«Перед новым факультетом стояли важные задачи. Успехи СССР в космосе, оборонных делах и развитии производства и применении ЭВМ определили необходимость быстрого роста подготовки математиков-прикладников в 60-х годах. В ...»

83. Шапуков Б.Н. Задачи по группам Ли: Учебное пособие.– Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1989. – 151 с.

84. Шурыгин В.В. Структурные уравнения расслоения А-аффинных реперов // Изв. вузов. Математика. – 1989. – № 12. – С. 78–80.

85. Малахальцев М.А. Аналог когомологий Дольбо для многообразий над алгеброй дуальных чисел// Изв. вузов.

Математика. – 1990. – № 11. – С. 82–84.

86. Shirokov A.P. Zur affinen Liniengeometrie // Proceedings of the 3rd Congress of Geometry. – Thessaloniki, 1991. – P. 385–390.

87. Широков А.П. Аналоги преобразований Лагерра в плоскости и в пространстве Лобачевского // Памяти Лобачевского посвящается. – Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1992. – Т. 2. – С. 107–118.

88. Шапуков Б.Н. Научное творчество Б.Л.Лаптева // Профессор Борис Лукич Лаптев (глазами учеников и друзей). – Казань: Изд-во. Казанск. ун-та, 1992. – С. 22–31.

89. Шапуков Б.Н. Тензорные расслоения // Памяти Лобачевского посвящается. – Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1992. – Т.1. – С. 104–125.

90. Шурыгин В.В. Применение теории многообразий над алгебрами в трансверсальной геометрии слоений // Памяти Лобачевского посвящается. – Т. 2. – С. 119–140.

91. Шурыгин В.В. Связности высших порядков и лифты полей геометрических объектов // Изв. вузов.

Математика. – 1992. – № 5. – С. 96–104.

92. Шурыгин В.В. Многообразия над локальными алгебрами эквивалентные расслоениям струй // Изв. вузов.

Математика. – 1992. – № 10. – С. 68–79.

93. Норден А.П., Широков А.П. Наследие Лобачевского и деятельность казанских геометров // УМН. – 1993. – Т. 48. – Вып. 2. – С. 47–74.

94. Малахальцев М.А., Фомин В.Е., Шапуков Б.Н., Шурыгин В.В. Задачи по тензорному анализу и римановой геометрии: Учебное пособие. – Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1993. – 159 с.

95. Шурыгин В.В. Многообразия над алгебрами и их применение в геометрии расслоений струй // УМН. – 1993.

– Т. 48. – Вып.2.– С. 75–106.

96. Вишневский В.В., Шапуков Б.Н., Широков А.П., Шурыгин В.В. Структуры на гладких многообразиях // Фунд. пробл. матем. и мех.: Матем., Ч. I. – М.: МГУ, 1994. – С. 168–169.

97. Широков А.П. Методические указания к «Сборнику задач по аналитической геометрии». – Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1994. – 36 с.

98. Шурыгин В.В. Об одном геометрическом свойстве объекта кручения связности высшего порядка // Изв.

вузов. Математика. – 1994. – № 2. – С. 71–74.

99. Малахальцев М.А., Фомин В.Е. Задачи и упражнения по курсу общей топологии. – Казань: Изд-во Казанск.

ун-та, 1994. – Ч. 1. – 31 с.

100. Малахальцев М.А., Фомин В.Е. Задачи и упражнения по курсу общей топологии. – Казань: Изд-во Казанск.

ун-та, 1994. – Ч. 2. – 35 с.

101. Вишневский В.В., Широков А.П. О геометрических работах Петра Алексеевича Широкова // Петр Алексеевич Широков. – Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1995. – С. 59–77.

102. Шапуков Б.Н. Проективные расслоения и проективные связности // Изв. вузов. Математика. – 1995. – № 5.

– С. 83–90.

103. Фомин В.Е., Юльметов Р.Р. Линейные связности и геодезические кривые на многообразиях Фреше // Изв.

вузов. Математика. – 1995. – № 7. – С. 78–90.

104. Вишневский В.В. Лифты дифференциально-геометрических объектов в полукасательные расслоения высших порядков // Изв. вузов. Математика. – 1995. – № 5. – С. 16–24.

105. Вишневский В.В. Производная Ли в полукасательных расслоениях высших порядков // Изв. вузов.

Математика. – 1995. – № 5. – С. 16–24.

106. Shurygin V.V. Smooth connections and horizontal distributions on manifolds over local algebras// Proceedings of the conf. on differential geometry and appl. Brno, Czech Rep., Aug. 28 – Sept. 1, 1995. – Brno, 1996. – P. 309–319.

107. Шурыгин В.В. Связность Эресмана для канонического слоения на многообразии над локальной алгеброй // Матем. заметки. – 1996. – Т. 59, вып. 2. – С. 303–310.

108. Шурыгин В.В. О когомологиях многообразий над локальными алгебрами // Изв. вузов. Математика. – 1996.

– № 9. – С. 74–88.

109. Малахальцев М.А. (X,G)-слоения // Изв. вузов. Математика. – 1996. – № 7. – С. 55–65.

110. Подковырин А.С. О внутренней геометрии поверхности X2 в E4 // Изв. вузов. Математика. – 1996. – № 7. – С. 66–73.

111. Широков А.П. Пространство H4 и алгебра кватернионов // Тр. геом. семин. – Казань: Изд-во Казанск. матем.

общ-ва. – 1997. – № 23. – С. 187–198.

112. Вишневский В.В. 200-летие Н.И.Лобачевского, его итоги и уроки // Тр. геом. семин. – Казань: Изд-во Казанск. матем. общ-ва. – 1997. – № 23. – С. 23–32.

113. Шустова Е.П. О взаимосвязи геометрий касательного расслоения третьего порядка и суммы Уитни // Тр.

геом. семин. – Казань: Изд-во Казанск. матем. общ-ва. – 1997. – № 23. – С. 211–222.

114. Широков А.П. Неевклидовы пространства: Учебное пособие. – Казань, 1997. – 49 с.

115. Шапуков Б.Н. Редукция гамильтоновых систем с циклическими координатами и проектируемость в расслоениях// Тр. геом. семин. – Казань: Изд-во Казанск. матем. общ-ва. – 1997. – № 23. – С. 165–174.

116. Шапуков Б.Н. Отчет о работе международного жюри по присуждению медали им. Н.И.Лобачевского в г. // Тр. геом. семин. – Казань: Изд-во Казанск. матем. общ-ва. – 1997. – № 23. – С. 245–249.

117. Фомин В.Е. Элементы дифференциальной геометрии на банаховом многогообразии // Тр. геом. семин. – Казань: Изд-во Казанск. матем. общ-ва.– 1997. – № 23. – С. 149–164.

118. Шурыгин В.В. Классы Атьи-Молино гладкого многообразия над локальной алгеброй A как препятствия к продолжению трансверсальных связностей до A-гладких // Тр. геом. семин. – Казань: Изд-во Казанск. матем. общ-ва.

– 1997. – № 23. – С. 199–210.

119. Малахальцев М.А. Классы Годбийона и Вея одномерного многообразия над локальной алгеброй // Тр. геом.

семин. – Казань: Изд-во Казанск. матем. общ-ва. – 1997. – № 23. – С. 65–76.

120. Игудесман К.Б. Слоение на многообразии поточечно конформных структур // Новейшие проблемы теории поля. Тр. X Междунар. летней школы-семинара «Волга-10”98"» по совр. пробл. теорет. и матем. физики. – Казань, 1998. – С. 128–137.

121. Шапуков Б.Н. Ученый и педагог // Казань. – 1999. – № 12. – С. 65–67.

122. Shurygin V.V. The structure of smooth mappings over Weil algebras and the category of manifolds over algebras // Lobachevskii J. of Math. – 1999. – V.5.– P. 29–55.

123. Игудесман К.Б. Слоение на одном многообразии над банаховой алгеброй// Деп. ред. журн. «Изв. вузов.

Математика» – № 1932–B99, 15.06.99.

124. Игудесман К.Б. Многообразия над алгеброй алгеброзначных функций // Материалы докл. междун. семин.

«Геометризация физики». – Казань, 1999. – С. 47–53.

125. Malakhaltsev M.A. The Lie derivative and cohomology of G-structures // Lobachevskii J. Mat. – 1999. – V. 3. – P.

215–220.

КАФЕДРА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

В 1999 г. исполнилось 50 лет с момента вторичного открытия кафедры дифференциальных уравнений Казанского университета1. (Чуть более десятилетний перерыв в ее деятельности был связан в основном с войной 1941–1945 гг.). Заведующим кафедрой в 1949 г. стал профессор Федор Дмитриевич Гахов (1906–1980), окончивший в 1930 г. КГУ и здесь же в 1937 г. аспирантуру при кафедре математического анализа. Он прибыл в наш университет в конце августа 1947 г. из Северо-Осетин-ского пединститута (г. Владикавказ) и первые два года проработал профессором кафедры математического анализа. Ассистентом этой же кафедры стал приехавший вместе с ним аспирант-заочник В.С.Рогожин.

Они вдвоем и составили постоянный штат преподавателей новой кафедры дифференциальных уравнений. Остальная работа выполнялась почасовиками, в основном немногочисленными в то время научными сотрудниками НИИММ, действующего при физмате.

Ф.Д.Гахов понимал, что всерьез организовать подготовку на кафедре студентов по новой специальности – краевые (или граничные) задачи теории функций комплексного переменного (ТФКП) – можно лишь при наличии преподавателей-специалистов, но пригласить их было неоткуда, надо было готовить самому. Сразу по приезду в КГУ он начал создавать аспирантуру. Один аспирант (В.С.Рогожин) у него уже был. В сентябре 1947 г. в аспирантуру кафедры математического анализа успешно сдали вступительные экзамены две ее выпускницы и Федор Дмитриевич, став профессором этой кафедры, высказал пожелание стать научным руководителем одной из них. По воле случая одной из поступающих в аспирантуру была я, и именно моим руководителем стал Ф.Д.Гахов. К двум аспирантам Федор Дмитриевич присоединил двух сотрудников НИИММ – Э.К.Столярову и А.В.Месис. Вчетвером мы составили ядро спецсеминара Ф.Д.Гахова по краевым задачам ТФКП, который в дальнейшем стал пополняться студентами, специализирующимися на кафедре. Иногда, еще до начала специализации, Федор Дмитриевич первые годы сам руководил работой студенческого кружка и очень внимательно следил за успехами его участников. Так, сразу после 2-го курса членами спецсеминара стали студенты М.П.Ганин и Ю.М.Крикунов, к окончанию университета каждый из них имел по несколько публикаций в математических журналах, в том числе академических.

Уже с конца 1949 г. участники семинара начали защищать кандидатские диссертации.

Направленность их в основном была связана с тематикой, разрабатываемой Гаховым. В.С.Рогожин (1949 г.) изучил граничные задачи для полигармонических и полианалитических функций. Э.К.Столярова (1950 г.) исследовала задачу Гильберта с производными в краевом условии путем приведения ее к интегральному уравнению Фредгольма. Л.И.Чибрикова (1951 г.) рассмотрела обобщенные задачи Римана, граничные условия которых имеют на заданном контуре конечное число точек разрыва разного типа и связывают граничные значения искомой функции в двух разных точках контура (задачи со сдвигом). В.К.Наталевич (1951 г.) изучил нелинейную краевую задачу Гильберта в случае круга и связанное с ней сингулярное интегральное уравнение (СИУ) с ядром-котангенс. Л.А.Чикин (1952 г.) выполнил серьезную работу по изучению задачи Римана, коэффициент которой имеет нули и бесконечности любого порядка. А.В.Месис (1952 г.) сделала попытку исследовать задачу Римана в одном из классов алгебраических функций, и хотя общие закономерности в работе обнаружены не были, но некоторые трудности проблемы были вскрыты. В.Ф.Кропачев (1953 г.), М.Г.Беляева (1953 г.), М.П.Ганин (1953 г.) разработали методику приведения общей краевой задачи типа Римана с производными и конечным числом сдвигов к эквивалентному СИУ.

Этот перечень здесь приходится прервать. Следующая защита диссертации участника казанского семинара Ю.М.Крикунова (1954 г.) состоялась уже без научного руководителя: в 1953 г. Ф.Д.Гахов переехал из Казани в Ростов, в РГУ. Администрация КГУ не смогла предоставить ему обещанную благоустроенную квартиру, и он с семьей (жена и три сына) проживал в полуподвальном помещении.

Вместе с Ф.Д.Гаховым в свой родной город Ростов переехал доцент В.С.Рогожин и все аспиранты кафедры, кроме Ю.М.Крикунова (он от переезда отказался). Несмотря на неоднократные приглашения Федора Дмитриевича, я также в Ростов не поехала.

Я стала третьим штатным преподавателем кафедры дифференциальных уравнений с 1 сентября 1951 г. уже после защиты кандидат-ской диссертации (март 1951 г.), проработав после окончания аспирантуры один учебный год в должности ассистента на кафедре высшей математики Новочеркасского политехнического института. С отъездом Ф.Д.Гахова и В.С.Рогожина в штате нашей кафедры остался только один ассистент, и кафедру пришлось создавать заново. Вскоре обязанности заведующего кафедрой были возложены на доцента кафедры математического анализа С.Н.Андрианова. Он в это время, как и Ф.Д.Гахов, очень интересовался обратными краевыми задачами, разработкой которых занимались наши механики, возглавляемые профессором Г.Г.Тумашевым. При разработке теории обратных краевых задач использовались методы теории функций и интегральные уравнения (линейные и нелинейные). Поэтому спецкурсы, читаемые в то время С.Н.Андриановым, не нарушали уже сложившейся направленности в специализации наших студентов.

Я стала читать основной спецкурс Ф.Д.Гахова «Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения», а также примыкающие к нему курсы «Аналитические функции от матриц», «Системы СИУ» и др. Но преподавателей на кафедре не хватало. Вскоре после защиты диссертации ассистентом кафедры стал Ю.М.Крикунов, кроме того ассистентом на полставки стал работать Л.А.Аксентьев, в то время аспирант С.Н.Андрианова. С преподаванием на кафедре стало относительно благополучно.

Тематика научных исследований фактически формировалась заново. С.Н.Андрианов и Л.А.Аксентьев занимались интересующими их вопросами теории обратных краевых задач, Сергей Николаевич в этом направлении стал готовить аспирантов. Возвратившись в КГУ из Новочеркасска, я приняла участие в выполнении двух достаточно интересных работ, совместных с Ф.Д.Гаховым. Первая, небольшая по объему, работа (Уч. записки Казанск. ун-та. 1953. Т. 113. № 10. С. 107–110) предлагала единый метод построения решения задачи Римана для замкнутых и разомкнутых контуров, а, значит, и для любых кусочно гладких линий с точками пересечения. Вторая работа оказалась для меня более важной: она касалась проблемы решения СИУ в замкнутой форме путем приведения к краевой задаче Римана. Эта идея появилась у Ф.Д.Гахова в связи с заметкой С.Г.Михлина в «Докл. АН СССР», где тот предложил свой метод обращения интегрального уравнения, к которому итальян-ским математиком Трикоми была сведена одна из рассмотренных им граничных задач для дифференциальных уравнений смешанного типа. На одном из заседаний Казанского физ.-мат. общества (конец 1949 г.) Федор Дмитриевич рассказал о возможности применения приема С.Г.Михлина к обращению более общего СИУ.

Меня этот доклад заинтересовал, и через несколько дней я показала Гахову несколько более общих, чем в его докладе, СИУ того же класса. Спустя некоторое время Федор Дмитриевич, занятый другой работой, предложил мне поработать с этими СИУ и передал свои записи по содержанию сделанного им доклада. Результатом нашей совместной работы явилась большая статья «О некоторых типах СИУ, разрешаемых в замкнутой форме» (Матем. сб. 1954. T. 35. № 3. C. 395–436). Ядра рассмотренных в ней СИУ были либо автоморфными, либо испытывали линейные преобразования при дробно-линейных подстановках, образующих конечную группу. К моменту выхода статьи Гахов был уже в Ростове, и наша совместная работа приостановилась. Но вскоре он сообщил, что занят другой темой и написанием книги «Краевые задачи» (начатой еще в Казани), и работу над СИУ я могу продолжать одна. Обобщение результатов совместной работы на случай СИУ с ядрами, связанными с бесконечными элементарными группами, мною опубликовано в «Уч. записках Казанск. ун-та» (1956. T. 116. №4. C. 59–109). Через пять лет было получено решение краевой задачи Римана в классе автоморфных функций, принадлежащих фуксовым группам (Изв. вузов. Матем. 1961. № 6. C. 121–131; 1961. T. 3. C. 195–196). В целом, эти результаты оказались интересными еще тем, что фундаментальный многоугольник элементарной фуксовой группы является одной из топологических моделей замкнутой римановой поверхности, и результат изучения краевой задачи Римана на фундаментальном многоугольнике и соответствующей римановой поверхности оказываются одинаковыми. Все это послужило основой моей доктор-ской диссертации (1961 г., Белорусский университет).

Достаточно сложно проходил выбор направления научных исследований у Ю.М.Крикунова. К моменту отъезда Гахова у Юрия Максимовича заканчивался второй год аспирантуры, они с Федором Дмитриевичем завершили большую совместную работу по топологическим методам в обратных краевых задачах (Изв. АН СССР, сер. Матем. 1956. T. 20. C. 206–240) и обсудили план оформления диссертации Крикунова на эту тему. Но как только вопрос о переезде Гахова в Ростов был решен, Юрий Максимович отказался и от переезда с ним, и от оформления диссертации по топологическим методам. За оставшийся третий год аспирантуры он написал другую диссертацию по решению обобщенной краевой задачи Римана с производными в краевом условии, которую успешно защитил в 1954 г. Это была интересная, очень строго выполненная работа. Полученное в ней интегральное представление искомой кусочно-голоморфной функции стало своеобразным эталоном в работах других исследователей. Но сам Юрий Максимович результатами своих работ по краевым задачам ТФКП доволен не был, утверждал, что эта тематика себя исчерпала, и ею не стоит заниматься. Только к концу 50-х годов он принял мой совет и начал свои исследования по граничным задачам для ДУ смешанного эллиптико-гиперболического типа.

Меня этот раздел заинтересовал еще во время совместной работы с Гаховым по СИУ. Чуть позже, занимаясь задачей Римана в классе автоморфных функций, в качестве ее приложений я опубликовала две небольшие работы: 1) об эффективном решении краевой задачи Гильберта для круговых многоугольников, представляющих половинку фундаментальной области симметричной элементарной группы (Уч. записки Казанск. ун-та. 1957. T. 117. № 2. C. 22–26) и 2) решение задачи Трикоми в замкнутой форме в случае ДУ Лаврентьева–Бицадзе, когда областью эллиптичности ДУ является многоугольник из работы 1) (Уч. записки Казанск. ун-та. T. 117. № 9. C. 44–47). При таком «активном»

знакомстве с теорией ДУ смешанного типа стало ясно, что теория граничных задач для этого класса ДУ только еще начинает разрабатываться и что при решении многих вопросов здесь надо опираться на теорию краевых задач для ТФКП и СИУ. Для Крикунова эта тематика оказалась очень подходящей, и он подключился к ней с 1960 г.

Так постепенно к 1960 г. на кафедре дифференциальных уравнений сложилась достаточно широкая тематика научных исследований: граничные задачи для аналитических функций и для ДУ в частных производных на плоскости и различных моделях римановых поверхностей. Эти направления исследований развиваются на кафедре и в настоящее время. В связи с ростом числа студентов, принимаемых на физмат, в 1959 г. он был разделен на два факультета: мехмат и физфак. Кафедра дифференциальных уравнений оказалась одной из кафедр мехмата. Серьезных изменений в работе кафедры это не вызвало. Однако через 20 лет постоянный рост числа студентов-вычислителей привел к выделению из состава мехмата нового факультета вычислительной математики и кибернетики (ВМК).

Это привело к серьезному перераспределению нагрузок на всех математических кафедрах мехмата. На кафедре дифференциальных уравнений нагрузка по общим курсам уменьшилась примерно на одну треть, что привело к сокращению числа преподавателей. Последние 20 лет стабильный коллектив кафедры ДУ составляют 8 преподавателей (кроме меня, это – профессора И.А.Бикчантаев, В.И.Жегалов, Ю.В.Обносов, доценты С.Н.Киясов, И.Г.Салехова, Л.Г.Салехов, ассистент С.Г.Аблаева) и лаборант кафедры Л.Б.Бродниковская.

В 2000 г. мехмату исполнилось 40 лет, подвести некоторые итоги кафедры за период 1960–2000 гг.

небезынтересно. Остановимся на описании не всей деятельности кафедры, а только двух ее направлений: наиболее важные результаты научных исследований и подготовка научно-педагогических кадров (без точных статистических данных).

В мае 1959 г. безвременно ушел из жизни С.Н.Андрианов. За время работы на кафедре дифференциальных уравнений он вел исследования по обратным краевым задачам вместе с несколькими аспирантами, один из них – Л.А.Аксентьев – защитил в этот период кандидат-скую диссертацию.

Л.И.Чибрикова проработала на кафедре весь период 1960–2000 гг. (1959–1991 гг. – в должности заведующей кафедрой, с 1991 г. – профессор кафедры). Тематика исследований – краевые задачи ТФКП, краевые задачи для дифференциальных уравнений эллиптического и смешанного типов, СИУ и некоторые прикладные задачи (из теории упругости, гидромеханики и т.п.). Опубликовано более работ, среди них две учебных монографии: «Основные граничные задачи для аналитических функций»

(Изд-во Казанск. ун-та, 1977. 302 с.) и «Избранные главы аналитической теории обыкновенных дифференциальных уравнений» (Казанский фонд «Математика», 1996. 310 с.), обзор «Граничные задачи теории аналитических функций на римановых поверхностях» (Матем. анализ. Т. 18 (Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР). М., 1980. С. 3–67), оригинальная статья «Application the Cauchy type integrals and their generalizations in the theory of automorphic functions» (Topics in mathematical analysis.

World Scientific Publ. Co., 1989. P.78–122).

Работать с аспирантами я начала с 1959 г., согласившись на руководство двумя аспирантами С.Н.Андрианова (В.Д.Дерендяева и В.И.Жегалов, у первой истек один год аспирантуры, у второго – два).

Далее аспиранты принимались ежегодно, и только в 90-е годы желающих заниматься наукой стало мало. За все 40 лет мною подготовлено 30 кандидатов наук. Вот неполный перечень наиболее интересных для меня тем:

1. Полное решение граничной задачи Римана в классе автоморфных функций, принадлежащих конечнопорожденным группам (основной результат моей докторской диссертации).

2. Решение граничной задачи Римана в случае счетного множества особых контуров с конечным числом точек сгущения.

3. Разработка методов решения в замкнутой форме различных классов СИУ (с автоморфными и квазиавтоморфными ядрами, с гипергеометрическими ядрами, с ядрами, имеющими одну или две подвижных особенности логарифмического или степенного типа и т.д.).

4. Пересмотр теории обыкновенных фуксовых ДУ с позиций теории кусочно-голоморфных функций, в процессе которого получена наконец формула обращения интегрального преобразования с ядром Эйлера.

5. Полное обоснование идеи Карлемана 1932 г. построения автоморфных функций с заданными полюсами методом интегральных уравнений Фредгольма.

6. Решение граничных задач Дирихле, Гильберта, Маркушевича и других в случае областей, ограниченных алгебраическими кривыми, методом симметрии, т.е. методом переноса рассматриваемой плоской задачи на риманову поверхность симметрии алгебраической границы.

7. Приведение задачи Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка в случае плоских областей с алгебраической границей к эквивалентной задаче Шварца для голоморфной функции на римановой поверхности симметрии и обращению интегрального уравнения Вольтерра второго рода.

8. Решение основных задач математической теории упругости в случае плоских областей с алгебраическими границами методом симметрии как для изотропных, так и для анизотропных сред.

Темы диссертационных работ аспирантов так или иначе связаны с этими задачами или близкими к ним, а также с граничными задачами для ДУ смешанного типа. Вот список подготовленных мною кандидатов, в скобках указан год защиты: В.И.Жегалов (1962), А.И.Сербин (1964), В.И.Показеев (1965), Г.В.Марков (1965), Л.Г.Салехов (1969), Е.П.Аксентьева (1970), Э.А.Феттер (1979), Ю.С.Бабурин (1971), А.В.Мерлин (1972), И.А.Бикчантаев (1972), Ю.В.Обносов (1977), М.Ф.Кулагина (1973), П.Х.Мкоян (1974), В.В.Мочалов (1980), И.Г.Салехова (1975), Ф.Н.Гарифьянов (1980), Н.Б.Плещинский (1979), В.В.Сильвестров (1979), С.Н.Киясов (1981), В.В.Показеев (1982), С.Г.Усманова (1982), А.В.Майстер (1984), Л.К.Астафьева (1984), В.Л.Дильман (1985), С.Н.Тимергалеев (1989), Р.С.Хайруллин (1987), З.М.Нут (1991, Сирия), Ахмад Альджаур (1992, Сирия), В.И.Художников (1994), Ахмад Казза (2000, Иордания).

Семеро из этих 30 человек стали докторами физ.-мат.наук: В.И.Жегалов, В.В.Сильвестров, Р.С.Хайруллин, И.А.Бикчантаев, Н.Б.Плещинский, Ф.Н.Гарифьянов, Ю.В.Обносов. Для всех тематика кафедры послужила основой при выполнении докторских диссертаций.

Доцент Ю.М.Крикунов, начиная с 1960 г. и до конца жизни (1986 г.), занимался изучением граничных задач для ДУ смешанного типа. Он начал свои исследования с аналогов задач Трикоми и Геллерстедта для бесконечных областей (Изв. вузов. Математика. 1961. № 6), затем изучал задачу Трикоми с производными любого конечного порядка в граничном условии, эллиптико-гиперболическое уравнение Эйлера–Пуассона–Дарбу, задачи с различным порядком вырождения эллиптической и гиперболической частей уравнения и др. Ему первому удалось получить определенные результаты в области уравнений с сильным вырождением, долго не поддававшимся различным исследователям. Почти с самого начала у Ю.М.Крикунова появились аспиранты. Объектами их исследований были: системы уравнений смешанного типа (О.М.Теут, Р.М.Ганеев, И.Е.Плещинская), нелинейные задачи (Л.И.Галиева, Г.Г.Салахиев), уравнения высокого порядка (Х.А.Чиханов, Р.Г.Шакиров), задача Геллерстедта в случае, когда гиперболическая подобласть состоит из любого конечного числа характеристических треугольников (Х.А.Чиханов, Н.Б.Плещинский), задачи с обобщенными условиями сопряжения на переходной линии (И.Е.Солодовников), уравнения с сильным вырождением (И.Д.Гальперина (Емелина), Р.С.Хайруллин). Более подробная информация об этих исследованиях имеется в книге Ю.М.Крикунова «Краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа» (Изд-во Казанск. ун-та, 1986). Все упомянутые здесь ученики Ю.М.Крикунова защитили кандидатские диссертации.

Л.А.Аксентьев работал на кафедре ДУ сначала в должности доцента, а после защиты докторской диссертации – в должности профессора. Ученик С.Н.Андрианова, он очень активно занимается исследованием обратных краевых задач и подготовкой аспирантов. В список подготовленных им кандидатов наук входит около 30 имен, несколько человек из них защитили докторские диссертации (Ф.Г.Авхадиев, А.М.Елизаров, Б.А.Кац, С.Р.Насыров). Последние 20 лет Л.А.Аксентьев – профессор кафедры математического анализа КГУ.

Валентин Иванович Жегалов работает на кафедре ДУ все 40 лет, пройдя путь от аспиранта до профессора, заведующего кафедрой (1991 – 1998 гг). В аспирантуре Жегалов два года работал под руководством С.Н.Андрианова, а третий год – под моим руководством. Предложенная ему диссертационная тема была посвящена решению одного обобщения задачи Трикоми, когда в области эллиптичности заданное уравнение было n-гармоническим, а в области гиперболичности – n-волновым.

Результаты диссертации использовались в дальнейшем при изучении полианалитических функций и более сложных граничных задач для дифференциальных уравнений смешанного типа высших порядков.

Один из аспектов теории уравнений смешанного типа связан с изучением краевых задач, граничные условия в которых представляют собой соотношения между значениями искомых функций, вычисляемыми в различных точках границы, а также на линиях, расположенных внутри области. Первая задача такого рода была рассмотрена В.И.Жегаловым (Уч. записки Казанск. ун-та. 1962. Т. 122.

№ 3). Соответствующее краевое условие явилось реализацией идеи об объединении в одной формулировке двух известных вариантов задачи Трикоми, отличающихся друг от друга лишь тем, что искомая функция задается на различных характеристических отрезках границы области. Следующая публикация в этом направлении появилась в 1969 г. (А.М.Нахушев. Диф. уравнения. T. 15. № 1).

Поскольку при этом не была процитирована указанная выше статья от 1962 г., ряд авторов в течение какого-то времени считали статью А.М.Нахушева пионер-ской. Следует заметить, что эта публикация в центральном журнале безусловно способствовала возрастанию интереса к данной теме. Вскоре в ряде научных центров сформировался целый фронт исследований подобных задач, названных затем «со смещениями», или «нелокальными». В.И.Жегалов продолжал заниматься обсуждаемой темой, предлагая нелокальные задачи, которые позволяли бы (в числе прочего) рассматривать различные ранее изученные ситуации с общей точки зрения. Так, им была поставлена и исследована задача, включающая в себя одновременно задачи Трикоми и Геллерстедта, разработано нелокальное обобщение задачи Франкля, решены две задачи с частично неизвестными границами, одна из которых включает в себя обратную задачу околозвукового течения газа, рассмотрены задачи со смещениями для уравнения смешанно-составного типа и др.

Эти результаты были положены в основу его докторской диссертации, защищенной в 1989 г. в Институте математики СО РАН, а в дальнейшем нашли развитие в работах учеников В.И.Жегалова:

нелинейные задачи с частично неизвестными границами изучались Л.К.Астафьевой, наиболее общие постановки нелокальных задач для чисто гиперболических уравнений составили содержание исследований Р.Р.Шабакаева.

Начиная с 1990 г. В.И.Жегалов вместе со своими учениками (В.А.Севастьянов, Н.Х.Зомот, А.Н.Миронов, Е.А.Уткина) занимался исследованием многомерных уравнений вида, где n>3, а M – линейный дифференциальный оператор порядка n–1 с некратным дифференцированием. Такие уравнения играют существенную роль в теориях аппроксимации и отображений, а также встречаются при изучении процессов вибрации и в других задачах математической физики. Для указанных уравнений был разработан новый вариант классического метода Римана. Сохранилась лишь общая схема метода, а обе основные его составляющие были изменены: функция Римана определялась в предложенном варианте как решение некоторого интегрального уравнения, а основное тождество было взято в другой форме. В качестве технического средства впервые используется в данном методе аппарат внешних дифференциальных форм. Все это позволило получить существенно более лаконичную и прозрачную схему решения задач Коши и Гурса, чем в работах предыдущих авторов (Диф. уравнения. 1996. Т. 32. № 10. С. 1429–1430). Кроме того, предложенный вариант оказался конструктивным в том смысле, что удалось выделить большое количество новых случаев, когда решение может быть записано в явном виде (СМЖ. 1997. Т. 38. № 5. С. 1074–1079). Исследованы также некоторые смешанные задачи.

Поставлены и изучены новые характеристические задачи с нормальными производными в граничных условиях. В настоящее время ведется работа по распространению обсуждаемого метода на случай более сложных уравнений, когда первое слагаемое в уравнении имеет вид, а M тоже может содержать кратные производные, лишь бы их порядок не превышал a (для соответствующего). Здесь получены первые результаты: рассмотрены случаи 1 // Изв. вузов.

Математика. – 1986. – № 4. – С. 26–36 (совм. с В.Л.Дильманом).

147. О применении метода симметрии к решению основных задач плоской теории упругости в случае анизотропной среды // Препринт N 98-1. – Казань: Изд-во Казанск. матем. об-ва, 1998. – 30 с. (совм. с Лин Веем).

148. Роль Ф.Д.Гахова в становлении и развитии научных исследований по краевым задачам и сингулярным интегральным уравнениям // Тр. Матем. центра им. Н.И.Лобачевского. Т. 3. Краевые задачи и их приложения (Матем. Всеросс. науч. конф. Казань, 18–24 октября 1999 г.). – Казань: Унипресс, 1999. – С. 387–393.

149. Applications of symmetry methods in basic problems of orthotropic elasticity // Applicable Analysis. – 1999. – V. 73(1–2). – P. 19–43. (совм. с L.Wei).

КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Кафедра математического анализа была образована в 1934 г., и первым её заведующим был Борис Михайлович Гагаев, возглавлявший кафедру в течение 40 лет.

С 1974 г. по 1998 г. кафедру возглавлял Анатолий Николаевич Шерстнев, а с 1998 г. ею руководит Семён Рафаилович Насыров. С 1974 г. на кафедре начали функционировать научные семинары по теории аппроксимации функций (научный руководитель Б.Г.Габдулхаев) и по алгебрам операторов (научный руководитель А.Н.Шерстнев), а с 1978 г. – семинар по геометрической теории функций (научный руководитель Л.А.Аксентьев). В 1987 г. на базе кафедры математического анализа образовалась кафедра теории функ-ций и приближений, которую возглавил Билсур Габдулхаевич Габдулхаев. Следует отметить плодотворную научно-педагогическую деятельность доцентов Ю.И.Грибанова, А.Л.Кузьминой, Г.Н.Чеботарева, много лет проработавших на кафедре.

В настоящее время на кафедре работают профессора Л.А.Аксентьев, Д.Х.Муштари, С.Р.Насыров, А.Н.Шерстнев, доценты А.И.Володин, А.М.Бикчентаев, Г.Д.Луговая, И.Р.Нежметдинов, Ф.Ф.Султанбеков, Е.А.Широкова, ассистенты Г.Ш.Скворцова, Е.А.Турилова, старший научный сотрудник П.Г.Овчинников. Профессорам Л.А.Аксентьеву, Д.Х.Муштари, А.Н.Шерстневу присвоено почетное звание «Заслуженный деятель науки РТ», Д.Х.Муштари является членом-корреспондентом АН Республики Татарстан. К чтению спецкурсов привлекаются сотрудники НИИММ им.

Н.Г.Чеботарева, Зеленодольского филиала КГУ, других вузов Казани: профессора Ф.Г.Авхадиев, Ф.Н.Гарифьянов, С.А.Григорян, А.М.Елизаров, Б.А.Кац.

Кафедра ведет курсы математического анализа, функционального анализа и интегральных уравнений, теории функций комплексного переменного, теории вероятностей, теории случайных процессов. На кафедре две специализации, связанные с научными интересами ее сотрудников: «Функциональный анализ» и «Геометрическая теория функций комплексного переменного».

ИССЛЕДОВАНИЯ ПО ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ АНАЛИЗУ

Исследования в области функционального анализа на механико-математическом факультете КГУ в основном проводились на базе научного семинара «Алгебры операторов и их приложения», возникшего в недрах НИИММ им. Н.Г.Чеботарева в конце 60-х годов, а с 1974 г. переместившегося на кафедру математического анализа, где он продолжает работать и в настоящее время. Остановимся на основных направлениях исследований.

В связи с прогрессом в теории алгебр фон Неймана, расширением сферы ее приложений, имевшими место в конце 60 – начале 70-х годов и стимулированными плодотворной теорией Томиты–Такесаки, а также теорией нормальных весов, актуальной стала проблема распространения некоммутативной теории интегрирования И.Сигала (I.Segal, 1953) на нормальные веса, являющиеся нецентральными аналогами интегралов по неограниченным мерам, заданных на классе ограниченных функций. К этой теме и был привлечен интерес участников семинара в 70-е годы.

Впервые принципиальное решение указанной проблемы было получено на нашем семинаре в 1972–1978 гг. [52,54,48]. В последующие 2–3 года построенная схема интегрирования была достаточно глубоко продвинута. Центральной идеей, лежащей в основе построения некоммутативного пространства L1, ассоциированного с точным нормальным полуконечным весом j на алгебре фон Неймана M, действующей в гильбертовом пространстве H, является идея его реализации как пространства «интегрируемых» билинейных форм, заданных на плотном в H линеале веса внутренним образом связанном с весом [52,54]. Детально разработанный аппарат билинейных форм оказался исключительно плодотворным, как мы увидим ниже, и для решения других важных проблем, относящихся к общей теории меры на проекторах алгебры фон Неймана.

Сформулируем основные результаты, полученные при решении указанной проблемы.

1. Построена теория пространств L1(j), ассоциированных с точным нормальным полуконечным весом j, получена их реализация в виде пространства интегрируемых билинейных форм, заданных на линеале веса. Получено двойственное описание пространства L1(j): как банахово пространство оно изометрически изоморфно преддвойственному пространству M* алгебры фон Неймана M. При этом указанный изоморфизм согласуется с естественными порядковыми структурами в пространствах L1(j) и M* [52,54,48].

2. Построена шкала пространств Lp(j) (p1), ассоциированная с локально измеримым весом на полуконечной алгебре фон Неймана, получено описание этих пространств с помощью локально измеримых операторов и билинейных форм [45];

построены вещественные пространства и получена их реализация в виде интегралов от вещественных функций по обобщенным разложениям единицы [39]. Найдены условия на действительную борелевскую функцию, при которых соответствующая операторная функция непрерывна в топологии сходимости по мере и в пространствах Lp, ассоциированных с точным нормальным полуконечным следом на алгебре фон Неймана [40].

Построение и исследование пространств Lp, ассоциированных с состоянием на алгебре фон Неймана M, также проведено в работе [11] с использованием шкалы Lp,a (0a1), введенной в [46]. При этом подходе в качестве аналога пространства Lp при каждом фиксированном a[0,1] выступает пространство Lp,a комплексной интерполяционной шкалы, построенной по банаховой паре (L1,a,M). При каждом фиксированном p[1,] пространства Lp,a (0a1) образуют комплексную интерполяционную шкалу. Достаточно общая схема построения пространств типа Lp предложена также в рамках подхода к аксиоматике квантовой механики, при котором состояния системы описываются как элементы некоторого выпуклого множества [41].

3. Предложен общий метод построения некоммутативных F-нормированных идеальных пространств (в частности, пространств Орлича), ассоциированных с полуаддитивной мерой на проекторах алгебры фон Неймана. Исследованы их топологические и порядковые свойства [6]. Дано обобщение теории двойственности Кете перестановочно инвариантных пространств измеримых операторов на нормированные идеальные пространства [7]. Установлено новое мажоризационное свойство произведений измеримых операторов [8].

4. Развита теория условного ожидания в пространстве L1(j) интегрируемых билинейных форм и установлена связь этого понятия с традиционным понятием условного ожидания в алгебрах фон Неймана [47,48(II)].

5. Основные результаты теории интегрирования относительно следа и следовых неравенств на алгебрах фон Неймана перенесены на случай пространств в спектральной двойственности Е.Альфсена и Ф.Шульца [42–44].

Плодотворная работа семинара способствовала росту его авторитета в математическом сообществе. Казанским университетом (совместно с Московским и Ленинградским университетами) в 1971 г. и 1978 г. организованы и проведены Летние математические школы по некоммутативной теории вероятностей [5, 51]. Был осуществлен тематический выпуск журнала «Известия вузов. Математика» (1982, № 8), посвященный проблемам некоммутативного интегрирования и смежным вопросам теории вероятностей и математической физики.

Другое направление исследований семинара – проблемы строения мер на ортопроекторах алгебры фон Неймана. Фундаментальный результат А.Глисона (A.Gleason, 1957) об описании всех счетно-аддитивных мер на замкнутых подпространствах сепарабельного гильбертова пространства и возможности использования этого результата для построения удачных аксиоматических моделей квантовой механики вызвали большой интерес к так называемой проблеме линейности – проблеме описания мер на ортопроекторах. Указанная проблема формулируется как проблема продолжения меры на проекторах алгебры фон Неймана до линейного функционала. На нашем семинаре решение данной проблемы удалось получить М.С.Матвейчуку, публикации которого [19, 20] опередили публикации зарубежных исследователей (E.Christensen (1982), F.Yeadon (1983–1984)), также получивших этот результат.

Построение исчерпывающей теории меры на проекторах подразумевает, как и в классическом (коммутативном) случае, изучение таких мер без ограничительного условия конечности. В классической теории под неограниченной мерой обычно понимается либо мера, заданная на s-кольце множеств и принимающая значения в [0,+), либо мера на s-алгебре множеств со значениями в расширенной полуоси [0,+].

Эти подходы, по существу, эквивалентны. Естественным аналогом второго определения для мер на проекторах алгебры фон Неймана M является sортоаддитивное отображение m: Mpr®[0,+] (здесь Mpr – множество всех ортопроекторов алгебры фон Неймана M). Первое же определение трансформируется в некоммутативном случае в заданное на «идеале» проекторов m. Однако теперь это уже не эквивалентные подходы, так как неограниченная мера, заданная на идеале, уже не продолжается, вообще говоря, до меры, заданной на всех проекторах [50, 55]. Плодотворными оказались исследования строения неограниченных мер в рамках второго из указанных выше подходов. В алгебре всех ограниченных операторов сепарабельного гильбертова пространства полностью решена задача описания неограниченных мер [15, 13]. Это сделано методами теории билинейных форм, впервые использованными еще для изучения мер на идеалах [50], и затем существенно развитыми на основе ряда структурных теорем Б.Саймона (B.Simon, 1978). Этот результат явился обобщением на неограниченные меры упоминавшейся выше классической теоремы Глисона.

Полученный результат позволил ввести пространство L1 для широкого класса неограниченных мер на проекторах и реализовать его преддвойственным пространством подходящей алгебры фон Неймана [16].

Естественно также возникла проблема продолжения неограниченной меры на проекторах до веса (проблема линейности для неограниченных мер). Наряду с полученными некоторыми достаточными условиями возможности продолжения меры до веса, для конечно-аддитивных мер, как оказалось, проблема решается отрицательно: построен пример неограниченной полуконечной конечно-аддитивной меры на проекторах алгебры фон Неймана без прямых слагаемых типа I2, которая не продолжается до веса [18, 56].

Введены и изучены также неограниченные аналоги векторных ортоаддитивных мер на ортопроекторах алгебры фон Неймана со зна-чениями в гильбертовом пространстве [14, 17]. Изучены порядковые свойства ортогональных векторных полей и их связи с топологическими свойствами. Оказывается, в частности, что порядковые свойства ортогонального векторного поля существенно отличны от их скалярных аналогов.

Получена характеризация широкого класса ортого-нальных векторных полей в классе линейных отображений [57].

Исследование знакопеременного аналога теоремы Глисона (зарядов на ортопроекторах) было начато на семинаре в начале 70-х годов в [53]. Было установлено, что теорема Глисона для зарядов на алгебре B(H) всех ограниченных операторов в гильбертовом пространстве H (dim H>2) справедлива, если сужение заряда на класс всех одномерных ортопроекторов ограничено (или, что эквивалентно, ограничен сам заряд). Вообще проблема описания вполне аддитивных зарядов на алгебре фон Неймана M оказалась напрямую связана с проблемой их ограниченности:

пусть n: Mpr®C – вполне аддитивный заряд. Можно ли утверждать, что