«К.П. Ловецкий, Л.А. Севастьянов, О.Н. Бикеев А.П. Горобец, И.В. Хавруняк. Математическое моделирование и методы расчета оптических наноструктур Учебное пособие МОСКВА 2008 г. Аннотация В пособии на основе методов и ...»

Приоритетный национальный проект «Образование»

Российский университет дружбы народов

К.П. Ловецкий, Л.А. Севастьянов,

О.Н. Бикеев А.П. Горобец, И.В. Хавруняк.

Математическое

моделирование и методы

расчета оптических

наноструктур

Учебное пособие

МОСКВА

2008 г.

Аннотация

В пособии на основе методов и алгоритмов, развитых в предыдущих курсах магистерской программы, предлагаются схемы решения задач проектирования сложных периодических многослойных оптических покрытий для современных технологий солнечной энергетики, "умных" материалов, дисплейных покрытий с нетривиальными электромеханическими свойствами. Приведены примеры решения актуальных научно-исследовательских и конструкторских разработок, пользующихся спросом, в том числе и у зарубежных производителей.

Общее описание курса Курс «Математическое моделирование и методы расчета оптических наноструктур» является составной частью магистерской программы «Оптика наноструктур». Магистерская программа «Оптика наноструктур»

реализуется в рамках направлений «Прикладная математика и информатика» и «Прикладная математика и физика», а возможно, и других направлений. В составе магистерской программы «Оптика наноструктур»

курс «Математическое моделирование и методы расчета оптических наноструктур» является обязательным, привязанным к семестру. Для других магистерских программ этот курс может быть курсом по выбору без привязки к семестру или факультативным на усмотрение методической комиссии программы. Курс носит теоретический и практический характер.

Целью курса является подробное ознакомление студентов с устойчивыми современными методами численного решения математических задач, возникающих при изучении взаимодействия электромагнитного излучения в области светового диапазона с веществом, в особенности с наноструктурами. Эта область знаний особенно быстро развивается в последние годы в связи с широким применением наноэлементов и тонких (менее одного микрометра толщиной) пленок, используемых в производстве жидкокристаллических дисплеев, солнечных батарей на основе диэлектриков, фотоэмиссионных диодов, просветляющих покрытий, поляризаторов, миниатюрных лазеров, управляемых оптических элементов. Задачи оптики наноструктур практически не поддаются аналитическому решению, поэтому важным является не только освоение теоретического материала, но и изучение эффективных численных методов, используемых при решении данного класса задач, приобретение навыков создания программного обеспечения для численного моделирования различных оптических наноструктур.

Задачей курса «Математическое моделирование и методы расчета оптических наноструктур» является формирование у студентов навыков работы на современной измерительной аппаратуре, обучение использованию строгих методов связанных волн при решении задач моделирования современных оптических устройств на основе тонкопленочных покрытий и дифракционных оптических элементов. Это позволит учащимся при необходимости разрабатывать новое программное обеспечение. Безусловной задачей курса является также освоение существующего программного обеспечения, ориентированного на расчет и проектирование оптических покрытий. В результате обучения студенты получат умения и навыки правильно оценивать сложность научноисследовательских и конструкторских заданий на разработку дифракционных оптических элементов и устройств, аргументированно выбирать метод решения конструкторской задачи, а затем экономично и эффективно выполнять компьютерный дизайн требуемого дифракционного оптического покрытия или устройства.

Инновационность курса Курс является инновационным по содержанию и по литературе, он включает в себя последние научные достижения в области решения задач дифракционной оптики, когда характерные размеры исследуемых объектов не превышают либо сравнимы с длиной волны оптического излучения.

Для решения задач дифракции электромагнитной волны на микрообъектах применяются не только дифференциальные методы, которые были рассмотрены до этого, но и интегральные методы.

предполагают использование традиционных методик преподавания, принятых в странах болонской системы образования, т.е. с использованием кредитной системы оценки знаний.

Наряду с традиционными элементами преподавания математических методов решения прикладных задач, разработчики курса предполагают воспользоваться хорошо зарекомендовавшим себя опытом МФТИ и наноструктур» осуществляется закупка уникального измерительного и аналитического оборудования для выполнения измерений разнообразных характеристик оптических наноустройств с целью использования этого оборудования в учебном процессе и для проведения научноисследовательских работ преподавателями, аспирантами и студентами.

наноструктур» выпускники Российского университета дружбы народов станут конкурентоспособными специалистами в области проектирования современных оптических устройств, которые не будут испытывать затруднений при последующем трудоустройстве.

Направление научно-практических разработок в области численного моделирования оптических элементов сформировалось лишь в последние 10 – 15 лет. Поэтому наблюдается сильный дефицит учебно-методической литературы не только в России, но и во всем мире. Разрабатываемые в рамках инновационной программы «Оптика наноструктур» учебные пособия восполнят в некоторой степени этот пробел и составят основной список литературы для слушателей курсов. Вместе с ними следует использовать несколько учебников и монографий, вышедших в свет к настоящему времени и перечисленных в списке литературы. Курс исследований в данной области в научной периодике, диссертационных работах их учеников, включающих работы по непосредственному моделированию, дизайну и последующему изготовлению лабораторных образцов оптических элементов и устройств. В список дополнительной и рекомендуемой литературы включены все научно-исследовательские публикации, положенные в основу предлагаемого курса.

В качестве практических заданий, курсовых работ и тем рефератов слушателям магистерской программы будут предложены актуальные проблемы и задачи, решение которых востребовано современным уровнем развития высокотехнологичных отраслей промышленности и научноисследовательских лабораторий.

Тема 1. Уравнения Максвелла в диспергирующих средах 1.1. Уравнения поля в диэлектриках в отсутствие дисперсии Для достаточно низких частот связь между D и E, а также между B и H сводится к простой пропорциональности, так что можно полагать со статическими значениями и, как в постоянном поле. Эти соотношения нарушаются (или, как говорят, появляется дисперсия и ) при частотах, сравнимых с собственными частотами тех молекулярных или электронных колебаний, с которыми связано появление электрической или магнитной поляризации вещества. Порядок величины этих частот зависит от рода вещества и меняется в очень широких пределах [1]. Он может быть также совершенно различным для электрических и магнитных явлений.

Уравнения ни при каких условиях не нуждаются в изменении. Это же касается уравнения Последнее уравнение можно записать (см. [1]) в виде:

Это уравнение заменяет собой для диэлектриков первое из уравнений:

описывающих поле в металлах.

Уравнения (1.6) переменного электромагнитного поля в металлах справедливы при достаточно медленном изменении поля: частоты поля должны быть такими, чтобы оставались справедливыми зависимости j от E и B от H (если отличие E от H вообще существенно), относящиеся к стационарному случаю.

Есть, однако, особая категория тел (плохие проводники), для которых может иметь смысл уравнение (1.7):

В силу особых причин (малое число электронов проводимости в полупроводниках, малая подвижность ионов в растворах электролитов) проводимость этих веществ аномально мала, и потому второй член в правой стороне уравнения (1.7) может сравниться с первым или даже превысить его уже при таких частотах, для которых можно еще считать и постоянными. В монохроматическом поле отношение второго члена к первому есть / 4. Если это отношение мало, то тело ведет себя как обычный проводник с проводимостью (1.5). При частотах же / оно ведет себя как диэлектрик с диэлектрической проницаемостью [1].

В однородной среде с постоянными и уравнения (1.2) - (1.4) и (1.5) принимают вид Исключая из этих уравнений обычным образом E (или H ), получим и, поскольку rot rotH grad divH H H, то мы приходим к волновому уравнению:

Отсюда видно, что скорость распространения электромагнитных волн в однородной диэлектрической среде есть (см. также [2]) Плотность потока энергии складывается из потока энергии электромагнитного поля и потока энергии, переносимой непосредственно рассматриваем) последняя часть отсутствует, и плотность потока энергии в диэлектрической среде дается той же формулой что и в металлах. В этом легко убедиться, вычислив divS. Используя уравнения (1.3) и (1.5), получим 1.2. Дисперсия диэлектрической проницаемости переменным также и в пространстве. При частоте пространственная периодичность определяется длиной волны, порядок величины которой c /. При дальнейшем увеличении частоты становится в конце невозможно макроскопическое описание поля.

В связи с этим может возникнуть вопрос о том, существует ли вообще область значений частот, в которой, с одной стороны, уже существенны дисперсионные явления, а с другой еще допустимо макроскопическое рассмотрение. Такая область существует [1].

Предлагаемое рассмотрение в равной степени относится как к металлам, так и к диэлектрикам (см. [1]). При частотах же, соответствующих внутриатомным электронным движениям (оптические частоты), и более высоких фактически исчезает даже количественное отличие в свойствах металлов и диэлектриков.

Хотя формальный вид уравнений Максвелла остается таким же в произвольных переменных электромагнитных полях, эти уравнения беспредметны до тех пор, пока не установлена связь между входящими в них величинами D, B и E, H. При больших частотах эта связь не имеет ничего общего с той, которая справедлива в статическом случае и которой мы пользовались [2] в переменных полях при отсутствии дисперсии.

Нарушается даже имевшееся ранее основное свойство этой связи — однозначная зависимость D и B от значений E и H в тот же момент времени. В общем случае произвольного переменного поля значения D и в некоторый момент времени не определяются одними только значениями E и H в тот же момент времени. Но можно утверждать, что значения D и B в данный момент времени зависят от значений функций E t, H t во все предыдущие моменты времени. Это обстоятельство является выражением того, что установление электрической или магнитной поляризации вещества не успевает следовать за изменением электромагнитного поля. (При этом частоты, при которых возникают дисперсионные явления в электрических и магнитных свойствах вещества, могут быть совершенно различными.) Речь пойдет о зависимости D от E, специфические же особенности дисперсии магнитных свойств вещества не будут обсуждаться.

В любом переменном поле, в том числе при наличии дисперсии, вектор P D E / 4 имеет физический смысл электрического момента единицы объема вещества [1].

Вектор поляризации P может быть введен согласно определению div P, где — истинная (микроскопическая) плотность зарядов в веществе. Это равенство выражает собой электрическую нейтральность тела в целом, и его (вместе с условием P 0 вне тела) достаточно для того, чтобы показать, что полный электрический момент тела равен интегралу PdV. Очевидно, что этот вывод относится к переменным полям в той же степени, что и к постоянным.

В быстропеременных полях обычно приходится иметь дело со сравнительно малыми напряженностями, тогда связь D с E можно считать линейной. Наиболее общий вид линейной зависимости между D t и значениями функции E t во все предыдущие моменты времени может быть написан в виде интегрального соотношения:

(выделение члена E t удобно для установления аналитичности E в верхней полуплоскости). Здесь f - функция времени, зависящая от свойств среды. По аналогии с формулой D E для электростатических и низкочастотных полей будем писать соотношение (1.15) в символической форме:

где - линейный интегральный оператор, действие которого определяется согласно (1.15).

Переменное поле довольно общего вида [3] может быть сведено (путем разложения Фурье) к совокупности монохроматических компонент, в которых зависимость всех величин от времени дается множителем eit.

Для таких полей связь (1.15) между D и E приобретает вид:

где функция определяется как Таким образом, для периодических полей может быть введено пропорциональности между D и E, причем этот коэффициент зависит не только от свойств среды, но и от частоты поля. О функциональной зависимости от частоты говорят как о законе ее дисперсии.

Функция, вообще говоря, комплексна. Будем обозначать ее вещественную и мнимую части как ' и '' :

Из определения (1.17) непосредственно видно, что Отделяя в этом соотношении вещественную и мнимую части, получим Таким образом, '( ) является четной, а ''( ) — нечетной функцией частоты.

При малых (по сравнению с границей начала дисперсии) частотах функцию ( ) можно разложить в ряд по степеням. Разложение четной функции '( ) содержит члены лишь четных степеней, а разложение нечетной функции ''( ) — члены нечетных степеней. В пределе электростатической диэлектрической проницаемости (которую обозначим здесь как 0 ). Поэтому в диэлектриках разложение '( ) начинается с постоянного члена 0 ; разложение же ''( ) начинается, вообще говоря, с члена, пропорционального.

Функцию ( ) при малых частотах можно рассматривать и в металлах, если условиться определять ее так, чтобы в пределе уравнение переходило бы в уравнение для постоянного поля в проводниках. Сравнив оба уравнения, видим, что при 0 производная следующему предельному выражению для ( ) при малых частотах:

выражается через обычную проводимость по отношению к постоянным постоянной. Эта постоянная, однако, не имеет у металлов того электростатического смысла, которым она обладает у диэлектриков. Кроме того, надо снова указать, что этот член разложения может оказаться не имеющим никакого вообще смысла, если эффекты пространственной неоднородности поля электромагнитной волны появляются раньше, чем эффекты его временной периодичности.

1.3. Диэлектрическая проницаемость при очень больших частотах В пределе функция ( ) стремится к единице. Это очевидно уже из простых физических соображений: при достаточно быстром изменении поля процессы поляризации, приводящие к установлению отличной от E индукции D, вообще не успевают происходить.

Оказывается возможным установить справедливый для любых тел (безразлично - металлов или диэлектриков) предельный вид функции ( ) при больших частотах. Именно частота поля должна быть велика по сравнению с частотами движения всех (или, по крайней мере, большинства) электронов в атомах данного вещества. При соблюдении рассматривать электроны как свободные, пренебрегая их взаимодействием друг с другом и с ядрами атомов.

Скорости движения электронов в атомах малы по сравнению со скоростью света. Поэтому расстояния /, проходимые ими в течение периода волны, малы по сравнению с длиной волны c /. Ввиду этого при электромагнитной волны, можно считать последнее однородным.

Уравнение движения гласит:

( e, m — заряд и масса электрона, v ' —дополнительная скорость, приобретаемая электроном в поле волны); отсюда v ' ieE / m. Смещение же r электрона под влиянием поля связано с v ' посредством r v ' ;

поэтому r eE / m 2. Поляризация P вещества есть дипольный момент единицы его объема. Суммируя по всем электронам, находим где N ·— число электронов во всех атомах единицы объема вещества. С другой стороны, по определению электрической индукции, D E E 4 P. Поэтому окончательно получаем следующую формулу:

Фактическая область применимости этой формулы начинается от далекого ультрафиолета у самых легких элементов или от рентгеновских частот у более тяжелых элементов.

Для сохранения у величины ( ) буквального смысла, с которым она входит в уравнения Максвелла, частота должна еще удовлетворять условию c / a. Однако выражению (1.22) может быть приписан определенный физический смысл и при больших частотах [1].

1.4. Энергия поля в диспергирующих средах для плотности потока энергии остается справедливой в любых переменных электромагнитных полях, в том числе и при наличии дисперсии. Это вытекает из следующих соображений: ввиду непрерывности тангенциальных составляющих E и H из условия непрерывности нормальной составляющей S на границе тела и из того, что она справедлива в пустоте вне тела однозначно следует формула (1.23).

Изменение в единицу времени энергии, сосредоточенной в единице объема тела, вычисляется как divS. С помощью уравнений Максвелла это выражение приводится к виду:

В диэлектрической среде в отсутствие дисперсии, когда и являются вещественными постоянными величинами, эту величину можно рассматривать как изменение электромагнитной энергии имеющей термодинамический смысл [1]. При наличии дисперсии такое толкование уже невозможно.

электромагнитного поля можно написать также в виде [1]:

где E и H — вещественные напряженности поля, а черта означает усреднение по времени.

Можно получить также формулу, определяющую диссипацию энергии в немонохроматическом поле, достаточно быстро обращающемся в нуль при t. В этом случае имеет смысл рассматривать диссипацию не в единицу времени, а за все время существования поля.

А именно можно получить соотношение:

(интеграл от до может быть заменен удвоенным интегралом от 0 до Полученные формулы показывают, что поглощение (диссипация) энергии определяется мнимыми частями и ; о двух членах в (1.26) говорят соответственно как об электрических и магнитных потерях. В силу закона возрастания энтропии эти потери имеют вполне определенный знак:

диссипация энергии сопровождается выделением тепла, т. е. всегда Q>0.

Отсюда следует, что мнимые части и всегда положительны:

для всех веществ и при всех (положительных) частотах. Знак же вещественных частей и (при 0 ) не ограничен никакими физическими условиями, так что ' и ' могут быть как положительными, так и отрицательными.

Всякий нестационарный процесс в реальном веществе всегда в той или иной степени термодинамически необратим. Поэтому электрические и магнитные потери в переменном электромагнитном поле всегда имеются.

Другими словами, функции '' и '' не обращаются строго в нуль ни при каком отличном от нуля значении частоты. Это утверждение имеет принципиальное значение, хотя им ни в какой мере не исключается возможность существования таких областей частот, при которых потери становятся относительно весьма малыми.

Области частот, в которых '' и '' очень малы (по сравнению с ' и поглощением, в этих областях оказывается возможным ввести понятие о внутренней энергии тела в электромагнитном поле в том же смысле, какой она имеет в постоянном поле.

Для определения этой величины недостаточно рассматривать чисто монохроматическое поле, так как благодаря его строгой периодичности в электромагнитной энергии. Поэтому рассмотрим поле, представляющее собой совокупность монохроматических компонент с частотами в узком интервале вокруг некоторого среднего значения 0. Напряженности такого поля можно написать в виде:

где E0 t, H 0 t — медленно (по сравнению с множителем ei0t ) меняющиеся функции времени. Вещественные части этих выражений должны быть подставлены в правую сторону (1.24), после чего произведем усреднение по времени по периоду 2 / 0, малому по сравнению с временем изменения множителей E0 и H 0. Первый член в (1.24) после перехода к комплексному представлению E принимает вид:

(и аналогично для второго члена). Произведения ED и E * D* исчезнут при указанном усреднении по времени, и потому их вообще не надо рассматривать. Таким образом, остается лишь оператор:

и выясним, к какому результату приводит действие этого оператора на функцию вида (1.29). Если бы E0 была постоянной, то мы имели бы просто В нашем же случае произведем разложение Фурье функции E0 t, представив ее в виде наложения компонент вида E0 ei t с постоянными E0. Медленность изменения E0 t означает, что в это разложение войдут лишь компоненты с 0. Имея это в виду, пишем:

Произведя теперь обратное суммирование компонент Фурье, получим Опуская ниже индекс 0 у 0, имеем таким образом:

Подставив это выражение в (1.30) и помня, что мнимой частью функции мы пренебрегаем, получим (произведение E0 E *0 совпадает с EE * ). Прибавив аналогичное выражение с магнитным полем, приходим к выводу, что скорость систематического изменения энергии 1 см3 среды дается производной dU / dt, где С помощью вещественных напряженностей E и H это выражение можно записать в виде:

Это и есть искомый результат: U есть среднее значение электромагнитной части внутренней энергии единицы объема прозрачной среды. При отсутствии дисперсии и постоянны, и (1.33) переходит, как и должно быть, в среднее значение выражения (1.25).

Если подвод электромагнитной энергии к телу извне прекращается, то фактически всегда имеющееся хотя бы очень малое поглощение приведет в конце концов к переходу всей энергии U в тепло. Поскольку, согласно закону возрастания энтропии, это тепло должно именно выделяться, а не поглощаться, то должно быть U 0. Согласно формуле (1.32) для этого должны выполняться неравенства:

В действительности эти условия автоматически выполняются как следствие более сильных неравенств, которым всегда удовлетворяют функции и в областях прозрачности.

1.5. Аналитические свойства функции Функция f в (1.15) конечна при всех значениях своего аргумента, в том числе и при 0. У диэлектриков эта функция стремится при к нулю. Это обстоятельство является следствием того факта, что на значение D t в заданный момент времени не могут заметно влиять значения E t в очень давние моменты. Физический механизм, лежащий в основе интегральной зависимости вида (1.15), заключается в процессах установления электрической поляризации. Поэтому интервал значений, в котором функция f заметно отличается от нуля,— порядка величины времени релаксации, характеризующего скорость этих процессов.

Сказанное относится и к металлам, с той лишь разницей, что стремится к нулю при не сама функция f 4 [1]. Это отличие связано с тем, что уже прохождение стационарного тока проводимости хотя и не приводит к какому-либо реальному изменению физического состояния металла, но в наших уравнениях формально означает появление индукции D согласно или Функция была определена согласно (1.17):

свойства этой функции, рассматривая как комплексную переменную Из определения (1.35) и из указанных выше свойств функции f следует, что во всей верхней полуплоскости является однозначной функцией, нигде не обращающейся в бесконечность, т. е. не имеющей никаких особых точек. Действительно, при '' 0 в подынтегральном выражении в формуле (1.35) имеется экспоненциально убывающий множитель e '', а поскольку и функция f конечна во всей области особенностей и на самой вещественной оси ( '' 0 ), за исключением, возможно, лишь начала координат (у металлов имеет в этой точке простой полюс).

В нижней же полуплоскости определение (1.35) неприменимо, так как интеграл расходится. Поэтому функция в нижней полуплоскости может быть определена лишь как аналитическое продолжение формулы (1.35) из верхней полуплоскости. В этой области функция имеет, вообще говоря, особые точки. Функция в верхней полуплоскости имеет не только формальный математический, но и физический смысл: ею определяется связь между D и E для полей с возрастающей (как e ''t ) амплитудой. В нижней же полуплоскости такое физическое истолкование невозможно уже хотя бы потому, что наличие затухающего (как exp -| ''|t ) поля предполагает его бесконечную величину при t.

Обратим внимание на то, что вывод об отсутствии особых точек у функции в верхней полуплоскости является с физической точки зрения следствием принципа причинности. Последний проявляется в том, предшествующему данному моменту t, в результате чего в формуле (1.35) область интегрирования распространяется от 0 до (а не от до ).

Из определения (1.35) очевидно, далее, что Это обобщение соотношения (1.19), относящегося к вещественным значениям. В частности, для чисто мнимых значений имеем Это значит, что на верхней мнимой полуоси функция вещественна.

Подчеркнем, что свойство (1.36) выражает собой просто тот факт, что операторная связь D E должна обеспечивать вещественность D выражением то, применяя оператор к каждому из двух членов, получим условие вещественности этой величины совпадает с (1.36).

положительных вещественных значениях ', т. е. на правой части вещественной оси. Поскольку, согласно (1.36), Im ' Im ', то на левой части этой оси мнимая часть отрицательна. Таким образом, В точке же 0 функция Im меняет знак, проходя через нуль (у диэлектриков) или через бесконечность (у металлов). Это — единственная точка на вещественной оси, в которой Im может обратиться в нуль.

При стремлении к бесконечности по любому пути (в верхней полуплоскости) функция стремится к единице. Это обстоятельство было указано в пункте 1.3 для случая, когда вдоль вещественной оси. В общем случае это видно из той же формулы (1.35): если так, что '', то интеграл в (1.35) обращается в нуль благодаря наличию в подынтегральном выражении множителя exp - '' ; если же '' остается конечным, а | ' |, то обращение интеграла в нуль происходит благодаря наличию осциллирующего множителя ei '.

Перечисленных свойств функции достаточно для того, чтобы доказать следующую теорему.

Теорема[1]. Функция не принимает вещественных значений ни в какой конечной точке верхней полуплоскости, за исключением лишь точек мнимой оси; на последней же монотонно убывает от значения 0 1 (у диэлектриков) или от (у металлов) при i0 до 1 при i. Отсюда следует, в частности, что функция не имеет нулей в верхней полуплоскости.

Выпишем формулы, связывающие друг с другом мнимую и вещественную части функции.

Напишем функцию вещественной переменной в виде ' i ''. Если функция относится к диэлектрику, указанные соотношения гласят:

где V. p. перед знаком интеграла означает, что интеграл понимается в смысле его главного значения. Эти выражения (1.40) - (1.41) обычно называют соотношениями Крамерса — Кронига. Напомним, что единственным существенным свойством функции, использованным при выводе этих формул, является отсутствие особых точек в верхней полуплоскости. Поэтому можно сказать, что формулы Крамерса—Кронига (как и указанное свойство функции ) являются прямым следствием физического принципа причинности. Воспользовавшись нечетностью функции '', можно привести формулу (1.40) к виду Если речь идет о проводнике, то в точке 0 функция имеет полюс, вблизи которого 4 i / (1.21). Это приводит к появлению в формуле (1.41) дополнительного члена [1]:

формула же (1.40) или (1.42) остается неизменной. Кроме того, в случае металлов надо сделать еще следующее замечание.

В [1] показано, что у металлов могут существовать области частот, в которых функция теряет свой физический смысл в связи с эффектами пространственной неоднородности поля. Между тем, в рассматриваемых формулах интегрирование должно вестись по всем частотам. В таких случаях под в соответствующих областях частот надо понимать функцию, получающуюся в результате решения формальной задачи о поведении тела в фиктивном пространственно однородном периодическом электрическом поле (а не в неизбежно неоднородном поле электромагнитной волны).

Особенно существенна формула (1.42). Она дает возможность вычислить функцию ', если известна хотя бы приближенным (например, эмпирическим) образом функция '' для данного тела. При этом существенно, что для любой функции '', удовлетворяющей физически необходимому требованию '' 0 при 0, формула (1.42) дает функцию физическим требованиям, т. е. принципиально возможную (знак и условиями). Это обстоятельство и дает возможность использовать формулу (1.42) даже по приближенной функции ''. Напротив, формула (1.41) не дает (в общем случае произвольной функции ' ) физически возможной функции автоматическим образом положительность последней.

Можно получить формулу, выражающую значения на верхней мнимой полуоси через значения '' на вещественной оси. Эта формула имеет вид:

Если проинтегрировать это соотношение с обеих сторон по, то получается Все изложенные результаты (с небольшим лишь видоизменением) относятся и к магнитной проницаемости. Отличие связано прежде всего с тем, что при увеличении частоты функция сравнительно рано теряет физический смысл. Поэтому, например, применять формулы бесконечного рассматриваем конечный интервал значений (от 0 до 1 ), простирающийся до таких частот, при которых еще имеет смысл, но уже перестает меняться и ее мнимую часть можно считать равной нулю;

соответствующее вещественное значение обозначим как 1. Тогда формулу (1.42) надо писать в виде:

В противоположность 0, значение 0 0 может быть как меньше, так и больше 1. Изменение же вдоль мнимой оси попрежнему является монотонным убыванием — на этот раз от 0 до Наконец, отметим, что аналитическими свойствами, установленными в этом параграфе для функции, в равной степени обладает и функция 1/. Так, аналитичность в верхней полуплоскости следует полуплоскости. Для функции справедливы те же соотношения Крамерса—Кронига (1.40) - (1.41), что и для.

1.6. Плоская монохроматическая волна в среде с поглощением Уравнения Максвелла (77,2) для монохроматического поля гласят:

Эти уравнения сами по себе составляют полную систему, так как уравнения (1.13) следуют из них автоматически и потому не должны рассматриваться отдельно. Предполагая среду однородной и исключив из этих уравнений H (или E ), получим уравнение второго порядка:

(и такое же уравнение для H ).

распространяющуюся в неограниченной однородной среде. В плоской волне в пустоте зависимость поля от координат дается множителем вида eikr с вещественным волновым вектором k. При рассмотрении же распространения волн в материальных средах в общем случае оказывается необходимым вводить также и комплексные значения:

где k ', k '' — вещественные векторы.

Положив E и H пропорциональными eikr и произведя в уравнениях (1.47) дифференцирование по координатам, получим Исключив из этих двух соотношений E или H, найдем следующее выражение для квадрата волнового вектора:

Мы видим, что k может быть вещественным, только если и вещественны и положительны. Но даже и в этом случае k может все же быть комплексным, причем только должно быть k ' k '' 0.

Следует иметь в виду, что в общем случае комплексных k волна может быть названа «плоской» лишь в условном смысле. Написав видим, что плоскости, перпендикулярные к вектору k ', являются плоскостями постоянной фазы. Плоскостями же постоянной амплитуды являются плоскости, перпендикулярные к вектору k '', в направлении которого происходит затухание волны. Что же касается поверхностей постоянного значения самого поля, то они в общем случае вообще не будут плоскими. Такие волны называют неоднородными плоскими волнами, в отличие от обычных однородных плоских волн.

Связь между компонентами электрического и магнитного полей в общем случае дается формулами (1.49). В частности, умножив эти формулы скалярно на k, получим а возводя какую-либо из них в квадрат и используя (1.50), найдем Следует, однако, помнить, что ввиду комплексности всех трех векторов k, E, H эти соотношения в общем случае не имеют того наглядного смысла, который они имели бы для вещественных величин.

Не останавливаясь на громоздких соотношениях, получающихся в общем случае, рассмотрим наиболее важные частные случаи.

распространяющейся без затухания в непоглощающей (прозрачной) однородной среде. Волновой вектор в этом случае веществен и по величине равен:

перпендикулярной к вектору к (чисто поперечная волна), причем перпендикулярны друг к другу и связаны соотношением (1—единичный EE* HH *. Это, однако, не означает равенства электрической и магнитной энергий в волне (как в отсутствие дисперсии), поскольку последние даются другими выражениями (два члена в формуле (1.32)).

Суммарную плотность электромагнитной энергии в этом случае можно привести к виду:

Скорость u распространения волны в среде определяется известным выражением групповой скорости:

При этом u S / U, в соответствии с ее смыслом как скорости переноса энергии в волновом пакете; здесь U — плотность энергии, даваемая формулой (1.55), а — среднее значение вектора Пойнтинга. В отсутствие дисперсии, когда показатель преломления не зависит от частоты, выражение (1.56) сводится просто к c / n (сравни с выражением (1.10)).

электромагнитной волны в поглощающей среде, причем волновой вектор имеет определенное направление, т. е. k ' и k '' параллельны друг другу.

поверхностями постоянных значений поля в ней являются плоскости, перпендикулярные к направлению распространения (однородная плоская волна).

В этом случае можно ввести комплексную «длину» k волнового вектора согласно k k 1 (где 1-единичный вектор в направлении k ' и k '' ) в виде n ix с вещественными n и x, так что коэффициентом поглощения среды; последний определяет скорость затухания волны по мере ее распространения. Подчеркнем, однако, что поглощения; диссипация энергии имеет место лишь при комплексных вещественных (отрицательных) и.

Выразим величины n и через вещественную и мнимую части диэлектрической постоянной, предполагая при этом, что 1. Из Решая эти уравнения относительно n и, получим В частности, для металлов в области частот, где справедлива формула (77,9), мнимая часть велика по сравнению с вещественной частью и связана с проводимостью посредством '' 4 / ; пренебрегая ' по сравнению с '', найдем, что n и совпадают и равны:

Для связи между полями E и H в рассматриваемой однородной плоской волне снова получаем формулу (1.54), но только с комплексными и. Она снова показывает, что оба поля перпендикулярны к направлению распространения волны и друг к другу. Если 1, то, написав в виде видим, что магнитное поле по абсолютной величине превышает arctg / n ; в случае (1.60) сдвиг фаз равен / 4.

1.7. Прозрачные среды Применим полученные выше общие формулы к слабопоглощающим (в данной области частот) средам, т. е. будем предполагать, что для этих пренебречь.

В таком случае в формуле (1.42) взятие главного значения становится излишним, так как точка x фактически выпадает из области интегрирования. После этого интеграл можно дифференцировать по параметру, как обычный интеграл, не имеющий особенностей в подынтегральном выражении. Произведя такое дифференцирование, получим Ввиду положительности подынтегрального выражения во всей области интегрирования приходим к выводу, что т. е. в области отсутствия поглощения диэлектрическая проницаемость — монотонно возрастающая функция частоты.

Аналогичным образом, в той же области частот получается еще и другое неравенство:

или Если 1 или даже отрицательна, то это неравенство сильнее неравенства (1.61).

Отметим, что неравенства (1.61) и (1.62) (и аналогичные — для ) автоматически гарантируют выполнение неравенства u c для скорости распространения волн. Так, при 1 имеем n и, вводя n вместо в (1.61) и (1.62), получим Поэтому для скорости u (1.56) получаются два неравенства; u c / n и u cn, откуда видно, что u c как при n 1, так и при n 1. Эти неравенства показывают также, что u 0, т.е. групповая скорость направлена в ту же сторону, что и волновой вектор. Это ее свойство вполне естественно, хотя с чисто логической точки зрения отнюдь не обязательно.

Предположим, что область слабого поглощения простирается в некотором широком интервале частот от 1 до 2 (причем 2 1 ), и рассмотрим частоты такие, что 1 2. Область интегрирования в (1.42) разбивается на две части: x 1 и x 2. В первой из них можно пренебречь в знаменателе подынтегрального выражения величиной x по сравнению с, а во второй — по сравнению с x :

т. е. функция в рассматриваемой области имеет вид a b / 2, где a и b - положительные постоянные. Вторую из них можно выразить через силу осцилляторов N1 2 2 '' d, ответственных за поглощение в области от 0 до 1, и тогда Пусть, наконец, в широкой области прозрачности имеется узкая область («линия») поглощения вокруг некоторой частоты 0. Рассмотрим окрестность этой частоты, удовлетворяющую условию:

где — ширина линии. В этой области в подынтегральном выражении в (82,6) можно заменить x на 0 везде, кроме быстроменяющейся функции '' x. Тогда получим где интегрирование производится по линии поглощения.

1.8. Пространственная дисперсия До сих пор при обсуждении диэлектрических свойств вещества мы предполагали, что значение индукции D t, r определяется значениями напряженности электрического поля E t ', r в той же точке пространства r, хотя (при наличии дисперсии) и не только в тот же, но и во все справедливо не всегда. В общем случае значение D t, r зависит от значений E t ', r ' в некоторой области пространства вокруг точки r.

Линейная связь D с E записывается тогда в виде, обобщающем выражение (1.15):

Она представлена здесь сразу в форме, относящейся и к анизотропной среде. Такая нелокальная связь служит проявлением, как (рассмотренную в пункте 1.2) дисперсию называют временной или которых от t дается множителями eit, эта связь принимает вид:

Отметим сразу, что в большинстве случаев пространственная дисперсия играет гораздо меньшую роль, чем временная. Дело в том, что для обычных диэлектриков ядро fik интегрального оператора существенно убывает уже на расстояниях | r r ' |, больших только по сравнению с атомными размерами a. Между тем макроскопические поля, усредненные по физически бесконечно малым элементам объема, по определению должны мало меняться на расстояниях ~ a. В первом приближении можно тогда вынести E r ' E r из-под знака интеграла по dV ' в (1.68), в результате чего вернемся к (1.15). В таких случаях пространственная дисперсия может проявиться только в качестве малых поправок. Но эти поправки, как увидим, могут приводить к качественно новым физическим явлениям и потому быть существенными.

целесообразным, не умаляя степени общности теории, писать уравнения Максвелла в виде:

не вводя величину H. Вместо этого все члены, возникающие в результате усреднения микроскопических токов, предполагаются включенными в определение D.

Компоненты тензора fik ; r, r ' — ядра интегрального оператора в (1.69) — удовлетворяют соотношениям симметрии:

однородную среду. В таком случае ядро интегрального оператора в (1.68) или (1.69) зависит только от разности r r '. Функции D и E целесообразно разложить тогда в интеграл Фурье не только по времени, но и по координатам, сведя их к совокупности плоских волн, зависимость которых от r и t дается множителем exp i kr t. Для таких волн связь D и E принимает вид где появлению зависимости тензора диэлектрической проницаемости от волнового вектора.

«Длина волны» 1/ k определяет расстояния, на которых поле существенно меняется. Можно сказать поэтому, что пространственная дисперсия является выражением зависимости макроскопических свойств вещества от пространственной неоднородности электромагнитного поля, подобно тому, как частотная дисперсия выражает зависимость от временного изменения поля. При k 0 поле стремится к однородному, соответственно чему ik ; k стремится к обычной проницаемости ik.

Из определения (1.74) видно, что — соотношение, обобщающее (1.19). Симметрия же (1.72), выраженная в терминах функций ik ; k, дает теперь где в явном виде выписан параметр — внешнее магнитное поле, если таковое имеется. Если среда обладает центром инверсии, компоненты ik являются четными функциями вектора k ; аксиальный же вектор при инверсии не меняется, и потому равенство (103,10) сводится к Пространственная дисперсия не сказывается на выводе формулы для диссипации энергии. Поэтому условие отсутствия поглощения попрежнему выражается эрмитовостью тензора ik ; k.

проницаемость является тензором (а не скаляром) даже в изотропной среде: выделенное направление создается волновым вектором. Если среда не только изотропна, но обладает также и центром инверсии, тензор ik может быть составлен только из компонент вектора k и единичного тензора ik (при отсутствии центра симметрии может стать возможным также и член с единичным антисимметричным тензором eikl ). Общий вид такого тензора можно записать как где t и l зависят только от абсолютной величины волнового вектора (и от ). Если напряженность E направлена по волновому вектору, то Более точно: зависимость от k исчезает при kr0 1, где r0 — размеры области, в которой fik, существенно отлично от нуля.

поперечной проницаемостями. При k 0 выражение (1.78) должно стремиться к значению ik не зависящему от направления k ; ясно поэтому, что Описание электромагнитных свойств изотропной среды с помощью проницаемостей l и t отвечает уравнениям Максвелла, представленным в виде (1.70)-(1.71). С другой стороны, при k 0, когда пространственная проницаемостей и. Поэтому между теми и другими величинами существует определенная связь.

Аналогия между формулами (1.74) и (1.17) позволяет перенести на каждую из компонент ik ; k как функцию комплексной переменной результаты исследования аналитических свойств, произведенного в разделе 5.2. Они являются аналитическими функциями, не имеющими особенностей в верхней полуплоскости, и удовлетворяют (при каждом фиксированном значении k ) дисперсионным соотношениям Крамерса — Кронига. То же самое относится и к функциям l ; k и t ; k в (1.78).

При этом надо иметь в виду, что функция l при k 0 не стремится при 0 к бесконечности даже в проводящей среде, и потому вычитание (которое было необходимо при выводе (1.43)) здесь не требуется;

обращение в проводнике в бесконечность при 0 связано с однородностью ( k 0 ) статического поля.

Средняя по времени плотность энергии электромагнитного поля в прозрачной среде с пространственной дисперсией выражается прежней формулой; поскольку теперь 1, то ( E и B предполагаются представленными в комплексном виде). В плотности же потока энергии в такой среде появляется дополнительный член:

Эта формула выводится путем обобщения вывода формулы (80,11):

теперь надо рассматривать волну, размытую как по небольшому интервалу частот, так и по направлениям волнового вектора.

Представленная в данном разделе модель пространственной искусственной пространственной дисперсии композитных оптических материалов. Примером таких конструкций являются дифракционные решетки, простейший пример которой приведен в [2]. Многочисленные нетривиальные примеры многослойных одномерных дифракционных решеток изучены в [4]. В конце данного учебного пособия приведена модель оптических метаматериалов с отрицательными диэлектрической и магнитной проницаемостями. Естественных примеров таких материалов нет, однако в нескольких научных лабораториях материалы с такими свойствами синтезированы искусственным способом. И, наконец, в [5] приведена математическая модель фотонных кристаллов, которые также относятся к искусственным оптическим композитным материалам.

Тема 2. Поляризация световых волн Поля E и H, описывающие световые волны, являются векторными величинами. В [2] было показано, что при распространении плоской монохроматической волны в изотропной однородной среде вектор электрического поля лежит в плоскости, перпендикулярной направлению распространения. Во многих случаях характер распространения световых волн существенно зависит от направления колебаний электрического поля.

Действительно, в данном учебном пособии мы будем изучать главным образом распространение поляризованного света и вопросы, связанные с его управлением. Вначале мы напомним различные характеристики поляризованного света и опишем ряд методов, применяемых при изучении его распространения.

Световые волны представляют собой электромагнитное поле, для полного описания которого требуются четыре основных векторных поля:

E, H, D и B. Для определения состояния поляризации световых волн используется вектор электрического поля. Такой выбор связан с тем, что в большинстве оптических сред физические взаимодействия с волной осуществляются через электрическое поле. Основной интерес к изучению поляризации световых волн обусловлен тем, что во многих веществах (анизотропные среды) показатель преломления зависит от направления колебаний вектора электрического поля E. Это явление можно объяснить движением электронов, которые раскачиваются электрическим полем световых волн.

Для иллюстрации этого предположим, что анизотропное вещество состоит из несферических иглообразных молекул, причем все молекулы ориентированы таким образом, что их большие оси параллельны друг другу. Пусть в таком веществе распространяется электромагнитная волна.

Вследствие анизотропной структуры молекул электрическое поле, параллельное осям молекул, будет сильнее смещать электроны вещества относительно их равновесного положения, чем электрическое поле, перпендикулярное осям молекул. Поэтому в первом случае следует ожидать более сильной вынужденной поляризации электронов, чем во втором.

С поляризацией световых волн связано много других физических явлений. Прежде чем перейти к изучению этих оптических явлений, необходимо выяснить свойства поляризованных волн. Начнем рассмотрение с обзора состояний поляризации монохроматических плоских волн.

2.1. Поляризация монохроматических плоских волн Поляризация световых волн определяется вектором электрического поля E(r, t ) в фиксированной точке пространства r в момент времени t.

Поскольку вектор электрического поля монохроматической волны E изменяется во времени по синусоидальному закону, колебания электрического поля должны происходить с определенной частотой. Если предположить, что свет распространяется в направлении оси z, то вектор электрического поля будет располагаться в плоскости xy. Поскольку x - и y -составляющая определенной частотой, сначала следует рассмотреть эффекты, связанные с векторным сложением этих двух осциллирующих ортогональных составляющих.

Задача о сложении двух независимых ортогональных колебаний с некоторой частотой хорошо известна и полностью аналогична задаче о классическом движении двумерного гармонического осциллятора. В общем случае такой осциллятор движется по эллипсу, который отвечает несфазированным колебаниям x - и y - составляющих. Существует, конечно, много частных случаев, имеющих большое значение в оптике.

Начнем с рассмотрения общих свойств излучения с эллиптической поляризацией, а затем обсудим ряд частных случаев.

В представлении комплексных функций вектор электрического поля монохроматической плоской волны, распространяющейся в направлении оси z, дается выражением:

где A — комплексный вектор в плоскости xy. Выясним теперь, что представляет собой кривая, которую описывает в некоторой точке пространства конец вектора электрического поля E. Эта кривая дает эволюцию во времени положения точки с координатами ( Ex, E y ) :

где комплексный вектор A определен следующим образом:

здесь Ax и Ay — положительные числа, а x и y — единичные векторы.

Кривую, описываемую концом вектора электрического поля во времени, можно получить, если из уравнения (2.2) исключить (t kz ). После простых алгебраических преобразований получаем где Любой фазовый угол здесь удовлетворяет условию.

Уравнение (2.4) описывает кривую второго порядка. Из выражений (2.2) очевидно, что эта кривая ограничена прямоугольной областью со сторонами, параллельными координатным осям и имеющими размеры 2 Ax и 2 Ay. Следовательно, такая кривая должна быть эллипсом. В этом случае говорят, что волна, определяемая выражением (2.1), является эллиптически поляризованной.

Для полного описания эллиптической поляризации требуется знать направление вращения вектора E, ориентацию эллипса относительно осей координат и его форму. В общем случае направление главных осей эллипса не совпадает с направлениями осей x и y. Соответствующее преобразование системы координат (вращение) позволяет диагонализовать уравнение (2.4). Рассмотрим новую систему координат с осями x и y, направленными вдоль главных осей эллипса. В этой новой системе координат уравнение эллипса принимает вид:

где a и b - главные оси эллипса, а Ex и E y - составляющие вектора электрического поля в этих координатах.

Пусть (0 ) - угол между направлением главной оси эллипса x и осью x (рис.1). Тогда длины главных осей эллипса определяются выражениями:

Угол можно выразить через Ax, Ay и cos следующим образом:

Направление вращения эллиптической поляризации определяется знаком sin. При sin 0 конец вектора электрического поля будет вращаться по часовой стрелке, а при sin 0 — против часовой стрелки.

Рис. 2 иллюстрирует характер изменения эллипса поляризации в зависимости от разности фаз.

Рис.2. Эллипсы поляризации в зависимости от разности фаз Прежде чем перейти к рассмотрению некоторых частных случаев перемещается вдоль прямой линии. В случае, когда конец этого вектора описывает эллипс, свет называется эллиптически поляризованным, а в случае, когда он описывает окружность, — циркулярно поляризованным.

Если конец электрического вектора перемещается против часовой стрелки для наблюдателя, расположенного перед волной, то поле обладает правой поляризацией. На рис. 2 показано также направление вращения эллипса поляризации. Наше определение правой и левой поляризации согласуется с терминологией современной физики, в которой фотон с правой круговой поляризацией имеет положительный момент импульса в направлении распространения. Однако в некоторых книгах по оптике используется противоположное соглашение.

2.2. Линейная и круговая поляризации Особенно большое значение имеют два частных случая, когда эллипс поляризации вырождается либо в прямую линию, либо в окружность. В соответствии с выражениями (2.4) эллипс вырождается в прямую линию, когда Напомним, что все фазы по определению изменяются в интервале электрического поля остается постоянным:

и свет является линейно-поляризованным.

Другой важный частный случай отвечает циркулярнополяризованной волне или волне с круговой поляризацией. В соответствии с (2.4) и (2.7) эллипс вырождается в окружность, когда Согласно нашему определению, свет является правоциркулярнополяризованным — при (1/ 2), что соответствует вращению вектора электрического поля против часовой стрелки, и левоциркулярночто отвечает вращению вектора поляризованным при электрического поля по часовой стрелке. Эллиптичность эллипса поляризации характеризуется параметром где a и b - длины главных осей. Эллиптичность считается положительной, если вращение вектора электрического поля является правосторонним, и отрицательной в противоположном случае.

2.3. Представление комплексного параметра В предыдущем разделе было показано, как состояние поляризации световой волны можно описать с помощью амплитуд и фазовых углов для x - и y -составляющих вектора электрического поля. Оказывается, что вся информация о поляризации волны содержится в комплексной амплитуде плоской волны (2.1). Следовательно, для описания состояния поляризации достаточно использовать комплексный параметр определяемый выражением:

где угол по определению заключен в интервале от 0 до / 2.Параметры и позволяют получить полное описание эллипса поляризации, для чего требуется задать его ориентацию, направление вращения и эллиптичность [см. (2.13)]. На рис. 3 изображены различные состояния поляризации в комплексной плоскости. Можно видеть, что все правые эллиптические состояния поляризации расположены в нижней полуплоскости, а состояниям с левой эллиптической поляризацией отвечает верхняя полуплоскость. Начало координат отвечает состоянию с линейной поляризацией, параллельной оси x.

Рис. 3. Представление состояний поляризации на комплексной Таким образом, любая точка комплексной плоскости соответствует одному состоянию поляризации. Каждая точка на оси x отвечает состояниям с линейной поляризацией, но с различными азимутальными углами колебаний. Круговой поляризации отвечают только две точки с координатами (0,+1) и (0,-1). Все остальные точки комплексной плоскости соответствуют состояниям с определенной эллиптической поляризацией.

Угол наклона и угол эллиптичности ( arctg e), отвечающие данному эллипсу поляризации, связаны с комплексным параметром следующим образом:

2.4. Вектор Джонса Поляризацию плоской волны можно достаточно хорошо представить с помощью вектора Джонса, введенного в 1941 г. Р. Джонсом [6]. В этом составленным из ее комплексных амплитуд:

Заметим, что вектор Джонса является комплексным, т. е. его элементы задаются комплексными числами. Кроме того, J не является вектором в реальном физическом пространстве. Он представляет собой вектор в абстрактном математическом пространстве. Например, для получения вещественной величины x -составляющей электрического поля необходимо выполнить операцию Re J x eit Re Ax ei (t x ).

Вектор Джонса содержит полную информацию об амплитудах и фазах составляющих вектора электрического поля. Если нас интересует нормированным вектором Джонса, который удовлетворяет условию:

звездочка (*) означает комплексное сопряжение. Таким образом, линейнополяризованная световая волна с данным направлением вектора электрического поля может быть представлена вектором Джонса где — азимутальный угол между направлением поляризации и осью х.

Состояние поляризации, которое ортогонально состоянию поляризации, описываемому вектором (2.18), можно получить заменой на / 2, что приводит к вектору Джонса:

Частный случай 0 соответствует линейно-поляризованным волнам, вектор электрического поля которых колеблется вдоль осей координат. Векторы Джонса при этом имеют вид:

Световые волны с правой и левой круговой поляризацией описываются векторами Джонса Эти две круговые поляризации являются взаимно ортогональными в том смысле, что Поскольку вектор Джонса представляет собой столбец из двух элементов, любую пару ортогональных векторов Джонса можно выбрать в качестве базиса в пространстве всех векторов Джонса. Любая поляризация при этом может быть представлена как суперпозиция двух взаимно ортогональных поляризаций x и y, или R и L. В частности, базисные линейные поляризации x и y можно разложить на две круговые поляризации R и L, и наоборот. Эти разложения имеют вид Вектора Джонса для характерных поляризаций Таблица Поляризация Линейная поляризация под углом в 45° по отношению к оси x Как видно, круговая поляризация представляет собой суперпозицию двух линейных поляризаций вдоль осей x и y с равными амплитудами 1/ 2, но с разностью фаз (1/ 2). Аналогично линейную поляризацию можно рассматривать как суперпозицию двух противоположно направленных круговых поляризаций.

Оптический элемент Соответствующая матрица Джонса пропускания под углом в -45° Полуволновая пластинка с оси x быстрой осью, направленной вдоль оси x.

До сих пор рассматривались векторы Джонса для некоторых простых частных случаев поляризации. Нетрудно показать, что в общем случае эллиптическую поляризацию можно представить следующим вектором Джонса:

Этот вектор Джонса отвечает некоторому состоянию поляризации, описываемому комплексным параметром ei tg. В табл. 1 приведены векторы Джонса для некоторых типичных состояний поляризации.

Наиболее важное применение векторы Джонса находят при вычислениях состояния поляризации. Это мощный метод, используемый при исследовании распространения плоских волн с произвольным двулучепреломляющих элементов и поляризаторов.

2.5. Оптическая матрица Джонса Поляризация – это общее свойство всех пространственных волн.

Зависимость от времени положения одного из волновых векторов в пространстве может быть описана движением точки в пространстве. Чаще электрического поля E монохроматической электромагнитной плоской волны. Предположим, что однородная плоская волна движется в положительном направлении вдоль оси z ортогональной правосторонней декартовой системы координат. Тогда вектор поляризации может быть записан в виде:

где Ex и E y представляют собой амплитуды линейных гармонических колебаний компонент электрического поля вдоль осей x и y ; x и y соответствующие замедления (задержки, сдвиги по фазе).

Более краткое математическое описание может быть получено при исключении зависимости от времени. Вектор-столбец размерности позволяет сгруппировать скалярные компоненты последнего уравнения Рассматривая поле на плоскости z 0, мы можем избавиться от пространственной информации. Оставшийся вектор и есть так называемый вектор Джонса. Он содержит полную информацию об амплитуде и фазе волновых компонент. Координаты вектора Джонса зависят от введенной системы декартовых координат и от плоскости наблюдения. Важно отметить, что вектор Джонса описывает плоскую волну, но не представляет ее. Как результат отказа от учета временной зависимости вектор E, введенный формулой (2.30), позволяет описывать свойства лишь полностью поляризованных волн. Феномен частично или полностью деполяризованных волн может быть объяснен только при возврате временной информации комплексных амплитуд Ex и E y, что ведет к концепции матриц Мюллера—Джонса.

Тема 3. Способы получения плоскополяризованного света 3.1. Поляризаторы Поляризатор является элементом, пропускающим только одно состояние поляризации. Поляризаторы бывают линейными, круговыми, эллиптическими в зависимости от состояния света, который они пропускают. Линейные поляризаторы используются наиболее часто и характеризуются осью пропускания. После прохождения естественного (неполяризованного) света через такой поляризатор (рис. 4) он становится линейно поляризованным. Для линейно поляризованного света, падающего на линейный поляризатор, интенсивность прошедшего света определяется законом Малюса где – угол между азимутом текущей поляризации и направлением оси пропускания.

Рис. 4. Прохождение света через два поляризатора.

естественного света с помощью поляризатора. Поставим на выходе первого поляризатора второй (анализатор) с осью пропускания под углом к оси первого.

Интенсивность прошедшего света в такой системе определяется соотношением:

Следовательно, при 90 интенсивность прошедшего света равна нулю.

Заметим, что соотношения (3.1) и (3.2) справедливы для идеального поляризатора. На самом деле, поляризатор характеризуется значениями максимального пропускания Tmax и минимального - Tmin.

Основными характеристиками поляризаторов являются:

эффективность поляризации 3.2. Принципы работы поляризационных оптических элементов При рассмотрении явления отражения плоской электромагнитной волны от границы раздела двух диэлектриков [2] было показано, что существует некий угол падения волны на границу раздела, при котором коэффициент отражения для волны с определенной поляризацией равен нулю. Напомним, что этот угол носит название угла Брюстера. Если же под этим углом на поверхность раздела диэлектриков направить электромагнитную волну, не обладающую поляризацией (естественный свет), то отраженная волна будет уже линейно поляризованной. Что же касается направления поляризации отраженной волны, то, как было показано в [2], вектор напряженности электрического поля этой волны будет колебаться в плоскости, перпендикулярной плоскости падения.

Проанализировав поляризацию прошедшей волны, можно убедиться, что она тоже стала частично поляризованной, причем в плоскости падения.

Оценивая степень поляризации преломленной волны, легко заметить, что при падении под углом Брюстера она имеет максимальное значение, но весьма незначительное (для обычного стекла эта величина порядка 15%). Если же преломленную и, следовательно, частично поляризованную волну подвергнуть второму, третьему и т.д.

преломлениям на аналогичных границах раздела сред, то, конечно, степень поляризации преломленной волны будет возрастать.

Если имеется 8 -10 стеклянных пластинок (так называемая стопа Столетова), то при падении волны под углом Брюстера на такую структуру и прошедшая и отраженная волны окажутся практически полностью поляризованными. Интенсивности отраженной и прошедшей волн будут равны между собой и составят каждая половину от интенсивности падающей, неполяризованной волны (если не учитывать поглощение в стекле). Направления же колебания векторов напряженности электрического поля отраженной и прошедшей волнах будут взаимно перпендикулярны.

Таким образом, группа стеклянных пластинок (стопа) может выполнять функции простейшего поляризатора как в отраженном, так и в прошедшем свете.

К настоящему времени разработано множество методов получения плоскополяризованного света при помощи двойного лучепреломления в анизотропных средах [2]. Простейший метод состоит в использовании различия в диэлектрических проницаемостях обыкновенной и необыкновенной волн, что позволяет в определенных условиях полностью разделить их. Для этого обычно используется в качестве анизотропной среды естественный кристалл исландского шпата (CaCO3). Два специальным образом вырезанных куска этого кристалла склеивают друг с другом при помощи оптического клея (канадский бальзам), при этом одна из собственных волн анизотропной среды испытывает полное внутреннее отражение на этой склейке, а вторая проходит через нее ( рис. 5).

Аналогичным образом устроены и другие типы поляризационных призм, например призмы Глана—Томпсона и др.

Дихроичные поляризаторы построены на применении явления дихроичного поглощения света в некоторых анизотропных кристаллах, двоякопреломляющий кристалл, в котором один из лучей (обыкновенный) поглощается значительно сильнее, чем другой. Поэтому из пластинки турмалина оба луча, поляризованные во взаимно перпендикулярных плоскостях, выходят с весьма различной интенсивностью, и прошедший через нее свет оказывается частично поляризованным. Если взять достаточно толстую пластинку турмалина (около 1 мм), то в случае видимого света обыкновенный луч практически целиком поглотится и вышедший свет будет плоскополяризованным.

Особое значение дихроичные вещества приобрели в последнее время благодаря изобретению поляроидов. Поляроид представляет собой пленку очень сильно дихроичного кристалла – герапатита. Слой герапатита толщиной около 0,1 мм практически полностью поглощает один из лучей, являясь уже в таком тонком слое совершенным линейным поляризатором.

Разработано несколько способов получения таких поляроидов, позволяющих изготавливать пленочные поляризаторы довольно большой площади.

Среди пленочных поляризаторов различают:

поляризаторы обыкновенного типа (ordinary), которые имеют одну поглощающую ось, лежащую в плоскости пленки, и две пропускающие оси, одна из которых лежит в плоскости поляризаторы необыкновенного типа (extraordinary), имеющие две поглощающих оси, одна из которых лежит в плоскости пленки, а другая перпендикулярна ей, и одну пропускающую однородные пленочные поляризаторы со взаимно ортогональными направлениями пропускания (ordinary) и поглощения (extraordinary).

3.3. Контраст, эффективность и дихроичное отношениехарактеристики поляризационных элементов В производстве жидкокристаллических дисплеев (ЖКД) контраст дисплея обычно определяется параметром контрастного отношения и является отношением максимальной яркости экрана к минимальной. Для высококонтрастных мониторов данный параметр имеет значение 400:1 и выше.

Для тонких пленок контрастное отношение может быть рассчитано по следующей формуле: C t1 / t2, где t1 - максимальное пропускание поляризатора, а t 2 - минимальное, когда поляризатор повернут к пучку света.

Для более точного определения характеристик тонких пленок необходимо ввести определения двух типов пропускания Tpar и Tper, экспериментальные образцы:

Tpar - пропускание одиночного поляризатора в поляризованном свете, когда ось пропускания поляризатора параллельна направлению поляризации падающего света;

Tper - пропускание одиночного поляризатора в поляризованном свете, когда ось пропускания поляризатора перпендикулярна направлению поляризации падающего света.

Также можно определить параметр T как усредненное пропускание поляризатора в неполяризованном свете:

пропускания в неполяризованном свете имеет вид пропускания в неполяризованном свете можно записать в виде:

Для определения свойств образцов используются эффективность поляризации:

и дихроичное отношение или контраст оптической чувствительности формуле:

Ретардеры (волновые пластинки) представляют собой устройства, которые вносят фазовую задержку между двумя ортогональными световыми поляризациями. Прежде всего, ретардеры служат для изменения состояния поляризации световой волны.

Линейный ретардер характеризуется вносимой фазовой задержкой между ортогональными поляризациями света p s.

Ретардеры изготавливаются, как правило, из двулучепреломляющего материала, имеющего главные значения показателей преломления равные no и ne (рис. 6). Такие ретардеры называются волновыми пластинками.

Рис. 6. Прохождение света через ретардер Фазовая задержка волновых пластинок может измеряться:

в градусах (радианах) В частности, для полуволновой пластинки имеем В зависимости от коэффициента преломления материала вдоль вертикальной оси различают:

ретардер необыкновенного типа (extraordinary) nz ne.

многослойные структуры опирается на знание оптических свойств тонких кристаллических пленок, которые определяются, главным образом, тензором диэлектрической проницаемости материала. Для решения прямой задачи с помощью матричного метода Берремана особенности материала (изотропность, анизотропность) не играют принципиальной роли. Однако знание особенностей материала (структуры тензора диэлектрической проницаемости) существенно упрощает решение обратной задачи за счет уменьшения количества искомых параметров или использования упрощенных моделей расчета. В этой связи приведем классификацию рассматриваемых материалов в зависимости от структуры тензора диэлектрической проницаемости материалов. Классификация тесно связана с относительной величиной главных осей диэлектрического эллипсоида и их ориентацией (рис. 7).

На рис. 7 изображен эллипсоид диэлектрической проницаемости, его главные оси и C ориентированы произвольным образом по отношению к локальной системе координат X n, Yn, Z n. Главные значения A, B, С различны по величине; - угол нутации (отклонение, отсчитываемое от оси Z ); - (иногда его обозначают буквой ) угол прецессии (вращение вокруг оси Z при фиксированном ); - угол вращения (иногда его обозначают буквой ) эллипсоида вокруг оси C против часовой стрелки; - угол падения света; OX n Z n - плоскость падения света.

Рис. 7. Общее положение эллипсоида диэлектрической проницаемости Существуют следующие классификации по величине главных значений тензора диэлектрической проницаемости:

двухосный анизотропный материал. Все главные оси диэлектрического эллипсоида не равны между собой, одноосный анизотропный материал. Две из трех оптических имеет одну оптическую ось, совпадающую с направлением C;

изотропный материал. Все главные оси диэлектрического Ниже представлены классификации одноосных материалов по ориентации главных осей диэлектрического эллипсоида.

В одноосных материалах направления, соответствующие равным между собой главным осям диэлектрических проницаемостей (или показателям преломления), обозначают словом ordinary ( O A B или no ), а оставшееся направление – extraordinary ( e C или ne ). Напомним, преломления. Характеристикой таких материалов часто выступает понятие «двулучепреломление», определяемое соотношением При ne no имеет место положительное двулучепреломление, а при ne no - отрицательное двулучепреломление.

Ниже (рис. 8-11) приведена общепринятая классификация одноосных значениями o и e и направлением выделенной оси [8]. При этом угол нутации является основным при определении типа материала. Для различных стандартных положений диэлектрического эллипсоида приводятся также значения углов Эйлера.

Двухосная пластинка соответствует общему положению одноосного диэлектрического эллипсоида со значением угла нутации 0 / 2, (рис.7). Отметим, что в том случае, когда главные оси эллипсоида совпадают с осями лабораторной системы координат, вместо A, B, C используются обозначения x, y, z.

В случае одноосной C-пластинки ось C является оптической осью и расположена перпендикулярно к плоскости пластинки (рис. 8, 9). При z x y ретардер называется положительной C-пластинкой, а в случае x y z — отрицательной C-пластинкой.

Одноосная A-пластинка определяется как пластинка с оптической осью, лежащей в плоскости пластинки (рис. 10, 11). Ретардер с x y z называют положительной А-пластинкой, а ретардер с z x y — отрицательной A-пластинкой.

Рис. 11. Отрицательная A-пластинка Тема 4. Методы расчета слоистыхструктур при известных оптических параметрах материалов 4.1. Обзор методов Задача об определении свойств оптической системы при известных оптических (диэлектрическая проницаемость) и геометрических (задающих форму объекта) параметрах является прямой задачей. Для решения задачи о прохождении света через слоистую (в общем случае анизотропную) среду в настоящее время применяются различные методы и алгоритмы: классические модели, рассмотренные в работах Борна и Вольфа [9], Аззама и Башара [10], классический метод матриц Джонса [7, 10], расширенный матричный метод Джонса [7], матричный метод Берремана [11]. Использование конкретного метода определяется условиями его применимости, при этом расширенный матричный 4x метод Джонса и матричный метод Берремана считаются универсальными.

Для решения задачи о прохождении света сквозь многослойную структуру используются матричный 4x4 метод Берремана, основанный на уравнениях действительную и мнимую части диэлектрического тензора, позволяет устойчиво находить решение обратной задачи об определении индексов диэлектрической проницаемости в классе аналитических функций.

используются волновая теория света и уравнения Максвелла. Ключевыми входными параметрами световой волны являются ее поляризация и угол используемыми как в прямой, так и в обратной задаче, служат тензор диэлектрической проницаемости и толщина материала d.

моделирования являются интенсивности пропускания и отражения под разными углами падения. Эти же характеристики обычно выступают как входные параметры в обратной задаче. Кроме того, в качестве дополнительных выходных параметров (рассчитываемых на основе пропускания и отражения) в прямой задаче могут также служить векторы Стокса прошедшего и отраженного света, степень поляризации, фазовые задержки, контраст, эффективность, цветовые координаты в различных цветовых пространствах, цветопередача и многое другое.

Заметим, что эффективное решение прямой задачи играет ключевую роль во всем программном обеспечении, поскольку задача расчета параметров материала по измеренным данным (обратная задача) частично использует алгоритмы прямой задачи.

Основными критериями применимости того или иного метода является возможность учета заданных параметров световой волны (поляризация, угол падения) и многократных отражений, возникающих между слоями оптической системы.

В нашей задаче возможно применение расширенного матричного 4x метода Джонса и матричного метод Берремана. Однако учет изотропности позволяет использовать более простые и быстрые классические методы расчета [12], что особенно важно при решении обратной задачи. В этой связи в методиках расчета используются, где возможно:

матричный метод Берремана для материалов любого типа с любой структурой оптической системы (в дальнейшем будем просто называть матричным методом);

классический метод только для изотропных материалов при комбинированный метод для двухслойных оптических систем с толстой изотропной подложкой.

Основные соотношения классического метода для произвольной падающей волны, учитывающего многократные отражения для одного и двух слоев, были рассмотрены выше. Ниже остановимся на матричном методе.

Заметим, что для расчетов, выполняемых в прямой задаче моделирования многослойных структур и устройств, можно использовать матричный метод даже для простых изотропных материалов. Это связано с тем, что матричный метод позволяет рассчитывать более широкий круг параметров прошедшего/отраженного света, чем классический.

Материальные уравнения электромагнитной индукции в декартовой системе координат могут быть записаны как:

где 0 и 0 - диэлектрическая и магнитная проницаемости в вакууме; и - тензоры диэлектрической и магнитной проницаемости материала.

Перекрестно-связанные тензоры и являются магнитоэлектрическим двухэлементным тензором. Материал оптически анизотропен, если, по крайней мере, один из тензоров или много отличается от его главных элементов, тогда как и могут быть равны нулю. В общем случае все четыре тензора имеют комплексные, несимметричные и не обращающиеся в нуль элементы, представляя собой анизотропную среду. Для однородной среды четыре тензора не зависят от пространственного положения r.

Рассматриваемый материал может быть определен как изотропный, одноосный или двуосный, а его оптические свойства могут быть описаны при помощи диэлектрического тензора (табл. 3).

Тензор диэлектрической проницаемости и свойства симметрии Оптическая Кристаллическая Диэлектрический Оптические параметры большинства твердых тел и жидкостей могут быть определены в понятиях главных элементов тензора и углов вращения. Классы кристаллов можно условно поделить на среды с одной или двумя оптическими осями. Магнитооптические эффекты в материале могут быть причиной антисимметрии диэлектрических свойств, тогда становится несимметричным в целом. Несимметричный тензор содержит симметричную и антисимметричную части, и обе могут иметь три главных комплексных элемента.

4.2. Матричный метод Берремана Рассмотрим метод расчета отраженной и прошедшей световых волн, основанный на матричном подходе, разработанном и развитом в работах [13, 14, 15]. Основные идеи алгоритма, часто называемым матричным 4х методом Берремана, основаны на точных преобразованиях уравнений Максвелла к матричной форме при условии однородности оптической среды (слоя) в направлении оси z.

Матрица Берремана, являясь переходной матрицей линейного дифференциального уравнения, позволяет учесть интерференционные эффекты многократного отражения, возникающего между слоями. В тангенциальными компонентами электрического и магнитного полей на входе оптической системы и соответствующими компонентами отражения и пропускания на выходе( рис. 12).

В алгоритме рассматривается общий случай размера и положения диэлектрического эллипсоида (рис. 7).

Рис. 12. Прохождение света через многослойную оптическую среду:

E, R, T – падение, отражение и пропускание света соответственно Согласно такому подходу одномерная неоднородная среда может быть полностью описана большим числом плоскопараллельных слоев, каждый из которых считается однородным [14]. Для каждого из слоев могут быть достаточно просто решены волновые уравнения. Решения для смежных слоев могут быть совмещены при помощи граничных условий для тангенциальных компонент электромагнитного поля. Обычно ось Z выбирается так, чтобы быть перпендикулярной плоскости слоев, и в электромагнитного поля рассматриваются как четыре вектора, которые определяются следующим образом проницаемостями. Граничные условия требуют, чтобы этот вектор с выходной стороны n -го слоя совпадал со входным вектором слоя n 1.

Иными словами, необходимо различать эти два вектора. Связь между входным и выходным векторами n -го слоя может быть записана как где P - функция распространения. Это решение уравнения (4.5), предложенного Берреманом:

где P exp(i d / c) ; d - толщина слоя, k (k x, k y, k z ) - волновой вектор, круговая частота; c - скорость света в вакууме.

Уравнение (4.5) является прямым следствием уравнений Максвелла и определяет метод Берремана решения прямой задачи о прохождении света сквозь однородную среду. Уравнение (4.4) вместе с граничными условиями предоставляет общее решение:

которое формально может быть записано как где R - пространственный оператор.

Выполнение законов поглощения и отражения обусловливает то, что совпадают на границах разделов слоев, и, таким образом, можно положить k y 0. Рассмотрим этот случай более подробно [15].

Главные диэлектрические функции x, y и z связаны с главными материала. Для моноклинных и триклинных систем можно всегда найти главные значения в декартовой системе координат. Тем не менее такое преобразование будет зависеть от, а основные оси кристалла в общем случае могут быть отличны от лабораторной системы координат. Углы Эйлера, и используются для вращения декартовой системы координат с помощью выражения:

где матрица A является ортогональной матрицей вращения:

Углы Эйлера описывают переход от лабораторной системы координат к локальной системе координат кристалла. Заметим при этом, что симметричен, т.е. ij ji. Матрица коэффициентов зависит от диэлектрического тензора и компоненты k x волнового вектора k a Матрица не зависит от z в том случае, если среда однородна.

Решением уравнения (4.5) для слоя толщиной d является матрица преобразования T p :

Матрица T p связывает компоненты электрического и магнитного полей на границах слоя толщиной d. Переходная матрица T p полностью описывает прохождение света сквозь однородную плоскопараллельную структуру и включает эффекты всех множественных отражений, в том числе и при наличии поглощения. Матрица T p зависит от толщины слоя d и еще от девяти неизвестных параметров (при фиксированной длине волны) - трех пар комплексных значений тензора диэлектрической проницаемости и трех углов Эйлера. При этом матрица является входным параметром для вычисления матрицы T p. Достаточно малое значение d, требуемое для быстрой сходимости экспоненциальной функции (3.26), может быть получено за счет разложения в ряд Тэйлора с фактором, зависящим от длины волны dk0 2 d. В работах [12, 16] основанные на теореме Сильвестра—Лагранжа:

Для вычисления переходной матрицы малое значение толщины не величины i получаются из линейных соотношений:

где qk, k 1,...4 - собственные значения матрицы. Два решения имеют положительные действительные части и отвечают за прохождение плоских волн сквозь плоскопараллельную пластину. Решения с отрицательными действительными частями соответствуют отраженным компонентам волны. Выражения для собственных значений можно записать в аналитическом виде:

где использованием коэффициентов i, полученных по формулам (4.13).

выражаются по известным формулам через компоненты диэлектрического тензора с учетом параметров падающей волны [11]. При этом, если элементы матрицы не зависят от z, то решение данной линейной системы может быть выражено через экспоненту от этой матрицы в виде:

однородной оптической среды.

Амплитуды отраженной и прошедшей волн могут быть получены как решение системы линейных алгебраических уравнений:

где T Tx, rx*Tx, Ty, ry*Ty T – вектор прошедшей волны, изотропных входной и выходной сред; 1 и 2 – углы светового луча во входной и выходной средах. Между параметрами ni и i выполняется соотношение (закон Снеллиуса) n1 sin 1 n2 sin 2.

Заметим, что приведенное выше представление векторов I, T, R справедливо только для изотропных сред, где имеет место однозначная связь между компонентами напряженностей электрического и магнитного полей. Поэтому далее считаем, что входная и выходная среды изотропны.

алгебраической системы уравнений 2х2, которая, к сожалению, может регуляризованный устойчивый метод, работающий при любых входных данных.

Найденные комплексные значения амплитуд Tx,Ty, Rx, Ry служат основой для вычисления основных параметров для отраженного и прошедшего лучей: коэффициентов отражения и пропускания, векторов Стокса, степени деполяризации и многих других параметров. В частности, коэффициенты отражения и пропускания окончательно вычисляются по формулам:

4.3. Расчет оптически толстых слоев Изложенная методика имеет определенные сложности при работе с толстыми слоями. При прохождении волны через толстый слой в последнем возникают многократные отражения света, что приводит к набегу фаз большему, чем длина когерентности света l. Такие колебания в реальной оптической системе не наблюдаются, что связано со смазыванием интерференционной картины. Можно считать также, что точность измерительного прибора (например, спектрофотометра) ниже периода этих колебаний и поэтому при измерениях эти колебания усредняются.

Значительная толщина подложки (по сравнению с длиной волны), вызывает существенные колебания выходного рассчитанного спектра (отражения и пропускания). Для приведения в соответствие измеряемых данных и расчетов необходимо внести усреднение в расчет результирующих спектров.

Подобное усреднение выполняется на случайной сетке по диапазону, определяемому обычно используемой для спектрофотометров длиной когерентности света:

4.4. Изотропные пленки Для изотропных материалов пропускание и отражение могут быть описаны более простыми уравнениями по сравнению с приближением 4х4.

Несмотря на это, решение в рамках общего алгоритма бывает полезно и часто продиктовано необходимостью единого подхода к решению задачи о пропускании и/или отражении света при наличии в многослойной структуре изотропных и анизотропных слоев. Собственные значения матрицы для изотропных материалов могут быть получены по формуле:

где - функция диэлектрической проницаемости изотропного материала.

В этом случае матрица системы (4.11) становится вырожденной, и амплитуды прошедшей и отраженной волн не могут быть однозначно определены. Тем не менее разложение в ряд Фурье (4.11) и разделение соответствующих сумм для синуса и косинуса приводит к следующему результату:

где учтены равенства 2 q 2 E и 3 q 2.

Выражение (4.21) рекомендуется использовать в случае, когда величина мала и обратить матрицу (4.12) численно невозможно.

близость/кратность ее собственных значений) может служить тестом на проверку анизотропности или изотропности материала.

4.5. Комбинированный метод анизотропного слоя, расположенного на толстой изотропной подложке, по измеренным пропусканию и отражению для ускорения расчетов бывает удобнее использовать комбинированную методику: прохождение светом анизотропного слоя рассчитывать матричным методом, а для толстой подложки использовать методику классических расчетов. Данный подход применим только для расчета интенсивностей прошедшего и отраженного света. Однако именно эти величины и измеряются спектрофотометром и являются входными данными для обратной задачи в нашей постановке.

Рис. 13. Распространение электромагнитной волны в двухслойной На рис. 13 представлена схема расчета комбинированного метода.

Здесь - общая энергия первичной волны, прошедшей из 0 во 2 среду, энергия волны, отраженной от нижней границы и прошедшей из 2 в среду, - общая энергия волны, отраженной на границе 2 – 1, с учетом многократного отражения в тонкой пленке.

Применение комбинированной методики в дальнейшем позволяет значительно сократить время решения обратной задачи. На основе приведенных методик проводится расчет пропускания и отражения в прямой и обратной задачах.

В расширенной постановке прямая задача используется для всевозможных оптических элементов. Процесс моделирования таких систем очень важен для приложений, связанных с проектированием различных оптических конструкций и, в частности, ЖКД. Ниже приведена постановка прямой задачи, решение которой реализовано в программном обеспечении.

Для оптических систем, состоящих из тонких пленок произвольной природы, подложек, различных оптических элементов (поляризаторы, ретардеры, воздушные прослойки и т.п.), для произвольных поляризаций прошедшего и отраженного света в заданном диапазоне длин волн [beg, end ] и/или в диапазоне углов падения [beg,end ].

В дальнейшем под многослойной системой будем понимать произвольный набор оптических элементов, через который проходит (или от которых отражается) луч света. Можно считать, что на пути светового (матрицы из формулы (4.5)) от оси z, а итоговая матрица Берремана находится как произведение матриц отдельных слоев [11,16]:

Заметим, что данное соотношение справедливо для оптических систем любой сложности, в частности, для систем с дискретными элементами типа поляроидов, фазовых пластинок и т.п. В силу непрерывности тангенциальных компонент электрического и магнитного многослойной системы не требуется.

Из соотношения (4.17) вытекает, что вычислительные затраты, необходимые для расчета матрицы P z, зависят от вычислительных затрат на расчет экспоненты от матрицы i для каждого однородного слоя.

Состояние векторного поля на выходе такой системы с матрицей P z, рассчитанной в соответствии с формулой (4.22), снова определяется по формуле (4.16).

Напомним, что дополнительных вычислительных затрат требуют расчеты прохождения света сквозь многослойную структуру при наличии толстых слоев. Как отмечалось выше, в этом случае при вычислении по формуле (4.16) с матрицей (4.22) следует выполнять усреднение результатов по диапазону, определяемому длиной когерентности l.

Тема 5. Расчет оптических элементов 5.1. Примеры оптических элементов использованы при моделировании оптических систем с помощью специального программного обеспечения.

Толстый изотропный слой. Используется для задания оптических параметров изотропных пленок, в частности, покрытий из лака.

Для изотропного слоя задаются толщина и оптические параметры материала:

Параметры материала могут быть заданы как постоянными во всем диапазоне длин волн [beg, end ], так и зависящими от : n( ), k ( ).

Тонкий анизотропный слой. Используется для задания оптических параметров анизотропных пленок.

Для анизотропного слоя задаются толщина и диэлектрические параметры материала:

показатели преломления для всех трех главных компонент коэффициенты поглощения для всех главных компонент Все параметры материала, кроме углов Эйлера, могут быть заданы как постоянными во всем диапазоне длин волн [beg, end ], так и зависящими от : n( ), k ( ).

оптических параметров изотропных подложек, к которым относятся стекло и различные полимерные пленки.

Для изотропной подложки задаются толщина, которая, как правило, имеет большое значение (порядка 1 мм), и параметры материала:

Параметры подложки могут быть заданы как постоянными во всем диапазоне длин волн [beg, end ], так и зависящими от : n( ), k ( ).

Толстая анизотропная подложка. Используется для задания оптических параметров анизотропных подложек, к которым относятся некоторые полимерные пленки.

Для анизотропной подложки задаются толщина и параметры материала:

показатели преломления для всех трех главных компонент коэффициенты поглощения для всех трех главных компонент Все параметры материала, кроме углов Эйлера, могут быть заданы как постоянными во всем диапазоне длин волн [beg, end ], так и зависящими от : n( ), k ( ).

Поляризатор. Задается как толстый анизотропный материал с диэлектрического тензора. Значения коэффициента поглощения поляризатора и значительными, обеспечивающими практически полное поглощение, вдоль второй оси.

Если в качестве поляризатора выступает тонкопленочный материал, то его параметры можно также задать, определив их для тонкой анизотропной пленки.

Для поляризатора задаются толщина и следующие параметры:

один показатель преломления для всех трех составляющих коэффициенты поглощения для пропускающей оси поляризатора k min и для поглощающей оси kmax ;

тип поляризатора, определяющий значение коэффициента поглощения в вертикальном направлении: o-поляризатор углы Эйлера устанавливаются равными 0.

Параметры поляризатора могут задаваться либо постоянными значениями на всем рассчитываемом диапазоне, что достаточно для моделирования поляризующего эффекта, либо зависимостью, вытекающей из дисперсионных соотношений. Второй способ предпочтительнее при проектировании реальных поляризаторов.

Фазовая пластинка. Задается как толстый анизотропный материал с преломления для всех осей диэлектрического тензора. Значения показателя преломления выбираются только одного направления ( o -направление) в перпендикулярном направлении ( e -направление) на плоскости рассчитывается автоматически по заданной фазовой задержке для каждой длины волны в диапазоне [beg, end ].

Для фазовой пластинки задаются толщина и следующие параметры:

показатель преломления для одного направления в плоскости одно значение коэффициента поглощения для всех трех составляющих диэлектрического тензора ka kb kc ;

тип фазовой пластинки, определяющий значение показателя преломления в вертикальном направлении: o-фазовая углы Эйлера устанавливаются равными 0.

Параметры фазовой пластинки могут быть заданы только в виде постоянных значений, что достаточно для моделирования эффекта фазовой задержки.

прослоек, которые могут присутствовать в оптических системах. Задается как изотропный материал любой толщины с постоянными показателем преломления и коэффициентом поглощения.

параметры:

показатель преломления n, по умолчанию n 1.00027 ;

коэффициент поглощения k, по умолчанию k 0 ;

толщина слоя по умолчанию задается равной 10 нм, хотя для моделирования реального воздушного слоя можно задать любое значение, в том числе и гораздо большее.

Численные модели позволяют правильно определять множество выходных параметров: волновые и цветовые параметры волновых пластинок, а также их спектральные характеристики и т.п.

5.2. Примеры расчета оптических характеристик многослойных структур состоящей из основных оптических элементов. Ядром оптической системы будет служить структура, представленная на рис. 14:

изотропный слой n = 1. Рассмотрим различные варианты падения света для приведенной интенсивностей отражения и пропускания (см. рис.15 - 20).

вектор Стокса= (1, 1, 0, 0).

Рис. 15. Линейная поляризация. Интенсивности пропускания вектор Стокса= (1, 0, 0, 1) Интенсивность дошедшего до многослойной структуры света практически снижается вдвое, и он становится линейно поляризованным.

Приведем спектры пропускания и отражения (рис. 19, 20) при поляризатором (рис. 18).

Тема 6. Экспериментальные методы исследования оптических покрытий Спектроскопические измерения являются в настоящий момент стандартными методами изучения оптических свойств как твердых, так и ограничивается лишь определением оптических параметров изотропных материалов. Изучение систем, состоящих из большого количества математического аппарата, применяемого для описания и моделирования таких систем.

Лишь в последние годы (в конце ХХ в.) был разработан и обоснован [11, 17], а затем развит [12], [16] и улучшен [15] достаточно удобный математический аппарат для численного моделирования взаимодействия света с анизотропными материалами. Этот аппарат базируется на теории математического описания процесса взаимодействия света с веществом на наноуровне, необходимо также иметь возможность точного измерения оптических параметров всего анизотропного образца. Для дизайна реальных оптических устройств требуется современное высокоточное оборудование – спектрофотометры, поляриметры, эллипсометры и профилометры, которые обеспечивали бы необходимую и достаточную экспериментальную информацию. Владение уникальными методами соответствующими экспериментальными установками позволяет поновому рассмотреть физический феномен тонкопленочных покрытий, дифракционных оптических элементов, фотонных кристаллов и устройств на их основе.

6.1. Оптические приборы оборудования, которое может использоваться для исследования оптических устройств. В настоящее время появились эллипсометры, спектрофотометры и поляриметры очень высокого качества. Широко известны такие фирмы, как «J. A. Woollam Co., Inc» - специализируется на разработке эллипсометров, «PerkinElmer Inc» - выпускает широкий спектр фотометрического оборудования, в частности, высококачественные «Axometrics, Inc» - небольшая фирма, выпускающая поляриметры (ее оборудование в свое время было установлено на космической станции «Мир»), и многие другие.

Например, фирма «PerkinElmer Inc» выпускает прецизионный фотоумножителем и стабилизованным по температуре PbS-детектором для обширного круга задач. Такой спектрометр обеспечивает широкий выбор методов измерения: сканирование по длине волны, сканирование по времени (кинетические исследования) и количественный анализ (фотометрия). Возможность подключения специализированных модулей для автоматического измерения интенсивностей пропускания и отражения от образцов под различными углами падения света позволяет быстро и точно получать разнообразные оптические характеристики материалов.

Фирма «J.A. Woollam Co., Inc» специализируется на производстве спектральных эллипсометров для неразрушающего контроля и получения оптических характеристик тонких пленок и объемных материалов. На основе измерения тех же интенсивностей пропускания и отражения вычисляется (измеряется) изменение поляризации света после взаимодействия с веществом. На основании этих измерений так же, как и в случае спектрометрических измерений, становится возможным оценить как оптические параметры материала, например, его диэлектрическую проницаемость, так и его геометрические характеристики, в частности, толщину тонкой пленки.