[ «РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ ИНТЕРПРЕТАЦИИ ДАННЫХ ПРИ ЗОНДИРОВАНИЯХ ТРЕХМЕРНОЙ СРЕДЫ НЕСТАЦИОНАРНЫМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ПОЛЕМ ...»
Модули, реализующие алгоритм 3D-инверсии, реализуют поиск значений проводимости в заданной ячеистой структуре. Входными данными для них является набор экспериментальных кривых и характеристик ячеистой структуры, которые передает графический препроцессор. В качестве исходных данных препр оцессор передает следующие структуры:
time – содержит диапазон времен, на которых производится расчет прямой задачи, и диапазон времен, участвующих в инверсии;
generator – содержит радиус, ток, число витков и положение источника;
recv – содержит радиус, число витков и положение точек выдачи поля, а также их количество для каждого из положений источника;
вмещающей среде, их толщину h i и проводимость i0 ;
пространтственные характеристики и проводимость ;
loops – содержит координаты положения источника вдоль профиля.
Информация об объектах, в которых будет выполняться подбор проводимости, хранится в структуре objects_info, а номера материалов для каждого из этих объектов – в macro_mtr. Структура macro_nxyz содержит информацию о количестве макро-объектов в моделе, а также о количестве объектов-ячеек по направлению X, Y и Z для каждого из макро-объектов.
Разработанные программные модули также используются в программном комплексе для выполнения 3D-инверсий данных электроразведки, полученных методом вызванной поляризации INVERS-IP [26].
На первом этапе в соответствии с архитектурой на рисунке 1 запускается модуль MakeGridXYZ формирования ячеистой структуры, составляющие которой – отдельные трехмерные объекты с параметрами, заданными в структуре objects.
На основе данных структуры objects_info из структуры objects выбираются объекты, участвующие в инверсии, которые переупорядочиваются и группируются по значению координаты z центра объекта. В результате заполняются структуры objects_fit, fit_obj_in_layer и z_ist. Структура objects_fit хранит переупорядоченные номера объектов структуры objects, структура fit_obj_in_layer – количество объектов в каждой объединеной по координате z группе, а структура z_ist – координаты z для каждой из групп. Кроме того, в модуле MakeGridXYZ на основании структур macro_mtr и macro_nxyz создается структура NeighbourObj, отражающая информацию о соседних объектах для каждого из объектов рассматриваемой области согласно его номера материала. Соседними могут считаться объекты, принадлежащие одному макро-объекту, имеющие один и тот же номер материала и, как минимум, одну общую точку. Структура NeighbourObj состоит из целочисленных массивов ig3D и jg3D. Элемент массива ig3D[i] хранит номер, начиная с которого в массиве jg3D перечислены номера объектов, являющихся смежными с i-ым объектом. Количество таких объектов равняется ig3D[i+1] – ig3D[i].
Модуль FillCoord реализует генерацию точек выдачи одномерного поля, в которых необходимо получить характеристики поля от электрического диполя.
Координаты точек выдачи поля вычисляются для каждого объекта путем пересч ета их координат с учетом смещения каждого из источников относительно центра объекта и того, что в качестве начала координат выбран центр рассматриваемой ячеистой структуры. То есть для каждой ячейки будет получен свой набор точек выдачи поля, равный сумме точек выдачи поля для каждого из положений источника, с фиксированными координатами относительно центра ячейки. Поскольку для работы модуля выдачи поля от источника в ячейке необходимы значения поля E, которое может быть найдено как сумма компонент Ex и Ey, то для каждой из компонент генерируется свой набор точек выдачи поля. Результатом работы модуля является структура recivers, хранящая x-, y - и z -координаты точек выдачи поля для каждой из ячеек, в которой может появиться источник.
После обработки данных графического препроцессора и формирования набора точек выдачи поля вызывается модуль решения прямой задачи DirectTask, результаты работы которого передаются в модули LoadEds и Svertka в виде файлов со значениями компонент поля n t, E n t и E n t в заданных точках.
Кроме значений поля, полученных из прямой задачи, исходными данными модуля LoadEds являются экспериментальные данные (или их синтетические аналоги) s t, хранящиеся в файлах, аналогичных тем, в которых хранятся результаты решения прямой задачи. Поскольку значения времен, для которых были получены экспериментальные данные и результаты решения прямой задачи могут отличаться, модуль реализует построение единой временной сетки и вычисление значений экспериментальных данных и результатов решения прямой задачи в построенных временных точках. Положим, что экспериментальные данные s t, получены для времен t t1, t n, а решение прямой задачи n t – для времен t T1,Tn. Тогда в качестве границ временной сетки выбирается максимальное из времен t1, T1 и минимальное из времен t n, Tn, а полученный временной диапазон tk, tm заполняется временами из экспериментальных данных. Приведение решения прямой задачи к полученной временной шкале выполняется с использованием интерполяционного кубического сплайна где i – эрмитовы базисные функции, in n Ti, n – значения производной функции n t в точках Ti. В качестве значений n берутся значения вычисляемого по трем ближайшим к Ti точкам. После приведение решения прямой задачи к полученной временной шкале модуль вычисляет аномальное поле a t как разницу экспериментальных данных и поля вмещающей среды.
Поскольку кривые s t, полученные в точках выдачи поля, удаленных от экспериментальные данные может возникнуть проблема деления на ноль или очень малое число. Для решения этой проблемы разработан следующий алгоритм.
Разобьем кривую s t, t t k...t m на два отрезка, так, что на первом отрезке s t 0, t t k...t s, а на втором s t 0, t ts1...tm. На втором отрезке найдем время t j, в котором s t принимает максимальное значение. На первом отрезке найдем максимальное время t i, для которого абсолютная величина значения s t i больше значения s t j. Затем построим модуль кривой s t, а на выделенном временном промежутке t i, t j вместо s t для нормировки будем брать значения линейного интерполянта между значениями s t i и s t j.
Рассмотрим модули, реализующие вычислительную схему решения нестационарной 1D-задачи. Входными данными для этих модулей являются структуры layers, generator, recv, recivers, z_ist, а также файл с характеристиками для интегрирования по параметру, пример которого приведен в таблице 4.1.
Таблица 4.1 – Формат файла с характеристиками параметра параметра Согласно характеристикам, заданным в файле, модуль FindPointLambda определяет область действия параметра как 10 k,10n k и строит одномерную сетку по. Для контроля количества отрезков, на которые разбивается область действия параметра, используются такие характеристики, как количество отрезков в декаде m и количество дополнительных отрезков в декаде для сплайна s.
Использование дополнительных отрезков позволяет повысить точность решения 1D-задачи, сохранив при этом его вычислительную стоимость, поскольку решения для дополнительных значений находятся с помощью интерполяционного кубического сплайна где i – эрмитовы базисные функции, u i – решение 1D-задачи для i, а u u i. Число значений, по которым строится сплайн, определяется как p m n. В результате выполнения модуля заполняются структуры lambda и lambda_spline, содержащие информацию о значениях параметра, для которых будет решаться 1D-задача, и дополнительных значениях соответственно.
После построения сетки по выполняется построение одномерной сетки по координате z (со сгущением к источнику), по времени t и по координате r с помощью модуля MakeGridRTZ, в результате чего заполняются структуры z, t и r.
Необходимо отметить, что область действия координаты r определяется исходя из координат точек выдачи поля структуры recivers (как r x 2 y2 ). Поскольку количество точек выдачи поля может быть велико, а расположение их по оси r неравномерным, для формирования результатов в области действия r, ограниченной минимальным и максимальным значением r точек выдачи поля, строится специальная сетка с заданным начальным шагом и коэффициентом разрядки.
Для каждого из положений источника, определенных в структуре z_ist, запускается модуль решения нестационарной 1D-задачи Find_EM_Field.
Построение локальных матриц и сборка их в глобальные, учет точечного источника в векторе правой части и решение полученной конечноэлементной СЛАУ с использованием LU-разложения выполняются в цикле по времени t (Цикл 1) и параметру из структуры lambda (Цикл 2). Полученное в результате решение хранится в структуре u1D_X. Далее в модуле CalcInRecv выполняется расчет поля в точках выдачи с занесением результатов в структуру recivers и нахождение решения для парметров, определенных в структуре lambda_spline, с помощью модуля SplineLambda. В результате формируется массив значений X_spline. Затем посредством модуля CalcHz выполняется вычисление значений компоненты поля H z, которые затем дифференцируются по времени t. Результаты работы модуля записываются в структуру Hz_t.
Теперь рассмотрим реализацию итерационного процесса поиска значений i. На каждом шаге соответствующего цикла выполняется пересчет компоненты H z полей влияния объектов-ячеек, сборка матрицы и вектора правой части СЛАУ, определяющей приращения параметров, и решение полученной СЛАУ с подбором параметров регуляризации.
Модуль выдачи поля ячейки Svertka пересчитывает компоненту поля H z, полученную в точках выдачи поля от источника с изменением в нем тока по времени в виде функции Хевисайда, на компоненту от источника q t E, где E – поле в центре ячейки, вызванное источником в виде генераторной петли.
Алгоритм пересчета основан на процедуре свертки, согласно которой временная ось разбивается на промежутки с аппроксимацией значений прямоугольными импульсами, представляемыми в виде разности двух функций Хевисайда с различным сдвигом их по времени.
Модуль сборки СЛАУ MakeMatrixSLAE выполняет построение матрицы A и вектора правой части f (для вычисления вектора приращений параметров i ) на основе рассчитанных полей ячеек, хранящихся в структуре SvertkaSp, и значений аномальных сигналов a t, регистрируемых в точках выдачи поля.
Полученная в модуле сборки СЛАУ решается методом Гаусса с помощью модуля GaussSolve. Поскольку матрица A может быть вырожденной, а полученное решение содержать отрицательные или контрастные проводимости, используется регуляризация, которая приводит к СЛАУ вида:
где и B – матрицы, а g – вектор регуляризации, элементы которых находятся в соответствии с формулами (2.4) –(2.6). Преобразование СЛАУ выполняется с использованием модуля UseAlphaBetta, пока все проводимости объектов не будут получены неотрицательными, а отношение проводимостей в соседних объектах не будет превышать заданное значение отклонения.
На основе полученных значений в модуле UpdateModel перезаполняется структура objects и осуществляется переход к модулю DirectTask для поиска новых значений n t, E n t и E n t. После этого данные n t вычитаются из рассчитанное значение функционала не превышает значение, полученное на предыдущей итерации, то продолжаем итерационный процесс, иначе необходимо скорректировать приращения параметров i. Для этого полученные значения i делятся пополам, вновь заполняется структура objects и выполняется модуль DirectTask. Процесс продолжается до тех пор, пока вновь рассчитанное значение функционала не станет меньше значения, полученного на предыдущей итерации, или приращения i станут меньше заданного порога.
Итерационный процесс поиска значений i заканчивается либо по достижению заданного значения функционала, либо по условию, что его величина перестает убывать, либо если количество итераций превысило указанный лимит.
1. Разработан программный комплекс CITEM-3D для проведения 3D-инверсии при интерпретации данных полевых электроразведочных работ, выполняемых по технологии зондирования становлением поля с источником в виде токовой петли.
2. Реализован алгоритм создания стартовой геоэлектрической 3D-модели и алгоритм ее последовательного уточнения, который обеспечивает нахождение эле ктрической проводимости каждой из ячеек разбиения исследуемого объема геоэлектрической среды.
3. Реализованы различные алгоритмы сглаживания и различные методы регуляризации, позволяющие повысить качество получаемых результатов 3Dинверсии.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Основные результаты проведенных в диссертационной работе исследований состоят в следующем.1. Разработаны методы быстрого расчета на основе борновского приближения полей влияния отдельных 3D-объектов в средах с множеством трехмерных объектов для технологии зондирования становлением поля.
2. Разработаны методы решения трехмерных обратных задач геоэлектрики с индукционным источником, основанные на минимизации функционала невязки вдоль направлений, получаемых с помощью борновских приближений. С использованием синтетических данных, полученных с помощью 3D-моделирования нестационарных геоэлектромагнитных полей для геоэлектрических моделей различной сложности, показана их работоспособность.
3. Разработан метод регуляризации обратной трехмерной задачи, базирующийся на сглаживании удельной проводимости по отдельным подобластям. Показано, что его применение на заключительных этапах инверсии существенно повышает качество восстановленной геоэлектрической модели.
4. Разработанные методы реализованы в программном комплексе, позволяющем достаточно уверенно выделять приповерхностные объекты в горизо нтально-слоистой среде и определять места дефицита и избытка проводимости относительно среды с уже выделенными 3D-объектами в технологиях зондирований с источником в виде токовой петли.
5. Разработанный программный комплекс выполнения автоматических 3Dинверсий применялся для интерпретации данных, полученных при использовании технологии зондирования становлением поля.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Бердичевский, М.Н. Модели и методы магнитотеллурики / М.Н.Бердичевский, В.И.Дмитриев. – M.: Научный мир, 2009. – 680 c.2. Бердичевский, М.Н. Обратные задачи магнитотеллурики в современной постановке / М.Н.Бердичевский, В.И.Дмитриев // Физ. Земли. – 2004. N 4. – С.12-29.
3. Жданов, М.С. Теория обратных задач и регуляризации в геофизике / М.С.Жданов. – М.: Научный мир, 2007. – 712 с.
4. Могилатов, В.С. Об одном способе решения основной прямой задачи электроразведки ЗС / В.С.Могилатов // Геология и геофизика. – 1993. – Т.34. – №3. – С.108-117.
5. Могилатов, В.С. Импульсная электроразведка: учебное пособие / В.С.Могилатов. – Новосибирск: НГУ, 2002. – 208 с.
6. Могилатов, В.С. Индуктивный, смешанный и гальванический источники в электроразведке становлением поля / В.С.Могилатов // Изв. РАН. Сер. Физика Земли. – 1997. – № 12. – С.42-51.
7. Могилатов, В.С. Математическое обеспечение электроразведки ЗСБ. Система «ПОДБОР» / В.С.Могилатов, А.К.Захаркин, А.В.Злобинский. – Новосибирск: Академическое изд-во "ГЕО", 2007. – 157 с.
8. Персова, М.Г. Зондирование становлением поля трехмерных сред и проблемы интерпретации / М.Г.Персова // Сибирский журнал индустриальной математики. – 2009. – № 2(38). – С.84-96.
9. Персова, М.Г. 3D-инверсия данных зондирований становлением поля на основе борновских приближений / М.Г.Персова, Е.И.Симон, У.А.Сафронова // Материалы ХI международной конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» АПЭП–2012. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2012. – Т.6. – С.108-113.
10. Персова, М.Г. Алгоритмы 3D-инверсии данных зондирований становлением поля с использованием борновских приближений / М.Г.Персова, Е.И. Симон, Ю.Г. Соловейчик, Ю.И. Кошкина // Научный вестник НГТУ. – 2013. – №2(51). – С.62-72.
11. Персова, М.Г. Возможности многокомпонентной съемки для уменьшения зон эквивалентности при электромагнитных зондированиях / М.Г.Персова, Ю.Г.Соловейчик, И.Е.Аврунева, Е.И.Симон // Доклады АН ВШ РФ. – 2010.
– № 2(15). – С.101-110.
12. Персова, М.Г. О сравнении двух подходов к 3D-инверсии данных электромагнитных зондирований во временной области [Электронный ресурс] / М.Г.Персова, Ю.Г.Соловейчик, Д.В.Вагин, Е.И.Симон, Т.Г.Шашкова // Материалы VI Всероссийской школы-семинара по электромагнитным зондированиям Земли имени М.Н. Бердичевского и Л.Л. Ваньяна (ЭМЗ-2013). – http://ems2013.ipgg.sbras.ru.
13. Персова, М.Г. О подходе к выполнению 3D-инверсий данных зондирований нестационарным электромагнитным полем на основе конечноэлементного моделирования. М.Г.Персова, Ю.Г.Соловейчик, Д.В.Вагин, М.Г.Токарева, А.В.Чернышев // Научный вестник НГТУ. – 2011. – №2(43). – С.97-106.
14. Персова, М.Г. О томографическом подходе к интерпретации данных электромагнитных зондирований в трехмерных средах / М.Г.Персова, Ю.Г.Соловейчик, П.А.Домников, Е.И.Симон // Материалы Х международной конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения»
АПЭП–2010. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2010. – Т.6. – С.150-155.
15. Персова, М.Г. Компьютерное моделирование трехмерных геоэлектромагнитных полей, возбуждаемых контролируемыми источниками, в средах с анизотропной проводимостью / М.Г.Персова, Ю.Г.Соловейчик, П.А.Домников, Е.И.Симон // Материалы Х международной конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» АПЭП–2010. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2010. – Т.6. – С.134-138.
16. Персова, М.Г. Оценка возможностей электромагнитных технологий при М.Г.Персова, Ю.Г.Соловейчик, Е.И.Симон // Доклады АН ВШ РФ. – 2010. – №2(15). – С.111-120.
17. Персова, М.Г. 3D-инверсия данных вызванной поляризации на основе конечноэлементного моделирования / М.Г.Персова, Ю.Г.Соловейчик, М.Г.Токарева, Е.И.Симон, М.В.Абрамов, У.А.Сафронова // Научный вестник НГТУ. – 2012. – №3(48). – С.25-34.
18. Персова, М.Г. CITEM-3D – 3D-инверсии данных технологии TEM с использованием ячеистых структур (Cell-Inversion-of-TransientElectroMagnetic-data – 3Dimensional) / М.Г.Персова, Ю.Г.Соловейчик, Е.И.Симон, Ю.И.Кошкина // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2013612529 от 28.02.2013. – М.: Федеральная служба по интеллектуальной собственности (Роспатент). – 2013.
19. Персова, М.Г. Компьютерное моделирование геоэлектромагнитных полей в Ю.Г.Соловейчик, Г.М.Тригубович // Физика Земли. – 2011. – №2. – С.3-14.
20. Рояк, М.Э. Конечноэлементное моделирование трехмерных гармонических электромагнитных полей в задачах аэроэлектроразведки кимберлитовых трубок / М.Э.Рояк, С.Х.Рояк, Ю.Г.Соловейчик, Г.М.Тригубович // Сибирский журнал индустриальной математики. – 1998. – Т.1.– №2. – С.154-168.
21. Симон, Е.И. Решение гармонических трехмерных задач электромагнитного каротажа с использованием шестигранных конечных элементов с криволинейными границами / Е.И.Симон // Информатика и проблемы телекоммуникаций: материалы рос. науч.-технич. конф. – Новосибирск: Изд-во СибГУТИ, 2009. – Т.1. – С.61-64.
22. Симон, Е.И. Конечно-элементное моделирование трехмерных гармонических полей в областях с криволинейными границами / Е.И.Симон // Наука.
Технологии. Инновации. НТИ–2009: материалы всерос. науч. конф. молодых ученых. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2009. – Т.1. – С.140-142.
23. Симон, Е.И. Возможности использования многокомпонентного приема поля для снижения зон эквивалентности при профильных измерениях ЗСБ / Е.И.Симон // XI Уральская молодежная научная школа по геофизике. Сборник докладов. – Екатеринбург : ИГфУрО РАН, 2010. – С.210–213.
24. Симон, Е.И. Анализ эффективности использования шестигранных конечных элементов с изогнутыми границами при моделировании электромагнитных полей в задачах индукционного электрокаротажа / Е.И.Симон // Информатика и проблемы телекоммуникаций: материалы рос. науч.-технич.
конф. – Новосибирск: Изд-во СибГУТИ, 2010. – Т.1. – С.93-97.
25. Симон, Е.И. О подходе к построению стартовой модели для интерпретации данных / Е.И.Симон, И.Е.Аврунева // Наука. Технологии. Инновации. НТИ– 2010: материалы всерос. науч. конф. молодых ученых. – Новосибирск: Издво НГТУ, 2010. – Т.1. – С.96-98.
26. Соловейчик, Ю.Г. INVERS-IP – прикладное ПО для выполнения 3Dинверсий данных электроразведки, полученных методом вызванной поляризации / Ю.Г.Соловейчик, М.Г.Персова, М.В.Абрамов, Д.В.Вагин, П.А.Домников, Е.И.Симон // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 20122618321 от 14.09.2012. – М.: Федеральная служба по интеллектуальной собственности (Роспатент). – 2012.
27. Соловейчик, Ю. Г. Применение МКЭ для расчета трехмерных гармонических электромагнитных полей в задачах каротажа и аэроразведки полезных ископаемых / Ю.Г.Соловейчик, М.Э.Рояк, C.Х.Рояк, Г.М.Тригубович // Научн. вестн. НГТУ. – Новосибирск: НГТУ, 1998. – №1 – С.146-160.
28. Соловейчик, Ю.Г. Применение векторного метода конечных элементов для анализа электромагнитного поля в согласованных пленочных СВЧрезисторах / Ю.Г.Соловейчик, М.Э.Рояк, Е.Б.Корытный, В.П.Разинкин // Известия вузов России. Радиоэлектроника. – 2003. – Вып.3. –С.71-79.
29. Соловейчик, Ю.Г. Совместное использование узловых и векторных конечных элементов для расчта трхмерных нестационарных электромагнитных полей / Ю.Г.Соловейчик, М.Э.Рояк // Сибирский журнал индустриальной математики. – 2004. – Т.7. – №3(19) – C.132-147.
30. Соловейчик, Ю.Г. «Конечноэлементное моделирование трехмерных электромагнитных полей с использованием edge-элементов на нерегу-лярных сетках» / Ю.Г.Соловейчик, М.Э.Рояк, М.Г.Персова, М.В.Абрамов, А.Н.Селезнев // Труды международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004. Ч.II. – Новосибирск: Изд. ИВМиМГ СО РАН, 2004. – С.676-681.
31. Соловейчик, Ю.Г. Математическое моделирование на базе метода конечных элементов трехмерных электрических полей в задачах электроразведки / Ю.Г.Соловейчик, М.Э.Рояк, В.С.Моисеев, А.В.Васильев // Изв. РАН, Сер.:
Физика Земли. – 1997. – №9 – С.67-71.
32. Соловейчик, Ю.Г. Моделирование нестационарных электромагнитных полей в трехмерных средах методом конечных элементов / Ю.Г.Соловейчик, М.Э.Рояк, В.С.Моисеев, Г.М.Тригубович // Изв. РАН. Сер. Физика Земли. – 1998. – №10. – С.78-84.
33. Соловейчик, Ю.Г. Метод конечных элементов для решения скалярных и векторных задач / Ю.Г.Соловейчик, М.Э.Рояк, М.Г.Персова. – Новосибирск:
НГТУ, 2007. – 896 с.
34. Тригубович, Г.М. «Телеметрическое электроразведочное оборудование серии «Импульс» для 3D электроразведки на плотных пространственновременных сетях наблюдений» / Г.М.Тригубович, М.Г.Персова, А.Л.Балыбердин // Приборы и системы разведочной геофизики. – 2006. – №2(16) – С.22-25.
35. Тригубович, Г.М. Способ геоэлектроразведки. / Г.М.Тригубович, М.Г.Персова, Ю.Г.Соловейчик // Патент Российской Федерации на изобретение № 2411549. Приоритет – 06.10.2009, выдан – 10.02.2011.
Г.М.Тригубович, М.Г.Персова, Ю.Г.Соловейчик. – Новосибирск: Наука, 2009. – 218 с.
37. Тригубович, Г.М. «Оценка возможности применения аэроэлектроразведки Г.М.Тригубович, М.Г.Персова, А.В.Чернышев // Геофизические методы поисково-оценочных исследований. Сб. научных трудов. – Новосибирск: Наука, 2007. – С.85-97.
38. Чернышев, А.В. Вычислительные схемы и программное обеспечение решения прямых и обратных задач электромагнитного зондирования земли становлением поля: дис. … канд. техн. наук: 05.13.18 / Чернышев Антон Владимирович. – Новосибирск, 2003.
39. Abubakar, A. 2.5D forward and inverse modeling for interpreting low-frequency electromagnetic measurements / A. Abubakar, T.M. Habashy, V.L. Druskin, L. Knizhnerman, D. Alumbaugh // Geophysics. – 2008. – 73(4). – P.F165-F177.
40. Abubakar, A. An integral equation approach for 2.5-dimensional forward and inverse electromagnetic scattering. / A. Abubakar, P.M van den Berg, T.M. Habashy // Geophys. J. Int. – 2006. – 165. – P.744-762.
41. Avdeev, D.B. Three-dimensional electromagnetic modelling and inversion from theory to application / D.B Avdeev // Surveys in Geophysics. – 2005. – P.767– 42. Avdeev, D. 3D integral equation modeling with a linear dependence on dimensions / D. Avdeev, S. Knizhnik // GEOPHYSICS. – 2009. – V.74. – NO.5. – P.F89–F94.
43. Albanese, R. Analysis of three-dimensional electromagnetic fields using edge elements / R. Albanese, G. Rubinacci // J.Comput.Phys. – 1993. – V.108. – P.236– 44. Badea, E.A. Finite-element analysis of controlled-source electromagnetic induction using Coulomb-gauged potentials / E.A. Badea, M.E. Everett, G.A. Newman, O. Biro // Geophysics. – 2001. – V.66. – NO.3. – P.786–799.
45. Borner, R.-U. Fast 3-D simulation of transient electromagnetic fields by model reduction in the frequency domain using Krylov subspace projection / R.U. Borner, O.G. Ernst, K. Spitzer // Geophys. J. Int. – 2008. – V.173. – P.766– 46. Bossavit, A. Сomputational Electromagnetism: Variational Formulations, Complementarity, Edge Elements / A. Bossavit // Academic Press (Boston). – 1998.
47. Bossavit, A. Whitney forms: a class of finite elements for three-dimensional computations in electromagnetism / A. Bossavit // IEE Proc., 135, Pt.A, 1988. – P.493– 48. Cendes, Z.J. Vector finite elements for electromagnetic field calculations / Z.J. Cendes // IEEE Trans. Magn. – 1991. – Vol. 27. – № 5. – P.3958-3966.
49. Changsheng, L. Three-dimensional magnetotelluric modeling using edge-based finite-element unstructured meshes. / L. Changsheng, R. Zhengyong, T. Jingtian, Y. Yan // Applied Geophysics, 2008. – vol. 5. – no. 3. – P.170–180.
50. Chen, J. Inversion of airborne EM data using thin-plate models. / J. Chen, A. Raiche, J. Macnae // 70th Ann. Mtg: Soc. of Expl. Geophys., Expanded Abstracts. – 2000. – P.355-358.
51. Cingoski, V. An Improved Method for Magnetic Flux Density Visualization using Three-Dimensional Edge Finite Elements / V. Cingoski, H. Yamashita // J.
Applied Phys. – 1994. – Vol.75. – № 10. – P.6042–6044.
52. Commer, M. New results on the resistivity structure of Merapi Volcano (Indonesia), derived from three-dimensional restricted inversion of long-offset transient electromagnetic data / M. Commer, S.L. Helwig, A. Hordt, C. Scholl and B. Tezkan // Geophys. J. Int. – 2006. – 167. – P.1172–1187.
53. Commer, M. Large scale 3D EM inversion using optimized simulation grids nonconformal to the model space. / M. Commer, G.A. Newman // SEG/New Orleans 2006 Annual Meeting. – P.760–764.
54. Commer, M. New advances in three-dimensional controlled-source electromagnetic inversion / M. Commer, G.A. Newman // Geophys. J. Int. – 2008. – 172. – P.513–535.
55. Commer, M. Optimal conductivity reconstruction using three-dimensional joint and model-based inversion for controlled-source and magnetotelluric data. / M. Commer, G.A. Newman // SEG Las Vegas 2008 Annual Meeting. – P.609– 56. Cox, L.H. 3D inversion of airborne electromagnetic data / L.H. Cox, G.A. Wilson, M.S. Zhdanov // Geophysics. – 2012. – 77. – NO.4. – P.WB59– WB69.
57. Dyczij-Edlinger, R. A fast vector potential method using tangentially continuous vector finite elements / R. Dyczij-Edlinger, G. Peng, J.-F. Lee // IEEE Trans. Microwave Theory & Tech. – 1998. – Vol.46. – P.863–868.
58. Egbert, G.D. Computational recipes for electromagnetic inverse problems / G.D. Egbert, A. Kelbert // Geophys. J. Int. – 2012. – 189. – P.251–267.
59. Ellis, R.G. Joint 3-D Electromagnetic Inversion / R.G. Ellis, M.J. Oristaglio, B.R. Spies // Three Dimensional Electromagnetics, S.E.G. Geophysical Developments Series 7. – 1999. – P.179–192.
60. Farquharson, C.G. Comparison of integral equation and physical scale modeling of the electromagnetic responses of models with large conductivity contrasts. / C.G. Farquharson, K. Duckworth, D.W. Oldenburg // GEOPHYSICS. – 2006. – VOL.71. – NO.4. – P.G169–G177.
61. Farquharson, C.G. An Algorithm for The Three-Dimensional Inversion of Magnetotelluric Data / C.G. Farquharson, D.W. Oldenburg, E. Haber, R. Shekhtman // 72st Ann. Internat. Mtg., Soc. Expl. Geophys. – 2002. – P.649– 62. Franke, A. Adaptive unstructured grid finite element simulation of twodimensional magnetotelluric fields for arbitrary surface and seafloor topography / A. Franke, R.-U. Borner, K Spitzer //Geophys. J. Int. – 2007. – 171. – P.71–86.
63. Maa, F.A. Fast finite-difference time-domain modeling for marine-subsurface electromagnetic problems. / F.A. Maa // GEOPHYSICS. – 2007. – VOL.72. – NO.2. – P.A19–A23.
64. Gribenko, A.V. Rigorous 3D inversion of marine CSEM data based on the integral equation method / A.V. Gribenko, M.S. Zhdanov //Geophysics. – 2007. – V.72. – No.2. – P.WA73-WA84.
65. Haber, E. Inversion of 3D electromagnetic data in frequency and time domain using an inexact all-at-once approach / E. Haber, U.M. Ascher, D.W. Oldenburg // GEOPHYSICS. – 2004. – VOL.69. – NO.5. – P.1216–1228.
66. Haber, E. Inversion of time domain three-dimensional electromagnetic data / E. Haber, D.W. Oldenburg, R. Shekhtman // Geophys. J. Int. – 2007. – 171. – P.550–564.
67. Han, N. Efficient three-dimensional inversion of magnetotelluric data using approximate sensitivities / N. Han, M.J. Nam, H.J. Kim, T.J. Lee, Y. Song, J.H. Suh // Geophys. J. Int. – 2008. – 175. – P.477–485.
68. Holtham, E. Three-dimensional inversion of ZTEM data / E. Holtham, D.W. Oldenburg // Geophys. J. Int. – 2010. – 182. – P.168–182.
69. Hou, J. Finite-difference simulation of borehole EM measurements in 3D anisotropic media using coupled scalar-vector potentials / J. Hou, R.K. Mallan, C. Torres-Verdn // GEOPHYSICS. – 2006. – VOL.71. – NO.5. – P.G225–G233.
70. Igarashi, H. On the property of the curl-curl matrix in finite element analysis with edge elements / H. Igarashi // IEEE Trans. Magn. – 2001. – Vol.37. – 5. – P.3129–3132.
71. Knizhnerman, L. On optimal convergence rate of the rational Krylov subspace reduction for electromagnetic problems in unbounded domains / Knizhnerman L., V. Druskin, M. Zaslavsky // SIAM Journal on Numerical Analysis. – 2009. – Vol.
47. – No. 2. – P.953–971.
72. Lee, J.-F. A note on the application of edge-elements for modelling threedimensional inhomogeneously-filled cavities / J.-F. Lee, R. Mittra // IEEE Trans.
Microwave Theory and Techniques, MTT-40. – 1992. – P.1767–1773.
73. Leonard, P. Finite element scheme for transient 3D eddy currents / P. Leo-nard, D. Rodger// IEEE Trans. Magn. – 1988. – Vol. 24. – P.90–93.
74. Li, Y. Adaptive finite element modelling of two-dimensional magnetotelluric fields in general anisotropic media / Y. Li and J. Pek // Geophys. J. Int. – 2008. – 175. – P.942–954.
75. Li, Y. Finite element modelling of marine controlled-source electromagnetic responses in two-dimensional dipping anisotropic / Y. Li, S. Dai. // Geophys. J. Int.
– 2011. – 185. – P.622–636.
76. Mackie, R.L. 3-D Magnetotelluric Inversion for Resource Exploration / R.L. Mackie, W. Rodi, M.D. Watts // 71st Ann. Internat. Mtg., Soc. Expl.
Geophys. – 2001. – P.1501–1504.
77. Marion, P. Miensopust and Alan G. Jones. Artefacts of isotropic inversion applied to magnetotelluric data from an anisotropic Earth / P. Marion // Geophys. J.
Int. – 2011. – 187. – P.677–689.
78. Mukherjee, S. 3D controlled-source electromagnetic edge-based finite element modeling of conductive and permeable heterogeneities / S. Mukherjee, M.E. Everett // GEOPHYSICS. – 2011. – VOL.76. – NO.4. – P.F215–F226.
79. Mulder, W.A. A multigrid solver for 3D electromagnetic diffusion / W.A. Mulder // Geophysical Prospecting. – 2006. – 54. – P.633–649.
80. Nam, M.J. 3D magnetotelluric modeling including surface topography / M.J. Nam., H.J. Kim, Y. Song, T.J. Lee, J.-S. Son, J.H. Suh // Geophysical Prospecting. – 2007. – N 55. – P.277–287.
81. Nam, M.J. Three-dimensional topography corrections of magnetotelluric data / M.J. Nam., H.J. Kim, Y. Song, T.J. Lee, J.H. Suh // Geophys. J. Int. – 2008. – 174. – P.464–474.
82. Nam, M.J. Simulation of triaxial induction measurements in dipping, invaded, and anisotropic formations using a Fourier series expansion in a nonorthogonal system of coordinates and a self-adaptive hp finite-element method / M.J. Nam, D. Pardo, C. Torres-Verdn // GEOPHYSICS. – 2010. – VOL.75. – NO.3. – P.F83–F95.
83. Napier 3D inversion of time domain data with application to San Nicolas. / Napier, D.W. Oldenburg, E. Haber, R. Shekhtman // SEG Technical Program Expanded Abstracts. – 2006. – P.1303–1307.
84. Nedelec, J.C. A new family of mixed finite elements in / J.C. Nedelec // Numer. Math. – 1986. – №50. – P.57–81.
85. Nedelec, J.C. Mixed finite elements in 1980. – №35 – P.315–341.
86. Newman, G.A. Solution accelerators for large-scale three-dimensional electromagnetic inverse problems / G.A. Newman, P.T. Boggs // Inverse Problems. – 2004. – 20. – P.S151–S170.
87. Newman, G.A. New advances in three dimensional transient electromagnetic inversion / G.A. Newman, M. Commer. // Geophys. J. Int. – 2005. – 160. – P.5–32.
88. Oldenburg, D.W. Forward Modelling and Inversion of Multi-Source TEM Data.
/ D.W. Oldenburg, E. Haber, R. Shekhtman // SEG Las Vegas 2008 Annual Meeting. – P.559–563.
89. Oldenburg, D.W. Three dimensional inversion of miltisource time domain electromagnetic data / D.W. Oldenburg, E. Haber, R. Shekhtman // Geophysics. – 2013. – 78. – no.1. – P.E47–E57.
90. Oldenborger, G.A. Inversion of 3D time-domain EM data for high conductivity contrasts. / G.A. Oldenborger, D.W. Oldenburg // SEG Las Vegas 2008 Annual Meeting. – P.619–623.
91. Perugia, I. A mixed formulation for 3D magnetostatic problems: theoretical analysis and face-edge finite element approximation / I. Perugia // Numer. Math.
– 1999. – Vol.84. – P.305–326.
92. Raiche, A.P. Airborne EM Detection of Targets Beneath Complex Cover. / A.P. Raiche, D.W. Annetts, F. Sugeng // 64th Mtg. Eur. Assn. Geosci. Eng. – 2002. – P.D036.
93. Raiche, A.P. Transient electromagnetic field calculations for polygonal loops on layered earths. / A.P. Raiche // Geophysics. – 1987. – 52(6). – P.785.
94. Raiche, A. Documentation for Program LEROI [computer software], ver. 5.0.
Australia: Mathematical Geophysics Group, CRC AMET, Macquarie University.
Released for sponsors of AMIRA project P223C. / A. Raiche, F. Sugeng, Z. Xiong // 1997.
95. Raiche, A. Documentation for Program MARCO [computer software], ver. 2.3P.
Australia: Mathematical Geophysics Group, CRC AMET, Macquarie University.
Released for sponsors of AMIRA project P223C. / A. Raiche, F. Sugeng, Z. Xiong // 1998a.
96. Raiche, A. P223 software manual: Description and Use of P223C Software with P223D Updates - prepared for AMIRA project P223D & part 2 of P223C final report. / A. Raiche, F. Sugeng, Z. Xiong // 1998b.
97. Raiche, A. Accurate EM modelling for appropriate levels of geological and system complexity. / A. Raiche, F. Sugeng, Z. Xiong // 61st Mtg. Eur. Assn. Geosci.
Eng., Session: 2009. – 1999.
98. Ren, Z. High Order Differential Form-Based Elements for the for the Computation of Electromagnetic Field / Z. Ren, N. Ida // IEEE Transactions On Magnetics. – 2000. – VOL.36. – No.4. – P.1472–1478.
99. Ren, Z. 3D direct current resistivity modeling with unstructured mesh by adaptive finite-element method / Z. Ren, T. Jingtian // GEOPHYSICS. – 2010. – VOL.75. – NO.1. – P.H7–H17.
100. Rieben, R.N. A high order mixed vector finite element method for solving the time dependent Maxwell equations on unstructured grids / R.N. Rieben, G.H. Rodrigue, D.A. White.// Journal of Computational Physics. – 2005. – VOL.204. – P.490–519.
101. Rodrigue, G. A vector finite element time-domain method for solving Maxwell’s equations on unstructured hexahedral grids / G. Rodrigue, D. White // SIAM J. Sci. Comput. – 2001. – Vol.23. – №3. – P.683–706.
102. Rung-Arunwan, T. An efficient modified hierarchical domain decomposition for two-dimensional magnetotelluric forward modelling / T. Rung-Arunwan, W. Siripunvaraporn // Geophys. J. Int. – 2010. – 183. – P.634–644.
103. Sasaki, Y. 3D inversion of marine CSEM and MT data: An approach to shallow-water problem / Y. Sasaki // GEOPHYSICS. – JANUARY-FEBRUARY 2013. – VOL.78. – NO.1. – P.E59–E65.
104. Sasaki, Y. Full 3-D Inversion of Electromagnetic Data on PC / Y. Sasaki // J.
Appl. Geophys. – 2001. – 46. – P.45–54.
105. Sasaki, Y. Multidimensional inversion of loop-loop frequency-domain EM data for resistivity and magnetic susceptibility / Y. Sasaki, J.-H. Kim, S.-J. Cho // Geophysics. – 2010. – V.75. – №6. – P.F213–F223.
106. Schwarzbach, C. Three-dimensional adaptive higher order finite element simulation for geo-electromagnetics – a marine CSEM example conductivity structures / C. Schwarzbach, R.-U. Borner, K. Spitzer // Geophys. J. Int. – 2011. – 187. – P.63–74.
107. Singer, B.Sh. Electromagnetic integral equation approach based on contraction operator and solution optimization in Krylov subspace / B.Sh. Singer // Geophys.
J. Int. – 2008. – 75. – P.857–884.
108. Siripunvaraporn, W. Three-dimensional magnetotelluric inversion: Data-space method / W. Siripunvaraporn, G.D. Egbert, Y. Lenbury, M. Uyeshima // Physics of the Earth and Planetary Interiors. – 2005. – 150. – P.3–14.
109. Soininen, H. Modelling of EM Dipole-Dipole Drill-Hole Data with Loki Edge Finite-Element Program./ H. Soininen, F. Sugeng, A. Raiche // 64th Mtg. Eur.
Assn. Geosci. Eng. – 2002. – P.D002.
110. Tong, X. Three-dimensional forward modeling for magnetotelluric sounding by finite element method / X. Tong, J. Liu, W. Xie, L. Xu, R. Guo, Y. Cheng // J.
Cent. South Univ. Technol. – 2009. – NO.16. – P.136–142.
111. Um, E.S. 3D time-domain simulation of electromagnetic diffusion phenomena:
A finite-element electric-field approach. / E.S. Um., J.M. Harris, D.L. Alumbaugh // GEOPHYSICS. – 2010. – VOL.75. – NO.4. – P.F115–F126.
112. Varentsov, I.M. EMTESZ-Pomerania WG. Method of horizontal magnetovariational sounding: techniques and application in the EMTESZPomerania project. Protokoll uber das 21 Kolloquium “Elektromagnetische Tiefenforschung” / I.M. Varentsov, O. Ritter, H. Brasse // Dtsch. Geophys. Ges.
Potsdam. Germany. – 2005. – P.111–123.
113. Vendrell, E. An efficient compact finite-element modelling method for the practical 3D inversion of electromagnetic data from high contrast complex structures / E. Vendrell, F. Sugeng, A. Raiche, G. Wilson // IAGA WG 1, 2 on Electromagnetic Induction in Earth, Spain, September 2006. – P.17– 114. Webb, J.P. Edge elements and what they can do for you / J.P. Webb // IEEE Trans. Magn. – 1993. – Vol.29. – №2. – Р.1460–1465.
115. Weiss, C.J. Mapping thin resistors and hydrocarbons with marine EM methods, Part II — Modeling and analysis in 3D / C.J. Weiss, S. Constable // GEOPHYSICS. – 2006. – VOL.71. – NO.6. – P.G321–G332.
116. Wirianto, M. A feasibility study of land CSEM reservoir monitoring in a complex 3-D model / M. Wirianto, W.A. Mulder, E.C. Slob // Geophys. J. Int. – 2010.
– 181. – P.741–755.
117. Wu, J.-Y. The advantages of triangular and tetrahedral edge elements for electromagnetic modeling with the finite-element method / J.-Y. Wu, R. Lee // IEEE Trans. Antennas Propagat. – 1997. – Vol.45. – №9. – P.1431–1437.
118. Xiong, Z. A block iterative algorithm for 3-D electromagnetic modelling using integral equations with symetrized substructures. / Z. Xiong, A.C. Tripp // Geophysics. – 1995. – 60. – no.1. – P.291–295.
119. Xiong, Z. A high accuracy staggered grid Galerkin method for 3D electromagnetic modelling, in The 13th Workshop on Electromagnetic Induction in the Earth / Z. Xiong, A. Raiche, F. Sugeng // Onuma, Japan, July-12–18, 1996.
120. Xiong, Z. A study of high accuracy methods for full-domain 3D electromagnetic modelling, in The 14thWorkshop on Electromagnetic Induction in the Earth / Z. Xiong // Sinaia, Romania, Aug. 16–22, 1998.
121. Xiong, Z. 3-D electromagnetic modeling for near-surface targets using integral equations / Z. Xiong, A.C. Tripp // Geophysics. – 1997. – 62(4). – P.1097-1106.
122. Xiong, Z. Domain decomposition for 3D electromagnetic modeling. / Z. Xiong // Earth Planets Space. – 1999. – 51. – P.1013–1018.
123. Yioultsis, T.V. Vector finite element analysis of waveguide discontinuities involving anisotropic media / T.V. Yioultsis, T.D. Tsiukis // IEEE Trans. Magn. – 1995. – Vol.31. – №3. – P.1550–1553.
124. Yoshioka, K. Three-dimensional nonlinear regularized inversion of the induced polarization data based on the Cole-Cole model / K. Yoshioka, M.S. Zhdanov // Physics of the Earth and Planetary Interiors. – 2005. – 150. – P.29–43.
125. Zaslavsky, M. Finite-difference solution of the 3D electromagnetic problem using divergence-free preconditioners / M. Zaslavsky, S. Davydycheva, V. Druskin, A. Abubakar, T. Habashy, L. Knizhnerman // Proceedings of SEG Annual Meeting, New Orleans. – 2006. – P.775–778.
126. Zhdanov, M.S. Iterative electromagnetic migration for 3D inversion of marine controlled-source electromagnetic data / M.S. Zhdanov, M. Cuma, G.A. Wilson, E.P. Velikhov, N. Black, A.V. Gribenko // Geophysical Prospecting. – 2011. – 59. – P.1101–1113.
127. Zhdanov, M.S. Quasi-analitical approximations and series in electromagnetic modeling / M.S. Zhdanov, V.I. Dmitriev, S. Fang, G. Hursan // Geophysics. – 2000. – 65. – P.1746– 128. Zhdanov, M.S. 3-D quasi-linear electromsgnetic modeling and inversion / M.S. Zhdanov, S. Fang // Three Dimensional Electromsgnetics, Seg Mono-graph.
– Tulsa, OK, 1999 – P.233–255.
129. Zhdanov, M.S. Quasi-linear approximation in 3-D EM modeling / M.S. Zhdanov, S. Fang // Geophysics. – 1996a. – 61. – P.646–665.
130. Zhdanov, M.S. Integral equation method for 3D modeling of electromagnetic fields in complex structures with inhomogeneous background conductivity / M.S. Zhdanov, S.K. Lee, K. Yoshioka // GEOPHYSICS. – 2006. – VOL.71. – NO.6. – P.G333–G345.
«