«26 сентября 2008 г. Содержание Предисловие 1 1 Вводная лекция 6 Тест для самоконтроля к лекции 1................. 14 I Принятие решений в условиях определённости 16 2 Экстремум функций одной переменной ...»

Что можно сказать о мере склонности или несклонности к риску по величине показателя ? Например: большая ли несклонность к риску у человека, для которого = 3? Для ответа на этот вопрос воспользуемся известным в теории вероятностей неравенством Чебышева. Пусть принимающий решение не склонен к риску. Так как оценкой случайной величины служит число, то "неприятность"для принимающего решение наступает тогда, когда <. Оценим вероятность этого события. В этом случае выполняется >, следовательно | | >. В силу неравенства Чебышева вероятность последнего соотношения будет меньше, чем /()2 = 2 /(2 2 ) = 1/2. Итак, вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее ее оценки, не превосходит 1/2.

Скажем, если = 3, то вероятность того, что случайная величина "не опустится"ниже оценки 3, будет не менее 1 1/9, то есть почти 90%. Такую степень риска можно считать невысокой, то есть значение = 3 соответствует "достаточно большой степени осторожности"(или "достаточно высокой несклонности к риску").

Выясним теперь — как устанавливается предпочтение альтернатив по обобщенному критерию (9.1). Будем считать, что принимающий решение не склонен к риску ( > 0). Как мы установили выше, в этом случае он стремится увеличить ожидаемый выигрыш и уменьшить риск, то есть критерий будет здесь позитивным, а критерий — негативным. Пусть ( ) — некоторое множество альтернатив, каждая из которых характеризуется парой показателей (, ). Зафиксируем какие–то две альтернативы 1 = (1, 1 ) и 2 = (2, 2 ). Находим: (1 ) = 1 1, (2 ) = 2 2. Возможны два случая.

) Альтернативы 1 и 2 сравнимы по Парето. Пусть, например, 1 > 2. Тогда 1 2 и 1 2 (причем хотя бы одно неравенство строгое), значит 1 1 > 2 2, то есть (1 ) > (2 ). Таким образом, в этом случае независимо от меры несклонности принимающего решение к риску (то есть от значения показателя > 0) альтернатива 1 будет более предпочтительной, чем альтернатива 2 (этот факт записывается в виде 1 2 ).

) Альтернативы 1 и 2 несравнимы по Парето. Пусть, например, 1 > 2, тогда 1 > 2 (то есть больший ожидаемый выигрыш здесь всегда сопровождается большим риском). Условие 1 1 > равносильно тому, что < (1 2 )/(1 2 ). Таким образом, в этом случае В многокритериальной ЗПР основная проблема при определении оптимальной альтернативы состоит в выборе одной альтернативы из множества оптимальных по Парето альтернатив. Эта проблема легко решается (в случае конечного Парето–оптимального множества), если произведено полное ранжирование Парето–оптимальных альтернатив по предпочтению. Так как любые две Парето–оптимальные альтернативы не сравнимы по Парето, то для них выполнено условие ). В этом случае предпочтение между альтернативами 1 и 2 будет зависеть от того, выполнено ли условие (9.2) или условие (9.3). В то же время, предпочтения между Парето–оптимальными альтернативами будут носить "единообразный"характер, когда условие (9.2) или (9.3) выполнено для всех 1, 2, при которых альтернативы 1 и 2 оптимальны по Парето. Формально это обстоятельство можно выразить следующим образом. Положим 0 = min{(1 2 )/(1 2 )}, где операторы min и max распространяются на такие пары индексов (1, 2 ), для которых альтернативы 1, 2 оптимальны по Парето и 1 > 2 (а, следовательно, 1 > 2 ). Назовем 0 нижней границей несклонности к риску, * — верхней границей несклонности к риску (всегда выполняется 0 < * ). Но основании ), получаем для человека, не склонного к риску, следующее Правило 9.1.

a) Если у принимающего решение его субъективный показатель несклонности к риску меньше нижней границы ( < 0 ), то для него ранжирование множества Парето–оптимальных альтернатив по обобщенному критерию совпадает с ранжированием по показателю ожидаемого выигрыша (то есть более предпочтительной будет та альтернатива, для которой больше ожидаемый выигрыш);

b) Если у принимающего решение его субъективный показатель несклонности к риску больше верхней границы ( > * ), то для него ранжирование множества Парето–оптимальных альтернатив по обобщенному критерию совпадает с ранжированием по показателю риска (более предпочтительной будет та альтернатива, для которой меньше риск).

Таким образом, для ЗПР в условиях риска применение обобщенного критерия (9.1) сводит проблему нахождения оптимального решения к проблеме установления для принимающего решение его меры несклонности (или склонности) к риску. В связи с этим возникает законный вопрос:

существует ли эта мера вообще? Заметим, что этот вопрос относится не к математике, а к психологии, так как склонность (или несклонность) к риску является субъективно–психологическим качеством человека. Многие психологи отвечают на этот вопрос утвердительно; при этом предлагается определять показатель склонности (или несклонности) индивидуума к риску из наблюдений за тем, как этот индивидуум принимает решения в рискованных ситуациях — как естественных, так и искусственных. В заключение обсуждения использования обобщенного критерия (9.1) для ЗПР в условиях риска сделаем несколько замечаний.

Замечание 1. Согласно ) максимальное значение обобщенного критерия всегда достигается на Парето–оптимальной альтернативе. Это позволяет найти одну (или несколько) оптимальных по Парето альтернатив по значениям критерия. Конечно, если число альтернатив невелико, то задача нахождения какой–то Парето–оптимальной альтернативы может быть легко решена непосредственно. Однако дело существенно осложняется, когда имеется большое число альтернатив (несколько сотен и более). В этом случае удобством характеризации каждой альтернативы одним числом — величиной обобщенного критерия — не следует пренебрегать.

Замечание 2. Основной недостаток критерия (9.1) состоит в том, что он базируется на предположении постоянства меры несклонности к риску для данного лица, принимающего решение (что означает постоянство локального коэффициента замещения между критериями и, см. лекцию 6). Вместе с тем, для большинства людей их мера склонности (или несклонности) к риску меняется в зависимости от величины ожидаемого выигрыша и степени риска. Долю оптимизма здесь привносит то обстоятельство, что для установления ранжирования альтернатив достаточно знать не точное значение показателя, а некоторый содержащий его интервал.

Замечание 3. Типичным примером проявления несклонности к риску является участие во всякого рода страхованиях. Обратный пример — проявление склонности к риску — покупка лотерейного билета, стоимость которого больше ожидаемого (то есть среднего) выигрыша в этой лотерее.

Замечание 4. Следует сказать, что, как правило, бизнесмены при решении серьезных деловых вопросов предпочитают не рисковать (то есть проявляют несклонность к риску). Хотя нередко среди бизнесменов встречается и противоположный тип. Так, в книге Грейсона [Decisions under Uncertainty] исследовано поведение предпринимателей, связанных с нефтяным бизнесом. Некоторые из бизнесменов охотно соглашались участвовать в рискованных мероприятиях, где ожидаемый доход был значительно меньше их доли вложенного капитала, но при условии, что сами доходы весьма велики. Объяснение здесь кроется в смене целевых установок, когда цель максимизации прибыли заменяется целью "пробиться к более высокому уровню жизни а последняяя цель может быть достигнута только при большой степени риска.

() Рассмотрим теперь для ЗПР в условиях риска методы нахождения оптимального решения, основанные на отношении доминирования по Парето (см. лекцию 5). Будем считать, что принимающий решение не склонен к риску; тогда критерий ожидаемого выигрыша будет позитивным, а критерий риска — негативным. Предположим, что требуется выбрать одну (оптимальную) альтернативу из заданного множества допустимых альтернатив ( ), каждая из которых характеризуется парой показателей (, ). Изобразив на координатной плоскости точки с координатами (, ), получим картинку типа рис. 9.1. СодержательPar но условие доминирования по Парето 1 2 означает, что для альтернативы 1 получается такой же (или больший) ожидаемый выигрыш, что и для альтернативы 2, но с меньшим (или таким же) риском.

множество Парето–оптимальных альтернатив есть {1, 4, 7, 8 }; окончательный выбор оптимальной альтернативы должен производится из этого множества. Как указывалось в лекции 5, здесь есть два подхода:

1–й подход заключается в том, что рациональный анализ заканчивается указанием множества Парето–оптимальных альтернатив и окончательный выбор оптимальной альтернативы из этого множества производит принимающий решение на основе неформальных дополнительных соображений. Рассмотрим теперь вкратце 2–й подход, когда производятся некоторые процедуры сужения множества Парето–оптимальных альтернатив.

а) Субоптимизация связана с выбором одного критерия и назначением нижних границ по остальным критериям. Для нашей задачи более "осязаемым"является критерий ожидаемого выигрыша, поэтому логичным является проведение субоптимизации следующим образом: назначить нижнюю границу по критерию и оптимизировать (в данном случае — минимизировать) оставшийся критерий. Например, если взять в качестве нижней границы критерия ожидаемого выигрыша значение (см. рис.9.1), то оптимальной будет альтернатива 4, так как среди альтернатив, удовлетворяющих условию 6, она является наименее рискованной.

b) Лексикографическая оптимизация предполагает упорядочение критериев по относительной важности. Пусть, например, — важнейший критерий. Так как максимальное значение по критерию имеет единственная альтернатива 8, то она и будет являться оптимальной. Здесь наглядно проявляется недостаток метода лексикографической оптимизации: учет фактически одного (важнейшего) критерия. Указанный недостаток связан с необходимостью введения жесткого приоритета критериев и может быть снят за счет ослабления "жесткости"приоритетов следующим образом. Назначим некоторую "уступку"1 по важнейшему критерию и на первом шаге отберем те альтернативы, для которых оценка по первому (важнейшему) критерию отличается от максимальной оценки не более, чем на 1. После этого назначаем "уступку"2 для 2–го по важности критерия и среди отобранных на первом шаге альтернатив выбираем те, для которых оценка по 2–му критерию отличается от максимальной не более, чем на 2 и т.д.

Например, в нашем случае возьмем в качестве "уступки"по критерию ожидаемого выигрыша величину 1, указанную на рис.9.1. Тогда результатом выбора на первом шаге будут альтернативы {7, 8, 9 }. Среди них наилучшей по 2–му критерию является альтернатива 7 — она и будет оптимальной. Таким образом, несколько снизив требования по критерию, мы значительно улучшили оценку по критерию (то есть некоторое уменьшение ожидаемого выигрыша привело к существенному снижению риска).

Замечание. Недостаток изложенного метода "последовательных уступок"состоит в необходимости получения дополнительной информации от принимающего решение о величине "уступки"по каждому критерию (кроме последнего).

4. В качестве иллюстрации разобранных в п. 3 методов нахождения решения ЗПР в условиях риска рассмотрим следующую задачу.

Задача № 12: Выбор варианта производимого товара.

Фирма может выпускать продукцию одного из следующих шести видов: зонтики (), куртки (), плащи (), сумки (), туфли (), шляпы (). Глава фирмы должен принять решение — какой из этих видов продукции выпускать в течение предстоящего летнего сезона. Прибыль фирмы зависит от того, каким будет лето — дождливым, жарким или умеренным, и определяется таблицей 9.5. Выбор какого варианта производства будет оптимальным?

При отсутствии дополнительной информации о состояниях среды эта задача будет задачей выбора решения в условиях неопределенности, и ее решение возможно при принятии какой–либо гипотезы о поведении среды (см. лекцию 8). Если принимающий решение имеет информацию о вероятностях наступления дождливого, жаркого и умеренного лета, то указанная задача становится задачей принятия решения в условиях риска. В нашем случае необходимая дополнитнльная информация может быть взята из статистических данных (наблюдений за погодой в данной местности). Предположим, что вероятность дождливого, жаркого и умеренного лета равна, соответственно, 0.2; 0.5; 0.3. Тогда получаем ЗПР в условиях риска, заданную таблицей 9.6.

Найдем ожидаемые выигрыши, соответствующие альтернативам,,,,,.

MЗ = 80·0.2+60·0.5+40·0.3 = 58; MС = 50·0.2+50·0.5+70·0.3 = 56;

MК = 70·0.2+40·0.5+80·0.3 = 58; MТ = 75·0.2+50·0.5+50·0.3 = 55;

MП = 70·0.2+50·0.5+60·0.3 = 57; MШ = 35·0.2+75·0.5+60·0.3 = 62.5.

Далее, определим дисперсии случайных величин З, К, П, С, Т, Ш (здесь удобно использовать следующее свойство дисперсии: = ( )2 ).

Среднеквадратичные отклонения рассматриваемых случайных величин таковы:

Составим таблицу значений критериев и для каждой альтернативы (таблица 9.7).

Представив рассматриваемые альтернативы точками на координатной плоскости переменных (, ), получим рисунок 9.2, из которого находим Парето–оптимальное множество {,, }. Окончательный выбор оптимальной альтернативы должен производиться из этого множества. Сужение Парето–оптимального множества (в идеале — до одного элемента) может быть произведено только при наличии дополнительной информации о соотношении критериев и ; в частности, такое сужение может быть произведено методом субоптимизации или методом лексикографической оптимизации — как это схематично разобрано в п.3. Предоставляя эту часть задачи читателю в качестве упражнения, попробуем найти оптимальное решение при помощи обобщенного критерия вида (9.1).

Здесь Для установления ранжирования Парето–оптимального множества {,, } по обобщенному критерию найдем вначале нижнюю и верхнюю границы меры несклонности к риску. В обозначениях п.3 имеем:

отсюда 0 = min(0.16; 3.8; 0.74) = 0.16, * = max(0.16; 3.8; 0.74) = 3.8. Таким образом, интервал (0, +) разбивается на три интервала:

(0, 0.16) — зона малой несклонности к риску (зона малой осторожности); (3.8, +) — зона большой несклонности к риску (зона большой осторожности); [0.16, 3.8] — зона неопределенности (см. рис.9.2).

Согласно правила 9.1 получаем:

1) Если для принимающего решение его мера несклонности к риску 0 < 0.16, то для него ранжирование множества Парето–оптимальных альтернатив совпадет с их ранжированием по величине ожидаемого выигрыша: (знаком обозначается предпочтение по величине обобщенного критерия ); при этом оптимальной будет альтернатива ;

2) Если для принимающего решение его мера несклонности к риску > 3.8, то для него ранжирование множества Парето–оптимальных альтернатив совпадет с их ранжированием по показателю риска: ; при этом оптимальной будет альтернатива.

Рассмотрим теперь случай, когда мера несклонности принимающего решение к риску попадает в зону неопределенности. Возьмем, например, = 2. Тогда () = 58 14 · 2 = 30; () = 57 7.8 · 2 = 41.4; () = 62. 15.2 · 2 = 32.1. Получаем ранжирование. Таким образом, в этом случае предпочтение для пары (, ) определяется по величине ожидаемого выигрыша, а для пары (, ) — по величине риска.

Тест для самоконтроля к лекции 1. В ЗПР в условиях риска исходом при выборе альтернативы является....

Варианты ответов: Некоторое число 2. Сумма произведений значений случайной величины на соответствующие им вероятности называется ее....

Варианты ответов: Математическим ожиданием 3. Пусть случайная величина принимает значения 3, 5, 7. Какие значения может иметь ее математическое ожидание?

Варианты ответов: = 4. Дисперсия случайной величины характеризует....

Варианты ответов: ее среднее значение 5. Пусть случайная величина принимает значения 1, 2, 3, 4, 5. Какие значения может принять ее дисперсия?

Варианты ответов: 1/ 6. Пусть случайная величина, отличная от константы. Какие значения не может принять ее дисперсия?

Варианты ответов: 7. В ЗПР в условиях риска в качестве меры риска принимается....

Варианты ответов: Математическое ожидание M 8. Найти оптимальную альтернативу в ЗПР в условиях риска по критерию ожидаемого выигрыша:

Альтернативы Варианты ответов: 8. а) Найти оптимальную альтернативу в ЗПР в условиях риска по критерию ожидаемого выигрыша:

Альтернативы Варианты ответов: 8. в) Фермер может засеять поле любой из трех культур: A, B, C. Урожайность каждой из этих культур в зависимости от состояния лета приведена в таблице. Каждая культура даем ему наибольший ожидаемый урожай, если вероятности дождливого(Д), жаркого(Ж) и умеренного(У) лета равны, соответственно: Р(Д)=0,6; Р(Ж)=0,1; Р(У)=0,3;?

8. с) К предыдущей задаче. Дополнительно известна цена каждой из этих культур на рынке:

Какая культура принесет фермеру наибольшую прибыль?

9. Оценка случайной величины с помощью обобщенного критерия при > 0 характеризует человека....

Варианты ответов: Склонного к логическому анализу 10. Доминирование по Парето (1, 1 ) Варианты ответов:

10. а) Предприниматель может производить продукцию одного из четырёх видов: A, B, C, D. Его прибыль зависит от внешних факторов, вероятности которых заданы:

Альтернативы Используя два критеря: ожидаемая прибыль(М) и риск(), укажите в этой задаче Паретовский оптимум.

10. в) В предыдущей задаче ранжируйте альтернативы A, B, C, D, используя обобщенный критерий =, где = 3.

Варианты ответа:

11. На рисунке указаны значения показателей М(ожидаемый выигрыш) и (риск) для альтернатив 1-6. Найдите Парето-оптимальное множество(Паретовский оптимум).

Указание: Обратите внимание на то, что критерий М является позитивным, а критерий – негативным.

Варианты ответов: {4, 5, 6} 12. В зоне малой осторожности ранжирование альтернатив происходит по величине....

Варианты ответов: Ожидаемого выигрыша 13. В зоне большой осторожности ранжирование альтернатив происходит по величине....

Варианты ответов: Ожидаемого выигрыша 14. В зоне неопределенности ранжирование альтернатив происходит по величине....

Варианты ответов: Ожидаемого выигрыша среднего арифметического наименьшего и наибольшего выигр Лекция Критерий ожидаемой полезности Основные вопросы: 1. Недостатки метода сравнения случайных величин по паре показателей (, ). Лотереи. Детерминированный денежный эквивалент лотереи. 2. Кривая денежных эквивалентов лотерей, ее построение по 5–ти точкам. Функция полезности денег. 3. Нахождение детерминированного денежного эквивалента произвольной лотереи.

Сравнение лотерей по их денежным эквивалентам (по ожидаемым полезностям). 4. Функция полезности лотерей (эмпирический и аксиоматический подходы). 5. Функции полезности произвольных (неденежных) критериев. Задача № 13: Сравнение качества работы станций скорой помощи.

1. В ЗПР в условиях риска исходом для принимающего решение при выборе им альтернативы является некоторая случайная величина и сравнение альтернатив сводится к сравнению соответствующих им случайных величин (см. лекцию 9). Использованный в предыдущей лекции метод сравнения по предпочтению случайных величин содержит два шага.

Первый шаг — характеризация случайной величины векторной оценкой (, ), где = — МО и = — СКО случайной величины.

Второй шаг — введение некоторого способа сравнения векторных оценок.

Наиболее удобным здесь является построение обобщенного критерия, который "превращает"векторную оценку (, ) в некоторую скалярную оценку. В итоге выполнения этих двух шагов получаем соответствие (), при котором случайная величина характеризуется единственным числом (), выражающим ее полезность для принимающего решение. Тогда сравнение по предпочтительности двух случайных величин 1 и 2 сводится к сравнению чисел (1 ) и (2 ), что дает для ЗПР в условиях риска возможность сравнения по предпочтению любых двух альтернатив и нахождения наиболее предпочтительной (оптимальной) альтернативы.

Указанный способ сравнения случайных величин не лишен недостатков. Во–первых, характеризация эффективности с помощью ожидаемого выигрыша и риска с помощью среднеквадратичного отклонения не является единственно возможной. Во–вторых, построение обобщенного критерия, сводящего пару оценок (, ) в единую числовую оценку, требует, как мы видели в лекции 6, большой дополнительной информации о соотношении этих критериев между собой. Поэтому в теории принятия решений разрабатывались и другие методы; наиболее важным из них является метод, основанный на построении так называемой функции полезности. Целью данной лекции является краткое изложение способов анализа ЗПР в условиях риска на базе понятия функции полезности.

будем иногда интерпретировать как лотерею с выигрышами 1,...,, в которой есть доля билетов с выигрышами ( = 1,..., ). При этом любые две лотереи, выигрыши в которых содержатся в одинаковой пропорции, считаются равноценными (эквивалентными). Например, лотерея (), в которой имеется 90 билетов с выигрышами $1 и 10 билетов с выигрышами $100, считается равноценной лотерее (), в которой билетов с выигрышем $1 и 10000 билетов с выигрышем $100.

Участие в лотерее есть случайный выбор одного лотерейного билета.

При этом, если Вы выбрали билет, на котором обозначено, то при > 0 Вы получаете выигрыш в денежных единиц, а при < 0 Вы проигрываете указанную денежную сумму.

Замечание. Вообще, выигрыши в лотерее не обязательно носят денежный характер. С точки зрения общего подхода к ЗПР в условиях риска выигрыш в лотерее должен рассматриваться как исход, не обязанный иметь численную (в частности, денежную) оценку. Однако, поскольку анализ денежных лотерей наиболее удобен, на первом этапе мы ограничимся рассмотрением лотерей с денежными выигрышами.

При введении критерия ожидаемой полезности основным является следующее понятие.

Определение. Детерминированным денежным эквивалентом лотереи (обозначается через ) называется денежная сумма, которая для принимающего решение эквивалентна (равноценна) его участию в этой лотерее.

Другими словами, если лотереи равен, то принимающему решение безразлично — получить денежную сумму, равную, или участвовать в лотерее.

2. Как найти произвольной денежной лотереи? Оказывается, для этого достаточно уметь находить простых лотерей, то есть лотерей с двумя выигрышами. Всякую простую лотерею с выигрышами и (где < ), будем записывать в виде Здесь число называется параметром простой лотереи. Кривая, которая устанавливает соответствие между параметрами простых лотерей и этих лотерей, называется кривой денежных эквивалентов. Опишем здесь одну методику построения кривой денежных эквивалентов — она базируется на предположении, что принимающий решение может указать свой (субъективный) детерминированный денежный эквивалент для некоторых простых лотерей. Для построения кривой денежных эквивалентов обратимся к рисунку 10.1. Будем по оси абсцисс откладывать деньги (в некоторых денежных единицах), а по оси ординат — параметр простой лотереи (0 1). Кривая денежных эквивалентов состоит из точек с координатами (, ), где — параметр простой лотереи, а — простой лотереи.

При = 0 получается простая лотерея 0 =, то есть лотерея, в которой доля денежных выигрышей составляет 100%; такой лотереи, очевидно, должен быть равен. Аналогично, простой лотереи с параметром = 1 равен. Итак, кривая денежных эквивалентов всегда проходит через точки (, 0) и (, 1).

Отвлечемся на минуту от построения кривой денежных эквивалентов и вспомним про оценку лотереи по критерию математического ожидания выигрыша. Математическое ожидание выигрыша в простой лотерее Таким образом, есть линейная функция переменной, следовательно, графиком этой функции будет прямая; так как при = 0 выполняется 0 =, а при = 1 — 1 =, то эта прямая проходит через точки (, 0) и (, 1) — как и любая кривая денежных эквивалентов.

Рассмотрим теперь вопрос нахождения простой лотереи с параметром = 0.5, то есть лотереи 0.5 = (в лотерее 0.5 выигрыши и равновероятны — такие лотереи называются иногда лотереями 50 50).

Согласно приведенного выше определения, лотереи 0.5 есть денежная сумма 0.5, которая для принимающего решение равноценна его участию в этой лотерее. Что можно сказать о величине 0.5 ? Возьмем, например, простую лотерею с выигрышами в 10 ден.ед. и в 100 ден.ед. Участие в такой лотерее обычно оценивается суммой 2030 ден.ед., то есть суммой, существенно меньшей, чем математическое ожидание выигрыша в такой лотерее (равной здесь 55 ден.ед.). С другой стороны, этой лотереи по смыслу не может быть ниже 10. Итак, 10 < 0.5 < 55. Аналогично, примем, что в общем случае < 0.5 < 0.5. Таким образом, точка (0.5, 0.5) лежит на горизонтальной прямой = 0.5 между точками ее пересечения с прямой = и прямой, соединяющей (, 0) с (, 1) (рис.

10.1).

[ Далее, принимающий решение должен указать простых лотерей 0.25 = к неравенствам: < 0.25 < 0.5, 0.5 < 0.75 <.

Итак, на кривой денежных эквивалентов найдено 5 точек: (, 0), (, 1), (0.25, 0.25), (0.5, 0.5), (0.75, 0.75), причем последние три — путем опроса принимающего решение. Проведя через эти 5 точек гладкую кривую, получаем в результате эмпирическую кривую денежных эквивалентов (рис. 10.2); указанный способ построения кривой денежных эквивалентов будем называть способом 5–ти точек.

Замечание 1. Предположим, что простой лотереи с параметром = 0.5 уже установлен (то есть указана точка 0.5 ). Так как точка = 0.25 является серединой отрезка с концами = 0 и = 0.5, то лотереи с параметром = 0.25 должен быть ] равенство может быть использовано также для проверки согласованности ответов принимающего решение.) Аналогично, 0.75 =.

Таким образом, для построения кривой денежных эквивалентов достаточно уметь находить некоторых лотерей 50 50, выигрыши которых заключены между и. При необходимости число эмпирических точек на кривой денежных эквивалентов может быть увеличено.

Замечание 2. Характерным свойством построенной на рис. 10.2 кривой денежных эквивалентов является то, что при любом значении параметра простой лотереи Неравенство (10.1) отражает несклонность принимающего решение к риску: участие в лотерее оценивается им суммой, меньшей, чем ожидаемый выигрыш в этой лотерее.

В работе [29] описан следующий способ построения кривой денежных эквивалентов.

Пример.

Владельцу компании задается вопрос: согласен ли он вложить 20 тыс. долларов в рискованное предприятие (нефтяную скважину) с ожидаемым доходом в 100 тыс. долларов, если вероятность успеха равна 0.47? Если ответ положителен, то вероятность успеха понижается до тех пор, пока опрашиваемый становится безразличным между выбором предложения и отказом от него; если же ответ отрицателен, то вероятность успеха повышается до того уровня, при котором наступает безразличие. Допустим, безразличие наступило при вероятности успеха 0.35. Так как здесь величина прибыли в случае успеха составляет 100 20 = 80, а величина потерь в случае неуспеха равна 20, то имеет место следующее соотношение:

откуда находится одна точка на кривой денежных эквивалентов; учитывая, что точки (20, 0) и (80, 1) находятся на ней автоматически, можно указать ее примерный вид. Для более точного построения кривой денежных эквивалентов необходимо увеличить число эмпирических точек.

Перейдем теперь к определению функции полезности денежного критерия. Предположим, что построена кривая денежных эквивалентов простых лотерей с выигрышами и. Пусть есть простой лотереи с параметром. Тогда величина () = называется полезностью денежной суммы. Таким образом, по определению выполняется следующая равносильность:

функция () называется эмпирической функцией полезности денежного критерия (функцией полезности денег). Имеем следующее Правило 10.1.Функция полезности денежного критерия есть функция (), графиком которой служит кривая денежных эквивалентов.

Существование функции полезности () может быть доказано формально матеЗамечание.

матически при выполнении некоторых условий, относящихся к. А именно, будем предполагать, что выполнены следующие два условия.

(1) При небольшом изменении параметра простой лотереи ее меняется незначительно.

Условие (1) содержательно ясно и не вызывает возражений. Содержательный смысл условия (2) в том, что увеличение доли "удачных"билетов увеличивает ценность лотереи.

Формально условие (1) означает, что функция является непрерывной, а условие (2) — что эта функция является монотонно возрастающей (в строгом смысле). Как известно из математического анализа, при указанных предположениях существует обратная функция, причем она также является непрерывной и строго монотонной. В нашем случае в качестве обратной функции выступает функция полезности (). Таким образом, при выполнении условий (1) и (2) функция полезности () существует, является непрерывной и строго монотонно возрастающей.

Для выяснения содержательного смысла полезности вспомним, что для лотереи число указывает долю содержащихся в ней "удачных"билетов (имеющих выигрыш ). Отсюда получаем Правило 10.2. Полезность денежной суммы, где, совпадает с долей "удачных"билетов в простой лотерее с выигрышами и, участие в которой эквивалентно для принимающего решение получению денежной суммы.

Сделаем еще несколько замечаний, относящихся к функции полезности денежного критерия.

1) Поскольку функция полезности () строится на основе нахождения лотерей, она носит субъективный характер.

2) Бессмысленным является вопрос типа: "Чему равна полезность тысячи долларов?"Для правильной постановки вопроса вначале надо зафиксировать границы денежных выигрышей и ; после этого для [, ] можно решать вопрос нахождения полезности ().

3) Функция полезности () определена для всех, заключенных между и, то есть областью определения функции () является интервал [, ].

4) Значения функции полезности заключены между 0 и 1, причем () = 0, () = 1.

5) Функция полезности денежного критерия является монотонно возрастающей в строгом смысле, то есть условие 1 < 2 влечет (1 ) < (2 ).

6) Если принимающий решение не склонен к риску, то его функция полезности является вогнутой (график функции имеет вид, представленный на рис. 10.2).

Пояснение: Как уже отмечалось, несклонность к риску для принимающего решение проявляется в том, что он оценивает свое участие в лотерее суммой, которая меньше, чем ожидаемый выигрыш в этой лотерее, то есть <. Разность = в этом случае положительна и называется "надбавка за риск". Если принимающий решение не склонен к риску, то он отказывается от возможной надбавки, предпочитая уверенно получить сумму, равную.

7) Если принимающий решение склонен к риску, то его функция полезности является выпуклой (график этой функции имеет вид, представленный на рисунке 10.3). Склонность к риску характеризуется тем, что принимающий решение оценивает свое участие в лотерее суммой, которая больше, чем ожидаемый выигрыш в этой лотерее: >.

Наконец, если принимающий решение безразличен к риску, то он оценивает лотерею суммой, которая равна ожидаемому выигрышу в этой лотерее; в этом случае графиком его функции полезности будет прямая, соединяющая точки (, 0) и (, 1). Отметим, что "степень"склонности или несклонности к риску проявляется в степени выпуклости (вогнутости) графика функции полезности.

Замечание. Следует иметь в виду, что для одного и того же принимающего решение его отношение к риску может меняться в зависимости от интервала денежных сумм; скажем, на интервале (, 1 ) он проявляет безразличие к риску, на интервале (1, 2 ) — склонность к риску и на интервале (2, ) — несклонность к риску. Соответственно этому меняется характер выпуклости графика его функции полезности (см. рис. 10.4).

3. Приступим теперь к решению следующей задачи: как найти произвольной лотереи, выигрыши которой заключены между и ? Будем считать, что уже построена кривая простых лотерей с выигрышами и, то есть на интервале [, ] задана функция полезности (). Пусть 1,..., положим ( ) =, тогда =. Попробуем вместо детерминированного денежного эквивалента лотреи найти его полезность, то есть ( ).

Так как для принимающего решение денежная сумма равноценна его участию в лотерее =, то первоначальная лотерея для него должна быть эквивалентна лотерее, которая получается из лотереи заменой каждого денежного выигрыша на участие в лотерее, = 1,...,. (Наглядно переход от к можно представить таким образом, что принимающий решение вместо денежного выигрыша получает в качестве приза лотерейный билет, дающий ему право участвовать в лотерее ; рисунок 10.5 дает схематическое представление лотереи. Каждая лотерея характеризуется тем, что содержит билеты только с выигрышами и, причем доля "удачных"билетов (имеющих выигрыш ), равна в ней. Лотерея может быть снова приведена к простой лотерее с выигрышами и следующим образом: надо взять урну, –я часть которой заполнена билетами, выбранными случайно из урны, реализующей лотерею ( = 1,..., ). В этой новой урне доля "удачных"билетов составляет 1 1 + · · · +.

Замечание. Поскольку последнее утверждение представляет собой центральный момент рассуждения, приведем для него обоснование с помощью формулы полной вероятности. Участие в лотерее можно представить как такой опыт со случайными исходами, в ходе которого обязательно наступает одно из событий 1,...,, причем есть вероятность события ( = 1, ). Далее, есть условная вероятность получения "удачного"билета при условии, что произошло событие. По формуле полной вероятности получаем, что вероятность выбора "удачного"билета в лотерее равна 1 1 + · · · +, то есть приходим к указанному выше результату.

Пусть =. Для принимающего решение получение денежной суммы эквивалентно его участию в лотерее, что, в свою очередь, эквивалентно его участию в простой лотерее с выигрышами и, в которой доля "удачных"билетов (с выигрышами ) составляет, как показано выше, 1 1 + · · · +. Таким образом, полезность денежного эквивалента лотереи определяется равенством:

Введем теперь краткое обозначение для правой части (10.4). Через [] будем обозначать лотерею, которая получается из лотереи заменой каждого денежного выигрыша на его полезность ( ):

Лотерея [] называется лотереей в полезностях.

Определение. Ожидаемой полезностью лотереи называется математическое ожидание соответствующей ей лотереи в полезностях [], то есть величина В этих обозначениях соотношение (10.4) переписывается в виде что приводит к следующему правилу.

Правило 10.3. Полезность произвольной лотереи совпадает с ожидаемой полезностью этой лотереи.

Из (10.6) находим интересующую нас величину :

Равенство (10.7) дает алгоритм нахождения произвольной лотереи, выигрыши которой заключены между и (при условии, что построена кривая денежных эквивалентов простых лотерей с выигрышами и ).

Правило 10.4. Чтобы найти лотереи, необходимо реализовать следующие шаги.

1-й шаг: построить по заданной лотерее лотерею в полезностях [];

для этого надо в лотерее заменить каждый денежный выигрыш на его полезность ( );

2–й шаг: Найти ожидаемую полезность ([]) лотереи по формуле (10.5);

3–й шаг: От точки ([]), лежащей на оси ординат, "перейти"через кривую денежных эквивалентов на ось абсцисс. Полученная точка 1 ( ([])) и будет лотереи.

Вначале методом, указанным в п.2, построим кривую денежных эквивалентов простых лотерей, выигрыши которых заключены между 1 и 10 (см. рис.10.6). По правилу 10.4 находим лотерей 1 и Так как 2 > 1, то по критерию более предпочтительной здесь оказывается лотерея 2.

В то же время по критерию ожидаемого выигрыша более предпочтительной будет лотерея 1, так как 1 = 1 · 0.8 + 10 · 0.2 = 2.8; 2 = 2 · 0.5 + 3 · 0.5 = 2.5. Наблюдаемое противоречие между этими критериями объясняется тем, что критерий МО не учитывает отношения принимающего решение к риску, а критерий — учитывает (вид кривой денежных эквивалентов показывает, что в данном случае принимающий решение не склонен к риску).

Интересно сопоставить способ сравнения лотерей по и рассмотренный в лекции 9 способ сравнения лотерей по обобщенному критерию, см. формулу (9.1). Проведем это сопоставление для нашего примера. Для нахождения (1 ) и (2 ) вычислим вначале дисперсии этих лотерей. Имеем:

1 = 1 ( 1 )2 = 1·0.8+100·0.2(2.8)2 = 12.96, откуда 1 = 3.6. Далее 2 = 2 ( 2 )2 = 4 · 0.5 + 9 · 0.5 (2.5)2 = 0.25, откуда 2 = 0.5. Имеем: (1 ) = 2.8 3.6; (2 ) = 2.5 0.5, откуда Таким образом, 1 будет предпочтительней, чем 2 по обобщенному критерию для принимающего решение, у которого показатель несклонности к риску < 3/31; эта весьма низкая "степень осторожности".

Так как функция полезности денежного критерия является монотонно возрастающей (свойство 5), то для любых двух лотерей 1 и 2 условие 1 2 равносильно тому, что ( 1 ) ( 2 ); согласно (10.6) имеем ( 1 ) = ([1 ]), ( 2 ) = ([2 ]), откуда получаем Равносильность (10.8) показывает, что сравнение лотерей по их сводится фактически к сравнению ожидаемых полезностей этих лотерей.

Правило 10.5 (критерий ожидаемой полезности). Для любых двух лотерей 1 и 2 с денежными выигрышами, заключенными между и, лотерея 1 считается более предпочтительной, чем лотерея тогда и только тогда, когда ожидаемая полезность лотереи 1 больше, чем ожидаемая полезность лотереи 2.

4. Пусть — функция, которая каждой лотерее ставит в соответствие ожидаемую полезность этой лотереи: = ([]). Функция называется эмпирической функцией полезности лотерей. Областью определения функции является множество всевозможных лотерей, выигрыши которых заключены между и (это множество обозначается далее через [, ]); значением функции () является некоторое число — ожидаемая полезность лотереи. Напомним, что функция строится в 2 этапа: 1–й этап состоит в построении эмпирической функции полезности () рассматриваемого критерия на интервале [, ]; 2–й этап представляет собой линейное продолжение функции на множество лотерей [, ].

Основным алгебраическим свойством функции является ее линейность. Для формулировки этого свойства нам потребуется следующее понятие.

Пусть 1, 2 — две лотереи, выигрыши которых находятся в интервале [, ]. Тогда можно построить новую лотерею выигрышами которой являются билеты на право участия в лотереях и 2. При этом лотерея 1 1 + 2 2 может быть приведена к лотерее с выигрышами на интервале [, ] — тем же способом, который был использован в п.3 при решении задачи нахождения произвольной лотереи.

Таким образом, множество лотерей [, ] образует выпуклое пространство. Формально это означает, что в этом множестве можно производить операцию "смешивания— по любой паре лотерей 1 и 2 строить новую лотерею 1 1 + 2 2 ; при этом для операции "смешивания"выполняются обычные правила, которые справедливы для операций сложения и умножения в линейном пространстве.

Линейность функции состоит в том, что для любых 1, 2 [, ], 1 2 0, 1 + 2 = 1 выполняется (Формальное доказательство (10.9) может быть получено с помощью формулы полной вероятности, см. Замечание в п.3).

В силу правила 10.5 предпочтение между двумя лотереями 1 и может быть выражено с помощью функции :

Итак, на множестве лотерей [, ] построена некоторая функция, по величине которой устанавливается предпочтение между произвольными двумя лотереями; при этом основным алгебраическим свойством функции является ее линейность. Величину () можно рассматривать как численную оценку лотереи, а саму функцию — как обобщенный критерий на множестве лотерей.

Возникает законный вопрос — можно ли "придумать"другой способ сравнения лотерей? С логической точки зрения здесь наиболее естественным является аксиоматический путь, впервые примененный для решения указанной проблемы Нейманом и Моргенштерном [41].

В схематическом виде подход Неймана и Моргенштерна состоит в следующем. Пусть на множестве лотерей [, ] задано некоторое отношение предпочтения, устанавливающее полное ранжирование этого множества (то есть для выполняются аксиомы линейности и транзитивности).

Справедлив следующий результат.

Теорема 10.1.

{ [0, 1] : (2) Если 1 * 2, то при любой лотерее [, ] выполняется 1 +(1) * 2 +(1).

1) существует заданная на множестве лотерей числовая функция, обладающая свойствами:

b) функция является линейной.

2) Если 1 — некоторая числовая функция, заданная на множестве лотерей, удовлетворяющая условию линейности и представляющая отношение , то найдутся такие постоянные,, Поясним содержательный смысл утверждений 1) и 2). Отождествляя исход [, ] с лотереей, можем считать, что [, ] [, ]. Пусть — ограничение функции на множестве [, ], а — линейное продолжение функции на множество лотерей. Так как функции и обе линейны и совпадают на [, ], то =. Назовем функцией полезности исходов, а ее линейное продолжение — функцией полезности лотерей. Согласно a) Таким образом, утверждение 1) теоремы 10.1 означает, что всякое предпочтение, задающее полное ранжирование множества лотерей и удовлетворяющее аксиомам (1) и (2), совпадает с предпочтением, которое устанавливается по величине ожидаемой полезности лотерей для некоторой функции полезности исходов.

Утверждение 2) теоремы 10.1 означает, что измерение предпочтения выполняется в интервальной шкале: оно определяется однозначно фиксированием масштаба и начала отсчета.

5. Рассмотренный в предыдущих пунктах данной лекции способ сравнения денежных лотерей может быть — с небольшими модификациями — перенесен на лотереи, выигрыши в которых не имеют денежного выражения. Возьмем в качестве примера неденежного показателя такой показатель, как время. Для использования критерия ожидаемой полезности основным является введение понятия детерминированного временного вивалентом лотереи (обозначается через ), называется промежуток времени, который для принимающего решение эквивалентен его участию в этой лотерее.

Как и в случае лотерей с денежными исходами, нахождение произвольной лотереи с временными исходами может быть сведено к нахождению некоторых простых лотерей, причем "связующим звеном"здесь является построение кривой временных эквивалентов, являющейся графиком функции временной полезности.

Замечание. Так как принимающий решение обычно стремится уменьшить временной показатель, то для того, чтобы кривая временных эквивалентов имела такой же вид, как и кривая денежных эквивалентов, надо от переменной перейти к новой переменной по формуле = или =, где — некоторая константа. В этом случае целью принимающего решение будет увеличение показателя.

Задача № 13: Сравнение качества обслуживания станции скорой помощи.

Оценкой качества (быстроты) обслуживания для станции скорой помощи будем считать время реагирования на вызов, то есть время, проходящее с момента получения вызова до момента выезда бригады скорой помощи. На основании статистических данных, относящихся к определенному периоду времени (например, месяцу), время реагирования может быть представлено в виде дискретной случайной величины (лотереи) = ( = 1,..., ), где — фактическое время реагирования (в минутах), — доля случаев, в которых наблюдалось время реагирования. Сравнение качества обслуживания двух станций скорой помощи сводится к сравнению соответствующих им случайных величин.

Рассмотрим в качестве упрощенного примера две станции, характеризуемые случайными величинами Какая из этих станций быстрее реагирует на вызовы?

Воспользуемся вначале критерием математического ожидания. Для первой станции 1 = 5·0.3+10·0.5+25·0.2 = 11.5; для второй станции 2 = 8 · 0.1 + 13 · 0.8 + 18 · 0.1 = 13. Итак, по критерию математического ожидания первая станция работает лучше второй. Заметим, что здесь математическое ожидание фактически дает среднее время реагирования;

таким образом, у первой станции среднее время реагирования на 1.5 мин меньше, чем у второй. Однако, можно ли считать среднее время реагирования адекватной характеристикой качества (быстроты) работы станции скорой помощи? По–видимому, ответ на этот вопрос должен быть отрицательным. Дело в том, что при подсчете среднего времени реагирования может происходить эффект компенсации "плохих"показателей "хорошими". Например, для первой станции среднее время реагирования составляет 11.5 мин, однако в 20% случаев фактическое время реагирования превышает этот показатель более чем вдвое (компенсация 20% "плохих"показателей произошла за счет 30% "хороших"). Однако в реальности такая компенсация не происходит: для тех 20% больных, для которых время реагирования составило 25 минут, исход мог оказаться трагическим. С точки зрения контролирующего органа, оценивающего работу станций скорой помощи, превышение некоторого стандарта (пороговой величины) является крайне нежелательным. Допустим, пороговое время реагирования составляет 15 мин; тогда, чтобы оценить простых лотерей, перейдем к новой временной переменной = 15.

Величина указывает в каждом конкретном случае — насколько этот случай улучшает пороговое время реагирования (если > 0) или насколько он ухудшает его (если < 0). Составим таблицу пересчета временной переменной (таблица 10.1) и перейдем от случайных величин и 2 к случайным величинам 1 = 15 1 и 2 = 15 2 :

Далее, принимающий решение должен указать некоторых простых лотерей на временном интервале [10, 10]. С учетом нежелательности ухудшения порогового времени реагирования (то есть нежелательности отрицательных значений переменной ), зададим простых лотерей при значениях параметра = 0.5; 0.25; 0.75 следующим образом:

Теперь строим кривую временных эквивалентов по 5–ти точкам, см. рис.

10.7. Используя правило 10.4 (с заменой на ), находим ожидаемые полезности лотерей 1 и 2 :

Таким образом, ([2 ]) > ([1 ]), то есть по критерию ожидаемой полезности лучшей должна быть признана вторая станция. Содержательно этот факт может быть объяснен следующим образом: хотя вторая станция имеет худшее среднее время реагирования, у нее меньший процент нежелательных отклонений от порогового времени реагирования, причем сами эти отклонения являются меньшими по величине.

Тест для самоконтроля к лекции 1. Денежная сумма, которая для принимающего решение эквивалентна его участию в лотерее, называется....

Варианты ответов: Выигрышем в этой лотерее Детерминированным денежным эквивалентом лотереи 2. Ожидаемый выигрыш в простой лотерее является... функцией от параметра p этой лотереи.

Варианты ответов: Линейной 3. Несклонность принимающего решение к риску выражается условием:

Варианты ответов: ДДЭ =, где = 4. Укажите, каким из перечисленных ниже свойств обладает функция полезности ():

Варианты ответов: () определена на полусегменте [0, ) 5. Полезность денежной суммы, где, совпадает... в простой лотерее с выигрышами и, участие в которой эквивалентно для принимающего решение получению денежной суммы.

Варианты ответов: Со средним выигрышем 6. Если принимающий решение не склонен к риску, то его функция полезности является....

Варианты ответов: Выпуклой 7. Если принимающий решение склонен к риску, то его функция полезности является....

Варианты ответов: Выпуклой 8. Если принимающий решение безразличен к риску, то его функция полезности является....

Варианты ответов: Выпуклой 9. полезность ДДЭ лотереи совпадает с....

Варианты ответов: Ожидаемой полезностью этой лотереи Полезностью среднего арифметического в этой лотерее 10. Совпадает ли сравнение лотерей по ожидаемому выигрышу и ожидаемой полезности?

Варианты ответов: Да, всегда;

Лекция Использование смешанных стратегий как способ уменьшения риска Основные вопросы: 1. Понятие смешанной стратегии. Стандартный симплекс. Способы реализации смешанной стратегии. 2. Снижение риска при использовании смешанных стратегий. Задача условной минимизации риска. 3. Портфель ценных бумаг (портфель инвестора), его структура и эффективность. Способы снижения риска при формировании портфеля ценных бумаг. 4. Задача № 14: Задача об оптимальном портфеле.

1. Один из способов уменьшения риска состоит в использовании так называемых смешанных стратегий. Рассмотрим задачу принятия решения, в которой имеется альтернатив 1,...,, называемых также чистыми стратегиями или просто стратегиями.

Определение. Смешанной стратегией называется –компонентный вероятностный вектор, то есть вектор = (1,..., ), где 0, При этом чистая стратегия = 1,..., отождествляется со смешанной стратегией (0,..., 1,..., 0), где 1 стоит на –м месте. Множество всех –компонентных вероятностных векторов образует (1)–мерный стандартный симплекс, который обозначается далее через.

1–мерный стандартный симплекс геометрически может быть представлен в виде отрезка (рис. 11a): любая точка отрезка 1 2 единственным образом записывается в виде: = 1 1 + 2 2, где 1, 0 и 1 + 2 = 1. Аналогично, 2–мерный симплекс геометрически может быть представлен в виде треугольника (рис. 11b), так как любая точка треугольника записывается в виде: = 1 1 + 2 2 + 3 3, где 1, 2, 3 0 и 1 + 2 + 3 = 1. При этом числа (1, 2, 3 ) называются барицентрическими координатами точки в симпликсе 1 2 3.

Например, центр треугольника (точка пересечения медиан) имеет барицентрические координаты (1/3, 1/3, 1/3); барицентрические координаты некоторых точек треугольника 1 2 3 указаны на рис. 11b.

В задачах принятия решений смешанная стратегия = (1,..., ) может быть реализована одним из следующих способов.

1) Вероятностный способ состоит в том, что принимающий решение выбирает одну из альтернатив 1,..., не путем явного указания, а случайно, причем так, что есть вероятность выбора альтернативы.

2) Физическая смесь стратегий получается тогда, когда возможно "смешивание"альтернатив (эта возможность определяется физической природой альтернатив). В этом случае вектор (1,..., ) соответствует физической смеси чистых стратегий, в которой есть доля –х чистых стратегий.

3) Статистический способ может быть реализован в том случае, когда решение принимается многократно. Тогда –я компонента вектора указывает частоту использования –й чистой стратегии.

2. Рассмотрим применение смешанных стратегий для ЗПР в условиях риска. Как мы видели выше (см. лекцию 9, п.1), в таких задачах исходом для принимающего решение при выборе [ альтернативы = 1,..., является случайная величина вида =. По–прежнему ее математическое ожидание (ожидаемое значение) обозначаем через, дисперсию через, среднеквадратичное отклонение через. Если принимающий решение использует смешанную стратегию = (1,..., ), то исходом, соответствующим этой смешанной стратегии, будет случайная величина =. Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Используя простейшие свойства математического ожидания, получаем:

Для отклонения случайной величины от ее ожидаемого значения выполняется откуда получаем выражение для дисперсии:

Вводя обозначения = [( )( )], получаем окончательно:

Числа называются показателями ковариации для случайных величин и. Итак, имеем следующее быть представлена в виде квадратичной формы (11.2), коэффициентами которой являются показатели ковариации, а переменными — компоненты вероятностного вектора = (1,..., ).

Формула (11.2) может быть сделана более "прозрачной если перейти от показателей ковариации к коэффициентам корреляции. Напомним, что коэффициентом корреляции между случайными величинами и Как известно, коэффициент корреляции показывает степень связи случайных величин и. Рассмотрим один частный случай формулы (11.4) — когда случайные величины ( = 1,..., ) попарно независимы.

В этом случае они не коррелированны, то есть при = имеет место = 0, а при = получаем откуда Применим теперь полученные выше формулы для выяснения целесообразности использования смешанных стратегий в ЗПР в условиях риска. Как показывает формула (11.1), использование смешанных стратегий с целью повышения ожидаемого выигрыша бесполезно. В самом деле, пусть * — та чистая стратегия, на которой величина = достигает максимума. Согласно (11.1) Таким образом, при применении любой смешанной стратегии ожидаемый выигрыш будет не больше, чем ожидаемый выигрыш при применении чистой стратегии *.

Оценим теперь величину показателя риска при использовании смешанной стартегии. Так как величина показателя риска зависит от степени корреляции между случайными величинами ( ) ( = 1, ) (см. формулу 11.4), то далее мы рассмотрим три характерных случая.

1) Случайные величины ( ) попарно некоррелированны ( = 0 при всех =, где, = 1,..., ). Возьмем, например, в качестве смешанной стратегии равномерно распределенную стратегию (то есть = 1/ для = 1,..., ). Тогда согласно (11.5) Отсюда, полагая = max, имеем Так как с ростом дробь / неограниченно уменьшается, приходим к следующему важному выводу.

Правило 11.2. Для ЗПР в условиях риска в которой, случайные величины ( ) не коррелированны, применение смешанных стратегий ведет к уменьшению риска. В частности, если все дисперсии ( ) = 1, ограничены в совокупности некоторой константой, то при риск стремится к нулю.

Поясним сформулированное правило на следующем примере.

Пример 11.1. Рассмотрим ЗПР в условиях риска, заданную таблицей 11.1.

Пусть ( ) — смешанная стратегия, в которой первые стратегий из 1,..., выбираются равновероятно, а остальные стратегии входят с нулевыми вероятностями (то есть отбрасываются). Согласно (11.1) и (11.5) МО и СКО случайной величины, возникающей при использовании смешанной стратегии, определяются равенствами Так, для примера 11.1 при смешанной стратегии 2 = (1/2, 1/2, 0, 0, 0) представлены показатели и для смешанных стратегий, = 1, 2, 3, 4, 5. Из нее наглядно видно, что при увеличении числа "смешиваемых"стратегий незначительное уменьшение ожидаемого выигрыша сопровождается устойчивым снижением риска.

2) Случай полной прямой корреляции ( = 1 для всех, = 1,..., ).

Тогда согласно (11.4) откуда Пусть min достигается при = 0, а max — при = *. Тогда согласно (11.8) откуда Итак, в случае полной прямой корреляции использование смешанных стратегий с целью снижения риска бесполезно. Действительно, согласно (11.8) получающийся при смешивании стратегий показатель риска есть взвешенная сумма показателей риска ; риск при применении любой смешанной стратегии будет не меньше, чем наименьший из рисков, соответствующих чистым стратегиям, и поэтому при он не будет стремиться к нулю.

3) Случай полной обратной корреляции ( = 1 при = ). Возьмем для простоты пример, когда имеются всего две альтернативы, то есть = 2. Тогда согласно (11.4) Отсюда получаем Таким образом, в этом случае риск может быть полностью исключен при использовании смешанной стратегии = (1, 2 ), компоненты которой обратно пропорциональны показателям риска для случайных величин 1 и 2.

Вернемся теперь к общему случаю — когда между случайными величинами ( ) = 1, имеется корреляция, но она не является полной.

Тогда при применении смешанной стратегии = (1,..., ) величина показателя риска находится по общей формуле (11.3), использование которой предполагает знание показателей ковариации (или коэффициентов корреляции ). Если матрица ковариаций ( ),=1, нам известна, то возникает следующая Задача. При какой смешанной стратегии риск минимален?

Математически эта задача разрешима (так как целевая функция (11.3) определена на замкнутом ограниченном множестве и непрерывна на нем, ее минимум достигается на по теореме Вейерштрасса, см. лекцию 3). Однако с экономической точки зрения ее решение не представляет интереса, так как стратегия, минимизирующая риск, может привести к очень маленькому ожидаемому выигрышу. Помня о том, что осторожный экономист стремится к увеличению ожидаемого выигрыша и одновременному снижению риска, необходимо рассматривать ЗПР в условиях риска как 2–критериальную задачу и использовать здесь методы многокритериальной оптимизации (см. лекцию 9). Естественным здесь является такой подход, когда по критерию ожидаемого выигрыша — как более "осязаемому— назначается нижняя граница 0 и ищется стратегия, которая обеспечивает ожидаемый выигрыш 0 с минимальным возможным риском. Таким образом, решается задача условной минимизации риска при дополнительном условии, наложенном на величину ожидаемого выигрыша.

При возможности использования смешанных стратегий получаем следующую математическую задачу: Найти минимум функции (11.3) при Сформулированная задача является задачей квадратичного программирования, для решения которых имеются специальные методы.

3. Важным примером экономической реализации принципа "смешивания"стратегий является способ распределения капитала на рынке ценных бумаг. Обычно на рынке обращается множество видов ценных бумаг.

Курсовая стоимость ценных бумаг каждого вида зависит от большого числа разнообразных факторов и может рассматриваться как случайная величина.

Предположим, что на рынке имеется видов ценных бумаг 1,...,.

Если инвестор вложит весь инвестиционный капитал в ценные бумаги одного вида = 1,...,, то исходом для инвестора будет некоторая случайная величина, значения которой определяются курсовой стоимостью ценных бумаг –го вида и величиной вложенного капитала. Эта случайная величина может быть охарактеризована парой показателей (, ), где — ее математическое ожидание (то есть ожидаемый доход) и — среднеквадратичное отклонение (показатель риска). Но обычно инвестор вкладывает наличный капитал не в один, а в несколько видов ценных бумаг, составляющих так называемый портфель инвестора. Предположим, что инвестор распределил свой капитал между ценными бумагами видов 1,...,, причем доля капитала, вложенного в ценные бумаги –го вида, равна (по смыслу 0, = 1). В терминах п.1. это означает, что инвестор использует смешанную стратегию = (1,..., );

тогда исход для него может быть представлен в виде случайной величины =, для которой ее характеристики и находятся по формулам (11.1) и (11.3).

Итак, структура портфеля инвестора определяется вектором = (1,..., ), а эффективность портфеля характеризуется векторной оценкой (, ), где = () — ожидаемый доход (доход портфеля) и = () — показатель риска (риск портфеля). Получаем в итоге 2– критериальную ЗПР, для которой множество ее альтернатив может быть отождествлено с множеством точек стандартного симплекса, а критерии () и () определены равенствами Здесь множество векторных оценок есть {( (), ()) : } — оно является непрерывным, то есть "заполняет"некоторую область на плоскости переменных (, ). Таким образом, получаем в данном случае непрерывную задачу 2–критериальной оптимизации с критериями () и ().

Нашей целью является нахождение способов снижения риска при формировании портфеля ценных бумаг. Как мы видели выше (см. п.2), в задаче принятия решения в условиях риска применение смешанных стратегий может привести к уменьшению риска; эта возможность определяется характером корреляции между случайными величинами ( ). Выясним структуру ЗПР, возникающей в данном случае. В качестве альтернатив инвестора (множества чистых стратегий) здесь выступают виды ценных бумаг 1,...,. Что выступает здесь в качестве состояний среды? Так как при фиксированном капитале инвестора его доход при выборе им – й альтернативы (то есть при вложении всего капитала в ценные бумаги –го вида) будет определяться курсовой стоимостью ценных бумаг –го вида, то в качестве состояний среды здесь можно рассматривать будущие значения курсовых стоимостей ценных бумаг всех видов.

Разумеется, на момент принятия решения будущие значения курсовых стоимостей ценных бумаг инвестору неизвестны. Существенным здесь является то, что их можно трактовать как некоторые случайные величины. Именно это обстоятельство позволяет считать нашу задачу задачей принятия решения в условиях риска.

Найдем теперь в явной форме исход, который получается при выборе инвестором –ой чистой стратегии. Пусть — курсовая стоимость ценных бумаг –го вида, — начальная курсовая стоимость ценных бумаг –го вида (на момент принятия решения). Разность = представляет собой изменение курсовой стоимости ценных бумаг –го вида, причем условие > 0 соответствует повышению курсовой стоимости, условие < 0 — понижению курсовой стоимости, и = 0 — сохранению курсовой стоимости.

В качестве исхода для инвестора при выборе им чистой стратегии = 1,..., можно рассматривать = /, то есть величину изменения курсовой стоимости ценных бумаг –го вида, отнесенную к ее начальной курсовой стоимости.

Проанализируем характер корреляции между случайными величинами и. Говорят, что между случайными величинами и имеется положительная корреляция, если всякое увеличение курсовой стоимости ценных бумаг –го вида сопровождается увеличением курсовой стоимости ценных бумаг –го вида; отрицательная корреляция, если всякое увеличение курсовой стоимости ценных бумаг –го вида сопровождается уменьшением курсовой стоимости ценных бумаг –го вида.

Замечание. Отметим, что изменение курсовой стоимости ценных бумаг одного вида само по себе не является причиной изменения курсовой стоимости ценных бумаг другого вида. Истинной причиной изменения курсовых стоимостей ценных бумаг служат внешние события макроэкономического и политического характера (такие, как изменения законодательства, изменения цен на энергоносители, внедрение новых технологий, договора между крупными корпорациями, наступление "крупномасштабных"несчастных случаев, стихийные бедствия и т.п.). Однако, экономическая реальность такова, что подобные изменения внешних факторов приводят, как правило, к синхронному изменению курсов ценных бумаг.

Правило 11.3. Предположим, что курсовые стоимости ценных бумаг видов и связаны таким образом, что всякое приращение курсовой стоимости ценных бумаг вида сопровождается пропорциональным приращением курсовой стоимости ценных бумаг вида (с некоторым коэффициентом пропорциональности = 0). Тогда a) при > 0 для и имеет место полная прямая корреляция;

b) при < 0 для и имеет место полная обратная корреляция.

Доказательство. В нашем случае выполняется равенство = Последняя дробь есть некоторая постоянная, откуда =. Получаем, что случайные величины и связаны линейной зависимостью; это эквивалентно условию, что корреляция является полной. Для завершения доказательства остается заметить, что знак совпадает со знаком На основании результатов, изложенных в п.2, получаем:

A) При выполнении условия =, где > 0 (случай полной прямой корреляции) "смешивание"ценных бумаг видов и не приводит к уменьшению риска;

B) При выполнении условия =, где < 0 (случай полной обратной корреляции) "смешивание"ценных бумаг видов и в отношении обратной пропорциональности показателям рисков и сводит риск до нуля.

В заключение данного пункта следует отметить, что в экономической реальности наличие полной корреляции, так же как и полное отсутствие корреляции — явления достаточно редкие. Типичной является такая ситуация, когда между курсами ценных бумаг существует корреляция, выражаемая в виде пропорциональности приращений курсовых стоимостей с некоторым переменным коэффициентом пропорциональности.

Приближенные значения коэффициентов корреляции между курсами ценных бумаг могут быть получены на основании сведений о биржевом курсе ценных бумаг (такие сведения регулярно публикуются в странах с развитой рыночной экономикой).

4. Задача № 14. Задача об оптимальном портфеле.

При какой структуре портфеля следует считать его оптимальным?

В силу наличия двух критериев оценки — ожидаемого дохода и риска, — которые не сведены в один обобщенный критерий, однозначный ответ на этот вопрос невозможен (см. лекцию 5). Необходимым условием оптимальности портфеля является условие оптимальности по Парето.

Содержательно оптимальность некоторого портфеля по Парето означает, что не существует другого портфеля, который имеет такой же (или больший) ожидаемый доход при меньшем (или таком же) риске.

Однако обоснованный выбор одной (оптимальной) альтернативы из множества альтернатив, оптимальных по Парето — представляет собой сложную проблему, для решения которой требуется дополнительная информация о соотношении между собой критериев и. Более простая задача — сужение Парето–оптимального множества — может быть решена, например, на базе субоптимизации (см. лекцию 5, п.3), которая принимает здесь следующий вид. Зададим некоторое пороговое значение 0 для ожидаемого дохода и среди всех альтернатив будем искать такую, которая обеспечивает ожидаемый доход 0 с наименьшим возможным риском.

Формально такая постановка сводится к следующей математической задаче: Найти минимум функции () вида (11.11) при ограничениях () = 0 и. Итак, получается задача нахождения экстремума функции переменных при наличии ограничений. Решение такой задачи существенно упрощается, когда ограничения принимают вид равенств — тогда получается задача нахождения условного экстремума функции (см. лекцию 3, п.3). В нашем случае этого можно добиться,если отбросить условие неотрицательности переменных ( = 1,..., ) — тогда Предположим, что вектор * = (*,..., * ) является решением указанной задачи. Каков содержательный смысл компонент вектора * ? Может быть три случая. 1) * = 0. Тогда в ценные бумаги –го вида капитал вкладывать не надо. 2) * > 0. Тогда в ценные бумаги –го вида следует вложить * –ю долю наличного капитала инвестора. 3) * < 0. Тогда инвестору следует взять в долг дополнительный капитал в размере |* |-й доли капитала инвестора.

Замечание. Для практического решения задачи об оптимальном портфеле требуются данные в виде вектора ( )=1, — вектора ожидаемых доходов от ценных бумаг каждого вида, а также матрицы ( )(,=1,) — матрицы ковариаций. Приближенно эти данные могут быть получены на основании сведений о биржевом курсе ценных бумаг.

Тест для самоконтроля к лекции 1. Пусть имеются 3 чистые стратегии: {1, 2, 3}. Укажите какие векторы задают смешанные стратегии:

Варианты ответов: (1/2, 1/2, 1/2) 2. Отрезок AB разделен на три равные части(см. рис). Расположите точки,, 1, 2 в порядке указанной записи их барицентрических координат: (0, 1), (1/3, 2/3), (2/3, 1/3), (1, 0).

Варианты ответов: (,, 1, 2 ) 3. Можно ли в ЗПР в условиях риска повысить ожидаемый выигрыш с помощью использования смешанных стратегий?

Варианты ответов: Да, можно всегда;

4. Снижает ли риск использование смешанных стратегий в случае полной прямой корреляции между случайными величинами?

Варианты ответов: Да, снижает всегда;

5. Можно ли снизить риск использованием смешанных стратегий в случае полной обратной корреляции?

Варианты ответов: Да, риск может быть полностью исключен;

6. Существует ли в ЗПР в условиях риска смешанная стратегия, минимизирующая риск?

Варианты ответов: Да, существует всегда;

7. Задача условной минимизации риска состоит в минимизации риска при условии....

Варианты ответов: Максимизации ожидаемого выигрыша;

8. Структура портфеля инвестора определяется вектором = (1,..., ), где – это....

Варианты ответов: Количество ценных бумаг вида ;

9. Между ценными бумагами видов и имеет место полная прямая корреляция, если всякое повышение курсовой стоимости ценных бумаг вида сопровождается....

Варианты ответов: Повышением курсовой стоимости ценных бумаг вида ;

10. Между ценными бумагами видов и имеет место полная обратная корреляция, если всякое понижение курсовой стоимости ценных бумаг вида сопровождается....

Варианты ответов: Повышением курсовой стоимости ценных бумаг вида ;

Лекция Принятие решения в условиях риска с возможностью проведения эксперимента Основные вопросы: 1. Эксперемент как средство уточнения истинного состояния среды. 2. Идеальный эксперимент; нахождение максимально допустимой стоимости идеального эксперимента. 3. Байесовский подход к принятию решения в условиях риска. 4. Задача № 15: Бурение нефтяной скважины.

1. При принятии решения в условиях неопределенности (или в условиях риска) принципиальная сложность выбора решения возникает из– за незнания принимающим решение истинного состояния среды. В этом разделе мы рассмотрели для ЗПР в условиях неопределенности и риска несколько типов критериев, каждый из которых по–своему "борется"с неопределенностью: с помощью выдвижения гипотезы о поведении среды (критерий Лапласа, Вальда, Гурвица, Сэвиджа); с помощью усреднения получаемых выигрышей (критерий ожидаемого выигрыша); с помощью учета как ожидаемого выигрыша, так и меры отклонения от него (обобщенный критерий (, )); на базе субъективного отношения принимающего решение к риску (критерий ожидаемой полезности). Однако, каждый из этих подходов дает лишь способ рационального анализа неопределенности, не "уничтожая"самой неопределенности. "Уничтожение"(или хотя бы уменьшение) неопределенности может быть произведено только на основе уточнения истинного состояния среды. На практике такое уточнение осуществляется, как правило, при помощи сбора дополнительной информации, а также с помощью проведения экспериментов, по результатам которых судят об имеющемся состоянии среды.

Например, прежде, чем приступить к лечению больного при неясном диагнозе, врач проводит дополнительные анализы; прежде, чем бурить дорогостоящую нефтяную скважину, геолог производит сейсморазведку;

прежде, чем наладить производство какого–либо товара, предприниматель изготавливает пробную партию этого товара и т.д. В рамках теории принятия решений все эти действия означают не что иное, как проведение эксперимента с целью уточнения состояния среды.

Эксперимент называется идеальным, если по его результату принимающий решение узнает истинное состояние среды. На практике наличие идеального эксперимента — явление достаточно редкое. Чаще всего результат эксперимента дает некоторую информацию, на основе которой может быть произведено уточнение состояния среды. Например, в ситуации с неясным диагнозом о наличии болезни (A), ответ — после проведения дополнительного анализа — будет не "у больного заболевание (A) а, скажем, "у больного повышенный лейкоцитоз". При желании врач может воспользоваться статистическими данными, из которых он узнает, например, что повышенный лейкоцитоз у людей с заболеванием (A) наблюдается в 70% случаев, но его повышение может вызываться и другими заболеваниями.

Как использовать результаты эксперимента и имеющиеся статистические данные при принятии решений наиболее эффективно? В п. 3 данной лекции рассматривается одна из методик, направленная на решение этой проблемы. Эта методика основана на формуле Байеса — формуле переоценки вероятностей событий с учетом результата проведенного эксперимента.

Отметим, что не для всякой задачи принятия решения эксперимент является возможным. Если для некоторой ЗПР эксперимент возможен, то возникает задача оценки целесообразности его проведения. Дело в том, что проведение эксперимента всегда требует затрат (материальных, организационных, временных и пр.). Соотнесение той дополнительной выгоды, которую мы ожидаем получить от дополнительной информации, приобретаемой в результате эксперимента, и затрат на его проведение — в этом и состоит суть проблемы целесообразности проведения эксперимента.

Следует иметь в виду, что особенно существенной является возможность проведения эксперимента для "уникальных"задач принятия решений, то есть таких, в которых решение принимается только один раз и связано с большими материальными затратами.