«26 сентября 2008 г. Содержание Предисловие 1 1 Вводная лекция 6 Тест для самоконтроля к лекции 1................. 14 I Принятие решений в условиях определённости 16 2 Экстремум функций одной переменной ...»

(Напомним, что при позитивных критериях 1, 2 целью принимающего решение является увеличение значений обоих критериев 1 и 2, что соответствует движению внутри области вправо и вверх.) Здесь также любой исход, не являющийся Парето–оптимальным, доминируется по Парето некоторым Парето–оптимальным исходом.

Замечание 1. Область, изображенная на рис. 5.2, является выпуклой (то есть вместе с любыми двумя своими точками она содержит весь соединяющий их отрезок). В случае невыпуклой области ее Парето–оптимальная граница может иметь более "экзотический"вид, например, состоять из отдельных линий и/или точек. Пример такой Парето–оптимальной границы приведен на рис. 5.3.

Замечание 2. Предположим, что в задаче принятия решения имеются критерии разного характера. Пусть, например, 1 — негативный, а 2 — позитивный критерий. Тогда целью принимающего решение будет уменьшение критерия 1 и увеличение критерия 2, что соответствует движению на координатной плоскости "влево и вверх". В этом случае Парето–оптимальная граница области представляет собой ее "северо– западную"границу, см. пример на рис. 5.4.

Перейдем теперь к основной проблеме — проблеме оптимальности для многокритериальных ЗПР. Сформулировать единый принцип оптимальности для класса таких задач не представляется возможным, так как понятие векторного оптимума не определено. Укажем вначале необходимое условие оптимальности: если исход не является Парето–оптимальным, он не может "претендовать на роль"оптимального исхода. Действительно, в этом случае существует такой допустимый исход, что > ; тогда, как отмечалось выше, принимающий решение, безусловно, предпочтет исход исходу, значит исход не оптимален.

Итак, "кандидатом"на оптимальное решение многокритериальной ЗПР может являться только Парето–оптимальный исход. Однако, как видно из приведенных выше примеров, в типичных случаях Парето–оптимальных исходов может быть несколько (а в непрерывном случае — бесконечное множество). Какой же из Парето–оптимальных исходов следует считать оптимальным? К сожалению, дать однозначный ответ на этот вопрос для общего случая, не имея никакой дополнительной информации о критериях, — невозможно. Дело в том, что любые два Парето–оптимальных исхода не сравнимы относительно доминирования по Парето. (В самом деле, если для двух исходов, выполняется >, то исход не может быть Парето–оптимальным.) Поэтому для любых двух Парето–оптимальных исходов 1 и 2 всегда найдутся такие два критерия 1, 2 {1,..., }, что 1 лучше, чем 2 по критерию 1, но хуже по критерию 2. Если у нас нет никакой информации об относительной важности критериев 1 и 2, тогда рациональный выбор между 1 и 2 сделать невозможно. (Отметим, что нельзя сделать рационального выбора и в такой ситуации, когда, например, имеется всего 10 критериев, причем 1 лучше, чем 2 по одному критерию, но хуже по девяти остальным: понятно, что в некоторых реальных случаях превосходство по одному критерию может "перевесить"превосходство по всем остальным.) 3. Изложенная в п.4 лекции 1 общая методика исследования задач принятия решений на основе математического моделирования, для многокритериальных ЗПР может быть реализована в рамках одного из следующих подходов.

1-й подход. Для заданной многокритериальной ЗПР находится множество ее Парето–оптимальных исходов, а выбор конкретного оптимального исхода из множества Парето–оптимальных предоставляется принимающему решение.

2-й подход. Производится сужение множества Парето–оптимальных исходов (в идеале — до одного элемента) с помощью некоторых формализованных процедур, что облегчает окончательный выбор исхода для принимающего решение. Отметим, что такое сужение может быть произведено только при наличии дополнительной информации о критериях или о свойствах оптимального решения.

Рассмотрим некоторые простейшие способы сужения Парето–оптимального множества, фиксируя при этом внимание на необходимой дополнительной информации. Считаем, что многокритериальная ЗПР задана в виде ; 1,...,, где ( = 1,..., ) — позитивные критерии.

а) Указание нижних границ критериев.

Дополнительная информация об оптимальном исходе * в этом случае имеет следующий вид:

Число рассматривается здесь как нижняя граница по -му критерию.

Отметим, что указание нижних границ по критериям = 1,..., не может быть "извлечено"из математической модели ЗПР; набор оценок (1,..., ) представляет собой дополнительную информацию, полученную от принимающего решение.

При указании нижних границ критериев оптимальным может считаться только такой Парето–оптимальный исход, для которого оценка по каждому критерию = 1,..., не ниже назначенной оценки. Таким образом, происходит сужение Парето–оптимального множествав за счет условия (5.1).

Ясно, что при увеличении значений ( = 1,..., )) Парето–оптимальное множество "сокращается". Пример, представленный на рис. 5.5, демонстрирует это обстоятельство для случая 2–критериальной задачи с критериями 1 и 2.

Пояснение: Здесь знаком отмечены концы Парето–оптимальной границы области ; знаком | отмечены концы части Парето–оптимальной границы, полученной при ограничениях (* ) ; знаком — части Парето–оптимальной границы, соответствующей ограничениям (* ) При использовании способа а) окончательный выбор Парето–оптимального исхода производится из суженного Парето–оптимального множества принимающим решение (на основе субъективных соображений).

Основной недостаток метода а) состоит в том, что оптимальное решение становится здесь субъективным, так как оно зависит, во–первых, от величин назначаемых нижних границ критериев и, во–вторых, от окончательного выбора, совершаемого принимающим решение.

b) Субоптимизация производится следующим образом: выделяется один из критериев, а по всем остальным критериям назначаются нижние границы. Оптимальным при этом считается исход, максимизирующий выделенный критерий на множестве тех исходов, оценки которых по остальным критериям не ниже назначенных.

Пусть, например, 1 — выделенный критерий и — нижняя граница для -го критерия, где = 2,...,. Тогда оптимальным считается тот исход *, на котором достигает максимума функция 1, рассматриваемая на множестве = { : () ( = 2,..., )}.

Скажем, для ЗПР, представленной на рис. 5.5, возьмем в качестве выделенного критерия 1, а в качестве нижней границы по критерию величину 2 ; тогда оптимальное решение соответствует точке пересечения горизонтальной прямой, проведенной через 2, с Парето–оптимальной границей. Ясно, что при увеличении нижней границы критерия максимум функции 1 уменьшается (не увеличивается) — это наглядно показывает рис. 5.5.

С помощью метода субоптимизации задача многокритериальной оптимизации превращается в задачу "обычной"(то есть скалярной) оптимизации на суженном допустимом множестве. Выделение одного из критериев, а также указание нижних границ для остальных критериев основано на дополнительной информации, получаемой от принимающего решение.

Cледовательно, окончательное решение здесь также носит субъективный характер.

с) Лексикографическая оптимизация основана на упорядочении критериев по их относительной важности. После этого процедура нахождения оптимального решения проводится следующим образом. На первом шаге отбираются те исходы, которые имеют максимальную оценку по важнейшему критерию. Если такой исход единственный, то он и считается оптимальным. Если же таких исходов несколько, то среди них отбираются те, которые имеют максимальную оценку по следующему за важнейшим критерию и т.д. В результате такой процедуры всегда остается (по крайней мере, в случае конечного множества исходов) единственный исход — он и будет оптимальным.

Основными недостатками метода лексикографической оптимизации являются следующие.

(1) При практическом применении данного метода возникают содержательные трудности в установлении полной упорядоченности критериев по их относительной важности.

(2) Фактически при использовании этого метода принимается во внимание только первый — важнейший критерий. Например, следующий за ним по важности критерий будет учитываться только тогда, когда важнейший критерий достигает максимума на нескольких исходах.

Проиллюстрируем рассмотренные в этом пункте методы нахождения оптимального решения в многокритериальных ЗПР на следующем примере.

Задача № 7: Выбор места работы.

Предположим, Вам предстоит выбрать место работы из 9-ти вариантов, представленных в таблице 5.1. В качестве основных критериев здесь взяты: Зарплата (в рублях), Длительность отпуска (в днях), Время поездки на работу (в минутах). Так как критерий В имеет характер потерь, оценки по этому критерию берутся со знаком "минус". Какой вариант будет здесь оптимальным?

Критерии Зарплата Длит.отпуска Время поездки Решение. Выделим вначале Парето–оптимальные варианты. Здесь и других пар, находящихся в отношении доминирования по Парето, нет.

Отбрасывая доминируемые по Парето варианты {1, 2, 8, 9}, получаем Парето–оптимальное множество {3, 4, 5, 6, 7}. При отсутствии информации об относительной важности рассматриваемых критериев, а также о каких-либо дополнительных свойствах оптимального решения дальнейшее сужение Парето–оптимального множества произвести нельзя. Тогда формальный анализ заканчивается указанием Парето–оптимального множества и окончательный выбор оптимального варианта производится принимающим решение (Вами!) из этих 5-ти вариантов на основе каких– то дополнительных соображений.

Рассмотрим теперь второй подход, который приводит к сужению Парето–оптимального множества на основе дополнительной информации, получаемой от принимающего решение.

a) Указание нижних границ критериев. Наложим, например, следующие ограничения на оптимальное решение:

Зарплата — не менее 600 рублей;

Длительность отпуска — не менее 30 дней;

Время поездки — не более 40 минут.

Варианты, удовлетворяющие этим дополнительным ограничениям:

{3, 6, 9}; из них оптимальными по Парето являются варианты 3 и 6. Остается сделать окончательный выбор между вариантами 3 и 6.

b) Субоптимизация. Пусть в качестве выделенного критерия выступает критерий зарплата; ограничения: длительность отпуска — не менее 30 дней, время поездки – не более 40 мин. Отбросим те варианты, которые не удовлетворяют данным ограничениям; остаются варианты:

{2, 3, 5, 6, 9}. Из них максимальную зарплату имеет вариант 3. Этот вариант и будет оптимальным.

c) Лексикографическая оптимизация. Упорядочим критерии по относительной важности, например, следующим образом: (то есть важнейший критерий — зарплата, следующий за ним по важности — время поездки, наименее важный критерий — длительность отпуска).

Максимальное значение по критерию имеют варианты 1 и 7. Далее сравниваем эти варианты по второму по важности критерию. Так как время поездки для этих вариантов одинаково, переходим к третьему критерию ; по критерию длительности спуска лучшим является вариант 7, который и будет здесь оптимальным.

(Проверьте, что при упорядочении оптимальным будет вариант 6, а при упорядочении — оптимальным становится вариант 5.) Замечание 1. Здесь наглядно проявляется недостаток лексикографической оптимизации — фактический учет одного (важнейшего) критерия. Например, в последнем случае в качестве оптимального получается вариант 5, который имеет самую низкую оценку по критерию зарплата.

Замечание 2. Существует удобный геометрический способ представления векторных оценок многокритериальной ЗПР, при котором оценки по всем критериям откладываются на параллельных осях и затем те оценки, которые составляют интересующую нас векторную оценку, соединяются отрезками прямых; получающаяся при этом ломаная задает профиль векторной оценки. На рис. 5.6 указаны профили векторных оценок для оптимальных по Парето вариантов Задачи № 7.

4. Под построением обобщенного критерия в многокритериальной ЗПР понимается такая процедура, которая "синтезирует"набор оценок по заданным критериям (называемым в этом случае частными или локальными критериями), в единую численную оценку, выражающую итоговую полезность этого набора оценок для принимающего решение. Формально обобщенный критерий для ЗПР вида ; 1,..., представляет собой функцию : 1 · · · R, где — множество оценок по –му критерию. Если обобщенный критерий построен, то для каждого допустимого исхода может быть найдена численная оценка его полезности (ценности, эффективности): () = (1 (),..., ()). Таким образом, задание обобщенного критерия сводит задачу многокритериальной оптимизации к задаче однокритериальной оптимизации с целевой функцией Наиболее распространенным обобщенным критерием является "взвешенная сумма частных критериев которая превращает векторную оценку = (1,..., ) в скалярную оценку где 0, = 1,..., (иногда дополнительно требуют, чтобы 1). Числа называют в этом случае весовыми коэффициентами. При этом весовой коэффициент интерпретируется как "показатель относительной важности"–го критерия: чем больше, тем больший "вклад"дает оценка по –му критерию в итоговую оценку ().

Правило 5.1.Пусть — произвольное множество векторных оценок.

Если векторная оценка * = (1,..., ) доставляет максимум функции () =, где все > 0, то векторная оценка * является Парето–оптимальной в множестве.

Доказательство этого утверждения очень простое. Предположим противное, то есть что существует векторная оценка = (1,..., ), которая доминирует по Парето векторную оценку *. Тогда при всех = 1,..., выполняется неравенство, причем хотя бы для одного индекса неравенство выполняется как строгое. Умножая эти неравенства на, суммируя по = 1,..., и учитывая, что все > 0, что есть точка максимума функции на множестве.

Обратное утверждение справедливо не всегда, но в случае, когда множество является выпуклым, обратное утверждение также имеет место.

Точнее, справедливо следующее Правило 5.2. Пусть — выпуклое множество, * — Парето–оптимальная векторная оценка в. Тогда найдутся такие неотрицательные числа 0, = 1,...,, что функция () = достигает максимума на множестве в точке *.

Рассмотрим это утверждение для случая двух критериев и. Изобразим множество векторных оценок на координатной плоскости переменных (, ). Пусть * (*, * ) — Парето–оптимальная векторная оценка множества (рис. 5.7). Проведем в точке * касательную к линии, являющейся Парето–оптимальной границей области (предполагая, что в некоторой окрестности точки * эта линия гладкая). Пусть (, ) — вектор нормали к прямой, ориентированный так, чтобы был направлен вне. Тогда касательная определяется уравнением вида: + + = 0, а неравенство + + 0 определяет полуплоскость, ограниченную прямой и содержащую область. Таким образом, для любой точки 1 (1, 1 ) выполняется неравенство 1 + 1 + 0; в то же время для точки * (*, * ) имеет место равенство * + * + = 0, поэтому * + * 1 + 1. Так как числа (, ), являющиеся координатами вектора, неотрицательны, получаем, что линейная функция (, ) = + является искомой:

максимум функции (, ) в области достигается в точке * (*, * ).

Замечание 1. Если линия, составляющая Парето–оптимальную границу, не является гладкой в окрестности точки *, то вместо касательной прямой в точке * надо взять опорную прямую (рис. 5.8) — ее существование обеспечивается выпуклостью области. Наконец, в случае критериев, где > 2, надо опорную прямую заменить опорной гиперплоскостью.

Замечание 2. В общем случае Правило 5.2 гарантирует существование неотрицательных коэффициентов, = 1,...,, при которых максимум линейной функции () = достигается в заданной Парето–оптимальной точке; существование требуемых положительных коэффициентов имеет место не всегда. Рис. 5.9 поясняет это обстоятельство для случая двух критериев. Здесь область представляет собой четверть круга. Для Парето–оптимальной точки 1 единственной подходящей линейной функцией является функция 1 (, ) =, где > 0, а для Парето–оптимальной точки 2 — функция вида 2 (, ) =, где Правила 5.1 и 5.2 указывают "способ перебора"Парето оптимальных точек заданного множества : зафиксировав положительный "вектор получаем некоторую точку Парето–оптимального множества; в случае выпуклого множества все Парето–оптимальные точки множества могут быть получены таким способом при некоторых 0, = 1,...,.

Задача № 8: Оптимизация производственного процесса.

Любой производственный процесс формально математически можно описать парой векторов (, ), где — вектор затрат и — вектор выпусков. Скажем, если в процессе производства затрачиваются продукты типов и выпускаются продукты типов, то = (1,..., ), где — количество затрачиваемого продукта (ресурса) –го типа, а — количество выпускаемого продукта –го типа ( = 1,..., ; = 1,..., ).

Пара (, ) называется вектором затрат–выпусков и формально отражает экономическое содержание производственного процесса. Как правило, имеющаяся производственная технология позволяет реализовать не один, а множество производственных процессов, каждому из которых соответствут свой вектор затрат–выпусков. Множество всех таких векторов затрат–выпусков называется производственным множеством (или технологическим множеством). С экономической точки зрения изучение производства может быть представлено как изучение структуры производственного множества. Попробуем подойти к рассмотрению структуры производственного множества с позиций многокритериальной оптимизации.

Итак, пусть — производственное множество — оно представляет собой некоторое множество векторов в пространстве R+. Что означает в данном случае доминирование по Парето? Возьмем два производственных процесса 1 = (1,..., 1, 1,..., ), 2 = (2,..., 2, 1,..., ) (хотя бы одно неравенство должно быть строгим). Таким образом, производственный процесс 1 доминирует по Парето производственный процесс продуктов (ресурсов) каждого типа не превосходят затрат при производственном процессе 2, а выпуск продукта каждого типа при производPar разумный экономист, безусловно, выберет 1, а не 2. Это дает основание в качестве оптимальных — с экономической точки зрения — производственных процессов рассматривать Парето–оптимальные векторы множества. Для характеризации Парето–оптимальных векторов воспользуемся правилами 5.1 и 5.2. Пусть = (1,..., ), = (1,..., ) — векторы с положительными компонентами. В силу правила 5.1 получаем:

который доставляет на множестве максимум функции является Парето–оптимальным.

В случае, когда множество является выпуклым (это означает с содержательной точки зрения возможность "дробления"затрачиваемых и произведенных продуктов), справедливо и обратное утверждение.

B) Если производственный процесс (*, * ) оптимален в по Парето, то найдутся такие векторы и с неотрицательными компонентами, что (*, * ) доставляет максимум функции (,) на множестве Экономическая интерпретация этих утверждений такова. Векторы и можно рассматривать как гипотетические (назначенные произвольно) векторы цен на затрачиваемые и на выпускаемые продукты ( — цена единицы затрачиваемого продукта –го типа, — цена единицы выпускаемого продукта –го типа). Тогда (,) (, ) есть прибыль от реализации производственного процесса (, ) по ценам (, ). Утверждение A) имеет при этом следующий экономический смысл: всякий производственный процесс, который максимизирует прибыль при некоторых гипотетических ценах, является Парето–оптимальным.

Утверждение B) означает, что всякий Парето–оптимальный производственный процесс будет максимизировать прибыль при некоторых гипотетических векторах цен и (в этом случае некоторые компоненты этих векторов могут равняться нулю).

Тест для самоконтроля к лекции 1. Исход 1 доминирует по Парето исход 2, если....

Варианты ответов: а) 1 лучше(не хуже), чем 2 по большенству критериев 2. Исход * называется оптимальным по Парето в области, если....

Варианты ответов: а) * доминирует по Парето любой исход 3. Может ли для двух оптимальных по Парето исходов один доминировать другой по Парето?

Варианты ответов: а) нет, никогда 4. Верно ли, что каждый исход доминируется по Парето некоторым оптимальным по Парето исходом?

Варианты ответов: а) нет, неверно 5. Верно ли, что единственный оптимальный по Парето в множестве исход * доминирует по Парето любой другой исход ?

Варианты ответов: а) нет, неверно 6. При увеличении нижних границ критериев Паретовский оптимум....

Варианты ответов: а) не изменяется 7. Предположим, что по каждому критерию нижняя граница не достигла своего максимума. Может ли в таком случае Паретовский оптимум сокращенного множества стать пустым?

Варианты ответов: а) нет, никогда 8. Пусть множество исходов конечно. Какие процедуры из указанных приводят всегда к единственному оптимальному исходу:

: назначение нижних границ критериев : субоптимизация : лексикографическая оптимизация Варианты ответов: а),, 9. Укажите все исходы, которые доминируют по Парето исход :

Варианты ответов: а) 10. Представленное множество исходов:

Варианты ответов: а) не имеет исходов, оптимальных по Парето 11. Здесь множество исходов, оптимальных по Парето, состоит из:

Варианты ответов: а) 4, 5, 12. В непрерывной 2-критериальной ЗПР множество исходов, оптимальных по Парето, составляет....

Варианты ответов: а) всю границу допустимой области 13. Представленное множество исходов:

Варианты ответов: а) состоит целиком из Парето-оптимальных исходов 14. Паретовский оптимум множества исходов {,,,,,, }, векторные оценки которых указаны (3, 5, 4)(2, 6, 5)(3, 4, 7)(3, 6, 6)(4, 5, 3) (3, 3, 7)(4, состоит из:

15. При выборе квартиры в качестве существенных критериев взяты:

1 – метраж (в м2 ), 2 – время поездки на работу(в мин.), 3 – время поездки в зону отдыха(в мин.) – см. таблицу:

Альтернативы а) Найдите все альтернативы, оптимальные по Парето Варианты ответов: а) {2, 4, 6} б) Найдите единственную оптимальную альтернативу методом субоптимизации, назначив границы по критериям "метраж"и "время поездки на 16. Рассмотрите альтернативы 1 8 для задачи выбора квартиры относительно критериев 1, 2, 3 – см. таблицу:

Альтернативы а) Найдите множество всех альтернатив, оптимальных по Парето.

б) Среди Парето-оптимальных альтернатив найдите единственную оптимальную, удовлетворяющую дополнительным условиям: 1 45, 40, в) Среди Парето-оптимальных альтернатив найдите единственную оптимальную методом лексикографической оптимизации, упорядочив критерии по важности следующим образом: 1 > 2 > 3. Варианты ответов:

2, 4, 5, 6, 8.

Лекция Проблема построения обобщенного критерия в многокритериальной ЗПР Основные вопросы: 1. Сложности в построении обобщенного критерия; примеры. 2. Формальное определение обобщенного критерия. Эквивалентность обобщенных критериев. 3. Локальный коэффициент замещения (ЛКЗ). Карта безразличий. Условия постоянства ЛКЗ. 4. Определяемость обобщенного критерия картой безразличий. Задача № 9:

Сравнение объектов по предпочтительности.

1. Как было указано в лекции 5, задание обобщенного критерия превращает задачу многокритериальной оптимизации в задачу однокритериальной оптимизации. Первоначально кажется, что это — наиболее естественный способ. Однако, на пути построения итоговой "синтетической"оценки имеются весьма существенные, а подчас — непреодолимые препятствия. В качестве примера возникающих здесь трудностей рассмотрим в схематическом виде задачу построения обобщенного критерия оценки некоторой реальной системы (объекта). Частные критерии оценки системы можно разбить на две группы: критерии, отражающие эффективность системы, и критерии, связанные со стоимостью системы. Предположим, что нам уже удалось построить обобщенный критерий эффективности () и обобщенный критерий стоимости (). Как теперь соединить критерии стоимости и эффективности в один критерий? Наиболее естественным представляется в качестве такой оценки рассматривать "удельную эффективность то есть отношение эффективности к стоимости: = /. Так как обобщенный критерий указывает "итоговую"оценку полезности системы для принимающего решение, то по величине обобщенного критерия устанавливается предпочтение между сравниваемыми объектами. Рассмотрим теперь показатели стоимости и эффективности для трех систем 0, 1, 2, представленные на рис. 6.1.

образом, по обобщенному критерию = / системы 1 и 2 являются более предпочтительными, чем система 0. Однако система 1 имеет очень низкую эффективность, а система 2 — очень высокую стоимость. Ясно, что с практической точки зрения ни система 1, ни система 2 не могут рассматриваться как удовлетворительные. Поэтому критерий = / не может претендовать на роль "адекватного"обобщенного критерия. Отметим попутно, что даже первый шаг — соединение всех частных критериев эффективности в единый обобщенный критерий () может содержать в себе весьма существенные трудности, особенно в случае наличия критериев, характеризующих объект с разных сторон (например, скорость автомобиля и его надежность).

Обратимся теперь к проблеме построения обобщенного критерия в виде взвешенной суммы частных критериев (см.(5.2)). Как определить весовые коэффициенты в практических задачах? Предлагалось множество различных способов нахождения весовых коэффициентов, однако ни один их них не может претендовать на роль универсального. Рассмотрим в качестве примера следующий способ нахождения весовых коэффициентов:

В этом случае то есть итоговой численной оценкой исхода является сумма нормализованных оценок по всем критериям (нормализованная оценка по –му критерию есть отношение ()/ ). На первый взгляд обобщенный критерий (6.1) представляется вполне разумным. Однако, следующий пример выявляет один существенный недостаток критерия (6.1). Предположим, требуется сравнить два альтернативных варианта мест работы и, векторные оценки которых указаны в Таблице 6.1.

Здесь 1 = 900, 2 = 30, 3 = 60, откуда Так как () > (), то альтернатива будет более предпочтительной, чем альтернатива.

Пусть теперь, наряду с альтернативами и появилась еще одна альтернатива, которая характеризуется векторной оценкой (400, 60, 100).

В этом случае 1 = 900, 2 = 60, 3 = 100, откуда Получаем, что теперь альтернатива стала более предпочтительной, чем альтернатива, то есть порядок предпочтения альтернатив и получился здесь обратным! Итак, наличие еще одной альтернативы меняет предпочтения между альтернативами и. Это парадоксальное свойство называется "нарушением независимости относительно несвязанных альтернатив". (При этом следует заметить, что дополнительная альтернатива здесь не конкурирует ни с, ни с, так как и предпочтительнее, чем.) Подведем некоторые итоги. Принципиальная сложность в построении обобщенного критерия заключена в том, что приходится "соотносить"друг с другом критерии, характеризующие объект с разных сторон;

эти критерии имеют подчас совершенно различную природу, в силу чего оценки по ним даются в разных шкалах. Построение итоговой ("интегральной") оценки невозможно без соизмерения критериев между собой, что требует большой дополнительной информации об относительной важности этих критериев для принимающего решение. Как проводится построение обобщенного критерия и на базе какой дополнительной информации — это и есть тема настоящей лекции.

2. Рассмотрим теперь в общем виде проблему построения обобщенного критерия для многокритериальных ЗПР. Ограничимся здесь случаем двух критериев, оценки по которым будем обозначать через и, соответственно; тогда каждая векторная оценка может быть представлена точкой на координатной плоскости (, ). Считаем, что оба критерия являются позитивными, следовательно, целью принимающего решение будет увеличение обоих критериев.

Построение обобщенного критерия представляет собой процедуру, которая "синтезирует"пару оценок (, ) в единую числовую оценку; формально обобщенный критерий может быть задан в виде отображения : R R R. Какие требования должны быть наложены на это отображение? Главное (и, по–существу, единственное) требование состоит в том, что это отображение должно "сохранять"отношение доминирования по Парето. Поэтому можно дать следующее Определение. Под обобщенным критерием будем понимать отображение : R R R, удовлетворяющее условию:

Замечание. Иногда рассматривают ослабленный вариант условия (6.2), состоящий в импликации:

(отношение понимается как объединение отношения доминирования по Парето > и отношения равенства =). Например, взвешенная сумма с неотрицательными весовыми коэффициентами удовлетворяет условию (6.3), а с положительными — более сильному условию (6.2).

Следующий шаг — введение понятия эквивалентности обобщенных критериев. Поскольку для обобщенного критерия существенным является не сама величина (, ), а соотношение типа (1, 1 ) (2, 2 ), дадим следующее Определение. Обобщенные критерии 1 и 2 называются эквивалентными, если для любых векторных оценок (1, 1 ) и (2, 2 ) выполняется равносильность:

Например, обобщенные критерии 1 (, ) = 2 + 3; 2 (, ) = 0.4 + 0.6; 3 (, ) = 2+3 — эквивалентны между собой. Если — обобщенный критерий, то функция =, где — произвольная монотонно возрастающая функция, также будет обобщенным критерием, который эквивалентен критерию.

3. Основной нашей задачей является выявление тех данных, которые требуются для построения обобщенного критерия.

Предположим, что обобщенный критерий (, ) построен. Тогда уравнение (, ) = при каждом фиксированном значении константы определяет на плоскости переменных (, ) некоторую кривую, которая называется кривой безразличия. Для любых двух точек 1 (1, 1 ) и 2 (2, 2 ), принадлежащих одной кривой безразличия, выполняется (1, 1 ) = (2, 2 ), поэтому принимающий решение будет рассматривать векторные оценки (1, 1 ) и (2, 2 ) как равноценные. Зафиксируем некоторую точку (, ) и проанализируем — что происходит при переходе от точки к точке (, ) при движении по кривой безразличия (см. рис. 6.1). Положим =, =. При переходе от точки к точке оценка по первому критерию увеличивается на величину ||, а оценка по второму критерию уменьшается на величину || (заметим, что для точек, лежащих на одной кривой безразличия, и всегда имеют разные знаки). Так как принимающий решение рассматривает векторные оценки (, ) и (, ) как равноценные, то для него потеря || единиц по 2–му критерию компенсируется прибавкой || единиц по 1–му критерию. (В эквивалентной форме это можно выразить еще так: для принимающего решение прибавка || единиц по 2–му критерию компенсирует потерю || единиц по 1–му критерию.) Положительное число (/), указывающее соотношение "потерь– прибавок зависит конечно, от того, в какую точку мы сместимся из точки по кривой безразличия. Чтобы исключить зависимость от точки, надо взять "бесконечно малое смещение то есть перейти к пределу при условии ; последнее эквивалентно тому, что 0. Итак, приходим к следующему важному понятию.

Определение. Положительное число называется локальным коэффициентом замещения (ЛКЗ) в точке (, ).

Конечно, в общем случае ЛКЗ зависит от точки, то есть = (, ).

В чем состоит содержательный смысл локального коэффициента замещения? Если мало, то можно считать, что ; приняв за единицу, получаем || =. Таким образом, ЛКЗ приблизительно равен той минимальной прибавке по 2–му критерию, которая компенсирует для принимающего решение потерю единицы по 1–му критерию (равенство будет тем точнее, чем меньшей взята единица по 1–му критерию).

Геометрический смысл ЛКЗ ясен из рис.6.1: так как / есть тангенс угла наклона секущей к оси абсцисс, то, переходя к пределу при 0, получаем Правило 6.1. ЛКЗ в точке (, ) равен взятому со знаком "минус"тангенсу угла наклона к оси абсцисс касательной, проведенной к кривой безразличия в точке.

Пусть R2 — некоторое множество векторных оценок. Из определения кривой безразличия следует, что через каждую точку проходит одна и только одна кривая безразличия. Множество всех кривых безразличия составляет карту безразличий в области ; типичный вид карты безразличий представлен на рис.6.2. Будем считать, что кривые безразличия являются гладкими (то есть имеют касательную в каждой точке).

Правило 6.2. Задание в области карты безразличий равносильно заданию ЛКЗ для каждой точки.

Действительно, предположим, что в области задана карта безразличий. Тогда для каждой точки (, ) существует единственная проходящая через нее кривая безразличия. Взятый со знаком "минус"тангенс угла наклона касательной, проведенной к этой кривой безразличия в точке, даст по Правилу 6.1 ЛКЗ в точке.

Обратно, пусть для каждой точки (, ) задан соответствующий ей локальный коэффициент замещения (, ). Тогда для каждой точки области известен угловой коэффициент касательной к кривой безразличия. В этом случае можно построить (при некоторых ограничениях на функцию (, )) карту безразличий — это хорошо известный в математике способ построения интегральных кривых в заданном поле направлений.

В заключение данного пункта найдем условия, при которых ЛКЗ является постоянным.

1) Если в области векторных оценок R2 ЛКЗ постоянен, тогда семейство кривых, составляющих карту безразличий обобщенного критерия, определяется дифференциальным уравнением =, откуда = +, то есть в этом случае карта безразличий представляет собой семейство параллельных прямых, угловой коэффициент которых равен 2) Пусть в области задана карта, состоящая из семейства параллельных прямых, имеющих отрицательный угловой коэффициент ().

Тогда обобщенный критерий (, ) = + совместим с картой (так как его карта безразличий состоит из линий + = — прямых, имеющих угловой коэффициент (), то есть совпадает с картой ).

Получаем, что в этом случае обобщенный критерий, совместимый с картой, может быть представлен в виде взвешенной суммы критериев и (с положительными постоянными коэффициентами).

3) Предположим, что обобщенный критерий представим в виде взвешенной суммы: (, ) = +, где > 0, > 0 — постоянные. Тогда кривые безразличия этого обобщенного критерия определяются уравнением + =, где — постоянная, то есть являются прямыми с угловым коэффициентом = /; по Правилу 6.1 в этом случае ЛКЗ равен / и является постоянным.

Итак, получаем Утверждение 6.1. Следующие три условия эквивалентны между собой для произвольного обобщенного критерия, заданного в области векторных оценок :

) Обобщенный критерий представим в виде взвешенной суммы частных критериев;

) Карта безразличий обобщенного критерия состоит из семейства параллельных прямых;

) Локальный коэффициент замещения в области постоянен.

Таким образом, для представимости обобщенного критерия в виде взвешенной суммы частных критериев необходимо и достаточно постоянство ЛКЗ. Это — очень сильное требование и в большинстве экономических задач оно не выполняется (в качестве примера см. Задачи №№ 9,10).

4. Перейдем теперь к решению нашей основной задачи — выяснению той дополнительной информации о частных критериях, которая необходима для построения обобщенного критерия. В принципе построение "какого–нибудь"обобщенного критерия не представляет никакого труда:

например, функция (, ) = + при любых, > 0 всегда является обобщенным критерием, то есть удовлетворяет условию (6.2). Дело, однако, в том, что при изменении весовых коэффициентов, будут меняться и предпочтения между векторными оценками (а, следовательно, и оптимальное решение в заданной области векторных оценок). Если мы хотим добиться независимости предпочтений векторных оценок от выбора конкретного обобщенного критерия, то следует ограничить класс обобщенных критериев так, чтобы любые два обобщенных критерия получались один из другого с помощью монотонно возрастающей функции;

в этом случае обобщенные критерии становятся эквивалентными между собой (см. п.2).

Итак, сформулируем теперь основную проблему — проблему построения обобщенного критерия. Она состоит в том, чтобы указать ту дополнительную информацию о критериях, которая определяет обобщенный критерий с точностью до эквивалентности.

Предположим, что для многокритериальной ЗПР с областью векторных оценок R2 обобщенный критерий (, ) построен, тогда в области задается соответствующая ему карта безразличий (ее уравнение:

(, ) =, где — произвольная постоянная). Если перейти от обобщенного критерия к эквивалентному ему обобщенному критерию, то в силу (6.4) будет выполняться откуда сразу следует, что для обобщенных критериев и их карты безразличий совпадают. Получаем Правило 6.3. Задание в области векторных оценок обобщенного критерия с точностью до эквивалентности — определяет единственным образом в области карту безразличий.

Осталось выяснить вопрос — в какой мере карта безразличий определяет обобщенный критерий? Для более точной постановки этого вопроса необходимо ввести следующее понятие.

Пусть в области R2 задана некоторая карта (то есть такое семейство кривых, что через каждую точку области проходит точно одна кривая этого семейства). Пусть (, ) — обобщенный критерий, заданный в области. Будем говорить, что обобщенный критерий совместим с картой, если его карта безразличий в пределах области совпадает с картой.

Вопрос об определяемости обобщенного критерия картой безразличий состоит из двух частей:

1) Всегда ли по заданной карте можно построить совместимый с ней обобщенный критерий и 2) Будут ли критерии, совместимые с заданной картой, эквивалентны между собой?

Решение этих вопросов сводится к решению следующих задач:

A) Указать условия, при которых для заданной карты существует совместимый с ней обобщенный критерий;

B) Дать полное описание всех обобщенных критериев, совместимых с заданной картой.

Эти задачи решаются в теореме 6.1.

Сформулируем вначале условия, накладываемые на область и на карту. Будем предполагать, что 1) Область является выпуклой;

2) Карта представляет собой однопараметрическое семейство кривых, заданных при помощи уравнения вида (,, ) = 0, где — параметр;

3) Функция является непрерывно дифференцируемой в области ;

4) в области выполнены условия существования неявных функций = (, ) и = (, );

5) Для функции (, ) при любом фиксированном выполнено условие < 0.

При сформулированных предположениях справедлив следующий результат.

Теорема 6.1.

(1) Неявная функция = (, ), определенная уравнением (,, ) = 0, является обобщенным критерием, совместимым с картой ;

(2) Для того, чтобы функция = (, ) была обобщенным критерием, совместимым с картой, необходимо и достаточно, чтобы она имела вид: =, где — монотонно возрастающая функция одной переменной.

Доказательство.

В самом деле, функция (, ) удовлетворяет тождеству (,, (, )) = 0. Дифференцируя это тождество по и по, получаем знак, то есть они оба положительны или оба отрицательны во всех точках области. Меняя, в в области любые две точки (, ) и (, ) такие, что (, ) > (, ). Положим =, =. Выполняется 0, 0 причем по крайней мере одно неравенство строгое. Имеем:

(, ) (, ) = (grad ) ·, где grad надо взять в некоторой точке, лежащей между и (точка принадлежит области в силу ее выпуклости, см. условие 1)). Учитывая, что координатами вектора grad являются частные производные > 0, а координаты вектора суть 0 и 0, получаем откуда (, ) > (, ).

Показали для функции (, ) выполнимость условия (6.2), то есть (, ) — обобщенный критерий в области.

Проверим, что обобщенный критерий (, ) совместим с картой. Действительно, пусть точки 1 (1, 1 ) и 2 (2, 2 ) области лежат на одной кривой, принадлежащей карте. Эта кривая определяется некоторым значением парметра = 0. Тогда (1, 1 ) = 0, (2, 2 ) = 0, откуда (2) Пусть — монотонно возрастающая (в строгом смысле) функция одной переменной. Так как (, ), и получаем выполнимость условия (6.2) для функции. Аналогично проверяется для функции условие совместимости с картой.

Осталось показать, что если некоторая функция (, ) является обобщенным критерием, согласованным с картой, то представима в виде =, где — монотонно возрастающая функция. Действительно, определим функцию одной переменной следующим образом:

Убедимся в корректности этого определния. Предположим, что = (1, 1 ) и = (2, 2 ). Тогда (1, 1 ) = (2, 2 ), то есть точки 1 (1, 1 ) и 2 (2, 2 ) лежат на одной кривой, принадлежащей карте ; по условию совместимости обобщенного критерия с картой получаем (1, 1 ) = (2, 2 ). Проверим, что функция является монотонно возрастающей. Пусть 1 > 2, то есть найдутся такие точки 1 (1, 1 ) и 2 (2, 2 ), что 1 = (1, 1 ), 2 = (2, 2 ) и (1, 1 ) > (2, 2 ).

Из вида карты безразличий ясно, что на кривой безразличия, проходящей через точку 1, должна полняется (, 1 ) > (2, 2 ) или (2, 2 ) > (, 1 ) (см. рис. 6.3). Условие (2, 2 ) > (, 1 ) влечет (2, 2 ) > (, 1 ) = (1, 1 ), что приводит к противоречию. Таким образом, (, 1 ) > (2, 2 ), и так как обобщенный критерий, то (, 1 ) > (2, 2 ). Учитывая, что точки 1 (1, 1 ) и (, 1 ) лежат на одной кривой безразличия, получаем по условию совместимости с картой : (1, 1 ) = (, 1 ), откуда (1, 1 ) > (2, 2 ), то есть (1 ) > (2 ). Остается заметить, что ввиду (6.8) имеет место (, ) = ((, )), то есть =. Теорема 6.1 полностью доказана.

На основании теоремы 6.1 получаем важное Следствие 1. Пусть 1 и 2 — два обобщенных критерия, совместимые с картой. Тогда критерии 1 и 2 эквивалентны (в смысле определения, данного в п.2).

В самом деле, по теореме 6.1 каждый из этих обобщенных критериев может быть представлен в виде: 1 = 1, 2 = 2, где 1, 2 — монотонно возрастающие функции. Пусть для двух точек 1 (1, 1 ), 2 (2, 2 ) области выполнено 1 (1, 1 ) 1 (2, 2 ), тогда 1 ((1, 1 )) 1 ((2, 2 ));

в силу строгой монотонности функции 1 это соотношение равносильно тому, что (1, 1 ) (2, 2 ), а в силу строгой монотонности функции 2 последнее равносильно 2 ((1, 1 )) 2 ((2, 2 )), то есть условию Утверждение, обратное следствию 1, также справедливо и устанавливается очень легко: если обобщенные критерии 1 и 2 эквивалентны, то для них карты безразличий совпадают и оба они будут совместимыми с этой общей для них картой.

Итак, приходим к следующему принципиальному выводу:

Правило 6.4. Карта безразличий определяет обобщенный критерий с точностью до эквивалентности.

На основании Правил 6.2–6.4 можно дать полный ответ на основной вопрос данной лекции: дополнительная информация относительно частных критериев, которая требуется для построения в области обобщенного критерия, определенного с точностью до эквивалентности, состоит в задании в этой области карты безразличий (что равносильно — в силу Правила 6.2 — заданию ЛКЗ в каждой точке области ).

Задача № 9: Сравнение объектов по предпочтительности.

Пусть оценка некоторых реальных систем (объектов) производится по 2–м критериям и. Предположим, что нам известен локальный коэффициент замещения в любой точке (, ) области векторных оценок, то есть ЛКЗ задан в виде функции = (, ). Как сравнить по предпочтительности два объекта, для которых даны их векторные оценки?

Возьмем в качестве примера задачу сравнения объектов (3; 3) и (3.5; 2.3), где (, ) = 2/. Считаем, что оба критерия являются позитивными, а область состоит из всех пар (, ), где, > 0 (рис.

6.4).

Попробуем вначале сравнить объекты и по предпочтительности, используя известные нам соотношения "потерь–прибавок". В точке ЛКЗ есть = = 2. Таким образом, при смещении из точки в другую точку области прибавка одной единицы по 1–му критерию компенсирует для принимающего решение потерю двух единиц по 2–му критерию. В нашем случае, переходя из точки (3; 3) в точку (3.5; 2.3), мы получаем прибавку по 1–му критерию в 0.5 единицы, которая, в силу сказанного выше, будет компенсировать потерю одной единицы по 2–му критерию; фактически же при переходе от к мы теряем всего 0. единицы по 2–му критерию. Таким образом, объект должен считаться для принимающего решение более предпочтительным, чем объект (то есть ).

Проанализируем теперь переход от к. В точке ЛКЗ есть = 2 · 2. =. Значит, при смещении из точки в другую точку области потеря единицы по 1–му критерию компенсируется для принимающего решение прибавкой 46/35 единиц по 2–му критерию. В данном случае, переходя от к, мы теряем 0.5 единицы по 1–му критерию, что в силу сказанного, компенсируется прибавкой в 23/35 0.66 единицы по 2–му критерию; фактически же мы имеем прибавку по 2–му критерию в 0.7 единицы. В итоге получается, что объект предпочтительнее для принимающего решение, чем объект ( ).

Итак, пришли к парадоксу. Причина парадокса кроется в том, что в области ЛКЗ является переменным, значит при переходе от к ЛКЗ непрерывно меняется, а в наших рассуждениях мы считали его либо в точке, либо в точке, то есть рассматривали его как постоянный.

Правильное решение задачи состоит в следующем. При переменном ЛКЗ, заданном в виде функции = (, ), вначале находится карта безразличий, на основе которой строится обобщенный критерий (см. теорему 6.1). Для нахождения карты безразличий надо использовать правило 6.1. Так как угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой безразличия в произвольной точке (, ) области, равен (, ), то можно составить дифференциальное уравнение для кривых безразличия:

Каждая интегральная кривая уравнения (6.9) представляет собой кривую безразличия, а однопараметрическое семейство всех интегральных кривых, рассматриваемых в области, составляет карту безразличий.

Таким образом, при заданном в аналитической форме ЛКЗ задача построения карты безразличий сводится к задаче интегрирования диференциального уравнения (6.9).

В нашем случае дифференциальное уравнение кривых безразличия принимает вид: =. Разделяя пременные, имеем = 2, откуда, интегрируя, получаем =. Последнее соотношение при любом фиксированном > 0 определяет кривую безразличия, а семейство всех таких кривых в области составляет карту безразличий. Согласно теореме 6.1 (легко проверить, что все условия теоремы 6.1 здесь выполнены), функция (, ) = 2 будет обобщенным критерием, совместимым с картой (а, значит, и с ЛКЗ (, ) = 2/). Находим:

() = 32 · 3 = 27, () = 3.52 · 2.3 28.2. Таким образом, по обобщенному критерию (, ) = 2 (а, значит, и по любому обобщенному критерию, имеющему в качестве ЛКЗ функцию (, ) = 2/)объект будет более предпочтительным, чем объект.

Замечание. Согласно теореме 6.1, в качестве обобщенного критерия совместимого с картой, может быть взята любая функция, имеющая вид суперпозиции, где — монотонно возрастающая функция одной переменной. Например, взяв () =, получаем обобщенный критерий 1 (, ) =.

Тест для самоконтроля к лекции 1. Укажите ранжирование объектов {,,, } по обобщенному критеририю =, где – эффективность, – стоимость(см. рисунок).

Варианты ответов:

2. В таблице приведены значения показателей: З – зарплата и Д – длительность отпуска для трех вариантов работы,,. Укажите ранжирование этих вариантов по обобщенному критерию, в качестве которого берется сумма нормализованных оценок по всем показателям.

Таблица:

Варианты ответа:

3. Среди 4-х обобщенных критериев 1, 2, 3, 4 укажите, какие из них эквивалентны критерию 1 :

2 = 0,3+0, 3 = 4 = 15 + Варианты ответа:

4. Локальным коэффициентом замещения(ЛКЗ) называется предел выражения....

5. Пусть в точке (0, 0 ) ЛКЗ = 2. Это означает, что при значениях показателей = 0 и = 0 принимающий решение готов потерять...

единицы по показателю за приращение на одну еденицу показателя.

Варианты ответа: 4, 2, 1, 1/2.

6. ЛКЗ в точке равен..., где – угол наклона касательной, проведенной к кривой безразличия в точке.

Варианты ответов: () 7. Задание ЛКЗ в каждой точке области векторных оценок эквивалентно заданию....

Варианты ответов: обобщенного критерия 8. В области векторных оценок 2 ЛКЗ является постоянным тогда и только тогда, когда карта безразличий представляет собой....

Варианты ответов: семейство параллельных прямых 9. В области векторных оценок 2 обобщенный критерий представим в виде взвешенной суммы частных критериев тогда и только тогда, когда карта безразличий представляет собой....

Варианты ответов: семейство параллельных прямых 10. Для того, чтобы два обобщенных критерия(1 и 2 заданы) в области векторных оценок 2 были эквивалентными между собой, необходимо и достаточно, чтобы....

Варианты ответов: 1 = 11. Пусть в области векторных оценок ЛКЗ имеет вид (, ) = 3. Укажите, какие из функций являются обобщенными критериями, совместимыми с соответствующей картой безразличий:

Варианты ответов: = Лекция Задачи, решаемые при наличиии карты безразличий Основные вопросы: 1. Построение карты безразличий по значениям ЛКЗ в узловых точках. 2. Введение линейного квазиупорядочения множества векторных оценок, снабженного картой безразличий. Единственность линейного квазипорядка на множестве векторных оценок. Нахождение оптимального исхода при заданной карте безразличий. 3. Задача № 10: Исследование потребительских предпочтений.

1. Метод построения карты безразличий, рассмотренный при решении Задачи N 9, осуществим только тогда, когда ЛКЗ задается в аналитической форме, то есть в виде функции = (, ). К сожалению, это бывает достаточно редко (например, тогда, когда ЛКЗ может быть найден из некоторых теоретических соображений). В большинстве практических случаев карта безразличий для 2–критериальной ЗПР может быть построена лишь приближенно на основе получаемой от принимающего решение дополнительной информации о замещениях между критериями.

Один из таких методов состоит в следующем. Рассмотрим задачу принятия решения с 2–мя критериями 1 и 2, оценки по которым обозначаем через и. Пусть,. На координатной плоскости (, ) построим прямоугольник, проекции которого на координатные оси () и () совпадают с интервалами [, ] и [, ], соответственно. Далее, разобьем интервал [, ] на равных частей: = 0 < 1 < · · · < =, взяв одну такую часть за единицу измерения критерия 1 (рис.7.1). Проведем через каждую точку деления прямую = ( = 1,..., ), параллельную оси ординат. Теперь укажем — как построить часть кривой безразличия, лежащую между прямыми = 1, = +1 и проходящую через точку (, ). Отметим на прямой = +1 точку (+1, 1 ) так, чтобы разность 1 равнялась ЛКЗ в точке (, ). (Напомним, что знание ЛКЗ в точке (, ) эквивалентно наличию следующей информации: для векторной оценки (, ) чему равна уступка по 2–му критерию, которая компенсируется прибавкой единицы по 1–му критерию? Эта информация не является формализованной и должна быть получена дополнительно от принимающего решение.) Аналогично на прямой = 1 отметим ту точку (1, +1 ), для которой разность +1 равняется ЛКЗ в точке (1, +1 ) (рис.7.2). Ломаная с вершинами (1, +1 ), (, ), (+1, 1 ) представляет собой кусочно– линейную аппроксимацию части кривой безразличия, лежащей между прямыми = 1 и = +1 и проходящей через точку (, ). Чтобы построить приближенно карту безразличий в прямоугольнике, поступим следующим образом. Проведем в прямоугольнике диагональ, соединяющую левую нижнюю вершину с правой верхней. В качестве "опорных узлов"возьмем точки пересечения диагонали с прямыми = ( = 1, ).

Для каждого опорного узла строим указанным выше способом узлы на соседних прямых до тех пор, пока не дойдем до одной из прямых =, =, =, =. Соединяя полученные узлы ломаной, получаем "картинку"типа той, что приведена на рис.7.1. Она представляет собой кусочно–линейную аппроксимацию карты безразличий в прямоугольнике. Точность аппроксимации возрастает с уменьшением шага = 1, то есть с уменьшением единицы измерения критерия 1.

Однако увеличение точности карты возможно лишь при условии получения достоверной информации от принимающего решение относительно величин ЛКЗ во всех узлах (число узлов имеет порядок 2 и быстро растет с уменьшением шага).

Замечание. С некоторыми усложнениями данный метод может быть использован для построения карты безразличий при наличии трех критериев (в этом случае возникают не кривые, а поверхности безразличия).

При числе критериев больше трех указанный метод неприменим.

2. Предположим теперь, что в некоторой области векторных оценок R2 карта безразличий может быть построена (то есть для каждой точки области мы можем построить проходящую через нее кривую безразличия). Согласно теореме 6.1 это дает принципиальную возможность задать обобщенный критерий с точностью до монотонно возрастающей функции. Однако, большинство задач, связанных с векторными оценками по двум критериям, можно решить без построения обобщенного критерия, а пользуясь только картой безразличий. Рассмотрим здесь две важнейшие задачи.

Задача 1. Сравнить по предпочтению две векторные оценки из области.

Решение. Укажем — как устанавливается предпочтение между векторными оценками (без построения обобщенного критерия) для области, снабженной картой безразличий. Пусть (1, 1 ), (2, 2 ) — две векторные оценки из области. Может быть три случая.

a) Векторные оценки (1, 1 ) и (2, 2 ) сравнимы по Парето. Пусть например, (1, 1 ) > (2, 2 ). Тогда векторная оценка (1, 1 ) будет более предпочтительной (в строгом смысле), чем векторная оценка (2, 2 ) :

Замечание. При изображении на координатной плоскости векторные оценки, сравнимые по Парето с векторной оценкой (1, 1 ) располагаются от нее либо в "северо–восточном либо в "юго–западном"направлении;

остальные векторные оценки несравнимы с ней по Парето (рис. 7.3).

b) Точки 1 (1, 1 ) и 2 (2, 2 ) лежат на одной кривой безразличия. Тогда векторные оценки (1, 1 ) и (2, 2 ) считаются эквивалентными для принимающего решение (записывается (1, 1 ) (2, 2 )). Содержательно это означает, что для принимающего решение безразлично — что выбирать: исход, имеющий векторную оценку (1, 1 ), или исход, имеющий векторную оценку (2, 2 ).

c) Векторные оценки (1, 1 ) и (2, 2 ) несравнимы по Парето и не лежат на одной кривой безразличия. Рассмотрим проходящую через точку 1 (1, 1 ) кривую безразличия. Так как точка 2 (2, 2 ) не лежит на этой кривой, то она располагается выше или ниже нее. Возьмем, например, случай, когда точка 2 (2, 2 ) располагается ниже указанной кривой безразличия. Тогда, двигаясь по кривой безразличия от точки 1 вниз, мы обязательно найдем на ней такую точку (, 1 ), для которой векторная оценка (, 1 ) доминирует по Парето векторную оценку (2, 2 ) : (, 1 ) > (2, 2 ) (см. рис.7.4). Согласно a) выполняется (1, 1 ) (2, 2 ), а согласно b) — (1, 1 ) (1, 1 ); получаем в итоге Построенное отношение предпочтения может быть определено следующее простым правилом.

Правило 7.1. Для любых двух векторных оценок (1, 1 ), (2, 2 ) области :

1) условие (1, 1 ) (2, 2 ) выполняется тогда и только тогда, когда точка 1 (1, 1 ) лежит на более высокой кривой безразличия, чем точка 2 (2, 2 );

2) условие (1, 1 ) (2, 2 ) выполняется тогда и только тогда, когда точки 1 (1, 1 ) и 2 (2, 2 ) лежат на одной кривой безразличия.

Замечание. Запись (1, 1 ) (2, 2 ) читается "векторная оценка (1, 1 ) является более предпочтительной, чем векторная оценка (2, 2 )";

(1, 1 ) (2, 2 ) — "векторная оценка (1, 1 ) эквивалентна по предпочтительности векторной оценке (2, 2 )". Условие (1, 1 ) (2, 2 ) означает, что выполняется (1, 1 ) (2, 2 ) или (1, 1 ) (2, 2 ); оно может быть прочитано в виде: "векторная оценка (1, 1 ) является не менее предпочтительной, чем векторная оценка (2, 2 )". Отношение нестрогого предпочтения, — отношением эквивалентности предпочтений.

Теперь выясним основные свойства построенного отношения предпоВо–первых, оно устанавливает полное ранжирование мночтитения жества векторных оценок, при котором любые две векторные оценки сравнимы между собой по предпочтению. Формально это означает выполнимость для отношения предпочтения следующих двух аксиом.

(1) Аксиома транзитивности: для любых трех векторных оценок (2) Аксиома линейности (сравнимости): любые две векторные оценки (1, 1 ), (2, 2 ) области сравнимы между собой, то есть выполняется (1, 1 ) (2, 2 ) или (2, 2 ) (1, 1 ).

В математике отношения, удовлетворяющие указанным двум аксиомам, принято называть отношениями линейного квазипорядка. Таким образом, построенное отношение предпочтения векторных оценок является отношением линейного квазипорядка.

Далее, из построения отношения предпочтения видно, что оно удовлетворяет следующим двум дополнительным условиям:

(1 ) отношение Парето–доминирования > содержится в отношении строгого предпочтения ;

(2 ) соотношение (1, 1 ) (2, 2 ) выполняется тогда и только тогда, когда точки 1 (1, 1 ) и 2 (2, 2 ) лежат на одной кривой безразличия.

Сформулируем теперь следующий принципиальный результат.

Теорема 7.1. Пусть R2 — множество векторных оценок, на котором задана карта безразличий. Существует единственное отношение линейного квазипорядка на множестве, удовлетворяющее дополнительным условиям (1 ) и (2 ).

Для доказательства теоремы 7.1, установим одно вспомагательное утверждение, относящееся к отношениям линейного квазипорядка. Для отношения квазипорядка будем через обозначать его симметричную часть, то есть отношение эквивалентности = 1.

Для любых отношений линейного квазипорядка 1, 2 справедлива следующая Лемма 7.1.

импликация:

Достаточно показать, что при выполнении условия импликации (7.1) будет Доказательство.

иметь место включение 2 1. В самом деле, пусть (1, 2 ) 2. Надо проверить, что (1, 2 ) 1.

Может быть два случая. 1) (1, 2 ) 2. Тогда (1, 2 ) 1 1. Рассмотрим теперь случай 2) (1, 2 ) 2. Предположим, что (1, 2 ) 1. Тогда по аксимоме линейности выполняется (2, 1 ) 1 и ввиду включения 1 2 получаем (2, 1 ) 2. Так как по предположению имеет место (1, 2 ) 2, то получаем (1, 2 ) 2 1 = 2, что ведет к противоречию. Итак, (1, 2 ) 1 и импликация (7.1) установлена.

рассмотренным выше дополнительным условиям:

(1 ) отношение доминирования по Парето > содержится в отношении ;

(2 ) соотношение (1, 1 ) (2, 2 ) выполняется тогда и только тогда, когда точки 1 (1, 1 ) и 2 (2, 2 ) лежат на одной кривой безразличия.

Покажем, что построенное при решении Задачи 1 отношение предпочтения векторных оценок b) точки 1 (1, 1 ) и 2 (2, 2 ) лежат на одной кривой безразличия;

c) существует такая векторная оценка (, 1 ), что точки 1 (1, 1 ) и (, 1 ) лежат на одной кривой безразличия и (, 1 ) > (2, 2 ).

В случае a) по условию (1 ) получаем (1, 1 ) (2, 2 ). В случае b) по условию (2 ) выполняется (1, 1 ) (2, 2 ). Наконец, в случае c) согласно (2 ) имеет место (1, 1 ) (, 1 ), а согласно Таким образом, в любом случае выполняется (1, 1 ) (2, 2 ), то есть отношение предпочтения содержится в отношении. Так как симметричные части этих отношений представляют собой эквивалентности, классами которых служат кривые безразличия, то эти эквивалентности что и заканчивает доказательство теоремы 7.1.

Построенное при решении Задачи 1 отношение предпочтения векторбудем называть каноническим линейным квазипорядком ных оценок на множестве векторных оценок. По теореме 7.1 всякое отношение линейного квазипорядка на, удовлетворяющее условиям (1 ) и (2 ), совпадает с каноническим линейным квазипорядком.

Установим теперь связь между предпочтением, задаваемым каноническим линейным квазипорядком, и теми предпочтениями, которые определяются при помощи обобщенных критериев.

Пусть — какой–нибудь обобщенный критерий, определенный на множестве векторных оценок и совместимый с заданной на картой безразличий. Рассмотрим отношение предпочтения векторных оценок, устанавливаемое по величине обобщенного критерия :

Ясно, что — отношение линейного квазипорядка на. Соотношение (1, 1 ) (2, 2 ) здесь означает, что (1, 1 ) = (2, 2 ) и по условию совместимости с картой безразличий отсюда следует, что точки 1 (1, 1 ) и 2 (2, 2 ) лежат на одной кривой безразличия; таким образом, условие (2 ) здесь выполнено.

Далее, если (1, 1 ) > (2, 2 ), то согласно (6.2) (1, 1 ) > (2, 2 );

последнее эквивалентно тому, что (1, 1 ) (2, 2 ) и получаем, что условие (1 ) также выполнено. На основании теоремы 7.1 имеем Следствие. Отношение предпочтения векторных оценок, устанавливаемое по любому обобщенному критерию, совместимому с картой Итак, получаем следующее Правило 7.2. При введении предпочтений на множестве векторных оценок — будем ли мы его вводить с помощью обобщенного критерия, совместимого с картой безразличий, или с помощью некоторого линейного квазипорядка, удовлетворяющего условиям (1 ) и (2 ), — оно совпадет с предпочтением, определяемым каноническим квазипорядком.

В заключение данного пункта рассмотрим еще одну задачу, решаемую при наличии карты безразличий.

Задача 2. В области векторных оценок, снабженной картой безразличий, найти наиболее предпочтительную векторную оценку.

Решение. На основании правил 7.2 и 7.1 получаем, что наиболее предпочтительной будет та векторная оценка (*, * ), для которой точка * (*, * ) находится в области и лежит на самой "высокой"кривой безразличия, еще пересекающей область. (Здесь имеется очевидная аналогия с нахождением максимума функции двух переменных с помощью линий уровня — см. Лекцию 3. Разница состоит в том, что при нахождении максимума функции линии уровня строится по заданной функции (, ), а кривые безразличия строятся на основе информации о замещениях между критериями, получаемой от принимающего решение.) Указанный способ нахождения наиболее предпочтительной векторной оценки иллюстрируется рисунком 7.5.

3. Здесь мы рассмотрим одну типичную экономическую задачу, решение которой может быть получено с помощью построения карты безразличий.

Задача №10: Исследование потребительских предпочтений.

Эта задача состоит из двух частей:

a) Построение отношения предпочтения наборов потребительских благ;

b) Нахождение оптимального набора потребительских благ.

Под потребительскими благами в экономике понимают товары, продукты и услуги. Для унификации терминологии будем далее использовать термин "товары". Если перенумеровать все мыслимые товары, то всякий набор товаров можно представить в виде вектора = (1,..., ), где 0 — количество –го товара в этом наборе.

Основной постулат, принимаемый в экономике, состоит в том, что каждый потребитель имеет отношение предпочтения на множестве потребительских наборов (здесь cons — от английского consumer — потребитель).

Выявление (построение) отношения предпочтения данного потребителя является непростой задачей. Для описания подхода к ее решению ограничимся случаем = 2, то есть будем рассматривать наборы, состоящие из 2–х товаров 1 и 2. Всякий набор товаров 1 и 2 может быть задан в виде пары неотрицательных чисел (1, 2 ), где 1 — количество товара 1 и 2 — количество товара 2. Множество таких наборов можно отождествить с множеством векторных оценок по двум критериям (в качестве 1–го критерия выступает количество товара 1, а в качестве 2–го критерия — количество товара 2 ). Тогда при решении задачи нахождения предпочтений потребителя можно использовать полученные в данном пункте результаты о структуре отношения предпочтения векторных оценок.

Какими свойствами обладает отношение предпочтения ? Во–первых, оно должно быть отношением линейного квазипорядка, то есть удовлетворять аксиомам транзитивности и линейности. Во–вторых, отношение предпочтения обладает тем свойством, что при увеличении компонент потребительского набора его предпочтение для потребителя возрастает, то есть:

Если 1 и 2, причем хотя бы одно из этих неравенств строгое, то В экономике аксиома (7.3) носит название аксиомы ненасыщения.

Формально условие импликации (7.3) означает, что набор (1, 2 ) доминирует по Парето набор (, ); таким образом, аксиома ненасыщения эквивалентна тому,что отношение строгого предпочтения потребиPar тельских наборов содержит отношение > доминирования по Парето.

Итак, с формальной точки зрения Задача 10 а) состоит в том, что на множестве потребительских наборов надо построить отношение предпоcons чтения, которое должно являться линейным квазипорядком и содержать отношение доминирования по Парето.

Подчеркнем, что здесь речь идет не о том, чтобы построить какое– нибудь отношение предпочтения, удовлетворяющее указанным условиям, а о том, чтобы найти (или, как говорят, "выявить") уже имеющееся отношение предпочтения. Предположим, что нам удалось построить на множестве потребительских наборов отношение предпочтения некоторого потребителя. Тогда будет определена и симметричная часть этого отношения. С другой стороны, как мы видели при доказательстве теоремы 7.1, всякое линейное квазиупорядочение векторных оценок, содержащее Парето–доминирование, однозначно определяется своей симметричной частью (задание которой сводится к построению в области векторных оценок карты безразличий). Вывод:

Необходимым и достаточным условием выявления отношения предпочтения потребителя на заданном множестве потребительских наборов является нахождение на этом множестве его карты безразличий.

Согласно правила 6.2 построение карты безразличий в некоторой области эквивалентно заданию ЛКЗ в каждой точке этой области. В нашем случае ЛКЗ в точке (1, 2 ) имеет следующий содержательный смысл: он указывает приблизительное количество товара 2, потеря которого компенсируется для потребителя увеличением на единицу количества товара 1 в наборе (1, 2 ); при этом равенство будет тем более точным, чем меньше взята единица товара 1. В экономике указанный локальный коэффициент замещения называется предельной нормой замещения и обозначается через MRS (от английского Marginal Rate of Substitution).

Имеет место следующее важное свойство локального коэффициента замещения: по мере движения вправо вдоль оси абсцисс ЛКЗ уменьшается, что соответствует общеизвестному принципу: при увеличении количества продукта его ценность для потребителя уменьшается, а при уменьшении количества продукта его ценность увеличивается. (Скажем, если у путешественника имеется одна буханка хлеба, то потеря г хлеба для него будет малосущественной, но если у него имеется всего 100 г хлеба, то потеря тех же 50 г для него весьма ощутима.) Заметим, что указанное уменьшение величины ЛКЗ влечет выпуклость кривой безразличия, см. рис. 6.2; крайний случай — когда кривые безразличия превращаются в прямые. Этот случай соответствует тому, что ЛКЗ является постоянным (лекция 6, п.3).

В рамках рассматриваемой задачи условие, что ЛКЗ есть константа, означает согласие потребителя компенсировать потерю единиц товара 2 увеличением на единицу количества товара 1 в любом наборе, то есть независимо от количества товара 1 и 2. Очевидно, что на практике это условиее осуществляется очень редко, то есть как правило, ЛКЗ является переменным.

Итак, при задании в области потребительских наборов карты безcons различий искомое отношение предпочтения потребительских наборов определяется однозначно и представляется в следующем виде: набор (1, 2 ) является для потребителя более предпочтительным, чем набор (1, 2 ) тогда и только тогда, когда точка 1 (1, 2 ) лежит на более "высокой"кривой безразличия, чем точка 1 (1, 2 ). В случае, когда эти точки лежат на одной кривой безразличия, данные наборы считаются эквивалентными, то есть потребителю безразлично — какой из этих наборов выбирать.

Рассмотрим теперь решение Задачи 10 b) — нахождения оптимального потребительского набора. При решении Задачи 10 a) мы учитывали только желания (предпочтения) потребителя и не учитывали его возможностей. Между тем, возможности реального потребителя всегда ограничены, причем ограничивающими факторами здесь являются цены на товары и доход потребителя (под доходом понимается та сумма, которую потребитель может потратить на приобретение какого-либо набора потребительских благ). Пусть = (1,..., ) — вектор цен, где — цена единицы товара, тогда стоимость набора = (1,..., ) будет выражаться в виде скалярного произведения (, ). Обозначим через доход потребителя. Множество наборов, которые потребитель может приобрести, задается неравенством:

которое называется бюджетным ограничением.

Задача 10b) теперь может быть точно сформулирована в следующем виде:

При заданном векторе цен и заданном доходе в множестве всех потребительских наборов, удовлетворяющих бюджетному ограничению (7.4), найти наиболее предпочтительный набор.

Для случая двух товаров решение сформулированной задачи может быть получено следующим образом. Полагая = (1, 2 ), = (1, 2 ), получаем, что бюджетное ограничение принимает здесь вид неравенства:

1 1 + 2 2, причем по смыслу должно быть 1, 2 0. Таким образом, геометрически область потребительских наборов, удовлетворяющих бюджетному ограничению, представляет собой треугольник, ограниченный прямой () : 1 1 + 2 2 = и осями декартовой системы координат (рис. 7.6). Построим карту безразличий потребителя в области.

Наиболее предпочтительным (оптимальным) из наборов, удовлетворяющих бюджетному ограничению, будет тот набор (*, * ), для которого проходящая через точку * (*, * ) кривая безразличия касается граничной прямой (), см. рис.7.6. Так как для прямой () тангенс угла ее наклона к оси абсцисс равен 1 /2, то в точке * (*, * ) тангенс угла наклона касательной к кривой безразличия равен 1 /2. С другой стороны, по правилу 6.1 локальный коэффициент замещения в точке * равен взятому со знаком "минус"тангенсу угла наклона касательной к кривой безразличия в этой точке, откуда для точки * ЛКЗ будет равен 1 /2. Итак, получаем следующее правило: в точке, являющейся оптимальным выбором потребителя, локальный коэффициент замещения равен отношению цен.

Тест для самоконтроля к лекции 1. На рисунке представлен график кривой безразличия. Укажите значения ЛКЗ в точках 1, 2, 3 соответственно.

Варианты ответа: (1,2,3) 2. В 2-критериальной ЗПР векторные оценки, доминирующие по Парето векторную оценку (0, 0 ), составляют для нее....

Варианты ответов юго-восточный прямоугольник 3. В 2-критериальной ЗПР векторные оценки, доминируемые по Парето векторной оценкой (0, 0 ), составляют для нее....

Варианты ответов юго-восточный прямоугольник 4. Пусть в области векторных оценок 2 задана карта безразличий (, ) =. Наиболее предпочтительной является та векторная оценка (*, * ), которая....

Варианты ответов находится в наивысшей точке области 5. Линейным квазипорядком называется бинарное отношение, которое удовлетворяет аксиомам....

Варианты ответов рефлексивности и транзитивности 6. Какое линейное квазиупорядочение векторных оценок соответствует карте безразличий, представленной на рисунке?

Варианты ответов:

7. В 2-критериальной ЗПР с заданной картой безразличий (, ) = векторные оценки эквивалентны, если....

Варианты ответов они лежат на одной горизонтали 8. В 2-критериальной ЗПР с заданной картой безразличий (, ) = одна векторная оценка доминирует другую, если....

Варианты ответов первая находится выше второй;

соответствует большему значению константы, чем вторая;

РЕЗЮМЕ И ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ

ЗАМЕЧАНИЯ K РАЗДЕЛУ I

I. Построение математической модели задачи принятия решения (ЗПР) состоит в задании двух основных структур: реализационной структуры и оценочной структуры. Реализационная структура отражает связь между выбираемыми альтернативами и возможными исходами, а оценочная структура устанавливает оценку возможных исходов с точки зрения принимающего решение.

ЗПР в условиях определенности характеризуется наличием детерминированной (однозначной) связи между допустимыми альтернативами и исходами, в силу чего в ней выбор альтернативы эквивалентен выбору исхода. Поэтому построение реализационной структуры ЗПР в условиях определенности сводится к заданию множества допустимых альтернатив; с содержательной точки зрения это означает перечисление всех возможных действий принимающего решение.

Оценочная структура задачи принятия решения может быть задана в различных видах, например, в виде оценочной функции; в виде бинарного отношения предпочтения; в виде оценок по нескольким критериям. В общем случае оценочная структура задачи принятия решения задается на множестве исходов. Для ЗПР в условиях определенности в силу наличия однозначной связи между альтернативами и исходами оценочные структуры всех типов могут быть тривиальным образом перенесены с множества исходов на множество допустимых альтернатив.

В данном курсе для ЗПР в условиях определенности рассматривается два типа оценочных структур: оценочная функция (лекции 2-4) и оценка по нескольким критерием (лекции 5-7).

II. Математическая модель ЗПР в условиях определенности, в которой оценочная структура задана в форме оценочной функции, принимает вид,, где — множество допустимых альтернатив, : R — целевая функция. Для таких моделей принятия решения имеется по– существу единственный принцип оптимальности, в соответствии с которым оптимальной будет альтернатива *, доставляющая глобальный максимум целевой функции на множестве допустимых альтернатив (глобальный минимум, если является функцией потерь). Поэтому задача нахождения оптимального решения превращается здесь в математическую задачу нахождения экстремума функции. Для приложений наиболее важным является случай, когда множество допустимых альтернатив может быть отождествлено с некоторой областью, содержащейся в –мерном евклидовом пространстве, то есть R. Для этого случая достаточные условия существования экстремума целевой функции : R (а, значит, и существования оптимальных решений соответствующих ЗПР) дает классическая теорема Вейерштрасса:

если множество является замкнутым и ограниченным, а функция непрерывна, то глобальный максимум и глобальный минимум функции достигается на.

III. Возможности нахождения точек глобального экстремума функции : R, где R, определяются видом функции и свойствами области. Для дифференцируемой функции точками глобального экстремума могут быть только критические точки (то есть либо стационарные точки функции, либо граничные точки области ). Это правило дает возможность найти точки глобального экстремума функции одной или двух переменных, однако при > 2 оно позволяет лишь сузить "область поиска". Для многих частных случаев (выделяемых видом функции и свойствами допустимой области ), разработаны методы и алгоритмы нахождения точек глобального экстремума функции;

этот круг вопросов не входит в наше рассмотрение.

IV. При задании оценочной структуры ЗПР в виде оценок по нескольким критериям (то есть в виде векторной оценки) получается многокритериальная задача принятия решения. Основная сложность логического анализа многокритериальных ЗПР заключена в том, что в них возникает "эффект несравнимости исходов когда для двух исходов один из них оказывается лучше по одному критерию, но хуже по другому. Несравнимость исходов представляет собой форму неопределенности — ценностную неопределенность, которая связана со стремлением принимающего решение достичь противоречивых целей. Следствием указанной неопределенности является невозможность сформулировать для класса многокритериальных ЗПР единый принцип оптимальности решения. Если для задач принятия решений, в которых оценочная структура задается в виде целевой функции, сложности нахождения оптимального решения носят только технический характер, то для многокритериальных ЗПР возникают сложности концептуального характера, связанные с проблемой — что следует понимать под оптимальным решением. Ниже указываются некоторые подходы к решению этой проблемы, изложенные в лекциях 5-7.

V. Важнейшим понятием, вводимым для многокритериальных задач, является отношение доминирования по Парето >. (Вильфредо Парето — известный итальянский экономист второй половины XIX– начала XX века.) Пусть — множество возможных исходов. Условие 1 > содержательно означает, что исход 1 не хуже, чем исход 2 по любому из рассматриваемых критериев, причем, по крайней мере, по одному из критериев 1 лучше, чем 2.

Исход * называется Парето–оптимальным, если он не доминируется по Парето никаким исходом.

При любом разумном понимании оптимальности для многокритериальных задач принятия решений оптимальный исход обязательно должен быть Парето–оптимальным. Поэтому окончательный выбор оптимального исхода в многокритериальной ЗПР следует производить из множества Парето–оптимальных исходов. Однако, в типичных случаях Парето–оптимальных исходов может быть несколько ( в непрерывном случае — бесконечное множество), поэтому следующий этап анализа многокритериальных ЗПР представляет собой проблему сужения Парето– оптимального множества. Такое сужение производится с помощью некоторых формализованных процедур на базе получаемой от принимающего решение дополнительной информации о критериях или о свойствах оптимального решения.

Простейшие процедуры такого рода связаны, например, с назначением нижних границ критериев; выделением одного критерия (субоптимизация); упорядочением критериев по их относительной важности (лексикографическая оптимизация). Общим недостатком всех таких методов является то, что, во–первых, часто возникают содержательные трудности в получении такой информации от принимающего решение и, во– вторых, процедура сужения Парето–оптимального множества не дает, как правило, единственного решения.

VI. Для многокритериальных задач принятия решений проблема выбора оптимального решения — это фактически проблема получения от принимающего решение дополнительной информации о соотношении критериев между собой. Наиболее "емкой"здесь является информация о величине так называемого локального коэффициента замещения (ЛКЗ).

Для ЗПР с 2–мя критериями локальный коэффициент замещения указывает величину прибавки по одному критерию, которая компенсирует для принимающего решение потерю единицы по другому критерию. Зная ЛКЗ в каждой точке области векторных оценок, можно построить в этой области карту безразличий, состоящую из кривых безразличия. Обратно, если в области векторных оценок задана карта безразличий, то можно найти ЛКЗ в любой точке этой области. Оказывается, что задание в области векторных оценок карты безразличий (или, что эквивалентно, ЛКЗ в каждой точке этой области) определяет единственным образом полное ранжирование множества векторных оценок, что приводит к единственному оптимальному решению.

VII. Остановимся на последнем результате более подробно. Он может быть точно сформулирован либо в терминах обобщенного критерия, либо в терминах линейного квазиупорядочения.

Под обобщенном критерием в многокритериальной ЗПР понимается такая функция, которая превращает векторную оценку в скалярную и при этом сохраняет Парето-доминирование. В общем случае различные обобщенные критерии приводят к разным ранжированиям векторных оценок и (как следствие этого) — к разным оптимальным решениям. Предположим теперь, что в области векторных оценок 2критериальной задачи принятия решения задана карта безразличий. Обобщенный критерий называется совместимым с картой безразличий, если линиями уровня функции в области являются кривые безразличия. Показано (см. лекцию 6, п. 4), что все обобщенные критерии, совместимые с картой безразличий, эквивалентны между собой в следующем смысле: они дают одно и то же ранжирование векторных оценок и (как следствие этого) одно и тоже оптимальное решение.

В терминах линейного квазиупорядочения уточнение состоит в следующем. Как показывает теорема 7.1, в области векторных оценок, снабженной картой безразличий, существует одно и только одно линейное квазиупорядочение (называемое каноническим), которое удовлетворяет следующим двум условиям:

(1) отношение содержит Парето–доминирование > ;

(2) классами эквивалентности (симметричной части отношения ) служат кривые безразличия.

VIII. Укажем интерпретацию последнего результата применительно к экономической проблеме выявления предпочтения потребителя. Основной постулат, принимаемый в экономике потребления, состоит в том, что каждый потребитель имеет отношение предпочтения на множестве наборов потребительских благ, причем это отношение является отношением линейного квазипорядка. Далее, в экономике принимается аксиома ненасыщаемости, означающая с математической точки зрения, что отношение предпочтения потребителя содержит отношение доминирования по Парето. В силу теоремы 7.1 необходимым и достаточным условием выявления отношения предпочтения потребителя на заданном множестве потребительских наборов является нахождение на этом множестве его карты безразличий.

При имеющейся карте безразличий единственным линейным квазипорядком, совместимым с картой безразличий и удовлетворяющим аксиоме ненасыщаемости, будет канонический линейный квазипорядок.

IX. Дадим краткую характеристику задач, рассмотренных в разделе I. Задача № 1 относится к так называемым задачам управления запасами (формулировку см., например, в [10]); в данном случае ее решение сводится к нахождению экстремума функции одной переменной. Задача № связана с исследованием производственной функции. В экономике широкое распространение получили мультипликативные производственные функции, простейшим примером которой является производственная функция в задаче № 2. Задача № 3 заимствована нами из [1]. Задачи NN 4,5,6 — это типичные задачи линейного программирования (которые получили широкое распространение после работ выдающегося советского математика Л.В. Канторовича, удостоенного за эти исследования Нобелевской премии). Задача № 7 носит иллюстративный характер и является дискретной задачей многокритериальной оптимизации. Задача № с математической точки зрения является непрерывной задачей многокритериальной оптимизации и по своему содержанию представляет значительный интерес для экономики; эта задача рассматривалась многими авторами (см., например, [14]). Задача № 9 иллюстрирует способ сравнения объектов по векторному критерию при известном ЛКЗ. Задача № является типичной задачей экономики потребления, см., например, [5].

X. Упражнения.

1. Рассмотреть все этапы решения задачи об оптимальном размере закупаемой партии товара (см. задачу №1) при следующих данных:

2. Продукт производится из продуктов и, причем количество продукта равно 51/3 2/3, где — количество продукта, — количество продукта. Какое наибольшее количество продукта может быть произведено, если стоимость единицы продукта равна 5–ти ден. ед., стоимость единицы продукта равна 2–м ден. ед. и всего на покупку продуктов и ассигновано 20 ден. ед.

Указание. Воспользоваться методом множителей Лагранжа (лекция 3).

3. Количество продукта, производимого из продуктов и, находится по формуле (, ) = 2 + 3, где — количество продукта, — количество продукта. Какое максимальное количество продукта может быть получено при условии, что и связаны ограничением 42 + 9 2 72.

Указание. Использовать графический метод нахождения экстремума функции (лекция 3).

4. В таблице 1 указано количество белков (), жиров (), углеводов (), витаминов () в единице продукта 1 и 2, а также минимальная норма питательных веществ в смеси этих продуктов и стоимость единицы продуктов Указание. Использовать графический метод нахождения решения задачи линейного программирования (см. лекцию 4).

5. Используя графический метод, найти оптимальный производственный план в задаче, заданной таблицей 2 (см. лекцию 4):

6. В таблице 3 указана стоимость перевозки единицы продукта со продукте для пунктов потребления и его наличный запас на складах и 2. Составить оптимальный план перевозок (см. Задачу № 6).

Указание. Использовать графический метод нахождения решения задачи линейного программирования (см. лекцию 4).

7. При выборе квартиры в качестве существенных критериев взяты:

1 — метраж (в 2 ), 2 — время поездки на работу (в мин.), 3 — время поездки в зону отдыха (в мин.); при этом критерий 1 рассматривается как позитивный, а критерии 2 и 3 — как негативные. Сравнить по предпочтительности 7 вариантов, представленных в таблице 4.

Указание. 1-й этап анализа — отбрасывание вариантов, доминируемых по Парето. 2-й этап — сужение Парето-оптимального множества с помощью процедур, основанных на дополнительной информации, получаемой от принимающего решение, о критериях или свойствах оптимального решения (см. лекцию 5).

8. Используя в качестве обобщенного критерия для задачи № 7 критерий (6.1), построить полное ранжирование вариантов мест работы.

Соответствует ли полученное ранжирование вашим предпочтениям?

9. Построить полное ранжирование указанных в таблице 5 векторных оценок по критериям и, зная, что в области векторных оценок ЛКЗ имеет вид: (, ) = 2/3 (см. Задачу № 9).

10. В области векторных оценок, определенной системой неравенств, найти наиболее предпочтительную векторную оценку, если карта безразличий задается уравнением =.

Указание. Использовать графоаналитический способ нахождения экстремума функции двух переменных, см. лекцию 3, п. 2.

ЛИТЕРАТУРА К РАЗДЕЛУ I: [1, 3, 5, 8, 9, 10, 11, 14, 20, 23, 28, 29, 37, 39, 40, 46, 48, 49].

Принятие решений в условиях неопределенности и риска Лекция Принятие решений в условиях неопределенности Основные вопросы: 1. Математическая модель задачи принятия решения в условиях неопределенности. Пример: Аренда отеля. 2. Принцип доминирования стратегий. Методы анализа ЗПР в условиях неопределенности на основе введения гипотезы о поведении среды. 3. Критерии Лапласа, Вальда, Гурвица и Сэвиджа. 4. Задача №11: Выбор проекта электростанции.

1. Как указывалось в лекции 1, реализационная структура задачи принятия решения включает в себя множество допустимых альтернатив, множество состояний среды, множество исходов и функцию реализации :. Принятие решения в условиях неопределенности характеризуется тем, что при выборе альтернативы принимающему решение неизвестно наличное состояние среды и он не имеет никакой информации о вероятностях их появления. Отметим, что эта неопределенность не является абсолютной, так как принимающему решение известно множество возможных состояний среды (множество ) и известна функция реализации.

Оценочная структура ЗПР в условиях неопределенности может быть задана любым из способов, указанных в п.3 лекции 1; в данной лекции мы будем рассматривать случай, когда оценочная структура задается в виде оценочной функции. Композиция функции реализации и оценочной функции представляет собой целевую функцию. При этом число (, ) указывает полезность (ценность, эффективность) того исхода, который получается в ситуации, когда принимающий решение выбирает альтернативу, а среда принимает состояние. Напомним, что если оценка исходов выражает затраты, убытки или другие негативные факторы, то в этом случае функция называется функцией потерь.

Итак, математическая модель ЗПР в условиях неопределенности может быть задана в виде следующей тройки объектов где — множество допустимых альтернатив, — множество возможных состояний среды, : R — целевая функция.

Фактически построение такой математической модели принятия решения сводится к заданию целевой функции, определенной на множестве и принимающей числовые значения.

Рассмотрим один пример построения математической модели ЗПР в условиях неопределенности.

Пример 8.1: Аренда отеля.

Предприниматель намерен взять в аренду отель сроком на 1 год. Имеются отели 4–х типов: на 20, 30, 40 или 50 комнат. По условиям аренды предприниматель должен оплатить все расходы, связанные с содержанием отеля. Эти расходы (в некоторых денежных единицах) состоят из 3–х частей:

1) Расходы, не зависящие от выбора проекта отеля:

а) благоустроийство территории — 10 тыс.;

б) затраты на текущий ремонт и содержание — 1.5 тыс.;

в) один ночной дежурный — 6 тыс.;

г) один служащий для уборки территории — 8 тыс.

2) Расходы, зависящие от числа комнат отеля:

а) меблировка одной комнаты — 2 тыс.;

б) 1 горничная на 10 комнат — 6 тыс.;

в) содержание одной комнаты — 150;

г) страхование на случай пожара для одной комнаты — 25.

3) Расходы, зависящие от числа занятых комнат:

а) стирка, уборка — 25;

б) электричество, газ, вода — 25.

Доход предпринимателя составляет 200 ден. ед. в день с каждой занятой комнаты. Какое решение должен принять предприниматель?

Построим математическую модель данной задачи принятия решения.

Альтернативами здесь являются типы отелей, поэтому в качестве множества альтернатив можно взять = {20, 30, 40, 50}.

Что представляют собой в данном случае состояния среды? В соответствии со сказанным в п. 3 лекции 1, среда — это то, что определяет при каждой фиксированной альтернативе появление конкретного исхода (результата). В нашей задаче в качестве исхода можно рассматривать прибыль, которую получит предприниматель за год аренды отеля. При фиксированной альтернативе прибыль предпринимателя полностью определяется средним числом занятых комнат (то есть в качестве единственного параметра, характеризующего состояние среды, здесь выступает среднегодовой спрос). Поэтому в качестве множества состояний среды в данной задаче можно взять = {1, 2, 3,..., 50}. Целевая функция имеет здесь следующий содержательный смысл: (, ) — это прибыль, которую получит предприниматель за год в ситуации, когда он арендует отель из комнат, а среднегодовой спрос равен. Найдем целевую функцию (, ) в явном виде.

1) Расходы, не зависящие от выбора проекта отеля, составляют 2) Расходы, зависящие от числа комнат отеля, равны 3) Расходы, зависящие от числа занятых комнат, таковы:

4) Доход предпринимателя определяется числом занятых комнат и составляет в год Отсюда прибыль предпринимателя за год в ситуации (, ) равна 73000 (2775 + 18250 + 25500) = 54750 2775 25500 (..) Итак, целевая функция для данной задачи принятия решения есть Методы анализа ЗПР в условиях неопределенности будут рассмотрены в следующих двух пунктах.

2. Основная сложность при принятии решения в условиях неопределенности состоит в том, что, выбирая одну из допустимых альтернатив, принимающий решение не знает имеющегося состояния среды; в то же время получающийся исход зависит от того, в каком состоянии находится среда. Говоря формально, целевая функция (, ) является функцией двух аргументов и ; принимающий решение должен выбирать значение аргумента, не зная значения аргумента.

В этой лекции мы ограничимся случаем, когда множества и являются конечными; тогда целевая функция может быть задана табличным способом. Так как "природа"альтернатив и состояний среды в математической модели ЗПР никак не отражается, будем различать элементы этих множеств по номерам, полагая = {1,...,,..., }, = {1,...,,..., }. Далее, положим (, ) = и будем интерпретировать число как выигрыш принимающего решение в ситуации (, ).

Тогда целевая функция задается в виде таблицы 8.1, в которой на пересечении –й строки и -го столбца стоит число — выигрыш принимающего решение в ситуации, когда он выбирает альтернативу, а среда принимает состояние. Таблица 8.1 называется также матрицей выигрышей или платежной матрицей.

Пример 8.2. Рассмотрим ЗПР в условиях неопределенности, целевая функция которой задана таблицей 8.2. Выбор какой альтернативы здесь следует считать оптимальным?

Чтобы ответить на этот вопрос, надо иметь некоторый способ сравнения двух альтернатив. Наиболее простой и естественный принцип, по которому можно сравнить две альтернативы — это принцип доминирования, состоящий в следующем: говорят, что альтернатива 1 доминирует альтернативу 2 (записывается 1 2 ), если при любом состоянии среды выигрыш принимающего решение при выборе им альтернативы 1 будет не меньше, чем его выигрыш при выборе альтернативы 2 (то есть выполняется 1 2 при всех = 1,..., ).

Если 1 2, то альтернатива 1 называется доминирующей, а альтернатива 2 — доминируемой. Ясно, что независимо от состояния среды доминирующая альтернатива является не менее предпочтительной для принимающего решение, чем доминируемая альтернатива, поэтому доминируемую альтернативу можно исключить из дальнейшего рассмотрения. Принцип доминирования состоит в отбрасывании доминируемых альтернатив.

В примере 8.2 имеем: 4 5, 3 1, и других пар, находящихся в отношении доминирования, нет. Поэтому, исключая доминируемые альтернативы 1 и 5 (то есть вычеркивая из таблицы 8.2 строки с номерами 1 и 5), получаем ЗПР, в которой все альтернативы несравнимы по отношению доминирования. Для того, чтобы выбрать из оставшихся альтернатив оптимальную, нужны какие–то дополнительные соображения.

Замечание. Сравнение альтернатив по отношению доминирования аналогично сравнению исходов многокритериальной ЗПР по Парето– доминированию (см. лекцию 5). Основное различие здесь в интерпретации: для ЗПР в условиях неопределенности номера столбцов соответствуют состояниям среды, а для многокритериальной ЗПР они соответствуют критериям.

Основной метод, позволяющий найти оптимальную альтернативу в ЗПР в условиях неопределенности, состоит в следующем:

Формулируется некоторая гипотеза о поведении среды, позволяющая дать каждой альтернативе единую числовую оценку.