«В. М. Марченко, Н. П. Можей, Е. А. Шинкевич ЭКОНОМЕТРИКА И ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ Допущено Министерством образования Республики Беларусь в качестве учебного пособия для студентов учреждений высшего ...»

Задача оптимизации производственной программы предприятия имеет следующий вид. Предприятие выпускает несколько видов продукции Пj, j = 1, n, имея ограниченный запас ресурсов Рi, i = 1, m. Известны нормы затрат ресурса Рi на производство единицы продукции П j aij. Требуется найти такой план производства продукции, который обеспечивает максимум эффекта от выпуска (максимум выручки от реализации, минимум затрат), если c j эффективность единицы продукции (например, цена).

Сформулируем математическую модель задачи. Определим переменные модели: x j – объем производства продукции j-го вида, j = 1, n.

В этих обозначениях задача оптимизации производственной программы запишется в следующем виде (максимизируется выручка от реализации):

при ограничениях на запас i-го ресурса:

и условии неотрицательности переменных:

Пример 1. Пусть предприятие выпускает два вида изделий и располагает следующими ресурсами (в расчете на сутки): фонд рабочего времени производственных рабочих 780 чел.-ч, фонд сырья 850 ед., электроэнергии – 790 ед. Цена изделия I вида 6 ден. ед., II вида 7 ден. ед.

Требуется определить оптимальную производственную программу предприятия с учетом получения максимальной прибыли.

Нормы расхода ресурсов в расчете на одно изделие представлены в табл. 50.

Решение. Математическое описание исследуемого объекта или процесса начинается с выбора переменных модели. Так как в рассматриваемом примере требуется построить модель для определения оптимальной структуры производственной программы по выпуску изделий I и II видов, введем переменные: x1 – суточный объем производства продукции I вида; x2 – суточный объем производства продукции II вида.

Запишем ограничения на ресурсы.

Рабочее время. Так как нормы расхода рабочего времени для производства единицы продукции I и II видов составляют 2 и 4 чел.-ч соответственно, то для производства изделий I вида в объеме x1, изделий II вида в объеме x2 требуется 2x1 + 4x2 (чел.-ч). С другой стороны, объем использования оборудования не должен превышать имеющегося суточного фонда рабочего времени – 780 чел.-ч. Таким образом, получаем ограничение:

Аналогично составляются ограничения для оставшихся видов ресурсов.

Электроэнергия:

Кроме того, объем производства изделий каждого вида не может быть отрицательным: x1 0; x2 0.

В данном примере целью управления (критерием качества) является получение максимальной прибыли, что приводит к экономико-математической оптимизационной модели – задаче максимизации целевой функции:

при ограничениях:

Сформулированная модель является задачей линейного программирования.

Основные понятия. Под балансовой моделью понимается система уравнений, каждое из которых выражает требование баланса между производимым отдельными экономическими объектами количеством продукции и совокупной потребностью в этой продукции. Балансовый метод – это метод взаимного сопоставления имеющихся материальных, трудовых и финансовых ресурсов и потребностей в них. Примерами балансовых соответствий могут быть: соответствие наличия рабочей силы и количества рабочих мест;

платежеспособного спроса населения и предложения товаров и услуг и т. д. При этом соответствие понимается либо как равенство, либо (менее жестко) как достаточность ресурсов для покрытия потребности (следовательно, допускается наличие некоторого резерва).

Балансовые модели строятся в виде числовых матриц, поэтому они относятся к матричным экономико-математическим моделям.

Некоторые виды балансовых моделей:

1) частные материальные, трудовые и финансовые балансы для народного хозяйства и отдельных отраслей;

2) межотраслевые балансы;

3) матричные финансовые планы предприятий и фирм.

Совокупный общественный продукт – масса произведенных или планируемых к производству материально-вещественных благ и услуг. В стоимостном выражении совокупный общественный продукт делится на перенесенную стоимость (износ средств труда и расход предметов труда) и вновь созданную стоимость, т. е. национальный доход.

В натуральном межотраслевом балансе отражается движение совокупного общественного продукта по его материальновещественному составу.

Чистые (технологические) отрасли – это некоторые условные отрасли, которые объединяют все производство данного вида продукта независимо от ведомственной подчиненности субъектов хозяйствования, его производящих.

Межотраслевые балансы строятся на основе следующих предположений:

1) каждая отрасль производит только один продукт, т. е. выделение отраслей осуществляется не по принципу однородности предприятий, а по принципу однородности продукта. По этой причине межотраслевые балансы иногда еще называют межпродуктовыми балансами;

2) каждая отрасль имеет только одну технологию производства продукции, которая характеризуется средневзвешенными коэффициентами затрат. Эти коэффициенты отражают взаимосвязь между отраслями и являются отраслевыми нормативами затрат.

В общем виде межотраслевой баланс состоит из четырех разделов, которые называются квадрантами:

Основным является I квадрант, т. к. его данные используются во всех расчетах и являются их основой. Во II квадранте характеризуется непроизводственная сфера. В I и III квадрантах характеризуются текущие затраты материального производства; во II и IV – использование продукции за пределами текущего производственного цикла. Иначе говоря, процессы накопления, непроизводственного потребления и вывода продукции за пределы региона, что в целом называется конечным потреблением.

При записи соотношений могут использоваться как натуральные (тонны, штуки, киловатт-часы и т. п.), так и стоимостные единицы измерения указанных величин, поэтому различают натуральный и стоимостной балансы.

Стоимостной межотраслевой баланс. Стоимостной межотраслевой баланс (СМОБ), или МОБ производства и распределения в денежном выражении, состоит из четырех квадрантов, по каждому из которых показатели баланса рассчитываются в стоимостном выражении. Основное назначение стоимостного МОБ состоит в сопоставлении затрат с доходами (по стране в целом или по тому или иному ее региону).

Различают два вида стоимостных балансов:

– отчетный баланс. На основе отчетного стоимостного баланса проверяется в какой мере затраты компенсированы доходами;

– плановый баланс. Плановый стоимостной баланс позволяет сопоставить планируемые затраты с возможными доходами.

Основные понятия, которые используются при рассмотрении стоимостного межотраслевого баланса:

1. Валовая продукция – объем произведенной продукции в денежном выражении. Для отрасли это ценностный объем произведенной или планируемой к выпуску продукции. Для страны или региона это валовой внутренний продукт, который равен сумме валовых продуктов отраслей.

2. Промежуточный продукт отрасли – это производственные затраты продукта этой отрасли в других отраслях экономики в качестве предметов труда в стоимостном выражении, т. е. это стоимость текущих материальных затрат.

3. Конечный продукт отрасли – это стоимость продукции отрасли, направляемой на накопление и потребление, т. е. это совокупность фондов накопления и потребления по отрасли.

4. Чистая продукция отрасли – это стоимость созданной в процессе производства или планируемой к производству продукции данной отрасли. Чистая продукция отрасли состоит из оплаты труда и чистого дохода (прибыли) отрасли.

Стоимостной межотраслевой баланс состоит из четырех квадрантов, каждый из которых характеризует отдельные стороны или процессы расширенного производства.

Важнейшей частью СМОБ является I квадрант, поскольку он характеризует межотраслевые связи в сфере материального производства.

Первый квадрант – это таблица размерности nn, наименования строк и столбцов которой соответствуют чистым технологическим отраслям материального производства. В строках и столбцах в одинаковом порядке перечислены одни и те же отрасли материального производства.

Введем следующие обозначения:

• Xi – валовой выпуск продукции i-й отрасли за рассматриваемый промежуток времени;

• xij – межотраслевые потоки продукции, от i-й отрасли к j-й отрасли, т. е. объем продукции отрасли i, расходуемый отраслью j (производственное потребление);

• xii, i = 1, n, – главная диагональ СМОБ; ее элементы стоят на пересечении строк и столбцов одноименных отраслей и характеризуют внутреннее потребление каждой отраслью своей же продукции;

• Yi – объем продукции отрасли i, потребляемый в непроизводственной сфере, – конечное потребление. В него входят личное потребление, обеспечение общественных потребностей (образование, здравоохранение, развитие инфраструктуры и т. д.), поставки на экспорт.

Одноименные строки и столбцы характеризуют отрасль с различных сторон. Строки I квадранта стоимостного баланса отражают использование продукции данной отрасли другими отраслями, включая расходы и на собственные нужды отрасли, т. е. строки I квадранта отражают межотраслевые поставки сырья, материалов, топлива, энергии и т. д. отраслям материального производства в денежном выражении. Столбцы I квадранта стоимостного баланса характеризуют состав материальных затрат в денежном выражении на производство продукции отдельных отраслей.

ции всех отраслей, потребленной в сфере материального производства, совпадает со стоимостью материальных затрат на всю продукцию, т. е.

Во II квадранте межотраслевого баланса характеризуется конечное потребление каждого вида продукции, т. е. показывается, какое количество продукции отраслей материального производства поступает на цели личного и общественного потребления, на накопление основных и оборотных средств, на возмещение выбывших основных средств, а также на покрытие сальдо между ввозом и вывозом продукции. Этот квадрант можно рассматривать как распределение национального дохода на фонд накопления и фонд потребления по отраслям.

В III квадранте межотраслевого баланса характеризуются затраты живого труда и основный производственных фондов, участвующих в производстве каждого вида продукции отраслей.

Чистая продукция – это сумма оплаты труда v j, j = 1, n, и чистого дохода отраслей m j, j = 1, n. Сумму амортизации c j, j = 1, n, и чистой продукции некоторой j-й отрасли называют условно чистой продукцией и обозначают Z j = c j + v j + m j, j = 1, n.

Общая стоимость валовой продукции j-й отрасли равна:

Четвертый квадрант баланса находится на пересечении столбцов II квадранта (конечной продукции) и строк III квадранта (условно чистой продукции). Этим определяется содержание квадранта: он отражает конечное распределение и использование национального дохода. По строкам: заработная плата работников непроизводственной сферы; прибыль предприятий непроизводственной сферы; амортизация основных средств организаций непроизводственной сферы.

Данные IV квадранта важны для отражения в модели межотраслевого баланса доходов и расходов населения, источников финансирования капиталовложений, текущих затрат непроизводственной сферы; для анализа общей структуры конечных доходов по группам потребителей.

Отметим также, что валовой продукт отраслей представлен на схеме СМОБ в двух местах: в столбце и в строке. Эти строка и столбец играют важную роль для проверки правильности заполнения квадрантов (т. е. проверки баланса) и для разработки экономико-математической модели межотраслевого баланса. Например, для двух отраслей см. табл. 51.

Производящие Потребляющие отрасли Продукция Основные соотношения МОБ отражают сущность МОБ и являются основой его экономико-математической модели.

Рассматривая схему баланса по столбцам, получаем, что сумма материальных затрат любой потребляющей отрасли и ее условно чистой продукции равна валовому продукту данной отрасли:

Данное соотношение состоит из уравнений, отражающих стоимостной состав продукции всех отраслей материальной сферы.

Рассматривая схему МОБ по строкам, для каждой производящей отрасли получаем, что валовой продукт отрасли равен сумме материальных затрат потребляющих ее продукцию отраслей и конечной продукции данной отрасли:

Данное соотношение состоит из уравнений, которые называются уравнениями распределения продукции отраслей материального производства по направлениям использования.

В МОБ соблюдается важнейший принцип единства материального и стоимостного составов национального дохода:

Таким образом, все четыре раздела стоимостного МОБ производства и распределения продукции взаимосвязаны и дают развернутую характеристику расширенного воспроизводства экономики в целом.

Экономико-математическая модель МОБ. Коэффициент прямых затрат (коэффициент материалоемкости) показывает, какое количество продукции i-й отрасли необходимо (с учетом только прямых затрат) для производства единицы валового продукта j-й отрасли. В стоимостном балансе это стоимость продукции i-й отрасли, используемой для производства единицы стоимости продукции j-й отрасли. Коэффициент прямых затрат не зависит от объема производства и является довольно стабильной величиной во времени.

Используя коэффициент прямых затрат, межотраслевые потоки продукции можно определить по формуле:

Систему уравнений баланса можно записать в виде:

или в матричной форме:

где X – вектор-столбец валовой продукции и Y – вектор-столбец конечной продукции, A = aij – матрица коэффициентов пряnn мых материальных затрат (технологическая матрица). C учетом экономического смысла задачи, все коэффициенты матрицы A и компоненты векторов X и Y должны быть неотрицательны Различают следующие математические модели межотраслевого баланса:

1) математическая модель отчетного межотраслевого баланса. Выражается в виде соотношений, которые описываются формулами:

2) математическая модель прогнозного межотраслевого баланса:

или в матричной форме:

Модель прогнозного межотраслевого баланса также называется моделью Василия Леонтьева, моделью «затраты выпуск».

По модели межотраслевого баланса могут выполняться следующие типы расчетов:

1) если в модели известны величины валовой продукции каждой отрасли (Xi), то можно определить объем конечной продукции каждой отрасли (Yi) по формуле: Y = (E A)X;

2) если в модели известны величины конечной продукции всех отраслей (Yi), то можно определить величины валовой продукции каждой отрасли (Xi) по формуле: X = (E A)1Y;

3) если для ряда отраслей известны величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей – объемы конечной продукции, то можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых.

В вышеприведенных формулах Е – единичная матрица размерности nn, а (E A)1 – матрица, обратная матрице (E A).

Обозначив обратную матрицу через B (B = (E A)1), модель «затраты выпуск» можно записать в виде: X = BY.

Матрица B = bij называется матрицей коэффициентов полnn ных затрат. Коэффициенты полных затрат bij показывают, сколько всего нужно произвести продукции i-й отрасли для выпуска в сферу конечного использования единицы продукции j-й отрасли.

Коэффициенты полных затрат можно применять тогда, когда необходимо определить, как скажется на валовом выпуске некоторой отрасли предполагаемое изменение объемов конечной продукции всех отраслей:

где Xi и Yj – изменения (приросты) величин валовой и конечной продукции соответственно.

Методы и модели массового обслуживания Основные понятия. Очереди, т. е. ожидание того или иного вида обслуживания являются частью повседневной жизни, и их математическое описание составляет предмет теории систем массового обслуживания (СМО). Цель изучения СМО – обеспечение качества обслуживания путем изучения зависимости между количеством обслуживаемых и обслуживающих единиц СМО и установления научно-обоснованных соотношений между ними.

Основными элементами СМО являются источники заявок на обслуживание (клиентов), их входящий поток, каналы обслуживания, образующие обслуживающую систему (сервис), и выходящий поток. Если сервис свободен, то клиент сразу попадает на обслуживание, иначе возникает очередь. Появление клиентов (заявок на обслуживание) характеризуется интервалом между их последовательными поступлениями, а функционирование сервиса – временем обслуживания. Как правило, эти параметры являются случайными. В системах массового обслуживания выделяют два потока событий: входящий поток заявок на обслуживание и выходящий поток обслуженных заявок. Эти потоки характеризуются определенными законами распределения вероятностей, в результате их взаимодействия система оказывается в том или ином своем состоянии. Расчет вероятностных характеристик состояния системы (длины очереди, времени ожидания и т. д.) – это одна из главных задач теории массового обслуживания.

На практике наиболее распространенным является простейший входящий поток заявок (требований), обладающий свойствами:

1) стационарности, т. е. вероятность поступления количества требований в течение промежутка времени зависит только от длины этого промежутка; вероятность хотя бы одной заявки за малый промежуток времени t пропорциональна длине промежутка: p(t) t;

2) ординарности, т. е. невозможности одновременного появления двух или более заявок;

3) отсутствия последействия, т. е. поступление заявки не зависит от того, когда и сколько заявок поступило до этого момента;

в этом случае вероятность Pk(t) поступления k заявок за промежуток времени t определяется по закону Пуассона:

где = – интенсивность потока заявок, т. е. среднее число заявок в единицу времени (чел./мин, руб./ч, кВт/ч); – среднее значение интервала времени между двумя соседними заявками.

В большинстве систем массового обслуживания время между последовательными поступлениями заявок и время их обслуживания, являются случайными и описываются показательным распределением:

где – параметр распределения имеет смысл интенсивности потока (среднее число заявок, приходящееся на единицу времени).

Выходящий поток заявок связан с потоком обслуживания в канале, где длительность обслуживания tобсл является случайной величиной и часто подчиняется показательному закону распределения с плотностью где = – интенсивность потока обслуживания, т. е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени (чел./мин, руб./день, кг/ч); tобсл – среднее время обслуживания.

Важной характеристикой СМО, объединяющей и, является интенсивность нагрузки Обычно решение ждать обслуживания или отказаться от него определяется длиной очереди. Поэтому при моделировании учитывают максимально допустимое количество m заявок в очереди.

Возможны следующие случаи:

1) m = 0 – без очереди, системы с отказами, в которых при занятости всех каналов обслуживания заявка не встает в очередь и покидает систему необслуженной;

2) m = – очередь не ограничена, системы с неограниченным ожиданием, в которых заявка встает в очередь, если в момент ее поступления все каналы были заняты;

3) m > 0 – с очередью, системы смешанного типа с ожиданием и ограниченной длиной очереди: заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все места в очереди заняты, а заявка, попавшая в очередь, обслуживается обязательно.

Считается, что заявки, которым не оказалось места в очереди, навсегда теряются.

Часто система обслуживания содержит несколько обслуживающих каналов, которые можно выбирать. По числу каналов обслуживания СМО делятся на одноканальные и многоканальные. Примером могут служить рабочие места кассиров в супермаркетах. В зависимости от расположения источника требований системы могут быть разомкнутыми (источник заявок находится вне системы) и замкнутыми (источник находится в самой системе).

На практике широко используются процессы с дискретными состояниями, т. е. предполагается, что все возможные состояния системы можно перечислить. Считается, что переход системы из одного состояния в другое происходит практически мгновенно и вероятности переходов известны. Рассмотрим процесс с дискретным шагом по времени. Пример такого процесса с тремя состояниями приведен на рис. 24.

Рис. 24. Пример процесса с тремя состояниями Для аналитического описания используется матрица переходов (матрица вероятностей) где pij – вероятность перехода процесса из i-го состояния в j-е состояние.

Аналитический расчет характеристик СМО. Уравнения Колмогорова. Одной из важнейших характеристик СМО является длина очереди. Если она велика, то это ведет к потере потенциальных заявок (клиентов), а следовательно, к снижению конкурентоспособности. Длина очереди – это случайная величина, но ее математическое ожидание (среднюю длину) можно рассчитать, как и другие важные характеристики:

– вероятность отклонения заявки;

– вероятность обслуживания заявки;

– среднее число заявок, обслуживаемых за единицу времени;

– среднее время пребывания заявки в системе.

Вывод аналитических зависимостей основывается на уравнениях Колмогорова дифференциальных уравнениях, в которых неизвестными функциями являются вероятности состояний системы.

Рассмотрим СМО с N возможными состояниями S1, S2, …, SN и простейшим потоком событий. Тогда вероятность перехода системы из i-го состояния в j-е состояние за малый промежуток времени t определяется соотношением pij(t) ijt, где ij – плотность вероятности перехода системы из i-го состояния в j-е состояние.

Система дифференциальных уравнений (или просто система уравнений) Колмогорова имеет следующий вид:

Это уравнение выражает производную вероятности j-го состояния системы как разности двух сумм. Первая сумма – это скалярное произведение вектора состояний системы на вектор интенсивностей потоков, переводящих систему в j-е состояние.

Из нее вычитается сумма интенсивностей всех потоков, выводящих систему из j-го состояния, умноженная на вероятность этого состояния. Полученную систему уравнений можно дополнить очевидным соотношением системы.

Задавая начальные условия (характеризующие исходное состояние СМО) и решая соответствующую задачу Коши для системы уравнений Колмогорова, определяем соответствующие вероятности pi ( t ), i = 1, N, нахождения СМО в состояниях Si в текущий момент времени.

Анализ решения задачи Коши для системы уравнений Колмогорова показывает, что для достаточно больших значений t, независимо от начальных условий, это решение стабилизируется и практически не зависит от времени. Таким образом, с течением времени функционирование СМО переходит в стационарный (установившийся) режим, т. е. существуют Значения pi, i = 1, N, вероятностей состояний, соответствующие стационарному режиму работы СМО, называются финальными вероятностями.

Полагая в системе дифференциальных уравнений получаем систему алгебраических уравнений для определения финальных вероятностей pi, i = 1, N. Аналогично осуществляется аналитический расчет и других СМО.

СМО с отказами. Рассмотрим n-канальную СМО с отказами (заявка не обслуживается, если все каналы заняты). Для такой системы состояния S1, S2, …, Sn соответствуют числу занятых каналов, состояние S0 означает отсутствие заявок. Предполагается, что все каналы в равной степени доступны всем заявкам, поток заявок является простейшим с интенсивностью, время tобсл обслуживания одной заявки распределено по показательному закону с интенсивностью освобождения каждого канала СМО. Требуется произвести аналитический расчет основных характеристик СМО.

Формулы для расчета установившегося режима:

1) вероятность простоя каналов обслуживания, когда нет заявок ( k = 0 ):

2) вероятность отказа в обслуживании, когда поступившая на обслуживание заявка найдет все каналы занятыми (k = n):

3) вероятность обслуживания:

4) среднее число занятых обслуживанием каналов:

5) доля каналов, занятых обслуживанием:

6) абсолютная пропускная способность СМО:

Элементы теории игр. Основные понятия. В процессе целенаправленной человеческой деятельности возникают ситуации, в которых интересы отдельных лиц (групп, сторон) либо прямо противоположны (антагонистичны), либо, не будучи непримиримыми, все же не совпадают. Такие ситуации называются конфликтными. Эффективность решений, принимаемых в ходе конфликта каждой из сторон, зависит от действий другой стороны.

При этом ни одна из сторон не может полностью контролировать положение, т. к. и той и другой стороне решения приходится принимать в условиях неопределенности.

Примерами конфликтных ситуаций являются спортивные игры, арбитражные споры, военные учения и т. д., когда каждая из конфликтующих сторон стремится добиться наилучшего для себя результата. Подобного рода ситуации встречаются и в различных сферах производственной деятельности.

Теория игр – это математическая теория конфликтных ситуаций, разрабатывающая рекомендации по наиболее рациональному образу (стратегии) действий каждого из участников в ходе конфликтной ситуации (игры), т. е. таких действий, которые обеспечивали бы ему наилучший результат.

Игровую схему можно придать многим ситуациям в экономике. Здесь выигрышем могут быть эффективность использования ресурсов, производственных фондов, величина прибыли, себестоимость и т. д.

Игра – это совокупность правил, определяющих возможные действия (чистые стратегии) участников игры (игроков). Суть игры в том, что каждый из участников принимает такие решения в развивающейся конфликтной ситуации, которые, как он полагает, обеспечивают ему наилучший результат (исход) игры. Игра – это упрощенная математическая модель конфликтной ситуации.

Стратегия – это совокупность правил, однозначно определяющих последовательность действий игрока в каждой конкретной ситуации, складывающейся в процессе игры.

Исход (плата) игры – это значение некоторой функции, которая называется функцией выигрыша (платежной функцией). Далее будем рассматривать только такие игры, в которых выигрыш выражается количественно: стоимостью, баллами и т. д. Величина выигрыша зависит от стратегии, применяемой игроками. Игроки – это участники игры с различными группами интересов.

Оптимальной стратегией называется стратегия, которая обеспечивает игроку наилучший исход игры при предположении, что противник использует наилучшую для себя стратегию.

Партией называют каждый вариант реализации игры.

В партии игроки совершают конкретные ходы.

Ход – это выбор и реализация игроком одного из допустимых вариантов поведения. Ходы бывают личные, когда игрок выбирает и реализует ту или иную свою конкретную чистую стратегию, и случайные, когда выбор чистой стратегии производится с использованием какого-либо механизма случайного выбора (например, с применением таблицы случайных чисел).

Неопределенность может быть обусловлена как сознательным противодействием противника, так и неизвестными обстоятельствами. Игра с природой – это игра двух лиц, в которой один из участников безразличен к результату игры. Такие игры встречаются в экономической практике, когда приходится формализовать ситуации, придавая им игровую схему, в которой один из участников безразличен к результату игры. Под термином «природа»

понимают всю совокупность внешних обстоятельств, в которых сознательному игроку (его называют иногда статистиком, а соответствующую игру – статистической) приходится принимать решение. Например, определение объема выпуска сезонной продукции в ожидании наиболее выгодного для ее реализации уровня спроса; формирование пакета ценных бумаг в расчете на высокие дивиденды и т. д. В таких играх в качестве второго игрока выступает: в первом случае – уровень спроса; во втором – размеры ожидаемой прибыли.

Матричные игры с нулевой суммой. Матричная игра mn (с нулевой суммой) – это антагонистическая игра, в которой первый игрок А использует возможные стратегии A1, A2, …, Am, а его противник (оппонент) В – стратегии B1, B2, …, Bn. Если игрок А применит стратегию Ai, а оппонент – стратегию Bj, то плата aij игры будет выигрышем игрока А (проигрышем противника В) для aij > 0. Таким образом, игра с нулевой суммой полностью описывается так называемой платежной матрицей игры (табл. 52).

Стратегии игрока А Если игра состоит только из личных ходов, то выбор пары чистых стратегий (Ai; Bj) единственным образом определяет исход (результат) игры. Если же в игре используются случайные ходы, то исход игры определяется средним значением (математическим ожиданием) выигрыша. Платежная матрица является табличной записью функции выигрыша. В теории матричных игр всегда предполагается, что в платежной матрице записаны выигрыши игрока А.

При поиске оптимальных стратегий игроки опираются на основной принцип теории игр – принцип гарантированного результата (принцип максимина), в соответствии с которым каждый игрок, считая партнера по игре разумным противником, выбирает свои действия в предположении, что соперник не упустит возможности использовать в своих интересах любую его ошибку.

При выборе своего хода игрок А анализирует платежную матрицу, определяя для каждой своей чистой стратегии Ai, i = 1, m, минимальное значение i ожидаемого выигрыша: i = min aij, i = 1, m (считая, что противник играет наилучшим образом), а затем из всех i выбирает наибольшее = max i и соответствуюi щую ему чистую (максиминную) стратегию Ai. Игрок А гарантирует себе выигрыш не хуже при любых стратегиях игрока В, и не существует чистой стратегии игрока А, которая давала бы ему больший выигрыш, чем, при всех стратегиях игрока В.

Число = max min aij называется нижней чистой ценой игры (максимином). Она выражает выигрыш игрока А, при использовании максиминной стратегии независимо от действий игрока В.

Число, определяемое по формуле называется верхней чистой ценой игры (минимаксом). Она показывает, какой максимальный проигрыш (гарантированный результат) может быть у игрока В при подходящем выборе им своей чистой стратегии (независимо от действий игрока А). Соответствующая стратегия игрока В называется минимаксной.

Теорема. В матричной игре нижняя чистая цена игры не превосходит верхней чистой цены игры, т. е. = max min ij min max ij =.

Стратегии Ai, i = 1, m, первого игрока и стратегии Bj, j = 1, n, второго игрока (возможные их ходы) принято называть чистыми стратегиями игроков.

Если для чистых стратегий Ai, Bj игроков А и В соответственно имеет место равенство = = aij, то пару чистых стратегий (Ai; Bj) называют седловой точкой матричной игры, элемент aij матрицы, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца, – седловым элементом платежной матрицы, а число v = = – чистой ценой игры.

Ситуация, когда ни один из игроков не имеет разумных оснований для изменения своей стратегии, называется ситуацией равновесия.

Если матричная игра имеет седловую точку, т. е. в платежной матрице присутствует элемент, который является одновременно минимальным в строке и максимальным в столбце, то она решается в чистых стратегиях. Чистые стратегии Ai, B j, образующие седловую точку, и будут оптимальными, а решением игры считается тройка объектов { Ai ; B j ; v}.

Про игры с седловой точкой говорят, что они решаются в чистых стратегиях, т. к. последние полностью определяют рациональное поведение конфликтующих сторон. Платежная матрица может иметь несколько седловых точек.

Пример 2. Пусть первый игрок имеет т, а второй – п чистых стратегий, тогда каждую пару (Ai; Bj) чистых стратегий первого и второго игроков можно представить в виде единичных векторов:

Пример 3. Пусть игра задана следующей платежной матрицей (табл. 53).

Стратегии А Решение. A2 – максиминная стратегия, B3 – минимаксная стратегия, следовательно, = = 2 и v = 2. Особенность этого примера в том, что если оппонент придерживается стратегии B3, то игроку А невыгодно использовать какую-либо стратегию, кроме A2. Но если игрок А использует стратегию A2, то оппоненту придется использовать стратегию B3. Причина состоит в том, что выигрыш a23 = 2 одновременно является минимальным для максиминной стратегии A и максимальным для минимаксной стратегии B3. Это игра с седловой точкой (A2; B3), стратегии сторон A2, B3, соответствующие этой точке, являются оптимальными чистыми стратегиями. Чистая цена игры равна: v = 2.

Пример 4. Пусть игра задана следующей платежной матрицей (табл. 54).

Стратегии А Решение. Для определения нижней и верхней чистой цены игры следует определить, какой выигрыш гарантирует игроку А каждая из стратегий при самых неблагоприятных действиях оппонента. Это означает, что в каждой строке нужно найти минимальное значение i = min aij, i = 1, 4.

Поскольку оппонент может провести такой же анализ для выбора одной из стратегий Bj, j = 1, n, то в каждом столбце он будет искать максимально возможные значения выигрыша игрока А:

j = max aij, j = 1, 6. Дополним платежную матрицу этими значеi ниями (табл. 55).

Стратегии А Из табл. 55 видно, что выбор стратегии А1 гарантирует игроку А выигрыш не менее 4 ед. при любой стратегии оппонента. Таким образом, А1 – максиминная стратегия. Соответствующее ей значение 4 ед. есть нижняя цена игры.

Для оппонента стратегия В3 минимизирует максимально возможный проигрыш и называется минимаксной. Используя ее, оппонент не может проиграть больше верхней цены игры = min max aij = 5. Для рассматриваемого примера 4 v 5.

Смешанной стратегией p первого (А) игрока называется вектор Аналогично вектор q – смешанная стратегия игрока В:

Здесь pi и q j – вероятности, с которыми игроки А и В в ходе игры выбирают свои чистые стратегии Ai и Bj.

Чистая стратегия Ai игрока А может рассматриваться как частный случай смешанной стратегии, i-я компонента которой равна единице, а остальные равны нулю. Аналогично для игрока В.

Применяя смешанные стратегии, игроки выбирают свои чистые стратегии случайно и независимо друг от друга, и, таким образом, случайной становится величина выигрыша (проигрыша):

f ( p; q ) = aij pi q j – плата (платежная функция) игры с плаi =1 j = тежной матрицей aij. mn Смешанные стратегии p = ( p1, p2,..., pm ); q = ( q1, q2,..., qn ) называются оптимальными, если для произвольных стратегий p = ( p1, p2,..., pm ); q = ( q1, q2,..., qn ) выполняется условие т. е. ( p ; q ) является седловой точкой функции f ( p; q ).

Использование в игре оптимальных смешанных стратегий обеспечивает первому игроку выигрыш, не меньший, чем при использовании им любой другой стратегии р, второму игроку – проигрыш, не больший, чем при использовании им любой другой стратегии q.

Значение платежной функции при оптимальных стратегиях определяет цену игры v, т. е. f ( p ; q ) = v, причем v. Совокупность оптимальных стратегий и цены игры составляет решение игры.

Теорема о минимаксе. В смешанных стратегиях любая конечная матричная игра имеет седловую точку, причем мальные смешанные стратегии игроков А и В соответственно.

Чистые стратегии игрока, входящие в его оптимальную смешанную стратегию с вероятностями, отличными от нуля, называются активными стратегиями игрока.

Решение игры можно существенно упростить, если своевременно выявить имеющееся в платежной матрице доминирование одних стратегий над другими, т. к. это позволит предварительно сократить размеры матрицы.

Игрок А заинтересован в максимизации выигрыша. Поэтому в платежной матрице сравниваем элементы строк s и t, а именно элементы asj с элементами atj для всех j = 1, n. Если asj atj, j = 1, n, то выигрыш игрока А при стратегии As будет больше, чем при стратегии At, какую бы чистую стратегию не применил игрок В. В этом случае стратегия As доминирует над стратегией At. Стратегию As называют доминирующей, а стратегию At – доминируемой.

Поскольку игрок В заинтересован в минимизации проигрыша, доминирующим будет столбец с наименьшими элементами. Например, сравниваем элементы r-го и l-го столбцов: если air ail, i = 1, m, то игроку В выгодно выбрать стратегию Bl, которая доминирует над стратегией Br. Стратегия Bl называется доминирующей, а стратегия Br – доминируемой.

Если в матричной игре имеем строки (столбцы) с одними и теми же элементами, то такие строки (столбцы), а следовательно, и стратегии игроков А и В называются дублирующими.

В матричной игре доминируемые и дублирующие строки (столбцы) можно опускать, что не влияет на решение игры, но позволяет уменьшить размерность платежной матрицы.

Таким образом, если стратегия As доминирует над стратегией At, то вероятность применения последней в оптимальной смешанной стратегии p игрока А равна нулю, а поэтому t-ю строку можно исключить из платежной матрицы. Если стратегия Bl игрока В доминирует над стратегией Br, то r-й столбец можно исключить из платежной матрицы.

Пример 5. Платежную матрицу можно упростить, прибавив, например, ко всем элементам достаточно большое положительное число. В результате можно получить новую матрицу с положительными (неотрицательными) элементами. Умножив элементы на подходящий положительный множитель (отличный от нуля), можно уменьшить (увеличить) элементы новой матрицы, что облегчит дальнейшие вычисления. При этом вероятности активных стратегий не меняются.

Так, разделив элементы матрицы на 100 (умножив на 0,01), а затем прибавив к элементам новой матрицы число 3, придем к матрице Работать с этой матрицей проще, чем с исходной.

Поскольку оптимальные смешанные стратегии игроков в результате рассмотренных упрощений платежной матрицы не меняются, то все получаемые в процессе преобразований матрицы называют эквивалентными.

Решение матричных игр 22. Игра 22 является наиболее простым случаем конечных матричных игр. В этой игре каждый из игроков обладает только двумя стратегиями.

Рассмотрим матричную игру 22 (табл. 56).

Если игра 22 имеет седловую точку, то ее решение очевидно.

Предположим, что игра не имеет седловой точки, т. е..

Требуется найти оптимальные смешанные стратегии игроков p = ( p1, p2 ) и q = (q1, q2 ), а также цену игры v.

Очевидно, что в игре 22, не имеющей седловой точки, обе стратегии игроков являются активными. Поэтому если игрок A будет применять свою оптимальную смешанную стратегию, то, независимо от действий игрока В, выигрыш его будет равен цене игры v.

Игрок А будет применять стратегию А1 с вероятностью р1 и стратегию А2 с вероятностью р2. Если игрок В отвечает своей стратегией В1, то выигрыш игрока А определяется из уравнения Если же игрок В будет применять стратегию В2, то выигрыш игрока А не изменится и будет определяться равенством Учитывая условие p1 + p2 = 1, получим систему трех уравнений с тремя неизвестными:

Решив эту систему, найдем оптимальное решение для игрока А:

p = ( p1, p2 ) и цену игры v.

Аналогично определяется оптимальная стратегия игрока В из системы уравнений:

Таким образом, матричная игра сведена к системе линейных уравнений.

Графический метод применим к играм, в которых хотя бы один игрок имеет только две стратегии. Рассмотрим игру 2n (табл. 57).

Первый игрок (А) Предположим, что игра не имеет седловой точки. Введем обозначения: р = р1 – вероятность применения первым игроком 1-й стратегии; р2 – вероятность применения первым игроком 2-й стратегии, причем р2 = 1 р; q1 – вероятность применения вторым игроком 1-й стратегии; q2 – вероятность применения вторым игроком 2-й стратегии и т. д.; qn – вероятность применения вторым игроком n-й стратегии.

Ожидаемый выигрыш v1 первого игрока при применении вторым игроком 1-й стратегии составит:

Аналогично найдем ожидаемые выигрыши первого игрока при применении вторым игроком 2, 3,..., n-й стратегий. Полученные данные поместим в табл. 58.

Чистые стратегии второго игрока Ожидаемые выигрыши первого игрока Из табл. 58 видно, что ожидаемый выигрыш первого игрока линейно зависит от p1. На плоскости Opv построим графики ожидаемых выигрышей первого игрока, которые представляют прямые, проходящие через точки (0; a2i) и (1; a1i), i = 1, n.

Первый игрок должен выбирать стратегии, позволяющие максимизировать его минимальный ожидаемый выигрыш. Поэтому оптимальная стратегия первого игрока определяется как точка пересечения прямых, максимизирующих его минимальный ожидаемый выигрыш. Поскольку игрок А может рассчитывать только на выигрыш v = v ( p ) = min{v1 ( p ),..., vn ( p )}, то на плоскости Opv рисуем график зависимости v = v ( p ) и находим наивысшую точку v = v ( p ) = max v ( p ) на этом графике, ордината которой выражает цену игры v, а стратегия ( p, 1 p ) является оптимальной смешанной стратегией игрока А.

Аналогично определяется оптимальная стратегия второго игрока. Она находится как точка пересечения прямых, минимизирующих его максимальные ожидаемые проигрыши.

Статистические игры. Под статистической игрой (игрой с природой) будем понимать парную матричную игру, в которой один игрок заинтересован в наиболее выгодном для него исходе игры, а второй игрок (природа) безразличен к результату игры.

В отличие от матричных игр, в которых участвуют два игрока с противоположными интересами (один игрок старается максимизировать плату, а другой – минимизировать), в реальных задачах, приводящихся к игровым, зачастую имеется неопределенность, вызванная отсутствием информации об условиях, в которых осуществляется действие (погода, покупательский спрос и т. д.) и которые не зависят от сознательных действий другого игрока. Такие игры относят к играм с природой. Сознательный игрок в играх с природой старается действовать осмотрительно, второй игрок (природа, покупательский спрос и т. д.) действует случайно.

Предположим, что в игре с природой сознательный игрок А может использовать m чистых стратегий: A1, A2, …, Am, а природа П может реализовать n различных состояний: П1, П2,..., Пn. Игроку А могут быть известны вероятности: q1, q2, …, qn, с которыми природа реализует свои состояния, но он может и не знать их.

Действуя против природы, игрок А имеет возможность использовать как чистые стратегии Ai, так и смешанные стратегии.

Если игрок А в состоянии оценить (величиной aij) последствия применения каждой своей чистой стратегии Ai при каждом состоянии Пj природы, то игру можно задать матрицей:

которая называется платежной.

Решение статистической игры состоит из следующих этапов:

1) выявление и отбрасывание дублирующих и доминируемых стратегий лица, играющего с природой; стратегии природы отбрасывать нельзя;

2) построение и исследование матрицы рисков;

3) оценка выигрыша при различных игровых ситуациях: критерии Вальда, Байеса, Сэвиджа и Гурвица и др.;

4) вывод о выборе наилучшей стратегии.

Игры с природой, хотя и являются частным случаем парных матричных игр, обладают и некоторыми особенностями. Например, при упрощении платежной матрицы отбрасывать те или иные состояния природы нельзя, т. к. она может реализовать любое состояние, независимо от того, выгодно оно игроку А или нет. Кроме того, решение достаточно найти только для игрока А, поскольку природа в рекомендациях «не нуждается».

Также в играх с природой смешанные стратегии имеют ограниченное значение: они приобретают смысл только при многократном повторении игры.

Таким образом, цель при решении статистической игры заключается в определении такой стратегии сознательного игрока (чистой или смешанной), которая при ее применении обеспечила бы наибольший выигрыш.

Риском rij игрока А, когда он пользуется чистой стратегией Ai при состоянии Пj природы, называется разность между максимальным выигрышем, который он мог бы получить, если бы точно знал, что природой будет реализовано именно состояние Пj, и тем выигрышем, который он получит, используя стратегию Ai:

где j = max aij максимальный элемент j-го столбца платежi ной матрицы. Элементы матрицы рисков (табл. 59), соответствующие стратегиям Ai и Пj, характеризуют общую благоприятность или неблагоприятность для игрока А отдельных состояний природы.

Стратегии А Для принятия решений в статистических играх используются следующие критерии:

1. Критерий Байеса критерий, основанный на известных вероятностях условий. Если известны вероятности q j состояний Пj природы, то пользуются критерием Байеса, в соответствии с которым оптимальной считается чистая стратегия Ai, при которой максимизируется средний выигрыш a = max ai = max aij q j. Слеi i j = дует отметить, что в этом случае игроку A нет смысла пользоваться смешанными стратегиями. Применение в игре с природой любой смешанной стратегии р не увеличивает выигрыш игрока А, получаемый при оптимальной чистой стратегии.

2. Принцип недостаточного основания Лапласа. Если объективные оценки состояний природы получить невозможно, то вероятности состояний природы могут быть оценены субъективно на основе принципа недостаточного основания Лапласа, согласно которому все состояния природы полагаются равновероятными, т. е. q1 =... = qn = 1 n, и оптимальной считается чистая стратегия Ai, обеспечивающая максимальное среднее значение выигрыша:

max ai = max aij.

3. Максиминный критерий Вальда. По этому критерию рекомендуется применять максиминную стратегию. Она выбирается из условия = max min aij, i = 1, m; j = 1, n. Критерий является пессиj мистическим: считается, что природа будет действовать наихудшим для сознательного игрока образом.

4. Критерий максимума. Оптимальная стратегия выбирается из условия m = max max aij, i = 1, m; j = 1, n. Критерий является опi j тимистическим: считается, что природа будет играть наиболее благоприятно для сознательного игрока.

5. Критерий Гурвица. Критерий рекомендует стратегию, определяемую по формуле s = max min aij + (1 ) max aij, i = 1, m;

j = 1, n, где (степень оптимизма) изменяется в диапазоне [0; 1].

Критерий придерживается некоторой промежуточной позиции, учитывающей возможность как наихудшего, так и наилучшего поведения природы. При = 1 критерий превращается в критерий Вальда; при = 0 в критерий максимума. На величину оказывает влияние степень ответственности лица, принимающего решение по выбору стратегии. Чем хуже последствия ошибочных решений, больше желание подстраховаться, тем степень оптимизма ближе к единице. В общем случае число выбирают из опыта или субъективных соображений.

6. Критерий Сэвиджа. Суть критерия состоит в выборе стратегии, позволяющей не допустить чрезмерно высоких потерь, к которым она может привести. Согласно этому критерию, рекомендуется выбирать ту стратегию, при которой в наихудших условиях величина риска принимает наименьшее значение: r = min max rij – оптимальная стратегия, где rij элеi j менты матрицы рисков.

Основные понятия. Для нормального функционирования предприятия и фирмы обычно имеют различные запасы: сырье, основные и вспомогательные материалы, полуфабрикаты (комплектующие изделия, готовая продукция, предназначенная для продажи, и т. д.). Совокупность подобных материалов, представляющих временно не используемые экономические ресурсы, называют запасами предприятия. Другими словами, под запасом понимается все, на что имеется спрос и что временно выключено из производства.

Под Q будем понимать количество изделий или материалов (товаров) только одного вида. Если на изделие поступает заявка, то оно отпускается, и значение Q падает. Предположим, что величина спроса непрерывна во времени. Если Q = 0, то имеет место дефицит.

Любая математическая модель, которая применяется для изучения определенной ситуации в управлении запасами, должна учитывать факторы, связанные с издержками. Различают следующие виды издержек:

1) организационные издержки расходы, связанные с оформлением и доставкой товаров;

2) издержки содержания запасов затраты, связанные с хранением. Они возникают из-за амортизации в процессе хранения (изделия могут портиться, устаревать, их количество может уменьшаться и т. д.);

3) издержки, связанные с дефицитом: если поставка со склада не может быть выполнена, то возникают дополнительные издержки, связанные с отказом (денежный штраф или ущерб, не осязаемый непосредственно, например ухудшение бизнеса в будущем и потеря потребителей);

4) издержки, связанные с приобретением запасов. Их учитывают, если цена единицы продукции зависит от величины партии.

Количество товара, поставляемое на склад, называют размером партии.

Задача управления запасами состоит в определении объемов поставок и периодичности заказов, при которых издержки (функция затрат) принимают минимальное значение.

Основная модель управления запасами. Введем обозначения необходимых для составления модели величин. Данные поместим в табл. 60.

Организационные Денежных единиц за одну Издержки постоянны, Стоимость товара Денежных единиц за еди- Цена единицы товара Издержки содер- Денежных единиц за еди- Стоимость хранения жания запасов ницу товара в единицу единицы товара в тевремени чение периода времени постоянна Размер партии Единиц товара в одной Размер партии постояq График изменения запасов представлен на рис. 25.

Чтобы полностью удовлетворить годовой спрос при размере поставки q, необходимо обеспечить /q поставок или партий в единицу времени. Средний уровень запасов составляет q/2. Уравнение издержек имеет вид:

где L1 общие организационные издержки; L2 стоимость товаров; L3 общие издержки содержания запасов.

Оптимальный размер партии qопт:

Данное равенство называется формулой Уилсона.

Основные понятия. Современное сетевое планирование начинается с разбиения программы работ на операции. Далее определяются оценки продолжительности операций и строится сетевая модель (график). Построение сетевой модели позволяет проанализировать все операции и внести улучшения в структуру модели до начала ее реализации. Затем строится календарный график (план), определяющий начало и окончание каждой операции, а также взаимосвязи с другими операциями графика. Календарный график выявляет критические операции, которым надо уделять особое внимание, чтобы закончить все работы в директивный срок. Что касается некритических операций, то календарный план позволяет определить резервы времени, которые можно выгодно использовать при задержке выполнения работ или эффективном применении как трудовых, так и финансовых ресурсов.

Сетевая модель графическое изображение плана выполнения комплекса работ, состоящее из нитей (работ) и узлов (событий), которые отражают логическую взаимосвязь всех операций.

Работа это любые операции, трудовые процессы, сопровождающиеся затратами ресурсов или времени. Это активный процесс, требующий затрат ресурсов, либо пассивный (ожидание), приводящий к достижению намеченного результата. На сетевых графиках работы изображают стрелками. Рядом со стрелкой указывают числовые характеристики: время выполнения работы, расход ресурса, количество исполнителей и т. д. Под работами подразумеваются не только реальные хозяйственные или технологические процессы, требующие затрат времени и ресурсов для их осуществления, но и процессы, потребляющие только время. Также принято считать работами и те процессы, которые не требуют затрат ни времени, ни ресурсов. Это так называемые фиктивные работы. Они показывают, что определенная работа не может совершаться раньше другой. На сетевых графиках фиктивные работы изображают пунктирными стрелками.

Событие это результат (промежуточный или конечный) выполнения одной и/или нескольких предшествующих работ. Событие означает факт окончания всех работ, в него входящих, и/или начала работ, из него выходящих. Оно не имеет протяженности во времени. На сетевом графике события изображаются кружками с указанием номера события. В каждое событие может входить и выходить из него несколько работ, а каждая работа ограничена двумя событиями. Событие выражает логическую связь между работами, заключающуюся в том, что работы, входящие в это событие, непосредственно предшествуют работам, выходящим из него; ни одна выходящая из данного события работа не может начинаться до окончания всех работ, входящих в него.

Событие, с которого начинается выполнение работ, является исходным; оно не имеет предшествующих работ. Событие, которое констатирует факт завершения проекта, называется завершающим; оно не имеет последующих работ. Все прочие события являются промежуточными.

Любая последовательность работ сети, в которой конечное событие каждой работы совпадает с начальным событием следующей за ней работы, называется путем. Под длиной пути (i; j1), (j1; j2),..., (jk; j) из события i в событие j будем понимать продолжительность выполнения всей последовательности работ, составляющих этот путь:

ti, j1 + t j1, j2 + … + t jk, j. Путь, в котором начальная вершина совпадает с исходным событием, а конечная с завершающим, называется полным. Путь от исходного события до любого промежуточного события i называется предшествующим событию i путем. Предшествующий событию i путь, имеющий наибольшую длину, будет максимальным предшествующим. Он обозначается L1(i), а его продолжительность t[L1(i)]. Путь от данного события i до завершающего события называется последующим путем. Такой путь с наибольшей длиной будет максимальным последующим. Он обозначается L2(i), его продолжительность t[L2(i)]. Критическим называется полный путь, имеющий наибольшую продолжительность. Таких путей в сети может быть несколько. Критический путь это путь, не имеющий резервов и включающий самые напряженные работы комплекса.

На сетевом графике критический путь выделяется двойной или жирной линией.

Работы и события, принадлежащие критическому пути, называются критическими. Все остальные работы являются некритическими (ненапряженными) и обладают резервами времени, которые позволяют передвигать сроки их выполнения, не влияя на общую продолжительность выполнения всего комплекса работ.

Суммарная продолжительность работ, принадлежащих критическому пути, называется критическим временем tкр выполнения всего комплекса работ.

Временные параметры сетевого графика. Основным временным параметром сетевого графика является продолжительность критического пути. Расчет критического пути включает два этапа.

Первый называется прямым проходом. Вычисления начинают с исходного события и продолжают до тех пор, пока не будет достигнуто завершающее событие. Для каждого события определяется ранний срок его наступления. На втором этапе, называемом обратным проходом, вычисления начинают с завершающего события и продолжают до тех пор, пока не будет достигнуто исходное событие. Для каждого события вычисляется поздний срок его наступления.

Ранним сроком tр(i) свершения события i называется самый ранний момент времени, к которому завершаются все предшествующие этому событию работы, т. е.

Поздним сроком tп(i) свершения события i является самый поздний момент, после которого остается ровно столько времени, сколько необходимо для завершения всех работ, следующих за этим событием, без превышения критического времени tкр. Очевидно, что tп(i) определяется разностью между tкр и длиной максимального из последующих путей:

Для событий критического пути ранний и поздний сроки свершения событий совпадают.

Разность между поздним и ранним сроками свершения события составляет резерв времени события Резервы критических событий равны нулю.

При расчете временных параметров вручную удобно проводить вычисления непосредственно на графе, воспользовавшись четырехсекторной схемой. В этом случае каждый кружок, обозначающий событие, делим на четыре сектора, в каждом из которых записываем следующую информацию.

1. Проставляем в верхних секторах номера событий (в соответствии с ранжированием).

2. Рассматривая события в порядке возрастания номеров, по входящим в данное событие работам определяем tр(i) и записываем в левом секторе.

3. Начиная с конечного события, для которого tп(n) = tр(n) = tкр (n номер конечного события), для каждого события по выходящим из него работам определяем tп(i) и записываем в правом секторе.

4. В нижнем секторе записываем резерв времени события R(i) (рис. 26).

Рис. 26. Четырехсекторная схема расчета Зная сроки свершения событий, можно определить временные параметры работ:

1. Ранний срок начала работы (i; j), который равен раннему сроку свершения события i:

2. Ранний срок окончания работы (i; j), который равен сумме раннего срока свершения ее начального события и продолжительности работы:

3. Поздний срок окончания работы (i; j) совпадает с поздним сроком свершения ее конечного события:

4. Поздний срок начала работы (i; j), который равен разности между поздним сроком свершения ее конечного события и продолжительностью работы:

Так как сроки выполнения работ находятся в границах, определяемых tр (i; j ) и tп (i; j ), то они могут иметь разного вида резервы времени.

5. Полный резерв времени работы это максимально возможный запас времени, на который можно отсрочить начало работы или увеличить продолжительность ее выполнения при условии, что конечное для данной работы событие наступит не позднее своего позднего срока:

Таким образом, полный резерв времени работы есть максимальное время, на которое можно увеличить ее продолжительность, не изменяя продолжительности критического пути. Все некритические работы имеют полный резерв времени, отличный от нуля.

Построение линейного графика (графика Ганта). На графике Ганта каждая работа (i; j ) изображается горизонтальным отрезком, длина которого в соответствующем масштабе равна времени ее выполнения. Начало каждой работы совпадает с ожидаемым сроком свершения ее начального события. Полный резерв времени работы изображается пунктирной линией. По графику Ганта можно определить критическое время выполнения комплекса работ и критический путь.

При решении задач СПУ для каждой из работ иногда задается количество ресурсов, необходимых для ее выполнения, т. к. одновременное выполнение некоторых операций из-за ограничений, связанных с рабочей силой, оборудованием и другими видами ресурсов, иногда оказывается невозможным. Именно в этом отношении представляют ценность полные резервы времени некритических операций.

Пусть rij – потребности в трудовых ресурсах для выполнения каждой работы (интенсивности использования ресурсов); R наличие трудовых ресурсов.

Выясним потребности в трудовых ресурсах. Для этого на основе сетевого графика составляем линейный график (график Ганта). На графике Ганта над каждой работой (i; j) проставляем потребность в ресурсах rij. Проецируем на ось времени начало и конец каждой работы. Проекцию, совпадающую с началом координат, обозначаем 0, следующую 1 и т. д. В строке rij записываем сумму ресурсов rij для каждого периода выполнения проекта. Полученные rij наносим на график интенсивности использования ресурсов. Пунктирная линия на графике проводится на уровне R ограничения наличного ресурса.

Пример 6. Комплекс работ представлен сетевым графиком (рис. 27).

Для каждой работы известны продолжительность tij ее выполнения и количество rij (число в скобках) ресурса, расходуемого в единицу времени при выполнении этой работы (интенсивность потребления ресурса). В процессе выполнения работ расход ресурса не должен превышать заданной величины R. Требуется:

1) построить линейный график комплекса работ и определить по нему критическое время и сроки начала и окончания работ без учета ограничения на используемый ресурс;

2) построить график интенсивности использования ресурсов;

3) указать потребности в ресурсах в каждый момент времени.

Решение. Найдем ранние и поздние сроки и резервы времени свершения каждого события (рис. 28).

Итак, завершающее, четвертое событие может свершиться лишь на пятнадцатый день от начала разработки. Это минимальное время, за которое могут быть выполнены все работы проекта, оно определяется самым длинным полным путем. Ранний срок свершения события (4) совпадает с критическим временем. Критический путь выделим на графике.

Вычислим временные параметры работ и нанесем результаты на календарный график (рис. 29).

По имеющемуся линейному графику построим график интенсивности использования ресурсов (рис. 30).

Рис. 30. График интенсивности использования ресурсов Таким образом, ресурсов не хватает в течение первых пяти дней и с восьмого по одиннадцатый день. Рекомендуется либо увеличить запас ресурсов, либо сдвинуть сроки выполнения работы.

Модели оптимального планирования 1. Что называется ЗЛП? Приведите примеры.

2. Что называется допустимым планом? Всегда ли он существует? Приведите примеры.

3. Что называется оптимальным планом? Всегда ли он существует? Приведите примеры.

4. Какие методы решения ЗЛП Вы знаете?

5. Сформулируйте правила составления двойственных задач.

6. Какой экономический смысл имеют переменные прямой и двойственной задач в задаче распределения ресурсов?

7. Какой экономический смысл имеют дополнительные переменные в задаче распределения ресурсов, в двойственной задаче?

8. Используя теоремы двойственности, ответить на вопросы:

• Прямая задача имеет оптимальный план. Что можно сказать про решение двойственной?

• Прямая задача не имеет допустимых планов. Что можно сказать про решение двойственной?

• Целевая функция прямой задачи не ограничена. Что можно сказать про решение двойственной?

• Некоторые переменные оптимального плана прямой задачи отличны от нуля. Что можно сказать про соответствующие ограничения двойственной задачи?

• Как изменится оптимальное значение целевой функции при изменении количества одного из ресурсов на единицу?

Модели межотраслевого баланса 1. Приведите примеры балансовых моделей.

2. Что называется стоимостным межотраслевым балансом, из каких квадрантов он состоит?

3. Что называется валовым продуктом, промежуточным и конечным продуктами, чистой продукцией?

4. Приведите схему МОБ.

5. Запишите экономико-математическую модель МОБ.

6. Что называется условно чистой продукцией?

7. Какого вида расчеты можно проводить по модели МОБ?

8. Что называется матрицей прямых материальных затрат?

9. Что называется матрицей полных материальных затрат?

10. Что называется косвенными материальными затратами?

Как они связаны с прямыми?

11. Сформулируйте балансовое соотношение модели МОБ.

Методы и модели массового обслуживания 1. Приведите примеры систем обслуживания.

2. Что является предметом изучения теории массового обслуживания?

3. Что такое поток событий?

4. Какие потоки событий Вы знаете?

5. Назовите основные элементы модели массового обслуживания.

6. Какие типы систем массового обслуживания Вы знаете?

7. Как составляется система дифференциальных уравнений Колмогорова?

8. Что такое финальные вероятности состояний и как их найти?

9. Как можно истолковать финальные вероятности?

10. Перечислите основные понятия СМО с отказами.

11. Какие геометрические представления случайного процесса с дискретными состояниями Вы знаете?

Теория игр 1. Что называется игрой, партией, ходом, стратегией?

2. Как находятся верхняя и нижняя чистые цены матричной игры?

3. Всегда ли матричная игра имеет решение в чистых стратегиях?

4. Что называется оптимальным решением матричной игры?

5. Какие методы упрощения матричных игр Вы знаете?

6. Какие стратегии в матричной игре называются чистыми, а какие смешанными?

7. Какие методы решения матричных игр Вы знаете?

Модели управления запасами 1. Какие ресурсы называются запасами предприятия?

2. Перечислите виды издержек, возникающие при управлении запасами.

3. Составьте уравнение издержек.

4. Как определить оптимальный размер партии?

5. Как выглядит график изменения запасов в основной модели управления запасами?

6. В каком случае применяется модель производственных запасов?

7. Как определить оптимальный размер партии производственных поставок?

8. Как выглядит график изменения запасов в модели производственных поставок?

9. Какие основные предположения в основной модели управления запасами Вы знаете?

Сетевое планирование и управление 1. Дайте определение сетевой модели.

2. Что называется событием, работой, фиктивной работой?

3. Какие события называются промежуточными, исходными, завершающими?

4. Дайте определение пути, полного пути, пути, предшествующего событию.

5. Дайте определение последующего пути, максимального последующего пути.

6. Дайте определение критического пути.

7. Какие работы называются критическими?

8. Какие временные параметры сетевого графика Вы знаете?

9. Что называется ранним, поздним сроком свершения события, резервом времени события?

10. Что называется ранним, поздним сроком начала (окончания) работы, полным резервом времени работы?

11. Как определить время выполнения всего комплекса работ?

12. Что называется линейным графиком (графиком Ганта)?

13. Какие виды резервов времени Вы знаете?

Модели оптимального планирования Пример 7. Исходя из специализации и своих технологических возможностей предприятие может выпускать четыре вида продукции. Сбыт любого количества обеспечен. Для изготовления этой продукции используются трудовые ресурсы, полуфабрикаты и станочное оборудование. Общий объем ресурсов (в расчете на трудовую неделю), расход каждого ресурса на единицу выпускаемой продукции и прибыль, полученная за единицу продукции, приведены в табл. 61.

Требуется определить план выпуска, обеспечивающий предприятию максимальную прибыль.

Решение. Математическая модель прямой задачи:

Представим прямую задачу в виде табл. 62.

Составим двойственную задачу (табл. 63). Транспонируем таблицу.

Математическая модель двойственной задачи:

Решим прямую задачу с помощью симплексного метода:

x = (0; 0; 400; 500; 0; 0; 200), z = z ( x ) = 84 000. Последняя симплекс-таблица имеет вид, представленный в табл. 64.

Номер Выпишем из индексной строки последней (второй) итерации компоненты искомого оптимального плана у* = (15; 5; 0; 5; 10; 0; 0) двойственные оценки. Получим:

Запишем это равенство в развернутой форме:

Учитывая, что компоненты y1 = 15; y2 = 5; y3 = 0 представляют собой оценки ресурсов Р1, Р2, Р3, заключаем: при оптимальном плане оценка ресурсов, затраченных на выпуск продукции, совпадает с оценкой произведенной продукции.

Таким образом, оптимальность плана означает точное воплощение в оценке произведенной по этому плану продукции оценки всех израсходованных ресурсов, т. е. полное отсутствие непроизводительных затрат.

Найден оптимальный план х* = (0; 0; 400; 500; 0; 0; 200) выпуска продукции. При этом плане третье ограничение прямой задачи выполняется как строгое неравенство: 0 + 2 400 + 500 = 1300 < 1500.

Это означает, что расход ресурса Р3 меньше его запаса, т. е.

ресурс Р3 избыточный. Именно поэтому в оптимальном плане у* = (15; 5; 0; 5; 10; 0; 0) двойственной задачи оценка y3 этого ресурса равна нулю.

А вот оценки y1 и y2 ресурсов Р1 и Р2 выражаются положительными числами 15 и 5, что свидетельствует о дефицитности этих ресурсов: при оптимальном плане они полностью используются. В самом деле, ограничения по этим ресурсам выполняются как строгие равенства: 4 0 + 2 0 + 2 400 + 8 500 = 4800;

Поскольку 15 > 5, ресурс P1 считается более дефицитным, чем ресурс Р2.

Первое и второе ограничения двойственной задачи выполняются как строгие неравенства: 4 · 15 + 2 · 5 + 0 > 65; 2 · 15 + 10 · 5 > 70. Это означает, что оценки ресурсов, расходуемых на изготовление единицы продукции П1 и П2, превышают оценки единицы этой продукции.

Понятно, что такую продукцию выпускать предприятию невыгодно, поэтому продукция П1 и П2 не вошла в оптимальный план. Что же касается продукции П3 и П4 ( x3 > 0; x4 > 0), то выпуск ее оправдан, поскольку оценка израсходованных ресурсов совпадает с оценкой произведенной продукции: 2 · 15 + 6 · 5 + 2 · 0 = 60; 8 · 15 + 0 = 120.

Установлено, что ресурсы Р1 и Р2 являются дефицитными.

В связи с этим можно утверждать, что каждая единица ресурса Рi, дополнительно введенная в производство, принесет дополнительную выручку iz, численно равную yi*. В самом деле, при b1 = получаем: 1z = y1 b1 = 15 · 1 = 15. По тем же причинам каждая дополнительная единица ресурса Р2 обеспечит прирост 2z выручки, равный 5 ден. ед. Поэтому ресурс P1 считается более дефицитным по сравнению с ресурсом Р2: он может содействовать получению большей выручки.

Что же касается избыточного ресурса Р3, то увеличение его запаса не приведет к росту выручки, поскольку 3z = у3b3 = 0 b3 = 0. Из этих рассуждений следует, что оценки ресурсов позволяют совершенствовать план выпуска продукции.

Выясним экономический смысл оценок y4, y5, y6, y7 продукции П1, П2, П3, П4.

По оптимальному плану х* = (0; 0; 400; 500; 0; 0; 200) выпускать следует продукцию П3 и П4. Оценки y6 и y7 этих видов продукции равны нулю. Что это означает практически, станет ясно, если представить оценки в развернутой записи:

Таким образом, нулевая оценка показывает, что эта продукция является неубыточной, поскольку оценка ресурсов, расходуемых на выпуск единицы такой продукции, совпадает с оценкой единицы изготовленной продукции.

Что же касается продукции П1 и П2, являющейся, как установлено ранее, убыточной, а потому и не вошедшей в оптимальный план, то для ее оценок y4 = 5 и y5 = 10 получаем:

Отсюда видно, что оценка убыточной продукции показывает, насколько будет снижать каждая изготовленная единица такой продукции достигнутый оптимальный уровень выручки.

Выясним состав двойственной оценки. Для этого рассмотрим, например, первый ресурс (его запас b1 = 4800). Он дефицитен. Увеличение запаса этого ресурса на единицу приведет к дополнительному выпуску продукции, что увеличит выручку на y1 = 15 ден. ед. За счет чего? Возьмем соответствующий столбец 5 = (1/8; 0; –1/8)Т табл. 63. Его элементы характеризуют изменение объемов выпуска продукции и остатка ресурса при увеличении первого ресурса на единицу, т. е. если заменить b1 на b1 = b1 + 1 = 4800 + 1 = 4801, то выпуск x4 = 500 продукции П4 заменится на x4 = 500 + 1/8 = 500,125; выпуск x3 = 400 продукции П3 на x3 = 400 + 0 = 400. Резерв же третьего ресурса сократится до x7 = 200 – 1/8 = 199,875. При этом выручка возрастет на 120 1/8 + 60 0 + 0 (–1/8) = 15 ден. ед., что соответствует двойственной оценке первого ресурса. Аналогично при увеличении второго ресурса на единицу выручка возрастет на 120 (–1/24) + 60 1/6 + 0 (–7/24) = 5 ден. ед., что соответствует двойственной оценке второго ресурса. Полученные равенства показывают, какие составляющие образуют двойственные оценки.

Найдем коэффициент взаимозаменяемости ресурсов. В примере дефицитны трудовые ресурсы и полуфабрикаты. Если бы трудовые ресурсы уменьшили на единицу, то связанное с этим падение выручки (на 15 ден. ед.) можно было бы компенсировать увеличением полуфабрикатов на величину Значит, обеспечив полуфабрикаты в объеме b2 = b2 + b2 = = 2400 + 3 = 2403 кг с трудовыми ресурсами b1 = b1 – b1 = 4800 – 1 = = 4799 чел.-ч, можно получить ту же выручку, что и при начальных ресурсах.

Проанализируем целесообразность расширения ассортимента выпускаемой продукции и установление цены на новую продукцию. Пусть в условиях примера изучается вопрос о целесообразности выпуска продукции П5 с характеристиками, представленными в табл. 65.

Чтобы выпуск продукции П5 был оправдан, оценка ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции П5, должна быть не менее цены с5 = 95 ден. ед.

Находим оценку затраченных ресурсов: 3 15 + 6 5 + 8 0 = 75.

Поскольку 75 < 95, выпускать продукцию П5 целесообразно: каждая единица этой продукции принесет предприятию прибыль, равную 95 – 75 = 20 ден. ед.

Модели межотраслевого баланса Пример 8. По условным данным двух отраслей – межотраслевым потокам и вектору конечной продукции:

необходимо:

1) определить в плановом периоде вектор конечного использования при валовом выпуске X = ;

2) привести схему МОБ на плановый период.

Решение.

Вектор конечного использования можно определить по формуле: Y = (E A)X. Сначала найдем матрицу А – матрицу коэффициентов прямых материальных затрат:

Валовой выпуск i-й отрасли равен: X i = xij + Yi, т. е.

Коэффициенты прямых затрат:

Следовательно, A = – матрица коэффициентов прямых материальных затрат.

Значит, Тогда вектор конечного использования имеет вид:

Для того чтобы привести схему МОБ на плановый период, нужно найти новые межотраслевые поставки по формулам:

Тогда схема МОБ имеет вид, представленный в табл. 66.

Производящие Пример 9. Народное хозяйство представлено тремя отраслями: 1) тяжелая промышленность; 2) легкая промышленность;

3) сельское хозяйство. За отчетный период получены данные о межотраслевых поставках xij и вектор объемов конечного потребления Y0 (табл. 67). Найти МОБ при валовом выпуске Х, матрицу полных затрат В точным и приближенным методами, оценить погрешность.

Решение. По данным задачи находим вектор объемов валовых выпусков:

Находим матрицу коэффициентов прямых затрат:

Матрица «затраты – выпуск» примет вид:

Новый вектор конечного потребления найдем по данному вектору валовых выпусков X :

Чтобы построить таблицу МОБ на расчетный период нужно определить межотраслевые потоки:

x11 = 0,4 300 = 120; x12 = 0,05 400 = 20; x13 = 0,25 400 = 100;

Межотраслевой баланс на расчетный период представлен в табл. 68.

Производящие Найдем матрицу коэффициентов полных материальных затрат В путем обращения матрицы (Е А):

Косвенные затраты первого порядка равны: A1 = A A, второго A2 = A A1, третьего – A3 = A A2. Найдем сумму затрат B = ( E + A) + ( A1 + A2 + A3 ) = bij и сравним ее с полными затратами:

Тогда матрица полных материальных затрат равна:

Относительные погрешности составят (в процентах):

Пример 10. Рассчитать упрощенную модель экономической системы, в которой выделены три производящих сектора. В табл. структура экономики описана в единицах стоимости.

Требуется вычислить вектор выпуска для заданного вектора конечного спроса: Y = 150.

Задан вектор норм добавленной стоимости v = 0,5, включающий зарплату, налоги, прибыль и инвестиции на единицу выпускаемой продукции для каждой отрасли. Определить вектор цен. Найти приращения равновесных цен, если норма добавленной стоимости для транспорта станет 0,5.

Решение. Для этого сначала необходимо рассчитать коэффициенты матрицы прямых затрат (матрица A) на единицу общего выпуска продукции отрасли, что требует следующих вычислений:

Запишем единичную матрицу:

и, вычитая поэлементно, найдем:

Каждый коэффициент bij матрицы полных затрат B показывает затраты i-го продукта на производство единицы j-го конечного продукта в стоимостном выражении.

Тогда искомый объем общего выпуска для удовлетворения заданного конечного спроса Умножая полученные величины общего выпуска по трем секторам на элементы матрицы A, найдем величины производственного потребления, т. е. три первых столбца. Для контроля правильности вычислений можно просуммировать построчно производственное потребление и конечный спрос, заданный вектором Y.

Результаты расчетов приведены в табл. 70.

Предположим, что нужно проанализировать изменения объемов производства по секторам при увеличении конечного спроса на транспорт на 5%, т. е. на 4 единицы. Для этого достаточно учесть, что третий столбец матрицы полных затрат В показывает приросты общего выпуска в отраслях при увеличении конечного спроса на транспорт на единицу. Следовательно, вектор прироста по секторам экономики составит:

Пусть задан вектор норм добавленной стоимости v = 0,5, включающий зарплату, налоги, прибыль и инвестиции на единицу выпускаемой продукции для каждой отрасли. Для определения вектора цен используем формулу p = BT v. Получим:

Столбцы матрицы BT показывают величины изменения равновесных цен в каждой отрасли при увеличении нормы добавленной стоимости для соответствующей столбцу продукции на единицу. Например, если для транспорта норма добавленной стоимости станет 0,5 (изменение на 0,1), то приращения равновесных цен будут:

что составит 2,44% для сельского хозяйства, 1,92% для промышленности и 12,82% для транспорта.

Методы и модели массового обслуживания Пример 11. Техническое устройство может находиться в одном из трех состояний: S0, S1, S2. Интенсивности потоков, которые переводят устройство из одного состояния в другое, известны:

01 = 2; 10 = 4; 21 = 2; 12 = 3; 20 = 4. Необходимо построить размеченный граф состояний, записать систему дифференциальных уравнений Колмогорова, найти финальные вероятности состояний и проанализировать полученное решение.

Решение. Размеченный граф состояний представлен на рис. 31.

По графу запишем систему уравнений Колмогорова в общем виде:

Вместо интенсивностей потоков ij подставим их конкретные значения и получим искомую систему:

Чтобы найти финальные вероятности состояний, в уравнениях Колмогорова отбросим первое уравнение, а по остальным составим систему алгебраических уравнений:

Решив эту систему, получим: p0 = 0,67; p1 = 0,22; p2 = 0,11.

При достаточно большом времени работы техническое устройство будет находиться в состоянии S0 с вероятностью p0 = 0,67, в состоянии S1 с вероятностью p1 = 0,22 и в состоянии S 2 с вероятностью p2 = 0,11.

Пример 12. В ОТК цеха работают три контролера. Если деталь поступает в ОТК, когда все контролеры заняты обслуживанием ранее поступивших деталей, то она проходит непроверенной. Среднее число деталей, поступающих в ОТК в течение часа, равно 24, среднее время, которое затрачивает один контролер на обслуживание одной детали, равно 5 мин. Определить вероятность того, что деталь пройдет ОТК необслуженной, насколько загружены контролеры и сколько их необходимо поставить, чтобы Робсл > 0,95 ( заданное значение Робcл).

Решение. По условию задачи = 24 дет./ч = 0,4 дет./мин, toбcл = 5 мин, тогда = 0,2, = 2.

1. Вероятность простоя каналов обслуживания:

где 0! = 1.

2. Вероятность отказа в обслуживании:

3. Вероятность обслуживания:

4. Среднее число занятых обслуживанием каналов:

5. Доля каналов, занятых обслуживанием:

6. Абсолютная пропускная способность:

При n = 3 вероятность Робcл = 0,79 Робсл = 0,95. Произведя аналогичные расчеты для n = 4, получим:

Так как Робcл = 0,907 < Робсл = 0,95, то, произведя расчеты для n = 5, получим:

Р0 = 0,137; Ротк = 0,035; Робcл = 0,965 > Робсл = 0,95.

Таким образом, вероятность того, что при n = 3 деталь пройдет ОТК необслуженной, составляет 21%, и контролеры будут заняты обслуживанием на 53%. Чтобы обеспечить вероятность обслуживания более 95%, необходимо не менее пяти контролеров.

Пример 13. Для отопления коттеджа зимой используется уголь, цена на который зависит от времени года и характера зимы. Летом тонна угля стоит 7,5 ден. ед., в мягкую зиму – 8,5, в обычную – 9,0, а в холодную – 9,5 ден. ед. Расход угля в отопительный сезон полностью определяется характером зимы: на мягкую зиму достаточно 6 т, на обычную требуется 7 т, а в холодную зиму расходуется 8 т.

Понятно, что затраты домовладельца зависят от количества запасенного им с лета угля. При анализе возможных вариантов уровня запаса следует иметь в виду, что при необходимости недостающее количество угля можно приобрести и зимой. Кроме того, надо учесть, что продать непотребовавшийся уголь возможности не будет. Используя игровой подход, составить платежную матрицу и дать рекомендации, сколько угля следует закупить летом.

Решение. Одним из участников рассматриваемой ситуации является домовладелец, озабоченный необходимостью заготовки определенного количества угля на предстоящий отопительный сезон.

Если описанной ситуации придать игровую схему, то домовладелец выступает в ней в качестве сознательного игрока А, заинтересованного в минимизации затрат на приобретение угля. Вторым участником является природа (игрок П), подчиняющаяся своим законам развития. В данном случае игрок П безразличен к результатам тех или иных действий сознательного игрока А (статистика). Подобная ситуация при моделировании представляется типичной для статистической игры.

Заготавливая летом уголь, домовладелец может ориентироваться либо на мягкую (первая чистая стратегия А1), либо на обычную (вторая чистая стратегия А2), либо на холодную зиму (третья чистая стратегия А3), покупая соответственно 6, 7 или 8 т угля. Игрок П может реализовать либо мягкую (первая чистая стратегия – состояние П1), либо обычную (второе возможное состояние П2), либо холодную зиму (третье возможное состояние П3), что потребует затрат 6, 7 или 8 т угля соответственно. Таким образом, платежная матрица статистической игры будет иметь размерность 33 (табл. 71).

Вычислим элемент, соответствующий ситуации (А1; П1).

Это наиболее благоприятный случай. В самом деле, домовладелец в расчете на мягкую зиму купил летом 6 т угля, заплатив 6 7,5 = 45 ден. ед. Наступившая зима оказалась мягкой, и потому дополнительных затрат не потребовалось. Таким образом, «выигрыш» игрока А равен –45 ден. ед.

Рассмотрим теперь ситуацию (А1; П2), т. е. случай, когда домовладелец приобрел летом 6 т угля в расчете на мягкую зиму, а зима оказалась обыкновенной. Пришлось дополнительно купить зимой 1 т угля по цене 9 ден. ед., а потому общие расходы на отопление составили 45 + 9 = 54 ден. ед. «Выигрыш» в этом случае равен –54 ден. ед.

В ситуации (A1; П3) общие расходы с учетом холодной зимы составили 45 + 2 9,5 = 64 ден. ед.

Рассуждая аналогично, находим и остальные элементы платежной матрицы (табл. 71).

Стратегии А Как следует из платежной матрицы, = max (–64; –62; –60) = –60, = min (–45; –52,5; –60) = –60, т. е. v = –60. Следовательно, игра обладает седловой точкой, которая и определяет оптимальные чистые стратегии А3 и П3 игроков А и П и чистую цену v = –60. Поскольку данная игра является статистической (игрой с природой), то давать рекомендации игроку П (природе) по оптимальному поведению не имеет смысла, а вот сознательному игроку А (домовладельцу) следует рекомендовать чистую стратегию А3, т. е. запасти летом 8 т угля, за что придется заплатить 60 ден. ед.

Пример 14. Упростить матричную игру, заданную платежной матрицей, которая представлена в табл. 72.

Стратегии А Решение. Легко заметить, что стратегии В1 и В6 полностью совпадают. Можно сказать, что стратегия В6 дублирует стратегию В1, и исключить одну из них. Сравнивая стратегии игрока А между собой, можно сделать вывод, что при любой стратегии оппонента выигрыш при использовании стратегии А1 не ниже выигрыша при использовании стратегии А4. В этом случае говорят, что стратегия А доминирует над стратегией А4, и последнюю следует исключить.

Получим табл. 73.

Стратегии А Из стратегий игрока А ни одну пока нельзя исключить, но у оппонента стратегия В3 доминирует над стратегиями В2 и В5. Исключив эти стратегии, получим табл. 74.

Стратегии А Пример 15. Решить игру с природой (табл. 75) Стратегии А Решение. Платежная матрица представлена в табл. 76.

Элементы матрицы рисков rij = j aij представлены в табл. 77.

Стратегии А Лучшими стратегиями оказываются А1 – для матрицы выигрышей и А3 – для матрицы рисков.

Если бы результаты применения различных критериев совпадали, то мы имели бы основание для выбора стратегии. Однако есть основание сократить область выбора, опустив стратегии А и А4. Окончательное же решение зависит от склонности и готовности к риску лица, принимающего решения. Стратегия А1 перспективна, хотя и несколько рискованна, стратегия А3 представляется более осторожной. В подобной ситуации уместно поставить задачу сбора дополнительных статистических данных или проведения экспериментов для оценки вероятностей возможных состояний природы. Экономически такая работа будет оправдана, если затраты на ее проведение будут меньше ожидаемого выигрыша от уточнения стратегии.

Предположим, что вероятности состояний природы q j, j = 1, n, известны и занесены в платежную матрицу (табл. 78) и матрицу рисков (табл. 79).

В этом случае пользуются критерием Байеса для выбора стратегии, максимизирующей средний выигрыш max ai или минимизирующей средний проигрыш min ri. Для принятых значений вероятности в обоих случаях предпочтительной оказывается стратегия А4.

Если объективные оценки состояний природы отсутствуют, но нет оснований предпочесть одно состояние другому, то можно принять их равными, полагая q j = 1/ n. Такой подход называют принципом недостаточного основания Лапласа. Легко убедиться, что в этом случае лучшие результаты дает стратегия А2.

Пример 16. Определение производственной программы предприятия в условиях риска и неопределенности с использованием матричных игр.

Фирма «Фармацевт» производитель медикаментов и биомедицинских изделий в регионе. Известно, что пик спроса на некоторые лекарственные препараты приходится на летний период (препараты сердечно-сосудистой группы, анальгетики), на другие на осенний и весенний периоды (антиинфекционные, противокашлевые).

Затраты на 1 усл. ед. продукции за сентябрь октябрь составили: по первой группе (сердечно-сосудистые препараты и анальгетики) 20 ден. ед.; по второй группе (антиинфекционные, противокашлевые препараты) 15 ден. ед.

По данным наблюдений за несколько последних лет, службой маркетинга фирмы установлено, что она может реализовать в течение рассматриваемых двух месяцев в условиях теплой погоды 3050 усл. ед. продукции первой группы и 1100 усл. ед. продукции второй группы; в условиях холодной погоды 1525 усл. ед. продукции первой группы и 3690 усл. ед. продукции второй группы.

В связи с возможными изменениями погоды ставится задача определить стратегию фирмы в выпуске продукции, обеспечивающую максимальный доход от реализации при цене продажи 40 ден. ед. за 1 усл. ед. продукции первой группы и 30 ден. ед. за 1 усл. ед. второй группы.

Решение. Фирма располагает двумя стратегиями:

• А1 в этом году будет теплая погода;

• А2 погода будет холодная.

Если фирма примет стратегию А1 и в действительности будет теплая погода (стратегия природы П1), то выпущенная продукция (3050 усл. ед. препаратов первой группы и 1100 усл. ед.

препаратов второй группы) будет полностью реализована и доход составит:

В условиях прохладной погоды (стратегия природы П2) препараты второй группы будут проданы полностью, а препараты первой группы только в количестве 1525 усл. ед., и часть препаратов останется нереализованной. Доход составит:

1525 (40 20) + 1100 (30 15) 20 (3050 1525) = 16 500 ден. ед.

Если фирма примет стратегию А2 и в действительности будет холодная погода, то доход составит:

При теплой погоде доход составит:

1525 (40 20) + 1100 (30 15) (3690 1100) 15 = 8150 ден. ед.

Рассматривая фирму и погоду в качестве двух игроков, получим платежную матрицу = max {16 500; 8150} = 16 500 ден. ед.

= min {77 500; 85 850} = 77 500 ден. ед.

Цена игры лежит в диапазоне 16 500 v 77 500.

Из платежной матрицы видно, что при любых условиях доход фирмы будет не меньше 16 500 ден. ед., но если погодные условия совпадут с выбранной стратегией, то доход фирмы может составить 77 500 ден. ед.

Найдем решение игры.

Обозначим вероятность применения фирмой стратегии А1 через x1, стратегии A2 через x2, причем x1 = 1 x2. Если решить игру графическим методом, получим: xопт = (0,56; 0,44), при этом цена игры v = 46 986 ден. ед.

Оптимальный план производства лекарственных препаратов составит:

0,56 (3050; 1100) + 0,44 (1525; 3690) = (2379; 2239,6).

Таким образом, фирме целесообразно производить в течение сентября и октября 2379 усл. ед. препаратов первой группы и 2239,6 усл. ед. препаратов второй группы, тогда при любой погоде она получит доход не менее 46 986 ден. ед.

В условиях неопределенности, если не представляется возможным использовать смешанную стратегию (договоры с другими организациями), для определения оптимальной стратегии фирмы используем критерии природы.

1. Критерий Вальда:

max min aij = max {16 500; 8150} = 16 500 ден. ед., фирме целесообразно использовать стратегию А1.

2. Критерий максимума:

max max aij = max {77 500; 85 850} = 85 850 ден. ед., целесообразно использовать стратегию А2.

3. Критерий Гурвица: для определенности примем = 0,4, тогда для стратегии А1 фирмы для стратегии А фирме целесообразно использовать стратегию А2.

4. Критерий Сэвиджа. Максимальный элемент в первом столбце 77 500, во втором столбце 85 850.

Элементы матрицы рисков находятся из выражения:

откуда r11 = 77 500 77500 = 0; r12 = 85 850 16 500 = 69 350;

r21 = 77 500 – 8150 = 69 350; r22 = 85 850 – 85 850 = 0. Матрица рисков имеет вид:

min max rij = min {69 350; 69 350} = 69 350 ден. ед., целесообразно использовать стратегию А1 или А2.

Таким образом, в результате решения статистической игры по различным критериям чаще других рекомендовалась стратегия А2, а значит, фирме целесообразно применять именно эту стратегию.

Отметим, что каждый из рассмотренных критериев не может быть признан вполне удовлетворительным для окончательного выбора решений, однако их совместный анализ позволяет более наглядно представить последствия принятия тех или иных управленческих решений.

При известном распределении вероятностей различных состояний природы критерием принятия решения является максимум математического ожидания выигрыша.

Пусть для рассматриваемой задачи известно, что вероятности теплой и холодной погоды равны и составляют 0,5, тогда оптимальная стратегия фирмы определяется так:

max {(0,5 77 500 + 0,5 16 500); (0,5 8150 + 0,5 85 850)} = Фирме целесообразно использовать стратегию А1 или А2.

Пример 17. После k лет эксплуатации промышленное оборудование может оказаться в одном из следующих состояний:

1) требуется незначительный ремонт; 2) необходимо заменить отдельные детали и узлы; 3) дальнейшая эксплуатация возможна лишь после капитального ремонта. Накопленный на предприятии опыт свидетельствует, что вероятности указанных состояний оборудования составляют соответственно 0,3, 0,6 и 0,1. В зависимости от сложившейся ситуации руководство предприятия может принять такие решения: 1) произвести ремонт своими силами, что потребует затрат, равных 2, 6 или 10 ден. ед, в зависимости от состояния оборудования (в затраты включены стоимость ремонта и заменяемых деталей и узлов, убытки, связанные с ухудшением качества выпускаемой продукции, простоем неисправного оборудования и др.); 2) произвести ремонт с помощью специалистов-ремонтников, что вызовет затраты, равные 10, 4 или 8 ден. ед.; 3) заменить оборудование новым, на что будет израсходовано соответственно 14, 12 или 6 ден. ед. Используя игровой подход, высказать рекомендации по оптимальному образу действий руководства предприятия.

Решение. В рассматриваемой ситуации в качестве игрока А выступает руководство предприятия, обладающее тремя стратегиями: