[ «РЫНОЧНЫЕ РИСКИ: ФОРМАЛИЗАЦИЯ, МОДЕЛИРОВАНИЕ, ОЦЕНКА КАЧЕСТВА МОДЕЛЕЙ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ Министерство образования и науки Российской Федерации Тамбовский государственный технический университет Институт Экономика и ...»
где – вероятность того, что доходность портфеля за период t составит величину меньшую чем u.
Для наиболее часто используемых значений доверительного интервала 1 = 0,95(0,99) соответствующие квантили будут равны k0,05 = –1,65 и k0,001 = –2,33.
Используя формулу (11), величину VAR p,1, t портфеля в относительном выражении найдем следующим образом:
В абсолютном выражении величина риска портфеля составит:
Если портфель состоит более чем из одного инструмента, то в общем случае величина риска по портфелю может быть вычислена в два этапа. На первом этапе рассчитывается величина риска по каждой отдельной позиции (инструменту) VAR i,1, t. На втором этапе с учетом матрицы корреляций вычисляется совокупный риск инвестиционного портфеля VAR p,1, t [29].
Необходимо отметить, что в случае, когда портфеля состоит более чем из одного инструмента, мы имеет на временном периоде T дискретный векторный случайный процесс. С целью учета взаимного влияния случайных величин рассчитывается матрица ковариаций. Далее, путем нормирования каждого ее элемента, получаем матрицу корреляций28.
Для вычисления VAR i,1, t в формуле (21) необходимо учесть удельный вес инструмента в портфеле. Преобразуя формулу (21), получим:
Каждый элемент ковариационной матрицы covi, j, i = 1, n, j = 1, n связан с соответствующим элементом корреляционной матрицы Формула для расчета VAR p,1, t по портфелю имеет следующий вид:
где IVAR – вектор столбец индивидуальных рисков ( VAR i,1, t, i 1, n ) отдельных инструментов, составляющих портфель; корреляционная матрица доходностей инструментов портфеля.
Рассмотренная модель обладает следующими преимуществами:
1) концептуальная и вычислительная простота расчетов;
2) возможность рассчитывать VAR в режиме времени, близком к реальному для торговых портфелей крупных финансовых институтов;
3) позволяет легко анализировать «вклады» отдельных инструментов в общий риск портфеля и оценивать чувствительность показателя VAR к изменениям размеров позиции.
Помимо указанных преимуществ данная модель расчета VAR имеет ряд недостатков.
1 Невыполнение основополагающей предпосылки о нормальном распределении доходностей инструментов. Данное обстоятельство существенно ограничивает применимость данной модели.
2 Низкая точность оценки VAR для инструментов с нелинейными ценовыми характеристиками (например, для опционов). В целях снижения погрешности при оценке рисков таких инструментов прибегают к аппроксимации с использованием членов ряда Тейлора второго порядка на основе коэффициентов Гамма. Такой метод носит название «дельта-гамма-нормальный» [29].
Модель оценки экспоненциально-взвешенной ковариации В предыдущей модели предполагалось, что рассматриваемый случайный процесс на всем периоде Т является нормальным, что обуславливает его стационарность.
Однако проведенные многочисленные исследования [48] показывают, что случайный процесс, описывающий поведение доходности некоторого портфеля финансовых инструментов во времени, в общем случае не является стационарным. Отмечая сильную зависимость волатильности рынка от времени, многие исследователи заметили ее кластерный характер. Под кластерами волатильности понимались периоды времени, внутри которых она не зависела от времени.
Принимая во внимание данную особенность, формально можно говорить о наличии некоторых периодов времени Tk, k = 1, m внутри Т( Tk T ) и в общем случае не равных между собой { Ti T j i j, i = 1, m, j = 1, m }, на протяжении которых рассматриваемый случайный процесс является стационарным.
Это приводит к необходимости, в общем случае, рассматривать математические ожидания и дисперсии как неслучайные функции от Ti, i = 1, m : соответственно at (T ) и t (T ), а корреляционную функцию K () рассматривать, в общем случае, как убывающую с ростом при условии Ti. Исторический период уменьшается до T = T. Для данного периода по реализации случайного процесса оцениваются его основные характеристики (для определенного T они фиксированы). При этом неявно предполагается, что правый край данного периода (конец исторического периода) не фиксирован.
Помимо этого определяются также некоторые параметры, посредством которых будет осуществляться прогноз величины характеристик на период t.
Расчет VAR производиться с использованием экспоненциально-взвешенного стандартного отклонения29. Для этого в формулу стандартного отклонения вводится весовой коэффициент ( фактор ослабления или константа сглаживания (decey factor); 0 < 1 )30. Чем меньше значение множителя, тем Для прогноза математического ожидания может быть использована модель AR(1). В случае однодневного инвестиционного горизонта математическое ожидание обычно приравнивают к нулю.
При = 1 экспоненциально взвешенное стандартное отклонение тождественно стандартному отклонению.
чувствительнее модель к изменениям, происходящим с временным рядом. Оценку параметра можно осуществить, например, с помощью метода максимального правдоподобия.
Чтобы спрогнозировать риск по портфелю в момент времени tk (портфель состоит из одного инструмента), может быть использована следующая формула:
Значение 2, t k 1 рассчитывается следующим образом:
Если портфель состоит из более чем одного инструмента, то определяется ковариационная матрица:
что представляет собой взвешенное среднее авторегрессии и скользящего среднего первого порядка.
Значение t k 1 рассчитывается следующим образом:
Обобщением модели экспоненциально-взвешенных ковариаций является оценка VAR, основанная на модели обобщенной авторегрессионной условной гетероскедастичности (GARCH).
Случайный процесс определяется условным математическим ожиданием и условной дисперсией и условной ковариацией. При этом, в общем случае под условной характеристикой понимается обусловленность ожидаемого значения характеристики за период t реализацией случайного процесса на историческом периоде T [48].
Так, условное математическое ожидание (для отдельного инструмента) можно обозначить как:
где ri – вектор реализовавшихся значений i-ой случайной величины Ri, t.
Условная дисперсия определяется следующим образом:
Условная ковариация определяется как:
GARCH-модель была предложена Боллерслевом (1986) путем обобщения модели ARCH, разработанной Инглом (1982) для отражения изменчивости дисперсии во времени.
В общем виде модель GARCH (p, q) определяет условную дисперсию как линейную комбинацию p предыдущих квадратов остатков t k i и q лагов предыдущих значений условной дисперсии и имеет вид:
Остаток t k i есть разница между rt k i и условным математическим ожиданием at k i (r ). В общем виде данный остаток для tk можно найти как:
Коэффициенты в формулах могут находиться могут находиться с помощью метода максимального правдоподобия.
С целью вычисления стандартного отклонения за период tk наиболее часто применяется модель GARCH (1, 1).
Простейшая и наиболее часто используемая модель для вычисления дисперсии портфеля модель имеет вид:
Если портфель включает более чем один инструмент, вычисляется также величина условной ковариации между i-м и j-м инструментом, входящим в портфель.
Величина условной ковариации i и j инструмента за период tk рассчитывается следующим образом:
Отсюда, величина условной корреляции i и j инструмента за период tk может быть рассчитана следующим образом:
При увеличении числа параметров применение модели GARCH становится затруднительным по причине возникающих трудностей в связи с нахождением коэффициентов в указанных выше формулах.
GARCH с постоянными корреляциами. В этой модели принимается предположение, что внедиагональные элементы ковариационной матрицы имеют вид:
где коэффициент корреляции ij не зависит от времени.
Диагональные же элементы i2, t k моделируются, например, посредством одномерной GARCH (1, 1) модели, как описано выше.
Ортогональный GARCH. Данные модели используют факторный анализ, в котором через небольшое число параметров выражается большая часть структуры ковариационной матрицы. При этом существенно уменьшается число оцениваемых параметров.
Непараметрические модели Если рассматриваемый случайный процесс может быть охарактеризован лишь совместной функцией распределения случайной величины, то модели, на основе которых вычисляется VAR, обычно называют непараметрическими (отсутствие конечного числа параметров) [34].
Для получения непараметрических оценок дисперсии (стандартного отклонения) традиционно используются два класса моделей: модели ядерной оценки (kernel estimation), использующие свертку с некоторым ядром, и модели, использующие разложение в функциональный ряд (например, ряд Фурье).
Методы ядерной оценки используют для оценки дисперсии взвешенную сумму:
Существует множество схем для выбора весовых коэффициентов, и опять наиболее популярной из них является использование гауссовского ядра [34].
Другим подходом к непараметрической оценке является разложение исходного ряда {ri, t k }q =1 в функциональный ряд, например, в ряд Фурье. Оценка дисперсии при этом выражается через значения коэффициентов разложения. Недостатком традиционного преобразования Фурье является то, что для нахождения коэффициентов преобразования используется весь временной ряд, а значит, удаленные события вносят равный вклад наряду с недавними.
Альтернативой Фурье-анализу, свободной от этого недостатка, является Вейвлет-анализ – сравнительно новая методология, в последнее время успешно применяемая в задачах, связанных с анализом нестационарных временных рядов. Вейвлет-анализ заключается в разложении временного ряда по базису, образованному специальным семейством функций – вейвлет. В отличие от традиционного одномерного Фурье-анализа (разложения по частотам) одномерный Вейвлет-анализ представляет собой разложение по двум переменным – масштабу (scale) и времени. Аналогично тому, как в Фурьеанализе базисом является набор функций, полученных из базовой функции – синусоиды путем изменения частоты, так и семейство Вейвлет образуется из некоторой базовой функции путем сдвигов (по времени) и изменений масштаба, что является удобным и естественным инструментом для работы с нестационарными временными рядами [34].
2.2.2.3 Модели экстремальных событий (прочие методы) Нормальное распределение, как следует из центральной предельной теоремы, хорошо подходит для описания «центральной» части распределения сумм независимых одинаково распределенных случайных величин. Для нахождения больших квантилей (т.е. значений VAR для значений уровня достоверности, скажем, больших 99 %) в статистике применяется теория экстремальных значений (Extreme Value Theory – EVT) [34].
Математически это формулируется следующим образом. Пусть ( X 1,..., X n ) – выборка независимых одинаково распределенных случайных величин. Тогда согласно центральной предельной теореме:
Задачей теории экстремальных значений является нахождение распределения не суммы, а минимума (или максимума), т.е. такой функции G(x), что:
где { an } и { bn } – некоторые числовые последовательности.
Согласно теории экстремальных значений функция G(x) может относиться к одному из нескольких семейств распределений, среди которых чаще всего используются следующие (табл. 6).
(General Extreme Value distribution) степенной закон (Weuibull) Из этих распределений только распределение Парето обладает свойством устойчивости (stable distribution), т.е. сумма двух случайных переменных, имеющих распределение Парето, также будет иметь это распределение. Это свойство также присуще нормальному распределению, является крайне важным для расчета суммарного VAR портфеля. Для остальных распределений получить оценку VAR в аналитическом виде крайне затруднительно, поэтому они используются в основном в методе Монте-Карло.
3 РЫНОЧНЫЕ РИСКИ
НА РОССИЙСКОМ ФОНДОВОМ РЫНКЕ:
АНАЛИЗ И ОЦЕНКА КАЧЕСТВА VAR-МОДЕЛЕЙ
3.1 МЕТОДИКА ТЕСТИРОВАНИЯ МОДЕЛЕЙ
в состав тестового портфеля С целью анализа и оценки применимости методики VAR для моделирования и оценки рыночных рисков был выбран российский рынок акций (торговая площадка РТС). Данная площадка считается второй по объему осуществляемых на ней торгов после ММВБ. В рамках нее ведется торговля различными видами инструментов. Однако преобладающее большинство операций осуществляется с акциями российских предприятий.Все акции, которые могут явиться объектом сделки, подразделяются в соответствии с правилами торговой системы на:
1) списочные акции (акции допущенные к обращению);
2) внесписочные акции (не допущенные к обращению; могут быть объектом, совершаемых через торговую систему, сделок [3]).
Допуск к обращению (листинг) означает совокупность процедур по включению ценных бумаг (акций) в котировальные листы А или Б.
В отношении эмитентов, акции которых включены в котировальные листы А и Б, существуют достаточно жесткие требования относительно объемов обращающихся ценных бумаг, срока деятельности эмитента, количества акционеров, стоимости чистых активов, форм предоставляемой отчетности и т.д.
Совокупность данных требований приводит к двум достаточно важным следствиям:
1) акции данных эмитентов являются достаточно ликвидными, что позволяет при оценке рыночного риска, в общем случае, не учитывать возможный риск ликвидности;
2) данные акции не подвержены риску дефолта (как таковая возможность дефолта по акциям данного эмитента существует, однако она достаточно предсказуема в силу жестких требований, установленных в отношении эмитента).
Необходимо отметить, что в большей степени данные следствия характерны для акций из котировального листа А. Это позволяет уменьшить возможный круг выбора акций для формирования тестового портфеля.
Полезно также, с точки зрения возможной диверсификации тестового портфеля, представить отраслевую структуру российского рынка акций. Так, наиболее высокий удельный вес в общем объеме акций, которые могут являться объектом сделок, занимают акции эмитентов нефтегазовой отрасли.
Достаточно высокий удельный вес имеют также акции эмитентов электроэнергетики и телекоммуникационной отрасли.
Сравнительно небольшой удельный вес имеют акции эмитентов металлургической и машиностроительной отраслей. Акции эмитентов прочих отраслей представлены в незначительном объеме.
Помимо этого, важным при выборе акций тех или иных эмитентов для включения в тестовый портфель является наличие для них достаточно длительной истории без значительных «пропусков» в данных.
С учетом перечисленных выше особенностей, тестовый портфель был сформирован только из акций российских эмитентов. При этом, в его состав были включены наиболее ликвидные акции из котировального листа А Российской торговой системы.
С целью некоторой диверсификации в тестовый портфель вошли акции нефтегазовой отрасли – акции ОАО «Нефтяной компании «Лукойл» (тиккер в РТС – LKOH), обыкновенные акции ОАО «Сургутнефтегаза» (тиккер в РТС – SNGS); акции эмитентов электроэнергетики – обыкновенные акции Российского акционерного общества энергетики и электрификации «ЕЭС России» (тиккер в РТС – EESR) и акции ОАО энергетики и электрификации «Мосэнерго» (тиккер в РТС – MSNG); акции эмитентов телекоммуникационной отрасли – обыкновенные акции ОАО междугородной и международной электрической связи «Ростелеком» (тиккер в РТС – RTKM).
Необходимо отметить, что в целях упрощения акции предполагались абсолютно делимыми.
3.1.2 ОСОБЕННОСТИ ПРОЦЕДУРЫ ТЕСТИРОВАНИЯ
С целью тестирования моделей был выбран период с 03.01.01 по 29.12.01 (250 торговых дней).Для данного периода рассматривались два варианта тестового портфеля:
1) портфель, состоящий из акций, с равными весами;
2) портфель со случайными весами (рассматривалось 50 случайных портфелей).
Использование двух вариантов тестового портфеля позволило достаточно однозначно определить особенности каждой из рассматриваемых моделей VAR, с точки зрения точности и эффективности даваемых ею оценок.
В качестве периода инвестирования (горизонта прогнозирования) t был выбран однодневный период. Исходя из этого, временные ряды цен закрытия по акциям выбранных эмитентов были преобразованы во временные ряды однодневных логарифмических доходностей. Все дальнейшие расчеты осуществлялись исключительно по ним.
Для тестирования были выбраны следующие модели:
1) модель постоянных ковариаций [модель (CW)];
2) модель экспоненциально-взвешенных ковариаций {данная модель тестировалась с параметрами = 0,94 [модель (EW; 0,94)] и оптимальным, определенным опытным путем [модель (EW; опт)]};
3) GARCH (1, 1)-модель {модель [GARCH (1, 1)]}.
Все параметры моделей определялись по данным исторического периода (с 05.01.00 по 29.12.00).
Необходимо также отметить, что для оценок VAR, получаемых на основе данных моделей, использовался доверительный равный 1 = 0,99. Выбор данного значения доверительного интервала был обусловлен основными требованиями, предъявляемыми к процедуре тестирования моделей и изложенными в [66].
Непосредственно перед тестированием осуществлялась проверка возможности применения данных моделей для анализа и оценки рыночного риска по данному виду инструментов. С этой целью выдвигались и проверялись гипотезы о стационарности и нормальности рассматриваемых случайных процессов. Для этого использовались различные графические методы и простейшие статистические тесты на нормальность (тест Колмагорова-Смирнова с поправкой Лилиефорса, тест Шапиро-Уилкса).
После этого осуществлялось тестирование моделей на точность и эффективность даваемых ими оценок. Для этого использовались различные тесты, предложенные в [34].
Все расчеты были осуществлены с использованием MS Excel, Statistica 6.0, Matlab 6.1.
3.2 ВЫБОР ОСНОВНЫХ МОДЕЛЕЙ ОЦЕНКИ VAR:
ИДЕНТИФИКАЦИЯ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА
В общем случае, для того чтобы вычислить VAR портфеля, необходимо для рассматриваемого случайного процесса определить вид совместной функции распределения случайной величины, т.е. идентифицировать случайный процесс.В случае наличия портфеля из пяти инструментов, имеем векторный случайный процесс (систему из пяти скалярных случайных процессов) на временном периоде Т.
Идентификацию случайного процесса можно осуществить путем определения вида совместной функции для каждого скалярного процесса. При этом, идентичность природы базовых рисковых факторов, в принципе, предполагает принадлежность данных скалярных случайный случайных процессов к одному классу.
Самым удобным явилась бы их принадлежность к классу нормальных процессов. Это позволило бы для вычисления величины VAR использовать модели в рамках метода, основанного на нормальном распределении.
о стационарности случайного процесса Для отнесении рассматриваемого случайного процесса к классу нормальных, прежде всего, необходимо убедиться в его стационарности.
Следует различать строгую стационарность (стационарность в узком смысле) и слабую стационарность (стационарность в широком смысле).
Случайный процесс является строго стационарным, если для временной последовательности некоторой случайной величины длинной m и начинающейся с tk, и временной последовательности той же случайной величины длинною m, но начинающуюся с tk + m, то совместная функция распределения остается постоянной.
Из условия строгой стационарности следует слабая стационарность. Последняя определяется следующими условиями:
1) математическое ожидание не зависит от времени;
2) дисперсия не зависит от времени;
3) корреляционная функции зависит только от временного лага.
Для проверки выполнения условия стационарности мы можем воспользоваться лишь единственной реализацией случайного процесса на историческом периоде Т. Это неявно подразумевает постулирование эргодичности случайного процесса, и, следовательно, строгую стационарность.
Учитывая данное обстоятельство, выдвинем гипотезу о том, что рассматриваемые процессы являются строго стационарными, а следовательно, эргодичными. Из предположения о строгой стационарности случайного процесса, как уже отмечалось, следует слабая стационарность. Эргодичность позволяет использовать единственную реализацию для оценки характеристик случайного процесса.
Исходя из этого, в первом приближении, для подтверждения или опровержения выдвинутой гипотезы, может использоваться корреляционная или нормированная корреляционная функции (их эмпирические аналоги задаются по реализовавшимся значениям случайной величины на историческом периоде В общем виде для стационарного случайного процесса требуется выполнение следующего условия:
либо, что фактически то же самое:
Таким образом, для стационарного случайного процесса с увеличением лага взаимосвязь между Х (t ) и X (t + ) ослабевает, корреляционная функция должна убывать по абсолютной величине. В тоже время, как отмечается в [58], для эмпирических аналогов данных функций свойство монотонного убывания (по абсолютной величине) при возрастании может нарушаться (особенно при небольшом числе пар наблюдений).
Предварительно, для приблизительной оценки выполнения условия стационарности, можно использовать график временного ряда (реализации случайного процесса). Графическое представление временного ряда также дает возможность проверить, является ли рассматриваемый процесс полностью случайным, или помимо факторов стохастической природы обусловлен действием факторов иной природы.
Рассмотрим временной ряд однодневных логарифмических доходностей обыкновенных акций РАО ЕЭС за период с 05.01.00 по 29.12.00 (250 дней) (рис. 9) Рис. 9 Временной ряд однодневных логарифмических доходностей обыкновенных акций РАО ЕЭС В первом приближении данный временной ряд свидетельствует о стационарности рассматриваемого случайного процесса. Также можно приблизительно оценить математическое ожидание однодневной логарифмической доходности для обыкновенных акций РАО ЕЭС – оно достаточно постоянно и равно нулю.
Для сравнения можно привести временной ряд цен закрытия по данным акциям (рис. 10).
Характер временного ряда цен закрытия позволяет говорить о возможном наличии некоторых типов факторов нестохастической природы, сформировавших данный ряд.
Графики временных рядов однодневных логарифмических доходностей для остальных акций приведены в прил. А (см. рис. А.1 – А.4). Их характер, в первом приближении, также свидетельствует о стационарный случайных процессов, характеризующихся нулевым математическим ожиданием.
Для проверки выполнения условия (41 – 42) будем использовать автокорреляционную функцию и частную автокорреляционную функцию. Для оценки их характера построим, используя реализации соответствующих случайных процессов, соответствующие коррелограммы. Построение осуществим, использую статистический пакет Statistica 6.0.
При установлении лага будем пользоваться условием, предложенным в [58]:
Ниже приводятся коррелограммы для временного ряда однодневных логарифмических доходностей обыкновенных акций РАО ЕЭС для 30 (рис. 11).
Рис. 10 Временной ряд цен закрытия по обыкновенным акциям РАО ЕЭС Рис. 11 Коррелограммы для автокорреляционной и частной автокорреляционной функций Характер приведенных коррелограмм не позволяет говорить об однозначном убывании автокорреляционной (частной автокорреляционной) функции с ростом лага. При этом, результаты расчетов позволили выявить значимую корреляцию (уровень значимости = 0,05 ) между k и k + 7 элементом временного ряда (см. прил. Б, табл. Б.1). При использовании более длинного ряда ( n = 500, 30, = 0,05 ) характер функций значимо не меняется.
Коррелограммы для других акций (KLOH, SNGS, MSNG, RTKM) также не имеют четко выраженного убывающего характера (см. прил. Б, рис. Б.1 – Б.4 соответственно). Исключением, в некотором роде, можно назвать график частной автокорреляционной функции для акций SNGS (см. прил. Б, рис. Б.2).
Одним из самых распространенных способов приведения временного ряда к стационарному является переход от рассмотрение его значений к рассмотрению их разностей (первых, вторых и т.д.) [21, ст.
92].
Используя данный прием, построим коррелограммы для первых разностей исходных временных рядов (рис. 12).
Рис. 12 Коррелограммы для первых разностей исходных временных рядов для EESR Полученные коррелограммы свидетельствуют о том, что преобразованные ряды уже вполне удовлетворяют условию стационарности. Так, на рис. 12, график частной автокорреляционной функции для ряда первых разностей однодневных логарифмических доходностей для акций EESR имеет четко выраженный убывающий характер.
Графики автокорреляционной и частной автокорреляционной функций для преобразованных рядов остальных акций можно найти в прил. Б, рис. Б.5 – Б.8.
к классу нормальных Для отнесения рассматриваемых случайных процессов к классу нормальных выдвинем гипотезу о нормальности процесса. Тогда, в силу строгой стационарности нормального процесса (а следовательно, эргодичности) можно использовать его реализацию для проверки выдвинутой гипотезы.
Наиболее наглядными являются различные графические способы проверки гипотезы. Так, в [34], предлагается использовать квантиль-квантиль графики для идентификации вида распределения рассматриваемого временного ряда.
Пусть имеется временной ряд длинной n ( x1,..., xn ). Центрируя, нормируя данные значения и осуществляя некоторые преобразования, получим два вектора: вектор k и вектор вероятности p, причем каждому i -му элементу вектора p однозначно соответствует элемент вектора k ( k pi ), т.е. имеется некоторая функция { Q( pi ), i = 1, k, k n }. Данную функцию будем называть эмпирической квантиль-функцией.
Квантиль-квантиль графиком для временного ряда ( x1,..., xn ) назовем график [34]:
где Q( pi ) – теоретическая квантиль функция [путем использования функции обратной стандартизированной функции нормального распределения для вектора p = ( p1,..., pk ) получаем вектор теоретических квантилей k = (k1,..., kk ) ].
Если существует взаимно-однозначное соответствие между Q( pi ) и Q( pi ), графически представленное в виде прямой линии, то можно говорить о том, что некоторое выбранное распределение наиболее точно описывает временной ряд ( x1,..., xn ).
Для построения квантиль-квантиль графика можно воспользоваться блоком «Прогноз/серия время»
статистического пакета Statistica 6.0. Ниже приводится квантиль-квантиль график для временного ряда однодневных логарифмических доходностей акций EESR (рис. 13). Значения теоретической квантильфункции – квантили нормального распределения с математическим ожиданием и стандартным отклонением, рассчитанным по значениям ряда (соответственно а = 0,002, = 0,0467).
Результаты построения квантиль-квантиль графика для временного ряда однодневных логарифмических доходностей по обыкновенным акциям РАО ЕЭС показывают, что данный график достаточно хорошо аппроксимируется прямой. Для экстремальных значений квантилей (по абсолютной величине) существует некоторое несоответствие (эмпирические квантили распределения, аппроксимируемого нормальным меньше чем ожидаемые). Последнее может привести к тому, что реальная вероятность появления достаточно ощутимых убытков, при аппроксимации эмпирического распределения нормальным, будет занижаться.
Воспользуемся стандартной процедурой построения квантиль-квантиль графиков, имеющейся в Statistica 6.0. Данный график строится в осях – {теоретические квантили – ожидаемые значения временного ряда} (рис. 14).
Рис. 14 Квантиль-квантиль график для EESR Полученные результаты свидетельствуют, что для достаточно малых значений квантилей k < k0, (левая часть графика) наблюдаемые значения однодневной доходности меньше, чем ожидаемые в соответствии с нормальным распределением; для достаточно больших значений квантилей k > k0,98 (правая часть графика) наблюдаемые значения больше ожидаемых. Переходя к плотности распределения, можно утверждать, что на обоих «хвостах» эмпирическое распределение несколько «тяжелее», чем нормальное [т.е. имеет более длинные (обычно говорят – «жирные») хвосты].
Идентичные результаты были получены для LKOH и SNGS. При этом, если для LKOH эмпирическое распределение достаточно точно аппроксимировалось нормальным в интервале от k0,01 до k0,99, то для SNGS интервал сузился и составил приблизительно от k0,03 до k0,99 (см. прил. В, рис. В.1 – В.2).
Замечательно, что в отношении MSNG и RTKM для малых значений квантилей эмпирическое распределение достаточно хорошо соответствует нормальному (отсутствуют сильные отклонения для малых значений квантилей) (см. прил. В, рис. В.3 – В.4).
С целью количественной оценки схожести эмпирического распределения с нормальным можно использовать такие характеристики, как асимметрию (Skewness) и эксцесс (Kurtosis). Для нормального распределения данные характеристики равны нулю и вычисляются как:
Если данные характеристики имеют небольшие значения, то можно предположить близость эмпирического распределения к нормальному.
Результаты расчетов данных характеристик для временного ряда EESR даны в табл. 7.
Descriptive Statistics (Spreadsheet1) Valid N Mean Minimum Maximum Std.Dev. Skewness Std.Err. Kurtosis Std.Err.
EESR 250 -0,002049 -0,148274 0,178408 0,046684 0,049752 0,154001 0,937915 0, Для обыкновенных акций РАО ЕЭС коэффициент асимметрии эмпирического распределения незначимо отличается от нуля (кривая плотности симметрична), коэффициент эксцесса находится в интервале 0,63…1,24, что говорит о наличии у кривой плотности эмпирического распределения более «острой» вершины.
Результаты расчетов коэффициентов асимметрии и эксцесса для временных рядов остальных акций приведены в прил. В, табл. В.1. Так, расчет данных характеристик для временного ряда RTKM показал их незначимое отличие от нуля ( = 0,05). Для временного ряда MSNG значимо отличается от нуля только коэффициент ассиметрии. Для временных рядов остальных акций данные характеристики значимо отличны от нуля. При этом, наиболее островерхим и ассиметричным является распределение для LKOH.
Результаты тестов на нормальность (тест Колмагорова-Смирнова с поправкой Лилиефорса, тест Шапиро-Уилкса) свидетельствуют о принятии гипотезы нормального распределения для временного ряда однодневных логарифмических доходностей обыкновенных акций РАО ЕЭС (табл. 8).
Результаты тестов для временных рядов остальных акций приводятся в прил. В, табл. В.2. Как и ожидалось, для LKOH и SNGS тесты показали значимое отличие эмпирического распределения от нормального. Значение поправки Лилиефорса было значимо на уровне соответственно p < 0,01 и p < 0,05;
тест Шапиро-Уилкса оказался значим уровне p = 0,00003 и p = 0,0027 для LKOH и SNGS соответственно.
Критерии оценки и сравнения различных моделей VAR можно условно разделить на две группы – критерии точности модели и критерии эффективности модели.
К первой группе относятся тесты на соответствие исследуемой модели вычисления VAR самому определению VAR. Поскольку определение дано в статистических терминах, то для проверки соответствия можно использовать различные статистические тесты. Так, например, случайный процесс, принимающий нулевое значение, если изменение стоимости портфеля не превышает значения VAR, и 1 – иначе, является процессом Бернулли, где событие 1 происходит с вероятностью. Данную гипотезу можно проверить стандартными статистическими методами. Недостатком такого подхода является то, что для проверки гипотез требуются достаточно большие тестовые выборки, которые не всегда доступны (в особенности для развивающихся рынков, в том числе российского), а также отсутствие наглядной интерпретации результатов.
Наряду с этим, существуют традиционные тесты, применяемые специалистами-практиками по управлению рисками. Они сводятся к простому подсчету числа случаев превышения уровня VAR (при некотором уровне достоверности 1 ) и сравнения полученного числа с теоретически ожидаемым.
Второй группой критериев является эффективность применяемой модели. При использовании меры риска VAR для управления рисками менеджер по рискам формирует некоторую стратегию. В качестве такой стратегии в данной работе будет рассматриваться «пассивное» управление рисками, т.е.
стратегия, заключающаяся в резервировании дополнительных средств для покрытия возможных потерь.
Размер этих дополнительных средств, называемых рисковым капиталом (risk capital), и определяется величиной VAR.
Эффективность такой стратегии, в общем случае, можно оценить величиной превышения реальных убытков по открытой позиции (портфелю) над расчетной величиной рискового капитала. Минимизация величины превышения позволяет оптимизировать затраты по поддержанию открытой позиции (сформированному портфелю).
В данном разделе приведены тесты, определяющие соответствие модели собственно статистическому определению VАR. Точность модели контролируется регулирующими органами, поэтому каждая модель должна пройти тестирование на соответствие определению VАR.
Как уже отмечалось выше, критерием точности модели обычно выступает число случаев превышения реальных потерь над величиной VAR.
В общем случае, для проверки точности модели может быть использована некоторая общая функция потерь (General Loss Function), имеющая вид:
В частном случае, общая функция потерь может быть представлена как бинарная функция потерь, где каждому случаю превышения реальных потерь над оценкой соответствует 1, в противном случае функция принимает нулевое значение:
Данная функция учитывает только сами факты наличия превышения без учета величины превышения.
На основе использования данной функции, Базельским комитетом по банковскому надзору разработана стандартная процедура («backtesting») для оценки точности моделей VAR. Данная процедура описывается в [66] и предполагает тестирование модели на некотором историческом периоде (в качестве стандартного периода предлагается использовать период в 250 дней). В качестве параметров модели предлагается использовать однодневный горизонт прогнозирования (период инвестирования) и 99 %-ый доверительный интервал. Для выбранной модели и заданного исторического периода определяется значение бинарной функции потерь – количество превышений («exceptions») реальных убытков над величиной VAR.
Исходя из количества превышений, выделяют три зоны, в которые может попасть тестируемая модель: зеленую, желтую и красную. Модель попадает в зеленую зону, если на протяжении 250 дней при уровне достоверности 99 % и однодневном периоде прогнозирования (инвестирования) было не более четырех превышений; модель попадает в желтую зону, если при тех же условиях значение бинарной функции потерь попало в интервал от пяти до девяти превышений; модель попадает в красную зону, если при тех же условиях значение функции больше либо равно 10 превышениям (см. прил. Г, табл.
Г.1).
Если модель попадает в зеленую зону, то ее использование для предоставления информации регулирующим органам о рисках, принимаемых организацией, разрешается. Соответственно при попадании в красную зону – использование модели запрещено.
Точность модели, попадающей в желтую зону, считается сомнительной, однако с некоторыми ограничениями использование данной модели разрешается.
Данная процедура была использована автором для тестирования выбранных моделей. В целом, результаты тестирования позволяют отнести рассматриваемые модели к зеленой и желтой зонам, что свидетельствует, в общем, о возможности их использования в соответствии с базельскими требованиями (см. прил. Д, табл. Д.1) Наиболее точной для рассматриваемого периода (с 03.01.01 по 29.12.01) можно считать модель постоянных ковариаций. Так, для портфеля с равными весами установленный нижний и верхний VAR за рассматриваемый период был «пробит» по одному разу. Для портфеля со случайными весами среднее количество превышений нижней VAR составило 2,06 раза, верхней – 2,68 раза.
GARCH (1, 1)-модель давала менее точные оценки VAR на рассматриваемом периоде. Так, для портфеля с равными весами количество превышений нижнего VAR равнялось 3, верхнего VAR – 4. Для портфеля со случайными весами среднее число превышений нижнего VAR составило 2,42 раза, верхнего VAR – 4,02 раза.
Сопоставимые по точности оценки VAR давала модель экспоненциально-взвешенных ковариаций.
При этом, использование различного значения параметра (оптимальный, рассчитанный опытным путем, и = 0,94 – по методологии Рискметрикс) значимо не влияло на точность даваемых моделью оценок VAR. Так, при использовании оптимального, для портфеля с равными весами число превышения нижнего VAR для рассматриваемого периода составило 5 раз, верхнего VAR – 3 раза. При = 0,94 число превышений нижнего VAR сократилось на 1 раз, количество превышений верхнего VAR осталось неизменным.
Для портфеля со случайными весами данная тенденция также имела место. Так, для оптимального среднее число превышений нижнего VAR за рассматриваемый период составило 4,34 раза, для верхнего VAR – 2,8 раза. При = 0,94 среднее число превышений сократилось для нижнего VAR на 0, 0,12 раза.
Таким образом, произведенный анализ позволяет говорить о том, что наиболее точные оценки VAR, с точки зрения минимизации значений бинарной функции потерь, дает модель постоянных ковариаций.
Данная модель попадает в зеленую зону.
Затем следуют GARCH (1, 1)-модель и модель экспоненциально-взвешенных ковариаций ( = 0,94 ).
При этом следует отметить, что если более точные оценки нижнего VAR (для различных портфелей) получаются на основе первой модели, то верхний VAR более точно оценивается последней (рис. 15).
GARCH (1, 1)-модель и модель экспоненциально-взвешенных ковариаций для случая = 0,94 можно отнести к зеленой зоне. Модель экспоненциально-взвешенных ковариаций при оптимальном дает достаточно точные оценки нижнего VAR, однако верхний VAR оценивается наименее точно. Данную модель можно отнести к желтой зоне.
О данной тенденции нельзя говорить как о закономерности, вероятней всего это обусловлено характером рынка на рассматриваемом периоде, неточностями вычислений и проч.
В [66] выделяют следующие возможные причины недостаточной точности оценок VAR, получаемых на основе использования тех или иных моделей:
1) касающиеся надежности непосредственно модели:
а) банковская система неточно фиксирует риск (daily profit/loses) по отдельным позициям;
Рис. 15 Значение бинарной функции потерь при различных вариантах тестируемого портфеля б) волатильность и/или корреляция рассчитана неточно / неправильно;
2) точность модели может быть улучшена (lack of model precision):
а) рисковая модель не достаточно точно оценивает риск отдельных инструментов;
3) разработанная модель не предупреждает о рыночных изменениях (or bad luck) (поведение рынка может настолько измениться, что оценка волатильности и корреляции будут не соответствовать действительности):
а) маловероятные события;
б) волатильность была значимо больше, чем ожидалось (чем та, на основе которой была рассчитана в) корреляция значимо отличалось от первоначальных предположений в модели;
4) внутридневная торговля:
а) значительные изменения банковских позиций внутри дня.
Множитель, обеспечивающий покрытие (Multiple to Obtain Coverage), сочетает в себе анализ как количества превышений, так и их величины, и показывает, на сколько в среднем надо умножить значение VAR, чтобы в точности получить покрытие риска с заданным уровнем достоверности [34].
Математически это формулируется следующим образом: найти такой масштабирующий множитель M, что:
Интерпретировать данный множитель можно следующим образом. При нахождении квантилей нормального распределения значение стандартного отклонения умножается на соответствующий множитель k – квантиль стандартного нормального распределения. Исходя из этого, множитель М, обеспечивающий покрытие, оценивает ошибку k.
В соответствии с требованиями Базельского комитета по банковскому надзору, относительно достаточности банковского капитала, значения множителя могут устанавливаться в промежутке 3…4.
Для моделей, попадающих в зеленую зону, величина множителя устанавливается равной 3. Для моделей из желтой зоны к множителю добавляется штрафная надбавка, увеличивающая его значение 3,4…3,85 в зависимости от числа превышений. Если же модель относится к красной зоне, то штрафная надбавка составляет 1, а множитель возрастает до максимального значения, равного 4 (см. прил. Г, табл.
Г.1).
В этом случае орган надзора может применить и другие санкции, включая требование пересмотра модели, ограничения на операции с торговым портфелем банка и др.
Результаты расчетов множителей для VAR-оценок соответствующих моделей для рассматриваемого периода (период с 03.01.01 по 29.12.01) приведены в табл. Ж.1 – Ж.4, прил. Ж.
Так, для модели постоянных ковариаций среднее значение однодневного множителя для нижнего VAR составило 1,31. Такой же результат (для нижнего VAR) был получен по GARCH(1,1)-модели.
Среднее значение однодневного множителя для верхнего VAR составило, для соответствующих моделей, 1,12 и 1,11. Для модели экспоненциально-взвешенных ковариаций, для случая оптимального и = 0,94, множитель соответственно был равен: для нижнего VAR – 1,2 и 1,17, для верхнего VAR – 1,15.
Следует отметить, что однодневные множители, полученные для модели экспоненциальновзвешенных ковариаций, как для нижних, так и для верхних оценок VAR, в среднем, лежат в достаточно узком диапазоне 1,15…1,2 (рис. 16).
Для остальных моделей диапазон значений множителя значительно шире – от 1,11 до 1,31.
Для среднего множителя покрытия за период 250 дней повторяется тенденция, имевшая место при анализе точности модели (рис. 17).
Рис. 16 Среднее значение однодневного множителя покрытия для различных моделей Рис. 17 Среднее значение множителя покрытия за период 250 дней Так, модель постоянных ковариаций и GARCH (1, 1)-модель были отнесены к зеленой зоне, а следовательно, в соответствии с базельскими требованиями по достаточности капитала требовали для оценок VAR множителя равного трем.
Расчеты для оценок VAR, полученных на основе первой модели, в целом подтверждают обоснованность выбора данного значения множителя: для рассматриваемого периода значения множителя, равнялись в среднем 2,7 для нижних оценок VAR и в среднем 2,99 для верхних оценок VAR.
Однако, для GARCH (1, 1)-модели полученное расчетное значение множителя, в целом, было больше рекомендуемого. Так, для нижних оценок VAR значение расчетного множителя в среднем равнялось VAR – 4,45, что значительно больше (на 1,45) рекомендуемого значения (рис. 17).
Модель экспоненциально-взвешенных ковариаций попала в желтую зону и, учитывая число превышений, требовала множителя равного 3,4. Однако, значение, полученное по результатам расчетов, оказалось несколько заниженным. Для покрытия превышений, имевших место на рассматриваемом периоде, для нижних оценок VAR требовался множитель в среднем равный 5,19 и 4,92 (соответственно для модели с оптимальным и с = 0,94 ), для верхних оценок VAR – 3,23 и 3,1 (соответственно для модели с оптимальным и с = 0,94). Усредненное требуемое значение множителя составило 4,21 и 4,01 для модели с оптимальным и с = 0,94 соответственно, что достаточно выше рекомендуемого значения.
Данный тест показывает, насколько соответствует распределение оценок VАR реальному распределению прибылей/убытков. Рассмотрим следующее отношение:
где BL – значение средней бинарной функции потерь при значении уровня достоверности 1.
При полном совпадении распределений величина K () тождественно равна единице. Если величина K () больше единицы, то можно говорить о том, что реальное распределение «тяжелее», т.е. происходит недооценка риска.
По графику функции K () можно определить интервал параметров – уровней достоверности, для которых исследуемая модель является пригодной.
В прил. И (см. табл. И.1) приведены значения величины K () для каждой модели. Все значения K () рассчитаны для 1 = 0,99.
Так, наиболее близкое к единице значение K () было получено для модели постоянных ковариаций: для нижних оценок VAR среднее значение K () для рассматриваемого периода составило 0,824, для верхних оценок VAR – 1,072. Остальные же модели давали распределение достаточно близкие к реальному либо только для нижних, либо только для верхних оценок VAR (рис. 18).
Рис. 18 Результаты теста на соответствие распределений Таким образом, результаты тестирования моделей на предмет точности получаемых оценок VAR позволяют сделать ряд выводов:
1) все рассматриваемые модели могут быть использованы для предоставления информации регулирующим органам о рисках, принимаемых организацией (в случае если деятельность данной организации регулируется международным законодательством о деятельности финансовых институтов);
2) наиболее точными моделями оценки VAR можно считать модель постоянных ковариаций и GARCH(1,1)-модель. Данные модели попадают в зеленую зону и позволяют, как показывают расчеты, в общем случае, резервировать только тройную величину VAR;
3) модель экспоненциально-взвешенных ковариаций попадает в желтую зону, что приводит к необходимости резервировать более чем тройную величину VAR. При этом, как предполагается, данная модель лучше учитывает изменения в характере рынка, что выражается в наличии более узкого диапазона для однодневного множителя покрытия.
Так как при «пассивном» управлении риском мера VАR используется для определения величины рискового капитала, т.е. средств, необходимых для покрытия возможных убытков, то необходимы дополнительные тесты, характеризующие модели уже не со статистической, а с экономической точки зрения.
Превышение значения VАR означает, что зарезервированного рискового капитала не хватило для покрытия убытков и организации необходимо изыскивать дополнительные средства, что зачастую связано с дополнительными издержками.
С другой стороны, модель, завышающая степень риска, приводит к излишнему зарезервированному капиталу, что экономически неэффективно.
Как отмечалось в разделе 3.3.1.1 функция потерь, в общем случае, имеет вид:
Пусть f имеет вид: f = rp VAR p, а g = 0, тогда имеем:
Данная функция показывает, насколько реальные прибыли/убытки превышают величину VAR. При этом рассматривается средняя однодневная величина превышения, выраженная в долях от первоначальной стоимости портфеля. Данную функцию в дальнейшем будем назвать функцией превышения.
Средняя величина однодневного превышения значения VAR в сущности показывает какой объем средств (в процентах от первоначальной стоимости портфеля), в среднем, организация должна привлечь (период привлечения – один день) с целью покрытия возможных превышений. Данный показатель, в общем случае, играет достаточно существенную роль при оценке эффективности модели, отражая ее возможность адекватно учитывать внезапные изменения, происходящие на рынке.
Для учета средней относительной однодневной величины превышения VAR может быть использована следующая функция (относительная функция превышения):
Тестирование моделей позволило выявить следующие результаты (см. прил. К, табл. К.1 – К.4).
Для модели постоянных ковариаций средняя величина однодневного превышения нижнего VAR составила 2,02 % от стоимости портфеля на начало дня для рассматриваемого периода, средняя величина однодневного превышения для верхнего VAR – 0,7 %.
Тестирование GARCH (1, 1)-модели привело, в целом, к идентичному результату. Так, средняя величина однодневного превышения нижнего VAR составила 1,97 % от первоначальной стоимости портфеля; средняя величина однодневного превышения верхнего VAR – 0,67 %.
Более низкие значение были получены для модели экспоненциально-взвешенных ковариаций.
Средняя величина однодневного превышения нижнего VAR для модели с оптимальным составила 1,04 % от первоначальной стоимости портфеля (для модели с = 0,94 – 0,94 % от первоначальной стоимости портфеля), средняя величина однодневного превышения верхнего VAR за рассматриваемый период составила 0,93 % (для = 0,94 – 0,91 %), что, в общем, свидетельствует о неплохом учете моделью изменений в характере рынка (рис. 19).
Рис. 19 Результаты расчетов средней величины однодневного превышения оценок VAR В относительных величинах средняя величина однодневного превышения VAR для модели с = 0,94 составила в среднем 0,17 для нижней VAR и 0,15 для верхней VAR. Для модели с оптимальным относительная величина однодневного превышения составила 0,2 для нижнего VAR и 0,15 для верхнего VAR. Диапазон для остальных моделей является более широким (0,11…0,31) (рис. 20).
однодневного превышения оценок VAR в относительном выражении Данный тест фактически является дополнительным к предыдущему тесту на средний непокрытый риск и показывает, насколько в среднем оценка VАR превышает реализовавшиеся прибыли/убытки, т.е.
характеризует неиспользованный рисковый капитал. Функция потерь при этом имеет вид:
Зарезервированный рисковый капитал не приносит дохода, поэтому желательно, чтобы значение неиспользованного рискового капитала было как можно меньше.
Тестирование моделей позволило выявить следующее: средняя величина неиспользованного капитала для всех моделей является достаточно постоянной. Так, для нижнего VAR, в соответствии с результатами расчетов, средняя величина неиспользованного капитала (в долях от однодневной величины VAR портфеля) находилась в диапазоне от 1,038 для модели экспоненциально-взвешенных ковариаций ( = 0,94 ) до 1,042 для GARCH (1, 1)-модели. Для верхнего VAR диапазон значений составил 0,988…0,995 (см. прил. Л, табл. Л.1).
Предыдущие два теста можно проанализировать вместе, разместив на двумерной плоскости соответствующие точки, каждая из которых характеризует модель с точки зрения средней величины избыточного капитала и средней величины недостаточности капитала, резервируемого для покрытия возможных убытков. По этим графикам можно определить парето-оптимальные модели. Под паретооптимальной моделью будем считать такую модель, которая в сравнении с другими моделями дает меньшую величину непокрытого и неиспользованного капитала.
В начале оценим эффективность моделей для нижних оценок VAR (рис. 21).
Результаты построения показывают, что парето-оптимальной моделью для нижних оценок VAR можно считать модель экспоненциально-взвененных ковариаций. При этом необходимо отметить, что модель с параметром = 0,94 является более эффективной по обоим критериям, чем модель с оптимальным.
Недостаток капитала (в долях Рис. 21 Многокритериальный анализ моделей для нижних оценок VAR Модель постоянных ковариаций идентична модели экспоненциально-взвешенных ковариаций по критерию избыточности капитала, однако несколько менее эффективна по критерию недостаточности капитала.
GARCH (1, 1)-модель идентична модели на постоянных ковариаций по критерию недостаточности капитала, однако несколько менее эффективна по критерию избыточности резервируемого капитала.
Для верхних оценок VAR парето-оптимальной является GARCH (1, 1)-модель (рис. 22). Менее эффективной по критерию избыточности резервируемого капитала является модель постоянных ковариаций. Модель экспоненциально-взвешенных ковариаций является наименее эффективной по обоим критериям.
Рис. 22 Многокритериальный анализ моделей для нижних оценок VAR Парето-оптимальной моделью как для нижних, так и для верхних оценок VAR можно считать модель экспоненциально-взвешенных ковариаций с параметром = 0,94 (рис. 23).
Недостаток капитала (в долях Рис. 23 Многокритериальный анализ моделей (общий случай) Данный тест, состоящий в измерении корреляции между значением VАR и относительным изменением стоимости портфеля, показывает степень взаимосвязи между прогнозами VАR, осуществляемыми моделью и реализовавшимися прибылью/убытками.
Более эффективным моделям, как дающим более точный прогноз, должны соответствовать большие коэффициенты корреляции.
Результаты расчетов показывают, что наиболее эффективной моделью является модель экспонециально-взвешенных ковариаций ( = 0,94 ). Значение коэффициента корреляции для данной модели равно 0,28. Далее следует модель эспоненциально-взвешенных ковариаций с оптимальным (значение коэффициент корреляции равно 0,278) (см. прил. М, табл. М.1).
Для GARCH (1, 1)-модели значение коэффициента корреляции составляет 0,257. Для модели постоянных ковариаций значение коэффициента корреляции равно 0,233 (рис. 24).
Таким образом, результаты анализа эффективности моделей показывают, что наиболее эффективной (парето-оптимальной) для рассматриваемого периода является модель экспоненциальновзвешенных ковариаций с параметром = 0,94.
Данная модель позволила наиболее оптимально резервировать капитал, что можно считать прямым следствием точности расчетов, а также правильно выбранным значением параметра. Последнее позволяет наиболее точно учесть изменения волатильности рынка.
Достаточно низкую эффективность GARCH (1, 1)-модели можно объяснить только наличием ошибок в расчетах.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
VAR-методики (подхода) к оценке и моделированию рыночных рисков, возникающих у организации при осуществлении ей финансово-хозяйственной (инвестиционно-финансовой) деятельности.Для реализации выдвинутой цели автором ставились следующие задачи: а) рассмотреть, в целом, проблему риска в инвестиционном процессе (это позволяет выработать системный подход к анализу и оценки риска в целом, а также выделить возможные пути и инструментарий для дальнейшего решения данной проблемы); б) с позиции выделенных путей и инструментария оценки рисков исследовать VARметодику (подход) моделирования и оценки рыночных рисков.
С целью решения поставленных задач был проведен теоретический анализ научной литературы, раскрывающей те или иные аспекты поставленной проблемы. Так, изучались взгляды западных теоретиков экономической науки: Ф.Х. Найта, Дж. Маршака, Дж. Уэстона, Дж. Хиршлейфера, М. Фридмена и Л.Дж. Сэвиджа, Ар.А. Алчиана, Г.А. Саймона, У.Дж. Баумоля и Р.Э.
Дж. Акерлофа. Помимо этого, анализировались взгляды современных российских экономистов: И.Т.
Балабанова, И.А. Бланка, Я.С. Мелкумова, Г.Б. Поляка, С.Б. Авдашевой и Н.М. Розановой, М.М. Юдкевича, А.А. Новоселова, Е.С. Стояновой, А.М. Литовских, В.С. Романова, В. Москвина, И.С. Меньшикова и Д.А. Шелагина.
Результаты данной работы позволили говорить, что хотя методика VAR является уже достаточно унифицированным подходом к количественной оценке рыночного риска (по крайней мере на западе), однако говорить о ней как о методологии пока еще рано. Существует достаточно обширный класс моделей мало разработанных, однако, как показывают исследования некоторых экономистов, более эффективных, чем существующие.
Приведем основные выводы сделанные по данной работе.
Под термином «риск» необходимо понимать некоторую ситуацию «измеримой»/вероятностной неопределенности, возникающую при принятии индивидом решения, последствия которого неизвестны.
Субъективная причина наличие ситуации неопределенности – неполнота информации у индивида, принимающего решение. Объективная причина – действие некоторого числа причин (факторов), природа которых, в общем случае, может быть неизвестна. При этом, для ситуации «измеримой» неопределенности (ситуации риска) не может быть выявлена некоторая закономерность между действием данных факторов и появлением ожидаемых событий (последствий принятого решения) – либо ее не существует объективно в силу действия большого числа факторов, сила воздействия каждого из которых мала и не может превалировать среди остальных, либо это постулируется.
Формально риск есть вероятностное распределение некоторой случайной величины. Данную случайную величину можно называть «базовым» рисковым фактором.
Рыночные риски есть специфическая часть финансовых рисков, появление которых обусловлено инвестиционно-финансовой деятельностью организации. При этом можно выделить следующие специфические особенности рыночных рисков как обособленной экономической категории:
1) природа источников рыночных рисков – нестабильность финансовых рынков;
2) проявляются в виде изменений (колебаний) основных характеристик финансового рынка (цен, ставок, курсов); данные характеристики можно считать базовыми рисковыми факторами.
Процесс идентификации рыночных рисков должен осуществляться организацией, исходя из особенностей ее финансово-хозяйственной деятельности. Наиболее просто можно идентифицировать рыночный риск, связанный с операцией покупки/продажи финансового инструмента (формированием торгового портфеля). Так, открытая позиция (длинная или короткая) означает подверженность организации (ее открывшей) определенному виду рыночного риска.
Наиболее универсальным подходом к оценке и моделированию рыночного риска является методика VAR.
Очевидными ее преимуществами является:
1) возможность измерить риск величиной потерь, соотнесенных с вероятностью их возникновения;
2) измерить и сравнить риски по операциям на различных рынках универсальным образом;
3) агрегировать риски отдельных финансовых инструментов (позиций) в единую величину для всего портфеля.
Традиционно в рамках данной методики выделяют три метода оценки рыночных рисков. Наиболее применяемым из них является метод ковариаций. В свою очередь, в рамках данного метода наиболее исследованными являются модель постоянных ковариаций, модель экспоненциально-взвешенных ковариаций. Их основными преимуществами являются:
4) концептуальная и вычислительная простота расчетов;
5) возможность рассчитывать VAR в режиме времени, близком к реальному для торговых портфелей крупных финансовых институтов;
6) позволяют легко анализировать «вклады» отдельных инструментов в общий риск портфеля и оценивать чувствительность показателя VAR к изменениям размеров позиции.
Помимо указанных преимуществ данные модели расчета VAR имеют ряд недостатков:
1) невыполнение основополагающей предпосылки о нормальном распределении доходностей инструментов (данное обстоятельство существенно ограничивает применимость данных моделей);
2) низкая точность оценки VAR для инструментов с нелинейными ценовыми характеристиками (например, для опционов).
Результаты тестирования модели постоянных ковариаций, модели экспоненциально-взвешенных ковариаций и GARCH (1, 1)-модели на точность и эффективность даваемых ими оценок позволили выявить следующее.
1 С точки зрения точности даваемых моделями оценок:
а) все рассматриваемые модели могут быть использованы для предоставления информации регулирующим органам о рисках, принимаемых организацией (в случае если деятельность данной организации регулируется международным законодательством о деятельности финансовых институтов);
б) наиболее точными моделями оценки VAR можно считать модель постоянных ковариаций и GARCH (1, 1)-модель. Использование кредитной организацией данных моделей с целью выполнения требований о достаточности капитала позволяет резервировать лишь тройную величину VAR;
в) модель экспоненциально-взвешенных ковариаций является менее точной, что приводит к необходимости, с целью выполнения требований о достаточности капитала, резервировать более чем тройную величину VAR. Однако результаты тестов показывают, что данная модель лучше остальных моделей учитывает изменения в характере рынка.
2 С точки зрения эффективности даваемых моделями оценок:
а) наиболее эффективной (парето-оптимальной) для рассматриваемого периода является модель экспоненциально-взвешенных ковариаций с параметром = 0,94. Данная модель позволила наиболее оптимально резервировать капитал, что можно считать прямым следствием точности расчетов, а также правильно выбранным значением параметра. Последнее позволяет наиболее точно учесть изменения волатильности рынка;
б) достаточно низкую эффективность GARCH (1, 1)-модели можно объяснить только наличием ошибок в расчетах.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1 О порядке расчета кредитными организациями размера рыночных рисков: Положение Центрального Банка РФ от 24.09.1999. № 89-П.2 Методические рекомендации по управлению рисками кредитных организаций на рынке ценных бумаг. НФА. М., 2000.
3 Правила допуска к обращению ценных бумаг Некоммерческого партнерства «Фондовая биржа РТС» от 24.12.2002. www.rts.ru 4 Авдашева С.Б., Розанова Н.М. Теория организации отраслевых рынков. М.: Магистр, 1998.
5 Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика. Основы эконометрики: Учеб. для вузов: В 2 т. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001.
6 Акерлоф Дж. Рынок «лимонов»: неопределенность качества и рыночный механизм / В сб.
THESIS. 1994. Вып. 5. С. 91 – 104.
7 Алчиан А. Стоимость // Вехи экономической мысли. Т. 3.: Рынки факторов производства / Под ред. В.М. Гальперина. СПб.: Экономическая школа, 2000.
8 Альгин А.П. Грани экономического риска. М.: Знание, Аралбаева Ф.З., Карабанова О.Г., Круталевич-Леваева М.Г. Риск и неопределенность в принятии управленческого решения // Вестник ОГУ. № 4. 2002.
10 Баврин И.И. Высшая математика. М., 2002.
11 Балабанов И.Т. Риск-менеджмент. М.: Финансы и статистика, 1996.
12 Банки и банковские операции / Под ред. проф. Е.Ф. Жукова. М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.
13 Баумоль У.Дж., Квандт Р.Э. Эмпирические методы и оптимально не совершенные решения // Вехи экономической мысли. Т. 2: Теория фирмы / Под ред. В.М. Гальперина. СПб.: Экономическая школа, 2000.
14 Бланк И.А. Инвестиционный менеджмент. Киев: МП Итем; ЛТД Юнайтед. Лондон Трейд Лимитед, 1995.
15 Бланк И.А Финансовый менеджмент: Учебный курс. Киев, 2002.
16 Бочаров В.В Инвестиционный менеджмент. СПб., 2000.
17 Волков С.Н. Современный риск-менеджмент с использованием методологии VAR.
www.currency.kiev.ru 18 Вьюков М.Л., Ермошин С.И. Управление портфельными рисками в России.
http://www.fact400.ru/rmis/rm_article.htm 19 Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1977.
20 Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория / Пер. с англ.
Г.И. Жуковой, Ф.Я. Кельмана. М.: Айрис-пресс, 2002.
С. 85 – 116.
22 Клишова Е.В. Теория рационального поведения как общая основа институциональной теории.
http://ie.boom.ru.
23 Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятности / Пер. с нем. Г.М. Бавли. М., 1936.
24 Кудрявцев О., Кудрявцева М. Методы количественной оценки рыночных рисков. Классификация. http://riskinfo.ru.
25 Кудрявцев О., Кудрявцева М. Финансовые риски: теоретическое понятие и практическая классификация. http://riskinfo.ru.
26 Кузнецов В. Измерение финансовых рисков. Банковские технологии №7 1997. www.bizcom.ru.
27 Кулагин О.А. Принятие решений в организациях: Лекционные материалы. www.ooipkro.ru.
28 Лобанов А., Чугунов А. Тенденции развития риск-менеджмента: мировой опыт // РЦБ. № 5.
2001.
29 Лобанов А. Проблема метода при расчете value at risk // РЦБ. № 21. 2000.
30 Лобанов А. Регулирование рыночных рисков банков на основе внутренних моделей расчета VAR.
http://www.cfin.ru/finanalysis/lytnev/index.shtml.
32 Маршалл Дж.Ф., Бансал В.К. Финансовая инженерия. Полное руководство по финансовым нововведениям / Пер. с англ. М.: Инфра-М, 1998.
33 Мелкумов Я.С. Экономическая оценка эффективности инвестиций. М.: ИКЦ «ДИС», 1997.
34 Меньшиков И.С., Шелагин Д.А. Рыночные риски: модели и методы. Вычислительный центр РАН, 2000.
35 Микроэкономика. В 2-х т. / Под общ. ред. В.М. Гальперина. СПб., 1999.
36 Москвин В. Основы теории риска для реализации инвестиционных проектов. http://ivr.nm.ru.
37 Найт Ф. Понятие риска и неопределенности / В сб. THESIS. 1994. Вып. 5. С. 12 – 28.
38 Новеселов А.А. Понятие риска и методы его измерения. Институт вычислительного моделирования СО РАН.
39 Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала: Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка. М.: Мир, 2000.
40 Рогов М.А. Риск-менеджмент. М.: Финансы и статистика, 2001. 120 с.
41 Романов В.С. Волатильность как характеристика изменчивости финансово-экономических переменных // Теория и практика реструктуризации предприятий: Сборник материалов Всероссийской научно-практической конференции. Пенза, 2001. С. 146 – 150.
42 Романов В.С. Понятие рисков в экономической деятельности. www.aup.ru.
43 Романов В.С. Классификация рисков: принципы и критерии. www.aup.ru.
44 Рубенчик А. Словарь терминов риск-менеджмента. www.ndc.ru.
45 Саймон Г.А. Теория принятия решений в экономической теории и науке о поведении // Вехи экономической мысли. Том 2: Теория фирмы / Под ред. В.М. Гальперина. СПб.: Экономическая школа, 2000.
46 Смирнов С., Скворцов А., Дзигоева Е. Достаточность банковского капитала в отношении рыночных рисков: как улучшить регулирование в России // Аналитический банковский журнал. 7(98).
Июль 2003.
47 Стиглер Дж.Дж. Экономическая теория информации // Вехи экономической мысли. Т. 2: Теория фирмы / Под ред. В.М. Гальперина. СПб.: Экономическая школа, 2000.
48 Уотшем Т.Дж., Паррамоу К. Количественные методы в финансах. М., 1999.
49 Уэстон Дж.Ф. Концепция теории прибыли: новый взгляд на проблему // Вехи экономической мысли. Т. 3: Рынки факторов производства / Под ред. В.М. Гальперина. СПб.: Экономическая школа, 2000.
50 Финансовый менеджмент / Под ред. Г.Б. Поляка. М.: Финансы, Юнити, 1997.
51 Финансовый менеджмент: теория и практика: Учеб. / Под ред. Е.С. Стояновой. М.: Перспектива, 2002.
52 Хиршлейфер Дж. Инвестиционные решения при неопределенности: подходы с точки зрения теории выбора // Вехи экономической мысли. Т. 3: Рынки факторов производства / Под ред. В.М. Гальперина. СПб.: Экономическая школа, 2000.
53 Хиршлейфер Дж. К теории оптимальных инвестиционных решений // Вехи экономической мысли. Т. 3: Рынки факторов производства / Под ред. В.М. Гальперина. СПб.: Экономическая школа, 2000.
54 Центр статистических исследований. Сценарии и моделирование. www.riskmetrics.com. 2001.
55 Чернова Н.И. Теория вероятностей. www.nsu.ru/mmf/tvims/ chernova/tv/lec.
56 Шарп У.Ф., Александер Г.Дж., Бейли Д.В. Инвестиции / Пер с англ. М., 2001.
57 Шеремет В.В., Павлюченко В.М., Шапиро В.Д. и др. Управление инвестициями: В 2 т. М.:
Высшая школа, 1998.
58 Эконометрика: Учеб. для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003.
59 Электронный словарь: http://www.znay.ru/dictionary/.
60 Юдкевич М.М., Подколзина Е.А., Рябинина Е.Ю. Основы теории контрактов. Модели и задачи:
Учеб. пособие. М., 2002.
61 Литовских А.М. Финансовый менеджмент. www.aup.ru.
62 Harry Markowitz «Portfolio Selection», The Journal of Finance, Vol VII, No 1, March 1952, pp. 77 – 91.
63 J.P Morgan / Reuters RiskMetrics – Technical Document. 11-th Ed., 1996.
64 Laubsch Alan J. Risk Management: A Practical Guide. RiskMetrics Group.
65 CorporateMetrics Technical Document. RiskMetrics Group. April 1999.
66 Supervisory Framework for The Use of «Backtesting» in Conjunction with The Internal Models Approach to Market Risk Capital Requirements // Basle Committee on Banking Supervision, January, 1996.
1 July-31 December 1998 // Basel Committee on Banking Supervision, Basel, September 1999.
Приложение А (графический анализ временных рядов) 0, 0, -0,05 1 17 33 49 65 81 97 113 129 145 161 177 193 209 -0, Рис. А.1 Временной ряд для LKOH 0, 0, -0,05 1 18 35 52 69 86 103 120 137 154 171 188 205 -0, 0, 0, -0, -0, -0, Рис. А.3 Временной ряд для MSNG приложение Б
ПРОВЕРКА НА СТАЦИОНАРНОСТЬ
(ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АВТОКОРРЕЛЯЦИОННОЙ И
ЧАСТОЙ АВТОКОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИЙ)
Б.1 ЗНАЧЕНИЕ ЧАСТНОЙ АВТОКОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ ДЛЯ EESR
(Standard errors are white-noise estimates) Lag Corr. S.E.10 +,040, 11 -,002, 12 -,030, 13 +,009, 14 -,062, 15 +,072, 16 +,057, 17 -,032, 18 -,066, 19 +,031, 20 +,033, 21 +,076, 22 +,039, 23 +,048, 24 -,010, 25 +,063, 26 -,030, 27 -,003, 28 -,029, 29 -,021, 30 -,061, Рис. Б.2 Коррелограммы для SNGS ( n = 250, 30, = 0,05 ) Рис. Б.3 Коррелограммы для MSNG ( n = 250, 30, = 0,05 ) Рис. Б.4 Коррелограммы для RTKM ( n = 250, 30, = 0,05 ) Рис. Б.5 Коррелограммы для рядов первых разностей однодневных логарифмических доходностей для LKOH Рис. Б.6 Коррелограммы для рядов первых разностей однодневных логарифмических доходностей для SNGS (Standard errors are white-noise estimates) Рис. Б.7 Коррелограммы для рядов первых разностей однодневных логарифмических доходностей для MSNG (Standard errors are white-noise estimates) Рис. Б.8 Коррелограммы для рядов первых разностей однодневных Приложение В
«