[ «Утверждаю: Ректор _ 201 г. Номер внутривузовской регистрации Основная образовательная программа высшего профессионального образования Направление подготовки 050100 Педагогическое образование Профиль подготовки ...»
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Стерлитамакская государственная педагогическая академия им. Зайнаб Биишевой
Утверждаю:
Ректор
_
«»201 г.
Номер внутривузовской регистрации Основная образовательная программа высшего профессионального образования Направление подготовки 050100 Педагогическое образование Профиль подготовки Математика, Информатика Квалификация (степень) Бакалавр Форма обучения Очная Стерлитамак
СОДЕРЖАНИЕ
1. Общие положения 1.1. Основная образовательная программа бакалавриата, реализуемая вузом по направлению подготовки 050100 педагогическое образование и профилю подготовки Математика, информатика.1.2. Нормативные документы для разработки ООП бакалавриата по направлению подготовки 050100 педагогическое образование.
1.3. Общая характеристика вузовской основной образовательной программы высшего профессионального образования (бакалавриат).
1.4 Требования к абитуриенту 2. Характеристика профессиональной деятельности выпускника ООП бакалавриата по направлению подготовки 050100 Педагогическое образование.
2.1. Область профессиональной деятельности выпускника 2.2. Объекты профессиональной деятельности выпускника 2.3. Виды профессиональной деятельности выпускника 2.4. Задачи профессиональной деятельности выпускника 3. Компетенции выпускника ООП бакалавриата, формируемые в результате освоения данной ООП ВПО.
4. Документы, регламентирующие содержание и организацию образовательного процесса при реализации ООП бакалавриата по направлению подготовки Педагогическое образование.
4.1. Годовой календарный учебный график.
4.2. Учебный план подготовки бакалавра.
4.3. Рабочие программы учебных курсов, предметов, дисциплин (модулей).
4.4. Программы учебной и производственной практик.
5. Фактическое ресурсное обеспечение ООП бакалавриата по направлению подготовки 050100 Педагогическое образование в вузе СГПА им. Зайнаб Биишевой.
6. Характеристики среды вуза, обеспечивающие развитие общекультурных и социально-личностных компетенций выпускников 7. Нормативно-методическое обеспечение системы оценки качества освоения обучающимися ООП бакалавриата по направлению подготовки Педагогическое образование.
7.1. Фонды оценочных средств для проведения текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации 7.2. Итоговая государственная аттестация выпускников ООП бакалавриата.
8. Другие нормативно-методические документы и материалы, обеспечивающие качество подготовки обучающихся.
Приложения 1. Общие положения 1.1. Основная образовательная программа бакалавриата, реализуемая вузом по направлению подготовки 050100 педагогическое образование и профилю подготовки Математика, информатика.
представляет собой систему документов, разработанную и утвержденную высшим учебным заведением с учетом требований рынка труда на основе Федерального государственного образовательного стандарта по соответствующему направлению подготовки высшего профессионального образования (ФГОС ВПО), а также с учетом рекомендованной примерной образовательной программы.
ООП регламентирует цели, ожидаемые результаты, содержание, условия и технологии реализации образовательного процесса, оценку качества подготовки выпускника по данному направлению подготовки и включает в себя: учебный план, рабочие программы учебных курсов, предметов, дисциплин (модулей) и другие материалы, обеспечивающие качество подготовки обучающихся, а также программы учебной и производственной практики, календарный учебный график и методические материалы, обеспечивающие реализацию соответствующей образовательной технологии.
1.2. Нормативные документы для разработки ООП бакалавриата по направлению подготовки 050100 педагогическое образование.
Нормативную правовую базу разработки ООП бакалавриата составляют:
Федеральные законы Российской Федерации: «Об образовании» (от 10 июля года №3266-1) и «О высшем и послевузовском профессиональном образовании» (от августа 1996 года №125-ФЗ);
Типовое положение об образовательном учреждении высшего профессионального образования (высшем учебном заведении), утвержденное постановлением Правительства Российской Федерации от 14 февраля 2008 года № 71 (далее – Типовое положение о вузе);
Федеральный государственный образовательный стандарт (ФГОС) по направлению подготовки 050100 Педагогическое образование высшего профессионального образования (ВПО) (бакалавриат), утвержденный приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от «17» января 2011 г. № Нормативно-методические документы Минобрнауки России;
Устав вуза СГПА им. Зайнаб Биишевой.
1.3. Общая характеристика вузовской основной образовательной программы высшего профессионального образования (бакалавриат).
1.3.1. Цель (миссия) ООП бакалавриата: ООП бакалавриата по направлению 050100 Педагогическое образование имеет своей целью методическое обеспечение реализации ФГОС ВПО по данному направлению подготовки и на этой основе развитие у студентов личностных качеств, а также формирование общекультурных (универсальных) и профессиональных компетенций в соответствии с требованиями ФГОС ВПО по данному направлению подготовки.
1.3.2. Срок освоения ООП бакалавриата 5 (пять) лет.
1.3.3. Трудоемкость ООП бакалавриата 300 (триста) зачетных единиц.
1.4. Требования к абитуриенту Абитуриент должен иметь документ государственного образца о среднем (полном) общем образовании или среднем профессиональном образовании.
2. Характеристика профессиональной деятельности выпускника ООП бакалавриата по направлению подготовки 050100 Педагогическое образование.
2.1. Область профессиональной деятельности выпускника включает образование, социальную сферу, культуру.
2.2. Объекты профессиональной деятельности выпускника: обучение, воспитание, развитие, образовательные системы.
2.3. Виды профессиональной деятельности выпускника: педагогическая, культурно-просветительская, научно-исследовательская.
2.4. Задачи профессиональной деятельности выпускника в области педагогической деятельности:
изучение возможностей, потребностей, достижений обучающихся в области образования и проектирование на основе полученных результатов образовательных программ, дисциплин и индивидуальных маршрутов обучения, воспитания, организация обучения и воспитания в сфере образования с использованием технологий, соответствующих возрастным особенностям обучающихся и отражающих специфику областей знаний (в соответствии с реализуемыми организация взаимодействия с общественными и образовательными организациями, детскими коллективами и родителями для решения задач профессиональной деятельности;
использование возможностей образовательной среды для обеспечения качества образования, в том числе с применением информационных технологий;
осуществление профессионального самообразования и личностного роста, проектирование дальнейшего образовательного маршрута и профессиональной в области культурно-просветительской деятельности:
изучение, формирование и реализация потребностей детей и взрослых в культурнопросветительской деятельности;
организация культурного пространства;
в области научно-исследовательской деятельности:
сбор, анализ, систематизация и использование информации по актуальным проблемам науки и образования;
разработка современных педагогических технологий с учетом особенностей образовательного процесса, задач воспитания, обучения и развития личности;
проведение экспериментов по использованию новых форм учебной и воспитательной деятельности, анализ результатов.
3. Компетенции выпускника ООП бакалавриата, формируемые в результате освоения данной ООП ВПО.
Результаты освоения ООП бакалавриата определяются приобретаемыми выпускником компетенциями, т.е. его способностью применять знания, умения и личные качества в соответствии с задачами профессиональной деятельности.
В результате освоения данного ООП бакалавриата выпускник должен обладать следующими общекультурными компетенциями (ОК):
владением культурой мышления, способностью к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения (ОК-1);
способностью анализировать мировоззренческие, социально и личностно значимые философские проблемы (ОК-2);
способностью понимать значение культуры как формы человеческого существования и руководствоваться в своей деятельности базовыми культурными ценностями, современными принципами толерантности, диалога и сотрудничества (ОК-3);
способностью использовать знания о современной естественнонаучной картине мира в образовательной и профессиональной деятельности, применять методы математической обработки информации, теоретического и экспериментального исследования (ОК-4);
готовностью использовать методы физического воспитания и самовоспитания для повышения адаптационных резервов организма и укрепления здоровья (ОК-5);
способностью логически верно выстраивать устную и письменную речь (ОК-6);
готовностью к взаимодействию с коллегами, к работе в коллективе (ОК-7);
готовностью использовать основные методы, способы и средства получения, хранения, переработки информации, готовностью работать с компьютером как средством управления информацией (ОК-8);
способностью работать с информацией в глобальных компьютерных сетях (ОК-9);
владением одним из иностранных языков на уровне, позволяющем получать и оценивать информацию в области профессиональной деятельности из зарубежных источников (ОК-10);
готовностью использовать основные методы защиты от возможных последствий аварий, катастроф, стихийных бедствий (ОК-11);
способностью понимать сущность и значение информации в развитии современного информационного общества, сознавать опасности и угрозы, возникающие в этом процессе, соблюдать основные требования информационной безопасности, в том числе защиты государственной тайны (ОК-12);
готовностью использовать нормативные правовые документы в своей деятельности готовностью к толерантному восприятию социальных и культурных различий, уважительному и бережному отношению к историческому наследию и культурным традициям (ОК-14);
способностью понимать движущие силы и закономерности исторического процесса, место человека в историческом процессе, политической организации общества (ОКспособностью использовать навыки публичной речи, ведения дискуссии и полемики Выпускник должен обладать следующими профессиональными компетенциями (ПК):
осознанием социальной значимости своей будущей профессии, обладанием мотивацией к осуществлению профессиональной деятельности (ОПК-1);
способностью использовать систематизированные теоретические и практические знания гуманитарных, социальных и экономических наук при решении социальных и профессиональных задач (ОПК-2);
владением основами речевой профессиональной культуры (ОПК-3);
способностью нести ответственность за результаты своей профессиональной деятельности (ОПК-4);
способностью к подготовке и редактированию текстов профессионального и социально значимого содержания (ОПК-5);
в области педагогической деятельности:
способностью разрабатывать и реализовывать учебные программы базовых и элективных курсов в различных образовательных учреждениях (ПК-1);
способностью решать задачи воспитания и духовно-нравственного развития личности обучающихся (ПК-2);
готовностью применять современные методики и технологии, методы диагностирования достижений обучающихся для обеспечения качества учебновоспитательного процесса (ПК-3);
способностью осуществлять педагогическое сопровождение процессов социализации и профессионального самоопределения обучающихся, подготовки их к сознательному выбору профессии (ПК-4);
способностью использовать возможности образовательной среды для формирования универсальных видов учебной деятельности и обеспечения качества учебновоспитательного процесса (ПК-5);
готовностью к взаимодействию с учениками, родителями, коллегами, социальными партнерами (ПК-6);
способностью организовывать сотрудничество обучающихся, поддерживать активность и инициативность, самостоятельность обучающихся, их творческие способности (ПК-7);
готовностью к обеспечению охраны жизни и здоровья обучающихся в учебновоспитательном процессе и внеурочной деятельности (ПК-8);
в области культурно-просветительской деятельности:
способностью разрабатывать и реализовывать, с учетом отечественного и зарубежного опыта, культурно-просветительские программы (ПК-9);
способностью выявлять и использовать возможности региональной культурной образовательной среды для организации культурно-просветительской деятельности в области научно-исследовательской деятельности:
готовностью использовать систематизированные теоретические и практические знания для определения и решения исследовательских задач в области образования способностью разрабатывать современные педагогические технологии с учетом особенностей образовательного процесса, задач воспитания и развития личности способностью использовать в учебно-воспитательной деятельности основные методы научного исследования (ПК-13).
4. Документы, регламентирующие содержание и организацию образовательного процесса при реализации ООП бакалавриата по направлению подготовки Педагогическое образование.
4.3. Рабочие программы учебных курсов, предметов, дисциплин (модулей).
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ГОУ ВПО «Стерлитамакская государственная педагогическая академия Кафедра алгебры, геометрии и методики обучения математике (код 24) Аннотация рабочей программы дисциплины (модуля) Дополнительные главы алгебры, геометрии и методики обучения Цель освоения дисциплины: изучение основных понятий линейного, билинейного и квадратичного функционалов, вычислительных методов линейной алгебры, основ компьютерной графики и геометрического моделирования, а также профессиональная подготовка будущих учителей математики к обучению математике учащихся в условиях уровневой и профильной дифференциации в общеобразовательной школе.В процессе изучения названного курса решаются задачи:
образовательные: выработки основной группы профессиональных умений, умений и навыков, связанных с преподаванием математики и информатики в общеобразовательной школе; изучение основ геометрического моделирования и компьютерной графики, вычислительных методов линейной алгебры.
развивающие: развития мышления, устной и письменной математической речи, памяти, внимания;
воспитательные:
1) устойчивого интереса к изучению математики, информатики и научным исследованиям;
2) этики профессионального поведения;
3) активной жизненной позиции;
4) ответственности, инициативности, самостоятельности, упорства, организованности, привычки к систематическому труду, дисциплине, добросовестного отношения к порученному делу;
5) общей культуры и научного мировоззрения через ознакомление с историей, ролью математики;
6) культуры общения, эстетическое воспитание.
1. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата.
Дисциплина «Дополнительные главы алгебры, геометрии и методики обучения математике» (Б3.ДВ1) входит в цикл профессиональных дисциплин «Б3». Изучается в 5семестрах в объеме 1368 часов, из которых 600 ч. аудиторных, 741 ч. на самостоятельную работу студентов.
Основной базой для данного курса служит материал ранее изучавшихся дисциплин: «Линейная алгебра», «Аналитическая и дифференциальная геометрии», «Информатика», «Математический анализ».
Для освоения данной дисциплины обучающийся должен иметь:
знания курсов алгебры, аналитической и дифференциальной геометрии, информатики, математического анализа, элементарной математики, изученных умение самостоятельно работать над учебным материалом, критически оценивать полученные результаты;
самосовершенствованию, к применению полученных знаний в будущей профессиональной деятельности.
2. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины (модуля).
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих профессиональных компетенций: ОК-1, 4, ОПК-3, ПК-1, 2.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен основные определения линейного и билинейного функционалов, их основные основы теории линейных операторов, основные понятия и факты компьютерной геометрии, психолого-педагогические основы дифференциации обучения математике; виды дифференциации; соотношение дифференциации и индивидуализации;
структуру понятия «познавательный интерес»; методы и средства развития познавательного интереса учащихся при обучении математике;
сущность прикладной направленности школьного курса математики; пути осуществления прикладной направленности школьного курса математики;
методические особенности изучения математики в предпрофильных классах;
методические особенности изучения разделов и вопросов программы по математике для классов математического и нематематического профилей;
особенности подготовки и проведения элективных курсов в предпрофильных и профильных классах;
методику подготовки к итоговой аттестации и технологию проведения единого государственного экзамена по математике.
находить инварианты квадратичной формы (ранга, индексов инерции); применять квадратичные формы к классификации поверхностей второго порядка.
решать основные задачи по билинейным функционалам; линейным операторам комплексных векторных пространств;
строить В-сплайны, В-кривые и В - поверхности.
составлять системы заданий соответствующих уровней по конкретной теме школьного курса математики;
выявлять и осуществлять пути и средства развития познавательного интереса учащихся при обучении математике;
составлять системы заданий прикладной направленности к определенным темам программы школьного курса математики;
решать прикладные задачи повышенной трудности;
составлять системы заданий к определенным темам программы для классов с нематематическим профилем решать задачи повышенной трудности осуществлять подбор заданий для подготовки школьников к итоговым тестам по определенным темам школьной программы.
решать задачи групп В и С тестов единого государственного экзамена по основными понятиями линейных и билинейных функционалов основными методами компьютерной геометрии методикой обучения в классах с углубленным изучением математики навыками составления задач познавательного характера навыками составления элективных курсов.
3. Структура и содержание дисциплины (модуля).
Общая трудоемкость дисциплины составляет 38 зачетных единиц: 1368 часов, из них аудиторных часов, 741 час самостоятельной работы.
билинейные комплексном пространстве.
алгебры. Точные и итерационные уравнений. Полная и частичная проблема собственных значений.
дифференциация в Формирование познавательного математических способностей учащихся в процессе математике в 5-7-х направленность формирования познавательного математических поверхностях.
Геометрические вычисления.
компьютерной профильной дифференциации в нематематического 6.2 профильных классов 10 9-17 72 аттестации 4. Литература 1. Абдрашитов Б.М. и др. Учитесь мыслить нестандартно: Кн. для учащихся / Б.М.
Абдрашитов, Т.М. Абдрашитов, В.Н. Шлихунов. – М.: Просвещение: АО «Учеб.
лит.», 1996. – 128с.
2. Алгебра: Учеб. пособие для учащихся 9 кл. с углубл. изучением математики/ Н.Я.Виленкин, Г.С.Сурвилло, А.С.Симонов, А.И.Кудрявцев; Под ред.
Н.Я.Виленкина. - М.: Просвещение, 1996 и все последующие годы издания.
3. Варданян С.С. Решение прикладных задач на уроках геометрии // Современные проблемы методики преподавания математики: Сб. статей. Учеб. пособие для студентов мат. и физ.-мат. спец. пед. ин-тов / Сост. Н.С. Антонов, В.А. Гусев. – М.:
Просвещение, 1985. – С. 239-246.
4. Виленкин Н.Я. и др. Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учеб.
пособие для учащихся шк. и кл. с углубленным изучением математики / Н.Я.
Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Щварцбурд. - М.: Просвещение, 1998. - 5. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М: Наука, 1974.
6. Возняк Г.М. Прикладная направленность абстрактных математических задач // Современные проблемы методики преподавания математики: Сб. статей. Учеб.
пособие для студентов мат. и физ.-мат. спец. пед. ин-тов / Сост. Н.С. Антонов, В.А. Гусев. – М.: Просвещение, 1985. – С. 254-257.
7. Галицкий М.Л. и др. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа: Метод, рекомендации и дидактические материалы: Пособие для учителя / М.Л. Галицкий, М.М. Мошкович, С.И. Шварцбурд. - М.: Просвещение, 1986. с.
8. Галицкий М.Л., Голъдман A.M., Звавич Л.И. Курс геометрии 8-го класса в задачах:
Для классов с углубл. изуч. математики. - Львов: Журн. "Квантор", 1991.- 94 с.
9. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М: Наука, 1971.
10. Геометрия для 8-9 классов: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл.
изуч. математики / А.Д. Александров, А.Л.Вернер, В.И. Рыжик. - М.: Просвещение, 1991 и все последующие годы издания.
11. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. М: Наука, 12. Дыбин В.Б. Лекции по линейной алгебре, Ч II, выпуск 4. Функционалы. Ростов-наДону, Изд.РГУ, 2000.
13. Дыбин В.Б. Лекции по линейной алгебре, ч.II, выпуск 1. Линейное пространство.
Ростов-на-Дону, Изд.РГУ, 1996.
14. Дыбин В.Б. Лекции по линейной алгебре, ч.II, выпуск 2, Подпространство, 2006, Электронный вид.
15. Ивлев Б.М., Абрамов A.M., Дудницын Ю.П., Шварцбурд С.И. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа: Учебное пособие для 10-11 классов. - М.:
Просвещение, 1992.
16. Ильин В. А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М: Наука, 1974.
17. Козак А.В., Пилиди В.С. Линейная алгебра. М.: Вузовская книга, 2001.
18. Колягин Ю.М., Пикан В.В. О прикладной и практической направленности обучения математике // Математика в школе. – 1985. – №6. – С. 27-32.
19. Компьютерная геометрия: учеб.пособие для студ.вузов/ Н.Н.Голованов, Д.П.
Ильютко, Г.В. Носовский, А.Т. Фоменко – М.: Издательский центр «Академия», 20. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 2. Линейная алгебра. М.: Физикоматематическая литература, 2000.
21. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия: Учебное пособие.. 4е изд., стер. – СПб.: Издательство «Лань», 2008. – 304с.
22. Майоров А.Н. Теория и практика создания тестов для системы образования. (Как выбирать, создавать и использовать тесты для целей образования). - М.: Народное образование, 2000. - 352 с.
23. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра: Доп. главы к шк. учеб. 8 кл.: Учеб.
пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики/ Под ред.
Г.В.Дорофеева. - М.: Просвещение, 1996.
24. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра: Доп. главы к шк. учеб. 8 кл.: Учеб.
пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики/ Под ред.
Г.В.Дорофеева. - М.: Просвещение, 1997.
25. Махмутов М.И. Организация проблемного обучения в школе / М.И. Махмутов. – М.: Педагогика, 1977. – 240 с.
26. Миракова Т.Н. Развивающие задачи на уроках математики в V–VIII классах:
пособие для учителя / Т.Н. Миракова. – Львов: Журнал «Квантор», 1991. – 96 с.
27. Мышкис А.Д. Особенности применения математических методов к решению прикладных задач // Математизация знаний и научно-технический прогресс. Киев, “Наукова думка”, 1975. С. 16-32. (АН Украинской ССР. Ин-т математики).
28. Назиев А.Х. Гуманитарно-ориентированное преподавание математики в общеобразовательной школе. - Рязань: Изд-во РИРО, 1999. - 112 с.
29. Орехов, Ф. А. Графические лабораторные работы по геометрии / Ф. А. Орехов. - М.
: Просвещение, 1964. – 112 с 30. Осинская В.Н. Активизация познавательной деятельности учащихся на уроках математики в 9–10 классах. – Киев: Радяньска шк., 1980. – 144 с.
31. Постников М.М. Линейная алгебра. Лекции по геометрию Часть II : Учебное пособие. 3-е изд., испр.. – СПб.: Издательство «Лань», 2009. – 400с 32. Программно-методические материалы. Математика. 5-11 кл.: Сборник нормативных документов / Сост. Г.М. Кузнецова. -2-е изд. - М.: Дрофа, 1999. - 33. Программы средней общеобразовательной школы."Математика: 1. Программа для сред. общеобразов. шк., работающей по базисному учеб. плану. 2. Программа для шк.(кл.)с углубленным изучением математики. - М.: Просвещение, 1991. - 126 с.
34. Саакян С.М., Голъдман A.M., Денисов Д. В. Задачи по алгебре и началам анализа для 10 - 11 классов. - М.: Просвещение, 1990. - 256с.
35. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики/ М.Л. Галицкий, A.M. Гольдман, Л.И.Звавич. - М.:
Просвещение, 1995. Виленкин Н.Я. и др. Алгебра и математический анализ для класса: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубленным изучением математики / Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Щварцбурд. - М.:
Просвещение, 1998. - 288с.
36. Смирнова И.М. Геометрия: Учеб. пособие для 10-11 классов гуманитарного профиля. - М.: Просвещение, 1997. - 159 с.
37. Смирнова И.М. Методические рекомендации по изучению геометрии.
Гуманитарные классы // Математика: Приложение к газете «Первое сентября» С. 24-29.
38. Терешин Н.А. Прикладная направленность школьного курса математики: Кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1990. – 96 с. Алгебра: Учеб. пособие для учащихся кл. с углубл. изучением математики/ Н.Я.Виленкин, Г.С.Сурвилло, А.С.Симонов, А.И.Кудрявцев; Под ред. Н.Я.Виленкина. - М.: Просвещение, 1996 и все последующие годы издания.
39. Учебно-тренировочные материалы для подготовки к единому государственному экзамену. Математика / Денищева Л.О., Глазков Ю.А. и др.- М.: Интеллект Центр,2002.-104 с.
40. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры:
Учебник. 4-е изд.. стер. – СПб.: Издательство «Лань», 2009. – 736с.
41. Цыганов. Ш. И. Готовимся к ЕГЭ по математике: Учеб. пособие. - Уфа: РИО 42. Челышкова М.Б. Теория и практика конструирования педагогических тестов:
Учебное пособие. - М.: Логос, 2002. - 432 с 43. Шуба М.Ю. Занимательные задания в обучении математике: Кн. для учителя. – М.:
Просвещение, 1994. – 222 с.
44. Щукина Г.И. Активизация познавательной деятельности учащихся в учебном процессе. – М.: Просвещение, 1979. – 147 с.
45. Щукина Г.И. Проблема познавательного интереса в педагогике. – М.:
Просвещение, 1971. – 351 с. Ахлимирзаев А. Прикладная направленность изучения элементов математического анализа в старших классах средней школы // Современные проблемы методики преподавания математики: Сб. статей. Учеб.
пособие для студентов мат. и физ.-мат. спец. пед. ин-тов / Сост. Н.С. Антонов, В.А. Гусев. – М.: Просвещение, 1985. – С. 254-257.
1. Беклемишева Л.А, Петрович А.Ю Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. М: Наука, 1987.
2. В.Б.Дыбин, В.С.Пилиди. Спектральная теория линейных операторов в конечномерном пространстве, Ч.I, Ростов-на-Дону, Изд. РГУ, 1978.
3. В.Б.Дыбин, В.С.Пилиди. Спектральная теория линейных операторов в конечномерном пространстве, Ч.II, Жорданова нормальная форма, Ростов-на-Дону, Изд. РГУ, 1979.
4. В.Б.Дыбин, В.С.Пилиди. Спектральная теория линейных операторов в конечномерном пространстве, Ч.III, Жорданов базис, Ростов-на-Дону, Изд. РГУ, 1980.
5. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1974.
6. Дыбин В.Б., Семигук В.М. Линейные пространства. Базисы и координаты.
Методические указания, выпуск 5. Ростов-на-Дону, Изд.РГУ, 1995.
7. Кряквин В.Д. Линейная алгебра в задачах и упражнениях. М.: Вузовская книга, 2006.
8. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М: Лаборатория базовых знаний, 9. Уховский М.Р. Линейные пространства. Выпуск 2. УПЛ РГУ, 1992.
10. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М: Наука, 1972.
11. Шилов Г.Е. Введение в теорию линейных пространств. Гостехиздат, 1956.
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению 050100 «Педагогическое образование» и профилю подготовки «Математика и информатика»
Автор: д.ф.-м.н., профессор Михайлов П.Н.; к.ф.-м.н., доценты кафедры АГиМОМ Кульсарина Н.А., Биккулова Г.Г., к.п.н., доценты кафедры АГиМОМ Тарарухина Н.Н..
Солощенко М.Ю., Валитова С.Л.
Рецензент:
Программа одобрена на заседании от _ г., протокол №.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФГБОУ ВПО «Стерлитамакская государственная педагогическая академия Институт математики и естественных наукУТВЕРЖДАЮ
Рабочая программа дисциплины (модуля) 1. Цели освоения дисциплины Целью курса является изучение основных алгебраических систем и воспитание алгебраической культуры, необходимой будущему учителю для глубокого понимания школьного курса математики.2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата.
Модуль «Алгебра» (Б2.В.1.3) относится к профессиональному циклу Б3. Для освоения дисциплины «Алгебра» используются знания, умения, навыки, способы деятельности и установки, полученные и сформированные в ходе изучения дисциплины «Элементарная математика».
Освоение данной дисциплины является основой для последующего изучения дисциплин модуля «Математический анализ», «Дискретная математика и компьютерная алгебра», «Геометрия», «Математическая логика», «Избранные вопросы алгебры и геометрии», а также курсов по выбору студентов.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения модуля «Алгебра».
Процесс изучения дисциплины «Алгебра» направлен на формирование следующих профессиональных компетенций:
- владение культурой мышления, способность к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей е достижения (ОК-1);
- способность использовать знания о современной естественнонаучной картине мира в образовательной и профессиональной деятельности, применять методы математической обработки информации, теоретического и экспериментального исследования (ОК-4);
- владение основами речевой профессиональной культуры (ОПК-3);
- способность реализовывать учебные программы базовых и элективных курсов в различных образовательных учреждениях (ПК-1);
- готовность применять современные методики и технологии, в том числе и информационные, для обеспечения качества учебно-воспитательного процесса на конкретной образовательной ступени конкретного образовательного учреждения (ПК-2).
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
основные понятия и теоремы алгебры;
связь между понятиями школьного курса алгебры и понятиями высшей алгебры;
используя определения, свойства алгебраических объектов проводить связанные с ними исследования;
применять алгебраические методы к доказательству теорем и решению задач;
алгебраическими методами: методом мат. индукции, алгоритмом Евклида, методами Кардано и Феррари решения алгебраических уравнений.
4. Структура и содержание модуля «Алгебра». Общая трудоемкость дисциплины составляет 12 зачетных единиц, 432 часа, изучается в течение 4 семестров.
пространства пространств 5. Образовательные технологии В ходе изучения данного курса студенты слушают лекции, применяют теоретический материал на практических занятиях, занимаются индивидуально. Освоение курса предполагает, помимо посещения практических занятий, выполнение аудиторных и домашних контрольных работ. Особое место в овладении данным курсом отводится самостоятельной работе, которая заключается в следующем:
самостоятельное изучение части теоретического материала, теоретическая подготовка к практическим занятиям, систематическое выполнение домашних заданий, выполнение индивидуальных заданий.
6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов Контрольные вопросы для самостоятельной оценки качества освоения дисциплины 1 семестр. Общие понятия алгебры 1. Высказывания и логические операции над ними.
2. Предикаты. Кванторы. Логические операции над предикатами.
3. Взаимно противоположные теоремы. Доказательство от противного.
5. Равносильные системы уравнений и неравенств.
6. Множество. Подмножество.
7. Понятие функции (отображения). Композиция функций.
8. Алгебраические операции. Понятие алгебры как множества с алгебраическими операциями.
9. Подалгебры. Гомоморфизм и изоморфизм алгебр.
10. Аксиомы натурального ряда. Полукольцо натуральных чисел.
11. Понятие группы. Примеры групп.
12. Простейшие свойства группы.
13. Гомоморфизм и изоморфизм групп.
14. Понятие кольца. Примеры колец.
15. Простейшие свойства кольца.
16. Подкольцо, примеры подколец.
17. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец.
18. Поле, примеры.
19. Простейшие свойства поля.
20. Понятие алгебраической системы как множества с операциями и отношениями.
21. Упорядоченное поле, его простейшие свойства.
22. Система действительных чисел, простейшие свойства действительных чисел.
23. Поле комплексных чисел.
24. Понятие числового поля, наименьшее подполе числового поля.
25. Геометрическое представление комплексных чисел и операций над ними.
26. Тригонометрическая форма комплексного числа.
27. Формула Муавра.
28. Корни из комплексных чисел в алгебраической форме.
29. Корни из комплексных чисел в тригонометрической форме.
30. Корни из единицы.
31. Двучленные уравнения.
2 семестр. Линейная алгебра 1. Арифметическое n - мерное векторное пространство, его свойства.
2. Векторное пространство над полем, примеры.
3. Простейшие свойства векторного пространства.
4. Подпространство, линейная оболочка множества векторов.
5. Сумма и прямая сумма подпространств. Линейное многообразие.
6. Линейная зависимость и независимость система векторов, свойства.
7. Эквивалентная система векторов.
8. Базис конечной системы векторов.
9. Ранг конечной системы векторов.
10.Координатная строка (столбец) вектора относительно данного базиса. Теорема о разложении вектора по базису.
11.Размерность векторного пространства.
12.Изоморфизм векторных пространств одинаковой размерности.
13. Векторное пространство со скалярным умножением.
14.Ортогональная система векторов. Дополнение ортогональной системы векторов до ортогонального базиса, процесс ортогонализации.
15.Ортогональное дополнение к подпространству.
16.Системы линейных уравнений. Понятие следствия системы уравнений.
17.Равносильные системы уравнений и элементарные преобразования системы.
18.Векторная форма записи системы линейных уравнений.
19.Система однородных уравнений; условия существования неотрицательных решений;
пространство решений.
20.Приведение матрицы к ступенчатому виду; вычисление ранга матрицы.
21.Равенство строчечного и столбцового рангов матрицы.
22.Неоднородная система линейных уравнений; линейное многообразие решений.
23.Критерий совместности системы линейных уравнений.
24.Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения переменных.
25.Операции над матрицами и их свойства.
26.Понятие обратной матрицы.
27.Элементарные матрицы.
28.Условия обратимости матрицы.
29.Вычисление обратной матрицы.
30.Группа подстановок. Четность и знак подстановки.
31.Определитель квадратной матрицы.
32.Основные свойства определителей.
33.Миноры и алгебраические дополнения.
34.Разложение определителя по строке или столбцу.
35.Необходимые и достаточные условия равенства нулю определителя.
36.Определитель произведения матриц.
37.Теорема о ранге матрицы. Обратная матрица.
38.Запись и решение системы n линейных уравнений с n переменными в матричной форме.
Правило Крамера.
39.Условия, при которых система n однородных линейных уравнений с n переменными имеет нетривиальные решения.
40.Линейные отображения векторных пространств; примеры.
41.Ядро и образ линейного отображения.
42.Матрица линейного оператора.
43.Связь между координатными столбцами вектора относительно различных базисов.
44.Связь между матрицами линейного оператора относительно различных базисов, подобие матриц.
45.Евклидово векторное пространство.
46.Ортонормированный базис.
47.Изоморфизм евклидовых пространств одинаковой размерности.
48.Собственные векторы и собственные значения.
49.Характеристическое уравнение.
50.Линейные операторы с простым спектром.
3 семестр. Группы, кольца.
1. Полугруппа, моноид; примеры.
2. Порядок элемента группы.
3. Степень элементов группы. Кратные элементов аддитивной группы.
4. Циклические группы.
5. Подгруппы, примеры.
6. Теорема Кэли.
7. Смежные классы по подгруппе.
8. Теорема Лагранжа.
9. Нормальные делители группы; критерий нормальной подгруппы.
10. Теорема о пересечении нормальных подгрупп.
11. Фактор-группа.
12. Образ и ядро гомоморфизма групп.
13. Теорема об эпиморфизмах групп.
14. Теорема о строении циклических групп.
15. Идеалы кольца, примеры.
16. Операции над идеалами.
17. Сравнения по идеалу, их свойства.
18. Классы вычетов по идеалу.
19. Фактор-кольцо.
20. Образ и ядро гомоморфизма колец.
21. Теорема об эпиморфизмах для колец.
22. Характеристика кольца.
23. Наименьшее подкольцо кольца.
24. Поле частных области целостности.
25. Простейшие свойства делимости в коммутативном кольце с единицей.
26. Ассоциированные элементы. Делители единицы.
27. Простые и составные элементы области целостности.
28. Главный идеал коммутативного кольца, примеры.
29. Кольца главных идеалов.
30. Евклидовы кольца; примеры.
31. НОД двух элементов кольца целостности и его линейное представление.
32. НОК двух элементов кольца целостности.
33. Связь НОД и НОК двух элементов кольца целостности.
34. Теорема о существовании НОД двух элементов евклидова кольца.
35. Теорема о линейном представлении НОД двух элементов евклидова кольца.
36. Евклидово кольцо является кольцом главных идеалов.
37. Лемма об отношении делимости в кольцах главных идеалов.
38. Теорема о последовательностях элементов в кольце главных идеалов.
39. Теорема о существовании НОД двух элементов кольца главных идеалов.
40. Кольцо с разложением на простые множители. Факториальные кольца.
41. Теорема о простом делителе нетривиального элемента кольца главных идеалов.
42. Кольцо главных идеалов является факториальным кольцом.
43. Каноническое представление элементов факториального кольца.
44. НОД и НОК двух элементов факториального кольца.
4 семестр. Алгебра многочленов.
1. Простое трансцендентное расширение целостного кольца.
2. Степень многочлена.
3. Деление многочлена на двучлен (x-a).
4. Теорема Безу и схема Горнера.
5. Корни многочлена.
6. Возможное наибольшее число корней многочлена в области целостности.
7. Алгебраическое и функциональное равенство многочленов.
8. Теорема о делении с остатком.
9. Наибольший общий делитель 10. Алгоритм Евклида.
11. Наименьшее общее кратное.
12. Формальная производная многочлена.
13. Разложение многочлена по степеням двучлена (х-а).
14. Неприводимые над полем многочлены.
15. Разложение многочлена над полем в произведение неприводимых множителей и его единственность.
16. Неприводимые кратные множители многочлена.
17. Кратные корни многочлена.
18. Кратное трансцендентное расширение K[x1,...,xn] области целостности K.
19. Степень многочлена от нескольких переменных.
20. Кольцо многочленов от нескольких переменных.
21. Поле P(x1,...,xn) рациональных дробей.
22. Разложение многочлена от нескольких переменных над полем в произведение неприводимых множителей.
23. Словарное упорядочение членов многочлена; высший член произведения многочленов.
24. Высший член в произведении многочленов.
25. Симметрические многочлены.
26. Основная теорема о симметрических многочленах и следствие из нее.
27. Результат двух многочленов.
28. Исключение переменной из системы двух уравнений с двумя переменными.
29. Корни из комплексных чисел и двучленные уравнения.
30. Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел.
31. Разложение многочлена над полем комплексных чисел в произведение неприводимых множителей.
32. Разложение многочлена над полем действительных чисел в произведение неприводимых множителей.
33. Формулы Виета.
34. Сопряженность мнимых корней многочлена с действительными коэффициентами.
35. Разложение многочлена над полем действительных чисел в произведение неприводимых множителей.
36. Уравнения третьей степени.
37. Определение действительных корней многочлена.
38. Уравнение четвертой степени.
39. Целые и рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами.
40. Критерий неприводимости Эйзенштейна.
41. Алгебраические и трансцендентные числа.
42. Простое алгебраическое расширение поля и его строение.
43. Конечное расширение поля.
44. Составное алгебраическое расширение поля.
45. Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби.
46. Поле алгебраических чисел.
47. Понятие о разрешимости уравнения в квадратных радикалах.
48. Условия разрешимости уравнения третьей степени в квадратных радикалах.
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение модуля «Алгебра»
а) основная литература:
1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Физматлит, 2001. – 302 с.
2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. – М.: Наука, 1977. – 496 с.
3. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. – М.: Высшая школа, 1979. – 560 с.
4. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1971. – 431 с.
5. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. – М.: Наука, 1984. – 416 с.
б) дополнительная литература:
1. Ильин В.А., Ким Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая теория. – М: Изд-во МГУ, 2003. – 320 с.
2. Лельчук М. П. и др. Практические занятия по алгебре и теории чисел. – Минск:
Вышэйшая школа, 1986. – 304 с.
3. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. – М.: Наука, 1977. – 288 с.
4. Шнеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – Мн.: Выш. Школа, 1982. – 223 с.
5. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. – М.: Наука, 1979. – 624 с.
6. Вахитов Р.Х. Знакомство с теорией колец. – Стерлитамак: Изд-во СГПИ, 1999. – 152 с.
7. Вахитов Р.Х. Методические указания по теме «Группы». – Стерлитамак: Изд-во СГПИ, 2000. – 23 с.
8. Вахитова Е.В. Теория сравнений и ее приложения. – Стерлитамак: Изд-во СГПИ, 2000. – 414 с.
9. Вахитова Е.В. Теория делимости в кольце целых чисел. – Стерлитамак, Изд-во СГПИ, 1994. – 59 с.
10. Вахитова Е.В. Многочлены над кольцами и полями. – Стерлитамак: Изд-во СГПИ, 2005. – 166 с.
11. Вахитова Е.В. Системы линейных уравнений, матрицы и определители. – Стерлитамак: Изд-во СГПИ, 2005. –169 с.
12. Вахитова Е.В. Векторные пространства, линейные отображения и линейные операторы. – Стерлитамак: Изд-во СГПИ, 2005. – 159 с.
13. Биккулова Г.Г. Избранные вопросы линейной алгебры. Уфа: РИО БашГУ, 2004. 110 с.
14. Кострикин А.И. и др. Сборник задач по алгебре. – М.: Наука, 1987. – 351 с.
15. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. – М.: Наука, 1973. – 400 с.
16. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. – М.: Наука, 1975. – 407 с.
17. Мальцев А.И. Алгебраические системы. – М.: Наука, 1970. – 392с.
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению 010500 «Педагогическое образование» и профилю подготовки «Математика, Информатика».
Автор к.ф.-м.н., доцент Г.Г. Биккулова Рецензент (ы) _ Программа одобрена на заседании кафедры алгебры, геометрии и методики обучения математике от _ года, протокол №.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ГОУ ВПО «Стерлитамакская государственная педагогическая академия Кафедра алгебры, геометрии и методики обучения математике (код 27) Аннотация рабочей программы дисциплины (модуля) Дискретная математика и компьютерная алгебра 1. Цели и задачи освоения дисциплины.Целью преподавания дисциплины является изучение основ дискретной математики (дискретного анализа) - элементы комбинаторики, рекуррентные соотношения и основные понятия теории графов.
Основными задачами освоения дисциплины «Дискретная математика» являются выработка основной группы знаний, умений и навыков, связанных с комбинаторикой, рекуррентными соотношениями, теорией графов.
2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата.
Дисциплина «Дискретная математика» (Б3.В.2.6) входит в цикл профессиональных дисциплин «Б3». Изучается в 4 семестре в объеме 99 часов, из которых 54 ч. аудиторных, 45 ч. на самостоятельную работу студентов.
Основной базой для данного курса служит материал ранее изучавшихся дисциплин: «Математический анализ», «Информатика», «Алгебра и геометрия».
Знания, полученные в результате изучения данной дисциплины, используются при изучении дисциплин «Теория алгоритмов», «Компьютерное моделирование», а также при курсовом и преддипломном проектировании.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины (модуля).
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих профессиональных компетенций: ОК-1, ОК-4, ОПК-3, ПК-1, ПК-2.
Студент, изучивший данную дисциплину, должен знать:
основные правила комбинаторики, принцип включения и исключения;
основные определения теории графов; теорема Эйлера об обходе графа;
свойства деревьев и ациклических графов; постановки основных оптимизационных задач: о кратчайшем пути, о потоках в сетях;
Студент, изучивший данную дисциплину, должен уметь:;
находить кратчайший путь между двумя вершинами во взвешенном графе;
находить максимальный поток в сети;
строить эйлеровы обходы;
Студент, изучивший данную дисциплину, должен иметь представление:
о комбинаторных задачах перечисления;
о матричных методах теории графов;
о прикладном значении понятий дискретной математики;
4. Структура и содержание дисциплины (модуля).
Общая трудоемкость дисциплины составляет 1 зачетную единицу, 99 часов.
функции. Линейные рекуррентные соотношения рекуррентные соотношения.
Обобщенное произведений.
исключения.
многочлены попаданий.
Основные понятия и определения. Метод поиска в глубину.
компоненты.
ближайшего соседа.
1. Биккулов И.М. Дискретная математика. Учебное пособие. Уфа: РИО 2. Иванов Б.Н. Дискретная математика. Алгоритмы и программы. - М.:
«Лаборатория базовых знаний», 2001. -288с.
3. Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики. - М.: МАИ, 4. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. – СПб.:
5. Яблонский С.В.Введение в дискретную математику. – М.: Наука, 1979.
6. Романовский И.В. Дискретный анализ. - СПб.: БХВ-Петербург, 2003. с.
7. Логинов Б.М. Введение в дискретную математику. - Калуга:
Калужский филиал МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1998. -424с.
8. Грехем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. - М.: Мир, 9. Ноден П., Китте К. Алгебраическая алгоритмика (с упражнениями и решениями).-М: Мир, 1999.-720с.
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению 050100 «Информатика» и профилю подготовки «Информатика»
Автор: к.ф.-м.н., старший преподаватель кафедры алгебры, геометрии и методики обучения математике Шарафутдинов И.В.
Программа одобрена на заседании от _ г., протокол №.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ГОУ ВПО «Стерлитамакская государственная педагогическая академия Кафедра алгебры, геометрии и методики обучения математике (код 24) Аннотация рабочей программы дисциплины (модуля) Избранные вопросы алгебры и геометрии 6. Цели и задачи освоения дисциплины: изучение основных разделов теории чисел и неевклидовой геометрии, воспитание алгебраической и геометрической культуры, необходимой будущему учителю для глубокого понимания школьного курса математики.Основные задачи курса заключаются в изучении теории делимости в кольце целых чисел, теории сравнений с арифметическими приложениями, основ аксиоматической теории, а также в рассмотрении применения алгебраических и аналитических методов в теории чисел и широкого взгляда на предмет геометрии.
7. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата.
Дисциплина «Избранные вопросы алгебры и геометрии» (Б3.В1) входит в цикл профессиональных дисциплин «Б3». Изучается в 10 семестре в объеме 144 часов, из которых 84 ч. аудиторных, 60 ч. на самостоятельную работу студентов.
Основной базой для данного курса служит материал ранее изучавшихся дисциплин: «Алгебра», «Геометрия».
Для освоения данной дисциплины обучающийся должен иметь:
знания учебной программы школьного курса геометрии и курсов алгебры и геометрии, изученных ранее;
умение самостоятельно работать над учебным материалом, критически оценивать полученные результаты;
самосовершенствованию, к применению полученных знаний в будущей профессиональной деятельности.
8. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины (модуля).
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих профессиональных компетенций: ПК-1, ПК-2.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен – основные определения и теоремы теории делимости в кольце целых чисел и теории сравнений с арифметическими приложениями, основы неевклидовых геометрий.
– переводить числа из одной позиционной системы в другую, применять алгоритм Евклида, выполнять действия со сравнениями;
– строить теорию, определенную заданной систем аксиом;
– доказывать непротиворечивость и полноту систем аксиом.
– основными понятиями и методами теории чисел;
– аксиоматическим методом.
9. Структура и содержание дисциплины (модуля).
Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетных единиц, 144 часа.
целых чисел.
приложениями.
Алгебраические Преобразование пространство проективной Гиперболическая, геометрии 1. Бухштаб А.А. Теория чисел. – М.: Просвещение, 1966. – 384с.
2. Виноградов И.М. Основы теории чисел. – М.: Наука, 1981. – 176с.
3. Кудреватов Г.А. Сборник задач по теории чисел. – М.: Просвещение, 1970. – 128с.
4. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. – М.: Высшая школа, 1979. – 560с.
5. Вахитова Е.В. Теория делимости в кольце целых чисел. – Стерлитамак: Изд-во 6. Вахитова Е.В. Теория сравнений и ее приложения. – Стерлитамак: Изд-во СГПИ, 7. Атанасян Л.С. Базылев В.Т. Геометрия. Ч. 2. – М.: Просвещение, 1986. – 352 с.
8. Базылев В.Т., Дуничев К.И., Иваницкая В.П. Геометрия. Ч. 2. – М.: Просвещение, 9. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия – М.: Наука, 1990. – 671 с.
10. Егоров И.П. Геометрия – М.: Просвещение, 1979. – 256 с.
11. Михайлов П.Н. Геометрические преобразования и их применение при решении 12. Сборник задач по геометрии / Под ред. В.Т. Базылева – М.: Просвещение, 1980. – 13. Сборник задач по геометрии / Под ред. Л.С. Атанасяна – М.: Просвещение, 1975. – Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению 050100 «Педагогическое образование» и профилю подготовки «Математика и информатика»
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ГОУ ВПО «Стерлитамакская государственная педагогическая академия Кафедра алгебры, геометрии и методики обучения математике (код 27) Аннотация рабочей программы дисциплины (модуля) Стерлитамак 10. Цели и задачи освоения дисциплины.Целью преподавания дисциплины является изложение математического аппарата, используемого в математической логике и теории алгоритмов, исследование основных логических схем, способов их построения и преобразования. Приобретение навыков применения алгебры высказываний к описанию релейно-контактных схем на конкретных примерах при выполнении практических заданий.
Основными задачами освоения дисциплины «Математическая логика» являются освоение понятий логики высказываний и предикатов, базовых принципов дедуктивных теорий, приобретение навыков описания и построения электронных контактных схем.
11. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата.
Дисциплина «Математическая логика» (Б3.В.2.3) входит в цикл профессиональных дисциплин «Б3». Изучается в 4 семестре в объеме 108 часов, из которых 36 ч. аудиторных, 72 ч. на самостоятельную работу студентов.
Основной базой для данного курса служит материал ранее изучавшихся дисциплин: «Общая алгебра», «Элементы алгебры и теории чисел».
Знания, полученные в результате изучения данной дисциплины, используются при изучении дисциплин «Теория чисел», «Теория алгоритмов» и при преддипломном проектировании.
12. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины (модуля).
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих профессиональных компетенций: ОК 1,4; ОПК 3, ПК 1,2.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
– классические кванторные операции;
– классификацию аксиоматик теории первого порядка;
– основные понятия логики высказываний и логики предикатов;
– алгоритмы построения совершенных нормальных форм.
– строить совершенные дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы, предваренную нормальную форму Сколема;
– определять логически общезначимые формулы, полные системы связок.
Владеть:
– методами исследования электронных контактных схем;
– методам приведения формулы, записанной в предваренной нормальной форме, к нормальной форме Сколема.
13. Структура и содержание дисциплины (модуля).
Общая трудоемкость дисциплины составляет 2 зачетные единицы, 108 часа.
высказываниями.
формулы алгебры Эффективность определения формулы. Скобки.
Формализация букв алфавита.
истинностные Истинностные нормальные формы высказываний, их классификация.
общезначимых установления Равносильные преобразования Отношение логического следования и его общезначимостью.
Важнейшие следования.
высказываний.
исчисления высказываний.
Аксиоматики L1 и порядка.
Интерпретации.
истинность.
первого порядка.
первого порядка.
первого порядка.
полноте.
нормальные Сколема. Пример.
1) Ершов ЮЛ., Палютин Е А. Математическая логика. - М.: Наука, 1974. - 320с.
2) Мендельсон Э. Введение в математическую логику. - М.: Наука, 1976. - 320с.
3) Новиков ПС. Элементы математической логики. - М.: Наука, 1973. - 400с.
4) Колмогоров А.Н. и др. Введение в математическую логику. – М.: Наука, 1980. – 5) Линдон Р. Заметки по математической логике. – М.: Наука, 1960. – 210с.
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению 032100.00 «Математика и и профилю подготовки «Математика и информатика»
Автор: к.ф.-м.н., старший преподаватель кафедры алгебры, геометрии и методики обучения математике Сафиуллова Р.Р.
Рецензент:
Программа одобрена на заседании от _ г., протокол №.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ГОУ ВПО «Стерлитамакская государственная педагогическая академия Кафедра алгебры, геометрии и методики обучения математике (код 24) Аннотация рабочей программы дисциплины (модуля) 15. Цель освоения дисциплины. Сформировав систематизированные знания в областях:- теории линий первого и второго порядков в евклидовом пространстве и теории многомерных аффинных и евклидовых пространств курса аналитической - курса конструктивной геометрии, - теории линий и поверхностей второго порядка и теории внутренней геометрии поверхности курса дифференциальной геометрии, - теории евклидовой геометрии и неевклидовых геометрий курса оснований изучить групповой и структурный подход к геометрии.
16. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата.
Дисциплина «Геометрия» (Б3.В.1.4) является дисциплиной раздела «Математика»
(Б3.В.1) профессионального цикла «Б3». Изучается в 1-4 семестре в объеме 432 часа, из которых 216 ч. аудиторных и 144 ч. отводятся на самостоятельную работу студентов.
Для освоения данной дисциплины обучающийся должен иметь:
- знания учебной программы школьного курса геометрии, - умение самостоятельно работать над учебным материалом, критически оценивать полученные результаты, самосовершенствованию, к применению полученных знаний в будущей профессиональной деятельности.
Раздел геометрии «Элементы векторной алгебры в пространстве» логически взаимосвязан с разделом «Линейные пространства» курса алгебры, а раздел геометрии «Метод координат на плоскости и в пространстве» связан с разделом «Системы уравнений» курса алгебры.
Освоение разделов геометрии «Метод координат на плоскости и в пространстве», «Плоскости и прямые в пространстве», «Линии и поверхности в пространстве»
необходимо для изучения раздела «Интегральное исчисление» курса математического анализа. Освоение раздела «Метод координат на плоскости» необходимо для изучения раздела «Линейное программирование» курса информатики, а раздела «Элементы векторной алгебры» - для изучения раздела «Механика» курса физики.
17. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины (модуля) геометрии.
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций:
общекультурных – владение культурой мышления, способностью к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения (ОКспособностью использовать знания о современной естественно-научной картине мира в образовательной и профессиональной деятельности, применять методы математической обработки информации, теоретического и экспериментального исследования (ОК-4), общепрофессиональных – владеть основами речевой профессиональной культуры (ОПК-3), профессиональных – способностью реализовывать учебные программы базовых и элективных курсов в различных образовательных учреждениях (ПК-1), готовностью применять современные методики и технологии, в том числе информационные, для обеспечения качества учебно-воспитательного процесса (ПК-4).
Студент, изучивший данную дисциплину, должен:
Знать аппарат высшей геометрии:
- основные теоретические разделы высшей геометрии;
- основные понятия высшей геометрии: тип пространства, тип исследуемых фигур (линии, поверхности и т.д.), тип выполняемых преобразований пространств и т.д.;
- корректно применять аппарат высшей геометрии при решении задач, при составлении адекватной модели исследуемого явления или процесса для решения задач программирования, а также при изучении других дисциплин математического и профессионального циклов.
- основными понятиями и методами высшей геометрии.
18. Структура и содержание дисциплины (модуля).
Общая трудоемкость дисциплины составляет 12 зачетных единиц, 432 часа.
1 сем (18 н) 2 сем (18 н) 3 сем (18 н) 4 сем( векторной алгебры.
пространстве.
пространстве.
второго порядка пространства пространства пространстве пространстве пространстве Лобачевского аксиоматики.
19. Образовательные технологии В интерактивной форме проводятся 30 часов занятий. Наряду с этим проводятся лекции, практические занятия, консультации, коллоквиумы, принимаются индивидуальные отчеты по задачам. Осуществляется балльно-рейтинговая система.
20. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов 6.1. Примерные темы курсовых работ 1. Сферическое изображение поверхностей.
2. Параллельные поверхности.
3. Линейчатые поверхности.
4. Проективные плоскости над конечными полями.
5. Геометрия комплексных чисел.
6. Тензоры в трехмерном евклидовом пространстве.
7. Аффиноры в трехмерном евклидовом пространстве.
8. Исследование систем Пфаффа.
9. Замечательные кривые третьего порядка и связанные с ними задачи.
10. Геодезические линии на поверхностях вращения.
11.Сети линий кривизны на специальных поверхностях.
12. Параллельные двумерные поверхности в евклидовом четырехмерном пространстве.
13. Геометрия поверхностей, несущих сеть линий кривизны.
14. Гиперсферическое изображение поверхностей в многомерном пространстве.
15. Геометрия поверхностей, несущих сети Фосса.
16. Квазиомбилические поверхности.
17. Поверхности евклидова пространства, имеющие вторую квадратичную форму специального вида.
18. Гиперкомплексы прямых евклидова пространства.
19. Поверхности коразмерности два специального вида в евклидовом пространстве.
20. Поверхности, несущие ортогональные геодезические сети.
21. Псевдоомбилические поверхности коразмерности два евклидова пространства.
6.2. Контрольные вопросы для проведения промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины 1 семестр. Векторная алгебра. Геометрия на плоскости.
1. Направленные отрезки. Векторы. Понятие вектора. Виды векторов. Лемма о равенстве векторов.
2. Сложение и вычитание векторов. Определения и свойства. Примеры.
3. Умножение вектора на число. Определение и свойства. Примеры.
4. Условия коллинеарности двух векторов и компланарности трех векторов.
5. Линейно зависимая система векторов. Свойства такой системы векторов. Примеры.
6. Линейно независимая система векторов. Свойства такой системы векторов.
Примеры.
7. Теорема о разложении вектора по трем некомпланарным векторам. Следствие.
8. Базис. Размерность. Понятие координат векторовк. Примеры. Свойства координат точек.
9. Ортонормированный базис. Вычисление длины вектора через ее координаты.
Примеры.
10. Скалярное произведение векторов. Определение. Вычисление его в координатах.
Примеры.
11. Скалярное произведение векторов. Определение. Примеры. Свойства скалярного произведения векторов.
12. Векторные подпространства. Примеры. Двумерное векторное подпространство.
Условие коллинеарности двух векторов.
13. Применение векторов к решению задач. Алгоритм применения векторов.
Примеры.
14. Аффинная система координат на плоскости. Решение простейших задач в координатах.
15. Деление отрезка в заданном отношении. Примеры.
16. Прямоугольная декартова система координат. Решение простейших задач.
17. Ориентация пространства. Признак компланарности векторов. Матрица перехода.
Левый и правый базисы.
18. Формулы преобразования координат на плоскости.
19. Алгебраическая линия. Окружность.
20. Уравнения прямой на плоскости. Выводы. Примеры.
21. Расстояние от точки до прямой. Примеры.
22. Угол между двумя прямыми. Примеры.
23. Полярные координаты. Решение простейших задач в полярных координатах.
Присоединенная прямоугольная система координат.
24. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Примеры.
25. Основные задачи на прямую на плоскости.
26. Метод координат на плоскости. Алгоритм применения. Примеры.
27. Эллипс. Вывод уравнения. Построение циркулем и линейкой. Свойства.
28. Гипербола. Вывод уравнения. Построение циркулем и линейкой. Свойства.
29. Парабола. Вывод уравнения. Построение циркулем и линейкой. Свойства.
30. Единое определение эллипса, гиперболы и параболы.
31. Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах.
32. Пересечение линии второго порядка с прямой. Асимптотические направления.
33. Центр линии второго порядка. Примеры.
34. Касательные к линии второго порядка. Вывод уравнения. Примеры.
35. Диаметры линии второго порядка. Сопряженные направления. Примеры.
36. Главные направления. Главные диаметры линии второго порядка. Примеры.
37. Классификация центральных линий второго порядка. Примеры.
38. Классификация нецентральных линий второго порядка.
39. Приведение линий второго порядка к каноническому виду.
2 семестр. Геометрические преобразования. Метод координат в пространстве.
1. Отображения и преобразования множеств. Группы преобразований множества.
Определения. Примеры.
2. Движения плоскости. Определение. Примеры. Основная теорема. 3. Свойства движений плоскости.
4. Группа движений плоскости и ее подгруппы. Теорема о представлении любого движения в виде композиции осевых симметрий.
5. Два вида движений. Аналитическое представление движений.
6. Классификация движений первого рода.
7. Классификация движений 2 рода.
8. Применение движений к решению задач. Признаки применимости метода.
Примеры.
9. Группа симметрий геометрической фигуры. Свойства группы симметрий ограниченной фигуры.
10. Гомотетия. Определение. Свойства. Аналитическое задание гомотетии.
11. Преобразование подобия. Свойства. Аналитическое представление подобия.
12. Группа подобий и ее подгруппы. Подобие фигур. Теоремы о подобии линий второго порядка.
13. Применение подобий к решению задач на доказательство, вычисление, построение.
14. Аффинные преобразования плоскости. Основная теорема.
15. Свойства аффинных преобразований плоскости. Аналитическое задание аффинных преобразований.
16. Перспективно-аффинные преобразования и их свойства. Построение образов точек.
17. Аффинные задачи. Применение аффинных преобразований к решению аффинных задач. Признак применимости аффинных преобразований при решении задач.
Последовательность действий по применению. Примеры.
18. Аффинная и прямоугольная система координат в пространстве. Деление отрезка в данном отношении. Вычисление расстояния между точками.
19. Ориентация пространства и плоскости.
20. Формулы преобразование координат в пространстве.
21. Векторное произведение векторов. Геометрический смысл модуля векторного произведения векторов. Свойства векторного произведения.
22. Векторное произведение векторов в ортонормированном базисе. Свойства векторного произведения.
23. Смешанное произведение в произвольном базисе. Свойства смешанного произведения.
24. Смешанное произведение в произвольном базисе. Свойства смешанного произведения.
25. Различные способы задания плоскости. Выводы уравнений. Свойства.
26. Общее уравнение плоскости. Параллельность вектора и плоскости. Особенности расположения плоскости относительно системы координат при равенстве нулю некоторых коэффициентов в общем уравнении плоскости.
27. Геометрический смысл знака многочлена Ах + Ву + Сz+D.
28. Расстояние от точки до плоскости. Вывод формулы. Примеры.
29. Угол между двумя плоскостями. Вывод формулы. Примеры.
30. Различные способы задания прямой в пространстве. Каноническое уравнение, параметрические уравнения и прямая как линия пересечения двух плоскостей. Примеры.
31. Угол между прямой и плоскостью. Вывод формулы. Примеры.
32. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми. Вывод формулы.
Примеры.
33. Взаимное расположение прямой и плоскости. Примеры.
34. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Примеры.
35. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Примеры.
36. Основные задачи на прямую и плоскость в пространстве. Примеры.
37. Поверхности второго порядка. Метод сечений.
38. Поверхности вращения.
39. Цилиндрические поверхности второго порядка.
40. Конические поверхности второго порядка.
41. Эллипсоид.
42. Однополостный гиперболоид.
43. Двуполостный гиперболоид.
44. Эллиптический параболоид.
45. Гиперболический параболоид.
46. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка.
47. Метод координат в пространстве. Признаки применимости и алгоритм применения метода. Примеры решения аффинных и метрических задач методом координат.
48. Аксиомы конструктивной геометрии. Простейшие и основные построения.
49. Построение одной линейкой. Построение прямым углом.
50. Построения одним циркулем.
51. Метод пересечений.
52. Параллельный перенос в задачах на построение.
53. Вращение плоскости в задачах на построение.
54. Центральная симметрия в задачах на построение.
55. Осевая симметрия в задачах на построение.
56. Гомотетии и подобия в задачах на построение.
57. Алгебраический метод в задачах на построение.
58. Параллельное проектирование и его свойства.
59. Аксонометрия.
60. Позиционные задачи. Примеры решения позиционных задач.
61. Метрические задачи. Примеры решения метрических задач.
62. Изображение комбинации тел.
63. Метод Монжа.
3 семестр. Элементы топологии. Дифференциальная геометрия.
1. Метрические пространства. Примеры. Основное свойство семейства всех открытых подмножеств метрического пространства.
2. Топологические пространства. Примеры. Подпространство. Замкнутые множества и их свойства.
3. Непрерывные отображения топологических пространств. Критерий непрерывности отображения. Гомеоморфизм.
4. Отделимость. Компактность. Связность.
5. Многообразия. Классификация одномерных многообразий.
6. Двумерные многообразия. Понятие о клеточном разбиении двумерных многообразий. Эйлерова характеристика.
7. Ориентируемые и неориентируемые двумерные многообразия.
8. Классификация двумерных многообразий.
9. Понятие линии. Гладкая линия.
10. Касательная. Длина дуги.
11. Кривизна кривой. Определение. Геометрический смысл. Способ вычисления кривизны. Простейшая кривая и ее кривизна в точке.
12. Кручение кривой. Геометрический смысл. Формулы Френе.
13. Вычисление кривизны и кручения кривой в произвольной параметризации.
14. Исследование кривой на примере винтовой линии.
15. Понятие поверхности. Гладкие поверхности.
16. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
17. Первая квадратичная форма поверхности.
18. Вторая квадратичная форма поверхности. Нормальная кривизна кривой.
19. Индикатриса Дюпена и ее уравнение.
20. Главные кривизны. Формулы Родрига.
21. Средняя и полная кривизны поверхности и их вычисление.
22. Внутренняя геометрия поверхности. Деривационные формулы.
23. Теорема Гаусса. Геодезическая кривизна линии на поверхности.
24. Геодезические линии.
4 семестр. Основания геометрии.
1. Аксиоматический метод. Понятие о математической структуре.
2. Интерпретация системы аксиом. Изоморфизм структур.
3. Непротиворечивость и независимость системы аксиом.
4. Непротиворечивость и полнота системы аксиом.
5. Геометрия до Евклида.
6. “Начала” Евклида. Достоинства и недостатки.
7. Пятый постулат Евклида. Проблема пятого постулата. Эквиваленты пятого постулата.
8. Теоремы о сумме углов треугольника в абсолютной геометрии. Теоремы СаккериЛежандра.
9. Обзор системы аксиом Гильберта. Следствия I - II групп аксиом.
10. Обзор системы аксиом Гильберта. Обзор следствий III- V групп аксиом.
11. Аксиома Лобачевского. Параллельные прямые по Лобачевскому. Признак параллельности прямых.
12. Параллельные прямые по Лобачевскому. Существование параллельных прямых на плоскости Лобачевского.
13. Параллельные прямые по Лобачевскому. Отрезок и угол параллельности.
14. Треугольники на плоскости Лобачевского.
15. Четырехугольники на плоскости Лобачевского.
16. Параллельные прямые на плоскости Лобачевского и их свойства.
17. Расходящиеся прямые и их свойства.
18. Окружность на плоскости Лобачевского и ее свойства.
19. Эквидистанта и ее свойства.
20. Орицикл и его свойства.
21. Непротиворечивость геометрии Лобачевского.
22. Система аксиом Вейля трехмерного Евклидова пространства и ее непротиворечивость.
23. Обзор системы аксиом Вейля. Доказательство аксиом I группы Гильберта в системе аксиом Вейля.
24. Определения луча, угла, отрезка в системе аксиом Вейля. Лежать “между” в системе аксиом Вейля. Доказательство аксиом II группы Гильберта.
25. Равенство отрезков и углов. Длина отрезка. Доказательство некоторых аксиом III группы Гильберта в системе аксиом Вейля.
26. Аксиоматика А.В. Погорелова школьного курса геометрии. Примеры определений и доказательств теорем в системе аксиом Погорелова. Независимость, непротиворечивость и полнота системы аксиом школьного курса.
27. Об аксиомах школьного курса геометрии. Системы аксиом школьных учебников под ред. Л.С.Атанасяна, А.Н. Колмогорова.
28. Гиперболическое векторное пространство.
29. Система аксиом плоскости Лобачевского в схеме Вейля. Непротиворечивость системы аксиом.
30. Понятие о сферической геометрии. Непротиворечивость и полнота системы аксиом.
Доказательство некоторых теорем сферической геометрии.
31. Понятие об эллиптической геометрии Римана. Непротиворечивость и полнота системы аксиом. Доказательство некоторых теорем римановой геометрии.
32. Об эволюции понятии “геометрия”.
33. Длина отрезка. Теорема существования.
34. Измерение длин отрезков. Теорема единственности.
35. Измерение площадей многоугольников. Теорема существования.
36. Измерение площадей многоугольников. Теорема единственности. Равновеликие и равносоставленные многоугольники.
37. Измерение объемов многогранников в евклидовом пространстве (обзорно).
6.3. Контрольные задания для проведения текущего контроля качества освоения дисциплины 1. Дан тетраэдр АВСD, точка М – центр тяжести грани АВС, N и К – середины ребер ВD и DА соответственно. Найти координаты векторов DM, AD, CN и NK в базисе BA, BC, BD.
2. В прямоугольном параллелепипеде АВСDА1В1C1D1 диагонали А1В и В1С его граней наклонены к плоскости основания под углами 30° и 60°. Вычислить угол между этими диагоналями.
3. М и М1 – точки пересечения медиан треугольников АВС и А1В1С1. Доказать, что 4. Найти угол между биссектрисами двух плоских углов прямого трехгранного угла.
5. В четырехугольнике АВСD суммы квадратов длин противоположных сторон равны. Доказать, что его диагонали АС и ВD взаимно перпендикулярны.
1. Дана треугольная призма АВСА1В1С1, N – середина отрезка B1C1, М – точка пересечения прямых А1В и АВ1. Найти координаты векторов CB, AM, CN в базисе AC, AB, CA1.
2. Дан треугольник АВС такой, что в ортонормированном базисе BA (–2, 3), BC (0,1). Найти длину высоты ВН и угол между векторами BH и BA.
3. Доказать, что если для неколлинеарных векторов a и b выполнено условие 4. Найти угол между биссектрисами АА1 и АА2, двух граней правильного тетраэдра АВСD.
5. В правильном тетраэдре АВСD, М и N – центры граней ВСD и АСD соответственно.
Найти угол между векторами AM и BN.
1. В тетраэдре АВСD точка М – центр тяжести грани ВСD, К и L – середины ребер АD и BD соответственно. Найти координаты векторов AM, AD, KL в базисе CB, CD, CA..
2. Найти длину биссектрисы BD треугольника АВС, если известно, что АВ = 2, BC = 3, АВС = 60°.
3. Доказать, что если вектора a и b перпендикулярны, то a b a b.
4. Доказать, что в четырехугольнике с взаимно перпендикулярными диагоналями сумма площадей квадратов, построенных на одной паре противоположных сторон, равна сумме площадей квадратов, построенных на другой паре таких сторон.
5. Найти угол между скрещивающимися диагоналями двух смежных граней куба.
1. Дана правильная треугольная призма АВСА1В1С1, у которой все ребра равны. Найти угол между векторами AB и AM, где М – середина ребра В1С1.
2. Точка О – центр параллелограмма АВСD. Найти координаты векторов AO, OD в базисе AD, AM, где М – середина стороны ВС.
3. Пусть ma, mb, mc - медианы треугольника, сторонами которого являются отрезки 4. Найти длину высоты АН треугольника АВС, в котором ВАС = 60°, АВ = 3, АС = 2.
5. Доказать, что если в тетраэдре имеется две пары взаимно перпендикулярных противоположных ребер, то и оставшиеся два ребра будут взаимно перпендикулярными.
1. Дан параллелепипед АВСДА1В1С1D1, точка М – центр грани ВСС1В1. Найти координаты вектора AM в базисе DD1, DB, AB.
2. Дан угол АВС, причем известны координаты векторов BA (–3,0,4) и BC (5,–2, –14) в ортонормированном базисе. Найти координаты единичного вектора, сонаправленного с биссектрисой данного угла.
3. Пусть АН – высота, AM – медиана треугольника АВС, в котором ВАС = 60°, АВ = 3, СА = 4. Найти координата векторов AH, AM в базисе AC, AB .
4. В трапеции АВСD основание АD в пять раз больше основания ВС. Найти длины диагоналей трапеции и угол между ними, если известно, что АВ = 6, АD = 10, ВАD = 60°.
5. В треугольнике АВС длины сторон связаны соотношением a 2 b 2 5c 2. Доказать, что медианы АА1 и ВВ1 взаимно перпендикулярны.
Вариант 1. В параллелепипеде АВСDА1В1C1D1 точки М и N – середины ребер А1D и ВС соответственно. Найти координаты вектора MN в базисе AB, AD, AC1.
2. Векторы a (2,–3,0), b (1,1,0) заданы своими координатами в базисе e1, e2, e3, где e2, e3 равны 45°. Найти угол между векторами a, b и длину вектора a + b.
3. Пусть CН – высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого утла к гипотенузе АВ. Найти координаты вектора CH в базисе CB, CA, если известно, что СА = b, СВ = a.
4. Найти величину двугранного угла при ребре правильного тетраэдра.
5. Доказать, что прямая, проходящая через середины двух противоположных ребер правильного тетраэдра, перпендикулярна каждому из них.
Вариант I. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, все ребра которой равны a. Точка М принадлежит ребру В1С1, причем В1М относится к МС1, как 2:1, точка О – центр грани AВС. Найти длину отрезка ОМ.
2. Компланарны ли векторы a (1,2,4), b (3,2,1), c (–1,2,7)?
3. Пусть CH – высота, СD – биссектриса треугольника АВС, в котором С – прямой, СА =3, СВ = 4. Найти координаты векторов в базисе CA, CB.
4. Пусть a и b – ненулевые коллинеарные векторы, и – данные CH, CD вещественные числа. При каком условии существует решение x системы уравнений 5. Дан куб АВСDА1В1С1D1. Доказать, что его диагональ АС1 перпендикулярна плоскости А1ВD.
Вариант 1. В правильной четырехугольной пирамиде SАВСD боковыми гранями являются правильные треугольники со стороной a. Найти расстояние между серединами ребер SA и СD.
2. При каких значениях и векторы a (–2,3,) и b (,–6,2): а) коллинеарны; б) взаимно ортогональны; в) имеют равные длины? В случаях б) и в) предполагается, что базис – ортонормированный.
3. Дан квадрат ABCD; E – середина стороны АD, точка F – принадлежит прямой AC.
Доказать, что прямые EF и FB взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда AF 3FC или F = A.
4. С помощью векторов доказать, что диагонали ромба перпендикулярны.
5. Доказать следующее утверждение: для того, чтобы каждая пара противоположных ребер АВ и СD, АС и ВD, ВС и АD тетраэдра АВСD была взаимно перпендикулярна, необходимо и достаточно, чтобы АВ2 + СD2 = =AС2 + ВD2 = ВС2 + АD2.
Вариант 1. Зная длины всех шести ребер тетраэдра, найти длины отрезков, соединяющих попарно середины противоположных ребер.
2. Даны тройки векторов: а) a (–3,0,2), b (2,1–4), c (11,–2,–2), 6) d (1,0,7), e (–1,2,4), f (3,2,1). Найти среди них тройку компланарных векторов.
3. Дан треугольник АВС, причем известно, что в ортонормированном базисе AB (3,0), AC (0,1). Найти величину угла между высотой АН и медианой ВМ этого треугольника.
4. Даны ненулевой вектор a и вещественное число. Выяснить геометрический смысл решений x уравнения a x =.
5. Доказать, что прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.
Вариант 1. Диагональ АС1 прямоугольного параллелепипеда образует с каждым из двух ребер, выходящих из точки А, угол 60°. Какой угол она образует с третьим ребром, выходящим из той же точки А?
2. Доказать, что биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.
3. Найти наименьшую размерность векторного пространства, содержащего векторы a (1,2,4), b (3,2,1), c (–1,2,7).
4. В трапеции АВСD основание АВ в два раза больше основания СD, О и Е – точки пересечения диагоналей и продолжений боковых сторон соответственно. Найти ОЕ, если АВ = 8, АD = 6, DАВ = 60°.
5. Сформулировать и доказать теорему обратную теореме Пифагора.
Контрольная № 2 по теме «Прямая линия на плоскости. Метод координат»
Вариант 1. Через точку M 3,3 проведите прямую так, чтобы ее отрезок, заключенный между данными прямыми x 4 y 4 0 и 3 x 2 y 2 0, в точке M делился пополам.
2. По данным расстояниям a и b от концов некоторого отрезка до данной прямой определите расстояние до этой прямой от середины данного отрезка.
3. Через точку M к сторонам треугольника проведены перпендикуляры. Найти множество точек M, для каждой из которых основания перпендикуляров принадлежат одной прямой.
4. Прямая d проходит через вершину A и середину медианы BM треугольника ABC, N – точка пересечения прямой d со стороной BC. Доказать, что отношение (BC, N)= 1.
5. На прямой 2x–y–10=0 найти точку, сумма расстояний от которой до точек A(–5,0) и B(–3,4) была бы наименьшей.
Вариант 1. Напишите уравнения сторон треугольника, если даны одна его вершина A2,7 и 2. Параллелограмм разбит своей диагональю, длина которого равна a, на два равнобедренных прямоугольных треугольника. Найдите длину второй диагонали параллелограмма. Рассмотрите возможные случаи.
3. Найдите множество точек, отношение расстояний от которых до данных взаимно перпендикулярных прямых постоянно и равно.
4. Даны два параллелограмма ABCD и AMNP, где M – точка стороны AB, N – точка стороны AD. Доказать, что прямые MD, BP, NC пересекаются в одной точке.
5. Даны точки A(5,2) и B(2,1). На прямой x+y–5=0 найти точку M, такую, чтобы AMB=45.
Вариант 1. Напишите уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину A2, 7, а также уравнения высоты 3 x y 11 0 и медианы x 2 y 7 0, проведенных из одной вершин.
2. Даны расстояния a, b, c от вершин A, B, C параллелограмма ABCD до некоторой прямой. Найдите расстояние до этой прямой от точки пересечения диагоналей параллелограмма.
3. Найдите множество точек плоскости, отношение расстояний от которых до двух данных точек постоянно и равно.
4. Точки M и N принадлежат соответственно сторонам DC и CB параллелограмма ABCD. Через середину отрезков DM и AB проведена прямая. Через середину отрезков AD и BN – вторая прямая, пересекающая первую в точке P. Доказать, что прямая AP проходит через середину отрезка MN.
5. Две прямые x+y–2=0, x+y+3=0 повернуты вокруг начала координат на 900. Найти координаты точек пересечения данных прямых и их образов при повороте. Доказать, что полученные точки являются вершинами квадрата.
«