«В. М. Марченко, Н. П. Можей, Е. А. Шинкевич ЭКОНОМЕТРИКА И ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ Допущено Министерством образования Республики Беларусь в качестве учебного пособия для студентов учреждений высшего ...»

Учреждение образования

«БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

В. М. Марченко, Н. П. Можей, Е. А. Шинкевич

ЭКОНОМЕТРИКА

И ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ

МЕТОДЫ И МОДЕЛИ

Допущено

Министерством образования Республики Беларусь в качестве учебного пособия для студентов учреждений высшего образования по экономическим специальностям В 2-х частях Часть 2. Экономико-математические методы и модели Минск 2012 УДК 519.2:330.46(075.8) ББК 22.172 М30 Рецензенты:

доктор экономических наук, профессор, проректор по научной работе и инновациям Гродненского государственного университета им. Янки Купалы Г. А. Хацкевич;

кафедра высшей математики белорусского государственного экономического университета (доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой М. П. Дымков) Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей книги или ее части не может быть осуществлено без разрешения учреждения образования «Белорусский государственный технологический университет».

Марченко, В. М.

М30 Эконометрика и экономико-математические методы и модели. В 2 ч. Ч. 2. Экономико-математические методы и модели : учеб. пособие для студентов учреждений высшего образования по экономическим специальностям / В. М. Марченко, Н. П. Можей, Е. А. Шинкевич. – Минск : БГТУ, 2012. – 214 с.

ISBN 978-985-530-124-1.

Предлагаемое учебное пособие – вторая часть (первая часть издана в 2011 году) учебно-методического комплекса по курсу «Эконометрика и экономико-математические методы и модели (ЭиЭММ)», написанного в соответствии с уровневой методологией преподавания математических дисциплин.

Содержит программу курса ЭиЭММ, конспект лекций, практикум, лабораторный практикум, теоретический и практический минимум с примерами решения типовых задач, задания для самоконтроля, образцы контрольных работ и тестов по экономико-математическим методам и моделям.

Предназначено для студентов экономических специальностей. Будет полезно всем, кто интересуется ЭиЭММ.

УДК 519.2:330.46(075.8) ББК 22. ISBN 978-985-530-124-1 (Ч. 2) © УО «Белорусский государственный ISBN 978-985-530-122-7 технологический университет», © Марченко В. М., Можей Н. П., Шинкевич Е. А.,

ВВЕДЕНИЕ

Изучение курса «Эконометрика и экономико-математические методы и модели» основывается на понятии модели.

Модель – это образ (в том числе условный, мысленный, изображение, описание, схема, чертеж, график) или образец какого-либо объекта (оригинала), приближенно воссоздающий этот объект, т. е.

модель – образ, используемый в качестве заменителя или представителя оригинала. Модель отражает, воспроизводит или замещает оригинал в его основных чертах таким образом, что ее изучение дает новую информацию об объекте или совокупности объектов. Главное свойство модели состоит в том, что она всегда аналогична (подобна) исследуемому объекту.

Моделирование – это исследование реальных явлений по их моделям. Процесс моделирования состоит из следующих этапов:

1) конструирование модели на основе предварительного изучения объекта;

2) выделение его существенных характеристик;

3) экспериментальный и теоретический анализ модели;

4) сопоставление результатов с данными об объекте;

5) корректировка модели и т. д.

Математическая модель объекта является формализованным описанием на языке математики (в виде функций, уравнений, неравенств, цифр и т. д.) процессов, протекающих в исследуемом объекте. Таким образом, под математическим моделированием понимается исследование реальных явлений по их математическим моделям.

Экономико-математическая модель – это математическая модель исследуемой социально-экономической системы или объекта (процесса). Экономико-математическое моделирование – это исследование математическими средствами экономико-математических моделей. Задачи экономико-математического моделирования: анализ экономических объектов и процессов; экономическое прогнозирование, предвидение развития экономических процессов; выработка управленческих решений на всех уровнях хозяйственной иерархии.

Отметим, однако, что не всегда данные, полученные в результате экономико-математического моделирования, могут использоваться непосредственно, как готовые управленческие решения.

Скорее, они носят «консультативный» характер. Окончательное решение должен принимать человек.

1. УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА

1.1. ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН КУРСА Курс «Эконометрика и экономико-математические методы и модели» базируется на программах курсов высшей математики, статистики, экономической теории. Весь материал классифицирован по трем уровням глубины – базовый (без звездочек), дополнительный * (одна звездочка) и углубленный ** (две звездочки). Материал, отмеченный **, является необязательным.

На изучение курса эконометрики и экономико-математических методов и моделей учебным планом специальностей 1-25 01 07 «Экономика и управление на предприятии», 1-25 01 08 «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», 1-26 02 03 «Маркетинг» предусмотрено 26 часов лекций, 17 часов практических и 8 часов лабораторных занятий.

В табл. 1 приводится примерный тематический план курса «Эконометрика и экономико-математические методы и модели» с распределением изучаемого материала по лекциям, практическим и лабораторным занятиям.

Примерный тематический план курса ЭиЭММ 1.3. Эконометрический анализ при Примечание. Лабораторные работы, выполняемые студентами разных специальностей, могут отличаться.

Примерная тематика практических занятий 1. Элементы корреляционно-регрессионного анализа.

2. Эконометрический анализ при нарушении классических предположений. Временные ряды.

3. Системы одновременных уравнений.

4. Модели межотраслевого баланса.

5. Методы и модели систем массового обслуживания.

6. Элементы теории игр.

7. Модели управления запасами.

8. Сетевое планирование и управление.

Примерная тематика лабораторных занятий 1. Построение и анализ уравнения парной линейной регрессии.

2. Построение и анализ уравнения множественной регрессии.

3. Выбор вида зависимости, построение уравнения регрессии, его анализ.

4. Модели оптимального планирования.

5. Модели межотраслевого баланса. Построение и анализ межотраслевого баланса.

6. Системы массового обслуживания. Расчет основных параметров.

7. Теория игр. Нахождение оптимальных стратегий.

8. Сетевое планирование и управление. Расчет временных параметров сетевого графика. Построение графика Ганта.

1.2. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ Основные понятия, предмет и область применения эконометрики и экономико-математического моделирования. Теоретические основы экономико-математического моделирования.* Основные понятия эконометрики Предмет и методы эконометрики. Понятие эконометрической модели, классификация моделей. Основные этапы построения эконометрической модели.

Элементы корреляционно-регрессионного анализа Виды функциональной и корреляционной зависимости. Задачи построения качественного уравнения регрессии.* Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов. Основные положения регрессионного анализа.* Оценки параметров регрессионной модели и их свойства. Интервальная оценка функции регрессии.* Коэффициент детерминации. Модель множественной регрессии. Спецификация эконометрической модели.* Методы выбора экзогенных переменных.* Методы выбора вида зависимости, нелинейная регрессия. Модели с качественными переменными.** Эконометрический анализ при нарушении классических предположений. Временные ряды Эконометрический анализ при нарушении классических предположений. Мультиколлинеарность, ее обнаружение и устранение. Гетероскедастичность и автокорреляция остатков модели: обнаружение, устранение и анализ последствий. Модели и методы анализа стационарных* и нестационарных** временных рядов.

Автокорреляционная функция.* Системы одновременных уравнений Системы одновременных уравнений. Построение и анализ многомерных эконометрических моделей.* Раздел 2. Экономико-математические Модели оптимального планирования Экономико-математические методы и модели оптимального планирования в промышленности. Экономико-математические методы и модели оптимального планирования в АПК. Экономикоматематические методы и модели финансов и кредита. Экономико-математические методы и модели в коммерческой деятельности. Экономико-математические методы и модели в управлении социально-культурной сферой.

Модели межотраслевого баланса Модели межотраслевого баланса (МОБ), основные понятия, методы построения МОБ и их использование в анализе.* Методы и модели массового обслуживания Методы и модели массового обслуживания, основные понятия и классификация систем массового обслуживания (СМО), графическое представление СМО, расчет основных характеристик.

Уравнения Колмогорова. Финальные вероятности состояний СМО. СМО с отказами. СМО с неограниченной очередью.* Элементы теории игр Моделирование конфликтных ситуаций с помощью теории игр, основные понятия и классификация. Матричные игры с нулевой суммой. Решение матричных игр в чистых стратегиях. Игры с «природой». Критерии Байеса, Лапласа, Вальда, Сэвиджа, Гурвица. Решение матричных игр в смешанных стратегиях.* Модели управления запасами Задачи и модели управления запасами и сбытом готовой продукции. Модель Уилсона. Модель производственных поставок.* Сетевое планирование и управление. Инвестиционные модели Математические методы сетевого планирования и управления (СПУ). Основные понятия СПУ. Правила построения сетевых графиков.* Расчет основных параметров сетевого графика.

Построение календарного графика. Инвестиционные модели.**

2.1. МОДЕЛИ ОПТИМАЛЬНОГО ПЛАНИРОВАНИЯ

экономико-математического моделирования 2А1 (Экономико-математическая модель). Под экономикоматематической моделью исследуемого экономического объекта (или процесса) будем понимать его математическое описание. Экономико-математическое моделирование – это исследование экономических объектов посредством их математических моделей.

Экономические процессы, как правило, управляемы, т. е. могут осуществляться различными способами, в зависимости от принятой стратегии их реализации. В связи с этим возникает задача нахождения наилучшей (в некотором смысле) из всех возможных стратегий управления этим процессом. Такую стратегию называют оптимальным (в заданном смысле) управлением, а саму задачу – оптимизационной.

2А+Б2 (Экономико-математическая оптимизационная модель). Каждая экономико-математическая оптимизационная задача (модель) обязательно включает следующие принципиальные моменты:

2.1) математическое описание исследуемого экономического объекта и/или соответствующих экономических процессов, т. е.

входных (экзогенных) и выходных (эндогенных) переменных, переменных текущего состояния объекта и переменных, которыми можно управлять, – управлений, а также существующих между переменными зависимостей;

2.2) ограничения на управления – описание множества возможных управляющих воздействий – класс допустимых управлений;

2.3) ограничения на переменные (планы, реализации, фазовые траектории), вытекающие из экономического смысла задачи;

2.4) цель управления – критерий качества – выбранный количественный показатель эффективности управления, обычно представляющий собой функцию (целевую) экзогенных переменных.

2А3 (Задачи экономико-математического моделирования).

В экономико-математическом моделировании рассматриваются следующие основные задачи:

3.1) анализ экономических объектов и процессов;

3.2) экономическое прогнозирование развития экономических процессов;

3.3) выработка управленческих решений на всех уровнях хозяйственной иерархии.

2А+Б4 (Этапы экономико-математического моделирования). Обычно экономико-математическое моделирование реализуется в несколько этапов:

4.1) анализ законов, описывающих связи основных объектов (переменных) модели;

4.2) теоретическое исследование построенной математической модели – решение прямой задачи и, как следствие, исследование свойств эндогенных переменных и их сопоставление с реальными наблюдениями изучаемых явлений;

4.3) проверка адекватности модели, т. е. выяснение того, удовлетворяет (согласуется) ли гипотетическая математическая модель моделируемому экономическому процессу;

4.4) последующий анализ и уточнение (модернизация) математической модели с учетом накопленных данных об изучаемом экономическом процессе.

На промышленных предприятиях накоплен немалый опыт решения экономико-математических задач, результаты которых успешно используются на отдельных предприятиях. К ним можно отнести модели формирования производственной программы предприятия, оптимального использования производственных мощностей, оптимизации состава промышленных смесей и раскроя материалов и др.

2.1.2. Модели оптимального планирования 2А+Б5 (Виды критериев оптимальности предприятия).

В современных экономических условиях критериями эффективности использования трудовых, материальных и финансовых ресурсов, а также критериями оценки хозяйственной деятельности предприятия могут служить:

5.1) чистый доход, понимаемый как разность между стоимостью продаваемой продукции и затратами на ее производство;

5.2) показатель прибыли;

5.3) рентабельность, определяемая как отношение прибыли к среднегодовой стоимости производственных фондов; ее величина показывает не только величину чистого дохода, полученного предприятием, но и степень использования предоставленных в его распоряжение производственных фондов;

5.4) показатель реализованной продукции;

5.5) производительность труда, определяемая как выпуск товарной продукции, приходящийся на одного работника;

5.6) показатель загрузки оборудования, его имеет смысл применять лишь тогда, когда на предприятии установлено дорогостоящее оборудование и простои его нежелательны.

Система ограничений экономико-математической модели задачи определения производственного плана предприятия должна учитывать производственные ресурсы и специфические условия работы предприятия, народнохозяйственные потребности в его продукции.

2А+Б6 (Виды оптимизационных моделей). В зависимости от вида целевой функции и ограничений соответствующая оптимизационная задача называется:

6.1) линейной, если ограничения и целевая функция линейны относительно переменных, и нелинейной в противном случае;

6.2) задачей целочисленного программирования, если параметры управления могут принимать лишь целые значения;

6.3) задачей параметрического программирования, если исходные параметры задачи могут изменяться в заданных пределах;

6.4) задачей динамического программирования, если процесс выработки решения развертывается во времени или имеет многошаговый характер. Методами динамического программирования могут решаться задачи планирования, управления производством, поставками и запасами в условиях изменяющегося спроса, распределения ограниченных ресурсов, в частности, размещения капитальных вложений, замены оборудования, обновления и восстановления элементов сложных систем и т. д.

После построения модели осуществляется поиск оптимального решения. В зависимости от вида оптимизационной модели используются различные методы математического программирования.

2А7 (Задача оптимизации производственной программы предприятия). Предприятие выпускает несколько видов продукции Пj, j = 1, n, имея ограниченный запас ресурсов Рi, i = 1, m. Известны нормы затрат ресурса Рi на производство единицы продукции П j aij. Требуется найти такой план производства продукции, который обеспечивает максимум эффекта от выпуска (максимум выручки от реализации, минимум затрат), если с j эффективность единицы продукции (например, цена).

2А8 (Математическая модель задачи оптимизации производственной программы предприятия). Сформулируем математическую модель задачи. Определим переменные модели: x j – объем производства продукции j-го вида, j = 1, n.

В этих обозначениях задача оптимизации производственной программы запишется в следующем виде (максимизируется выручка от реализации):

при ограничениях на запас i-го ресурса:

и условии неотрицательности переменных:

Сформулированная модель является задачей линейного программирования, которая может быть решена симплекс-методом (см. с. 43 учебника [2]). Если необходимо найти целочисленное решение, используется метод Гомори (см. с. 210 учебника [2]) либо метод ветвей и границ (см. с. 218 учебника [2]). Компьютерные технологии позволяют осуществлять решение задачи с использованием пакетов прикладных программ (см. с. 112 издания [4]).

2.1.3. Модели финансов и кредита.

Модели в коммерческой деятельности 2Б9 (Задача оптимизации структуры портфеля ценных бумаг). Для того чтобы сформулировать задачу оптимизации структуры портфеля ценных бумаг, введем некоторые понятия.

Ценная бумага имеет две характеристики: ожидаемую доходность и риск, которые оцениваются как:

• математическое ожидание доходности • вариация доходности где Ri – случайная величина, выражающая доходность ценной бумаги i-гo вида.

Риск может оцениваться через i – среднеквадратическое отклонение доходности ценной бумаги от ожидаемого значения:

Зависимость доходностей двух ценных бумаг выражается их ковариацией. Обозначим через Ri и R j доходности ценных бумаг i-гo и j-го видов соответственно, а через Vij их ковариацию:

Если Vij > 0, то зависимость между доходностями ценных бумаг i-гo и j-го видов будет прямая, если Vij < 0, то зависимость обратная, при Vij = 0 доходности ценных бумаг являются некоррелированными (практически независимыми) случайными величинами.

Обычно для анализа ценных бумаг используют не характеристики, а их статистические оценки, основанные на данных предыдущих периодов.

Обозначим через Rit доходность ценной бумаги i-го вида в периоде t = 1, T (Т – число периодов наблюдения). Тогда статистическая оценка ожидаемой доходности i-й ценной бумаги будет рассчитываться по формуле (см. с. 368 учебного пособия [16]):

статистическая оценка вариации еe доходности по формуле:

а статистическая оценка ковариации доходностей i-й и j-й ценных бумаг по формуле:

Портфелем ценных бумаг инвестора называют совокупность ценных бумаг, принадлежащих инвестору. Портфель p ценных бумаг имеет такие же характеристики, как и ценные бумаги: ожидаемую доходность ( R p ) и риск, выраженный вариацией доходности (Vp) или среднеквадратическим отклонением ( p ). Эффективным портфелем называют портфель, имеющий минимальный уровень риска при заданном инвестором уровне ожидаемой доходности (либо максимальный уровень ожидаемой доходности при заданном уровне риска). Для случая п = 3 характеристики ценных бумаг рассчитываются по следующим формулам (см.

с. 371 учебного пособия [16]):

где x j, j = 1, 3, – доля капитала, вложенная инвестором в ценную бумагу j-го вида.

Задача оптимизации структуры портфеля ценных бумаг состоит в следующем. Инвестор имеет совокупность ценных бумаг j = 1, n с ожидаемыми доходностями R j и оцениваемым риском в виде вариации доходности V j. Зависимости доходностей по различным видам ценных бумаг определяются в виде ковариации доходностей Vij. Требуется определить такую структуру портфеля ценных бумаг (структуру эффективного портфеля), с помощью которой обеспечивается минимальный риск портфеля при заданном уровне ожидаемой доходности R p или максимальная ожидаемая доходность при заданном уровне риска. Модель минимального риска при заданном уровне ожидаемой доходности имеет вид:

Данную модель называют моделью Марковица (см. с. учебного пособия [16]).

Модель максимальной ожидаемой доходности при заданном уровне риска:

По математической структуре сформулированные модели относятся к задачам нелинейного программирования. Для решения этих моделей используются градиентные методы, методы множителей Лагранжа. Реализация этих методов возможна на компьютере в среде MS Excel с помощью функции Поиск решения.

2.2. МОДЕЛИ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА

2А10 (Балансовая модель, балансовый метод). Под балансовой моделью понимается система уравнений, каждое из которых выражает требование баланса между производимым отдельными экономическими объектами количеством продукции и совокупной потребностью в этой продукции. При таком подходе рассматриваемая система состоит из экономических объектов, каждый из которых выпускает некоторый продукт, часть которого потребляется другими объектами системы, а часть выводится за пределы системы в качестве конечного продукта. Балансовые модели, как статические, так и динамические, широко применяются при экономико-математическом моделировании экономических систем и процессов. В основе их создания лежит балансовый метод, т. е.

метод взаимного сопоставления имеющихся материальных, трудовых и финансовых ресурсов и потребностей в них.

Примерами балансовых соответствий могут быть: соответствие наличия рабочей силы и количества рабочих мест; платежеспособного спроса населения и предложения товаров и услуг и т. д.

При этом соответствие понимается либо как равенство, либо (менее жестко) как достаточность ресурсов для покрытия потребности (следовательно, допускается наличие некоторого резерва).

Балансовый метод и создаваемые на его основе балансовые модели служат основным инструментом поддержания пропорций в народном хозяйстве. Однако необходимо отметить, что балансовые модели не содержат какого-либо механизма сравнения отдельных вариантов экономических решений и не предусматривают взаимозаменяемости ресурсов, что не позволяет сделать выбор оптимального варианта развития экономической системы.

Балансовые модели строятся в виде числовых матриц, поэтому они относятся к матричным экономико-математическим моделям.

2А+Б11 (Виды балансовых моделей). Некоторые виды балансовых моделей:

11.1) межотраслевые балансы;

11.2) частные материальные, трудовые и финансовые балансы для народного хозяйства и отдельных отраслей;

11.3) матричные финансовые планы предприятий и фирм.

Общий принцип построения и единство системы расчетов, а также аналогичность ряда экономических характеристик позволяют рассматривать структуру и основные зависимости матричных моделей на примере одной из них.

Межотраслевой баланс (МОБ) является каркасной моделью экономики – таблицей, отражающей многообразные натуральные и стоимостные связи в экономике. Анализ МОБ дает комплексную характеристику процесса формирования и использования совокупного общественного продукта страны в отраслевом разрезе.

2А12 (Совокупный общественный продукт). Совокупный общественный продукт – масса произведенных или планируемых к производству материально-вещественных благ и услуг.

В стоимостном выражении совокупный общественный продукт делится на перенесенную стоимость (износ средств труда и расход предметов труда) и вновь созданную стоимость, т. е. национальный доход.

2А13 (Натуральный МОБ). В натуральном МОБ отражается движение совокупного общественного продукта по его материально-вещественному составу. В этом заключается главная особенность и важность данного вида баланса, поскольку отображение в МОБ движения продукции в натуральных показателях позволяет определить затраты конкретных видов ресурсов на производство продукции и на этой основе найти общественные потребности в ассортименте и объемах продукции, определить целесообразные темпы и пропорции развития отдельных отраслей.

2А14 (Чистые (технологические) отрасли). Чистые (технологические) отрасли – это некоторые условные отрасли, которые объединяют все производство данного вида продукта независимо от ведомственной подчиненности субъектов хозяйствования, его производящих. Чистые отрасли – это своего рода абстракция, т. к. в реальной жизни чистых отраслей не существует, и многие продукты одновременно производятся разными субъектами хозяйствования, подчиненными различным ведомствам.

Переход от хозяйственных отраслей к чистым отраслям требует специального преобразования реальных данных хозяйственных объектов, например агрегирования отраслей, исключения внутриотраслевого оборота и т. д.

2А+Б15 (Основные предположения). МОБ строится на основе следующих предположений:

15.1) каждая отрасль производит только один продукт, т. е.

выделение отраслей осуществляется не по принципу однородности предприятий, а по принципу однородности продукта. По этой причине межотраслевые балансы иногда еще называют межпродуктовыми балансами;

15.2) каждая отрасль имеет только одну технологию производства продукции, которая характеризуется средневзвешенными коэффициентами затрат. Эти коэффициенты затрат отражают взаимосвязь между отраслями и являются отраслевыми нормативами затрат.

2А16 (Разделы МОБ). В общем виде МОБ состоит из четырех разделов, которые называются квадрантами (кв.):

Основным является I кв., т. к. его данные используются во всех расчетах и являются их основой. Во II кв. характеризуется непроизводственная сфера. В I и III кв. показываются текущие затраты материального производства; во II и IV кв. – использование продукции за пределами текущего производственного цикла: процессы накопления, непроизводственного потребления и вывода продукции за пределы региона, что в целом называется конечным потреблением.

При записи соотношений могут использоваться как натуральные (тонны, штуки, киловатт-часы и т. п.), так и стоимостные единицы измерения указанных величин, поэтому различают натуральный и стоимостной балансы.

2.2.2. Стоимостной межотраслевой баланс 2А17 (Состав стоимостного межотраслевого баланса).

Стоимостной межотраслевой баланс (СМОБ), или МОБ производства и распределения в денежном выражении, состоит из четырех квадрантов, по каждому из которых показатели баланса рассчитываются в стоимостном выражении. Основное назначение СМОБ состоит в сопоставлении затрат с доходами (по стране в целом или по тому или иному региону).

2А18 (Виды СМОБ). Различают два вида стоимостных межотраслевых балансов:

18.1) отчетный баланс. На основе отчетного СМОБ проверяется, в какой мере затраты компенсированы доходами;

18.2) плановый баланс. Плановый СМОБ позволяет сопоставить планируемые затраты с возможными доходами.

2А19 (Основные понятия). Основные понятия, которые используются при рассмотрении СМОБ:

19.1) валовая продукция – объем произведенной продукции в денежном выражении. Для отрасли это ценностный объем произведенной или планируемой к выпуску продукции. Для страны или региона это валовой внутренний продукт, который равен сумме валовых продуктов отраслей;

19.2) промежуточный продукт отрасли – это производственные затраты продукта этой отрасли в других отраслях экономики в качестве предметов труда в стоимостном выражении, т. е. стоимость текущих материальных затрат;

19.3) конечный продукт отрасли – это стоимость продукции отрасли, направляемой на накопление и потребление, т. е. совокупность фондов накопления и потребления по отрасли;

19.4) чистая продукция отрасли – это стоимость созданной в процессе производства или планируемой к производству продукции данной отрасли. Чистая продукция отрасли состоит из оплаты труда и чистого дохода (прибыли) отрасли.

2А+Б20 (Единая система цен). Для построения СМОБ используется единая система цен. Это делает возможным построение уравнений этого баланса и по строкам, и по столбцам. При разработке СМОБ могут быть использованы следующие цены:

20.1) фактические цены производителя, которые показывают, сколько стоит продукт в месте его производства. При этом не учитываются транспортно-заготовительные расходы. В ценах производителей рекомендуется строить плановые стоимостные балансы;

20.2) фактические цены конечного потребления, которые включают затраты, связанные с реализацией продукции, и отражают стоимость продукта в месте его потребления. Они выше цен производителя на торгово-транспортные расходы; эти цены зависят от того, где потребляется продукт, т. к. цена на продукт меняется от места его реализации. В ценах конечного потребления строятся отчетные СМОБ;

20.3) расчетные цены, соответствующие действительным издержкам производства продукции каждой отрасли. СМОБ в этих ценах имеют большое значение для построения рациональной системы цен и анализа эффективности общественного производства.

При использовании СМОБ удобно агрегировать различные виды продукции, при этом отрасли необязательно рассматривать как однопродуктовые, можно говорить о стоимостном вкладе продукции одной отрасли в выпуск единицы стоимости продукции другой отрасли, например, выделить удельный вес стоимости энергоресурсов в стоимости продукции как промышленности, так и сельского хозяйства. Однако для правильного планирования такие расчеты должны дополняться балансами по отдельным видам продукции (например, равные по стоимости количества бензина и дизельного топлива не могут заменить друг друга).

2А+Б21 (Схема СМОБ). СМОБ состоит из четырех квадрантов, каждый из которых характеризует отдельные стороны или процессы расширенного производства. Важнейшей частью СМОБ является I кв., поскольку он характеризует межотраслевые связи в сфере материального производства.

Первый квадрант – это таблица размерности n n, наименования строк и столбцов которой соответствуют чистым технологическим отраслям материального производства. В строках и столбцах в одинаковом порядке перечислены одни и те же отрасли материального производства (табл. 2).

Промежуточные Условно чистая Введем следующие обозначения:

• X i – валовой выпуск продукции i-й отрасли за рассматриваемый промежуток времени;

• xij – межотраслевые потоки продукции от i-й отрасли к j-й отрасли, т. е. объем продукции отрасли i, расходуемый отраслью j (производственное потребление);

• xii – главная диагональ СМОБ; ее элементы стоят на пересечении строк и столбцов одноименных отраслей и характеризуют внутреннее потребление каждой отраслью своей же продукции;

• Yi – объем продукции отрасли i, потребляемый в непроизводственной сфере, – конечное потребление. В него входят личное потребление, обеспечение общественных потребностей (образование, здравоохранение, развитие инфраструктуры и т. д.), поставки на экспорт.

Одноименные строки и столбцы характеризуют отрасль с различных сторон. Строки I кв. СМОБ отражают использование продукции данной отрасли другими отраслями, включая расходы и на собственные нужды отрасли, т. е. строки I кв. отражают межотраслевые поставки сырья, материалов, топлива, энергии и т. д. отраслям материального производства в денежном выражении. Столбцы I кв. СМОБ характеризуют состав материальных затрат в денежном выражении на производство продукции отдельных отраслей.

ции всех отраслей, потребленной в сфере материального производства, совпадает со стоимостью материальных затрат на всю продукцию:

Во II кв. СМОБ характеризуется конечное потребление каждого вида продукции, т. е. показывается, какое количество продукции отраслей материального производства поступает на цели личного и общественного потребления, на накопление основных и оборотных средств, на возмещение выбывших основных средств, а также на покрытие сальдо между ввозом и вывозом продукции. Этот квадрант можно рассматривать как распределение национального дохода на фонд накопления и фонд потребления по отраслям.

В III кв. СМОБ характеризуются затраты живого труда и основных производственных фондов, участвующих в производстве каждого вида продукции отраслей.

Чистая продукция – это сумма оплаты труда vj, j = 1, n, и чистого дохода отраслей mj, j = 1, n, и чистой продукции некоторой j-й отрасли называют условно чистой продукцией и обозначают Z j = c j + v j + m j, j = 1, n.

Общая стоимость валовой продукции j-й отрасли равна:

Четвертый квадрант баланса находится на пересечении столбцов II кв. (конечной продукции) и строк III кв. (условно чистой продукции). Этим определяется его содержание: отражение конечного распределения и использования национального дохода.

По строкам: заработная плата работников непроизводственной сферы; прибыль предприятий непроизводственной сферы; амортизация основных средств организаций непроизводственной сферы.

Данные IV кв. важны для отражения в модели межотраслевого баланса доходов и расходов населения, источников финансирования и капиталовложений, текущих затрат непроизводственной сферы; для анализа общей структуры конечных доходов по группам потребителей.

Отметим также, что валовой продукт отраслей представлен на схеме СМОБ в двух местах: в столбце и в строке. Эти строка и столбец играют важную роль для проверки правильности заполнения квадрантов (т. е. проверки баланса) и для разработки экономико-математической модели межотраслевого баланса.

2А+Б22 (Основные соотношения МОБ). Основные соотношения МОБ отражают сущность МОБ и являются основой его экономико-математической модели.

Рассматривая схему баланса по столбцам, получаем, что сумма материальных затрат любой потребляющей отрасли и ее условно чистой продукции равна валовому продукту этой отрасли:

Данное соотношение состоит из уравнений, отражающих стоимостной состав продукции всех отраслей материальной сферы.

Рассматривая схему МОБ по строкам, для каждой производящей отрасли получаем, что валовой продукт отрасли равен сумме материальных затрат потребляющих ее продукцию отраслей и конечной продукции данной отрасли:

Данное соотношение состоит из уравнений, которые называются уравнениями распределения продукции отраслей материального производства по направлениям использования. Просуммировав по всем отраслям первое и второе соотношения, получим:

Левые части выражений равны, т. к. представляют собой весь валовой общественный продукт. Правые части также равны. Следовательно, справедливо соотношение:

Равенство важнейший принцип единства материального и стоимостного составов национального дохода. Таким образом, все четыре раздела СМОБ производства и распределения продукции взаимосвязаны и дают развернутую характеристику расширенного воспроизводства экономики в целом.

2.2.3. Экономико-математическая модель МОБ 2А23 (Коэффициент прямых затрат). Коэффициент прямых затрат (коэффициент материалоемкости) показывает, какое количество продукции i-й отрасли необходимо (с учетом только прямых затрат) для производства единицы валового продукта j-й отрасли. В стоимостном балансе это стоимость продукции i-й отрасли, используемой для производства единицы стоимости продукции j-й отрасли. Коэффициент прямых затрат не зависит от объема производства и является довольно стабильной величиной во времени.

Используя коэффициент прямых затрат, межотраслевые потоки продукции можно определить по формуле:

Систему уравнений баланса можно записать в виде:

или в матричной форме:

где X – вектор-столбец валовой продукции; Y – вектор-столбец конечной продукции; A = aij материальных затрат (технологическая матрица). C учетом экономического смысла задачи все коэффициенты матрицы A и компоненты векторов X и Y должны быть неотрицательны.

2А+Б24 (Виды экономико-математических моделей МОБ).

Различают следующие математические модели МОБ:

24.1) математическая модель отчетного МОБ. Выражается в виде соотношений, которые описываются формулами:

24.2) математическая модель прогнозного МОБ:

или в матричной форме:

Модель прогнозного межотраслевого баланса также называется моделью В. Леонтьева, моделью «затраты выпуск».

2А+Б25 (Расчеты, выполняемые по модели МОБ). По модели межотраслевого баланса могут выполняться следующие типы расчетов:

25.1) если в модели известны величины валовой продукции отрасли (Xi), то можно определить объем конечной продукции отрасли (Yi) по формуле: Y = (E A)X;

25.2) если в модели известны величины конечной продукции отраслей (Yi), то можно определить величины валовой продукции каждой отрасли (Xi) по формуле: X = (E A)1Y;

25.3) если для ряда отраслей известны величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей – объемы конечной продукции, то можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых.

В вышеприведенных формулах Е – единичная матрица размерности nn, а (E A)1 – матрица, обратная матрице (E A).

Рассмотренные модели являются статическими, т. е. такими, в которых все зависимости отнесены к одному моменту времени. Эти модели разрабатываются лишь для отдельно взятых периодов, причем в рамках данных моделей не устанавливается связь с предшествующими или последующими периодами. Таким образом, народнохозяйственная динамика отображается рядом независимо рассчитанных моделей, что вносит определенные упрощения и сужает возможности анализа модели. Так, в статических моделях не анализируется распределение, использование и производственная эффективность капитальных вложений. Капиталовложения вынесены из сферы производства в сферу конечного использования вместе с предметами потребления и непроизводственными затратами, т. е. включены в конечный продукт.

2А+Б26 (Матрица коэффициентов полных затрат). Обозначив обратную матрицу через B (B = (E A)1), модель «затраты выпуск» можно записать в виде: X = BY.

Матрица B = bij называется матрицей коэффициентов полных затрат. Коэффициенты полных затрат bij показывают, сколько всего нужно произвести продукции i-й отрасли для выпуска в сферу конечного использования единицы продукции j-й отрасли.

Коэффициенты полных затрат можно применять тогда, когда необходимо определить, как скажется на валовом выпуске некоторой отрасли предполагаемое изменение объемов конечной продукции всех отраслей:

где Xi и Yj – изменения (приросты) величин валовой и конечной продукции соответственно.

2А27 (Определение). Неотрицательную матрицу A называют продуктивной, если существует такой неотрицательный вектор 2А+Б28 (Свойства матрицы коэффициентов прямых материальных затрат). Основные свойства матрицы коэффициентов прямых материальных затрат:

28.1) A 0, т. к. по определению коэффициенты прямых материальных затрат являются неотрицательными;

28.2) диагональные элементы матрицы A меньше единицы ( aii < 1 ), т. к. если бы для собственного воспроизводства в отрасли затрачивалось большее количество продукта, чем создавалось, то процесс воспроизводства нельзя было бы осуществлять;

28.3) матрица А должна быть продуктивной. Это условие означает существование положительного вектора конечной продукции Y > 0 для модели межотраслевого баланса. Соответственно, и модель Леонтьева, определяемая продуктивной матрицей A, тоже называется продуктивной.

2А+Б29 (Условия продуктивности матрицы коэффициентов прямых материальных затрат). Чтобы матрица прямых материальных затрат была продуктивной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих условий:

29.1) существует матрица (E A)1 0;

29.2) матричный ряд сходится: E + A + A + A + … = Ak, причем его сумма равна (E A) ;

29.3) все главные миноры матрицы (E A) порядка от 1 до n положительны.

Прямые затраты играют очень важную роль в составлении баланса, но не отражают в полной мере сложных количественных взаимосвязей, которые имеются в народном хозяйстве.

2Б30 (Состав полных материальных затрат). Косвенные затраты это затраты, которые входят в данный продукт не непосредственно (как прямые затраты), а через затраты других отраслей. Обозначим коэффициент косвенных материальных затрат k-го порядка через aijk ). Тогда сумма прямых и косвенных материальных затрат продукции i-й отрасли для производства единицы продукции j-й отрасли:

или в матричном виде:

Используя содержательный смысл коэффициентов косвенных материальных затрат, можно записать следующие выражения:

A(1) = AA = A2 ; A(2) = AA(1) = A3 и т. д.

Если матрица A является продуктивной, то существует матрица B = (E A)1, которая является суммой сходящегося матричного ряда:

Таким образом, bii 1, i = 1, n, – коэффициенты матрицы B, учитывающие затраты на производство продукции и саму единицу продукции, которая выходит за сферу производства. Кроме того, bij aij, i, j.

2А+Б31 (Пример). Рассмотрим формирование затрат электроэнергии на выпуск стального проката по следующей технологической цепочке:

Затраты электроэнергии при получении проката из стали будут называться прямыми затратами, те же затраты при получении стали из чугуна будут называться косвенными затратами 1-го порядка, а затраты электроэнергии при получении чугуна из руды будут называться косвенными затратами 2-го порядка на выпуск стального проката и т. д.

2.2.4. Динамические модели МОБ 2А+Б32 (Динамические модели МОБ). Динамические модели должны отражать не состояние, а процесс развития экономики, устанавливать непосредственную взаимосвязь между предыдущими и последующими этапами. В основе построения модели в виде динамической системы уравнений лежит математическая зависимость между величиной капитальных вложений и приростом продукции.

Уравнение распределения продукции вида в динамическом балансе преобразуется следующим образом:

где xij nn – матрица межотраслевых потоков текущих затрат, элементы которой совпадают с соответствующими элементами статического баланса; Фij – матрица межотnn раслевых потоков капитальных вложений, элементы которой показывают, какое количество продукции i-й отрасли направлено в текущем периоде в j-ю отрасль в качестве производственных капитальных вложений в ее основные фонды. Материально это выражается в приросте в потребляющих отраслях производственного оборудования, сооружений, производственных площадей, транспортных средств и т. д.; Yi – продукция i-й отрасли, идущая в личное и общественное потребление, накопление непроизводственной сферы, прирост оборотных фондов, на экспорт.

Таким образом, сумма потоков капиталовложений и конечного продукта динамической модели равна конечной продукции статического баланса:

Динамические модели решаются достаточно сложно и широкого применения пока не нашли. Это отчасти связано с тем, что система уравнений динамической модели является системой либо алгебраических, либо дифференциальных, либо разностных уравнений.

МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

2А33 (Цель изучения систем массового обслуживания). Очереди, т. е. ожидающие того или иного вида обслуживания заявки, являются частью повседневной жизни, и их математическое описание составляет предмет теории систем массового обслуживания (СМО).

Цель изучения СМО – выработка рекомендаций по обеспечению качества обслуживания путем изучения зависимости между количеством обслуживаемых и обслуживающих единиц СМО и установления научно-обоснованных соотношений между ними.

2А+Б34 (Основные элементы СМО). Основными элементами СМО являются источники заявок на обслуживание (клиентов), их входящий поток, дисциплины обслуживания, каналы обслуживания, образующие обслуживающую систему (сервис), и выходящий поток. Если сервис свободен, то клиент сразу попадает на обслуживание, иначе возникает очередь. Появление клиентов (заявок на обслуживание) характеризуется интервалом между их последовательными поступлениями, а функционирование сервиса – временем обслуживания. Как правило, эти параметры являются случайными. В системах массового обслуживания выделяют два потока событий: входящий поток заявок на обслуживание и выходящий поток обслуженных заявок. Эти потоки характеризуются определенными законами распределения вероятностей, в результате их взаимодействия система оказывается в том или ином своем состоянии. Расчет вероятностных характеристик состояния системы (длины очереди, времени ожидания и т. д.) – это одна из главных задач теории массового обслуживания.

2А+Б35 (Входящий поток). На практике наиболее распространенным является простейший входящий поток заявок (требований), обладающий свойствами:

35.1) стационарности, т. е. вероятность поступления определенного количества заявок в течение некоторого промежутка времени зависит только от длины этого промежутка; вероятность поступления хотя бы одной заявки за малый промежуток времени t пропорциональна длине промежутка: p (t ) t ;

35.2) ординарности, т. е. невозможности одновременного появления двух или более заявок;

35.3) отсутствия последействия, т. е. поступление заявки не зависит от того, когда и сколько заявок поступило до этого момента. В этом случае вероятность Pk (t ) поступления k заявок за промежуток времени t определяется по закону Пуассона:

где = – интенсивность потока заявок, т. е. среднее число заявок, поступающих в единицу времени (чел./мин, руб./ч, кВт/ч);

– среднее значение интервала времени между поступлением двух соседних заявок.

В большинстве систем массового обслуживания время между последовательными поступлениями заявок и время их обслуживания являются случайными величинами и описываются показательным распределением с плотностью а средний интервал времени между последовательными заявками равен:

2А+Б36 (Выходящий поток). Выходящий поток заявок связан с потоком обслуживания в канале, где длительность обслуживания tобсл является случайной величиной и часто подчиняется показательному закону распределения с плотностью где = – интенсивность потока обслуживания, т. е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени (чел./мин, руб./день, кг/ч); tобсл – среднее время обслуживания.

2А37 (Интенсивность нагрузки). Важной характеристикой СМО, объединяющей и, является интенсивность нагрузки (коэффициент загрузки) 2Б38 (Дисциплина очереди). Чтобы анализировать работу СМО, следует определить правила формирования и обслуживания очереди, которые называют дисциплиной очереди. Наиболее распространенный принцип ее построения основан на правиле «первым пришел – первым обслуживаешься» (часто обозначается аббревиатурой FIFO – от англ. First-In-First-Out). Второе правило – «последним пришел – первым обслуживаешься» (обозначается аббревиатурой LIFO – от англ. Last-In-First-Out). Может использоваться случайный отбор заявок, учет определенных приоритетов, а также вводиться ограничение на время пребывания заявки в очереди.

2А+Б39 (Классификация СМО). Обычно решение ждать обслуживания или отказаться от него определяется длиной очереди.

Поэтому при моделировании учитывают максимально допустимое количество m заявок в очереди. Возможны следующие случаи:

39.1) m = 0 – без очереди, системы с отказами, в которых при занятости всех каналов обслуживания заявка не встает в очередь и покидает систему необслуженной;

39.2) m = – очередь не ограничена, системы с неограниченным ожиданием, в которых заявка встает в очередь, если в момент ее поступления все каналы были заняты;

39.3) m > 0 – с ограниченной очередью, системы смешанного типа с ожиданием и ограниченной длиной очереди: заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все места в очереди заняты, а заявка, попавшая в очередь, обслуживается обязательно.

Считается, что заявки, которым не оказалось места в очереди, навсегда теряются.

2А+Б40 (Виды СМО). Часто система обслуживания содержит несколько обслуживающих каналов, которые можно выбирать. По числу каналов обслуживания СМО делятся на одноканальные и многоканальные. Примером могут служить рабочие места кассиров в супермаркетах. В зависимости от расположения источника заявок системы могут быть разомкнутыми (источник заявок находится вне системы) и замкнутыми.

2Б41 (Обслуживание как марковский случайный процесс).

Случайный процесс называется марковским, если для любого момента времени вероятностные характеристики процесса зависят только от его состояния в данный момент, но не зависят от того, когда и как он пришел в это состояние. Тогда при прогнозировании будущего не требуется учитывать прошлое (подробнее см. в пособии [14]).

2А+Б42 (Марковский процесс с дискретными состояниями). На практике широко используются марковские процессы с дискретными состояниями, т. е. предполагается, что все возможные состояния системы можно перечислить. Считается, что переход процесса из одного состояния в другое происходит практически мгновенно и вероятности переходов известны. Рассмотрим процесс с дискретным шагом по времени. Пример такого процесса с тремя состояниями приведен на рис. 1.

Рис. 1. Пример процесса с тремя состояниями Для аналитического описания используется матрица вероятностей переходов где pij – вероятность перехода процесса из i-го состояния в j-е состояние.

2.3.2. Аналитический расчет характеристик СМО.

2А+Б43 (Важнейшие характеристики СМО). Одной из важнейших характеристик СМО является длина очереди. Если она велика, то это ведет к потере потенциальных заявок (клиентов), а следовательно, к снижению конкурентоспособности. Длина очереди – это случайная величина, но ее математическое ожидание (среднюю длину) можно рассчитать, как и другие важные характеристики:

– вероятность отклонения заявки;

– вероятность обслуживания заявки;

– среднее число заявок, обслуживаемых за единицу времени;

– среднее время пребывания заявки в системе.

2А+Б44 (Уравнения Колмогорова). Вывод аналитических зависимостей основывается на уравнениях Колмогорова дифференциальных уравнениях, в которых неизвестными функциями являются вероятности состояний системы.

Рассмотрим СМО с N возможными состояниями: S1, S2, …, SN и простейшим входящим потоком заявок.

Тогда вероятность перехода системы из i-го состояния в j-е состояние за малый промежуток времени t определяется соотношением pij (t ) ij t, где ij – плотность вероятности перехода системы из i-го состояния в j-е состояние.

Найдем вероятность p1 (t + t ) того, что в момент (t + t ) СМО будет находиться в состоянии S1, при условии, что в момент t она с вероятностью pi (t ), i = 1, N, находится в состоянии Si. Эта вероятность (на основании теорем сложения и умножения вероятностей) равна сумме произведений вероятностей pi (t ) нахождения системы в i-м состоянии в момент времени t и условных вероятностей pij (t ) перехода СМО из i-го состояния в j-е состояние за время t, что с учетом p11 (t ) +... + p1N (t ) = 1 (вероятность достоверного события) дает:

Или, выразив вероятности переходов через интенсивности потоков, имеем:

Записав аналогичные представления для pi (t ), i = 2, N, разделив полученные соотношения на t и устремив t 0, получим систему дифференциальных уравнений (или просто систему уравнений) Колмогорова:

Это уравнение выражает производную вероятности j-го состояния системы как разности двух сумм. Первая сумма – это скалярное произведение вектора состояний системы на вектор интенсивностей потоков, переводящих систему в j-е состояние. Из нее вычитается сумма интенсивностей всех потоков, выводящих систему из j-го состояния, умноженная на вероятность этого состояния. Полученную систему уравнений можно дополнить очевидным соотношением p j (t ) = 1 и опустить одно из уравнений системы.

Задавая начальные условия (характеризующие исходное состояние СМО) и решая соответствующую задачу Коши для системы уравнений Колмогорова, определяем соответствующие вероятности pi (t ), i = 1, N, нахождения СМО в состояниях Si в текущий момент времени.

2А+С45 (Финальные вероятности состояний СМО). Анализ решения задачи Коши для системы уравнений Колмогорова показывает, что для достаточно больших значений t, независимо от начальных условий, это решение стабилизируется и практически не зависит от времени. Таким образом, с течением времени функционирование СМО переходит в стационарный (установившийся) режим, т. е. существуют Значения pi, i = 1, N, вероятностей состояний, соответствующие стационарному режиму работы СМО, называются финальными вероятностями. Полагая в системе дифференциальных уравнений dpi (t ) = 0, получаем систему алгебраических уравнений для опреdt деления финальных вероятностей pi, i = 1, N. Аналогично осуществляется аналитический расчет и других СМО.

2А+Б46 (Задача Эрланга). Рассмотрим n-канальную СМО с отказами (заявка не обслуживается, если все каналы заняты). Для такой системы состояния S1, S2, …, Sn соответствуют числу занятых каналов, состояние S0 означает отсутствие заявок. Предполагается, что все каналы в равной степени доступны всем заявкам, поток заявок является простейшим с интенсивностью, время tобсл обслуживания одной заявки распределено по показательному закону с интенсивностью освобождения каждого канала СМО.

Требуется произвести аналитический расчет основных характеристик СМО.

2Б+С47 (Система уравнений Эрланга). Обозначим через pi (t ), i = 0, n, вероятность нахождения СМО в состоянии Si в момент времени t. Учитывая, что за малый промежуток времени t переход СМО в i-е состояние возможен только из состояний Si или Si+1 (отметим, что существует (i + 1) возможность перейти из состояния Si+1 в состояние Si (в зависимости от того, какой из занятых (i + 1) каналов освободится) либо остаться в состоянии Si в течение времени t (кроме состояний S0 и Sn, где возможен переход из S1 и Sn1 соответственно)), по аналогии с п. 2.3.2 получаем систему уравнений Эрланга:

с начальными условиями (задача Коши) вида p0(0) = 1; pk(0) = 0, k = 1, n (в начальный момент все каналы свободны).

Для нахождения финальных вероятностей pk = lim pk (t ), k = 1, n, полагаем в системе Эрланга = 0, pk(t) заменяем на pk, в результате приходим к системе линейных алгебраических уравнений:

формулы для расчета установившегося режима.

2А+Б48 (Формулы для расчета установившегося режима).

Формулы для расчета установившегося режима:

48.1) вероятность простоя каналов обслуживания, когда нет заявок (k = 0):

48.2) вероятность отказа в обслуживании, когда поступившая на обслуживание заявка найдет все каналы занятыми (k = n):

48.3) вероятность обслуживания:

48.4) среднее число занятых обслуживанием каналов:

48.5) доля каналов, занятых обслуживанием:

48.6) абсолютная пропускная способность СМО, т. е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени:

2.3.4. СМО с неограниченным ожиданием 2Б49 (Формулы для установившегося режима). Заявка, поступившая в систему с неограниченным ожиданием (см. с. учебного пособия [9]) и нашедшая все каналы занятыми, становится в очередь, ожидая освобождения одного из каналов. Основной характеристикой качества обслуживания является время ожидания (время пребывания заявки в очереди). Для таких систем характерно отсутствие отказа в обслуживании, т. е. робсл = 1; ротк = 0.

Формулы для расчета установившегося режима:

49.1) вероятность простоя каналов, когда нет заявок (k = 0):

новится бесконечной;

49.2) вероятность занятости обслуживанием k заявок:

49.3) вероятность занятости обслуживанием всех каналов:

49.4) вероятность того, что заявка окажется в очереди:

49.5) среднее число заявок в очереди:

49.6) среднее время ожидания заявки в очереди:

49.7) среднее время пребывания заявки в СМО:

49.8) среднее число занятых обслуживанием каналов:

49.9) среднее число свободных каналов:

49.10) коэффициент занятости каналов обслуживания:

49.11) среднее число заявок в СМО:

2Б50 (Формулы для установившегося режима). Заявка, поступившая в систему с ожиданием и с ограниченной длиной очереди (см. с. 200 учебника [1]) и нашедшая все каналы и ограниченную очередь занятыми, покидает систему необслуженной. Основной характеристикой качества системы является отказ заявке в обслуживании.

Ограничения на длину очереди могут быть вызваны:

1) ограничением сверху времени пребывания заявки в очереди;

2) ограничением сверху длины очереди;

3) ограничением общего времени пребывания заявки в системе.

Формулы для расчета установившегося режима:

50.1) вероятность простоя каналов обслуживания, когда нет заявок (k = 0):

50.2) вероятность отказа в обслуживании:

50.3) вероятность обслуживания:

50.4) абсолютная пропускная способность:

50.5) среднее число занятых каналов:

50.6) среднее число заявок в очереди:

50.7) среднее время ожидания обслуживания:

50.8) среднее число заявок в системе:

50.9) среднее время пребывания в системе:

2Б+C51 (Метод имитационного моделирования). Аналитические зависимости найдены для большого числа СМО, но они почти всегда предполагают марковский характер процесса и определяют только стационарное состояние системы. Поэтому широкое распространение получил метод имитационного моделирования СМО, который позволяет анализировать системы с любой структурой. Он основан на многократном «проигрывании»

функционирования системы. При этом как момент поступления очередной заявки, так и продолжительность ее обслуживания (если она будет обслуживаться) задаются конкретными значениями, полученными с помощью датчиков псевдослучайных чисел. С малым шагом по времени рассчитываются последовательные состояния системы. Если накопить достаточное количество таких реализаций поведения системы, то стандартной статистической обработкой можно найти искомые характеристики системы с желаемой степенью точности. Для сложных систем метод статистического моделирования, как правило, оказывается проще аналитического подхода, а в ряде случаев ему просто нет альтернативы.

Существуют пакеты прикладных программ (подробнее см.

учебное пособие [20]), которые позволяют задавать структуру моделируемой системы и устанавливать параметры потоков случайных событий. Если ограничиться использованием такой программы, как MS Excel, то посредством ее встроенных средств на отдельных листах можно получить реализации случайных потоков, но расчет их взаимодействия придется выполнять самостоятельно.

2А52 (Понятие конфликта). В процессе целенаправленной человеческой деятельности возникают ситуации, в которых интересы отдельных лиц (групп, сторон) либо прямо противоположны (антагонистичны), либо, не будучи непримиримыми, все же не совпадают. Такие ситуации называются конфликтными. Эффективность решений, принимаемых в ходе конфликта каждой из сторон, зависит от действий другой стороны. При этом ни одна из сторон не может полностью контролировать положение, т. к. и той и другой стороне решения приходится принимать в условиях неопределенности.

2А+Б53 (Примеры). Примерами конфликтных ситуаций являются спортивные игры, арбитражные споры, военные учения и т. д., когда каждая из конфликтующих сторон стремится добиться наилучшего для себя результата. Подобного рода ситуации встречаются и в различных сферах производственной деятельности.

2А54 (Теория игр). Теория игр – это математическая теория конфликтных ситуаций, разрабатывающая рекомендации по наиболее рациональному образу (стратегии) действий каждого из участников в ходе конфликтной ситуации (игры), т. е. таких действий, которые обеспечивали бы ему наилучший результат. Становление и систематическое изучение теории игр и ее приложений в экономике начинается с выходом в 1944 г. монографии Дж. фон Неймана и О. Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение».

Игровую схему можно придать многим ситуациям в экономике. Здесь выигрышем могут быть эффективность использования ресурсов, производственных фондов, величина прибыли, себестоимость и т. д.

2А55 (Игра). Игра – это совокупность правил, определяющих возможные действия (чистые стратегии) участников игры (игроков).

Суть игры в том, что каждый из участников принимает такие решения в развивающейся конфликтной ситуации, которые, как он полагает, обеспечивают ему наилучший результат (исход) игры. Игра – это упрощенная математическая модель конфликтной ситуации.

2А56 (Стратегия, оптимальная стратегия). Стратегия – это совокупность правил, однозначно определяющих последовательность действий игрока в каждой конкретной ситуации, складывающейся в процессе игры. Оптимальной стратегией называется стратегия, которая обеспечивает игроку наилучший исход игры при предположении, что противник использует наилучшую для себя стратегию.

2А57 (Исход игры, партия). Исход (плата) игры – это значение некоторой функции, которая называется функцией выигрыша (платежной функцией). Далее будем рассматривать только такие игры, в которых выигрыш выражается количественно: стоимостью, баллами и т. д. Величина выигрыша зависит от стратегии, применяемой игроками. Игроки – это участники игры с различными группами интересов. Партией называют каждый вариант реализации игры. В партии игроки совершают конкретные ходы.

2А58 (Ход игрока). Ход – это выбор и реализация игроком одного из допустимых вариантов поведения. Ходы бывают:

58.1) личные, когда игрок выбирает и реализует ту или иную свою конкретную чистую стратегию. Например, в шахматах каждый ход является личным;

58.2) случайные, когда выбор чистой стратегии производится с использованием какого-либо механизма случайного выбора (например, с применением таблицы случайных чисел).

2А+Б59 (Классификация игр). Игры можно классифицировать по разным признакам:

59.1) по числу игроков. Принципиальное значение при классификации по количеству игроков имеют три варианта: один, два и более двух игроков. Если при этом игроки объединяются, например, в две группы, преследующие противоположные цели, то имеет место игра двух «лиц» – парная игра;

59.2) в зависимости от числа стратегий игры делятся на конечные и бесконечные. Примером игры с бесконечным числом стратегий может служить ситуация «продавец – покупатель», когда как цена, так и количество товара могут быть названы любыми;

59.3) в зависимости от числа исходов: игры качества (конечное или счетное число исходов) и игры степени (континуум возможных исходов);

59.4) в зависимости от взаимоотношений участников различают игры бескоалиционные, или некооперативные (участники не имеют права заключать соглашения), и коалиционные, или кооперативные. Примером может служить ситуация, когда несколько производителей одного товара могут воздействовать на его рыночную цену, устанавливая ее либо независимо друг от друга, либо заключив между собой соглашение;

59.5) по характеру выигрышей игры делятся на игры с нулевой суммой и ненулевой суммой. В первых (игры двух лиц с нулевой суммой) общий капитал игроков не меняется, а лишь перераспределяется в ходе игры, в связи с чем сумма выигрышей равна нулю (проигрыш принимается как отрицательный выигрыш). Так как имеется прямой конфликт интересов, то их также называют антагонистическими. Однако если возникает новая стоимость, которую можно разделить между игроками, то это игра с ненулевой суммой, т. е. сумма выигрышей отлична от нуля. Например, при проведении лотереи часть взноса участников идет организатору лотереи;

59.6) по виду функции выигрыша игры делятся на матричные, биматричные, непрерывные, выпуклые, сепарабельные и др. В матричных играх (при двух участниках) выигрыши первого игрока задаются матрицей, в биматричных выигрыши каждого игрока задаются своей матрицей. Другие типы таких игр различаются видом аналитического выражения платежной функции;

59.7) по количеству ходов игры делятся на одноходовые (выигрыш распределяется после одного хода каждого игрока) и многоходовые (выигрыш распределяется после нескольких ходов).

Многоходовые игры в свою очередь делятся на позиционные, стохастические, дифференциальные и др.;

59.8) в зависимости от объема имеющейся информации различают игры с полной и неполной информацией;

59.9) неопределенность может быть обусловлена как сознательным противодействием противника, так и неизвестными обстоятельствами (неопределенностью). Игры, в которых участники стремятся добиться для себя наилучшего результата, сознательно выбирая допустимые правилами игры способы действий, называют иногда стратегическими.

Игра с природой – это игра двух лиц, в которой один из участников безразличен к результату игры. Такие игры встречаются в экономической практике, когда приходится формализовать (моделировать) ситуации, придавая им игровую схему, в которой один из участников безразличен к результату игры. Под термином «природа» понимают всю совокупность внешних обстоятельств, в которых сознательному игроку (иногда его называют статистиком, а соответствующую игру – статистической) приходится принимать решение. Например, определение объема выпуска сезонной продукции в ожидании наиболее выгодного для ее реализации уровня спроса; формирование пакета ценных бумаг в расчете на высокие дивиденды и т. д. В таких играх в качестве второго игрока выступает: в первом случае – уровень спроса; во втором – размеры ожидаемой прибыли.

В играх с природой степень неопределенности для сознательного игрока (статистика) возрастает: если в стратегических играх каждый из участников постоянно ожидает наихудшего для себя ответного действия партнера, то в статистических играх природа, являясь безразличной в отношении выигрыша инстанцией, может предпринимать и такие ответные действия (будем говорить: реализовывать такие состояния), которые ей совершенно невыгодны, а выгодны сознательному игроку (статистику).

2.4.2. Матричные игры с нулевой суммой 2А60 (Платежная матрица). Матричная игра m n (с нулевой суммой) – это антагонистическая игра, в которой первый игрок А использует возможные стратегии A1, A2, …, Am, а его противник (оппонент) B – стратегии B1, B2, …, Bn. Если игрок A применит стратегию Ai, а оппонент – стратегию Bj, то плата aij игры будет выигрышем игрока А (проигрышем противника В) для aij > 0. Таким образом, игра с нулевой суммой полностью описывается так называемой платежной матрицей игры (табл. 3).

Стратегии игрока А Если игра состоит только из личных ходов, то выбор пары чистых стратегий (Ai; Bj) единственным образом определяет исход (результат) игры. Если же в игре используются случайные ходы, то исход игры определяется средним значением (математическим ожиданием) выигрыша. Платежная матрица является табличной записью функции выигрыша. В теории матричных игр всегда предполагается, что в платежной матрице записаны выигрыши игрока А.

2А61 (Принцип гарантированного результата). При поиске оптимальных стратегий игроки опираются на основной принцип теории игр – принцип гарантированного результата (принцип максимина), в соответствии с которым каждый игрок, считая партнера по игре разумным противником, выбирает свои действия в предположении, что соперник не упустит возможности использовать в своих интересах любую его ошибку.

При выборе своего хода игрок А анализирует платежную матрицу, определяя для каждой своей чистой стратегии Ai, i = 1, m, минимальное значение i ожидаемого выигрыша: i = min aij, i = 1, m (считая, что противник играет наилучшим образом), а затем из всех X j = xij + Z j выбирает наибольшее = max i и соответi ствующую ему чистую (максиминную) стратегию Аi. Игрок А гарантирует себе выигрыш не хуже при любых стратегиях игрока В, и не существует чистой стратегии игрока А, которая давала бы ему больший выигрыш, чем, при всех стратегиях игрока В.

2А62 (Нижняя чистая цена игры). Число = max min aij наj зывается нижней чистой ценой игры (максимином). Она выражает выигрыш игрока А при использовании максиминной стратегии независимо от действий игрока В.

2А63 (Верхняя чистая цена игры). Число, определяемое по формуле называется верхней чистой ценой игры (минимаксом). Она показывает, какой максимальный проигрыш (гарантированный результат) может быть у игрока В при подходящем выборе им своей чистой стратегии (независимо от действий игрока А). Соответствующая стратегия игрока В называется минимаксной.

2А+Б64 (Теорема). В матричной игре нижняя чистая цена игры не превосходит верхней чистой цены игры, т. е.

= max min aij min max aij =.

2А65 (Чистые стратегии). Стратегии Ai, i = 1, m, первого игрока и стратегии B j, j = 1, n, второго игрока (возможные их ходы) принято называть чистыми стратегиями игроков.

2А+Б66 (Ситуация равновесия в чистых стратегиях). Если для чистых стратегий Ai, Bj игроков А и В соответственно имеет место равенство = = aij, то пару чистых стратегий (Ai; Bj) называют седловой точкой матричной игры, элемент aij матрицы, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца, – седловым элементом платежной матрицы, а число v = = – чистой ценой игры.

Ситуация, когда ни один из игроков не имеет разумных оснований для изменения своей стратегии, называется ситуацией равновесия.

Если матричная игра имеет седловую точку, т. е. в платежной матрице присутствует элемент, который является одновременно минимальным в строке и максимальным в столбце, то она решается в чистых стратегиях. Чистые стратегии (Ai; Bj), образующие седловую точку, и будут оптимальными, а решением игры считается тройка объектов { Ai ; B j ; v}.

Про игры с седловой точкой говорят, что они решаются в чистых стратегиях, т. к. последние полностью определяют рациональное поведение конфликтующих сторон. Платежная матрица может иметь несколько седловых точек.

2А+Б67 (Смешанные стратегии). Смешанной стратегией p первого (А) игрока называется вектор Аналогично вектор q – смешанная стратегия игрока В:

Здесь pi и qj – вероятности, с которыми игроки А и В в ходе игры выбирают свои чистые стратегии Ai и Bj.

Чистая стратегия Ai игрока А может рассматриваться как частный случай смешанной стратегии, i-я компонента которой равна единице, а остальные нулю. Аналогично для игрока В.

2А68 (Пример). Пусть первый игрок имеет т, а второй – п чистых стратегий, тогда каждую пару Y чистых стратегий первого и второго игроков можно представить в виде единичных векторов:

2А+Б69 (Платежная функция). Применяя смешанные стратегии, игроки выбирают свои чистые стратегии случайно и независимо друг от друга, и, таким образом, случайной становится веmn личина выигрыша (проигрыша): f ( p; q ) = aij pi q j – плата (платежная функция) игры с платежной матрицей aij. mn 2А+Б70 (Оптимальные смешанные стратегии). Смешанные стратегии p = ( p1, p2,..., pm ); q = (q1, q2,..., qn ) называются оптимальными, если для произвольных стратегий p = ( p1, p2,..., pm ); q = (q1, q2,..., qn ) выполняется условие:

т. е. точка ( p ; q ) является седловой точкой функции f ( p; q ).

Использование в игре оптимальных смешанных стратегий обеспечивает первому игроку выигрыш, не меньший, чем при использовании им любой другой стратегии р, второму игроку – проигрыш, не больший, чем при использовании им любой другой стратегии q.

2А+Б71 (Оптимальное решение). Значение платежной функции при оптимальных стратегиях определяет цену игры v, т. е.

f ( p ; q ) = v, причем v. Совокупность оптимальных стратегий и цены игры составляет решение игры.

2А+Б72 (Теорема о минимаксе) (см. с. 218 учебника [1]).

В смешанных стратегиях любая конечная матричная игра имеет седловую точку, причем min max f ( p; q ) = max min f ( p; q ) = f ( p ; q ), где p, q – оптимальные смешанные стратегии игроков А и В соответственно.

2Б73 (Теорема). Для того чтобы смешанные стратегии p и q были оптимальными для игроков А и В в матричной игре aij ценой v, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства:

Таким образом, если игрок А применяет оптимальную смешанную стратегию p, а игрок В – любую чистую стратегию, то выигрыш игрока А будет не меньше цены игры v; если игрок В использует оптимальную смешанную стратегию q, а игрок А – любую чистую стратегию, то проигрыш игрока В не превысит цены игры.

2А+Б74 (Активные стратегии). Чистые стратегии игрока, входящие в его оптимальную смешанную стратегию с вероятностями, отличными от нуля, называются активными стратегиями игрока.

2Б75 (Теорема) (см. с. 219 учебника [1]). Если один из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то его выигрыш остается неизменным и равным цене игры независимо от того, какую стратегию применяет другой игрок, если только тот не выходит за пределы своих активных стратегий.

2А+Б76 (Доминирование стратегий). Решение игры можно существенно упростить, если своевременно выявить имеющееся в платежной матрице доминирование одних стратегий над другими, т. к. это позволит предварительно сократить размеры матрицы.

Игрок А заинтересован в максимизации выигрыша. Поэтому в платежной матрице сравниваем элементы строк s и t, а именно элементы asj с элементами atj для всех j = 1, n. Если asj atj, j = 1, n, то выигрыш игрока А при стратегии As будет больше, чем при стратегии At, какую бы чистую стратегию не применил игрок В. В этом случае стратегия As доминирует над стратегией At. Стратегию As называют доминирующей, а стратегию At – доминируемой.

Поскольку игрок В заинтересован в минимизации проигрыша, доминирующим будет столбец с наименьшими элементами. Например, сравниваем элементы r-го и l-го столбцов: если air ail, i = 1, m, то игроку В выгодно выбрать стратегию Bl, которая доминирует над стратегией Br. Стратегия Bl называется доминирующей, а стратегия Br – доминируемой.

2Б77 (Теорема) (см. с. 221 учебника [1]). Пусть I игра, в матрице которой стратегия Ak игрока А доминирует над стратегией As, а I' игра, матрица которой получена из матрицы игры I исключением s-й строки. Тогда: а) цена игры I' равна цене игры I;

б) оптимальная смешанная стратегия q = (q1, q2,..., qn ) игрока В в игре I' является также его оптимальной смешанной стратегией и в игре I; в) если p = ( p1,..., ps 1, ps +1,..., pm ) оптимальная смешанная стратегия игрока А в игре I', то его смешанная стратегия р = (р1,..., рs1, 0, ps+1,..., рm) является оптимальной в игре I.

Таким образом, если стратегия As доминирует над стратегией At, то вероятность применения последней в оптимальной смешанной стратегии р* игрока А равна нулю, а поэтому t-ю строку можно исключить из платежной матрицы. Если стратегия Bl игрока В доминирует над стратегией Br, то r-й столбец можно исключить из платежной матрицы.

2А+Б78 (Дублирование стратегий). Если в матричной игре имеем строки (столбцы) с одними и теми же элементами, то такие строки (столбцы), а соответственно, и стратегии игроков А и В называются дублирующими.

В матричной игре доминируемые и дублирующие строки (столбцы) можно опускать, что не влияет на решение игры, но позволяет уменьшить размерность платежной матрицы.

2Б79 (Теорема) (см. с. 119 учебника [2]). Оптимальные смешанные стратегии р* и q* игроков А и В соответственно в матричной игре aij с ценой v будут оптимальными и в матричной игре baij + c Поскольку оптимальные смешанные стратегии игроков в результате упрощений платежной матрицы не меняются, то все получаемые в процессе преобразований матрицы называют эквивалентными.

2А+Б80 (Сведение матричной игры к системе линейных алгебраических уравнений). Игра 22 является наиболее простым случаем конечных матричных игр. В этой игре каждый из игроков обладает только двумя стратегиями.

Рассмотрим матричную игру 22 (табл. 4).

Стратегии А Если игра 22 имеет седловую точку, то ее решение очевидно.

Предположим, что игра не имеет седловой точки, т. е..

Требуется найти оптимальные смешанные стратегии игроков p* = ( p1, p2 ) и q* = (q1, q2 ), а также цену игры v.

Очевидно, что в игре 22, не имеющей седловой точки, обе стратегии игроков являются активными. Поэтому если игрок A будет применять свою оптимальную смешанную стратегию, то, независимо от действий игрока В, выигрыш его будет равен цене игры v (теорема 2Б75).

Игрок А будет применять стратегию А1 с вероятностью p1 и стратегию А2 с вероятностью p2. Если игрок В отвечает своей стратегией В1, то выигрыш игрока А определяется из уравнения:

Если же игрок В будет применять стратегию В2, то выигрыш игрока А не изменится и будет определяться равенством:

Учитывая условие p1 + p2 = 1, получим систему трех уравнений с тремя неизвестными:

Решив эту систему, найдем оптимальное решение для игрока А:

p = ( p1, p2 ) и цену игры v.

Аналогично определяется оптимальная стратегия игрока В из системы уравнений:

Таким образом, матричная игра сведена к системе линейных уравнений.

2А+Б81 (Графическое решение игр вида (2n) и (m2)). Графический метод применим к играм, в которых хотя бы один игрок имеет только две стратегии. Рассмотрим игру 2n (табл. 5).

Первый игрок (А) Предположим, что игра не имеет седловой точки. Введем обозначения: p = p1 – вероятность применения первым игроком 1-й стратегии; p2 – вероятность применения первым игроком 2-й стратегии, причем p2 = 1 p; q1 – вероятность применения вторым игроком 1-й стратегии; q2 – вероятность применения вторым игроком 2-й стратегии и т. д.; qn – вероятность применения вторым игроком n-й стратегии.

Ожидаемый выигрыш первого игрока при применении вторым игроком 1-й стратегии составит:

Аналогично найдем ожидаемые выигрыши первого игрока при применении вторым игроком 2, 3,..., n-й стратегий. Полученные данные поместим в табл. 6.

Чистые стратегии второго игрока Ожидаемые выигрыши первого игрока Из табл. 6 видно, что ожидаемый выигрыш первого игрока линейно зависит от p1. На плоскости Opv построим графики ожидаемых выигрышей первого игрока, которые представляют собой прямые, проходящие через точки (0; a2i ) и (1; a1i ), i = 1, n.

Первый игрок должен выбирать стратегии, позволяющие максимизировать его минимальный ожидаемый выигрыш. Поэтому оптимальная стратегия первого игрока определяется как точка пересечения прямых, максимизирующих его минимальный ожидаемый выигрыш. Поскольку игрок А может рассчитывать только на выигрыш v = v ( p) = min{v1 ( p ),..., vn ( p)}, то на плоскости Opv рисуем график зависимости v = v ( p) и находим наивысшую точку v = v ( p ) = max v ( p ) на этом графике, ордината которой выражает цену игры v, а стратегия ( p, 1 p ) является оптимальной смешанной стратегией игрока А.

Аналогично определяется оптимальная стратегия второго игрока. Она находится как точка пересечения прямых, минимизирующих его максимальные ожидаемые проигрыши.

2А+Б82 (Статистическая игра). Под статистической игрой (игрой с природой) будем понимать парную матричную игру, в которой один игрок заинтересован в наиболее выгодном для него исходе игры, а второй игрок (природа) безразличен к результату игры.

В отличие от матричных игр, в которых участвуют два игрока с противоположными интересами (один игрок старается максимизировать плату, а другой – минимизировать), в реальных задачах, приводящихся к игровым, зачастую имеется неопределенность, вызванная отсутствием информации об условиях, в которых осуществляется действие (погода, покупательский спрос и т. д.) и которые не зависят от сознательных действий другого игрока. Такие игры относят к играм с природой. Сознательный игрок в играх с природой старается действовать осмотрительно, второй игрок (природа, покупательский спрос и т. д.) действует случайно.

2А+Б83 (Платежная матрица в статистической игре).

Предположим, что в игре с природой сознательный игрок А может использовать m чистых стратегий: A1, A2, …, Am, а природа П может реализовать n различных состояний: П1, П2, …, Пn. Игроку А могут быть известны вероятности q1, q2, …, qn, с которыми природа реализует свои состояния, но он может и не знать их.

Действуя против природы, игрок А имеет возможность использовать как чистые стратегии Ai, так и смешанные стратегии.

Если игрок А в состоянии оценить (величиной aij) последствия применения каждой своей чистой стратегии Ai при каждом состоянии Пj природы, то игру можно задать матрицей:

которая называется платежной.

2А+Б84 (Решение статистической игры). Решение статистической игры состоит из следующих этапов:

84.1) выявление и отбрасывание дублирующих и доминируемых стратегий лица, играющего с природой; стратегии природы отбрасывать нельзя;

84.2) построение и исследование матрицы рисков;

84.3) оценка выигрыша при различных игровых ситуациях:

критерии Вальда, Байеса, Сэвиджа и Гурвица и др.;

84.4) вывод о выборе наилучшей стратегии.

Игры с природой, хотя и являются частным случаем парных матричных игр, обладают и некоторыми особенностями. Например, при упрощении платежной матрицы отбрасывать те или иные состояния природы нельзя, т. к. она может реализовать любое состояние, независимо от того, выгодно оно игроку А или нет. Кроме того, решение достаточно найти только для игрока А, поскольку природа в «рекомендациях» не нуждается. Также в играх с природой смешанные стратегии имеют ограниченное значение: они приобретают смысл только при многократном повторении игры.

Таким образом, цель решения статистической игры заключается в определении такой стратегии сознательного игрока (чистой или смешанной), которая при ее применении обеспечила бы наибольший выигрыш.

2А+Б85 (Матрица рисков). Риском rij игрока А, когда он пользуется чистой стратегией Ai при состоянии Пj природы, называется разность между максимальным выигрышем, который он мог бы получить, если бы точно знал, что природой будет реализовано именно состояние Пj, и тем выигрышем, который он получит, используя стратегию Ai:

где j = max aij максимальный элемент j-го столбца платежной матрицы. Элементы матрицы рисков (табл. 7), соответствующие стратегиям Ai и Пj, характеризуют общую благоприятность или неблагоприятность для игрока А отдельных состояний природы.

Стратегии А 2А+Б86 (Критерии для принятия решений в статистических играх). Для принятия решений в статистических играх используются следующие критерии:

86.1) критерий Байеса критерий, основанный на известных вероятностях условий. Если известны вероятности qj состояний П j природы, то пользуются критерием Байеса, в соответствии с которым оптимальной считается чистая стратегия Ai, при которой максимизируется средний выигрыш a = max ai = max aij q j. Слеi i j = дует отметить, что в этом случае игроку A нет смысла пользоваться смешанными стратегиями. Применение в игре с природой любой смешанной стратегии р не увеличивает выигрыш игрока А, получаемый при оптимальной чистой стратегии;

86.2) принцип недостаточного основания Лапласа. Если объективные оценки состояний природы получить невозможно, то вероятности состояний природы могут быть оценены субъективно на основе принципа недостаточного основания Лапласа, согласно которому все состояния природы полагаются равновероятными, т. е. q1 =... = qn = 1 n, и оптимальной считается чистая стратегия Ai, обеспечивающая максимальное среднее значение выигрыша:

86.3) максиминный критерий Вальда. По этому критерию рекомендуется применять максиминную стратегию. Она выбирается из условия = max min aij, i = 1, m; j = 1, n. Критерий является песj симистическим: считается, что природа будет действовать наихудшим для сознательного игрока образом;

86.4) критерий максимума. Оптимальная стратегия выбирается из условия m = max max aij, i = 1, m; j = 1, n. Критерий является оптимистическим: считается, что природа будет играть наиболее благоприятно для сознательного игрока;

86.5) критерий Гурвица. Критерий рекомендует стратегию, определяемую по формуле s = max min aij + (1 ) max aij, i = 1, m;

j = 1, n, где (степень оптимизма) изменяется в диапазоне [0; 1].

Критерий придерживается некоторой промежуточной позиции, учитывающей возможность как наихудшего, так и наилучшего поведения природы. При = 1 критерий превращается в критерий Вальда; при = 0 в критерий максимума. На величину оказывает влияние степень ответственности лица, принимающего решение по выбору стратегии. Чем хуже последствия ошибочных решений, больше желание подстраховаться, тем степень оптимизма ближе к единице. В общем случае число выбирают из опыта или субъективных соображений;

86.6) критерий Сэвиджа. Суть критерия состоит в выборе стратегии, позволяющей не допустить чрезмерно высоких потерь, к которым она может привести. Согласно этому критерию, рекомендуется выбирать ту стратегию, при которой в наихудших условиях величина риска принимает наименьшее значение: r = min max rij – оптимальная стратегия, где rij элементы матрицы рисков.

2.5. МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ 2А87 (Запасы предприятия). Для нормального функционирования предприятия и фирмы обычно имеют различные запасы: сырье, основные и вспомогательные материалы, полуфабрикаты (комплектующие изделия, готовая продукция, предназначенная для продажи, и т. д.). Совокупность подобных материалов, представляющих временно не используемые экономические ресурсы, называют запасами предприятия. Другими словами, под запасом понимается все, на что имеется спрос и что временно выключено из производства.

Рассмотрим простейшие математические модели управления запасами. На рис. 2 представлены возможные графики изменения запаса Q, имеющегося на складе, во времени t, для которого рассматривается этот запас.

Под Q будем понимать количество изделий или материалов (товаров) только одного вида. Если на изделие поступает заявка, то оно отпускается, и значение Q падает. Предположим, что величина спроса непрерывна во времени. Если Q = 0, то имеет место дефицит.

2А88 (Виды издержек). Любая математическая модель, которая применяется для изучения определенной ситуации в управлении запасами, должна учитывать факторы, связанные с издержками. Различают следующие виды издержек:

88.1) организационные издержки расходы, связанные с оформлением и доставкой товаров;

88.2) издержки содержания запасов затраты, связанные с хранением. Они возникают из-за амортизации в процессе хранения (изделия могут портиться, устаревать, их количество может уменьшаться и т. д.);

88.3) издержки, связанные с дефицитом: если поставка со склада не может быть выполнена, то возникают дополнительные издержки, связанные с отказом (денежный штраф или ущерб, не осязаемый непосредственно, например ухудшение бизнеса в будущем и потеря потребителей);

88.4) издержки, связанные с приобретением запасов. Их учитывают, если цена единицы продукции зависит от величины партии. Количество товара, поставляемое на склад, называют размером партии.

2Б+С89 (Виды задач управления запасами). Многообразием реальных ситуаций вызвана необходимость рассмотрения огромного числа вариантов задач управления запасами. В зависимости от числа периодов, на которые планируются операции, различают задачи:

89.1) статические – рассматривается один период времени;

89.2) динамические – рассматривается несколько периодов времени (см. с. 21 издания [19]).

2Б+С90 (Виды спроса). Спрос на предметы потребления может быть (см. с. 47, 212 издания [19]):

90.1) стационарным или нестационарным;

90.2) детерминированным или стохастическим;

90.3) непрерывно распределенным или дискретным;

90.4) зависящим от спроса на другие товары или независимым.

2Б+С91 (Пополнение запасов). Пополнение запасов, как правило, происходит с некоторой случайной задержкой относительно момента выдачи требования (подробнее см. с. 133 учебного издания [19]):

91.1) мгновенная поставка;

91.2) задержка поставок на фиксированный срок;

91.3) задержка поставок на случайный интервал времени (распределенный по известному вероятностному закону).

Задача управления запасами состоит в определении объемов поставок и периодичности заказов, при которых издержки (функция затрат) принимают минимальное значение.

2А92 (Обозначения). Введем обозначения величин, необходимых для составления модели. Данные поместим в табл. 8.

Организацион- Денежных единиц за одну Издержки постоянны, Стоимость товара Денежных единиц за еди- Цена единицы товара Издержки содер- Денежных единиц за еди- Стоимость хранения жания запасов ницу товара в единицу единицы товара в тевремени чение периода времени постоянна Размер партии Единиц товара в одной Размер партии постояq 2А93 (График изменения запасов). График изменения запасов представлен на рис. 3.

2А+Б94 (Уравнение издержек). Чтобы полностью удовлетворить спрос при размере поставки q, необходимо обеспечить /q поставок или партий в единицу времени. Средний уровень запасов составляет q/2. Уравнение издержек имеет вид:

где L1 организационные издержки; L2 стоимость товаров; L издержки содержания запасов. За исключением q все величины в правой части постоянны и известны, т. е. L = f (q ). Для нахождеdL ния минимума L найдем производную и приравняем ее к нуdq лю:

где qопт оптимальный размер партии. Полученное равенство называется формулой Уилсона.

2.5.3. Модель производственных запасов 2А+Б95 (Понятие о модели производственных запасов).

В основной модели предполагали, что поступление товаров на склад происходит мгновенно, например, в течение одного дня.

Рассмотрим случай, когда готовые товары поступают на склад непосредственно с производственной линии. Будем считать, что поступление товаров происходит непрерывно в течение некоторого промежутка времени. Модель задачи в этом случае называют моделью производственных поставок. Обозначим через скорость поступающего на склад товара. Эта величина равна количеству товаров, выпускаемых производственной линией за единицу времени. Остальные обозначения и предположения те же, что и для основной модели управления запасами. График модели производственных запасов представлен на рис. 4.

Рис. 4. График модели производственных запасов 2Б96 (Уравнение издержек). Определим оптимальный размер партии, минимизирующий общие затраты. Общие издержки в единицу времени, как и для основной модели, составляют:

Для получения среднего уровня запасов следует учесть, что RT = ( )t максимальный уровень запасов; q = t количество товаров в одной производственной поставке. Тогда средний уровень запасов составляет половину максимального:

В итоге имеем:

Решив уравнение модели производственных поставок:

2.5.4. Модель запасов, включающая штрафы 2А+Б97 (Понятие о модели запасов, включающей штрафы). Рассмотрим основную модель, допускающую возможность существования периодов дефицита, который покрывается при последующих поставках, и штрафов за несвоевременную поставку.

Пусть предприятие должно поставить q единиц товара в течение каждого промежутка времени T; за единицу времени поставляется единиц товара (q = T).

Предположим, что в начале каждого периода T предприятие делает запас, равный S. Это означает, что в течение периода может наблюдаться дефицит товара, и некоторое время поставки могут не осуществляться. Невыполненные заявки будут накапливаться до максимальной величины q S и удовлетворятся, как только поступит следующая партия товаров в количестве q.

За то, что товары доставляются предприятием позже необходимого срока, на предприятие налагается штраф, который зависит от того, насколько была задержана поставка. Такая модель целесообразна, т. к. иногда выгоднее заплатить штраф, чем расходовать дополнительные средства на хранение запасов, превышающих величину S.

График изменения запасов модели представлен на рис. 5.

Рис. 5. График изменения запасов модели, включающей штрафы 2Б98 (Уравнение издержек). Задача управления запасами состоит в том, чтобы выбрать такое значение S, которое ведет к минимизации затрат, включая затраты на хранение и штрафы.

Для определения оптимального значения S введем обозначения: h издержки хранения единицы товара за единицу времени;

затраты на штраф в расчете на единицу товара за один день отсрочки.

Найдем издержки одного цикла:

где L1 общие издержки содержания запасов; L2 общие затраты на штраф.

Так как товары находятся на складе в течение периода ОА (см. рис. 5), средний уровень запасов за этот период равен S/2. Если продолжительность периода ОА равна S/, то Так как штраф выплачивается в течение периода AB =, общее число дней, на которые налагается штраф, равно площади треугольника АВС:

откуда Окончательно имеем:

значение запаса:

Взяв Sопт в качестве уровня запасов в начале каждого цикла при условии, что невыполненные заявки будут удовлетворены, сведем суммарные расходы L к минимуму:

2А+Б99 (Понятие о точке заказа). В реальных задачах следует учитывать время выполнения заказа. Для бесперебойного снабжения заказ должен подаваться в момент, когда уровень запаса достаточен для удовлетворения потребности на время выполнения заказа. Этот уровень называется точкой возобновления заказа (точкой заказа) и обозначается r, т. е. точка заказа это нижний уровень, по которому должны заказывать новую партию.

2Б100 (Нахождение точки заказа). Для систем, в которых дефицит не допускается, заказ должен размещаться в момент, когда величина наличного запаса равна:

где целая часть числа ; оптимальный интервал между поставками.

Для бездефицитной работы системы нужно иметь начальный запас I0 =. Если I фактический запас, то для непрерывной работы необходимо, чтобы выполнялось неравенство I.

Время потребления фактического запаса. Чтобы заказанная партия прибыла ко времени полного исчерпания, ее нужно разI мещать в момент t0 =, а все остальные заказы нужно размещать в моменты Для систем с дефицитом точка заказа определяется по следующей формуле:

2.6. СЕТЕВОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ И УПРАВЛЕНИЕ