На правах рукописи

Шомполова Ольга Игоревна

Оптимальное управление линейными системами с нерегулярными

смешанными ограничениями и определение геометрии оптимальной

траектории

Специальность 05.13.01 – Системный анализ,

управление и обработка информации (промышленность)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2012

РАБОТА ВЫПОЛНЕНА В ФЕДЕРАЛЬНОМ ГОСУДАРСТВЕННОМ БЮДЖЕТНОМ

УЧРЕЖДЕНИИ НАУКИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР

ИМ. А.А. ДОРОДНИЦЫНА РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

В ОТДЕЛЕ ПРИКЛАДНЫХ ПРОБЛЕМ ОПТИМИЗАЦИИ

Научный руководитель: доктор физико-математических наук профессор В.В. Дикусар

Официальные оппоненты:

доктор физ.-мат. наук, профессор Гурченков А.А.

кандидат физ.-мат. наук, доцент Бирюков А.Г.

Ведущая организация: Федеральное Государственное Бюджетное Учреждение Науки ЦЭМИ Российской Академии Наук

Защита состоится « 01 » марта 2012 г. в 15 часов на заседании совета по защите докторских и кандидатских диссертаций Д 002.017.03 при Федеральном Государственном Бюджетном Учреждении Науки Вычислительный центр им. А.А. Дородницына Российской академии наук по адресу: 119333, г. Москва, ул. Вавилова, д. 40, конференцзал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Вычислительного центра им. А.А.

Дородницына РАН.

Автореферат разослан « » 2012 г.

Ученый секретарь совета по защите докторских и кандидатских диссертаций Д 002.017. кандидат физико-математических наук А.В. Мухин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Предложен двухэтапный метод решения задач оптимального управления со смешанными ограничениями. На первом этапе решается дискретная задача (системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и несобственные задачи линейного программирования ( Л П ) ), на основе методов факторного анализа. Далее формулируется гипотеза о геометрии оптимальной траектории, то есть выделяются промежутки времени постоянства множества номеров активных ограничений. На втором этапе сформулированная гипотеза проверяется аналитически с использованием принципа максимума Понтрягина и формализма Дубовицкого-Милютина. Приведен пример использования данной схемы для решения модельной задачи оптимального управления долгом промышленного предприятия. Показана процедура формирования и проверки гипотезы о геометрии оптимальной траектории. Приведены оценки погрешностей численного решения, полученного на первом этапе.

Актуальность темы Исследуемые в диссертации СЛАУ являются несовместными, а задачи ЛП – несобственными. Хорошо известно, что совместность или несовместность линейных моделей, заданных системами уравнений, неравенств или смешанными системами уравнений и неравенств представляют собой фундаментальные свойства, связанные так называемыми теоремами об альтернативах – классической основой теорем существования решений задач оптимизации и возможным инструментом их эффективного численного решения, развитым в работах Бирюкова А.Г., А.И. Голикова, Дикусара В.В., Ю.Г.Евтушенко,Жадана В.Г.,Капорина И.Е.,Посыпкина М.А., Чекарева Д.А., Умнова Е.А., Умнова Е.Е. и др. Метод штрафных функций и функций Лагранжа является универсальным средством решения экстремальных задач различной природы.

Актуальность исследования несобственных математических объектов была хорошо обозначена И. И. Ереминым, в частности, он указал, что в теории математических моделей и классов задач прослеживается эволюция в сторону ослабления требований, накладываемых на исследуемый математический объект. Возникает последовательность постановок задач: единственность решения и устойчивость; единственность, неустойчивость (некорректность); неединственность и неустойчивость; несобственность;

несобственность и плохая формализуемость; гибкое моделирование и т.д.

Несовместная (несобственная) модель не позволяет получить содержательную информацию об исследуемом процессе или явлении непосредственно. Для этой цели требуется исправление модели и ее коррекция. Виды и способы коррекции могут быть различными. Наиболее общая форма коррекции заключается в изменении коэффициентов левых и правых частей соответствующих уравнений и неравенств. Соответствующую коррекцию называют матричной. Систематическое исследование несобственных задач линейного и выпуклого программирования было начато в 70-х гг. прошлого столетия И.

И. Ереминым и его учениками. В работах Н.Н. Астафьева, А.А. Ватолина, В.Д. Мазурова, Л. Д. Попова, В.Д. Скарина, С.П. Трофимова, В.Н. Фролова и др. рассматривались несобственные задачи линейного и выпуклого программирования, проводилась классификация, строилась и исследовалась теория двойственности. При этом вводились и исследовались дискретные аппроксимации решений, т.н. комитетные конструкции.

Отметим, что в большинстве исследований рассматривалась коррекция по вектору правой части ограничений и коэффициентом вектора целевой функции.

Матричная коррекция впервые была рассмотрена в работах А.А. Ватолина.

Исследования А.А. Ватолина были продолжены в ВЦ им. А.А. Дородницына РАН и МПГУ В.А. Гореликом и его учениками: В. А. Кондратьевым, О.В. Муравьевым, Р.Р.

Ибатулиным, Р.В. Печенкиным, В.И. Ерохиным и др. Указанными авторами были уточнены результаты А.А. Ватолина. В методах матричной коррекции остались нерешенными очень многие важные проблемы. Первая проблема связана с неединственностью решения задачи матричной коррекции. Естественно, что в прикладных задачах важна единственность и устойчивость решения скорректированной линейной модели. Следует признать, что систематизированное исследование указанной проблемы и методов их решения в настоящее время не существует. Другой аспект связан с выбором показателя качества матричной коррекции, который диктуется прикладной задачей. Он, например, связан с некоторой статистической гипотезой (Евклидова норма – нормальное распределение ошибок, чебышевская норма – равномерное распределение, октаэдрическое – наличие случайных выбросов). Указанные обстоятельства влияют на методы исследования и решения задач матричной коррекции.

Цель и задачи исследования Основная цель исследования состоит в разработке и обосновании методики решения линейных (параметрических) задач оптимального управления со смешанными ограничениями, в получении достаточных условий оптимальности, а также в получении условий устойчивости и сходимости численного решения задач, полученных с помощью метода дискретной аппроксимации в исходной задаче. Алгоритм состоит в сведении линейных задач ОУ к задачам ЛП в конечномерных пространствах. Одной из причин, нарушающих получение решения, может являться недостаточная точность компьютерных вычислений, так как размерность получаемой задачи ЛП исчисляется тысячами переменных, и алгоритм решаемой задачи может быть неустойчивым. Кроме того, в работе преследуется цель показать эффективность в вычислительном плане предложенной методики решения. Для исследования свойств задач ОУ наряду с исходной задачей рассматривается также и связанная с ней специальная задача ОУ. Эта пара задач ОУ сводится к двойственным задачам ЛП в банаховых пространствах.

В соответствии с целью исследования поставлены следующие задачи:

1. разработка численно-аналитических схем решения линейных задач оптимального управления со смешанными ограничениями, основанных на совместном решении пары задач ОУ, сводимых к двойственным задачам ЛП в банаховых пространствах;

2. анализ и приведение к виду, удобному для использования, достаточных условий экстремума в рассматриваемых задачах;

3. обоснование двухуровневого алгоритма решения исходной линейной (параметрической) задачи оптимального управления, на первом уровне которого строится гипотеза о геометрии оптимальных траекторий, а на втором гипотеза проверяется с использованием принципа максимума;

4. компьютерная реализация предлагаемых подходов и исследование их эффективности при решении задач оптимального управления;

5. исследование способов повышения точности приближенных численных решений задачи ОУ, анализ сходимости и устойчивости дискретной аппроксимации исходной задачи;

Объект исследования Объектом исследования является линейная математическая модель обслуживания долга промышленного предприятия в условиях двухсекторной экономики.

Теоретические и методологические основы исследования Теоретическую и методологическую основу диссертации составляют труды российских ученых-математиков по методам решения задач ОУ, задач ЛП, методам оптимизации, теории и методов факторного анализа.

Научная новизна исследования Модифицированы достаточные условия оптимальности линейной задачи ОУ со смешанными ограничениями типа равенства и неравенства в случае исключения ограничений типа равенства уменьшением размерности вектора управлений. Разработана методика на базе факторного анализа, позволяющая решать линейные задачи ОУ со смешанными нерегулярными ограничениями. Основа данной методики заключается в использовании дискретной аппроксимации пары задач ОУ с фазовыми и смешанными ограничениями, после которой получается и решается пара конечномерных задач ЛП с использованием методов факторного анализа. Кроме того, на основе разработанной схемы предложено расширить линейную задачу ОУ со смешанными ограничениями введением в коэффициенты задачи параметров. Дано обоснование сходимости численного решения задачи ОУ со смешанными ограничениями к оптимальному.

Практическая значимость Модели, методы и алгоритмы, разработанные в исследовании, применялись для решения практических задач оптимального управления в Московском ФизикоТехническом институте и в Вычислительном Центре РАН.

Публикации Основные результаты исследования отражены в 14 публикациях автора общим объемом 6.3 п.л. и 5-и статьях в изданиях, рекомендованных ВАК РФ, объемом 3.9 п.л.

Результаты в совместных работах принадлежат авторам в равных долях.

Апробация работ

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (коды проекта 10-08Основные положения исследования докладывались и обсуждались на научных конференциях МФТИ., на международной конференции Computer Algebra Systems in Teaching and Research, 4 International Workshop, CASTR 2007. Siedlce(ПОЛЬША),на научных семинарах в ИСА РАН,ЦЭМИ РАН, ИПУ РАН,ИПМ РАН,ВЦ РАН Структура и объем работы Диссертация состоит из введения четырех глав, приложения и заключения.

Основное содержание диссертации изложено на 110 страницах печатного текста. Список использованной литературы составляет 60 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во «Введении» изложены обоснование предмета и цели исследования, обзор литературы по данному вопросу и основные результаты, выносимые на защиту, характеристика их научной новизны, практической значимости и апробации полученных результатов, дается краткое описание моделируемой системы оптимального управления долгом предприятия.

В первой главе «Применение факторного анализа для решения задач линейного программирования» излагаются методы решения некорректных линейных алгебраических систем и несобственных задач линейного программирования с применением факторного анализа.

Основная модель факторного анализа имеет вид:

Здесь X – вектор-столбец наблюдаемых переменных, f – вектор – столбец общих факторов, e – вектор-столбец специфических факторов, влияющих только на данную переменную. Предполагается, что они не коррелированны как между собой, так и с общими факторами; L – матрица факторных нагрузок.

Неизвестными параметрами факторной модели являются факторные нагрузки и дисперсии специфических факторов. Легко видеть, что число неизвестных значительно превышает число уравнений в (1). По этой причине для их оценки используют информацию, содержащуюся в корреляционной (или ковариационной) матрице. Из (1) следует:

где R – ковариационная (корреляционная) матрица наблюдаемых переменных; – корреляционная матрица общих факторов. Учитывая безразмерный характер общих факторов, дисперсии их без ограничения общности могут быть приняты равными единице; V – ковариационная матрица специфических факторов, являющаяся диагональной. Если сделать предположение о некоррелированности общих факторов между собой, матрица становится единичной, в этом случае получаем классическую модель факторного анализа.

Любой метод факторного анализа требует вычисления собственных значений и собственных векторов матрицы корреляции, которая является симметричной.

Рассматривается произвольная линейная система где A – действительная матрица размером mn.

Система (3) является совместной, если она имеет, по крайней мере, одно решение, в противном случае – несовместна.

Применение метода регуляризации Тихонова к системе (3) сводится к решению уравнения где – параметр регуляризации, I – единичная матрица.

Вводится множество арифметических векторов размерности n В результате применения оператора A1 к системе (5) получаем систему, которая представляет собой матрицу наблюдений A которая действительна и симметрична, причем ранг A1 равен n для > 0.

Применение факторного анализа (метод главных компонент) дает следующее решение Здесь fk является факторами, aij и ki коэффициентами факторного решения.

Теоретически p = n. Любой вектор B0 представляется в виде линейной комбинации базисных векторов fk, которые ортогональны с единичной нормой Подставляя fk из формулы (6) в выражение (7), получим Утверждение. Решение системы (4) является линейной комбинацией (5) В случае сингулярной матрицы p < n при = 0, так как коэффициенты aji вычисляются по формуле где i является собственным числом матрицы A1 и bji – координаты соответствующего собственного вектора. При фиксированной точности вычисления p < n.

Теорема 1. Решение (8) является непрерывной функцией параметра. Если система (3) имеет единственное решение, то p = n. В противном случае мы имеем нормальное решение (8).

В работе предложен приближенный метод решения некорректных задач ЛП.

Рассматривается задача Здесь B1 и C – положительные вектора, A1 - положительная матрица (положительны ее компоненты).

Задача (9) записывается в форме, зависящей от скалярного параметра t Задача (10), вообще говоря, может не иметь решения. В этом случае рассматривается обобщенная задача ЛП где символ * означает транспонирование. Система (11) всегда совместна.

Вместо задачи (11) рассматривается следующая задача Известно, что lim Z Z0 {Y }, где {Y } --множество решений задачи (11).

Решение линейной системы (12) является линейной функцией параметра t Условие Z 0 выполняет неравенство Если решение неограниченно сверху, то t2.

Таким образом, оценка решений сводится к решению некорректной линейной системы.

Оценка решения (14) близка к точному решению, когда число свободных параметров задачи (13) невелико.

На базе факторного анализа можно оценить решение задачи ЛП.

Пусть нам дана задача ЛП Предположим, что система (16) совместна, и функционал задачи (15) ограничен на допустимых решениях системы (16).

Рассмотрим строки матрицы A в качестве векторов Вообще говоря, векторы ai, i 1,..., m, могут быть линейно зависимы.

Считая теперь векторы ai, i 1,..., m, в качестве наблюдаемых величин, мы можем рассматривать матрицу A как матрицу наблюдений в факторном анализе. Для целей нашего анализа вначале достаточно ограничиться методом главных компонент, который дает единственное факторное решение.

В результате применения метода главных компонент факторного анализа к матрице наблюдения A получим следующую зависимость Здесь ij, i 1,..., k, j 1,..., m – коэффициенты факторного решения. P, i 1,..., k – факторы (обобщенные переменные).

Заметим, что факторы Pi некоррелированы между собой и удовлетворяют условию нормировки Теперь мы постулируем линейную зависимость вектора C от выделенных факторов. Другими словами, разложим вектор C по базису Pi, i 1,..., k Условие (19) позволяет легко определить коэффициенты разложения по формуле (20) где Pi вычисляется по формулам (18).

В силу единственности факторного решения коэффициенты i, i 1,..., k, определяются единственным образом.

Умножим теперь скалярно левую и правую части уравнения (20) на вектор X Скалярное произведение ( Pi, X ), i 1,..., k, можно вычислить из системы (18).

Действительно, В результате получаем оценку Здесь b j – компоненты вектора B (16).

Таким образом, доказана теорема.

Теорема 2. Если в системе (16) матрицу A трактовать как матрицу наблюдений в методе главных компонент факторного анализа, то в результате получаем оценку вида (23).

Вторая глава «Принцип максимума для линейных систем со смешанными ограничениями» посвящена постановке задачи ОУ со смешанными ограничениями, для которой формулируются необходимые условия оптимальности с использованием принципа максимума Понтрягина и формализма Дубовицкого–Милютина.

Рассматриваются линейные задачи ОУ со смешанными ограничениями как частный случай задачи ОУ[8-10].В работе [10] принцип максимума был доказан для нерегулярных смешанных ограничений. Это означает, что сопряженные переменные содержат меру сосредоточенную на множестве фазовых точек. Здесь в целях простоты изложения выписан только регулярный принцип максимума[9].

при условиях необходимые условия оптимальности имеют вид:

где вектор t является решением системы уравнений с условиями Далее рассматриваются достаточные условия оптимального управления, основанные на методике сведения линейной задачи ОУ со смешанными ограничениями к задаче ЛП в банаховых пространствах, Эти условия приводятся ниже (теорема 1) в терминах пары задач А и Б [8-10].

Рассматриваются две задачи:

Найти управления u t L 0, T, дающие максимум линейному функционалу при следующих ограничениях:

измеримые компоненты. Соответствующие матрицы и векторы имеют следующие Векторы с символом являются строками, без – столбцами.

функционалу при следующих ограничениях:

Достаточные условия оптимальности задач А и Б даются следующей теоремой:

Теорема 1. Пусть для некоторых допустимых управлений u t и v t, задач А и Б выполнены условия причем первые два равенства выполняются почти при всех t. Тогда u t, x t будет оптимальным решением задачи А, а v t,, x t будет оптимальным решением задачи Необходимые условия оптимальности для задачи А можно сформулировать в терминах принципа максимума Понтрягина с использованием сопряженных переменных t. Связь сопряженных переменных t и переменных задачи Б дается утверждениями:

Утверждение 1. Если при допустимом управлении задачи А существует вектор сопряженных переменных t, константа 0 0 и векторы множителей Лагранжа t, t, удовлетворяющие дифференциальным уравнениям и краевым условиям для t, условиям Блисса и условиям дополняющей нежесткости для t, t, то t и t являются допустимыми управлением и фазовым вектором задачи Б.

Утверждение 2. Если существуют допустимые управления u t, vt, задач А и Б, и они удовлетворяют условиям (32)-(34), то вектор траектории xt задачи (28)соответствующей управлению vt, является вектором сопряженных переменных t задачи (24)-(27) при 0 1.

На основании утверждений 1 и 2 теорема 1 имеет следующую формулировку:

Теорема 2. Если при данном допустимом управлении u t задачи А существуют число 0 1, кусочно-гладкая вектор-функция t, измеримые вектор-функции t 0, t 0 и вектор 0 такие, что выполняются условия утверждения 1 и теоремы 1, то u t – оптимальное управление задачи А.

Таким образом, теорема 2 дает возможность использовать сопряженные переменные t для доказательства оптимальности полученного решения в задаче ОУ.

В третьей главе «Дискретная аппроксимация линейных задач оптимального управления со смешанными ограничениями» описывается построение конечноразностных аппроксимаций для задачи ОУ, приводится двухэтапная схема решения линейной задачи ОУ со смешанными ограничениями и описывается каждый этап схемы.

Дискретное решение позволяет сформировать гипотезу о промежутках постоянства по времени множеств активных ограничений. По данной гипотезе строится аналитическое решение прямой и сопряженной задач, находятся времена переключений управлений и проверяются необходимые условия экстремума. Для оценки погрешности, как по функционалу, так и по фазовым переменным, численного решения для метода дискретной аппроксимации рассматриваются задача ОУ:

задача ЛП, получаемая из задачи ОУ дискретизацией по схеме Эйлера первого порядка точности:

и доказывается следующая теорема:

Теорема 1. Пусть все матрицы и столбцы в условии задачи (35)-(38) кусочнонепрерывны на отрезке 0, T, а функция f t удовлетворяет условию Липшица с ограниченное множество. Пусть существует такое допустимое управление u t задачи, что набор управляющих и фазовых переменных u t, x t принадлежит -сужению G t допустимого множества Gt с непустой внутренностью при некотором малом 0. Тогда существует решение дискретной задачи ЛП (35а)-(38а) при всех достаточно больших N, и lim g w J.

Для задач, в которых смешанные ограничения присутствуют также в виде равенств:

данная теорема оказывается справедливой при выполнении условий теоремы:

Теорема 2. Пусть рассматривается линейная задача ОУ со смешанными ограничениями типа равенства и неравенства (35)-(39). Пусть в любой момент времени можно разрешить все r2 ограничений типа равенства относительно r2 из m управлений Далее, пусть при подстановке выраженных таким образом u k в ограничения типа неравенства (4) получаются неравенства относительно n m r2 переменных ( n накладываются условия неотрицательности Получившаяся таким образом задача имеет форму задачи А, следовательно для нее можно сформулировать задачу Б. Пусть для некоторых допустимых управлений задач А и Б выполнены условия теоремы 1, то есть получены оптимальные управления и фазовые переменные задачи А. Тогда подстановкой их в выражения (40) получаются оптимальные управления и фазовые переменные исходной задачи.

В четвертой главе «Минимизация долга промышленного предприятия»

дается постановка задачи ОУ долгом предприятия.

Модель описывает двухсекторную экономическую систему, первый сектор которой добывает ресурсы, а второй производит продукцию конечного потребления (фондообразующую). Погашение долга происходит за счет продажи продукции первого сектора. Минимизируемый функционал (долг) J x, u x3 100, 0 t T 100.

Обозначения для количественных характеристик системы x1 t, x2 t – суммарный объем инвестиций в секторы 1 и 2 за время [0,t];

x4 t, x5 t – суммарная амортизация фондов в первом и во втором секторах за i, i 1, 2 – коэффициент производительности труда в i-том секторе;

– коэффициент амортизации фондов в i-том секторе при производстве u1 t – поток инвестиций в первый сектор;

u2 t – поток фондообразующей продукции из второго сектора в первый;

u3 t – поток инвестиций во второй сектор;

– поток фондообразующей продукции второго сектора, направленный на u5 t – поток импорта потребительских товаров;

u6 t – объем продукции, производимой первым сектором (на экспорт);

– объем продукции, производимой вторым сектором (на фондовооруженность – минимальный объем непроизводственного потребления;

– коэффициент, служащий для сопоставления внутренних и внешних цен;

2 – коэффициент, учитывающий необходимость обслуживания долга;

Система дифференциальных уравнений и ограничения задачи Значения коэффициентов задачи, начальных и конечных условий При решении этой задачи проводилась дискретизация как с использованием явных и неявных схем первого порядка точности. Получающиеся задачи ЛП решались с помощью программы” FACTOR” Программа факторного анализа состоит из основной программы, специальной программы ввода DATA и пяти подпрограмм: СORRE, EIGEN, TRACE, LOAD и VARMX. модифицированной автором для работы под платформой Win32 и позволяющей работать с задачами ЛП с большим числом переменных. Данная программа позволяет удобно описывать и решать дискретные аппроксимации задач ОУ при большом числе точек дискретизации. Решение задачи ЛП показано на рис. 1-4:

Рис 1. Фазовые переменные x1, x2, x4, x Аналитическое решение для данной модели построено на основе принципа максимума Понтрягина. Высказана гипотеза о том, что траектория системы состоит из пяти промежутков постоянства индексов активных ограничений. На каждом промежутке из активных ограничений определялись управления и аналитически решалась задача Коши, при этом момент времени переключения полагался параметром. Сопряженная система интегрировалась справа налево, с параметрами, являющимися моментами времен переключений. Значения времен переключений определялись из решения трансцендентных уравнений, связывающих фазовые переменные и сопряженные переменные задачи. Вычисления проводились в пакете Maple 9. Полное решение задачи приведено в диссертации. Сопряженные переменные задачи и функция Понтрягина приведены на рис. 5-6:

Рис 5. Сопряженные переменные 1(t)-5(t) В приложении приведены примеры обработки матрицы наблюдений по методу факторного анализа.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ

Основные результаты проведенного диссертационного исследования следующие:

Разработана методика решения линейных задач оптимального управления с нерегулярными смешанными ограничениями. Данная методика позволяет получить численное решение с применением методов факторного анализа, и, при необходимости, проверить его аналитически.

На основе предложенного подхода:

1. На базе схемы Дубовицкого-Мипютина и методов факторного анализа создана методика численного решения линейных параметрических задач ОУ Разработана система формирования и решения семейства несобственных задач ЛП с различными значениями коэффициентов, позволяющая отслеживать параметры получающихся решений и характеристики промышленного предприятия, в которой выполнено расширение посредством введения параметров, и на ее основе решена параметрическая 4. Предложен модифицированный метод Якоби для вычисления собственных 5. Проведено исследование устойчивости задач аппроксимации в зависимости от коэффициентов исходной задачи оптимального управления.

Список литературы:

Дубовицкий А.Я., Милютин А.А. Необходимые условия экстремума в некоторых линейных задачах со смешанными ограничениями. В сб. “Вероятностные процессы и управление”. М.: Наука,1978. С. 42-74.

2.Хачай М.Ю. О вычислительной сложности задачи о минимальном комитете системы линейных неравенств. Труды 13-й Байкальской международной школы-семинара «Методы оптимизации и их приложения». Иркутск 2005. ИСЭМ СО РАН, 2005, т. стр.147-153.

3.Горелик В.А., Ерохин В.И., Оптимальная матричная коррекция несовместных систем линейных алгебраических уравнений и несобственных задач линейного программирования // Моделирование, декомпозиция и оптимизация сложных динамических процессов. М.: ВЦ РАН, 2004. - С. 35-63.

4.Харман Г. Современный факторный анализ М.: Статистика, 1972.

5.Голиков А.И., Евтушенко Ю.Г. Моллаверди Н. Применение метода Ньютона к решению задач линейного программирования большой размерности. ЖВМиМФ, 2004, том 44, № 9.

С. 1564-1573.

6. Умнов А.Е., Умнов Е.А., Чекарев Д.А. Параметрический двухуровневый метод решения задач оптимального управления со смешанными ограничениями. // Моделирование процессов управления: Сб.ст./Моск. физ.-тех. ин-т. – М., 2004. С. 68-73.

7. Васильев Ф.П., Иваницкий А.Ю. Линейное программирование, М.: Факториал, 1998.

8.В.В. Дикусар, Д.А.Чекарев. Численно-аналитический метод решения задач оптимального управления. Препринт. ВЦ РАН, 2004.

9. Тер-Крикоров А.М. Оптимальное управление и математическая экономика. М.: Наука, 1977.

10.Дубовицкий А.Я., Милютин А.А. Необходимые условия экстремума в некоторых линейных задачах со смешанными ограничениями. В сборнике “Вероятностные процессы и управление”. М.,Наука,1978.-С.42-74.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

Трушин Ю.В., Шомполова О.И. Один итерационный метод решения задачи Коши с большим параметром для систем ОДУ. // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук / Труды XLVIII научной конференции МФТИ. Секция педагогики и информационных технологий - Москва-Долгопрудный, 2005.- С. 25Трушин Ю.В., Шомполова О.И. Некоторые явные схемы численного решения систем ОДУ в задачах с большим параметром. // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук / Труды XLVIII научной конференции МФТИ. Секция педагогики и информационных технологий - МоскваДолгопрудный, 2005.- С. 27-30.

Трушин Ю.В., Шомполова О.И. Некоторые явные схемы решения систем ОДУ с большим параметром. Труды Института системного анализа Российской Академии Наук. Динамика неоднородных систем. Выпуск 9(2).-М.: КомКнига, 2005.-С. 146Трушин В.Б., Трушин Ю.В., Шомполова О.И. Свойства одной функции штрафа // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук / Труды 49 научной конференции МФТИ. Ч. VII.- Москва-Долгопрудный, 2006.- С. 12.

Трушин В.Б., Трушин Ю.В., Шомполова О.И. Сведение задачи линейного программирования к вариационному неравенству // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук / Программа 49 научной конференции МФТИ. - Москва-Долгопрудный, 2006.- С. 152.

Трушин В.Б., Трушин Ю.В., Шомполова О.И. О монотонности и коэрцитивности одного отображения // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук / Программа 49 научной конференции МФТИ. - Москва-Долгопрудный, 2006.С. 153.

Трушин В.Б., Трушин Ю.В., Шомполова О.И. Сведение систем линейных уравнений к вариационному неравенству // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук / Программа 49 научной конференции МФТИ. - Москва-Долгопрудный, 2006.- С. 154.

Трушин Ю.В., Шомполова О.И. О решении невырожденных систем линейных уравнений методом монотонного штрафа // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук / Труды 50 научной конференции МФТИ. Ч.

VII. Управление и прикладная математика. Т.1 - М.: МФТИ, 2007- С. 35 - 38.

10 Trushin J.V., Dikusar V.V., Trushin V.B., Shompolova O.I. Solving of Linear Equations with Large Number of Conditions by Means of the Penalty Monotonous Operator // Computer Algebra Systems in Teaching and Research / 4 International Workshop, CASTR 2007. Siedlce, Poland, January 31 - February 3, 2007, Proceedings/ Wydawnictwo Akademii Podlaskiej. Siedlce 2007. P. 79 - 86.

Дикусар В.В., Шомполова О.И. Применение факторного анализа для решения задач линейного программирования // Труды ИСА РАН. 2010. Т. 53(3). Вып. 14. Стр. 142 Вуйтович М., Шомполова О.И. Факторный анализ // Труды ИСА РАН. 2010.

Т. 53(3). Вып. 14. Стр. 126 - 141.

Шомполова О.И. Минимизация долга промышленного предприятия // Труды ИСА РАН. 2010. Т. 53(3). Вып. 14. Стр. 200 - 208.

Дикусар В.В., Шомполова О.И. Влияние ценовой неопределенности на спрос импортных товаров // Труды ИСА РАН. 2010. Т. 53. Вып. 14. Стр. 177 - 190.