МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени М.В. Ломоносова

МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

«СОВРЕМЕННЫЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТРУМЕНТАРИЙ

ЭКОНОМИЧЕСКОГО АНАЛИЗА»

Для направления 080100 « Экономика»

подготовки магистров очного отделения Шифр дисциплины _ Авторы -- составители программы:

Полтерович Виктор Меерович, академик РАН, д.э.н., профессор Пресман Эрнст Львович, д.ф.- м.н.

Одобрена на заседании кафедры «»_2013г.

Заведующий кафедрой _ (ФИО, ученая степень, ученое звание) Утверждена Ученым советом МШЭ «»_2013г.

Ученый секретарь _ (ФИО, ученая степень, ученое звание) МОСКВА- 1.Область применения и нормативные ссылки Настоящая программа устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.

Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, ассистентов и студентов направления 080100 « Экономика», обучающихся в Московской школе экономики МГУ имени М.В. Ломоносова (далее МШЭ МГУ) на договорной основе по очной дневной форме обучения.

Программа разработана в соответствии с положениями и требованиями:

• ФГОС и самостоятельно установленного образовательного стандарта МГУ;

• Рабочего учебного плана МШЭ МГУ, утвержденного Ректором МГУ «_»_2011г.

2.Цели дисциплины Целями освоения дисциплины «Современный математический инструментарий экономического анализа» являются формирование и усвоение знаний, умений и навыков в области применения современного математического аппарата к экономической теории и практике, которые необходимы для работы в государственных и частных структурах, а также развитие профессиональных качеств, компетенций, необходимых для выполнения функциональных обязанностей в сфере экономики.

3.Задачи дисциплины В результате освоения дисциплины «Современный математический инструментарий экономического анализа» студент должен:

• Знать основные математические методы, применяемые при моделировании экономических явлений, такие как выпуклое программирование, принцип максимума, динамическое программирование, векторная оптимизация, теоремы о неподвижных точках.

• Уметь грамотно пользоваться этими методами при формировании и исследовании экономико-математических моделей.

• Иметь навыки решения обыкновенных дифференциальных уравнений, решения конкретных задач оптимального управления и динамического программирования, нахождения равновесных ситуаций.

4.Место дисциплины в структуре образовательной программы Настоящая дисциплина относится к циклу математических дисциплин, обеспечивающих подготовку магистров по направлению «Экономика».

Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах Математический анализ, Линейная алгебра, Теория игр, Методы оптимальных решений, Макроэкономика I, II, Микроэкономика I, II.

Для освоения данной дисциплины студент должны владеть следующими знаниями и компетенциями: понимать структуру математического доказательства, вычислять производные и интегралы, знать их геометрическую интерпретацию, знать свойства матриц, уметь вычислять определители и решать системы линейных уравнений, владеть базовыми понятиями макро- и микроэкономики.

Общая трудоемкость в академических часах и зачетных единицах составляет 80 часов.

Форма промежуточной аттестации – письменный экзамен.

Основные положения данной дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин: макроэкономики -3 и микроэкономики-3, прикладной теории игр, теории общественного сектора, международной торговли, моделировании энергетического сектора и др.

5.Формы проведения Форма занятий с указанием с указанием суммарной трудоемкости по каждой форме:

• Практические занятия (семинары) -22 часа.

Формы текущего контроля: проверка домашних заданий и опрос на семинарах по усвоению материала лекций.

6. Распределение трудоемкости по разделам и темам, а также формам проведения занятий с указанием форм текущего контроля и промежуточной аттестации Наименование разделов и тем Всего Аудиторная работа Самосто Форма контроля Критерии оценки знаний и навыков Итоговая оценка выставляется по результату письменного экзамена с учётом посещаемости аудиторных занятий, выполнения домашних заданий и активности работы на семинаре. Как правило, для отличной оценки за экзамен нужно решить 80% от суммы баллов задания, для хорошей оценки нужно решить 60%, а для удовлетворительной - 40%. При этом за домашнюю работу, посещаемость и активность на семинарах добавляется от нуля до 7. Содержание дисциплины Математика в экономической теории: история и роль.

Литература по теме: [1].

Тема 1. Элементы выпуклого анализа.

Выпуклые множества. Выпуклые многогранники и многогранные множества.

Выпуклость потребительских и технологических множеств.

Свойства выпуклых множеств. Пересечение, геометрическая сумма и прямое произведение выпуклых множеств. Внутренность и относительная внутренность выпуклых множеств, размерность выпуклых множеств. Крайние точки выпуклых множеств. Теоремы отделимости.

Выпуклые (вогнутые) функции. Квазивыпуклые (квазивогнутые) функции.

Условия выпуклости (вогнутости) в дифференциальной форме. Функции полезности и производственные функции, смысл предположений о вогнутости и квазивогнутости.

дифференцируемость выпуклых функций Литература по теме: [1], [4], [9], [10], [18], [19] Тема 2. Элементы выпуклого программирования.

Экстремальные задачи. Локальный и глобальный оптимум.

Максимизация без ограничений. Необходимые и достаточные условия.

Задача выпуклого программирования. Функция Лагранжа, её седловые точки. Пара взаимнодвойственных задач выпуклого программирования.

Теорема Куна—Таккера для задач выпуклого программирования. Интерпретация множителей Лагранжа. Условие Слейтера. Необходимые и достаточные условия оптимальности для задачи выпуклого программирования в дифференциальной форме.

Теорема о маргинальных значениях для задач выпуклого программирования, её экономический смысл.

Оптимизационные задачи, порождаемые квазивыпуклыми функциями.

Экономические приложения: функции спроса и предложения, Модель Рамсея в дискретном времени.

Литература по теме: [3], [4], [9], [10], [12], [18] Раздел 2. Принцип максимума и динамическое программирование Тема 3. Дифференциальные уравнения и теория устойчивости Задачи оптимального управления в непрерывном времени. Модели оптимального экономического роста, модель Рамсея на конечном и бесконечном временном интервалах.

Принцип максимума как необходимое условие оптимальности. Интерпретация двойственных переменных. Достаточность принципа максимума для выпуклых задач.

Классическая задача вариационного исчисления. Уравнение эйлера и принцип максимума.

Связь между принципом максимума и теоремой Куна-Таккера Литература по теме: [3], [5], [6], [8] Метод динамического программирования для задачи оптимального управления в дискретном и непрерывном времени. Принцип оптимальности.

Уравнение Беллмана. Синтез оптимального управления.

Связь между динамическим программированием и принципом максимума.

Литература по теме: [6], [7], [18], [13] Раздел 3. Равновесие и Парето-оптимальность Принцип сжимающих отображений. Приложение: Существование решений дифференциальных уравнений.

Теоремы Брауэра и Какутани. Приложение: Существование равновесия по Нэшу;

существование конкурентного равновесия.

Литература по теме: [9] – [13], [16], [18] Парето-оптимальность в сильном и слабом смысле. Теорема о свёртке критериев.

Необходимые и достаточные условия Парето-оптимальности. Парето-оптимальные и равновесные состояния.

Литература по теме: [9] – [13], [16], [18] 1. Решение задач по теме: выпуклые функции и выпуклые множества.

2. Вычисление функций спроса и предложения, их исследование. Заменимость и дополнительность товаров. Отыскание равновесия для простейших вариантов модели Эрроу – Дебре. Сравнительная статика.

3-4. Решение задач по темам: дифференциальные уравнения,: устойчивость решений дифференциальных уравнений.

5-7. Принцип максимума в непрерывном времени, уравнение Эйлера, модель Рамсея. Вывод уравнения Эйлера из принципа максимума. Условие трансверсальности. Стационарные режимы.

7. Парето-оптимальность и равновесие. Исследование теоремы о свёртке для отыскания всех Парето-оптимальных состояний. Первая и вторая теоремы всеобщего благосостояния. Эффективность траекторий экономического роста.

8. Исследование олигополии. Модели монополии, отыскание решения.

Олигополии по Курно и по Бертрану.

[1] K.J.Arrow, M.D.Intriligator. Historical introduction. In: Handbook of Mathematical Economics. V. 1. Eds: K.J.Arrow, M.D.Intriligator. North-Holland, 1981, p. 1-14.

[2] Carl P.Simon, Lawrence Blume. Mathematics for Economics. W.W. Norton & Company, Inc., New York, 1994.

[3] Б.Т.Поляк. Введение в оптимизацию. Москва, Наука, 1983.

[4] М.Д.Интриллигатор. Математические методы оптимизации и экономическая теория. Москва, Прогресс, 1975.

[5] Daniel Leonard, Ngo Van Long. Optimal Control Theory and Static Optimization in Economics. Cambridge University Press, 1992.

[6] В.Г.Болтянский. Оптимальное управление дискретными системами. Москва, Наука, 1973.

[7] Р.Беллман. Динамическое программирование. Москва, Мир, 1960.

[8] А. Сотсков, Г.Колесник. Оптимальное управление и динамическое программирование в примерах и задачах. Москва, РЭШ, 2003.

[9] Х. Никайдо. Выпуклые структуры и математическая экономика. Москва, Мир, [10] И.Экланд. Элементы математической экономики. Москва, Мир, 1983.

[11] В.М.Полтерович. Экономическое равновесие и хозяйственный механизм. Москва, Наука, 1990.

[12] С.А.Ашманов. Введение в математическую экономику. Москва, Наука, 1984.

[13] A.Mascollel, M.Whinston, and J.Green. Microeconomics Theory. Oxford University Press, 1995.

[14] O.J.Blanchard, S.Fisher, Lectures on Macroeconomics. Cambridg, Mass., The MIT Press, 1992.

[15] С.Л.Печерский, А.А.Беляева. Теория игр для экономистов.

[16] Л.С.Понтрягин. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

[17] Б.П.Демидович. Лекции по математической теории устойчивости.

[18] С.Карлин. Математические методы в теории игр, программировании и экономике.

Москва,. Мир, [19] В.М.Алексеев, В.М.Тихомиров, С.В.Фомин, Оптимальное управление. М: Наука, [20] Suresh P.Sethi, Gerald L.Thomson. Optimal Control Theory. Applications to management Science and Economics, Second Edition, Doston/Dordrecht/London, Kluwer Academic Publishers, 2000.

[21] Э.М.Галеев. Оптимизация: Теория, примеры, задачи. Изд. 3, Москва, Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2010.

8.Перечень компетенций, формируемых в результате освоения дисциплины • ОНК – общенаучные компетенции: понимание роли математических методов в экономических исследованиях;

• ИК- инструментальные компетенции: владение техникой теории выпуклого анализа и экстремальных задач, включая принцип максимума, динамическое программирование, многокритериальную оптимизацию и теоремы о неподвижных точках;

• СК- системные компетенции: умение понимать связи между свойствами математических конструкций и особенностями экономических объектов;

• ПК – профессиональные компетенции: умение применять математику для анализа экономических явлений;

• СПК – специализированные компетенции: навыки решения конкретных задач, в частности умение использовать теорию экстремальных задач для исследования моделей планирования и макроэкономических моделей типа Рамсея; умение применять понятие Парето - оптимальности для анализа моделей общего равновесия, теорему Брауэра – для доказательства существования равновесия в модели Курно.

Подписи авторов _