Федеральное агентство по образованию

Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Самарский государственный технический

университет»

В.П. Стариков

Н.Г. Кац

Физико-математические методы в

нефтяной технологии

МОСКВА 2007

МАШИНОСТРОЕНИЕ-1 3 В.П. СТАРИКОВ, Н.Г. КАЦ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

В НЕФТЯНОЙ ТЕХНОЛОГИИ

Учебное пособие Допущено Учебно-методическим объединением вузов Российской Федерации по нефтегазовому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности 130603 «Оборудование нефтегазопереработки» направления подготовки дипломированных специалистов 130600 «Оборудование и агрегаты нефтегазового производства»

Машиностроение – Москва УДК 665. ББК 35. Физико-математические методы в нефтяной технологии: Учебное пособие Стариков В.П., Кац Н.Г.

М.: Машиностроение – 1, 2007. 152с.

ISBN 978-5-94275-329- Даны общие сведения об оптимизации применяемых решений при конструировании оборудования нефтегазопереработки, методы оптимального проектирования емкостного оборудования с учетом эксплуатационных факторов и некоторые закономерности в области технологии. Приведены примеры решения формализованных инженерных задач. Предназначены для студентов всех форм обучения, занимающихся расчетами и проектированием нефтяного оборудования.

Ил. 44. Табл. 4. Библиогр.: 19 назв.

Рецензенты: генеральный директор «Самаранефтехимпроект» д.т.н. Лесухин С.П.; заведующий кафедрой «Физика» д.ф-м.н. профессор Штеренберг А.М.

ISBN 978-5-94275-329-0 © В.П. Стариков, Н.Г. Кац, © Машиностроение-1,

СТАРИКОВ ВИКТОР ПЕТРОВИЧ

КАЦ НИКОЛАЙ ГРИГОРЬЕВИЧ

Физико-математические методы в нефтяной технологии Редактор Т.И. З а б о л о ц к а я Технический редактор Т.И. З а б о л о ц к а я Подписано в печать 13.04. Формат 60 х 84 1/16. Бумага офсетная.

Печать офсетная Усл. п.л. 6,46. Усл. кр.-отт. 6,46.

Тираж 1000. С. _ Машиностроение- 107076, г. Москва, Стромынский пер., 4/ Отпечатано в типографии Самарского государственного технического университета 443100, г. Самара, Молодогвардейская, 244, корпус 8.

В.П. СТАРИКОВ Н.Г. КАЦ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ

МЕТОДЫ В НЕФТЯНОЙ ТЕХНОЛОГИИ

Курс “Физико-математические методы в нефтяной технологии” является первой естественнонаучной дисциплиной специализации, поэтому целью данного курса является изложение теоретических основ и рассмотрение практических методов решения наиболее простых, но достаточно информативных инженерных задач. Для успешного изучения представленного материала необходимы знания основных разделов ранее освоенных дисциплин общетеоретического цикла: высшей математики, физики, теоретической механики и пр.

Курс построен в виде теоретического рассмотрения общеинженерных проблем и решения, конкретно сформулированных инженерных задач из области химической техники, расчета и проектирования нефтяного оборудования, выбора оптимального варианта решения какой-либо проблемы и т.д.

На практических занятиях большое внимание уделяется приобретению студентами навыков в самостоятельном решении инженерных задач, для этого они должны индивидуально изучать научно-техническую литературу, повторять разделы ранее пройденных дисциплин, уметь использовать ПЭВМ. Таким образом, при определенной математической подготовке студента становится возможным проследить всю цепочку инженерных действий, начиная от момента постановки задачи до получения готового решения.

Глава

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ФИЗИКОМАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ

1.1. Конструктивные особенности химической техники.

Влияние параметров процесса на форму и размеры технологического оборудования Анализ требований, предъявляемых к оборудованию химических производств, позволяет установить основные факторы, определяющие выбор как самой конструкции, так и ее размеров, а также конструкционный материал. Этими факторами являются:

- технологический процесс, проводимый в агрегате;

- нагрузки, действующие на узлы и детали при осуществлении технологического процесса;

- способ изготовления элементов машин и аппаратов;

- эксплуатационные требования к оборудованию.

В зависимости от выбранного технологического процесса определяются температура и давление внутри аппарата, а также состав и характер среды. Эти факторы в свою очередь влияют на исполнительные размеры, соответствующих аппаратов и машин, конструкция которых определяется наиболее целесообразным способом и конструктивными условиями осуществления необходимого технологического процесса, а также на выбор используемого конструкционного материала и способы защиты от коррозии.

При осуществлении технологического процесса на элементы конструкции действуют нагрузки, которые могут быть постоянными или незначительно меняющимися во времени и переменными или циклическими. Характер нагрузки влияет на методы изоляции от вибрации и т.д.

В зависимости от способа изготовления выбирается конструкционный материал и геометрическая форма аппарата.

Эксплуатационные требования также накладывают отпечаток на конструкцию. Например, необходимость проведения ремонтов внутренних элементов обусловливает устройство люков-лазов и разъемных соединений корпуса.

Для ускорения и облегчения процесса проектирования оборудования и сокращения сроков проведения ремонта проводятся унификация и стандартизация отдельных элементов и аппаратов в целом.

Стандартизированными являются многие детали и узлы, такие, как люки, штуцера, фланцы, трубы, крепежные детали и др. Стандартами устанавливается ряд предпочтительных размеров валов, диаметров цилиндрических аппаратов, объемов для емкостных аппаратов, ряд условных давлений для аппаратов и фланцевых соединений, ряд грузоподъемностей и т.д.

1.2. Критерии оптимизации и оптимальное проектирование машин и аппаратов При проектировании перед конструктором всегда стоит задача выбора одного варианта из нескольких возможных, т.е.

выбор такого, который представляет наибольший интерес. Выбор должен осуществляться по определенным критериям, называемым критериями оптимизации. Оптимизация может проводиться на различных уровнях, т.е. оптимизации может подвергаться какой-либо параметр – число оборотов барабанной мельницы, соотношение размеров емкостной аппаратуры и др.

Может также осуществляться оптимизация на более высоком уровне (оптимальный выбор аппарата), например выбор типа теплообменника, количества и производительности центрифуг.

Наиболее высоким уровнем оптимизации является оптимизация установки в целом, производства или завода.

Известно, что по величинам, содержащимся в задании на проектирование, нельзя однозначно определить все необходимые размеры и характеристики аппарата. Для того чтобы свести задачу проектирования аппарата к формальному расчету, необходимо к тем величинам, которые названы в проектном задании, добавить ряд других, значения которых, в известной мере, могут быть выбраны конструктором произвольно. Иногда даже опытному конструктору необходимо сделать 5 - 6 вариантов расчета, прежде чем удастся отыскать приемлемые соотношения тех величин, которыми он задается: размер труб, тип днища, диаметр аппарата, число оборотов барабана и т.д. Опыт показывает, что различные комбинации этих величин приводят к существенно неравноценным результатам расчета. В одних случаях получаются эффективные аппараты, в других же малоэффективные или даже практически непригодные конструкции.

Приемлемый вариант почти никогда не удается получить с первой попытки, поэтому конструктор обычно делает прикидку ряда вариантов, отличающихся друг от друга числовыми значениями принимаемых величин. Этот ряд последовательных приближений к проектному варианту в значительной степени подвержен влиянию опыта, интуиции конструктора и других субъективных факторов. Кроме того, само решение задачи, на каком варианте следует остановиться, также во многом носит субъективный характер. Часто оно выражается в терминах "получить хорошие значения скоростей", "получить приемлемые пропорции", "решение конструктивно" и т.п.

Положение можно изменить, если задачу проектирования оборудования формулировать как задачу оптимизации.

При этом все достоинства аппарата выражаются посредством единственной величины – критерия оптимальности, по которой отдается предпочтение одним вариантам перед другими. Например, если в качестве критерия оптимальности принята масса аппарата, то это означает, что из двух других вариантов будет отдано предпочтение тому, у которого масса меньше. При проведении оптимизации расчет будет направлен на поиск такого варианта (из числа допустимых), для которого критерий оптимальности имеет экстремальное значение (наибольшее или наименьшее в зависимости от содержания критерия).

Естественно, направленность такого расчета, а также и его результат зависят от того, насколько принятый критерий соответствует цели проектирования и насколько полно он характеризует достоинства аппарата. При этом необходимо учитывать, что даже весьма совершенные критерии оптимальности все-таки полностью или частично игнорируют многие важные показатели качества аппарата, особенно те из них, которые в настоящее время плохо поддаются или вообще не поддаются формализации (например, такие, как уровень унификации, эргономические, патентно-правовые, эстетические и другие показатели). В таком смысле оптимизация представляет собой более или менее грубую модель творческого процесса поиска инженерного решения. В этом заключаются ее слабые стороны.

Преимущество оптимизации состоит в том, что это строго осознанный метод выбора наилучшего решения проблемы свободный от интуитивных представлений и, следовательно, исключающий промахи. Поэтому, цель любого расчета должна быть четко сформулирована и, иметь количественную оценку. С формальной точки зрения, любой критерий оптимальности аппарата можно считать функцией, зависящей от переменных двух видов:

1) величины, определенные в проектном задании на расчет аппарата z1, z2,..., zm (поскольку в пределах одной задачи эти величины постоянны, их можно отнести к параметрам);

2) величины, варьируемые конструктором в процессе поиска наилучшего варианта х1, х2,..., хn (эти величины в задаче оптимизации играют роль независимых переменных).

Таким образом, критерий оптимальности есть некоторая функция от m параметров и n независимых переменных:

Для конструктора, приступающего к проектированию аппарата, вид этой функции должен быть полностью и однозначно определен. Она почти никогда не бывает настолько очевидной, чтобы ее можно было записать в виде достаточно простой и компактной алгебраической формулы. Однако всегда должен быть известен путь, как по заданным численным значениям всех переменных xi и zi можно получить численное значение критерия оптимальности КО. Иначе говоря, для решения данной задачи должен быть известен некоторый алгоритм расчета, позволяющий определять значение критерия оптимальности.

Следовательно, решение любой задачи оптимизации заключается в том, чтобы найти такие значения независимых переменных:

чтобы f(x*1,...., x*n, z1,..., zn)=min (для определенности будем считать, что значение критерия оптимальности сводится к минимуму).

При этом необходимо помнить, что величины х*1,..., х*n на практике не могут принимать любых значений. Например, теплообменник длиной 30 и диаметром 0,5 м не может быть принят конструктором даже в том случае, если значение критерия оптимальности для него минимально. В этом смысле всегда говорят об условном оптимуме, т.е. нахождении значений независимых переменных, доставляющих минимум критерия оптимальности при одновременном удовлетворении ряда ограничений. Эти ограничения фактически сужают область допустимых значений независимых переменных.

Ограничения могут налагаться как на значения отдельных независимых переменных, так и функций от них. Например, можно потребовать, чтобы диаметр аппарата был в заданных пределах или гидравлическое сопротивление аппарата не превышало максимально допустимого. В данном случае диаметр аппарата является независимой переменной, а гидравлическое сопротивление – сложной функцией ряда величин, часть из которых входит в состав независимых переменных. Такого рода ограничений может быть введено сколь угодно много. В общем случае ограничение можно записать в следующем виде (значения функции Pi принадлежат области Ai), где Pi – функция независимых переменных; Ai – область допустимых значений для функции.

Таким образом, оптимизация аппарата может быть представлена как задача на условный оптимум и сформулирована следующим образом: найти значения х*1,..., х*n, такие, чтобы f(x*1,...., x*n, z1,..., zn)=min при соблюдении k условий вида Из сказанного следует, что при всем многообразии разновидностей задачи оптимизации решение ее должно содержать в себе два основных элемента:

1) реализацию расчета одного (произвольного по численным значениям независимых переменных) варианта аппарата, включая расчет величины критерия оптимальности;

2) изменение вариантов (значений независимых переменных) и их сравнение по величине критерия оптимальности.

В зависимости от конечной цели создания аппарата в качестве критерия оптимальности могут быть приняты различные величины. Так, для транспортных установок часто стремятся иметь наиболее легкие аппараты (здесь критерием оптимальности может быть их масса). При необходимости же размещения аппаратов в ограниченном пространстве в качестве критерия может быть выбран их габаритный объем или какойнибудь из их габаритных размеров. Представление об эффективности проектируемых машин и аппаратов не всегда остается постоянным в ходе решения задачи. Оно может меняться по мере накопления информации и в зависимости от достигнутых результатов.

Основное требование к критерию оптимальности состоит в том, что это должна быть единственная величина, которая, по возможности, наиболее полно отвечает поставленной цели создания аппарата. Требование единственности критерия существенно, так как при решении одной задачи в общем случае невозможно свести к минимуму или максимуму более чем одну величину. Иными словами, нельзя поставить задачу создать, например, такой аппарат, который имел бы минимальный объем и минимальную стоимость одновременно, хотя в некоторых частных случаях и может быть получено такое совпадение. Таким образом, математические модели можно построить для каждого из параметров, но одновременно оптимизировать несколько функций невозможно.

Именно невозможность удовлетворить одновременно более чем одному критерию оптимальности и требует от этой величины наиболее полного соответствия цели создания аппарата.

Выбор вида критерия оптимальности является одним из самых ответственных моментов при оптимизации аппарата, так как от него зависят направленность расчета и результаты выбора окончательного варианта. Обычно оптимизируется одна функция, наиболее важная с точки зрения исследования, при ограничениях, налагаемых другими функциями.

1.3. Математические методы получения целевой функции и поиска оптимального варианта Для того чтобы повысить эффективность выбираемых решений необходимо применить математические методы. Поиск оптимальных решений необходим не только при конструировании емкостной аппаратуры, он необходим для любых проектных и конструкторских работ.

Для практического осуществления поиска оптимального варианта необходимо величины, входящие в критерий оптимальности, выразить через исходные данные и значения независимых переменных, определяющих соотношения размеров аппаратов.

Не следует, однако, думать, что речь идет о получении явной аналитической зависимости между указанными величинами. Получить такую зависимость не всегда возможно и чаще всего нецелесообразно, так как она будет иметь громоздкий и трудно воспринимаемый вид. Однако в этом и нет никакой необходимости. В данном случае достаточно указать путь, следуя которому можно вычислить значение критерия оптимальности для анализируемого варианта.

Организация такого расчета для произвольного варианта является центральной частью для всякого оптимизирующего расчета.

Поиск оптимального варианта осуществляется следующим образом:

1. Принимаются первые значения независимых переменных.

2. По принятым значениям и на основе исходных данных производится расчет данного варианта с определением значения критерия оптимальности.

3. Производится изменение значений независимых переменных и повторение п. 2.

После проведения расчета некоторого числа вариантов и сравнения их по величине критерия оптимизации отыскивается вариант с экстремальным значением критерия, который и является оптимальным для данной задачи.

1.4. Универсальный технико-экономический Для многих установок химических производств такие характеристики, как масса, объем, занимаемая площадь не имеют решающего значения и проектирование аппаратуры для этих систем должно быть подчинено решению основной задачи – обеспечению высокой экономической эффективности. Иными словами, из всех вариантов возможной конструкции машины или аппарата, отвечающих заданным условиям, оптимальным признается экономически наиболее эффективный. Говоря же об оценке эффективности функционирования системы, важно помнить, что речь идет о системе в целом.

Поскольку критерий оптимальности в задаче может быть только один, от него требуется, чтобы он учитывал как можно больше различных характеристик рассматриваемого варианта. Таким критерием при анализе предлагаемого варианта производства или какого-либо нового аппарата может являться универсальный технико-экономический критерий "приведенные затраты". По смыслу – это сумма эксплуатационных и капитальных затрат, отнесенная к одному году нормативного срока окупаемости и, следовательно, наиболее эффективным будет тот вариант, у которого приведенные затраты минимальны.

Тот факт, что в структуре приведенных затрат фигурируют такие фундаментальные экономические величины, как капитальные затраты, эксплуатационные затраты и нормативный срок окупаемости, позволяет применять этот критерий для оптимизации любых производственных установок и конструкций независимо от их особенностей и назначения.

Для нахождения величины приведенных затрат все входящие в них составляющие должны быть выражены через технические характеристики рассматриваемой системы – размеры, массу, потери энергии и т.п.

Таким образом, несмотря на экономическую природу величины приведенных затрат, внутреннее содержание этого критерия является техническим. Иными словами, приведенные затраты представляют собой синтетическую величину, характеризующую технические достоинства конструкции в экономической форме.

Внутреннее содержание составляющих техникоэкономического критерия зависит от конкретной конструкции.

При этом чем полнее учитываются различные категории затрат, тем более обоснованным получается результат оптимизации. Необходимо отметить, что поскольку оптимизация – это сравнительный расчет вариантов, то в критерий оптимальности следует включать лишь те затраты, которые непосредственно влияют на выбор оптимального варианта.

ОПТИМИЗАЦИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ РАЗМЕРОВ

ЕМКОСТНОГО ОБОРУДОВАНИЯ

2.1. Оболочки вращения. Основные понятия Оболочки в виде цилиндров, шаров, эллипсоидов вращения, конусов или их комбинации широко применяются в конструкциях аппаратов на предприятиях нефтяной, нефтеперерабатывающей, химической и других отраслях промышленности. Таковы резервуары для хранения нефти и нефтепродуктов, ректификационные колонны, реакторы, электродегидраторы, отстойники, теплообменники и другие аппараты.

Столь значительное применение оболочек уже издавна заставило ученых и техников обратить внимание на вопросы теории при создании реальных конструкций из оболочек, и еще в XVII в. были предложены первые формулы для их расчета.

Как и во всех областях науки, необходимо, прежде всего, выработать или ввести основные понятия, которые позволят инженерам объясняться на едином языке. Для этого рассмотрим имеющиеся основные сведения по геометрии поверхностей вращения.

Оболочкой вращения называется оболочка, срединная поверхность которой образована вращением какой-либо плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости. Кривая расположена по одну сторону от оси. Так, сфера образована вращением полуокружности вокруг ее диаметра, тор – вращением окружности вокруг прямой, не пересекающей данную окружность, конус – вращением отрезка прямой вокруг пересекающей отрезок оси и т. д.

Срединной поверхностью называется поверхность оболочки, точки которой везде одинаково отстоят от внешней и внутренней поверхности.

Образующей поверхности вращения называется кривая, вращением которой образована срединная поверхность оболочки.

Полюсами оболочки называются точки пересечения поверхности с осью вращения.

Меридиан – это кривая, образованная на поверхности сечением ее плоскостью, проходящей через ось. Очевидно, что меридианы совпадают с образующими. Плоскости, перпендикулярные к оси, пересекают поверхность по кругам, называемым параллельными кругами.

Радиус кривизны меридиана в какой-либо точке поверхности называется первым главным радиусом кривизны поверхности в данной точке R1 (рис. 2.1.).

Радиус кривизны кривой, полученной от пересечения поверхности плоскостью, перпендикулярной к меридиану, называется вторым главным радиусом кривизны поверхности в этой же точке R2. Концы К1 и К2 радиусов кривизны называются центрами кривизны. Второй центр кривизны К2 поверхности вращения лежит, как доказывается в аналитической геометрии, на оси оболочки и оба радиуса находятся на одной прямой, перпендикулярной к поверхности в рассматриваемой точке. Угол между нормалью к поверхности и осью называется широтой рассматриваемой точки.

Все линии, по которым плоскости, проходящие через нормаль к поверхности в данной точке, пересекают поверхность, называются нормальными сечениями. Очевидно, меридиан и кривая, по которой поверхность пересекается плоскостью, нормальной к меридиану, также являются нормальными сечениями и отличаются тем, что из всех нормальных сечений в данной точке они имеют наибольший и наименьший радиусы кривизны.

Если плоскость какого-либо нормального сечения образует угол с плоскостью меридиана, то радиус кривизны R этого сечения определяется следующим соотношением Эйлера:

Если в какой-либо точке R1=R2=R, то радиусы кривизны всех нормальных сечений в этой точке также равны R. Такая точка называется точкой округления. Таковы, например, все точки сферической поверхности и полюсы эллипсоида вращения (сфероида), у которого все нормальные сечения в полюсе являются эллипсами, идентичными эллипсу, вращением которого вокруг его малой оси сфероид образован.

2.2. Определение объемов различных тел Рассмотрим тело произвольной формы (рис. 2.2). Пусть известны площади F(x) всех его сечений, параллельных плоскости R(x – расстояние сечения от плоскости R).

Тогда, из курса высшей математики, объем тела Для примера найдем объем эллипсоида (рис. 2.3 а) – поверхности, представляемой уравнением Сечения этой поверхности плоскостями XOY, XOZ, YOZ являются эллипсами с полуосями а, b и с.

Если все три величины a, b, c различны, то эллипсоид называется трехосным. Если какие-либо две из этих величин равны между собой, то такая поверхность называется эллипсоидом вращения. Другими словами, эллипсоид вращения (рис.

2.3 б) можно определить как поверхность, получаемую равномерным сжатием (или растяжением) сферы к ее экватору (от ее экватора).

Сечение KLKL (см. рис. 2.3 а), параллельное главному эллипсу ВСВС и отстоящее от него на расстояние h = OM, есть эллипс с полуосями (b' ) 2 (c ' ) Объем эллипсоида Когда эллипсоид становится шаром (a = b = c = R), то получаем известную формулу Для тел вращения (рис. 2.4.), т.е. тел, ограниченных поверхностью вращения и двумя плоскостями Р1, Р2, перпендикулярными к оси вращения ОХ, объем может быть определен по формуле где y =f(x) – ордината меридиана АВ.

В качестве примера найдем объем цилиндра, меридиан которого – прямая – представляется уравнением где Н – высота цилиндра.

Р и с. 2.4. Схема к определению объема тел вращения Для расчета объема тора (рис. 2.5.) также может быть использована данная формула:

Объем части тора сечением DCF (рис. 2.10.) будет равен Для вычисления объема сложного вертикального цилиндрического тела, построенного на основании D и ограниченного сверху соответствующей частью поверхности Z=f(x, y), может использоваться также двойной интеграл Если контур области D встречается со всякой пересекающей его вертикальной прямой не более чем в двух точках (М1, М2 на рис. 1.6 а), то область D задается неравенствами где a, b – крайние абсциссы области; 1(x) и 2(x) – функции, выражающие ординаты нижней и верхней граничных линий АМ1В1 и АМ2В2.

В этом случае двойной интеграл вычисляется следующим образом:

Если контур области встречается не более чем в двух точках со всякой пересекающей его горизонтальной прямой, имеем по аналогии (при обозначениях рис. 2.6 б) Р и с. 2.6. Схема к расчету объема сложного тела В более сложных случаях область D разбивают на несколько частей так, чтобы к каждой части были применимы приведенные формулы.

Используя двойной интеграл, найдем объем "цилиндрического копыта", т.е. тела ABCD (рис. 2.7.), отсеченного от полуцилиндра плоскостью ABC, проведенной через диаметр AC основания. Даны радиус основания R = OA и высота копыта h = DB.

Выберем систему координат в соответствии с рисунком.

Уравнение плоскости ABC будет Z y. Имеем По первому способу полагаем Р и с. 2.7. Схема к расчету объема "цилиндрического копыта" Выполнив интегрирование по y, находим треугольников KLM, ODB). Продолжая интегрирование, окончательно получаем следующее:

К аналогичному результату можно прийти и вторым способом.

2.3. Определение поверхностей оболочек Площадь F поверхности, образованной вращением дуги АВ около оси ОХ, выражается интегралом где (А) и (В) – крайние значения параметра, через который выражены координаты. В частности, за параметр удобно принять абсциссу Х, тогда имеем Найдем площадь боковой поверхности прямого кругового конуса (рис. 2.8.) высотой Н с радиусом основания R. КоR нус получается в результате вращения прямой y x вокруг оси ОХ.

Таким же образом рассчитывается площадь поверхности шара или сферы радиусом R. Уравнение образующей окружности х2 + y2 = R2.

Формула для расчета поверхности эллипсоида вращения выводится аналогично (при отношении полуосей m 1):

Площадь части поверхности также можно найти достаточно просто. Пусть некоторый кусок KLM (рис. 2.9.) поверхности S проектируется на область D плоскости XOY (KLM на рисунке), причем в каждую точку N области D проектируется только одна точка N рассматриваемого куска.

Тогда площадь F куска KLM выражается двойным интегралом Р и с. 2.9. Схема к расчету части поверхности В качестве примера найдем площадь части тора с дугой CD (рис. 2.10.), являющегося переходом между цилиндрическим корпусом и коническим или сферическим днищем Аналогично можно найти площадь поверхности копыта (см. рис. 2.7) Р и с. 2.10. Схема торосферического днища Геометрия некоторых тел приведена в табл. 2.1.

2.4. Оптимизация размеров параллелепипеда Пусть из листа жести размерами, а = 1,0 м и b = 0,5 м необходимо изготовить открытую сверху коробку наибольшей вместимости, вырезая по углам квадраты и загибая оставшиеся кромки как показано на рис. 2.11.

Обозначим сторону вырезаемого квадрата через х, тогда объем коробки

ГЕОМЕТРИЯ НЕКОТОРЫХ ТЕЛ

(V – объем тела; Fб – боковая поверхность; F – полная поверхность) Прямой круговой цилиндр Цилиндр, усеченный непаh1 и h2 – наименьшая и наираллельно основанию Прямой круговой цилиндр, усеченный непараллельно (цилиндрическая труба) Прямой круговой конус Усеченный прямой круговой Шаровой сегмент Шаровой слой Шаровой сектор Тор (цилиндрическое кольцо) Эллипсоид вращения "Цилиндрическое копыто" Найдем первую производную от объема и приравняем ее к нулю V' = (-2)(b – 2x)x + (-2)(a – 2x)x + (a – 2x)(b – 2x) = 0.

После упрощения получим уравнение Подставим численные значения величин и решим данное квадратное уравнение, тогда х1 = 0,394 м, х2 = 0,106 м.

Первое решение не имеет физического смысла, так как невозможно при ширине листа 0,5 м вырезать два квадрата, у которых стороны составляют 0,394 м.

Р и с. 2.11. Схема к расчету объема коробки Найдем вторую производную от объема и определим ее знак при значении х Функция имеет максимум, и второе решение является искомым.

2.5. Оптимизация размеров сосудов, работающих В данном случае за критерий оптимизации может быть принята полная поверхность сосуда. Проведем расчет оптимальных размеров цилиндрической емкости с двумя плоскими крышками объемом V (рис. 2.12).

Полная поверхность сосуда составляет По условию оптимальными будут размеры, при которых полученная поверхность сосуда имеет минимальную величину.

Условие оптимальности выполняется при F' = 0, тогда функция имеет минимум.

Аналогичные расчеты легко провести и для цилиндрической емкости с эллиптическими днищами, которые представляют собой полуэллипсоиды вращения (рис. 2.13).

Р и с. 2.13. Схема сосуда с эллиптическими днищами Объем эллиптического днища составляет где Hд – высота днища.

Обозначим отношение полуосей эллипсоида через Объем сосуда с двумя днищами будет Если правая часть последнего уравнения равна нулю, то R принимает значение В этом случае длина цилиндра Н=0 и объем сосуда равен объему днищ, поэтому должно быть R R0.

Полная поверхность сосуда состоит из боковой поверхности цилиндрической части и поверхности двух эллиптических днищ.

Поверхность эллиптического днища, как было показано ранее, составляет Обозначим выражение в скобках через А, тогда полная поверхность емкости Аналогично предыдущему примеру Образуя производную от F по R и приравнивая ее к нулю, получим откуда Вторая производная она положительна при любом значении R. Значит, при R = Rопт поверхность будет минимальной.

При всяком значении R Rопт поверхность сосуда, а значит, и расход материалов будет больше минимальной.

Для корректного решения задачи следует принимать размеры, а именно диаметр емкости, в соответствии со стандартным рядом диаметров аппаратов.

Ниже даны значения А, В и С для наиболее применяемых значений m:

2.6. Геометрия сосудов с торосферическими днищами Днища сосудов этого типа (рис. 2.10.) имеют меридиан с двумя радиусами кривизны, состоящий из дуги окружности АВС с радиусом q и двух дуг окружности CD = AE с радиусом r, имеющих в точках сопряжения А и С общие касательные с дугой АВС. Таким образом, объем днища состоит из объема шарового сегмента АВС, объема части кругового тора с сечением DCF и объема цилиндра ACFG.

Из рис. 2.10. получим Для определения центра О шарового сегмента определим значение р:

Обозначим:

V1 и F1 – объем и площадь шарового сегмента АВС;

V2 – объем цилиндра сечением ACFG;

V3 и F3 – объем и площадь части тора сечением DCF.

Из предыдущих разделов и объем сосуда будет составлять где Н – высота цилиндрической части.

Поверхности отдельных элементов емкости можно подсчитать по следующим формулам:

Полная поверхность емкости составляет Аналогично предыдущим примерам могут быть найдены оптимальные размеры емкости.

2.7. Геометрия сосудов с коническим днищем Обозначим через половину угла при вершине конуса (рис. 2.14.). Имеем. Радиус основания конуса и его высота равны а полная высота днища составляет Р и с. 2.14. Схема конического днища с торовым переходом Объем такого днища равен где V2 и V3 имеют те же значения, что и в случае торосферического днища.

Поверхность днища равна где F3 имеет то же значение, как и в случае торосферического днища, только следует подставить. Дальнейшие расчеты аналогичны предыдущему примеру.

2.8. Задачи оптимизации плоских сечений В некоторых случаях задача оптимизации может быть еще более упрощена. Например, при проектировании подземного газохода от трубчатой печи до дымовой трубы расстояние определяется из условий безопасности и возможности реализации монтажных и ремонтных работ. В этом случае затраты материала на изготовление газохода пропорциональны периметру поперечного сечения.

Рассмотрим возможность оптимального проектирования для газохода с поперечным сечением на рис. 2.15.

Площадь поперечного сечения S определяется количеством дымовых газов и допустимой скоростью их движения. Она обычно задана или может быть рассчитана из условия задачи.

В данной задаче она равна сумме площадей прямоугольника и сегмента круга.

Периметр рассматриваемого сечения равен где L – длина дуги окружности радиусом R = x/2sin.

Подставляя найденные значения соответствующих величин, получим Как и в предыдущих примерах, находим первую производную и приравниваем ее к нулю.

Введем обозначение Окончательно имеем С помощью двух меридиональных и двух конических нормальных сечений (сечений перпендикулярных к меридиану) выделим из оболочки (рис. 2.16 а) элемент размерами dS1 и dS и рассмотрим его равновесие под действием внутреннего давления Р.

Р и с. 2.16. Схема к выводу уравнения Лапласа Введем следующие обозначения: 1 – меридиональные напряжения; 2 – кольцевые или тангенциальные напряжения;

- толщина оболочки.

В общем случае на каждую грань элемента действуют продольные силы (растяжения и сжатия), поперечные силы и изгибающие моменты. Для тонкостенных оболочек мембранная теория пренебрегает поперечными силами и изгибающими моментами. Кроме того, вдали от края оболочки можно пренебречь слагаемым d (1dS2).

Произведения величин напряжений на площади соответствующих граней дают силы 1dS2 и 2dS1, показанные на рис. 2.16 б.

К выделенному элементу также приложена сила нормального давления РdS1dS2. Проектируя все силы на нормаль к поверхности оболочки в точке К получим:

После упрощения уравнение принимает вид Эта формула известна как уравнение Лапласа. Она связывает между собой меридиональные и кольцевые напряжения.

Из уравнения Лапласа выводятся уравнения, которые позволяют рассчитать толщину оболочки вращения произвольной формы. Необходимо помнить, что уравнение Лапласа справедливо для тонкостенных оболочек, толщина стенок которых не превышает 10% их радиуса кривизны, поэтому оно используется для расчета тонкостенных оболочек, работающих под внутренним давлением.

2.10. Расчет толщины стенок оболочек Для цилиндрической оболочки R1 =, следовательно, 1/R1 = 0. Из уравнения Лапласа следует Из уравнения равновесия цилиндра нагруженного внутренним давлением и закрытого крышкой, в курсе "Конструирование и расчет элементов оборудования отрасли" выводится, что Более удобно пользоваться внутренним DВ или наружным DН диаметрами цилиндра По методу предельных напряжений должно соблюдаться условие max = 2 [].

Допускаемое напряжение [] для различных материалов может быть принято по [6].

Принимая во внимание наличие сварных швов и длительность эксплуатации оболочки можно записать или SЦ – исполнительная толщина цилиндрической оболочки;

– коэффициент прочности сварного шва;

С – прибавка на компенсацию коррозии.

При равномерной поверхности коррозии можно принять П – глубинный показатель коррозии;

Для полусферического днища из условия симметричности оболочки следует R1 = R2 = R и 1 = 2 =. Тогда уравнение Лапласа запишется как Используя подстановки предыдущего случая получаем толщину полусферического днища

PDB PDН

При расчете эллиптических днищ необходимо помнить, что радиус кривизны образующей непрерывно меняется. В произвольной точке А (x, y) (рис. 2.17.) радиус кривизны рассчитывается по уравнению Минимальное значение радиус кривизны принимает в точке В : Rmin, а максимальное в точке С (полюсе) :

Для стандартных эллиптических днищ справедливо соотношение DВ=4Нд.

Толщина эллиптического днища может быть рассчитана по следующему уравнению:

или где у Э 2 B – коэффициент формы днища.

Для стандартного эллиптического днища yэ = 1.

В курсе "Конструирование и расчет элементов оборудования отрасли" дополнительно выводятся уравнения, которые позволяют рассчитывать толщины конических и торосферических днищ, а также плоских крышек.

2.11. Расчет оптимальных размеров емкости, работающей под действием внутреннего Для сосудов, работающих под давлением, толщина стенки, а значит и расход материала, определяется соотношением геометрических размеров и величиной давления.

В качестве примера рассмотрим возможность оптимизации размеров цилиндрической емкости с двумя стандартными эллиптическими днищами (рис. 2.13.), работающей под действием внутреннего давления P. В данном случае за критерий оптимизации может быть принята масса аппарата, которая зависит от поверхности оболочки и ее толщины Fi – поверхность i-того элемента;

где Si – толщина i-того элемента;

i – плотность материала i-того элемента.

Для рассматриваемого примера Fц = 2RH – поверхность цилиндрической оболочки;

где ки;

Fэ = 1,38R2 – поверхность эллиптического днища (полуэллипсоида вращения);