Министерство образования Республики Беларусь

Учебно-методическое объединение высших учебных заведений

Республики Беларусь по естественнонаучному образованию

УТВЕРЖДАЮ

Первый заместитель Министра образования Республики Беларусь

А.И. Жук

«_» 200 г.

Регистрационный № ТД-/тип.

Высшая математика Типовая учебная программа для высших учебных заведений по специальностям:

1-31 02 01 География (по направлениям) 1-33 01 02 Геоэкология

СОГЛАСОВАНО СОГЛАСОВАНО

Председатель Учебно- Начальник Управления высшего и методического объединения выс- среднего специального образования ших учебных заведений Респуб- Ю.И. Миксюк лики Беларусь по естественнонаг.

учному образованию _ В.В. Самохвал Ректор Государственного учреждения образования «Республиканский «_» 200 г.

институт высшей школы»

Н.И. Демчук Председатель Учебног.

методического объединения высших учебных заведений Республики Беларусь по экологическому Эксперт-нормоконтролер образованию _ С.П. Кундас «_» 200 г.

«_» 200 г.

Минск

СОСТАВИТЕЛИ:

А.А. Гусак, профессор кафедры общей математики и информатики Белорусского государственного университета, кандидат физико-математических наук, профессор;

О.М. Матейко, доцент кафедры общей математики и информатики Белорусского государственного университета, кандидат физико-математических наук, доцент;

П.В. Плащинский, доцент кафедры общей математики и информатики Белорусского государственного университета, кандидат физико-математических наук, доцент РЕЦЕНЗЕНТЫ:

Кафедра алгебры и геометрии Учреждения образования «Белорусский государственный педагогический университет имени МаксимаТанка»;

Л. А. Янович, главный научный сотрудник отдела нелинейного и стохастического анализа государственного научного учреждения «Институт математики Национальной академии наук Беларуси», доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент Национальной академии наук Беларуси

РЕКОМЕНДОВАНА К УТВЕРЖДЕНИЮ В КАЧЕСТВЕ ТИПОВОЙ:

Кафедрой общей математики и информатики Белорусского государственного университета (протокол № 7 от 15 февраля 2008 г.);

Научно-методическим советом Белорусского государственного университета (протокол № 4 от 22 мая 2008 г.);

Научно-методическим советом по специальности 1-31 02 01 География Учебно-методического объединения вузов Республики Беларусь по естественнонаучному образованию (протокол № 1 от 18 ноября 2008 г.) Научно-методическим советом по специальностям 1-33 01 01 Биоэкология и 1-33 01 02 Геоэкология Учебно-методического объединения вузов Республики Беларусь по экологическому образованию (протокол № 6 от 15 января 2009 г.) Ответственный за выпуск: Матейко Олег Михайлович

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Глобальные процессы, происходящие в современном обществе, научнотехнический прогресс, информатизация всех сфер человеческой деятельности предъявляют особые требования к подготовке грамотных специалистов в области географии, занимающихся непосредственно как практической деятельностью, так и научными исследованиями. В настоящее время невозможно представить себе специалиста, не знающего математических методов исследования основных экономических и физических процессов и закономерностей на производстве и в обществе. Поэтому математические дисциплины занимают одно из ведущих (если не главное) мест в общем ряде дисциплин на естественных факультетах и специальностях вузов.

Математические методы уже давно (с 50-х годов XX века) и с успехом применяются в географии и геологии. Широкое использование математики становится необходимым условием успешной разработки содержательных аспектов географических теорий (не говоря уже об их формализации). Математические методы позволяют также систематизировать и классифицировать результаты исследований и на их основе проводить районирование территории, определять сходство и различие между процессами взаимодействия в различных природных условиях, вероятностную зависимость между явлениями, выделять ведущие факторы, действующие на развитие процесса, создавать математические модели процессов или явлений для целей географического прогнозирования.

Математические формулы, теоремы, вычисления применяются во многих географических дисциплинах, таких как «Землеведение», «Метеорология и климатология», «Картография», «Топография с основами геодезии», «Геоморфология», «Социально–экономическая география» и многие другие. Ни одна географическая дисциплина не обходится без составления графиков и таблиц на определённую тематику, наглядно отражающих какие–либо закономерности или тенденции развития. В последние годы в физической географии все более заметную роль при проведении теоретических и экспериментальных исследований занимает моделирование. С помощью математического моделирования можно решать многие задачи в области физической географии: проводить классификацию, районирование, прогнозирование. Практически нет таких областей физической географии, где бы не строились математические модели различной сложности.

Программа дисциплины содержит несколько важнейших разделов, которые охватывают все основные направления применения математических методов в географии. При составлении программы одним из важнейших выступал принцип профессиональной направленности, который подразумевает тесную связь содержания учебного курса с профессиональной сферой деятельности будущих специалистов. В этой связи при подборе учебного материала для занятий будет целесообразно использовать задачи, составленные на основе реальных географических исследований.

Кроме того, представляется целесообразным организовать интегрированное изучение курсов информатики и высшей математики. Для этого ряд тем курса высшей математики, связанных с приближенными вычислениями, решением задач экономической географии, применением методов математической статистики в географических исследованиях следует рассматривать на занятиях по информатике.

Цели дисциплины:

- знакомство с основными понятиями и методами исследования современной математики, необходимыми для изучения курсов физики и математических методов в географии и применения их в экономико-географических исследованиях;

- формирование умений корректной математической постановки прикладной задачи, анализа данных, с применением количественных методов, построение простейших математических моделей;

- подготовка специалиста-географа к самостоятельному изучению тех разделов современной математики, которые могут потребоваться дополнительно в его практической и научно-исследовательской работе.

Кроме этого, изучение математики, несомненно, оказывает положительное влияние на развитие у студентов способностей к логическому и критическому мышлению.

Полученные знания по высшей математике будут необходимы при изучении ряда важных дисциплин, например: «Землеведение», «Метеорология и климатология», «Картография», «Топография с основами геодезии», «Геоморфология», «Социально–экономическая география», а также при прохождении производственной и преддипломной практик, в дипломном проектировании.

В результате изучения дисциплины студенты должны знать:

• роль и место математики в современном мире и географических исследованиях;

• элементы аналитической геометрии на плоскости и применение ее для геометрического описания строения земной коры;

• матричное исчисление, применение матриц при изучении географических сетей;

• элементы аналитической геометрии в пространстве и применение ее в математической картографии;

• основные сведения о функциях одной и нескольких переменных, примеры функций в географии и экономике;

• элементы дифференциального исчисления и его использование при классификации элементов рельефа на плоскости;

• основы интегрального исчисления и его применение в физической географии;

• основные виды дифференциальных уравнений первого и второго порядков, методы их решения; географические задачи, решаемые с помощью дифференциальных уравнений;

• основные понятия и методы теории вероятностей и математической статистики, их использование в статистической обработке географических данных;

• элементы линейного программирования, транспортную задачу, основные понятия теории графов и их применение к построению географических сетей;

• основы математического моделирования природных процессов.

Студенты должны уметь:

• выполнять основные матричные операции, использовать матричное исчисление в экономических задачах, применять матричный аппарат для изучения географических сетей, решать системы линейных алгебраических уравнений;

• применять метод координат для исследования линий первого и второго порядков на плоскости и поверхностей в пространстве;

• находить простейшие пределы числовых последовательностей и пределы функций в точке и на бесконечности, приводить примеры функций в экономике и географии;

• находить производные функций, вычислять простейшие неопределенные и определенные интегралы и применять их для нахождения площадей и объемов природных объектов;

• вычислять вероятности событий, приводить примеры случайных величин в географических исследованиях;

• строить модели транспортных сетей с использованием теории графов, решать транспортную задачу;

• решать обыкновенные дифференциальные уравнения;

• владеть статистическими методами обработки экспериментальных данных;

• делать выводы на основе анализа математических моделей.

Для организации самостоятельной работы студентов следует использовать современные информационные технологии: разместить в сетевом доступе комплекс учебных и учебно-методических материалов (программа, лекционный экспресс-курс, методические указания и рекомендации по решению задач, сборник задач для решения на практических занятиях и для самостоятельного решения, список рекомендуемой литературы и информационных ресурсов, задания для самоконтроля в тестовой форме и в форме контрольных работ и др.).

Эффективность самостоятельной работы студентов целесообразно проверять в ходе текущего и итогового контроля знаний в форме устного опроса, контрольных работ, коллоквиумов, тестового компьютерного контроля по темам и модулям курса. Для общей оценки качества усвоения студентами учебного материала рекомендуется использование рейтинговой системы.

На изучение дисциплины «Высшая математика» типовым учебным планом максимально отводится 274 часа, из них 136 аудиторных: 68 часов лекций и часов практических занятий.

ПРИМЕРНЫЙ ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

1. Раздел I. Аналитическая геометрия и векторная алгебра 1.1. Матрицы и определители. Системы линейных уравнений 6 3. Раздел III. Основы теории вероятностей и математической статистики 4. Раздел IV. Элементы линейного программирования и

СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА

ВВЕДЕНИЕ

Предмет высшей математики. Исторические сведения. Понятие о роли математики в географии. Понятие о математическом моделировании. Применение компьютерной техники при решении прикладных задач географии.

РАЗДЕЛ I. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

1.1. Матрицы и определители. Системы линейных уравнений Системы линейных алгебраических уравнений. Понятие матрицы. Определители и их свойства. Действия над матрицами. Обратная матрица. Матричная запись системы. Методы Крамера и Гаусса решения систем. Применение матриц при изучении географических сетей. Оценка миграции населения с использованием матриц. Задача о возрастном составе населения.

1.2. Аналитическая геометрия на плоскости Аналитическая геометрия на плоскости. Простейшие задачи аналитической геометрии. Системы декартовых и полярных координат на плоскости. Прямая линия на плоскости. Различные виды уравнения прямой. Расстояние от точки до прямой. Линии второго порядка. Окружность, эллипс, гипербола, парабола, их канонические уравнения. Приведение общего уравнения второй степени к каноническому виду. Геометрическое описание строения земной коры. Аппроксимация складок земной коры линиями первого и второго порядков.

1.3. Аналитическая геометрия в пространстве Аналитическая геометрия в пространстве. Системы координат: декартова, сферическая и цилиндрическая. Понятие вектора. Действия над векторами. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов. Их геометрический смысл. Применение векторов в климатологии и геоморфологии. Прямая линия и плоскость в пространстве. Виды уравнений. Взаимное расположение. Поверхности 2-го порядка в пространстве. Земной эллипсоид. Элементы математической картографии. Географические координаты точек шара. Геодезические координаты точек эллипсоида вращения. Дуги параллелей и меридианов.

РАЗДЕЛ II. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Функции одной переменной. Определение функции, различные способы задания. Примеры функциональной зависимости в географии. Последовательности. Предельное значение функции и последовательности. Геометрическая интерпретация. Свойства функций, имеющих предел. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства. Замечательные пределы. Вычисление пределов.

Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке.

Арифметические действия над непрерывными функциями. Непрерывность основных элементарных функций. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва и их классификация. Свойства функций непрерывных на отрезке.

Производные и дифференциалы. Производная. Геометрический и физический смысл производной. Скорость перемещения и уклон земной поверхности как производные. Основные правила дифференцирования. Производная сложной и обратной функций. Понятие дифференцируемой функции. Производные и дифференциалы высших порядков.

Применение дифференциального исчисления к исследованию функций.

Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. Правило Лопиталя-Бернулли. Применение дифференциального исчисления в географии. Аналитическая классификация элементов рельефа на плоскости. Дифференциальное исчисление при изучении структурных и тектонических движений земной коры.

Неопределенный интеграл. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла. Основные методы интегрирования. Интегрирование простейших рациональных, иррациональных и тригонометрических функций.

Определенный интеграл. Понятие определенного интеграла как предела интегральной суммы. Геометрический смысл. Основные свойства определенного интеграла. Теорема о среднем. Формула Ньютона-Лейбница. Геометрические и физические приложения определенного интеграла. Применение интегрирования в географии. Вычисление объёмов холмов, вулканов. Понятие о несобственных интегралах.

Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность функции. Частные производные. Дифференциал. Производная по направлению. Градиент. Линии уровня. Производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков.

Экстремум функции двух переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума. Метод наименьших квадратов. Функции нескольких переменных в физической географии.

Дифференциальные уравнения. Определения, геометрическая интерпретация. Уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные, линейные. Дифференциальные уравнения второго порядка. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, метод решения. Приложения дифференциальных уравнений в географии. Задача о росте населения.

РАЗДЕЛ III. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

3.1. Элементы теории множеств. Комбинаторика Элементы теории множеств. Операции над множествами. Комбинаторика.

Перестановки, размещения и сочетания.

Основы теории вероятностей. Классификация событий. Алгебра событий.

Вероятности случайных событий. Условные вероятности. Независимость событий. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формулы Байеса, Бернулли, Пуассона.

Случайные величины: дискретные и непрерывные. Закон распределения дискретной случайной величины. Математическое ожидание, дисперсия, их свойства. Биномиальное, нормальное, равномерное распределение. Распределение Пуассона. Цепи Маркова, экологические модели.

3.4. Элементы математической статистики Выборочный метод. Основные понятия, связанные с выборочным методом:

генеральная и выборочная совокупности, дискретный и интервальный вариационные ряды, частоты. Статистическое распределение выборки. Полигон частот и гистограмма частот.

Эмпирическая функция распределения. Статистические оценки параметров распределения. Несмещенная, эффективная и состоятельная оценки. Генеральная средняя. Выборочная средняя. Оценка генеральной средней. Свойство устойчивости выборочных средних. Генеральная дисперсия. Выборочная дисперсия.

Математические методы обработки результатов измерений. Погрешности измерений. Приложение методов математической статистики к обработке результатов измерений. Оценка точного значения величины. Оценка точности измерений. Метод наименьших квадратов в географии.

РАЗДЕЛ IV. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

И ТЕОРИИ ГРАФОВ.

4.1. Элементы линейного программирования Линейное программирование, основные понятия. Задача о наилучшем использовании ресурсов. Задача о смесях. Транспортная задача. Опорный план, оптимальный план. Отыскание исходного опорного плана. Решение транспортной задачи методом потенциалов.

Основные понятия теории графов. Применение графов в географии. Модели транспортных сетей. Транспортная задача в сетевой постановке, алгоритм решения. Потоки на сетях. Задача о максимальном потоке.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гусак А.А. Высшая математика. В 2-х т. Т.1.:Учебник для студентов вузов. – 6-е изд. – Мн.:

ТетраСистемс, 2007. – 544 с.

2. Гусак А.А. Высшая математика. В 2-х т. Т.2.:Учебник для студентов вузов. – 6-е изд. – Мн.: ТетраСистемс, 2007. – 448 с.

3. Гусак А.А. Задачи и упражнения по высшей математике. В 2 частях. – Мн.: Выш. шк., 1988.

4. Девдариани А.С. Математический анализ в геоморфологии. – М. «Недра», 1967. – 156 с.

5. Матейко О.М., Плащинский П.В. Высшая математика. Примеры и задачи: учебнометодическое пособие для студентов географического факультета. – Мн.: БГУ, 2005. – 6. Самнер Г. Математика для географов. – М. «Прогресс», 1981. – 296 с.

7. Чертко Н.К. Математические методы в физической географии: Учеб. пособие для геогр.

спец. вузов. – Мн.: «Университетское», 1987. – 151 с.

1. Гусак А.А., Бричикова Е.А. Теория вероятностей. Справочное пособие к решению задач. – 6-е издание. – Мн.: ТетраСистемс, 2007. – 288 с.

2. Гусак А.А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра: справочное пособие к решению задач. – 4-е издание. – Мн.: ТетраСистемс, 2006. – 288 с.

3. Гусак А.А. Математический анализ и дифференциальные уравнения: справочное пособие к решению задач. – 4-е издание. – Мн.: ТетраСистемс, 2006. – 416 с.

4. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики: М.: Наука, 1985.

5. Каратаев Г.И. Геоморфология и математика. – Мн: Нав и тэх., 1992. – 108 с.

6. Голиков А.П., Трофимов А.М., Черванев И.Г. Математические методы в географии – Харьков, 1986.

7. Гзовский М.В. Математика в геотектонике М.: «Недра», 1971. – 240 с.

8. Серапинас Б.Б. Математическая картография: Учебник для вузов. – М.: «Академия», 2005.

9. Математические методы в географии. Казань: изд. Казанского университета, 1976. –