«СИМВОЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ДИАГНОСТИКА ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ МЕТОДОМ СХЕМНЫХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет С. А. Курганов, В. В. ...»

С. А. Курганов, В. В. Филаретов

СИМВОЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

И ДИАГНОСТИКА

ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

МЕТОДОМ

СХЕМНЫХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Министерство образования Российской Федерации

Ульяновский государственный технический университет

С. А. Курганов, В. В. Филаретов

СИМВОЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ДИАГНОСТИКА

ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

МЕТОДОМ

СХЕМНЫХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Учебное пособие Ульяновск 2003 УДК 621.372.061 (075) ББК 31.27.01я К Рецензенты:

Кафедра микроэлектроники Ульяновского государственного университета (завкафедрой доктор физико-математических наук, профессор Н. Т. Гурин);

доктор технических наук, профессор А. А. Смагин.

Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия К93 Курганов С. А.

Символьный анализ и диагностика линейных электрических цепей методом схемных определителей / С. А. Курганов, В. В. Филаретов:

Учебное пособие. Ульяновск: УлГТУ, 2003. 228 с.

ISBN 5–89146–300- Излагается обобщенный метод схемных определителей, предназначенный для получения символьных выражений токов, напряжений и параметров неизвестных элементов в линейных электрических цепях непосредственно по схеме замещения или принципиальной схеме без составления уравнений и минуя формирование схемных функций. Метод распространяется как на линейные схемы с двухполюсными элементами, так и на линеаризованные активные (электронные) схемы.

Главная цель пособия помочь студенту освоить символьный анализ линейных электрических цепей и научиться решать практические задачи их диагностики, требующие исследования аналитических выражений. В пособии приведены многочисленные примеры решения задач, в том числе с применением компьютерной программы символьного анализа и диагностики – CIRSYMD. Даются указания по использованию этой программы при выполнении расчетно-графических работ.

Пособие предназначено для студентов, изучающих теоретические основы электротехники (специальности 180400 «Электропривод и автоматизация промышленных установок», 100400 «Электроснабжение»), основы теории цепей (специальность 200700 «Радиотехника»), электротехнику и электронику (специальность 071900 «Информационные системы и технологии»), и преподавателей, ведущих указанные дисциплины. Учебное пособие может использоваться также студентами других радио- и электротехнических специальностей.

УДК 621.372.061 (075) ББК 31.27.01я © Оформление. УлГТУ, ISBN 5–89146–300-0 © Курганов С. А., Филаретов В. В.,

ОГЛАВЛЕНИЕ

Список условных сокращений и обозначений………………………… ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………. 1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СХЕМНЫХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ.…………………. 1.1. Общие понятия и определения …………………………………….. 1.2. Физические основы метода схемных определителей ……………. 1.2.1. Законы Кирхгофа ……………………………………………. 1.2.2. Вырождение схемы и нейтрализация элементов …………. 1.2.3. Эквивалентные упрощения электрических схем …………. 1.3. Разложение определителей схем по параметрам двухполюсных элементов и подсхем ……………. 1.3.1. Определители простейших схем …………………………… 1.3.2. Выделение параметров пассивных элементов …………… 1.3.3. Выделение подсхем ………………………………………… 1.3.4. Метод схемных миноров …………………………………… 1.3.4.3. Деление схемы на две части по четырем узлам …… 1.4. Выражение символьных схемных функций 1.5. Примеры формирования символьных схемных функций 1.6.2. Выделение параметров элементов принципиальных схем. 1.6.4. Выделение параметров в базисе заряда и напряжения …… 1.8. Схемно-алгебраические формулы для определения цепных параметров четырехполюсников …….. 1.9. Алгоритм формирования схемных определителей ………………. 1.10. Использование схемных функций при вариации параметров управляемых источников ………….. 1.11. О взаимосвязи схемного и матричного определителей ………… 1.12. Неудаляемые дуги – отображение неудаляемых управляемых

2. НЕЯВНЫЙ ПРИНЦИП НАЛОЖЕНИЯ ВОЗДЕЙСТВИЙ

2.2. Компенсация сопротивлений независимыми источниками …….. 2.3. Компенсация независимых источников управляемыми источниками и неявный метод наложения 2.4. Сравнение неявного метода наложения на основе отношений воздействий с явным методом наложения. 2.5. Неявный метод наложения на основе единичного источника ….. 2.6. Сравнение неявного метода наложения на основе единичного источника с явным методом наложения.. 2.6.1. Анализ установившегося режима 2.6.2. Анализ переходного процесса 2.7. Метод выделения независимых источников ……………………… 2.7.1. Выделение параметров независимых источников ………... 2.7.2. Пример формирования операторных выражений СВО ….. 2.8. Метод управляемых источников …………………………………..

3. СИМВОЛЬНАЯ ДИАГНОСТИКА

ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

3.1. Базисная задача диагностики ………………………………………. 3.2. Понятие о компенсации электрокомпонентов ……………………. 3.3. Топологические необходимые и достаточные условия 3.4. Правила независимого подключения измерительных приборов.. 3.5. Метод косвенной компенсации 3.6. Метод косвенной компенсации 3.7. Пример диагностики схемы электронного усилителя 3.9. Пример диагностики схемы электронного усилителя

4. ПРАКТИКУМ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

АНАЛИЗА И ДИАГНОСТИКИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ …………. 4.1. Анализ цепей на базе операционных усилителей ………………... 4.2. Диагностика параметров электрического режима ……………….. 4.2.1. Постановка задачи диагностики режима ………………….. 4.2.2. Пример решения задачи диагностики режима ……………. 4.3. Диагностика параметров элементов ………………………………. 4.3.1. Постановка задачи диагностики параметров ……………… 4.3.2. Пример решения задачи диагностики параметров ………... 4.4. Символьный анализ и диагностика электрических цепей 4.4.2. Отличия cir-файла программы CIRSYMD 4.4.3. Пример заполнения cir-файла для программы CIRSYMD. 4.4.4. Использование программы CIRSYMD 4.4.5. Примеры использования программы CIRSYMD …………. 4.4.5.3. Анализ схемы полосового активного фильтра …….. 4.4.6. Комплект поставки программы CIRSYMD ……………….. 4.4.7. Контактный адрес для предложений и рекламаций 4.4.8. Исследование выходных файлов программы CIRSYMD Приложение: Метод схемных определителей в таблицах и рисунках. П.1. Методические указания по освоению

СПИСОК УСЛОВНЫХ СОКРАЩЕНИЙ И ОБОЗНАЧЕНИЙ

АЧХ амплитудно-частотная характеристика ГНУИ генератор неудаляемого управляемого источника ИДС исходная диагностируемая схема ИНУН источник напряжения, управляемый напряжением ИНУТ источник напряжения, управляемый током ИТУН источник тока, управляемый током ИТУТ источник тока, управляемый током ЛЭЦ линейная электрическая цепь МКК метод косвенной компенсации МПК метод прямой компенсации МСО метод схемных определителей НПН неявный принцип наложения НУИ неудаляемый управляемый источник ОУ операционный усилитель ПНУИ приемник неудаляемого управляемого источника САВ схемно-алгебраическое выражение СВО символьное выражение отклика СВП символьное выражение параметра СКЭ схема с компенсированными элементами ССФ символьная схемная (системная) функция УИ управляемый источник ФЧХ фазо-частотная характеристика ЭДС электродвижущая сила D схемный определитель, знаменатель ССФ или СВО j мгновенное значение функции источника тока u, u(t) мгновенное значение напряжения i, i(t) мгновенное значение тока циклическая (круговая) частота p оператор дифференцирования (p=d/dt) E(p),J(p) операторные выражения ЭДС и функции источника тока U(p), I(p) операторные выражения напряжения и тока E, J комплексные действующие значения ЭДС источника тока U, I комплексные действующие значения напряжения и тока Z, Y комплексные сопротивление и проводимость Z(p), Y(p) операторные сопротивление и проводимость приемники напряжения и тока вольтметр и амперметр определитель схемы (многополюсника) генератор неудаляемого управляемого источника (ГНУИ) приемник неудаляемого управляемого источника (ПНУИ) источник напряжения, управляемый напряжением (ИНУН) источник напряжения, управляемый током (ИНУТ) источник тока, управляемый напряжением (ИТУН) источник тока, управляемый током (ИТУТ) операционный усилитель (ОУ)

ВВЕДЕНИЕ

Анализ и диагностика являются задачами, органично дополняющими друг друга в теории линейных электрических цепей (ЛЭЦ) [10 – 12, 17, 21]. Анализ состоит в определении переменных и характеристик электрического режима цепи по известной структуре и параметрам элементов, а диагностика заключается в нахождении переменных электрического режима и части параметров элементов по заданной структуре, известному множеству параметров и дополнительной информации о части измеренных напряжений и токов в диагностируемой цепи. Решать эти задачи желательно символьными методами, чтобы полученные таким образом аналитические выражения позволяли бы исследовать общие свойства функций и цепей [1, 9], были «понятны самому широкому кругу специалистов и легко проверялись соответствующими экспертизами» [3, c. 44]. Вместе с тем символьная диагностика, под которой понимается использование символьных выражений для получения неизвестных параметров [28, 29, 60, 64, 66, 67, 72, 73], в отличие от численной диагностики [4, 10, 12, 57], еще не нашла отражения в учебной литературе. Существующий пробел призвано заполнить данное пособие, в котором решение базисной задачи диагностики ЛЭЦ в символьном виде доведено до компьютерной реализации.

Для символьного анализа электрических цепей разработаны как топологические [43, 58], так и схемно-алгебраические [31, 33, 54] методы. В 1845 году Кирхгоф, будучи студентом, опубликовал законы непрерывности токов в узле и равновесия напряжений в контуре электрической схемы [20]. С этого времени появилась возможность выполнять анализ сложных электрических цепей, путем решения системы уравнений схемы методом Крамера, то есть через раскрытие определителей двух матриц. Однако и Кирхгоф (1847 г.) [20], и Максвелл (1873 г.) [35], очевидно, сознавая избыточность и абстрагированность матричного подхода, делали попытки разработать прямой метод анализа электрических цепей, исключающий составление уравнений и использующий непосредственно схемную модель цепи. Тем самым ставилась задача сделать переход от схемы к ее символьным схемным функциям (ССФ), применяемым для расчета токов и напряжений, более простым и обусловленным структурой самой схемы.

Результаты Кирхгофа и Максвелла получили развитие в работах Фойснера [45, 49, 68, 69], который в 1902 году ввел понятие определителя схемы с двухполюсными элементами. Результаты Фойснера [68, 69] получили развитие в работах Брауна [61, 62], Партена и Сикета [77]. Наиболее подробно методы Кирхгофа, Максвелла, а также метод Фойснера, называемый здесь методом схемных определителей, рассмотрены в учебнике [43]. В 1965 году Браун ввел понятие ориентированного нуллора [61], что позволило выразить ССФ через определители схем с нораторами и нуллаторами, а также применить формулы Фойснера для анализа электрических цепей, содержащих идеальные операционные усилители (ОУ) [62]. В последние годы метод схемных определителей был усовершенствован и обобщен для анализа схем со всеми типами управляемых источников (УИ) [51, 52, 70, 71] и многополюсных компонентов [32], анализа сложных схем по частям [53], аналитического решения систем линейных алгебраических уравнений [31], получил методическую проработку [31, 33, 54]. В настоящем пособии развивается схемно-алгебраический метод схемных определителей (МСО) применительно к анализу цепей с несколькими источниками воздействия и общему решению базисной задачи диагностики. Критерием, который положен в основу сравнения предлагаемых и известных методов, является вычислительная сложность формируемых выражений ССФ, характеризующаяся количеством требуемых алгебраических операций [48, 50, 65, 78 – 80]. Основы оптимальной свертки выражений были заложены Бройером [63].

Развитый в пособии неявный принцип наложения (НПН) [30, 44] позволяет формировать на основе МСО символьные выражения откликов (СВО) при анализе ЛЭЦ с произвольным числом источников воздействия, минуя процедуру нахождения ССФ. При этом искомое СВО получается в виде отношения определителей двух схем: схемы числителя и схемы знаменателя.

Заметим, что ССФ в случае нахождения СВО являются побочными результатами анализа ЛЭЦ. Важно подчеркнуть, что до сих пор понятие «схемная функция», которое, начиная с работы Максвелла [35], занимало центральное место в символьно-топологическом анализе электрических цепей [43], препятствовало рассмотрению с единых позиций ЛЭЦ с одним и несколькими источниками воздействий.

Применить непосредственно символьные методы анализа ЛЭЦ для их диагностики нельзя, поскольку по условию этой задачи часть параметров элементов не известна. Для преодоления этого препятствия используется компенсация элементов с неизвестными параметрами с помощью компенсационной схемы или компенсатора, состоящего из источника напряжения или тока с известным (измеренным) параметром и идеального операционного усилителя [19, 28, 29, 72]. Пример компенсации сопротивления показан на обложке пособия. Схема, полученная в результате замены компенсаторами всех элементов с неизвестными параметрами, называется схемой с компенсированными элементами (СКЭ). Эта схема эквивалентна исходной диагностируемой схеме (ИДС) и в отличие от нее может быть проанализирована МСО. Таким образом, получается прямое решение задачи символьной диагностики, то есть минуя формирование уравнений схемы и их последующее решение.

Задачами учебного пособия являются:

1. Сосредоточить внимание и усилия студентов на постижении физического смысла изучаемых явлений, исключив трудоемкое использование вспомогательных математических аппаратов матриц и графов, а также методов решения линейных алгебраических уравнений (Крамера, Гаусса и т. д.).

2. Предоставить в распоряжение студентов наглядный и эффективный инструмент для аналитического и численного исследования электрических цепей, который расширяет возможности аналитического представления зависимостей в курсе теоретических основ электротехники и смежных дисциплинах, способствует формированию критического отношения к учебной и справочной литературе.

3. Осуществить попытку изложения разделов ТОЭ «Методы расчета электрических цепей при установившихся синусоидальном и постоянном токах» и «Диагностика электрических цепей» [11, 12] на собственно схемной основе, то есть ориентируясь на физические схемные представления.

При анализе ЛЭЦ используются так называемые схемно-алгебраические выражения (САВ), в которых, наряду с буквенными обозначениями параметров схемы и знаками операций, используются изображения производных схем, отождествляемые с их определителями. В таких выражениях в качестве знака умножения в начале пособия используется знак « * », который при последующем изложении опускается. Применение САВ на первый взгляд кажется непривычным, однако, позволяет сделать процесс решения более наглядным, а также обеспечивает сокращение объема выкладок, поскольку определители производных схем с 2–3 узлами легко запоминаются.

Учебное пособие состоит из четырех разделов.

В первом разделе рассматриваются базовые понятия теории ЛЭЦ [11, 15, 22, 23, 24, 36, 38 – 41, 43], обсуждаются понятие схемного определителя, признаки вырождения схемы, удаление, стягивание и нейтрализация ее элементов [31, 54]. Вводится понятие неудаляемого управляемого источника (НУИ), обобщающее понятие ориентированного нуллора, и формулируются САВ для нахождения ССФ [51, 61]. Выводятся формулы Фойснера для разложения определителя схемы путем выделения параметров пассивных элементов и приведения задачи к разложению определителей более простых производных схем. Для анализа сложных ЛЭЦ предлагается диакоптический метод схемных миноров [53]. Рассматриваются примеры анализа электрических схем, составленных из двухполюсных элементов. Обсуждается обобщение метода схемных определителей для анализа схем с УИ. Выводятся формулы для разложения определителя схемы путем выделения параметров УИ, подобно параметрам двухполюсных элементов. Предлагаются правила выделения НУИ, позволяющие свести задачу разложения определителя схемы с НУИ к более простой задаче выделения двухполюсных элементов. Даются примеры анализа схем с УИ всех четырех типов и идеальными ОУ. Рассматривается обобщение метода выделения параметров двухполюсников и УИ для трех- и четырехполюсных взаимных и невзаимных элементов: взаимных индуктивностей, идеальных трансформаторов, гираторов, конверторов, инверторов, биполярных, полевых и составных транзисторов, длинных линий и т. д. [31, 32].

Второй раздел посвящен символьному анализу ЛЭЦ с несколькими источниками воздействия на основе НПН. Доказываются теоремы о компенсации независимых источников и схемно-алгебраические тождества.

Обсуждаются методы опорных источников, выделения независимых источников и управляемых источников. Рассматриваются примеры анализа дифференциального усилителя, несимметричной трехфазной цепи, переходного процесса в пассивной ЛЭЦ.

В третьем разделе предлагается символьное решение базисной задачи диагностики ЛЭЦ, при которой выполняется однократный анализ СКЭ.

Формулируются топологические необходимые и достаточные условия диагностируемости ЛЭЦ [51, 74 – 76]. Доказываются теоремы о компенсации сопротивлений, проводимостей, независимых источников напряжения и тока, а также УИ всех четырех типов. Обсуждается пример решения задачи диагностики транзисторного усилителя [19].

Четвертый раздел содержит варианты задач для решения на практических занятиях или в качестве заданий расчетно-графических работ, а также руководство пользователя компьютерной программы CIRSYMD, в которой В.

В. Филаретов реализовал методы схемных определителей и символьной диагностики. Совместно с программой CIRSYMD применяется программа CALCSYM для интерпретации сложных выражений, разработанная Д. В.

Шеиным и полезная при численном расчете токов, напряжений, частотных характеристик и т. д. Загрузочные модули указанных программ размещены на сайте http://astrometric.sai.msu.ru/~symbol/. Программа CIRSYMD использует стандартный cir-формат (Pspice-DesignLab) для описания схем и в отличие от известных программ обеспечивает вывод выражений, близких к оптимальным выражениям по вычислительной сложности, без взаимно уничтожающихся слагаемых. Важно, что символьные выражения для искомых токов, напряжений, параметров получаются в виде дробно-рациональных функций, удобных для последующего аналитического исследования. Кроме непосредственного учета всех типов УИ, предусматривается задание двухполюсных элементов, как проводимостями, так и сопротивлениями, а также смешанное задание параметров. Это исключает сложные преобразования выражений и обеспечивает экономию интеллектуального труда.

В приложении помещен краткий обзор наглядных формул – САВ, который может служить, как набором упражнений, так и своеобразной «шпаргалкой», облегчающей усвоение и использование МСО.

1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СХЕМНЫХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Электрической цепью называется совокупность устройств и объектов, образующих путь для электрического тока, электромагнитные процессы в которых могут быть описаны с помощью понятий об электродвижущей силе (ЭДС), токе и напряжении. В теоретической электротехнике обычно имеют дело со схемой замещения электрической цепи или просто электрической схемой, которая отображает свойства цепи при определенных условиях.

Поэтому здесь, во избежание недоразумений, вместо термина «электрическая цепь» будет преимущественно использоваться термин «электрическая схема»

или, кратко, «схема».

Электрическая схема содержит элементы, выполняющие в ней некоторые функции. Во многих случаях схема состоит только из двухполюсных элементов или двухполюсников, то есть элементов, имеющих со схемой две точки соединения. Такие элементы называются ветвями электрической схемы с указанием их функционального назначения. Место соединения двух и более ветвей называется узлом.

Возможны случаи, когда ветвь подсоединяется к схеме только одним полюсом или обоими полюсами, но к одному узлу схемы. В первом случае ветвь называется разомкнутой ветвью, а во втором случае замкнутой ветвью или петлей.

Подмножества ветвей схемы могут образовывать контуры и сечения.

Контуром схемы называется замкнутая непрерывная последовательность ветвей, в которой любой узел встречается только один раз. Сечение или обобщенный узел схемы – это подмножество ее ветвей, в результате удаления которых схема распадается на две или более частей подсхем. Под удалением ветви понимается отсоединение обоих ее полюсов от схемы. В простейшем случае сечение образуют ветви, примыкающие к одному из узлов схемы.

Удаление этих ветвей делит схему на две подсхемы, одна из которых является отдельным (изолированным) узлом.

Элементы электрической схемы подразделяются на активные и пассивные элементы. Активными элементами являются генераторы напряжения или генераторы тока, соответственно, e- и j-ветви. ЭДС e генератора напряжения не зависит от протекающего через него тока, а ток j генератора тока не зависит от напряжения на его полюсах. Если ЭДС генератора напряжения и ток генератора тока не зависят также от токов или напряжений других ветвей схемы, то такие генераторы называются независимыми (неуправляемыми) источниками и служат источниками энергии в схеме.

Независимость e от протекающего через генератор ЭДС тока требует, чтобы внутреннее сопротивление генератора ЭДС было равно нулю.

Аналогично этому неизменность j достигается в случае, когда внутреннее сопротивление генератора тока принимает бесконечно большое значение. В соответствии с физическим смыслом ориентация генератора ЭДС указывается на схемах непрерывной (замкнутой) стрелкой, а ориентация генератора тока – двойной (разомкнутой) стрелкой, как показано на рис. 1.1.1, где u=e. При этом условно положительное направление напряжения u на генераторе ЭДС противоположно ориентации ЭДС, а ориентация генератора тока совпадает с направлением вызванного им тока i, равного j.

В табл. 1.1.1. приведены обозначения всех четырех типов УИ. Эти источники перечислены ниже: 1) источник напряжения, управляемый напряжением (ИНУН); 2) источник напряжения, управляемый током (ИНУТ);

3) источник тока, управляемый напряжением (ИТУН); 4) источник тока, управляемый током (ИТУТ). Здесь K – коэффициент передачи напряжения ИНУН, Rу – передаточное сопротивление ИНУТ, Gу – передаточная проводимость ИТУН, B – коэффициент передачи тока ИТУТ. При значениях параметров, стремящихся к бесконечности, каждый из четырех типов УИ переходит в идеальный ОУ, обозначение которого приведено в пятом столбце табл. 1.1.1. Инвертирующий (помечен кружком) и неинвертирующий входы показаны слева на обозначении ОУ, а выход ОУ находится справа.

При анализе схемы идеальный ОУ замещается ориентированным нуллором или неудаляемым управляемым источником (НУИ), представленными на рис.

1.1.2,а,б. Входу идеального ОУ соответствует нуллатор или приемник НУИ (ПНУИ), а выходу – норатор или генератор НУИ (ГНУИ).

Рис. 1.1.2. Ориентированный нуллор (а) и НУИ (б) Идеальный ОУ обычно рассматривается как «некий источник, ток и напряжение на входе которого одновременно равны нулю при любых конечных значениях напряжения и тока на выходе» [38, с. 434] или как управляемый источник при бесконечно большом значении его параметра [6], поэтому использование понятия «НУИ» методически является более предпочтительным, чем использование понятия «нуллор». Кроме того, при необходимости параметру НУИ вместо значения, равного единице, можно присвоить значение, равное параметру некоторого УИ. Это отличает НУИ от обычного нуллора [19, 42] и ориентированного нуллора [61, 70], которые сами по себе не имеют параметров, а моделируют ОУ с коэффициентом усиления, имеющим бесконечно большое значение.

Подсоединение к схеме независимых источников напряжения и тока обусловливает напряжения на других элементах схемы и токи, протекающие через эти элементы. Чтобы рассчитать напряжение на некотором элементе схемы, параллельно этому элементу подключается приемник напряжения – «расчетный вольтметр», внутреннее сопротивление которого имеет бесконечно большое значение. В соответствии с этим приемник напряжения обозначается стрелкой, которая не касается узлов подсоединения выбранного элемента, как показано на рис. 1.1.3 (см. также рис. 1.1.1). Для нахождения тока, протекающего через элемент схемы, последовательно с этим элементом включается «расчетный амперметр» – приемник тока, внутреннее сопротивление которого равно нулю. Обозначение приемника тока также приведено на рис. 1.1.3.

К пассивным элементам электрической схемы относятся z- и y-ветви, которые характеризуются соответственно сопротивлением и проводимостью, измеряемыми в омах [Ом] и сименсах [См]. Сопротивление и проводимость называются параметрами z- и y-ветвей. Электрическая схема является линейной, если параметры ее ветвей не зависят от напряжений и токов схемы.

Инвариантная во времени электрическая схема имеет параметры, не зависящие от времени. Условно положительное направление напряжения на z- и y-ветвях принимается совпадающим с направлением протекающего через них тока.

Пассивные элементы могут быть элементами, рассеивающими (преобразующими в тепло и другие виды энергии) или накапливающими энергию электромагнитного поля. Параметры z- и y-ветвей, рассеивающих энергию, являются вещественными числами и называются соответственно резистивным сопротивлением R и резистивной проводимостью G. Эти параметры связаны с током, протекающим через элемент, и напряжением, падающим на элементе схемы, по закону Ома что иллюстрирует рис. 1.1.4.

Рис. 1.1.4. Резистивные сопротивление и проводимость Параметр z-ветви, накапливающей энергию магнитного поля, называется индуктивным сопротивлением и задается в операторной форме как pL. Здесь p – оператор дифференцирования или при установившемся гармоническом режиме комплексный оператор j, а L – индуктивность z-ветви. Параметр y-ветви, характеризуемой емкостью C и накапливающей энергию электрического поля, называется емкостной проводимостью и задается в операторной форме как pC.

Операторная форма индуктивного сопротивления и емкостной проводимости вытекает из фундаментальных соотношений между мгновенными напряжением и током для индуктивности и емкости, u(t)=Ldi(t)/dt и i(t)=Cdu(t)/dt. Формально заменив d/dt оператором дифференцирования p, и перейдя к операторным изображениям напряжений и токов, получаем уравнения которые иллюстрирует рис. 1.1.5.

Рис. 1.1.5. Реактивные сопротивление и проводимость Следует отметить, что МСО не требует указания на схеме условно положительных направлений токов и напряжений (см. рис. 1.1.4 и рис.

1.1.5), если эти токи и напряжения не являются искомыми или управляющими.

Наряду с перечисленными выше элементами электрическая схема может содержать соединительные проводники – короткозамкнутые ветви, сопротивление которых равно нулю. Соединительные проводники отличаются от приемников тока тем, что ток в этих проводниках не представляет интереса, поскольку не является искомым и не управляет генераторами напряжения или тока.

Цепи, содержащие двухполюсные элементы, УИ и НУИ, относятся к линейным электрическим цепям (ЛЭЦ). ЛЭЦ, включающие УИ и НУИ, называют обычно активными.

Искомыми обычно являются не все, а только некоторые напряжения и токи схемы. Во многих практически важных случаях электрическая схема рассматривается относительно двух пар своих полюсов, как четырехполюсник (2x2-полюсник). При этом первая пара полюсов является входом, к которому подключается источник воздействия (генератор напряжения или тока), а со второй пары полюсов, являющейся выходом, снимается реакция (отклик) схемы на данное воздействие. Для этого к выходу схемы подсоединяется приемник напряжения или тока.

Отношение значения реакции электрической схемы к заданному значению воздействия, выраженное через параметры элементов схемы, называется ССФ.

Численное значение ССФ получается в результате подстановки вместо обозначений параметров их вещественных или комплексных значений. В зависимости от вида реакций и источников воздействия, а также их расположения, различают шесть типов ССФ. Данные выше определения иллюстрирует рис. 1.1.6, где токи, напряжения, ЭДС представлены действующими (комплексными) значениями.

Передаточные ССФ по напряжению и току не имеют размерности, а передаточные сопротивление и проводимость имеют размерность, соответственно, сопротивления и проводимости. В частных случаях, когда четырехполюсник рассматривается относительно одной пары своих полюсов, говорят о ССФ входного сопротивления или ССФ входной проводимости.

В задаче диагностики используются дополнительные понятия и элементы.

Под приемниками напряжения и тока, которые не являются управляющими ветвями УИ, понимаются вольтметр с измеренным напряжением и амперметр с измеренным током соответственно. При переходе от задачи диагностики к задаче анализа на основе ИДС строится схема замещения с компенсированными элементами (СКЭ). Токи и напряжения, соответствующие элементам с неизвестными параметрами, в СКЭ могут быть выражены через параметры независимых источников воздействия. Необходимо, чтобы среди независимых источников присутствовали как источники, представленные в ИДС, так и компенсационные источники, параметры которых равны показаниям измерительных приборов. Для этого используются прямая, косвенная или комбинированная компенсация электрокомпонентов с неизвестными параметрами. Прямая компенсация основана на классической теореме о компенсации и применяется, если вольтметр (амперметр) подключен параллельно (последовательно) элементу с неизвестным параметром. В этом случае элемент и вольтметр (амперметр) заменяются источником ЭДС E=U (тока J=I), как показано на рис. 1.1.7.

Косвенная компенсация используется, когда и напряжение, и ток на элементе с неизвестным параметром не могут быть измерены. Тогда для компенсации этого элемента применяется напряжение или ток любой другой ветви. В этом случае, как показано на рис. 1.1.8, приемник напряжения U заменяется фиксирующей ветвью по напряжению, а приемник тока I – фиксирующей ветвью по току. Фиксирующая ветвь по напряжению представляет собой встречное последовательное соединение источника ЭДС E=U и ПНУИ, а фиксирующая ветвь по току – согласное параллельное соединение источника тока J=I и ПНУИ. Сам элемент с неизвестным параметром замещается ГНУИ. Таким образом, в схему вместо элемента с неизвестным параметром помещается новый схемный элемент, названный компенсатором, который состоит из независимого источника и НУИ.

Рис. 1.1.8. Косвенная компенсация сопротивления Комбинированная компенсация применяется в ИДС, где заданы напряжения или токи части элементов с неизвестными параметрами.

Напряжения или токи оставшихся из элементов с неизвестными параметрами не могут быть измерены, поэтому для построения СКЭ требуется как прямая, так и косвенная компенсация элементов.

1.2. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕТОДА СХЕМНЫХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

1.2.1. Законы Кирхгофа В фундаменте теории электрических цепей лежат законы Кирхгофа.

Первый закон устанавливает непрерывность токов ветвей, сходящихся в узле или, в общем случае, образующих сечение, где ±Ik – ток k-й ветви, втекающий (со знаком «плюс») в сечение или вытекающий (со знаком «минус») из этого сечения; ±Jn – ток n-го генератора тока, втекающий (со знаком «минус») в сечение или вытекающий (со знаком «плюс») из этого сечения.

Второй закон Кирхгофа устанавливает равновесие напряжений в контуре, образованном ветвями схемы где ±Uk – напряжение k-й ветви, которое учитывается со знаком «плюс», если ее ориентация совпадает с произвольно выбранным направлением обхода контура ; ±En – ЭДС n-го генератора напряжения, учитываемое со знаком «плюс», если ориентация этого генератора совпадает с направлением обхода контура. В противном случае перед Uk и En ставится знак «минус». Правила выбора знаков правых частей в уравнениях (1.2.1) и (1.2.2) согласуются с рис. 1.1.1.

Уравнения (1.2.1) и (1.2.2) совместно с компонентными уравнениями (1.1.1) и (1.1.2) позволяют составить систему линейно независимых уравнений, описывающих поведение ЛЭЦ. Решение полученной системы, то есть вычисление каждого из искомых напряжений и токов ветвей, записывается по методу Крамера в виде отношения двух определителей, представляющего СВО того или иного типа. Если числитель СВО разложить по столбцу источников воздействия, то СВО выражается через ССФ, общий знаменатель которых называется определителем системы уравнений или системным определителем.

Числители ССФ будут различными в зависимости от типа источников воздействия и искомых откликов, а также расположения рассматриваемых входов и выходов схемы.

Представляя системный определитель в операторной форме, как полином от оператора p, и приравнивая этот полином к нулю, получаем характеристическое уравнение схемы. Корни характеристического уравнения позволяют записать свободную составляющую переходного процесса в схеме, выполнить оценку ее устойчивости и т. д.

Принципиально важно уметь находить характеристическое уравнение схемы и ее ССФ, используя непосредственно электрическую схему и минуя построение системы уравнений с последующим алгебраическим решением. Это позволит не только сократить трудоемкость выкладок, но и сделать решение более компактным, избежав вычисления знаков и появления взаимно уничтожающихся слагаемых дубликаций, что присуще алгебраическому методу раскрытия определителей [47, 51]. Центральным понятием излагаемого ниже МСО является понятие определителя схемы или схемного определителя.

1.2.2. Вырождение схемы и нейтрализация элементов [51, 54] Для обоснования МСО используем связь определителя схемы с системным определителем. Здесь и далее в качестве определителей будем рассматривать символьные определители, то есть аналитические выражения, в которых все параметры схемы представлены символами, а не числами. В системном определителе (матрице) возможно появление строк, которые состоят из элементов, равных нулю. Соответствующая этому определителю схема называется вырожденной. Таким образом, определитель вырожденной схемы тождественно равен нулю. Во избежание излишних выкладок необходимо уметь устанавливать вырожденность схемы непосредственно по ее структуре и составу элементов [51, 74, 75].

С физической точки зрения примем, что вырожденной является схема, в которой развиваются бесконечно большие токи и напряжения или значения токов и напряжений оказываются неопределенными. Так, внутренние сопротивления генератора напряжения и приемника тока равны нулю, поэтому в контуре, содержащем только генераторы напряжения и приемники тока, создается бесконечно большой ток. С другой стороны, внутренние проводимости генератора тока и приемника напряжения равны нулю, поэтому на элементах сечения, образованного только генераторами тока и приемниками напряжения появляются бесконечно большие значения напряжений.

Частными случаями контура и сечения являются, соответственно, петля и разомкнутая ветвь. Случаи вырождения схемы при образовании петель и разомкнутых ветвей отражены в табл. 1.2.1. Действительно, ток, протекающий через замкнутый накоротко приемник тока, и напряжение на разомкнутом приемнике напряжения имеют неопределенные значения (неопределенность вида 0/0). Убедиться в этом можно, подсоединив последовательно с приемником тока I и параллельно с приемником напряжения U, соответственно, источник ЭДС E=0 и источник тока J=0.

Как видно, замыкание и размыкание z- и y-ветвей не может привести к вырождению схемы. Действительно, z-ветвь можно представить в виде последовательного соединения генератора напряжения и приемника тока, а y-ветвь – в виде параллельного соединения генератора тока и приемника напряжения. Эти преобразования показаны на рис. 1.2.1. Генератор напряжения управляется током приемника тока, а генератор тока – напряжением приемника напряжения. Таким образом, в первом случае имеем дело с ИНУТ, а во втором случае – с ИТУН. Стрелки генераторов УИ в отличие от стрелок независимых источников заключаются не в кружок, а в ромбик.

Таблица 1.2.1. Условия вырождения схемы и нейтрализации элементов Рис. 1.2.1. Замещение пассивных элементов управляемыми источниками Табл. П.1.5 более наглядно иллюстрирует условия нейтрализации элементов и вырождения схем при замыкании и размыкании ветвей. Каждая из этих операций приводит к тому, что ветвь оказывается связанной со схемой одним узлом, и, следовательно, определитель такой схемы может быть найден в соответствии со строкой 1 табл. П.1.12 как произведение определителей двух подсхем. Таким образом, если определитель подсхемы-ветви равен единице, то ветвь нейтрализуется удалением или стягиванием. Например, в случае y-петли (см. строку 5 табл. П.1.4) выполняется ее удаление, в случаях разомкнутой zветви (см. строку 2 табл. П.1.4) и разомкнутого приемника тока проводится их стягивание. В случае равенства определителя подсхемы-ветви параметру соответствующего элемента для разомкнутой y-ветви и z-петли этот параметр выделяется, то есть записывается как множитель перед определителем подсхемы, а сама ветвь стягивается и удаляется соответственно (см. строки 3 и 4 табл. П.1.4). Если определитель подсхемы-ветви равен нулю, например, в случае петли приемника тока или разомкнутого приемника напряжения, то схема является вырожденной (см. строки 4 и 5 табл. П.1.7).

Обоснование вырожденности схем, содержащих замкнутый генератор ЭДС и разомкнутый источник тока, основано на возникновении в этом случае бесконечно большого тока и напряжения соответственно.

Обратим внимание на операции замыкания и размыкания ГНУИ и ПНУИ.

Если в схеме замкнут (разомкнут) ГНУИ, то формируемая для этой схемы по законам Кирхгофа система уравнений является недоопределенной – число уравнений меньше числа неизвестных. Это связано с тем, что ГНУИ не имеет компонентного уравнения, то есть его ток и напряжение могут принимать любые (неизвестные) значения, которые определяются всей схемой. В рассматриваемом случае оказывается неопределенным ток (напряжение) ГНУИ, если последний замкнут (разомкнут).

Если в схеме замкнут или разомкнут ПНУИ, то ее система уравнений также является недоопределенной. Неопределенным оказывается напряжение или ток ГНУИ, потому что известные (нулевые) ток и напряжение ПНУИ в формируемой системе уравнений не используются.

Случаи вырождения схем, содержащих УИ, при наличии в этих схемах EIконтуров и JU-сечений заслуживают специального рассмотрения. Следует отметить, что наличие в схеме контура, содержащего только генераторы напряжения и приемники тока, или сечения, образованного только генераторами тока и приемниками напряжения, не указывает на ее вырождение.

Действительно, в отличие от параметров независимых источников, параметры УИ учитываются в левых частях уравнений (1.2.1) и (1.2.2), и поэтому системный определитель не включает строки или столбцы из элементов, равных нулю. Случаи вырождения схем с УИ отображены в табл. 1.2.2, а также в графическом виде в табл. П.1.6.

Неопределенным является значение тока в контуре, образованном приемниками тока. Действительно, включение в такой контур генератора напряжения с E=0 приводит по закону Ома к неопределенности вида 0/0, так как сумма сопротивлений контура равна нулю. Аналогично этому невозможно определить напряжения на элементах сечения, образованного приемниками напряжения, поскольку включение в такое сечение генератора тока J= обусловливает неопределенность вида 0/0.

Таблица 1.2.2. Следствия параллельного и последовательного соединения

ГНУИ ПНУИ ГНУИ ПНУИ

Сопротивление (z - ветвь) Удаление-выделение Стягивание Генератор напряжения (ГН) Вырождение НУИ Стягивание Наиболее часто встречающимся случаем вырождения является случай, когда схема распадается на несколько (две и более) подсхем. Формально такую схему можно представить в виде связной схемы, если соединить ее подсхемы генераторами тока с J=0. Полученная схема является вырожденной вследствие наличия сечений, образованных только генераторами тока. Для доказательства можно поступить по-другому. Возьмем два любых несвязных между собой узла, пронумеруем их по порядку 1 и 2. К узлу с номером 2 подсоединим одним из полюсов независимый источник ЭДС Е. Свободный узел источника обозначим номером 3. Определитель полученной схемы остался таким же, как у исходной схемы. Подключим между первым и вторым узлами приемник напряжения U12, а между первым и третьим узлами – приемник U13. Для полученной схемы по законам Кирхгофа можно сформулировать только одно уравнение U13 – U12 =E. Искомые напряжения U12, U13 найти нельзя, поскольку уравнение недоопределено. Таким образом, схема, состоящая из двух и более несвязных подсхем, является вырожденной.

Рассмотренные выше признаки вырождения (наличие EI-контуров, JU-сечений, несвязность схемы) должны отсутствовать у схем, подлежащих дальнейшему анализу. В противном случае задача анализа электрической схемы является тривиальной или некорректно поставленной. Следует отметить, что исходная схема также должна быть связной. Если схема несвязна, например, схема трансформаторного усилителя, то необходимо объединить два узла, принадлежащих разным подсхемам. Такая модификация схемы не изменяет ССФ.

1.2.3. Эквивалентные упрощения электрических схем Из уравнений (1.2.1) и (1.2.2) следует, что для получения системного определителя необходимо принять ЭДС генераторов напряжения и токи генераторов тока равными нулю. Это соответствует на схеме замене генераторов ЭДС и приемников искомых токов короткозамкнутыми проводниками с Z=0 или Y=, а также замене генераторов тока и приемников искомых напряжений z-ветвями с Z= или y-ветвями с Y=0. Следует отметить, что приемники напряжения и тока управляемых источников указанные преобразования не затрагивают. Физический смысл этих преобразований состоит в том, что из схемы исключаются независимые источники E=0 и J=0, а значит, искомые напряжения и токи также обращаются в нуль: U=0 и I=0.

Другим источником появления в схеме ветвей с предельными значениями параметров как на постоянном токе, так и при гармоническом воздействии, являются энергоемкие элементы. Например, индуктивное сопротивление Z=pL=jL и емкостная проводимость Y=pC=jC имеют значение, равное нулю, и бесконечно большое значение на круговой частоте, соответственно, =0 и Учет особенностей структуры и элементного состава позволяет упростить анализ электрических схем. Прежде всего, из схемы удаляются z-ветви с Z= и y-ветви с Y=0. Далее в схеме замещаются короткозамкнутыми проводниками y-ветви c Y= и z-ветви c Z=0. Каждый из соединительных проводников необходимо стянуть в одну точку-узел, чтобы не загромождать схему, на которой не должно быть соединительных проводников и, разумеется, узлов, к которым подключены только короткозамкнутые проводники.

Последовательно соединенные z-ветви замещаются на схеме одной эквивалентной z-ветвью, параметр которой равен сумме параметров исходных z-ветвей. С другой стороны, параллельно соединенные y-ветви замещаются одной эквивалентной y-ветвью, параметром которой является сумма параметров исходных y-ветвей. Перечисленные выше эквивалентные упрощения иллюстрируются на рис. 1.2.2. В табл. П.1.2 приводятся также правила упрощения последовательного, параллельного, последовательно-параллельного и параллельно-последовательного соединений управляемых источников. Вывод указанных формул проводится на основе законов Кирхгофа.

Рис. 1.2.2. Простейшие эквивалентные упрощения электрических схем, выполняемые перед нахождением схемного определителя Другим упрощающим схему преобразованием является нейтрализация (устранение) влияния элемента на режим схемы вследствие замыкания или размыкания этого элемента. Нейтрализацию элемента можно вызвать также приравниванием значения его параметра к нулю. Случаи нейтрализации элементов отражены в табл. 1.2.1. Кроме традиционных элементов табл. 1.2. включает НУИ. ГНУИ и ПНУИ в отличие от обычных генераторов и приемников нельзя нейтрализовать ни замыканием, ни размыканием.

Нейтрализацию генератора тока замыканием и генератора напряжения размыканием можно рассматривать как частные случаи нейтрализации генератора тока, помещенного в EI-контур, и генератора напряжения, включенного в JU-сечение. Действительно, в первом случае напряжение на генераторе тока не зависит от его тока J, а во втором случае ток через генератор напряжения не зависит от его ЭДС Е. Аналогично этому нахождение напряжения на приемнике напряжения, помещенном в EI-контур, не представляет затруднений, поскольку определяется алгебраической суммой ЭДС генераторов напряжения (см. формулу (1.2.2)). С другой стороны, ток в приемнике тока, включенном в JU-сечение, выражается через токи генераторов тока согласно уравнению (1.2.1). Следует обратить внимание на то, что нейтрализацию УИ, как элемента схемы, образованного двумя ветвями, влечет нейтрализация либо его генератора, либо его приемника. Более общие случаи нейтрализации элементов отражены в табл. 1.2.2.

Если напряжения на приемниках напряжения и токи в приемниках тока известны, а эти приемники управляют генераторами, то соответствующие генераторы становятся независимыми и поэтому исключаются из схемы.

Напомним, что элемент, нейтрализация влияния которого на режим схемы установлена, исключается из схемы в соответствии с его физическими свойствами, то есть генераторы напряжения и приемники тока стягиваются, а генераторы тока и приемники напряжения удаляются (см. рис. 1.2.2).

В строке 1 табл. П.1.3 содержится операция объединения двух подсхем с управляющими связями, которую необходимо выполнять перед анализом схемы. В строках 210 табл. П.1.3 сгруппированы операции предварительных упрощений частных вариантов схем перед нахождением ССФ путем удаления или стягивания одного из двух двухполюсников (однополюсников). Это возможно, во-первых, при отсутствии управляющих связей между ними. Вовторых, двухполюсник (однополюсник), оставляемый в схеме (см. строки 24, 68, 10) после ее преобразования, должен содержать приемники искомого тока или напряжения. В строках 46, 810 оставляемый двухполюсник должен иметь в своем составе независимый источник энергии. Удаляемый (стягиваемый) в строках 310 двухполюсник не содержит как приемников с искомым током или напряжением, так и независимых источников энергии.

Рассмотренные эквивалентные упрощения доказываются в [31].

1.3. РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ СХЕМ

ПО ПАРАМЕТРАМ ДВУХПОЛЮСНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ И ПОДСХЕМ

1.3.1. Определители простейших схем Практическое значение имеют схемы, определители которых отличны от нуля. Определители простейших схем легко получаются из закона Ома (см.

формулы (1.1.1)). Слева на рис. 1.3.1,а–г изображены схемы и очевидные выражения для ССФ (см. рис. 1.1.5), а справа – показаны производные схемы, полученные в результате исключения генераторов и приемников, вместе с выражениями для определителей этих схем. Здесь и далее схемы, образованные в результате стягивания и (или) удаления ветвей исходной схемы, называются производными схемами. Обратим внимание на то, что рис. 1.3.1,а–г может служить доказательством условий выделения и нейтрализации пассивных элементов, представленных в первой и второй строках табл. 1.2.1.

Рис. 1.3.1. Получение определителей простейших схем В табл. П.1.4 приведены определители этих и других простейших схем.

Определитель схемы одиночного узла, помещенный в строку 1, равен единице, поскольку эта схема может быть получена из y-петли (см. строку 5 в табл. П.1.4) при y=0. С другой стороны, одиночный (изолированный) узел эквивалентен разомкнутой z-ветви (см. строку 2 в табл. П.1.4) при z=0, определитель которой также равен единице. В качестве упражнения сравните приведенное выше доказательство с доказательством из работы [15].

1.3.2. Выделение параметров пассивных элементов Выделение параметров элементов положено в основу метода схемных определителей и состоит в следующем. Выразим напряжения на ветвях схемы в подсистеме уравнений (1.2.2) через сопротивления и токи ветвей. В то же время матрица подсистемы уравнений (1.2.1) будет содержать элементы, равные 1, – или 0. Отсюда видно, что системный определитель является линейной функцией относительно параметра Z некоторой (любой) ветви, и слагаемые определителя можно подразделить на два подмножества. К первому подмножеству относятся слагаемые, включающие в качестве сомножителя выделяемый параметр Z. Слагаемые второго подмножества образуют определитель, полученный из системного определителя при условии Z=0.

Для перехода от системного определителя к определителю схемы используем замещение Z-ветви ИНУТ, как показано на рис. 1.2.1. Схемное отображение условия Z=0 состоит в исключении генератора ZI и приемника I.

Следовательно, слагаемые второго подмножества схемного определителя можно найти как определитель схемы, полученной из исходной схемы в результате стягивания указанных генератора и приемника (см. рис. 1.2.2).

При нахождении слагаемых определителя, относящихся к первому подмножеству, воспользуемся искусственным приемом, который заключается в том, чтобы наложить запрет на нейтрализацию ИНУТ, то есть объявить вырожденными производные схемы, в которых генератор напряжения ZI и (или) приемник тока I являются разомкнутыми ветвями. В противном случае определители таких схем приведут к образованию слагаемых второго подмножества, которые получаются при условии Z=0. Этого нельзя допустить, поскольку, во-первых, каждая ветвь схемы имеет индивидуальное обозначение или номер, а во-вторых, из уравнений (1.2.1) и (1.2.2) следует, что схемный определитель не может содержать одинаковых слагаемых.

Наложение запрета на нейтрализацию УИ можно осуществить с помощью использования схемного элемента, названного выше НУИ. Основные свойства НУИ, отраженные в табл. 1.2.1, нетрудно вывести из закона Ома и определения ССФ, повторно обратившись к схемам, показанным на рис. 1.3.1,а–г.

САВ, представленные на рис. 1.3.2,аг, получаются в результате замещения пассивных элементов ИНУТ и ИТУН (см. рис. 1.2.1), а также выделения их параметров. Заметим, что короткозамкнутая ветвь-петля, определитель которой тождественно равен нулю, является частным случаем контура, содержащего приемники тока (см. табл. 1.2.2). Следствиями уравнений на рис. 1.3.2 являются свойства НУИ, которые иллюстрирует рис. 1.3.3.

Определитель НУИ-контура (см. также строку 10 табл. П.1.4) равен единице. Это вытекает из того, что такой контур эквивалентен короткозамкнутой ветви (изолированному узлу) или контуру-нуллору, сопротивление которого равно нулю. Строгое доказательство можно выполнить на основе метода полных деревьев (двуграфового метода или метода графа тока-напряжения Коутса) [51, 58, 79]. При этом учитывается, что НУИ-контур является простейшим полным деревом с параметром, равным единице.

Эквивалентность схем, показанных на рис. 1.3.3,а,б, приводит к схемным уравнениям для выделения параметров пассивных элементов в составе произвольной электрической схемы. Эти уравнения представлены на рис. 1.3.4.

Рис. 1.3.4. Выделение параметров двухполюсников С учетом рис. 1.2.1 уравнения на рис. 1.3.4 могут рассматриваться как доказательство формул Фойснера [68, 69] :

где Z и Z – определители первой и второй производных схем, образованных в результате выделения Z-ветви; Y и Y – определители первой и второй производных схем, являющихся следствием выделения Y-ветви. Верхние и нижние индексы при указывают соответственно на удаление и стягивание той или иной ветви схемы.

Повторным применением формул (1.3.1) и (1.3.2) разложение определителя сложной схемы сводится к определителям простейших схем, изображенных на рис. 1.3.1,а–г справа (Z-петля, Z-ветвь, Y-петля, Y-ветвь).

Определители этих схем полезно запомнить, чтобы уменьшить затраты времени на анализ схем, избежав завершающего применения формул (1.3.1) и (1.3.2), выполненного на рис. 1.3.2,а–г.

Изменение ориентации только у генератора или только у приемника в схемах на рис. 1.2.1 можно учесть помещением отрицательного знака перед параметром Z или Y. Если этого не сделать, то производная схема может иметь вид схемы на рис. 1.3.3,а, но с противоположной ориентацией генератора и приемника НУИ по отношению к одному из узлов, как показано на рис. 1.3.3,г.

Определитель такой схемы, очевидно, равен –1.

1.3.3. Выделение подсхем Разложение схемных определителей можно значительно упростить, если представить исходную схему в виде соединения двух подсхем, как показано на рис. 1.3.5 слева, и применить формулы Фойснера [68]:

где 1 и 2 – определители первой и второй подсхем. Обозначение в скобках после указывает на объединение внешних узлов a и b в соответствующих подсхемах. Формула (1.3.3) применяется, когда первая и вторая подсхемы имеют единственный общий узел (см. рис. 1.3.5,а).

Рис. 1.3.5. Нахождение определителей схем по частям Для использования формулы (1.3.4) необходимо, чтобы схема делилась на подсхемы по узлам a и b (см. рис. 1.3.5,б). Формулы (1.3.3) и (1.3.4) можно применять, когда подсхемы 1 и 2 не имеют одна с другой управляющих связей, то есть генератор и приемник любого УИ или НУИ не должны находиться в различных подсхемах.

1.3.4. Метод схемных миноров [53] Подсхемы с одним и двумя внешними узлами (см. формулы (1.3.3) и (1.3.4)) являются простейшими случаями подсхем. Операция объединения внешних узлов подсхемы эквивалентна операции удаления соответствующей строки и столбца в матрице уравнений этой подсхемы [41]. Отсюда по аналогии с минором определителя матрицы можно ввести понятие «минор определителя схемы» или просто «минор схемы». Однако с помощью объединения внешних узлов можно находить только симметричные миноры подсхемы. В общем случае вместо объединения узлов используется подсоединение нуллора или НУИ к соответствующим узлам подсхемы. Действительно, на рис. 1.3.3,а показано, что объединение двух узлов эквивалентно подсоединению к этим узлам генератора и приемника некоторого НУИ. При нахождении несимметричного минора генератор и приемник НУИ не будут соединенными параллельно.

Миноры подсхемы удобно отображать двоичными векторами (ДВ) размерности 2n, где n – число внешних узлов подсхемы, не считая базисного узла. В качестве базисного узла выбирается произвольный узел из внешних узлов подсхемы. Единицы в первой (второй) половине элементов ДВ соответствуют конечным узлам подключения генераторов (приемников) НУИ.

Если к внешнему узлу подсхемы не подсоединяются НУИ, то в соответствующие позиции ДВ заносятся нули. Положение или позиции элементов в каждой из половин ДВ задается упорядоченным множеством – кортежем внешних узлов подсхемы, исключая базисный узел. Обозначениями позиций ДВ служат обозначения узлов схемы. Базисный узел схемы, который не отображается в ДВ, является начальным узлом всех без исключения генераторов и приемников НУИ.

Для обозначения миноров схемы или подсхемы может применяться символика, принятая для обозначения миноров матрицы. Нетрудно перейти от обозначений миноров подсхемы с десятичными индексами к ДВ и обратно.

Важно, что множество ДВ является унифицированным отображением миноров подсхем с одним и тем же числом внешних узлов. С учетом изложенного выше минор подсхемы, заданный некоторым ДВ, равен определителю схемы, которая получена из этой подсхемы в результате подсоединения НУИ согласно ее ДВ.

Генераторы и приемники НУИ должны быть пронумерованы в соответствии с их очередностью в ДВ, а именно, i-я по порядку единица в первой (второй) половине ДВ соответствует генератору i (приемнику i) i-го НУИ. Все шесть миноров подсхемы с тремя внешними узлами изображены на рис. 1.3.6.

Подобно определителям, миноры схемы и матрицы эквивалентны. Однако выражения определителя и миноров матрицы схемы, представленные в развернутом виде, избыточны. Подсоединение НУИ позволяет представить внешние характеристики подсхем в виде производных схем, избежав применения в анализе схем по частям объектов, имеющих математическую природу, и порождаемых вычислительных трудностей.

Метод схемных миноров может быть применен для решения систем линейных алгебраических уравнений произвольной физической природы в аналитическом виде. Пусть A – квадратная матрица порядка n. Определитель этой матрицы можно разложить путем рекурсивного применения формулы Лапласа [2, 41] где ij – минор элемента aij и ij(aij=0) – определитель производной матрицы, полученной из исходной матрицы при условии aij=0. Как видно, порядки исходной и производной матриц одинаковы. Подобно этому, удаление генератора и приемника ИТУН (см. рис. 1.3.4,б) не приводит к объединению узлов схемы. Следовательно, можно говорить об аналогии между выделением элемента матрицы и выделением параметра ИТУН в соответствующей схеме.

Схемное отображение матрицы заключается в следующем. Каждый элемент матрицы отображается одним и только одним ИТУН на схеме с n+ узлами. Нумерация узлов схемы соответствует нумерации строк (столбцов) матриц, а дополнительному узлу присвоен номер 0. При этом элементу aij соответствует ИТУН вида (i,0)(j,0), где в первой паре скобок указаны узлы генератора ИТУН, а во второй – узлы приемника ИТУН. Ориентация генератора и приемника соответствует порядку следования номеров узлов пары. Значение параметра ИТУН считается равным значению отображаемого элемента матрицы. В качестве подсхем удобно рассматривать подмножества ИТУН, соответствующие строкам исходной матрицы. Объединение подсхемстрок выполняется следующим образом: сначала объединяются первые две строки, затем к их объединению добавляется третья строка и т. д., наконец, к объединению n–1 строк добавляется последняя n-я строка.

1.3.4.1. Деление схемы на две части по трем узлам Пусть схема образована в результате объединения двух подсхем с тремя внешними узлами, как показано на рис. 1.3.7. Двоичное отображение формулы, обобщающей формулы (1.3.3) и (1.3.4) и предусматривающей деление схемы на две части по узлам a, b и c, имеет вид = 1(0000)2(1111) + 1(0101)2(1010) – 1(0110)2 (1001) – – 1(1001)2(0110) + 1(1010)2(0101) + 1(1111)2 (0000). (1.3.5) Таким образом, слагаемые этой формулы представлены шестью парами ДВ.

Векторы каждой пары взаимно дополняют друг друга (как минор и соответствующий минор [41]), отображая сомножители формулы. Кортеж общих (или внешних) узлов подсхем, являющийся обозначением позиций ДВ, имеет вид: (a, b, a, b) или кратко abab. Узел c является базисным узлом для обеих подсхем.

В силу одинаковой четности номеров строк и столбцов взаимно дополнительных миноров, информацию о знаке слагаемого можно получить из расположения единиц в одном из векторов пары. Принимается во внимание порядковый номер единицы в той или иной половине ДВ. Положительный (отрицательный) знак выбирается в случае четной (нечетной) суммы порядковых номеров позиций, содержащих единицы, в ДВ. Убедитесь в этом самостоятельно на примере формулы (1.3.5).

1.3.4.2. Общий случай деления на подсхемы Формирование множества ДВ подсхемы не встречает затруднений. Самое простое решение состоит в том, чтобы перебирать 2n-разрядные двоичные числа (от 2n нулей до 2n единиц) и выбирать те из них, которые содержат одинаковое количество единиц в первой и второй половинах разрядов. Это свойство, вытекающее из определения ДВ, позволяет получить число ДВ подсхемы в виде где {n l} – число сочетаний из n элементов по l.

Имея множество ДВ для одной из подсхем, можно легко получить ДВ второй подсхемы, применив операцию дополнения двоичного числа. Это значит, что единицы в позициях ДВ заменяются нулями и наоборот.

Следовательно, общая формула определителя при делении схемы на две подсхемы по узлам n, n–1,... 0 может быть представлена в виде где l – показатель знака l-го слагаемого, определяемый по ДВ bl ; 1(bl ) – минор первой подсхемы, соответствующий вектору bl ; 2(bl ) – минор второй подсхемы, соответствующий дополнению двоичного вектора bl. Узел с номером 0 является базисным узлом подсхем и не учитывается в обозначениях позиций ДВ. Полное доказательство формулы (1.3.6) выполните на основе теоремы об определителе суммы матриц [41].

1.3.4.3. Деление схемы на две части по четырем узлам Применим выражение (1.3.6) для получения формулы бисекции по четырем узлам (n=3). Схема, представленная в виде двух подсхем, изображена на рис. 1.3.8.

Размерность ДВ подсхем в этом случае будет равна 2n=6. Перебирая двоичные числа от 000000 до 111111, пропускаем те из них, у которых количество единиц в первых трех позициях (первой триаде) отличается от числа единиц в четвертой, пятой и шестой позициях вместе взятых (второй триаде). Отсюда получается двадцать ДВ подсхемы с четырьмя внешними узлами (=20): 1) 000000; 2) 001001; 3) 001010; 4) 001100; 5) 010001; 6) 010010;

7) 010100; 8) 011011; 9) 011101; 10) 011110; 11) 100001; 12) 100010; 13) 100100;

14) 101011; 15) 101101; 16) 101110; 17) 110011; 18) 110101; 19) 110110; 20) 111111. Обозначения позиций этих ДВ имеют вид: 123123 (см. рис. 1.3.8).

Перечисленные ДВ можно рассматривать как двоичные отображения первых сомножителей в выражении (1.3.6), относящиеся к первой подсхеме.

Следовательно, дополнения этих ДВ будут являться ДВ миноров второй подсхемы, соответствующих вторым сомножителям в выражении (1.3.6).

Совместные пары ДВ, образующие формулу четырехузловой бисекции, перечислены ниже: 1) (1,20); 2) (2,19); 3) (3,18); 4) (4,17); 5) (5,16); 6) (6,15); 7) (7,14); 8) (8,13); 9) (9,12); 10) (10,11); 11) (11,10); 12) (12,9); 13) (13,8); 14) (14,7); 15) (15,6); 16) (16,5); 17) (17,4); 18) (18,3); 19) (19,2); 20) (20,1).

Для перехода от ДВ к минорам подсхем генераторы и приемники НУИ нумеруются согласно следованию единиц в ДВ. Например, из ДВ получаем 012120, что означает подсоединение к соответствующей подсхеме двух НУИ: НУИ–1 (02,01) и НУИ–2 (03,02) (см. рис. 1.3.6). Напомним, что генератор и приемник, образующие некоторый НУИ, имеют одинаковые номера.

Знак пары совместных ДВ определяется на основе так называемых нумерованных ДВ, которые получаются путем сквозной нумерации генераторов и приемников НУИ сначала во второй, а затем в первой подсхемах.

Например, для нахождения знака слагаемого (3,18) от ДВ 001010 и переходим к нумерованным ДВ 003030 и 120102. Далее поступаем в соответствии с топологическим правилом: нумерованные ДВ складываются, образуя вектор 123132. Триады этого вектора формируют подстановку / 132, которая имеет одну инверсию, то есть является нечетной. Следовательно, знак слагаемого (3,18) в формуле четырехузловой бисекции отрицательный.

Аналогично поступая в случае других слагаемых этой формулы, убеждаемся, что, кроме третьего слагаемого, отрицательные знаки имеют слагаемые с номерами 5, 7, 9, 12, 14, 16 и 18.

1.3.4.4. Объединение подсхем Множества внешних узлов объединяемых подсхем, как правило, не совпадают с множеством их общих узлов. В этом случае необходимо рассматривать согласно формуле (1.3.6) только те позиции ДВ, которые относятся к узлам, являющимся общими узлами для обеих подсхем.

Оставшиеся позиции ДВ непосредственно переносятся во вновь формируемый ДВ объединенной схемы. Таким образом, взаимно однозначное соответствие миноров, присущее формуле (1.3.6), нарушается и некоторый минор одной подсхемы оказывается совместным с двумя и более минорами другой подсхемы.

Если среди общих узлов объединяемых подсхем отсутствуют узлы, являющиеся одновременно внешними узлами объединенной схемы, то ДВ совместных миноров подсхем должны дополнять друг друга в части позиций, соответствующих общим узлам подсхем. В качестве примера выполним объединение подсхем, образующих схему на рис. 1.3.9.

Рис. 1.3.9. Объединение подсхем с четырьмя внешними узлами Для обозначения позиций ДВ первой и второй подсхем удобно выбрать кортежи 312312 и 124124. Чтобы установить совместность миноров подсхем, необходима информация, размещенная в позициях 1212 ДВ этих подсхем. При нахождении знака пары совместных ДВ также используются только эти позиции.

Внешними узлами объединенной схемы являются собственные узлы 3 и подсхем 1 и 2. Следовательно, размерность ДВ этой схемы равна четырем, а число ДВ или число миноров схемы равно шести. ДВ объединенной схемы приведены слева в табл. 1.3.1. Справа указаны пары совместных миноров подсхем с соответствующими знаками перед скобками. Произведения миноров подсхем (справа) в сумме с учетом знаков образуют минор объединенной схемы (слева).

Таблица 1.3.1. Получение миноров объединенной схемы на рис. 1.3. ДВ объединенной схемы:

Миноры объединенной схемы содержат всю информацию о ее ССФ (см.

рис. 1.1.5). Нахождение знака слагаемых миноров объединенной схемы усложняется, когда обозначения позиций ДВ подсхем неупорядочены.

Упорядочение позиций первой подсхемы предусматривает их приведение к виду: собственные узлы – общие узлы. Напротив, позиции ДВ второй подсхемы считаются упорядоченными, если они приведены к виду: общие узлы – собственные узлы. При этом порядок следования общих узлов в обозначениях позиций ДВ обеих подсхем должен быть одинаков. Таким образом, топологическое правило нахождения знака требует учета двух составляющих (–1)d+h, где d число инверсий, требующихся для упорядочения ДВ первой и второй подсхем; h число инверсий в подстановке, образованной из номеров генераторов и приемников, которые инцидентны общим узлам подсхем.

Если среди общих узлов объединяемых подсхем имеются узлы, являющиеся одновременно внешними узлами объединенной схемы, то следует использовать обобщенное условие совместности ДВ. Для доказательства этого условия вводится дополнительный узел, соединенный короткозамкнутой ветвью, то есть вырожденным НУИ, с общим внешним узлом. Дополнительный узел рассматривается в качестве собственного узла одной из подсхем. Таким образом, задача приводится к рассмотренному ранее случаю, когда у подсхем отсутствуют общие внешние узлы.

Обобщенное условие совместности ДВ. Два ДВ совместны, если результат поэлементного сложения содержимого каждой из общих позиций этих ДВ отличен от нуля.

При формировании объединенного ДВ содержимое собственных позиций ДВ объединяемых подсхем переносится без изменений в ДВ объединенной схемы. Содержимое каждой из позиций объединенного ДВ, формируемых для общих внешних узлов этих подсхем, равно поэлементному произведению содержимого соответствующих позиций ДВ объединяемых подсхем.

1. Попарное сравнение ДВ подсхем и выявление пар совместных ДВ. Для этого используются позиции ДВ, соответствующие общим узлам подсхем, и условие совместности.

2. Приведение совместных пар ДВ к ДВ объединенной схемы. В объединенный ДВ в первую очередь заносится содержимое позиций, относящихся к собственным узлам первой подсхемы. Далее рассматриваются позиции, соответствующие общим внешним узлам. В объединенный ДВ заносится единица только в том случае, если содержимое соответствующих позиций в ДВ подсхем отлично от нуля. В противном случае объединенный ДВ дополняется нулем в позиции, соответствующей общему внешнему узлу.

Формирование объединенного ДВ завершается учетом содержимого позиций, относящихся к собственным узлам второй подсхемы. Параметр найденного ДВ равен произведению миноров исходных подсхем.

3. Определение знаков совместных пар миноров объединяемых подсхем.

Если в позициях общих внешних узлов обоих ДВ содержатся единицы, то ДВ первой подсхемы модифицируется путем помещения в соответствующую позицию нуля. Такая модификация необходима, поскольку единица из ДВ первой подсхемы перешла в объединенный ДВ подсхем. Далее применяется топологическое правило и знак рассчитывается по формуле (–1)d+h.

4. Приведение подобных членов среди параметров объединенных ДВ по виду ДВ и образование миноров объединенной схемы. Перед параметром объединенного ДВ учитывается знак соответствующей пары миноров объединяемых подсхем.

Специального рассмотрения заслуживают случаи, когда подсхемы включают идеальные ОУ. Среди миноров таких подсхем могут быть миноры, тождественно равные нулю, если подсоединение НУИ в соответствии с ДВ минора приводит к получению вырожденной схемы. Это обусловлено тем, что идеальный ОУ имеет статус НУИ, и возможно образование контуров, содержащих только генераторы или только приемники НУИ (см. табл. 1.2.2).

Наличие нулевых миноров позволяет значительно сократить количество ДВ, подлежащих рассмотрению, как при анализе подсхем, так и при их объединении. Для этого необходимо использовать правила, учитывающие условие совместности ДВ объединяемых подсхем.

Правило 1. Если внешний узел подсхемы совпадает с выходным узлом идеального ОУ, принадлежащего этой подсхеме, то в первой половине позиций ДВ содержимое позиции этого внешнего узла равно нулю.

Правило 2. Если внешний узел подсхемы совпадает с выходным узлом идеального ОУ, принадлежащего другой подсхеме, то в первой половине позиций ДВ содержимое позиции этого внешнего узла равно единице.

В правилах 1 и 2 предполагается, что одним из выходных узлов идеального ОУ является базисный узел схемы, что практически всегда имеет место [6, 34].

Дуальные правила могут быть предложены для входного узла идеального ОУ с дифференциальным входом, когда другой входной узел этого ОУ является базисным узлом схемы.

В качестве иллюстрации предложенных правил рассмотрим пример объединения подсхем полосового фильтра на 13 идеальных ОУ [79], структурная схема которого представлена на рис. 1.3.10. Следует отметить, что выходной (правый) узел каждой подсхемы совпадает с выходным узлом одного из трех идеальных ОУ, находящихся внутри этой подсхемы. Подсхема содержит единственный ОУ, выходной узел которого является одновременно ее выходным узлом.

Рис. 1.3.10. Структурная схема активного полосового фильтра Для объединения подсхем используется иерархическое дерево, которое изображено на рис. 1.3.11. Номера узлов этого дерева соответствуют номерам исходных подсхем (подсхемы 1 – 5) и подсхем, образованных в результате объединения (подсхемы 6 – 9). Объединение подсхем выполняется снизу-вверх согласно рис. 1.3.11 или слева-направо согласно рис. 1.3.10. Подсхема с номером 9 завершает процесс объединения и является исходной схемой. Из миноров этой подсхемы можно получить искомую передаточную ССФ по напряжению.

Рис. 1.3.11. Дерево объединения подсхем полосового фильтра В первую очередь объединяются подсхемы 1 и 2. Узел 3 принадлежит обеим этим подсхемам. В то же время его нужно сохранить как внешний узел объединенной схемы (подсхема 6). Чтобы установить совместность ДВ объединяемых подсхем, рассматриваются позиции, соответствующие их общим узлам 2 и 3. Фрагменты ДВ подсхем 1 и 2 для кортежа 2323 имеют вид:

Слева от ДВ указывается порядковый номер минора.

Узел 2 является общим внутренним узлом подсхем, поэтому совместность ДВ в позициях 2 обеспечивается при взаимном дополнении их содержимого.

Узел 3 – общий внешний узел, следовательно, совместность ДВ в позициях достигается при условии, когда содержимое позиций 3 рассматриваемых пар ДВ либо взаимно дополняющее, либо равняется единице, но не может быть равным нулю. Таким образом, совместными являются четыре пары ДВ (миноров подсхем): (1,1), (2,2), (2,3) и (3,1).

Пары ДВ (1,1) и (2,3) имеют в позиции 3 единицы, поэтому для определения знака этих пар единицы в позиции 3 (вторая половина ДВ) для второй подсхемы заменяются нулями. Введение дополнительного узла во вторую, а не в первую, подсхему обусловлено тем, что узел 3 в кортеже ДВ размещается рядом с узлом 4, который является собственным узлом подсхемы 2. В случае пары (1,1) рассматриваются ДВ 0111 и 1000. После нумерации НУИ получаем соответственно 0212 и 1000. Сложение нумерованных ДВ приводит к вектору 1212, первая (вторая) половина элементов которого образует первую (вторую) строку подстановки 12 / 12. Эта подстановка не имеет инверсий, следовательно, знак пары (1,1) положителен.

В случае определения знака пары (3,1) необходимо рассмотреть ДВ 0110 и 1001. Нумерация НУИ приводит к векторам 0220 и 1001. В результате сложения нумерованных ДВ имеем вектор 1221 и соответствующую подстановку 12 / 21. Эта подстановка содержит одну инверсию, то есть является нечетной, следовательно, знак пары (3,1) отрицателен. Аналогично определяются знаки у пар (2,2) и (2,3).

Формируя объединенный ДВ, необходимо помнить, что единица в позиции 3 этого ДВ возможна только при равенстве единице содержимого соответствующих позиций в ДВ подсхем 1 и 2. Отсюда после приведения подобных ДВ получаем множество ДВ подсхемы 6: 1) 101011; 2) 101101; 3) 101110. Кортеж этих ДВ имеет вид: 134134. Соответствующие миноры перечислены ниже: 61= 11 21, 62 = 1222–1321, 63 = 1223.

Поскольку ДВ у подсхем 1 – 4 одинаковые, а ДВ подсхемы 6 совпадают с ДВ подсхемы 1, то объединение подсхем 6 и 3, 7 и 4 можно выполнить без проведения соответствующих выкладок. Выражения для миноров подсхемы образуются из выражений для миноров подсхемы 6 формальной заменой первых цифр 6, 1 и 2 после на цифры 7, 6 и 3. Получение выражений для миноров подсхемы 8 выполняется путем замены указанных цифр на 8, 7 и соответственно.

При установлении совместности ДВ подсхем 8 и 5 рассматриваются позиции, соответствующие их общим узлам 5 и 6. Интересующие фрагменты ДВ подсхемы 8 и ДВ подсхемы 5 имеют вид соответственно:

Как видно, совместными являются три пары ДВ: (1,1), (2,2) и (3,1). Далее поступаем аналогично объединению подсхем 1 и 2. Отсюда получаются ДВ подсхемы 9: 1) 1001; 2) 1010. Кортеж этих ДВ имеет вид: 1616.

Соответствующие миноры перечислены ниже:

Последовательность выражений для объединения подсхем имеет вид:

Таким образом, миноры, которые необходимы для задания подсхемы в виде «черного ящика» относительно внешних узлов, используются в дальнейшем в выражениях более высокого уровня, отображающих объединение подсхем (см. рис. 1.3.10 и 1.3.11). На заключительном первом уровне объединение подсхем приводит к получению выражений, являющихся минорами исходной схемы. Представление ССФ в виде последовательности выражений обеспечивает многократное уменьшение вычислительной сложности [53, 79, 80].

1.4. ВЫРАЖЕНИЕ СИМВОЛЬНЫХ СХЕМНЫХ ФУНКЦИЙ

Пусть требуется найти передаточную ССФ вида I/E (см. рис. 1.1.6). Для этого выполним формальную замену E=ZI, как показано на рис. 1.4.1 слева, то есть вместо независимого источника напряжения поместим в схему ИНУТ zI, который управляется искомым током I. В полученной вспомогательной схеме отсутствуют независимые источники, поэтому токи будут отличаться от нуля только при условии, что схемный определитель = 0.

САВ на рис. 1.4.1 можно рассматривать как обобщение САВ, представленного на рис. 1.3.4,а, поскольку НУИ, генератор и приемник которого не имеют общего узла, нельзя заместить разомкнутой (отсутствующей) ветвью. В аналитическом виде схемное уравнение на рис.

1.4.1 записывается следующим образом:

где – определитель схемы с ИНУТ ZI, (ZНУИ) – определитель первой производной схемы, образованной из исходной схемы в результате придания ИНУТ с параметром Z статуса НУИ; (Z=0) – определитель второй производной схемы, полученной из исходной схемы путем стягивания генератора ZI и приемника I. Совместное использование уравнения E=ZI и формулы (1.4.1) с учетом = 0 приводит к выражению для искомой ССФ Знак «минус» в формуле (1.4.2) можно опустить, если изменить ориентацию у ГНУИ (или у ПНУИ).

Аналогично формуле (1.4.2) получаются выражения для остальных ССФ (см. рис. 1.1.6). САВ, позволяющие выразить все ССФ через схемные определители, представлены в табл. 1.4.1 и более детально в табл. П.1.1.

Как видно, с учетом рис. 1.3.3,а,б при нахождении входных ССФ можно избежать использования НУИ.

Таблица 1.4.1. Схемно-алгебраические выражения ССФ Рассмотренные выше САВ для ССФ (см. табл. 1.4.1 и табл. П.1.1) аналогичны предложенным Брауном схемным выражениям, содержащим ориентированные нуллоры [61]. Однако приведенное выше доказательство не требует использования понятий матричной алгебры. В то же время доказательство Брауна опирается на то обстоятельство, что подключение к двум узлам схемы норатора (нуллатора) влечет объединение соответствующих этим узлам строк (столбцов) матрицы схемы. Кроме того, из работ Брауна [61, 62] не ясно, как следует выбирать ориентацию норатора и нуллатора по отношению к ориентации источника воздействия и отклика. Необходимо подчеркнуть, что в случае изменения направления передачи напряжения или тока (с выхода на вход) ГНУИ и ПНУИ в строках 1–4 табл. П.1.1 меняются местами. Как известно, для взаимной цепи соответствующие функции попарно равны, а для активной (невзаимной) эти функции отличаются друг от друга.

Обозначения ГНУИ и ПНУИ во избежание недоразумений напоминают, соответственно, обозначения норатора и нуллатора нуллора, а именно, символы бесконечности и нуля выполнены в виде стрелок (см. рис.

1.1.2). Вместе с тем понятие НУИ обобщает понятия нуллора и ориентированного нуллора, поскольку параметру НУИ при необходимости можно присвоить значение. Это отличает НУИ от обычного нуллора и ориентированного нуллора которые сами по себе не имеют параметров, а моделируют ОУ с коэффициентом усиления, равным бесконечности.

Возможно, поэтому Браун, а затем Партен и Сикет [77], сформулировав схемные выражения для нахождения ССФ, ограничились их применением для анализа схем с двухполюсниками и идеальными ОУ. Это не позволило методу сингулярных (аномальных) элементов успешно конкурировать с матричными и графовыми методами, предусматривающими задание УИ, что, в конечном счете, привело к забвению этого метода на десятилетия. С методической точки зрения использование понятия НУИ, а также терминов ГНУИ и ПНУИ, более оправдано [51], поскольку последние являются взаимосвязанными элементами, образующими предельный случай именно УИ, а не абстрактного «нуллора».

1.5. ПРИМЕРЫ ФОРМИРОВАНИЯ СИМВОЛЬНЫХ СХЕМНЫХ ФУНКЦИЙ

ДЛЯ СХЕМ С ДВУХПОЛЮСНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ

1.5.1. Простейший делитель напряжения Схема резистивного делителя напряжения, а также САВ для нахождения передаточной ССФ по напряжению, изображены на рис. 1.5.1 (см. рис. 1.1.6 и табл. 1.4.1). Здесь и далее N – определитель схемы числителя (numerator), а D – определитель схемы знаменателя (denominator). Схема числителя упрощается с помощью табл. 1.2.2 следующим образом: R1 стягивается как z-ветвь, соединенная последовательно с ГНУИ, R2 удаляется как z-ветвь, параллельная ПНУИ. При удалении ветви R2 выделяется параметр R2 в виде сомножителя. В результате получается схема, изображенная на рис. 1.3.3,а. Отсюда находится числитель искомой ССФ N = R2.

Рис. 1.5.1. Схема делителя напряжения и выражение ее ССФ В схеме знаменателя последовательно соединенные ветви заменяются одной z-ветвью с параметром R1+R2, которая является z-петлей (см. рис.

1.3.1,а). Таким образом, знаменатель искомой ССФ D = R1 + R2.

1.5.2. Мост Уитстона Мостовая схема Уитстона [20, 35] и соответствующее САВ изображены на рис. 1.5.2. Разложение определителя схемы числителя выполняется по формуле (1.3.1) для параметра R1. Первая производная схема упрощается путем стягивания R2 и R4, а также удаления R3, как показано на рис. 1.5.2. При удалении z-ветви R3 выделяется ее параметр. Упрощение второй производной схемы выполняется через удаление ветвей R4 и R2, сопровождающееся выделением их параметров (см. рис. 1.5.2). Отсюда получаем N = R1R3 – R4R2.

Разложение определителя схемы знаменателя выполняется по формуле (1.3.3). Схема знаменателя представляется в виде двух подсхем, являющихся z-петлями. Таким образом, D=(R1+R4)(R2+R3).

1.5.3. Сглаживающий фильтр Схема фильтра изображена на рис. 1.5.3. Там же представлено САВ для нахождения передаточной ССФ по напряжению и его преобразование. Как видно, схема числителя упрощается следующим образом (см. рис. 1.5.3 и табл.

1.2.2): стягивается ветвь R, как z-ветвь, соединенная последовательно с ГНУИ;

удаляются y-ветви pC1 и pC2, как параллельные ГНУИ и ПНУИ соответственно;

стягивается ветвь pL, как z-ветвь, соединенная последовательно с ГНУИ (ПНУИ). При стягивании z-ветвей и удалении y-ветвей параметры не выделяются. Отсюда N = 1.

Для разложения определителя схемы знаменателя используем формулы (1.3.1) и (1.3.2), как показано на рис. 1.5.2. Символ « 0 » в окончательном схемном уравнении соответствует определителю вырожденной схемы, полученной в результате стягивания z-петли с параметром R (см. рис. 1.3.2,а и табл. 1.2.2). Таким образом, 1.5.4. Полосовой RC-фильтр Схема фильтра и САВ для нахождения передаточной ССФ по напряжению представлены на рис. 1.5.4,а.

Рис. 1.5.4. Нахождение ССФ вида U/E и U/J для схемы полосового фильтра Как видно, нахождение числителя ССФ заключается в стягивании R1 и pC1, а также удалении R2 и pC2. При стягивании y-ветви pC1 и удалении z-ветви R выделяются их параметры. Отсюда получаем N=pC1R2. Для разложения определителя схемы знаменателя целесообразно использовать формулу (1.3.4).

Схема знаменателя делится на две подсхемы, как показано на рис. 1.5.4,а.

Левую подсхему будем считать первой, а правую – второй. В соответствии с изображениями производных схем, представленных на рис. 1.5.4,а, имеем D=pC1R2+(pC1 R1+1)(pC2R2+1).

Схема и САВ для нахождения ССФ входного сопротивления представлены на рис. 1.5.4,б. В результате получаем 1.6.1. Выделение параметров УИ [51, 52, 70] Кроме ранее рассмотренных ИНУТ и ИТУН, элементами схемы могут быть ИНУН и ИТУТ. Изображения и обозначения параметров УИ всех четырех типов представлены на рис. 1.6.1 слева (см. также табл. 1.1.1). По аналогии с y- и z-ветвями (см. рис. 1.3.4) множество слагаемых определителя схемы с УИ можно разбить на два подмножества относительно параметра некоторого УИ.

Слагаемые первого из них содержат параметр в качестве сомножителя, а слагаемые второго подмножества не содержат этого параметра. Самое простое решение для получения слагаемых первого подмножества состоит в том, чтобы не выполнять какие-либо преобразования исходной схемы для получения первой производной схемы, а придать выделяемому УИ статус НУИ и оставить его в схеме. Специфика того или иного УИ, как для случая ИНУТ и ИТУН, будет отражена во втором слагаемом соответствующей формулы. Таким образом, общую формулу для выделения параметра произвольного УИ можно записать в виде где (НУИ) – определитель первой производной схемы, полученной из исходной схемы путем придания выделяемому УИ статуса НУИ с параметром, равным единице; (=0) – определитель второй производной схемы, которая образована в результате нейтрализации выделяемого УИ, то есть принятия =0.

Использование понятия НУИ упрощает получение ССФ для схем с идеальными ОУ (y, k, z, ), не требуя предварительного формирования общего символьного выражения и трудоемкого выполнения предельного перехода. Параметры ОУ заведомо являются сомножителями и при числителе, и при знаменателе ССФ. Следовательно, поместив в схему НУИ вместо идеального ОУ и придав параметрам НУИ значения, равные единице, можно избежать необходимости их последующего сокращения.

САВ, иллюстрирующие формулу (1.6.1) для различных типов УИ, приводятся на рис. 1.6.1.

Из формулы (1.6.1) и рис. 1.6.1 непосредственно вытекают важные специальные случаи упрощения схемы путем преобразования УИ в НУИ и нейтрализации УИ, которые отражены в табл. 1.2.2. Нейтрализация УИ наступает при стягивании или удалении его генератора или приемника.

В табл. П.1.9 отражены в схемно-алгебраическом виде базовые формулы (1.3.1), (1.3.2) и (1.6.1).

Обобщением формулы (1.3.2), САВ которой представлено в строке 2 табл.

П.1.9, является формула [52], которая использует операцию стягивания для УИ, подобную аналогичной операции для y-ветви. Эта формула, в отличие от формулы (1.6.1), не приводит к образованию нового НУИ взамен УИ в первой производной схеме, то есть где – определитель схемы, полученной из первоначальной схемы в результате стягивания выделяемого УИ. Формула (1.6.2) позволяет минимизировать число операций вычитания в формируемых выражениях ССФ.

Если опорным узлам инцидентны y-ветви, то для выполнения стягивания УИ они должны быть замещены вырожденными ИТУН. Поскольку нейтрализация генераторов напряжения и приемников тока приводит к объединению узлов схемы, не допускается инцидентность соответствующих ветвей других УИ хотя бы одному из опорных узлов выделяемого УИ. Это ограничение всегда можно обойти надлежащим выбором опорных узлов, первоочередным выделением z-ветвей и УИ с генераторами напряжения и (или) приемниками тока, а также заменой в необходимых случаях операции стягивания операцией преобразования в НУИ (см. формулу (1.6.1)).

Табл. П.1.10 содержит частные случаи выделения сопротивления, проводимости и управляемых источников, включенных параллельно или последовательно с генераторами и приемниками напряжения или тока, а также с ГНУИ и ПНУИ. Доказательство преобразований проводится с помощью (1.3.1), (1.3.2) и (1.6.1) при учете условий вырождения схем из табл. П.1.7.

В табл. П.1.11 отражены эквивалентные упрощения схем в результате нейтрализации элементов. Доказательство преобразований основано на формулах (1.3.1) и (1.3.2) с использованием условий вырождения из табл.

П.1.7.

Следствием стягивания или удаления пассивных ветвей может быть образование ИТУН, у которых генератор и приемник параллельны, или ИНУТ, генератор и приемник которых соединены последовательно. Такие УИ замещаются квазипассивными двухполюсниками с параметрами проводимости или сопротивления согласно рис. 1.2.1. Квазипассивное преобразование в отличие от обычно используемого обратного преобразования упрощает схему.

Случаи вырождения активной схемы и ее упрощения, инвариантные к схемному определителю, в полной мере согласуются с физическими представлениями о пассивных элементах и источниках напряжения и тока.

Важно, что упрощения и проверка вырожденности схемы выполняются путем выявления соответствующих особенностей ее структуры и состава элементов, что невозможно или затруднено при аналогичных проверках матрицы или графа этой схемы.

Для сокращения объема проводимых выкладок и формирования оптимальных по вычислительной сложности [63] выражений ССФ необходимы правила выбора мультиветвей (параллельно соединенных y-ветвей) и других подсхем, параметры которых подлежат выделению в первую очередь [48, 50]. В частности, для этого среди мультиветвей схемы, состоящей из двухполюсных элементов, выбирается та, которая имеет наибольший показатель участия. Чтобы избежать использования трудоемкой процедуры вычисления количества деревьев и т. п., предлагаются правила выбора выделяемых элементов и подсхем [50].

Правило «минимума». В схеме рассматриваются узлы и сечения, которым инцидентно минимальное количество мультиветвей. Принимается, что наибольшим показателем участия обладает та из них, которая смежна наименьшему числу мультиветвей.

Правила показателей участия и кратности. Первое правило заключается в первоочередном выделении мультиветвей, имеющих наибольшие показатели участия. Правило кратности требует, чтобы среди претендентов на выделение выделялась в первую очередь та мультиветвь, которая имеет наибольшую кратность, то есть количество образующих ее ветвей.

Правило половинного деления. Наряду с правилами показателей участия и кратности необходимо учитывать третье правило, которое называется правилом половинного деления. Оно означает, что получение оптимального выражения достигается выделением по возможности более сложных подсхем и минимизацией разности между количествами ветвей в выбранных подсхемах.

Формирование z- и yz-выражений ССФ имеет свои особенности. Например, для лестничной схемы число узлов более чем в два раза превышает число независимых контуров. Поэтому в качестве параметров ветвей такой схемы целесообразно использовать сопротивления. Учитывая дуальность формул (1.3.1) и (1.3.2), для формирования оптимальных z- и yz-выражений схемных определителей вводится понятие макроветви, параметром которой является сумма сопротивлений образующих ее последовательно соединенных z-ветвей.

Оптимальное z-выражение получается с учетом правил показателей участия, кратности и половинного деления. В силу дуальности формул (1.3.1) и (1.3.2) правило «минимума», используемое при выборе мультиветвей, модифицируется в правило «максимума» для выбора макроветвей, то есть среди макроветвей, инцидентных узлу или сечению с максимальным числом мультиветвей и макроветвей, выбирается та, которой смежно наибольшее их количество.

В случаях, когда количества независимых узлов и контуров схемы отличаются незначительно, смешанное представление параметров ветвей открывает возможности для получения yz-выражений ССФ, имеющих различную сложность и способных конкурировать по вычислительным свойствам с y- и z-выражениями. Для этого совместно используются формулы (1.3.1) – (1.3.4) и правила оптимального выделения параметров.

Задание параметров емкостей (индуктивностей) в виде емкостных проводимостей (индуктивных сопротивлений) позволяет избежать операций деления при получении ССФ в операторной форме. При надлежащем задании параметров ветвей всегда могут быть получены оптимальные безразмерные yz-выражения для передаточных ССФ. Такие выражения потенциально более устойчивы при численных расчетах. В этом случае также снижаются требования к диапазону представления чисел. Из правила показателей участия и формул (1.3.1), (1.3.2) следует, что уменьшение сложности схемного определителя достигается заданием проводимостями или сопротивлениями, соответственно, ветвей с меньшими или большими показателями участия.

1.6.2. Выделение параметров элементов принципиальных схем [32] В табл. П.1.13 сведены формулы выделения параметров трех- и четырехполюсных элементов, являющихся элементами принципиальных схем электронных устройств. В строках 1 3 табл. П.1.13 рассмотрены схемы с взаимно связанными катушками. Так, в строке 1 приводится САВ для выделения сопротивления взаимоиндукции pM, в строке 2 соответствующее САВ для взаимной цепи, в строке 3 САВ для выделения всех параметров двух взаимно связанных катушек, то есть сопротивлений pL1, pL2 и pM.

Доказательство этих выражений осуществляется на основе правил выделения сопротивления (см. строку 1 табл. П.1.9) и параметра ИНУТ (см. строку 3 табл.

П.1.9). Окончательные САВ получаются после группировки слагаемых.

В строке 4 табл. П.1.13 дано САВ для выделения параметра идеального трансформатора, которое получено путем последовательного применения формул выделения ИНУН, в соответствии со строкой 4 табл. П.1.9, и ИТУТ, согласно строке 6 табл. П.1.9.

В строке 5 табл. П.1.13 рассмотрено САВ для выделения операционного усилителя с конечными коэффициентом усиления K и выходным сопротивлением Z [34]. Это САВ получено с помощью строк 1 и 4 табл. П.1.9.

САВ для основных случаев включения идеального операционного усилителя представлены в строке 6 табл. П.1.13.

Строка 7 табл. П.1.13 содержит САВ для выделения параметра kZ конвертора сопротивления с преобразованием напряжения [6]. Здесь же дана соответствующая схема замещения. Для доказательства выделим параметр ИНУН (см. строку 4 табл. П.1.9) и умножим полученное выражение на коэффициент конверсии kZ с целью исключения дробных выражений в числителе и знаменателе формируемых ССФ.

В строку 8 табл. П.1.13 помещено САВ для выделения параметра kZ конвертора сопротивления с преобразованием тока [6]. Для вывода этого САВ воспользуемся представленной здесь же схемой замещения. После выделения параметра ИТУТ (см. строку 6 табл. П.1.9) получаем искомое выражение.

В строке 9 табл. П.1.13 находится САВ для выделения параметров идеального инвертора сопротивления [6]. Коэффициент инверсии kИZ=1/(y12y21).

Вывод этой формулы выполняется путем выделения параметров ИТУН y12 и y в соответствии со строкой 5 табл. П.1.9.

САВ для выделения параметра гиратора [74], приведенное в строке табл. П.1.13, получается, если принять y12=y21=g, где g проводимость гирации.

В строке 11 табл. П.1.13 представлено САВ для выделения H-параметров низкочастотного биполярного транзистора [38]. Это выражение выводится путем выделения сопротивления h11 (см. строку 1 табл. П.1.9), проводимости h (см. строку 2 табл. П.1.9) и параметров управляемых источников h21 и h12 (см.

строки 4 и 6 табл. П.1.9). Искомое САВ получается после группировки слагаемых.

САВ для выделения Y-параметров транзисторов [38] помещено в строку табл. П.1.13. Это выражение находится путем выделения проводимостей y11 и y22 (см. строку 2 табл. П.1.9) и параметров ИТУН y12 и y21 (см. строку 5 табл.

П.1.9) с последующим группированием слагаемых.

В строке 13 табл. П.1.13 рассмотрено САВ для выделения Z-параметров транзисторов [38]. Это выражение получено на основе выделения сопротивлений z11 и z22 (см. строку 1 табл. П.1.9) и параметров источников напряжения, управляемых током z12 и z21 (см. строку 3 табл. П.1.9) с последующим группированием слагаемых.