«И. В. Яковлев Физика Перед вами электронное пособие по физике, охватывающее всю школьную программу и, соответственно, все темы кодификатора ЕГЭ по физике. Цель данного пособия обеспечить школьникам исчерпывающую ...»

Согласно этому правилу имеем, например:

1. Дифференцирование суммы. (u + v) = u + v (производная суммы равна сумме производных ).

Так, применяя правила 0 и 1, находим:

(производная константы 10 равна нулю!).

2. Дифференцирование произведения. (uv) = u v + uv.

Вот пример дифференцирования произведения:

А вот как получается правило 0:

поскольку c = 0.

3. Дифференцирование частного.

Правило дифференцирования частного позволяет найти, например, производную тангенса:

Нам осталось обсудить последнее правило дифференцирование сложной функции. Мы сначала объясним, что такое сложная функция, затем продемонстрируем правило дифференцирования на примерах, и только потом когда станет ясно, как оно работает дадим формулировку этого правила. Пусть, например, u(x) = sin x и v(x) = x. Давайте сначала извлекать корень из x (то есть применять к x функцию v), а потом брать синус полученного числа (то есть действовать на полученное число v(x) функцией u). Тогда возникает функция:

Это и есть сложная функция, или композиция функций u и v. Идея понятна: число x поступает на вход первой функции v, а полученное число v(x) поступает на вход второй функции u.

Можно, наоборот, сделать u первой функцией, а v второй. Тогда сначала от x будет вычисляться синус, а потом из синуса извлекаться корень. Получится другая сложная функция:

Дифференцирование сложной функции это как снятие листов с кочана капусты. Сначала находим производную второй ( внешней ) функции и умножаем её на производную первой ( внутренней ) функции. Применительно к нашим примерам это выглядит так:

Приведём для ясности ещё один пример:

Понятно, как работает правило? Тогда формулировка.

4. Дифференцирование сложной функции. [u(v(x))] = u (v(x))v (x).

1.1.6 Обозначения производной в физике Переходя к физическим приложениям производной, мы будем использовать несколько иные обозначения те, которые приняты в физике.

Во-первых, меняется обозначение функций. В самом деле, какие функции мы собираемся дифференцировать? Этими функциями служат физические величины, зависящие от времени.

Например, координата тела x(t) и его скорость v(t) могут быть заданы формулами:

Таким образом, аргументом функции теперь является время t, а буква x отныне обозначает функцию координату точки.

Во-вторых, меняется обозначение производной. Штрих в физике зарезервирован для других целей, и вместо него мы используем точку над буквой:

(читается икс с точкой ).

Имеется ещё одно обозначение производной, очень распространённое как в математике, так и в физике:

(читается дэ икс по дэ тэ ).

Остановимся подробнее на смысле обозначения (1.16). Математик понимает его двояко либо как предел:

либо как дробь, в знаменателе которой стоит приращение времени dt, а в числителе так называемый дифференциал dx функции x(t). Понятие дифференциала не сложно, но мы не будем его сейчас обсуждать; оно ждёт вас на первом курсе.

Физик, не скованный требованиями математической строгости, понимает обозначение (1.16) более неформально. Пусть dx есть изменение координаты за время dt. Возьмём интервал dt настолько маленьким, что отношение dx/dt близко к своему пределу (1.17) с устраивающей нас точностью.

И тогда, скажет физик, числителе которой стоит достаточно малое изменение координаты dx, а в знаменателе достаточно малый промежуток времени dt, в течение которого это изменение координаты произошло.

Такое нестрогое понимание производной характерно для рассуждений в физике. Далее мы будем придерживаться именно этого физического уровня строгости.

Производная x(t) физической величины x(t) снова является функцией времени, и эту функцию снова можно продифференцировать найти производную производной, или вторую производную функции x(t). Вот одно обозначение второй производной:

(читается икс с двумя точками ), а вот другое:

(читается дэ два икс по дэ тэ квадрат или дэ два икс по дэ тэ дважды ).

Давайте вернёмся к исходному примеру (1.13) и посчитаем производную координаты, а заодно посмотрим на совместное использование обозначений (1.15) и (1.16):

(Символ дифференцирования dt перед скобкой это всё равно что штрих сверху за скобкой в прежних обозначениях.) Обратите внимание, что производная координаты оказалась равна скорости (1.14). Это не случайное совпадение. Связь производной координаты со скоростью тела будет выяснена в следующем разделе Механическое движение.

1.1.7 Предел векторной величины Физические величины бывают не только скалярными, но и векторными. Соответственно, часто нас интересует скорость изменения векторной величины то есть, производная вектора. Однако прежде чем говорить о производной, нужно разобраться с понятием предела векторной величины.

Рассмотрим последовательность векторов u1, u2, u3,... Сделав, если необходимо, параллельный перенос, сведём их начала в одну точку O (рис. 1.5):

Концы векторов обозначим A1, A2, A3,... Таким образом, имеем:

Предположим, что последовательность точек A1, A2, A3,... втекает в точку B:

Обозначим v = OB. Мы скажем тогда, что последовательность синих векторов un стремится к красному вектору v, или что вектор v является пределом последовательности векторов un :

Вполне достаточно интуитивного понимания этого втекания, но вас, быть может, интересует более строгое объяснение? Тогда вот оно.

Пусть дело происходит на плоскости. Втекание последовательности A1, A2, A3,... в точку B означает следующее: сколь бы малый круг с центром в точке B мы ни взяли, все точки последовательности, начиная с некоторой, попадут внутрь этого круга. Иными словами, вне любого круга с центром B имеется лишь конечное число точек нашей последовательности.

А если дело происходит в пространстве? Определение втекания модифицируется незначительно: нужно лишь заменить слово круг на слово шар.

Предположим теперь, что концы синих векторов на рис. 1.5 пробегают не дискретный набор значений, а непрерывную кривую (например, указанную пунктирной линией). Таким образом, мы имеем дело не с последовательностью векторов un, а с вектором u(t), который меняется со временем. Это как раз то, что нам и нужно в физике!

Дальнейшее объяснение почти такое же. Пусть t стремится к некоторому значению t0. Если при этом концы векторов u(t) втекают в некоторую точку B, то мы говорим, что вектор v = OB является пределом векторной величины u(t):

1.1.8 Дифференцирование векторов Выяснив, что такое предел векторной величины, мы готовы сделать следующий шаг ввести понятие производной вектора.

Предположим, что имеется некоторый вектор u(t), зависящий от времени. Это означает, что длина данного вектора и его направление могут меняться с течением времени.

По аналогии с обычной (скалярной) функцией вводится понятие изменения (или приращения) вектора. Изменение вектора u за время t есть векторная величина:

Обратите внимание, что в правой части данного соотношения стоит разность векторов. Изменение вектора u показано на рис. 1.6 (напомним, что при вычитании векторов мы сводим их начала в одну точку, соединяем концы и укалываем стрелкой тот вектор, из которого производится вычитание).

Если промежуток времени t достаточно мал, то и вектор u за это время меняется мало (в физике, по крайней мере, так считается всегда). Соответственно, если при t 0 отношение u/t стремится к некоторому пределу, то этот предел называется производной вектора u:

При обозначении производной вектора мы не будем использовать точку сверху (так как символ u не слишком хорошо смотрится) и ограничиваемся обозначением (1.18). Но для производной скаляра мы, разумеется, свободно используем оба обозначения.

Напомним, что du/dt это символ производной. Его можно понимать и как дробь, в числителе которой стоит дифференциал вектора u, соответствующий промежутку времени dt. Выше мы не стали обсуждать понятие дифференциала, так как в школе его не проходят; не будем обсуждать дифференциал и здесь.

Однако на физическом уровне строгости производную du/dt можно считать дробью, в знаменателе которой стоит очень малый интервал времени dt, а в числителе соответствующее малое изменение du вектора u. При достаточно малом dt величина данной дроби отличается от предела в правой части (1.18) столь мало, что с учётом имеющейся точности измерений этим отличием можно пренебречь.

Этого (не вполне строгого) физического понимания производной нам окажется вполне достаточно.

Правила дифференцирования векторных выражений во многом аналогичны правилам дифференцирования скаляров. Нам понадобятся лишь самые простые правила.

1. Постоянный скалярный множитель выносится за знак производной: если c = const, то Мы используем это правило в разделе Импульс, когда второй закон Ньютона будет переписан в виде:

2. Постоянный векторный множитель выносится за знак производной: если c = const, то 3. Производная суммы векторов равна сумме их производных:

Последними двумя правилами мы будем пользоваться неоднократно. Посмотрим, как они работают в важнейшей ситуации дифференцирования вектора при наличии в пространстве прямоугольной системы координат OXY Z (рис. 1.7).

Как известно, любой вектор u единственным образом раскладывается по базису единичных векторов i, j, k:

Здесь ux, uy, uz проекции вектора u на координатные оси. Они же являются координатами вектора u в данном базисе.

Вектор u в нашем случае зависит от времени, а это значит, что его координаты ux, uy, uz являются функциями времени:

Дифференцируем это равенство. Сначала пользуемся правилом дифференцирования суммы:

Затем выносим постоянные векторы за знак производной:

Таким образом, если вектор u имеет координаты (ux, uy, uz ), то координаты производной du/dt являются производными координат вектора u, а именно (ux, uy, uz ).

Ввиду особой важности формулы (1.20) дадим более непосредственный её вывод.

В момент времени t + t согласно (1.19) имеем:

Напишем изменение вектора u:

Делим обе части полученного равенства на t:

В пределе при t 0 дроби ux /t, uy /t, uz /t переходят соответственно в производные ux, uy, uz, и мы снова получаем соотношение (1.20):

1.2 Механическое движение Понятие движения является чрезвычайно общим и охватывает самый широкий круг явлений.

В физике изучают различные виды движения. Простейшим из них является механическое движение.

Механическое движение это изменение положение тела (или его частей) в пространстве относительно других тел с течением времени.

1.2.1 Относительность движения Если тело А меняет своё положение относительно тела В, то и тело В меняет своё положение относительно тела А. Иначе говоря, если тело А движется относительно тела В, то и тело В движется относительно тела А. Механическое движение является относительным для описания движения необходимо указать, относительно какого тела оно рассматривается.

Так, например, можно говорить о движении поезда относительно земли, пассажира относительно поезда, мухи относительно пассажира и т. д. Понятия абсолютного движения и абсолютного покоя не имеют смысла: пассажир, покоящийся относительно поезда, будет двигаться с ним относительно столба на дороге, совершать вместе с Землёй суточное вращение и двигаться по орбите вокруг Солнца.

Тело, относительно которого рассматривается движение, называется телом отсчёта.

1.2.2 Основная задача механики Основной задачей механики является определение положения движущегося тела в любой момент времени. Для решения этой задачи удобно представить движение тела как изменение координат его точек с течением времени.

Чтобы измерить координаты, нужна система координат. Чтобы измерять время, нужны часы. Всё это вместе образует систему отсчёта.

Система отсчёта это тело отсчёта вместе с жёстко связанной с ним ( вмороженной в него) системой координат и часами.

Система отсчёта показана на рис. 1.8. Прямоугольная система координат OXY Z жёстко связана с телом отсчёта, относительно которого рассматривается движение точки M.

Вектор r = OM называется радиус-вектором точки M. Три координаты x, y, z точки M являются в то же время координатами её радиус-вектора r.

Решить основную задачу механики для точки M это значит найти её координаты как функции времени:

или, что то же самое, Соотношения (1.21) или (1.22) мы будем называть законом движения. Таким образом, решение основной задачи механики для точки M состоит в нахождении закона движения этой точки.

1.2.3 Материальная точка В ряде случаев можно отвлечься от формы и размеров изучаемого объекта и рассматривать его просто как движущуюся точку.

Материальная точка это тело, размерами которого можно пренебречь в условиях данной задачи.

Так, поезд можно считать материальной точкой при его движении из Москвы в Саратов, но не при посадке в него пассажиров. Землю можно считать материальной точкой при описании её движения вокруг Солнца, но не её суточного вращения вокруг собственной оси.

К характеристикам механического движения материальной точки относятся траектория, путь, перемещение, скорость и ускорение.

1.2.4 Траектория, путь, перемещение В дальнейшем, говоря о движущемся (или покоящемся) теле, мы всегда полагаем, что тело можно принять за материальную точку. Случаи, когда идеализацией материальной точки пользоваться нельзя, будут специально оговариваться.

• Траектория это линия, вдоль которой движется тело. На рис. 1.8 траекторией точки M является синяя дуга, которую описывает в пространстве конец радиус-вектора r.

• Путь это длина участка траектории, пройденного телом за данный промежуток времени.

• Перемещение это вектор, соединяющий начальное и конечное положение тела.

Предположим, что тело начало движение в точке A и закончило движение в точке B (рис. 1.9).

Путь, пройденный телом, есть длина синей дуги это красный вектор AB.

1.2.5 Скорость В предыдущем разделе Производная уже говорилось о мгновенной скорости. Мы определили её как предел:

где s путь, пройденный за малый промежуток времени t. При таком определении мгновенная скорость оказывается не чем иным, как производной пути s:

Данное определение, однако, не охватывает всего разнообразия ситуаций, встречающихся в механике. Дело в том, что скорость является вектором она обладает как абсолютной величиной (модулем), так и направлением в пространстве. Между тем, формула (1.23) говорит нам лишь о модуле скорости, но не об её направлении. Стало быть, определение (1.23) нуждается в обобщении.

Рассмотрим движение тела в прямоугольной системе координат с базисом i, j, k (рис. 1.10).

Пусть в момент времени t тело находилось в точке M (x, y, z) с радиус-вектором Спустя малый промежуток времени t тело оказалось в точке N (x + x, y + y, z + z) с радиус-вектором Перемещение тела есть вектор r = M N. Теперь мы будем говорить не о пределе отношения s/t пути ко времени, а о пределе отношения r/t перемещения ко времени и тем самым придём к нужному нам обобщению понятия мгновенной скорости на векторный случай.

Итак, мгновенная скорость v в момент времени t это предел отношения перемещения r к интервалу времени t, когда величина этого интервала стремится к нулю; иными словами, скорость точки это производная её радиус-вектора:

Отношение r/t это вектор, направленный вдоль секущей M N. Когда t стремится к нулю, точка N приближается к точке M, а секущая M N превращается в касательную. Соответственно, вектор мгновенной скорости v направлен по касательной к траектории в точке M.

Это и показано на рис. 1.10.

Продолжаем вычисления в координатах. Пользуясь равенством (1.24) и правилами дифференцирования векторов, получим:

С другой стороны, вектор v единственным образом раскладывается по базису i, j, k:

Сопоставляя формулы (1.26) и (1.27), мы видим, что проекции вектора скорости на координатные оси являются производными координат точки:

1.2.6 Ускорение Формула (1.25) говорит о том, что вектор скорости характеризует быстроту изменения радиусвектора тела. Но скорость тела также может меняться быстрее или медленнее. Ускорение это характеристика быстроты изменения вектора скорости.

Предположим, что в момент времени t скорость тела равна v, а спустя малый интервал t скорость стала равна v + v.

Ускорение a это предел отношения изменения скорости v к интервалу t, когда этот интервал стремится к нулю; иначе говоря, ускорение это производная скорости:

Ускорение, так сказать, есть скорость изменения скорости. Имеем:

Следовательно, проекции ускорения являются производными проекций скорости:

Скорость, в свою очередь, есть производная радиус-вектора. Поэтому ускорение, будучи производной скорости, оказывается второй производной радиус-вектора (то есть результатом двукратного дифференцирования вектора r):

Соответственно, проекции ускорения являются вторыми производными координат точки:

1.2.7 Примеры вычисления скорости и ускорения Итак, знание закона движения (зависимости координат тела от времени) позволяет находить скорость и ускорение тела нужно лишь вычислить первые и вторые производные координат.

Рассмотрим несколько примеров таких вычислений.

Пример. Вернёмся к примеру (1.13):

(координата измеряется в метрах, время в секундах). Последовательно дифференцируя два раза, получаем:

Как видим, ускорение постоянно по модулю и равно 6 м/с2. Направлено ускорение в сторону, противоположную оси X.

Приведённый пример есть случай равноускоренного движения, при котором модуль и направление ускорения неизменны. Равноускоренное движение один из важнейших и часто встречающихся видов движения в механике.

Из данного примера нетрудно понять, что при равноускоренном движении проекция скорости является линейной функцией времени, а координата квадратичной функцией. Мы поговорим об этом более подробно в соответствующем разделе, посвящённом равноускоренному движению.

Пример. Рассмотрим более экзотический случай:

Дифференцируем:

Данное движение не является равноускоренным: ускорение зависит от времени.

Пример. Пусть тело движется вдоль оси X по следующему закону:

Мы видим, что координата тела периодически изменяется, находясь в пределах от 5 до 5.

Данное движение является примером гармонических колебаний, когда координата меняется со временем по закону синуса.

Дифференцируем дважды:

Проекция скорости меняется по закону косинуса, а проекция ускорения снова по закону синуса. Величина ax пропорциональна координате x и противоположна ей по знаку (а именно, ax = 4x); вообще, соотношение вида ax = 2 x характерно для гармонических колебаний.

1.2.8 Закон сложения скоростей Пусть имеются две системы отсчёта. Одна из них связана с неподвижным телом отсчёта O.

Эту систему отсчёта обозначим K и будем называть неподвижной.

Вторая система отсчёта, обозначаемая K, связана с телом отсчёта O, которое движется относительно тела O со скоростью u. Эту систему отсчёта называем движущейся. Дополнительно предполагаем, что координатные оси системы K перемещаются параллельно самим себе (нет вращения системы координат), так что вектор u можно считать скоростью движущейся системы относительно неподвижной.

Неподвижная система отсчёта K обычно связана с землёй. Если поезд плавно едет по рельсам со скоростью u, то система отсчёта, связанная с вагоном поезда, будет движущейся системой отсчёта K.

Заметим, что скорость любой точки вагона3 равна u. Если муха неподвижно сидит в некоторой точке вагона, то относительно земли муха движется со скоростью u. Муха переносится вагоном, и потому скорость u движущейся системы относительно неподвижной называется переносной скоростью.

Предположим теперь, что муха поползла по вагону. Тогда появляются ещё две скорости, которые нужно рассмотреть.

Скорость мухи относительно вагона (то есть в движущейся системе K ) обозначается v и называется относительной скоростью.

Скорость мухи относительно земли (то есть в неподвижной системе K) обозначается v и называется абсолютной скоростью.

Выясним, как связаны друг с другом эти три скорости абсолютная, относительная и переносная.

На рис. 1.11 муха обозначена точкой M. Далее:

r радиус-вектор точки M в неподвижной системе K;

r радиус-вектор точки M в движущейся системе K ;

R радиус-вектор тела отсчёта O в неподвижной системе K.

Как видно из рисунка, Дифференцируя это равенство, получим:

Производная dr/dt есть скорость точки M в системе K, то есть абсолютная скорость:

Аналогично, производная dr /dt есть скорость точки M в системе K, то есть относительная скорость:

Кроме вращающихся колёс, но их мы не берём во внимание.

А что такое dR/dt? Это скорость точки O в неподвижной системе, то есть переносная скорость u движущейся системы относительно неподвижной:

В результате из (1.28) получаем:

Закон сложения скоростей. Скорость точки относительно неподвижной системы отсчёта равна векторной сумме скорости движущейся системы и скорости точки относительно движущейся системы. Иными словами, абсолютная скорость есть сумма переносной и относительной скоростей.

Таким образом, если муха ползёт по движущемуся вагону, то скорость мухи относительно земли равна векторной сумме скорости вагона и скорости мухи относительно вагона. Интуитивно очевидный результат!

1.2.9 Виды механического движения Простейшими видами механического движения материальной точки являются равномерное и прямолинейное движения.

Движение называется равномерным, если модуль вектора скорости остаётся постоянным (направление скорости при этом может меняться).

Движение называется прямолинейным, если оно происходит вдоль некоторой прямой (величина скорости при этом может меняться). Иными словами, траекторией прямолинейного движения служит прямая линия.

Например, автомобиль, который едет с постоянной скоростью по извилистой дороге, совершает равномерное (но не прямолинейное) движение. Автомобиль, разгоняющийся на прямом участке шоссе, совершает прямолинейное (но не равномерное) движение.

А вот если при движении тела остаются постоянными как модуль скорости, так и её направление, то движение называется равномерным прямолинейным. Итак:

• равномерное движение |v| = const;

• равномерное прямолинейное движение v = const.

Важнейшим частным случаем неравномерного движения является равноускоренное движение, при котором остаются постоянными модуль и направление вектора ускорения:

• равноускоренное движение a = const.

Наряду с материальной точкой в механике рассматривается ещё одна идеализация твёрдое тело.

Твёрдое тело это система материальных точек, расстояния между которыми не меняются со временем. Модель твёрдого тела применяется в тех случаях, когда мы не можем пренебречь размерами тела, но можем не принимать во внимание изменение размеров и формы тела в процессе движения.

Простейшими видами механического движения твёрдого тела являются поступательное и вращательное движения.

Движение тела называется поступательным, если всякая прямая, соединяющая две какиелибо точки тела, перемещается параллельно своему первоначальному направлению. При поступательном движении траектории всех точек тела идентичны: они получаются друг из друга параллельным сдвигом.

Так, на рис. 1.12 показано поступательное движение серого квадрата. Произвольно взятый зелёный отрезок этого квадрата перемещается параллельно самому себе. Траектории концов отрезка изображены синими пунктирными линиями.

Движение тела называется вращательным, если:

1. все точки тела описывают окружности, лежащие в параллельных плоскостях;

2. центры данных окружностей лежат на одной прямой, которая перпендикулярна всем этим плоскостям (эта прямая называется осью вращения).

На рис. 1.13 изображён шар, вращающийся вокруг вертикальной оси. Так обычно рисуют земной шар в соответствующих задачах динамики.

1.3 Равномерное прямолинейное движение Равномерное прямолинейное движение материальной точки это движение с постоянной скоростью v. Обратите внимание, что речь идёт о постоянстве вектора скорости; это значит, что скорость неизменна как по модулю, так и по направлению.

Траекторией тела при равномерном прямолинейном движении служит прямая (или часть прямой например, отрезок или луч). Вдоль данной прямой тело движется равномерно, то есть с постоянной по модулю скоростью.

1.3.1 Закон движения Предположим, что тело, двигаясь равномерно и прямолинейно со скоростью v, переместилось за время t из точки M0 в точку M (рис. 1.14). Вектор перемещения есть s = M0 M.

Путь, пройденный телом, равен длине s вектора перемещения. Очевидно, что выполнено соотношение:

где v модуль вектора скорости.

Формула (1.29) справедлива для произвольного равномерного движения (не обязательно прямолинейного). Но в случае прямолинейного равномерного движения эта формула становится соотношением между векторами. В самом деле, поскольку векторы s и v сонаправлены, формула (1.29) позволяет записать:

Как обычно, движение тела рассматривается в некоторой системе отсчёта, связанной с телом отсчёта O (рис. 1.14; координатные оси не изображаем). Пусть r0 радиус-вектор начальной точки M0 и r радиус-вектор конечной точки M. Тогда, очевидно, Подставим эту разность в формулу (1.30):

Отсюда получаем закон движения (то есть зависимость радиус-вектора тела от времени):

Напомним, что нахождение закона движения решает основную задачу механики, которая заключается в определении зависимости координат тела от времени. Переход от векторного соотношения (1.31) к координатам осуществляется элементарно.

Координаты точки M0 обозначим (x0, y0, z0 ). Они же являются координатами вектора r0. Координаты точки M (и вектора r) обозначим (x, y, z). Тогда векторная формула (1.31) приводит к трём координатным соотношениям:

Формулы (1.32) (1.34), представляя координаты тела как функции времени, служат решением основной задачи механики для равномерного прямолинейного движения.

1.3.2 Интегрирование Ключевая формула (1.31), описывающая равномерное прямолинейное движение, может быть получена из несколько иных соображений. Вспомним, что производная радиус-вектора есть скорость точки:

В случае равномерного прямолинейного движения имеем v = const. Что нужно продифференцировать, чтобы получить постоянный вектор v ? Очевидно, функцию vt. Но не только:

к величине vt можно прибавить любой постоянный вектор c (это не изменит производную, поскольку производная константы равна нулю). Таким образом:

Каков смысл константы c ? Если t = 0, то радиус-вектор r равен своему начальному значению r0. Поэтому, полагая t = 0 в формуле (1.36), получим:

Итак, вектор c есть начальное значение радиус-вектора, и теперь из (1.36) мы снова приходим к формуле (1.31):

Мы, таким образом, проинтегрировали равенство (1.35) при условии, что v = const. Интегрирование это операция, обратная дифференцированию. Проинтегрировать значит найти неизвестную функцию, если дана её производная.

Интегрировать в физике приходится очень часто. Например, закон движения определяется с помощью интегрирования. Вы только что убедились в этом; впоследствии у нас возникнут и другие примеры.

1.4 Равноускоренное движение Равноускоренное движение это движение с постоянным вектором ускорения a. Таким образом, при равноускоренном движении остаются неизменными направление и абсолютная величина ускорения.

1.4.1 Зависимость скорости от времени При изучении равномерного прямолинейного движения вопрос зависимости скорости от времени не возникал: скорость была постоянна в процессе движения. Однако при равноускоренном движении скорость меняется с течением времени, и эту зависимость нам предстоит выяснить.

Давайте ещё раз потренируемся в элементарном интегрировании. Исходим из того, что производная вектора скорости есть вектор ускорения:

В нашем случае имеем a = const. Что надо продифференцировать, чтобы получить постоянный вектор a ? Разумеется, функцию at. Но не только: к ней можно добавить ещё произвольный постоянный вектор c (ведь производная постоянного вектора равна нулю). Таким образом, Каков смысл константы c ? В начальный момент времени t = 0 скорость равна своему начальному значению: v = v0. Поэтому, полагая t = 0 в формуле (1.38), получим:

Итак, константа c это начальная скорость тела. Теперь соотношение (1.38) принимает свой окончательный вид:

В конкретных задачах мы выбираем систему координат и переходим к проекциям на координатные оси. Так, в прямоугольной декартовой системе координат OXY Z векторное соотношение (1.39) даёт три скалярных равенства:

1.4.2 Закон движения Теперь мы можем найти закон движения, то есть зависимость радиус-вектора от времени. Вспоминаем, что производная радиус-вектора есть скорость тела:

Подставляем сюда выражение для скорости, даваемое формулой (1.39):

Сейчас нам предстоит проинтегрировать равенство (1.40). Это несложно. Чтобы получить v0, надо продифференцировать функцию v0 t. Чтобы получить at, нужно продифференцировать выражение at2 /2. Не забудем добавить и произвольную константу c:

Ясно, что c это начальное значение r0 радиус-вектора r в момент времени t = 0. В результате получаем искомый закон равноускоренного движения:

Переходя к проекциям на координатные оси, вместо одного векторного равенства (1.41) получаем три скалярных равенства:

Формулы (1.42) (1.44) дают зависимость координат тела от времени и поэтому служат решением основной задачи механики для равноускоренного движения.

Снова вернёмся к закону движения (1.41). Заметим, что r r0 = s перемещение тела.

Тогда получаем зависимость перемещения от времени:

1.4.3 Прямолинейное равноускоренное движение Если равноускоренное движение является прямолинейным, то удобно выбрать координатную ось вдоль прямой, по которой движется тело. Пусть, например, это будет ось OX. Тогда для решения задач нам достаточно будет трёх формул:

где sx = x x0 проекция перемещения на ось OX.

Но очень часто помогает ещё одна формула, являющаяся их следствием. Выразим из первой формулы время:

и подставим в формулу для перемещения:

Преобразуем:

и окончательно получаем:

Эта формула не содержит времени t и позволяет быстрее приходить к ответу в тех задачах, где время не фигурирует.

1.4.4 Свободное падение Важным частным случаем равноускоренного движения является свободное падение. Так называется движение тела вблизи поверхности Земли без учёта сопротивления воздуха.

Свободное падение тела, назависимо от его массы, происходит с постоянным ускорением свободного падения g, направленным вертикально вниз. Почти во всех задачах при расчётах полагают g = 10 м/с2.

Давайте разберём несколько задач и посмотрим, как работают выведенные нами формулы для равноускоренного движения.

Задача. Найти скорость приземления дождевой капли, если высота тучи h = 2 км.

Решение. Направим ось OY вертикально вниз, расположив начало отсчёта в точке отрыва капли. Воспользуемся формулой Имеем: sy = h, vy = v искомая скорость приземления, v0y = 0, ay = g. Получаем: h =, откуда v = 2gh. Вычисляем: v = 2 · 10 · 2000 = 200 м/с. Это 720 км/ч, порядка скорости пули.

На самом деле капли дождя падают со скоростью порядка нескольких метров в секунду.

Почему такое расхождение? Сопротивление воздуха!

Задача. Тело брошено вертикально вверх со скоростью v0 = 30 м/с. Найти его скорость через t = 5 c.

Решение. Направим ось OY вертикально вверх, поместив начало отсчёта на поверхности Земли.

Используем формулу Здесь v0y = v0, ay = g, так что vy = v0 gt. Вычисляем: vy = 30 10 · 5 = 20 м/с. Значит, скорость будет равна 20 м/с. Знак проекции указывает на то, что тело будет лететь вниз.

Задача. С балкона, находящегося на высоте h = 15 м, бросили вертикально вверх камень со скоростью v0 = 10 м/с. Через какое время камень упадёт на землю?

Решение. Направим ось OY вертикально вверх, поместив начало отсчёта на поверхности Земли.

Берём формулу Имеем: y = 0, y0 = h, v0y = v0, ay = g, так что 0 = h + v0 t t2 2t 3 = 0. Решая квадратное уравнение, получим t = 3 c.

1.4.5 Горизонтальный бросок Равноускоренное движение не обязательно является прямолинейным. Рассмотрим движение тела, брошенного горизонтально.

Предположим, что тело брошено горизонтально со скоростью v0 с высоты h. Найдём время и дальность полёта, а также выясним, по какой траектории происходит движение.

Выберем систему координат OXY так, как показано на рис. 1.15.

Используем формулы:

В нашем случае x0 = 0, v0x = v0, ax = 0, y0 = h, v0y = 0, ay = g. Получаем:

Время полёта T найдём из условия, что в момент падения координата тела y обращается в нуль:

Дальность полёта L это значение координаты x в момент времени T :

Уравнение траектории получим, исключая время из уравнений (1.45). Выражаем t из первого уравнения и подставляем во второе:

Получили зависимость y от x, которая является уравнением параболы. Следовательно, тело летит по параболе.

1.4.6 Бросок под углом к горизонту Рассмотрим несколько более сложный случай равноускоренного движения: полёт тела, брошенного под углом к горизонту.

Предположим, что тело брошено с поверхности Земли со скоростью v0, направленной под углом к горизонту. Найдём время и дальность полёта, а также выясним, по какой траектории двигается тело.

Выберем систему координат OXY так, как показано на рис. 1.16.

Начинаем с уравнений:

В нашем случае x0 = y0 = 0, v0x = v0 cos, v0y = v0 sin, ax = 0, ay = g. Получаем:

Дальше действуем так же, как и в случае горизонтального броска. В результате приходим к соотношениям:

(Обязательно проделайте эти вычисления самостоятельно!) Как видим, зависимость y от x снова является уравнением параболы.

Попробуйте также показать, что максимальная высота подъёма определяется формулой:

1.5 Равномерное движение по окружности Равномерное движение по окружности это достаточно простой пример движения с вектором ускорения, зависящим от времени.

Пусть точка вращается по окружности радиуса r. Скорость точки постоянна по модулю и равна v. Скорость v называется линейной скоростью точки.

Период обращения это время одного полного оборота. Для периода T имеем очевидную формулу:

Частота обращения это величина, обратная периоду:

Частота показывает, сколько полных оборотов точка совершает за секунду. Измеряется частота в об/с (обороты в секунду).

Пусть, например, T = 0,1 с. Это означает, что за время 0,1 с точка совершает один полный оборот. Частота при этом равна: = 1/0,1 = 10 об/с; за секунду точка совершает 10 полных оборотов.

1.5.1 Угловая скорость Рассмотрим равномерное вращение точки в декартовой системе координат. Поместим начало координат O в центре окружности (рис. 1.17).

Пусть M0 начальное положение точки; иными словами, при t = 0 точка имела координаты (r, 0). Пусть за время t точка повернулась на угол и заняла положение M.

Отношение угла поворота ко времени называется угловой скоростью вращения точки:

Угол, как правило, измеряется в радианах, поэтому угловая скорость измеряется в рад/с.

За время, равное периоду вращения, точка поворачивается на угол 2. Поэтому Сопоставляя формулы (1.46) и (1.48), получаем связь линейной и угловой скоростей:

1.5.2 Закон движения Найдём теперь зависимость координат вращающейся точки от времени. Видим из рис. 1.17, что Но из формулы (1.47) имеем: = t. Следовательно, Формулы (1.50) являются решением основной задачи механики для равномерного движения точки по окружности.

1.5.3 Центростремительное ускорение Теперь нас интересует ускорение вращающейся точки. Его можно найти, дважды продифференцировав соотношения (1.50):

С учётом формул (1.50) имеем:

Полученные формулы (1.51) можно записать в виде одного векторного равенства:

где r радиус-вектор вращающейся точки.

Мы видим, что вектор ускорения направлен противоположно радиус-вектору, т. е. к центру окружности (см. рис. 1.17). Поэтому ускорение точки, равномерно движущейся по окружности, называется центростремительным.

Кроме того, из формулы (1.52) мы получаем выражение для модуля центростремительного ускорения:

Выразим угловую скорость из (1.49):

и подставим в (1.53). Получится ещё одна формула для центростремительного ускорения:

Заметив также, что 2 r = (r) = v, из (1.53) получаем и такую формулу:

Наиболее употребительны формулы (1.53) и (1.54); именно они обычно используются при решении задач.

1.5.4 Почему ускорение направлено к центру окружности?

Напомним, что направление центростремительного ускорения (к центру окружности) мы выяснили с помощью математической процедуры получив формулу (1.52) двукратным дифференцированием закона движения (1.50). Теперь хотелось бы с физической точки зрения понять, почему ускорение направлено именно в центр.

Воспользуемся определением ускорения:

То есть, мы берём вектор скорости в момент времени t и в близкий момент времени t + t, находим изменение скорости v = v(t + t) v(t) за время t, а затем устремляем t к нулю и смотрим, к чему стремится дробь v/t.

На рис. 1.18 (слева) показаны два последовательных положения вращающейся точки: положение A в момент времени t и положение B в момент времени t + t. Изображены векторы v(t) и v(t + t); интервал t выбран не очень малым, чтобы ясно видны были геометрические построения. Вектор v(t + t) с началом в точке B перенесён параллельно так, чтобы его начало оказалось в точке A, после чего построена разность v. Наконец, показан вектор v/t с началом в исходной точке A; этот вектор направлен внутрь окружности, но пока не точно в центр ведь величина t пока не слишком мала.

Рис. 1.18. Направление вектора v/t при уменьшении t На правом рисунке изображено всё то же самое, но для меньшего значения t (почти все обозначения убраны, чтобы не загромождать рисунок). Мы видим, что в этом случае вектор v/t направлен существенно ближе к центру окружности.

Теперь становится ясно, какая картина получится в пределе при t 0. Точка B сольётся с точкой A, и приложенный в точке A вектор ускорения a = lim v/t будет направлен строго в центр окружности.

1.6 Путь при неравномерном движении Сейчас мы будем рассматривать неравномерное движение то есть движение, при котором абсолютная величина скорости меняется со временем. Оказывается, существует простая геометрическая интерпретация пути, пройденного телом при произвольном движении.

Начнём с равномерного движения. Пусть скорость тела постоянна и равна v. Возьмём два момента времени: начальный момент t1 и конечный момент t2. Длительность рассматриваемого промежутка времени равна t = t2 t1.

Очевидно, что за промежуток времени [t1, t2 ] тело проходит путь:

Давайте построим график зависимости скорости от времени. В данном случае это будет прямая, параллельная оси абсцисс (рис. 1.19).

Нетрудно видеть, что пройденный путь равен площади прямоугольника, расположенного под графиком скорости. В самом деле, первый множитель v в формуле (1.55) есть вертикальная сторона этого прямоугольника, а второй множитель t его горизонтальная сторона.

Теперь нам предстоит обобщить эту геометрическую интерпретацию на случай неравномерного движения.

Пусть скорость тела v зависит от времени, и на рассматриваемом промежутке [t1, t2 ] график скорости выглядит, например, так (рис. 1.20):

Дальше мы рассуждаем следующим образом.

1. Разобьём наш промежуток времени [t1, t2 ] на небольшие отрезки величиной t.

2. Предположим, что на каждом таком отрезке тело движется с постоянной скоростью.

То есть, плавное изменение скорости заменим ступенчатой аппроксимацией4 : в течение каждого небольшого отрезка времени тело движется равномерно, а затем скорость тела мгновенно и скачком меняется.

На рис. 1.21 показаны две ступенчатые аппроксимации. Ширина ступенек t на правом рисунке вдвое меньше, чем на левом.

Путь, пройденный за время t равномерного движения это площадь прямоугольника, расположенного под ступенькой. Поэтому путь, пройденный за всё время такого ступенчатого движения это сумма площадей всех прямоугольников на графике.

3. Теперь устремляем t к нулю. Ясно, что в пределе наша ступенчатая аппроксимация перейдёт в исходный график скорости на рис. 1.20. Сумма площадей прямоугольников перейдёт в площадь под графиком скорости; следовательно, эта площадь и есть путь, пройденный телом за время от t1 до t2 (рис. 1.22).

В итоге мы приходим к нужному нам обобщению геометрической интерпретации пути, полученной выше для случая равномерного движения.

Геометрическая интерпретация пути. Путь, пройденный телом при любом движении, равен площади под графиком скорости на заданном промежутке времени.

Посмотрим, как работает эта геометрическая интерпретация в важном частном случае равноускоренного движения.

Аппроксимация это приближённая замена достаточно сложного объекта более простой моделью, которую удобнее изучать.

Задача. Тело, имеющее скорость v0 в начальный момент t = 0, разгоняется с постоянным ускорением a. Найти путь, пройденный телом к моменту времени t.

Решение. Зависимость скорости от времени в данном случае имеет вид:

График скорости прямая, изображённая на рис. 1.23. Искомый путь есть площадь трапеции, расположенной под графиком скорости.

Меньшее основание трапеции равно v0. Большее основание равно v = v0 + at. Высота трапеции равна t. Поскольку площадь трапеции есть произведение полусуммы оснований на высоту, имеем:

Эту формулу можно переписать в более привычном виде:

Она, разумеется, вам хорошо известна из темы Равноускоренное движение.

Задача. График скорости тела является полуокружностью диаметра (рис. 1.24). Максимальная скорость тела равна v. Найти путь, пройденный телом за время.

Решение. Как вы знаете, площадь круга радиуса R равна R2. Но в данной задаче необходимо учесть, v что радиусы полуокружности имеют разные размерности: горизонтальный радиус есть время /2, а верv тикальный радиус есть скорость v.

Поэтому пройденный путь, вычисляемый как площадь полукруга, равен половине произведения на горизонтальный радиус и на вертикальный радиус:

1.7 Первый закон Ньютона Все тела в природе взаимодействуют друг с другом. Однако в некоторых ситуациях воздействия на данное тело со стороны других тел можно не принимать во внимание.

Так, космический корабль в далёком межзвёздном пространстве практически не испытывает гравитационного притяжения объектов Вселенной из-за их колоссальной удалённости5. Лежащий на столе карандаш притягивается к Земле, но действие Земли компенсируется упругой реакцией стола, и поэтому карандаш находится в покое, словно никакие силы на него вообще не действуют.

Во всех подобных случаях будем называть тело свободным.

Тело называется свободным, если действия на него со стороны других тел или пренебрежимо малы, или компенсируют друг друга.

1.7.1 Инерциальные системы отсчёта Повседневный опыт говорит о том, что свободные тела покоятся как упомянутый карандаш на столе. Поэтому долгое время считалось, что для поддержания какого бы то ни было движения необходимо осуществлять нескомпенсированное внешнее воздействие со стороны других тел.

Но это оказалось неверным. Как установил Галилей, свободное тело может не только находиться в покое, но и двигаться равномерно и прямолинейно! Именно состояние равномерного прямолинейного движения является естественным для свободного тела; покой же частный случай такого движения со скоростью, равной нулю.

Следует учесть, однако, что движение относительно: оно рассматривается не само по себе, а в определённой системе отсчёта. В различных же системах отсчёта движение данного тела будет выглядеть по-разному.

Так, дом с точки зрения неподвижно стоящего наблюдателя будет находиться в покое: сила притяжения дома к Земле компенсируется силой упругости почвы. Если наблюдатель движется относительно земли равномерно и прямолинейно, то и дом относительно наблюдателя будет совершать равномерное прямолинейное движение в полном соответствии с выводами Галилея ведь дом является свободным телом!

Но если у наблюдателя заплетаются ноги и он бредёт, шатаясь, то ему будет казаться, что дом раскачивается в разные стороны. В этой системе отсчёта дом, будучи свободным телом, совершает отнюдь не равномерное и прямолинейное движение.

Таким образом, утверждение Галилея верно не во всей общности: не во всякой системе отсчёта свободное тело движется равномерно и прямолинейно. Но всё же такие системы отсчёта существуют (существуют хорошие наблюдатели!), и в этом состоит первый закон Ньютона.

Первый закон Ньютона. Существуют такие системы отсчёта, относительно которых свободное тело движется равномерно и прямолинейно.

Свойство свободного тела сохранять скорость неизменной называется инерцией. Поэтому первый закон Ньютона называют ещё законом инерции. Равномерное прямолинейное движение свободного тела называется движением по инерции.

Система отсчёта, относительно которой свободное тело движется равномерно и прямолиэто постулат6 о существовании нейно, называется инерциальной. Первый закон Ньютона Согласно закону всемирного тяготения гравитационные силы обратно пропорциональны квадрату расстояния между телами.

Постулат первичное утверждение физики, не выводимое из каких-либо иных утверждений. Постулат есть констатация факта: таким вот образом ведёт себя природа. Сформулировать тот или иной постулат можно лишь на основании наблюдений и физических экспериментов.

инерциальных систем отсчёта. В инерциальных системах отсчёта механические явления описываются наиболее просто.

В действительности инерциальных систем отсчёта существует бесконечно много: всякая система отсчёта, которая движется относительно инерциальной системы равномерно и прямолинейно, сама является инерциальной.

Система отсчёта, которая движется относительно инерциальной системы отсчёта с ускорением, является неинерциальной. В такой плохой системе отсчёта свободное тело будет двигаться с ускорением, что усложнит описание его движения.

С достаточно высокой точностью можно считать инерциальной гелиоцентрическую систему (систему Коперника). Это система отсчёта, начало которой помещено в центре Солнца, а координатные оси направлены на три какие-либо удалённые звезды, которые можно принять за неподвижные.

Инерциальной часто можно считать систему отсчёта, связанную с земной поверхностью.

Это, однако, более грубое приближение ведь мы тем самым отвлекаемся от вращения Земли вокруг собственной оси и вокруг Солнца. Так, звезда, неподвижная в системе Коперника, в земной системе будет совершать сложное движение в виде наложения двух вращений (суточного и годового). Однако в большинстве явлений, происходящих на поверхности Земли, неинерциальность земной системы отсчёта практически никак не сказывается, и ею можно пренебречь.

1.7.2 Принцип относительности Галилей заметил, что, находясь в трюме корабля, никакими механическими опытами невозможно установить, покоится ли корабль или движется равномерно и прямолинейно. Это означает, что инерциальные системы отсчёта совершенно неотличимы друг от друга с точки зрения законов механики. Иными словами, верен принцип относительности Галилея.

Принцип относительности Галилея. Всякое механическое явление при одних и тех же начальных условиях протекает одинаково в любой инерциальной системе отсчёта.

Впоследствии Эйнштейн распространил этот принцип с механических явлений на вообще все физические явления. Общий принцип относительности Эйнштейна лёг в основу теории относительности.

Принцип относительности Галилея и Эйнштейна мы обсудим подробнее при изучении основ специальной теории относительности.

1.8 Масса и плотность Масса одна из самых фундаментальных физических величин. Масса характеризует сразу несколько свойств тела и обладает рядом важных свойств.

1. Масса служит мерой содержащегося в теле вещества.

2. Масса является мерой инертности тела. Инертностью называется свойство тела сохранять свою скорость неизменной (в инерциальной системе отсчёта), когда внешние воздействия отсутствуют или компенсируют друг друга. При наличии внешних воздействий инертность тела проявляется в том, что его скорость меняется не мгновенно, а постепенно, и тем медленнее, чем больше инертность (т. е. масса) тела.

3. Массы тел являются причиной их гравитационного притяжения друг к другу (см. раздел Сила тяготения ).

4. Масса тела равна сумме масс его частей. Это так называемая аддитивность массы. Аддитивность позволяет использовать для измерения массы эталон 1 кг.

5. Масса изолированной системы тел не меняется со временем (закон сохранения массы).

6. Масса тела не зависит от скорости его движения. Масса не меняется при переходе от одной системы отсчёта к другой.

Плотностью однородного тела называется отношение массы тела к его объёму:

Плотность не зависит от геометрических свойств тела (формы, объёма) и является характеристикой вещества тела. Плотности веществ представлены в справочных таблицах. Желательно помнить плотность воды: 1000 кг/м3.

1.9 Второй и третий законы Ньютона Взаимодействие тел можно описывать с помощью понятия силы. Сила это векторная величина, являющаяся мерой воздействия одного тела на другое.

Будучи вектором, сила характеризуется модулем (абсолютной величиной) и направлением в пространстве. Кроме того, важна точка приложения силы: одна и та же по модулю и направлению сила, приложенная в разных точках протяжённого тела, может оказывать различное воздействие. Так, если взяться за обод велосипедного колеса и потянуть по касательной к ободу, то колесо начнёт вращаться. Если же тянуть вдоль радиуса, никакого вращения не будет.

1.9.1 Принцип суперпозиции Опыт показывает, что если на данное тело7 действуют несколько других тел, то соответствующие силы складываются как векторы. Более точно, справедлив принцип суперпозиции.

Принцип суперпозиции сил. Пусть на тело действуют силы F1, F2,..., Fn. Если заменить их одной силой F = F1 + F2 +... + Fn, то результат воздействия не изменится.

Сила F называется равнодействующей сил F1, F2,..., Fn или результирующей силой8.

1.9.2 Второй закон Ньютона Если равнодействующая сил, приложенных к телу, равна нулю (то есть воздействия других тел компенсируют друг друга), то в силу первого закона Ньютона найдутся такие системы отсчёта (называемые инерциальными), в которых движение тела будет равномерным и прямолинейным.

Но если равнодействующая не обращается в нуль, то в инерциальной системе отсчёта у тела появится ускорение.

Количественную связь между ускорением и силой даёт второй закон Ньютона.

Второй закон Ньютона. Произведение массы тела на вектор ускорения есть равнодействующая всех сил, приложенных к телу: ma = F.

Подчеркнём, что второй закон Ньютона связывает векторы ускорения и силы. Это означает, что справедливы следующие утверждения.

1. ma = F, где a модуль ускорения, F модуль равнодействующей силы.

2. Вектор ускорения сонаправлен с вектором равнодействующей силы, так как масса тела положительна.

Например, если тело равномерно движется по окружности, то его ускорение направлено к центру окружности. Стало быть, к центру окружности направлена и равнодействующая всех сил, приложенных к телу.

Второй закон Ньютона справедлив не в любой системе отсчёта. Вспомним шатающегося наблюдателя (раздел Первый закон Ньютона ): относительно него дом движется с ускорением, хотя равнодействующая всех сил, приложенных к дому, равна нулю. Второй закон Ньютона выполняется лишь в инерциальных системах отсчёта, факт существования которых устанавливается первым законом Ньютона.

Напомним, что по умолчанию тело считается материальной точкой.

Если тело нельзя считать материальной точкой, то ситуация становится более сложной. Может оказаться, что действие нескольких сил на протяжённое тело не совпадает с действием их векторной суммы. Простой пример такого рода пара сил будет рассмотрен в разделе Статика твёрдого тела.

1.9.3 Третий закон Ньютона Опыт показывает, что если тело А действует на тело В, то и тело В действует на тело А. Количественную связь между действиями тел друг на друга даёт третий закон Ньютона ( действие равно противодействию ).

Третий закон Ньютона. Два тела действуют друг на друга с силами, равными по модулю и противоположными по направлению. Эти силы имеют одну и ту же физическую природу и направлены вдоль прямой, соединяющей их точки приложения.

Например, если карандаш действует на стол с силой P, направленной вниз, то стол действует на карандаш с силой N, направленной вверх (рис. 1.25). Эти силы равны по абсолютной величине.

Силы P и N, как видим, приложены к разным телам и поэтому не могут уравновешивать друг друга (нет смысла говорить об их равнодействующей).

1.9.4 Как найти закон движения?

Законы Ньютона позволяют решить основную задачу механики найти закон движения тела.

В общих чертах схема действий такова.

1. Записываем второй закон Ньютона: ma = F. С учётом того, что ускорение есть вторая производная радиус-вектора, второй закон Ньютона приобретает вид:

Необходимо также добавить начальные условия: в начальный момент времени t = 0 имеем r = r0 и v = v0. Начальные значения радиус-вектора и скорости тела предполагаются известными иначе движение тела нельзя будет описать однозначно.

Разумеется, должна быть известна и правая часть равенства (1.57) равнодействующая F всех сил, приложенных к телу.

2. Второй закон Ньютона в виде (1.57) является дифференциальным уравнением. Это уравнение нужно проинтегрировать, то есть найти неизвестную функцию r = r(t) по известной второй производной этой функции. Выполнив интегрирование, мы и определим закон движения.

нат и скорости тела, а также от времени, вследствие чего интегрирование дифференциального уравнения (1.57) окажется весьма сложной задачей. Во многих практических ситуациях такая задача доступна лишь компьютеру.

Вот почему центральное место в школьной механике занимает равноускоренное движение:

оно происходит под действием постоянной силы, и в этом простейшем случае уравнение (1.57) интегрируется элементарно. Имеем:

где a постоянный вектор. Интегрируя один раз, с учётом начальных условий получим:

Теперь интегрируем второй раз:

Получился уже известный вам закон равноускоренного движения.

Механика, основанная на законах Ньютона, называется классической механикой. Классическая механика, однако, имеет ограниченную область применимости. В рамках классической механики хорошо описывается движение не очень маленьких тел с не очень большими скоростями. При описании атомов и элементарных частиц на замену классической механике приходит квантовая механика. Движение объектов со скоростями, близкими к скорости света, происходит по законам теории относительности.

1.10 Сила упругости Как мы знаем, в правой части второго закона Ньютона ma = F стоит равнодействующая (то есть векторная сумма) всех сил, приложенных к телу. Теперь нам предстоит изучить силы взаимодействия тел в механике. Их три вида: сила упругости, гравитационная сила и сила трения. Начинаем с силы упругости.

1.10.1 Деформация Силы упругости возникают при деформациях тел. Деформация это изменение формы и размеров тела. К деформациям относятся растяжение, сжатие, кручение, сдвиг и изгиб.

Деформации бывают упругими и пластическими.

Упругая деформация полностью исчезает после снятия внешнего воздействия, которое вызвало деформацию. В результате деформированное поначалу тело восстанавливает свои первоначальные размеры и форму.

Пластическая деформация сохраняется (быть может, частично) после снятия внешней нагрузки, и тело уже не возвращается к прежним размерам и форме.

Частицы тела (молекулы или атомы) взаимодействуют друг с другом силами притяжения и отталкивания, имеющими электромагнитное происхождение (это силы, действующие между ядрами и электронами соседних атомов). Силы взаимодействия зависят от расстояний между частицами. Если деформации нет, то силы притяжения компенсируются силами отталкивания. При деформации изменяются расстояния между частицами, и баланс сил взаимодействия нарушается.

Например, при растяжении стержня расстояния между его частицами увеличиваются, и начинают преобладать силы притяжения. Наоборот, при сжатии стержня расстояния между частицами уменьшаются, и начинают преобладать силы отталкивания. В любом случае возникает сила, которая направлена в сторону, противоположную деформации, и стремится восстановить первоначальную конфигурацию тела.

Сила упругости это сила, возникающая при упругой деформации тела и направленная в сторону, противоположную смещению частиц тела в процессе деформации. Сила упругости:

1. действует между соседними слоями деформированного тела и приложена к каждому слою;

2. действует со стороны деформированного тела на соприкасающееся с ним тело, вызывающее деформацию, и приложена в месте контакта данных тел перпендикулярно их поверхностям (типичный пример сила реакции опоры).

Силы, возникающие при пластических деформациях, не относятся к силам упругости. Эти силы зависят не от величины деформации, а от скорости её возникновения. Изучение таких сил выходит далеко за рамки школьной программы.

В школьной физике рассматриваются растяжения нитей и тросов, а также растяжения и сжатия пружин и стержней. Во всех этих случаях силы упругости направлены вдоль осей данных тел.

1.10.2 Закон Гука Деформация называется малой, если изменение размеров тела много меньше его первоначальных размеров. При малых деформациях зависимость силы упругости от величины деформации оказывается линейной.

Закон Гука. Абсолютная величина силы упругости прямо пропорциональна величине деформации. В частности, для пружины, сжатой или растянутой на величину x, сила упругости даётся формулой:

где k коэффициент жёсткости пружины.

Коэффициент жёсткости зависит не только от материала пружины, но также от её формы и размеров.

Из формулы (1.58) следует, что график зависимости силы упругости от (малой) деформации является прямой линией (рис. 1.26):

Коэффициент жёсткости k это угловой коэффициент в уравнении прямой F = kx. Поэтому справедливо равенство:

где угол наклона данной прямой к оси абсцисс. Это равенство удобно использовать при экспериментальном нахождении величины k.

Подчеркнём ещё раз, что закон Гука о линейной зависимости силы упругости от величины деформации справедлив лишь при малых деформациях тела. Когда деформации перестают быть малыми, эта зависимость перестаёт быть линейной и приобретает более сложный вид.

Соответственно, прямая линия на рис. 1.26 это лишь небольшой начальный участок криволинейного графика, описывающего зависимость F от x при всех значениях деформации x.

1.10.3 Модуль Юнга В частном случае малых деформаций стержней имеется более детальная формула, уточняющая общий вид (1.58) закона Гука.

Именно, если стержень длиной l и площадью поперечного сечения S растянуть или сжать на величину x, то для силы упругости справедлива формула:

Здесь E модуль Юнга материала стержня. Этот коэффициент уже не зависит от геометрических размеров стержня. Модули Юнга различных веществ приведены в справочных таблицах.

1.11 Сила тяготения Любые два тела притягиваются друг к другу по той лишь одной причине, что они имеют массу. Эта сила притяжения называется силой тяготения или гравитационной силой.

1.11.1 Закон всемирного тяготения Гравитационное взаимодействие любых двух тел во Вселенной подчиняется достаточно простому закону.

Закон всемирного тяготения. Две материальные точки массами m1 и m2 притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния r между ними:

Коэффициент пропорциональности G называется гравитационной постоянной. Это фундаментальная константа, и её численное значение было определено на основе эксперимента Генри Кавендиша:

Порядок величины гравитационной постоянной объясняет, почему мы не замечаем взаимного притяжения окружающих нас предметов: гравитационные силы оказываются слишком малыми при небольших массах тел. Мы наблюдаем лишь притяжение предметов к Земле, масса которой грандиозна и равна примерно 6 · 1024 кг.

Формула (1.59), будучи справедливой для материальных точек, перестаёт быть верной, если размерами тел пренебречь нельзя. Имеются, однако, два важных для практики исключения.

1. Формула (1.59) справедлива, если тела являются однородными шарами. Тогда r расстояние между их центрами. Сила притяжения направлена вдоль прямой, соединяющей центры шаров.

2. Формула (1.59) справедлива, если одно из тел однородный шар, а другое материальная точка, находящаяся вне шара. Тогда r расстояние от точки до центра шара. Сила притяжения направлена вдоль прямой, соединяющей точку с центром шара.

Второй случай особенно важен, так как позволяет применять формулу (1.59) для силы притяжения тела (например, искусственного спутника) к планете.

1.11.2 Сила тяжести Предположим, что тело находится вблизи некоторой планеты. Сила тяжести это сила гравитационного притяжения, действующая на тело со стороны планеты. В подавляющем большинстве случаев сила тяжести это сила притяжения к Земле.

Пусть тело массы m лежит на поверхности Земли. На тело действует сила тяжести mg, где g ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли. С другой стороны, считая Землю однородным шаром, можно выразить силу тяжести по закону всемирного тяготения:

где M масса Земли, R 6400 км радиус Земли. Отсюда получаем формулу для ускорения свободного падения на поверхности Земли:

Эта же формула, разумеется, позволяет найти ускорение свободного падения на поверхности любой планеты массы M и радиуса R.

Если тело находится на высоте h над поверхностью планеты, то для силы тяжести получаем:

Здесь g(h) ускорение свободного падения на высоте h:

В последнем равенстве мы воспользовались соотношением которое следует из формулы (1.60).

1.11.3 Вес тела. Невесомость Рассмотрим тело, находящееся в поле силы тяжести. Предположим, что есть опора или подвес, препятствующие свободному падению тела. Вес тела это сила, с которой тело действует на опору или подвес. Подчеркнём, что вес приложен не к телу, а к опоре (подвесу).

На рис. 1.27 изображено тело на опоре. Со стороны Земли на тело действует сила тяжести mg (в случае однородного тела простой формы сила тяжести приложена в центре симметрии тела). Со стороны опоры на тело действует сила упругости N (так называемая реакция опоры).

На опору со стороны тела действует сила P вес тела. По третьему закону Ньютона силы P и N равны по модулю (P = N ) и противоположны по направлению.

Предположим, что тело покоится. Тогда равнодействующая сил, приложенных к телу, равна нулю. Имеем:

С учётом равенства N = P получаем mg = P. Стало быть, если тело покоится, то его вес равен по модулю силе тяжести.

Рассмотрим две стандартные задачи, которые обязательно нужно уметь решать.

Задача. Тело массы m вместе с опорой движется с ускорением a, направленным вертикально вверх. Найти вес тела.

Решение. Направим ось Y вертикально вверх (рис. 1.28).

Запишем второй закон Ньютона:

Перейдём к проекциям на ось Y :

Отсюда N = mg + ma = m(g + a). Следовательно, вес тела Как видим, вес тела больше силы тяжести. Такое состояние называется перегрузкой.

Задача. Тело массы m вместе с опорой движется с ускорением a g, направленным вертикально вниз. Найти вес тела.

Решение. Направим ось Y вертикально вниз (рис. 1.29).

Схема решения та же. Начинаем со второго закона Ньютона:

Переходим к проекциям на ось Y :

Отсюда N = mg ma = m(g a). Следовательно, вес тела В данном случае вес тела меньше силы тяжести. При a = g (свободное падение тела с опорой) вес тела обращается в нуль. Это состояние невесомости, при котором тело вообще не давит на опору.

1.11.4 Искусственные спутники Для того, чтобы искусственный спутник мог совершать орбитальное движение вокруг планеты, ему нужно сообщить определённую скорость. Найдём скорость кругового движения спутника на высоте h над поверхностью планеты. Масса планеты M, её радиус R (рис. 1.30).

Спутник будет двигаться под действием единственной силы F силы всемирного тяготения, направленной к центру планеты. Туда же направлено и ускорение спутника центростремительное ускорение Обозначив через m массу спутника, запишем второй закон Ньютона в проекции на ось, направленной к центру планеты: ma = F, или Отсюда получаем выражение для скорости:

Первая космическая скорость это максимальная скорость кругового движения спутника, отвечающая высоте h = 0. Для первой космической скорости имеем:

или, с учётом формулы (1.60), Для Земли приближённо получаем:

1.12 Сила трения Сила трения это сила взаимодействия между соприкасающимися телами, препятствующая перемещению одного тела относительно другого. Сила трения всегда направлена вдоль поверхностей соприкасающихся тел.

В школьной физике рассматриваются два вида трения.

1. Сухое трение. Оно возникает в зоне контакта поверхностей твёрдых тел при отсутствии между ними жидкой или газообразной прослойки.

2. Вязкое трение. Оно возникает при движении твёрдого тела в жидкой или газообразной среде или при перемещении одного слоя среды относительно другого.

Сухое и вязкое трение имеют разную природу и отличаются по свойствам. Рассмотрим эти виды трения по отдельности.

1.12.1 Сухое трение Сухое трение может возникать даже при отсутствии относительного перемещения тел. Так, тяжёлый диван остаётся неподвижным при слабой попытке сдвинуть его с места: наша сила, приложенная к дивану, компенсируется силой трения, возникающей между диваном и полом.

Сила трения, которая действует между поверхностями покоящихся тел и препятствует возникновению движения, называется силой трения покоя.

Почему вообще появляется сила трения покоя? Соприкасающиеся поверхности дивана и пола являются шероховатыми, они усеяны микроскопическими, незаметными глазу бугорками разных форм и размеров. Эти бугорки зацепляются друг за друга и не дают дивану начать движение. Сила трения покоя, таким образом, вызвана силами электромагнитного отталкивания молекул, возникающими при деформациях бугорков.

Будем плавно увеличивать силу F, приложенную к дивану. Как вам хорошо известно, до некоторого момента диван всё ещё не поддаётся и стоит на месте. Это означает, что сила трения покоя f возрастает вместе с увеличением внешнего воздействия, оставаясь равной по модулю приложенной силе: f = F (рис. 1.31, участок OA). Причина возрастания силы трения понятна:

увеличиваются деформации бугорков и возрастают силы отталкивания их молекул.

Наконец, при определённой величине внешней силы диван сдвигается с места. Это означает, что сила трения покоя достигает максимально возможного значения f0 (рис. 1.31, точка A).

Деформации бугорков оказываются столь велики, что бугорки не выдерживают и начинают разрушаться. Возникает скольжение.

Сила трения, которая действует между проскальзывающими поверхностями, называется силой трения скольжения. В процессе скольжения рвутся связи между молекулами в зацепляющихся бугорках поверхностей. При трении покоя таких разрывов нет.

Сила трения скольжения уже не зависит от величины приложенной силы F и остаётся постоянной (рис. 1.31, горизонтальный участок AB). Сила трения скольжения равна максимальной силе трения покоя f0.

Объяснение сухого трения в терминах бугорков является максимально простым и наглядным. Реальные механизмы трения куда сложнее, и их рассмотрение выходит за рамки элементарной физики.

Сила трения скольжения, приложенная к телу со стороны шероховатой поверхности, направлена противоположно скорости движения тела относительно этой поверхности. При изменении направления скорости меняется и направление силы трения. Зависимость силы трения от скорости главное отличие силы трения от сил упругости и тяготения (величина которых зависит только от взаимного расположения тел, т. е. от их координат).

В простейшей модели сухого трения выполняются следующие законы. Они являются обобщением опытных фактов и носят приближённый характер.

1. Максимальная величина силы трения покоя равна силе трения скольжения.

2. Абсолютная величина силы трения скольжения прямо пропорциональна силе реакции Коэффициент пропорциональности µ называется коэффициентом трения.

3. Коэффициент трения не зависит от скорости движения тела по шероховатой поверхности.

4. Коэффициент трения не зависит от площади соприкасающихся поверхностей.

Этих законов достаточно для решения задач.

Задача. На горизонтальной шероховатой поверхности лежит брусок массой m = 3 кг. Коэффициент трения µ = 0,4. К бруску приложена горизонтальная сила F. Найти силу трения в двух случаях: 1) при F = 10 Н; 2) при F = 15 Н.

Решение. Сделаем рисунок, расставим силы. Силу трения обозначаем f (рис. 1.32).

Запишем второй закон Ньютона:

Вдоль оси Y брусок не совершает движения, ay = 0. Проектируя равенство (1.61) на ось Y, получим: 0 = mg + N, откуда N = mg.

Максимальная величина f0 силы трения покоя (она же сила трения скольжения) равна:

1) Сила F = 10 Н меньше максимальной силы трения покоя. Брусок остаётся на месте, и сила трения будет силой трения покоя: f = F = 10 Н.

2) Сила F = 15 Н больше максимальной силы трения покоя. Брусок начнёт скользить, и сила трения будет силой трения скольжения: f = f0 = 12 Н.

1.12.2 Вязкое трение Сила сопротивления, возникающая при движении тела в вязкой среде (жидкости или газе), обладает совершенно иными свойствами.

Во-первых, отсутствует сила трения покоя. Например, человек может сдвинуть с места плавающий многотонный корабль, просто потянув за канат.

Во-вторых, сила сопротивления зависит от формы движущегося тела. Корпус подводной лодки, самолёта или ракеты имеет обтекаемую сигарообразную форму для уменьшения силы сопротивления. Наоборот, при движении полусферического тела вогнутой стороной вперёд сила сопротивления очень велика (пример парашют).

В третьих, абсолютная величина силы сопротивления существенно зависит от скорости. При малых скоростях движения сила сопротивления прямо пропорциональна скорости:

При больших скоростях сила сопротивления прямо пропорциональна квадрату скорости:

Например, при падении в воздухе зависимость силы сопротивления от квадрата скорости имеет место уже при скоростях около нескольких метров в секунду. Коэффициенты и зависят от формы и размеров тела, от физических свойств поверхности тела и вязкой среды.

Так, парашютист при затяжном прыжке не набирает скорость безгранично, а с определённого момента начинает падать с установившейся скоростью, при которой сила сопротивления становится равна силе тяжести: