МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

«КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им.

В.П. АСТАФЬЕВА»

(КГПУ им.В.П.Астафьева)

Институт математики, физики и информатики

ПРОГРАММА

вступительных испытаний для поступающих в аспирантуру Направление подготовки 01.06.01 Математика и механика Программа аспирантуры «Геометрия и топология»

Красноярск - 2014 Пояснительная записка Предлагаемая программа вступительного экзамена призвана обеспечить полноценную подготовку поступающих в аспирантуру по программе «Геометрия и топология».

В основе настоящей программы лежит понятие симметрии. Главная особенность симметрий как и полной совокупности любых преобразований состоит в том, что относительно операции их последовательного выполнения они образуют группу. Эта алгебраическая система сегодня наиболее глубоко изучена. Такая особенность позволяет теорию симметрии свести к ряду разделов теории групп и некоторых других алебраических систем. Благодаря этому многие интересные факты теории симметрии могут быть получены перефразировкой утверждений теории групп на язык симметрии. И обратно, налядность преобразований симметрии помогает по новому взлянуть на многие положения абстрактной теории групп. Поскольку трудно назвать сферу человеческой деятельности, в которой группы явно или неявно не применяются, то развитие их теории не вызывает сомнений. Хотя группы появились в математике около двух столетий назад, владение основами этой теории требует некоторой общематематической культуры. С помощью настоящей программы планируется выяснить насколько будущий аспирант обладает такой культурой и готов ли он работать над конкретными открытыми задачами теории групп и многограников.

Структура и содержание программы отвечает характеру и уровню знаний, умений и навыков, необходимых будущему аспиранту для успешного обучения в аспирантуре и работе над диссертацией.

Работа с программой нацеливает на закрепление в профессиональном сознании абитуриентов комплексного целостного знания, позволяющего в период обучения в аспирантуре и работы над диссертацией, осуществлять эффективную научноисследовательскую, преподавательскую и воспитательную деятельность.

Отбор содержания вопросов, выносимых на экзамен, основывается на вычленении наиболее существенных знании в области геометрии и топологии.

В ходе ответов на предлагаемые вопросы абитуриенту следует показать владение понятийно-терминологическим аппаратом, проявить знание основных теоретических постулатов, законов, закономерностей, противоречий, уметь охарактеризовать их место и роль в исследовательской и образовательной деятельности.

Цель вступительного испытания - определить готовность и возможность поступающего освоить выбранную программу подготовки и выявить научные интересы и потенциальные возможности в сфере научно-исследовательской работы.

Задачи:

1. Диагностировать уровень сформированности методологической культуры абитуриента.

2. Выявить уровень владения знаниями геометрии и топологии, а также понимание современной проблематики данной области научного знания.

3. Активизировать на поиск научной проблематики для потенциального научного исследования.

Содержание основных разделов программы:

1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

1.1. Системы координат на плоскости. Системы координат в пространстве.

1.2. Векторы. Сложение векторов, умножение вектора на число. Скалярное умножение векторов. Векторное умножение векторов. Смешанное умножение векторов.

Двойное векторное умножение. Тождество Якоби.

1.3. Уравнения прямой на плоскости. Уравнения плоскости в пространстве.

Уравнения прямой в пространстве.

1.4. Эллипс. Гипербола. Парабола. Уравнения кривых второго порядка в полярных координатах. Классификация кривых второго порядка.

1.5. Эллипсоид, конус, цилиндры. Гиперболоиды. Параболоиды. Приведение квадратичных форм двух и трех переменных к диагональному виду. Классификация поверхностей второго порядка.

2. МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2.1. Векторное пространство. Определение, примеры, следствия из аксиом. Базис и размерность. Подпространства.

2.2. Аффинное пространство. Определение, примеры, следствия из аксиом.

Подпространства аффинного пространства. Определение, способ задания. Взаимное расположение подпространств.

2.3. Аффинная система координат. Уравнения плоскости (параметрические, общие).

Уравнение гиперплоскости, проходящей через заданные точки.

2.4. Отрезок в аффинном пространстве. Отношение «между». Полупространство.

Полуплоскость, луч.

2.5. Выпуклые многогранники в аффинном пространстве. Определение, способ задания, примеры.

2.6. Линейные отображения. Определение, примеры. Ядро, образ. Линейные операторы и действия над ними. Матрицы линейного оператора, связи между ними.

2.7. Линейные формы на векторном пространстве. Сопряженное пространство.

2.8. Билинейные формы на векторном пространстве. Матрицы билинейной формы, связи между ними.

2.9. Квадратичные формы. Связь с билинейными формами. Формулировка теоремы о приведении квадратичной формы к диагональному виду. Ранг, индекс, сигнатура квадратичной формы.

2.10. Скалярное произведение в векторном пространстве. Определение, примеры, неравенство Коши-Буняковского. Определение евклидова векторного пространства.

Евклидова метрика.

2.11. Конечномерные евклидовы векторные пространства. Теорема существования.

Ортонормированный базис. Пример. Теорема существования ортонормированного базиса. Ортогональное дополнение.

2.12. Смешанное произведение векторов в конечномерном евклидовом векторном пространстве, формулировка фундаментального свойства. Определитель Грама векторов.

Связь смешанного произведения векторов с определителем Грама этих векторов.

2.13. Евклидово аффинное пространство. Определение, пример. Перпендикуляр к плоскости, теорема существования и единственности. Объем параллелепипеда.

2.14. Изометрический оператор, заданный на евклидовом векторном пространстве.

Определение, примеры, формулировка основной теоремы.

2.15. Аффинное преобразование аффинных пространств. Определение, примеры, теорема существования и единственности, аналитическое задание.

2.16. Движение евклидова аффинного пространства. Определение, аналитическое задание, примеры.

2.17. Квадрики в евклидовом аффинном пространстве.

3. ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО

3.1. Абсолютная геометрия. Ось симметрии, принаки равенства треугольников, теорема о внешнем угле треугольника, теоремы о перпендикулярх, признаки параллельности прямых. Сумма углов треугольника. Дефект треугольника.

Четырехугольники.

3.2. Планиметрия Лобачевского. Простейшие теоремы. Угол параллельности.

Функция Лобачевского. Прямые, параллельные прямой. Расходящиеся прямые.

Эквидистанта и орицикл. Модель Пуанкаре планиметрии Лобачевского.

4.1. Топологическая структура в множестве. Внутренность, замыкание, граница.

Базы. Метрика. Подпространства.

4.2. Непрерывные отображения. Гомеоморфизмы.

4.3. Связность. Линейная связность. Аксиома Хаусдорфа. Аксиомы счётности.

Теорема Линделёфа. Компактность. Компактные пространства со счётной базой.

Компактные метрические пространства.

4.4. Произведение топологических пространств. Факторпространство.

5. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА

5.1. Гомотопия. Гомотопия путей. Перенос начала. Односвязные пространства.

5.2. Накрытия. Теорема о накрывающих путях.

5.3. Фундаментальная группа окружности. Фундаментальная группа проективного пространства. Фундаментальная группа букета окружностей. Фундаментальная группа произведения двух пространств.

5.4. Применения фундаментальной группы: инвариантность размерности, теоремы Брауера и Борсука, векторные поля.

5.5. Поведение фундаментальной группы при отображениях.

6.1. Многообразия. Основные понятия.

6.2. Теоремы о классификации одномерных и двумерных замкнутых многообразий.

Триангуляции.

6.3. Семейство многоугольников.

6.4. Теорема о приведении.

6.5. Негомеоморфность основных поверхностей. Фундаментальная группа клеточного пространства, теорема ван Кампена.

6.6. Ориентируемость и неориентируемость. Эйлерова характеристика.

7. ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

7.1. Вектор-функция скалярного аргумента. Параметризованные и непараметризованные кривые.

7.2. Касательная к кривой. Соприкасающаяся плоскость к кривой. Длина кривой.

Натуральная параметризация. Кривизна кривой. Кручение кривой. Формулы Френе.

Теоремы о натуральных уравнениях.

7.3. Геометрическая поверхность. Касательная плоскость к поверхности.

7.4. Первая квадратичная форма поверхности. Длина дуги кривой на поверхности.

Площадь замкнутой области на поверхности.

7.5. Основной оператор поверхности. Вторая квадратичная форма поверхности.

Нормальная кривизна поверхности в выбранном направлении.

7.6. Формулы Дарбу. Теорема Мёнье. Главные кривизны и формула Эйлера. Главные кривизны и геодезическое кручение. Матрица основного оператора поверхности в нормальном базисе. Гауссова и средняя кривизны. Теорема Гаусса о сферическом отображении. Соприкасающийся параболоид. Деривационные формулы. Теоремы Гаусса и Бонне.

8. ЭЛЕМЕНТЫ РИМАНОВОЙ ГЕОМЕТРИИ

Риманово многообразие. Определение, примеры. Длина дуги. Метрика на римановом многообразии. Ковариантное дифференцирование. Символы Кристоффеля.

Примерный перечень вопросов 1.Задачи на построение циркулем и линейкой. Методы решения задач на построение.

Метод пересечения множеств. Алгебраический метод решения задач на построение.

Окружность Аполлония.

2. Признаки разрешимости задач на построение циркулем и линейкой. Примеры задач не разрешимых циркулем и линейкой. Классические задачи не разрешимые циркулем и линейкой: квадратура круга, удвоение куба, трисекция угла.

3.Золотое сечение. Построение правильных многоугольников и многогранников.

4.Теоремы Чевы и Менелая. Прямая Эйлера. Окружность 9 точек.

5. Теорема о существовании площади многоуольника. Площадь треугольника, четырехугольника. Теорема Брахмагупты. Теорема Бояи-Гервина о равносоставленности равновеликих многоугольников.

6. Параллельное проектирование и его инварианты. Изображение плоских фигур в пространстве. Изображение окружности и сопряженных диаметров эллипса. Теорема о существовании главных направлений.

7. Изображение пространственных фигур. Теорема Польке-Шварца. Признак полноты чертежа. Метрическая определенность чертежа. Изображение сечений поверхостей второго порядка плоскостями. Построение сечений многогранников плоскостью.

8.Теорема Эйлера о числе вершин, рёбер и граней выпуклого многогранника. Правильные многогранники, их основные свойства. Теорема о классификации правильных многогранников.

9.Системы координат на плоскости. Системы координат в пространстве.

9. Векторы. Сложение векторов, умножение вектора на число. Скалярное умножение векторов. Векторное умножение векторов. Смешанное умножение векторов. Двойное векторное умножение.

10.Уравнения прямой на плоскости. Уравнения плоскости в пространстве. Уравнения прямой в пространстве.

11. Конические сечения. Эллипс. Гипербола. Парабола. Классификация кривых второго порядка.

12. Эллипсоид, конус, цилиндры. Гиперболоиды. Параболоиды. Приведение квадратичных форм двух и трех переменных к диагональному виду. Классификация поверхностей второго порядка.

13.Преобразование множества. Группа преобразований множества. Представление движения в виде композиции осевых симметрий. Классификация движений плоскости. Группа симметрий ограниченной плоской фигуры.

14. Свойства и аналитическое задание подобия пространства. Представление подобия плоскости композицией подобия и гомотетии. Задание гомотетии, построение соответственных точек.

15. Свойство аффинного преобразования. Задание аффинного преобразования плоскости тремя парами соответственных точек. Аналитическое задание аффинного преобразования.

Свойства родства. Задание родства, построение соответственных точек. Применение родства при построении сечения призмы плоскостью.

16. Центральное проектирование. Проективная плоскость, проективное пространство.

аксиоматическое построение проективной плоскости. Модели проективной плоскости.

17. Принцип двойственности на проективной плоскости. Теорема Дезарга. Обратная теорема. Частные случаи.

18. Однородные координаты на проективной прямой. Однородные координаты на проективной плоскости. Уравнение прямой. Построение точек на проективной плоскости.

19. Свойства сложного отношения четырех точек. Гармоническая четверка точек. Полный четырехвершинник, его гармонические свойства. Гармонические свойства треугольника, окружности. Сложное отношение четырех прямых.

20.Свойства проективного преобразования, его аналитическое задание. Гомология.

Проективные и перспективные отображения точек прямой и прямых пучка.

Линии второго порядка на проективной плоскости. Полюсы и поляры.

21.Теорема Штейнера. Обратная теорема. Свойства шестивершинника, вписанного в линию второго порядка. Теоремы Паскаля и Брианшона. Обратная теорема.

22.Вектор-функция скалярного аргумента. Параметризованные и непараметризованные кривые.

23.Касательная к кривой. Соприкасающаяся плоскость к кривой. Длина кривой. Натуральная параметризация. Кривизна кривой. Кручение кривой. Формулы Френе. Теоремы о натуральных уравнениях.

24.Геометрическая поверхность. Касательная плоскость к поверхности.

25.Первая квадратичная форма поверхности. Длина дуги кривой на поверхности. Площадь замкнутой области на поверхности.

26.Основной оператор поверхности. Вторая квадратичная форма поверхности. Нормальная кривизна поверхности в выбранном направлении.

27.Формулы Дарбу. Теорема Мёнье. Главные кривизны и формула Эйлера. Главные кривизны и геодезическое кручение. Матрица основного оператора поверхности в нормальном базисе.

Гауссова и средняя кривизны. Теорема Гаусса о сферическом отображении.

Соприкасающийся параболоид. Деривационные формулы. Теоремы Гаусса и Бонне.

28. Абсолютная геометрия. Теоремы Лежандра. Признаки равенства треугольников, теорема о внешнем угле треугольника, теоремы о перпендикулярх, признаки параллельности прямых.

Сумма углов треугольника. Дефект треугольника. Четырехугольники.

29.Планиметрия Лобачевского. Свойства параллельных и сверхпараллельных прямых.

Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского. Угол параллельности. Функция Лобачевского и ее свойства. Окружность, эквидистанта и орицикл.

30.Модель Кэли-Клейна планиметрии Лобачевского.

31. Непротиворечивость системы аксиом планиметрии Лобачевского. Независимость V постулата Евклида от аксиом абсолютной геометрии.

1. Бардаков В.Г. Лекции по алгебре Ю.И.Мерзлякова: Учебое пособие / Новосиб.гос.ун-т:

Новосибирск, 2012. 311 с.

2. Мальцев И.А. Дискретная математика / -- Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2007. – 288 с.: ил.

3. Прасолов В.В., Тихомиров В.М. Геометрия. М.: МЦНМО, 2007. – 2-е изд., перераб.и доп. – 328 с.: ил.

4. Прасолов В.В. Геометрия Лобачевского – 3-е изд., испр.и доп. – М., МЦНМО, 2004 – 88 с.

5. Никулин В.В., Шафаревич И.Р., Геометрии и группы, Наука, М., 1983, 240 с.

6. Анищенко С.А. Лекции по геометрии: учебное пособие. / Изд.2, дораб.и доп.:

Краснояр.гос.пед.ун-т им.В.П.Астафьева. – Красноярск, 2004-2006, 2009.

7. Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика, М., Наука, 1979. 320 с.: ил.

8. Новиков П.С. Элементы математической логики (2-е изд.). М.: Наука, 1973.

9. Виноградов И.М. Основы теории чисел, М.: Наука, 1981.

Критерии оценки Оценка ответов поступающего осуществляется по 5-бальной шкале.

Количество Критерии соответствия баллов 5 баллов Дан полный развернутый ответ на три вопроса из различных тематических - грамотно использована научная терминология;

-правильно названы и определены все необходимые для обоснования признаки, элементы, основания, классификации;

-указаны основные точки зрения, принятые в научной литературе по рассматриваемому вопросу;

- аргументирована собственная позиция или точка зрения, обозначены наиболее значимые в данной области научно-исследовательские проблемы.

4 балла Дан правильный ответ на три-два вопроса из различных тематических - применяется научная терминология;

-названы все необходимые для обоснования признаки, элементы, классификации, но при этом допущена ошибка или неточность в определениях, - имеются недостатки в аргументации, допущены фактические или терминологические неточности, которые не носят существенного характера;

-высказано представление о возможных научно-исследовательских проблемах Менее 4 Дан правильный ответ хотя бы на один вопрос из предложенного баллов тематического раздела:

-названы и определены лишь некоторые основания, признаки, характеристики рассматриваемого явления, -допущены существенные терминологические неточности;

-собственная точка зрения не представлена;

-не высказано представление о возможных научно-исследовательских проблемах в данной области.

Дан неправильный ответ на предложенные вопросы из тематических разделов, отмечается отсутствие знания терминологии, научных оснований, признаков, характеристик явления, не представлена собственная точка зрения по данному