента самодиффузии молекул с помощью соотношения Эйнштейна (11). Результаты расчета по формулам (10) и (11) практически совпадают для всех рассмотренных нами систем.

Подраздел 3.2.4 посвящен неклассическому характеру самодиффузии молекул жидкостей и плотных газов. В своей классической работе Эйнштейном было показано, что среднеквадратичное расстояние R 2 (t ), проходимое броуновской частицей, пропорционально времени причем D и есть коэффициент диффузии (угловые скобки означают усреднение). С тех пор общепринято считать, что диффузия молекул и газов, и жидкостей также описывается соотношением (14). Формула (14) является следствием предположения А. Эйнштейна о том, что функция распределения частиц (молекул) по координатам (r, t ) удовлетворяет локальному уравнению диффузии При этом считается, что процесс движения частиц является марковским и гауссовским, а если точнее, то – винеровским. С точки зрения ланжевеновского описания движение частицы также задается марковским гауссовским процессом, но стационарным – процессом Орнштейна–Уленбека. Скорость частицы v удовлетворяет тогда уравнению Ланжевена, а ее АКФС экспоненциально затухает где r – время релаксации. Динамика даже броуновских частиц не является строго марковской, соотношение (14) применимо лишь на временах t. В газах и жидкостях соотношение (14) также не применимо на малых расстояниях, однако АКФС имеет вид (16) лишь для разреженного газа. Во всех остальных случаях (в плотных газах и жидкостях) АКФС имеет степенную асимптотику: ~ t 3 / 2.

Среднеквадратичное расстояние R 2 (t ) [r (t ) r (0)]2, проходимое за время t молекулой, связано с АКФС соотношением Закон Эйнштейна (14) получается, если подставить сюда АКФС (16) и перейти к пределу t, где – среднее время свободного пробега молекул. Как уже упоминалось, АКФС плотного газа и жидкостей имеет, однако, степенной “хвост” и этот “хвост” хорошо описывается функцией (13). Подставляя функцию (13) в соотношение (17) и интегрируя его, получаем Таким образом, диффузия молекул жидкости и достаточно плотных газов оказывается неклассической. Наличие второго члена эффективно несколько уменьшает коэффициент диффузии. Последнее естественно, поскольку механизм релаксации скорости молекул, обусловленный коллективными процессами ее взаимодействия со средой, значительно менее эффективный, нежели кинетический. Стоит отметить, что поправки, связанные с учетом второго члена в (18), пренебрежимо малы лишь для умеренно плотного газа. Вклад I 2 с течением времени уменьшается. В плотном газе он составляет порядка процента, а в жидкости – несколько процентов. Тем не менее этот вклад оказывается заметным даже на временах порядка 2000 времен свободного пробега молекул. Если учесть, что в жидкостях кинетический этап эволюции имеет длительность порядка, то ясно, что неклассический этап диффузии молекул вполне наблюдаем и заметен на гидродинамических временах. Отличие реального закона диффузии (18) от классического имеет и важное прикладное значение, поскольку соотношение (16) инструментально заложено в большинстве методов измерения коэффициентов диффузии и самодиффузии. Это, однако, принципиально ограничивает точность измерения коэффициента диффузии молекул газов и жидкостей.

Раздел 3.3 посвящен исследованию диффузии наночастиц в плотных газах и жидкостях. Исследование проводилось с помощью описанного в первой главе пакета программ для моделирования наножидкостей. Взаимодействие молекул несущей среды между собой описывалось потенциалом ЛеннардДжонса. Взаимодействие молекул с наночастицами задавалось потенциалом Рудяка–Краснолуцкого (1). Рассматривались системы с малыми объемными концентрациями, при которых наночастицы практически не взаимодействуют между собой. Поэтому при численном моделировании в моделируемую ячейку помещалась одна наночастица и потенциал взаимодействия наночастиц между собой не использовался. Плотность несущей среды определялась параметром n 13, где 1 – эффективный диаметр Леннард-Джонса для молекул несущей среды. Расчет коэффициента диффузии проводился по формуле Грина–Кубо (10). Согласно теории Эйнштейна коэффициент диффузии частицы обратно пропорционален ее радиусу и не зависит от материала частицы. В случае же с достаточно малыми наночастицами это не так. В качестве примера в диссертации приводятся данные расчета коэффициента диффузии наночастиц из лития и алюминия диаметром 14 нм в аргоне при температуре 322.5 K и плотности аргона = 0.707. Полученные зависимости представлены на рис. 2.

Рис. 2. Зависимость коэффициента диффузии D от радиуса R.

Штриховая линия и квадратики – Li, штрихпунктирная линия и кружочки – Al, Во всех случаях формула Эйнштейна не описывает наблюдаемых значений коэффициента диффузии. Кроме того, значения коэффициентов диффузии зависят от материала частиц. В общем случае зависимость коэффициента диффузии от радиуса наночастицы описывается степенной функцией Для наночастиц из лития kLi = 1.37, а из алюминия – kAl = 1.59.

Впервые получена зависимость коэффициента диффузии наночастицы от температуры несущей среды. Эта зависимость также описывается степенной функцией где показатель n не универсален и зависит от материала наночастицы и от ее размера. Так, для наночастиц из лития диаметра 2 нм в аргоне при температуре 322.5 K и плотности аргона = 0.707 получено значение n = 1.1. Соответствующая зависимость, определяемая формулой Эйнштейна, дает значительно меньший рост. С увеличением температуры это различие возрастает.

Четвертая глава посвящена исследованию свойств и течений жидкости и плотного газа в наноканалах. Раздел 4.1 посвящен моделированию течений жидкости и плотного газа в наноканале. Приводится описание нового алгоритма для моделирования плоского течения в канале. В качестве ячейки моделирования был выбран прямоугольный параллелепипед. Значения высоты h и ширины b брались близкие и в несколько раз меньше чем длина канала L. Так как моделирование проводилось для течения между двумя бесконечными пластинами перпендикулярными оси z, вдоль ширины канала (ось y) использовались стандартные периодические граничные условия. Течение задавалось вдоль оси x слева направо. Моделируемая среда (жидкость или газ) рассматривалась как состоящая из одинаковых молекул, взаимодействующих с помощью потенциала Леннард-Джонса. Каждая стенка канала моделировалась двумя слоями плотноупакованных, неподвижных молекул (молекулы располагались в узлах кубической гранецентрированной решетки). Взаимодействие молекул жидкости с молекулами стенки также задавалось с помощью потенциала Леннард-Джонса, но с другими значениями параметров и. В качестве молекул жидкости во всех случаях рассматривался жидкий аргон с параметрами потенциала 1 = 3.405, 1 / k = 119.8 °K. В качестве молекул стенок рассматривался углерод с параметрами 2 = 3.4, 2 / k = 28 °K.

Для задания течения были использованы модифицированные периодические граничные условия вдоль оси x (мы их назвали псевдопериодическими).

Молекулы у левой и у правой границ канал могут взаимодействовать друг с другом как при обычных периодических условиях. Молекулы свободно проходят сквозь правую границу. Через левую стенку молекулы не проходят, взаимодействие с ней диффузное. Когда молекула i полностью выходит справа из канала (центр молекулы пересекает правую границу), она перемещается к левой границе канала (координата xi меняется на xi – L) и ей задается новая скорость как при диффузном взаимодействии. Это означает следующее: ей присваивается новая скорость, которая генерируется согласно распределению Максвелла при заданной температуре, при этом новая скорость всегда направлена вправо.

Таким образом, левую границу канала можно рассматривать как источник молекул. Интенсивность этого источника, однако, нельзя заранее зафиксировать, она зависит от числа молекул, выходящих справа из канала за единицу времени.

В нашем случае массовый расход жидкости постоянный и не меняется вдоль канала. В таком случае гидродинамическое описание дает постоянные вдоль канала характеристики течения (скорость и плотность). Однако в наших расчетах характеристики течения не постоянны. Осредненная по поперечному сечению плотность жидкости как правило уменьшается с ростом продольной координаты, таким образом, моделируемая жидкость всегда сжимаема. Так как расход жидкости постоянный, а плотность падает, это в свою очередь означает, что скорость жидкости в канале растет. Также во всех случаях был получен постоянный градиент давления. Во всех случаях в канале устанавливается параболический профиль скорости. Существенным его отличием от профиля Пуазейля является сильный эффект скольжения жидкости на стенках канала.

Полученные результаты были сопоставлены с моделью плоского течения несжимаемой жидкости, описываемой уравнения Навье–Стокса с различными граничными условиями. Одной из важнейших характеристик течения является коэффициент гидравлического сопротивления, который определяется по формуле Дарси–Вейсбаха где u – среднемассовая скорость. Теоретическое значение для граничных условий прилипания 24 Re, Re u h. Качественно наши результаты совпадают с теоретическими. С уменьшением плотности коэффициенты сопротивления уменьшаются. Увеличение высоты h приводит к существенному уменьшению коэффициента сопротивления. Несмотря на качественное соответствие количественно результаты существенно отличаются. Это связано с тем, что во всех случаях значение расхода, а значит и среднемассовой скорости, больше чем в гидродинамическом описании. А это, как следует из формулы (21), приводит к меньшему значению коэффициента сопротивления.

Рис. 3. Профиль плотности жидкости в среднем сечении канала, = 0. В разделе 4.2 приводятся результаты по исследованию структуры флюида в наноканале. То, что структура жидкости в канале отличается от структуры свободно текущей жидкости видно уже по неоднородным профилям плотности (рис. 3). Отметим, что характер структурирования универсальный и не зависит от геометрических размеров канала, в частности от высоты h.

Более тонкой и информативной характеристикой структурных свойств среды является радиальная функция распределения, которая показывает, как распределена плотность молекул среды вокруг выделенной молекулы. Распределение плотности в плоском наноканале неоднородное, поэтому радиальные функции рассчитывались в плоских слоях, параллельных стенкам канала и находящихся на разном расстоянии от стенок. Для расчета использовалась формула в которой учитываются лишь молекулы, находящиеся в слое толщиной dh, параллельном стенке. На рис. 4 показана радиальная функция распределения g2.

Здесь непрерывная кривая – в объеме, пунктирная – в канале в первом максимуме плотности на расстоянии 0.4 от стенки канала. Течение отсутствует. g2 в канале существенно отличается от объемной функции. Величина максимумов больше, число максимумов тоже больше, что указывает на большую структурированность жидкости – у стенки формируется слой более плотной и более упорядоченной жидкости. Чем дальше расстояние от стенки, тем ближе получаемая функция g2 к функции для свободной жидкости, и на расстоянии порядка 2.5–3 эти функции практически идентичны.

Рис. 4. Радиальная функция распределения g2, сплошная линия – в свободной жидкости, пунктир – в канале, в первом максимуме плотности, h = 6, = 0. Раздел 4.3 посвящен диффузии молекул флюида в наноканале. Исследование процесса самодиффузии проводилось для канала без течения: вдоль осей x и y – периодические граничные условия, стенки канала перпендикулярны оси z. При расчете коэффициента самодиффузии в объеме в силу периодических граничных условий по всем осям, пространство изотропно по всем направлениям, и, следовательно, значение коэффициента самодиффузии вдоль отдельной координаты не зависит от направления. В канале в направлении z движение частицы ограниченно стенками, поэтому величина среднего квадрата смещения не может бесконечно возрастать, и со временем выйдет на некоторое максимальное значение, тем самым соотношение Эйнштейна дает нулевое значение коэффициента самодиффузии Dz = 0. На рис. 5 представлены зависимости среднего квадрата смещения R z (t ) при различной высоте канала. Видно, что с увеличением высоты канала предельное значение для R z (t ) становится больше и выход на это значение происходит на все больших временах. И очевидно, что при бесконечной высоте канала мы получим случай соответствующий бесконечному объему. Однако при конечной толщине коэффициент диффузии вдоль оси z по прежнему равен нулю. Следовательно, суммарный коэффициент диффузии всегда будет меньше соответствующего значения коэффициента для свободного объема.

Рис 5. Зависимость среднего квадрата смещения молекул R 2 (t ) от времени для Раздел 4.4 посвящен моделированию коэффициента вязкости флюида в наноканале. Использовалась та же модель, что и в предыдущем разделе. Помимо углеродных также брались кремниевые стенки с параметрами потенциала Леннард-Джонса 2 = 3.826, 2 / k = 202.45 K. В канале есть выделенные плоскости: в плоскости xy – периодические условия, в других двух плоскостях – есть границы. Чтобы учесть эти различия коэффициент вязкости рассчитывался отдельно во всех трех плоскостях по формулам где J – компоненты микротензора давлений. Общий коэффициент вязкости получался как среднее по всем плоскостям. Все расчеты проводились при условии равенства давлений в наноканале и в свободного объеме при плотности = 0.9. На рис. 6 представлены зависимости коэффициента вязкости аргона в наноканале от температуры и от высоты ( 0 – коэффициент вязкости в свободном объеме). Зависимость коэффициента вязкости в канале носит такой же качественный характер, что и в объеме. При этом всегда наблюдается прирост значения коэффициента вязкости относительно объемного значения. Более заметный прирост наблюдается при уменьшении температуры и при уменьшении высоты и этот эффект существенно зависит от материала. Это связанно с тем, что параметр взаимодействия для кремниевых стенок почти в три раза больше, чем соответствующий параметр для углеродных стенок. Тем самым, сила, с которой молекулы стенок действуют на молекулы жидкости в случае кремниевых стенок больше. Вблизи стенок создается слой более плотного флюида, чем для углеродных стенок, и жидкость становится более плотной и вязкой. Наши исследования показали, что, как и в случае самодиффузии молекул, коэффициент вязкости в канале неизотропен. Наличие в плоскости, для которой рассчитывается вязкость, стенки приводит к ещё большему росту значения коэффициента вязкости.

Рис. 6. Зависимость коэффициента вязкости аргона от температуры и от высоты (при Т = 200 К) в свободном объеме (), в наноканале с углеродными () и с В приложении А подробно описан вывод нового потенциала взаимодействия наночастиц. В приложении Б описан интерфейс разработанного пакета программ для моделирования наножидкостей.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

По результатам работы можно сформулировать следующие выводы:

1. Разработан потенциал взаимодействия наночастица–наночастица.

2. Разработан пакет программ для численного моделирования наножидкостей для реальных потенциалов взаимодействия.

3. Исследованы динамические и стохастические свойства систем взаимодействующих частиц. Получены зависимости значения инкрементов локальной неустойчивости от числа частиц в системе и от величины начального возмущения 4. Проведено систематическое исследование коэффициента самодиффузии молекул жидкостей и плотных газов. Впервые показано, что диффузия молекул плотного газа и жидкости неклассическая.

5. Проведено исследование диффузии наночастиц для реального потенциала взаимодействия. Показано, что для наночастиц зависимость коэффициента диффузии от радиуса и температуры не описывается классическим соотношением для броуновской частицы. Впервые установлено, что для достаточно малых частиц, значение коэффициента диффузии зависит от материала.

6. Предложен и реализован новый алгоритм моделирования течения жидкости и плотного газа в канале, не требующий применения внешней силы и термостата, сопровождаемый постоянным градиентом давления.

7. Проведено исследование самодиффузии молекул плотного газа в наноканале. Показано, что самодиффузия в наноканале неизотропна. Значение коэффициент самодиффузии в наноканале всегда меньше, чем в свободном объеме, и составляет две трети от объемного значения.

8. Проведено моделирование коэффициента вязкости в наноканалах. Показано, что в наноканале значение коэффициента вязкости всегда больше соответствующего значения для свободного объема. При этом эта разница увеличивается с уменьшением температуры флюида, а также с уменьшением высоты канала. Значение коэффициента вязкости существенно зависит от материала стенок. Коэффициент вязкости в наноканале неизотропен, и, при рассмотрении вязкости в плоскости, перпендикулярной стенке канала, коэффициент вязкости будет больше, чем для плоскости Автор благодарен за постоянную поддержку и помощь в работе научному руководителю д.ф.-м.н., проф. Рудяку В.Я. Автор выражает признательность к.ф.-м.н., доц. Белкину А.А., к.ф.-м.н. Краснолуцкому С.Л. и Егорову В.В. за помощь и консультации в ходе совместной работы.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Норман Г. Э. Стохастические свойства молекулярно-динамической Леннард-Джонсоновской системы в равновесном и неравновесном состояниях / Г. Э. Норман, В. В. Стегайлов // ЖЭТФ. – 2001. – Т. 119, № 5. – С.

2. Norman G. E. Stochastic and dynamic properties of molecular dynamics systems: simple liquida, plasma and electrolytes, polymers / G. E. Norman, V. V.

Stegailov // Computer Phys. Comm. – 2002. – Vol. 147, № 1–2. – P. 678— 3. Alder B. J. Velocity autocorrelation for hard spheres / B. J. Alder, T. E. Wainwright // Phys. Rev. A. – 1970. – Vol. 1, № 1. – P. 18–21.

4. Рудяк В. Я. Диффузия наночастиц и макромолекул в плотных газах и жидкостях / В. Я. Рудяк, Г. В. Харламов, А. А. Белкин // Теплофизика высоких температур. – 2001. – Т. 39, № 2. – С. 283–291.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ

Статьи опубликованные в журналах рекомендованных ВАК:

1. Рудяк В. Я. Компьютерное моделирование конечного числа взаимодействующих частиц / В. Я. Рудяк, Д. А. Иванов // ДАН ВШ. – 2003. – № 1. – С.

2. Рудяк В. Я. О неклассической диффузии молекул жидкостей и плотных газов самодиффузии / В. Я. Рудяк, А. А. Белкин, Д. А. Иванов, В. В. Егоров // Доклады Академии Наук. – 2007. – Т. 412, № 4. – С. 490-493.

3. Рудяк В. Я. Моделирование процессов переноса на основе метода молекулярной динамики. I. Коэффициент самодиффузии / В. Я. Рудяк, А. А.

Белкин, Д. А. Иванов, В. В. Егоров // Теплофизика высоких температур. – 2008. – Т. 46, № 1. – С. 35–45.

4. Рудяк В.Я. Моделирование диффузии наночастиц в газах и жидкостях методом молекулярной динамики / В.Я. Рудяк, С.Л. Краснолуцкий, Д.А.

Иванов // Оптика атмосферы и океана. – 2011. – Т.24, №6. – С. 529–533.

5. Rudyak V.Ya. About fluids structure in microchannels / V.Ya. Rudyak, A.A.

Belkin, V.V. Egorov, D.A. Ivanov // Int. J. of Multiphysics. – 2011. – V. 5, N.

2. – P. 145–155.

6. Rudyak V.Ya. Molecular Dynamics Simulation of Nanoparticle Diffusion in Dense Fluids / V.Ya. Rudyak, S.L. Krasnolutskii, D.A. Ivanov // Microfluidics and Nanofluidics. – 2011. – V. 11, N. 4. – P. 501–506.

Прочие статьи:

7. Рудяк В. Я. Динамические и стохастические свойства открытой системы конечного числа упруго взаимодействующих частиц / В. Я. Рудяк, Д. А.

Иванов // Труды НГАСУ. – 2004. – Т. 7, № 3(30). – С. 47–58.

8. Рудяк В. Я. Моделирование молекулярно-динамических систем с непрерывным потенциалом / В. Я. Рудяк, Д. А. Иванов // Труды НГАСУ. – Новосибирск : НГАСУ, 2008. – Т. 11, № 1(43). – С. 65–77.

9. Рудяк В. Я. Моделирование диффузии наночастиц в жидкостях и плотных газах методом молекулярной динамики на основе потенциала взаимодействия Рудяка–Краснолуцкого / В. Я. Рудяк, С. Л. Краснолуцкий, Д. А.

Иванов // Труды НГАСУ. – 2010. – Т. 13, № 3 (49). – С. 47–59.

10. Рудяк В.Я. О построении потенциала взаимодействия наночастиц / В.Я.

Рудяк, С.Л. Краснолуцкий, Д.А. Иванов // Труды НГАСУ. – 2011. – Т. 14, № 1(49). – С. 125–133.

Препринты:

11. Рудяк В. Я. Моделирование процессов переноса на основе метода молекулярной динамики. I. Коэффициент самодиффузии / В. Я. Рудяк, А. А.

Белкин, Д. А. Иванов, В. В. Егоров. – Н. : НГАСУ, 2005. – 53 с. – (Препринт / НГАСУ ; №2(17)).

12. Рудяк В. Я. Моделирование течений в микро- и наноканалах методом молекулярной динамики / В. Я. Рудяк, А. А. Белкин, Д. А. Иванов, В. В.

Егоров. – Н. : НГАСУ, 2010. – 28 с. – (Препринт / НГАСУ ; №1(19)).

Статьи в трудах конференций:

13. Иванов Д. А. Расчет коэффициента самодиффузии методом молекулярной динамики / Д. А. Иванов, В. В. Егоров // Доклады молодежной конференции. Вып. X. – Новосибирск : ИТПМ СО РАН, 2005. – С. 83–86.

14. Рудяк В. Я. Особенности течений жидкостей в микро- и макроканалах / В.

Я. Рудяк, А. А. Белкин, В. В. Егоров, Д. А. Иванов // Материалы XVI международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным средствам. – Москва : МАИ-ПРИНТ, 2009. – С. 605–607.

15. Иванов Д. А. Моделирования течения в канале. Модель с контролируемым расходом / Д. А. Иванов, В. В. Егоров // Устойчивость и турбулентность течений гомогенных и гетерогенных жидкостей. Доклады молодежной конференции. Вып. XII. – Новосибирск : ИТПМ СО РАН, 2010. – С. 132–135.

16. Иванов Д. А. Моделирования течения в канале. Модель с псевдопериодическими граничными условиями / Д. А. Иванов, В. В. Егоров // Устойчивость и турбулентность течений гомогенных и гетерогенных жидкостей.

Доклады молодежной конференции. Вып. XII. – Новосибирск : ИТПМ СО РАН, 2010. – С. 128–131.

17. Rudyak V. Y. The Molecular Dynamics Calculation of the Self-Diffusion Coefficient / V. Ya. Rudyak, A. A. Belkin, V. V. Egorov, D. A. Ivanov // Proc.

25-th Int. Symposium. on RGD. – Novosibirsk : Publ. House of SBRAS, 2007.

– P. 1217–1221.

18. Rudyak V. Y. Modeling of plane flow with a pressure gradient in a nanochannel / V. Ya. Rudyak, A. A. Belkin, V. V. Egorov, D. A. Ivanov // Proc. of 1st European Conference on Microfluidics. – Italy, Bologna, 2008. – P. 263–272.

19. Rudyak V. Y. Molecular dynamics simulation of flows in nanochannels / V.

Ya. Rudyak, A. A. Belkin, V. V. Egorov, D. A. Ivanov // 26th Int. Symp. On Rarefied Gas Dynamics. AIP Conf. Proc. – Melvine N.Y. : American Institute of Physics, 2009. – Vol. 1084. – P. 997–1002.

20. Rudyak V. Y. Molecular dynamics simulation of plane Poiseuille flow in nanochannels / V. Ya. Rudyak, A. A. Belkin, V. V. Egorov, D. A. Ivanov // Proc of 2nd Micro and nano Flows Conf. – West London : Brunel University, 2009.

– P. MNF32-1–MNF32-7.