«ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ ...»

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Уральский федеральный университет

имени первого Президента России Б. Н. Ельцина»

На правах рукописи

УДК

БЕЛЯЕВА ЗОЯ ВЛАДИМИРОВНА

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ

05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор Е. А. Митюшов Екатеринбург

СОДЕРЖАНИЕ

Содержание

Введение

1. Моделирование сводов и куполов поверхностями второго порядка с использованием конструктивных параметров

1.1. Применение поверхностей вращения при моделировании куполов на круглом плане

1.2. Использование поверхностей второго порядка при моделировании сводов и оболочек на прямоугольном плане

1.2.1. Моделирование сводов и оболочек на прямоугольном плане цилиндрическими поверхностями второго порядка

1.2.2. Моделирование сводов и оболочек на прямоугольном плане произвольными поверхностями второго порядка

1.3. Моделирование оболочек на произвольном четырехугольном плане с использованием поверхности гиперболического параболоида ............ Выводы по главе 1

2. Применение линейчатых поверхностей при моделировании элементов тонкостенных пространственных конструкций

2.1. Применение векторно-матричных алгоритмов при моделировании элементов пространственных конструкций (мембран и оболочек) линейчатыми поверхностями

2.2. Применение методов центрального и параллельного проецирования при моделировании формообразующих элементов тентовых конструкций

Выводы по главе 2

3. Применение линейных и нелинейных преобразований поверхностей, заданных произвольными образующими и направляющими линиями, для формообразования элементов пространственных конструкций

3.1. Моделирование куполов и других пространственных конструкций поверхностями вращения с произвольными образующими

3.2. Применение цепной линии при моделировании поверхностей............. 3.3. Применение кинематического метода при моделировании элементов пространственных конструкций каналовыми поверхностями

3.4. Моделирование пространственных конструкций путем трансформации поверхностей

3.5. Моделирование сложных сплошных и сетчатых пространственных конструкций методом композиции аналитических примитивов................. Выводы по главе 3

4. Технология проектирования тентовых и листовых конструкций, моделируемых элементами развертывающихся поверхностей

4.1. Использование аналитических методов при раскрое линейчатых элементов тентовых конструкций в форме цилиндрической, конической и торсовой поверхностей

4.2. Раскрой элементов поверхностей конструкций с использованием аналитических алгоритмов

Выводы по главе 4

Заключение

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Библиографический список

ВВЕДЕНИЕ

(параллелепипеды, призмы, пирамиды, конусы, сферы). Развитие культуры, науки, накопление практического опыта людей привели к фантастическим достижениям в строительстве самых разнообразных зданий и сооружений промышленного и гражданского назначения. Эти достижения отражаются в архитектурном облике зданий, в используемых при строительстве материалах, а также в технологии их возведения.

Со временем простых геометрических форм оказалось недостаточно для нужд архитекторов и строителей. Появилась потребность в использовании новых, более сложных математических моделей, а, следовательно, и необходимость выявления взаимосвязи между параметрами геометрической модели и параметрами проектируемого сооружения.

формообразования поверхностей уделялось незначительное внимание. В использовании пространственных конструкций при проектировании зданий и сооружений, машиностроительных конструкций, трубопроводов и т.д.

благодаря активному внедрению информационных технологий. Современные прикладные компьютерные пакеты (ArchiCAD, AutoCAD, Компас, Лира, MicroFe, ANSYS и другие) позволяют легко получить образ проектируемой конструкции на основе имеющихся примитивов, выполнить ее расчет и даже получить проектную документацию. При всех достоинствах этих современных средств проектирования и преимуществах их применения стоит отметить, что заложенные в эти пакеты алгоритмы скрыты от пользователя, что не позволяет во многих случаях эффективно и полно использовать встроенные функции или дополнить программный продукт собственными разработками. С другой стороны, применение универсальных математических компьютерных систем – Mathematica, Maple, Mathlab, Mathcad редакторами позволяет любому пользователю по уравнениям z = f ( x, y ), F ( x, y, z ) = 0 или r = r (u, v ) путем изменения функциональной зависимости получить бесчисленное количество поверхностей, теоретически пригодных для формообразования какой-то гипотетической пространственной конструкции.

конструкции не является самоцелью, а продиктован ее функциональным предназначением, имеющимися материалами и условиями эксплуатации. Так, форма конструкции обязательно должна быть связана с ее конструктивными параметрами аналитическими соотношениями, позволяющими осуществлять стыковку или сочленение с другими конструкциями или их элементами, привязку этой конструкции к плану.

Все эти задачи с успехом могут решаться средствами нового раздела прикладной математики – компьютерной геометрии, в основе которой лежат фундаментальные результаты аналитической и начертательной геометрий, дифференциальной геометрии, векторной и линейной алгебр, теории матриц, математического анализа, вычислительной математики.

Актуальность темы.

В различных отраслях техники и строительства широкое применение находят аналитические поверхности. Традиционно используется довольно ограниченный круг поверхностей: сферические, цилиндрические, конические, пологие оболочки переноса и некоторые поверхности вращения, но современная архитектура тяготеет к необычным, оригинальным формам, происходит усложнение используемых геометрических форм, появляется необходимость в новых методах моделирования поверхностей, которые могут быть использованы в качестве основы в архитектурно-строительных задачах при проектировании пространственных конструкций. Решение вопросов конструирования поверхностей является одной из основных задач инженерной геометрии. Задачи геометрического моделирования и их приложения в различных областях рассматриваются в работах Н.Н. Голованова, А.Ш.

Готмана, А.В. Замятина, В.Н. Иванова, С.Н. Кривошапко, А.В. Крутова, В.А. Лебедева, И.Н. Мишанина, О.В. Мысковой, Е.А. Никулина, Е.В. Попова, В.Г. Рекача, А.Г. Трущева, А.Л. Хейфеца и др.

нетривиальные задачи стыковки или сочленения элементов конструкции с другими конструкциями, привязки этой конструкции к основанию, раскроя элементов конструкций. Существующие программные комплексы позволяют создавать модели и выполнять расчеты конструкций практически любой формы, но при этом встроенные функции комплексов ориентированы, в основном, на использование простейших геометрических форм, что затрудняет решение задач геометрического моделирования при проектировании конструкций. Также за счет использования разных программных комплексов на разных стадиях наблюдается разрыв между методами и моделями, используемыми в архитектурном моделировании, при проектировании и при изготовлении пространственных конструкций, из-за чего геометрическая форма итоговой конструкции может существенно отличаться от изначально задуманной.

Поэтому актуальным является решение задачи геометрического моделирования поверхностей в общей трехмерной постановке, позволяющей исследовать особенности применения поверхностей с конструктивной параметризацией для моделирования тонкостенных конструкций в строительной и машиностроительной практике и более полно использовать современные технологии.

Разработка математических векторно-матричных моделей поверхностей, практических задач формообразования, проектирования и изготовления пространственных конструкций с применением компьютерной геометрии.

построение для куполов и сводов на круглом и прямоугольном плане математических моделей поверхностей и определение взаимосвязи параметров математических моделей с конструктивными параметрами покрытия;

кинематический метод геометрического моделирования при формообразовании тонкостенных и стержневых пространственных конструкций с использованием линейчатых поверхностей;

разработка алгоритмов трансформации поверхностей с применением линейных и нелинейных преобразований при построении математических моделей пространственных конструкций;

использованием аналитических методов;

реализация полученных алгоритмов формообразования и раскроя элементов поверхностей при изготовлении мобильных тентовых конструкций.

построен новый класс поверхностей, называемых регулярными коноидами и регулярными цилиндроидами, для которых точки пересечения образующей во всех ее положениях с направляющей распределены равномерно, благодаря чему возможно равномерно располагать армирующие элементы или элементы опалубки при проектировании или изготовлении конструкций;

преимуществом которого является возможность его задания только продолжения, показана возможность применения таких сплайнов для задания образующих сложных поверхностей в задачах моделирования элементов пространственных конструкций;

развертывающихся поверхностей методом центрального и параллельного проецирования;

предложены алгоритмы аналитического построения кривых (линий кроя) на плоскости развертки для раскроя конструкций из листовых и тканевых материалов;

на примерах тентовых шатров и куполов проиллюстрировано применение предложенных алгоритмов формообразования элементов поверхностей и построения разверток как для поверхностей, описываемых непрерывными аналитическими функциями, так и для поверхностей, выраженных кусочно-гладкими функциями, задаваемыми на каждом участке произвольными аналитическими кривыми или сплайнами.

Достоверность результатов Достоверность результатов подтверждается возможностью визуализации результатов, полученных в программных комплексах с использованием предлагаемых математических моделей, и реализацией на практике предложенных алгоритмов при изготовлении мобильных быстровозводимых конструкций.

Практическая ценность Практическая ценность работы заключается в возможности применения разработанных алгоритмов и программных комплексов для формообразования и проектирования сводов, куполов и оболочек на круглом и прямоугольном плане, для проектирования и раскроя листовых конструкций и легких тентовых конструкций из винила, а также для подготовки бакалавров и магистров по направлениям «Прикладная математика и информатика», «Строительство».

Получен акт о внедрении метода изготовления конструкций путем раскроя пространственных элементов конструкций из рулонированных материалов.

Диссертационная работа выполнена на кафедрах «Теоретическая механика» и «Строительные конструкции» ФГАОУ ВПО «Уральский федеральный университет имени первого Президента Б.Н. Ельцина» в рамках госбюджетных тем №815 и №2492.

Апробация работы Основные результаты исследований, представленные в диссертационной работе, докладывались и обсуждались на Всероссийских школах-конференциях молодых ученых «Математическое моделирование в естественных науках»

(Пермь, 2007-2010), 5-й «Математическое моделирование и компьютерный инженерный анализ»

(Екатеринбург, 2008), Международной научно-практической конференции «XXXIX Неделя науки СПбГПУ» (Санкт-Петербург, 2010).

«Теоретическая механика» УрФУ, г. Екатеринбург (рук. д.ф.-м.н., доцент С.А.

Берестова), «Строительные конструкции» УрФУ, г. Екатеринбург (рук. к.т.н., доцент В.Г. Крохалев), «Математического моделирования систем и процессов»

ПНИПУ, г. Пермь (рук. д.ф.-м.н., профессор П.В. Трусов), «Механика композиционных материалов и конструкций» ПНИПУ, г. Пермь (рук. д.ф.-м.н., профессор Ю.В. Соколкин), Института механики сплошных сред, г. Пермь (рук. академик РАН В.П. Матвеенко) и Института «Проектстальконструкция», г. Екатеринбург (рук. к.т.н. С.В. Кудрявцев).

Публикации Результаты исследований по теме диссертационной работы отражены в 17 публикациях; из них 9 статей [2-3, 6, 8, 10-11, 14-16], 3 из которых опубликованы в журналах, входящих в перечень изданий, рекомендованных ВАК, и одна монография [17]. Подана заявка на регистрацию программного комплекса по построению разверток элементов конических и цилиндрических поверхностей, ограниченных произвольными линиями.

Структура и объем работы Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованной литературы, содержащего 177 наименований.

Работа содержит 71 рисунок, изложена на 173 страницах.

геометрического моделирования куполов, сводов и оболочек на круглых, прямоугольных и произвольных четырехугольных планах с использованием поверхностей второго порядка. Особое внимание уделено возможностям представления моделирующих элементы конструкции фрагментов поверхностей через конструктивные параметры (высота, размеры в плане).

Во второй главе предложены аналитические методы формообразования пространственных конструкций с использованием линейчатых поверхностей.

Даны алгоритмы построения простейших линейчатых поверхностей, к которым относятся цилиндры и конусы с произвольными направляющими линиями.

Рассмотрены способы аналитического построения поверхностей с плоскостью параллелизма – цилиндроидов и коноидов. Введены в рассмотрение новые линейчатые поверхности – регулярные цилиндроидов и регулярные коноидов, характеризующиеся равномерным распределением точек пересечения образующей во всех ее положениях с направляющими линиями. Получено общее уравнение линейчатой поверхности и приведены примеры его использования при моделировании некоторых элементов пространственных конструкций. В общем векторном виде аналитически реализован метод центрального и параллельного проецирования для получения произвольных по форме и произвольным образом ориентированных в пространстве конических и цилиндрических поверхностей.

Третья глава посвящена разработке принципов моделирования элементов пространственных конструкций на основе применения произвольных направляющих и образующих линий формообразующих поверхностей.

Продемонстрированы возможности использования в качестве направляющих линий, моделирующих конструкцию поверхности, цепных и сплайновых линий. Предложен для целей геометрического моделирования пространственных конструкций новый вид сплайна – чередующийся сплайн, и проиллюстрированы способы его применения. Рассмотрен кинематический метод построения каналовых поверхностей с произвольной направляющей линией и изменяющейся по заданному закону образующей линией. Показаны возможности матричных алгоритмов для расширения форм моделируемых поверхностей за счет применения линейных и нелинейных преобразований и получения сложных сплошных и сетчатых пространственных конструкций методом композиции аналитических примитивов.

Четвертая глава посвящена математическим и технологическим аспектам проектирования тентовых и листовых конструкций, моделируемых элементами развертывающихся поверхностей. Приводятся соотношения для получения линий кроя элементов произвольных конических, цилиндрических и торсовых поверхностей. Показано применение рассмотренных алгоритмов на примере формообразования тентовых шатров и получения выкроек их элементов.

Для визуализации многочисленных моделей пространственных конструкций, представленных в диссертационной работе и полученных методами геометрического моделирования, использовались универсальные математические системы Mathcad и Mathematica, предназначенные для символьного и численного решения математических задач.

1. МОДЕЛИРОВАНИЕ СВОДОВ И КУПОЛОВ ПОВЕРХНОСТЯМИ

ВТОРОГО ПОРЯДКА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОНСТРУКТИВНЫХ

ПАРАМЕТРОВ

Исторически первыми пространственными строительными конструкциями видимо были примитивные жилища, которые начали сооружать первобытные люди. Некоторое представление о первобытных жилищах можно получить, изучая постройки тех современных людей, которые еще сохранили в своем укладе черты родового общества. Это палатки бедуинов; мазанки африканских племен; типи и вигвамы североамериканских индейцев; яранги, чумы и иглы народов Севера; а также другие простейшие жилые постройки. С точки зрения архитектуры к примитивным строениям можно отнести и культовые мегалитические сооружения, в частности дольмены и пирамиды.

Начиная с примитивных и культовых строений, достаточно долго в строительстве применяли простые геометрические модели (параллелепипеды, призмы, пирамиды, конусы, сферы). Развитие культуры, науки, накопление практического опыта людей привели к фантастическим достижениям в строительстве самых разнообразных зданий и сооружений промышленного и гражданского назначения. Эти достижения отражаются в используемых при строительстве материалах, в архитектурном облике зданий, а также в технологии их возведения. Некоторые представления об основных этапах развития строительного искусства и эволюции в формообразовании пространственных конструкций можно найти в работах [36, 62-63, 112-113, 127Со временем простых геометрических форм оказалось недостаточно для нужд архитекторов и строителей. Появилась потребность в использовании новых геометрических моделей, а, следовательно, и необходимость выявления взаимосвязи между параметрами геометрической модели и параметрами проектируемого сооружения. Тем не менее, вопросам геометрического моделирования и формообразования поверхностей уделялось незначительное внимание. В большинстве работ по пространственным конструкциям рассматриваются в основном вопросы расчета самих конструкций и узлов их соединения [6, 30, 46, 47, 50, 86-87, 89, 91, 119, 130, 132-133, 139, 142-144, 146, 148, 155, 158], а проблемам геометрического моделировании уделяется существенно меньшее внимание. Формообразование поверхностей для пространственных покрытий затрагивается в работах [7, 29, 32, 39, 45, 61, 71, 74, 77, 93, 100, 101, 145, 149].

В настоящее время благодаря активному внедрению информационных технологий появились принципиально новые возможности в проектировании зданий и сооружений. С помощью прикладных пакетов САПР можно выполнять расчет конструкций практически любой формы, создавая при этом образ проектируемой конструкции на основе имеющихся примитивов. При этом принципы заложенных в эти пакеты алгоритмов скрыты от пользователя, что не позволяет во многих случаях эффективно дополнить программный продукт собственными разработками. Возможности формообразования поверхностей с использованием прикладных пакетов САПР можно увидеть в работах А.Л. Хейфеца [151-154], Е.В. Попова [124-125], И.С. Рыбкина [136], А.Б. Адамовича [1], В.В. Лисяка [90], В.С. Полозова [118]. В этих работах рассмотрены некоторые частные случаи формообразования поверхностей с использованием встроенных средств прикладных пакетов. Но можно более полно использовать возможности современных средств САПР, если дополнить их макросами, написанными на основе аналитических соотношений, позволяющих связать параметры геометрической модели и конструктивные параметры пространственной конструкции, осуществлять привязку этой конструкции к плану, стыковку или сочленение с другими конструкциями или их элементами. Применение математических методов при построении поверхностей с помощью САПР рассматривается в книгах [37, 40, 69] Одним из основных элементов пространственных строительных конструкций является свод. Свод может иметь самую разнообразную геометрическую форму, являясь важным средством обогащения архитектурной выразительности строительного сооружения. Многообразие форм покрытий зданий чрезвычайно велико. Это могут быть купольные, шатровые, коньковые и прочие своды на круглом и прямоугольных планах. Источником создаваемого многообразия форм покрытий зданий и сооружений служит разнообразие описываемых математическими средствами геометрических объектов. Однако прямой перенос результатов математического описания геометрических объектов в практику проектирования строительных конструкций невозможен, поскольку математическое моделирование и проектирование строительных конструкций имеют разные цели и используют разные средства. Строгое и полное математическое описание геометрических объектов при использовании в строительной практике следует дополнить возможностями представления математических моделей основных геометрических объектов конструктивными параметрами сооружения. К этим параметрам в первую очередь следует отнести высоту и размеры в плане.

В данной главе рассматривается задача представления параметров математических моделей, используемых при создании сводов и куполов на круглом и прямоугольном плане, через заданные конструктивные параметры моделируемой конструкции. В качестве поверхностей, моделирующих рассматриваемые покрытия, используются поверхности второго порядка, представленные в векторно-матричной форме. Показана возможность визуализации результатов моделирования, позволяющая путем варьирования конструктивных параметров получать (в частности, на экране монитора с использованием соответствующих средств компьютерной графики) разнообразные по форме поверхности и выбирать из них наиболее выразительную, удовлетворяющую архитектурному замыслу или конструктивным требованиям. Предлагаемые методы моделирования поверхностей могут быть использованы при расчете сочленений и привязки к плану элементов пространственных строительных конструкций.

1.1. Применение поверхностей вращения при моделировании куполов на При моделировании куполов на круглом плане поверхностями вращения использованием цилиндрических координат и общий вид уравнения поверхности может быть представлен в виде:

где f () – функция, которая задает образующую поверхности свода.

С учетом поставленных задач моделирования в дальнейшем будем также использовать следующие конструктивные параметры купола: для купола без отверстий – H – высота подъема купола, R – радиус основания купола; для купола с купольным отверстием (центральным кольцом) – H1 – высота купола, то есть расстояние от основания купола до отверстия, R2 – радиус основания купола и R1 – радиус отверстия (центрального кольца).

Для конического купола образующей является прямая линия. Ее уравнение с использованием конструктивных параметров можно записать в виде записывается равенством Подстановка функций, заданных уравнениями (1.2) и (1.3), в равенство (1.1) позволяет получить математическую модель соответствующих куполов, поверхности которых представлены на рис. 1.1.

Рис. 1.1. Конический купол: а – купол без отверстия при R = 5 м и H = 4 м;

Для сферического купола функцию уравнения его образующей в системе координат Oz, где ось Oz вертикальна, а ось O лежит в основании купола (рис. 1.2):

где r – радиус окружности Решая уравнение (1.4) относительно переменной z и принимая во внимание равенство z = f ( ), записываем уравнение образующей сферического купола в виде Подстановка функции f ( ), заданной равенством (1.5), в уравнение (1.1) дает математическую модель сферического свода.

С использованием уравнения (1.4), подставляя в него координаты точки А – z = 0, = R, лежащей в основании купола (см. рис. 1.2), можно выразить параметр математической модели r через конструктивные параметры:

сооружения меньше диаметра моделирующей купол сферической поверхности, то его конструктивные параметры следует назначать таким образом, чтобы выполнялось соотношение r H, чему соответствует следующая зависимость (см. прил. 2):

Рис. 1.3. Образующая сферического купола с отверстием Для сферического свода с отверстием математическая модель получается путем подстановки функции f ( ), задаваемой равенством (1.5), в уравнение (1.1). При этом параметр изменяется в пределах R1 R2.

Связь между конструктивными параметрами сферического купола с отверстием (см. рис. 1.3) и параметрами математической модели можно получить из решения системы уравнений, получаемых подстановкой координат z = 0, = R2 и z = H 1, = R1 точек, лежащих на образующей сферического купола, в уравнение (1.4). Соответствующая связь дается соотношениями (см.

прил. 2):

Для модели купола с отверстием конструктивные параметры следует принимать такими, чтобы, как и для купола без отверстия, выполнялось неравенство r H. Этому неравенству в данном случае соответствует следующее соотношение между конструктивными параметрами (см. прил. 2):

На рис. 1.4 изображены поверхности сферических сводов без купольного отверстия и с отверстием Рис. 1.4. Сферический купол: а – купол без отверстия при R = 5 м и H = 4 м;

Рассмотрим случай, когда в качестве математической модели купола используется параболоид вращения. В этом случае функцию f ( ) общей математической модели купола в виде поверхности вращения получим с использованием записи уравнения параболы в системе координат Oz, которая вводится так же, как и при моделировании сферических сводов:

где a – параметр математической модели, H – высота купола.

Принимая во внимание равенство z = f ( ), переписываем уравнение (1.6) для образующей параболического купола в виде Подстановка функции f ( ), задаваемой равенством (1.7), в уравнение (1.1) дает математическую модель параболического купола.

Параметр математической модели a выражается через конструктивные параметры купола с помощью уравнения (1.6) путем подстановки в него координат z = 0, = R точки, лежащей в основании купола:

моделирования также используется уравнение образующей в виде (1.7), но при этом параметр принимается изменяющимся в пределах R1 R2.

Параметры математичкой модели a и H для купола с отверстием могут быть выражены через его конструктивные параметры с использованием уравнения (1.6). Для этого необходимо выполнить подстановку в уравнение z = H 1, = R1, решая затем полученную систему уравнений (см. прил. 2). Связь между параметрами математической модели и конструктивными параметрами в данном случае дается равенствами:

Математическая модель купола с отверстием, позволяющая управлять его формой за счет изменения конструктивных параметров, задается подстановкой функции f ( ), задаваемой равенством (1.7), в уравнение (1.1).

Купола на круглом плане, имеющие форму параболоида вращения, представлены на рис. 1.5.

Рис. 1.5. Параболический купол: а – купол без отверстия при R = 5 м и H = 4 м;

В тех случаях, когда в качестве формообразующей поверхности используется эллипсоид вращения, функцию f ( ) общей модели купола (1.1) получим с использованием следующего уравнения образующей в системе координат Oz :

здесь, как и раньше ось, Oz вертикальна, а ось O лежит в основании купола, a и b – полуоси образующего поверхность эллипса, H – высота купола.

Выражая переменную z из равенства (1.8) и принимая во внимание равенство z = f ( ), записываем уравнение образующей эллиптического купола в виде Подстановка функции f ( ), задаваемой равенством (1.9), в уравнение (1.1) дает математическую модель эллиптического купола.

Полуоси эллиптической образующей, входящие в математическую модель купола, выражаются через его конструктивные параметры (см. прил. 2), с помощью уравнения (1.8). Подстановка в это уравнение координат z = 0, = R точки, лежащей в основании купола, дает где k = a b.

необходимо, чтобы выполнялось очевидное соотношение b H. При переходе к конструктивным параметрам модели этому неравенству соответствует следующее неравенство: R Hk (см. прил. 2).

Для эллиптического купола с центральным отверстием математическая модель может быть получена подстановкой функции равенством (1.9), в уравнение (1.1), при этом значения параметра изменяются в пределах R1 R2. Параметры математической модели a и b, а также высота H, могут быть выражены через конструктивные параметры путем подстановки координат z = 0, = R2 и z = H 1, = R1 точек купола в выражение (1.9). Из решения получаемой системы уравнений находим где k = a b.

Как и для эллиптического купола без отверстия, конструктивные параметры в данном случае должны выбираться таким образом, чтобы выполнялось соотношение b H (см. прил. 2), что соответствует неравенству На рис. 1.6 изображены эллиптические купола без купольного отверстия и с отверстием.

Рис. 1.6. Эллиптический купол: а – купол без отверстия при R = 5, H = 4, k = 0,67;

Рассмотренный метод моделирования эллиптического купола на круглом плане может легко быть обобщен на случай, когда план имеет овальную форму.

В этом случае поверхность перестает быть поверхностью вращения, и для ее моделирования следует воспользоваться общим уравнением поверхности эллипсоида или применить операцию аффинного преобразования растяжения к полученной выше поверхности вращения. Использование аффинных преобразований для трансформации поверхностей будет рассмотрено подробно в разделе 3.4.

При проектировании купола гиперболической формы для записи функции f ( ) основной модели купола (1.1) воспользуемся каноническим уравнением гиперболы в той же, что и в предыдущих моделях, системе координат Oz :

где a и b – параметры гиперболы.

Выражая из уравнения (1.10) переменную z и принимая во внимание равенство z = f ( ), находим уравнение образующей гиперболического купола в виде Подстановка функции f ( ), заданной равенством (1.11), в уравнение (1.1) дает математическую модель купола в форме одной чаши двуполостного гиперболоида вращения.

Как и в предыдущих случаях, параметры математической модели купола, в данном случае параметры a и b гиперболы, могут быть выражены через конструктивные параметры. Для этого необходимо выполнить подстановку координат z = 0, = R точки, лежащей в основании купола, в уравнение (1.10).

В результате находим (см. прил. 1), что где k = a b.

Для получения математической модели гиперболического купола с отверстием также достаточно выполнить подстановку функции f ( ), заданной равенством (1.11), в уравнение (1.1), при этом параметр изменяется в пределах R1 R2. Параметры математической модели a и b, а также высота H могут быть выражены через конструктивные параметры путем подстановки координат z = 0, = R2 и z = H 1, = R1 точек гиперболического купола в выражение (1.10). Из решения получаемой системы уравнений (см. прил. 1) находим На рис. 1.7 изображены гиперболические купола без купольного отверстия и с отверстием.

Рис. 1.7. Гиперболический купол: а – купол без отверстия при R = 5 м, H = 4 м, k = 0,25;

Следует отметить, что для конического, сферического и параболического куполов при заданных высоте и радиусе основания вид поверхности однозначен. Но при проектировании эллиптического и гиперболического куполов, задавая только высоту купола и радиус его основания, однозначно определить оба параметра математической модели a и b нельзя. В этом случае при моделировании поверхности необходимо задать один из этих параметров или коэффициент k, выражающий их отношение. То есть в этих случаях при одних и тех же конструктивных параметрах купола, изменяя лишь один параметр математической модели, можно получить довольно большое количество однотипных, но разнообразных по форме поверхностей.

1.2. Использование поверхностей второго порядка при моделировании Достаточно общей математической моделью прямоугольных в плане сводов и оболочек являются аналитические поверхности. К наиболее простым поверхностям относятся поверхности второго порядка: эллипсоиды, однополостные и двуполостные гиперболоиды, параболоиды, гиперболические гиперболические и параболические цилиндры. Все эти поверхности могут служить основой для моделирования сводов на прямоугольном плане.

Рассмотрим некоторые принципы геометрического моделирования таких сводов.

1.2.1. Моделирование сводов и оболочек на прямоугольном плане цилиндрическими поверхностями второго порядка Рассмотрение принципов моделирования сводов начнем на примере использования цилиндрических поверхностей второго порядка. В общем случае цилиндрическая поверхность получается поступательным движением прямой линии в пространстве [92]. Если связанная с этой прямой линией точка описывает некоторую кривую второго порядка (эллипс, парабола, гипербола), лежащую в плоскости, перпендикулярной этой линии, то получаемая цилиндрическая поверхность является цилиндрической поверхностью второго порядка.

рассмотрено в разделе 2.1.

моделирующей свод, может быть записан в виде где f ( y ) – функция, задающая направляющую линию, f (0 ) = H – высота свода, l1 и l2 – поперечные размеры свода или оболочки в плане.

При моделировании оболочек и сводов в форме цилиндрических поверхностей второго порядка направляющие линии в частных случаях задаются теми же уравнениями, что и образующие поверхностей вращения, цилиндрическая поверхность, являющаяся моделью конькового свода.

Для конькового свода функция, задающая направляющую линию, может быть записана в следующем виде:

Подстановка функции (1.13) в уравнение (1.12) дает математическую модель конькового свода, который изображен на рис. 1. Для кругового свода функция, задающая направляющую линию, имеет вид Радиус r дуги окружности направляющей линии может быть выражен через конструктивные параметры свода аналогично тому, как это делалось при моделировании сферического купола, по формуле при этом следует подбирать конструктивные параметры в соотношении l 2 2 H. Пролет перекрываемого сводом сооружения должен быть меньше поверхности.

Подстановка функции f ( y ), задаваемой равенством (1.14), в уравнение (1.12) дает математическую модель кругового свода, который представлен на рис. 1.9.

Для параболического свода функция, задающая направляющую линию, имеет вид При подстановке функции f ( y ), заданной равенством (1.15), в уравнение (1.12) получаем математическую модель параболического свода, вид которого представлен на рис. 1.10.

Для эллиптического свода функция, задающая направляющую линию, имеет вид где a и b – параметры математической модели (полуоси эллипса), которые могут быть выражены через конструктивные параметры свода аналогично тому, как это было сделано в разделе 1.1. Эти выражения имеют вид где k = a b – отношение полуосей эллипса.

При этом с учетом функциональных особенностей свода (поперечный пролет свода должен быть больше удвоенной вертикальной полуоси моделирующего свод эллипса) необходимо, чтобы конструктивные параметры удовлетворяли соотношению l 2 2 Hk.

При подстановке функции f ( y ), заданной равенством (1.16), в уравнение (1.12) получаем математическую модель эллиптического свода, который представлен на рис. 1.11.

Для гиперболического свода функция, задающая направляющую линию, имеет вид где a и b – параметры математической модели (в данном случае параметры гиперболы).

Параметры a и b определяются через конструктивные параметры гиперболического свода аналогично процедуре, описанной в разделе 1.1, равенствами здесь k = a b – отношение параметров гиперболы.

При подстановке функции f ( y ), заданной равенством (1.17), в уравнение (1.12) получаем математическую модель гиперболического свода, который изображен на рис. 1.12.

Рис. 1.12. Гиперболический свод при H = 3 м, l1 = 5 м, l2 = 7 м, k = 0, Для сводов, моделируемых цилиндрическими поверхностями, так же как и для куполов, рассмотренных в разделе 1.1, не всегда можно однозначно определить параметры модели через конструктивные параметры свода. В случае конькового, кругового и параболического сводов при заданных высоте и проектировании эллиптического и гиперболического сводов необходимо задать один из параметров математической модели либо a, либо b, или коэффициент k, выражающий их отношение. То есть при одних и тех же конструктивных параметрах свода, изменяя лишь один параметр математической модели, можно получить довольно большое количество однотипных, но разнообразных по форме цилиндрических поверхностей.

1.2.2. Моделирование сводов и оболочек на прямоугольном плане произвольными поверхностями второго порядка Широкое применение в строительной практике при проектировании положительной гауссовой кривизны), в частности, наиболее простой их класс – поверхности второго порядка. В общем случае математическую модель произвольных оболочек на прямоугольном плане можно задать уравнением где f ( x, y ) – функция, задающая поверхность свода, l1 и l2 – поперечные размеры оболочки в плане.

В случаях, когда поверхность оболочки является сферической, для ее описания удобно воспользоваться уравнением сферы [56] со смещенным по вертикали центром Функцию f ( x, y ), задающую поверхность сферического свода, можно получить из уравнения (1.19), принимая во внимание равенство z = f ( x, y ). С учетом выбранного смещения центра сферы по вертикальной оси на расстояние z0 = H r имеем уравнение (1.18) дает математическую модель сферической оболочки на прямоугольном плане. Радиус сферической оболочки r можно выразить через ее конструктивные параметры (высоту и размеры в плане) с использованием уравнения (1.20). Принимая во внимание условие f (l1 2, l 2 2 ) = 0, находим откуда С учетом функциональных особенностей сводов без обратного ската конструктивные параметры сферической оболочки (см. прил. 1) должны отвечать соотношению обеспечивающему условие, что высота сферического свода должна быть не больше радиуса моделирующей его сферической поверхности.

На рис. 1.13 представлен вид сферической оболочки на прямоугольном плане.

Рис. 1.13. Сферический свод при значениях параметров H = 3 м, l1 = 6 м, l2 = 8 м Предложенная модель сферического свода на прямоугольном плане позволяет определить высоты подъема свода h1 и h2 в средних точках сторон периметра основания, имеющих размеры l1 и l2 соответственно. Из уравнения (1.20) высоты подъема находятся с помощью равенств При моделировании сводов на прямоугольном плане на основе эллиптического параболоида [56] удобно воспользоваться его уравнением в виде где a и b – параметры эллиптического параболоида, z 0 – смещение вершины эллиптического параболоида по вертикали.

Функцию f ( x, y ), задающую поверхность параболического свода, можно получить из уравнения (1.21), принимая во внимание равенство z = f ( x, y ). С учетом выбранного смещения центра сферы по вертикальной оси на расстояние z 0 = H ( H – как и в предыдущем случае, высота свода) имеем Подставляя функцию, заданную равенством (1.22), в уравнение (1.18), получаем математическую модель оболочки на прямоугольном плане в виде эллиптического параболоида.

Параметры эллиптического параболоида a и b можно выразить через конструктивные параметры оболочки с использованием уравнения (1.22), подставляя в него координаты угловой точки плана и принимая во внимание равенство f (l1 2, l2 2 ) = 0 (см. прил. 1). Параметры математической модели свода a и b выражаются через конструктивные параметры равенствами где k = a b.

На рис. 1.14. представлены примеры сводов на основе эллиптических параболоидов, моделируемых при одинаковых значениях параметров H, l1 и l2, но при разных значениях коэффициента k.

Рис. 1.14. Примеры сводов на основе эллиптических параболоидов с размерами Для моделирования выпуклых сводов на прямоугольном плане на основе поверхности эллипсоида [56] можно воспользоваться его уравнением где a, b и c – полуоси эллипсоида, z 0 – смещение центра эллипсоида по вертикали.

принимая, что центр эллипсоида смещается по вертикали на расстояние z0 = H c, можно получить из уравнения (1.23). Учитывая равенство z = f ( x, y ), находим Математическую модель оболочки на прямоугольном плане в форме равенством (1.24), в уравнение (1.18).

Параметры математической модели свода (полуоси эллипсоида a, b и c) можно выразить через его конструктивные параметры из уравнения (1.24), воспользовавшись условием модели свода a, b и c выражаются через конструктивные параметры равенствами При проектировании сводов без обратного ската на основе поверхности эллипсоида необходимо, чтобы высота свода H была не больше полуоси c эллипсоида. Откуда с учетом введенных конструктивных параметров и их связи с параметрами математической модели находим необходимое функциональное соотношение На рис. 1.15. представлены примеры сводов на основе эллипсоида, получаемых при одинаковых значениях параметров H, l1 и l2 и при разных значениях коэффициентов k1 и k2.

Рис. 1.15. Примеры сводов на основе эллипсоида с размерами H = 3 м, l1 = 6 м, В зависимости от отношений полуосей эллипсоида поверхность свода может приминать весьма разные очертания.

Высоты подъема свода h1 и h2 могут быть определены с помощью уравнения (1.24) равенствами Для моделирования сводов на прямоугольном плане на основе одной из чаш двуполостного гиперболоида [56] можно воспользоваться его уравнением где a, b и c – параметры двуполостного гиперболоида, z 0 – смещение чаши гиперболоида по вертикали.

Задавая смещение равенством z 0 = H + c, можно получить с помощью гиперболической оболочки, принимая во внимание равенство z = f ( x, y ) :

Подстановка функции f ( x, y ), заданной выражением (1.26), в уравнение (1.18) дает математическую модель оболочки на прямоугольном плане в виде чаши двуполостного гиперболоида. Пример свода представлен на рис. 1.16.

Рис. 1.16. Гиперболический свод при значениях параметров H = 3 м, l1 = 6 м, l2 = Параметры двуполостного гиперболоида a, b и c можно выразить через воспользовавшись условием модели свода a, b и c выражаются через конструктивные параметры равенствами Высоты подъема свода h1 и h2 в средних точках сторон периметра основания могут быть определены с помощью уравнения (1.26) равенствами Для оболочек на прямоугольном плане, при описании которых двуполостного гиперболоида, параметры математической модели через конструктивные параметры однозначно не определяются. Из трех параметров модели a, b и c два необходимо предварительно задать, или можно задать их отношения коэффициентами k1 = a b и k 2 = a c. При одних и тех же конструктивных параметрах свода, изменяя коэффициенты k1 и k 2, можно получить довольно большое количество однотипных, плавно перетекающих одна в другую поверхностей, как показано на рис. 1.14 и 1.15.

дифференциальные свойства [4, 131] в окрестности произвольной точки определяются коэффициентами ее первой и второй квадратичных форм:

где n – единичный вектор нормали к поверхности в заданной точке (точкой обозначается операция скалярного произведения двух векторов, а крестиком – операция векторного умножения).

Поведение поверхности в окрестности рассматриваемой точки связано со знаком полной (гауссовой) кривизны K поверхности, которая определяется равенством эллиптической, при K < 0 точка поверхности называется гиперболической и при K = 0 – параболической.

Все точки выпуклых поверхностей, изображенных на рис. 1.4-1.7 и рис.

1.13-1.16 являются эллиптическими. Все точки поверхностей, изображенных на рис. 1.1, 1.8-1.12, являются параболическими.

С учетом того, что для всех точек поверхности выполняется неравенство EG F 2 > 0, знак гауссовой кривизны определяется знаком выражения 1.3. Моделирование оболочек на произвольном четырехугольном плане с использованием поверхности гиперболического параболоида Широкое применение в строительной практике находят элементы пространственных конструкций в форме гиперболического параболоида («гипара») в силу их уникальных архитектурных и технологических особенностей [127, 161, 165]. Поверхность гиперболического параболоида является дважды линейчатой поверхностью, то есть в каждой ее точке проходит две прямые целиком на ней лежащие. Наличие двух прямолинейных технологических задач формирование опалубки, если покрытие железобетонное, или изготовление непосредственно несущих элементов конструкции, если она стержневая. Выразительные возможности применения гипаров в строительстве и архитектуре связаны с тем, что эти поверхности являются поверхностями отрицательной гауссовой кривизны – каждая ее точка является гиперболической (седловидной). Коэффициенты второй квадратичной формы удовлетворяют неравенству Образование составных конструкций с использованием гипаров позволяет создавать достаточно сложные по форме, но легкие и прочные конструкции.

Классическое представление гиперболического параболоида как поверхности второго порядка имеет следующий вид [56]:

Это уравнение может быть использовано для моделирования оболочек отрицательной гауссовой кривизны аналогично тому, как было выполнено моделирование выпуклых сводов в предыдущем разделе. Однако, для параметризацией, когда сетка координатных линий поверхности совпадает с ее запишем векторные уравнения двух его линейных образующих для случая, когда параметры a и b, входящие в каноническое уравнение гиперболического параболоида, принимают значения равные единице [95]. Соответствующие уравнения имеют вид где r1 = {0,5; 0,5; 0}, r2 = { 0,5; 0,5; 0} – радиус-векторы точек, принадлежащих образующим, l1 = { 1; 1; 1}, l2 = { 1; 1; 1} – направляющие векторы образующих.

В матричных обозначениях соответствующие векторные величины представимы в виде Тогда уравнение поверхности гиперболического параболоида для произвольных значений параметров a, и b можно записать в виде где поверхность гиперболического параболоида. Для получения части поверхности необходимо задать конечные пределы изменения параметров, например 1 t 1, 1 v 1. Пример оболочки в форме гипара представлен на рис. 1.17.

Для определения координат вершин элемента конструкции в форме гипара необходимо решить дополнительную задачу.

При проектировании оболочки в форме гипара на произвольном четырехугольном плане конструктивными параметрами являются координаты угловых точек плана и соответствующие им высоты. Для удовлетворения параметров удобно воспользоваться другим параметрическим уравнением гиперболического параболоида. Кинематический способ образования гипара последовательно через все точки попарно противоположных скрещивающихся отрезков, его ограничивающих [95]. Для получения фрагмента поверхности гиперболического параболоида зададим направляющие отрезки М1М2 и М3М уравнениями где r1, r2, r3, r4 – радиусы-векторы вершин гипара M 1, M 2, M 3 и M 4 (см.

рис. 1.18).

поверхности гиперболического параболоида записывается равенством или При проектировании гипара на прямоугольном плане координаты его четырех вершин выражаются через конструктивные параметры оболочки M 1 (0; 0; h1 ), M 2 (b; 0; h2 ), M 3 (b; l ; h3 ), M 4 (0; l ; h4 ) ; здесь b, l – ширина и длина оболочки в плане, h1, h2, h3 и h4 – высоты в крайних точках (см. рис. 1.18).

На рис. 1.19 представлены модели оболочек в форме гипаров на одинаковых по размерам прямоугольных планах, когда одна из угловых точек гипара расположена на различной высоте.

Рис. 1.19. Примеры оболочек в форме гипара на одинаковых прямоугольных планах:

Применение поверхностей в виде гиперболических параболоидов было начато испанским архитектором Феликсом Канделой в первой половине XX века, который спроектировал на их основе различные промышленные и общественные здания [161]. Гипары также были использованы при решении покрытий нескольких зданий и сооружений Великобритании, большое количество покрытий в форме гиперболических параболоидов возведено в бывшем ГДР, Испании, Чехословакии и других странах [127, 142].

Выводы по главе 1. Предложен способ задания поверхностей, позволяющий моделировать пространственные объекты, используя векторно-матричный аппарат, и создавать изображение моделируемых объектов непосредственно на экране компьютера с помощью прикладных пакетов.

2. Получены формулы, выражающие взаимосвязь между параметрами математической модели свода или купола и конструктивными параметрами самой конструкции (высота, размеры в плане) для широкого класса поверхностей.

3. Получены ограничивающие соотношения для задаваемых конструктивных параметров куполов и сводов, математическими моделями которых являются сферические и эллиптические оболочки или в моделях которых используются круговые и эллиптические образующие (направляющие).

4. Предложен кинематический метод построения элемента поверхности в форме гиперболического параболоида, проходящего через 4 заданные точки.

2. ПРИМЕНЕНИЕ ЛИНЕЙЧАТЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПРИ

МОДЕЛИРОВАНИИ ЭЛЕМЕНТОВ ТОНКОСТЕННЫХ

ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ

В разделе 1.2 уже отмечались конструктивные и технологические преимущества линейчатых поверхностей при проектировании покрытий на прямоугольном плане. Эти же преимущества могут быть использованы при проектировании других элементов пространственных конструкций и сооружений как стержневых, так сплошностенчатых. При этом могут быть использованы не только линейчатые поверхности второго порядка.

В частности, широкое применение в строительной практике получили мачтовые конструкции в форме однополостных гиперболоидов, которые, также как и гиперболический гиперболоид, являются дважды линейчатыми поверхностями отрицательной гауссовой кривизны.

2.1. Применение векторно-матричных алгоритмов при моделировании элементов пространственных конструкций (мембран и оболочек) линейчатыми поверхностями Каноническое уравнение поверхности однополостного гиперболоида [56, 92] имеет вид Для моделирования элементов конструкций, отражающего линейчатость однополостного гиперболоида, удобнее, как и в случае гиперболического параболоида, воспользоваться другой параметризацией. Новая параметризация должна обеспечить совпадение сетки координатных линий поверхности с ее линейными образующими. Для получения нужного параметрического уравнения поверхности однополостного гиперболоида [95] запишем векторные уравнения двух его линейных образующих для случая, когда параметры a, b и с, входящие в каноническое уравнение однополостного гиперболоида, принимают значения равные единице. Соответствующие уравнения имеют вид где r0 = { ; 0; 0} – точка, через которую проходят обе образующие, l1 = {0; 1; 1}, l 2 = {0; 1; 1} – направляющие векторы образующих r1 = r1 (t ) и r2 = r2 (t ) соответственно.

С использованием матричных обозначений уравнение поверхности гиперболоида для произвольных значений параметров a, b, c можно записать в следующем виде где При моделировании сплошностенчатых конструкций с использованием однополостного гиперболоида для задания элемента формообразующей поверхности достаточно одного из этих уравнений (см. рис. 2.1). В случае проектирования стержневой конструкции (рис. 2.2), жесткость которой определяется стержневыми элементами, соответствующими двум семействам образующих, поверхность однополостного гиперболоида задается обоими уравнениями с дискретным набором углов поворота, входящих в матрицу поворота A().

Рис. 2.1. Поверхность однополостного гиперболоида:

Рис. 2.2. Модель стержневой конструкции в форме однополостного гиперболоида Пусть H – высота элемента конструкции в форме однополостного гиперболоида с параметрами a = b = c = 1. Выразим параметры t1 и t2 через конструктивный параметр Н. Радиус-вектор точки A на нижней границе элемента определяется выражением тогда rA = {, t1, t1 }, а радиус-вектор одной из точек на верхней границе элемента определяется выражением тогда rB = {, t 2, t 2 }.

Высота элемента конструкции H определяется по формуле При параметрах a, b и c, отличных от 1, высота элемента конструкции H равна плоскости, проходящей через вершины гипербол.

На основе однополостных гиперболоидов Владимиром Григорьевичем Шуховым разработана достаточно простая в изготовлении конструкция сетчатых (ажурных, как их называл сам Шухов) башен [57, 85, 94, 99].

Стержневые конструкции в виде нескольких секций, устанавливаемых одна на другую, образовывали башни, которые широко использовались в качестве водонапорных башен, маяков и даже мачт кораблей. Самой известной из сетчатых башен Шухова является радиобашня на Шаболовке, построенная в 1922 г. Идея использования однополостных гиперболоидов в качестве формообразующих поверхностей различных сооружений в последнее время получила новый импульс и была реализована при строительстве таких объектов, как башня в порту Кобе в Японии (проект архитектурностроительной компании NIKKEN SEKKEI) [171], телебашня Гуанчжоу (проект компании ARUP), башня Aspire Tower в Дохе (архитектор Хади Симан).

Применение линейчатых поверхностей было проиллюстрировано в разделе 1.2 на примере формообразования цилиндрических сводов на прямоугольном плане, где в качестве направляющих линий были использованы цилиндрических поверхностей [127], очевидно, не исчерпывается.

В общем случае цилиндрическая поверхность может быть получена направляющая линия уравнением rн = rн (u ), и задан единичный вектор l образующей прямой. Тогда уравнение цилиндрической поверхности может быть записано векторным равенством [95] где u и v – параметры.

В качестве примера приведем уравнение и форму цилиндрической поверхности с направляющей в виде удлиненной гипоциклоиды, заданной уравнением единичный вектор образующей определим равенством l = {0; 1; 0}.

представленной на рис. 2.3, имеет вид:

Рис. 2.3. Цилиндрическая поверхность с направляющей в виде удлиненной Параметры, входящие в математическую модель цилиндрической поверхности, можно выразить через конструктивные параметры конструкции.

Например, через размеры в плане и высоту, если речь идет о моделировании сводов. При этом границы области значений параметра v выражаются через длину конструкции (размер, измеряемый вдоль образующей цилиндрической поверхности), а параметры направляющей кривой связаны с шириной и высотой конструкции. Определить эту взаимосвязь можно, подставляя координаты характерных точек (например, точки в основании конструкции и крайняя верхняя точка) в уравнение направляющей кривой.

Другой достаточно простой линейчатой поверхностью, используемой при моделировании пространственных конструкций, является коническая (образующей), проходящей через некоторую неподвижную точку (вершину) и последовательно через все точки некоторой кривой линии (направляющей).

Пусть произвольная пространственная направляющая линия конической поверхности задана уравнением rн = rн (u ), и задана ее вершина S радиусr векторным равенством где u и v – параметры.

направляющей в виде эллипса, заданного уравнением Уравнение соответствующей несимметричной конической поверхности (рис. 2.4) принимает вид Рассмотренная в разделе 1.1 модель конического купола является частным случаем изображенной на рис. 2.4 конической поверхности.

Обобщение линейчатой конической поверхности может быть выполнено параллелизма. Одной из таких поверхностей является коноид [68, 76]. Эта поверхность образована движением прямой линии, во всех своих положениях параллельной плоскости параллелизма и пересекающей две направляющие, одна из которых кривая, а другая прямая линия.

Рассмотрим аналитический аналог формообразования коноидальной поверхности. Пусть плоскость параллелизма задана единичным вектором нормали n, а направляющие прямая и кривая заданы векторными уравнениями Устанавливая соответствие параметров t и u равенством параллелизма, находим зависимость u = u (t ) или t = t (u ).

Тогда уравнение коноида может быть представлено в виде или Для примера построим поверхность коноида с направляющими в виде прямой линии и параболы, заданных уравнениями если плоскость параллелизма задана вектором n1 = { ; 0; 0}.

Записывая уравнение (2.2) связи между параметрами t и u находим t = u.

Тогда уравнение коноида может быть записано в виде или Результирующая поверхность, для случая, когда параметр u меняется в пределах 1 u 1, показана на рис. 2.5.

Рис. 2.5. Поверхность коноида с направляющими в виде прямой линии и параболы Геометрическое условие формообразования линейчатой поверхности, образующие которой пересекают кривую и прямую линии, основанное на аналитическими условиями. Получаемые при этом поверхности не являются тождественными, но близки по форме и могут быть ограничены одинаковыми отрезками направляющих линий.

Регулярным коноидом назовем поверхность, образованную движением прямой образующей вдоль двух направляющих (одна из которых прямая, другая – кривая) таким образом, что точки пересечения образующей во всех ее положениях с направляющей распределены равномерно.

Пусть задан направляющий отрезок М1М2 уравнением а участок М3М4 направляющей кривой уравнением Перейдем в уравнении направляющей кривой к нормированному параметру t согласно равенству обеспечивающему равномерность распределения точек пересечения линейной образующей и направляющими линиями. После определения обратной функции для функции, заданной интегралом (2.4) с переменным верхним пределом, уравнение (2.3) может быть переписано в виде Тогда уравнение регулярного коноида записывается равенством Или Для иллюстрации предложенного метода построения регулярного коноида зададим направляющий отрезок прямой векторным уравнением а участок криволинейной направляющей зададим в виде дуги окружности Воспользуемся равенством (3.4) и выполним нормировку параметра Подстановка найденных функций r34 = r34 (u ), и u = u (t ) в равенство (2.5) дает следующее уравнение искомого элемента поверхности (рис. 2.6):

Рис. 2.6. Регулярный коноид с направляющими в виде дуги окружности Рассмотренные математические модели конических и коноидальных элементов пространственных конструкций в строительной практике находят широкое применение при проектировании шедовых покрытий. Эти покрытия обладают рядом достоинств – рассеянное освещение без прямого попадания солнечных лучей, благоприятные условия для отопления и вентиляции помещений [127]. В силу равномерности узлов пересечения образующей с направляющими линиями использование регулярных коноидов может дать дополнительные преимущества в части повышения их несущей способности и упрощения организации узлов соединения элементов конструкции.

При использовании поверхностей коноида и регулярного коноида для проектирования шедовых покрытий параметры направляющей кривой выразить через требуемые конструктивные параметры шедового покрытия (высота и размеры в плане). Связь между этими параметрами может быть определена из решения системы уравнений, полученных подстановкой координат точек на шедовом покрытии в уравнения направляющих линий.

С использованием плоскости, занимающей фиксированное положение в пространстве, – плоскости параллелизма можно получить линейчатую поверхность, пересекающую две кривые направляющие и называемую цилиндроидом [95].

направляющие кривые заданы уравнениями Соответствие параметров t и u установим аналогично тому, как это делалось при построении коноида, равенством Соответствие параметров t и u установим аналогично тому, как это делалось при построении коноида, равенством Откуда можно найти зависимость u = u (t ) или t = t (u ).

В зависимости от выбора независимого параметра t или u уравнение цилиндроида представимо в виде или В качестве примера запишем уравнение и изобразим поверхность цилиндроида с направляющими в виде парабол если плоскость параллелизма задана вектором n = {0,0,1}.

Записывая уравнение (2.6) связи между параметрами t и u, находим откуда находим t = u.

Тогда уравнение цилиндроида в области изменения параметра u в заданных пределах, например 0 u 1, примет вид или Соответствующая поверхность показана на рис. 2.7.

Рис. 2.7. Цилиндроид с направляющими в виде парабол и горизонтальной Обобщение поверхности цилиндроида, обеспечивающее равномерность распределения точек пересечения образующих с направляющими кривыми, можно осуществить так же, как и в случае построения регулярного коноида.

Регулярным цилиндроидом назовем поверхность, образованную движением прямой образующей вдоль двух криволинейных направляющих так, чтобы точки пересечения образующей во всех ее положениях с направляющей распределяются равномерно.

Пусть заданы участки направляющих кривых М1М2 и М3М4 уравнениями направляющих кривых необходимо выполнить нормировку параметров для каждой кривой согласно следующим равенствам Тогда уравнение регулярного цилиндроида может быть записано с использованием обратных функций, заданных интегралами (2.7), в виде построение поверхности с направляющими в виде дуг окружностей Выполним нормировку параметров, используя равенства (2.7). Для направляющей кривой, заданной уравнением r12 = r12 (u ), получим условие а для направляющей кривой, заданной уравнением r34 = r34 (v ), получим другое условие С учетом полученных соотношений между параметрами уравнение регулярного цилиндроида принимает вид Рис. 2.8. Регулярный цилиндроид с направляющими в виде дуг окружностей Соответствующая поверхность регулярного цилиндроида показана на рис. 2.8. Стоит обратить внимание на тот факт, что кривизна построенной поверхности меняется плавным образом при движении вдоль каждой из ее образующих, а сами образующие равномерным образом распределены по этой поверхности. Это, безусловно, открывает большие возможности по созданию многообразных пространственных конструкций, обеспечивающих соединение технологичности в их изготовлении с высокой несущей способностью за счет равномерного расположения несущих элементов.

Очевидно, что в качестве направляющих кривых для цилиндроидов и регулярных цилиндроидов можно использовать не только параболы и дуги окружностей, но и другие аналитические кривые. В этом случае можно получить большое количество разнообразных поверхностей, которые можно применять как для моделирования строительных конструкций, так и в других отраслях промышленности.

Особым классом линейчатых поверхностей, которые могут быть пространственной кривой. Торсовая поверхность имеет нулевую гауссову поверхностью. Это означает, что фрагмент торсовой поверхности может быть без складок и разрывов совмещен всеми его точками с плоскостью. Данное свойство торсовой поверхности может быть использовано в технологии изготовления железобетонных конструкций с использованием рулонированных арматурных сеток, при раскрое элементов тентовых или листовых конструкций, при укреплении откосов с использованием различных листовых материалов.

Вопросам геометрического моделирования торсовых поверхностей в частных случаях посвящены работы С.Н. Кривошапко [66-67, 72-73, 75, 80], А.В.

Крутова [82].

Общее уравнение торсовой поверхности, исходя из ее определения как поверхности касательных к некоторой пространственной кривой, можно записать в виде где rн (u ) – радиус-вектор точек направляющей кривой, – единичный вектор касательной к направляющей кривой, определяемый соотношением С использованием соотношения (2.9) общее уравнение торсовой поверхности может быть записано в виде В качестве примера запишем уравнение и выполним построение торсовой поверхности с направляющей кривой в виде винтовой линии, заданной уравнением Определяя с помощью соотношения (2.9) вектор касательной в каждой точке направляющей кривой с помощью уравнения (2.8) получаем уравнение торсовой поверхности в следующем виде:

На рис. 2.9 а представлена торсовая поверхность при изменении параметра v в пределах 0 v 8. Эта поверхность известна в технике как винт Архимеда и применялась еще в античности при создании простейших гидротехнических сооружений. На рис. 2.9 б представлен вид этой же торсовой поверхности, когда параметра v изменяется в пределах 8 v 8, что хорошо иллюстрирует тот факт, что направляющая кривая является ребром возврата торсовой поверхности, а сама торсовая поверхность состоит из двух полостей.

Рис. 2.9. Торсовая поверхность с направляющей в виде винтовой линии:

поверхность с ребром возврата в виде винтовой спирали, заданной уравнением Определяя вектор касательной к заданной направляющей кривой в виде находим согласно равенству (2.10) уравнение торсовой поверхности Полученная торсовая поверхность представлена на рис. 2.10.

Рис. 2.10. Торсовая поверхность с направляющей в виде винтовой спирали Рассмотренные в этом разделе линейчатые поверхности, описанные в специальной литературе, используются при проектировании пространственных конструкций. Эти поверхности не исчерпывают всего возможного разнообразия линейчатых поверхностей. Большего их разнообразия можно добиться на основе кинематического алгоритма, опирающегося на определение линейчатой поверхности. Пусть задана произвольная пространственная направляющая кривая, с которой связана образующая линейчатой поверхности, совершающая движение в пространстве. Тогда общее уравнение линейчатой поверхности может быть записано в виде [95] где rн (u ) – радиус-вектор точек направляющей кривой,, n, b – единичные векторы касательной, главной нормали и бинормали к направляющей кривой, определяемые соотношениями (u, v ) – линейная по v вектор-функция скалярных аргументов.

Если в качестве функции (u, v ) взять функцию вида (u, v ) = v(u ), то приходим к описанной выше торсовой поверхности. Функции вида (u, v ) = vn (u ) и (u, v ) = vb (u ) определяют поверхности, которые называются поверхностями главных нормалей и бинормалей соответственно.

Построим в качестве примера поверхность главных нормалей с направляющей в виде винтовой спирали, заданной уравнением (2.13).

Выполняя последовательно операции дифференцирования радиус-вектора направляющей кривой, вычисления соответствующих векторных произведений и их модулей, находим выражение для единичного вектора главной нормали в каждой точке направляющей кривой:

Уравнение поверхности главных нормалей для заданной направляющей кривой с использованием общего уравнения линейчатой поверхности (2.14) можно записать в виде Полученная поверхность главных нормалей представлена на рис. 2.11.

Построение поверхности бинормалей проиллюстрируем с применением уже рассмотренной выше направляющей кривой, заданной равенством (2.13).

Выполняя процедуру определения единичного вектора бинормали согласно последнему из равенств (2.15) и подставляя полученную функцию в уравнение (2.14), получим искомое уравнение поверхности бинормалей Рис. 2.11. Поверхность главных нормалей с направляющей в виде винтовой спирали Соответствующая поверхность главных бинормалей на рис. 2.12.

Рис. 2.12. Поверхность бинормалей с направляющей в виде винтовой спирали поверхности (2.14) придать частную форму, в которой образующая линия (u,v ) записывается не в подвижном базисе (,n, b ), а в фиксированном. Если направляющую прямую совместить с осью Oz, то в качестве фиксированного следует выбрать базис ( i, j, k ), и уравнение линейчатой поверхности может быть записано в виде где rн ( z ) = {0; 0; z}.

В качестве примера применения уравнения линейчатой поверхности вида (2.16) воспользуемся им для построения прямого и наклонного геликоидов.

Геликоидом (винтом) называется поверхность, образованная движением некоторой линии (образующей), вращающейся вокруг произвольной оси с одновременным поступательным движением вдоль этой оси. Скорости этих движений пропорциональны. Если образующая является прямой линией, то соответствующая поверхность геликоида получается линейчатой.

Если функцию ( z, v ) выбрать в виде то получаемая поверхность является прямым геликоидом. Уравнение этой поверхности Элемент поверхности прямого геликоида при значениях параметров Задавая функцию ( z, v ) равенством находим уравнение наклонного геликоида Элемент поверхности наклонного геликоида при значениях параметров Рис. 2.13. Поверхности геликоидов: а – прямой геликоид; б – наклонный геликоид 2.2. Применение методов центрального и параллельного проецирования при моделировании формообразующих элементов тентовых конструкций Как уже упоминалось в разделе 2.1, широкое применение в практике строительного производства и не только в качестве формообразующих конструктивных элементов находят развертывающиеся поверхности [43, 49, 67, 98, 102, 120]. Это позволяет, благодаря их большому разнообразию, реализовать широкий спектр оригинальных архитектурно-планировочных решений, отвечающих различным художественным, эстетическим и конструктивным предпочтениям, включая возможность создавать здания и сооружения в произвольных стилях – от псевдорусского до хай-тэка. Кроме того, наличие прямолинейной образующей позволяет создавать различные пространственные конструкции причудливых форм только с использованием прямолинейных несущих элементов.

В частности, развертывающиеся поверхности очень востребованы при проектировании тентовых конструкций, изготавливающихся из композитных виниловых тканей, так как это позволяет выполнять предварительно крой плоских заготовок с дальнейшим их изгибанием и стыковкой по линиям кроя.

Один из возможных, и достаточно простых, методов формообразования отдельных элементов листовых конструкций в виде развертывающихся поверхностей аналитически может быть реализован на основе процедуры параллельного или центрального проецирования произвольной направляющей линии на заданную плоскость (рис. 2.14). В первом случае получаемый элемент поверхности является цилиндрическим, а во втором случае – коническим.

Для аналитического представления цилиндрического или конического элементов поверхности необходимо задать:

– уравнение направляющей кривой rн = rн (u ), u1 u u 2 ;

– единичный вектор нормали n к плоскости проецирования;

– положение произвольной точки С плоскости проецирования rС ;

– единичный вектор l образующей – для цилиндрической поверхности или центр проецирования rS – для конической поверхности.

Рис. 2.14. Схемы проецирования: а – схема параллельного проецирования;

Тогда искомый элемент формообразующей поверхности описывается уравнением здесь rп (u ) – радиус-вектор точек, принадлежащих спроецированной на заданную плоскость линии. Для цилиндрической поверхности уравнение этой линии в векторной форме имеет вид а для конической – цилиндрической поверхности проиллюстрируем на примере моделирования восьмигранного церковного купола (рис. 2.15). Модель купола описывается следующими параметрами: r1 = 2,42 м – радиус окружности, вписанной в основание купола, r2 = 3,67 м – радиус окружности, вписанной в наиболее широкую часть купола, h1 = 7 м – высота купола, h2 = 2 м – расстояние от основания купола до его наиболее широкой части, h3 = 0,7 м – высота опорного кольца под куполом. Первый формообразующий элемент ограничивается двумя кривыми линиями – проекциями rп1 и rп2 направляющей кривой rн на плоскости с нормалями n1 = {sin 8 ; cos 8 ; 0} и n2 = {sin 8 ; cos 8 ; 0}.

Остальные семь формообразующих элементов получены поворотом первого соответственно. В качестве направляющей кривой rн принят кубический сплайн, проходящий через точки М0(2,42; 0; 0), М1(3,17; 0; 0,67), М2(3,67; 0; 2), М3(3,5; 0; 2,83), М4(3; 0; 3,67), М5(2,33; 0; 4,25), М6(1,5; 0; 4,92), М7(1,18; 0; 5,67), М8(0,33; 0; 6,33),. М9(0; 0; 7).

Рис. 2.15. Модель восьмигранного церковного купола Использование метода центрально проецирования для построения конической поверхности проиллюстрируем на примере модели фигурного козырька. В данной модели в качестве одной образующей кривой принята плоская кривая, заданная уравнением а вторая образующая кривая rп ( ) получена проецированием кривой rн ( ) на плоскость, заданную нормалью к плоскости n = {0; 0; 1} и точкой М0(0; 0; 0), принадлежащей плоскости. Центр проецирования расположен в точке М1(0; 0; 8). Уравнение кривой rп ( ), полученное с помощью формулы (2.19) имеет вид Фигурный козырек в виде конической поверхности, модель которой, получена с помощью формулы (2.17), изображен на рис. 2.16.

Рис. 2.16. Фигурный козырек: а – общий вид; б – вид сверху Рассмотренные классы линейчатых поверхностей позволяют моделировать весьма разнообразные по форме поверхности пространственных конструкций, описываемые большим числом параметров (не только длина, ширина, высота). Поэтому задача определения взаимосвязи между параметрами модели и параметрами конструкции не может быть решена в общем виде, как это было выполнено в главе 1. Для предлагаемых в главе 2 линейчатых поверхностей эту задачу решать необходимо для каждой варианта поверхности отдельно, подставляя в уравнение поверхности или направляющей кривой координаты точек пространной конструкции.

Выводы по главе регулярными коноидами и регулярными цилиндроидами, для которых точки пересечения образующей во всех ее положениях с направляющей распределены равномерно, благодаря чему возможно равномерно располагать армирующие элементы или элементы опалубки при проектировании или изготовлении конструкций.

поверхностей однополостных гиперболоидов и гиперболических параболоидов выполнена привязка параметров модели к параметрам конструкций.

3. Проведенное исследование показало, что кинематический метод моделирования однополостных гиперболоидов и гиперболических параболоидов с использованием операции переноса их прямолинейных образующих позволяет упростить расчеты и технические операции при изготовлении строительных конструкций на основе этих поверхностей благодаря тому, что модель позволяет получить координаты соответствующих несущих элементов.

поверхностей с произвольной направляющей методом центрального или параллельного проецирования, позволяющим проектировать разнообразные листовые или тентовые конструкции с возможностью в дальнейшем получать плоские выкройки элементов конструкций.

3. ПРИМЕНЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

ПОВЕРХНОСТЕЙ, ЗАДАННЫХ ПРОИЗВОЛЬНЫМИ ОБРАЗУЮЩИМИ

И НАПРАВЛЯЮЩИМИ ЛИНИЯМИ, ДЛЯ ФОРМООБРАЗОВАНИЯ

ЭЛЕМЕНТОВ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ

Препятствием усложнению геометрических форм конструкций долгое время было то, что расчет конструкции сложной геометрической формы «в ручную» в достаточной степени сложен, требует больших затрат времени.

Развитие компьютерной техники и программных комплексов систем достаточно точно выполнять расчет конструкций практически любой формы, привело к резкому увеличению количества геометрических форм, применяемых при проектировании пространственных конструкций, что прослеживается в истории развития оболочек и сетчатых (стержневых) конструкций. Стержневые пространственные конструкции в известной мере аналогичны сплошным конструкциям – плитам, оболочкам. С другой стороны – эти конструкции являются дальнейшим развитием плоских стержневых конструкций.

Принцип стержневой конструкции известнее человеку с древнейших времен – он использовался в монгольских юртах, в хижинах тропической Африки. Основные заслуги в современном развитии теории расчета стержневых конструкций принадлежат прежде всего Беллу, Фепплю, Шведлеру, работавшим на рубеже 19-20 веков. А в 20 веке – Блумфилду, Ледереру, Маковскому, Отто, Райту, Фуллеру [128]. В середине XIX века в строительстве начали активно использовать сталь и чугун. Успешное и активное развитие строительных материалов и теории расчета этих конструкций создало необходимый «базис» для возникновения целого спектра новых пространственных конструкций.

В это время, в период расцвета «первой металлической революции» и возникли первые сетчатые оболочки и другие несущие конструкции на их основе. Сначала сетчатые оболочки чаще всего применялись в промышленном строительстве. Их использовали при перекрытии выставочных павильонов, производственных цехов, где требовалось с минимальными затратами металла перекрыть пролеты более 30-40 м.

Поскольку стержневые конструкции в некоторой степени аналогичны сплошным конструкциям, то и их геометрическая форма, в основном повторяет формы сплошных конструкций. Кроме предложенных Шуховым [85, 94] однополостных гиперболоидов, удобных для высотных сооружений, при перекрытии больших пролетов применялись стержневые конструкции в форме сферических, конических поверхностей, цилиндрических поверхностей с круговой или параболической направляющей, а также плоские структурные плиты. До 80-х годов ХХ века сетчатые оболочки при строительстве жилых и административных зданий применялись крайне редко. Вторую жизнь сетчатым оболочкам вернуло увлечение многих мировых архитекторов стилем «Hi-Tech»

[175] и деконструктивизмом.

Ричард Роджерс, Сантьяго Калатрава, Франк О. Гери и многие идеологи криволинейными очертаниями [60, 109-110, 109, 172, 176,]. Один из способов создания сооружений с криволинейными очертаниями – это использование покрытий на основе сетчатых оболочек [106, 140]. В в 1974-76 годах немецкие архитекторы Хьюго Херинг и Фрай Отто применили сетчатые оболочки при строительстве торгового павильона в Мангейме, с блеском продемонстрировав возможности этого вида конструкций. Сетчатые оболочки применяет в своих проектах и самый яркий представитель направления Hi-Tech в архитектуре Норманн Фостер [105, 174].

Еще одним ярким примером оригинальной сетчатой конструкции является павильон Японии на выставке ЭКСПО 2000. [107].

С использованием предложенных в главах 1 и 2 поверхностей второго порядка и линейчатых поверхностей можно смоделировать достаточно большое, но, все же, ограниченное количество сетчатых пространственных конструкций. Эта ограниченность обусловлена использованием при задании направляющих и образующих линий поверхности простейших геометрических образов. В рассмотренных случаях формообразования использовались, в основном, прямые линии, кривые второго порядка, а также поверхности второго порядка. В данной главе рассматриваются методы моделирования, позволяющие существенно расширить класс поверхностей 3.1. Моделирование куполов и других пространственных конструкций поверхностями вращения с произвольными образующими В первой главе при моделировании куполов и сводов на круглом плане поверхностями вращения второго порядка было рассмотрено пять вариантов образующих линий – прямая линия, дуги окружности, эллипса, параболы и гиперболы, что позволяет моделировать различные по форме поверхности, но близкие по типу. Если использовать при построении поверхности вращения произвольную образующую, можно получить новые типы поверхностей (см.

рис. 3.1). Безграничные возможности при формообразовании сводов и куполов дает использование в качестве образующей сплайновых линий [31, 104, 134] – гладких линий, проходящих через заданные точки пространства (узлы сплайна).

Для поучения кривых, проходящих через заданные точки, используются различные методы интерполяции. В практике интерполирования широко распространены полиномы Лагранжа и Ньютона, имеющие степени, зависящие от количества узлов. Их главный недостаток – большие межузловые осцилляции, возникающие уже при степенях полинома, равных шести-восьми, поэтому при числе узловых точек больше десяти интерполяция глобальным полиномом становиться непрактичной. При большом количестве узловых точек более предпочтительной оказывается кусочная интерполяция гладкими сплайнами являются кубический сплайн, B-сплайн, L-сплайн, кривые Безье, сплайн Эрмита, Акима-сплайн [134, 156].

Наибольшее распространение в задачах интерполяции получили кубические сплайны [25-26], к основным достоинствам которых следует отнести их гладкость второго порядка. Недостатками этих сплайнов является то, что они склонны сильно осциллировать в сравнении с линейной интерполяцией, соединяющей соседние узловые точки, а также необходимость при их построении дополнительно задавать значения производных сплайновой функции в некоторых узловых точках.

По сравнению с кубическими сплайнами, в сплайне Акимы практически отсутствуют признаки осцилляции. К его недостаткам можно отнести те обстоятельства, что он имеет гладкость только первого порядка, и для его построения требуется не менее пяти точек.

использования в задачах геометрического моделирования пространственных конструкций, является чередующийся сплайн, состоящий из участков алгебраических кривых третьей и четвертой степени. Принцип создания чередующегося сплайна основан на возможности проведения через любые четыре точки пространства, не лежащие на одной прямой, алгебраической кривой третьей степени и усреднения серии этих кривых, соответствующих разным точкам сплайновой кривой. Получаемый таким образом сплайн обладает гладкостью первого порядка, и его построение можно выполнять, начиная с четырех узлов. При увеличении числа узлов интерполяции происходит достраивание сплайна с сохранением вида предыдущих его участков, кроме последнего межузлового участка. Перечисленные свойства чередующегося сплайна в достаточной степени удовлетворяют требованиям геометрического моделирования образующих и направляющих линий при формообразовании элементов пространственных конструкций произвольных криволинейных очертаний.

Рассмотрим процедуру построения чередующегося сплайна. Пусть в общем случае задана система точек их радиус-векторами {r0, r1,K, rn } и требуется непрерывным образом провести через эти точки гладкую кривую.

При построении сплайновой кривой используем для ее параметризации модель линейной аппроксимации, когда через узловые точки проводится ломаная линия и вводится параметр t, определяемый как расстояние от начальной точки до текущей, измеренное вдоль ломаной линии. Тогда уравнение чередующегося сплайна, проходящего через первые четыре точки, может быть записано следующим матричным уравнением где r = y, T =, а S1 – матрица размером 3х4 кубического сплайна на первом участке кривой.

Матрицу S1 находим из решения матричного уравнения где – матрица, составленная из координат первых четырех узлов сплайна, – матрица, определяемая расстояниями от начальной точки до узловых точек вдоль ломаной линии. При этом Из уравнения (3.1) находится матрица S1 кубического сплайна на первом участке кривой Аналогичным образом может быть построена кривая, проходящая через точки {r2, r3, r4, r5 }, затем – кривая, проходящая через точки {r4, r5, r6, r7 } и так далее. Матрицы S2, S3, … соответствующих кубических сплайнов находятся из равенств Используя полученные соотношения, можно найти путем усреднения уравнение гладкой кривой в виде чередующихся алгебраических кривых третьей и четвертой степени и т.д.

Непосредственной проверкой можно убедиться, что введенный в рассмотрение чередующийся сплайн обладает гладкостью первого порядка (см.

прил. 3).

Примеры поверхностей, полученных с использованием чередующихся сплайнов в качестве образующих поверхностей вращения, представлены на рис. 3.1.

Рис. 3.1. Примеры поверхностей вращения с образующими в виде В примере поверхности, представленной на рис. 3.1 а, образующая в виде чередующегося сплайна проходит через шесть точек: М0(2; 0; 1,5), М1(3; 0; 2), М2(5; 0; 3), М3(2; 0; 6), М4(0; 0; 8), и М5(0,25; 0; 9). Соответствующие им матрицы R03 и R25 имеют вид Выполняя вычисление параметров tk по формуле (3.3), находим следующие их значения:

Вычисление матриц T03 и T25 осуществляется по формуле (3.2) Подставляя найденные матрицы T03 и T25, а также значения параметров соответствующей поверхности удобно записать с использованием аффинного преобразования поворота вокруг вертикальной оси Oz где A() = sin cos 0 – матрица поворота вокруг оси Oz.

На рис. 3.1 б представлена поверхность с образующей в виде чередующегося сплайна, проходящего через точки М0(3; 0; 0), М1(7; 0; 3), М2(4; 0; 5) и М3(0; 0; 8); поверхность, представленная на рис. 3.1 в, имеет образующую в виде чередующегося сплайна, проходящего через точки М0(1; 0; 0), М1(2; 0; 1), М2(1; 0; 2), М3(2; 0; 3), М4(1; 0; 4) и М5(2; 0; 5);

образующая поверхности, изображенной на рис. 3.1 г, представляет собой пространственный чередующейся сплайн, который проходит через точки М0(2; 0; 1,5), М1(1,5; 1,5 3 ; 2), М2(–2,5; 2,5 3 ; 3), М3(–2; 0; 6), М4(0; 0; 8) и М5(0,125; 0,125 3 ; 9); образующая поверхности в виде чередующегося сплайна на рис. 3.1 д проведена через точки М0(2; 0; 0), М1(1; 0; 1), М2(1,5; 0; 4), М3(1; 0; 7), М4(8; 0; 8) и М5(10; 0; 7,5); образующая в виде чередующегося сплайна поверхности на рис. 3.1 е проведена через точки М0(2; 0; 0), М1(4; 0; 3), М2(0,25; 0; 6), М3(1; 0; 7), М4(0,25; 0; 7,5) и М5(0; 0; 8).

Поскольку для построения чередующегося сплайна необходимо задать координаты его узлов, задача определения взаимосвязи между параметрами модели и параметрами конструкции решается автоматически при определении матриц чередующегося сплайна.

3.2. Применение цепной линии при моделировании поверхностей В строительной практике достаточно широко используют поверхности с образующей или направляющей в форме цепной линии. Цепной линией [92] называют линию, форму которой принимает гибкая однородная нерастяжимая тяжелая нить или цепь (отсюда название) с закрепленными концами в однородном гравитационном поле. Перевернутая цепная линия – идеальная форма для арок, так как однородная арка в форме перевернутой цепной линии испытывает только напряжения сжатия. Перевернутая цепная линия применяется при проектировании так называемых горбатых мостов, также ее можно использовать для проектирования опор виадуков (рис. 3.2).

Целесообразность использования цепной линии в архитектуре в XVII веке продемонстрировал великий английский экспериментатор Роберт Гук [62].

Как свидетельствует история науки, одна из расшифрованных записейанаграмм Роберта Гука гласит: «Как провисает гибкая веревка, так же, но в перевернутом виде будет стоять жесткая арка». Но широко применять ее в проектах первым стал Антонио Гауди. Он находил форму сводов будущих зданий, используя перевернутые модели – подвешивая грузы на нитках [135]. В музее при церкви Святого Семейства в Барселоне есть экспозиция – конструкция из цепочек и грузов, которую использовал архитектор для нахождения правильной формы сводов церкви. У Гауди не было компьютера, который позволил бы ему выполнить расчет. Он предложил более простой и, в известном смысле, более эффективный метод.

Перевернутыми моделями после Гауди воспользовались и некоторые современные архитекторы. На берегу реки Миссисипи в городе Сент-Луисе стоит арка Gateway Arch (см. рис. 3.3 а) высотой 192 м, символизирующая поворотный пункт в американской истории и географии [177]. Проект этой арки был выполнен одним из самых известных архитекторов США Эро Саариненом. Ему помогал математик и инженер Ганнскарл Бандель, который подсказал Сааринен использовать для арки форму цепной линии с высотой равной ширине у основания.

Цепная линия также широко применяется при строительстве висячих конструкций – мостов и покрытий. В 1885 году В.Г. Шухов запатентовал в России метод перекрытия здания несущими стальными тентами. В следующем году на Всероссийской выставке в Нижнем Новгороде по этому методу было перекрыто пять павильонов, но эти здания были разрушены и забыты [63].

продемонстрировала широкие возможности применения тросов в конструкциях покрытия. С тех пор в мире сооружено множество висячих вантовых покрытий различных форм и конструктивных систем [128]. При этом, несмотря на все многообразие форм висячих вантовых мостов и покрытий [112-113], в силу характера их работы [59, 157] при моделировании однопоясных и двухпоясных вантовых конструкций на круглом и прямоугольном планах применяются в основном поверхности вращения и цилиндрические поверхности на основе цепной линии.

Уравнение цепной линии имеет вид При проектировании куполов на круглом плане перевернутую цепную линию можно использовать в качестве образующей поверхности вращения.

При этом уравнение образующей купола можно получить, записав уравнение перевернутой цепной линии в системе координат, смещенной вверх на a + H, здесь H – высота купола, R – радиус основания купола.

Подстановка функции, заданной выражением (3.6), в уравнение (1.1) дает математическую модель купола с образующей в виде цепной линии, изображенного на рис. 3.3.

поверхности вращения связать аналитически параметры конструкции (высота и диаметр основания) и параметр модели (a) в явном виде не представляется возможным. Эта задача может быть при необходимости решена численно.

Для удобства проектирования можно ввести дополнительный параметр конструкции и с его помощью выразить взаимосвязь параметров модели и конструкции. В качестве дополнительного параметра конструкции удобно использовать угол наклона касательной к поверхности купола в его основании. В этом случае взаимосвязь конструктивных параметров купола и параметров математической модели находится из решения системы уравнений, одно их которых получается подстановкой в выражение (3.6) координат точки, лежащей в основании купола, а другое выражает значение угла наклона касательной к образующей купола в его основании (см. прил. 3). При заданных радиусе основания R и параметре a цепной линии высота купола H и угол наклона касательной определяются выражениями при заданных радиусе основания R и угле наклона касательной параметр a цепной линии и высота купола H – при заданных высоте купола H и параметре a цепной линии радиус основания R и угол наклона касательной – при заданных высоте купола H и угле наклона касательной радиус основания R и параметр a цепной линии – Математическую модель арки или свода на прямоугольном плане с направляющей в виде цепной линии можно получить, подставляя функцию, заданную равенством (3.6), в уравнение цилиндрической поверхности (1.12).

Модель такого свода представлена на рис. 3.4.

Подобным способом было выполнено моделирование арки Gateway Arch, упомянутой выше. Форма этой арки, полученная с помощью уравнения (3.6), представлена на рис. 3.5 б.

Рис. 3.5. Арка Gateway Arch в Сент-Луисе: фотография; б – модель При моделировании стрельчатых арок или сводов непосредственное использование канонического уравнения цепной линии (3.6) становится неудобным. В подобных случаях уравнение цепной линии целесообразно записать в новой системе координат с началом в точке O1 (b, c ), принадлежащей цепной линии (рис. 3.6).

Соответствующее уравнение имеет вид Подставляя в это уравнение значения координат x = y = 0, находим Тогда уравнение цепной линии в новой системе координат записывается равенством Если ввести обозначение u = e, то значение параметра u может быть связано с конструктивными параметрами стрельчатого свода R и H (см. рис.

уравнение дает следующее соотношение:

или Решая это уравнения относительно переменной u, находим С учетом этого решения и введенного обозначения u = e, уравнение a конструктивные параметры свода в виде При моделировании стрельчатых сводов уравнение направляющей кривой удобно записать с использованием конструктивного параметра l2, задающего ширину свода в плане. Необходимое для моделирования уравнение перевернутого отрезка цепной линии со смещением вверх на величину H может быть записано системе координат, принятой для моделирования сводов на прямоугольном плане (раздел 1.2), в следующем виде:

Рис. 3.7. Стрельчатый свод по цепной линии при значениях параметров Подставляя функцию z = f ( y ), заданную уравнением (3.8), в равенство (1.12), получаем математическую модель стрельчатого свода, изображенную на рис. 3.7.

3.3. Применение кинематического метода при моделировании элементов пространственных конструкций каналовыми поверхностями криволинейной направляющей [78]. Если каркас является окружностью, то поверхность – циклическая, а при постоянном радиусе окружности – трубчатая.

пространственных конструкций [53], обладающих высокими эстетическими ориентированных участков трубопроводов разного диаметра [28, 33, 52, 69, 103], в авиастроении [88]. Существует несколько способов образования циклических поверхностей – инженерный [2, 5], метод сложения выпуклых кривых [108], метод переноса [55], ротативный [51, 158] и другие.

поверхности [81, 83-84, 111, 141]. Рассмотрим общий кинематический метод построения каналовых поверхностей [95], в котором поверхность генерируется путем перемещения образующей. Это перемещение задается некоторой функцией параметра с физическим смыслом времени движения. В качестве параметров при получении уравнения поверхности примем угол поворота и «время» t при слежении за точками поверхности в винтовом движении наблюдателя вдоль некоторой направляющей кривой rн = rн (t ) (рис. 3.8).

В этом случае положение точек поверхности можно определить равенством где (t ), n (t ), b (t ) – единичные векторы касательной, нормали и бинормали направляющей кривой, (t,) – функция, переменная в общем случае по двум параметрам, определяющая характер изменения координатных линий t = const.

Рис. 3.8. Схема кинематического описания поверхности При этом единичные векторы касательной, главной нормали и бинормали определяются равенствами (2.12).

В случае замкнутого каркаса угол меняется в пределах 0 2. Если каркас, задаваемый функцией (t,), расположен в нормальной плоскости к направляющей кривой, то получаемая поверхность относится к так называемым нормальным поверхностям. Если = (t ), то поверхность циклическая, а при = const – трубчатая.

Единичные векторы касательной, нормали и бинормали образуют подвижный ортогональный базис, перемещающийся вдоль кривой. Поучаемая при этом координатная сетка каналовой поверхности согласована с изгибами направляющей кривой (без перекручивания координатных линий = const ).