«В. М. Марченко, Н. П. Можей, Е. А. Шинкевич ЭКОНОМЕТРИКА И ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ Допущено Министерством образования Республики Беларусь в качестве учебного пособия для студентов учреждений высшего ...»

2А101 (Понятие о сетевом планировании). Современное сетевое планирование начинается с разбиения программы работ на операции. Далее определяются оценки продолжительности операций и строится сетевая модель (график). Построение сетевой модели позволяет проанализировать все операции и внести улучшения в структуру модели до начала ее реализации. Затем строится календарный график (план), определяющий начало и окончание каждой операции, а также взаимосвязи с другими операциями графика. Календарный график выявляет критические операции, которым надо уделять особое внимание, чтобы закончить все работы в директивный срок. Что касается некритических операций, то календарный план позволяет определить резервы времени, которые можно выгодно использовать при задержке выполнения работ, а также для эффективного применения как трудовых, так и финансовых ресурсов.

2А+Б102 (Сетевая модель, сетевой график). Сетевая модель графическое изображение плана выполнения комплекса работ, состоящее из нитей (работ) и узлов (событий), которые отражают логическую взаимосвязь всех операций. В основе методов сетевого планирования и управления (СПУ) лежит графическое представление проекта в виде сетевого графика. Сетевой график можно рассматривать как совокупность G некоторых точек E1, E2,..., En и связей e1, e2,..., en между этими точками, т. е. G = ( E; e ). Объект G называется графом, точки E1, E2,..., En его вершинами, связи между ними e1, e2,..., en ребрами (дугами). Если в паре вершин (Ei; Ej) указано направление связи, т. е. какая из них является первой, то соединяющий их отрезок называется дугой; если же ориентация не указана – ребром. Граф G = ( E; e ) считается заданным, если заданы все его вершины и дуги. Ориентация дуг, т. е. указание «начала» и «конца» каждой из них, делает граф ориентированным (орграфом). Сетевой график это ориентированный граф.

Будем отождествлять вершины орграфа с событиями, а дуги с работами. События и работы основные понятия в СПУ. Исследование таких сетей проводится методами теории графов. Теория графов оперирует понятием пути, объединяющим последовательность взаимосвязанных ребер. Контур означает такой путь, у которого начальная вершина совпадает с конечной.

2А103 (Основные понятия сетевой модели). Работа это любые операции, трудовые процессы, сопровождающиеся затратами ресурсов или времени. Это активный процесс, требующий затрат ресурсов, либо пассивный (ожидание), приводящий к достижению намеченного результата. На сетевых графиках работы изображают стрелками. Рядом со стрелкой указывают числовые характеристики: время выполнения работы, расход ресурса, количество исполнителей и т. д. Под работами подразумеваются не только реальные хозяйственные или технологические процессы, требующие затрат времени и ресурсов для их осуществления, но и процессы, потребляющие только время. Также принято считать работами и те процессы, которые не требуют затрат ни времени, ни ресурсов. Это так называемые фиктивные работы. Они показывают, что определенная работа не может совершаться раньше другой. На сетевых графиках фиктивные работы изображают пунктирными стрелками.

Событие это результат (промежуточный или конечный) выполнения одной и/или нескольких предшествующих работ. Событие означает факт окончания всех работ, в него входящих, иили начала работ, из него выходящих. Оно не имеет протяженности во времени. На сетевом графике события изображаются кружками с указанием номера события. В каждое событие может входить и выходить из него несколько работ, а каждая работа ограничена двумя событиями. Событие выражает логическую связь между работами, заключающуюся в том, что работы, входящие в это событие, непосредственно предшествуют работам, выходящим из него; ни одна выходящая из данного события работа не может начинаться до окончания всех работ, входящих в него.

Событие, с которого начинается выполнение работ, является исходным; оно не имеет предшествующих работ. Событие, которое констатирует факт завершения проекта, называется завершающим;

оно не имеет последующих работ. Все прочие события являются промежуточными.

2Б104 (Правила построения сетевых графиков). Прежде чем представить проект сетевым графиком, необходимо составить перечень работ, оценить продолжительность каждой из них и установить последовательность работ, т. е. точно определить, какие работы обязательно должны быть закончены, чтобы могла начаться любая из работ, входящих в проект (сетевой график). Такой перечень удобно представить в виде структурно-временной таблицы. При построении сетевых графиков следует соблюдать определенные правила, в частности:

104.1) сеть изображается слева направо, и каждое событие с большим порядковым номером изображается правее предыдущего. Общее направление стрелок, изображающих работы, также в основном должно быть расположено слева направо, при этом каждая работа должна выходить из события с меньшим номером и входить в событие с большим номером;

104.2) в сетевых графиках не должно быть «тупиков», т. е. событий, из которых не выходит ни одной работы (за исключением завершающего события);

104.3) в сетевых графиках не должно быть событий (кроме исходного), которым не предшествует хотя бы одна работа;

104.4) при построении сетевых графиков нельзя допускать, чтобы два смежных события были связаны двумя или большим количеством работ, что чаще всего бывает при изображении параллельно выполняемых работ; для изображения параллельных работ вводятся промежуточное событие и фиктивная работа;

104.5) в сети не должно быть замкнутых цепей, т. е. цепей, соединяющих некоторые события с ними же самими;

104.6) если какие-либо сложные работы могут быть начаты до полного окончания непосредственно предшествующей им работы, то последняя изображается как ряд последовательно выполняемых работ, каждая из которых завершается определенным событием;

104.7) если для выполнения одной из работ необходимо получение результатов всех работ, входящих в предшествующее ей событие, а для другой работы достаточно получить результат только одной или нескольких из этих работ, то должно быть дополнительно введено новое событие, отражающее результаты только этих последних работ, а также фиктивная работа, связывающая новое событие с прежним.

Построенный с соблюдением этих правил график является сетевой моделью выполнения проекта.

2Б105 (Нумерация событий). После построения сетевой модели необходимо пронумеровать входящие в нее события. Для правильной нумерации событий можно воспользоваться графическим способом упорядочения вершин графа по рангам (методом вычеркивания дуг):

105.1) исходную вершину (в которую не входит ни одна дуга) отнесем к нулевому рангу и присвоим ей номер 1;

105.2) вычеркнем все дуги, выходящие из вершины 1, и отнесем события, оказавшиеся без входящих дуг, к первому рангу. Этим событиям присвоим в произвольном порядке номера 2, 3,..., k1;

105.3) вычеркнув все дуги, выходящие из вершины предыдущего ранга i, отнесем вершины, оказавшиеся без входящих дуг, к следующему (i + 1)-му рангу. Присвоим им номера ki + 1,..., ki+1.

Этот шаг повторяем до тех пор, пока все вершины не будут пронумерованы.

2А+Б106 (Путь, критический путь). Любая последовательность работ сети, в которой конечное событие каждой работы совпадает с начальным событием следующей за ней работы, называется путем. Под длиной пути (i; j1 ), ( j1; j2 ),..., ( jk ; j ) из события i в событие j будем понимать продолжительность выполнения всей последовательности работ, составляющих этот путь: ti, j1 + t j1, j2 + … + t jk, j.

Путь, в котором начальная вершина совпадает с исходным событием, а конечная с завершающим, называется полным. Путь от исходного события до любого промежуточного события i называется предшествующим событию i путем. Предшествующий событию i путь, имеющий наибольшую длину, будет максимальным предшествующим. Он обозначается L1(i), а его продолжительность t[L1(i)]. Путь от данного события i до завершающего события называется последующим путем. Такой путь с наибольшей длиной будет максимальным последующим. Он обозначается L2(i), его продолжительность t[L2(i)]. Критическим называется полный путь, имеющий наибольшую продолжительность. Таких путей в сети может быть несколько.

Критический путь это путь, не имеющий резервов и включающий самые напряженные работы комплекса. На сетевом графике критический путь выделяется двойной или жирной линией.

2А107 (Критические работы). Работы и события, принадлежащие критическому пути, называются критическими. Все остальные работы являются некритическими (ненапряженными) и обладают резервами времени, которые позволяют передвигать сроки их выполнения, не влияя на общую продолжительность выполнения всего комплекса работ.

2А+Б108 (Критическое время). Суммарная продолжительность работ, принадлежащих критическому пути, называется критическим временем tкр выполнения всего комплекса работ. Продолжительность выполнения работ устанавливается на основании действующих нормативов или по экспертным оценкам специалистов. В первом случае временные оценки являются детерминированными (однозначными), во втором – вероятностными.

2.6.2. Временные параметры сетевого графика 2А+Б109 (Основные временные параметры событий). Основным временным параметром сетевого графика является продолжительность критического пути. Расчет критического пути включает два этапа. Первый называется прямым проходом. Вычисления начинают с исходного события и продолжают до тех пор, пока не будет достигнуто завершающее событие. Для каждого события определяется ранний срок его наступления. На втором этапе, называемом обратным проходом, вычисления начинают с завершающего события и продолжают до тех пор, пока не будет достигнуто исходное событие. Для каждого события вычисляется поздний срок его наступления. Основные временные параметры событий:

109.1) ранний срок tр(i) свершения события i самый ранний момент времени, к которому завершаются все предшествующие этому событию работы, т. е.

109.2) поздний срок tп(i) свершения события i самый поздний момент, после которого остается ровно столько времени, сколько необходимо для завершения всех работ, следующих за этим событием, без превышения критического времени tкр. Очевидно, что tп(i) определяется разностью между tкр и длиной максимального из последующих путей:

Для событий критического пути ранний и поздний сроки свершения событий совпадают;

109.3) разность между поздним и ранним сроками свершения события, составляющая резерв времени события Резервы критических событий равны нулю.

2А+Б110 (Четырехсекторная схема расчетов). При расчете временных параметров вручную удобно проводить вычисления непосредственно на графе, воспользовавшись четырехсекторной схемой. В этом случае каждый кружок, обозначающий событие, делим на четыре сектора, в каждом из которых записываем следующую информацию:

110.1) проставляем в верхних секторах номера событий (в соответствии с ранжированием);

110.2) рассматривая события в порядке возрастания номеров, по входящим в данное событие работам определяем tр(i) и записываем в левом секторе;

110.3) начиная с конечного события, для которого tп(n) = = tр(n) = tкр (n номер конечного события), для каждого события по выходящим из него работам определяем tп(i) и записываем в правом секторе;

110.4) в нижнем секторе записываем резерв времени события R(i) (рис. 6).

Рис. 6. Четырехсекторная схема расчета 2А+Б111 (Основные временные параметры работ). Зная сроки свершения событий, можно определить временные параметры работ:

111.1) ранний срок начала работы (i; j), который равен раннему сроку свершения события i:

111.2) ранний срок окончания работы (i; j), который равен сумме раннего срока свершения ее начального события и продолжительности работы:

111.3) поздний срок окончания работы (i; j), который совпадает с поздним сроком свершения ее конечного события:

111.4) поздний срок начала работы (i; j), который равен разности между поздним сроком свершения ее конечного события и продолжительностью работы:

Так как сроки выполнения работ находятся в границах, определяемых tр (i; j ) и tп (i; j ), то они могут иметь разного вида резервы времени;

111.5) полный резерв времени работы это максимально возможный запас времени, на который можно отсрочить начало работы или увеличить продолжительность ее выполнения при условии, что конечное для данной работы событие наступит не позднее своего позднего срока:

Таким образом, полный резерв времени работы есть максимальное время, на которое можно увеличить ее продолжительность, не изменяя продолжительности критического пути. Все некритические работы имеют полный резерв времени, отличный от нуля;

111.6) независимый (свободный) резерв времени работы это запас времени, которым можно располагать при выполнении данной работы при условии, что ее начальное событие наступит в свой поздний срок, а конечное в ранний срок:

Величина независимого резерва показывает продолжительность вынужденного ожидания наступления конечного события данной работы.

Следует отметить, что критические операции должны иметь нулевой полный резерв времени, при этом свободный резерв также должен быть равен нулю;

111.7) частный резерв времени работы первого вида R(i; j ), который отличается от полного тем, что его использование на данной работе возможно без уменьшения резервов у предшествующих:

111.8) частный резерв времени работы второго вида R(i; j ), представляющий собой часть полного резерва, которая может быть использована для увеличения продолжительности данной работы или предшествующих ей работ без нарушения раннего срока наступления конечного события работы и без сокращения резервов времени у последующих работ:

2.6.3. Построение линейного графика (графика Ганта).

2А112 (Построение графика Ганта). На графике Ганта каждая работа (i; j) изображается горизонтальным отрезком, длина которого в соответствующем масштабе равна времени ее выполнения. Начало каждой работы совпадает с ожидаемым сроком свершения ее начального события. Полный резерв времени работы изображается пунктирной линией. По графику Ганта можно определить критическое время выполнения комплекса работ и критический путь.

2А+Б113 (Учет потребностей в ресурсах). При решении задач СПУ для каждой из работ иногда задается количество ресурсов, необходимых для ее выполнения, т. к. одновременное выполнение некоторых операций из-за ограничений, связанных с рабочей силой, оборудованием и другими видами ресурсов, иногда оказывается невозможным. Именно в этом отношении представляют ценность полные резервы времени некритических операций.

Пусть rij – потребности в трудовых ресурсах для выполнения каждой работы (интенсивности использования ресурсов); R – наличие трудовых ресурсов. На основе сетевого графика составляем линейный график (график Ганта). На графике Ганта над каждой работой (i; j) проставляем потребность в ресурсах rij.

Проецируем на ось времени начало и конец каждой работы.

Проекцию, совпадающую с началом координат, обозначаем 0, следующую 1 и т. д. В строке rij записываем сумму ресурсов rij для каждого периода выполнения проекта. Полученные rij наносим на график интенсивности использования ресурсов.

Пунктирная линия на графике проводится на уровне R ограничения наличного ресурса.

2Б114 (Оптимизация комплекса работ по ресурсам). Под оптимальным распределением ресурсов понимается такое размещение работ во времени, при котором в любой момент было бы достаточно ресурса для выполнения работ, а время выполнения всего комплекса работ было бы минимальным. На практике широкое применение получили эвристические методы распределения ресурсов.

Алгоритм решения задачи:

114.1) нумеруем работы, расположенные над промежутком (0; 1) на графике Ганта, в порядке возрастания их полных резервов. Работы с одинаковыми полными резервами времени нумеруем в порядке убывания интенсивностей;

114.2) суммируем последовательно интенсивности работ, расположенных над промежутком (0; 1) в порядке возрастания присвоенных им номеров, и сравниваем полученные суммы с заданной величиной ресурса R. Все работы, сумма интенсивностей которых не превосходит R, оставляем в первоначальном положении.

Если после прибавления интенсивности какой-нибудь работы окажется, что суммарное потребление ресурсов больше R, то эту работу сдвигаем вправо на величину рассматриваемого промежутка, переходим к добавлению интенсивности следующей работы и так продолжаем до тех пор, пока не будут просмотрены все работы, расположенные над промежутком (0; 1). Результатом выполнения этого действия является новый график Ганта, момент 1 которого считаем началом оставшейся части комплекса работ;

114.3) предполагаем, что выполнено k шагов алгоритма и получен линейный график, момент k которого является началом оставшейся части комплекса работ. Проецируем на ось времени начало и конец каждой работы, расположенной над промежутком (k ; tкр ), и обозначаем проекцию, ближайшую к k, через k +1. Таким образом, выделен новый промежуток (k ; k +1 );

114.4) определяем полные резервы Rполн (i; j ) работ, расположенных над промежутком (k ; k +1 ), и нумеруем их. Сначала нумеруем работы (i; j), начатые левее момента k, согласно возрастанию разностей между полными резервами этих работ и длительностями от начала до момента k +1. Работы с одинаковыми разностями нумеруем в порядке убывания интенсивностей. Все остальные работы нумеруем в порядке возрастания их полных резервов, а с одинаковыми резервами в порядке убывания интенсивностей;

114.5) эти действия выполняются так же, как и действие 114.2.

Однако следует иметь в виду, что если сдвигу подлежит работа (i; j), начатая левее k, то сдвигаем всю работу, т. е. начало этой работы устанавливаем в момент k +1;

114.6) проверяем, все ли работы комплекса просмотрены.

Если все, решение закончено, если нет, то возвращаемся к действию 114.1.

Отметим, что приведенный алгоритм не всегда позволяет найти оптимальное решение задачи, однако дает хорошее приближение к нему.

МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА

3А1. По условным данным двух отраслей межотраслевым потокам и вектору конечной продукции:

необходимо:

1) определить в плановом периоде вектор конечного использования при валовом выпуске 2) привести схему МОБ на плановый период.

3А2. По условным данным матрице коэффициентов прямых затрат A и вектору Yпл:

требуется:

1) определить валовую продукцию каждой отрасли;

2) представить результаты в виде балансовой таблицы.

3А3. Для трех отраслей за отчетный период известны данные о межотраслевых потоках xij и вектор объемов конечного использования Yотч (табл. 9).

Необходимо:

1) определить матрицу коэффициентов прямых затрат А;

2) определить матрицу «затраты выпуск» (Е А);

3) найти объемы конечного использования продукции Yпл при условии, что в плановом периоде задан валовой выпуск продукции: Хпл = (300; 400; 200);

4) представить результаты в виде балансовой таблицы.

3Б4. Для развития трех отраслей в плановом году необходимо произвести 100 ед. валовой продукции II отрасли, а для I и III отраслей выпустить в сферу конечного потребления соответственно 44 и 10 ед. конечной продукции. Матрица коэффициентов прямых затрат известна:

Требуется рассчитать плановый межотраслевой баланс, привести числовую схему баланса и проанализировать полученные результаты.

Задачи для самостоятельной работы 3А5. По условным данным матрице коэффициентов прямых затрат A и вектору Yпл:

требуется:

1) определить валовую продукцию каждой отрасли;

2) представить результаты в виде балансовой таблицы.

3А6. На основании данных за отчетный период (табл. 10) рассчитать коэффициенты прямых и полных затрат.

Отрасль Как изменятся валовые выпуски отраслей, если в плановом периоде производство конечной продукции I отрасли увеличится на 20 ед., а II отрасли на 15 ед.?

3А7. Для трех отраслей за отчетный период известны данные о межотраслевых потоках xij и вектор объемов конечного использования Yотч (табл. 11, 12):

а) Хпл = (150; 100; 50) б) Хпл = (200; 300; 150) Необходимо:

1) определить матрицу коэффициентов прямых затрат А;

2) определить матрицу «затраты выпуск» (Е А);

3) найти объемы конечного использования продукции Yпл при условии, что в плановом периоде известен валовой выпуск продукции Хпл;

4) представить результаты в виде балансовой таблицы.

3Б8. Задан вектор норм добавленной стоимости v = 0,5, включающий зарплату, налоги, прибыль и инвестиции на единицу выпускаемой продукции для каждой отрасли. Определить вектор цен, если матрица коэффициентов прямых затрат Найти приращения равновесных цен, если норма добавленной стоимости для II отрасли станет 0,5.

3.2. ЗАНЯТИЕ 5. МЕТОДЫ И МОДЕЛИ

МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

3А9. Техническое устройство может находиться в одном из трех состояний: S0, S1, S2. Интенсивности ij потоков, которые переводят устройство из одного состояния в другое, приведены в табл. 13.

Вариант Требуется:

1) построить размеченный граф состояний;

2) записать систему уравнений Колмогорова;

3) найти финальные вероятности;

4) выполнить анализ полученного решения.

3А10. Гарантийная мастерская по ремонту холодильников принимает заказы по одному телефону. Среднее число поступающих в течение часа заказов – 20, а среднее время оформления заказа – 4 мин. Определить показатели СМО. Как они изменятся, если подключить второй телефон?

3А11. Торговая фирма обслуживает клиентов по телефону, разветвленному на 4 линии. Проведенные исследования показали, что в среднем за один час работы поступает 100 запросов. Среднее время переговоров референтов фирмы с клиентом по телефону составляет 2,5 мин. Дайте оценку работы такой СМО.

3А+Б12. Средний интервал между поступающими в прокатный пункт заявками и запросами на наличие определенных предметов составляет 5 мин. Принимают заявки два работника, каждый с интенсивностью 12 заявок в час. С какой интенсивностью должен работать один работник, выполняя работу за двоих, чтобы доля потерянных заявок была не более 10%?

3А13. Техническое устройство может находиться в одном из трех состояний: S0, S1, S2. Интенсивности ij потоков, которые переводят устройство из одного состояния в другое, приведены в табл. 14.

Требуется:

1) построить размеченный граф состояний;

2) записать систему уравнений Колмогорова;

3) найти финальные вероятности;

4) выполнить анализ полученного решения.

3А+Б14. Торговая фирма планирует открыть в микрорайоне магазин самообслуживания. Маркетинговые исследования показали, что среднее количество посетителей магазина будет составлять 120 чел./ч. Среднее время обслуживания одного покупателя 2 мин.

Определить, какое количество кассовых аппаратов необходимо установить, чтобы посетитель не ожидал обслуживания более 1 мин.

3А+Б15. В таксопарке три диспетчера принимают заказы на вызов машин. В среднем каждый час поступает 120 заявок, длительность регистрации – 1 мин.

Определите эффективность открытия новой телефонной линии, если издержки, связанные с эксплуатацией линии (включая оплату труда диспетчера), составляют 10 ден. ед., издержки, связанные с простоем линии, – 8 ден. ед., издержки, связанные с отказом в обслуживании, – 4 ден. ед., а предполагаемый дополнительный доход – 15 ден. ед.

3Б16. В кассе метрополитена, продающей жетоны на проезд, имеются два окна. Время, которое тратит кассир на обслуживание одного пассажира, в среднем равно 0,5 мин. Пассажиры подходят к кассе в среднем по 3 чел./мин.

Определить:

1) вероятность того, что оба кассира свободны;

2) среднее число занятых кассиров;

3) среднее число пассажиров в очереди;

4) среднее время, которое проводит пассажир в очереди.

Оценить работу данной системы.

3Б17. В супермаркете установлены 4 кассовых аппарата. Вследствие введения в строй нового жилого комплекса ожидается увеличение потока покупателей в магазин до 4 чел./мин. Время обслуживания одного покупателя остается без изменения и в среднем составляет 0,9 мин.

Определите, какое количество кассовых аппаратов должно быть установлено дополнительно, чтобы средняя длина очереди уменьшилась в два раза по сравнению с ожидаемой.

Проведите сравнительный анализ работы магазина после установки дополнительных кассовых аппаратов и без них.

3.3. ЗАНЯТИЕ 6. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР 3А18. Определить нижнюю и верхнюю цены игры, а также решение игры, если она имеет седловую точку, для следующих платежных матриц:

3А19. Решить матричную игру, выполнив все возможные упрощения платежных матриц:

3А20. Сельскохозяйственное предприятие имеет три участка земли: влажный A1, средней влажности A2 и сухой A3. Один из этих участков предполагается использовать для выращивания картофеля, а остальные для посева зеленой массы. Известно, что для получения хорошего урожая картофеля требуется определенное количество влаги в почве в период вегетации.

При излишней влажности посаженный картофель может гнить, а при недостаточном количестве осадков будет плохо развиваться, что приведет к снижению урожайности. Требуется определить, на каком участке сеять картофель, чтобы получить хороший урожай, если известна средняя урожайность картофеля в зависимости от погодных условий. На участке A1 урожайность составляет 200, 100 и 250 ц/га при выпадении соответственно нормального количества осадков, больше и меньше нормы.

Аналогично на участке A2 270, 120 и 200 ц/га, а на участке A 240, 260 и 10 ц/га.

Найти оптимальную стратегию при различных критериях.

Вероятности выпадения осадков: норма q1 = 0,4, меньше нормы q2 = 0,3, больше нормы q3 = 0,3.

3Б21. Предприятие выпускает скоропортящуюся продукцию I и II. Данные о ее себестоимости, отпускных ценах и объемах реализации приведены в табл. 15.

На реализацию всей произведенной продукции расходуется 200 ден. ед. Требуется:

1) придать описанной ситуации игровую схему, установить характер игры и выявить ее участников, указать возможные чистые стратегии сторон;

2) составить платежную матрицу;

3) выяснить, какое решение о выпуске продукции целесообразно принять, чтобы получить максимальный доход, при следующих предположениях: а) известны вероятности теплой и холодной погоды: 0,64 и 0,36; б) наступление как теплой, так и холодной погоды равновероятно; в) о том, какая будет погода, ничего определенного сказать нельзя (значение параметра в критерии Гурвица принять = 0,7).

Задачи для самостоятельной работы 3А22. Определить нижнюю и верхнюю цены игры, а также решение игры, если она имеет седловую точку, для следующих платежных матриц:

3А23. Решить матричную игру, выполнив все возможные упрощения платежных матриц:

3Б24. Решить матричную игру а) сведением к ЗЛП; б) графически.

3А25. На технологическую линию поступает сырье или с малым, или с большим количеством примесей. Линия может работать в трех режимах. Доход предприятия от реализации единицы продукции, изготовленной из сырья первого вида при различных режимах работы технологической линии, составляет соответственно 2, 5 и 6 ден. ед., а из сырья второго вида 5, 3 и 1 ден. ед. В каких режимах должна работать технологическая линия, чтобы доход от выпущенной продукции был возможно большим? Решить задачу:

а) используя критерии Вальда, Гурвица и Сэвиджа;

б) при условии, что вероятность поступления сырья с малым количеством примесей равна 0,8, а с большим количеством примесей 0,2.

3А+Б26. После нескольких лет эксплуатации промышленное оборудование оказывается в одном из следующих состояний:

1) оборудование может использоваться в очередном году после профилактического ремонта; 2) для безаварийной работы оборудования в дальнейшем следует заменить отдельные его детали и узлы; 3) оборудование требует капитального ремонта или замены. В зависимости от сложившейся ситуации руководство предприятия в состоянии принять такие pешения: 1) отремонтировать оборудование силами заводских специалистов, что потребует, в зависимости от обстановки, затрат, равных а1, а2 или а3 ден. ед.;

2) вызвать специальную бригаду ремонтников; расходы в этом случае составят b1, b2 или b3 ден. ед.; 3) заменить оборудование новым, реализовав устаревшее оборудование по его остаточной стоимости; совокупные затраты в результате этого мероприятия будут равны соответственно c1, c2 или c3 ден. ед. Указанные выше расходы предприятия включают, кроме стоимости ремонта и заменяемых деталей и узлов, убытки, вызванные ухудшением качества выпускаемой продукции, простоем неисправного оборудования, а также затраты на установку и отладку нового оборудования.

Требуется:

1) придать описанной ситуации игровую схему, установить характер игры и выявить ее участников, указать возможные чистые стратегии сторон;

2) составить платежную матрицу;

3) выяснить, какое решение о работе оборудования в предстоящем году целесообразно рекомендовать руководству предприятия, чтобы минимизировать потери при следующих предположениях: а) накопленный на предприятии опыт эксплуатации аналогичного оборудования показывает, что вероятности указанных выше состояний оборудования равны соответственно q1, q или q3 ; б) имеющийся опыт свидетельствует о том, что все три возможных состояния оборудования равновероятны; в) о вероятностях состояний оборудования ничего определенного сказать нельзя ( значение параметра в критерии Гурвица).

Все необходимые числовые данные приведены в табл. 16.

Параметр 3Б27. Торговая фирма разработала несколько вариантов плана продаж на предстоящей ярмарке. В табл. 17 представлены показатели дохода фирмы с учетом различных вариантов конъюнктуры рынка и спроса покупателей.

План продажи Значения коэффициентов приведены в табл. 18.

Параметр Параметр Определить:

1) оптимальную стратегию фирмы в продаже товаров на ярмарке;

2) какую стратегию фирме считать оптимальной, если существует риск (вероятность реализации ситуации В1 b%, В2 c%, В3 d %).

3Б28. Фирма производит пользующиеся спросом детские платья и костюмы, реализация которых зависит от состояния погоды.

Затраты фирмы на единицу продукции в течение апреля мая составят: платья А ден. ед., костюмы В ден. ед. Цена реализации составит С и D ден. ед. соответственно. По данным наблюдений за несколько предыдущих лет, фирма может реализовать в условиях теплой погоды Е шт. платьев и K шт. костюмов, при прохладной погоде М шт. платьев и N шт. костюмов. В связи с возможными изменениями погоды определить стратегию фирмы в выпуске продукции, обеспечивающую ей максимальный доход.

Задачу решить, приняв степень оптимизма, указанную в табл. 19.

1220 1370 1340 1430 1460 1310 1390 1510

УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ

3А29. Годовая потребность торгового центра в пылесосах составляет 600 шт., затраты на хранение одного пылесоса 3 ден. ед.

в год. Затраты на подготовительно-заключительные операции, не зависящие от величины поставляемой партии и связанные с каждой поставкой, равны 36 ден. ед. Найти оптимальный размер партии поставки, оптимальный интервал между поставками, средний уровень текущего запаса, число поставок и минимальные затраты, связанные с работой системы. Изобразить график изменения запасов.

3А30. Фирме по строительству судов требуется 20 000 заклепок в год, расходуемых с постоянной интенсивностью. Организационные издержки составляют 0,5 тыс. ден. ед. за партию, цена одной заклепки 10 ден. ед. Издержки на хранение одной заклепки в год оценены в 12,5% от ее стоимости.

Найти оптимальный размер партии поставки, оптимальную продолжительность цикла и оптимальное число поставок за год, минимальные затраты, связанные с работой системы. Изобразить график изменения запасов.

3А31. Система управления запасами некоторого товара подчиняется основной модели. Каждый год спрос с постоянной интенсивностью составляет 15 000 ед. товара, издержки на организацию поставки составляют 10 ден. ед. за партию, цена единицы товара 30 ден. ед., а издержки на ее хранение 7,5 ден. ед. в год.

Найти оптимальный размер партии, число поставок, продолжительность цикла, минимальные затраты, связанные с работой системы. Изобразить график изменения запасов.

3А+Б32. Годовая потребность фирмы в деревоматериалах составляет 4000 м3, затраты на хранение 1 м3 4 ден. ед. в год. Затраты на подготовительно-заключительные операции, не зависящие от величины поставляемой партии и связанные с каждой поставкой, равны 80 ден. ед. Найти оптимальный размер партии поставки, оптимальный интервал между поставками, средний уровень текущего запаса, число поставок, минимальные затраты, связанные с работой данной системы.

Сравнить полученные затраты с затратами в случае отклонений от оптимальной партии в любом направлении в два раза.

3А+Б33. Система управления запасами описывается моделью производственных запасов. Спрос на товар составляет 1500 шт. в год, цена 200 ден. ед., издержки хранения товара 20 ден. ед. в год, организационные издержки 1000 ден. ед. В течение года может быть произведено 4500 шт. товара при полной загрузке производственной линии.

Нарисуйте график изменения запасов, вычислите оптимальный размер партии, продолжительность поставки, продолжительность цикла и средний уровень запасов.

3Б34. Годовая потребность предприятия в полуфабрикатах составляет 450 т. Издержки размещения заказа – 130 ден. ед. Коэффициент издержек хранения 1 т полуфабрикатов в течение года равен 0,2 от стоимости запаса. Цена 1 т полуфабриката зависит от величины партии. Данные по оптовым скидкам приведены в табл. 20.

Определить оптимальную величину партии.

3А35. Известно, что издержки выполнения заказа составляют 2 ден. ед., количество товара, реализованного за год, 1000 шт., закупочная цена единицы товара 5 ден. ед., издержки хранения в год 20% от закупочной цены. Определить наиболее оптимальный размер заказа, число поставок за год, минимальные затраты, связанные с работой системы.

3А36. Предприниматель имеет стабильный месячный спрос на товар в количестве 50 ед. Товар он покупает у поставщика по цене 6 ден. ед. за штуку, причем издержки на оформление поставки и другие подготовительные операции составляют в каждом случае 10 ден. ед. Как часто предприниматель должен пополнять свой запас товаров, если затраты на хранение в месяц равны 20% от цены товара? Найти минимальные затраты, связанные с работой системы, количество поставок в месяц.

3А37. Интенсивность спроса в модели производственных поставок составляет четверть скорости производства, которая равна 20 000 ед. товара в год. Организационные издержки для одной партии равны 150 ден. ед., а издержки хранения единицы товара в течение года 5 ден. ед.

Определить оптимальный размер партии.

3А+Б38. Пользующийся спросом товар продается со средней скоростью 45 ед. в день, а производится со скоростью 450 ед. в день. Затраты на организацию и доставку товара составляют 5 тыс. ден. ед. за партию, издержки хранения запасов в день равны 20% от стоимости товара. Стоимость товара складывается следующим образом: заработная плата обслуживающего персонала составляет 0,4; расходы на материалы 0,5; накладные расходы 0,6 ден. ед.

за единицу товара (для каждой единицы товара эти значения суммируются). Найти оптимальный размер партии и минимальные общие затраты, связанные с образованием запаса (в расчете на единицу товара в течение года). В году 300 рабочих дней.

3А39. Интенсивность спроса в модели производственных поставок составляет четверть скорости производства, которая равна 20 000 ед. товара в год. Организационные издержки для одной партии равны 150 ден. ед., а издержки хранения единицы товара в течение года 5 ден. ед. Определить оптимальный размер партии.

3А+Б40. Система управления запасами описывается моделью производственных запасов. Спрос на товар составляет 15 000 шт. в год, цена 200 ден. ед., издержки хранения товара в течение года 20 ден. ед., организационные издержки 1000 ден. ед. В течение года может быть произведено 45 000 шт. товара при полной загрузке производственной линии. Нарисуйте график изменения запасов, вычислите оптимальный размер партии, продолжительность поставки, продолжительность цикла и средний уровень запасов.

3Б41. На склад поставляют цемент партиями по 1500 т. В сутки со склада потребители забирают 50 т цемента. Накладные расходы по доставке партии цемента равны 2 тыс. ден. ед. Издержки хранения 1 т цемента в течение суток составляют 0,1 ден. ед. Определить: 1) длительность цикла, среднесуточные накладные расходы и среднесуточные издержки хранения; 2) эти же величины для размеров партии 500 и 3000 т; 3) каковы оптимальный размер заказываемой партии и расчетные характеристики работы склада в оптимальном режиме.

3Б42. Потребность станкосборочного цеха в заготовках некоторого типа составляет 32 тыс. шт. в год. Издержки размещения заказа равны 50 ден. ед., издержки содержания одной заготовки 5 ден. ед. в год. Среднее время реализации заказа 10 дней. В году 360 рабочих дней.

Определить оптимальную партию поставки, периодичность возобновления поставок, точку размещения заказа, минимальный первоначальный запас и моменты повторения заказов.

3Б43. Потребность сборочного предприятия в деталях некоторого типа составляет 120 000 шт. в год, причем они расходуются в процессе производства равномерно и непрерывно. Детали заказываются раз в год и поставляются партиями одинакового объема, указанного в заказе. Хранение детали на складе стоит 0,35 ден. ед.

в сутки, а поставка партии 10 000 ден. ед. Задержка производства из-за отсутствия деталей недопустима. Определить наиболее экономичный объем партии и интервал между поставками, которые нужно указать в заказе (предполагается, что поставщик не допускает задержки поставок). Найти, на сколько процентов увеличатся затраты на создание и хранение запаса по сравнению с минимальными затратами при объеме заказываемых партий 5000 деталей. Партии заказываются не все сразу, а каждая отдельно, причем срок выполнения заказа равен 16 дней. Определить точки заказа.

3.5. ЗАНЯТИЕ 8. СЕТЕВОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

И УПРАВЛЕНИЕ

3А44. Построить сетевой график, включающий пять работ, если работы а2 и а3 начинаются одновременно после работы а1, работа а4 может быть начата после выполнения работ а2, а3, работа а5 может начаться после выполнения работы а3.

3А45. Построить сетевой график, если начало работы а5 зависит только от окончания работ а1 и а3, начало работы а4 – только от окончания работы а3, начало работы а6 – только от окончания работ а2 и а3.

3А46. Найти критический путь, его длину и резервы времени работ, приведенных на сетевых графиках (рис. 7, а, б). Построить линейный график Ганта.

3А+Б47. Комплекс работ представлен сетевым графиком (рис. 8).

Для каждой работы известны продолжительность tij ее выполнения и количество rij (число в скобках) ресурса, расходуемого в единицу времени при выполнении этой работы (интенсивность потребления ресурса). В процессе выполнения работ расход ресурса не должен превышать заданной величины R. Требуется:

1) построить линейный график комплекса работ и определить по нему критическое время и сроки начала и окончания работ без учета ограничения на используемый ресурс;

2) построить график интенсивности использования ресурсов;

3) указать потребности в ресурсах в каждый момент времени;

4) определить, в какие моменты времени для выполнения работ проекта не хватает имеющихся ресурсов;

5) преобразовать линейный график выполнения работ так, чтобы в любой момент реализации комплекса работ расход ресурса не превышал заданного значения R, а общее время осуществления комплекса работ было возможно меньшим;

6) определить по преобразованному линейному графику новые сроки начала и окончания каждой работы.

Задачи для самостоятельной работы 3А48. Построить сетевой график, содержащий шесть работ, если начало работы а4 зависит от результата выполнения работы а2, работа а5 может быть начата после выполнения работ а1, а2, работа а6 может быть начата после завершения работ а3 и а4.

3А49. Построить сетевой график, если он включает семь работ и при этом работа а4 выполняется после работ а1 и а3, работы а3, а5 начинаются после завершения работы а2, работа а6 может быть выполнена после работ а3 и а5, работа а7 после работ а4 и а6.

3А+Б50. Построить сетевые графики по данным табл. 21.

3А51. Найти критический путь, его длину и резервы времени работ, приведенных на сетевом графике (рис. 9). Построить линейный график комплекса работ.

3А52. По сетевому графику, изображенному на рис. 10, установить, как повлияет на срок выполнения комплекса увеличение продолжительности работы (5; 8), работы (7; 8). Можно ли использовать полный резерв времени работы (4; 6) для увеличения продолжительности работы (6; 8)? Изменится ли полный резерв времени работы (2; 5), если срок выполнения комплекса возрастет за счет увеличения продолжительности работы (7; 8)?

3А+Б53. Комплексы работ представлены сетевыми графиками (рис. 11). Для каждой работы известны продолжительность tij ее выполнения и количество rij (число в скобках) ресурса, расходуемого в единицу времени при выполнении этой работы (интенсивность потребления ресурса). В процессе выполнения работ расход ресурса не должен превышать заданной величины R. Требуется:

1) построить линейный график комплекса работ, определить критическое время, сроки начала и окончания работ без учета ограничений на ресурсы;

2) построить график интенсивности использования ресурсов;

3) указать потребности в ресурсах в каждый момент времени;

4) определить, в какие моменты времени для выполнения работ не хватает имеющихся ресурсов;

5) преобразовать линейный график выполнения работ так, чтобы в любой момент реализации комплекса расход ресурса не превышал заданного значения R, а общее время осуществления комплекса было возможно меньшим;

6) определить по преобразованному линейному графику новые сроки начала и окончания каждой работы.

3А+Б54. Произвести оптимизацию сетевых графиков (рис. 12) по ресурсам. Наличный ресурс равен 10 ед. Первое число, приписанное дуге графика, время выполнения операции, а второе необходимое для этого количество ресурса. Операции не допускают перерыва в их выполнении.

4. ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ

4.1. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

«МОДЕЛИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ДВОЙСТВЕННОСТИ»

Тема: модели оптимального планирования.

– научиться составлять оптимизационные модели, находить оптимальное решение;

– научиться пользоваться пакетом «Поиск решения» MS Excel при решении и анализе задач линейного программирования (ЗЛП);

– освоить основные положения теории двойственности и их применение при решении экономических задач.

1. Что называется ЗЛП? Приведите примеры.

2. Что называется допустимым планом? Всегда ли он существует? Приведите примеры.

3. Что называется оптимальным планом? Всегда ли он существует? Приведите примеры.

4. Какие методы решения ЗЛП Вы знаете?

5. Какой экономический смысл имеют переменные прямой и двойственной задач в задаче распределения ресурсов?

6. Какой экономический смысл имеют дополнительные переменные в задаче распределения ресурсов, в двойственной задаче?

7. Используя теорию двойственности, ответить на вопросы:

• Прямая задача имеет оптимальный план. Что можно сказать про решение двойственной?

• Некоторые переменные оптимального плана прямой задачи отличны от нуля. Что можно сказать про соответствующие ограничения двойственной задачи?

• Как изменится оптимальное значение целевой функции при изменении количества одного из ресурсов на единицу?

8. Зная решение задачи распределения ресурсов, укажите дефицитные и избыточные ресурсы. Какой ресурс является наиболее ценным?

9. Какую информацию предоставляют отчеты по пределам, устойчивости и результатам пакета «Поиск решения» MS Excel?

Задачи распределения финансов, оборудования, сырья можно рассматривать как задачи распределения ресурсов.

Формулировка задачи. Выпускается продукция четырех типов: П1, П2, П3, П4, для изготовления которой требуются ресурсы трех видов: трудовые, сырье, финансы. Норма расхода, а также прибыль, получаемая от реализации единицы каждого типа продукции, и наличие располагаемого ресурса приведены в табл. 22.

Нормы расхода ресурсов на единицу продукции Ресурсы 1. Составить математическую модель задачи. Объяснить экономический смысл переменных.

2. Составить математическую модель двойственной задачи.

Объяснить экономический смысл двойственных переменных.

3. Найти оптимальный план выпуска продукции, обеспечивающий максимальную прибыль.

4. Провести анализ оптимальных решений прямой и двойственной задач, используя отчеты трех типов (по результатам, по устойчивости, по пределам):

а) указать, какая продукция вошла в оптимальный план и насколько невыгодно производство продукции, не вошедшей в оптимальный план;

б) указать дефицитные и избыточные ресурсы;

в) выписать оптимальное решение двойственной задачи;

г) указать наиболее дефицитный ресурс, исходя из оптимального решения двойственной задачи;

д) указать интервал устойчивости двойственных оценок.

5. Решить двойственную задачу. Сравнить решение с полученным в пункте 4.

6. Выяснить, как изменится выпуск продукции и значение целевой функции при изменении каждого из имеющихся ресурсов на единицу. Оценить раздельные и суммарное изменения.

Решение. Составим математическую модель задачи. Пусть переменные x j – количество выпускаемой продукции П j, j = 1, 4.

Тогда математическая модель задачи имеет вид:

где z ( x) – целевая функция, которая определяет суммарную прибыль от реализации произведенной продукции. Первые три неравенства описывают условия ограниченности имеющихся ресурсов, кроме того, переменные x j, j = 1, 4, не могут быть выражены отрицательными числами.

Составим математическую модель двойственной задачи. Для этого прямую задачу запишем в виде табл. 23.

Коэффициенты целевой функmax ции c j Условия неотрицательности Согласно правилам построения двойственных задач, каждому ограничению прямой задачи соответствует переменная двойственной задачи, поэтому, исходя из экономического смысла, можно сказать, что переменные двойственной задачи yi, i = 1, 3, – это оценки ресурсов (трудовых, сырья, финансов).

Двойственная задача имеет вид:

где f(y) – целевая функция, которая определяет суммарную оценку ресурсов. Неравенства системы показывают, что оценка ресурсов, затрачиваемых на производство единицы соответствующей продукции, не меньше, чем прибыль от выпуска единицы этой продукции. Кроме того, переменные yi, i = 1, 3, не могут быть выражены отрицательными числами.

Решим задачу средствами MS Excel. Следует сделать форму и ввести исходные данные (рис. 13).

Далее осуществляется ввод зависимостей из математической модели (рис. 14). Чтобы получить значение целевой функции в ячейке F4, воспользуемся функцией СУММПРОИЗВ. Для этого выберем Мастер функций и вызовем математическую функцию СУММПРОИЗВ. На экране появится диалоговое окно. В массив введем строку со значениями переменных, т. е. B$3:E$3 (знак $ ставим для того, чтобы адрес строки ячеек не менялся при копировании формул). Заметим, что в указанных ячейках B3:E3, которые на рис. 13 выделены серым цветом, по окончании решения задачи будет находиться оптимальное решение. В массив 2 введем адрес строки коэффициентов целевой функции, т. е. B4:E4. В ячейке F будем иметь значение 0, согласно введенной формуле.

Заметим, что во все диалоговые окна адреса ячеек удобно вводить не с клавиатуры, а протаскивая мышь по ячейкам, чьи адреса следует ввести. Далее копируем формулу из ячейки F4 в столбец «Левые части ограничений». На рис. 14 показано, какие формулы должны быть введены в указанные ячейки.

Установим курсор в ячейку F4. Командой Поиск решения из меню Сервис откроем диалоговое окно Поиск решения и занесем в него необходимые данные:

• Установить целевую – адрес ячейки, отведенной под значение целевой функции, т. е. $F$4;

• Равной – максимальному значению;

• Изменяя ячейки – адреса изменяемых значений переменных, т. е. $В$3:$Е$3;

• Ограничения – Добавить. На экране появится диалоговое окно Добавление ограничения. Введем ограничения по ресурсам $F$7 $H$7, затем нажмем кнопку Добавить. Аналогично добавим ограничения $F$8 $H$8 и $F$9 $H$9. По окончании ввода данных нажмем OК. Можно добавить все ограничения сразу, т. к.

они имеют одинаковый знак () (рис. 15).

Командой Параметры вызываем диалоговое окно Параметры поиска решения и устанавливаем флажки: Линейная модель, Неотрицательные значения, Автоматическое масштабирование (рис. 16). Нажимаем ОК.

Рис. 16. Диалоговое окно Параметры поиска решения Возвращаемся в диалоговое окно Поиск решения и, щелкнув по кнопке Выполнить, находим оптимальное решение задачи. На экране появится диалоговое окно Результаты поиска решения (рис. 17). В ячейках В3:Е3 имеем оптимальное решение задачи:

X опт = (10; 0; 6; 0), в ячейке F4 – максимальное значение целевой функции: z ( X опт ) = 1320.

Рис. 17. Диалоговое окно Результаты поиска решения Таким образом, согласно оптимальному плану, следует выпускать продукцию П1 и П3 в количествах 10 и 6 ед. соответственно. Продукцию П2 и П4 выпускать не следует. Ограничения говорят о том, что первый и третий ресурсы израсходованы полностью, а второго ресурса осталось 26 ед.

При этом будет получена максимальная прибыль в количестве 1320 ден. ед.

Если задача не имеет решения или данные введены неверно (целевая функция не ограничена или система ограничений несовместна), то выдаются сообщения: «Значения целевой ячейки не сходятся» или «Поиск не может найти подходящего решения».

Проведем анализ оптимального решения. Анализ оптимального решения начинается после успешного решения задачи, когда на экране появляется окно Результаты поиска решения (рис. 17).

С помощью этого диалогового окна можно вызвать отчеты трех типов: по результатам, по устойчивости, по пределам.

Вызов отчета осуществляется по следующему алгоритму.

На экране диалоговое окно Результаты поиска решения (рис. 17). Устанавливаем курсор на тип вызываемого отчета. Например, отчет по устойчивости. Нажимаем ОК. В нижней части экрана появляется ярлычок нового листа, на котором указано название отчета. Устанавливаем курсор на этот ярлычок и щелкаем левой кнопкой мыши. На экране появляется вызванный отчет (рис. 18).

Можно сразу выделить все три типа отчетов (по устойчивости, по пределам и по результатам).

Отчет по устойчивости. Отчет состоит из двух таблиц. Первая приводит следующие значения для переменных: результат решения задачи; нормировочную стоимость, т. е. дополнительные двойственные переменные, которые показывают, насколько изменяется целевая функция при принудительном включении единицы этой продукции в оптимальное решение; коэффициенты целевой функции; предельные значения приращения коэффициентов целевой функции, при которых сохраняется набор переменных, входящих в оптимальное решение.

Во второй таблице приводятся аналогичные значения для ограничений: величина использованных ресурсов; теневая цена, т. е.

двойственные оценки, которые показывают, как изменится целевая функция при изменении ресурсов на единицу; значения приращения ресурсов, при которых сохраняется оптимальный набор переменных, входящих в оптимальное решение.

Согласно полученным данным, Yопт = (20; 0; 10; 0; 10; 0; 20).

Первые три значения (графа «Теневая цена» отчета по устойчивости) показывают оценки ресурсов (трудовые, сырье, финансы). Наиболее дефицитным является первый ресурс (трудовые ресурсы), т. к.

его оценка наибольшая, при изменении количества ресурса на единицу в пределах интервала устойчивости прибыль изменится на 20;

менее дефицитным является третий ресурс (финансы). Второй ресурс (сырье) дефицитным не является (его оценка равна нулю).

Последние четыре значения (графа «Нормировочная стоимость» с противоположным знаком) показывают, какую продукцию выгодно выпускать, а какую – нет. Согласно полученным данным, при выпуске единицы продукции П4 целевая функция уменьшится на 20 ед., а при выпуске единицы продукции П2 – на 10 ед.

Интервал устойчивости для первого ресурса (трудовые ресурсы) имеет вид: (16 6; 16 + 3,545). Значения берем из столбцов «Допустимое увеличение», «Допустимое уменьшение», «Ограничение, правая часть». При изменении количества первого ресурса в этих пределах двойственные оценки и типы выпускаемой продукции остаются неизменными.

Отчет по результатам. Отчет состоит из трех таблиц. В первой таблице приводятся сведения о целевой функции. В столбце «Исходно» приведены значения целевой функции до начала вычислений. Во второй таблице приводятся значения искомых переменных, полученные в результате решения задачи. В третьей показываются результаты оптимального решения для ограничений и граничных условий.

Отчет по пределам. В отчете показано, в каких пределах может изменяться выпуск продукции, вошедшей в оптимальное решение, при сохранении структуры оптимального решения.

Вариант 1. Найти оптимальное сочетание посевов трех культур: пшеницы, гречихи и картофеля. Эффективность возделывания названных культур (в расчете на 1 га) характеризуется показателями, значения которых приведены в табл. 24.

Производственные ресурсы: 4000 га пашни, 5000 чел.-дней труда механизаторов, 9000 чел.-дней ручного труда. Критерий оптимальности максимум прибыли.

Вариант 2. На предприятии освоены четыре технологии производства основной продукции. Запасы потребляемых ресурсов, затраты их в течение месяца и объемы выпуска готовой продукции при каждой технологии за этот же период приведены в табл. 25.

Ресурс

I II III IV

Установить такое время работы предприятия по каждой технологии, при котором выпуск продукции будет максимальным, а расход ресурсов не превысит их наличия.

Вариант 3. Для изготовления обуви четырех моделей на фабрике используются два сорта кожи. Ресурсы рабочей силы и материала, затраты труда и материала для изготовления каждой пары обуви, а также прибыль от реализации единицы продукции приведены в табл. 26.

Составить план выпуска обуви по ассортименту, максимизирующий прибыль.

Вариант 4. На приобретение оборудования для нового производственного участка выделено 30 тыс. ден. ед. и помещение площадью 45 м2. Участок может быть оснащен машинами трех типов, характеристики которых приведены в табл. 27.

Марка Стоимость машины, Занимаемая Производительность Найти оптимальный план приобретения машин, обеспечивающий новому производственному участку максимальную производительность.

Вариант 5. Торговое предприятие реализует товары Т1, Т2, Т3, используя при этом площади торговых залов и время обслуживающего персонала. Затраты указанных ресурсов на продажу одной партии товара каждого вида, их запасы и прибыль, получаемая от реализации каждой партии товара, приведены в табл. 28.

Найти оптимальную структуру товарооборота, обеспечивающую предприятию максимальную прибыль.

Вариант 6. Механический завод при изготовлении деталей Д и Д2 использует токарное, фрезерное и сварочное оборудование.

Обработку деталей можно вести по технологиям I и II. Полезный фонд времени работы каждой группы оборудования, затраты времени на изготовление детали и прибыль от выпуска каждой детали приведены в табл. 29.

Оборудование

I II I II

Составить оптимальный план загрузки оборудования, обеспечивающий заводу максимальную прибыль.

Вариант 7. Имеются два проекта на строительство жилых домов. Расход стройматериалов, их запас и полезная площадь дома для каждого проекта приведены в табл. 30.

Стройматериалы Определить, сколько домов I и II проекта следует построить, чтобы полезная площадь была наибольшей.

Вариант 8. Магазин оптовой торговли реализует три вида продукции: П1, П2 и П3. Для этого используются два ограниченных ресурса полезная площадь помещений, которая с учетом коэффициента оборачиваемости равна 450 м2, и рабочее время работников магазина, которое составляет 600 чел.-ч. Необходимо разработать план товарооборота, обеспечивающий максимум прибыли.

Затраты ресурсов на реализацию и получаемая при этом прибыль представлены в табл. 31.

Вариант 9. Исходя из специализации и своих технологических возможностей предприятие может выпускать четыре вида продукции. Сбыт любого количества обеспечен. Для изготовления этой продукции используются трудовые ресурсы, полуфабрикаты и станочное оборудование. Общий запас ресурсов (в расчете на трудовую неделю), расход каждого ресурса на единицу выпускаемой продукции и прибыль, полученная за единицу продукции, приведены в табл. 32.

Требуется определить план выпуска, обеспечивающий предприятию максимальную прибыль.

Вариант 10. На звероферме могут выращиваться черно-бурые лисицы и песцы. Для обеспечения нормальных условий их выращивания используется три вида кормов. Количество корма каждого вида, которое должны ежедневно получать лисицы и песцы, приведено в табл. 33. В ней же указаны общее количество корма каждого вида, которое может быть использовано зверофермой, и прибыль от реализации одной шкурки лисицы и песца.

Вид корма Определить, сколько лисиц и песцов следует выращивать на звероферме, чтобы прибыль от реализации их шкурок была максимальной.

Вариант 11. На швейной фабрике для изготовления четырех видов изделий (А, В, С и D) может быть использована ткань трех артикулов. Нормы расхода ткани всех артикулов на пошив одного изделия приведены в табл. 34. В ней же указаны имеющееся в распоряжении фабрики общее количество ткани каждого артикула и цена одного изделия данного вида.

Артикул ткани Определить, сколько изделий каждого вида должна произвести фабрика, чтобы стоимость изготовленной продукции была максимальной.

Вариант 12. Предприятие выпускает четыре вида продукции (А, В, С и D) и использует три типа основного оборудования: токарное, фрезерное и шлифовальное. Затраты времени на изготовление единицы продукции для каждого из типов оборудования приведены в табл. 35. В ней же указаны общий фонд рабочего времени каждого из типов оборудования, а также прибыль от реализации одного изделия данного вида.

Тип оборудования Определить такой объем выпуска каждого из изделий, при котором общая прибыль от их реализации является максимальной.

Вариант 13. Торговое предприятие планирует организовать продажу четырех видов товара (А, В, С и D), используя при этом только два вида ресурсов: рабочее время продавцов в количестве 840 ч и площадь торгового зала 180 м2. При этом известны плановые нормативы затрат этих ресурсов в расчете на единицу товаров А, В, С и D и прибыль от их продажи, которые приведены в табл. 36.

Расход рабочего времени на единицу Использование площади торгового Требуется определить оптимальную структуру товарооборота, обеспечивающую торговому предприятию максимальную прибыль.

Вариант 14. За бригадой закреплено 210 га пашни. Трудовые ресурсы составляют 2500 чел.-дней, запас минеральных удобрений 600 ц. С 1 га посевов планируется получить 40 ц зерновых и 120 ц овощей. Для обеспечения такой урожайности на 1 га зерновых культур необходимо внести 2 ц минеральных удобрений, на 1 га овощных культур 5 ц, а также затратить на 1 га посевов зерновых 7 чел.-дней, на 1 га посевов овощей 20 чел.-дней. Цены на зерновые и овощные культуры составляют 45 и 20 ден. ед. за 1 ц.

Найдите такое сочетание посевных площадей зерновых и овощных культур, которое обеспечило бы максимум денежных поступлений от реализации произведенной продукции.

Вариант 15. Торговое предприятие имеет ограниченные ресурсы: фонд рабочего времени 25 тыс. чел.-ч, площадь торговых залов 350 м2. Для обеспечения рентабельной работы торгового предприятия издержки обращения не должны превышать 11 млрд. ден. ед. Исходные данные представлены в табл. 37.

Постройте экономико-математическую модель определения структуры товарооборота торгового предприятия при заданных объемах ресурсов на единицу товара, затратах ресурсов для получения максимальной прибыли.

4.2. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

«ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

И МОДЕЛИ ТЕОРИИ ИГР»

Тема: теория игр.

– изучить основные понятия матричных игр, статистических игр;

– научиться пользоваться MS Excel при решении и анализе матричных игр.

1. Что называется игрой, партией, ходом, стратегией?

2. Как находятся верхняя и нижняя чистые цены матричной игры?

3. Всегда ли матричная игра имеет решение в чистых стратегиях?

4. Что называется оптимальным решением матричной игры?

5. Какие методы упрощения матричных игр Вы знаете?

6. Какие стратегии в матричной игре называются чистыми, а какие смешанными?

7. Какие методы решения матричных игр Вы знаете?

8. Чем отличаются проблемы теории игр от проблем теории оптимизации?

9. На основании какого утверждения возможно сведение матричной игры к паре симметричных задач линейного программирования?

10. Какая связь существует между решениями пары симметричных задач линейного программирования и решением матричной игры?

11. Любую ли матричную игру, заданную платежной матрицей, можно свести к паре задач линейного программирования?

Формулировка задачи. Матричная игра задана платежной матрицей:

1. Указать возможные чистые стратегии сторон.

2. Рассматривая матричную игру как игру с природой, выяснить, какое решение целесообразно принять при следующих предположениях:

а) о вероятностях ничего определенного сказать нельзя (воспользоваться критериями Вальда, Сэвиджа и Гурвица (параметр критерия Гурвица равен 0,5));

б) накопленный опыт показывает, что вероятности состояний природы равны соответственно 0,3; 0,1; 0,2; 0,1; 0,3 (воспользоваться критерием Байеса);

в) имеющийся опыт свидетельствует, что все четыре возможных состояния равновероятны (критерий Лапласа).

3. Решить матричную игру путем сведения ее к задаче линейного программирования:

а) составить математическую модель прямой и двойственной задач;

б) найти их оптимальные планы;

в) выписать оптимальные стратегии игроков и цену игры.

Решение. У игрока A есть 4, а у игрока П 5 возможных чистых стратегий (табл. 38).

Стратегии А Часто приходится принимать решение, не имея достаточной информации. Если эта неопределенность не связана с сознательным противодействием противника, а определяется внешними условиями, которыми мы не можем управлять, но от которых зависит эффективность выбранной нами стратегии, то такие ситуации принято называть статистическими играми, или играми с природой.

Природа безразлична к нашему выигрышу, следовательно, ни одно ее возможное состояние нельзя отбросить. Смешанная стратегия может иметь смысл только при многократном повторении игры. Результаты игры будем представлять платежной матрицей, обозначая возможные состояния природы Пj. С учетом здравого смысла и практической целесообразности сформулирован ряд критериев, которые образуют логическую схему принятия решения. Для принятия решения кроме платежной матрицы используется матрица рисков, элементы которой есть разности между максимально возможным выигрышем при j-м состоянии природы и выигрышем при использовании i-й стратегии. Иначе говоря, это упущенная из-за невозможности предсказать состояние природы выгода.

Платежная матрица представлена в табл. 39.

Элементы матрицы рисков rij = j aij (табл. 40).

В условиях полной неопределенности используются следующие критерии:

– максиминный критерий Вальда. Находим максимум из минимумов и соответствующую ему стратегию max min aij. Природа рассматривается как противодействующая сторона. Это крайний пессимизм. Для приведенного примера нам следует выбрать стратегию А3 (при этом минимальный гарантированный выигрыш равен двум, см. табл. 39);

– критерий Сэвиджа (минимаксного риска). Выбирается стратегия min max rij, обеспечивающая минимум риска при самых неблагоприятных условиях (минимизируем максимальный риск).

Это также крайний пессимизм, но по отношению к величине риска. В рассматриваемом примере это также стратегия А3 (при этом максимальный возможный риск равен восьми, см. табл. 40);

– максимаксный критерий. Выбирается стратегия, при которой возможно получение максимального выигрыша. Это безоглядный оптимизм, иногда на него делают ставку в безвыходном положении. В данном случае это стратегия А1 (при этом максимальный возможный выигрыш равен тринадцати, см. табл. 39);

– критерий Гурвица (пессимизма – оптимизма) – это промежуточный выбор между крайним пессимизмом и безоглядным оптимизмом. Стратегия выбирается в соответствии со значением где – коэффициент оптимизма (0 1). При крайних значениях этого коэффициента получим соответственно минимаксный и максимаксный критерии.

При использовании этого критерия часто принимают значение параметра = 0,5 или = 0,6. Критерий Гурвица можно применить и к матрице рисков, тогда он будет иметь вид:

Лучшими стратегиями оказываются А1 – для матрицы выигрышей и А2 – для матрицы рисков (при этом возможный выигрыш составляет 6,5, а возможный риск равен 4,5, см. табл. 39, 40).

Если бы результаты применения различных критериев совпадали, то мы имели бы основание для выбора стратегии. Однако есть возможность сократить область выбора, опустив стратегию А4.

Окончательное же решение зависит от склонности и готовности к риску лица, принимающего решения. Стратегия А1 перспективна, хотя и несколько рискованна, стратегии А2 и А3 представляются более осторожными. В подобной ситуации уместно поставить задачу сбора дополнительных статистических данных или проведения экспериментов для оценки вероятностей возможных состояний природы. Экономически такая работа будет оправдана, если затраты на ее проведение будут меньше ожидаемого выигрыша от уточнения стратегии.

Предположим, что вероятности состояний природы qj, j = 1, n, известны и занесены в платежную матрицу (табл. 41) и матрицу рисков (табл. 42).

В этом случае пользуются критерием Байеса для выбора стратегии, максимизирующей средний выигрыш max ai или минимизирующей средний риск min ri. Для принятых значений вероятности в обоих случаях предпочтительной оказывается стратегия А4.

Если объективные оценки состояний природы отсутствуют, но нет оснований предпочесть одно состояние другому, то можно принять их равными, полагая q j = 1/ n. Такой подход называют принципом недостаточного основания Лапласа. Легко убедиться, что в этом случае лучшие результаты дает стратегия А2.

В данной игре = max min aij = 2; = min max aij = 6, значит,, и игру следует решать в смешанных стратегиях. Так как цена игры v > 0 ( < v < ), задачу можно сразу свести к задаче линейного программирования. Математическая модель задачи для игрока П:

Математическая модель задачи для игрока A:

Найдем оптимальную смешанную стратегию q* игрока П. Для этого решим ЗЛП для игрока П, воспользовавшись Поиском решения. Получим табл. 43.

Отсюда у* = (0,010703; 0,059633; 0; 0; 0,166667), f(y) = 0,237003.

Для нахождения оптимального решения ЗЛП для игрока А также можно воспользоваться Поиском решения, однако решение для двойственной задачи можно найти и из отчета по устойчивости:

Отсюда x* = (0,062691131; 0,082568807; 0; 0,091743119), z(x) = 0,237003.

Остается вычислить цену игры v и компоненты q оптимальj ной смешанной стратегии: v = 1/f = 1/0,237003 = 4,219355;

q1 = vy1 = 4,219355 0,010703 = 0,045161; q2 = 0,251613; q3 = 0;

q4 = 0; q5 = 0,703226.

Итак, q* = (0,045161; 0,251613; 0; 0; 0,703226).

Аналогично p1 = vx1 = 4,219355 0,062691131 = 0,264516;

p2 = 0,348387; p3 = 0; p4 = 0,387097.

Таким образом, оптимальной для игрока А является смешанная стратегия p* = (0,264516; 0,348387; 0; 0,387097).

Легко проверить, что сумма компонент каждой из оптимальных смешанных стратегий р* и q* равна единице, а цена игры v = 4,219, действительно, лежит между = 2 и = 6.

Матричная игра задана платежной матрицей.

1. Указать возможные чистые стратегии сторон.

2. Рассматривая матричную игру как игру с природой, выяснить, какое решение целесообразно принять при следующих предположениях:

а) о вероятностях ничего определенного сказать нельзя (воспользоваться критериями Вальда, Сэвиджа и Гурвица (параметр критерия Гурвица равен 0,6));

б) накопленный опыт показывает, что вероятности состояний природы равны соответственно 0,5; 0,1; 0,2; 0,2 (воспользоваться критерием Байеса);

в) имеющийся опыт свидетельствует, что все четыре возможных состояния равновероятны (критерий Лапласа).

3. Решить матричную игру путем сведения ее к задаче линейного программирования:

а) составить математическую модель прямой и двойственной задач;

б) найти их оптимальные планы;

в) выписать оптимальные стратегии игроков и цену игры.

«МОДЕЛИ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА»

Тема: балансовые модели.

– изучить основные положения балансового метода;

– освоить принципы построения межотраслевого баланса и его анализ;

– научиться пользоваться MS Excel при решении и анализе моделей межотраслевого баланса.

1. Понятие балансового метода и балансовой модели. Приведите примеры балансовых моделей.

2. Что называется стоимостным межотраслевым балансом, из каких квадрантов он состоит?

3. Что называется валовым продуктом, промежуточным и конечным продуктами, чистой продукцией?

4. Какие цены могут быть использованы при разработке стоимостного МОБ?

5. Приведите схему МОБ.

6. Запишите экономико-математическую модель МОБ. Что называется моделью «затраты выпуск»?

7. Что называется условно чистой продукцией?

8. Какого вида расчеты можно проводить по модели МОБ?

9. Что называется матрицей прямых материальных затрат?

10. Как определить, является ли модель продуктивной?

11. Что называется матрицей полных материальных затрат?

12. Как найти матрицу полных материальных затрат точным и приближенным методами?

13. Что называется косвенными материальными затратами?

Как они связаны с прямыми?

14. Сформулируйте балансовое соотношение модели МОБ.

Формулировка задачи. Народное хозяйство представлено тремя отраслями: 1) тяжелая промышленность; 2) легкая промышленность; 3) сельское хозяйство. За отчетный год получены данные о межотраслевых поставках xij и вектор объемов конечного потребления Y0 (табл. 44).

Необходимо рассчитать:

1) матрицу коэффициентов прямых материальных затрат A = aij, матрицу «затраты выпуск» (Е А) и вектор конечного потребления Y для заданного вектора валовых выпусков X. Результаты представить в виде балансовой таблицы;

2) матрицу коэффициентов полных материальных затрат B = bij и валовые объемы выпуска Xпл для заданного вектора конечного потребления Yпл. Определить плановые объемы межотраслевых поставок ( xij )пл и пояснить, как валовые объемы выпуска продукции ( X пл )i, i = 1, n, распределились между отраслями.

Результаты представить в виде балансовой таблицы;

3) приросты валовых объемов выпуска, если конечное потребление изменится на Yi % по сравнению с Yпл;

4) матрицы коэффициентов косвенных затрат первого A1, второго A2 и третьего A3 порядков, сравнить сумму затрат В = ( E + A) + ( A1 + A2 + A3 ) с полными затратами B, найти относительные погрешности.

Решение.

По данным задачи находим вектор объемов валовых выпусков:

Находим матрицу коэффициентов прямых затрат:

Матрица «затраты выпуск» примет вид:

Новый вектор конечного потребления найдем по данному вектору валовых выпусков X, используя функцию МУМНОЖ:

Чтобы построить таблицу МОБ на расчетный период, нужно определить межотраслевые потоки:

x11 = 0,4 300 = 120; x12 = 0,05 400 = 20; x13 = 0,25 400 = 100;

Межотраслевой баланс на расчетный период представлен в табл. 45.

Производящие Все расчеты производятся на компьютере. Данный межотраслевой баланс находится в ячейках А19:F24 (рис. 19).

Найдем матрицу коэффициентов полных материальных затрат В путем обращения матрицы (Е А) с помощью функции МОБР:

Объем производства валовой продукции Xпл при заданном объеме конечной продукции Yпл в плановом периоде можно определить следующим образом:

Чтобы построить таблицу МОБ на планируемый период, нужно определить межотраслевые потоки.

Межотраслевой баланс на плановый период представлен в табл. 46.

Производящие Так как по условию задачи значение Y1 должно увеличиться на 10%, Y2 – уменьшиться на 10%, а Y3 – увеличиться на 50%, то компоненты нового вектора конечного потребления будут равны:

Прирост валовых объемов выпуска, соответствующий новому вектору конечного потребления, найдем по формуле:

Косвенные затраты первого порядка равны: А1 = А А, второго – А2 = А А1, третьего – А3 = А А2. Найдем сумму затрат B = ( E + A) + ( A1 + A2 + A3 ) = bij и ее сравним с полными заnn тратами:

Тогда матрица полных материальных затрат равна:

Относительные погрешности составят (в процентах):

Народное хозяйство представлено тремя отраслями: 1) тяжелая промышленность; 2) легкая промышленность; 3) сельское хозяйство. За отчетный период получены данные о межотраслевых поставках xij и вектор объемов конечного потребления Y0 (табл. 47).

Необходимо рассчитать:

1) матрицу коэффициентов прямых материальных затрат A = aij, матрицу «затраты выпуск» (Е А) и вектор конечного потребления Y для заданного вектора валовых выпусков X. Результаты представить в виде балансовой таблицы;

2) матрицу коэффициентов полных материальных затрат B = bij и валовые объемы выпуска Xпл для заданного вектора конечного потребления Yпл. Определить плановые объемы межотраслевых поставок ( xij )пл и пояснить, как валовые объемы выпуска продукции ( X пл )i, i = 1, n, распределились между отраслями.

Результаты представить в виде балансовой таблицы;

3) приросты валовых объемов выпуска, если конечное потребление изменится на Yi % по сравнению с Yпл;

4) матрицы коэффициентов косвенных затрат первого A1, второго A2 и третьего A3 порядков, сравнить сумму затрат В = ( E + A) + ( A1 + A2 + A3 ) с полными затратами B, найти относительные погрешности.

«ЭЛЕМЕНТЫ СЕТЕВОГО ПЛАНИРОВАНИЯ

И УПРАВЛЕНИЯ»

Тема: сетевое планирование и управление.

– изучить основные понятия сетевого планирования и управления;

– освоить этапы построения сетевого графика и правила расчета его параметров;

– научиться пользоваться MS Excel при решении и анализе сетевых задач.

1. Что называется событием, работой, фиктивной работой?

2. Сформулируйте правила построения сетевых графиков.

3. Какие временные параметры сетевого графика Вы знаете?

4. Что называется ранним, поздним сроком свершения события, резервом времени события?

5. Что называется ранним, поздним сроком начала (окончания) работы, полным резервом времени работы?

6. Какие виды резервов времени Вы знаете?

7. Дайте определение критического пути.

8. Что называется линейным графиком (графиком Ганта)?

9. Как производится учет потребностей в ресурсах при выполнении комплекса работ?

10. Как производится оптимизация сетевого графика с учетом потребностей в ресурсах?

Теоретические сведения. Ранним сроком tp(i) свершения события i называется самый ранний момент времени, к которому завершаются все предшествующие этому событию работы. Так как может быть несколько путей, предшествующих данному событию, то ранний срок свершения события определяется продолжительностью максимального предшествующего пути: tp(i) = t[L1(i)], где L1(i) – максимальный предшествующий путь. Ранний срок свершения последнего события совпадает с критическим временем.

Поздним сроком tп(i) свершения события i является самый поздний момент, после которого остается ровно столько времени, сколько необходимо для завершения всех работ, следующих за этим событием, без превышения критического времени tкp. Очевидно, что tп(i) определяется разностью между tкp и длиной максимального из последующих путей L2(i): tп(i) = tкp t[L2(i)]. Для событий критического пути ранний и поздний сроки свершения совпадают.

Зная сроки свершения событий, можно определить временные параметры работ.

Ранний срок начала работы (i; j) равен раннему сроку свершения события i: tp (i; j ) = tp (i ).

Ранний срок окончания работы (i; j) равен сумме раннего срока свершения ее начального события и продолжительности работы: tр (i; j ) = tр (i ) + tij.

Поздний срок окончания работы (i; j) совпадает с поздним сроком свершения ее конечного события: tп (i; j ) = tп ( j ).

Поздний срок начала работы (i; j) равен разности между поздним сроком свершения ее конечного события и продолжительностью работы: tп (i; j ) = tп ( j ) tij.

Так как сроки выполнения работ находятся в границах, определяемых tр (i; j ) и tп (i; j ), то они могут иметь разного вида резервы времени.

Полный резерв времени работы Независимый (свободный) резерв времени работы Величина независимого резерва показывает продолжительность вынужденного ожидания наступления конечного события данной работы.

Частный резерв времени работы первого вида Частный резерв времени работы второго вида Формулировка задачи. Для перестройки производства в порядке перевода его на более интенсивную технологию необходимо осуществить комплекс подготовительных мероприятий (работ).

С этой целью создана группа из R специалистов и составлен сетевой график выполнения работ (рис. 20).

Известна продолжительность tij выполнения каждой работы (i; j) комплекса (могут быть известны и количества ресурсов, затрачиваемых при выполнении соответствующих работ rij).

Все необходимые числовые данные приведены в табл. 48.

Продолжительность 1. Найти ранние и поздние сроки свершения событий и их резервы времени. Определить длину критического пути.

2. Найти ранние и поздние сроки начала и окончания работ.

3. Найти резервы времени работ (четыре типа) и построить линейный график и график интенсивности использования ресурсов.

4. Определить, в какие моменты времени для выполнения работ проекта не хватает имеющихся ресурсов.

Решение. Сначала перечислим все имеющиеся работы и их продолжительность, затем с использованием соответствующих формул рассчитаем ранний tp(i) и поздний tп(i) сроки свершения всех событий (см. рис. 21, ячейки С1:F6).

Для определения раннего срока свершения события сначала необходимо определить длину всех имеющихся путей сетевого графика. Рассмотрим пути из события (1) в событие (3); из события (1) в событие (5); из события (2) в событие (5) (т. к. для этих событий пути не единственные). Пути и их длина представлены на рис. 21 в строках 9–13.

Далее по формуле tp(i) = t[L1(i)], например, для события (3) получаем: tp(3) = t[L1(3)]. Используя функцию MS Excel МАКС, получим: МАКС(В10:В11) = 5. Определив ранний срок свершения последнего, пятого события, найдем критическое время: tкp(5) = 12.

Определим поздние сроки свершения событий по формуле tп(i) = = tкp t[L2(i)]. Для события (3) имеем: tп(3) = tкp t[L2(3)] = tкp t35 = = 12 6 = 6, а для события (2) получаем: tп(2) = tкp t[L2(2)] = = tкp max {t23 + t35 ; t25 ; t24 + t45} = 12 max{8; 5; 9} = 3.

Разность между поздним и ранним сроками свершения события составляет резерв времени события: R (i ) = tп (i ) tр (i ). Резервы критических событий равны нулю. На рис. 21 резервы событий представлены в ячейках F2:F6. Таким образом, события (1), (2), (4), (5) принадлежат критическому пути.

Определим временные параметры работ: ранний срок начала работы (i; j), ранний срок окончания работы (i; j), поздний срок окончания работы (i; j), поздний срок начала работы (i; j). Например, для работы (2; 3): tр (2; 3) = tр (2) = 3; tр (2; 3) = tр (2) + t23 = 3 + 2 = 5;

tп (2; 3) = tп (3) = 6; tп (2; 3) = tп (3) t23 = 6 2 = 4. Аналогичным образом рассчитываются временные параметры остальных работ (см.

рис. 21, ячейки G2:J8).

Так как сроки выполнения работ находятся в границах, определяемых tр (i; j ) и tп (i; j ), то они могут иметь разного вида резервы времени: полный резерв времени работы, независимый (свободный) резерв времени работы, частный резерв времени работы первого вида (гарантийный), частный резерв времени работы второго вида.

Вычисляем резервы времени работ задачи (на рис. 21 они находятся в столбцах К, L, M).

На основе сетевого графика составим линейный график (график Ганта), на котором изображается время начала и окончания каждой работы, а также полный резерв времени для каждой работы. По графику также определим работы, принадлежащие критическому пути. Для построения линейного графика нам понадобятся следующие данные: ранний срок начала работы, продолжительность работы и полный резерв времени работы. Скопируем эти данные в ячейки А16:С23 (см. рис. 22). В столбце D укажем, принадлежит ли данное событие критическому пути (используем тот факт, что если полный резерв времени равен нулю, то событие принадлежит критическому пути). Функция ЕСЛИ возвращает одно значение, если указанное условие истинно, и другие, если оно ложно. Пример использования данной функции см. на рис. 22, ячейка D17.

Построение диаграммы «Линейный график»

1. Щелкнуть мышью на кнопке Мастер диаграмм. На экране появится окно Мастер диаграмм (шаг 1 из 4): тип диаграмм. Во вкладке Стандартные в поле Тип выбрать Линейчатая, в поле Вид Вид 2. Нажать Далее.

2. На экране появится окно Мастер диаграмм (шаг 2 из 4):

источник данных диаграммы. Во вкладке Диапазон данных в поле Диапазон ввести данные (ячейки А17:С23), во вкладке Ряд в поле Подписи по оси Х ввести столбец «Работы» (ячейки А2:А8, рис. 21). Нажать Далее.

3. На экране появится окно Мастер диаграмм (шаг 3 из 4):

параметры диаграммы. В этом окне можно ввести легенду, а также название диаграммы и осей. Вводимый текст будет виден на экране. Нажать Далее.

4. На экране появится окно Мастер диаграмм (шаг 4 из 4):

размещение диаграммы. В поле Поместить диаграмму на листе выбрать Имеющемся. Нажать Готово. На экране появится диаграмма (рис. 22).

Для перестройки производства в порядке перевода его на более интенсивную технологию необходимо осуществить комплекс подготовительных мероприятий (работ). С этой целью создана группа из R специалистов и составлен сетевой график выполнения работ (рис. 23).

Известна продолжительность tij выполнения каждой работы (i; j) комплекса (могут быть известны и количества ресурсов, затрачиваемых при выполнении соответствующих работ rij).

1. Найти ранние и поздние сроки свершения событий и их резервы времени. Определить длину критического пути.

2. Найти ранние и поздние сроки начала и окончания работ.

3. Найти резервы времени работ (четыре типа) и построить линейный график и график интенсивности использования ресурсов.

4. Определить, в какие моменты времени для выполнения работ проекта не хватает имеющихся ресурсов.

Все необходимые числовые данные приведены в табл. 49.

Параметры задачи t12 t13 t24 t25 t35 r12 r13 r24 r25 r45

И ПРАКТИЧЕСКИЙ МИНИМУМ

5.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МИНИМУМ 1. Модели оптимального планирования. Задачи и этапы экономико-математического моделирования.

2. Модели оптимального планирования в промышленности и АПК.

3. Модели межотраслевого баланса. Основные понятия.

4. Стоимостной межотраслевой баланс.

5. Экономико-математическая модель МОБ.

6. Методы и модели массового обслуживания. Основные понятия.

7. Аналитический расчет характеристик СМО. Уравнения Колмогорова.

8. СМО с отказами.

9. Элементы теории игр. Основные понятия.

10. Матричные игры с нулевой суммой.

11. Решение матричных игр 22.

12. Статистические игры.

13. Модели управления запасами. Основные понятия.

14. Основная модель управления запасами.

15. Сетевое планирование и управление. Основные понятия.

16. Временные параметры сетевого графика.

17. Построение линейного графика (графика Ганта).

Модели оптимального планирования Задачи и этапы экономико-математического моделирования.

Под экономико-математической моделью исследуемого экономического объекта (или процесса) будем понимать его математическое описание. Экономико-математическое моделирование – это исследование таких процессов посредством их математических моделей.

Экономические процессы, как правило, управляемы, т. е. могут осуществляться различными способами, в зависимости от принятой стратегии их реализации. В связи с этим возникает задача нахождения наилучшей (в некотором смысле) из всех возможных стратегий управления этим процессом. Такую стратегию называют оптимальным (в заданном смысле) управлением, а саму задачу – оптимизационной.

Каждая экономико-математическая оптимизационная задача (модель) обязательно включает следующие принципиальные моменты:

1. Математическое описание исследуемого экономического объекта и/или соответствующих экономических процессов, т. е.

входных (экзогенных) и выходных (эндогенных) переменных, переменных текущего состояния объекта и переменных, которыми можно управлять, – управлений, а также существующих между переменными зависимостей.

2. Ограничения на управления – описание множества возможных управляющих воздействий – класс допустимых управлений.

3. Ограничения на переменные (планы, реализации, фазовые траектории), вытекающие из экономического смысла задачи.

4. Цель управления – критерий качества – выбранный количественный показатель эффективности управления, обычно представляющий собой функцию (целевую) экзогенных переменных.

В экономико-математическом моделировании рассматриваются следующие основные задачи:

– анализ экономических объектов и процессов;

– экономическое прогнозирование развития экономических процессов;

– выработка управленческих решений на всех уровнях хозяйственной иерархии.

Обычно экономико-математическое моделирование реализуется в несколько этапов:

1. Анализ законов, описывающих связи основных объектов (переменных) модели.

2. Теоретическое исследование построенной математической модели – решение прямой задачи и, как следствие, исследование свойств эндогенных переменных и их сопоставление с реальными наблюдениями изучаемых явлений.

3. Проверка адекватности модели, т. е. выяснение того, удовлетворяет (согласуется) ли гипотетическая математическая модель моделируемому экономическому процессу.

4. Последующий анализ и уточнение (модернизация) математической модели с учетом накопленных данных об изучаемом экономическом процессе.

На промышленных предприятиях накоплен немалый опыт решения экономико-математических задач, результаты которых успешно используются на отдельных предприятиях. К ним можно отнести модели формирования производственной программы предприятия, оптимального использования производственных мощностей, оптимизации состава промышленных смесей и раскроя материалов и др.

Модели оптимального планирования в промышленности и АПК. В современных экономических условиях критериями эффективности использования трудовых, материальных и финансовых ресурсов, а также критериями оценки хозяйственной деятельности предприятия могут служить чистый доход, понимаемый как разность между стоимостью продаваемой продукции и затратами на ее производство; показатель прибыли; рентабельность; показатель реализованной продукции; производительность труда, определяемая как выпуск товарной продукции, приходящийся на одного работника; показатель загрузки оборудования, его имеет смысл применять лишь тогда, когда на предприятии установлено дорогостоящее оборудование и простои его нежелательны.

Система ограничений экономико-математической модели задачи определения производственного плана предприятия должна учитывать производственные ресурсы и специфические условия работы предприятия, народнохозяйственные потребности в его продукции.

В зависимости от вида целевой функции и ограничений соответствующая оптимизационная задача называется:

1. Линейной, если ограничения и целевая функция линейны относительно переменных, и нелинейной в противном случае.

2. Задачей целочисленного программирования, если параметры управления могут принимать лишь целые значения.

3. Задачей параметрического программирования, если исходные параметры задачи могут изменяться в заданных пределах.

4. Задачей динамического программирования, если процесс выработки решения развертывается во времени или имеет многошаговый характер. Методами динамического программирования могут решаться задачи планирования, управления производством, поставками и запасами в условиях изменяющегося спроса, распределения ограниченных ресурсов, в частности, размещения капитальных вложений, замены оборудования, обновления и восстановления элементов сложных систем и т. д.

После построения модели осуществляется поиск оптимального решения. В зависимости от вида оптимизационной модели используются различные методы математического программирования.