«Математический факультет ПРОФЕССИОНАЛЬНО ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Специальность 010101 Математика Квалификация — математик Кемерово 2005 г. 1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА СПЕЦИАЛЬНОСТИ ...»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет» (КемГУ)

Математический факультет

ПРОФЕССИОНАЛЬНО ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Специальность 010101 «Математика»

Квалификация — математик Кемерово 2005 г.

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА СПЕЦИАЛЬНОСТИ

010101 МАТЕМАТИКА 1.1.Основная образовательная программа высшего профессионального образования по специальности 010101 «Математика» разработана на математическом факультете КемГУ в соответствии с государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования, утвержденным приказом Министерства образования Российской Федерации от 02.03.2000 № 686 "Об утверждении государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования".

1.2. Квалификация выпускника - Математик.

Нормативный срок освоения основной образовательной программы подготовки выпускника по специальности 010100 Математика при очной форме обучения - 5 лет.

Нормативный срок освоения основной образовательной программы подготовки выпускника по специальности 010101 Математика при очной-заочной форме обучения - 6 лет.

1.3. Квалификационная характеристика выпускника.

Специалист-математик осуществляет деятельность, в областях, использующих математические методы и компьютерные технологии; работы по созданию и использованию математических моделей процессов и объектов в различных областях человеческой деятельности; организует и выполняет работы по разработке эффективных математических методов решения задач естествознания, техники, экономики и управления. Занимается программноуправленческим обеспечением научно-исследовательской, проектно конструкторской и эксплуатационноуправленческой деятельности. Составляет научно-технические отчеты, готовит документацию по сопровождению программных разработок, проводит патентную работу, участвует в работе научно-практических семинаров и конференций.

Исходя из своих квалификационных возможностей и в соответствии со специализацией специалистматематик подготовлен к самостоятельной работе на должностях математика, математика-программиста, научного сотрудника в научно-исследовательских и научно-производственных учреждениях в соответствии с требованиями Квалификационного справочника должностей руководителей, специалистов и других служащих, утвержденного постановлением Минтруда России от 21.08.98 N37 в соответствии со специализацией Специалист-математик подготовлен к педагогической деятельности на должности преподавателя в средней школе и учреждениях профессионального образования при условии освоения дополнительной образовательной программы психолого-педагогического профиля.

Объектами профессиональной деятельности математика являются научно-исследовательские центры, органы управления, образовательные учреждения, промышленное производство.

1.4. Возможности продолжения образования:

Выпускник подготовлен к обучению в аспирантуре по математическим и смежным специальностям.

2. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ПОДГОТОВКИ АБИТУРИЕНТА

2.1. Предшествующий уровень образования абитуриента - среднее (полное) общее образование.

2.2.Абитуриент должен иметь документ государственного образца о среднем (полном) общем образовании или среднем профессиональном образовании, или начальном профессиональном образовании, если в нем есть запись о получении предъявителем среднего (полного) общего образования, или высшем профессиональном образовании.

3. ОБЩИЕ ТРЕБОВАНИЯ К ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЕ ПОДГОТОВКИ

ВЫПУСКНИКА ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ 010101 МАТЕМАТИКА 3.1.Основная образовательная программа подготовки математика разрабатывается на основании настоящего ГОС ВПО и включает в себя:

• учебный план специальности и специализаций;

• программы учебных дисциплин (в делах методкомиссии факультета и соответствующих кафедр);

• программы учебных и производственных практик (в делах методкомиссии факультета и соответствующих кафедр, а также отдела практик КемГУ);

• материалы, регламентирующие порядок проведения промежуточных и итоговых аттестаций (требования к приему экзаменов и зачетов, сроки проведения зачетов и экзаменов);

• содержание текущих, промежуточных и итоговых аттестаций - контрольные вопросы, фонды тестовых заданий, билеты к экзаменам (в делах методкомиссии факультета и соответствующих кафедр);

• программы государственных экзаменов и требования к оформлению дипломных работ(в делах методкомиссии факультета и соответствующих кафедр).

3.2. Основная образовательная программа подготовки специалистов - математиков предусматривает изучение студентами следующих циклов дисциплин и итоговую государственную аттестацию:

цикл ГСЭ - Общие гуманитарные и социально-экономические дисциплины;

цикл ЕН - Общие математические и естественнонаучные дисциплины;

цикл ОПД - Общепрофессиональные дисциплины;

цикл ДС - Дисциплины специализации;

цикл ФТД - Факультативные дисциплины (дисциплины дополнительной квалификации);

цикл П - Производственная практика.

3.3 Основная образовательная программа подготовки специалиста сформирована из дисциплин федерального компонента, дисциплин регионального (вузовского) компонента, дисциплин по выбору студента, а также факультативных дисциплин. Курсы по выбору студента содержательно дополняют дисциплины, указанные в федеральном компоненте цикла.

3.4. Содержание регионального (вузовского) компонента определено в соответствии с квалификационной характеристикой, установленной ГОС ВПО по специальности 010101 «Математика».

4. СОДЕРЖАНИЕ ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ

Перечень и обязательный минимум содержания дисциплин основной образовательной программы по специальности 010101 - «Математика» определен в соответствии с требованиями ГОС ВПО по специальности Математика (2000 г.).

Иметь представление об основных способах сочетаемости лексических единиц и основных словообразовательных моделях. Владеть навыками и умениями профессиональной коммуникации, основами публичной речи. Владеть формами деловой переписки, навыками подготовки текстовых документов и управленческой деятельности. Уметь работать с оригинальной литературой по специальности, иметь навык работы со словарем, владеть основной иноязычной терминологией специальности, знать русские эквиваленты основных и слов и выражений профессиональной речи. Владеть основами реферирования и аннотирования литературы по специальности.

Физическая культура в общекультурной и профессиональной подготовке студентов; социально-биологические основы физической культуры; основы здорового образа и стиля жизни; оздоровительные системы и спорт (теория, методика, практика); профессионально-прикладная физическая подготовка.

Сущность, формы, функции исторического знания. Методы и источники изучения истории. Понятие и классификация исторического источника.

Античное наследие в эпоху Великого переселения народов. Проблема этногенеза восточных славян. Основные этапы становления государственности.

Россия и средневековые государства Европы и Азии. Специфика формирования единого российского государства. Возвышение Москвы.

Формирование сословной системы организации общества. Реформы Петра 1. Век абсолютизма. Дискуссии о генезисе самодержавия. Особенности и основные этапы экономического развития России. Роль XX столетия в мировой истории.

Социально-экономические преобразования в 30-е гг. Усиление режима личной власти Сталина. Сопротивление сталинизму. СССР накануне и в начальный Социально-экономическое развитие, общественно-политическая жизнь, культура, внешняя политика СССР в послевоенные годы. Холодная война Попытки осуществления политических и экономических реформ. Становление новой российской государственности (1993-1999 гг.). Культура в современной Предмет философии. Место и роль философии в культуре. Становление философии. Основные направления, школы философии и этапы ее исторического развития. Структура философского знания. Учение о бытии. Монистические и плюралистические концепции бытия, самоорганизация бытия. Понятия материального и идеального. Пространство, время. Движение и развитие, диалектика. Детерминизм и индетерминизм. Динамические и статистические закономерности. Научные, философские и религиозные картины мира. Человек, общество, культура. Человек и природа. Общество и его структура. Гражданское общество и государство. Человек в системе социальных связей. Человек и исторический процесс; личность и массы, свобода и необходимость.

Формационная и цивилизационная концепции общественного развития. Смысл человеческого бытия. Насилие и ненасилие. Свобода и ответственность. Мораль, справедливость, право. Нравственные ценности. Представления о совершенном человеке в различных культурах. Эстетические ценности и их роль в человеческой жизни. Религиозные ценности и свобода совести. Сознание и познание. Сознание, самосознание и личность. Познание, творчество, практика.

Вера и знание. Понимание и объяснение. Рациональное и иррациональное в познавательной деятельности. Проблема истины. Действительность, мышление, логика и язык. Научное и вненаучное знание. Критерии научности. Структура научного познания, его методы и формы. Рост научного знания. Научные революции и смены типов рациональности. Наука и техника. Будущее человечества. Глобальные проблемы современности. Взаимодействие цивилизаций и сценарии будущего.

Введение в экономическую теорию. Блага. Потребности, ресурсы.

Экономический выбор. Экономические отношения. Экономические системы.

Основные этапы развития экономической теории. Методы экономической теории. Микроэкономика. Монополия. Монополистическая конкуренция.

Олигополия. Антимонопольное регулирование. Макроэкономическое равновесие. Совокупный спрос и совокупное предложение. Стабилизационная политика. Равновесие на товарном рынке. Потребление и сбережения.

Инвестиции. Государственные расходы и налоги. Эффект мультипликатора.

Бюджетно-налоговая политика. Деньги и их функции. Равновесие на денежном рынке. Денежный мультипликатор. Банковская система. Денежно-кредитная политика. Экономический рост и развитие. Международные экономические отношения. Внешняя торговля и торговая политика. Платежный баланс.

Валютный курс/Распределение и доходы. Преобразования в социальной сфере. Структурные сдвиги в экономике. Формирование открытой Стили современного русского литературного языка. Языковая норма, ее роль в становлении и функционировании литературного языка. Речевое взаимодействие. Основные единицы общения. Устная и письменная разновидности литературного языка. Нормативные, коммуникативные, этические аспекты устной и письменной речи. Функциональные стили современного русского языка. Взаимодействие функциональных стилей. Научный стиль. Специфика использования элементов различных языковых уровней в научной речи. Речевые норны учебной и научной сфер деятельности.

Официально-деловой стиль, сфера его функционирования, жанровое разнообразие. Языковые формулы официальных документов. Приемы унификации языка служебных документов. Интернациональные свойства корреспонденции. Язык и стиль инструктивно-методических документов. Реклама в деловой речи. Правила оформления документов. Речевой этикет в документе.

Жанровая дифференциация и отбор языковых средств в публицистическом стиле.

Особенности устной публичной речи. Оратор и его аудитория. Основные виды аргументов. Подготовка речи: выбор темы, цель речи, поиск материала, начало, развертывание и завершение речи. Основные приемы поиска материала и виды вспомогательных материалов. Словесное оформление публичного выступления.

Понятливость, информативность и выразительность публичной речи. Разговорная речь в системе функциональных разновидностей русского литературного языка.

Условия функционирования разговорной речи, роль внеязыковх факторов.

Культура речи. Основные направления совершенствования навыков грамотного системе наук

. История развития психологического знания и основные направления в психологии. Индивид, личность, субъект, индивидуальность.

Психика и организм. Психика, поведение и деятельность. Основные функции психики. Развитие психики в процессе онтогенеза и филогенеза. Мозг и психика. Структура психики. Соотношение сознания и бессознательного.

Основные психические процессы. Структура сознания. Познавательные процессы. Ощущение. Восприятие. Представление. Воображение. Мышление и интеллект. Творчество. Внимание. Мнемические процессы. Эмоции и чувства.

Психическая регуляция поведения и деятельности. Общение и речь. Психология личности. Межличностные отношения. Психология малых групп. Межгрупповые отношения и взаимодействия.

Основные категории педагогики: образование, воспитание, обучение, педагогическая технология, педагогическая задача. Образование как общечеловеческая ценность. Образование как социокультурный феномен и педагогический процесс. Образовательная система России. Цели, содержание, структура непрерывного образования, единство образования и самообразования.

Педагогический процесс. Образовательная, воспитательная и развивающая функции обучения. Воспитание в педагогическом процессе. Общие формы организации учебной деятельности. Урок, лекция, семинарские, практические и лабораторные занятия, диспут, конференция, зачет, экзамен, факультативные занятия, консультация. Методы, приемы, средства организации и управления взаимодействия и социокультурная среда воспитания и развития личности.

Управление образовательными системами.

культурная антропология. Культурология и история культуры. Теоретическая и прикладная культурология. Методы культурологических исследований.

Основные понятия культурологии: культура, цивилизация, морфология культуры, функции культуры, субъект культуры, культурогенез, динамика культуры, язык и символы культуры, культурные коды, межкультурные коммуникации, культурные ценности и нормы, культурные традиции, культурная картина мира, социальные институты культуры, культурная самоидентичность, культурная модернизация. Типология культур. Этническая и национальная, элитарная и массовая культуры. Восточные и западные типы культур.

Специфические и "серединные" культуры. Локальные культуры. Место и роль России в мировой культуре. Тенденции культурной универсализации в мировом современном процессе. Культура и природа. Культура и общество. Культура и глобальные проблемы современности. Культура и личность. Инкультурация Объект, предмет и метод политической науки. Функции политологии.

Политическая жизнь и властные отношения. Роль и место политики в жизни политических учений. Российская политическая традиция: истоки, социокультурные основания, историческая динамика. Современные политологические школы. Институциональные аспекты политики.

Политическая власть. Политическая система. Социокультурные аспекты политики. Мировая политика и международные отношения. Особенности мирового политического процесса. Национально-государственные интересы России в новой геополитической ситуации. Методология познания политической реальности. Парадигмы политического знания. Экспертное политическое знание; политическая аналитика и прогностика.

Изучение данного курса логически примыкает к общему курсу истории России, расширяя её знания, обогащая её сведениями о конкретных событиях и явлениях, происходивших на каждом историческом этапе на территории одного из крупнейших индустриальных регионов страны - событий в Кузбассе.

ГСЭ.В.00 Дисциплины и курсы по выбору студента

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ПО ИСТОРИИ РОССИИ

ГСЭ.В. Сталин и сталинизм. Концептуальные истоки дискуссии о сталинизме.

Характеристика цивилизационного и формационного подхода, альтернативность в истории, концепция тоталитаризма.

Оценка модели развития советского государства и общества в 30-40 гг.

Предпосылки создания политической системы исторические, социальные, внешнеполитические.

СССР и мировой экономический кризис 1929-1933 гг. Этапы внешней политики СССР в 20—30 гг. Коллективизация, индустриализация. Репрессии 30-50 гг. Итоги

ПРАВОВЕДЕНИЕ

Государство и право. Их роль в жизни общества. Норма права и современности. Международное право как особая система права. Источники Закон и подзаконные акты. Система российского права. Отрасли права.

Правонарушение и юридическая ответственность. Значение законности Конституция Российской Федерации - основной закон государства. Особенности федеративного устройства России. Система органов государственной власти в Российской Федерации. Понятие гражданского правоотношения. Физические и юридические лица. Право собственности. Обязательства в гражданском праве и ответственность за их нарушение. Наследственное право. Брачно-семейные отношения. Взаимные права и обязанности супругов, родителей и детей.

Ответственность по семейному праву] Трудовой договор (контракт). Трудовая дисциплина и ответственность за еа нарушение. Административные преступления. Уголовная ответственность за совершенна преступлений.

Экологическое право. Особенности правового регулирования будущей профессиональной деятельности. Правовые основы защиты государственной тайны. Законодательные и нормативно-правовые акты в области защиты информации и государственной тайны.

ГСЭ.В.02 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ИСТОРИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ

Исторические исследования, их особенность и структура. Философские системы в исторических исследованиях. Закономерности и случайности в истории и их отношения в исторических исследованиях. Формирование понятия числа в цивилизованном отражении. Историческая хронология и особенности ее создания. Календарные системы. Количественные методы в обработке исторических материалов и создании исторических теорий.

Особенности развития основных понятий теории вероятности и статистики.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ПСИХОЛОГИИ

Основные понятия в психологии социологии и матстатистики. Основные типы распределений и соответствующие критерии, статистическое оценивание, факторный, дискретный и кластерный анализ.

ДОП.ГЛАВЫ ПСИХОЛОГИИ

Предмет курса, обработка психологической информации, методы непараметрической статистики, корреляционный анализ для различных шкал измерения, многомерный анализ психологических исследований.

Современные стратегии и модели образования. Развивающие педагогические технологии. Концепция воспитательной работы классного руководителя. Составление конспектов воспитательных дел. Особенности воспитательной работы со старшими школьниками. Реализация воспитательной задачи на уроке.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЭКОЛОГИИ И ЕСТЕСТВОЗНАНИИ

Проблемы и методы современных естественных наук; методы математического моделирования в современном естествознании и экологии.

Простейшие модели динамики численности изолированной популяции. Модели типа Вольтера. Введение гипотезы изменения внешних условий со временем.

Понятие информации, общая характеристика процессов сбора, передачи, обработки накопления информации; технические и программные средства реализации информационных процессов. Основные алгоритмические конструкции.

Структуры данных: вектор, матрица, запись (структура), стек, дек, очередь, последовательность, список, множество, бинарное дерево; реализация структур.

Рекурсивные и итерационные алгоритмы обработки данных. Структуры данных в прикладных программах; примеры использования и реализации различных структур (редактор текстов, стековой калькулятор Компиляция и интерпретация: основные этапы компиляции, лексический, семантический анализ выражения, формальная грамматика, компилятор формулы, дерево синтаксического разбора.

Операционные системы. Методы тестирования и отладки программ. Понятие об архитектуре ЭВМ: процессор и система его команд, структура памяти ЭВМ и способы адресации, выполнение команды в процессоре, взаимодействие процессора, памяти и периферийных устройств.

Локальные и глобальные сети ЭВМ; основы зашиты информации и сведений, составляющих государственную тайну; методы защиты информации.

Компьютерный и вычислительный практикум интерполяционный многочлен Лагранжа; его существование и единственность;

оценка погрешности интерполяционной формулы Лагранжа; понятие о количестве арифметических операций, как об одном из критериев оценки качества алгоритма;

разделенные разности; интерполяционный многочлен Лагранжа в форме Ньютона с разделенными разностями; многочлены Чебышева, их свойства; минимизация остаточного члена погрешности интерполирования; тригонометрическая интерполяция; дискретное преобразование Фурье; наилучшее приближение в нормированном пространстве; существование элемента наилучшего приближения;

Чебышевский альтернате, единственность многочлена наилучшего приближения в С;

примеры; ортогональные многочлены; процесс ортогонализации Шмидта; запись многочлена в виде разложения по ортогональным многочленам, ее преимущества;

рекуррентная формула для вычисления ортогональных многочленов; сплайны;

экстремальные свойства сплайнов; построение кубического интерполяционного сплайна; простейшие квадратурные формулы прямоугольников, трапеций;

квадратурные формулы Ньютона- Котеса; оценки погрешности этих квадратурных формул; квадратурные формулы Гаусса, их построение, положительность коэффициентов, коэффициентов, сходимость; составные квадратурные формулы, оценки погрешности; интегрирование сильно осциллирующих функций; вычисление интегралов в нерегулярных случаях; численное дифференцирование, вычислительная погрешность формул численного дифференцирования; правило Рунге оценки погрешности; основные задачи линейной алгебры, метод Гаусса;

метод простой итерации, теорема о достаточном условии сходимости, необходимое и достаточное условие сходимости; метод простой итерации для симметричных положительно определенных матриц, оптимизация параметра процесса; процесс ускорения сходимости итераций; метод наискорейшего градиентного спуска; метод Зейделя; методы решения нелинейных уравнений (метод бисекций, метод простой итерации и метод Ньютона); метод разложения в ряд Тейлора решения задачи Коши для ОДУ, метод Эйлера и его модификации, методы Рунге-Кутта; конечноразностные методы, понятие об аппроксимации, исследование свойств конечноразностных схем на модельных примерах; основные понятия теории разностных схем аппроксимация, устойчивость, сходимость; аппроксимация, устойчивость и сходимость для простейшей краевой задачи для ОДУ второго порядка; методы решения системы ЛАУ с трехдиагональной матрицей (метод стрельбы и метод прогонки); метод конечных элементов; простейшие разностные схемы для уравнения переноса, спектральный признак устойчивости, примеры; простейшие разностные схемы для уравнения теплопроводности с одной пространственной переменной, явная и неявная схемы, схема с весами, устойчивость и аппроксимация схемы с весами, схема со вторым порядком аппроксимации; разностная схема для уравнения Пуассона в прямоугольнике, ее корректность; методы решения сеточной задачи Дирихле для уравнения Пуассона (метод Гаусса, метод разложения в дискретный ряд Фурье, метод простой итерации); численные методы решения интегральных уравнений второго рода; метод регуляризации решения интегральных уравнений первого рода.

Физические основы механики: кинематика, динамика, статика, законы сохранения, основы релятивистской механики; элементы гидродинамики;

электричество и магнетизм; физика колебаний и волн: гармонический и ангармонический осцилляторы, физический смысл спектрального разложения, волновые процессы, основные акустические и оптические явления; квантовая физика: корпускулярно-волновой дуализм, принцип неопределенности, квантовые состояния; молекулярная физика и термодинамика: три начала термодинамики, фазовые равновесия и фазовые превращения, элементы неравновесной термодинамики, классическая и квантовые статистики; физический практикум.

Естественнонаучная и гуманитарная культуры; научный метод; история естествознания; панорама современного естествознания; тенденции развития.

Химические процессы, реакционная способность веществ. Эволюция Земли и современные концепции развития геосферных оболочек. Особенности биологического уровня организации материи; принципы эволюции, воспроизводства и развития живых систем; многообразие живых организмов - основа организации и устойчивости биосферы; генетика и эволюция. Человек: физиология, здоровье, эмоции, творчество, работоспособность; биоэтика, биосфера и космические циклы;

ноосфера, необратимость времени, самоорганизация в живой и неживой природе;

принципы универсального эволюционизма; путь к единой культуре.

Предмет, основные цели и задачи математической экономики. Математическое моделирование экономических систем и явлений. Методика и этапы проведения математических исследований в экономике. Экономика как объект математического моделирования. Формализация предпочтения потребителя при выборе товаров. Функция полезности как критерий оценки товаров. Предельный анализ и понятие эластичности в теории потребления. Оптимизационная модель задачи потребительского выбора. Анализ влияния дохода и цен на спрос.

Уравнение Слуцкого Пространство затрат и производственная функция.

Предельный анализ и эластичность в теории производства. Математические модели задачи фирмы. Решение задачи фирмы. Геометрическая иллюстрация.

Анализ влияния цен на объемы затрат и выпуска. Основное уравнение фирмы Моделирование ценообразования в монополии. Экономическое равновесие. Содержательный аспект. Рыночный спрос и рыночное предложение.

Условия совершенной конкуренции. Описание общей модели Вальраса.

Модель Эрроу-Дебре. Существование конкурентного равновесия. Модель регулирования цен и устойчивость конкурентного равновесия Планирование выпуска на уровне отраслей Модель Леонтьева "Затраты-выпуск" Планирование производства в динамике Модель расширяющейся экономики Неймана Магистральные траектории в линейных моделях экономики Математическая модель олигополии. Анализ дуополии Курно. Краткий анализ других видов Отображение геометрического объекта на плоскости; аппарат проецирования:

точка, прямая, плоскость, линия, поверхность, их пересечения, развертки; способ замены плоскостей проекций; метрические задачи; позиционные задачи;

аксонометрические проекции; аппаратная база машинной графики: графические дисплеи; представление объектов и их машинная генерация; программные средства компьютерной графики: базовые средства (графические объекты, примитивы и их атрибуты), графические возможности языков высокого уровня, графические редакторы; графические языки: основные конструкции, представление алгоритмов изображения объектов; графические библиотеки и их использование; интерактивная машинная графика как подсистема систем автоматического проектирования.

Основы фракталов: обратная связь и итерация; принцип обратной связи; основные типы процессов обратной связи; побочный эффект малых возмущений;

устойчивость вычислений. Классические фракталы и самоподобие: множество Кантора; фракталы Серпинского; кривая Коха; кривые, заполняющие плоскость;

фракталы и проблемы размерности; фрактальные кривые и рекурсии. Множества Жюлиа и Мандельброта и их компьютерное построение. Динамические процессы.

Бифуркации. Динамики Ферхюльста. Диаграмма Фейгенбаума. Число Фейгенбаума и его универсальность. Фрактальная графика. Кодирование изображений с помощью простых преобразований. Фрактальное сжатие изображений. IFS-фракталы. Декодирование сжатых изображений.

ЕН.В.01 КОМПЬЮТЕРНЫЕ СИСТЕМЫ БУХУЧЕТА И ЭКОНОМИКИ

Основные термины и понятия бухгалтерского учета. Основные разделы учета на предприятии. Основные свойства и приемы работы с программой предприятия за отчетный период в программе « 1С Бухгалтерия».

АВТОМАТИЗИРОВАННЫЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ

Понятие информации, экономической информации. Классификация экономической информации. Свойства ЭИ. Форма представления экономической информации. Систематизация экономической информации. Классификаторы, коды и технология их применения. Штриховое кодирование, технология и области применения. Этапы обработки экономической информации. Автоматизированные информационные технологии обработки экономической информации.

Информационная технология и этапы ее развития. Концепция «новой информационной технологии обработки экономической информации.

Особенности технологии автоматизированной обработки экономической Автоматизированное рабочее место (АРМ), его назначение, виды, обеспечение функционирования. Телекоммуникация и информация Технологии передачи данных. Компьютерные сети: локальные, глобальные. Информационный рынок России. Глобальные компьютерные сети в финансово- экономической деятельности. Правовое обеспечение информационной деятельности. Объекты информационного права. Законодательство в области информации и информационных технологий. Классификация компьютерных преступлений.

Компьютерные вирусы. Меры защиты информации.

Предмет математического анализа, сведения о множествах и логической символике, отображение и функции.

Действительные числа: алгебраические свойства множества К. действительных чисел; аксиома полноты множества К. Действия над действительными числами, принцип Архимеда. Теория пределов: предел числовой последовательности;

основные свойства и признаки существования предела; предельные точки множества и теорема Больцано-Вейерштрасса о выделении сходящейся подпоследовательности; предел монотонной последовательности; число V, верхний и нижний пределы; критерий Коши существования предела. Топология на К; предел функции в точке; свойства пределов; бесконечно малые и бесконечно большие функции и последовательности; предел отношения синуса бесконечно малого аргумента к аргументу; общая теория предела; предел функции по базису фильтра (по базе); основные свойства предела; критерий Коши существования предела; сравнение поведения функций на базе; символы "о", "О","~".

Непрерывные функции: локальные свойства непрерывных функций;

непрерывность функции от функции; точка разрыва; ограниченность функции, непрерывной на отрезке; существование наибольшего и наименьшего значений;

прохождение через все промежуточные значения; равномерная непрерывность функции, непрерывной на отрезке; монотонные функции, существование и непрерывность обратной функции, непрерывность элементарных функций.

Дифференциалы и производные: дифференцируемость функции в точке;

производная в точке, дифференциал и их геометрический смысл; механический смысл производной; правила дифференцирования; производные и дифференциалы высших порядков; формула Лейбница.

Основные теоремы дифференциального исчисления и их приложения: теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о конечных приращениях; локальная формула Тейлора;

асимптотические разложения элементарных функций; формула Тейлора с исследованию функций, признаки постоянства, монотонность, экстремумы, выпуклость, точки перегиба, раскрытие неопределенностей; геометрические Неопределенный интеграл: первообразная функция, неопределенный интеграл и его основные свойства; таблица формул интегрирования; замена переменной, интегрирование по частям; интегрирование рациональных функций; интегрирование некоторых простейших иррациональных и трансцендентных функций.

Определенный интеграл: задачи, приводящие к понятию определенного интеграла; определенный интеграл Римана; критерий интегрируемости;

интегрируемость непрерывной функции, монотонной функции и ограниченной функции с конечным числом точек разрыва; свойства определенного интеграла, теорема о среднем значении; дифференцирование по переменному верхнему пределу; существование первообразной от непрерывной функции; связь определенного интеграла с неопределенным: формула Ньютона-Лейбница; замена переменной; интегрирование по частям; длина дуги и другие геометрические, механические и физические приложения; функции ограниченной вариации; теорема о представлении функции ограниченной вариации и основные свойства; интеграл Стилтьеса Признаки существования интеграла Стильтеса и его вычисления.

Функции многих переменных: Евклидово пространство п измерений; обзор основных метрических и топологических характеристик точечных множеств евклидова пространства; функции многих переменных, пределы, непрерывность;

свойства непрерывных функций; дифференциал и частные производные функции многих переменных; производная по направлению; градиент; достаточное условие дифференцируемости; касательная плоскость и нормаль к поверхности;

дифференцирование сложных функций; частные производные высших порядков, свойства смешанных производных; дифференциалы высших порядков; формула Тейлора для функций нескольких независимых переменных; экстремум;

отображения К" в Км, их дифференцирование, матрица производной; якобианы;

теоремы о неявных функциях; замена переменных; зависимость функций; условный *Локальное обращение дифференцируемого отображения Rn в Rm и теорема о неявном отображении; принцип неподвижной точки сжимающего отображения полного метрического пространства.

Числовые ряды: сходимость и сумма числового ряда; критерий Коши;

знакопостоянные ряды; сравнение рядов; признаки сходимости Даламбера, Коши, интегральный признак сходимости; признак Лейбница; абсолютная и условная понятие о бесконечных произведениях.

Функциональные последовательности и ряды, равномерная сходимость;

признаки равномерной сходимости; теорема о предельном переходе; теоремы о непрерывности, почленном интегрировании и дифференцировании; степенные ряды, радиус сходимости, формула Коши-Адамара; равномерная сходимость и непрерывность суммы степенного ряда; почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов; ряд Тейлора; разложение элементарных функций в степенные ряды; оценка с помощью формулы Тейлора погрешности при замене функции многочленом; ряды с комплексными членами; формулы Эйлера;

применение рядов к приближенным вычислениям; теоремы Вейерштрасса о приближении непрерывных функций многочленами.

Несобственные интегралы: интегралы с бесконечными пределами и интегралы от неограниченных функций; признаки сходимости; интегралы, зависящие от параметра; непрерывность, дифференцирование и интегрирование по параметру;

несобственные интегралы, зависящие от параметра: равномерная сходимость, непрерывность, дифференцирование и интегрирование по параметру; применение к вычислению некоторых интегралов; функции, определяемые с помощью интегралов, бета- и гамма-функции Эйлера.

Ряды Фурье: ортогональные системы функций; тригонометрическая система; ряд Фурье; равномерная сходимость ряда Фурье; признаки сходимости ряда Фурье в точке; принцип локализации; минимальное свойство частных сумм ряда Фурье;

неравенство Бесселя; достаточное условие разложимости функции в тригонометрический ряд Фурье; сходимость в среднем; равенство Парсеваля;

интеграл Фурье и преобразование Фурье.

Двойной интеграл и интегралы высшей кратности: двойной интеграл, его геометрическая интерпретация и основные свойства; приведение двойного интеграла к повторному; замена переменных в двойном интеграле; понятие об аддитивных функциях области; площадь поверхности; механические и физические приложения двойных интегралов; интегралы высшей кратности; их определение, вычисление и простейшие свойства; несобственные кратные интегралы.

Криволинейные интегралы и интегралы по поверхности: криволинейные интегралы;

формула Грина; интегралы по поверхности; формула Остроградского; элементарная формула Стокса; условия независимости криволинейного интеграла от формы пути.

Элементы теории поля: скалярное поле; векторное поле; поток, расходимость, циркуляция, вихрь; векторная интерпретация формул Остроградского и Стокса;

потенциальное поле; векторные линии и векторные трубки; соленоидальное поле;

оператор «набла».

*Понятие о дифференциальных формах и интегрирование их по цепям;

абстрактная теорема Стокса и получение из нее элементарной формулы Стокса и формулы Гаусса-Остроградского.

Примечание: разделы, помеченные звездочкой, при необходимости могут быть опущены.

Понятие группы, кольца и поля; поле комплексных чисел; кольцо многочленов;

деление многочленов с остатком; теорема Безу; кратность корня многочлена, ее связь со значениями производных; разложение многочлена на неприводимые множители над полями комплексных и действительных чисел; формулы Виета;

наибольший общий делитель многочленов, его нахождение с помощью алгоритма Евклида; кольцо многочленов от нескольких переменных; симметрические Группа подстановок; четность подстановки; циклические группы; разложение группы на смежные классы по подгруппе; теорема Лагранжа.

Системы линейных уравнений; свойства линейной зависимости; ранг матрицы;

определители, их свойства и применение к исследованию и решению систем линейных уравнений; кольцо матриц и группа невырожденных матриц.

Векторные пространства; базис и размерность; подпространства; сумма и пересечение подпространств; прямые суммы; билинейные и квадратичные формы;

приведение квадратичной формы к нормальному виду; закон инерции;

положительно определенные квадратичные формы; критерий Сильвестра;

ортонормированные базисы и ортогональные дополнения; определители Грама и объем параллелепипеда.

Линейные операторы; собственные векторы и собственные значения;

достаточные условия приводимости матрицы линейного оператора к диагональному виду; понятие о жордановой нормальной форме; самосопряженные и ортогональные (унитарные) операторы; приведение квадратичной формы в евклидовом пространстве к каноническому виду.

Аффинные системы координат; линейные многообразия, их взаимное расположение; квадрики (гиперповерхности второго порядка); их аффинная и метрическая классификация и геометрические свойства;

Примеры групп преобразований: классические линейные группы, группа движений и группа аффинных преобразований, группы симметрии правильных многоугольников и многогранников в трехмерном пространстве; классификация движений плоскости и трехмерного пространства.

Векторы: векторы, их сложение и умножение на число; линейная зависимость векторов и ее геометрический смысл; базис и координаты; скалярное произведение векторов; переход от одного базиса к другому; ориентация; ориентированный объем параллелепипеда; векторное и смешанное произведения векторов.

Прямая линия и плоскость: системы координат; переход от одной системы координат к другой; уравнение прямой линии на плоскости и плоскости в пространстве; взаимное расположение прямых на плоскости и плоскостей в пространстве; прямая в пространстве.

Линии второго порядка: квадратичные функции на плоскости и их матрицы;

ортогональные матрицы и преобразования прямоугольных координат;

ортогональные инварианты квадратичных функций; приведение уравнения линий второго порядка к каноническому виду; директориальное свойство эллипса, гиперболы и параболы; пересечение линий второго порядка с прямой; центры линий второго порядка; асимптоты и сопряженные диаметры; главные направления и главные диаметры; оси симметрии.

Аффинные преобразования: определение и свойства аффинных преобразований;

аффинная классификация линий второго порядка; определение и свойства изометрических преобразований; классификация движений плоскости.

Поверхности второго порядка: теорема о канонических уравнениях поверхностей второго порядка (без доказательства); эллипсоиды; гиперболоиды;

параболоиды; цилиндры; конические сечения; прямолинейные образующие;

аффинная классификация поверхностей второго порядка.

Проективная плоскость: пополненная плоскость и связка; однородные координаты; линии второго порядка в однородных координатах; проективные системы координат; проективные системы преобразования; проективная классификация линий второго порядка.

Векторные пространства: линейная зависимость векторов; размерность и базис векторного пространства; координаты вектора в заданном базисе; изоморфность векторных пространств одинаковой конечной размерности; подпространства векторного пространства; линейная оболочка и ранг системы векторов; пересечение и сумма подпространств; прямая сумма; линейные функции; сопряженное пространство; дуальный базис; линейные отображения векторных пространств, их задание матрицами; ядро и образ линейного отображения; условие существования обратного отображения; линейные операторы; действия над ними; матрицы оператора в различных базисах; инвариантные подпространства; собственные векторы и собственные значения; характеристический многочлен линейного оператора; теорема Гамильтона-Кэли.

Жорданова клетка: корневые пространства; разложение в прямую сумму;

теорема о жордановой нормальной форме матрицы линейного оператора в комплексном и в вещественном пространстве; единственность жордановой нормальной формы; необходимое и достаточное условие диагонализируемости матрицы; полилинейные функции на векторном пространстве: общее понятие о тензорах; координаты тензора; переход от одной системы координат к другой;

задание тензоров типа /2,0/ (билинейных функций) матрицей; квадратичные и эрмитовы формы; приведение симметрических билинейных форм к каноническому виду; закон инерции; положительно определенные формы; критерий Сильвестра;

свертка тензора; симметрические и кососимметрические тензоры; операция симметрирования и альтернатирования; внешнее умножение; внешняя алгебра;

связь с определителями; ориентация конечномерного векторного пространства.

Евклидовы и унитарные векторные пространства: длина вектора и угол между векторами; неравенство Коши-Буняковского; ортонормированные базисы; процесс ортогонализации; ортогональные и унитарные матрицы; примеры; изоморфность унитарных пространств одинаковой размерности; соответствие между билинейными формами и линейными операторами; линейный оператор, сопряженный к данному;

симметрические и эрмитовы линейные операторы; их спектр; существование собственного ортонормированного базиса; приведение квадратичной (эрмитовой) формы к главным осям; ортогональные и унитарные линейные операторы;

Аффинные (точечные) пространства: системы координат; плоскости в аффинном пространстве; их задание системами линейных уравнений; расстояние между точками евклидова пространства; расстояние от точки и до плоскости; объем в евклидовом пространстве; объем параллелепипеда и определитель Грама; аффинные отображения: их запись в координатах: разложение аффинного преобразования в произведение сдвига и преобразования, оставляющего на месте точку;

геометрический смысл определителя аффинного преобразования; движение евклидова пространства; классификация движений; теоретико-групповая точка зрения на геометрию; аффинная и евклидова геометрия; квадрики (гиперповерхности второго порядка) в аффинном пространстве: классификация квадрик в аффинной и евклидовой геометриях; невырожденные центральные квадрики; асимптотические направления; геометрические свойства главных осей эллипсоида; проективное пространство произвольной размерности, различные модели: однородные координаты; аффинные карты проективного пространства;

проективные преобразования и проективная группа; квадрики в проективном пространстве, их квалификация

ОПД.Ф.05 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ

Логические исчисления, модели: исчисление высказываний; аксиомы;

правило вывода; производные правила вывода; тождественная истинность выводимых формул; непротиворечивость исчисления высказываний; теорема о полноте исчисления высказываний; предикаты; логические операции над предикатами и их теоретико-множественный смысл; кванторы; геометрический смысл квантора существования; модели; формулы; свободные и связанные переменные; истинность формул в модели, на множестве; общезначимые формулы;

эквивалентные формулы логики предикатов; правила преобразований формул в эквивалентные; нормальная форма; исчисление предикатов; аксиомы; правила вывода; производные правила вывода; торжественная истинность выводимых формул; непротиворечивость исчисления предикатов; формулировка теоремы о полноте исчисления предикатов.

*Теорема о полноте для случая одноместных предикатов.

Вычислимые функции: машины Тьюринга; вычислимые функции; тезис Черча; примеры вычислимых функций; рекурсивные, рекурсивно перечислимые множества и их алгоритмическая характеристика; теорема Поста; примеры самоприменимости, применимости; теорема Поста-Маркова о существовании ассоциативного исчисления с алгоритмически неразрешимой проблемой равенства.

*Теорема о неразрешимости проблемы распознавания тождественно истинных формул исчисления предикатов; операции суперпозиции и примитивной рекурсии; примитивно-рекурсивные функции; операция минимизации; частичнорекурсивные функции; вычислимость частично-рекурсивных функций; частичная рекурсивность вычислимых функций; формула Клини.

Понятие дифференциального уравнения; поле направлений, решения;

интегральные кривые, векторное поле; фазовые кривые.

Элементарные приемы интегрирования: уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения, уравнения в полных дифференциалах, интегрирующий множитель, линейное уравнение, уравнение Бернулли, метод введения параметра, уравнения Лагранжа и Клеро.

Задача Коши: теорема существования и единственности решения задачи Коши (для системы уравнений, для уравнения любого порядка).

Продолжение решений; линейные системы и линейные уравнения любого порядка; интервал существования решения линейной системы (уравнения).

Линейная зависимость функций и определитель Вронского; формула ЛиувилляОстроградского; фундаментальные системы и общее решение линейной однородной системы (уравнения); неоднородные линейные системы (уравнения).

Метод вариации постоянных; решение однородных линейных систем и уравнений с постоянными коэффициентами.

Решение неоднородных линейных уравнений с постоянными коэффициентами и неоднородностями специального вида (квазимногочлен).

Непрерывная зависимость решения от параметра; дифференцируемость решения по параметру; линеаризация уравнения в вариациях; устойчивость по Ляпунову; теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению и ее применение; фазовые траектории двумерной линейной системы с постоянными коэффициентами; особые точки, седло, узел, фокус, центр.

Первые интегралы; уравнения с частными производными первого порядка; связь характеристик с решениями; задача Коши; теорема существования и единственности решения задачи Коши ( в случае двух независимых переменных).

Кинематика: траектория, закон движения, скорость точки, ускорение точки, теорема о сложении скоростей, угловая скорость твердого тела (поступательного и вращательного), пара вращений, теорема Эйлера о поле скоростей движущегося твердого тела, поле скоростей и ускорений тела с одной неподвижной точкой, Динамика точки: законы Ньютона, уравнения движения материальной точки в декартовых и естественных осях, теоремы динамики точки, первые интегралы уравнений движения. Движение под действием центральной силы, законы Кеплера, движение по поверхности и кривой (точка со связью), реакции связей, теорема об изменении энергии для несвободной точки, относительное движение и относительное равновесие точки со связью, вес тела на Земле.

Динамика систем точек: связи и их классификация, обобщенные координаты и обобщенные силы, принцип виртуальных перемещений для несвобождающих связей, принцип Даламбера-Лагранжа для систем с идеальными связями, силы внутренние и внешние, теоремы динамики систем, формулы Кенига, первые интегралы уравнений движения и законы сохранения.

Аналитическая механика: уравнения Лагранжа второго рода, циклические и позиционные координаты, уравнения Рауса для систем с циклическими координатами, канонические уравнения Гамильтона, принципы Гамильтона и Геометрические объекты: кривые, способы задания. Кривизна плоских кривых, пространственные кривые, репер Френе, кривизна и кручение пространственных кривых, формулы Френе, натуральное уравнение кривой, Поверхности способы задания поверхностей, координаты на поверхности, касательная плоскость, первая квадратичная форма поверхности, площадь поверхности, кривизна кривых на поверхности, вторая квадратичная форма и ее свойства, инварианты пары квадратичных форм; средняя и гауссова кривизна поверхности; деривационные формулы, символы Кристоффеля поверхности, геодезическая кривизна, геодезические и их свойства.

Многомерные геометрические объекты: проективное пространство, аффинная карта проективного пространства, модели проективных пространств малой размерности, метрические группы..

Вероятность. Пространство исходов; операции над событиями; алгебра и сигма-алгебра элементарных событий; измеримое пространство; алгебра борелевских множеств; аксиоматика А.Н. Колмогорова; свойства вероятности.

Вероятностное пространство как математическая модель случайного эксперимента; теорема об эквивалентности аксиом аддитивности и непрерывности вероятности; дискретное вероятностное пространство; классическое определение вероятности; функция распределения вероятностной меры, ее свойства; теорема о продолжении меры с алгебры интервалов в Р на сигма-алгебру борелевских множеств; взаимнооднозначное соответствие между вероятностными мерами и функциями распределения; непрерывные и дискретные распределения; примеры вероятностных пространств.

Случайные величины и векторы: функции распределения случайных величин и векторов; функции от случайных величин; дискретные и непрерывные распределения; сигма-алгебры, порожденные случайными величинами.

Условная вероятность; формула полной вероятности; независимость событий;

задача о разорении игрока; прямое произведение вероятностных пространств; схема Бернулли; предельные теоремы для схемы Бернулли.

Математическое ожидание: интеграл Лебега; математическое ожидание случайной величины; дисперсия; теоремы о математическом ожидании и дисперсии;

вычисление математического ожидания и дисперсии для некоторых распределений;

ковариация, коэффициент корреляции; неравенство Чебышева; закон брльших Предельные теоремы: характеристическая функция, многомерное нормальное распределение; виды сходимости: по вероятности, с вероятностью 1, по распределению; прямая и обратная теоремы для характеристических функций;

центральная предельная теорема; формула обращения для характеристических функций; неравенство Колмогорова; усиленный закон больших чисел.

Гладкие многообразия. Общие сведения из общей топологии: топологическое пространство, метрическое пространство, непрерывное отображение, гомеоморфизмы, компактность, связность; определение гладкого многообразия, отображение многообразий, примеры многообразий: гладкие поверхности, матричные группы, проективное пространство; многообразие с краем; риманова метрика; касательный вектор, касательное пространство к многообразию, векторные Тензорный анализ на многообразиях. Тензоры на римановом многообразии:

общее определение тензора, алгебраические операции над тензорами, поднятие и опускание индексов, оператор Ходиса; кососимметрические тензоры, дифференциальные формы, внешнее произведение дифференциальных форм, внешняя алгебра; поведение тензоров при отображениях, дифференциал отображения, отображение касательных пространств.

Связность и ковариантное дифференцирование: ковариантная производная тензоров, параллельный перенос векторных полей, геодезические; связности, согласованные с метрикой; тензор кривизны, симметрии тензора кривизны; тензор кривизны, порожденный метрикой; тензоры кривизны двух- и трехмерных Дифференциальные формы и теория интегрирования: разбиение единицы на многообразии, интеграл дифференциальной формы, примеры: криволинейные и поверхностные интегралы второго рода; общая формула Стокса; примеры: формулы Грина, Стокса и Остроградского-Гаусса.

Элементы топологии многообразий. Гомотопия: определение гомотопии, аппроксимация отображений и гомотопии гладкими, относительная гомотопия;

степень отображения: определение степени, гомотопическая классификация отображений многообразия в сферу; степень и интеграл; степень векторного поля на поверхности; теорема Гаусса-Бонне; индекс особой точки векторного поля; теорема Пуанкаре-Бендиксона.

ОПД.Ф.11 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Введение: возникновение функционального анализа как самостоятельного раздела математики; современное развитие функционального анализа и его связь с другими областями математики.

Метрические и топологические пространства: множества, алгебра множеств;

счетные множества и множества мощности континуума; метрические пространства;

открытые и замкнутые множества; компактные множества в метрических пространствах; критерий Хаусдорфа; полнота и пополнение; теорема о стягивающих шарах; принцип сжимающих отображений; топологические пространства; примеры.

Мера и интеграл Лебега: построение меры Лебега на прямой; общее понятие аддитивной меры; лебеговское продолжение меры; измеримые функции их свойства; определение интеграла Лебега; класс суммируемых функций; предельный переход под знаком интеграла; связь интеграла Лебега с интегралом Римана;

интеграл Стилтьеса; теорема Радона-Никодима; прямое произведение мер и теорема Фубини; пространства L1LР (р>1); неравенства Гельдера и Минковского.

пространства; примеры норм; банаховы пространства; сопряженное пространство, его полнота; теорема Хана-Банаха о продолжении линейного функционала; общий вид линейных функционалов в некоторых банаховых пространствах; линейные операторы; норма оператора; сопряженный оператор; принцип равномерной ограниченности; обратный оператор; спектр и резольвента; теорема Банаха об обратном операторе; компактные операторы; компактность интегральных операторов; понятие об индексе; теорема Фредгольма; примеры использования теоремы Фредгольма (задача Штурма-Лиувилля, теория потенциала, индекс дифференциального оператора).

Гильбертовы пространства: скалярное произведение; неравенство КошиБуняковского-Шварца; ортогональные системы; неравенство Бесселя; базисы и гильбертова размерность; теорема об изоморфизме, ортогональное дополнение;

общий вид линейного функционала; самосопряженные (эрмитовы) и унитарные операторы; ортопроекторы; спектр эрмитова и унитарного оператора; теорема Гильберта о компактных эрмитовых операторах; функциональное исчисление;

приведение оператора к виду умножения на функцию; спектральная теорема;

неограниченные самосопряженные операторы; примеры.

Линейные топологические пространства и обобщенные функции:

полинормированные пространства; функционал Минковского; нормируемость и метризуемость; топологии в сопряженном пространстве; слабая компактность шара в сопряженном пространстве. Основные пространства гладких функций;

пространства обобщенных функций; операции над обобщенными функциями:

умножение на гладкую функцию, дифференцирование, замена переменных, Элементы линейного анализа: слабый и сильный дифференциал нелинейного функционала; экстремум функционала; классические задачи вариационного исчисления; уравнение Эйлера; вторая вариация; условия Лежандра и Якоби.

Комплексные числа: комплексные числа, комплексная плоскость; модули и аргумент комплексного числа, их свойства; числовые последовательности пределы, ряды; стереографическая проекция, ее свойства; сфера Римана, расширенная комплексная плоскость; множества на плоскости, области и кривые.

Функции комплексного переменного и отображения множеств: функции непрерывности; дифференцируемость по комплексному переменному, условие Коши-Римана; аналитическая функция; геометрический смысл аргумента и модуля производной; понятие о конформном отображении.

Элементарные функции: целая линейная и дробно-линейная функция, их свойства, общий вид дробно-линейного отображения круга на себя и верхней полуплоскости на круг; экспонента и логарифм, степень с произвольным показателем; понятие о римановой поверхности на примерах логарифмической и общей степенной функций; функция Жуковского; тригонометрические и гиперболические функции.

Интеграл по комплексному переменному, его простейшие свойства, связь с криволинейными интегралами 1-го и 2-го рода; сведение к интегралу по действительному переменному; первообразная функция, формула НьютонаЛейбница; переход к пределу под знаком интеграла; интегральная теорема Коши.

дифференцируемость аналитических функций, формулы Коши для производных;

Последовательности и ряды аналитических функций в области: теорема Вейерштрасса; степенные ряды; теорема Абеля, формула Коши-Адамара; разложение аналитической функции в степенной ряд, елдинственость разложения; неравенство Коши для коэффициентов степенного ряда; действия со степенными рядами.

Теорема единственности и принцип максимума модуля: нули аналитической функции, порядок нуля; теорема единственности для аналитических функций;

принцип максимума модуля и лемма Шварца.

Ряд Лорана: ряд Лорана, область его сходимости; разложение аналитической функции в ряд Лорана, единственность разложения, формулы и неравенства Коши для коэффициентов; теорема Лиувилля и теорема об устранимой особой точке.

Изолированные особые точки однозначного характера; классификация изолированных особых точек однозначного характера по поведению функции и ряду Лорана; полюс, порядок полюса; существенная особая точка, теорема СохоцкогоВейерштрасса, понятие о теореме Пикара; бесконечно удаленная точка как особая.

Вычеты, принцип аргумента: определение вычета, теоремы Коши о вычетах, вычисления вычетов; применения вычетов; логарифмический вычет, принцип аргумента; теорема Руше и теорема Гурвица.

Отображения посредством аналитических функций: принцип открытости и принцип области; теорема о локальном обращении; однолистные функции, критерий локальности однолистности и критерий конформности в точке, достаточное условие однолистности (обратный принцип соответствия границ); дробно-линейность однолистных конформных отображений круговых областей друг на друга; теорема Римана (без доказательства) и понятие о соответствии границ при конформном Аналитическое продолжение: аналитическое продолжение по цепи и по кривой;

полная аналитическая функция в смысле Вейерштрасса, ее риманова поверхность и особые точки; теорема о монодромии; аналитическое продолжение через границу области, принцип симметрии. Целые и мероморфкые функции: целые функции, их порядок и тип; произведение Вейерштрасса; мероморфные функции; функции, мероморфные в расширенной плоскости.

Гармонические функции на плоскости: гармонические функции, их связь с аналитическими функциями; бесконечная дифференцируемость гармонических функций; аналитичность комплексно сопряженного градиента; теорема о среднем, теорема единственности и принцип максимума-минимума; инвариантность гармоничности при голоморфной замене переменных; теорема Лиувилля и теорема Харнака об устранимой особой точке; интегралы Пуассона и Шварца; разложение гармонических функций в ряды, связь с тригонометрическими рядами; задача гидромеханическое истолкование гармонических и аналитических функций.

Вывод уравнений колебаний струны, теплопроводности, Далласа; постановка краевых задач, их физическая интерпретация.

Теорема Коши-Ковалевской; понятия характеристического направления, характеристики; приведение к каноническому виду и классификация линейных уравнений с частными производными второго порядка.

Волновое уравнение; энергетические неравенства; единственность решения задачи Коши и смешанной задачи; вывод формул Кирхгофа и Пуассона, исследование этих формул; метод Фурье для уравнения колебаний струны, общая Уравнения Далласа и Пуассона; формулы Грина; фундаментальное решение оператора Далласа; потенциалы; свойства гармонических функций; единственность решений основных краевых задач для уравнения Далласа ; функция Грина задачи Дирихле; решение задачи Дирихле для уравнения Далласа в шаре; единственность решения внешней задачи Дирихле; обобщенные решения краевых задач.

Уравнение теплопроводности; принцип максимума в ограниченной области и единственность решения задачи Коши; построение решения задачи Коши для уравнения теплопроводности.

Понятие корректной краевой задачи; примеры корректных и некорректных Статистические модели и основные задачи статистического анализа, примеры; экспоненциальные семейства; статистическое оценивание, методы оценивания; неравенство информации; достаточные статистики; условное распределение, условное математическое ожидание; улучшение несмещенной оценки посредством усреднения по достаточной статистике; полные достаточные статистики; наилучшие несмещенные оценки; теорема факторизации; линейная регрессия с гауссовыми ошибками; факторные модели; общие линейные модели;

достаточные статистики в линейных моделях; метод наименьших квадратов, ортогональные планы; анализ одной нормальной выборки, доверительные интервалы; проверка статистических гипотез, основные понятия; лемма НейманаПирсона; равномерно наиболее мощные критерии, примеры; проверка линейных гипотез в линейных моделях; критерий К.Пирсона «хи-квадрат»; оценки наибольшего правдоподобия, состоятельность; понятие асимптотической нормальности случайной последовательности; асимптотическая нормальность стабилизирующих экспертные оценки Определение случайного процесса, конечномерные распределения;

траектории; теорема Колмогорова о существовании процесса с заданным семейством конечномерных распределений (без доказательства). Классы случайных процессов: гауссовские, марковские, стационарные, точечные с независимыми приращениями; примеры; соотношения между классами. Свойства многомерных гауссовских процессов; существование гауссовского процесса с заданным средним и корреляционной матрицей; свойства симметрии и согласованности. Винеровский процесс; критерий Колмогорова непрерывности траектории; следствие для гауссовских процессов. Пуассоновский процесс; построение пуассоновского процесса по последовательности независимых показательных распределений;

определение Хинчина пуассоновского процесса. Среднеквадратическая теория:

необходимые и достаточные условия непрерывности, дифференцируемости и интегрируемости; стохастический интеграл; процессы с ортогональными приращениями. Пример стационарного, гауссовского, марковского процесса;

примеры стационарных в широком смысле процессов. Цепи Маркова с непрерывным временем; уравнение Колмогорова-Чепмэна; прямые и обратные дифференциальные уравнения Колмогорова; время пребывания процесса в данном состоянии. Процессы гибели и размножения; связь с теорией массового обслуживания; применение к расчету пропускной способности технических систем.

Комбинаторика и графы: выборки, перестановки, сочетания, перестановки с повторениями; сочетания с повторениями; биномиальные коэффициенты, их свойства; биномиальная теорема; полиномиальная теорема; формула включения и *Производящие функции и рекуррентные соотношения.

Графы: основные понятия; способы представления графов, перечисление графов;

оценка числа неизоморфных графов с ц ребрами; эйлеровы циклы; теорема Эйлера; укладки графов; укладка графов в трехмерном пространстве; планарность;

формула Эйлера для плоских графов; деревья и их свойства; оценка числа неизоморфных корневых деревьев с д ребрами.

*Теорема Кюли о числе деревьев на нумерованных вершинах.

Потоки в сетях: теорема Форда-Фалкерсона о максимальном потоке и минимальном разрезе; алгоритм нахождения максимального потока; теорема о целочисленности; задача о назначениях; паросочетания; теорема Холла о паросочетаниях в двудольном графе.

минимального основного дерева; метод ветвей и границ.

Булевы функции: булевы функции; табличный способ задания; существенные и несущественные переменные; формулы; эквивалентность формул; элементарные функции и их свойства; разложение функций по переменной; совершенная дизъюнктивная нормальная форма; полные системы функций; полиномы Жегалкина; представление булевых функций полиномами.

Замыкание; свойства операции замыкания; замкнутые классы; Классы То и Ть линейные функции; лемма о нелинейной функции; самодвойственные функции;

принцип двойственности; лемма о несамодвойственной функции; монотонные функции; лемма о немонотонной функции; теорема о неполноте систем функций алгебры логики; предполные классы; базисы; примеры базисов.

*Дизъюнктивные нормальные формы (ДНФ); тупиковая, минимальная и сокращенная ДНФ; геометрическая интерпретация; алгоритм нахождения всех минимальных ДНФ; свойство сокращенной ДНФ для монотонных булевых функций; методы построения сокращенной ДНФ; градиентный алгоритм;

Функции к- значной логики; элементарные функции; полнота системы {О, 1,..., kJ0 (х), J1 (х),..., Jk-1 (х), maх (х, у), min (х, у)}; полнота систем {mах(х, у), х+1}, Vk(х, у)}; алгоритм распознавания полноты конечных систем функций в Рk;

представление функций из Рk полиномами.

Особенности функций к- значной логики; пример замкнутого класса в Рk не имеющего базиса; пример замкнутого класса в Рk, имеющего счетный базис;

пример континуального семейства замкнутых классов в Рk.

*Теорема Кузнецова о функциональной полноте в Рk ; существенные функции;

Теория кодирования: побуквенное кодирование; разделимые коды; префиксные коды; критерий однозначности декодирования; неравенство Крафта-Макмиллана для разделимых кодов; условие существования разделимого кода с заданными длинами кодовых слов; оптимальные коды; методы построения оптимальных кодов; метод Хафмана; самокорректирующиеся коды; коды Хэмминга, исправляющие единичную ошибку.

Линейные коды и их простейшие свойства; коды Боуза-Чоудхури.

Синтез и сложность управляющих систем: схемы из функциональных элементов; сложность схем; синтез схем из функциональных элементов для индивидуальных функций; схемы сложения и умножения п-разрядных чисел;

простейшие универсальные методы синтеза; метод Шеннона; мощностный метод получения низких оценок сложности; функция Цcфэ(n); порядок роста функции *Асимптотически наилучший метод синтеза схем из функциональных элементов в базисе {V, &, -}; асимптотика функции Цcфэ(n); контактные схемы; простейшие методы синтеза; контактное дерево; универсальный многополюсник; метод Шеннона для контактных схем; функция Цс(n); порядок роста функции Цс(n);

*Нижняя оценка сложности линейной функции в классе контактных схем (метод Ограниченно-детерминированные функции:

Детерменированные функции; задание детерменированных функций при помощи деревьев; вес функций; ограниченно-детерменированные функции (ОДФ);

задание ОДФ диаграммами переходов и каноническими уравнениями; конечные автоматы; автоматные функции; состояние автомата; эквивалентность состояний;

теорема об эквивалентности состояний конечного автомата.

*Эквивалентность автоматов; построение автомата, эквивалентного данному, с минимальным числом состояний.

Преобразование автоматными функциями периодических последовательностей;

операция суперпозиции; отсутствие полных относительно операции суперпозиции конечных систем автоматных функций; схемы из логических элементов и элементов задержки; реализация автоматных функций; события; операции над событиями; регулярные события и их представимость в автоматах; теорема Клини.

*Регулярные выражения; представимость событий регулярными выражениями;

пример нерегулярного события.

ОПД.Ф.17 ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

Элементы дифференциального исчисления и выпуклого анализа; гладкие задачи с равенствами и неравенствами; правило множителей Лагранжа; задачи линейного программирования и проблемы экономики; теорема двойственности; классическое вариационное исчисление; уравнение Эйлера; условия второго порядка Лежандра и Якоби; задачи классического вариационного исчисления с ограничениями;

необходимые условия в изопериметрической задаче и задаче со старшими производными; классическое вариационное исчисление и естествознание; оптимальное управление; принцип максимума Понтрягина; оптимальное управление и задачи техники; методы решения задач линейного программирования; симплекс-метод;

методы решения задач без ограничения; градиентные методы; метод Ньютона;

методы сопряженных направлений; численные методы решения задач вариационного исчисления и оптимального управления.

Предмет курса; краткий исторический обзор развития теории чисел; основные направления исследований и основные методы; влияние теории чисел на развитие других разделов математики; применение теоретико-числовых результатов в математике и ее приложениях; роль русских и советских математиков в развитии теории чисел; простые числа: свойства делимости целых чисел; простые числа;

решето Эратосфена; теорема Евклида о бесконечности множества простых чисел;

основная теорема арифметики о разложении целых чисел на простые сомножители;

наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное ; некоторые частные случаи теоремы Дирихле о бесконечности множества простых чисел в арифметической прогрессии; арифметические функции; целая и дробная часть числа; разложение числа п! на простые множители; суммы, распространенные на делители числа; мультипликативные функции; функция Эйлера и ее свойства; сумма делителей и число делителей; оценки Чебышева для функции числа простых чисел, не превосходящих х ; цепные дроби; конечные цепные дроби; подходящие дроби и их свойства; нахождение наибольшего общего делителя с помощью цепных дробей;

бесконечные цепные дроби; разложение действительных чисел в цепные дроби;

приближение действительных чисел рациональными числами; подходящие дроби как наилучшие приближения; признак иррациональности числа; иррациональность числа "е"; теорема Лагранжа о разложении квадратичных иррациональностей в цепные дроби; числовые сравнения: сравнения и их основные свойства; вычеты и классы вычетов по модулю т; кольца классов вычетов; полная система вычетов;

приведенная система вычетов; теорема Эйлера и Ферма; сравнения первой степени:

сравнения с одним неизвестным; равносильные сравнения; решения сравнения;

сравнения первой степени; теорема о существовании решений; простейшие приемы решений; решение сравнений с помощью цепных дробей; системы сравнений, их решения; теоремы о решении систем сравнений первой степени; сравнения п-ой степени: сравнения п-ой степени по простому модулю; теоремы о равносильности сравнений; теорема о числе решений сравнения; теорема Вильсона; сравнения п-ой степени по составному модулю; сведение сравнения по составному модулю к системе сравнений по простому модулю; сравнения второй степени: сведение сравнений второй степени к двучленному сравнению; двучленные сравнения по простому модулю; квадратичные вычеты и невычеты; число решений сравнения;

критерий Эйлера для квадратичных вычетов и невычетов; символ Лежандра и его свойства; закон взаимности квадратичных вычетов; сравнения второй степени по составному модулю; первообразные корни и индексы; показатель числа по модулю т;

свойства показателей; теорема о существовании первообразного корня по простому модулю; первообразные корни по модулям р и 2р ; теорема об отыскании первообразных корней; индексы по модулям р и 2р ; таблицы индексов; двучленные сравнения п-ой степени; существование решений; степенные вычеты и невычеты п-ой и степени; число степенных вычетов; критерий для отыскания степенных вычетов;

решение двучленных сравнений с помощью вычетов; решение показательных сравнений; условие принадлежности числа показателю и, в частности, к классу первообразных корней; число классов принадлежащих показателю; число классов первообразных корней; арифметические приложения теории сравнений: отыскание остатков от деления некоторого числа на заданное число; установление признаков делимости чисел; понятие об алгебраических и трансцендентных числах:

алгебраические и трансцендентные числа; теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел рациональными числами; существование трансцендентных ОПД.Р.00 Региональный (вузовский) компонент, в том числе по выбору студентов Мера плоских множеств. Мера элементарных множеств. Мера Лебега плоских множеств. Измеримость неограниченных множеств. Лебегово продолжение меры, Измеримые функции, свойства, сходимость последовательностей измеримых функций. Поточечная сходимость, сходимость по мере.

Интеграл Лебега. Простые функции, измеримость простых функций, интеграл Лебега от произвольной измеримой функции. Свойства интеграла Лебега.

Теоремы Лебега, Леви, Фату. Теорема Фубини. Интеграл по множеству бесконечной меры. Интеграл Лебега с переменным верхним пределом и его свойства.

Абсолютная непрерывность. Интеграл Стилтьеса.

Сходимость в пространстве Д-основных функций. Регулярные обобщенные функции класса Д. Сходимость в пространстве Д-функций. Пространство обобщенных функций медленного роста. Сверстка обобщенных функций.

Непрерывность операции сверстки. Свойства прямого и обратного преобразований Фурье обобщенных функций медленного роста.

ФРАКТАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ОПД.В. Основы фракталов: обратная связь и итерация; принцип обратной связи; основные типы процессов обратной связи; побочный эффект малых возмущений;

устойчивость вычислений. Классические фракталы и самоподобие: множество Кантора; фракталы Серпинского; кривая Коха; кривые, заполняющие плоскость;

фракталы и проблемы размерности; фрактальные кривые и рекурсии. Множества Жюлиа и Мандельброта и их компьютерное построение. Динамические процессы.

Бифуркации. Динамики Ферхюльста. Диаграмма Фейгенбаума. Число Фейгенбаума и его универсальность. Фрактальная графика. Кодирование изображений с помощью простых преобразований. Фрактальное сжатие изображений. IFS-фракталы. Декодирование сжатых изображений.

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТОПОЛОГИЯ-

Топологическое пространство. Функции на топологическом пространстве.

Индуцированная топология. Фактор-топология, группы, действующие на пространствах. Хаусдорфовы пространства. Гомотопия непрерывных отображений.

Фундаментальные группы

ДОП. ГЛАВЫ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ

ПРОИЗВОДНЫМИ

Курс «Дополнительные главы дифференциальных уравнений с частными производными» посвящен методам исследования вопросов корректности математических моделей естественнонаучных явлений, которые приводят к задачам для дифференциальных уравнений с частными производными.

Теоретической основой таких методов является функциональный анализ, обобщенные функции и пространства Соболева.

БАЗЫ ДАННЫХ В ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМАХ

организация баз данных; модели данных; основные функции поддержки баз данных; языки запросов, представление знаний; экспертные системы.

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТОПОЛОГИЯ-

Топологическое пространство. Функции на топологическом пространстве.

Индуцированная топология. Фактор-топология, группы, действующие на пространствах. Хаусдорфовы пространства. Гомотопия непрерывных отображений.

Фундаментальные группы

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГРУПП ЛИ

Определение группы Ли. Примеры. Матричные группы Ли. Примеры.

Матричная экспонента. Однопараметрические подгруппы. Нормальные координаты.

Алгебра Ли группы Ли. Определение алгебры Ли. Примеры. Левые и правые сдвиги на группе Ли. Левоинвариантные векторные поля и их свойства. Алгебра Ли группы Ли. Примеры алгебр Ли матричных групп. Алгебра Ли группы вращений трехмерного пространства. Структурные константы алгебры Ли.

Левоинвариантные формы на группе Ли и их свойства. Каноническая форма Маурера-Картана. Структурное уравнение группы Ли. Экспоненциальное отображение алгебры Ли. Однопараметрические подгруппы. Нормальные координаты на группе Ли. Гомоморфизмы групп Ли. Накрывающие пространства Подгруппы Ли. Элементы представлений. Инвариантные подпространства.

Неприводимые, вполне приводимые пространства. Теорема Шура. Матричные элементы представлений. Присоединенное представление. Форма КиллингаКартана. Пример. Полупростые алгебры Ли. Разрешимые и нильпотентные алгебры Ли. Структура полупростых алгебр Ли. Подалгебра Картана. Корни

ОПД.В.02 КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Качественная теория дифференциальных уравнений – это раздел классической теории дифференциальных уравнений, основным методом которой является изучение качественных свойств поведения дифференциальных уравнений без непосредственного построения самих решений. В этом и состоит значимость данной учебной дисциплины, поскольку известно, что явное аналитическое представление решения возможно только для очень узкого класса дифференциальных уравнений и систем. Настоящий курс посвящен вопросам исследования на устойчивость решений систем дифференциальных уравнений, изучения качественного поведения траекторий автономных систем в окрестности ее точек покоя, бифуркации точек покоя и циклов автономных систем дифференциальных уравнений. Эти вопросы имеют важное прикладное значение связанное с устойчивостью реальных объектов, моделируемых системами дифференциальных уравнений.

ОБРАБОТКА ТЕКСТОВОЙ ИНФОРМАЦИИ.

Сравнительное описание различных систем, используемых для подготовки текстов естественно-научного характера. Команды, структуры и приемы оформления текстов в Латехе. Форматирование математических формул.

Оформление таблиц, рисунков, графики. Управление размерами и типами шрифтов. Оформление библиографии и ссылок на ее элементы. Способы поиска и исправления ошибок. Способы перекодировки материалов, приготовленных в различных форматах и программах.

КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ГРУППЫ

Одними из интересных и важных примеров групп являются группы симметрий бесконечных фигур на плоскости или в пространстве. Бордюры, орнаменты, кристаллы – доставляют нам примеры таких фигур, группы симметрий которых представляют собой важный пример групп, называемых в литературе (плоскими) кристаллографическими группами.

Целью специального курса является изложение основных понятий и методов кристаллографических групп. При этом рассматривается только плоский случай.

Это, тем не менее, позволяет продемонстрировать основные идеи теории кристаллографических групп.

Курс рассчитан на студентов математиков, прослушавших курсы алгебры, аналитической геометрии, линейной алгебры и геометрии, спецкурс по теории групп, проходящих специализацию по алгебре и геометрии.

Практических или лабораторных занятий по этому курсу не предусматривается, однако для контроля знаний студентов и для приобретения практических навыков предполагается регулярные задания для самостоятельной

ОСНОВЫ ТЕОРИИ НЕЙРОННЫХ СЕТЕЙ

Теория нейронных сетей является одним из разделов науки об искусственном интеллекте. Искусственные нейронные сети стали развиваться с развитием вычислительной техники и появлением новых знаний о биологической структуре головного мозга. Методы теории нейронных сетей, позволяют частично использовать принципы обработки информации, свойственные человеческому мозгу. Нейронные сети успешно применяются для анализа и прогнозирования на финансовом рынке, построения систем медицинской диагностики, в робототехнике и в системах управления. Нейронные сети применяются везде, где невозможно построить четкий алгоритм решения задачи: выделение отдельных элементов изображения, распознавание текста, предсказание погоды, сочинение

МЕТОДЫ СЛАБОЙ АППРОКСИМАЦИИ РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Данный курс посвящается методам построения и математического анализа численного решения прикладных задач. Этот метод является одним из основных экономичных разностных схем.

СПЕЦИАЛЬНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Курс «Специальные математические модели» построен с позиции моделирования физических задач. При изучении данной дисциплины необходимым является владение основными методами уравнений дифференциальных уравнений и численного анализа; также является знакомство с методами моделирования объектов, рассматриваемых в различных областях практических знаний: механики, экологии и динамики популяций, теплопроводности, химической кинетики, и методам анализа этих моделей с помощью пакетов прикладных программ.

ДИСЦИПЛИНЫ СПЕЦИАЛИЗАЦИИ

Специализации являются частью специальности 010101-Математика и предполагают получение более углубленных профессиональных знаний, умений и навыков в конкретных областях химии. Программы дисциплин по специализациям предусматривают углубленное изучение предметов, связанных с будущей профессиональной деятельностью математиков Математический факультет КемГУ ведет подготовку специалистов по 3 специализациям, указанным в Перечне специализаций, 010101 – Математика:

01010101 - «Математический анализ»

01010102-«Алгебра»;

01010119- «Математическое моделирование»

Основными научными направлениями кафедры является: Теория функций комплексного переменного, римановы поверхности, Дифференциальные уравнения в частных производных, структуры на многообразиях. Использование систем компьютерной математики MATLAB, Maple.

Первое направление научной работы кафедры, геометрическая теория функций комплексного переменного, развивается д.ф.-м.н, профессором В.В. Чуешевым, к.ф.-м.н., доцентом В.А. Синевым и старшим преподавателем О.А. Сергеевой. Направления научной работы: римановы поверхности, дифференциалы Прима, точки Вейерштрасса. На кафедре ведется научный семинар для аспирантов и студентов старших курсов.

Второе направление, дифференциально-геометрические структуры на многообразиях, развивается д.ф.м.н, профессором Н.К. Смоленцевым, к.ф.-м.н., доцентом В.Б. Кимом, к.ф.-м.н., доцентом Н.А. Даурцевой и к.ф.-м.н, Е.С. Корневым. Направления научной работы: бесконечномерные многообразия, возникающие в дифференциальной геометрии, пространства римановых структур, пространства почти комплексных структур на многообразии, пространства однородных метрик и почти комплексных структур. На кафедре ведется научный семинар для аспирантов и студентов старших курсов.

Третье направление, дифференциальные уравнения в частных производных, развивается к.ф.-м.н., доцентом В.А. Шалаумовым, к.ф.-м.н., доцентом Н.А. Чуешевой, к.ф.-м.н., доцентом В.А. Еськовой, к.ф.м.н., А.В. Чуешевым. Направления научной работы: неклассические дифференциальные уравнения в частных производных, дифференциальные уравнения с малым параметром. На кафедре ведется научный семинар для студентов старших курсов.

В последнее время на кафедре стало складываться новое направление, связанное с компьютерной графикой и приложениями теории вейвлетов к анализу сигналов. На кафедре также читаются курсы по компьютерной математике.

Дисциплины специализации «Математический анализ».

1. Анализ на многообразиях.

Линейное пространство и сопряженное к нему. Отображения линейных пространств.

Индуцированный линейный оператор. Билинейные формы. Базис пространства L2(V).

Кососимметрические 2-формы. Базис пространства 2(V). Полилинейные формы.

Тензорное произведение. Базис пространства Lp(V). Косые p-формы. Альтернация форм и ее свойства. Внешнее произведение. Базис пространства p(V). Сопряжённые отображения пространств p-форм и их свойства. Тензоры. Тензоры в евклидовом пространстве. Пространства TRn и T*Rn. Тензорные поля в области евклидова пространства. Векторные поля, скобка Ли. Локальные однопараметрические группы локальных преобразований, порождаемые векторными полями. Метрический тензор, римановы пространства, ковариантная производная, символы Кристоффеля.

Дифференциальные p-формы в области евклидова пространства. Внешний дифференциал. Производная Ли тензора. Производная Ли векторного поля и дифференциальной формы.

2. Асимптотические методы.

Основные асимптотические соотношения "о", "О", "~". Асимптотические последовательности. Асимптотические ряды. Степенные асимптотические ряды.

Равномерно сходящиеся асимптотические ряды. Асимптотика интегралов. Принцип локализации. Асимптотика канонических интегралов. Регулярно зависящие от параметра краевые задачи. Алгебраические уравнения и краевые задачи, регулярно зависящие от параметра. Сингулярно зависящие от параметра краевые задачи.

Алгебраические уравнения и краевые задачи, сингулярно зависящие от параметра.

Метод пограничного слоя построения равномерных асимптотических разложений некоторых краевых задач сингулярно зависящих от малого параметра.

3. Дифференцируемые многообразия.

Группы Ли. Матричные группы Ли. Матричная экспонента. Однопараметрические подгруппы. Нормальные координаты. Алгебра Ли группы Ли. Левые и правые сдвиги на группе Ли. Левоинвариантные векторные поля. Алгебра Ли группы вращений трехмерного пространства. Структурные константы алгебры Ли. Левоинвариантные формы на группе Ли и их свойства. Каноническая форма Маурера-Картана. Структурное уравнение группы Ли. Экспоненциальное отображение алгебры Ли.

Однопараметрические подгруппы. Нормальные координаты на группе Ли.

Гомоморфизмы групп Ли. Накрывающие пространства. Подгруппы Ли. Инвариантные подпространства. Неприводимые, вполне приводимые пространства. Теорема Шура.

Матричные элементы представлений. Присоединенное представление. Форма КиллингаКартана. Группа SU(2). Полупростые алгебры Ли. Разрешимые и нильпотентные алгебры Ли. Структура полупростых алгебр Ли. Подалгебра Картана.

4. Римановы многообразия.

Линейные связности. Тензоры кручения и кривизны линейной связности и их свойства.

Выражения связности, тензоров кручения и кривизны в локальных координатах.

Тождество Бьянки. Параллельный перенос линейной связности. Римановы многообразия. Риманова структура. Риманова связность. Связность Леви-Чевита, ее существование. Геодезические и нормальные координаты. Тензор Риччи и скалярная кривизна. Секционная кривизна. Эйнштейновы метрики. Конформно эквивалентные метрики. Подмногообразия в Rn. Иммерсии и вложения. Гиперповерхности в Rn.

Первая и вторая фундаментальные формы. Формулы Гаусса и Вейнгартена. Геометрия групп Ли. Левоинвариантные метрики. Выражение символов Кристоффеля через структурные константы. Кривизны левоинвариантной метрики.

5. Комплексные многообразия.

Комплексное пространство Cn. Голоморфные функции. Плюригармонические функции.

Теорема Лиувилля. Теорема Хартогса. Голоморфные и биголоморфные отображения.

Комплексные многообразия. Дифференциальные формы на многообразии. Формула Стокса. Внешний дифференциал. Теорема Коши-Пуанкаре. Формулы МартинеллиБохнера и Лере. Лемма Вейля. Фундаментальные группы и накрытия. Римановы поверхности – определение и примеры. Группа гомологий и фундаментальная группа на римановой поверхности. Клейновы группы. Униформизация римановых поверхностей. Универсальная накрывающая поверхность. Фуксовы группы. Функции и абелевы дифференциалы на компактной римановой поверхности. Периоды абелевых дифференциалов. Дивизоры. Теорема Римана-Роха. Теорема Вейерштрасса о пробелах на компактной римановой поверхности. Многообразия Якоби. Теорема Абеля.

Проблема обращения Якоби. Гиперэллиптические римановы поверхности. Линейные системы дивизоров и их базисные точки. Тэта-функция Римана. Точки Вейерштрасса на компактной римановой поверхности.

6. 1С Программирование, конфигурирование, администрирование.

Язык программирования 1С. Компонентная организация системы "1С: Предприятие" Аппаратный ключ защиты.Подключение новой информационной базы к системе.

Дерево метаданных. Программный модуль. Глобальный модуль. Процедуры и функции программного модуля. Базовые типы данных. Область использования переменной.

Управляющие операторы, системные процедуры и функции языка 1С. Константы, перечисления и справочники. Отчеты и печатные формы. Формирование диаграммы.

Конструктор печати. Редактор таблиц. Бухгалтерский учет. Шаблон кода счета. Объект "Счет", "Оперативный учет" и "Расчет". Оборотный регистр и регистр остатков.

Работа с документами и формами. Работа с отладчиком. Таблица значений, оборотно-сальдовая ведомость, регламентированные отчеты.

7. Дополнительные главы ДУ в частных производных.

Квазилинейное уравнение с частными производными первого порядка; метод характеристик; нелинейные волны и явление "градиентной катастрофы". Сильные и слабые разрывы в решениях. Условия Рэнкина-Гюгонио. Законы сохранения и проблема единственности решения задачи Коши. Обобщенное решение сильного разрыва (ударной волны). Нелинейное уравнение первого порядка с двумя независимыми переменными. Конус Монжа. Полный, общий и особый интегралы. Характеристика.

Задача Коши. Инварианты Римана. Системы нормального вида. Касательные преобразования Лежандра и Коула-Хопфа. Дифференциальная факторизация;

преобразования Лапласа.

8. Вычислительная геометрия.

Алгоритмические основы. Структуры данных. Задачи вычислительной геометрии.

Геометрический поиск. Задачи локализации точки. Принадлежность Многоугольнику.

Объектно-ориентированное программирование. Объекты, классы и абстрактные типы данных. Передача сообщений. Наследование. Полиморфизм. Построение объектной модели. Язык С++. Рекурсия. Указатели и ссылки. Массивы. Символьные строки. Поиск в массивах: Линейный и двоичный поиск. Структуры и функции. Классы. Конструктор и деструктор.

9. Приложение конечных антогонистических игр.

Формализация принятия решений. Предмет и постановка исследования операций.

Определение и классификация игр. Развернутая и нормальная форма игры. Теория матричных игр. Принцип минимакса. Смешанные стратегии. Смешанное расширение игры. Спектр смешанной стратегии. Теорема о минимаксе. Доминирование. Решение игр 22. Линейное программирование. Итеративный метод Брауна-Робинсон.

Планирование посева. Поставка товара. Проведение профилактических мероприятий.

Планирование побочной продукции. Распределение поисковых усилий.

10. Функциональные уравнения.

Функциональные уравнения. Метод подстановки решения функциональных уравнений, не содержащих свободных переменных. Решение функциональных уравнений в классе непрерывных и дифференцируемых функций. Решение функциональных уравнений в классе функций натурального аргумента. Метод подстановки. Метод Коши.

Элементарные функции: линейная функция, показательная функция, степенная функция, тригонометрические функции.

11. Дополнительные главы ТФКП Целые и мероморфные функции, формула Кристоффеля – Шварца, проблема коэффициентов, уравнение Левнера, метод Куфарева.

На кафедре работают специалисты по следующим направлениям: теория групп, графы Кэли, группы автоморфизмов бесконечных структур, геометрическая теория уравнений в частных производных, дифференциальная геометрия многообразий. Эти направления являются актуальными в современной математике. Специализация студентов по этим направлениям является важной и нужной.

Название дисциплин специализации «алгебра»:

Теория групп- Определения и примеры. Гомоморфизм групп. Подгруппы.Циклические группы. Смежные классы.Нормальные подгруппы. Прямые произведения групп. Конечные абелевы группы. Действия групп на множествах. Теоремы Силова. Простые группы. Группы четных подстановок. Автоморфизмы групп. Графы.

Теория групп- Графы Кэли.Свободные группы. Нильпотентные группы.Разрешимые группы. Простые группы.

Метод внешних форм Картана Внешние формы. Внешние диффеенциальные формы. Внешние алгебраические системы. Внешние дифференциальные системы уравнений. Приложения.

Линейчатая геометрия Метод подвижного репера Линейчатые поверхности. Линейчатые конгруэнции. Лиенйчатые комплексы.

Теория графов Основные понятия. Метрические свойства графов. Независимость и доминирование. Гамильтоновы графы.

Разложения графов. Раскраски. Симметрия графов.

Воспитание интереса к математике Проблема воспитания интереса к математике на уроке.Необходимые условия и антистимулы. Поиск способов заинтересовать учащихся при изучении конкретных тем школьной математики.

Конечные геометрии Линейные пространства. Аффинные и проективные геометрии. Системы Штейнера.

Геометрия Лобачевского "Начала" Евклида. Аксиомы связи. Аксиомы порядка. Аксиомы конгруэнтности. Аксиома параллельности.Непротиворечивость, полнота и минимальность системы аксиом Гильберта. Аксиома Лобачевского и множественность параллельных. Параллельные по Лобачевскому. Свойства параллельных по Лобачевскому. Функция параллельности. Непротиворечивость геометрии Лобачевского.