Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Тобольский государственный педагогический институт

имени Д.И. Менделеева»

ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

“ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ”

Направление: “010200.62 – Математика. Прикладная математика ”

Квалификация: бакалавр математики Программу составил:

к.ф.-м.н. Валицкас А.И.

Тобольск 2009 2

СОДЕРЖАНИЕ

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА.....

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ.

1.... 1.1. ЦЕЛЬ КУРСА........

1.2. ЗАДАЧИ КУРСА.......

1.3. МЕСТО КУРСА В ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ ПОДГОТОВКЕ

ВЫПУСКНИКА........

ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

2

ОБЪЁМ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ.

3

СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

4..... 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ... 4.3. ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ....

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

5 ДИСЦИПЛИНЫ........

5.1. РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА..... 5.2. СРЕДСТВА ОБЕСПЕЧЕНИЯ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ.

class='zagtext'> МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

6 ДИСЦИПЛИНЫ........

СОДЕРЖАНИЕ ТЕКУЩЕГО И ПРОМЕЖУТОЧНОГО

7 КОНТРОЛЯ.........

7.1. ПЕРЕЧЕНЬ ПРИМЕРНЫХ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ И

ЗАДАНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ..

7.2. ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ К ЗАЧЁТАМ И

ЭКЗАМЕНАМ.......

7.3. ПРИМЕРНАЯ ТЕМАТИКА РЕФЕРАТОВ И КУРСОВЫХ

РАБОТ........

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОРГАНИЗАЦИИ

8 ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ......

УЧЕБНАЯ ПРАКТИКА ПО ДИСЦИПЛИНЕ

9... ПРИЛОЖЕНИЕ I........ ПРИЛОЖЕНИЕ II........

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Дисциплина “Теория чисел” изучается в IV-м семестре II-го курса. На её изучение отведено 110 часов, из них аудиторных – 56 часов: 38 часов лекций и 18 часов практических занятий, самостоятельная работа студентов – 54 часа.

Изучение завершается экзаменом.

1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ

1.1. ЦЕЛЬ КУРСА. Хотя объектом изучения теории чисел является знакомое из школы множество целых чисел, но применяемые методы изучения настолько широки и многообразны, что теория чисел не может рассматриваться в качестве приложения одной из классических дисциплин алгебро-аналитического толка.

Теория чисел самобытна и самоценна, она впитывает лучшие достижения многих наук, завораживая обманчивой простотой формулировок и изысканностью сложнейших доказательств. Её влияние с течением времени лишь возрастает: в последнее время результаты теории чисел находят применение в вычислительных алгоритмах компьютерной алгебры и теории кодирования. Всё это показывает важность изучения теории чисел для подготовки бакалавров по направлению 010200.62 – “Математика. Прикладная математика”.

Главная цель курса вытекает из квалификационных требований к бакалаврам математики, изложенным в стандарте: бакалавр по направлению подготовки 010200.62 должен быть готов к выполнению исследовательской деятельности в областях, использующих математические методы и компьютерные технологии;

созданию и использованию математических моделей процессов и объектов;

разработке эффективных математических методов решения задач естествознания, техники, экономики и управления;

программно-управленческому обеспечению научно-исследовательской, проектно-конструкторской и эксплуатационно-управленческой Особо следует учитывать и прикладную составляющую направления подготовки 010200.62. Поэтому цель преподавания дисциплины “Теория чисел” триедина:

овладение студентами математическим аппаратом теории чисел, фундаментальными теоретическими положениями этой науки;

воспитание и развитие их математической культуры;

осознание ими прикладного характера математики в целом и теории Вместе с тем, изучение дисциплины “Теория чисел” преследует и следующие частные цели:

обеспечение понятийной базы для других предметов, использующих теорию чисел в качестве поставщика понятий и необходимого математического аппарата (теория алгоритмов, дискретная математика, информатика, компьютерная алгебра, и др.), и дальнейшего самостоятельного изучения;

владение системой основных математических структур и аксиоматическим методом;

освоение методологии построения математических моделей;

пополнение запаса стандартных алгоритмов для решения некоторых типовых задач теоретико-числовыми методами;

сопровождение теоретического материала широким спектром разнообразных задач и упражнений для самостоятельного решения, позволяющим более глубоко прочувствовать теоретические положения дисциплины и развить у студентов навыки самостоятельной работы;

знание основных этапов истории математики и получение представлений о современных тенденциях её развития.

1.2. ЗАДАЧИ КУРСА. Курс теории чисел должен решать следующие задачи:

вооружать студентов фундаментальными теоретическими знаниями давать достаточный терминологический и понятийный запас, необходимый для самостоятельного изучения специальной литературы;

предлагать строгие формальные доказательства основных результатов, развивая культуру мышления студентов;

демонстрировать наглядность большинства идей излагаемой теории, открывающую дорогу многим приложениям;

учить навыкам формулировки разнообразных теоретических и практических задач на языке теории чисел;

демонстрировать применение теории чисел для решения разнообразных практических задач;

пополнить алгоритмический запас студентов, позволяющий им решать типовые задачи;

обеспечить разнообразный материал для самостоятельной работы.

МЕСТО КУРСА В ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ ПОДГОТОВКЕ

1.3.

ВЫПУСКНИКА. Содержание дисциплины “Теория чисел” тесно связано с другими курсами, предусмотренными учебным планом по направлению подготовки бакалавров:

с математическим анализом;

с дискретной математикой, включая комбинаторику и теорию кодирования;

с математической логикой и теорией алгоритмов;

с некоторыми дисциплинами информатики, например, с “Компьютерной алгеброй”.

При этом преподавание теории чисел должно не только создать базу для изучения вышеперечисленных предметов и решения прикладных задач, но обеспечить, в первую очередь, понимание фундаментального характера изучаемой теории.

Кроме того, в процессе изучения дисциплины “Теория чисел” (в личном общении с преподавателем, при овладении теоретическими и практическими аспектами дисциплины, в коллективном общении студентов группы) у студентов формируются навыки в следующих основных видах деятельности, предусмотренные стандартом высшего профессионального образования:

1) научно-исследовательская и научно-изыскательская деятельность:

2) производственно-технологическая деятельность:

3) организационно-управленческая деятельность:

2. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

Основные требования к знаниям и умениям студентов по дисциплине “Теория чисел” раскрываются через требования, заложенные в стандарте высшего профессионального образования второго поколения по направлению подготовки бакалавров 010200.62 – “Математика. Прикладная математика”.

Изучение каждой темы предполагает овладение определёнными знаниями, умениями и навыками, представленными ниже на языке микроцелей:

СИСТЕМА МИКРОЦЕЛЕЙ ИЗУЧЕНИЯ КУРСА ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

Ц 1. Уметь применять теорему о делении с остатком и свойства делимости к решению различных арифметических задач.

Ц 2. Уметь применять алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя целых чисел, его линейного разложения и наименьшего Ц 3. Уметь, используя “решето” Эратосфена, составлять таблицы простых чисел и решать задачи на применение основной теоремы арифметики и свойств простых чисел.

Ц 4. Уметь находить разложение заданного рационального числа в конечную цепную дробь и разложение заданного иррационального числа в бесконечную цепную дробь, вычислять подходящие дроби и применять свойства подходящих дробей при решении задач.

Ц 1. Уметь применять определение и свойства сравнений по заданному модулю при составлении полной и приведённой систем вычетов.

Ц 2. Знать определение функции Эйлера и уметь вычислять её значения.

Уметь вычислять остатки арифметических выражений от деления на заданное число, используя свойства сравнений и теоремы Эйлера и Ц 3. Уметь решать различными способами линейные сравнения первой степени с одним неизвестным.

Ц 4. Знать и уметь применять для решения задач алгоритмы нахождения показателя и первообразного корня по заданному модулю. Уметь решать двучленные сравнения, используя таблицы индексов.

Арифметические приложения теории сравнений Ц 1. Знать обобщённый признак делимости Паскаля и уметь его применять для конструирования конкретных признаков делимости.

Ц 2. Уметь проверять правильность выполнения простейших арифметических действий с помощью сравнений по модулям 9 и 11.

Ц 3. Уметь определять по внешнему виду обыкновенной дроби вид её десятичного разложения (конечная десятичная дробь, чисто или смешанно периодическая), уметь находить длины периода и предпериода этого десятичного разложения.

Алгебраические и трансцендентные числа Ц 1. Знать определение алгебраического и трансцендентного (над полем Q) числа, знать факт существования трансцендентных чисел и некоторые наиболее известные примеры таких чисел (e,, ln, e ).

Ц 2. Уметь находить аннулирующие уравнения для некоторых простых видов алгебраических чисел.

Приводимый ниже (ПРИЛОЖЕНИЕ I) перечень стандартных контрольных работ по курсу теории чисел позволяет более предметно судить о приобретаемых в процессе обучения знаниях, умениях и навыках.

УЧЕБНОЙ РАБОТЫ

Блок: Теория делимости в кольце целых Деление целых чисел с остатком и делимость Блок: Арифметические приложения Вычисление остатков некоторых алгебраических выражений и проверка арифметических – – действий с помощью сравнений

4. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ

БЛОК “Теория делимости в кольце целых чисел” Раздел 1. Деление целых чисел с остатком и делимость нацело: Теорема о делении с остатком. Делимость нацело и её свойства. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида. Линейное разложение НОД.

Раздел 2. Взаимно простые и простые числа: Взаимно простые числа и их свойства. Простые числа и их свойства. Основная теорема арифметики. Бесконечность количества простых чисел в арифметических прогрессиях. Решето Эратосфена. Целая и дробная части числа и разложение n! в произведение простых множителей. Функция (х) и неравенства Чебышева. Постулат Бертрана.

Раздел 3. Конечные цепные дроби: Конечные цепные дроби. Подходящие дроби и их основные свойства. Теорема о представлении рациональных чисел конечными цепными дробями. Применение конечных цепных дробей к нахождению линейного разложения НОД.

Раздел 4. Бесконечные цепные дроби: Бесконечные цепные дроби. Значение бесконечной цепной дроби. Теорема о представлении иррациональных чисел бесконечными цепными дробями. Признак иррациональности числа и иррациональность числа e. Подходящие дроби как наилучшие приближения действительных чисел рациональными. Представление квадратичных иррациональностей периодическими цепными дробями (теорема Лагранжа). Представление натуральных чисел в виде суммы двух квадратов.

Раздел 5. Сравнения и кольца вычетов: Отношение сравнимости по модулю и его основные свойства. Кольцо Zn, поле Zp и группа Zn.

Полная и приведённая системы вычетов. Мультипликативные функции. Количество (n) и сумма (n) делителей натурального числа. Функция Эйлера и её основные свойства. Теоремы Эйлера и Раздел 6. Общая теория полиномиальных сравнений: Полиномиальные сравнения и их решения. Редукция сравнения по составному модулю к модулю, являющемуся степенью простого числа, а затем – к простому модулю. Системы полиномиальных сравнений.

Раздел 7. Линейные сравнения с одним неизвестным: Структура решений линейного сравнения первой степени. Методы решения. Решения Раздел 8. Сравнения второй степени: Сведение к двучленному сравнению.

Квадратичные вычеты и невычеты. Символ Лежандра и его свойства. Квадратичный закон взаимности Гаусса. Сравнения второй степени по произвольному составному модулю.

Раздел 9. Показатели, первообразные корни и индексы: Показатель числа (или класса вычетов) по заданному модулю и его основные свойства. Первообразные корни по заданному модулю. Количество и структура первообразных корней. Существование первообразных корней по простому модулю. Первообразные корни по модулям p и 2 p (p – простое число). Индекс числа (или класса вычетов) относительно первообразного корня по данному модулю. Индексы по модулям p и 2 p (p – простое число). Двучленные сравнения по простому модулю. Степенные вычеты и невычеты и их отыскание.

Решение показательных сравнений.

БЛОК “Арифметические приложения теории сравнений” Раздел 10. Вычисление остатков некоторых алгебраических выражений и проверка арифметических действий с помощью сравнений: Нахождение остатков полиномиальных и экспоненциальных выражений с помощью теоремы Эйлера. Проверка арифметических действий с помощью сравнений по подходящим модулям.

Раздел 11. Признаки делимости: Обобщённый признак делимости Паскаля.

Признаки делимости на 2 т, 5 т, 3, 9, 11 [, 7, 13]. Конструирование признаков делимости на заданное число.

БЛОК “Алгебраические и трансцендентные числа” Раздел 12. Числа алгебраические и трансцендентные: Определение алгебраических и трансцендентных (над Q) чисел. Доказательство существования трансцендентных чисел по Кантору. Теорема Эрмита-Линдемана.

Раздел 13. Теорема Лиувилля и её применения: Теорема Лиувилля о приближениях алгебраического числа рациональными числами и её применение к построению трансцендентных чисел и доказательству иррациональности некоторых чисел.

Не предусмотрен.

ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

А) ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Валицкас А.И. Конспект лекций по теории чисел: Теория делимости в кольце целых чисел – Тобольск: изд-во ТГПИ, 2002.

2. Виноградов И.М. Основы теории чисел. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007.

Б) ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

3. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел – М.: Наука, 1972.

4. Валицкас А.И., Евсюкова Е.В., Шаипова А.Я., Шебанова Л.П. Разноуровневые задания по курсу: «Алгебра и теория чисел»: Учебно-методическое пособие для студентов физико-математических факультетов пединститутов – Тобольск: изд-во ТГПИ, 1998.

5. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С., Стеллецкий И.В. Алгебра – М.:

Просвещение, 1978.

6. Воробьев Н.Н. Признаки делимости – М.: Наука, 1980.

7. Воробьев Н.Н. Числа Фибоначчи – М.: Наука, 1978.

8. Воронин С.М. Простые числа – М.: Знание, 1978.

9. Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию чисел – М.: Изд. МГУ, 1984.

10. Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел – М.:

Просвещение, 1964.

11. Казачек Н.А., Перлатов Г.Н., Виленкин Н.Я., Бородин А.И. Алгебра и теория чисел. Части I, II, III. – М.: Просвещение, 1974.

12. Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел – М.: Наука, 1975.

13. Кострикин А.И. Введение в алгебру (в 3-х ТТ.). – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000.

14. Кудреватов Г.А. Сборник задач по теории чисел – М.: Просвещение, 1970.

15. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел – М.: Высшая школа, 1979.

16. Куликов Л.Я., Москаленко А.И., Фомин А.А. Сборник задач по алгебре и теории чисел – М.: Просвещение, 1993.

17. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. Части I, II – М.: Просвещение, 1978.

18. Постников М.М. Введение в аналитическую теорию чисел. – М.: Наука, 19. Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. –М.: Наука, 20. Прахар К. Распределение простых чисел – М.: Мир, 1967.

21. Степанов С.А. Сравнения – М.: Знание, 1975.

22. Хинчин А.Я. Цепные дроби – М.: Наука, 1978.

23. Шнеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел – Мн: Выш.

школа, 1982.

24. Эльнатанов Б.А. Развитие метода решета – Душанбе, 1984.

5.2. СРЕДСТВА ОБЕСПЕЧЕНИЯ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

Не предусмотрены.

6. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

ДИСЦИПЛИНЫ

Не предусмотрены.

7. СОДЕРЖАНИЕ ТЕКУЩЕГО И ПРОМЕЖУТОЧНОГО КОНТРОЛЯ

7.1. ПЕРЕЧЕНЬ ПРИМЕРНЫХ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ И

ЗАДАНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Примерные варианты аудиторных контрольных работ по дисциплине приведены в ПРИЛОЖЕНИИ I К УП.

7.2. ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ К

ЗАЧЁТАМ И ЭКЗАМЕНАМ

Примерный вариант вопросов к экзаменам и заданий к зачётам приведён в

ПРИЛОЖЕНИИ II К УП.

7.3. ПРИМЕРНАЯ ТЕМАТИКА РЕФЕРАТОВ И

КУРСОВЫХ РАБОТ

Примерные темы курсовых работ по теории чисел приведены в

ПРИЛОЖЕНИИ III К УП.

8. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО

ОРГАНИЗАЦИИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

Курс теории чисел является базовым для многих математических дисциплин по направлению подготовки бакалавров 010200.62 – “Математика. Прикладная математика”. Так что эта дисциплина должна развивать математическую культуру, вооружать студентов фундаментальными понятиями, алгоритмами и методами, позволяющими в будущем овладеть самостоятельно дополнительными знаниями, необходимыми в их дальнейшей работе.

Конечно, за отведённое для аудиторных занятий время невозможно одинаково глубоко изучить все темы. Некоторые из них планируется выносить на самостоятельное изучение, осуществляя контроль на коллоквиумах. Реализация данной учебной программы допускает отступления от строго линейного порядка изучения разделов и тем: например, мультипликативные функции можно изучать до введения понятия сравнения по модулю. Полезно по возможности возвращаться к изученным ранее результатам, рассматривая их под разными углами зрения.

Предполагается широко использовать в обучении нестандартные задачи и упражнения, богатый запас которых имеется на кафедре алгебры и геометрии.

Поэтому приведённые стандартные задачи для контрольных работ далеко не исчерпывают всего арсенала средств обучения.

9. УЧЕБНАЯ ПРАКТИКА ПО ДИСЦИПЛИНЕ

Не предусмотрена.

ПРИЛОЖЕНИЕ I

ПРИМЕРНАЯ ТЕМАТИКА КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

ПО ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

1. Найти частное и остаток от деления 520 на 23.

2. Двумя способами найти НОК[ 134, 126 ] и НОД( 134, 126 ), вычислить линейное разложение НОД( 134, 126 ).

3. Разложить в конечную цепную дробь и найти все ее подходящие дроби.

4. Разложить 5 в бесконечную цепную дробь.

5. Доказать, что сумма трех последовательных натуральных степеней числа делится на 14.

“Теория сравнений с арифметическими приложениями” 1. Какая из трёх совокупностей чисел 19, –3, 5, 13; –3, –5, –9, 17; 3, 5, 6, будет приведенной системой вычетов по модулю 8 и почему ?

2. Найти остаток от деления числа (8480 + 2340)15 на 25.

3. Найти число а = 3х 5y 7z, если (a) = 3600. Найти (a) и (a).

4. Тремя способами решить сравнение 15 х 21 (mod 18).

5. Найти остаток от деления a100 на 125, где а Z.

“Теория сравнений с арифметическими приложениями” 1. Найти все классы первообразных корней по модулю 5.

2. Решить двучленное сравнение 9 х5 14 (mod 41).

4. Проверить правильность выполнения умножения 3125 256 = 800000 с помощью сравнений по модулям 9 и 11.

5. Вывести признак делимости на 7.

6. Найти многочлен степени не выше 4 с целыми коэффициентами, корнем которого является 2 3.

1. Привести сравнение 2 x2 +3 x – 4 0 (mod 7) к двучленному виду.

2. Исследовать разрешимость сравнения х2 14 (mod 41) с помощью символа Лежандра.

3. Решить сравнения:

ПРИЛОЖЕНИЕ II

ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ

Теорема о делении целых чисел с остатком. Примеры.

Основные свойства делимости целых чисел.

НОД целых чисел: определение, свойства, способы нахождения, примеры.

НОК целых чисел: определение, свойства, способы нахождения, примеры.

Алгоритм Евклида и линейное разложение НОД(a, b).

Взаимно простые числа и их свойства. Примеры.

Простые числа и их свойства. Основная теорема арифметики.

Функция (x), неравенства Чебышева и постулат Бертрана.

Функции натурального аргумента и : определения, способы вычисления, примеры.

Функция Эйлера: определение, мультипликативность, способы вычисления, примеры.

10.

Бесконечность множества простых чисел. Решето Эратосфена.

11.

Конечные цепные дроби, подходящие дроби и их основные свойства.

12.

Представление рациональных чисел конечными цепными дробями. Примеры.

13.

Представление иррациональных чисел бесконечными цепными дробями. Примеры.

14.

Сравнения и их свойства.

15.

Общий признак делимости Паскаля. Признаки делимости на 2n, 5n, 3, 9, 11.

16.

Кольцо вычетов Zm, группа Zm*, поле Zp.

17.

Теоремы Эйлера и Ферма. Примеры использования для вычисления остатков.

18.

Китайская теорема об остатках. Примеры.

19.

Полиномиальные сравнения по простым и составным модулям. Метод “поднятия решений”. Примеры.

Теорема о сравнениях первой степени. Различные методы решения сравнений первой 21.

степени. Примеры.

Решения систем линейных сравнений. Примеры.

22.

Символ Лежандра, его основные свойства и способы вычисления. Примеры.

23.

Квадратичный закон взаимности Гаусса. Примеры.

24.

Решение сравнений второй степени по любому модулю. Примеры.

25.

Показатели и их свойства. Первообразные корни. Нахождение первообразных корней.

26.

Теорема о существовании первообразных корней по модулям p и 2 p (p – простое).

27.

Индексы относительно первообразного корня и их свойства. Таблицы индексов и антииндексов. Решение двучленных сравнений a xn b (mod m) с помощью индексов.

Алгебраические и трансцендентные числа. Существование трансцендентных чисел.

29.

Примеры трансцендентных чисел (результаты Эрмита, Линдемана, Гельфонда, Шнейдера).

Теорема Лиувилля и конструирование трансцендентных чисел. Примеры.

30.