«Лекционные курсы НОЦ Выпуск 11 Издание выходит с 2006 года С. А. Теляковский Курс лекций по математическому анализу Семестр I Издание 2-е, доработанное Москва 2009 УДК 517 ББК (В)22.16 Л43 Редакционный совет: С. И. ...»

Если в этих неравенствах знаки и заменены на соответственно < и >, функцию f называют строго возрастающей в точке x0.

Подобным образом определяют убывание и строгое убывание функции в точке. Вводят также одностороннее возрастание и убывание функции в точке.

Теорема 6.1.1. Пусть функция y = f (x) имеет в точке x производную. Если f (x0 ) > 0, то f строго возрастает в точке x0, а если f (x0 ) < 0, то f строго убывает в точке x0.

Доказательство. Пусть f (x0 ) > 0. Так как то при достаточно малых x имеем Значит, если x > 0, то y > 0, а если x < 0, то y < 0. Эти неравенства означают строгое возрастание функции f в точке x0.

Случай f (x0 ) < 0 рассматривается аналогично.

Теорема доказана.

Теорема 6.1.1 справедлива и для односторонних производных и соответствующего одностороннего строгого возрастания или строгого убывания функций.

146 Гл. 6. Свойства дифференцируемых функций Определение. Говорят, что функция f (x) имеет в точке x локальный максимум, если при всех x из некоторой окрестности точки x0 справедливо неравенство f (x) f (x0 ). А если для всех x из некоторой проколотой окрестности точки x0 выполняется неравенство f (x) < f (x0 ), говорят, что f (x) имеет в точке x строгий локальный максимум.

Аналогично, функция f (x) имеет в точке x0 локальный минимум, если при всех x из некоторой окрестности точки x0 справедливо неравенство f (x) f (x0 ). А если для всех x из некоторой проколотой окрестности точки x0 выполняется неравенство f (x) > f (x0 ), говорят, что f (x) имеет в точке x0 строгий локальный минимум.

Точки локального максимума и минимума функции называют точками её локального экстремума, а точки строгого локального максимума и минимума – точками строгого локального экстремума.

Здесь слово “локальный” показывает, что с f (x0 ) сравниваются значения функции только в некоторой малой окрестности точки x0 в отличие от “глобального” максимума или минимума, которые относятся ко всей области определения функции.

Теорема 6.1.2 (Теорема Ферма). Если функция f (x) имеет в точке x0 производную, то x0 может быть точкой локального экстремума функции f только в том случае, когда f (x0 ) = 0.

Доказательство. Если f (x0 ) > 0, то функция f строго возрастает в точке x0, а из f (x0 ) < 0 следует строгое убывание f в точке x0. Значит, локальный экстремум возможен только при условии f (x0 ) = 0. Теорема доказана.

Таким образом, условие f (x0 ) = 0 необходимо для локального экстремума, но оно не является достаточным. Действительно, функция y = x3 строго возрастает на всей оси, а её производная y = 3x2 обращается в нуль при x = 0.

Точки, в которых производная f (x) равна нулю, называют стационарными точками функции f. Согласно теореме Ферма дифференцируемые функции могут иметь локальный экстремум только в стационарных точках.

Следующее утверждение является обобщением теоремы Коши 4.3.3 о промежуточных значениях.

Теорема 6.1.3 (Теорема Дарбу о промежуточных значениях). Пусть функция f (x) задана на отрезке [a, b], f (a) = f (b) и f (x) при всех x [a, b] является производной некоторой функции F (x). Тогда для каждого числа c, расположенного строго между f (a) и f (b), существует точка (a, b) такая, что f () = c.

Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда числа f (a) и f (b) имеют разные знаки и c равно нулю.

Пусть, например, f (a) > 0 и f (b) < 0. Поскольку функция F (x) имеет на отрезке [a, b] производную, F (x) непрерывна на [a, b] и, значит, согласно теореме 4.3.2 принимает в некоторой точке [a, b] своё максимальное на [a, b] значение. Так как F (a) = f (a) > 0, то a является точкой одностороннего строгого возрастания функции F (x), поэтому не может быть точкой a.

Точно также не может совпадать с точкой b, так как из условия F (b) = f (b) < 0 следует, что F (x) строго убывает в точке b.

Следовательно, – внутренняя точка отрезка [a, b]. Тогда по теореме Ферма F () = 0. Но F () = f (), значит, f () = 0.

Если же f (a) < 0 и f (b) > 0, то берём точку, в которой F (x) принимает минимальное на [a, b] значение, и аналогичными рассуждениями убеждаемся, что f () = 0.

Таким образом, в рассмотренном частном случае теорема доказана.

Переход к общему случаю осуществляется как и при доказательстве теоремы Коши 4.3.3 о промежуточных значениях. Вводим функцию (x) := f (x) c. Так как число c заключено между f (a) и f (b), функция (x) принимает в точках a и b значения разных знаков. Если положить (x) := F (x) cx, то (x) = (F (x) cx) = (x). Значит, в силу уже доказанного существует такая точка (a, b), что () = 0. Отсюда f () c = и f () = c.

Теорема доказана.

Сравним теоремы Дарбу и Коши о промежуточных значениях.

Заключение в этих теоремах одинаковы, разными являются условия на функцию f. В теореме Коши требовалась непрерывность функции f (x) на отрезке [a, b], а в теореме Дарбу предполагается существование функции F (x) такой, что F (x) = f (x) во всех точках x [a, b].

В главе 9 будет установлено, что для каждой непрерывной на [a, b] функции f существует функция F такая, что F (x) = f (x) при всех x [a, b]. Это покажет, что теорема Коши является следствием теоремы Дарбу.

Вместе с тем, теорема Дарбу не вытекает из теоремы Коши, так как производная функции может существовать в каждой точке, но не быть непрерывной. Например, если и F (x) имеет разрыв в точке 0.

Теорему 6.1.3 можно сформулировать иначе:

Теорема 6.1.4. Если функция F (x) дифференцируема на отрезке [a, b] и F (a) = F (b), то для каждого числа c, лежащего строго между F (a) и F (b), существует точка (a, b) такая, что F () = c.

';

Отсюда вытекает следующее утверждение.

Следствие 6.1.5. Производная функции, дифференцируемой на интервале, не может иметь точек разрыва первого рода.

Будем рассматривать функции, непрерывные на отрезке [a, b] и дифференцируемые на интервале (a, b), т. е. во всех внутренних точках отрезка.

Теорема 6.2.1 (Теорема Ролля). Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b).

Если f (a) = f (b), то существует точка (a, b), в которой f () = 0.

Доказательство. Из непрерывности функции f на отрезке [a, b] согласно теореме 4.3.2 следует, что f принимает в некоторых точках отрезка свои максимальное M и минимальное m значения.

Если M = m, то f имеет это значение во всех точках отрезка [a, b] и производная f (x) всюду на нём равна нулю.

А если M = m, то по крайней мере одно из этих значений f принимает во внутренней точке отрезка [a, b]. По теореме Ферма в этой точке производная f равна нулю и теорема доказана.

Теорема Ролля показывает, что в некоторой точке интервала (a, b) касательная к графику функции f параллельна оси OX.

Теорема 6.2.2 (Теорема Лагранжа о среднем). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b), то существует точка (a, b) такая, что Доказательство. Подберём число так, чтобы для функции (x) := f (x) x выполнялось равенство (a) = (b). Решив уравнение f (a) a = f (b) b, видим, что нужно взять Функция (x) непрерывна на [a, b] и дифференцируема на (a, b). Поэтому согласно теореме Ролля существует такая точка (a, b), что Отсюда следует равенство (6.2.1) и теорема доказана.

Равенство (6.2.1) называют формулой конечных приращений Лагранжа. Она является одним из основных результатов дифференциального исчисления.

Используем равенство (6.2.2), чтобы выяснить геометрический смысл формулы конечных приращений Лагранжа.

Левая часть в (6.2.2) равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции f (x) в точке, а правая часть – тангенсу угла наклона прямой, соединяющей точки (a, f (a)) и (b, f (b)) графика функции. Таким образом, теорема Лагранжа показывает, что существует точка (a, b), касательная в которой параллельна прямой, соединяющей точки (a, f (a)) и (b, f (b)).

150 Гл. 6. Свойства дифференцируемых функций Формулу конечных приращений Лагранжа часто записывают так:

где – некоторое число, удовлетворяющее условию 0 < < 1.

В формуле (6.2.3) не обязательно a < b, она имеет место и при a > b.

Теорема 6.2.3 (Теорема Коши о среднем). Пусть функции f (x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b], причём g(a) = g(b). Если f и g дифференцируемы на интервале (a, b) и производные f (x) и g (x) не обращаются на (a, b) в нуль одновременно, то существует точка (a, b) такая, что Доказательство. В случае g(x) = x теорема 6.2.3 совпадает с теоремой 6.2.2. Доказательство теоремы 6.2.3 будет идти по той же схеме.

Рассмотрим функцию (x) := f (x) g(x). Она непрерывна на [a, b] и дифференцируема на (a, b). Чтобы к (x) можно было применить теорему Ролля, составим уравнение f (a) g(a) = f (b) g(b), решив которое, получим Для этого имеем (a) = (b), значит, существует точка (a, b), в которой () = 0. Таким образом, При этом g () = 0, иначе из (6.2.5) следовало бы f () = 0, а по условию производные функций f и g не могут обращаться в нуль одновременно. Значит, обе части равенства (6.2.5) можно разделить на g (), что даёт (6.2.4).

Теорема доказана.

Получим следствия из теоремы Лагранжа о среднем.

Теорема 6.2.4. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и f (x) = 0 во всех точках интервала (a, b), то функция f постоянна на отрезке [a, b].

Доказательство. Для каждой пары точек x и x из [a, b] согласно формуле конечных приращений Лагранжа между x и x имеется точка такая, что Так как принадлежит интервалу (a, b), то f () = 0 и, значит, f (x ) = f (x ). Теорема доказана, так как x и x – произвольные точки отрезка [a, b].

Покажем, что условия этой теоремы можно немного ослабить.

Теорема 6.2.5. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и f (x) = 0 во всех точках интервала (a, b) за исключением конечного числа точек, существование производной в которых не предполагается. Тогда функция f постоянна на отрезке [a, b].

Доказательство. Пусть a = x0 < x1 < · · · < xn = b – те точки отрезка [a, b], выполнение равенства f (x) = 0 в которых не предполагается.

Применив теорему 6.2.4 к отрезкам [xk1, xk ], k = 1,..., n, видим, что функция f (x) постоянна на каждом таком отрезке.

Точки x1, x2,..., xn1, принадлежат интервалу (a, b) и являются концами двух отрезков постоянства непрерывной функции f (x).

Значит, f постоянна на всём отрезке [a, b].

Условия этой теоремы можно ещё ослабить и не предполагать существование производной на некоторых бесконечных множествах точек, например, на произвольных счётных множествах.

Но доказательство подобных утверждений сложно. Мы докажем только следующее простое предложение.

Теорема 6.2.6. Пусть точки x1, x2,... отрезка [a, b] образуют возрастающую последовательность, сходящуюся к точке b.

Если функция f (x) непрерывна на [a, b] и во всех точках интервала (a, b), кроме точек x1, x2,..., имеет производную, равную нулю, то f (x) постоянна на [a, b].

Доказательство. Согласно теореме 6.2.5 функция f (x) является постоянной на каждом отрезке вида [a, xn ]. Таким образом, f (x) = C при всех x [a, b), где C – некоторое число. В силу непрерывности f в точке b из f (xn ) = C и xn b, n, вытекает равенство f (b) = C, т. е. f (x) = C на всём отрезке [a, b].

Теорема доказана.

Теорема 6.2.7. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и в каждой точке этого отрезка, за исключением конечного множества точек, имеет производную, для которой выполнено условие Тогда для любых точек x, x, принадлежащих [a, b], справедлива оценка Доказательство. Пусть a = x0 < x1 < · · · < xn = b – те точки из [a, b], о производной в которых ничего неизвестно.

Если точки x, x принадлежат какому-либо одному из отрезков [xk1, xk ], k = 1,..., n, то пользуясь формулой конечных приращений Лагранжа, видим, что для некоторой точки, расположенной между x и x, Отсюда в силу уже доказанного находим Теорема доказана.

Функции, удовлетворяющие условию вида (6.2.6), часто встречаются в разных вопросах. В связи с этим вводится следующее понятие.

Определение. Функция f удовлетворяет на промежутке условию Липшица порядка > 0, если существует такое число M, что для любой пары точек x, x из этого промежутка справедлива оценка В терминах модуля непрерывности условие (6.2.7) записывается так:

Условию (6.2.7) при > 1 удовлетворяют только функции, принимающие постоянное значение. В самом деле, в этом случае 1 > 0 и из оценки при x x получаем f (x ) = 0. Значит, согласно теореме 6.2. f постоянна.

Поэтому условие Липшица рассматривают только при 0 < Иногда условие Липшица при < 1 называют условием Гёльдера, но это исторически не оправдано.

Покажем, что монотонность дифференцируемых функций можно охарактеризовать в терминах свойств производной.

Теорема 6.2.8. Если функция f (x) непрерывна на промежутке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b), то для возрастания f на [a, b] необходимо и достаточно условие: f (x) на (a, b).

154 Гл. 6. Свойства дифференцируемых функций Доказательство. Пусть функция y = f (x) возрастает на [a, b] и x – произвольная точка интервала (a, b). Тогда из x > следует y = f (x + x) f (x) 0, а из x < 0 следует y 0.

Таким образом, всегда Значит, предел который по условию существует, не может быть отрицательным.

Наоборот, если f (x) 0 на интервале (a, b), то для любой пары точек x1 и x2, x1 < x2, принадлежащих промежутку [a, b], согласно формуле конечных приращений Лагранжа для некоторой точки из (x1, x2 ) имеем Значит, f (x2 ) f (x1 ) и теорема доказана.

В формулировке критерия строгой монотонности дифференцируемых функций используется следующее понятие.

Определение. Если множество A лежит в промежутке [a, b] и в каждом интервале, принадлежащем [a, b], имеются точки множества A, то множество A называют всюду плотным на [a, b].

Теорема 6.2.9. Пусть функция f непрерывна на промежутке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b). Для того чтобы f строго возрастала на [a, b], необходимо и достаточно условие: f (x) 0 на (a, b) и множество точек, в которых f (x) > 0, всюду плотно на (a, b).

В частности, f строго возрастает, если f (x) > 0 на (a, b).

Доказательство. Согласно теореме 6.2.8 условие f (x) необходимо и достаточно для возрастания f на [a, b]. Но возрастающая на промежутке [a, b] функция f не является на нём строго возрастающей в том и только том случае, когда f принимает постоянное значение на некотором отрезке [, ] (a, b), т. е. когда на [, ] справедливо равенство f (x) = 0.

Всюду плотность точек, в которых f (x) > 0, равносильна тому, что равенство f (x) = 0 не может иметь место ни на каком отрезке [, ] (a, b) и теорема доказана.

Отметим, что в теоремах 6.2.8 и 6.2.9 промежуток [a, b] может быть как конечным, так и бесконечным.

Понятно, как утверждения, аналогичные теоремам 6.2. и 6.2.9, формулируются для убывающих функций.

Теорема 6.2.10. Пусть функция f (x) непрерывна на промежутке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b). Если f (x) = 0 при всех x (a, b), то f строго монотонна на [a, b].

Доказательство. В силу теоремы Дарбу 6.1.3 о промежуточных значениях, если производная f (x) принимает в некоторых точках интервала (a, b) значения разных знаков, то она обращается в нуль в некоторой точке из (a, b), что по условию невозможно.

Значит, всюду на (a, b) либо f (x) > 0, либо f (x) < 0. А тогда согласно теореме 6.2.9 функция f (x) на [a, b] или строго возрастает, или строго убывает.

Теорема доказана.

Теорема 6.2.11. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [x0, x0 +], > 0, и дифференцируема на интервале (x0, x0 +).

Если существует конечный или бесконечный предел f (x0 + 0), то функция f имеет в точке x0 правую производную, соответственно конечную или бесконечную, и Доказательство. В силу формулы конечных приращений Лагранжа при достаточно малых положительных h имеем где – некоторое число, заключённое между 0 и 1.

По условию выражение в правой части равенства (6.2.8) при h +0 имеет предел f (x0 + 0). Значит, существует равный ему предел выражения из левой части.

Это доказывает утверждение теоремы.

Точно также, если f непрерывна на некотором отрезке [x0, x0 ], > 0, дифференцируема на интервале (x0, x0 ) и существует конечный или бесконечный предел f (x0 0), то функция f имеет в точке x0 левую производную, равную этому пределу.

Из теоремы 6.2.11 вытекает следующее утверждение.

156 Гл. 6. Свойства дифференцируемых функций Следствие 6.2.12. Если функция f (x) непрерывна в точке x0, дифференцируема в проколотой окрестности точки x0 и существует предел limxx0 f (x), то f дифференцируема в точке x0 и т. е. производная f (x) непрерывна в точке x0.

§ 6.3. Раскрытие неопределённостей Мы уже встречались с пределами дробей когда limxa g(x) = 0. Например, в § 4.8 был вычислен предел В таких случаях нельзя переходить к пределу отдельно в числителе и в знаменателе дроби.

Если limxa f (x) = 0, то предел (6.3.1) бесконечен. Поэтому интересен случай, когда limxa f (x) = 0.

Если предел при x a каждой из функций f (x) и g(x) равен нулю, то предел (6.3.1) называют неопределённостью вида 0/0, так как такое выражение получается при формальном переходе к пределу.

Нахождение подобных пределов называют раскрытием неопределённостей.

Покажем, как применяются производные для раскрытия неопределённости 0/0, а также неопределённостей других типов.

Теорема 6.3.1. Пусть в точке a функции f (x) и g(x) равны нулю и имеют производные, причём g (a) = 0. Тогда предел (6.3.1) существует и справедливо равенство Доказательство. Из условия g (a) = 0 согласно теореме 6.1.1 следует, что функция g строго монотонна в точке a и, так как g(x) = 0, то g(x) не обращается в нуль в некоторой проколотой окрестности точки a. Поэтому вблизи точки a дробь f (x)/g(x) имеет смысл.

Каждая дробь в полученном выражении имеет предел при x a, причём предел делителя, равный g (a), отличен от нуля. Поэтому в частном из правой части (6.3.3) можно перейти к пределу при x a отдельно в делимом и в делителе. Так получим равенство (6.3.2).

Теорема доказана.

В этой теореме можно говорить об односторонних производных функций f и g и соответствующем одностороннем пределе в (6.3.2).

В следующих далее теоремах 6.3.2 и 6.3.3 имеются в виду односторонние пределы.

Теорема 6.3.2 (Правило Лопиталя для раскрытия неопределённости 0/0). Пусть a – число или бесконечность определённого знака, функции f (x) и g(x) имеют производные в некоторой проколотой односторонней окрестности a, причём g (x) не обращается в этой окрестности в нуль, limxa f (x) = 0 и limxa g(x) = 0. Если существует конечный или бесконечный предел то существует предел также конечный или бесконечный, и справедливо равенство Доказательство. В проколотой окрестности a, в которой g (x) не обращается в нуль, согласно теореме 6.2.10 функция g(x) строго монотонна и не имеет нулей, поскольку её предел при 158 Гл. 6. Свойства дифференцируемых функций x a равен нулю. Поэтому при x, близких к a, дробь из (6.3.5) имеет смысл.

Будем сначала считать a конечным. Положим f (a) := 0, g(a) := 0, т. е. доопределим (или переопределим) функции f (x) и g(x) в точке a. Тогда эти функции становятся непрерывными в соответствующей окрестности точки a.

Имеем Дробь в правой части этого равенства при x, близких к a, удовлетворяет условиям теоремы Коши 6.2.3 о среднем. Значит, при некотором (0, 1) По условию предел дроби из правой части (6.3.6) при x a существует. Поэтому из (6.3.6) вытекает утверждение теоремы для конечных a.

Пусть теперь a – бесконечный символ, для определённости a = +. Рассмотрим функции (t) := f (1/t) и (t) := g(1/t).

При достаточно малых положительных t функции (t) и (t) дифференцируемы и Поэтому и существует предел Так как (t) 0, (t) 0 при t +0, то по уже доказанному имеем Для завершения доказательства теоремы осталось только заметить, что Отметим, что существование предела (6.3.4) является достаточным условием существования предела (6.3.5), но не является необходимым. Например, если f (x) = x2 sin 1/x и g(x) = x, то Вместе с тем, дробь при x 0 предела не имеет.

Теорема 6.3.3 (Правило Лопиталя для раскрытия неопределённости /). Пусть a – число или бесконечность определённого знака, в некоторой проколотой односторонней окрестности a функции f (x) и g(x) имеют производные, g (x) не обращается в нуль и limxa f (x) =, limxa g(x) =. Если существует конечный или бесконечный предел то существует равный ему предел т. е.

Доказательство. Пусть для определённости a – число и x a + 0. Необходимые изменения, если a – бесконечный символ, касаются только формы записи.

Всюду далее будем иметь в виду ту окрестность, где f (x), g(x) и g (x) не имеют нулей и производная f (x) существует.

Введём обозначение Сначала рассмотрим случай, когда предел K конечен.

Для произвольного положительного существует точка x0 > a такая, что при всех x (a, x0 ) справедлива оценка Для x, достаточно близких к a, имеем |f (x0 )| < |f (x)| и |g(x0 )| < |g(x)|, поскольку пределы f (x) и g(x) бесконечны. Полагая для таких x получаем Согласно теореме Коши о среднем для каждой точки x (a, x0 ) существует точка x (x, x0 ), для которой Из (6.3.9)–(6.3.11) следует, что при x, близких к a, Но limxa+0 h(x) = 1, поэтому и для случая, когда предел K конечен, теорема доказана.

Если предел K бесконечен, то K равно или + или. В самом деле, согласно теореме 6.2.10 функция g(x) строго монотонна, поскольку её производная не обращается в нуль. Значит, производная g (x) или положительна или отрицательна. Из бесконечности предела (6.3.7) следует, что производная f (x) не имеет нулей вблизи точки a. Следовательно, эта производная также имеет определённый знак и K равно или + или.

Так как f (x) вблизи точки a не имеет нулей, можно говорить о пределе обратного отношения Этот предел равен нулю, причём дробь из (6.3.12) вблизи a либо положительна, либо отрицательна.

Согласно уже рассмотренному случаю конечного K имеем А в силу аналогов для этого случая равенств (6.3.10) и (6.3.11) дробь g(x)/f (x) имеет тот же знак, что и g (x)/f (x).

Таким образом, равенство (6.3.8) выполняется и для бесконечных K.

Теперь теорема доказана полностью.

Отметим, что в теореме 6.3.2, также как и в теореме 6.3.3, если предел отношения производных (6.3.4) бесконечен, то он является бесконечностью определённого знака.

Покажем теперь, как можно раскрывать неопределённости других типов, когда формальный переход к пределу приводит к выражениям вида Если lim f (x) = 0 и lim g(x) =, то вместо можно рассмотреть предел который является неопределённостью вида 0/0.

Если lim f (x) = + и lim g(x) = +, то запись разности этих функций в виде произведения даёт неопределённость вида 0 ·.

Неопределённости (+0)0, (+)0, 1 обычно раскрывают, пользуясь представлением (при естественном условии f (x) > 0). Полученное произведение в показателе степени в этих случаях представляет собой неопределённость вида 0 · или · 0.

Правило Лопиталя удобно использовать при доказательстве существования бесконечно дифференцируемой (т. е. имеющей производные любого порядка) функции, которая обращается в нуль только в одной точке, а все её производные в этой точке равны нулю.

Покажем, что этими свойствами обладает функция а каждая следующая производная функции (x) равна произведению e1/x на некоторую линейную комбинацию дробей вида 1/xk, k N.

Докажем для произвольного натурального числа k равенство Сделаем замену 1/x2 = t, тогда Эта запись является условной: она означает, что пределы равны, если они существуют.

Правило Лопиталя позволяет легко установить равенство Действительно, при каждом дифференцировании знаменатель дроби из (6.3.14) остается без изменений, а показатель степени в числителе уменьшается на единицу. Поэтому после достаточного числа дифференцирований числитель станет ограниченным и мы получим (6.3.14).

С помощью (6.3.13) и теоремы 6.2.11 получаем равенства (m) (0) = 0 при всех m = 1, 2,.... Таким образом, функция (x) обладает требуемыми свойствами.

Рассмотрим вспомогательную задачу. Пусть Q(x) – многочлен степени m относительно переменной x. Запишем его как многочлен по степеням x a и покажем, что коэффициенты k можно выразить через значения производных многочлена Q(x) в точке a.

Так как производная Q(x) порядка k при k = 0, 1,..., m имеет вид и значит, Для произвольной функции f (x), имеющей в точке a производные до порядка m включительно, построим многочлен 164 Гл. 6. Свойства дифференцируемых функций Легко видеть, что в точке a разность f (x) P (x) и все её производные до порядка m обращаются в нуль.

Многочлен P (x), заданный формулой (6.4.1), называют многочленом Тейлора порядка m функции f в точке a.

Составим разность функции f (x), имеющей в точке a производные до порядка n 1 включительно, и её многочлена Тейлора порядка n 1:

Определение. Равенство называют формулой Тейлора порядка n 1 функции f в точке a.

Функцию Rn (x) называют остаточным членом формулы Тейлора.

Термин “формула Тейлора” исторически не вполне оправдан.

По справедливости следовало бы говорить о формуле Бернулли в честь И. Бернулли, который впервые использовал многочлены (6.4.1), или о формуле Бернулли–Тейлора. Но по устоявшейся традиции будем называть формулу (6.4.2) формулой Тейлора.

Формулу Тейлора при a = 0 нередко называют формулой Маклорена. Мы не будем употреблять это название, так как оно исторически неоправдано.

Покажем, что многочлен Тейлора (6.4.1) даёт в определённом смысле хорошее представление функции f (x).

Следующее утверждение является аналогом теоремы Коши 6.2.3 о среднем для старших производных.

Лемма 6.4.1. Предположим, что функции (t) и (t) непрерывны на отрезке с концами в точках a и x, во всех внутренних точках этого отрезка имеют производные до порядка m, причём функция и все её производные до порядка m не обращаются в нуль. Пусть, далее, функции и имеют в точке a односторонние (со стороны точки x) производные до порядка m 1 и (a) = Тогда существует точка, расположенная между a и x, такая, что Доказательство. Так как (a) = 0 и (a) = 0, то Согласно теореме Коши о среднем существует точка x1, расположенная между a и x, для которой В силу того, что (a) = 0 и (a) = 0, имеем и, вновь применив теорему Коши о среднем, находим точку x между a и x1, а значит, между точками a и x, такую, что Продолжив эти рассуждения, находим точку xm между точками a и x, для которой При = xm получаем формулу (6.4.3).

Лемма доказана.

Теорема 6.4.2 (Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа). Пусть функция f (t) непрерывна на отрезке с концами в точках a и x, имеет на интервале с концами в этих точках производную порядка n 1 и одностороннюю (со стороны точки x) производную порядка n 1 в точке a. Тогда при некотором, 0 < < 1, справедливо равенство f (x) = 166 Гл. 6. Свойства дифференцируемых функций которое называют формулой Тейлора порядка n 1 в точке a с остаточным членом в форме Лагранжа.

Доказательство. Пусть Rn – остаточный член формулы Тейлора (6.4.2) функции f. Функции (t) := Rn (t) и (t) := (t a)n удовлетворяют условиям леммы 6.4.1 при m = n. Поэтому между a и x существует точка, такая, что Так как производная порядка n многочлена степени не выше n 1 равна нулю, то Rn () = f (n) (). Поэтому, записав в виде a + (x a), где 0 < < 1, получим и из (6.4.2) вытекает равенство (6.4.4).

Теорема доказана.

Отметим, что число в формуле (6.4.4) для каждого n и каждого x своё.

При n = 1 формула (6.4.4) имеет вид что равносильно формуле конечных приращений Лагранжа.

Из теоремы 6.4.2 следует, что если на некотором промежутке f (n) (x) 0, где n – натуральное число, то функция f (x) является на этом промежутке многочленом степени не выше n 1. При n = 1 это утверждение составляло теорему 6.2.4.

Теорема 6.4.3 (Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано). Пусть функция f (x) имеет в точке a производную порядка n 1. Тогда при x a справедлива оценка которую называют формулой Тейлора порядка n в точке a с остаточным членом в форме Пеано.

Доказательство. Из существования производной f (n) (a) следует, что все производные до порядка n 1 остаточного члена Rn (x) формулы Тейлора (6.4.2) в точке a равны нулю, а его производная порядка n существует и Rn (a) = f (n) (a). Кроме того, производная f (x) существует в некоторой окрестности точки a.

Поэтому для функций (t) := Rn (x) и (t) := (ta)n выполнены условия леммы 6.4.1 при m = n 1. Значит, между точками a и x имеется точка такая, что Мы получили отношение приращения функции Rn в точке a к приращению аргумента. Отсюда, так как a при x a, в силу существования производной Rn (a) находим Умножив обе части этой оценки на (xa)n, приходим к (6.4.5).

Теорема доказана.

В теореме 6.4.3 производные можно понимать как односторонние. Тогда оценка (6.4.5) имеет место для x из соответствующей односторонней окрестности точки a.

При n = 1 формула (6.4.5) имеет вид что равносильно выражению приращения функции через дифференциал.

Заметим, что если производная f (n) (x) непрерывна в точке a, то остаточный член в форме Пеано можно вывести из остаточного члена в форме Лагранжа. В самом деле, в силу непрерывности f (n) (x) в точке a при x a имеем Поэтому из (6.4.4) следует (6.4.5).

Отметим ещё, что если производная f (n) (x) непрерывна на некотором отрезке [A, B], то существует функция g(t) такая, что limt0 g(t) = 0 и для всех точек a отрезка [A, B] остаточный член формулы (6.4.5) не превосходит g((x a)n ).

В самом деле, в этом случае производная f (n) (x) равномерно непрерывна на [A, B]. Значит, для каждого > 0 существует такое > 0, что если |x a| <, то при всех (0, 1) Поэтому наше утверждение вытекает из (6.4.4).

Указанное свойство называют равномерностью оценки (6.4.5) относительно точек a из [A, B].

В главе 9 будут получены другие представления остаточного члена формулы Тейлора.

Остаточный член формулы Тейлора зависит от n и от x a.

Обычно формулой Тейлора пользуются, когда x фиксировано, а n, или когда n фиксировано и x a 0.

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано представляет собой оценку вида при соответствующих значениях коэффициентов k.

Покажем, что если для некоторой функции справедлива оценка (6.4.6), то коэффициенты k в ней определяются единственным образом.

Действительно, если наряду с (6.4.6) имеем Так как согласно определению степенной функции (xa)0 1, то при переходе в (6.4.7) к пределу при x a, получим 0 = 0.

Поэтому в (6.4.7) можно опустить слагаемое, соответствующее k = 0:

дим Вновь переходим к пределу при x a и получаем 1 = 1.

Продолжив этот процесс, видим, что k = k при всех k n.

Таким образом, если для функции выполняется оценка (6.4.6), то коэффициенты k в этом представлении определяется однозначно.

Выясним, какие производные имеет функция, если для неё имеет место оценка (6.4.6) при n 1.

Переходя в (6.4.6) к пределу при x a, находим 0 = f (a).

Таким образом, из (6.4.6) следует, что Отсюда вытекает оценка Переход к пределу при x a показывает, что f (a) = 1. Значит, Таким образом, если для функции f справедлива оценка (6.4.6) при n 1, то f имеет в точке a первую производную.

Но при n 2 вторая производная функции f в точке a может не существовать. Действительно, для функции имеем f0 (x) = o(x2 ), x 0. Вместе с тем, первая производная f0 существует только при x = 0 и функция f0 не имеет вторую производную.

Оценку (6.4.6) можно записать в виде Если для f справедлива оценка (6.4.8), то числа k называют производными функции f порядка k в точке a в смысле Пеано.

§ 6.5. Формула Тейлора для элементарных Запишем формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для основных элементарных функций и будем следить за поведением остаточного члена при n и фиксированном x.

Для простоты записи и по традиции будем рассматривать формулу Тейлора в нуле.

10. Показательная функция f (x) = ex. Так как f (k) (x) = e, то f (k) (0) = 1 при всех k. Значит, При каждом x имеем ex e|x|. Поэтому для остаточного члена формулы (6.5.1) справедлива оценка которая согласно (2.5.1) показывает, что для любого x остаточный член формулы Тейлора стремится к нулю при n. Следовательно, для каждого x справедливо равенство При x = 1 из (6.5.1) получаем В частности, при n = 2 справедлива оценка Поэтому остаточный член формулы Тейлора порядка n > m равен нулю и Таким образом, при всех x справедливо равенство где коэффициенты Cm уже встречались нам в формуле Лейбница для старших производных произведения двух функций.

Из (6.5.12) легко вывести формулу бинома Ньютона 176 Гл. 6. Свойства дифференцируемых функций справедливую для произвольных чисел a и b. В самом деле, достаточно рассмотреть b = 0, а в этом случае Поскольку числа Cm являются коэффициентами в равенстве (6.5.13), их называют биномиальными коэффициентами.

Если m не является натуральным числом, то при всех k и формула Тейлора порядка n имеет вид где В 16 главе будет показано, что при n остаточный член формулы Тейлора (6.5.14) для |x| < 1 стремится к нулю, для |x| > 1 это не так, а для x, равных +1 и 1, ответ на этот вопрос зависит от значения m.

Простой вид многочлены Тейлора имеют также для функции arctg x, об этом будет сказано в 16 главе.

Многочлены Тейлора других элементарных функций записываются более сложно и мы не будем о них говорить.

Отметим, что формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано можно использовать для раскрытия неопределённостей.

Например, предел легко найти с помощью правила Лопиталя. Но можно воспользоваться формулой Тейлора Тогда получим § 6.6. Исследование функций с помощью В § 6.2 свойства функций изучались с помощью производных первого порядка. Сейчас будем использовать производные высших порядков.

Сначала рассмотрим вопросы о локальных экстремумах и о монотонности функции в точке.

Теорема 6.6.1. Пусть функция f (x) имеет в точке x0 отличную от нуля производную порядка n 1, а все её производные меньшего порядка в этой точке равны нулю. Тогда 10. если n чётно, то f имеет в точке x0 строгий локальный экстремум: максимум, если f (n) (x0 ) < 0, и минимум, если f (n) (x0 ) > 0;

20. если n нечётно, то f строго монотонна в точке x0 :

строго возрастает, если f (n) (x0 ) > 0, и строго убывает, если f (n) (x0 ) < 0.

Доказательство. В этом случае формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано имеет вид Так как f (n) (x0 ) = 0, то в достаточно малой проколотой окрестности точки x0 знак выражения в правой части оценки (6.6.1) определяется первым слагаемым. Сейчас нас интересует только знак этого выражения при x, близких к x0, поэтому слагаемое o((x x0 )n ) можно не учитывать.

Если n чётно, то (x x0 )n > 0 при всех x = x0. Значит, если f (x0 ) > 0, то f (x) f (x0 ) > 0 для x из достаточно малой проколотой окрестности точки x0, т. е. f имеет в точке x0 строгий локальный минимум. Если же f (n) (x0 ) < 0, то f (x) f (x0 ) < для x из достаточно малой проколотой окрестности точки x0 и f имеет в точке x0 строгий локальный максимум.

178 Гл. 6. Свойства дифференцируемых функций для x < x0. Поэтому при f (n) (x0 ) > 0 для x из достаточно малой проколотой окрестности точки x0 имеем f (x) > f (x0 ), если x > x0, и f (x) < f (x0 ), если x < x0. Значит, функция f строго возрастает в точке x0. Аналогично рассматривается случай, когда f (n) (x0 ) < 0.

Теорема доказана.

При n = 1 теорема 6.6.1 совпадает с теоремой 6.1.1. Новым является случай n 2.

Согласно теореме 6.6.1, если в некоторой точке у функции есть неравная нулю производная какого-либо порядка, то в этой точке функция или имеет строгий локальный экстремум или является строго монотонной. Остаётся случай, когда функция не имеет в точке отличных от нуля производных, т. е. когда либо все производные до некоторого порядка равны нулю, а производные более высокого порядка не существуют, либо производные любого порядка существуют, но все они равны нулю.

Теорема 6.6.1 даёт достаточные условия существования строгого локального экстремума. Опираясь на эту теорему, можно получить необходимые условия существования нестрогого локального экстремума, частным случаем которых является теорема Ферма 6.1.2.

Теорема 6.6.2. Пусть функция f (x) имеет в точке x0 производную порядка n 1, причём все производные меньшего порядка в этой точке равны нулю, т. е. f (x0 ) = f (x0 ) = · · · = f (n1) (x0 ) = 0. Тогда 10. если n чётно, то для того чтобы f имела в точке x0 локальный максимум, необходимо условие f (n) (x0 ) 0, а чтобы f имела локальный минимум, необходимо условие f (n) (x0 ) 0;

20. если n нечётно, то для того чтобы f имела в точке x локальный экстремум, необходимо условие f (n) (x0 ) = 0.

Доказательство. Если n чётно и f (n) (x0 ) > 0, то согласно теореме 6.6.1 f имеет в точке x0 строгий локальный минимум. Значит, локальный максимум возможен только при условии f (n) (x0 ) 0. Аналогично получаем необходимое условие локального минимума.

§ 6.6. Исследование функций с помощью производных Если n нечётно и f (n) (x0 ) = 0, то согласно теореме 6.6.1 f строго монотонна в точке x0. Значит, f может иметь локальный экстремум в точке x0 только в случае, когда f (n) (x0 ) = 0.

Теорема доказана.

Рассмотрим свойства графиков функций, имеющих производные. В § 5.2 было доказано, что существование первой производной функции f (x) в точке x0 равносильно существованию у графика функции f касательной в точке (x0, f (x0 )). Для краткости говорят о касательной в точке x0.

Сейчас будем изучать свойства функций, связанные с положением их графика относительно касательной.

Определение. Пусть функция f имеет производную в точке x0. Говорят, что f выпукла в точке x0, если для x из некоторой окрестности точки x0 точки графика функции лежат или выше касательной в точке x0, или на этой касательной (т. е. нет точек ниже касательной).

Если для x из некоторой проколотой окрестности точки x точки графика функции лежат выше касательной, функцию называют строго выпуклой в точке x0.

Определение. Пусть функция f имеет производную в точке x0. Говорят, что f вогнута в точке x0, если для x из некоторой окрестности точки x0 точки графика функции лежат или ниже касательной в точке x0, или на этой касательной (т. е. нет точек выше касательной).

Если для x из некоторой проколотой окрестности точки x точки графика функции лежат ниже касательной, функцию называют строго вогнутой в точке x0.

Определение. Пусть функция f имеет производную в точке x0. Говорят, что x0 является точкой перегиба функции f, если для x из некоторой проколотой окрестности точки x0 точки графика функции при x < x0 лежат строго по одну сторону касательной в точке x0, а при x > x0 – строго по другую сторону этой касательной.

Точки, в которых производная равна + или, также называют точками перегиба.

Иногда дают другое определение точек перегиба и требуют, чтобы эта точка с одной стороны от неё была точкой выпуклости, а с другой от неё стороны – точкой вогнутости функции.

Теорема 6.6.3. Пусть в точке x0 функция f имеет отличную от нуля производную порядка n 2 и, если n > 2, то f (x0 ) = · · · = f (n1) (x0 ) = 0. Тогда 10. при чётном n функция f в точке x0 строго выпукла, если f (x0 ) > 0, и строго вогнута, если f (n) (x0 ) < 0;

20. если n нечётно, то x0 является точкой перегиба функции f.

Доказательство. Уравнение касательной к графику функции в точке x0 имеет вид u(x) = f (x0 )+f (x0 )(xx0 ). Рассмотрим функцию Для (x) выполняются равенства В точке x0 производные порядка n функций (x) и f (x) равны.

Поэтому при чётном n согласно теореме 6.6.1 (x) имеет в точке x0 строгий локальный минимум, если f (n) (x0 ) > 0, и строгий локальный максимум, если f (n) (x0 ) < 0. А так как функция f (x) в точке x0 строго выпукла, если f (n) (x0 ) > 0, и строго вогнута, если f (n) (x0 ) < 0.

Если n нечётно, то функция (x) строго монотонна в точке x0, поэтому точка x0 является точкой перегиба функции f (x).

Теорема доказана.

Таким образом, в каждой точке, в которой функция имеет отличную от нуля вторую производную, эта функция является строго выпуклой или строго вогнутой и по знаку второй производной можно сказать, какой именно случай имеет место. Если же вторая производная равна нулю, а третья производная отлична от нуля, то такая точка является точкой перегиба.

Разумеется, функция может иметь точки, которые не являются точками выпуклости, вогнутости или точками перегиба. Но в таких точках у функции нет отличных от нуля производных порядка n 2.

§ 6.7. Функции, выпуклые на промежутке Определение. Функция f (x) называется выпуклой на промежутке [a, b], если для каждого отрезка [x1, x2 ], принадлежащего [a, b], все точки графика f, соответствующие x [x1, x2 ], расположены ниже отрезка с концами в (x1, f (x1 )) и (x2, f (x2 )), или на этом отрезке.

Функция f (x) называется строго выпуклой на промежутке [a, b], если для каждого отрезка [x1, x2 ], принадлежащего [a, b], все точки графика f, соответствующие x (x1, x2 ), расположены ниже отрезка с концами в (x1, f (x1 )) и (x2, f (x2 )).

Здесь, как всегда в подобных случаях, концевые точки a и b могут принадлежать или не принадлежать промежутку [a, b].

Определение. Функция f (x) называется вогнутой на промежутке [a, b], если для каждого отрезка [x1, x2 ], принадлежащего [a, b], все точки графика f, соответствующие x [x1, x2 ], расположены выше отрезка с концами в (x1, f (x1 )) и (x2, f (x2 )), или на этом отрезке.

Функция f (x) называется строго вогнутой на промежутке [a, b], если для каждого отрезка [x1, x2 ], принадлежащего [a, b], все точки графика f, соответствующие x (x1, x2 ), расположены выше отрезка с концами в (x1, f (x1 )) и (x2, f (x2 )).

Наряду с этой терминологией используется и другая, когда выпуклые функции называют выпуклыми вниз, а вогнутые – выпуклыми вверх.

Определение выпуклых и вогнутых функций с помощью свойств их графика даёт наглядное представление о таких функциях, но пользоваться этими определениями не всегда удобно.

Выясним, как выпуклые и вогнутые функции можно охарактеризовать аналитически.

Вогнутость функции f (x) равносильна выпуклости функции f (x). Это позволяет рассматривать сейчас только выпуклые функции.

Заметим, что функции, выпуклые на промежутке, не обязательно имеют производную во всех точках этого промежутка. Например, выпуклой является функция |x|.

Теорема 6.7.1. Для того чтобы функция f была выпуклой на промежутке [a, b], необходимо и достаточно каждое из следующих трёх условий: для произвольных точек x1, x, x2 из [a, b] таких, что x1 < x < x 10. справедливо неравенство 20. справедливо неравенство 30. справедливо неравенство Если в (6.7.1)–(6.7.3) заменить знак на 0.

Отметим ещё одно свойство выпуклых функций. Пусть функция f выпукла на (a, b) и x0 (a, b). Проведём через точку (x0, f (x0 )) графика функции f прямую y(x) = f+ (x0 ) (x x0 ) + f (x0 ) и рассмотрим разность убывает и её предел равен f+ (x0 ). Поэтому f (x) y(x) 0 для x > x0.

Точно также, если z(x) = f (x0 ) (x x0 ) + f (x0 ), то при x < x имеем f (x) z(x) 0.

Значит, для каждого числа [f (x0 ), f+ (x0 )] при всех x (a, b) справедливо неравенство Иначе говоря, ниже прямой y = (x x0 ) + f (x0 ) нет точек графика функции f (x). Прямую, обладающую таким свойством, называют опорной прямой функции f в точке x0. Таким образом, выпуклая функция имеет опорную прямую в каждой точке интервала выпуклости. В точках, в которых выпуклая функция имеет касательную, опорной прямой является эта касательная.

Поскольку никакая часть графика строго выпуклой функции не может быть отрезком прямой, для строго выпуклых функций в (6.7.9) при x = x0 имеем строгое неравенство.

Приведём рекомендации по построению графиков функций, имеющих вторую производную.

Сначала ищут нули первой производной и промежутки, в которых f (x) > 0 и f (x) < 0. Так получают точки, в которых функция может иметь локальные экстремумы и промежутки монотонности. По второй производной находят промежутки выпуклости и вогнутости и точки, которые могут быть точками перегиба. Глобальные экстремумы находят, сравнивая значения локальных экстремумов между собой и со значениями функции в концах промежутка.

При построении графиков функций возникает вопрос об асимптотах, как об одном из свойств графика.

188 Гл. 6. Свойства дифференцируемых функций Пусть функция f (x) задана на некотором промежутке вида (a, +). Прямую y = kx + b называют асимптотой (наклонной при k = 0 и горизонтальной при k = 0) функции f при x +, если Чтобы найти асимптоты, сначала выясняют, существует ли предел Если этот предел существует и равен k, то рассматривают вопрос о существовании предела и, если он существует и равен b, то прямая y = kx + b является асимптотой.

Аналогично определяют и находят асимптоты при x.

Рассматриваются также вертикальные асимптоты: если для конечного a существует бесконечный предел limxa+0 f (x) или limxa0 f (x), то прямую x = a называют вертикальной асимптотой.

Например, прямые x = /2 + k, k Z, являются вертикальными асимптотами функции y = tg x.

§ 6.8. Некоторые классические неравенства Теорема 6.8.1 (Неравенство Янга). Пусть p > 1 и q – сопряжённое с p число, т. е.

Тогда для любых неотрицательных чисел x и y справедливо неравенство называемое неравенством Янга.

Доказательство. Достаточно рассмотреть только положительные x и y.

Введём функцию считая y фиксированным положительным параметром, и покажем, что принимает только неотрицательные значения. Это и будет означать справедливость неравенства Янга.

По знаку первой производной находим, что функция (x) строго убывает при x при x y строго возрастает. Значит, минимальное значение (x) имеет при x = y 1/(p1).

Так как q = p/(p 1), то при всех x > Теорема доказана.

Функция обращается в нуль только при x = y 1/(p1), т. е. когда xp = y q. Поэтому знак равенства в (6.8.2) имеет место в том и только том случае, когда xp = y q.

Отметим, что число, сопряжённое с p, часто обозначают p.

Теорема 6.8.2 (Неравенство Гёльдера). Пусть p > 1 и q – сопряжённое с p число. Тогда для любых двух наборов по n неотрицательных чисел a1,..., an и b1,..., bn справедливо неравенство называемое неравенством Гёльдера.

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда и среди ak и среди bk есть числа, отличные от нуля.

Для каждого k = 1,..., n положим и запишем для этих чисел оценку (6.8.2):

Сложим полученные неравенства по k от 1 до n:

Согласно определению чисел xk и yk отсюда следует (6.8.3).

Теорема доказана.

Отметим важный частный случай неравенства Гёльдера, соответствующий p = 2, q = 2.

Теорема 6.8.3 (Неравенство Коши–Буняковского). Для любых 2n чисел a1,..., an, b1,..., bn справедливо неравенство называемое неравенством Коши–Буняковского.

Здесь опущено условие неотрицательности чисел ak, bk. Конечно, от этого требования можно было отказаться и в неравенстве Гёльдера (6.8.3), если заменить в правой его части ak на |ak | и bk на |bk |.

Неравенство (6.8.4) впервые доказал О. Коши, позднее В. Я. Буняковский установил интегральный аналог этого неравенства (он будет приведен в § 9.8). В русскоязычной литературе сложилась традиция оценку (6.8.4), упомянутое неравенство для интегралов и другие подобные им оценки называть неравенствами Коши–Буняковского.

Теорема 6.8.4 (Неравенство Минковского). Пусть p > 1 и числа a1,..., an и b1,..., bn неотрицательны. Тогда справедливо неравенство называемое неравенством Минковского.

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда сумма в левой части (6.8.5) положительна. Запишем тождество и к каждой из сумм в его правой части применим неравенство Гёльдера:

Разделив обе части полученной оценки на приходим к (6.8.5).

Теорема доказана.

Отметим частный случай неравенства (6.8.5), когда p = 2:

Если при n = 3 тройки чисел (a1, a2, a3 ) и (b1, b2, b3 ) считать компонентами векторов в ортонормированном базисе, то неравенство Коши–Буняковского даст оценку модуля скалярного произведения векторов через длины этих векторов. А неравенство (6.8.6) даст оценку длины суммы векторов через длины этих векторов. Поэтому неравенство (6.8.6), как и неравенство Минковского (6.8.5), называют также неравенством треугольника.

Теорема 6.8.5 (Неравенство Иенсена). Пусть функция f (x) выпукла на промежутке [a, b]. Тогда для любых n точек x1, x2,..., x n, n 2, из [a, b] и любых положительных чисел 1, 2,..., n таких, что k=1 k = 1, справедливо неравенство называемое неравенством Иенсена.

Доказательство. Положим – опорная прямая функции f (x) в точке s. При всех x [a, b] имеем В частности, для каждого k = 1,..., n Умножим эти оценки на k и сложим полученные неравенства по k от 1 до n:

Отсюда вытекает (6.8.7).

Теорема доказана.

Если функция f строго выпукла, то неравенство (6.8.8) при x = s является строгим. Значит, в этом случае строгим является и неравенство (6.8.7).

Если функция f (x) вогнута на промежутке [a, b], то при тех же условиях на точки xk и числа k неравенство Иенсена имеет вид Сравним с помощью неравенства Иенсена среднее арифметическое и среднее геометрического произвольного набора положительных чисел. При этом будет использована вогнутость функции ln x, в которой легко убедиться по знаку второй производной:

(ln x) = 1/x2 < 0.

Пусть x1, x2,..., xn – произвольные числа. Средним арифметическим этих чисел называется выражение а средним геометрическим, если эти числа положительны, – выражение Согласно (6.8.9) Поэтому в силу возрастания показательной функции ex Таким образом, установлено следующее утверждение.

Теорема 6.8.6. Для любых положительных чисел x1,..., xn справедливо неравенство т. е. среднее геометрическое положительных чисел не превосходит их среднего арифметического.

Формула (6.8.10) при n = допускает простую геометрическую интерпретацию. Построим на отрезке AB длины x1 + x2 как на диаметре полуокружность, обозначим её центр O.

Пусть радиус OC AB, длина OC равна (x1 + x2 )/2. Если DP AB, то из подобия прямоугольных треугольников ADP и DBP следует, что длина отрезка DP равна x1 x2.

Таким образом, неравенство (6.8.11) означает, что длина перпендикуляра, опущенного из произвольной точки рассматриваемой полуокружности на диаметр AB, не превосходит длины радиуса OC.

Теорема 6.8.7 (Неравенство Чебышева). Если числа a1,...

..., an и b1,..., bn удовлетворяют условиям то справедливо неравенство которое называют неравенством Чебышева.

Доказательство. Имеем Если в полученной двойной сумме поменять индексы k и m, значение суммы не изменится. Значит, В силу (6.8.12) для любых индексов k и m имеем (ak am ) (bk bm ) 0. Поэтому (6.8.13) вытекает из (6.8.14).

Легко убедиться, что если одна из последовательностей a1,..., an и b1,..., bn возрастает, а другая убывает, то в (6.8.13) нужно заменить знак неравенства на.

Если все числа bk равны между собой, то при любых ak в (6.8.13) имеет место знак равенства. Это показывает, в частности, что множитель n в правой части неравенства (6.8.13) нельзя заменить на меньший.

Установленные в этом параграфе неравенства можно значительно обобщить. С некоторыми такими обобщениями мы познакомимся в дальнейшем.

Глава 7. Кривые в трёхмерном пространстве § 7.1. Векторнозначные функции До сих пор изучались функции, значениями которых были действительные числа, хотя во многих случаях (но не всегда) значениями могли бы быть и комплексные числа. Так, для функций, значениями которых являются комплексные числа, не справедливы, например, теорема Ролля и теоремы 6.3.2 и 6.3.3 (правила Лопиталя).

Мы уже говорили, что понятие функции имеет очень общий характер и значениями функций (как и их аргументами) могут быть элементы произвольных множеств.

При изучении кривых будут использоваться векторнозначные функции числового аргумента, т. е. функции, аргументами которых являются числа, а значениями – векторы трёхмерного пространства. Такие функции называют векторными функциями или вектор-функциями.

Когда рассматриваются как функции, значениями которых являются векторы, так и функции, значениями которых являются числа, первые называют векторными, а вторые – скалярными.

Пусть в трёхмерном евклидовом пространстве E3 зафиксирована некоторая декартова прямоугольная система координат.

Тогда между векторами r и упорядоченными тройками чисел (x, y, z) – компонентами векторов – имеет место взаимнооднозначное соответствие. Задание на промежутке числовой прямой векторной функции r(t) эквивалентно заданию на этом промежутке трёх скалярных функций x(t), y(t), z(t) аргумента t.

Для вектор-функций по аналогии со скалярным случаем даются определения предела, непрерывности, производной. При этом близость значений функции r(t1 ) и r(t2 ) понимается как близость точек с радиусами-векторами r(t1 ) и r(t2 ), т. е. как малость длины вектора r(t1 ) r(t2 ).

Приведём определение предела по Коши векторной функции.

Определение. Вектор r0 называют пределом векторной функции r(t) в точке t0, если функция r(t) определена в некоторой проколотой окрестности точки t0 и для каждого положительного числа существует = () > 0 такое, что для всех точек t из проколотой -окрестности точки t0 выполняется неравенство Пределы векторных функций записывают как и пределы скалярных функций:

Если r(t) = (x(t), y(t), z(t)) и r0 = (x0, y0, z0 ), то Поэтому существование предела lim r(t) = r0 равносильно существованию трёх пределов lim x(t) = x0, lim y(t) = y0, lim z(t) = z0.

Пределы векторных функций обладают многими свойствами пределов скалярных функций и доказательство по существу остатся таким же.

Так, если функция r(t) имеет предел в точке t0, то в некоторой проколотой окрестности точки t0 функция r(t) ограничена, что означает ограниченность длин векторов r(t).

Перечислим свойства пределов, связанные с действиями над вектор-функциями. Пусть векторные функции r1 (t), r2 (t), r(t) и скалярная функция f (t) имеют предел при t t0. Тогда при t t0 существуют следующие пределы и для них выполняются равенства:

Эти свойства легко вывести из свойств пределов скалярных функций, рассмотрев компоненты векторов. Но можно провести рассуждения и непосредственно для векторных функций.

Докажем, например, утверждение о переходе к пределу в скалярном произведении. Пусть r := limtt0 r1 (t) и r := limtt0 r2 (t). Тогда Поэтому Отсюда в силу ограниченности функции r1 (t) в достаточно малой проколотой окрестности точки t0 вытекает равенство пределов.

Определение. Функцию r(t) называют непрерывной в точке t0, если Непрерывность векторной функции равносильна непрерывности трёх скалярных функций – компонент векторов. А операции сложения и вычитания векторов, умножения вектора на число, скалярного и векторного умножения, произведённые над непрерывными вектор-функциями, дают в результате непрерывные функции.

Производная векторной функции r(t) определяется как предел если этот предел существует.

Существование производной r (t) равносильно существованию трёх производных x (t), y (t) и z (t). При этом r (t) = x (t), y (t), z (t).

Аналогично даются определения односторонних пределов, односторонней непрерывности и односторонних производных для векторных функций.

Функцию r(t) называют дифференцируемой в точке t0, если для приращения функции r(t) в точке t0 при t 0 справедливо представление где A – некоторый вектор и limt0 (t) = 0.

Как и для скалярных функций устанавливается, что дифференцируемость функции r(t) в точке t0 равносильна существованию производной r (t0 ) и в этом случае A = r (t0 ).

Если функция r(t) имеет производную в точке или на промежутке, говорят, что эта функция дифференцируема соответственно в точке или на промежутке. При этом если производная непрерывна, функцию называют непрерывно дифференцируемой.

Приведём формулу производной сложной функции.

Пусть на промежутке [, ] задана дифференцируемая скалярная функция t = ( ), значения которой принадлежат промежутку [a, b], и на [a, b] задана дифференцируемая векторная функция r(t). Тогда сложная функция R( ) := r(( )) дифференцируема на [, ] и справедливо равенство Доказать это проще всего, рассматривая компоненты векторных функций.

Многие свойства производных скалярных функций легко переносятся на производные векторных функций. Например, из существования производной в точке следует непрерывность функции в этой точке.

Кроме того, выполняются равенства:

Здесь, как и в скалярном случае, предполагается, что существуют производные в правых частях, а утверждается существование производных в левых частях и справедливость равенств.

Вместе с тем, такое важное свойство дифференцируемых скалярных функций, как формула конечных приращений Лагранжа, прямого аналога в векторном случае не имеет.

В самом деле, рассмотрим функцию r(t) := (cos t, sin t), значениями которой являются двумерные векторы.

Тогда r(2) r(0) = 0. Но r (t) = ( sin t, cos t), следовательно, |r (t)| = 1. Значит, равенство не может выполняться ни при каком.

Тем не менее, для векторных функций справедливо одно из основных следствий формулы конечных приращений Лагранжа.

Теорема 7.1.1. Пусть функция r(t) непрерывна на отрезке [a, b] и имеет производную на интервале (a, b). Тогда существует такое число (a, b), что Доказательство. Будем считать, что r(b) r(a) = 0, так как при r(b) = r(a) утверждение теоремы очевидно.

Положим Тогда |e| = 1 и Введём скалярную функцию Эта функция непрерывна на [a, b] и имеет производную на (a, b). Значит, согласно формуле конечных приращений Лагранжа существует точка (a, b) такая, что Поэтому и теорема доказана.

§ 7.2. Определение кривой. Длина кривой Пусть на промежутке [a, b] задана непрерывная функция r(t), значениями которой являются векторы трёхмерного евклидова пространства E3. Будем считать, что в E3 зафиксирована декартова прямоугольная система координат и r(t) = (x(t), y(t), z(t)).

Множество точек M (t) := (x(t), y(t), z(t)), t [a, b], радиусамивекторами которых являются векторы r(t), обозначим. Будем писать Множество называют непрерывной кривой (жордановой кривой) в пространстве E3.

Каждому значению параметра t соответствует точка M (t) кривой. Когда t пробегает [a, b], возрастая от a к b, кривая служит траекторией движения точки M (t) и возрастание t определяет некоторое направление движения по кривой. Говорят, что этим на кривой задаётся ориентация.

При убывании t от b к a получим ту же кривую, но с противоположным направлением движения (с противоположной ориентацией).

В механике кривую (7.2.1), заданную вектор-функцией r(t), называют годографом этой функции.

Если некоторые точки, соответствующие разным значениям t из интервала (a, b), совпадают, их называют точками самопересечения (кратными точками) кривой.

Непрерывную кривую без точек самопересечения называют простой дугой.

Непрерывную кривую (7.2.1) называют замкнутой кривой (замкнутым контуром), если M (a) = M (b), а при всех остальных t точки M (t) различны.

Простая дуга является гомеоморфным образом отрезка, т. е.

она может быть получена из отрезка с помощью взаимнооднозначного непрерывного отображения, обратное к которому также непрерывно. Простой замкнутый контур является гомеоморфным образом окружности.

Непрерывная кривая может быть задана разными векторфункциями. Например, если сделать замену аргумента t = ( ), где ( ) – непрерывная строго возрастающая функция, отображающая промежуток [, ] на [a, b], то получим ту же кривую (7.2.1), заданную теперь формулой При этом в силу возрастания функции ориентация на кривой сохранится. Если же функция ( ) строго убывает, то получим кривую с противоположной ориентацией.

Длину кривой определяют, используя ломаные.

Пусть в E3 заданы точки M0, M1,..., Mn. Соединив последовательно отрезками точку M0 с M1, затем M1 с M2,..., Mk с Mk и т. д., получим ломаную, которая является непрерывной кривой. Длину ломаной определяют как сумму длин составляющих её отрезков Mk1 Mk, k = 1, 2,..., n.

Пусть непрерывная функция r(t) задана на промежутке [a, b] и := {r(t), t [a, b]}. Рассмотрим разбиение T промежутка [a, b] точками tk :

Построим ломаную с вершинами в точках Mk := M (r(tk )), соединив отрезками точки Mk1 и Mk, k = 1,..., n. Такую ломаную называют вписанной в кривую. Длину полученной ломаной обозначим T.

Определение. Длиной S непрерывной кривой (7.2.1), не имеющей кратных точек, называют верхнюю грань длин вписанных в неё ломаных:

где sup обозначает точную верхнюю грань по всем разбиениям T промежутка [a, b], если эта верхняя грань существует, и sup обозначает +, если длины ломаных T не ограничены.

Длина кривой не зависит от функции r(t), с помощью которой кривая задана, так как в определении длины участвуют только ломаные, вписанные в кривую.

Ясно, что всегда 0 S +. Если S < +, то кривую называют спрямляемой. Если S = +, кривую называют неспрямляемой.

Теорема 7.2.1. Пусть := {r(t), t [a, b]} – непрерывная кривая без кратных точек и c (a, b). Положим Тогда Доказательство. Заметим, что здесь спрямляемость кривых не предполагается, а сумма числа и +, как обычно, считается равной +.

Для произвольного разбиения T промежутка [a, b] построим разбиение T, добавив к T точку c, если среди точек разбиения её не было. Ясно, что при этом длина вписанной в ломаной не может уменьшится, т. е. T T.

Пусть T1 и T2 – те разбиения промежутков [a, c] и [c, b], которые порождаются разбиением T. Длины ломаных T, T1 и T2, вписанных соответственно в кривые, 1 и 2, связаны равенством T = T1 + T2. Поэтому Заменив в правой части этого неравенства длины ломаных на длины соответствующих кривых, получим Поэтому Оценим теперь S снизу.

Пусть T1 и T2 – произвольные разбиения соответственно промежутков [a, c] и [c, b] и T – порождённое ими разбиение промежутка [a, b]. Тогда и значит, Правая часть этого неравенства не зависит от разбиений T и T2, поэтому в левой части можно перейти к верхним граням по разбиениям T1 и T2 :

Из (7.2.4) и (7.2.5) вытекает равенство (7.2.3).

Теорема доказана.

Свойство длины кривой, выраженное равенством (7.2.3), называют аддитивностью.

Можно показать, но не будем на этом останавливаться, что если в определении кривой предполагать только непрерывность функции r(t), то в качестве непрерывных кривых появятся и множества точек, не соответствующие интуитивному представлению о кривой как о “тонкой нити”. Например, точки непрерывной кривой могут целиком заполнять квадрат. Первый пример подобной непрерывной кривой построил Д. Пеано, такие кривые называют кривыми Пеано.

Поэтому рассматривают более узкие классы кривых, когда на функцию r(t) накладываются дополнительные условия.

Определение. Кривая называется непрерывно дифференцируемой, если её можно представить в виде с непрерывно дифференцируемой на отрезке [a, b] функцией r(t).

Если функция r(t) непрерывна и имеет кусочно непрерывную производную, кривую (7.3.1) называют кусочно непрерывно дифференцируемой.

Теорема 7.3.1. Непрерывно дифференцируемая кривая (7.3.1) спрямляема и для её длины справедливы оценки где r(t) = x(t), y(t), z(t) и а величины my, My, mz, Mz определяются аналогично.

Доказательство. Для каждого разбиения T отрезка [a, b] имеем где согласно формуле конечных приращений Лагранжа k, k, k – некоторые точки из (tk1, tk ). Таким образом, Переходя к минимальным и максимальным на [a, b] значениям модулей производных, получим Из этих оценок вытекает двойное неравенство (7.3.2).

Теорема доказана.

Теорема 7.3.1 справедлива и для кусочно непрерывно дифференцируемых кривых. Доказательство остается тем же, поскольку в определении длины кривой (7.2.2) можно рассматривать только те разбиения T, которые содержат все точки, где у функции r(t) нет производной.

Определение. Пусть кривая спрямляема и – часть кривой, соответствующая изменению параметра от a до t, t b. Функцию называют длиной дуги кривой.

Теорема 7.3.2. Если кривая (7.3.3) непрерывно дифференцируема, то длина её дуги s(t) монотонно возрастает, имеет непрерывную производную и справедливо равенство Доказательство. Из определения длины дуги следует, что функция s(t) возрастает для любой непрерывной спрямляемой кривой.

Рассмотрим отношение приращения функции s(t) к приращению аргумента s/t. В силу возрастания s(t) имеем при всех t Для произвольной точки t0 [a, b] рассмотрим при достаточно малых t часть кривой, соответствующую изменению t в пределах от t0 до t0 + t, если t > 0, и от t0 + t до t0, если t < 0.

В силу теоремы 7.3.1 для приращений функции s(t), соответствующих таким приращениям t, справедливы оценки где mx, Mx и другие подобные величины – это минимумы и максимумы модулей компонент вектора r (t) на указанных отрезках изменения t.

Из (7.3.6), учитывая (7.3.5), находим При t 0 в силу непрерывности производной x (t) имеем Mx |x (t0 )| и mx |x (t0 )| и аналогично для величин My, my, Mz и mz. Поэтому из (7.3.7) при t 0 вытекает равенство (7.3.4).

Теорема доказана.

Определение. Кривая называется гладкой, если функция r(t) непрерывно дифференцируема и r (t) = 0 для всех t [a, b].

Кривая называется кусочно гладкой, если она непрерывна и является объединением конечного числа гладких кривых.

Можно сказать иначе: множество точек из E3 называется гладкой кривой, если существует непрерывно дифференцируемая функция r(t) с неравной нулю производной такая, что это множество можно представить как {r(t), t [a, b]}.

Для гладкой кривой = {r(t), t [a, b]} при каждом t0 [a, b] отлична от нуля по крайней мере одна из производных x (t0 ), y (t0 ), z (t0 ). Если, например, x (t0 ) = 0, то в некоторой окрестности t0 производная x (t) сохраняет знак и, следовательно, функция x(t) строго монотонна.

Значит, x(t) в этой окрестности имеет непрерывно дифференцируемую обратную функцию t = t(x). Таким образом, гладкую кривую в некоторой окрестности каждой её точки можно задать уравнениями y = y(t(x)), z = z(t(x)), т. е. уравнениями вида y = g(x), z = h(x).

Особенно просто это выглядит для плоских кривых. В этом случае z 0 и уравнение соответствующей части гладкой кривой имеет вид y = g(x) с непрерывно дифференцируемой функцией g(x).

Итак, плоская гладкая кривая в некоторой окрестности каждой своей точки является графиком непрерывно дифференцируемой функции.

Заметим, что в отличие от гладких кривых непрерывно дифференцируемые кривые могут иметь особенности. Например, если r(t) = (t3, t2 ), t [1, 1], то кривая является графиком функции y = |x|2/3, изображённым на рисунке Рассмотрим гладкую кривую := {r(t), t [a, b]}. Вектор лежит на секущей, проходящей через точки кривой, соответствующие значениям t, равным t0 + t и t0. При каждом t этот вектор направлен в сторону возрастания параметра t. Так как существует ненулевой предел то вектор r (t0 ) определяет предельное положение секущей, которое называют касательным направлением. Прямую, проходящую через точку с радиусом-вектором r(t0 ), параллельную вектору r (t0 ), называют касательной к кривой в точке r(t0 ).

Для кривых, являющихся графиками непрерывно дифференцируемых функций, это определение касательной совпадает с тем, которое было дано в § 5.2.

Если кривая := {r(t), t [a, b]} является гладкой, то |r (t)| > 0 и согласно теореме 7.3.2 для функции длины дуги s(t) имеем s (t) > 0. Поэтому функция s(t) является строго возрастающей и в определении кривой в качестве параметра можно взять длину дуги.

Таким образом, можно рассматривать как кривую, заданную векторной функцией r(t(s)). Изменив обозначения, получим причём в этом случае т. е. длина хорды, соединяющей две достаточно близкие точки гладкой кривой, мало отличается от длины части кривой, ограниченной этими точками.

Краткие сведения об ученых, упоминаемых Абель Нильс Хенрик (Abel Niels Henrik, 1802–1829) – норвежский математик.

Архимд (ок. 287–212 до н.э.) – древнегреческий математик и механик.

Бернлли Иоганн (Bernulli Johann, 1667–1748) – швейцарский математик, брат Я. Бернулли.

Бернлли Якоб (Bernulli Jacob, 1654–1705) – швейцарский мау тематик.

Больцно Бернард (Bolzano Bernhard, 1781–1848) – чешский математик.

Буняквский Виктор Яковлевич (1804–1889) – русский матео матик, академик Петербургской Академии наук.

Вйерштрасс Карл (Weierstrass Karl, 1815–1897) – немецкий математик.

Гйне Генрих Эдуард (Heine Heinrich Eduard (1821–1881) – немецкий математик.

Гёльдер Отто (Hlder Otto, 1859–1937) – немецкий математик.

Дарб Гастон (Darboux Gaston, 1842–1917) – французский мау тематик.

Ддекинд Рихард (Dedekind Richard, 1831–1916) – немецкий математик.

лософ и математик.

Евклд (по некоторым данным 335–270 до н.э.) – дренегречеи ский математик.

Инсен Иоганн Людвиг (Jensen Johann Ludwig, 1859–1925) – датский математик.

Кнтор Георг (Cantor Georg, 1845–1918) – немецкий матемаа тик.

Кош Огюстен Луи (Cauchy Augustin Louis, 1789–1857) – французский математик.

Лагрнж Жозеф Луи (Lagrange Joseph Louis, 1736–1813) – французский математик и механик.

Лйбниц Готфрид Вильгельм фон (Leibniz Gottfried Wilhelm von, 1646–1716) – немецкий ученый широкого профиля (философ, математик, физик и изобретатель, юрист, историк, языковед), дипломат.

Лпшиц Рудольф Отто (Lipschitz Rudolf Otto, 1832 –1903) – немецкий математик.

Лопитль Антуан де (L’Hopital Antoine de, 1661–1704) – франа цузский математик.

Маклрен Колин (Maclaurin Colin, 1698–1746) – шотландский математик.

Минквский Герман (Minkowski Hermann, 1864–1909) – немецо кий математик и физик.

Ньютон Исаак (Newton Isaac, 1643–1727) – английский физик и математик.

Пено Джузеппе (Peano Giuseppe, 1858–1932) – итальянский математик.

Ролль Мишель (Rolle Michel, 1652–1719) – французский математик.

Тйлор Брук (Taylor Brook, 1685–1731) – английский матемае тик.

Ферм Пьер де (Fermat Pierre de, 1601–1665) – французский математик.

Фурь Жозеф (Fourier Jojeph, 1768–1830) – французский мае тематик.

Чебышв (произносится Чебышв) Пафнутий Львович (1821– 1894) – русский математик и механик, академик Петербургской Академии наук.

Эйлер Леонард (Euler Leonhard, 1707–1783) – уроженец Швейцарии, в 1727–1741 и 1766–1783 годы работал в Петербурге, академик Петербургской Академии наук.

Янг (часто пишут Юнг) Вильям Генри (Young William Henry, 1863–1946) – английский математик.

Сергей Александрович Теляковский Курс лекций по по математическому анализу Сдано в набор 20.12.2008. Подписано в печать 12.03.2009.

Формат 6090/16. Усл. печ. л. 13,25. Тираж 200 экз.

Отпечатано в Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН http://www.mi.ras.ru/noc/