«Кафедра теории вероятностей, математической статистики и управления стохастическими процессами Статистика Составители курса: 1. Теоретический материал: Харламов А.В. 2. Методические рекомендации: Харламов А.В. 3. ...»

Саратовский государственный университет им. Н.Г Чернышевского

Кафедра теории вероятностей,

математической статистики и

управления стохастическими

процессами

Статистика

Составители курса:

1. Теоретический материал: Харламов А.В.

2. Методические рекомендации: Харламов А.В.

3. Вопросы для самоконтроля: Харламов А.В.

4. Тестовые задания: Харламов А.В.

Саратов 2008 г.

СТАТИСТИКА

Содержание Методические рекомендации

Введение

Статистическое наблюдение

Статистическая сводка, группировка, таблицы

Статистические обобщающие показатели

Статистическое изучение вариации

Выборочный метод

Статистическое изучение динамики социально-экономических явлений

Индексный метод в статистических исследованиях

Статистическое изучение связей социально-экономических явлений

Приложения к курсу

Вопросы для самоконтроля

Задачи для самостоятельного решения

Тесты для самопроверки

Рекомендуемая литература

Методические рекомендации 1. Цель курса Целью данной учебной дисциплины является системное изложение статистических методов, применяемых на основных стадиях экономикостатистического исследования. При этом рассмотрение статистической методологии изучения закономерностей экономической деятельности основывается на широком использовании результатов теории вероятностей и математической статистики с применением средств современной вычислительной техники. Курс лекций должен способствовать правильному восприятию и квалифицированной обработке студентами статистической информации, а также обоснованному прогнозированию и эффективному использованию в экономических исследованиях полученных результатов.

Также целью курса является формирование у студентов представления о статистике как научной дисциплине и как области практической деятельности, позволяющей собирать и обрабатывать реальную информацию, знакомство с основными статистическими показателями, получение первичных навыков сбора, систематизации, обработки и анализа статистических данных. В процессе изучения курса у студентов формируется адекватное представление об экономическом содержании и информационных возможностях статистических методов.

2. Задачи курса Задачи изучения курса определяются требованиями к подготовке кадров, установленными в квалификационной характеристике подготовки специалистов (бакалавров, магистров) по направлению «Прикладная информатика (по областям)» и состоят в следующем:

в углублении знаний по теории статистического анализа экономических процессов, в освоении статистической методики сбора и обработки данных при социально-экономических исследованиях;

в изучении аппарата и техники статистического анализа социальноэкономических процессов;

в формировании навыков проведения сложных статистических расчетов, вычислении статистических показателей и интерпретации полученных результатов, в подготовке специалистов, обладающих исследовательским потенциалом.

3. Место курса в профессиональной подготовке выпускника Статистика является базовой общепрофессиональной дисциплиной для студентов, обучающихся по направлению «Прикладная информатика (по областям)», так как в настоящее время во всём мире она представляет собой универсальный язык для общения экономистов всех стран и всех направлений, государственных деятелей, политиков, социологов, бизнесменов, финансистов и специалистов в области госуправления.

Поэтому важно обучить студентов этому универсальному языку общения специалистов во всем мире.

Количественные измерения социально-экономических процессов и явлений основываются на положениях экономической теории, результатах изучения качественных аспектов экономических процессов, полученных в рамках общеэкономической теории и различных прикладных разделов экономической науки. В свою очередь, развитие экономической теории невозможно без использования результатов статистического описания экономических процессов для проверки и уточнения отдельных постулатов, концепций, положений и выводов. Статистика с помощью своих методов не только проверяет корректность выдвинутой теоретической гипотезы, но и подтверждает конкретными числовыми характеристиками развитие установленных тенденций во времени, а также устанавливает роль различных факторов в общем процессе развития наблюдаемого явления.

В результате изучения статистики студент должен знать:

содержание основных этапов статистического исследования, основные способы и виды статистического наблюдения, основные требования к исходной информации, методы сбора и обработки статистических данных для проведения качественного экономического анализа, методы статистических группировок, основные правила составления таблиц, основные виды обобщающих статистических показателей и их роли в изучении экономической деятельности, основные формулы и зависимости, используемые при анализе статистических данных, методы вычисления основных статистических показателей, способы анализа рядов динамики, выявления основной тенденции и сезонных колебаний, специфику индексного метода в исследованиях коммерческой деятельности, методов корреляционно-регрессионного анализа связи показателей коммерческой деятельности;

уметь:

составлять план статистического наблюдения исходных показателей, проводить статистический анализ с применением изученных в курсе методов и интерпретировать полученные статистические показатели, анализировать и находить зависимости в изучаемых явлениях, организовывать статистическое исследование и проводить статистический анализ реальной экономической ситуации, использовать публикуемые статистические данные в качестве информационной основы статистического анализа, проверять достоверность первичных данных;

иметь представление:

о возможностях и границах применения изученных в курсе статистических методов, об основных источниках статистической информации, о приёмах статистической оценки значимости полученных результатов;

обладать навыками:

самостоятельного выбора и применения статистических методов для обработки имеющейся информации.

5. Особенности курса и рекомендации его освоения В предлагаемом пособии содержится системное изложение основных разделов курса, изучение которых во многом способствует формированию деловых качеств специалиста в различных областях профессиональной деятельности.

Для успешного изучения курса студент должен владеть основами математического анализа, линейной алгебры, аппаратом теории вероятностей и математической статистики, иметь базовые представления в области общей экономической теории.

Особенностью представления данного курса является то, что вопросы статистической методологии рассматриваются в привязке к решению типовых задач.

Основное внимание при изучении курса статистики следует уделять системам показателей и возможностям их интерпретации, методам статистического анализа социально-экономических явлений и процессов.

При изучении каждой темы сначала рекомендуется внимательно разобрать теоретический материал. После осмысления теоретического материала следует разобрать примеры решения задач. Анализ предлагаемых в курсе примеров позволит учащимся лучше уяснить сферу применения статистических показателей и методов их вычислений.

Представляется важным включение в комплект материалов по курсу вопросов для самопроверки и тестов для самоконтроля усвоенных знаний, что существенно повышает качество обучения.

Для более глубокого понимания пройденного предлагаются задачи для самостоятельного решения. Попытка самостоятельного решения разобранных задач на основе изученного теоретического материала, также представляет собой форму контроля и самоконтроля изуч Статистика является одной из древнейших отраслей знаний, возникшей на базе хозяйственного учета. Предполагают, что термин «статистика»

произошел либо от латинского слова «статус», что означает «порядок», либо от слова «стато», что означает «государство».

Сегодня термин статистика имеет несколько значений.

1. Совокупность сведений о различных явлениях.

2. Процесс получения сведений, то есть отрасль практической деятельности.

3. Функция от случайной выборки (в математической статистике).

4. Наука, изучающая с количественной стороны массовые явления и их закономерности.

Под статистикой мы будем понимать отрасль практической деятельности, которая имеет своей целью сбор, обработку, анализ и публикацию массовых данных о различных явлениях общественной жизни.

Исторически как наука статистика развивалась в двух направлениях.

Первое возникло в Германии как государствоведение или описательная статистика.

Описательная (дескриптивная) статистика это получение статистических показателей, с помощью которых обобщаются характеристики только наблюдаемой совокупности. Задача ее заключается в том, чтобы дать сжатую и концентрированную характеристику изучаемого явления.

Второе направление развивалось в Англии и было известно под названием политической арифметики. Сегодня это направление известно, как аналитическая статистика.

Аналитическая статистика представляет собой процедуры оценки характеристик совокупности по данным выборок.

Если представители первого направления просто описывали особенности государства, то во втором случае главной задачей считалось выявление закономерностей.

На сегодня в статистике можно выделить следующие самостоятельные научные дисциплины.

1. Общая теория статистики. Общая теория статистики является наукой о наиболее общих принципах, правилах и законах цифрового освещения социально-экономических явлений.

2. Экономическая статистика. Экономическая статистика изучает явления и процессы в области экономики: структуру, пропорции, взаимосвязи отраслей и элементов общественного воспроизводства.

3. Отраслевые и социально-демографические статистики. Социальнодемографическая статистика изучает население, а также социальные (неэкономические) явления и процессы, которые характеризуют условия жизнедеятельности людей, их взаимоотношения в процессе труда и внепроизводственной деятельности. Каждая отраслевая статистика представляет собой науку о количественных изменениях, происходящих в соответствующих отраслях народного хозяйства.

Предметом статистики является количественная сторона массовых общественных явлений в неразрывной связи с их качественной стороной или содержанием, а так же количественное выражение законов общественного развития в конкретных условиях места и времени.

Специфические приемы, с помощью которых статистика изучает свой предмет, образуют статистическую методологию. А именно: метод массовых наблюдений, метод статистических группировок и таблиц, методы анализа с помощью обобщающих показателей.

Сформулируем используемые в статистике термины.

1. Статистическая совокупность - это совокупность социальноэкономических объектов или явлений общественной жизни, объединенная качественной основой.

2. Единица совокупности - это первичный элемент статистической совокупности являющийся носителем признаков подлежащих регистрации.

3. Признак – это качественная особенность единицы совокупности.

(атрибутивными).

4. Вариация - это изменение значений признака.

5. Статистический показатель - это количественно-качественная характеристика статистической совокупности или социальноэкономического явления. Статистическая совокупность характеризуется системой показателей объясняющих явление с разных сторон.

6. Задача статистического исследования - получение обобщающих показателей и выявление закономерностей социально-экономических явлений и процессов в конкретных условиях места и времени.

7. Статистическая закономерность - это форма проявления причинной связи, выражающаяся в повторяемости событий с достаточно высокой вероятностью.

Для исследования социально-экономических явлений и процессов общественной жизни следует, прежде всего, собрать о них необходимые сведения - статистические данные.

Под статистическими данными (информацией) понимают совокупность количественных характеристик социально-экономических явлений и процессов, полученных в результате статистического наблюдения, их обработки или соответствующих расчетов.

Важной частью любого статистического исследования является статистическое наблюдение.

Статистическое наблюдение - это массовое, планомерное, научно организованное наблюдение за явлениями социальной и экономической жизни, которое заключается в регистрации отобранных признаков у каждой единицы совокупности.

Статистическое наблюдение является первым шагом любого статистического исследования и в нем можно выделить три этапа:

1. подготовка наблюдения;

2. сбор материалов;

3. контроль полученного материала.

При подготовке статистического наблюдения определяют цели и объект наблюдения, состав признаков, подлежащих регистрации; разрабатывают документы для сбора данных; а также определяют методы и средства получения данных.

Кроме этого решают проблемы организационного характера.

Целью статистического наблюдения является получение достоверной информации для выявления закономерностей развития явлений и процессов.

Объектом наблюдения называется конкретная совокупность единиц, явлений или процессов подлежащих обследованию. Единица наблюдения обладает рядом признаков, подлежащих регистрации.

Единицы совокупности и единицы наблюдения могут иногда различаться.

Единица совокупности - первичная ячейка, от которой должны быть получены необходимые статистические сведения. Например, при переписи станочного парка заводов единица наблюдения – завод, а единицы совокупности – станки.

Перечень признаков (вопросов), подлежащих регистрации в процессе наблюдения составляют содержание программы наблюдения.

Формы, способы и виды статистического наблюдения.

В отечественной статистике используются три организационные формы (типы) статистического наблюдения:

1. отчетность (предприятий, организаций, учреждений и т. п.);

2. специально организованное статистическое наблюдение (переписи, единовременные учеты, обследования);

3. регистры.

Отчетность - это основная форма статистического наблюдения, с помощью которой статистические органы в определенные сроки получают от предприятий, учреждений и организаций необходимые данные в виде установленных в законном порядке отчетных документов. Отчетность как форма статистического наблюдения основана на первичном учете, который представляет собой регистрацию различных фактов, событий, производимую по мере их совершения.

Специально организованное наблюдение проводится с целью получения сведений, отсутствующих в отчетности, или для проверки ее данных.

Регистровое наблюдение - это форма непрерывного статистического наблюдения за долговременными процессами, имеющими фиксированное начало, стадию развития и фиксированный конец. Оно основано на ведении статистического регистра. В регистре каждая единица наблюдения характеризуется совокупностью показателей и все показатели хранятся до полного завершения наблюдения за единицей обследуемой совокупности.

Статистическая информация может быть получена различными способами:

1. непосредственное наблюдение;

2. документальный учет фактов;

3. опрос.

Непосредственным называют такое наблюдение, при котором факт, подлежащий регистрации фиксируется на месте.

Документальный способ наблюдения основан на использовании в качестве источника статистической информации различного рода документов, как правило, учетного характера.

Опрос - это способ наблюдения, при котором необходимые сведения получают со слов респондента.

В статистике применяются следующие виды опросов:

устный (счетчики получают необходимую информацию на основе опроса соответствующих лиц и сами фиксируют ответы);

саморегистрация (розданные счетчиками формуляры заполняются самими респондентами);

корреспондентский (сведения сообщаются добровольными корреспондентами);

анкетный (проводится сбор информации в виде анкет);

явочный (сведения предоставляются в явочном порядке).

Виды статистических наблюдений можно классифицировать по следующим признакам: полнота охвата единиц совокупности и непрерывность учета фактов во времени.

По полноте охвата наблюдение бывает:

1. сплошное;

2. несплошное:

- выборочное;

- основного массива;

- монографическое.

По непрерывности учета фактов во времени бывает:

1. текущее;

2. периодическое;

3. единовременное.

Сплошное наблюдение – производится учет всех единиц изучаемой совокупности (перепись населения).

Несплошное наблюдение – это достаточно массовый учет единиц совокупности для получения обобщающих показателей и характеристик.

Выборочное наблюдение – проводят случайный отбор единиц совокупности (снаряды, гвозди).

Способ основного массива – при этом исследуются наиболее крупные единицы наблюдения, содержащие значительную часть изучаемых фактов (биржа).

Монографическое описание применяется для подробного изучения единичных, но типичных объектов (описание жизни студента).

Текущие наблюдения проводятся систематически, охватывая факты по мере их возникновения (отдел кадров).

Периодические наблюдения проводятся регулярно, через равные промежутки времени (перепись населения).

Единовременное наблюдение является разовым и проводится по мере необходимости.

Помимо этого используют метод ведения дневников для анализа явлений, которые трудно восстановить по памяти, а также стало популярным бизнесобследование для анализа деятельности предприятия.

При сборе информации возможны ошибки, которые могут быть случайными или систематическими. Чтобы их избежать, применяют счетный и логический контроль.

Статистическая сводка, группировка, таблицы Статистическая сводка - это научная обработка первичных данных статистического наблюдения для получения обобщенных характеристик изучаемого явления по ряду существенных признаков. Статистическая сводка является второй стадией статистического наблюдения. На этой стадии завершается характеристика единиц совокупности и происходит характеристика всей совокупности в целом. По глубине обработки материала сводка бывает простая и сложная.

Простая сводка - это подытоживание фактов.

Сложная сводка - представляет собой группировку данных, а также подсчет итогов по каждой группе и в целом.

Составными элементами сводки являются:

1. программа, определяющая группировки и системы показателей, характеризующих совокупность;

2. подсчет групповых и общих итогов;

3. оформление конечных результатов сводки в виде статистических Статистической группировкой называется расчленение статистической сводки на части по значениям варьирующего признака. Основной целью группировки является упорядочивание первичного статистического материала для дальнейшего анализа.

Статистические группировки можно подразделить на следующие виды:

1. типологические;

2. структурные;

3. аналитические;

4. комбинированные;

5. пространственные.

Типологические - служат для выделения социально-экономических типов, классов качественно однородных совокупностей (разделение предприятий по формам собственности).

Структурные – служат для разделения однородных совокупностей на группы, характеризующие структуру по какому либо признаку (деление населения на городское и сельское).

Аналитические – служат для изучения взаимосвязи между исследуемыми явлениями и признаками. Взаимосвязанные признаки подразделяются на факторные (признак-причина) и результативные (признак-следствие).

Комбинированные – в данном случае группы, образованные по одному признаку, делятся на подгруппы по другим признакам.

Пространственные – группы создаются по географическому признаку.

Статистические таблицы.

Результаты сводки статистического материала представляют в виде статистических таблиц.

Статистической таблицей называется система статистических показателей, изображенная табличным методом. Составленную, но не заполненную цифрами таблицу называют макетом. Статистическая таблица содержит в себе подлежащее и сказуемое. Подлежащее показывает, о каком явлении идет речь, а сказуемым являются показатели, характеризующие подлежащее. Таблица состоит из поименованных строк и столбцов. В таблице обязательно должны присутствовать номер, заголовок, дата составления. Если это необходимо, даются комментарии.

Пример Перечень сельскохозяйственных акционерных обществ закрытого типа по урожайности выращиваемых культур на орошаемых площадях в Краснокутском районе Саратовской губернии в центнерах с гектара на 18.02.03:

с/х АОЗТ Подлежащее – с/х АОЗТ.

Сказуемое – урожайность культур.

Классификация таблиц.

Таблицы классифицируются следующим образом.

1. По характеру подлежащего:

- простые - в подлежащем приводится перечень наименований объектов (таблица 1);

- групповые - в подлежащем содержится группировка совокупности по какому-либо признаку при развернутом сказуемом (таблица 2);

- комбинационные - в подлежащем содержится группировка совокупности по двум или более признакам (таблица 3).

использованию с/х тракторовооружению, 2. По характеру сказуемого:

- простая разработка сказуемого - сказуемое представлено простым перечнем ряда признаков (таблица 2);

- комбинационная разработка сказуемого - сказуемое представляет собой комбинацию признаков (таблица 4).

Глинобитные Мазанки Землянки 3. По цели группировки:

- описательно-информационные - дают описательно-количественную характеристику отдельных сторон явлений;

- аналитические - характеризуют взаимосвязи между признаками, выявляют тенденции развития явлений;

- типологические - характеризуют основные социально-экономические типы;

- специального назначения - используются при анализе межотраслевых связей, составлении балансов и т.д.

Ряды распределения.

Частным, но важным случаем таблиц являются статистические ряды распределения.

Значения, которые принимают изучаемые признаки, называются вариантами. Число повторений варианта называют частотой.

Вариант с номером i, обозначается xi, а соответствующая частота mi, причём сумма всех частот равна объему изучаемой совокупности ( m i = n ).

Отношение частоты к объему частотой), которые в сумме дают единицу ( = 1 ).

Варианты, расположенные в порядке возрастания (ранжированный ряд) с указанными соответствующими частотами, представляют ряд распределения.

Таким образом, можно сказать, что Рядом распределения в статистике называется упорядоченное распределение единиц совокупности по группам по какому-либо варьирующему признаку.

Варьирующий признак, лежащий в основе группировки, называется группировочным.

По виду группировочного признака ряды распределения делятся на:

1. атрибутивные – группировочный признак качественный;

2. вариационные – группировочный признак количественный.

Вариационные ряды, в свою очередь, подразделяются на:

2.1 дискретные - значение признака меняется дискретно;

2.2 интервальные - значение признака меняется непрерывно.

При построении интервальных рядов могут возникнуть вопросы о числе групп и величине интервалов в группе. Для определения числа групп можно использовать формулу Стерджесса:

где n – численность единиц (объем) изучаемой совокупности; k – число образуемых групп.

Величина интервала вычисляется по формуле:

где x max и xmin соответственно максимальное и минимальное значения признака.

Примеры рядов.

Атрибутивный ряд:

Дискретный вариационный ряд:

Интервальный ряд:

При необходимости интервальные ряды представляют в дискретном виде, для этого переходят к серединам интервалов:

В зависимости от характера распределения единиц совокупности интервалы могут быть равными или неравными, открытыми или закрытыми, ограниченными или неограниченными.

Интервалы неравные, крайние интервалы открытые, правый крайний интервал неограниченный; левый крайний интервал ограничен нулем.

Для графического изображения рядов используют полигон (дискретный ряд) или гистограмму (интервальный ряд).

Статистические обобщающие показатели В результате сводки образуются статистические совокупности, которые характеризуются обобщающими статистическими показателями в целом и по группам.

Статистический показатель представляет собой количественную характеристику социально-экономических явлений и процессов в условиях качественной определенности. Качественная определенность показателя заключается в том, что он непосредственно связан с внутренним содержанием изучаемого явления или процесса, его сущностью.

В отличие от признака статистический показатель получается расчетным путем.

Обобщающие показатели можно подразделить таким образом:

1. абсолютные величины;

2. относительные величины;

3. средние величины.

Абсолютные величины.

Первоначальным видом обобщающих показателей являются абсолютные величины, которые получают в результате статистического наблюдения.

Абсолютные величины являются суммарными величинами. На их базе рассчитывают относительные и средние.

В статистике абсолютные показатели всегда являются именованными, причем единицы измерения подразделяются на:

1. натуральные (тонны, литры, километры и т.п.);

2. условно-натуральные (одна тонна условного топлива);

3. стоимостные (рубли);

4. комбинированные (чел./ч, т/км и т.п.).

Пример Сравнительная характеристика с/х АОЗТ по обеспеченности тракторами.

Коэффициент пересчета Условным будем называть трактор, который за единицу времени обработает единицу площади. Коэффициент пересчета показывает соотношение между реальным трактором и условным. Переведем все тракторы в условные и вычислим общее число условных тракторов для n = 0,8·5+1,1·10+1,8·1+2,1·4=25,2. Аналогичные вычисления проводим для второго с/х АОЗТ. Таким образом, «Заря» находится в более выгодном положении.

Относительные величины.

Для выяснения закономерностей развития явлений используются относительные величины и средние.

Относительный показатель (относительная величина) – это обобщающий показатель, который дает числовую меру отношения двух сопоставляемых величин.

Относительный показатель представляет собой результат деления одного абсолютного показателя на другой и выражает соотношение между количественными характеристиками социально-экономических процессов и явлений. Относительные показатели являются производными (вторичными) по отношению к абсолютным показателям.

С помощью относительных показателей измеряют интенсивность развития изучаемого явления во времени, оценивают уровень развития одного явления на фоне других взаимосвязанных с ним явлений, осуществляют пространственно-территориальные сравнения.

Числитель получаемого отношения, называется текущим или сравниваемым значением показателя, а знаменатель называется основанием или базой сравнения.

Относительные величины могут быть представлены в следующих формах:

1. коэффициенты (база равна 1);

2. проценты (база равна 100%);

3. промилле (база равна 1000‰) и др.

Используемые на практике относительные статистические показатели можно подразделить на следующие виды относительных величин:

1. структуры;

2. динамики;

3. сравнения;

4. интенсивности;

5. координации и др.

Относительная величина структуры показывает удельный вес каждой группы в численности всей совокупности (доля безработных среди всего населения).

Относительная величина динамики характеризует развитие явления во времени (темп роста).

Относительная величина сравнения получается в результате сопоставления одноименных абсолютных показателей, относящихся к разным совокупностям (потребление молочных продуктов в г. Саратове, в г.

Энгельсе).

Относительная величина интенсивности получается при сопоставлении разноименных признаков одной совокупности, измеряющее степень распространения явления в определенной среде (коэффициент рождаемости, коэффициент фондоотдачи).

Относительная величина координации получается как отношение между частями одного целого (соотношение между числом мужчин и женщин на производстве).

Средние величины.

Средней величиной в статистике называется обобщающая характеристика совокупности однотипных явлений по какому-либо количественно варьирующему признаку.

Каждая средняя величина рассчитывается для некоторого вариационного ряда.

Существует понятие типической средней, когда средняя является представительной характеристикой совокупности. Типичность средней непосредственным образом связана с однородностью статистической совокупности. Средняя величина только тогда будет отражать типичный уровень признака, когда она рассчитана по качественно однородной совокупности.

В статистике используют степенную среднюю, рассчитываемую в простой:

или взвешенной:

Здесь x - степенная средняя; p – показатель уровня средней; xi - i-ое значение признака; i = 1,..., n ; n – число измерений (объем совокупности), mi - число повторений значения xi, k - число различных значений xi.

Простая средняя используется, если значение варьирующего признака встречается один раз (несгруппированные данные), взвешенная – если значения имеют различную частоту повторений (дискретный вариационный ряд):

Виды средних величин.

В зависимости от значения показателя p различают следующие виды средних:

1. арифметическая;

2. квадратическая;

4. геометрическая.

Средняя арифметическая ( p = 1 ):

Средняя квадратическая ( p = 2 ):

Средняя гармоническая ( p = 1 ):

Средняя геометрическая ( p = 0 ):

Поясним формулу для четвертого случая (три первых случая очевидны).

Возьмем логарифмы от левой и правой частей степенной средней и вычислим предел при p стремящемся к нулю.

При вычислении предела непосредственно получаем неопределенность вида, поэтому используем правило Лопиталя и вычислим производные числителя и знаменателя по переменной p, получим:

Приравнивая аргументы под знаками логарифмов, получаем требуемое.

Можно показать, что для всех видов средних справедливо соотношение:

Введенные частотные коэффициенты повторения одинаковых значений признаков mi иногда называют весами или весовыми коэффициентами.

Заметим, что в некоторых задачах при расчете средних значений веса могут быть не натуральными числами, тогда их будем обозначать как f i.

Рассмотрим следующий пример.

Требуется рассчитать среднюю урожайность для трех хозяйств по следующим данным.

Сначала отметим, что для получения средней урожайности мы должны весь валовой сбор всех трех хозяйств разделить на их общую посевную площадь 1. Считаем, что в первом случае нам известна посевная площадь и урожайность по каждому хозяйству, тогда для расчета используем среднюю арифметическую взвешенную:

В качестве весов f i здесь выступала посевная площадь.

2. Во втором случае нам известны валовой сбор и урожайность по каждому хозяйству, тогда для расчета используем среднюю гармоническую взвешенную В качестве весов f i здесь выступил валовой сбор.

Мода и медиана.

Модой в статистике называется значение признака, чаще всего встречающееся в данной совокупности (вариационном ряду).

В дискретном ряду это значение с наибольшей частотой. Так для таблицы 8 мода будет равна Mo = 200.

В интервальном ряду мода определяется следующим образом:

здесь x 0 - начало модального интервала; h0 - величина модального интервала:

m0, m1, m+1 - частоты модального, предмодального и постмодального интервалов.

Медианой в статистике называется значение признака, находящееся в середине вариационного ряда.

В дискретном ряду с нечетным числом членов медиана вычисляется по формуле:

В дискретном ряду с четным числом членов медиана вычисляется по формуле:

(объем) равно n = 81 значит, медиана будет равна Me = x41 = 200.

Для интервального ряда медиана определяется следующим образом:

здесь x 0 - начало медианного интервала; h0 - величина медианного интервала;

m = n - сумма всех частот (накопленные частоты); S – сумма частот до медианного интервала; m0 - частота медианного интервала.

Пример.

Приводится группировка представителей спортивной делегации по возрастам.

Моду и медиану в статистике называют структурными средними.

Колеблемость признаков (вариация) измеряется величиной отклонения отдельных значений признаков от их среднего значения. Средняя может быть одинаковой для совокупностей, в которых изучаемый признак варьирует по разному.

Рассмотрим следующий Пример В таблице приводятся данные по зарплате пяти рабочих по 2 отделам магазина, руб.

Средняя зарплата одинаковая для обоих отделов x1 = x2 = 300, но имеет различную вариацию.

Вариацию признака можно охарактеризовать различными показателями:

1. размах вариации;

2. абсолютное среднее линейное отклонение;

4. среднее квадратическое отклонение;

5. коэффициент вариации;

6. коэффициент равномерности;

7. коэффициент осцилляции;

8. относительное линейное отклонение и др.

Размах вариации это разность между максимальным и минимальным значениями признака.

Абсолютное среднее линейное отклонение это средняя сумма линейных абсолютных отклонений индивидуальных значений признака от среднего, оно вычисляется как Дисперсия это средняя сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от среднего, она вычисляется как Среднее квадратичное отклонение это квадратный корень из дисперсии, вычисляется как Коэффициентом вариации называется отношение среднего квадратического отклонения к среднему значению варьирующего признака.

Он вычисляется в процентах и позволяет сравнивать степень варьирования признаков в вариационных рядах с разным уровнем средних.

Также коэффициент вариации характеризует представительность средней.

Если коэффициент вариации превышает сто процентов, то считается, что варианты неоднородны, а средняя не является представительной характеристикой совокупности.

Коэффициент вариации вычисляется равномерность изучаемого явления и вычисляется Коэффициент осцилляции характеризует относительную колеблемость крайних значений признаков вокруг средней и вычисляется Относительное линейное отклонение характеризует долю значений среднего линейного отклонения от средней величины и вычисляется Заметим, что все показатели вариации могут быть вычислены как в простой форме, так и во взвешенной. Так для абсолютного среднего линейного отклонения и дисперсии можно записать выражения:

Правило сложения дисперсий.

Рассмотрим совокупность, элементы которой характеризуются двумя признаками. Один из признаков будем считать факторным (признакпричина), другой результативным (признак-следствие). Данную совокупность, состоящую из n наблюдений, представим в виде вариационного ряда, разбив ее на k групп по значениям (уровням) факторного признака. Проанализируем результативный признак, принимающий значения x1, x2,..., xn.

По всем значениям результативного признака вычислим общую среднюю совокупности и общую дисперсию:

Также вычислим средние и дисперсии для каждой группы:

–е значение результативного признака в j-ой группе, m j - объем j -ой группы, Затем вычисляем внутригрупповую дисперсию, как среднюю из групповых дисперсий:

и межгрупповую дисперсию:

Будет справедлива следующая Теорема о сумме дисперсий:

Общая дисперсия сгруппированного ряда равна сумме межгрупповой и внутригрупповой дисперсий.

Доказательство.

Рассмотрим дисперсию для преобразования:

для последнего слагаемого будет справедливо:

с учетом этого можно продолжить преобразования:

Таким образом, получили, что откуда можно записать Умножаем обе части на m j и суммируем по всем значениям j, получим:

Откуда следует справедливость утверждения теоремы Теорема доказана.

Данная теорема интерпретируется следующим образом:

общая дисперсия 2 показывает совокупную вариацию изучаемого признака, межгрупповая дисперсия 2 показывает колеблемость значений исследуемого признака за счет изменения уровней факторного признака, а внутригрупповая дисперсия 2 показывает колеблемость значений исследуемого признака за счет изменения прочих причин. Чем больше значение межгрупповой дисперсии, тем сильнее значение факторного признака оказывает влияние на результативный признак.

Тесноту связи (степень влияния) между причиной и следствием определяют с помощью коэффициента детерминации. Коэффициент детерминации вычисляется как отношение межгрупповой дисперсии к общей дисперсии:

и принимает свои значения на отрезке от нуля до единицы: 2 [0;1].

Чем ближе значение коэффициента к единице, тем сильнее влияние факторного признака.

Величина = 2 называется эмпирическим корреляционным отношением и является линейной мерой взаимосвязи между признаками.

Рассмотрим следующий Пример.

По следующим данным необходимо определить степень влияния полива на урожайность культур.

Отметим, что при расчетах используется взвешенная форма. Вычислим общую среднюю и средние по каждой группе Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой: 2 = x 2 ( x )2.

Сначала вычислим средний квадрат:

Дисперсия будет равна: 2 = x 2 ( x )2 = 898,4 29,22 = 45, Таким же образом вычислим дисперсии для каждой группы.

Внутригрупповая дисперсия будет равна:

Вычислим межгрупповую дисперсию:

Выполнение равенства: 45,76 = 37 + 8,76 показывает верность проведенных расчетов.

соответственно равны:

Такое большое значение коэффициента говорит о существенном влиянии полива на урожайность.

Вариация качественных признаков.

Вариация качественного признака проявляется в наличии или отсутствии этого признака у данного элемента.

Признаки, которыми обладают одни элементы и не обладают другие, называются альтернативными. Долю единиц в совокупности, обладающих данным признаком, обозначают через P, а не обладающих - через Q.

Очевидно, что P + Q = 1.

Заметим, что альтернативный признак можно рассматривать, как частный случай количественного признака, принимающий значения единица (признак присутствует) или ноль (признак отсутствует). Поэтому среднее значение и дисперсия для альтернативного признака могут быть записаны как частный случай количественного: x = P и D = 2 = PQ.

Также необходимо отметить, что введенные в рассмотрение средняя и дисперсия удовлетворяют всем свойствам выборочного математического ожидания и дисперсии, рассматриваемых в математической статистике.

Выборочным называется такое наблюдение, при котором характеристика всей совокупности единиц дается по некоторой их части. Вся совокупность называется генеральной, а обследуемая часть называется выборочной совокупностью (выборкой). Отбор единиц совокупности в выборку должен обеспечивать ее репрезентативность (выборка должна воспроизводить существенные характеристики всей генеральной совокупности).

При выборочном наблюдении, как правило, оценивают два обобщающих показателя генеральной совокупности. Это генеральная средняя и генеральная доля.

Будем обозначать среднее значение варьирующего признака в генеральной совокупности как X ; а в выборочной совокупности - x.

Доля характеризует совокупность по альтернативному признаку и определяется как отношение числа единиц, обладающих данным признаком, к числу всех единиц совокупности. Для генеральной совокупности доля будет равна P =, а доля выборочной совокупности - w =.

Задача выборочного наблюдения состоит в том, чтобы по выборочным характеристикам оценить соответствующие генеральные характеристики.

Заметим, что для решения этой задачи используется математический аппарат математической статистики, когда теоретические числовые характеристики (математическое ожидание) оцениваются своими эмпирическими аналогами (выборочное математическое ожидание).

Способы отбора единиц генеральной совокупности в выборку.

Как правило, применяют два способа отбора единиц:

1. повторный;

2. бесповторный.

При повторном отборе единицы генеральной совокупности после обследования возвращаются обратно и при дальнейшем обследовании могут снова попасть в выборку.

При бесповторном отборе единицы генеральной совокупности отбираются только один раз.

Способы отбора единиц определяются, исходя из задач обследования.

Методы отбора единиц генеральной совокупности в выборку.

В зависимости от целей обследования могут использовать следующие методы отбора единиц генеральной совокупности в выборку:

2. районированный;

4. механический;

5. серийная выборка;

6. механическая выборка.

При собственно случайном отборе (нерайонированном) единицы выбираются случайным образом. Он бывает как повторным, так и бесповторным.

При районированном отборе совокупность разбивается на районы (участки), в которых проводится выборка, как правило, бесповторная.

Типический отбор используется в тех случаях, когда все единицы генеральной совокупности можно разбить на несколько типических групп.

При обследованиях населения такими группами могут быть, например, социальные, возрастные или образовательные группы. Типический отбор предполагает выборку единиц из каждой типической группы собственно случайным или механическим способом. Поскольку в выборочную совокупность в той или иной пропорции обязательно попадают представители всех групп, типизация генеральной совокупности позволяет исключить влияние межгрупповой дисперсии на среднюю ошибку выборки, которая в этом случае определяется только внутригрупповой вариацией.

Отбор единиц в типическую выборку может быть организован либо пропорционально объему типических групп, либо пропорционально внутригрупповой дифференциации признака.

Механический отбор или механическая выборка применяется в случаях, когда генеральная совокупность каким-либо образом упорядочена, т.е. имеется определенная последовательность в расположении единиц совокупности. Для проведения механической выборки устанавливается пропорция отбора, которая определяется соотнесением объемов выборочной и генеральной совокупностей. Отбор единиц осуществляется в соответствии с установленной пропорцией через равные интервалы по какому-либо правилу, например, каждый пятый элемент.

Серийная выборка. Данный способ отбора удобен в тех случаях, когда единицы совокупности объединены в небольшие группы или серии. В качестве таких серий могут рассматриваться партии товара, студенческие группы и др. Сущность серийной выборки заключается в собственнослучайном либо механическом отборе серий, внутри которых производится сплошное обследование единиц.

Моментная выборка. В этом случае на определенные моменты времени фиксируется наличие отдельных элементов совокупности.

На практике статистических обследований помимо рассмотренных выше способов отбора применяется их комбинация.

Ошибки выборочного наблюдения.

Так как выборочные характеристики всегда отличаются от генеральных в силу неизбежных погрешностей вычислений (оценок), то приходится учитывать ошибки выборочного наблюдения. Ошибки выборки при случайном отборе являются случайными величинами. Они зависят от объема выборки и от уровня варьирования изучаемого признака. Ошибки выборки вычисляют с помощью формул средних ошибок.

Средняя ошибка выборки для среднего значения варьирующего признака называется средней ошибкой выборочной средней и вычисляется:

при повторном отборе и при бесповторном отборе.

Здесь 2 - генеральная дисперсия признака, n – численность выборки, N – численность генеральной совокупности.

Следует сделать следующее замечание. Согласно курса математической статистики средняя ошибка выборочной средней является средним квадратическим отклонением выборочного среднего, когда выборочное среднее является оценкой генерального среднего. А именно, если генеральная средняя a - это математическое ожидание M = a, и D = 2 дисперсия исследуемой случайной величины, то наилучшей оценкой для a будет выборочная средняя a = i = x, которая сама является случайной величиной и ее числовые характеристики будут равны: M a = a и Da =.

Вычислим эти ошибки.

Для простоты вычислений, не нарушая общности, будем считать, что генеральная средняя равна нулю, то есть X = l = если X = a, можно перейти к новым масштабированным значениям признака xi' = xi a и получить желаемое.

В этом случае генеральная дисперсия будет вычисляться как: 2 =.

Рассмотрим повторный случай.

Повторный способ отбора единиц позволяет рассматривать все элементы выборки, как независимые случайные величины с теми же числовыми параметрами, что и генеральная совокупность.

ожидание и дисперсию следующим образом.

Тогда средняя ошибка выборочной средней будет равна: x = Dx = Рассмотрим бесповторный случай.

В данном случае элементы выборки не будут независимыми случайными величиной, задаваемой рядом распределения:

Здесь s - число различных выборок (значений случайной величины x ), и все значения являются равновозможными, т.е. закон распределения выборочной средней можно записать следующим образом:

Обозначим различные элементы x ij входящие в двойную сумму как x k, т.е. xij = x k и каждый такой элемент xk, k = 1, N, встретится в различных оценках среднего, а значит и в двойной сумме ровно C N11 -раз. Тогда двойную сумму можно представить в виде:

С учетом полученного продолжим вычисления и получим:

Вычислим дисперсию:

Для первой двойной суммы по аналогии с предыдущим можно записать:

Рассмотрим вторую двойную сумму. Обозначим различные элементы пар в произведении ее составляющих как xik xij = xl x m. Очевидно, каждая пара элементов xm xl будет встречаться в различных оценках среднего, а, значит, и в двойной сумме C N22 раз, то есть:

Из условия следует, что двойной суммы Тогда вторая двойная сумма может быть записана как:

Таким образом, получим:

Преобразуем коэффициент перед суммой:

и вторая сумма примет вид:

Окончательно дисперсия оценки будет равна Так как обычно N достаточно велико, то N и N 1 практически неразличимы, и можно записать:

Получим, что в бесповторном случае ошибка выборочного среднего имеет Необходимо заметить, что если генеральная совокупность имеет большой размер ( N ), то ошибка бесповторного случая будет практически равна ошибке в повторном случае.

Вычислим среднюю ошибку выборочной доли. Отметим, что долю можно рассматривать как частный случай количественного признака, когда элементы выборки принимают два значения: единицу, если признак присутствует и ноль в противном случае. Тогда генеральная дисперсия будет равна 2 = PQ = P(1 P), и средняя ошибка выборочной доли для альтернативного признака будет равна:

в повторном случае и в бесповторном случае.

Заметим, что при вычислении средних ошибок выборочной средней и выборочной доли в формулах используют генеральную дисперсию и генеральную долю, которые на практике, как правило, неизвестны. Поэтому при вычислении ошибок генеральные характеристики заменяют выборочными, то есть:

Тогда формулы средних ошибок будут иметь следующий вид:

С помощью полученных формул для средних ошибок производят оценку генеральной средней и генеральной доли следующим образом:

коэффициенты доверия t :

X = x ± t x, P = w ± t p, где коэффициент принимает следующие значения t = 1,2,3.

Коэффициент доверия определяют из соотношения P для заданного уровня доверия при построении доверительного интервала для генеральной средней, если генеральный признак имеет нормальное Лапласа.

аргументом функции Лапласа t для некоторых значений:

Величину, введенную в оценке генеральной средней, t x называют предельной ошибкой выборки и обозначают как = t x.

Аналогично, величина = t p называется предельной ошибкой в оценке генеральной доли.

Предельные ошибки характеризуют точность оценивания генеральных характеристик выборочными характеристиками, так как равны разности между ними.

Определение необходимой численности выборки.

При проведении обследования необходимо определять число элементов для выборочной совокупности. Для достижения требуемой точности и заданной надежности необходимую численность выборки определяют следующим образом.

Для повторного случая рассмотрим соотношение:

Для бесповторного случая необходимый объем выборки вычислим из соотношения:

необходимые преобразования:

Таким образом, получена численность выборки необходимая для достижения требуемой точности и заданной надежности. Очевидно, что объем в бесповторном случае будет меньше, чем в повторном (за счет генеральной совокупности различий практически не будет:

В полученных формулах - задаваемая предельная ошибка выборки, t – аргумент функции Лапласа, соответствующий заданному уровню надежности, 2 - генеральная дисперсия.

Как правило, генеральная дисперсия неизвестна, поэтому в формулах вычисления необходимой численности выборки используют ее оценку, например, выборочную дисперсию, полученную каким либо образом (используют либо внешние знания, либо прошлый опыт).

замену дисперсии:

Заметим, что в случае неизвестной генеральной доли для нее можно использовать оценку сверху P 1 2.

Рассмотрим следующий Пример.

Требуется определить необходимый объем выборочной совокупности повторной (с возвращением) и бесповторной (без возвращения) - для оценки средней длины детали в партии из 8000 элементов, если уровень надежности = 0,92, а предельная ошибка выборки 0,02. Генеральная дисперсия 2 = 0,25.

Решение. По = 0,92 определим коэффициент доверия t=1,75. Тогда получим:

Отметим, что в повторном случае объем выборки больше бесповторного почти на 24%.

Статистическое изучение динамики социально-экономических Понятие динамики означает развитие явления во времени, при этом определяют закономерности настоящего и пытаются проследить тенденции развития процесса в будущем. Динамику явлений изучают, анализируя соответствующие ряды динамики.

Рядом динамики в статистике называется ряд последовательно расположенных в хронологическом порядке показателей, которые характеризуют развитие явления.

Ряд динамики состоит из показателей времени и уровней ряда.

Время представимо либо моментом времени, либо периодом времени.

Уровни ряда – это те статистические данные, которые соответствуют временным моментам или периодам и подлежат статистическому анализу.

Виды рядов динамики.

По значениям уровней ряды динамики подразделяют на :

1. ряды абсолютных величин;

2. ряды относительных величин;

3. ряды средних величин.

По времени ряды подразделяют на:

1. моментные: время представлено перечнем дат;

2. интервальные: время представлено интервалами.

По полноте охвата промежутков времени различают:

1. полные: моменты или периоды следуют друг за другом с равными интервалами;

2. неполные: последовательность во времени не соблюдается.

Рассмотрим следующие примеры временных рядов.

Ряд 1. Валовой сбор зерновых культур за годы 20-й пятилетки в совхозе «Заря».

Это полный интервальный ряд абсолютных величин.

Ряд 2. Число колхозов на конец года в Краснокутском районе.

Это неполный моментный ряд абсолютных величин.

Ряд 3. Среднемесячная заработная плата рабочих и служащих в г.Саратове.

Это неполный интервальный ряд средних величин.

Ряд 4. Удельный вес численности городского населения на 1 января.

Это полный моментный ряд относительных величин.

Ряд 5. Число автомобилей в гараже хозяйства в течение 5 лет на 1 января:

Это полный моментный ряд абсолютных величин.

Отметим, что показатели интервального ряда абсолютных величин обладают свойством суммарности. Если в первом примере просуммировать валовой сбор, то получим объем зерновых за пять лет.

Правило построения рядов. Сопоставимость рядов.

Для прогнозирования развития явления необходимо иметь сведения за предшествующий период. Обычно ряды охватывают значительные периоды времени, за которые могли произойти существенные изменения, приводящие к несопоставимости статистических данных. Это может быть изменение территориальных границ явления, единиц счета, курсов валют, инфляция и девальвация и т.п.

При построении рядов приходится преодолевать эти несопоставимости.

Так, при изучении товарооборота, цены пересчитывают относительно базисного года. При использовании различных единиц измерения их приводят к единой системе. В случае изменения границ явления все показатели пересчитывают для новых границ. Сопоставимость по объекту наблюдения достигается единством понимания этого объекта, например, при обследовании необходимо учитывать или только наличное население или только постоянное.

Для приведения рядов динамики к сопоставимому виду используют их смыкание. При этом необходимо, чтобы для переходного звена имелись данные в обоих рядах.

Рассмотрим следующий Пример.

Заданы ряды динамики производства продукции фабрики «Пионер» до и после укрупнения.

До укрупнения было:

Вал.пр., млн.р. 19,7 20,0 21, После укрупнения стало:

Вал.пр., млн.р 22,8 23,4 24, По данным 1980 г. вычисляем коэффициент пересчета уровней После этого пересчитывают уровни первого ряда, умножая их на полученный коэффициент пересчета. Для 1979 года получим 20,0 1,1 = 22,0.

Окончательно записываем сопоставимый ряд, пригодный для дальнейшего статистического анализа.

Показатели ряда динамики.

Рассмотрим показатели, с помощью которых проводят анализ рядов динамики. В ряду анализируют его уровни. Их подразделяют и обозначают следующим образом:

y 0 - базисный уровень (начальный);

yi - текущий уровень;

y i 1 - предыдущий уровень;

y n - конечный уровень;

y - средний уровень ряда.

Если рассматривают два уровня, то их называют базисным и отчетным.

Средний уровень ряда определяется по средней хронологической.

Расчет среднего уровня ряда производится следующим образом:

Замечание. Последняя формула получается следующим образом. Сначала рассчитывают среднее значение уровня на интервале между соседними моментами времени Рассмотрим следующий Пример.

Для первого ряда динамики (табл..15) рассчитаем среднегодовой валовой сбор:

Средняя хронологическая для пятого ряда (табл. 19) будет равна:

рассчитывается:

где t k - число периодов времени, в течение которых уровень не менялся, то есть оставался равным y k.

Пример.

Для третьего ряда динамики (табл. 17) средняя хронологическая будет равна:

Средняя хронологическая для моментного ряда с неравными интервалами будет вычисляться:

где t i - число периодов времени между i и i + 1 моментами.

Пример.

Для второго ряда динамики (табл. 16) рассчитаем среднее число колхозов в течение года:

следующем примере.

Дан ряд динамика выплавки чугуна.

Уровни ряда сравнивают либо с базисным уровнем, либо с предыдущим.

При этом показатели подразделяются на базисные и цепные. Вычислим показатели ряда и результаты вычисления оформим в виде таблицы. В качестве базисного года возьмем 1975.

1. Абсолютный прирост. Его вычисляют как разность между текущим уровнем и базисным или предыдущим:

2. Темп роста. Его вычисляют как отношение текущего уровня к базисному или предыдущему и записывают в процентах:

Тем роста, записанный без процентов, называют коэффициентом роста:

Базисные темпы роста характеризуют непрерывную линию развития явления. Цепные темпы роста показывают интенсивность развития явлений в каждом отдельном периоде.

3. Темп прироста. Его вычисляются как разность между темпом роста и ста процентами:

Темпы прироста показывают, на сколько процентов изменились размеры явлений за изучаемый период.

Из определения следует, что для вычисления темпов прироста можно Аналогично можно получить:

4. Темп наращивания. Его вычисляют как отношение абсолютного экономического потенциала.

арифметическое из цепных абсолютных приростов:

Или с учетом определения цепных абсолютных приростов можно Средний абсолютный прирост показывает, насколько в среднем за год изменяется значение уровня изучаемого явления.

6. Средний темп роста. Его вычисляют как среднее геометрическое из С учетом определения коэффициентов роста можно записать:

Средний темп роста характеризует среднее относительное изменение уровня ряда за анализируемый период.

7. Показатель абсолютного значения 1% прироста. Этот показатель определяется как отношение абсолютного цепного прироста к темпу причем рассчитывается только на цепной основе.

Все результаты вычислений представим следующей таблицей:

В общем случае в ряду динамики можно выделить несколько здесь f (t ) - выражает тенденцию или тренд, g (t ) - является сезонной компонентой, h(t ) - представляет циклическую составляющую и (t ) случайная составляющая или погрешность измерения, не поддающаяся При анализе рядов динамики в целях прогнозирования пытаются выявить детерминированные составляющие (тенденцию, сезонные и циклические колебания) и уменьшить случайную. Для этого прибегают к сглаживанию рядов или аналитическому выравниванию.

Сглаживание может производиться, например, с помощью укрупнения, Дана урожайность озимой пшеницы за годы трех пятилеток.

Год 1978 1979 1980 1981 1982 1983 Урожайность, 28,8 27,9 30,0 36,1 42,6 51,3 46,2 51, В данном ряду за счет колебания уровней тенденции просматриваются нечетко и для более наглядного выявления тенденции проводят укрупнение интервалов времени. Вычислим среднее значение урожайности за каждые пять лет. Получим следующий ряд:

Применим пятичленную скользящую среднюю для сглаживания.

Вычислим среднее значение для первых пяти лет (берем данные с 1971 г. по 1975 г.), получим, как и в предыдущем случае 21,8. Затем сдвинемся на одно значение и вычислим среднее (берем данные с 1972 г. по 1976 г.), и так далее.

В результате получают сглаженный ряд, составленный из пятичленных скользящих средних. Причем полученный ряд короче исходного на 4 члена, зато тенденция проявляется более отчетливо.

Урожайность, 21,8 24,0 24,5 24,7 25,8 27,3 29,1 33,1 37,6 41,3 45, Скользящая средняя может быть 3, 5, 7,...-членной в зависимости от поставленной задачи. Как правило, берут нечетное число членов.

Заметим, что средние значения здесь вычислялись как простые арифметические средние.

Аналитическое выравнивание.

При аналитическом выравнивании рядов динамики пытаются выявить основную тенденцию (тренд) развития явления во времени. Аналитическое выравнивание проводится, как правило, для прогнозирования развития явления. В самом общем случае пытаются установить зависимость значений уровней ряда от времени: y = f (t ). Здесь y – уровень ряда, t – время, f – форма зависимости.

В общем случае форма зависимости может быть абсолютно произвольной и, если это не оговаривается в постановке задачи, в качестве первого приближения рассматривают линейную зависимость: y = a0 + a1t.

Достаточно простой способ выравнивания – это выравнивание по абсолютному среднему приросту ~ = y 0 + t или по среднему темпу роста ~ = y k t, где - средний абсолютный прирост, k - средний коэффициент роста (средний темп роста).

При таком подходе в определении тенденции участвуют только два значения (первое и последнее), что делает будущий прогноз не очень точным.

Чтобы использовать все значения ряда для выявления тенденции y = a0 + a1t, можно оценить значения коэффициентов a 0 и a1 с помощью метода наименьших квадратов (МНК). Использование МНК позволяет получить такую зависимость, что сумма квадратов отклонений эмпирических значений уровней ряда y от рассчитанных по линейной зависимости y будет минимальной.

Найдем минимум функционала:

Суммирование ведется по всем значениям уровней ряда. Минимум функционала S определяется, как минимум функций 2-х переменных.

Рассчитаем первые производные по параметрам a 0, a1 и приравняем их нулю. Для параметра a 0 получим:

Проведя сокращение и суммирование, запишем:

откуда получаем уравнение:

Для параметра a1 :

Получим систему нормальных уравнений:

Решая данную систему, получим оценки коэффициентов в явном виде.

Разделим первое уравнение на n, а второе на t :

Вычтем из второго первое и вынесем за скобки оставшийся коэффициент Оценка коэффициента в явном виде будет:

Для получения оценки коэффициента a0 разделим первое уравнение системы на сумму t, а второе на сумму t 2 :

Вычитая из второго уравнения первое, получаем:

После преобразований получим оценку коэффициента в явном виде:

коэффициентов линейного тренда:

Как правило, при вычислении коэффициентов проводят масштабирование времени таким образом, чтобы сумма равнялась нулю: t = 0. Тогда система значительно упрощается и оценки принимают вид:

Колеблемость уровней ряда около тренда вычисляют с помощью среднего квадратического отклонения:

Результаты измерений и вычислений изображают графически.

Полученную зависимость можно использовать для интерполяции и экстраполяции (прогнозирования). Прогноз тем точнее, чем на более близкое время он рассчитан.

Замечание. В курсе регрессионного анализа для вычисленных оценок коэффициентов a0 и a1 проверяются гипотезы об их значимости и строятся интервальные оценки.

Пример.

Производство мяса в убойном весе в совхозе «Заря».

Для наглядности все вычисления представим в виде следующей таблицы:

Исходные значения задаются в двух первых столбцах, остальные являются расчетными.

Проведем вычисления и заполним 3, 4 и 5 расчетные графы.

Масштабируем время, чтобы сумма равнялась нулю.

Замечание. Масштабирование времени при четном числе измерений проводят по нечетным числам, например:

Вычислим необходимые суммы квадратов и произведений.

Подставив полученные результаты в упрощенную систему, получим значения оценок коэффициентов.

Выявленная тенденция имеет вид: y = 15, 44 + 0,13t, т.е. за год производство мяса в среднем увеличивается на 130 кг. Если тенденция будет сохраняться, то в 1994 г. будет произведено y94 = 15, 44 + 0,13 3 = 15, 83 тонн мяса.

Заполним оставшиеся расчетные графы и вычислим колеблемость уровня ряда относительно тренда: = Изобразим результаты графически:

Построим прогноз на 1994 год, используя средний абсолютный прирост и средний коэффициент роста.

Тогда прогноз, вычисленный по среднему абсолютному приросту, будет:

Прогноз в этом случае будет следующим: y94 = y0 k t = 15,5 (1, 008)5 = 16,127.

В последних случаях прогноз менее точен, так как не учитывает промежуточных значений.

Сезонные колебания в рядах динамики.

Сезонными называются более или менее устойчивые в течение изучаемого периода колебания в рядах динамики, обусловленные специфическими особенностями производства, потребления и т.д. В качестве периодов могут рассматриваться: год, квартал, сутки и т.п. Тогда сезонами будут квартал, месяц, время суток соответственно. Так, для определения оптимального товарного запаса необходимо знать сезонные внутригодовые колебания продажи данного товара.

Сезонные колебания описываются с помощью индексов сезонности:

где yi - сезонное значение уровня, y - среднее значение уровня.

Пример.

Дана численность сезонных рабочих завода по переработке сельхозпродукции, производимой на современном агротехническом комплексе.

Is, % Вычислим индекс сезонности для первого квартала:

Аналогично вычислим остальные индексы и запишем их в третью строку таблицы.

Для расчета сезонных колебаний желательно использовать данные за несколько периодов, в этом случае индекс сезонности имеет вид:

где yi = - среднее значение уровня ряда в сезоне за рассматриваемые Имеются данные за несколько лет о реализации яиц в магазине в течение года (четыре первых колонки, четыре последних колонки – для расчетов).

Заполним расчетные колонки и вычислим индексы сезонности. Для первого квартала получим:

Аналогично вычисляем индексы для остальных кварталов и заполняем соответствующую колонку.

Зная годовой прогноз реализации яиц на 1993 г. (6000 шт.), можно с помощью индексов сезонности сделать прогноз поквартальной реализации.

Например, прогноз реализации для первого квартала будет равен:

Для наглядности можно построить график реализации яиц.

Если изучаемое явление имеет ярко выраженную тенденцию, то для индекса сезонности используют следующую формулу:

где yi - значение уровня ряда в i-том сезоне, yit - среднее выровненное значение уровня ряда, m- число периодов.

Заметим, что выравнивание может быть получено как аналитически, так и с помощью скользящей средней.

Пример. За четыре года приводится поквартальная реализация молочных продуктов магазинами города, в тоннах:

В рассмотренных периодах ярко выражена тенденция к увеличению значений уровня. Для выравнивания ряда используем линейную зависимость:

Используя метод наименьших квадратов, получим оценки коэффициентов: a0 = 68,16; a1 = 1,365, т.е. тенденция имеет вид:

y = 68,16 + 1, 365t.

При этом использовали масштабирование временных моментов по нечетным значениям от -15 до +15.

Построим вспомогательную расчетную таблицу:

В пятую колонку запишем прогнозные значения реализации продукции, вычисленные для каждого момента времени t по формуле выявленной зависимости. Для первого момента времени t = 15 получим:

Аналогично просчитываем все значения.

В шестую колонку запишем отношения 100%. То есть, записываем 39, 47, Рассчитаем индексы сезонности для каждого квартала и запишем результаты в первых строчках последней колонки. Для первого квартала получим:

Аналогично для трех оставшихся.

Прогноз по выявленной тенденции с учетом сезонности должен строиться следующим образом: y = (a0 + a1t ) I st.

Индексный метод в статистических исследованиях Наряду с методом обобщающих показателей для характеристики сложных социально-экономических явлений используется индексный метод.

Индекс в статистике – это обобщающий показатель сравнения двух совокупностей, состоящих из элементов, не поддающихся непосредственному суммированию.

Так, при изучении товарооборота, необходимо учитывать изменение цен, объемов реализации и единицы измерения продукции.

Индексный метод позволяет выявить, за счет каких факторов и в какой мере в отчетном периоде по сравнению с базисным произошло изменение уровня изучаемого явления. То есть, с помощью индекса производится сравнительная характеристика динамики сложных явлений.

Индекс используется также для сравнения одинаковых показателей, но для различных территорий (территориальный индекс).

С помощью индексов анализируется изменение как качественных (цена, себестоимость, производительность и т.п.), так и количественных (объемы реализации, производство продукции) показателей.

Классификация индексов.

Индексы классифицируются по следующим признакам:

1. по полноте охвата изучаемого явления: индивидуальные и общие (сводные);

2. по базе сравнения: динамические и территориальные;

3. по форме построения: агрегатные и средние из индивидуальных;

4. по составу изучаемого явления: постоянного (фиксированного) и переменного состава;

5. по содержанию индексируемых величин: объемных показателей (с весами базисного периода) и качественных показателей (с весами отчетного периода).

Проведем вычисления индексов на примере индекса цен и объемов реализации продукции. При вычислении индексов используются следующими обозначениями: p – цена; q – объем реализации; "0 " - базисный период; "1 " - отчетный период. Так p0 - цена товара базисного периода; q1 объем реализации в отчетном периоде.

Проведем расчет индексов используя следующий Пример.

Имеется розничный товарооборот в продовольственном магазине.

продукта цена, р/кг кол-во, кг цена, р/кг кол-во, кг Индивидуальные индексы.

Индивидуальные индексы характеризуют изменение однородных явлений во времени.

Индивидуальный индекс цен вычисляется: i p = Вычислим индивидуальные индексы цен по каждому товару и запишем результаты в соответствующую колонку. Так для первого товара (А) получим = 1,04 или 104%. Таким образом, цена этого товара увеличилась на 4%.

Замечание. Индексы являются относительными величинами, поэтому их форма представления может быть как коэффициенты, так и проценты.

Аналогично проводим расчеты для всех остальных товаров.

Индивидуальный индекс физического объема (количества продукции) вычисляется: iq = каждому товару и запишем результаты в соответствующую колонку. Так для реализации данного товара снизился на 2,8%. Аналогично проводим расчеты для всех остальных товаров.

В отличие от индивидуальных индексов, общие индексы дают сводную характеристику изучаемого явления во времени.

Общие индексы в агрегатной форме.

Общий индекс цен является индексом качественного показателя, поэтому веса берутся от отчетного периода, весами являются объемы реализации продукции. Суммирование ведется по всем реализованным товарам. Общий индекс цен показывает изменение товарооборота в отчетном периоде за счет индивидуального изменения цен. Для рассматриваемого примера общий индекс цен Пааше будет равен:

т.е. за счет индивидуального изменения цен товарооборот, увеличился на 5,8%.

Разность между числителем и знаменателем в индексе показывает абсолютный прирост (изменение) товарооборота за счет изменения цен и она равна:

т.е. за счет изменения индивидуальных цен товарооборот увеличился на 1169,5 рублей. Сумма абсолютного прироста товарооборота показывает перерасход средств населения за счет увеличения цен.

Общий индекс физического объема реализованной продукции вычисляют:

Это индекс количественного показателя и вычисляется с весами базисного периода. Весами в этом случае являются цены. Этот индекс также называется индексом товарооборота в сопоставимых ценах. Общий индекс физического объема показывает изменение товарооборота в отчетном периоде за счет изменения объемов реализуемой продукции. В данном примере он будет равен т.е. за счет изменения объемов реализации продукции товарооборот снизился на 6,7%. Разность между числителем и знаменателем показывает абсолютный прирост (изменение) товарооборота за счет изменения объема реализации продукции и она равна:

q = p0 q1 p0 q0 = 19937,5 21360 = 1422,5 руб., т.е. за счет изменения объема реализации продукции товарооборот снизился на 1422,5 руб.

Общий индекс товарооборотов в фактических ценах вычисляют:

I pq = Этот индекс показывает общее изменение товарооборота. Так как и числитель и знаменатель уже вычислялись, то для примера можно просто записать: I pq = = 0,988 или 98,8%, т.е. товарооборот снизился на 1,2%.

Абсолютный прирост (изменение) товарооборота равен:

pq = p1q1 p0 q0 = 21107 21360 = 253 руб., т.е. фактически товарооборот снизился на 253 руб.

Все приведенные индексы характеризуют изменение товарооборота за счет различных факторов, поэтому будет справедливо соотношение I pq = I p I q, также очевидно, что абсолютный прирост товарооборота равен сумме прироста товарооборота за счет изменения цен и за счет изменения объема продаж, т.е. pq = p + q.

Замечание. В зависимости от поставленной задачи помимо рассмотренного индекса цен Пааше вычисляют индекс цен Ласпейраса применяется для расчета индекса потребительских цен и анализа уровня Здесь в качестве весов выступают суммарные объемы реализации продукции.

При расчете агрегатного индекса физического объема реализованной является агрегатным индексом выполнения плана.

Замечание. Аналогичным способом можно рассчитать общие индексы прочих качественных показателей: себестоимости продукции, урожайности, производительности труда, издержек обращения и др. Так для себестоимости продукции можно записать:

Здесь z обозначает себестоимость, а суммирование ведется по всем видам производимой продукции.

Общие индексы как средние индексы из индивидуальных.

Общие индексы могут рассматриваться не только в агрегатной форме, но и как средние из индивидуальных индексов (средняя арифметическая или средняя гармоническая).

Так индекс цен Пааше можно представить, как среднюю гармоническую из индивидуальных индексов. Используя представление для индекс цен Паше будет иметь вид: I p = 1 1 = 1 1. Весами выступает товарооборот отчетного периода (индекс качественного показателя).

индекс физического объема можно представить, как среднюю арифметическую из индивидуальных индексов физического объема:

(индекс количественного показателя).

Индексы с постоянными и переменными весами.

До этого момента мы рассматривали два периода: отчетный и базисный.

Если при изучении явлений надо использовать несколько периодов, то индексы подразделяют на базисные и цепные (по аналогии с характеристиками ряда динамики). При этом общие индексы вычисляются как с постоянными (индексы объема), так и с переменными (индексы качественных показателей) весами.

Предположим, что явление изучается в трех периодах: базисном, первом и втором. Тогда будем пользоваться обозначениями для цен объемов q0, q1, q2. соответственно.

i p1б = 1, i p2 б = 2, а соответствующие цепные индексы: i p1ц = 1, i p2ц = 2.

iq1б = 1, iq2 б = 2, а для цепных: iq1ц = 1, iq2ц = 2.

цепные.

При расчете индексов берутся переменные веса, соответствующие изучаемому периоду (индексы качественного показателя).

В этом случае индексы рассчитываются с постоянными весами базисного периода.

Индексы постоянного и переменного состава. Индекс структурных сдвигов.

Наряду с индексом цен постоянного состава рассматривают индекс цен переменного состава, который отражает общее изменение средних цен.

Индекс цен переменного состава: I p = 1, где p1 = 1 1 - средние цены отчетного периода; p0 = 0 0 - средние цены базисного периода (суммирование ведется по всем реализованным товарам). Таким образом, можно записать:

Разность между числителем и знаменателем показывает абсолютный Рассмотренный выше индекс цен Пааше относится к индексам постоянного состава, причем его можно представить в следующей форме:

Представленный в таком виде индекс цен постоянного состава показывает изменение средних цен за счет индивидуального изменения цен. В этом случае разность между числителем и знаменателем показывает абсолютный прирост (изменение) средних цен за счет изменения самих цен:

Очевидно, что на изменение средних цен оказывает влияние не только изменение самих цен, а также изменение структуры реализации товара, которое характеризуется индексом структурных сдвигов:

Разность между числителем и знаменателем показывает абсолютный прирост цен за счет изменения структуры реализации товара:

Между введенными в рассмотрение индексами и абсолютными приростами существует естественная взаимосвязь: и p = p + стр. То есть, на изменение средних цен оказывает влияние изменение самих цен и изменение структуры реализации товара.

Замечание. С помощью предложенного индексного метода анализируется большое число различных показателей: себестоимости продукции ( z ), урожайности (u ), производительности труда ( w ) и т.д., причем для всех изучаемых показателей справедливо полученное соотношение: I x = I x I стр, где x может быть p, z, u, w и т.д.

Пример.

Рассчитаем индекс средней себестоимости производства двух изделий.

Индекс себестоимости переменного состава:

Индекс себестоимости постоянного состава:

Индекс структурных сдвигов:

То есть под влиянием изменений индивидуальных себестоимостей, средняя себестоимость снизилась на 1,4%. За счет изменения структуры производства средняя себестоимость увеличилась на 4,4%. А, в общем, средняя себестоимость производства продукции на заводе увеличилась на 2,9%.

Территориальные индексы.

Индексный метод применяется не только для изучения динамики сложных явлений, но и для сравнения характеристик сложных явлений для разных территорий. Для примера рассмотрим два района. В зависимости от поставленных целей выбирают базу сравнения. Будем сравнивать цены и объемы реализованной продукции во втором районе относительно первого, т.е. первый район – база сравнения. Изменение цен во втором районе вычисляют с помощью территориального индекса цен:

где q = q1 + q2 суммарный объем реализованной продукции, суммирование ведется по всем реализованным товарам.

Общий индекс физического объема реализованной продукции равен:

где p = = 1 1 2 2 средние цены по двум районам для каждого товара.

Пример.

Рассчитаем территориальные индексы:

Рассчитаем территориальный индекс цен:

Для вычисления индекса физического объема рассчитаем средние цены.

Для товара А запишем:

Аналогично вычислим средние цены по остальным товарам и запишем результаты в последнюю колонку.

Рассчитаем территориальный индекс физического объема:

т.е. во втором районе цены в среднем меньше на 0,7%, а товара реализуется меньше на 21,9%.

Индекс покупательной способности рубля.

Запишем индекс покупательной способности рубля. Так как с ростом цен покупательная способность рубля падает, то индекс покупательной способности рубля разумно определить как величину, обратную индексу цен. Причем индекс цен рассчитывается по всем товарам и услугам, оказанным населению.

Статистическое изучение связей социально-экономических При изучении социально-экономических явлений часто возникает необходимость в установлении и изучении взаимосвязи между ними.

Взаимосвязи можно подразделить на функциональные, когда каждому значению аргумента соответствует конкретное (единственное) значение функции, и стохастические, когда значению аргумента могут соответствовать различные значение функции, возможно из-за влияния различных случайных воздействий.

Так зарплата, как функция времени при повременной оплате труда, относится к функциональным связям, а при сдельно-премиальной - к стохастическим.

Стохастическими являются факторные взаимодействия, которые показывают зависимость результативного признака (следствия) от факторного признака (причины). В силу влияния случайных воздействий на признаки для изучения взаимосвязей между ними используют методы корреляционного, регрессионного, дисперсионного и др. анализов.

Частным случаем стохастических взаимосвязей являются корреляционные. В этом случае рассматривается зависимость между средним значением результативного признака (следствия) и значениями факторного признака. В общем случае корреляционные взаимосвязи определяются как условное математическое ожидание: M ( y / x ) = f ( x). Корреляционная зависимость характеризуется формой связи и теснотой.

Форма связи описывается функцией регрессии. Для предварительного анализа строится поле корреляции. Для этого измеренные значения факторного xi и результативного признака yi ( i = 1, n ) изображают точками на плоскости ( xi, yi ). По виду полученного «облака» делают предположения о форме взаимосвязи.

В общем, форма зависимости может быть какой угодно и даже никакой.

линейному виду, так для зависимости y = a0e a1 x после логарифмирования получим ln y = ln a0 + a1 ln x, то для построения оценок коэффициентов можно использовать метод наименьших квадратов. При этом сумма квадратов отклонений измеренных значений yi от рассчитанных по зависимости yi будет наименьшей: S = ( yi yi ) 2 min. Метод наименьших квадратов был подробно рассмотрен в разделе «Статистическое изучение динамики социально-экономических явлений».

Рассмотрим выявление регрессионной зависимости на следующем примере.

Пример. На основе данных затрат на производство продукции Х (млн.руб.) и себестоимости У (руб.) полученных для 12 предприятий построить регрессионную зависимость.

Построим поле корреляции:

По виду полученной «картинки» предполагаем линейную зависимость y = a0 + a1x. Для получения оценок коэффициентов выпишем систему нормальных уравнений (способ получения данной системы был описан в разделе «Статистическое изучение динамики социально-экономических явлений»):

Для всех расчетов составим вспомогательную таблицу:

Подставим полученные величины в систему уравнений:

a0 = 11.7, a1 = 0.65, т.е. регрессионная зависимость будет иметь вид:

y = 11.7 + 0.65 x. Таким образом, можно сказать, что при увеличении затрат на один миллион рублей себестоимость изделия увеличивается на 65 копеек.

Изобразим полученную линию на том же рисунке.

Как правило, в регрессионном анализе с определением формы зависимости проверяются гипотезы об адекватности модели и о значимости (надежности) полученных коэффициентов.

Для установления тесноты взаимосвязей используются методы дисперсионного анализа. Теорема о сумме дисперсий для регрессионной зависимости будет иметь вид:

линии регрессии от среднего значения и зависит от значений факторного признака x ;

y/x = - внутригрупповая дисперсия, она характеризует колеблемость эмпирических значений зависимой переменной y около линии регрессии и обусловлена влиянием прочих случайных факторов. Здесь y среднее значение зависимой переменной, y - прогнозные значения зависимой переменной, рассчитанные по уравнению регрессии.

Коэффициент детерминации в данном случае записывают в виде:

регрессионной модели статистическим данным: чем ближе значение коэффициента единице, тем лучше модель соответствует исходным данным.

Квадратный корень из коэффициента детерминации R = R 2 называется теоретическим корреляционным отношением. Оно имеет тот же смысл, что и выборочный коэффициент корреляции.

Подсчитаем теоретическое корреляционное отношение для нашего примера. Заполним последние расчетные графы таблицы, учитывая, что y = 576 = 48. Тогда R 2 = 1 88 = 0.93, что говорит о хорошем соответствии модели исходным данным. Теоретическое корреляционное отношение будет равно R = 0.93 = 0. Замечание. Коэффициент детерминации, введенный в рассмотрение в разделе «Статистическое изучение вариации», также является мерой взаимосвязи между факторным и результативным признаком. Различие между 2 и R 2 состоит в том, что в первом случае факторный признак меняется скачками (дискретно), а во втором непрерывно.

Более простым способом выявления взаимосвязей является вычисление коэффициентов корреляции, сопряженности и др.

Для определения линейной взаимосвязи между количественными признаками, а в случае совместного нормального распределения для выявления зависимости вообще, вычисляют выборочный коэффициент корреляции в виде:

произведение; x = ( x )2, y = ( y )2, - средние квадратические отклонения. Заметим, что форма вычисления коэффициента и составляющих может быть и другой.

Выборочный коэффициент корреляции принимает свои значения в отрезке [1;1]. Если r близок к единице, то говорят, что между признаками связь существенная или тесная, если r близок к нулю, то говорят, что связь слабая или ее нет. Если коэффициент положительный, то связь прямая, если отрицательный, то связь обратная.

Вычислим выборочный коэффициент корреляции для нашего примера, используя значения из расчетной таблицы 39:

теоретическим корреляционным отношением.

Для определения взаимосвязи между ранжированными признаками, а признак будем считать ранжируемым, если элементы совокупности можно упорядочить по степени проявления данного признака, используют, например, коэффициент корреляции рангов Спирмена:

здесь d = x y – разность между соответствующими рангами объекта (элемента). Этот коэффициент является частным случаем выборочного коэффициента корреляции и обладает всеми его свойствами.

Покажем это. Пусть первый признак X принимает значения (ранги) 1,2,...,n и второй признак Y принимает аналогичные значения 1,2,...,n. Тогда x=y=, как сумма n членов арифметической прогрессии, средний методом математической индукции), тогда выборочная дисперсия будет равна:

Вычислим среднее произведение. Сначала преобразуем разность можно представить в виде:

коэффициента корреляции и получим:

преобразований получим окончательный результат, а именно: R = 1.

Рассмотрим следующий Пример.

Вычислим коэффициент ранговой корреляции для выявления взаимосвязи между интенсивностью окраски пряжи в 10 партиях сырья и его влажностью.

Имеются следующие ранжированные данные по этим признакам:

Интенсивность окраски Вычислим сумму квадратов разностей рангов (последняя строка таблицы) и получим:

То есть существует достаточно высокая связь.

Наличие взаимосвязи между альтернативными признаками можно определить с помощью коэффициента ассоциации Юла:

или коэффициент контингенции Пирсона:

сопряженности):

Связь между признаками считается установленной, если коэффициент ассоциации превышает 0.5, а коэффициент контингенции превышает 0,3, причем коэффициент ассоциации всегда больше коэффициента контингенции.

Рассмотрим пример.

В таблице приведены данные распределения работников по половому признаку и оценке содержания работы.

Вычислим коэффициенты:

подтверждается, (300 + 201)(130 + 252)(300 + 130)(201 + 252) подтверждения.

Можно сказать, что нет принципиальных различий между мужчинами и женщинами в оценке содержания своей работы.

Если качественные признаки принимают более двух значений, то для выявления взаимосвязи используют коэффициенты взаимной сопряженности Пирсона:

или Чупрова:

Здесь Ai - значения первого признака; Bi - значения второго признака; f ij - частоты повторения признака; ni и m j - соответствующие суммы.

Чем ближе коэффициенты сопряжения к единице, тем связь прочнее.

Пример.

Проверим наличие взаимосвязи между себестоимостью продукции и накладными расходами при ее реализации.

вычислим коэффициенты:

Полученные значения коэффициентов свидетельствуют о слабой связи между себестоимостью и накладными расходами.

1,20 0,3849 1,50 0,4332 1,80 0,4641 2,10 0, 1,21 0,3869 1,51 0,4345 1,81 0,4649 2,11 0, 1,22 0,3888 1,52 0,4357 1,82 0,4656 2,12 0, 1,23 0,3907 1,53 0,4370 1,83 0,4664 2,13 0, 1,24 0,3925 1,54 0,4382 1,84 0,4671 2,14 0, 1,25 0,3944 1,55 0,4394 1,85 0,4678 2,15 0, 1,26 0,3962 1,56 0,4406 1,86 0,4686 2,16 0, 1,27 0,3980 1,57 0,4418 1,87 0,4693 2,17 0, 1,28 0,3997 1,58 0,4429 1,88 0,4699 2,18 0, 1,29 0,4015 1,59 0,4441 1,89 0,4706 2,19 0, 1,30 0,4032 1,60 0,4452 1,90 0,4713 2,20 0, 1,31 0,4049 1,61 0,4463 1,91 0,4719 2,21 0, 1,32 0,4066 1,62 0,4474 1,92 0,4726 2,22 0, 1,33 0,4082 1,63 0,4484 1,93 0,4732 2,23 0, 1,34 0,4099 1,64 0,4495 1,94 0,4738 2,24 0, 1,35 0,4115 1,65 0,4505 1,95 0,4744 2,25 0, 1,36 0,4131 1,66 0,4515 1,96 0,4750 2,26 0, 1,37 0,4147 1,67 0,4525 1,97 0,4756 2,27 0, 1,38 0,4162 1,68 0,4535 1,98 0,4761 2,28 0, 1,39 0,4177 1,69 0,4545 1,99 0,4767 2,29 0, 1,40 0,4192 1,70 0,4554 2,00 0,4772 2,30 0, 1,41 0,4207 1,71 0,4564 2,01 0,4778 2,31 0, 1,42 0,4222 1,72 0,4573 2,02 0,4783 2,32 0, 1,43 0,4236 1,73 0,4582 2,03 0,4788 2,33 0, 1,44 0,4251 1,74 0,4591 2,04 0,4793 2,34 0, 1,45 0,4265 1,75 0,4599 2,05 0,4798 2,35 0, 1,46 0,4279 1,76 0,4608 2,06 0,4803 2,36 0, 1,47 0,4292 1,77 0,4616 2,07 0,4808 2,37 0, 1,48 0,4306 1,78 0,4625 2,08 0,4812 2,38 0, 1,49 0,4319 1,79 0,4633 2,09 0,4817 2,39 0, 2,40 0,4918 2,70 0,4965 2,895 0,49810 3,050 0, 2,41 0,4920 2,71 0,4966 2,900 0,49813 3,055 0, 2,42 0,4922 2,72 0,4967 2,905 0,49816 3,060 0, 2,43 0,4925 2,73 0,4968 2,910 0,49819 3,065 0, 2,44 0,4927 2,74 0,4969 2,915 0,49822 3,070 0, 2,45 0,4929 2,75 0,4970 2,920 0,49825 3,075 0, 2,46 0,4931 2,76 0,4971 2,925 0,49828 3,080 0, 2,47 0,4932 2,77 0,4972 2,930 0,49831 3,085 0, 2,48 0,4934 2,78 0,49728 2,935 0,49833 3,090 0, 2,49 0,4936 2,79 0,49736 2,940 0,49836 3,095 0, 2,50 0,4938 2,795 0,49740 2,945 0,49839 3,100 0, 2,51 0,4940 2,800 0,49744 2,950 0,49841 3,105 0, 2,52 0,4941 2,805 0,49748 2,955 0,49844 3,110 0, 2,53 0,4943 2,810 0,49752 2,960 0,49846 3,115 0, 2,54 0,4945 2,815 0,49756 2,965 0,49849 3,120 0, 2,55 0,4946 2,820 0,49760 2,970 0,49851 3,125 0, 2,56 0,4948 2,825 0,49764 2,975 0,49853 3,130 0, 2,57 0,4949 2,830 0,49767 2,980 0,49856 3,135 0, 2,58 0,4951 2,835 0,49771 2,985 0,49858 3,140 0, 2,59 0,4952 2,840 0,49774 2,990 0,49861 3,145 0, 2,60 0,4953 2,845 0,49778 2,995 0,49863 3,150 0, 2,61 0,4955 2,850 0,49781 3,000 0,49865 3,155 0, 2,62 0,4956 2,855 0,49785 3,005 0,49867 3,160 0, 2,63 0,4957 2,860 0,49788 3,010 0,49869 3,165 0, 2,64 0,4959 2,865 0,49791 3,015 0,49872 3,170 0, 2,65 0,4960 2,870 0,49795 3,025 0,49876 3,175 0, 2,66 0,4961 2,875 0,49798 3,030 0,49878 3,180 0, 2,67 0,4962 2,880 0,49801 3,035 0,49880 3,185 0, 2,68 0,4963 2,885 0,49804 3,040 0,49882 3,190 0, 2,69 0,4964 2,890 0,49807 3,045 0,49884 3,200 0, 3,210 0,49934 3,330 0,49957 3,450 0,49972 3,945 0, 3,220 0,49936 3,340 0,49958 3,470 0,49974 4,108 0, 3,230 0,49938 3,350 0,49960 3,492 0,49976 4,289 0, 3,240 0,49940 3,360 0,49961 3,515 0,49978 4,344 0, 3,250 0,49942 3,370 0,49962 3,540 0,49980 4,417 0, 3,260 0,49944 3,380 0,49964 3,568 0,49982 4,527 0, 3,270 0,49946 3,390 0,49965 3,599 0,49984 4,754 0, 3,280 0,49948 3,400 0,49966 3,633 0,49986 4,799 0, 3,290 0,49950 3,410 0,49968 3,673 0,49988 4,856 0, 3,300 0,49952 3,420 0,49969 3,719 0,49990 4,936 0, 3,310 0,49953 3,430 0,49970 3,775 0,49992 5,069 0, 3,320 0,49955 3,440 0,49971 3,846 0, Введение 1. Что такое описательная статистика?

2. Что такое аналитическая статистика?

3. Что является предметом статистики?

4. Что собой представляет статистическая методология?

5. Что называется статистической совокупностью?

6. Что является единицей совокупности?

7. Что называется признаком?

8. Что представляет собой вариация?

9. Что называется статистическим показателем?

10. Что является задачей статистического исследования?

11. Что представляет собой статистическая закономерность?

Статистическое наблюдение.

1. Что называется статистическим наблюдением?

2. Что является целью статистического наблюдения?

3. Что является объектом наблюдения?

4. Какие существуют формы, способы и виды статистического наблюдения?

Статистическая сводка, группировка, таблицы.

1. Что называется статистической сводкой?

2. Что называется статистической группировкой?

3. Какие существуют виды статистических группировок.

4. Что называется статистической таблицей?

5. Классификация таблиц.

6. Что является рядом распределения?

7. Группировочный признак, его виды.

Обобщающие показатели.

1. Что называется статистическим показателем?

2. Что такое абсолютные величины, единицы их измерения?

3. Что называется относительным показателем.

4. Формы представления относительных величин.

5. Виды относительных величин.

6. Что называется средней величиной?