«ЭЛЕКТРОДИНАМИКА Учебная программа для высших учебных заведений по специальности 1-31 03 03 “Прикладная математика (по направлениям)”, СОГЛАСОВАНО Председатель научно-методического совета по прикладной математике и ...»

Учебно - методический комплекс “Электродинамика”.

1. Учебная программа для высших учебных заведений по

специальности 1-31 03 03 “Прикладная математика (по

направлениям)”.

2. Курс лекций “Электродинамика”.

 

3. Задачи и упражнения по курсу “Электродинамика”.

 

4. Экзаменационные вопросы по курсу “Электродинамика”.

 

Подготовил доцент кафедры математической физики

Урбанович А. И.

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

Учебная программа для высших учебных заведений по специальности 1-31 03 03 “Прикладная математика (по направлениям)”,

СОГЛАСОВАНО

Председатель научно-методического совета по прикладной математике и информатике П. А. Мандрик “ ” 06.2006 г.

Первый проректор Государственного учреждения образования Республиканский институт высшей школы»

В. И. Дынич “ ” 06.2006 г.

Утверждено Учебно-методическим объединением вузов Республики Беларусь по естественнонаучному образованию 30.06.2006 г.

Регистрационный №ТД-G065/тип.

Минск Составитель:

А. И. Урбанович, доцент кафедры математической физики Белорусского государственного университета, кандидат физико-математических наук.

Программа разработана кафедрой математической физики Белорусского государственного университета.

Рецензенты:

кафедра физики УО “Белорусский национальный технический университет”;

Е. Е. Трофименко, заведующий кафедрой технической физики УО “Белорусский национальный технический университет”, кандидат физико-математических наук, доцент.

Рекомендовано к утверждению в качестве типовой программы:

кафедра математической физики Белорусского государственного университета, протокол №9 от 14 марта 2006 г.;

Научно-методический совет Белорусского государственного университета, протокол № от 26 мая 2006 г.

Согласовано:

Научно-методический совет по прикладной математике и информатике, 28 июня 2006 г.;

Государственное учреждение образования “Республиканский институт высшей школы”, июня 2006 г.

Ответственный за редакцию: А. И. Урбанович.

Ответственный за выпуск: О. А. Кастрица.

Пояснительная записка Дисциплина «Электродинамика» знакомит студентов с теорией электромагнитных явлений. Данный курс отражает современный уровень науки и образования. Запас сведений о законах электромагнитных явлений» имеющийся у студента из курса физики средней школы, преобразуется в современное научное знание, а обоснование теории анализируется в свете современного состояния экспериментальных основ электромагнетизма с учетом пределов применимости используемых понятий.

Основной задачей курса является изложение экспериментального обоснования теории в локальной форме, т.е. в виде соотношений между величинами в одной и той же пространственно-временной точке. Конечным продуктом курса являются уравнения Максвелла как результат обобщения и математической формулировки установленных в эксперименте закономерностей. Они же выступают и как инструмент исследования этих закономерностей. Обращается большое внимание на вопросы о границах применимости теории и области применимости используемых в теории понятий и моделей. В процессе преподавания проводится определенная связь с курсом уравнений математической физики.

В соответствии с образовательным стандартом по специальности учебная программа предусматривает для изучения дисциплины 50 аудиторных часов, в том числе лекционных - 34, практических - 12 и 4 часа контролируемой самостоятельной работы.

Микроскопические носители электрических зарядов. Классификация. Электрон.

Протон. Нейтрон. Что означает непрерывное распределение электрического элементарного заряда? Спин и магнитный момент. Элементарный заряд, его инвариантность. Заряженные тела. Электризация.

Электрический ток. Движение зарядов. Объемная и поверхностная плотность зарядов. Плотность тока. Сила тока через поверхность.

Закон сохранения заряда. Формула Гаусса-Остроградского. Интегральная и дифференциальная (уравнение непрерывности) форма сохранения заряда.

Закон Кулона. Полевая трактовка закона Кулона. Электрическое поле неподвижных зарядов. Напряженность электрического поля. Принцип суперпозиции.

Электростатическая теорема Гаусса. Интегральная и дифференциальная формулировка закона Кулона.

Потенциальность электрического поля. Работа в электрическом поле. Формула Стокса. Потенциальность кулоновского поля. Скалярный потенциал. Выражение работы через потенциал. Потенциал поля точечного заряда и системы точечных зарядов.

Теорема Ирншоу.

Электростатическое поле в вакууме. Уравнения Лапласа и Пуассона.

Электрическое поле при наличии проводников и диэлектриков Электростатическое поле при наличии проводников. Дифференциальная форма закона Ома. Классификация материалов по проводимости. Электрическая индукция.

Конденсаторы. Проводящий шар в однородном поле. Поле диполя. Метод изображений.

Электростатическое поле при наличии диэлектриков. Дипольный момент непрерывного распределения зарядов. Поляризация диэлектриков. Полярные и неполярные диэлектрики. Вектор поляризованности. Зависимость поляризованности от напряженности электрического поля. Электрическое смещение. Диэлектрическая проницаемость. Электростатическая теорема Гаусса при наличии диэлектриков.

Энергия электрического поля. Энергия взаимодействия дискретных зарядов.

Энергия заряженных проводников. Энергия диполя во внешнем поле.

Постоянный электрический ток. Действие электрического тока. Работа и мощность тока. Закон Джоуля-Ленца. Линейные цепи. Правила Кирхгофа. Сверхпроводимость.

Критическая температура.

Магнитное поле стационарных токов. Вектор индукции магнитного поля. Закон Ампера. Закон Био-Савара. Закон полного тока в интегральной и дифференциальной форме. Векторный потенциал.

Магнетики. Магнитное поле при наличии магнетиков. Намагничен ность.

Напряженность магнитного поля. Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики.

Явление магнитного гистерезиса.

Сила Лоренца. Закон электромагнитной индукции Фарадея в дифференциальной форме. Энергия магнитного поля.

Система уравнений Максвелла. Ток смещения. Материальные уравнения среды.

Линейные материальные уравнения — одна из возможных моделей реальных сред.

Нелинейные среды.

Излучение электромагнитных волн. Уравнение для векторного и скалярного потенциала. Запаздывающие потенциалы. Разложение по мультипо-лям. Переменное электромагнитное поле в вакууме. Плоские волны. Интерференция, дифракция. Принцип Гюйгенса-Френеля. Распространение электромагнитных волн в диэлектриках и проводниках. Закон сохранения энергии электромагнитного поля. Поток энергии. Вектор Умова-Пойнтинга.

Матвеев А.Н. Электричество и магнетизм. - М.: Высшая школа. 1983. 463 с.

Калашников С.Г. Электричество. - М.: Наука: 1977, 592 с.

Иродов И.Е. Основные законы электромагнетизма. - М.: Высшая школа.

1983.-273 с.

Тамм И.Е. Основы теории электричества. - М.: Наука. 1976. - 563 с.

Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных произ водных математической физики. - М.: Высшая школа. 1970. - 710 с.

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

И ИНФОРМАТИКИ

ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

УДК 537-538(075) ББК 22. М Урбанович А.И.

Электродинамика: курс лекций.

/А.И. Урбанович. – Минск: БГУ, 2008. – 99с.

Настоящий курс лекций посвящен изложению основ электродинамики.

Физика как фундаментальная естественнонаучная дисциплина предназначена для формирования у студентов физического образа мышления.

Представленный курс ставит целью обучение студентов старших курсов основным законам электродинамики, построению математических моделей электромагнитных явлений, а также их анализу на основе аналитических решений ряда задач. Электромагнитные явления наиболее широко представлены в окружающем нас мире. Чрезвычайно велико значение теории электромагнитных явлений. Она сыграла решающую роль в возникновении и обосновании и обосновании теории относительности и явилась тем «полигоном», на котором проходили проверку многие новые идеи.

Существует два пути обоснования и изложения теории электромагнитных явлений, а именно: с теорией относительности или без нее. В курсе выбран второй путь, где в качестве экспериментальных основ теории взяты инвариантность элементарного заряда, закон сохранения заряда, закон Кулона, принцип суперпозиции для электрического поля, закон Био-Савара, принцип суперпозиции для магнитного поля, сила Лоренца, закон электромагнитной индукции Фарадея, закон сохранения энергии, токи смещения, система уравнений Максвелла. В соответствии с таким путем изложения материала в курсе можно выделить четыре раздела:

- электрическое поле при наличии проводников;

- энергия электрического поля и постоянный электрический ток;

- магнитное поле и электромагнитная индукция;

- электромагнитные волны.

В первом разделе дана классификация микроскопических носителей электрических зарядов и рассмотрены основные законы электростатики как в интегральной так и в дифференциальной форме. Для нахождения напряженности электрического поля используется электростатическая теорема Гаусса, а для расчета потенциалов используется уравнение Лапласа и Пуассона. Рассматривается также метод электростатических изображений, изучается электростатическое поле при наличии диэлектриков и полупроводников.

Второй раздел охватывает вопросы, связанные с энергией электрического поля и электрическим током в проводниках, рассматриваются методы расчета линейных цепей.

Третий раздел посвящен магнитным явлениям, вызываемым стационарными токами в вакууме и магнетиках, явлению электромагнитной индукции.

Конечным результатом материала, изложенного в этих разделах является система уравнений Максвелла, которая затем используется в четвертом разделе для описания волновых процессов, протекающих в вакууме, линейных диэлектриках и проводниках. Обращается внимание на вопросы о границах применимости теории и области применимости используемых в теории понятий и моделей.

Представленный курс «Электродинамика» читается для студентов факультета прикладной математики и информатики Белорусского государственного университета по специальности 1- 31.03.03 «Прикладная математика».

Пусть V некоторая область трехмерного пространства. Если каждой точке M области V поставлено в соответствие одно и только одно действительное число f(M), то говорят, что в области V задано скалярное поле f=f(M). Если же каждой точке M области V поставлен в соответствие один и только один вектор a (M ), то говорят, что в области V задано векторное поле a = a (M ). В фиксированной декартовой системе координат Oxyz задание скалярного поля равносильно заданию скалярной функции f=f(x,y,z), а векторного поля — заданию векторной функции a = a ( x, y, z ), причем где ax, a y, a z — компоненты вектора a соответственно по осям Ox, Oy, Oz.

В дальнейшем будем считать, что функция f(x,y,z) и компоненты Ox, Oy, Oz непрерывны в области V вместе со своими частными производными.

В курсе электродинамики и рассматриваются скалярные и векторные величины, зависящие в общем случае от координат (x,y,z) и времени t.

Основной характеристикой скалярного поля является градиент.

Градиент — это векторная функция, аргументом у которой является скалярная функция точки. Если f (x, y, z) — скалярная функция заданная в Нормальная производная или производная вдоль нормали – это скалярное произведение вектора grad f на вектор нормали n, т. е. r = grad f n и она Пусть заданы два вектора: a = iax + ja y + kaz, b = i bx + j by + k bz Скалярное произведение: ( a b ) = a b cos( a ^ b ) = a x bx + a y by + c z bz Дивергенция — скалярная функция, аргументом которой является векторная функция точки. Пусть a ( x, y, z ) — векторная функция и a x,a y,a z — проекции Ротор — это векторная функция, аргументом которой является векторная функция точки, т.е.

Оператор Лапласа в декартовой системе координат: = + 2+ 2.

Оператор Гамильтона (символический вектор): = i + j + k.

С его помощью можно записать градиент, дивергенцию и ротор, а именно:

Наиболее часто встречаемые формулы.

div rot a = 0, rot grad f = 0, div fa = fdiva + agradf, rot rot a = grad div a a Циркуляция вектора.

Пусть задана дуга AB и произвольная точка М на ней. a (M ) векторное поле.

Циркуляцией вектора a по дуге AB называется значение криволинейного Если векторное поле a = gradf, то зависит только от начальной и конечной точек пути интегрирования.

Поток вектора.

Пусть задана двухсторонняя поверхность S. М - переменная точка на этой поверхности. Возьмем элементарную площадку dS, содержащую точку М, и проведем вектор единичной нормали n. Введем обозначение: dS = dSn.

Пусть задано векторное поле a (M ). Тогда потоком вектора a через поверхность S, ограничивающую некоторый объем V называют значение двойного интеграла:

Теорема Остроградского-Гаусса.

Теорема Остроградского-Гаусса — это теорема, выраженная формулой:

div a dV = a dS или div a dV = a dS — интеграл от дивергенции a, распространенный r а объеме V, равен потоку вектора a, направленному по внешней нормали n через замкнутую поверхность S, ограничивающую этот объем. С физической точки зрения эта теорема может быть сформулирована Если внутри объема V имеются источники, порождающие векторное поле a, то имеются и стоки.

Формула Стокса.

Предположим, имеется замкнутый контур l, ограничивающий поверхность S, и задано векторное поле a (M ). Тогда циркуляция вектора a по замкнутому контуру равна потоку вектора rot a через поверхность, ограниченную этим контуром:

adl = rot adS или adl = rot adS.

Оператор Лапласа в цилиндрической системе координат (r,, z ) имеет вид:

Оператор Лапласа в сферической системе координат (r,, ) имеет вид:

где — полярный угол; — азимутальный угол.

Фундаментальные силы в природе.

В настоящее время в физике известны четыре вида взаимодействий материальных объектов:

- гравитационное;

- электромагнитное;

- сильное;

- слабое.

Эти взаимодействия проявляют себя в различных пространственных масштабах, т.е. для каждого из них существует свой радиус взаимодействия (расстояние, на котором данное взаимодействие заметно), и характеризуется своей интенсивностью.

Гравитационное взаимодействие заметно между телами астрономических масштабов и радиус его взаимодействия огромен.

Сильное взаимодействие обнаруживает себя между определенными частицами при их сближении на расстояние порядка 10-15-10-14м. Сильное взаимодействие связывает между собой нуклоны (протоны и нейтроны) в ядре и именно оно ответственно за различные ядерные процессы, при которых освобождается огромное количество энергии.

Слабое взаимодействие осуществляется при взаимопревращении некоторых частиц и радиус этого взаимодействия порядка 10-18-10-17м. Именно благодаря слабому взаимодействию происходит распад свободного нейтрона на электрон e, протон p + и антинейтрино *, т.е. n e + p + + *. Время жизни нейтрона в свободном состоянии приблизительно 17 минут.

Электромагнитное взаимодействие проявляется в тех пространственных масштабах, в которых осуществляется наша повседневная жизнь.

Практически все силы, обуславливающие физические явления вокруг нас, кроме гравитационных, являются в конечном итоге силами с электромагнитной природой (силы трения, упругости, вязкости и др.).

Электромагнитные силы проявляют себя от расстояний порядка размеров Земли до атомных расстояний, т.е. в пределах от 107 до 10-10 (м).

Электромагнетизм весьма многогранен. Его проявления мы видим в электромоторе, лазере, радиотелескопе, свет тоже имеет электромагнитную природу.

электромагнитными взаимодействиями, не могут быть описаны законами электродинамики, поскольку на каждом уровне явления существуют свои специфические черты и закономерности, не сводимые к закономерностям другого уровня. Однако электромагнитные взаимодействия на всех уровнях являются в определенном смысле элементарной связью, с помощью которой образуется вся цепь связей. Этим определяется практическое значение электромагнитных явлений.

Очень существенно общефилософское и мировоззренческое значение электромагнетизма. Например, в рамках электромагнитных явлений отчетливо проявляются особенности полевой теории существования материи, хорошо прослеживается взаимопревращение ее различных форм и взаимопревращение различных форм энергии.

§1.Микроскопические носители электрических зарядов Классификация.

Под микроскопическими носителями зарядов понимают заряженные частицы и ионы. Они могут нести как положительный, так и отрицательный заряд. По числовому значению он может быть лишь в целое число раз больше элементарного:

e 1,610 19 Кл К настоящему времени, не смотря на значительные экспериментальные усилия, не обнаружено микроскопических носителей с дробным зарядом в свободном состоянии.

Известно более 200 частиц и громадное число ионов, атомов и молекул.

Большая часть частиц после возникновения существует непродолжительное время, по истечении которого распадается на другие частицы, т.е. частицы имеют конечное время жизни. В большинстве случаев оно чрезвычайно мало и составляет ничтожные доли секунды. Но есть небольшое число заряженных частиц, имеющих бесконечное время жизни. Это электрон, протон и их античастицы: позитрон и антипротон. Протоны входят в состав ядер атомов, а электроны в состав электронных оболочек атомов. Именно эти частицы и обуславливают практически все явления, изучаемые в курсе электричества и магнетизма. В состав ядер входят также и нейтроны. Они электрически нейтральны и время их жизни в составе ядер не ограничено. Однако, вне ядер, т.е. в свободном состоянии, время их жизни порядка 17 минут. Электроны и протоны в свободном состоянии имеют бесконечное время жизни.

Заряженность ионов обусловливается тем, что в состав электронной оболочки атома или молекулы входят “лишние” электроны (отрицательные ионы), или их недостает одного или нескольких (положительные ионы). Поэтому вопрос об ионах как микроскопических носителях зарядов сводится к вопросу о зарядах электронов и протонов.

Электрон.

Электрон является материальным носителем элементарного отрицательного заряда e. Обычно принимается, что электрон является точечной бесструктурной частицей, т.е. весь электрический заряд электрона сосредоточен в точке. Такое представление внутренне противоречиво, так как энергия электрического поля, создаваемого точечным зарядом, бесконечна, а, следовательно, должна быть бесконечной и инертная масса точечного заряда, что противоречит эксперименту, поскольку масса электрона равна me 9,1 10 кг. Однако с этим противоречием приходится мириться вследствие отсутствия более удовлетворительного и менее противоречивого распределен по пространству. Была получена характерная кривая, содержащая два ярко выраженных максимума (Рисунок 1а). Если по оси ординат отложить плотность суммарного по всем направлениям заряда на расстоянии r от центра 4r 2 (r ) (поскольку величина 4r 2 (r )dr – полный заряд в сферическом слое, толщиной dr при плотности (r ) ), то можно видеть что практически весь заряд протона сосредоточен в шаре порядка 10 15 м.

После первого максимума 4r 2 (r ) не убывает монотонно, а имеет еще один максимум.

Нейтрон.

Аналогичные эксперименты были проведены также по рассеянию электронов на нейтронах. Оказалось, что внутри нейтрона также имеется электромагнитная структура. Распределение заряда приведено на рисунке 2а.

Очевидно, вблизи центра нейтрона располагается положительный заряд, а дальше от центра – отрицательный. Площади, ограниченные кривыми и осью абсцисс, равны, следовательно, положительный заряд равен отрицательному, и в целом нейтрон электрически нейтрален. Отметим, что размеры областей, в которых сосредоточены электрические заряды у протона и нейтрона примерно одинаковы.

Что означает непрерывное распределение электрического элементарного относительное время пребывания на различных расстояниях от центра может быть эффективно представлено в виде размазанности заряда по объему. В свободном состоянии кварки не обнаружены. В настоящее время считается, что их в принципе нельзя обнаружить в свободном состоянии, поскольку для этого надо затратить бесконечную энергию, а внутри протона и нейтрона они все же существуют. Такое допущение позволяет объяснить многие явления и поэтому принимается в качестве весьма вероятной гипотезы.

Спин и магнитный момент.

Кроме заряда частицы могут обладать моментом импульса, который называют спином. Спин не обусловлен вращением частицы вокруг оси, ибо для такого объяснения пришлось бы допустить наличие линейной скорости вращения, большей скорости света, что невозможно. Поэтому спин рассматривается как внутреннее свойство частицы и с ним связано наличие у частицы магнитных свойств, а именно наличие магнитного момента, который также не может быть объяснен движением заряда и рассматривается как первоначальное свойство частицы. Отметим, что в классической электродинамике магнитный момент может быть лишь результатом движения зарядов по замкнутым траекториям.

Поэтому спиновый магнитный момент частиц не может быть описан в классической теории электричества и магнетизма. Однако магнитное поле, обусловленное спиновыми магнитными моментами, может быть при необходимости описано феноменологически. Как правило, напряженность этого поля очень мала. Лишь в случае постоянных магнитов оно достигает больших значений. Классическая теория не в состоянии описать механизм возникновения этого поля, но само поле вне постоянных магнитов полностью описывается классической теорией.

Элементарный заряд и его инвариантность.

Мысль о дискретности электрических зарядов была впервые высказана Франклином в 1752 г., однако, как экспериментальный результат дискретность электрических зарядов в принципе следует из открытых в г. М. Фарадеем (1791-1867) законов электролиза. Но этот вывод из законов электролиза был сделан лишь в 1881 г. Г.Л. Гельмгольцем (1821-1894) и Д.

Стонеем (1826-1911). В 1895 г. Г. Лоренц (1853-1928) разработал теорию электромагнетизма, основывающуюся на представлении о реально существующих элементарных зарядах (электронах). Числовое значение элементарного заряда было теоретически вычислено на основании законов электролиза. А прямое экспериментальное измерение элементарного заряда было впервые выполнено Милликеном (1868-1953) в 1909 г.

силы Fe и силы вязкого трения Fтр. Уравнение второго закона Ньютона имеет вид:

Все силы, кроме Fe = qE могут быть измерены экспериментально при движении частицы без электрического поля. Значит из (1.1) можно найти qE, а зная E найти q. Заряд частицы меняется с течением времени, что отражается на движении частицы. Найдя q1 и q2 в разные моменты времени можно найти q = q2 q1. Можно также изменять напряженность электрического поля и добиться, чтобы частица находилась в покое. В этом случае сила трения отсутствует, а остальные силы известны. Поэтому, зная E, можно определить q. Произведя большое число измерений зарядов, Милликен нашел, что q является всегда кратным одной и той же величине Естественно в дальнейшем были разработаны более современные методы (резонансный метод) но результат был один - дробных зарядов в свободном состоянии не существует.

В опытах по измерению зарядов измерялся как положительный так и отрицательный элементарный заряд. В настоящее время экспериментально установлено, что отрицательный элементарный заряд электрона равен по абсолютному значению положительному заряду протона с относительной точностью 10-21, т.е. во всяком случае Инвариантность заряда.

Инвариантность заряда состоит в независимости его численного значения от скорости. Фактически инвариантность доказывается фактом нейтральности атома. Из – за различий масс электрона и протона можно заключить, что электроны в атомах движутся гораздо быстрее протонов. И если бы заряд зависел от скорости, то нейтральность была бы нарушена. В настоящее время экспериментально доказана инвариантность заряда для скоростей электронов вплоть до e 0,5c, где с=3 108 м/с – скорость света в вакууме. Нет оснований предполагать, что он не инвариантен и при более высоких скоростях.

Поэтому инвариантность заряда принимается в качестве одного из экспериментальных обоснований теории электричества.

В теории электричества считается, что элементарные заряды считаются точечными, а значит и электроны, и протоны можно принимать за материальные точки.

В большинстве изучаемых макроскопических явлений участвует огромное количество зарядов, и поэтому их дискретность никакого проявления не имеет, а значит можно считать, что заряд непрерывно распределен либо по пространству с объемной плотностью, или по поверхности с поверхностной плотностью, или вдоль линий с линейной плотностью.

Объемная плотность зарядов.

Объемной плотностью непрерывного распределения зарядов называется отношение суммы всех элементарных зарядов в объеме к объему:

где ei -элементарные заряды в объеме Vф, Q -полный заряд заключенный в объеме Vф ;

Vф -бесконечно малый объем в физическом смысле. Это означает, что он достаточно мал и его положение в пространстве можно определять тройкой чисел ( x, y, z ), и = ( x, y, z ), но с другой стороны в объеме Vф находится достаточно большое количество заряженных частиц, так что небольшое изменение числа частиц не сопровождается существенным изменением, вычисленной по формуле (2.1). Переходя к интегралу можно записать что Q = dV, где dV - дифференциал объема.

Поверхностная плотность зарядов.

Иногда заряд находится в тонком слое вблизи некоторой поверхности. Если нас интересует действие заряда на расстояниях, много больших, чем толщина слоя, а не процессы в этом слое, то можно предположить, что весь заряд сосредоточен на поверхности, или, другими словами, этот очень тонкий слой можно считать поверхностью. В этом случае вводится поверхностная плотность зарядов:

где S ф - бесконечно малая площадь в физическом смысле.

Полный заряд на поверхности S равен где dS – дифференциал площади поверхности.

Плотность тока.

Заряды, находящиеся в объеме Vф, движутся с разными скоростями, отличными как по модулю, так и по направлению. Движение зарядов приводит к переносу заряда в направлении скорости. Поэтому в результате различных движений зарядов, заключенных в объеме Vф, образуется некоторый средний перенос заряда, заключенного в этом объеме.

Интенсивность этого переноса характеризуется плотностью тока:

где i - скорость зарядов ei.

Введя понятие средней скорости можно показать, что направление плотности тока положительных зарядов совпадает с направлением их средней скорости, а отрицательных - противоположно ей. Тогда где и объемная плотность и средняя скорость зарядов соответственно.

Сила тока через поверхность.

Вычислим заряд, который за dt пересекает элемент поверхности dS.

времени. Поэтому бесконечно малая сила тока dJ, протекающего через элемент поверхности dS равна Сила тока, протекающего через поверхность S равна интегралу по этой поверхности от элементов силы тока (2.7) Существует два аспекта понятия закона сохранения заряда:

Аспект 1. Электроны и протоны являются материальными частицами с бесконечным временем жизни, а их элементарные электрические заряды инвариантны - это означает, что при любых движениях их заряды сохраняются. Значит их заряды существуют без изменения столь долго, сколь долго существует протон и электрон независимо от того как они движутся.

Аспект 2. Кроме электронов и протонов существует большое число других заряженных элементарных частиц с конечным временем жизни. Весь громадный экспериментальный материал показывает, что при любых взаимных превращениях частиц суммарный заряд частиц сохраняется.

Соединяя эти два аспекта в один, заключаем: что заряд сохраняется во всех процессах и движениях, связанных с носителями зарядов. Однако, несмотря на относительную самостоятельность, заряд не может существовать независимо от носителей заряда или вне пространства и времени. Это означает, что заряд не является самостоятельной сущностью, независимой от материи, он выражает одно из свойств материи. Еще не ясно, почему существует только один элементарный заряд и почему он равен e, а не какому-то другому значению.

Интегральная формулировка закона сохранения заряда.

Исходя из закона сохранения заряда, как экспериментального факта можно записать:

Это означает: что изменение со временем заряда внутри объема V может происходить либо за счет втекания, либо за счет вытекания зарядов через замкнутую поверхность S, ограничивающую этот объем. Напомним что у замкнутых поверхностей положительной нормалью является вектор n т.е.

изменение заряда может быть связано с потоком плотности тока Знак (-) учитывает тот факт, что если положительный заряд внутри объема уменьшается, то плотность тока направлена под острым углом к вектору положительной нормали к поверхности.

Воспользуемся формулой Остроградского-Гаусса:

тогда и в силу произвольности объема V можно заключить, что подынтегральное выражение равно нулю, т.е. справедливо соотношение Выражение (3.3) является записью закона сохранения заряда в дифференциальной форме и часто (3.3) называют уравнением непрерывности.

Закон Кулона сформулирован для силы взаимодействия двух точечных зарядов q1 и q2, т.е. для зарядов, размеры которых малы по сравнению с расстоянием r, на котором рассматривается данное взаимодействие, и имеет вид:

взаимодействия, k - коэффициент пропорциональности: k =9 109.В электрическая постоянная, тогда Он был установлен Ш.О. Кулоном (1736-1806) в 1785 г. Посредством прямых измерений сил взаимодействия между заряженными телами.

Закон Кулона (4.1) входит в число основных экспериментальных фактов, на которых построено учение об электричестве. Проверка его справедливости и установление границ применимости являются важнейшими задачами, на решение которых были направлены значительные усилия экспериментаторов.

Проверка закона (4.1) посредством прямого измерения сил взаимодействия с очень большой точностью затруднительна, поскольку в распоряжении экспериментаторов нет покоящихся точечных зарядов. Поэтому с результатами экспериментов обычно сравнивают следствия из закона Кулона и на этой основе делаются заключения о границах его применимости и точности.

Первая экспериментальная проверка закона была проведена в 1772 г. Г.

Кавендишем (1731-1810) за 13 лет до открытия его Кулоном. Однако он не опубликовал своей работы и тем самым потерял приоритет на открытие.

Рукопись, содержащая описания его опытов, была найдена в архивах лишь примерно в конце 60-х годов XIX столетия. Метод Кавендиша широко применялся и в последнее время позволил проверить закон кулона с большой точностью.

Закон Кулона многократно проверялся и в настоящее время достоверно установлено, что он справедлив для расстояний от 10 17 м до10 7 м. Нет сомнений, что и для больших расстояний закон Кулона так же хорошо выполняется, однако прямых экспериментальных проверок не проводилось.

Полевая трактовка закона Кулона.

До работ Фарадея закон Кулона трактовался с позиции дальнодействия, т.е.

считалось, что одно тело действует на другое как бы без посредников.

Поэтому и называлась это концепция как действие на расстоянии. В первой половине XIX в. выработалась другая точка зрения на механизм взаимодействия, согласно которой взаимодействие между телами осуществляется лишь посредством непрерывной «передачи сил» через пространство между телами. Такое представление получило название концепции близкодействия. Она была введена в науку Фарадеем (1791-1867) в ряде работ, опубликованных в период с 1831 по 1855 г. Вместе с идеей близкодействия в науку вошло представление о поле как посреднике, осуществляющем взаимодействие. В процессе научных исследований была доказана несостоятельность теории дальнодействия. Согласно теории близкодействия взаимодействие выглядит так: заряд создает электрическое поле, которое действует на другой заряд, внесенный в это поле, т.е Пусть имеется некоторое заряженное тело с зарядом q0, а точка A находится на некотором расстоянии от него. Если в точку A вносить пробные заряды При этом зададим граничное условие в виде: (0) = 0.

Тогда где A1, A2, B1, B2 - постоянные интегрирования. Поскольку потенциал всюду должен быть конечен, а ln r при r 0, поэтому в последнем решении необходимо положить A1 = 0. Если учесть граничное условие 1 (0) = 0,то B1 = 0.

Таким образом, Поскольку поверхностные заряды отсутствуют, напряженность электрического поля на поверхности цилиндра непрерывна, т.е. непрерывна производная от потенциала. Условие непрерывности потенциала и его производной при r=a имеет вид двух алгебраических уравнений для определения двух оставшихся пока неизвестными постоянных A2 и B2:

откуда следует система алгебраических уравнений для A2 и B2:

Подставим это соотношение в 2 (r ), получим Емкостные коэффициенты двух проводящих шаров.

Предположим, имеется два проводящих шара с радиусами a, центры которых расположены на расстоянии r, содержащие заряды Q1 и Q2 и пусть r >> a.

Последнее условие позволяет сохранить сферическую симметрию поля каждого из зарядов.

Умножим первое уравнение на r, второе на (-a) и после преобразований получим:

Но Q1 = c111 + c12 2,, а Q2 = c121 + c22 2,.  Сопоставляя эти выражения с полученными для Q1 и Q2 легко найти, что коэффициенты:

Q1 = c111 + c12 2, Q2 = c121 + c Достаточно положить Q1 = Q, Q2 = Q, найти 1 и 2, затем и можно получить C = (9.10) В большинстве случаев форма обкладок конденсатора и их взаимное расположение подбирают таким образом, чтобы внешние поля не влияли существенно на электрическое поле между ними, и силовые линии, начинающиеся на одной из обкладок, обязательно заканчивались на другой.

Благодаря этому всегда обеспечивается равенство абсолютных значений зарядов на обкладках. В зависимости от формы обкладок конденсаторы бывают сферическими, цилиндрическими и плоскими. Вычисление емкости конденсатора производится следующим образом: мысленно заряжаем обкладки равными по величине и противоположными по знаку зарядами Q, затем вычисляем разность потенциалов между обкладками. И затем Фактически вычисление емкости конденсатора сводится к определению разности потенциалов между обкладками при известном заряде на обкладках.

Сферический конденсатор.

Даны 2 сферы с общим центром. Пусть на внутренней обкладке сферического конденсатора имеется заряд +Q, на внешней –Q.

Используя Электростатическую теорему Гаусса легко Тогда емкость:

Цилиндрический конденсатор.

Рассмотрим два коаксиальных цилиндра с радиусами R1 и R2. EI = EIII = 0.

Тогда емкость цилиндрического конденсатора:

Плоский конденсатор.

Тогда емкость плоского конденсатора Последовательное соединение конденсаторов.

Очевидно:

123 Формула (9.14) определяет электроемкость k параллельно соединенных конденсаторов.

Параллельное соединение конденсаторов.

На основании закона сохранения заряда Q1 + Q2 = Q, C1u + C2u = Cu, т.к.

напряжение на каждом конденсаторе равно U, следовательно C1 + C 2 = C x.

Обобщить систему из k конденсаторов, получаем:

§ 10. Метод электростатических изображений.

В теории электромагнетизма доказано, что решение корректно поставленных задач единственно. Существует наглядный метод нахождения поля, удовлетворяющего условиям задачи, называемый методом изображений.

Его суть состоит в следующем. Поле точечного заряда хорошо известно.

Стараются подобрать такую систему точечных зарядов, суммарное поле которых удовлетворяет всем условиям задачи. Из теоремы об единственности решения заключаем, что это поле дает искомое решение. Математически задача сводиться к нахождению потенциала, удовлетворяющего условиям задачи. Напряженность Е направлена перпендикулярно эквипотенциальным поверхностям и вычисляется как взятый с обратным знаком градиент от потенциала. Получить форму эквипотенциальных поверхностей системы точечных зарядов в принципе легко.

Фактически сказанное означает, что если нарисовать картину силовых линий поля, создаваемого системой заряженных объектов, и она совпадает с картиной силовых линий поля, создаваемого системой точечных зарядов, то это означает, что эти поля одинаковы. И сложный расчет поля в первом случае изменяется на довольно простой во втором. Еще раз отметим, что в графической интерпретации это означает, что у этих полей одинаковая картина силовых линий.

Пример 1.

Дана проводящая бесконечная плоскость и заряд q > 0 на расстоянии r от плоскости. Найти поле в точке М.

(15.5) где < p > - среднее значение дипольных, равных друг другу по абсолютному значению, но различно направленных в пространстве.

При внесении неполярного диэлектрика в электрическое поле под действием поля положительные заряды смещаются по полю, а отрицательные – противоположно поля и молекула приобретает небольшой дипольный момент, а сам диэлектрик характеризуется вектором поляризации P = Nр (11.6) В общем случае и у полярных молекул тоже происходит небольшой сдвиг зарядов, который увеличивает степень поляризации диэлектриков. В общем случаеrзависимость P от напряженности поля E носит вид функционала, т.е.

P = f (E ), но во многих случаях это зависимость можно представить в виде ряда по степеням E, в котором каждый последующий член меньше Диэлектрики с такой зависимостью P (E ) называются нелинейными и нелинейность r проявляется лишь в сильных полях. В слабых полях зависимость P (E ) носит линейный характер и может быть записана в виде P = 0E, (11.7) где – диэлектрическая восприимчивость.

Влияние поляризации на электрическое поле Дипольный момент элемента объема dV в соответствии с (11.5) равен и совпадает по направлению с напряженностью поля E, т. к. > 0.

Поэтому напряженность поля, создаваемого диполем, направлена противоположно вектору напряженности электрического поля и ослабляет его.

Следовательно, роль поляризации при этом сводится лишь к разделению положительных и отрицательных зарядов, в результате в объеме и на поверхности диэлектрика образуются поляризационные или связанные заряды. Эти заряды как бы привязаны в различных местах диэлектрика и не могут свободно перемещаться по его объему или поверхности. Они порождают электрическое поле так же как и свободные заряды.

электрические заряды приходят в движение сквозь этот элемент поверхности. Вычислим заряд, пересекающий r элемент dS при возникновении поляризованности P. Для упрощения формул будем считать, что движутся лишь q - заряд диполя, l - плечо диполя, соответствующее поляризованности P, N - концентрация зарядов. Площадку dS при возникновении поляризованности P пересекут все обусловленного поляризацией, находились в объеме dV = dS h = dSl cos, следовательно Формула (11.9) определяет заряд, который покинет элементарный объем, и тогда в этом объеме останутся заряды противоположного знака, т.е.

связанные заряды dqсв = PdS qсв = PdS (11.10) Если к (11.9) применить теорему Остраградского-Гаусса, то получим св = divP.

(11.12) Таким образом, объемные связанные заряды могут возникать только в диэлектриках, где поляризация изменяется от точки к точке, т.е. в неоднородных диэлектриках. Выясним, в каком случае в диэлектрике объемная плотность связанных зарядов равна нулю.

Учитывая (11.6): 0 EdS = q св, и используя теорему Гаусса, получим (11.13) Объемная плотность связанных зарядов в диэлектрике равна нулю, если он однородный и в нем не должно быть свободных зарядов с плотностью. В этом случае у диэлектрика могут быть только поверхностные связанные заряды, с поверхностной плотностью Граничное условие для P.

Граничными условиями называется связь между векторами поля по разные стороны поверхности, разграничивающей две области. Эта поверхность может быть, вообще говоря, просто воображаемой поверхностью в однородной среде. Во всех случаях граничные условия позволяют определить Полезно заметить, что вакуум также можно рассматривать как диэлектрик, поляризованность которого равна нулю. Формула (11.15) может быть применена к границе между диэлектриком и вакуумом. В этом случае P2 n =0 и св = P n, где P n - нормальная компонента поляризованности диэлектрика.

Сформулируем основную идею учета влияния вещества на электрическое поле, которая была прослежена на примере проводников и диэлектриков, вносимых в это поле, а именно: при наличии внешнего поля вещество само становится источником электрического поля, в результате чего внешнее поле изменяется.

Пример:

+,, | + |=| |=. В результате поляризации диэлектрика на границе диэлектрик-проводник образуются связанные заряды, т.е. св =| св |= св.

Так как поле у поверхности проводника E n =, то поле внутри диэлектрика С учетом (11.14) поляризованность в проводнике равна нулю Если ввести величину Таким образом, при наличии диэлектрика поле в конденсаторе уменьшается раз. Смысл величины : она показывает, во сколько раз напряженность поля в диэлектрике меньше, чем напряженность поля в вакууме.

Электрическое смещение.

Уравнение, дающее дифференциальную формулировку закона Кулона, имеет вид divE =, т.е. оно показывает, что источником напряженности электрического поля являются свободные заряды. В диэлектриках это уравнение должно быть изменено с учетом того, что в образовании поля участвуют и связанные заряды Так как Определим новый вектор который называется вектором смещения. Он не является чисто полевым вектором, ибо учитывает влияние вещества на поле. Для него можно записать уравнение:

т.е. источником вектора D являются свободные заряды, на которых этот вектор начинается и заканчивается, а поле, связанное со связанными зарядами, уже учтено в векторе D.

где определяется (11.17). Для диэлектриков электростатическая теорема Гаусса формулируется для вектора D. Так как divD =, то, проинтегрировав обе части по объему divDdV = dV и применив теорему ОстраградскогоV V Гаусса, получим электростатическую теорему Гаусса для диэлектриков:

Пример Дан диэлектрический шар радиуса R, в котором заряд распределен равномерно с объемной плотностью.

Функция D (r ) непрерывна, а E (r ) на границе терпит разрыв.

Граничное условие для вектора D.

Рассмотрим границу двух диэлектриков. Когда мы получали граничные условия для вектора P, мы исходили из уравнения divP = св и нашли, что св = (P2 n P1n ), где св - поверхностная плотность заряда на границе двух Исходя из уравнения divD =, где - плотность свободных зарядов, можем аналогичным образом получить граничные условия для вектора D, т.е.

D2 n D1n = (11.25), где - поверхностная плотность свободных зарядов на границе двух Если имеется граница диэлектрик-проводник, то в проводнике E = 0 D = 0, тогда D2 n =, где - поверхностная плотность зарядов, расположенных на проводнике. С учетом определения вектора D, получаем Если рассмотреть границу проводник-диэлектрик, то т.е. в диэлектрике напряженность поля в раз меньше, чем в вакууме.

Граничные условия для тангенциальной составляющей вектора E.

Рассмотрим границу диэлектриков, находящихся в электрическом поле.

Выберем замкнутый контур ABCD. Вследствие потенциальности электрического поля Если контур сжать, то AD и BC можно сделать сколь угодно малыми (см. §8), но тогда (11.28) будет иметь вид (11.29) т.е. тангенциальная составляющая на границе двух диэлектриков непрерывна.

§12. Энергия электростатического поля Энергия взаимодействия дискретных зарядов.

Если имеются два точечных заряда q1 и q2, то потенциал точки А A =, где W - потенциальная энергия q 2 в поле заряда q1.

Приравнивая левые и правые части имеем Эта формула определяет потенциальную энергию взаимодействия двух точечных зарядов.

Пусть даны две сферы очень малого радиуса, несущие заряды Q1 и Q2. Тогда по аналогии с точечными зарядами W '= k т.е. W’ равна работе сил поля, если один заряд унести от другого в бесконечность.

Перепишем (12.2):

где 1 - потенциал, созданный вторым зарядом в том месте, где находится первый заряд.

Если эту формулу обобщить на систему зарядов, то Полученная формула определяет энергию взаимодействия системы зарядов.

Энергия взаимодействия при непрерывном распределении заряда.

Пусть в элементе объема dV находится заряд dq = dV. Для определения энергии взаимодействия всех элементов dq в объеме V можно использовать формулу (12.4), перейдя в ней от суммы к интегралу:

где - потенциал, создаваемый всеми зарядами в точке нахождения заряда Собственная энергия.

На первый заряд формулы (12.4) и (12.5) кажутся аналогичными, тем более что (12.5) “выведена” из (12.4). Однако между ними существует принципиальное различие. Формула (12.4) учитывает лишь энергию взаимодействия между заряженными шарами, но не учитывает энергию взаимодействия между элементами зарядов, находящихся на каждом шаре. А (12.5) учитывает и первое, и второе.

Учитывая сказанное, энергию взаимодействия зарядов можно записать в виде:

W = W '+Wсоб Величина Wсоб - это энергия заряженных шаров, учитывающая взаимодействие зарядов между собой на каждом шаре. Собственная энергия зависит от законов распределения зарядов шара и значений зарядов. Если имеется Это означает, что собственная энергия точечного заряда равна бесконечности, т.е. при R 0 Wсоб. Это приводит к серьезным трудностям при использовании модели точечных зарядов.

Плотность энергии электрического поля и энергия электрического поля.

Воспользовавшись уравнением divD = Запишем (12.5) в виде Учитывая формулу векторного анализа div (D ) = divD + Dgrad = divD E D получим:

(12.9) Применим ко второму интегралу в (12.9) теорему Остроградского-Гаусса и оценим его:

(12.10) Если в некотором объеме сосредоточены заряды, их плотность равна, то на далеких расстояниях r от зарядов, а мы смотрим поле на значительном расстоянии от объема, можно провести оценку:

Значит при интегрировании по всему объему второй интеграл в (12.9) имеет бесконечность, т.е. при r он стремиться к нулю. Учитывая это из (12.9) получаем где интегрирование происходит по всему пространству.

Формула (12.11) и определяет энергию электрического поля. Но эта формула связана с формулой Формула (12.12) утверждает, что энергия поля локализована на элементарных зарядах и определяется через них. Эти заряды создают поле в пространстве, а его характеристики – векторы E, D. Энергия поля выражается через них с помощью (12.11). Но и (12.11) и (12.12) количественно дают одинаковый результат. Рассмотрим шар радиуса R с зарядом Q, тогда из (12.12) следует (12.7).

По теореме Гаусса Плотность энергии электрического поля определяется соотношением Энергия поля поверхностных зарядов.

Если заряды располагаются не только по объему, но и на поверхности, то энергия в данном случае Энергия заряженных проводников.

Поскольку на проводниках имеются лишь поверхностные заряды, а сами проводники являются эквипотенциальными телами, то при наличии системы разряженных шаров Если учесть выражение для потенциалов i = ij Q j, то (12.15) можно записать в виде Если выразить заряды через потенциалы, то Формулы (12.15), (12.16), (12.17) определяют энергию взаимодействия системы заряженных шаров.

Рассмотрим заряженный конденсатор. Его энергия согласно (12.3) равна:

(12.18) Энергия диполя во внешнем поле.

Энергия диполя равна сумме энергий зарядов диполя, т.е.

Теперь, если воспользоваться условием калибровки (19.3), то получаем уравнение Это уравнение необходимо расписать по проекциям, и очевидно, что каждая из проекций Аx, Аy, Аz подчиняется уравнению Пуассона (скалярный потенциал в электростатике также подчинялся уравнению Пуассона).

Решение (19.5) в векторной форме имеет вид:

(19.6) Формула (19.6) записана для объемных токов. Для линейных токов:

(19.7) где Li - контуры токов. В каждом из них сила тока I i различна, но при интегрировании по конкретному контуру силу тока J i можно вынести за знак интеграла.

Таким образом, при известной конфигурации токов проще сначала с помощью (19.5) – (19.7) вычислить векторный потенциал, а затем с помощью (19.2) вычислить индукцию магнитного поля. Такая процедура проще, чем сразу вычислять B из уравнений (18.5) и (18.6).

§20. Магнитное поле при наличии магнетиков Магнетиками называются вещества, которые при внесении во внешнее магнитное поле изменяются так, что сами становятся источниками дополнительного магнитного поля. При этом полная индукция магнитного поля равна векторной сумме индукций внешнего магнитного поля и магнитного поля, порождаемого магнетиком. Изменение состояния магнетика под влиянием внешнего магнитного поля, в результате чего сам магнетик становится источником магнитного поля, называется намагничиванием магнетика. Это явление экспериментально было установлено Фарадеем в 1845 г.

Механизмы намагничивания.

В зависимости от механизма намагничивания магнетики подразделяются на диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики и ферримагнетики.

Количественно интенсивность намагничивания во всех случаях характеризуется одинаково, а именно: под действием магнитного поля все элементы объема приобретают магнитный момент. Магнитным моментом называется величина магнитными моментами, которые в парамагнетиках ориентированы хаотично.

Если внешнего поля нет, то магнитные моменты различных молекул ориентированы совершенно беспорядочно, благодаря чему суммарная индукция поля, создаваемого ими, равна нулю, т.е. физически бесконечно малые элементы тела не являются источниками магнитного поля и тело не намагничено. При внесении такого магнетика во внешнее поле магнитные постоянные моменты отдельных молекул переориентируются в направлении индукции поля, в результате чего образуется преимущественное направление ориентации магнитных моментов. При этом бесконечно малые физические объемы приобретают магнитный момент, равный сумме магнитных моментов молекул, заключенных в объеме, и становятся источниками магнитного поля - магнетик намагничивается.

При внесении парамагнетика во внешнее магнитное поле происходит ориентация магнитных моментов по полю, в результате чего вследствие этой ориентации возникает индукция B ', направленая в ту же сторону, что и индукция внешнего магнитного поля. Они складываются и в результате этого магнитная индукция становится больше, т.е.

Диамагнетики.

У атомов, образующих диамагнетики тоже есть постоянные магнитные моменты, ориентированные хаотично и при внесении во внешнее магнитное поле они также стремятся ориентироваться по полю, но существует эффект гораздо более сильный.

При внесении во внешнее магнитное поле в молекулах и атомах движение электронов изменяется так, что образуется определенным образом ориентированный суммарный круговой ток, который характеризуется магнитным моментом. Можно сказать, что молекулы при внесении в магнитное поле приобретают индуцированный магнитный момент. Благодаря этому они становятся источниками дополнительного поля, т.е. вещество намагничивается.

Фактически, внешнее магнитное поле действует в целом на орбиты электронов, которые начинают прэцессировать (детский волчок). Внешнее магнитное поле настолько сильно влияет на движение электронов, что в веществе индуцируется магнитное поле B ', направленное в сторону противоположную направлению B B0 = B + B ' => B0 = B B', а значит, результирующая индукция становится меньше.

Ферромагнетики и ферримагнетики.

Намагничивание ферромагнетиков и ферримагнетиков связано с тем, что электроны обладают магнитным моментом, находящимся в определенном соотношении с их механическим моментом - спином. Намагничивание такого класса магнетиков связано с определенной ориентировкой спинов и поэтому называется спиновым. Объяснение спинового магнетизма выходит за рамки классической теории электричества и магнетизма и возможно лишь в рамках квантовой теории. Вся излагаемая ниже теория магнитного поля в присутствии магнетиков относится лишь к диа- и парамагнетикам, если только не оговорено противное. У ферромагнетика имеются области самопроизвольного намагничивания, так называемые домены, магнитные моменты которых также ориентированы хаотично.

Но при внесении во внешнее магнитное поле происходит ориентация областей (доменов) по полю и B0 = B + B ' => B0 = B + B' причем | B ' | >>| B |.

Парамагнетик легко размагнитить после снятия поля (ударить или нагреть).

Ферромагнетик размагнитить не просто.

Вектор намагниченности.

Намагниченность это величина, определяемая отношением магнитного момента элементарного физического объема к объему (20.2) где V - элементарный объем, pmi - магнитные моменты молекул.

В дифференциальном виде (20.2) можно записать:

dpm = jm dV (20.3) Намагниченность определяется молекулярными токами, т.е. токами, циркулирующими внутри вещества и можно показать, что плотность молекулярных токов определяется соотношением jm = rotJ m (20.4) При отсутствии магнетиков порождение магнитного поля токами проводимости определяется соотношением:

Если присутствуют и магнетики, то соотношение (20.5) нужно преобразовать:

Учтем (20.4). Тогда получим Введем новый вектор (20.8) который учитывает влияние вещества на магнитное поле. По смыслу этот вектор очень похож на вектор D в электростатике, который тоже учитывал влияние вещества (диэлектрика) на электрическое поле. В электростатике он называется вектором электрической индукции. Вектор H называется напряженностью магнитного поля, B называется вектором магнитной индукции, т.е. по смыслу все наоборот по сравнению с электростатикой.

Такие названия за этими векторами закрепились исторически.

Учтем (20.8) и (20.7) и получим уравнение для напряженности магнитного поля rotH = j.

(20.9) В магнетиках закон полного тока формулируется для вектора H, который легко получить из (20.9) Hdl = J (20.10) В не очень сильных полях вектор намагниченности линейно зависит от вектора напряженности магнитного поля, т.е.

(20.11) где - магнитная восприимчивость. Подставим (20.11) в (20.8), получим (20.12) Обозначим (20.13) Тогда из (20.12) получим:

(20.14) где µ - относительная магнитная проницаемость среды.

Различные механизмы намагничивания приводят к разным зависимостям J m У диамагнетиков намагниченность направлена против H.

У диамагнетиков < 0 и, следовательно, магнитная проницаемость µ < 1. Это означает, что порождаемое диамагнетическое поле направлено против первоначального, т.е. диамагнетик ослабляет внешнее поле. Модуль их восприимчивости | | очень мал и имеет порядок 10 5. Восприимчивость не зависит от температуры. Диамагнетизм имеется у всех веществ.

У парамагнетиков J m совпадает по направлению с H. Для них > 0, µ > 1.

Дополнительное поле у парамагнетиков совпадает с первоначальным.

Следовательно, парамагнетик усиливает поле. Восприимчивость парамагнетиков зависит от температуры. При комнатной температуре парамагнитная восприимчивость веществ в твердом состоянии имеет порядок 10 3, т.е. примерно на два порядка больше диамагнетической восприимчивости. Поэтому у парамагнитных веществ роль диамагнетической восприимчивости относительно мала и ею можно пренебречь.

У ферромагнетиков J m совпадает по направлению с H и является очень большой величиной. Для них >> 1, µ >> 1, 10 5. Характерно, что и µ зависят от поля и от предыстории намагничивания. Благодаря этому у них имеется остаточная намагниченность, т.е. намагниченность образца в целом сохраняется и после того, как внешнее поле стало равным нулю. Отметим также, что = (T ), т.е. очень сильно зависит от температуры.

Явление магнитного гистерезиса.

Магнетики, магнитная проницаемость которых достигает больших значений и зависит от внешнего магнитного поля и предшествующей истории, называются ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагниченностью, т.е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Намагничивание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 -1896) в 1878 г. Гистерезис был открыт в 1880г. Варбургом (1846 - 1931).

Когда парамагнетик вносят во внешнее поле магнитные моменты ориентируются по полю. При снятии поля остаточная намагниченность незначительна и ее легко снять, например, путем нагревания парамагнетика или простого удара (ориентация магнитных моментов исчезает). У ферромагнетиков все не так, поскольку при намагничивании ориентируются целые области самопроизвольного намагничивания. При снятии внешнего магнитного поля остаточное намагничивание весьма существенно и его не так просто убрать. Поместим ферромагнетик в катушку индуктивности, по которой будем пропускать ток J и построим график зависимости В(Н).

При увеличении тока в катушке индукция магнитного поля растет, постепенно выходя на более пологую кривую. Достигнув некоторой силы тока (точка(1)), начнем эту силу тока уменьшать. И когда сила тока равна нулю (Н = 0), то у вещества, как оказывается, имеется остаточное намагничивание, определяемое значением B1. Для того, чтобы вещество размагнитить, надо ток направить в другую сторону и при некоторой силе тока индукция магнитного поля станет равной нулю. При дальнейшем уменьшении силы тока В будет возрастать (по абсолютному значению). Если затем начинать уменьшать ток до нуля, то вещество окажется намагниченным с индукцией B2. Чтобы размагнитить ферромагнетик надо опять поменять силу тока и увеличивая его мы опять придем в точку (1). Затем меняя направление силы тока будем двигаться по петле, которая называется петлей магнитного гистерезиса. Фактически происходит как бы своеобразное отставание изменения индукции от изменения напряженности магнитного поля.

Отметим, что зависимость восприимчивости от температуры: у ферромагнетиков определяется закон Кюри (20.15) где T - абсолютная температура, а C - константа Кюри, зависящая от рода вещества.

Для ферромагнетиков существует так называемая температура Кюри. Это та температура Tk, при которой ферромагнетик превращается в парамагнетик, т.е. его ферромагнитные свойства исчезают.

Например, для железа температура Кюри составляет Tk = 770 K. Для ферромагнетиков, которые превратились в парамагнетики зависимость восприимчивости от температуры подчиняется закону Кюри-Вейса:

(20.16) §21. Движение заряженных частиц в электрическом и магнитных полях Если на частицу, движущуюся в электрическом поле действует электрическая сила Fe = qE независимо от того покоится частица или движется, то магнитное поле действует силой Лоренца только на движущиеся заряженные частицы.

Если же частица движется в электрическом и магнитном полях, то результирующая сила, действующая на частицу:

Рассмотрим задачу о нахождении траектории частицы, движущейся в электрическом и магнитном полях. Уравнение II закона Ньютона имеет вид:

В качестве примера рассмотрим случай, когда E = 0. Тогда уравнение II закона Ньютона примет вид:

(21.1) Рассмотрим следующую задачу:

Частица массой m с зарядом q влетает с начальной скоростью v0 в магнитное поле с индукцией B. Найти кинематический закон движения частицы и определить вид ее траектории.

Начальные условия следующие:

B(0;0; B ) V0 (V0 x,0, V0 z ) В момент t = 0 r0 = r0 (0;0;0).

Спроектируем уравнение (21.1) на оси координат и учтем, что Тогда мы получим:

(21.3) (21.4) Из (4) следует, что V z (t ) = const = V0 cos, тогда Поскольку z (0) = 0, то c = 0 и (21.5) Продифференцируя (21.2) по t получим:

V&x = & V y и учтем (21.3). Тогда для Vx получаем дифференциальное уравнение V&x = V&x + w 2V x = 0. Общее решение этого уравнения можно записать в виде:

V x (t ) = C1 sin wt + C 2 cos wt (21.6) Так как V x (0) = V0 sin, то C 2 = V0 sin. Для нахождения C1 продифференцируем уравнение (21.6) по времени, получим (21.7) Поскольку при t = 0,V y (0) = 0, то V x (0) = bV y (0) = (21.8) Подставляя (21.8) в (21.7), находим, что C1 = 0. И тогда V x (t ) = V0 sin cos wt (21.9) Выражая из (21.2) V y получим Проинтегрировав (21.9) и (21.10), находим x ( t ), y ( t ) Таким образом:

Найденный закон движения представляет собой параметрическое уравнение винтовая линия вырождается в окружность. При более сложной комбинации полей B и E можно получать разные траектории движения частицы.

§22. Индукция токов в проводниках, движущихся в магнитном поле.

Возникновение э.д.с. в проводниках, движущихся в магнитном Предположим, имеется вертикальное магнитное поле B и изогнутый контур.

эффективное электрическое поле E эф = (22.2) а значит между концами проводника возникает (22.3) Так как угол между и B 90°, а dl совпадает по направлению с и все эти величины постоянны, то эта величина равна инд = Bl.

Фактически инд есть разность потенциалов между точками (1) и (2). Это означает, что если бы проводящего контура не было, то при движении проводника в магнитном поле в указанной геометрии между концами его образуется разность потенциалов, величина которой равна Bl. Но если этот проводник скользит по проводящему контуру, то мы имеем замкнутую цепь (1) AD (2), где имеется инд, т.е. электродвижущая сила, которая будет вызывать ток в цепи. Фактически сопротивление контура в процессе движения меняется. Но если в эту цепь включить достаточно большое сопротивление R, то в этом случае R const и сила тока будет:

Мы получили источник тока, где сторонней силой, разделяющей электрические заряды, является сила Лоренца. Если учесть, что скорость инд = (22.4) Введем физическую величину – магнитный поток и определим его как (22.5) В дифференциальной форме d = Bds и окончательно в дифференциальной форме получаем соотношение (22.6) Следовательно, при движении проводника в магнитном поле в следствие действия на заряды силы Лоренца на концах проводника возникает разность потенциалов. Этот эффект имеем даже в магнитном поле Земли. Например летящий самолет (между концами крыльев возникает разность потенциалов), движущийся поезд и др.

§23. Закон электромагнитной индукции Фарадея В 1831 г. Фарадей экспериментально открыл явление электромагнитной индукции. Суть явления состояла в том, что если через замкнутый контур происходило изменение магнитного потока, то в контуре возникала электродвижущая сила, приводящая к возникновению замкнутого тока. Этот ток был назван индукционным током. Правило, устанавливающее направление индукционного тока было сформулировано в 1833г. Э.Х. Ленцем (1804 - 1865) и называется правилом Ленца. Оно гласит: индукционный ток направлен так, что создаваемый им магнитный поток стремится компенсировать изменение магнитного потока, вызывающего данный ток.

Опыты Фарадея состояли в следующем: катушка индуктивности подключалась к чувствительному гальванометру и в катушку вдвигался и выдвигался постоянный магнит.

Из опытов следовало, что J инд | |. Но сила тока зависит еще и от сопротивления контура. Поэтому закон электромагнитной индукции формулируется не для индукционного тока, а для причины, вызывающий этот ток, т.е. для инд. В 1845г. Ф.Э. Нейман (1799 - 1895) дал математическое определение закона электромагнитной индукции в современной форме:

(23.1) Хотя внешне формулы (22.6) и (23.1) одинаковы, между ними существует принципиальное различие. Возникновение инд в (22.6) связано с движением проводников в магнитном поле и с действием на заряды силы Лоренца. Тогда как в (23.1) на заряды в контуре действует электрическое поле, причем сам контур лишь только инструмент или прибор, который может обнаружить это изменяющееся электрическое поле, которое возникает в пространстве.

Следовательно закон Фарадея отражает новое физическое явление, а именно:

изменяющееся магнитное поле порождает изменяющееся электрическое поле. А это означает, что электрическое поле порождается не только зарядами, но и изменяющимся магнитным полем. Закон электромагнитной индукции является фундаментальным законом природы.

Дифференциальная формулировка закона dФ = B dS, а тогда магнитный поток Ф = B dS, а инд = Edl.

К левой части применим формулу Стокса. Тогда rotE dS = S. После того как перенесем все слагаемые в одну сторону получим:

В силу произвольности dS можно заключить, что подынтегральная функция равна нулю, а значит rotE = (23.2) электромагнитной индукции. В переменных магнитных полях 0, а значит и, следовательно, в отличие от электростатического поля, rotE порождаемого неподвижными зарядами, переменное электрическое поле не является потенциальным и работа A при перемещении заряда q по замкнутому контуру не равна нулю:

Так как закон электромагнитной индукции не затрагивает закона порождения магнитного поля, то уравнение (18.6) divB = 0 остается в силе, а значит в силе остается и выражение (19.2): B = rotA.

Если подставить (19.2) в (23.2), то rotE = rot, а значит rot E + (23.3) Отсюда следует, что в переменных полях потенциальным является вектор, а значит он равен градиенту скалярной функции, т.е. E + значит (23.4) Второе слагаемое в (23.4) означает, что электрическое поле может порождаться неподвижными зарядами, а первое означает, что электрическое поле может порождаться переменным магнитным полем.

Энергия магнитного поля изолированного контура с током.

Для того чтобы в неподвижном контуре создать электрический ток, необходимо включить в цепь источник сторонних э.д.с. Если в цепи течет постоянный ток, то энергия, поступающая в цепь из источника сторонних э.д.с., расходуется на выделение джоулевой теплоты и на совершение работы в потребителе энергии. Индукция магнитного поля, как и его энергия, при этом неизменна. Индукция изменяется с изменением силы тока.

Следовательно, источник сторонних э.д.с. передает в цепь энергию на создание магнитного поля в процессе увеличения силы тока. Вычислив работу, совершаемую источником сторонних э.д.с. для увеличения силы тока от нуля до конечного значения, получим энергию магнитного поля, которое связано с этим током.

При изменении потока магнитной индукции, охватываемого контуром, в контуре возникает э.д.с. индукции в соответствии с законом (23.1). У изолированного контура поток электромагнитной индукции Ф возникает за счет магнитного поля, создаваемого током в контуре. При увеличении силы тока возрастает поток Ф, охватываемый током, и в контуре по закону Фарадея возникает э.д.с. индукции, которая в данном случае называется э.д.с.

самоиндукции. По правилу Ленца, она направлена так, что препятствует увеличению силы тока. Для увеличения силы тока необходимо, чтобы сторонняя э.д.с. источника была направлена противоположно э.д.с.

самоиндукции и равна ей. Таким образом, в процессе роста силы тока источник сторонних э.д.с. совершает работу против э.д.с. самоиндукции. За промежуток времени dt по контуру проходит количество электричества dQ = Idt и, следовательно, против э.д.с. самоиндукции источник сторонних сил в течение dt совершает работу dA = инд Idt = (dФ / dt ) Idt = IdФ, (24.1) где для инд использована формула (23.1). При совершении этой работы происходит превращение энергии источника сторонних э.д.с. в энергию магнитного поля тока в контуре. Поэтому изменение энергии магнитного поля связано с изменением потока соотношением dWM = IdФ (24.2) Индукция магнитного поля тока в соответствии с законом Био-Савара линейно зависит от силы тока. Поэтому при переменной силе тока, протекающего по жесткому неподвижному контуру, картина силовых линий остается прежней, а индукция в каждой точке растет пропорционально силе тока. А это означает, что поток магнитной индукции Ф сквозь фиксированную неподвижную площадь также пропорционален силе тока, и поэтому Ф = LI (24.3) где L – постоянный коэффициент пропорциональности, не зависящий от силы тока и индукции магнитного поля. Этот коэффициент называется индуктивностью контура.

Подставляя обе части (24.3) в (24.2), находим dWM = LIdI = d ( 1 LI 2 ) (24.4) Интегрируя обе части (24.4) от I = 0 до некоторого значения I, получаем формулу WM = 1 LI 2, (24.5) которая определяет энергию магнитного поля, создаваемого током силы I, текущим по контуру с индуктивностью L.

Это и есть формула, определяющая энергию магнитного поля, созданного током J, текущим по контуру с индуктивностью L.

Если есть несколько контуров с током, то происходит взаимовлияние контуров друг на друга с помощью так называемых коэффициентов взаимной индукции Lij, i j. величины Lii определяет индуктивность каждого поля. При наличии нескольких контуров (24.6) Явление самоиндукции.

Рассмотрим явление возникновения инд в замкнутом контуре при изменении силы тока в этом контуре.

При замыкании ключа в первом случае (а) лампочка мгновенно достигает максимальной яркости и далее горит с постоянным накалом. При размыкании ключа лампочка мгновенно гаснет. Во втором случае (б), где вместо сопротивления включена катушка индуктивности, при замыкании ключа лампочка медленно набирает яркость, а при размыкании гаснет постепенно. Это связано с явлением электромагнитной индукции.

Действительно, при замыкании ключа k ток нарастает, значит J > 0, следовательно = l J > 0, инд = < 0, т.е. в цепи имеется две э.д.с.:

+ инд <, т.е. инд препятствует нарастанию тока. При размыкании ключа ток + инд >, т.е. инд поддерживает уменьшающийся ток. С учетом (24.3) Включение и выключение постоянной э.д.с. в цепи с сопротивлением и индуктивностью.

Если в момент t = 0 в цепь (рис. б) включается источник сторонней э.д.с.

постоянной величины, например, батарея, то сила тока I в цепи начинает расти. Однако за счет роста индукции поля в контуре возникает э.д.с.

самоиндукции, действующая противоположно сторонней э.д.с. В результате рост силы тока в цепи замедляется. Для каждого момента времени соблюдается закон Ома, который с учетом (24.7) записывается в виде уравнения (24.8) где R0 - полное сопротивление в цепи (включая внутреннее сопротивление источника). Это уравнение необходимо решить при начальном условии I (0) = 0. Говоря о том, что в каждый момент соблюдается закон Ома, мы предполагаем, что сила тока во всех участках цепи одна и та же, т.е. ток квазистационарен. Решение уравнения (24.8) элементарно (24.9) соответствующее закону Ома для постоянного тока, достигается лишь в смысле предела при бесконечном времени. Учитывая экспоненциальную зависимость силы тока от времени, можно как обычно за время нарастания силы тока в цепи принять такое значение t x, при котором показатель экспоненты обращается в минус единицу, т.е.

tx = L (24.10) При большой индуктивности в цепи нарастание силы тока происходит медленно. Например, если в цепь включить большую катушку индуктивности и лампу накаливания, то после замыкания цепи проходит значительный промежуток времени, в течение которого лампа разгорается до своего полного постоянного накала.

При выключении постоянного источника сторонних э.д.с. например, закоротив его, можно наблюдать, что сила тока не падает мгновенно до нуля, а уменьшается постепенно. Уравнение для силы тока в этом случае, очевидно, имеет вид IR = LdI / dt (24.11) и решается при начальном условии I (0) = U 0 / R :

(24.12) Время убывания силы тока дается той же формулой (24.10). При достаточно больших индуктивностях после выключения сторонней э.д.с. лампа накаливания в цепи гаснет лишь постепенно в течение заметного промежутка времени. Электродвижущей силой, которая обеспечивает существование тока в цепи в течение этого промежутка времени, является электродвижущая сила самоиндукции, а источником энергии – энергия магнитного поля катушки индуктивности.

Плотность энергии магнитного поля.

Формула (24.5) определяет энергию магнитного поля через ток. Найдем другую формулу, описывающую энергию магнитного поля через его характеристики, т.е. через индукцию и напряженность.

этой формуле от линейных токов к объемным токам, то WM = Преобразуем подынтегральное выражение. Для этого рассмотрим выражение подстановки этого выражения найдем, что (24.13) Но div A H dV = A H ds. Оценим второе слагаемое в (24.13). Пусть токи находятся в одной области пространства, а энергию рассматриваем в удаленных областях пространства. Чтобы оценить интеграл при больших значениях r, учтем, что, векторный потенциал пропорционален, т.е. А.

Напряженность магнитного поля H, а ds r 2. Тогда весь интеграл имеет порядок, а значит при переходе в (24.13.) к интегрированию по всему пространству второй интеграл будет равен нулю и тогда энергия магнитного поля будет определяться формулой:

(24.14) Формула (24.14) предполагает, что магнитное поле «размазано» по пространству. Плотность энергии магнитного поля:

(24.15) В заключение отметим, что формула (24.5) предполагает, что энергия магнитного поля “локализована” в токе, а формула (24.15) – что эта энергия заполняет все пространство.

§25. Ток смещения и система уравнений Максвелла Мы установили, что изменяющееся магнитное поле порождает изменяющееся электрическое поле, которое в свою очередь порождает изменяющееся магнитное поле и т. д. В результате образуются сцепленные между собой электрическое и магнитное поля, составляющие электромагнитную волну.

Она “отрывается” от зарядов и токов, которые ее породили. Способ существования электромагнитной волны делает невозможным ее неподвижность в пространстве и постоянство напряженности во времени.

Ток смещения.

Постоянный ток не протекает в цепи с конденсатором, а в случае переменного напряжения в цепи ток протекает через конденсатор. Для постоянного тока конденсатор – разрыв в цепи, а для переменного этого разрыва нет. Поэтому необходимо заключить, что между обкладками конденсатора происходит некоторый процесс, который как бы замыкает ток проводимости. Этот процесс между обкладками конденсатора был назван током смещения.

граничного условия для вектора D следует, что диэлектрическое смещение между обкладками D = =, а сила тока в цепи равна J =. Тогда J см = S а значит процессом, замыкающим ток проводимости в цепи, является изменение электрического смещения во времени. Плотность тока j см = Существование тока смещения было постулировано Максвеллом в 1864 г. и затем экспериментально подтверждено другими учеными.

Почему скорость изменения вектора смещения называется плотностью тока?

Само по себе математическое равенство величины SD / t, характеризующей процесс между обкладками конденсатора, т.е. равенство двух величин, относящихся к разным областям пространства и имеющим различную физическую природу, не содержит в себе, вообще говоря, какого-то физического закона. Поэтому называть SD / t ”током” можно только формально. Для того чтобы придать этому названию физический смысл, необходимо доказать, что SD / t обладает наиболее характерными свойствами тока, хотя и не представляет движения электрических зарядов, подобного току проводимости. Главным свойством тока проводимости является его способность порождать магнитное поле. Поэтому решающим является вопрос о том, порождает ли ток смещения магнитное поле так же, как его порождают ток проводимости, или, более точно, порождает ли величина (25.2) такое же магнитное поле, как равная ей объемная плотность тока проводимости? Максвелл дал утвердительный ответ на этот вопрос.

Однако наиболее ярким подтверждением порождения магнитного поля током смещения является существование электромагнитных волн. Если бы ток смещения не создавал магнитного поля, то не могли бы существовать электромагнитные волны.

Уравнение Максвелла с током смещения.

Порождение магнитного поля токами проводимости описывается уравнением rotH = j (25.3) Учитывая порождение поля током смещения, необходимо обобщить это уравнение в виде rotH = j + jсм (25.4) Тогда, принимая во внимание (25.2), окончательно получаем уравнение rotH = j + (25.5) являющееся одним из уравнений Максвелла.

Система уравнений Максвелла.

Полученная в результате обобщения экспериментальных данных, эта система имеет вид: r Эти уравнения называются полевыми и справедливы при описании всех макроскопических электромагнитных явлений. Учет свойств среды достигается уравнениями (25.7) называемыми обычно материальными уравнениями среды. Среды линейны, уравнения, как правило, имеют вид функционалов.

Рассмотрим физический смысл уравнений.

Уравнение I выражает закон, по которому магнитное поле порождается токами проводимости и смещения, являющимися двумя возможными электромагнитной индукции и указывает на изменяющееся магнитное поле как на один из возможных источников, порождающих электрическое поле.

Вторым источником электрического поля являются электрические заряды (уравнение IV). Уравнение III говорит о том, что в природе нет магнитных зарядов.

Полнота и совместность системы. Единственность решения.

В случае линейной среды можно исключить из полевых уравнений (25.6) величины D, H, j в результате чего они становятся уравнениями относительно векторов E и B, т.е. относительно шести неизвестных (у каждого вектора по 3 проекции). С другой стороны число скалярных уравнений в (25.6) равно восьми. Получается, что система состоит из уравнений для 6 неизвестных. Однако в действительности система не переполнена. Это обусловлено тем, что уравнения I и IV, а также II и III имеют одинаковые дифференциальные следствия и поэтому связаны между собой.

Чтобы в этом убедиться возьмем div от уравнения II и производную по времени от уравнения III. Получим:

divrotE = т.е. получили одинаковые дифференциальные следствия. Аналогично возьмем div от уравнения I:

divrotH = divj + С из уравнения непрерывности + divj = 0 следует, что divj =. Тогда Наличие двух дифференциальных связей и делает систему уравнений Максвелла совместной. Более подробный анализ показывает, что система является полной, а ее решение однозначно при заданных начальных и граничных условиях.

Доказательство единственности решения в общих чертах сводится к следующему. Если имеется два различных решения, то их разность вследствие линейности системы тоже является решением, но при нулевых зарядах и токах и нулевых начальных и граничных условиях. Отсюда, пользуясь выражением для энергии электромагнитного поля и законом сохранения энергии заключаем, что разность решений тождественно равна нулю, т.е. решения одинаковы. Тем самым единственность решения уравнений Максвелла доказана.

§26. Закон сохранения энергии электромагнитного поля Рассмотрим некоторый замкнутый объем V в котором есть электромагнитное поле и токи проводимости. Тогда тепло Джоуля-Ленца, выделяемое токами в объеме согласно (15.5), будет равно (26.1) Для упрощения расчетов считаем, что других превращений энергии в этом объеме нет.

j = rotH (26.2) Подставим это соотношение в уравнение (26.2). Получим:

(26.3) где - поверхность, ограничивающая объем V.

Величина (26.4) является электромагнитной энергией, заключенной в объеме V.

Введем вектор S = EH (26.5) Смысл этого вектора – плотность потока энергии сквозь поверхность, ограничивающую объем V, который называется вектором Пойтинга (УмоваПойтинга).

С учетом введенного обозначения получим уравнение:

Выражение (26.6) означает, что изменение энергии электромагнитного поля в объеме может происходить за счет работы токов проводимости в этом объеме и потока энергии сквозь поверхность, ограничивающую данный объем.

Формула (26.6) и есть закон сохранения энергии электромагнитного поля.

Если энергия электромагнитного поля не изменяется, т.е. = 0, то (26.6) принимает вид Следовательно, вся производимая в замкнутом объеме работа совершается за счет потока электромагнитной энергии сквозь поверхность, ограничивающую этот объем.

§27. Движение электромагнитной энергии Движение электромагнитной энергии вдоль линии передач.

Рассмотрим участок проводника круглого сечения радиуса r вдоль которого течет постоянный ток с объемной плотностью j. Согласно закона Ома в дифференциальной форме поверхность цилиндра, боковая поверхность которого совпадает с поверхностью проводника длиной l, а сечение является кругом радиуса r.

Так как напряженность магнитного поля у поверхности проводника направлена по касательной к поверхности в плоскости перпендикулярной к оси проводника, то согласно закона полного тока в магнетике (27.2) (27.3) Вектор Пойтинга, согласно определению по (26.5), будет направлен по радиусу к оси проводника и величина его будет равна (27.4) Это означает, что электромагнитная энергия втекает в проводник из окружающего пространства через боковую поверхность. Поток энергии через основания отсутствует. На участке проводника длиной l за одну секунду втечет энергии:

(27.5) Когда по проводнику протекает ток, то в нем выделяется тепло Джоуля-Ленца Если сравнить (27.6) и (27.5), то они равны. Это непосредственно следует из равенства (26.7), где слева тепло Джоуля-Ленца, а справа – поток энергии, втекающий в объем. N = Sd, так как cos180° =-1. Таким образом, передаваемая с помощью электрического тока энергия движется в окружающем пространстве, при этом проводник играет роль направляющей, вдоль которой движется электромагнитная энергия, причем ее плотность в каждой точке пространства определяется вектором Умова-Пойтинга.

Движение электромагнитной энергии вдоль кабеля.

Кабель представляет собой систему, состоящую из центрального проводника, затем слоя вещества и внешней цилиндрической проводящей оболочки.

Между центральной жилой и внешней оболочкой находится как правило диэлектрик. Поскольку H 0 лишь в пространстве между центральной жилой и внешней оболочкой и направлен по касательной к окружности, осью которой является центральная жила. Радиальная составляющая напряженность электрического поля Er. Тогда вектор Умова-Пойтинга будет направлен вдоль центральной жилы и не равен нулю в диэлектрике. Таким образом, электромагнитная энергия в кабеле распространяется внутри него и плотность энергии в каждой точке определяется также вектором УмоваПойтинга. Здесь можно также показать справедливость соотношения (26.7).

§28. Излучение электромагнитных волн Уравнение для векторного потенциала.

на µµ0 = µ ' и учтем, что B = µµ0 H и 0 = '. получим:

Пользуясь неоднозначностью потенциалов, определяемых с точностью до калибровочного преобразования, для максимального упрощения наложим на них условие:

(28.2) и тогда из (28.1) получим уравнение Даламбера:

(28.3) Условие (28.1) называется условием калибровки Лоренца. Получим теперь уравнение для скалярного потенциала следующим образом:

divE = Из (28.2): divA = µ ' '. Тогда получим (28.4) Уравнение (28.4) тоже уравнения Даламбера. Следовательно, для скалярного и векторного потенциалов получили одно и тоже уравнение.

(28.5) где V = - скорость электромагнитных волн в среде. Уравнение (28.5) – уравнение гиперболического типа и описывает волновой процесс, т.е. волны, распространяющиеся в пространстве со скоростью V. В одномерном случае при f = 0 решение (28.5) можно представить в виде суммы двух функций:

которое описывает волны, распространяющиеся в двух противоположных направлениях. Функция t представляет собой волну, движущуюся в направлении положительных значений оси Ох со скоростью V, а t + - в противоположном направлении.

Рассмотрим решение волнового уравнения в сферически симметричном случае, т.е. считая, что в (28.5) f=0, а Ф=Ф(r), где r – расстояние от начала координат до рассматриваемой точки. В этом случае Ф от углов не зависит и оператор Лапласа имеет вид (28.7) Поэтому волновое уравнение для Ф записывается в виде Решением этого уравнения для r, как и в предыдущем случае, являются Ф таково:

направлении от начала координат со скоростью V. Форма волны при этом не изменяется, а амплитуда уменьшается как 1/r. Эта волна называется координат волну.

Потенциалы поля, а следовательно, и сами поля распространяются в свободном пространстве со скоростью V = 1 µ. В вакууме µ = µ 0, = 0, поэтому скорость распространения полей равна скорости света c = 1 0 µ 0.

Таким образом электромагнитные волны и всякие изменения электрического и магнитного поля распространяются в вакууме со скоростью света. А это означает, что электромагнитные взаимодействия распространяются со скоростью света. Например, если два точечных заряда покоятся на расстоянии r друг от друга и один из зарядов в некоторый момент сдвинут со своего места, то другой заряд «почувствует» этот сдвиг лишь спустя время = r c.

Запаздывающие и опережающие потенциалы.

Учитывая свойства решений волнового уравнения, следует ожидать, что решение уравнений (28.3) и (28.4) для потенциалов переменных полей отличается только тем, что надо учесть конечную скорость распространения электромагнитных взаимодействий. Другими словами, движущийся заряд и элемент переменного тока создают в каждой точке окружающего пространства такой же потенциал, как если бы заряд был неподвижным, а ток постоянным, но с тем различием, что такой потенциал в каждой точке создается не в тот момент времени, а позднее на время запаздывания, т.е.

на время, необходимое электромагнитному полю для распространения от источника до точки наблюдения. Поэтому для зарядов и токов, находящихся в конечной области пространства, решение уравнений (28.3) и (28.4) может быть представлено в виде A(r,t ) = (28.7) (28.8) Здесь r r ' - расстояние между точкой, в которой вычисляется потенциал и элементом dV ' объема интегрирования. Характерной особенностью (28.7) и (28.8) является то, что значение потенциалов A и в данной точке обусловлены зарядами и токами, взятыми в предшествующий момент времени. В этом смысле эти потенциалы называются запаздывающими потенциалами ибо они описывают потенциалы в более поздний момент Уравнения (28.3) и (28.4) еще имеют решения, аргументами которых явного физического смысла они не имеют.

Имея конкретное распределение зарядов и токов, можно вычислить A и, а затем вторым этапом найти B и E. Примером простейшего излучателя электромагнитных волн является вибратор Герца. Фактически это электрический диполь, момент которого изменяется с течением времени.

Другим простым излучателем электромагнитных волн является вращающаяся рамка с током.

§29. Распространение электромагнитных волн в диэлектрике Плоские волны.

Электромагнитная волна называется плоской, если вектор волны имеет одну и ту же величину во всех точках любой плоскости, перпендикулярной к направлению распространения волны. Конечно, от плоскости к плоскости эти векторы изменяются. Можно сказать, что поверхностями постоянной фазы в плоской волне являются плоскости, перпендикулярные направлению распространения волны. Волна называется монохроматической, если векторы волны изменяются со временем по гармоническому закону с одной определенной частотой. Если вдоль оси z распространяется волна, то векторы поля имеют вид:

(29.1) Если поверхности равной фазы совпадают с поверхностями постоянной амплитуды, то волна называется однородной.

Уравнения для векторов поля волны.

Будем теперь исходить не из потенциалов, как это было в предыдущем параграфе, а непосредственно из векторов поля. Рассмотрим случай однородной неограниченной среды, у которой ' = const и µ ' = const, причем свободные заряды отсутствуют ( = 0 ) и проводимость среды = 0, т.е. самый простой случай.

Уравнения Максвелла будет иметь вид:

rotB = µ ' ' (29.2) rotE = (29.3) Возьмем производную по времени от обеих частей (29.2):

rot а от (29.3) возьмем rot, т.е.

rotrotE = rot graddivE + E = rot и учитывая предыдущее уравнение получим (29.4) Аналогично можно получить (29.5) Решение этих уравнений будем искать в виде (29.1). Совместим ось z с направлением распространения волны. Тогда подставив (29.1) в (29.4), для амплитуды E (z ). Получим уравнение или (29.6) (29.7) Общее решение уравнения (29.6) можно записать в виде E ( z ) = E01eikz + E02 eikz (29.8) где E01 и E02 - постоянные. Подставим (29.8) в (29.1) получим, что Аналогичные выражения можно записать и для B Первое слагаемое в (29.9) описывает волну, движущуюся вправо вдоль оси z, а второе слагаемое – волну, распространяющуюся в противоположном направлении. Допустим, что волна распространяется в положительном направлении оси Oz. Тогда (29.10) Такая волна является плоской, монохроматической и однородной. Формулы (29.10) показывают, что плоские волны в однородном диэлектрике распространяются без изменения амплитуды, т.е. без поглощения. Выражение ( wt kz ) - это фаза волны. Скорость движения в плоскости постоянной фазы называется фазовой и она находится дифференцированием по времени где с - скорость распространения света (электромагнитных волн) в вакууме.

Формулы для поля записаны так, т.е. при специальном выборе системы координат, когда ось z совпадает с направлением распространения волны. От этого ограничения можно освободиться, если ввести волновой вектор k, который будет направлен вдоль направления распространения волны, причем kr = kz. Тогда (29.11) (29.12) а величина (29.13) называется волновым числом.

Свойства волн.

Для исследования свойств плоских волн подставим (29.11) в уравнение Максвелла и для упрощения записи воспользуемся оператором Гамильтона:

Следовательно, k E. Из условия divB = 0 divB = B = ik B = 0 получаем, что Далее подставим (29.11) в уравнение (29.2) и (29.3), получим (29.16) Тогда из (29.1) получим (29.17) Из полученных соотношений следует, что векторы n, B и E взаимно перпендикулярны и образуют следующую тройку:

Поскольку у векторов B и E одинаковые экспоненты, то гармонические плоские электромагнитные волны в однородном диэлектрике изменяются в одной фазе.

Плотность потока энергии.

Она определяется вектором Пойнтинга, модуль которого в случае плоской волны равен а w – плотность энергии электромагнитного поля, т.е.

(29.19) Это означает, что скорость переноса энергии плоской волной в однородном диэлектрике равна фазовой скорости волны.

§30. Распространение электромагнитных волн в проводящих средах Комплексная диэлектрическая проницаемость.

Рассмотрим случай однородной среды: µ = const, = const, = const 0, т.е.

среда является проводящей. Уравнения Максвелла при этом имеют вид:

(30.1) (30.2) Если подставить в эти уравнения формулы (29.11), но вместо k записать k w, то мы получим (30.3) (30.4) где k w = k w k0, где k0 - единичный вектор.

Уравнение (30.3) переходит в соответствующее уравнение для диэлектрика если = 0. Уравнение (30.4) не отличается от такого же уравнения для диэлектрика. Таким образом, проводящая среда в математическом отношении отличается от диэлектрика лишь тем, что в уравнении для волн вместо диэлектрической проницаемости входит комплексная диэлектрическая проницаемость 'w. Это означает, что решения здесь будут точно такие же, как и для диэлектрика, только диэлектрическая проницаемость среды комплексная величина, т.е.

(30.5) Все последующие вычисления совпадают с вычислениями для диэлектрика, но с заменой ' на 'w. Это приводит к следующему:

Вместо волнового числа k появляется величина k w, причем (30.6) Представим k w в виде комплексного числа, а именно (30.7) и подставляя в (30.6) получим:

Приравнивая действительные и мнимые части и найдем:

2ks = wµ = b Решение этой алгебраической системы уравнений таково:

(30.10) Глубина проникновения.

Исследуем амплитуду плоской волны, распространяющейся в направлении положительных значений оси Z:

E = E0e ( Таким образом, амплитуда волны в процессе распространения уменьшается, т.е. в проводящей среде электромагнитная волна распространяется с затуханием амплитуды. На пути амплитуда напряженности поля волны уменьшается в е раз, поэтому называется глубиной проникновения плоской волны в проводящую среду.

Оценим глубину проникновения волн различной длины волны. Для видимого света длина волны равна Что соответствует частоте порядка 5 10 с. Проводимость металлов имеет порядок 10 7 Ом 1 м 1, а значение может быть принято равным 0. Таким образом, При длинах волн, больших, чем световая, это неравенство усиливается.

Поэтому в формуле (30.10) можно пренебречь единицей по сравнению с ( ) и записать выражение для s в виде Следовательно, глубина проникновения равна формулу (30.16) можно переписать:

где имеет размерность сопротивления и является характеристическим сопротивлением среды. Для вакуума оно равно Рассмотрим, например, медь, для которой = 5 10 7 Ом 1 м 1, µ µ 0, 0. При =1 м глубина проникновения равна 4 10 6 м. Поэтому ни о каком проникновении волны в проводящую среду, в сущности, не может быть и речи, есть просто поглощение в очень малом поверхностном слое. Даже для очень коротких волн это заключение остается справедливым. Например, для волн порядка световых ( 10 8 м) глубина проникновения составляет Физическая причина поглощения.

Физической причиной такого быстрого затухания электромагнитных волн в проводящей среде является преобразование электромагнитной энергии волны в джоулеву теплоту: напряженность электрического поля волны возбуждает в проводящей среде токи проводимости, которые по закону Джоуля – Ленца нагревают вещество среды.

Интерпретация скин-эффекта.

Теперь можно дать интерпретацию скин-эффекта.