«Лекционные курсы НОЦ Выпуск 11 Издание выходит с 2006 года С. А. Теляковский Курс лекций по математическому анализу Семестр I Издание 2-е, доработанное Москва 2009 УДК 517 ББК (В)22.16 Л43 Редакционный совет: С. И. ...»

Математический институт им. В. А. Стеклова

Российской академии наук

Лекционные курсы НОЦ

Выпуск 11

Издание выходит с 2006 года

С. А. Теляковский

Курс лекций по математическому

анализу

Семестр I

Издание 2-е, доработанное

Москва

2009

УДК 517

ББК (В)22.16

Л43

Редакционный совет:

С. И. Адян, Д. В. Аносов, О. В. Бесов, И. В. Волович, А. М. Зубков, А. Д. Изаак (ответственный секретарь), В. В. Козлов, С. П. Новиков, В. П. Павлов (заместитель главного редактора), А. Н. Паршин, Ю. В. Прохоров, А. Г. Сергеев, А. А. Славнов, Д. В. Трещев (главный редактор), Е. М. Чирка Лекционные курсы НОЦ/ Математический инстиЛ тут им. В. А. Стеклова РАН (МИАН). – М.: МИАН, 2009.

Вып. 11: Курс лекций по математическому анализу. Семестр I / Теляковский С. А. – 212 с.

ISBN 5-98419-030- Серия “Лекционные курсы НОЦ” – рецензируемое продолжающееся издание Математического института им. В. А. Стеклова РАН. В серии “Лекционные курсы НОЦ” публикуются материалы специальных курсов, прочитанных в Математическом институте им. В. А. Стеклова Российской академии наук в рамках программы Научно-образовательный центр МИАН.

Настоящая брошюра содержит “Курс лекций по математическому анализу” С. А. Теляковского, читавшийся студентам первого курса механико-математического факультета МГУ в 1996–2006 годах.

c Математический институт ISBN 5-98419-030- им. В. А. Стеклова РАН, c Теляковский С. А., Оглавление Введение Глава 1. Действительные числа § 1.1. Бесконечные десятичные дроби........... § 1.2. Сравнение чисел.................... § 1.3. Точная верхняя и точная нижняя грани числового множества.......................... § 1.4. Сложение чисел.................... § 1.5. Умножение чисел.................... § 1.6. Непрерывность множества действительных чисел. § 1.7. Последовательности вложенных отрезков..... § 1.8. Дедекиндовы сечения................. § 1.9. Об аксиоматическом определении действительных чисел............................. § 1.10. Счётные и несчётные множества.......... Глава 2. Предел последовательности § 2.1. Определение предела последовательности..... § 2.2. Свойства пределов, связанные с неравенствами.. § 2.3. Арифметические свойства пределов......... § 2.4. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности........................... § 2.5. Предел монотонной последовательности...... § 2.6. Число e......................... § 2.7. Частичные пределы.................. § 2.8. Верхний и нижний пределы последовательности. § 2.9. Критерий Коши.................... Глава 3. Предел функции § 3.1. Понятие функции................... § 3.2. Определение предела функции............ § 3.3. Свойства предела функции.............. § 3.4. Критерий Коши.................... § 3.5. Предел сложной функции............... § 6.1. Локальные экстремумы функции.......... § 6.3. Раскрытие неопределённостей............ § 6.5. Формула Тейлора для элементарных функций... § 6.6. Исследование функций с помощью старших производных............................ § 6.7. Функции, выпуклые на промежутке......... § 6.8. Некоторые классические неравенства........ Краткие сведения об ученых, упоминаемых в тексте Более 15 лет автор читал лекции по математическому анализу в МФТИ. Тогда при разработке курса за основу был взят учебник С. М. Никольского “Курс математического анализа”. Разумеется, использовались и другие источники. В первую очередь “Курс дифференциального и интегрального исчисления” Г. М. Фихтенгольца и “Курс математического анализа” Л. Д. Кудрявцева.

В 1996–2006 г.г. автор читал курс математического анализа на механико-математическом факультете МГУ. Значительное по сравнению с курсом на физтехе увеличение числа лекционных часов, изменение программы и её акцентов привели к существенным изменениям содержания курса. Большую помощь при этой переработке оказал Т. П. Лукашенко, ознакомивший автора с записями своих лекций.

Настоящий курс написан на основе лекций, читавшихся автором в МГУ.

Для сокращения записи используются следующие обозначения.

– “для каждого”, “для любого”, “для всех” (это перевернутая начальная буква английского All), – “существует”, “найдётся” (это перевернутая начальная буква английского Exist), : – “такой, что”, “такие, что”, := – “обозначим”.

В математике часто используются термины “достаточное условие”, “необходимое условие”. При этом слова достаточность и необходимость имеют обычный смысл: если из утверждения A следует утверждение B, то условие A называют достаточным, для того чтобы имело место B, а B необходимым для выполнения A.

К сожалению, в разговорной речи, особенно в последнее время, слово достаточно часто употребляется также вместо слова очень. В результате возникают такие нелепые высказывания как:

“При аварии пострадало достаточно много людей” или “Фотоаппарат работает достаточно плохо”. Обе эти фразы автор не придумал специально, а действительно слышал их.

Два замечания о содержания курса.

В первом семестре рассматриваются только действительные числа. Комплексные числа упоминаются всего один раз, да и то вскользь в седьмой главе. Мы исходим из того, что в университетах комплексные числа вводятся в читаемом одновременно курсе высшей алгебры.

Подробнее, чем обычно в курсах анализа, говорится о выпуклых функциях.

В 2002–2004 годы в издательстве Центра прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ вышли выпуски курса, содержащие последовательно материал I, II, III и IV семестров.

Настоящий выпуск представляет собой второе издание курса лекций I семестра. При подготовке второго издания материал был дополнен и заново отредактирован.

При работе над вторым изданием автор воспользовался большим количеством полезных замечаний и конструктивных предложений по улучшению текста, которые он получил от О. В. Бесова, Л. А. Леонтьевой и Д. С. Теляковского. Автор приносит им свою глубокую благодарность.

Автор считает своим приятным долгом поблагодарить также лиц, высказавших свои замечания по первому изданию или по ходу чтения лекций. Это – Е. А. Волков, В. И. Гаврилов, А. И. Галочкин, Е. П. Долженко, А. В. Домрина, Е. В. Майков, И. Х. Сабитов, А. М. Седлецкий, Т. Х. Яковлева.

Автор глубоко благодарен своим слушателям – студентам, вопросы и замечания которых подсказывали, какие моменты рассуждения следует привести более подробно или уточнить.

Глава 1. Действительные числа § 1.1. Бесконечные десятичные дроби Рациональные (в частности, целые) числа и их свойства считаются известными из школы. Рациональные числа можно сравнивать (т. е. для них введены понятия “равно”, “больше” и “меньше”), определены арифметические действия над рациональными числами – сложение, вычитание, умножение и деление.

Но рациональных чисел недостаточно даже для задач элементарной математики. Так, длина диагонали квадрата со стороной равна 2, а это число иррациональное, т. е. не рациональное. Не является рациональным и число, выражающее длину окружности диаметра 1.

Напомним, что такое числовая прямая. На горизонтально расположенной прямой выбирают начальную точку O и единичный отрезок OE, отложенный вправо от точки O. Точке O ставится в соответствие число 0, точке E – число 1. Откладывая вправо от точки E шаг за шагом единичный отрезок, получают точки, соответствующие натуральным числам 2, 3,..., а откладывая единичный отрезок влево от точки O, – точки, соответствующие целым отрицательным числам 1, 2,....

Затем строятся точки, соответствующие рациональным числам. При n = 2, 3,... отрезок OE делят на n равных частей и чтобы получить точку, соответствующую положительному рациональному числу m/n, вправо от точки O откладывают m раз отрезок длины 1/n. Точно также для отрицательных рациональных чисел находят соответствующие им точки слева от точки O.

Таким образом, каждому рациональному числу поставлена в соответствие точка на числовой прямой. Но при этом не каждой точке числовой прямой соответствует рациональное число. Например, нет рационального числа, соответствующего точке, расположенной справа от O на расстоянии 2.

В этой главе рациональные числа будут пополнены до множества действительных чисел, в результате каждой точке числовой прямой будет соответствовать число, а каждому числу – точка на прямой.

Такое пополнение рациональных чисел можно осуществить разными способами. Мы сделаем это, используя бесконечные десятичные дроби. Такой способ был намечен в школе, но сейчас все рассуждения будут проведены заново.

Отметим, что определение действительных чисел как бесконечных десятичных дробей восходит к К. Вейерштрассу.

Построим десятичную дробь, соответствующую произвольной точке A числовой прямой.

Пусть точка A расположена справа от точки O и не отвечает натуральному числу. Найдём целые числа a0 и a0 +1, между которыми лежит точка A. В качестве целой части десятичной дроби, соответствующей точке A, берём a0.

Далее отрезок между точками a0 и a0 + 1 делим на 10 равных частей и приписываем этим частям слева направо цифры от до 9. Среди полученных промежутков длины 1/10 находим тот, внутри которого находится точка A (случай, когда A оказывается одной из точек деления, обсудим позднее) и в качестве первого десятичного знака искомой дроби берём цифру, приписанную этому промежутку. Продолжая этот процесс, получим (при условии, что A не оказывается точкой деления) бесконечную десятичную дробь, соответствующую точке A.

Рассмотрим теперь случай, когда точка A оказалась одной из точек деления. Пусть, например, A расположена как на рисунке:

Точкам на промежутке, примыкающем к A справа, в качестве первого десятичного знака мы приписали цифру 2, а на промежутке, примыкающем слева, – цифру 1. По поводу самих точек деления нужно решить, к какому промежутку их относить: лежащему справа или лежащему слева. Если точки деления относить к правым промежуткам, то для точки A на рисунке получим a0, 2, а все остальные десятичные знаки – ноли, т. е. получим a0, 2000....

Если точки деления относить к левым промежуткам, то для точки A получим a0, 1, а все остальные десятичные знаки – девятки, т. е. получим a0, 1999... = a0, 1(9).

В зависимости от договоренности, относить точки деления к правым или к левым промежуткам, для точек, соответствующих натуральным числам, также получим две бесконечные десятичные дроби. У одной из них все десятичные знаки ноли, а у другой целая часть на единицу меньше, а все десятичные знаки – девятки.

Для точек числовой прямой слева от точки O пишем перед дробью знак минус, а затем подобным образом находим числа a0, a1, a2,..., определяющие соответствующую бесконечную десятичную дробь a0, a1 a2....

Таким образом, для всех точек числовой прямой (кроме начальной точки O), которые оказываются точками деления, возможны две записи – с нолем в периоде (т. е. в виде целого числа или конечной десятичной дроби) или с девяткой в периоде. Для остальных точек бесконечная десятичная дробь определяется однозначно.

Чтобы каждой точке числовой прямой соответствовала единственная бесконечная десятичная дробь, уславливаются не различать получающиеся при указанном построении дроби с 0 и с 9 в периоде. Обычно в каждом рассуждении используют дроби только с нолем или только с девяткой в периоде.

Поставим обратную задачу – для заданной бесконечной десятичной дроби ±a0, a1 a2... найти соответствующую ей точку числовой прямой.

По знаку дроби и числу a0 находим два идущих подряд целых числа, между которыми должна располагаться искомая точка.

Затем, разбив промежуток между этими точками на 10 равных частей, по числу a1 находим тот из полученных промежутков длины 1/10, которому должна принадлежать наша точка.

Продолжая шаг за шагом это построение, получим последовательность промежутков, каждый из которых содержится в предыдущем, а длина его в 10 раз меньше. Искомая точка должна принадлежать всем этим промежуткам.

Но обязательно ли существует такая точка, мы сейчас не знаем. В дальнейшем на этот вопрос будет получен положительный ответ.

Всё сказанное о бесконечных десятичных дробях следует рассматривать как наводящие соображения к тому, чтобы назвать числами бесконечные десятичные дроби.

Определение. Действительными (вещественными) числами называют бесконечные десятичные дроби ±a0, a1 a2..., где выбран определённый знак: “+” или “”, a0 – натуральное число или нуль, а все десятичные знаки a1, a2,... – цифры от 0 до 9.

При этом дробь ±a0, a1... am (9), где am = 9, определяет то же число, что и дробь ±a0, a1... am1 d000..., у которой m-й десятичный знак d равен am + 1.

Действительные числа будем обозначать буквами и писать a = ±a0, a1 a2..., опуская обычно при этом знак +. Число 0 записывают как бесконечную дробь 0, 000..., которую можно снабдить и знаком + и знаком, но как правило этой дроби знак не приписывают.

При записи чисел a, b, c,... в виде бесконечных десятичных дробей для обозначения десятичных знаков будем использовать эти же буквы с индексами:

Для каждого числа a = ±a0, a1 a2... вводится число a, которое отличается от a только знаком, т. е. a := a0, a1 a2.... На числовой прямой точки, соответствующие числам a и a, расположены симметрично относительно начальной точки O.

Выясним, как соотносятся рациональные и действительные числа.

Рациональные числа представимы в виде дроби m, где m – целое число, а n – натуральное.

Будем для определённости считать, что m > 0. Разделив m на n “уголком”, получим либо конечную десятичную дробь, которую можно записать в виде бесконечной дроби с 0 в периоде, либо бесконечную десятичную дробь, которая обязательно будет периодической.

В самом деле, остатками при делении на n могут быть только числа 1, 2,..., n 1. Рассмотрим остатки, которые получаются при делении m на n после того, как все значащие цифры числа m уже снесены. Рано или поздно какой-то остаток повторится, после чего следующие остатки также будут повторяться, значит, будут повторяться и десятичные знаки.

Таким образом, каждое рациональное число представимо бесконечной десятичной периодической дробью.

Верно и обратное утверждение: каждая бесконечная десятичная периодическая дробь равна отношению m целого числа m к натуральному числу n. В этом можно убедиться, например, с помощью формулы суммы членов бесконечной геометрической прогрессии. Впрочем, доказательство этой формулы в школьных учебниках нельзя признать полным, так как оно опиралось на наивно-интуитивные представления о пределах. Во второй главе будет дано аккуратное доказательство указанной формулы.

Итак, рациональные числа и только они представимы бесконечными десятичными периодическими дробями. Иррациональные числа записываются бесконечными десятичными непериодическими дробями. Примерами таких дробей может служить дробь 0, 1010010001... (количество нолей между цифрами каждый раз увеличивается на один) или дробь, выражающая 2.

Теперь нам предстоит определить сравнение действительных чисел и арифметические действия над ними. Эти определения должны быть такими, чтобы результаты для рациональных чисел сохранялись.

Будем использовать свойства сравнения рациональных чисел и арифметических действий над ними.

В дальнейшем там, где это не может вызвать недоразумений, действительные числа будем называть просто числами.

Рассмотрим число a = ±a0, a1 a2.... Если все числа a0, a1, a2,... равны нулю, то не имеет значения, какой знак стоит перед дробью, число a называют нулём и пишут a = 0.

Пусть теперь среди чисел a0, a1, a2,... есть хотя бы одно, отличное от нуля. Тогда, если перед дробью стоит знак +, число a называют положительным и пишут a > 0. А если перед дробью стоит знак, число a называют отрицательным и пишут a < 0.

Таким образом, определено сравнение действительных чисел с нулём.

Определение. Модулем (или абсолютной величиной) числа называется число Модуль каждого числа либо положителен, либо равен нулю.

Если a > 0, то |a| = a, а если a < 0, то |a| = a.

Всюду в дальнейшем будем считать, что при записи бесконечных десятичных дробей используется какая-либо одна форма записи – или с 0, или с 9 в периоде.

Определим сравнение произвольных чисел.

Определение. Числа a = ±a0, a1 a2... и b = ±b0, b1 b2... называют равными, если они имеют одинаковые знаки и ak = bk при каждом k = 0, 1, 2,....

В этом случае пишут a = b, в противном случае пишут a = b.

Определим теперь для произвольных действительных чисел неравенства. Напомним, что если одно из чисел равно нулю, неравенства уже введены.

Определение. Пусть числа a и b не равны между собой. Тогда 10. О положительных числах a и b говорят, что a меньше b, и пишут a < b, если существует индекс k = 0, 1, 2,... такой, что ak < bk, а при всех i, меньших k, справедливы равенства ai = bi.

20. Если одно из чисел положительно, а второе отрицательно, то отрицательное число меньше положительного.

30. Если числа a и b отрицательны и |b| < |a|, то a < b.

Если a < b, то говорят также, что b больше a и пишут b > a.

Неравенства a < b и b > a считаются равносильными.

На числовой прямой точка, соответствующая меньшему числу, расположена слева от точки, соответствующей большему числу.

Из определения следует, что если a < b, то a > b, и что неравенство |a| < b равносильно двойному неравенству b < a < b.

Не будем останавливаться на доказательстве того, что для рациональных чисел данное определение равносильно прежнему, когда для положительных дробей m/n и p/q неравенство m/n < p/q означало mq < np.

Наряду со строгими неравенствами < и > используются нестрогие неравенства a < b или a = b. С помощью знака нестрогого неравенства, легко строится отрицание строгого неравенства. Так, отрицанием неравенства a < b является a b.

Рассмотрим свойства неравенств. Они составляют первую группу свойств действительных чисел.

I.1. Для любых чисел a и b имеет место одно и притом только одно из соотношений: a < b, a = b или a > b.

Иначе говоря: если числа различны, то одно из них меньше другого. Это вытекает сразу из определения сравнения чисел.

Свойство I.1 называют упорядоченностью действительных чисел.

a = c.

Эти свойства называют транзитивностью знаков < и = соответственно.

Транзитивность знака = следует из определения равенства чисел.

Докажем транзитивность знака 0, то a < c по определению. А если c 0, то b < 0, и для модулей чисел a, b и c имеем |a| > |b| и |b| > |c|. Значит, по уже доказанному |a| > |c|, откуда a < c.

Этим заканчивается доказательство свойства I.2.

Знак также обладает свойством транзитивности: если a b и b c, то a c. Это следует из транзитивности знаков < и =.

I.3. Для каждого числа a существует натуральное число n такое, что n > a.

Это свойство называют архимедовым. При определении действительных чисел как бесконечных десятичных дробей свойство I.3 очевидно: если a = ±a0, a1 a2..., то в качестве n можно взять a0 + 2. Вместе с тем, архимедово свойство играет важную роль при аксиоматическом определении действительных чисел, о котором будет говориться в § 1.9.

Приведём утверждения о сравнении действительных чисел с рациональными.

Теорема 1.2.1. Пусть a и b – произвольные числа и a < b.

Тогда существует рациональное число такое, что a < < b.

b = b0, b1 b2... и в этих представлениях не используется цифра в периоде.

Найдём наименьший индекс k такой, что ak < bk, и индекс m > k такой, что am < 9. В качестве можно взять конечную десятичную дробь a0, a1... am1 d, у которой m-й десятичный знак d равен am + 1.

Если a и b имеют разные знаки, берём = 0. А если b 0, то находим рациональное число такое, что |b| < < |a|, и полагаем Теорема доказана.

Теорема 1.2.2. Для произвольного числа a при каждом натуральном n существует конечная десятичная дробь n с n знаками после запятой такая, что Доказательство. Если a 0, то при каждом натуральном n и полагаем n := a0, a1... an.

a0, a1... an и полагаем n := a0, a1... an 10n. Заметим, что в этом случае n + 10n 0.

Теорема доказана.

Определение. Дроби n и n +10n с n десятичными знаками после запятой, для которых справедливы неравенства (1.2.1), называют n-ми десятичными приближениями числа a соответственно с недостатком и с избытком.

Десятичные приближения чисел будут использоваться только в первой главе. Для сокращения записи будем называть n-ми десятичными приближениями приближения с недостатком.

Лемма 1.2.3. Пусть a < b и n и n n-е десятичные приближения чисел a и b. Тогда существует натуральное число m такое, что при всех n m выполняется неравенство Доказательство. Будем считать, что в представлении чисел бесконечными десятичными дробями не используется запись с 9 в периоде.

что если m > k и am < 9, то имеет место оценка (1.2.2).

Рассмотрим число c такое, что ci = ai при всех i = m и cm = am + 1. Тогда c < b. Если n – n-е десятичные приближения c, то n < n для n k. При n m имеем n = n + 10m и, значит, n > n + 10m. Таким образом, выполняется неравенство (1.2.2) и для a 0 лемма доказана.

Если a < 0 и b 0, то все n 0 и для любого m такого, что a > 10m, при всех n имеем Наконец, если a < 0 и b < 0, то n-ми десятичными приближениями чисел |a| и |b| являются соответственно дроби |n + 10n | и |n + 10n |. Из условия a < b следует, что |a| > |b| > 0.

Для положительных чисел лемма уже доказана, поэтому существует такое m, что |n + 10n | |n + 10n | > 10m при всех n m. По свойствам модулей чисел |n + 10n | |n + 10n | = (n +10n )+(n +10n ) = n n и мы пришли к оценке (1.2.2).

Лемма доказана.

Лемма 1.2.4. Если для числа a существует такое натуральное число p, что при всех натуральных n, то a = 0.

Доказательство. Предположим, что a = 0. Тогда при некотором k число ak в представлении a в виде бесконечной десятичной дроби отлично от нуля.

Найдём натуральное m, для которого Таким образом, что противоречит условию леммы.

Поэтому лемма доказана.

Заметим, что в условии леммы достаточно предполагать, что неравенство (1.2.3) имеет место для всех достаточно больших n.

§ 1.3. Точная верхняя и точная нижняя грани Сделаем предварительно несколько замечаний о множествах.

Множество является одним из исходных понятий математики, оно не определяется. Вместо слова “множество” можно говорить о наборе, совокупности, собрании, коллекции. Но эти слова не могут служить определением, они только поясняют понятие множества.

Множество может содержать или не содержать те или иные объекты, которые называют элементами. Если элемент x принадлежит множеству A, то пишут x A, а если x не принадлежит множеству A, пишут x A. Множество задаётся набором своих элементов.

Общеприняты следующие стандартные обозначения:

N – множество натуральных чисел, Z – множество целых чисел, Q – множество рациональных чисел, R – множество действительных чисел.

§ 1.3. Точная верхняя и точная нижняя грани множества Наряду с множествами, содержащими какие-либо элементы, рассматривают множество, не содержащее ни одного элемента.

Такое множество называют пустым и обозначают. Если множество содержит хотя бы один элемент, его называют непустым.

Определение. Если каждый элемент множества A принадлежит множеству B, то A называют подмножеством множества B и пишут A B или B A.

Так как пустое множество не имеет элементов, то считают, что A для любого множества A.

Определение. Если A B и B A (т. е. каждый элемент множества A принадлежит B и каждый элемент B принадлежит A), то множества A и B называют равными и пишут A = B.

В противном случае пишут A = B.

Таким образом, условие A B не исключает равенства A = B.

Переходим к теме настоящего параграфа о верхних и нижних гранях числовых множеств. Далее будем рассматривать только числовые множества и говорить просто о множествах, подразумевая, что это множества чисел.

Определение. Непустое множество A называют ограниченным сверху, если существует такое число K, что x K для всех Непустое множество A называют ограниченным снизу, если существует такое число k, что x k для всех x A.

Определение. Если множество ограничено и сверху и снизу, его называют ограниченным.

Иначе можно сказать так: непустое множество A называется ограниченным, если существует такое число K, что для всех x A справедливо неравенство |x| K. В самом деле, неравенство |x| K равносильно двойному неравенству K x K.

Определение. Число M называется точной верхней гранью непустого множества A, если 1) для любого числа x A справедливо неравенство x M ;

2) для каждого числа M < M существует число x A такое, что M < x.

Условие 2) показывает, что M является наименьшим из чисел, ограничивающих сверху все числа множества A.

Множество может иметь только одну точную верхнюю грань.

Действительно, допустим, что числа M и M различны и оба являются точными верхними гранями непустого множества A.

Пусть для определённости M < M. Так как M – точная верхняя грань, то в силу условия 2) существует число x A такое, что M < x. Значит, M не может быть точной верхней гранью множества A.

Определение. Число m называется точной нижней гранью непустого множества A, если 1) для любого числа x A имеем m x;

2) для каждого числа m > m существует число x A такое, что x < m.

Точная нижняя грань множества (если она существует) также определяется единственным образом.

Обозначения точной верхней грани (sup от латинского supremum – “высшее”) и точной нижней грани (inf от латинского inmum – “низшее”).

Если множество представляет собой конечный набор чисел, то его точная верхняя грань равна наибольшему, а точная нижняя грань – наименьшему из этих чисел.

Если множество имеет точную верхнюю грань, то оно ограничено сверху, а если имеет точную нижнюю грань, оно ограничено снизу. Покажем, что в этих утверждениях ограниченность множества сверху, соответственно, снизу является не только необходимым, но и достаточным условием существования точных граней.

Теорема 1.3.1. Если непустое множество A ограничено сверху, то оно имеет точную верхнюю грань.

Доказательство. Представим числа из A в виде бесконечных десятичных дробей, запретив запись с 0 в периоде.

Если среди чисел множества A есть неотрицательные, то задача о существовании точной верхней грани всего множества A § 1.3. Точная верхняя и точная нижняя грани множества эквивалентна такой задаче для неотрицательных чисел из A. Поэтому мы вправе исключить из множества A все отрицательные числа.

Так как числа из A ограничены сверху, то ограничены сверху целые части этих чисел. Значит, существует наибольшее число среди этих целых частей. Обозначим его M0.

Выберем те числа из A, у которых целая часть равна M0, и рассмотрим первые десятичные знаки таких чисел. Пусть M1 – наибольший из этих первых десятичных знаков.

Будем далее рассматривать только те числа из A, десятичная запись которых начинается с M0, M1. Наибольший второй десятичный знак этих чисел обозначим M2. Снова оставляем только такие числа из A, десятичная запись которых начинается с M0, M1 M2, и проводим аналогичные рассуждения с третьим десятичным знаком.

Продолжив неограниченно этот процесс, получим бесконечную десятичную дробь Положим M := M0, M1 M2... и покажем, что M = sup A.

ны, взяв произвольное число M := M0, M1 M2..., меньшее M, находим среди чисел 0, 1, 2,... наименьший индекс k такой, что Mk < Mk. Но среди чисел множества A есть число x, десятичное разложение которого начинается с M0, M1... Mk. Значит, M < x и M является точной верхней гранью множества A.

Пусть теперь множество A содержит только отрицательные числа.

В представлении чисел x A в виде бесконечных десятичных дробей x = x0, x1 x2... находим наименьшее из чисел x0.

Обозначим это наименьшее число M0.

Оставим только те числа из A, представление которых в виде бесконечной десятичной дроби начинается с M0.

Найдём у этих чисел наименьший первый десятичный знак.

Обозначим его M1. Далее рассматриваем только те числа, десятичное представление которых начинается с M0, M1. Находим у таких чисел наименьший второй десятичный знак, обозначаем его M2 и т. д.

Тогда число M := M0, M1 M2... является точной верхней гранью множества A. В самом деле, неравенство x M выполняется для всех x A по построению. А для любого M < M находим число x A такое, что x > M, с помощью рассуждений, аналогичных проведенным выше.

Теорема доказана.

Теорема 1.3.2. Если непустое множество A ограничено снизу, то оно имеет точную нижнюю грань.

Доказательство. Введём множество B, состоящее из чисел x, где x A.

Из ограниченности множества A снизу следует ограниченность множества B сверху. Значит, согласно теореме 1.3.1 множество B имеет точную верхнюю грань. Но sup B = inf A и, таким образом, множество A имеет точную нижнюю грань.

Теорема 1.3.3. Пусть множество A непусто.

Если x A справедливо неравенство x K, то sup A K.

Если x A справедливо неравенство x k, то inf A k.

Доказательство. Так как x K для всех x A, то согласно теореме 1.3.1 sup A существует. А неравенство sup A K следует из условия 2) определения точной верхней грани.

Для точной нижней грани рассуждения аналогичны. Теорема доказана.

Теорема 1.3.4. Для каждого числа a справедливо равенство a = sup, где точная верхняя грань берётся по всем рациональным числам a.

Достаточно проверить, что для любого числа a < a найдётся рациональное число такое, что a < a. А это следует из теоремы 1.2.1.

Точная верхняя и точная нижняя грани множества могут как принадлежать самому множеству, так и не принадлежать ему.

Например, число 1, которое является точной нижней гранью множества натуральных чисел N, принадлежит N. А если A – множество всех положительных чисел, то число 0 = inf A не принадлежит A.

Если sup A A, то вместо sup A обычно пишут max A и говорят, что точная верхняя грань множества достигается. Если inf A A, вместо inf A пишут min A. Если же точные грани не принадлежат множеству или их принадлежность множеству неизвестна или не обсуждается, пишут sup A и inf A.

Определим сложение действительных чисел и установим свойства сложения.

Определение. Суммой чисел a и b называется число где точная верхняя грань берётся по всем рациональным числам Сумма определена для любых чисел a и b, так как при всех рассматриваемых и суммы + ограничены сверху. В самом Понятно, что приведенное определение сложения действительных чисел согласовано со сложением рациональных чисел – для них получаем тот же результат, что и ранее.

Свойства сложения чисел составляют вторую группу свойств действительных чисел.

II.1. Для любых чисел a и b справедливо равенство a + b = b + a (коммутативность или переместительное свойство сложения).

Это вытекает из коммутативности сложения рациональных чисел.

II.2. Если a < b, то для любого числа c справедливо неравенство a + c < b + c.

Докажем сначала аналогичное свойство для нестрогих неравенств: если a b, то для любого числа c имеем a + c b + c.

Если и обозначают рациональные числа, то При замене условия a на b точная верхняя грань значений сумм + не может уменьшится. Поэтому Отсюда вытекает правило сложения одноимённых нестрогих неравенств:

В самом деле, согласно доказанному a+c b+c и b+c b+d.

Значит, в силу транзитивности знака Докажем теперь само свойство II.2.

Опираясь на теорему 1.2.1, найдём рациональные числа и, для которых имеют место неравенства a < < < b.

Пользуясь свойствами рациональных чисел, выберем натуральное число k такое, что > 10k. Тогда Пусть k – k-е десятичное приближение числа c, т. е. k правилу сложения нестрогих неравенств, получаем с помощью оценки (1.4.1) Таким образом, свойство II.2 доказано.

Из II.2 следует правило сложения одноимённых строгих неравенств:

Заметим, что если даже заменить здесь одно из неравенств a < b или c < d на нестрогое, всё равно получим строгое неравенство a + c < b + d.

II.3. Для любых чисел a, b и c имеет место равенство (a + b) + c = a + (b + c) (ассоциативность или сочетательное свойство сложения).

Рассуждаем от противного. Обозначим u := (a + b) + c, v := a + (b + c) и предположим, что u = v. Пусть для определённости u < v.

Пользуясь теоремой 1.2.1, возьмём рациональные числа и такие, что u < < < v, а затем выберем натуральное n, для которого Рассмотрим n-е десятичные приближения чисел a, b и c:

2 · 10n и Аналогично доказывается неравенство v wn + 3 · 10n.

Таким образом, в силу выбора чисел и имеем Поскольку здесь все числа рациональные, отсюда находим < 3 · 10n, что противоречит неравенству (1.4.2).

Сложение чисел было определено для двух слагаемых. Но в силу ассоциативности сложения можно писать сумму трёх и более слагаемых без скобок, указывающих порядок действий.

Вместе с коммутативностью сложения это показывает, что при сложении действительных чисел, как и при сложении рациональных чисел, можно произвольным образом переставлять и группировать слагаемые.

II.4. Для каждого числа a справедливо равенство a + 0 = a.

Действительно, где последнее равенство имеет место в силу теоремы 1.3.4.

Отметим, что свойство II.4 выполняется только для числа 0.

Действительно, если 0 – такое число, что a имеем a + 0 = a, то II.5. Для каждого числа a существует такое число a, что Покажем, что равенство a + a = 0 выполняется, если в качестве a взять a, т. е. число a с противоположным знаком.

Пусть n – n-е десятичные приближения числа a, т. е. n a n + 10n. Тогда для a имеем n 10n a n.

Сложив почленно эти неравенства, находим 10n a+ (a) 10n, т. е. |a + (a)| 10n. Так как полученное неравенство выполняется при всех n, отсюда согласно лемме 1.2.4 следует равенство a + (a) = 0.

Число a, для которого a + a = 0, называют числом, противоположным a.

Нетрудно показать, что для каждого a противоположное число определяется однозначно. Действительно, если наряду с a + a = 0 имеем a + a = 0, то Вычитание чисел вводится как действие, обратное сложению.

Определение. Разностью чисел a и b называется число a + (b), его обозначают a b.

Аналогично устанавливается равенство (a b) + b = a.

Так как сложение и вычитание чисел являются взаимно обратными действиями, слагаемые из одной части равенств и неравенств можно переносить с противоположным знаком в другую их часть.

Отметим, что (a + b) = a b. Для доказательства записываем равенство (a + b) + a + b = 0 и переносим числа a и b в его правую часть.

Теорема 1.4.1. Для любых чисел a и b справедливо неравенство Доказательство. Сложив неравенства a |a| и b |b|, получим a + b |a| + |b|. Аналогично, (a + b) = a b |a| + |b|.

Но модуль |a + b| равен или a + b или (a + b), поэтому теорема доказана.

Неравенство (1.4.3) называют неравенством треугольника, так как если считать a и b векторами, а |a| и |b| их длинами, то (1.4.3) означает, что в треугольнике (в том числе и вырожденном) длина каждой стороны меньше или равна суммы длин двух других сторон.

Из неравенства треугольника следует, что для любых чисел aиb В самом деле, |a| = |a b + b| |a b| + |b|, откуда |a| |b| |a b|.

Аналогично |b| |a| |a b|.

Множества, в которых определена некоторая операция, обладающая свойствами II.3–II.5 сложения чисел, встречаются довольно часто. Для их изучения вводится специальное понятие – понятие группы.

Определение. Множество G элементов произвольной природы называется группой, если 1) в G определена операция, ставящая в соответствие каждой паре элементов x и y из G некоторый элемент z из G, его обозначают z := x y;

2) операция ассоциативна, т. е. x, y, z G имеем (x y) z = В аксиомах 3) и 4) требуется выполнение двух равенств, так как коммутативность операции в общем случае не предполагается. В этих аксиомах не говорится о единственности элементов и x, но её легко доказать аналогично тому, как это было сделано для сложения чисел.

Определение. Если операция в группе G коммутативна, т. е. x, y G имеем x y = y x, группу называют коммутативной или абелевой.

Таким образом, действительные числа образуют коммутативную группу относительно операции сложения. Коммутативные группы относительно сложения образуют также множество рациональных чисел Q и множество целых чисел Z.

Определение. Если числа a и b неотрицательны, то произведением a на b называется число где верхняя грань берётся по всем неотрицательным рациональным числам и таким, что a и b.

Если оба числа a и b отрицательны, то ab := |a| |b|.

Если одно из чисел a и b отрицательно, а другое неотрицательно, то ab := (|a| |b|).

Верхняя грань в определении произведения существует для любой пары чисел.

Достаточно убедиться в этом для неотрицательных множителей a и b. Если a = a0, a1 a2... и b = b0, b1 b2..., то только сослаться на теорему 1.3.1.

Ясно, что для рациональных a и b получаем тот же результат, что и ранее.

Из определения умножения следует, что если хотя бы один из множителей a и b равен нулю, то ab = 0.

Свойства умножения чисел, составляют третью группу свойств действительных чисел.

III.1. Для любых чисел a и b справедливо равенство ab = ba (коммутативность или переместительное свойство умножения).

Это вытекает из коммутативности умножения рациональных чисел.

Доказательство. Утверждение очевидно, если a или b равно нулю. Поэтому будем считать, что оба числа a и b отличны от нуля.

Пусть сначала число a (а значит, и b) положительно.

Начнём с доказательства аналогичного свойства для нестрогих неравенств:

Действительно, если и – неотрицательные рациональные числа, то Отсюда вытекает правило умножения одноимённых нестрогих неравенств:

Если числа a, b, c, d неотрицательны, то из a bиc d следует ac bd.

В самом деле, если хотя бы одно из чисел a и c равно нулю, то утверждение очевидно. А если все числа a, b, c, d положительны, то применив два раза правило умножения нестрогих неравенств на положительное число, получим Переходим к доказательству свойства III.2 (по-прежнему считая a > 0). Обозначим n-е десятичные приближения чисел a и c соответственно n и n. Перемножив неравенства a n + 10n и c n + 10n, получим В этом неравенстве множители справа – рациональные числа.

Пользуясь свойствами действий над ними, получаем Положим p := a0 + c0 + 3, где a0 и c0 – целые части чисел a и c. Заметим, что число p не зависит от n. Кроме того, при всех n справедлива оценка n + n + 10n p. Поэтому Пусть n – n-е десятичные приближения числа b. Согласно лемме 1.2.3 из a < b следует, что существует натуральное число m такое, что при всех n m Так как c > 0, то найдётся число k, при котором ck > 0, и, значит, для n k имеем Из (1.5.2) и (1.5.3), пользуясь правилом умножения неравенств с положительными рациональными числами, находим, что при всех достаточно больших n справедливо неравенство (n n )n > 10mk.

Числа p и 10mk не зависят от n. Поэтому для достаточно больших n имеем p · 10n < 10mk и, значит, p · 10n < (n n )n. Подставив это неравенство в (1.5.1), находим Значит, ac < bc и для a > 0 свойство III.2 доказано.

Если a < 0, а b > 0, то в силу положительности числа c имеем ac < 0, bc > 0 и свойство III.2 выполнено.

Наконец, если a < b < 0, то |b| < |a| и по уже доказанному |b|c < |a|c. Отсюда следует, что |bc| < |ac|, и так как числа bc и ac отрицательны, то ac < bc. Этим завершается доказательство свойства III.2.

Из III.2 вытекает правило умножения одноимённых строгих неравенств:

Если все числа a, b, c, d неотрицательны, то из a < b, c < d следует ac < bd.

Действительно, ac < bc < bd.

Нетрудно видеть, что это правило (как и правило умножения нестрогих неравенств) верно и в том случае, когда одно из чисел a или c отрицательно. Но если отрицательны какие-либо два числа из a, b, c, d, то полученное при почленном умножении неравенство может оказаться неверным.

В дополнение к свойству III.2 заметим, что Если c < 0, то из a < b следует ac > bc.

В самом деле, в силу свойства III.2 имеем a|c| < b|c|, откуда b|c| < a|c|. Но |c| = c, так как c < 0. Значит, bc < ac и мы получили нужное неравенство.

III.3. Для любых чисел a, b и c справедливо равенство (ab)c = a(bc) (ассоциативность или сочетательное свойство умножения).

Достаточно рассмотреть случай, когда все числа a, b, c положительны. В самом деле, если среди этих чисел хотя бы одно равно нулю, то обе части равенства в III.3 равны нулю. А если среди чисел a, b, c есть отрицательные, то доказательство сводится к проверке равенства для модулей и подсчёту количества положительных и отрицательных множителей.

Пусть числа a, b, c положительны. Введём обозначения u := (ab)c, v := a(bc). Возьмём для a, b и c их n-е десятичные приближения:

Перемножив эти неравенства, в силу ассоциативности умножения рациональных чисел получаем Из правого неравенства следует, что существует такое не зависящее от n натуральное число p, что u n n n + p · 10n. Мы не приводим доказательство этого, так как подобное рассуждение было проведено при обосновании свойства III.2.

Итак, для некоторого не зависящего от n числа p справедливы оценки Точно так же доказывается, что Отсюда Сложив почленно неравенства (1.5.4) и (1.5.5), получим p · лемме 1.2.4 следует, что u v = 0, т. е. u = v, и свойство III. доказано.

Ассоциативность умножения позволяет записывать произведение трёх и более множителей без скобок, указывающих порядок действий, а вместе с коммутативностью – произвольным образом переставлять и группировать множители.

III.4. Для каждого числа a справедливо равенство a · 1 = a.

В самом деле, если a 0 и, – неотрицательные рациональные числа, то А если a < 0, то по определению a · 1 = (|a| · |1|) = |a| = a.

Покажем ещё, что для каждого числа a справедливо равенство a·(1) = a. В самом деле, если a 0, то a·(1) = (|a|·|1|) = |a| = a. А если a < 0, то a · (1) = |a| · | 1| = |a| = a.

III.5. Если a = 0, то существует число a такое, что Пусть сначала a > 0. Введём число Эта верхняя грань существует, так как из условия a> следует, что числа 1/ ограничены сверху. Действительно, если у a отличен от нуля k-й десятичный знак, то a 10k и из a получаем 1/ 10.

Покажем, что т. е. что числом a в III.5 является число, заданное равенством (1.5.6).

Если n – n-е десятичные приближения числа a, то Левое неравенство вытекает сразу из определения (1.5.6), а правое нетрудно доказать, рассуждая от противного. В самом деле, если бы число 1/n было меньше точной верхней грани из (1.5.6), то существовало бы рациональное такое, что aи пришли к противоречию с неравенством a.

Перемножив почленно неравенства (1.5.8) и n a n + 10n, получим Так как левая и правая дроби в этом двойном неравенстве – рациональные числа, то и значит, Если у a отличен от нуля k-й десятичный знак, то для n-х десятичных приближений числа a при n k выполняются неравенства 10k n.

Таким образом, Отсюда в силу леммы 1.2.4 следует равенство (1.5.7).

Для a < 0 полагаем по определению Тогда Итак, свойство III.5 доказано.

Введём деление чисел. Назовём частным от деления числа a на неравное нулю число b произведение a · 1, которое будем обоb значать a, a/b или a : b. Легко видеть, что деление обратно умноb жению, т. е. умножив a на b, а затем разделив произведение на b, получим a:

Аналогично Значит, число a можно считать дробью. Это число называют обратным числу a.

Поставим вопрос, образуют ли действительные числа группу относительно операции умножения.

Первые три аксиомы группы выполняются, так как умножение определено для каждой пары чисел, умножение ассоциативно и существует число 1, умножение любого числа на которое оставляет исходное число без изменений.

Но четвертая аксиома на множестве всех действительных чисел не выполняется, так как обратное число существует только у чисел, отличных от нуля.

Таким образом, все действительные числа не являются группой относительно умножения. А все неравные нулю действительные числа образуют коммутативную группу относительно умножения.

Отсюда, в частности, следует, что свойством, указанным в III.4, обладает только число 1 и единственность обратных чисел.

Коммутативные группы относительно умножения образуют также все положительные числа, все рациональные числа без нуля, все положительные рациональные числа.

Продолжим изучение арифметических действий над действительными числами.

III.6. Для любых чисел a, b и c справедливо равенство (a + b)c = ac + bc (дистрибутивность или распределительное свойство).

Будем считать, что все числа a, b, c отличны от нуля, так как если хотя бы одно из них равно нулю, равенство очевидно.

Пусть сначала c > 0 и a + b 0. Запишем неравенства для n-х десятичных приближений чисел a, b, c:

Отсюда n + n a + b умножения неравенств Предположим, что оба числа a и b положительны. Тогда Сложив эти неравенства, получаем Правые части неравенств (1.5.9) и (1.5.12) равны и их можно оценить сверху выражением вида (n + n )n + p · 10n, где p – некоторое натуральное число, не зависящее от n (подобные рассуждения уже проводились).

Итак, существует натуральное p такое, что при всех n Из последнего двойного неравенства следует, что Сложив почленно эти неравенства с (1.5.13), находим т. е.

что в силу леммы 1.2.4 даёт (a + b)c = ac + bc.

Считая по-прежнему c > 0 и a + b 0, рассмотрим теперь случай, когда одно из чисел a или b отрицательно. Пусть для определённости a > 0 и b < 0. В этом случае неравенства (1.5.9) и (1.5.10) остаются справедливыми, а неравенства (1.5.11) могут не выполняться.

Поступим следующим образом. При произвольном натуральном n перемножим почленно неравенства пользуясь тем, что в них все числа неотрицательны. Тогда получим Сложив почленно неравенства, вытекающие из (1.5.10) с неравенствами (1.5.14), находим Эти неравенства сложим почленно с (1.5.9):

Поэтому если натуральное число p не зависит от n и для него n + 2n + 2 · 10n p (понятно, что такие числа существуют), то для всех натуральных n Отсюда в силу леммы 1.2.4 следует, что Итак, при условиях c > 0 и a + b 0 свойство III.6 доказано.

Пусть теперь c < 0 и a + b 0. Тогда по доказанному выше (a + b)|c| = a|c| + b|c|. Так как в этом случае |c| = c, приведенное равенство означает, что (a + b)c = ac bc. Переносим каждое слагаемое из одной части равенства в другую и получаем дистрибутивность при условиях c < 0, a + b 0.

Рассмотрим, наконец, случай, когда c < 0 и a + b < 0.

Так как (a + b) = a b > 0, то по уже доказанному (a + b)c = (a b)c = ac bc и остаётся только перенести каждое слагаемое из одной части полученного равенства в другую.

§ 1.6. Непрерывность множества В предыдущих параграфах для действительных чисел были доказаны три группы свойств, касающиеся сравнения чисел, сложения и умножения. Все эти свойства формулируются точно так же, как для рациональных чисел.

Таким образом, мы расширили множество рациональных чисел до множества действительных чисел, сохранив указанные свойства, что позволяет оперировать с действительными числами по тем же правилам, что и с рациональными числами. В школьном курсе это считалось само собою разумеющимся, теперь такой вывод получил обоснование.

Но действительные числа обладают ещё одним свойством, которое для рациональных чисел не имеет места. Это свойство непрерывности (его называют также полнотой ) множества действительных чисел. Оно формулируется в виде теоремы 1.3.1 о точной верхней грани.

IV. Для каждого непустого ограниченного сверху множества существует число, являющееся его точной верхней гранью.

Свойство непрерывности можно выразить и в других терминах. Мы приведём ещё две формулировки: в терминах последовательностей вложенных отрезков и в терминах дедекиндовых сечений.

§ 1.7. Последовательности вложенных отрезков Напомним определения числовых промежутков.

Если a < b, то множество чисел x, удовлетворяющих неравенствам a x b, называют отрезком (сегментом) и обозначают [a, b]. Точки a и b называют концами отрезка, число ba называют длиной этого отрезка.

Множество чисел x, удовлетворяющих неравенствам a < x < b, называют интервалом (с концами в точках a и b) и обозначают (a, b). Число b a называют длиной интервала. Встречающееся иногда обозначение для интервала ]a, b[ не прижилось.

Рассматривают также полуотрезки [a, b), когда a x < b, и (a, b], когда a < x b. Полуотрезки называют также полуинтервалами.

Таким образом, квадратную скобку пишут, если соответствующая концевая точка принадлежит промежутку. Иначе пишут круглую скобку.

Обозначения для бесконечных промежутков: множество чисел x, для которых x a, обозначают [a, +); для которых x > a, обозначают (a, +); для которых x a, обозначают (, a]; для которых x < a, обозначают (, a). Наконец, все числа образуют интервал (, +).

Отрезки, интервалы и полуотрезки (конечные и бесконечные) будем называть промежутками.

Если [a, b] [c, d], то говорят, что отрезок [a, b] вложен в отрезок [c, d].

Дадим теперь определение последовательности.

Определение. Если каждому натуральному числу n поставлен в соответствие некоторый элемент заданного множества A, который будем обозначать xn, то говорят, что элементы образуют последовательность.

Такую последовательность обозначают {xn } или просто {xn }.

Элементы xn, из которых составлена последовательность, называют членами последовательности.

В этом определении нумерация членов последовательности xn была начата с n = 1. Это не обязательно, иногда удобно начинать нумерацию с нуля или вообще с произвольного целого числа.

Отметим, что последовательности мы считаем, как правило, бесконечными.

Члены последовательности xn и xm при n = m не обязательно должны быть разными элементами множества A. Более того, все члены последовательности могут быть одним и тем же элементом.

Такие последовательности называют стационарными.

Последовательности, членами которых являются числа, называют числовыми.

Определение. Числовую последовательность x1, x2,... называют сходящейся к нулю, если для каждого положительного числа существует такое число N = N (), зависящее от, что для всех индексов n > N справедливо неравенство Иначе говоря, для каждого > 0 неравенство (1.7.1) должно выполняться при всех достаточно больших n, т. е. начиная с некоторого n.

Если последовательность {xn } сходится к нулю, то говорят, что члены этой последовательности (числа xn ) стремятся к нулю.

Покажем, например, что для любого числа a последовательность {a/n} сходится к нулю. Зададим произвольное положительное и рассмотрим число |a|/. Согласно свойству Архимеда I. существует натуральное N такое, что |a|/ < N. Значит, |a|/N < и при всех n > N справедлива оценка Отсюда, в частности, следует, поскольку 2n > n при всех натуральных n, что для любого числа a последовательность {a/2n } сходится к нулю.

Теорема 1.7.1. Пусть в последовательности отрезков {[an, bn ]}, n = 1, 2,..., каждый следующий отрезок вложен в предыдущий. Если последовательность длин этих отрезков сходится к нулю, то существует и притом только одно число, принадлежащее всем отрезкам [an, bn ].

Доказательство. Так как все отрезки [an, bn ] содержатся в [a1, b1 ], то последовательность {an } левых концов отрезков ограничена сверху числом b1.

Рассмотрим число c := supn an. Докажем сначала, что c принадлежит всем отрезкам [an, bn ], а затем убедимся, что указанным свойством обладает только одно это число.

другой стороны, c bn при всех n, так как если бы для некоторого k было bk < c, то нашлось бы число am такое, что bk < am.

Тогда отрезки [ak, bk ] и [am, bm ] не имели бы общих точек вопреки условию, что отрезки вложены. Итак, n имеем c bn и, значит, c [an, bn ].

Докажем единственность. Пусть существуют неравные числа c и d, принадлежащие всем отрезкам [an, bn ], и для определённости d c > 0, n = 1, 2,..., т. е. длины отрезков не стремятся к нулю.

Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.

Отметим, что в этой теореме нельзя заменить отрезки [an, bn ] на интервалы (an, bn ). В самом деле, в последовательности интервалов {(0, 2n )} каждый следующий интервал вложен в предыдущий, длины этих интервалов равны 2n и стремятся к нулю. Но никакое число не может принадлежать всем интервалам (0, 2n ).

Теорема 1.7.1 позволяет закончить исследование связи действительных чисел и точек числовой прямой.

В § 1.1 было показано, как по точке на числовой прямой найти соответствующую ей бесконечную десятичную дробь. При рассмотрении обратной задачи о существовании точки, соответствующей заданной бесконечной десятичной дроби, мы выяснили, что искомая точка должна принадлежать всем отрезкам некоторой последовательности вложенных отрезков, длина каждого из которых в 10 раз меньше длины предыдущего. Но вопрос о существовании такой точки оставался открытым. Теперь мы знаем, что общая всем этим отрезкам точка существует. Значит, каждому действительному числу соответствует и притом только одна точка числовой прямой.

Поэтому обычно не различают точки числовой прямой и действительные числа.

Эта связь между числами и точками числовой прямой является примером взаимно однозначного соответствия между множествами.

Определение. Говорят, что между множествами A и A установлено взаимно однозначное соответствие, если каждому элементу x A поставлен в соответствие некоторый элемент x A, при этом каждый элемент множества A соответствует и притом только одному элементу из множества A.

Соответствие элементов x и x будем обозначать x x.

Взаимно однозначное соответствие называют также биекцией.

Мы получили теорему 1.7.1 о вложенных отрезках как следствие теоремы 1.3.1 о точной верхней грани.

Покажем, что и наоборот, из теоремы о вложенных отрезках можно вывести теорему о точной верхней грани.

Пусть A – непустое ограниченное сверху множество. Значит, существует число L такое, что x A имеем x < L. Возьмём произвольное число x0 A и рассмотрим отрезок [a1, b1 ] := [x0, L].

Отрезок [a1, b1 ] содержит точки из A, а правее этого отрезка на числовой прямой точек множества A нет.

Разделим отрезок [a1, b1 ] на две равные по длине части и обозначим [a2, b2 ] тот из полученных отрезков, который сам содержит точки из A, а правее его точек A нет. По построению b2 a2 = (b1 a1 )/2.

На следующем шаге делим отрезок [a2, b2 ] пополам и выбираем такой из полученных отрезков, что сам он содержит точки из A, а правее его точек A нет.

Продолжив этот процесс неограниченно, получим последовательность вложенных отрезков [a1, b1 ] [a2, b2 ]..., каждый из которых содержит точки из A, а правее его точек A нет. По построению bn an = (b1 a1 )/2n1, значит, последовательность длин отрезков сходится к нулю. По теореме о вложенных отрезках существует единственная точка c, принадлежащая всем этим отрезкам.

Покажем, что точка c является точной верхней гранью множества A.

1) Сначала проверим, что x c для всех x A. В самом деле, иначе существовала бы точка x A такая, что x > c. Возьмём отрезок [an, bn ], длина которого меньше x c. Из неравенства x c > bn an следует, что x > bn an + c. Так как отрезок [an, bn ] содержит точку c, то an множества A, лежащих правее отрезков [an, bn ], по построению нет.

2) Рассмотрим произвольное число c < c и покажем, что правее точки c есть точки из A. Для этого найдём отрезок [an, bn ], длина которого меньше c c. Так как этот отрезок содержит точку c, он не может содержать c (здесь, как и ранее, рассуждение на геометрическом языке легко записать в виде неравенств).

Значит, отрезок [an, bn ] лежит правее точки c. Но в [an, bn ] есть точки множества A, поэтому правее точки c есть хотя бы одна точка из A.

Итак, доказано, что c = sup A.

Таким образом, теоремы о точной верхней грани и о вложенных отрезках эквивалентны.

Если непустые множества A и B таковы, что каждое число принадлежит одному из этих множеств и не принадлежит другому, то говорят, что множества A и B образуют разбиение множества действительных чисел.

Разбиение множества действительных чисел на множества A и B называют дедекиндовым сечением, если для любых чисел a A и b B справедливо неравенство a < b. Обозначать такое сечение будем A|B.

Теорема 1.8.1. Если разбиение множества действительных чисел на непустые множества A и B является дедекиндовым сечением A|B, то либо в A есть наибольшее число, либо в B есть наименьшее число.

Доказательство. Так как A|B – дедекиндово сечение, то множество A ограничено сверху любым числом из B. Значит, A Дедекиндовы сечения в настоящем курсе не используются, здесь о них говорится только для ознакомления. При желании § 1.8 можно пропустить.

имеет точную верхнюю грань и при этом в силу теоремы 1.3. sup A b для каждого числа b B. Обозначим c := sup A. Тогда для любых чисел a A и b B имеем a c b. Так как число c должно принадлежать или A или B, то теорема доказана.

Заметим, что утверждение теоремы 1.8.1 можно сформулировать так: существует число c такое, что для всех a A и всех b B имеем a c b.

Выведем теперь из теоремы о дедекиндовых сечениях теорему о точной верхней грани.

Пусть D – непустое ограниченное сверху множество. Докажем, что оно имеет точную верхнюю грань.

Построим разбиение множества действительных чисел следующим образом. Число x отнесём к A, если d D такое, что x d. В противном случае отнесём x множеству B. По построению множество D содержится в A.

Полученное разбиение является дедекиндовым сечением A|B.

В самом деле, предположим противное: пусть нашлись числа a A и b0 B такие, что b0 a0. Так как a0 A, то существует число d0 D такое, что a0 d0. Но тогда и b0 d0, что противоречит условию b0 B. Итак, множества A и B образуют дедекиндово сечение A|B.

Значит, согласно теореме 1.8.1 существует число c такое, что Покажем, что c = sup D. 1) Так как D A и a c для всех a A, то для любого числа d D имеем d c. 2) Если c < c, то возьмём произвольное число x, удовлетворяющее неравенствам c < x < c. Число x не может принадлежать B, так как для всех b B справедливо неравенство c b. Значит, x A. Но тогда существует число d D такое, что x d, поэтому c < d.

Таким образом, число c является точной верхней гранью множества D.

Следовательно, теорема о дедекиндовых сечениях также равносильна теореме о точной верхней грани.

Непрерывность действительных чисел, можно выразить и в других терминах, используя, например, последовательности рациональных чисел. Мы не будем на этом останавливаться.

Основными формулировками свойства непрерывности множества действительных чисел являются теорема 1.3.1 о точной верхней грани и теорема 1.7.1 о вложенных отрезках.

§ 1.9. Об аксиоматическом определении действительных чисел § 1.9. Об аксиоматическом определении Иногда множество действительных чисел определяют аксиоматически, называя так множество элементов произвольной природы, в котором введены сравнение элементов и две операции – сложение и умножение, удовлетворяющее аксиомам, которые выше были названы свойствами действительных чисел из групп I–IV. Аксиому IV при этом обычно формулируют в терминах дедекиндовых сечений.

При аксиоматических определениях естественно возникают вопросы, существуют ли объекты, удовлетворяющие заданному списку аксиом, и как такие объекты можно себе представить. С этой точки зрения проведенное выше изучение бесконечных десятичных дробей можно рассматривать как доказательство существования множества, элементы которого обладают требуемыми свойствами. Было видно, какими элементами мы пополнили рациональных числа, чтобы получить множество действительных чисел. Кроме того, было выяснено, что на действительные числа можно смотреть как на точки числовой прямой.

Поставим следующие вопросы:

10. существуют ли другие отличающиеся по существу от бесконечных десятичных дробей множества, обладающие свойствами из групп I–IV;

20. нельзя ли к бесконечным десятичным дробям добавить ещё какие-либо объекты (подобно тому, как мы добавили к рациональным числам бесконечные десятичные непериодические дроби) так, чтобы в этом новом более широком множестве выполнялись все свойства действительных чисел?

Отрицательный ответ на оба эти вопроса вытекает из следующего утверждения, которое мы приводим без доказательства.

Теорема 1.9.1. Пусть A и A – произвольные множества, в каждом из которых введены сравнение элементов и операции “сложения” и “умножения”, обладающие свойствами I–IV множества действительных чисел. Тогда множества A и A изоморфны.

Изоморфизм множеств A и A означает, что можно установить такое взаимно однозначное соответствие элементов множеств A и Отрицательный ответ на вопрос 20 называют полнотой множества действительных чисел. Как уже отмечалось, термин полнота используется и как другое название свойства непрерывности действительных чисел.

§ 1.10. Счётные и несчётные множества Рассмотрим вопросы о сравнении множеств по количеству содержащихся в них элементов.

Для конечных непустых множеств (т. е. множеств из конечного набора элементов) задача решается просто, так как количество их элементов выражается натуральным числом.

Когда не имеет значения, сколько именно элементов содержат конечные множества, а нужно знать только, в каком из них элементов больше, удобно следующее соображение. Если можно установить взаимно однозначное соответствие между элементами множества A и элементами некоторого подмножества множества B, то число элементов множества A меньше или равно числу элементов B.

Такой подход со взаимно однозначными соответствиями кладётся в основу сравнения количества элементов бесконечных (т. е. не являющихся конечными) множеств.

Определение. Множества называют имеющими одинаковую мощность (или равномощными), если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие.

Если множество A имеет одинаковую мощность с некоторым подмножеством множества B, то говорят, что мощность множества A меньше или равна мощности множества B.

Для конечных множеств одинаковая мощность означает, что множества имеют одинаковое количество элементов.

Понятно, что мощность подмножества не может быть больше мощности самого множества.

Можно показать (но не будем на этом останавливаться), что для каждого множества A существует множество, мощность которого больше мощности множества A. Таково, например, множество всех подмножеств множества A.

Определение. Множество называется счётным, если оно имеет одинаковую мощность со множеством натуральных чисел.

Счётность множества эквивалентна возможности представить все его элементы в виде бесконечной последовательности в которой каждый элемент участвует один раз.

В самом деле, если множество A счётно, т. е. существует взаимно однозначное соответствие элементов A и N, то все элементы множества A можно представить в виде последовательности, записав сначала элемент, соответствующий числу 1, затем элемент, соответствующий числу 2, и т. д.

Наоборот, если все элементы множества A записаны без повторений в виде последовательности (1.10.1), то поставив элемент ak в соответствие числу k, получим взаимно однозначное соответствие множеств A и N.

Покажем, что каждое бесконечное множество содержит счётное подмножество. Пусть множество A бесконечно. Возьмём некоторый элемент из A, обозначаем его a1 (т. е. ставим его в соответствие числу 1). В A в силу его бесконечности, кроме a1, есть другие элементы. Выбираем какой-либо из них и обозначаем его a (т. е. ставим в соответствие числу 2). Продолжив неограниченно этот процесс, получим счётное подмножество множества A.

Таким образом, счётные множества – самые “маленькие” среди бесконечных множеств.

Приведём примеры счётных множеств.

Почти очевидный пример – счётность множества Z. Действительно, все целые числа можно представить в виде последовательности Теорема 1.10.1. Множество рациональных чисел счётно.

Доказательство. Построим последовательность, содержащую все рациональные числа (каждое рациональное число должно присутствовать в этой последовательности только один раз).

Для этого в виде строк бесконечной таблицы запишем последовательности, содержащие все отличные от нуля рациональные числа с фиксированными знаменателями:

В этой таблице содержатся все рациональные числа, кроме нуля.

Теперь пишем число 0, а затем записываем числа из построенной бесконечной таблицы, двигаясь, например, как показано на рисунке стрелками. Перед тем, как написать очередное число, проверяем, нет ли его среди уже записанных. Если это число встречалось, второй раз его не пишем.

Так получаем нужную последовательность и теорема доказана.

Определение. Бесконечное множество называется несчётным, если оно имеет мощность, бльшую, чем счётное множество.

счётно.

Доказательство. Достаточно показать, что несчётно множество действительных чисел из интервала (0, 1).

Предположим, что это утверждение неверно и существует последовательность содержащая все числа из (0, 1). Пусть xn = 0, xn1 xn2... – представление числа xn, n = 1, 2,..., в виде бесконечной десятичной дроби.

Укажем число из интервала (0, 1), которого в последовательности (1.10.2) нет.

Положим a := 0, a1 a2..., где каждый десятичный знак ai выбран из цифр 1, 2,..., 8 так, чтобы выполнялись неравенства a1 = x11, a2 = x22,.... Тогда в записи числа a в виде бесконечной десятичной дроби цифры 0 и 9 не участвуют, и число a не может равняться ни одному из чисел xn, так как an = xnn для каждого n.

Теорема доказана.

Определение. Множества, имеющие мощность, одинаковую с мощностью отрезка [0, 1], называют множествами мощности континуум.

В этом определении можно было говорить об одинаковой мощности с интервалом (0, 1), так как можно установить взаимно однозначное соответствие точек отрезка [0, 1] и интервала (0, 1).

Например, так. Выделим произвольное счётное множество A (0, 1). Запишем элементы A в виде последовательности a1, a2,... (все элементы которой различны) и рассмотрим последовательность B, имеющую вид 0, 1, a1, a2,....

Всем числам из (0, 1), не входящим в A, ставим в соответствие их самих как элементы из [0, 1]. А последовательности A и B записываем одну под другой и ставим в соответствие друг другу элементы из одного столбца.

В определении множеств мощности континуум вместо отрезка [0, 1] можно брать любой отрезок [a, b], так как взаимно однозначное соответствие между отрезками [0, 1] и [a, b] легко установить с помощью формулы t = a + (b a)x, x [0, 1], или геометрически:

Нетрудно убедиться, что множество всех действительных чисел также имеет мощность континуум.

Рассмотрим теперь операции над множествами.

Определение. Объединением множеств A и B называется множество всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств. Объединение множеств A и B обозначают A B.

Точно также вводится объединение произвольного набора множеств B, когда индексы принадлежат некоторому множеству A.

Определение. Объединением множеств B, A, называется множество всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств B. Объединение множеств B обозначают Объединение конечного набора множеств B1,..., Bn и бесконечной последовательности множеств B1, B2,... обозначают соответственно Из определения объединения множеств сразу следует коммутативность и ассоциативность объединений: A B = B A и AB C =A BC.

Определение. Пересечением множеств B, A, называется множество всех элементов, принадлежащих каждому из множеств B. Пересечение множеств B обозначают Другими словами, пересечение множеств – это их общая часть.

Пересечение двух множеств A и B, конечного набора множеств B1,..., Bn и бесконечной последовательности множеств B1, B2,... обозначают соответственно Понятно, что операция пересечения множеств коммутативна Если множества A и B не имеют общих элементов, т. е.

A B =, эти множества называют непересекающимися.

Операции объединения и пересечения обладают свойствами дистрибутивности: для любых множеств A, B, C справедливы равенства Для доказательства этих и других подобных равенств (как и включений множеств) предполагаем, что некоторый элемент принадлежит множеству из левой части равенства, и показываем, что он принадлежит и множеству в правой части. Затем проверяем, что каждый элемент множества из правой части принадлежат множеству в левой части.

Например, для доказательства первого равенства предполагаем, что x AB C. Значит, x принадлежит и множеству AB и множеству C. Так как x A B, то x принадлежит по крайней мере одному из множеств A и B. Если x A, то x A C и, Легко показать, что свойства дистрибутивности имеют место и для объединения и пересечения произвольных наборов множеств Определение. Разностью множеств A и B называется множество всех элементов A, которые не принадлежат B. Обозначают разность Отметим, что разность множеств не является операцией, обратной объединению. Нетрудно убедиться, что A B \ B = A в том и только том случае, когда множества A и B не пересекаются, а равенство A \ B B = A равносильно включению B A.

Справедливы следующие равенства, связывающие операции объединения и пересечения множеств с разностью:

Эти равенства являются частными случаями соотношений, которые называют законами де Моргана Покажем, что для объединений счётных множеств справедливо следующее утверждение.

Теорема 1.10.3. Счётное объединение счётных множеств счётно.

Доказательство. Проведём рассуждения, аналогичные доказательству теоремы 1.10.1.

Пусть каждое из множеств Ak, k = 1, 2,..., счётно. Представим все элементы множества Ak в виде последовательности Запишем бесконечную таблицу, первой строкой которой является последовательность элементов множества A1, второй строкой – последовательность элементов множества A2 и т. д.

Теперь, двигаясь в построенной бесконечной таблице по стрелкам, составим последовательность, содержащую все элементы объединения Чтобы каждый элемент объединения попал в эту последовательность только один раз, перед тем, как записать очередной элемент, проверяем, что его нет среди уже написанных.

Доказательство теоремы 1.10.3 можно повторить и в случае, когда некоторые или все множества Ak конечны. Сам набор множеств Ak также может быть конечным.

Если множество конечно или счётно, говорят, что оно не более чем счётно. Таким образом, не более чем счётное объединение не более чем счётных множеств не более чем счётно.

Глава 2. Предел последовательности § 2.1. Определение предела последовательности Напомним определение последовательности элементов произвольного множества A, данное в § 1.7. Если каждому натуральному числу n поставлен в соответствие некоторый элемент xn из множества A, то говорят, что элементы образуют последовательность {xn }.

В этой главе рассматриваются в основном числовые последовательности. Для краткости будем называть их просто последовательностями.

Определение. Число a называют пределом последовательности {xn }, если для каждого положительного числа существует число N = N () такое, что при всех n > N выполняется неравенство В этом случае пишут или Для a = 0 это определение было дано в § 1.7, когда говорилось о последовательностях, сходящихся к нулю.

Неравенство (2.1.1) равносильно двойному неравенству < xn a <, а значит, и двойному неравенству a < xn < a +, которое показывает, что Определение. Интервал (a, a + ), где > 0, называют -окрестностью точки a.

§ 2.1. Определение предела последовательности С помощью -окрестностей, определение предела можно сформулировать так: число a называется пределом последовательности, если для каждого положительного числа все члены последовательности, начиная с некоторого, принадлежат -окрестности точки a.

Определение. Если последовательность имеет предел, её называют сходящейся. Последовательности, не имеющие предела, называют расходящимися.

Если a является пределом последовательности {xn }, то говорят, что последовательность сходится к a. О членах последовательности (числах xn ) говорят, что они сходятся или стремятся Согласно определению условие (2.1.1) должно выполняться для достаточно больших n. Таким образом, сходимость или расходимость последовательности и значение предела, если последовательность сходится, не зависят от её начальных членов.

Теорема 2.1.1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство. Предположим противное – пусть числа a и b являются пределами последовательности {xn } и a = b, для определённости a < b. Возьмём := (b a)/2. Это число положительное.

Пользуясь сходимостью последовательности к a, находим число N1 такое, что для всех n > N Точно также в силу сходимости последовательности к b существует число N2 такое, что для всех n > N При n > N := max(N1, N2 ) выполняются оба неравенства – и (2.1.2), и (2.1.3). Но поэтому из правого неравенства (2.1.2) и левого неравенства (2.1.3) следует, что для n > N и мы пришли к противоречию.

Теорема доказана.

Приведенное доказательство иллюстрирует рисунок:

Мы брали непересекающиеся -окрестности точек a и b и получили противоречие за счёт того, что все члены последовательности с достаточно большими номерами должны принадлежать каждой из этих окрестностей.

В доказательстве теоремы использовались неравенства (2.1.2) и (2.1.3), из которых первое имело место при n > N1, второе при n > N2. Чтобы выполнялись оба эти неравенства, мы брали n > N = max(N1, N2 ). Такой приём будет часто использоваться в дальнейшем без пояснений.

§ 2.2. Свойства пределов, связанные Теорема 2.2.1. Если последовательность сходится, то она ограничена.

Доказательство. Пусть последовательность {xn } сходится к числу a. Взяв = 1, находим N такое, что |xn a| < 1 для всех n > N. Тогда при этих n Поэтому, положив L := max(|x1 |, |x2 |,..., |xN |, 1 + |a|), получим |xn | L при всех n, т. е. последовательность {xn } ограничена.

Теорема 2.2.2. Если limn xn = a = 0, то существует N такое, что при всех n > N При этом, если a > 0, то xn > a/2, а если a < 0, то xn < a/2.

§ 2.2. Свойства пределов, связанные с неравенствами Доказательство. Найдём для := |a|/2 такое N, что при всех n > N Тогда Если a > 0, то |a| = a и пользуемся левым неравенством (2.2.1). А если a < 0, то |a| = a и пользуемся правым неравенством (2.2.1).

Теорема доказана.

В частности, все члены сходящейся последовательности с достаточно большими номерами положительны, если её предел положителен, и отрицательны, если предел отрицателен.

Теорема 2.2.3. Если последовательности {xn } и {yn } сходятся и xn yn при всех n, то Доказательство. Пусть a := lim xn и b := lim yn. Нужно доказать, что a b.

Предположим, что это неравенство неверно и a > b. Возьмём := (a b)/2. Так как > 0, то существует N такое, что при всех n>N и одновременно Таким образом, что противоречит условию. Теорема доказана.

В этой теореме неравенство xn yn можно требовать не при всех n, а только для всех достаточно больших n, поскольку предел последовательности не зависит от её начальных членов. Подобное замечание можно будет сделать и к некоторым последующим теоремам, но не будем заострять на этом внимание.

Более существенное замечание состоит в следующем. Если в теореме 2.2.3 вместо нестрогих неравенств xn yn предположить выполнение строгих неравенств xn < yn, то для пределов всё равно будет справедливо только нестрогое неравенство lim xn lim yn. Это видно на примере последовательностей xn := 0 и yn := 1/n, для которых xn < yn и lim xn = lim yn = 0.

Поэтому при переходе к пределу в неравенствах необходимо соблюдать следующее правило:

Если существуют пределы выражений в левой и правой частях строгого неравенства, то при переходе к пределу в этом неравенстве строгое неравенство нужно заменить на нестрогое.

Теорема 2.2.4. Пусть последовательности {xn } и {yn } сходятся к одному и тому же пределу и xn yn при всех n. Тогда любая последовательность {zn }, для которой xn zn yn при всех n, сходится к тому же пределу.

Доказательство. Обозначим a := lim xn = lim yn. Для каждого > 0 находим N такое, что при всех n > N выполняются таких n т. е. zn (a, a + ) и теорема доказана.

Доказательство основывается на неравенстве вытекающем, как отмечалось в § 1.4, из неравенства треугольника (1.4.3).

§ 2.3. Арифметические свойства пределов Теорема 2.3.1. Пусть последовательности {xn } и {yn } сходятся. Тогда 10. limn (xn + yn ) = limn xn + limn yn ;

30. limn (xn · yn ) = limn xn · limn yn ;

40. Если yn = 0 при всех n и limn yn = 0, то Здесь в каждом из случаев 10 –40 содержатся два утверждения:

во-первых, существование предела в левой части равенства, а вовторых, равенство этого предела выражению из правой части.

Словами эту теорему обычно формулируют так: предел суммы равен сумме пределов; предел разности равен разности пределов;

предел произведения равен произведению пределов; предел частного равен частному пределов. В последнем случае, разумеется, имеется в виду, что ни члены последовательности делителей, ни её предел не равны нулю.

Доказательство теоремы. Пусть a := lim xn и b := lim yn.

10, 20. По > 0 выбираем N так, чтобы при всех n > N выполнялись неравенства Тогда для этих n Отсюда следуют утверждения 10 и 20.

30. Сначала установим вспомогательное неравенство:

В силу сходимости последовательности {yn } она ограничена, поэтому можно выбрать число L такое, что |a| < L и |yn | < L при всех n. Тогда из (2.3.1) вытекает, что Теперь задав > 0, находим N такое, что при n > N выполняются оценки Пользуясь этими оценками, из (2.3.2) находим, что для всех n>N и утверждение 30 доказано.

40. Начнём также со вспомогательного неравенства:

По условию b = 0, значит, согласно теореме 2.2.2 существует число N1 такое, что |yn | > |b|/2 для всех n > N1. Последовательность {xn } в силу её сходимости ограничена, пусть |xn | < L при всех n.

Поэтому при n > N1 согласно (2.3.3) справедлива оценка Теперь для произвольного положительного выбираем N > N1 такое, что при всех n > N имеют место оценки Тогда из (2.3.4) следует, что для всех n > N Теорема доказана.

§ 2.4. Бесконечно малые и бесконечно большие Определение. Последовательность называется бесконечно малой, если она сходится к нулю.

Обозначение для бесконечно малой последовательности {an }:

§ 2.4. Бесконечно малые и большие последовательности Символ o(1) читается “o-малое от единицы”.

Бесконечно малые последовательности называют также исчезающими.

Определение. Последовательность {bn } называется бесконечно большой, если для каждого числа L существует такое N = N (L), что при всех n > N выполняется оценка |bn | > L.

В этом случае пишут lim bn = и говорят, что последовательность {bn } имеет пределом.

Если при этом для всех достаточно больших n имеем bn > 0, то пишут lim bn = +, а если bn < 0, – пишут lim bn =. Эти определения можно сформулировать иначе.

Определение. Если для каждого числа L существует такое N (L), что при всех n > N выполняется оценка bn > L, то говорят, что последовательность {bn } имеет пределом + и пишут lim bn = +.

Если для каждого числа L существует такое N (L), что при всех n > N выполняется оценка bn < L, то говорят, что последовательность {bn } имеет пределом и пишут lim bn =.

В соответствии со сказанным в § 2.1 последовательности, имеющие бесконечные пределы, следует называть расходящимися.

Но нередко от этого правила отступают и называют такие последовательности сходящимися к соответствующему бесконечному пределу. В настоящем курсе, когда говорится о сходимости последовательности, это всегда будет означать, что она имеет конечный предел. В тех случаях, когда последовательность может иметь и бесконечный предел, это будет специально оговариваться.

Заметим, что последовательность может сходиться к, но не сходиться при этом ни к +, ни к. Такова, например, последовательность {(1)n n}.

Отметим простейшие свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей.

Если {xn } – бесконечно большая последовательность, причём xn = 0 при всех n, то {1/xn } – бесконечно малая последовательность. Действительно, для произвольного > 0 положим L := 1/. Теперь по L находим N такое, что |xn | > L при всех n > N. Тогда для этих n имеем |1/xn | = 1/|xn | < 1/L = и наше утверждение доказано.

Аналогично доказывается, что если {xn } – бесконечно малая последовательность и xn = 0 при всех n, то {1/xn } – бесконечно большая последовательность.

Если {an } и {bn } – бесконечно малые последовательности, то бесконечно малыми являются и последовательности {an + bn } и {an bn }. Это следует из свойств пределов сходящихся последовательностей.

Если последовательность {an } бесконечно малая, а последовательность {bn } ограниченная, то последовательность {an · bn } бесконечно малая. Действительно, по условию существует такое число L, что |bn | < L при всех n. Поэтому |an bn | L |an |, отсюда высказанное утверждение легко выводится. Заметим, что его нельзя получить из свойств пределов сходящихся последовательностей, так как сходимость последовательности {bn } не предполагается.

Для обозначения ограниченности последовательности {bn } пишут Символ O(1) читается “O-большое от единицы”.

§ 2.5. Предел монотонной последовательности Определение. Последовательность {xn } называется возрастающей, если xn xn+1 при всех n.

Последовательность {xn } называется убывающей, если xn xn+1 при всех n.

Таким образом, возрастание и убывание последовательности не обязательно являются строгими. Если же xn < xn+1, соответственно, xn > xn+1 для всех n, то будем говорить о строгом возрастании и строгом убывании последовательности.

Определение. Последовательность {xn } называется монотонной, если она возрастает или убывает.

Последовательность {xn } называется строго монотонной, если она строго возрастает или строго убывает.

Теорема 2.5.1. Пусть последовательность {xn } возрастает. Тогда 10. если последовательность {xn } ограничена сверху числом B, то она сходится и limn xn B ;

20. если последовательность {xn } не ограничена сверху, то limn xn = +.

Доказательство. 10. Так как xn B при всех n, то существует точная верхняя грань M := supn xn и M B. Покажем, что M является пределом последовательности {xn }.

Поскольку M – точная верхняя грань, то xn M при всех n и для каждого > 0 существует член последовательности xp такой, что xp > M. Но тогда для всех n > p имеем M < xp xn.

Таким образом, при всех n > p выполняются неравенства M < xn M. Значит, M = limn xn.

20. Если последовательность {xn } не является ограниченной сверху, то для любого L существует число q такое, что xq > L.

В силу возрастания последовательности отсюда следует, что при всех n > q выполняются неравенства xn xq > L, а это и означает, что limn xn = +.

Теорема доказана.

Справедлива и аналогичная теорема о пределе убывающей последовательности.

Отметим, что теорема о существовании предела монотонной последовательности наряду с теоремами о точной верхней грани и о вложенных отрезках также могла бы служить формулировкой свойства полноты множества действительных чисел.

Рассмотрим два примера.

Пример 1. Докажем, что если |q| < 1, то Пусть сначала 0 < q < 1. Тогда {q n } – убывающая ограниченная снизу последовательность. Значит, она имеет предел, обозначим его a.

Последовательность {q n+1 } имеет этот же предел: limn q n+1 = a и по теореме о пределе произведения последовательностей Таким образом, a = aq, отсюда a = 0, поскольку q = 1, и мы доказали, что limn q n = 0 для положительных q.

Для отрицательных q пользуемся тем, что |q n | = |q|n.

Любопытно отметить, что при вычислении предела (2.5.1) было использовано заранее установленное существование этого предела.

С помощью равенства (2.5.1) легко обосновать формулу суммы членов бесконечной геометрической прогрессии.

Для суммы n первых членов геометрической прогрессии b, bq, bq 2,... при q = 1 справедливо равенство Поэтому, если |q| < 1, то Пример 2. Покажем, что для произвольного числа a где, напомним, n! := 1 · 2 ·... · n.

Поскольку то как и в примере 1, достаточно рассмотреть только положительные a.

Пусть a > 0 и m – натуральное число такое, что m + 1 > a.

Для n > m имеем Из неравенства a/(m + 1) < 1, как показано в примере 1, следует, что что приводит к (2.5.2).

Нам будет нужна следующая оценка, которую называют неравенством Я. Бернулли.

Лемма 2.6.1. Если m x = 0, то справедливо неравенство Доказательство. При m = 2 доказательство элементарно:

Дальнейшие рассуждения проведём методом математической индукции.

Предположим, что для показателя m неравенство (2.6.1) уже установлено, и докажем его для показателя m + 1. Имеем Лемма доказана.

Теорема 2.6.2. Последовательность чисел сходится.

Доказательство. Докажем сходимость последовательности {yn }, где Отсюда, сославшись на теорему о пределе частного, получим сходимость последовательности {xn } и равенство обоих пределов.

Последовательность {yn } ограничена снизу числом 1. Покажем, что числа yn монотонно убывают. Для этого рассмотрим частное В силу неравенства Бернулли (2.6.1) имеем Таким образом, yn > yn+1 при всех n. Поэтому согласно теореме о пределе монотонной последовательности предел lim yn существует и теорема доказана.

Аналогично доказательству убывания последовательности {yn } можно установить возрастание последовательности {xn }.

Следуя Л. Эйлеру, предел последовательности (2.6.2) обозначают буквой e. Наряду с число e является одной из наиболее важных констант в математике. Десятичное представление числа e имеет вид В § 6.5 будет показано, что e – иррациональное число.

Пусть задана последовательность {xn } и n1 < n2 < · · · – некоторая строго возрастающая последовательность натуральных чисел. Последовательность {xn1, xn2,... } = {xnk } называют подпоследовательностью последовательности {xn }.

Таким образом, каждое число xnk является членом последовательности {xn } и в последовательности {xnk } сохранен тот же порядок следования элементов, какой они имели в исходной последовательности. Можно сказать, что мы записываем подряд все члены последовательности x1, x2, x3,..., “вычеркиваем” некоторые её элементы, сохранив при этом бесконечно много элементов, и полученную последовательность называем подпоследовательностью последовательности {xn }.

Понятно, что если последовательность сходится к конечному или бесконечному пределу, то любая её подпоследовательность сходится к тому же самому пределу.

Определение. Предел подпоследовательности называется частичным пределом последовательности.

Здесь также имеются в виду как конечные, так и бесконечные пределы.

Частичный предел последовательности может не быть её пределом. Например, частичными пределами последовательности {(1)n }, являются числа +1 и 1, а предела у этой последовательности нет.

Нетрудно убедиться, что число a является частичным пределом последовательности {xn } тогда и только тогда, когда каждая -окрестность a содержит бесконечно много членов последовательности {xn }.

Теорема 2.7.1 (Теорема Больцано–Вейерштрасса). Из каждой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Пусть {xn } – ограниченная последовательность и отрезок [a, b], содержит все члены последовательности {xn }.

Разделим отрезок [a, b] пополам. По крайней мере один из полученных отрезков содержит бесконечно много членов последовательности {xn }. Обозначим [a1, b1 ] тот из этих отрезков, который содержит бесконечно много членов последовательности, а если таковы оба отрезка, то – любой из них. Возьмём произвольный элемент последовательности {xn }, принадлежащий отрезку [a1, b1 ]. Пусть это будет xn1.

Разделим теперь пополам отрезок [a1, b1 ] и обозначим [a2, b2 ] один из получившихся отрезков, содержащий бесконечно много членов последовательности {xn }. Выберем элемент последовательности {xn }, принадлежащий отрезку [a2, b2 ], такой, что его индекс n2 больше, чем n1. Так выбран элемент xn2.

На следующем шаге делим отрезок [a2, b2 ] пополам, берём отрезок [a3, b3 ], содержащий бесконечно много членов последовательности {xn }, и выбираем в [a3, b3 ] элемент xn3 такой, что n3 > n2.

Продолжив этот процесс, получим последовательность вложенных отрезков {[ak, bk ]}, каждый из которых содержит бесконечно много членов последовательности {xn }, а длины отрезков [ak, bk ] стремятся к нулю, и кроме того, последовательность чисел {xnk } со строго возрастающими индексами.

Согласно теореме 1.7.1 о вложенных отрезках существует точка, принадлежащая всем отрезкам [ak, bk ]. Обозначим эту точку c и покажем, что Пусть – произвольное положительное число. Так как длины отрезков [ak, bk ] стремятся к нулю, то все эти отрезки, начиная с некоторого, содержатся в -окрестности точки c, а вместе с ними в эту окрестность попадут и соответствующие члены последовательности {xnk }. Значит, при k числа xnk сходятся к c.

Теорема доказана.

Таким образом, каждая ограниченная последовательность имеет по крайней мере один частичный предел.

Заметим, что если члены последовательности принадлежат некоторому отрезку, то все её частичные пределы также принадлежат этому отрезку. А для интервалов такое утверждение не верно.

Теорема Больцано–Вейерштрасса относилась к ограниченным последовательностям. Её аналог для произвольных последовательностей формулируется следующим образом.

Теорема 2.7.2. Из каждой последовательности можно выделить подпоследовательность, имеющую предел, конечный или бесконечный.

В самом деле, если последовательность {xn } не ограничена сверху, то из неё можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к +. Сначала выбираем число xn1 такое, что xn1 > 1.

Затем, пользуясь неограниченностью сверху последовательности, находим такой номер n2 > n1, что для xn2 выполняется неравенство xn2 > 2, и т. д. В результате получим limk xnk = +.

§ 2.8. Верхний и нижний пределы последовательности § 2.8. Верхний и нижний пределы Рассмотрим вопрос о наибольшем и наименьшем частичных пределах последовательности.

Теорема 2.8.1. Если у ограниченной сверху последовательности существуют конечные частичные пределы, то точная верхняя грань множества её частичных пределов сама является частичным пределом.

Доказательство. Пусть a – точная верхняя грань множества частичных пределов ограниченной сверху последовательности {xn }. Покажем, что в каждой окрестности числа a содержится бесконечно много членов последовательности {xn }.

Согласно определению точной верхней грани для каждого положительного в -окрестности числа a найдётся частичный предел последовательности {xn }. Обозначим его a и возьмём настолько малую окрестность точки a, чтобы она целиком содержалась в рассматриваемой -окрестности точки a. Этой окрестности точки a принадлежит бесконечно много элементов последовательности {xn }, которые, таким образом, лежат в указанной -окрестности точки a.

Теорема доказана.

Определение. Точную верхнюю грань множества частичных пределов ограниченной сверху последовательности называют верхним пределом этой последовательности.

Если последовательность не ограничена сверху, то из неё можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к +, и верхним пределом последовательности называют +.

Остаётся ещё случай, когда lim xn =. Тогда называют верхним пределом последовательности {xn }.

Таким образом, верхний предел определён для любой последовательности.

Аналогичное теореме 2.8.1 утверждение имеет место для точной нижней грани множества частичных пределов ограниченной снизу последовательности. Соответствующим образом вводится определение нижнего предела произвольной последовательности.

Верхний и нижний пределы последовательности {xn } обозначают соответственно или Отметим свойства верхних пределов, связанные с арифметическими действиями над последовательностями (аналогичными свойствами обладают и нижние пределы).

Нетрудно построить последовательности {xn } и {yn }, для которых не выполняется равенство Но если одна из этих последовательностей имеет конечный предел, такое равенство справедливо. При этом, чтобы не предполагать конечность верхнего предела второй последовательности, положим, что сумма числа и бесконечного символа по определению равна этому бесконечному символу.