[ Московская математическая
конференция школьников
ПРОГРАММА заседания 15.12.2013, МЦНМО
Можно прийти только на часть заседания
10.00-10.10, ауд. 306. Открытие. Выступление Алексея Александровича Заславского. Объявления Бориса Рафаиловича Френкина.
10.10-10.35, ауд. 306. А.М. Райгородский, Экстремальные системы множеств (Председатель А.А. Заславский)
10.40-11.05, ауд. 306. А. Лепес, Неравенство Йенсена и выпуклые функции.
(Председатель А.А. Привалов) 11.10-11.35, ауд. 306. И. Павлов, К. Хадаев, 3-раскрашиваемые графы с запретами на ребрах. (Председатель А.А. Заславский) 11.35-11.50, ауд. 307. Перерыв (чай, кофе, бутерброды) 11.50-12.15, ауд. 306. В. Белоусов, A smaller counterexample to the Lando Conjecture. (Председатель В.Ю. Губарев) 12.20-12.50, ауд. 306. А. Зимин, A short proof of the Conway-Gordon-Sachs Theorem. (Председатель В.Ю. Губарев) 12.50-13.05, ауд. 307. Перерыв (чай, кофе, бутерброды) Секция комбинаторики и анализа (аудитория 308, председатель М.А. Аленников).
13.05-13.30. Р. Крутовский, О графах данного диаметра без малых циклов.
13.35-13.55. И. Левин, Г. Николаев, Дискретные гармонические функции.
14.00-14.20. Д. Ахтямов, Разрешимость кубических уравнений с использованием одного радикала.
Секция анализа и комбинаторики (аудитория 306, председатель И.Ж. Ибатулин).
13.05-13.30. И. Флегонтов, Многочлены Бернштейна.
13.35-13.55. А. Вавилов, Треугольник Лейбница.
14.00-14.20. Д. Селиванов, О площадях некоторых плоских многоугольников.
14.20-15.00. Обеденный перерыв (чай, кофе, бутерброды в ауд. 307, можно сходить в Муму) 15.00-15.30, ауд. 306. А.Г. Мякишев, О коллинеарности центров некоторых окружностей, связанных с окружностью Эйлера. (Председатель Б.Р. Френкин) 15.35-15.45, ауд. 306. Объявление решения жюри и награждение АННОТАЦИИ докладов ММКШ- Полные тексты см. на http://www.mccme.ru/mmks/notes.htm, notesm.htm
ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ
Алексей Николаевич Глебов, Эффективные приближенные алгоритмы для задачи коммивояжера и ее модификаций.В докладе речь пойдет о малотрудоемких алгоритмах для решения задачи коммивояжера и некоторых близких к ней задач. Ввиду того, что полиномиальных по трудоемкости алгоритмов для точного решения таких задач неизвестно, основное внимание будет уделено приближенным алгоритмам с гарантированными оценками точности и временнй сложности. Будет о сделан обзор известных приближенных алгоритмов для различных вариантов задачи коммивояжера на минимум и на максимум. Будут предложены постановки исследовательских задач на построение новых приближенных алгоритмов с гарантированными оценками точности для некоторых случаев задачи коммивояжера и ее модификаций.
Доклад не состоится, поскольку автор не сможет приехать.
Алексей Геннадиевич Мякишев, О коллинеарности центров некоторых окружностей, связанных с окружностью Эйлера.
В докладе будет рассказано о следующей новой теореме геометрии треугольника, аналогичной теоремам Фейербаха и Тебо. Центры трех окружностей, вписанных в углы остроугольного треугольника и касающихся внутренним образом окружности девяти точек, лежат на одной прямой.
Андрей Михайлович Райгородский. Экстремальные системы множеств.
НОМИНАЦИЯ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ РАБОТ. АУДИТОРНЫЕ
ДОКЛАДЫ.Белоусов Владислав, A smaller counterexample to the Lando Conjecture.
The following conjecture was proposed in 2010 by S. Lando. Let M and N be two unions of the same number of disjoint circles in a sphere. Then there exist two spheres in 3-space whose intersection is transversal and is a union of disjoint circles that is situated as M in one sphere and as N in the other. Dene union A of disjoint circles to be situated in one sphere as union B of disjoint circles in the other sphere if there is a homeomorphism between these two spheres which maps A to B.
In this paper we prove that there exists pair of sets of 7 circles in sphere, that is a counterexample to the Lando conjecture. This is proved using the Avvakumov Theorem. We conjecture that there exists no pair (M,N) that is counterexample and M contains 6 or less circles.
Рассмотрим два многогранника (не обязательно выпуклых) в трехмерном пространстве, пересекающихся по конечному объединению замкнутых ломаных. Первый многогранник разбивает второй на области. Обозначим через G1 граф, вершины которого области, и две вершины соединены ребром, если соответствующие области граничат. Аналогично определим граф G2. При помощи компьютерного перебора С. Аввакумов привел минимальный пример пары графов, не являющейся парой G1, G2 ни для каких двух многогранников. В докладе мы представим математическое доказательство этого факта, основанное на небольшом переборе.
Зимин Арсений, A short proof of the Conway-Gordon-Sachs Theorem.
Рассмотрим в трехмерном пространстве 6 точек, никакие 4 из которых не лежат в одной плоскости. Линейная версия теоремы Конвея-Гордона-Закса, утверждает, что найдутся два зацепленных треугольника с вершинами в этих точках. Идея ее оригинального доказательства в том, что изменение положения одной из шести точек не меняет четности количества пар зацепленных треугольников. Затем строится пример, когда количество пар зацепленных треугольников нечетно. В этой работе линейная и кусочно-линейная теорема Конвея-ГордонаЗакса сводятся к некоторому красивому и простому факту о пяти точках на плоскости и соединяющих их отрезках.
НОМИНАЦИЯ УЧЕБНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ РАБОТ. АУДИТОРНЫЕ
ДОКЛАДЫ.Данил Ахтямов, Разрешимость кубических уравнений с использованием одного радикала.
Теорема. Кубическое уравнение x3 + px + q = 0 с рациональными коэффициентами имеет корень вида a + br + cr2, с рациональными a, b, c, r3 и вещественным r тогда и только тогда, когда либо оно имеет рациональный корень, либо D 0 и число D рационально, где D = ( p )3 + ( 2 )2.
q Эту теорему можно использовать для проверки того, имеет ли кубическое уравнение с рациональными коэффициентами корень вида a + br + cr2, где числа a, b, c, r3 рациональны и r вещественно.
Алексей Вавилов, Треугольник Лейбница.
Будут рассмотрены простейшие свойства треугольника Лейбница. Треугольник Лейбница — это бесконечная таблица чисел, имеющая треугольную форму. Числа на границе этого треугольника обратны последовательным натуральным числам, а каждое число внутри равно сумме двух чисел, стоящих под ним. Существует связь между треугольником Лейбница и треугольником Паскаля. Знаменатели чисел, расположенных в рядах треугольника Лейбница, пропорциональны элементам треугольника Паскаля, причем коэффициентами пропорциональности служат граничные члены.
Роман Крутовский, О графах данного диаметра без малых циклов.
Будет приведено доказательство следующего известного факта. В связном графе диаметра d без циклов длины 2d + 1 степени всех вершин равны. Основная идея — доказательство для частного случая, в котором расстояние между вершинами равно d.
Илья Левин и Глеб Николаев, Дискретные гармонические функции.
Двумерные дискретные гармонические функции — функции, определенные в целых точках плоскости, у которых значение в каждой точке равно среднему арифметическому четырех соседних. Такие функции возникают, в частности, в области теории потенциала. Основной результат — дискретный аналог теоремы Лиувилля. Он состоит в том, что ограниченная сверху и снизу дискретная гармоническая функция на бесконечной квадратной решетке обязательно является постоянной. Помимо этого, исследованы некоторые свойства гармонических функций, отдельно рассмотрены функции с ограниченной областью определения. Некоторые идеи показаны при помощи одномерных дискретных гармонических функций. Представлены предварительные результаты работы над численными методами построения.
Адилсултан Лепес, Неравенство Йенсена и выпуклые функции.
Как известно, неравенство Йенсена выполнено для всякой выпуклой функции. Однако в олимпиадных задачах встречаются и невыпуклые функции, для которых справедливо неравенство Йенсена в заданной точке. Например, нами показано, что даже среди многочленов третьей степени таких функций бесконечно много. Оказывается, что это не случайность, и можно сформулировать общий результат. Такая попытка предпринята в настоящей работе.
Мы показываем, как сводить доказательство некоторых непростых неравенств к поиску ‘локальной опорной кривой’.
Описание и практическое применение этого метода принято в печать в российский журнал ‘Математика в школе’, болгарский журнал ‘Didactical Modeling’ и гонконгский журнал ‘Mathematical Excalibur’. В качестве демонстрации метода во время доклада планируется представить альтернативное доказательство 7 неравенств из различных олимпиад и исправить неверное решение в книге Ercole Suppa.
Иван Павлов и Константин Хадаев, 3-раскрашиваемые графы с запретами на ребрах.
Изучаются раскраски вершин графов, при которых на каждое ребро графа накладывается по одному или несколько ограничений (запретов), не позволяющих красить концы этого ребра в заданную пару цветов. Для каждого целого числа r = 1, 2,..., 6 описан класс графов, допусакающих правильную раскраску вершин в три цвета с дополнительным ограничением, что на каждое ребро графа наложены произвольные r запретов. Нетрудно доказать, что • при r = 6 единственным связным r-раскрашиваемым графом является одновершинный граф, • при r {4, 5} класс связных r-раскрашиваемых графов ограничивается цепями длины не более 1, а • при r {2, 3} — цепями длины не более 2.
Более сложно доказать, что связный граф является 1-раскрашиваемым тогда и только тогда, когда его эйлерова характеристика равна 1, 0, 1 и выполнены некоторые ограничения на длины цепей и циклов в нем.
Даниил Селиванов, О площадях некоторых плоских многоугольников.
Доказана формула для площади многоугольника с вершинами в точках (q n, 0), (q n+ki, i).
Здесь k, n, q — фиксированные целые числа и i = 0,..., k.
«