«Метрическая теория совместных диофантовых приближений в полях действительных, комплексных и p-адических чисел ...»

Дальневосточное отделение Российской Академии Наук

Хабаровское отделение Федерального государственного

бюджетного учреждения наук

и Института прикладной

математики

На правах рукописи

Бударина Наталья Викторовна

Метрическая теория совместных диофантовых

приближений в полях действительных, комплексных и

p-адических чисел Специальность 01.01.06 – математическая логика, алгебра и теория чисел Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Научный консультант: профессор, доктор физ.-мат. наук Берник Василий Иванович Хабаровск -

СОДЕРЖАНИЕ

Перечень условных обозначений Введение 1 Теорема Хинчина в случае сходимости для совместных приближений 1.1 Основные результаты главы..................... 1.2 Вспомогательные леммы и результаты............... 1.3 Доказательство теоремы 1.1..................... 1.3.1 Случай n = 3......................... 1.3.2 Случай (0, 0, 0)-линейности................. 1.3.3 Случай (1, 1, 1)-линейности................. 1.3.4 Случай (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, 0, 1)-линейностей...... 1.3.5 Случай (1, 1, 0), (1, 0, 1) и (0, 1, 1)-линейностей...... 1.4 Доказательство гипотезы Берника-Клейнбока-Маргулиса в случае сходимости.......................... Случай I: |P (x)| < H(P )1/2................. 1.4. Случай II: H(P )1/2 |P (x)| < 5 (H(P ))......... 1.4. 2 Теорема Хинчина в случае расходимости для совместных приближений 2.1 Основные результаты главы..................... 2.2 Доказательство теоремы 2.1..................... 2.2.1 Получение эффективной оценки меры множества.... 2.2.2 Построение оптимальной регулярной системы...... Приближения точками регулярных систем в R C Qp 2.2.3 2.3 Доказательство гипотезы Берника-Клейнбока-Маргулиса в случае расходимости......................... 2.3.1 Построение множеств близких сопряженных алгебраических чисел......................... 2.3.2 Построение локально повсеместной системы....... 3 Диофантовы приближения с немонотонной функцией аппроксимации 3.1 Основные результаты главы..................... 3.2 Приближения для невырожденных кривых в R.......... 3.3 Приближения для нормальных по Малеру кривых в Zp..... 3.4 Приближения для полиномиальных кривых в C......... 3.5 Совместные приближения для полиномиальных кривых в R Qp1... Qpt1........................... 4 Метрическая теория совместных неоднородных приближений 4.1 Основные результаты главы..................... 4.2 Неоднородный аналог теоремы Хинчина в случае расходимости для совместных приближений.................... 4.2.1 Общие понятия и определения............... 4.2.2 Вспомогательные результаты в ультраметрическом пространстве........................... 4.2.3 Вспомогательные результаты в архимедовом пространстве.............................. 4.2.4 Доказательство вспомогательной теоремы 4.5....... 4.2.5 Доказательство теоремы 4.2................. 4.3 Неоднородные Диофантовы приближения целочисленными многочленами с немонотонной функцией аппроксимации.... 4.3.1 Случай малой производной и неоднородный принцип переноса............................. 4.3.2 Случай большой производной................ 5 Приложение 5.1 О числе многочленов с малыми дискриминантами в R Qp.. 5.1.1 Вспомогательные утверждения............... 5.1.2 Доказательство теоремы 5.1, используя теорему 5.2... 5.2 Расстояние между сопряженными алгебраическими числами в 5.3 Об условии, при котором ближайший корень многочлена к действительной точке является действительным числом....... 5.4 Регулярная система алгебраических чисел третьей степени в

ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

множество неотрицательных целых рациональных чисел An множество действительных алгебраических чисел степени n Pn множество ненулевых многочленов степени не больше n с целыми рациональными коэффициентами Pn множество ненулевых многочленов степени n с целыми Pn (Q) множество ненулевых многочленов степени не больше n с целыми рациональными коэффициентами высоты не больше Q [x] высота многочлена P R[x], численно равна максимуму H(P ) абсолютных величин коэффициентов многочлена P H() высота алгебраического числа, численно равна высоте минимального многочлена для (неприводимого над Q многочлена с целыми коэффициентами наименьшей высоты, deg степень алгебраического числа, численно равна степени X Y символ Виноградова, который означает, что существует постоянная C такая, что X CY (C может зависеть от некоторых параметров, но не от переменных X и Y ) B(x0, r) шар с центром в x0 радиуса r cB шар B(x0, cr), полученный из шара B = B(x0, r) растяжением/сжатием с коэффициентом c > µ1 (E) или |E| мера Лебега в R измеримого множества E R

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы.

В настоящей работе изучаются проблемы метрической теории диофантовых приближений, связанные с диофантовыми приближениями зависимых величин в различных метриках. В теории диофантовых приближений традиционно выделяют три подхода: глобальный, индивидуальный и метрический.

Глобальный подход связан с исследованием диофантовых свойств всех чисел или наборов чисел из конкретного класса, например, теорема Дирихле.

Индивидуальный подход подразумевает исследование диофантовых свойств конкретных чисел или наборов чисел, например, трансцендентность, и алгебраическая независимость и e. В метрической теории диофантовых приближений изучаются диофантовы свойства всех чисел или наборов чисел, за исключением множеств малой или нулевой меры Лебега (меры Хаара). Исключительные множества могут далее изучаться с помощью меры и размерности Хаусдорфа.

Теорема Хинчина. Метрическая теория диофантовых приближений началась с работ А.Я. Хинчина и Э. Бореля. В 1924 году А.Я. Хинчин [102] доказал классическую теорему о приближении действительных чисел рациональными числами. Далее µ1 (A) – мера Лебега измеримого множества A R, I R – некоторый интервал.

Теорема 0.1 (Хинчин). Пусть (x) : R+ R+ – функция такая, что q(q) монотонно убывает. Обозначим через L1 () множество таких x I, для которых неравенство имеет бесконечное число решений в числах (p, q) Z N. Тогда Теорема Хинчина показывает, что при любых L1 (1 ) и L1 (2 ) для имеют совершенно разные метрические характеристики (нулевую и полную меру на I).

Заметим, что доказательство теоремы Хинчина в случае сходимости значительно легче. Оно справедливо без дополнительного требования монотонности и было проведено ранее Э. Борелем [66] в общем случае, а для (q) = q в 1898 году им же. Теорема Хинчина была обобщена им самим [104] и Грошевым [29] на многомерный случай. В указанных работах все переменные входили в первой степени. Хотя такие задачи, как правило, проще, но до сих пор здесь остаются нерешенные задачи. Более подробно результаты метрической теории диофантовых приближений отражены в монографиях [97, 124].

Пусть – целочисленный многочлен с an = 0, степени deg P = n и высоты H = H(P ) = max0jn |aj |. Обозначим через Pn множество целочисленных многочленов степени не превосходящей n и через Pn – множество целочисленных многочленов степени n.

Отметим один, редко цитируемый результат Хинчина об усилении теоремы Минковского для кривой Веронезе Vn = (x, x2,..., xn ) [103]: при любом > и почти всех x R неравенство имеет бесконечное число решений в целочисленных многочленах P, deg P n, и высоты H. Этот результат сыграл определенную роль в становлении метрической теории линейных приближений, в первую очередь, в связи с решением проблемы Малера.

Проблема Малера. В 30-е годы 20 века К. Малером [112] и Ф. Коксмой [107] были предложены две близкие классификации действительных и комплексных чисел. Пусть x - вещественное или комплексное число. Малер построил классификацию чисел x, основанную на приближении нуля значениями многочленов в x. Определим где wn (x) - супремум множества действительных чисел w, для которых существует бесконечно много целочисленных многочленов P Pn, удовлетворяющих условию Если w(x) = и существует такой индекс = (x), что w (x) =, то пусть и будет наименьшим индексом, для которого это верно; в противном случае, полагаем (x) =. Малер ввел следующие классы чисел:

Алгебраические числа составляют класс Aчисел, все трансцендентные числа попадают в классы S, T, U чисел.

В основе классификаци Коксмы лежит приближение чисел x алгебраическими числами. Пусть где wn (x) - супремум множества действительных чисел w, для которых существует бесконечно много действительных алгебраических чисел степени не превосходящей n, удовлетворяющих условию Классы S, T, U из классификации трансцендентных чисел Малера совпадают с классами S, T, U из классификации трансцендентных чисел Коксма, что говорит о наличии связи между полиномиальной и алгебраической аппроксимациями. Однако эта связь неоднозначна: например, легко доказать (используя принцип Дирихле) существование многочлена P, принимающего малое значение |P (x)| в точке x, но трудно доказать существование точной алгебраической аппроксимации (см. гипотезу Вирзинга).

Гипотеза Вирзинга. Для каждого > 0 существует постоянная c(n, x, ) > 0, для которой существует бесконечно много алгебраических чисел степени n с условием Вирзинг [132] доказал разрешимость неравенства с показателем n/2 1.

В случае n = 2 гипотеза Вирзинга была доказана Давенпортом и Шмидтом [93] в 1967 г. Более поздние результаты относительно данной гипотезы можно найти в работе Берника и Тищенко [12], а также в книге Бюжо [86].

Важную роль для дальнейшего развития метрической теории диофантовых приближений сыграла гипотеза Малера о мере множества S-чисел.

Гипотеза Малера. Для любого > 0 неравенство имеет бесконечное число решений в многочленах P Z[x], deg P n, только на множестве нулевой меры.

Сам Малер доказал [111] более слабое утверждение: если в (0.1) показатель степени n заменить на 4n, то множество решений получившегося неравенства будет иметь нулевую меру. Доказательство Малера было основано на представлении результанта R(P, P ) неприводимого многочлена P и его производной в виде Поскольку P – неприводимый многочлен, то R(P, P ) = 0 и, значит, |R(P, P )| 1. В представлении (0.2) известны оценки степени и высоты целочисленных многочленов Q1 и Q2. Следовательно, P (x) и P (x) не могут быть одновременно слишком малыми. Согласно (0.1), значение |P (x)| мало, поэтому из (0.1) и (0.2) получаем оценку снизу для |P (x)|. Если 1 – ближайший к x корень многочлена P, то нетрудно получить оценки Осталось просуммировать вторую оценку по всем многочленам высоты H.

Затем новую полученную оценку просуммировать по всем H; получится сходящийся ряд. По лемме Бореля-Кантелли множество решений (0.1) имеет нулевую меру.

Оценка Малера неоднократно улучшалась. Вначале Коксма [107] показал, что supn1 wnn 3 для почти всех действительных чисел x, а заx) тем Левек [108] на основе леммы Н.И. Фельдмана [42] получил неравенство supn1 wnn 2 для почти всех чисел. Позднее Каш и Фолькман [99] получиx) ли wn (x) 2n 2 для почти всех действительных чисел x и n 2. Уточняя рассуждения Каша и Фолькмана, Шмидт [121] доказал wn (x) 2n 7/ для почти всех чисел x и n 3. Позднее Фолькман [129, 130] показал, что wn (x) 4n/3 для почти всех чисел x и n 2. В [34] Спринджук получил более сильный результат, чем Фолькман, wn (x) 5n/4 3/8 для 2 n и wn (x) 4n/3 1 для n 8.

Из первого неравенства (0.3) при |P (1 )| > c(n)H n+1 и |P (x)| < H w можно получить оценку |x 1 | < c(n)H w+n1. Если зафиксировать H, то количество многочленов с фиксированным H не превышает (2H +1)n. Потребуем сходимость ряда H H w+n1+n, что приводит к неравенству w > 2n.

Для дальнейшего улучшения результата Малера Б. Фолькман использовал оценку и получил сходимость при w > 4n/3. Если |P (1 )| c(n)H n/3, то можно показать, что таких многочленов немного, используя результант двух неприводимых многочленов P1 и P2, для каждого из которых выполняется неравенство, противоположное (0.4).

Равенство w1 (x) = 1 для почти всех действительных чисел следует из теоремы Хинчина. Равенство w2 (x) = 2 для почти всех чисел доказал Кубилюс [31], применяя метод тригонометрических сумм. Фолькман [131], опираясь на результаты Давенпорта [92] о бинарных кубических формах, получил равенство w3 (x) = 3 для почти всех чисел.

Теорема Спринджука. В 1964 году В.Г. Спринджук решил проблему Малера [36, 37, 38]. Изложим кратко суть его метода. Наряду с неравенством (0.1), он рассмотрел неравенство Интервал I1 (P ) = {x : |x 1 | < 2n1 |P (x)||P (1 )|1, |P (x)| < H n }, в котором содержатся все x с ближайшим корнем 1, находится внутри интервала I2 (P ) = {x : |x 1 | < 2n1 |P (x)||P (1 )|1, |P (x)| < H n+1 /2 }.

Неравенства (0.1) и (0.5) будем рассматривать для класса многочленов, у которых старший коэффициент фиксирован, а остальные aj, 0 j n 1, лежат в промежутке [H, H]. Если при этом интервалы I2 (P ) пересекаются незначительно и x [a, b], то P µ1 (I2 (P )) 2(b a). Поскольку Ряд, состоящий из правых частей неравенства (0.6), сходится, что завершает доказательство. Если мера пересечения интервалов I2 (P1 ) и I2 (P2 ), P1 = P2, больше половины длины I2 (P1 ), то на пересечении I2 (P1 ) и I2 (P2 ) для многочлена R(x) = P2 (x) P1 (x) верно неравенство |R(x)| < 2H n+1 /2, deg R n 1. Тем самым, проведен индуктивный переход к многочленам степени n 1. Для многочленов P, deg P 3, проблема Малера была уже решена.

Гипотеза Бейкера. Вскоре А. Бейкер [46] получил усиление теоремы Спринджука. Он доказал, что при монотонно убывающей функции 3 неравенство имеет для почти всех x конечное число решений, если ряд сходится. Бейкер также пользовался методом математической индукции, и поэтому при переходе в неравенстве (0.7) от многочленов степени k к многочленам степени k 1 происходила потеря на логарифмический множитель, который должен был обеспечить сходимость ряда. Это приводило к избыточности условия на сходимость. В этой же работе он высказал гипотезу, согласно которой множество решений неравенства остается нулевой меры Лебега при сходимости ряда (0.8). Различие между теоремой Бейкера и гипотезой Бейкера становится хорошо заметным, если взять функцию 3 (x) = x1 (log x), > 1. Тогда в теореме Бейкера правая часть в неравенстве (0.7) будет иметь вид H n logn H, а в гипотезе Бейкера H n log H.

Гипотеза Бейкера была решена в 1989 году В.И. Берником [11]. Им была предложена новая классификация многочленов в зависимости от взаимного расположения корней многочленов. При условии H v < |P (x)| H, 1/2 < v < 1, в классе целочисленных многочленов степени n и высоты H фиксировались все коэффициенты, кроме коэффициента a0. На интервале длины c(n)|P (1 )|1 при c(n) < c1 многочлены P, удовлетворяющие неравенству (0.9), принимают значения |P (x)| < 1/2, и поэтому интервалы длины c1 |P (1 )|1, построенные для различных многочленов P1 и P2, не пересекаются. Это позволяет точно просуммировать меры множества решений (0.9) и получить сходящийся ряд. Применение леммы Бореля-Кантелли завершает доказательство. Если |P (x)| H v1, v1 v, то можно применить неравенство 3 (H) < c2 H 1 и рассматривать систему неравенств В дальнейшем важно как мера тех x, для которых выполняется система неравенств (0.10), зависит от изменения правой части в первом неравенстве (0.10). Если эта зависимость линейная, то правую часть в (0.10) увеличиваем и оснанавливаемся при наступлении нелинейности. При этом незначительно увеличивается и правая часть во втором неравенстве (0.10). В [11] Берником доказано, что для неприводимых многочленов P1 и P2 при наступлении нелинейности получившаяся система неравенств невозможна. Отсюда можно посчитать число интервалов и затем умножить это число на оценку меры множества решений (0.9) для фиксированного многочлена P. Вновь получим сходящийся ряд и лемма Бореля-Кантелли завершает доказательство.

В гипотезе Бейкера, как и в теореме Хинчина, подразумевалось, что при расходимости ряда (0.8) множество x, для которых неравенство (0.9) имеет бесконечное множество решений, будет иметь полную меру. Это действительно так, что доказал В.В. Бересневич [49].

Регулярные системы и гипотеза Спринджука. Бейкером и Шмидтом [47] было введено понятие регулярной системы.

Определение 0.1. Счетное множество действительных чисел вместе с нормировочной функцией N : R+ называется регулярной системой точек на интервале J0, если существует постоянная C1 = C1 (, N ) такая, что для любого конечного интервала J J0 существует положительное число T0 = T0 (, N, J) такое, что для любого T T0 найдутся числа Затем они доказали, что множество действительных алгебраических чисел степени n и высоты H = H() вместе с функцией N () = H n+1 () log H() образует регулярную систему при = 3n(n + 1). Берник [11] доказал, что можно взять = n + 1, а Бересневич доказал регулярность при = 0. Результата Бейкера и Шмидта оказалось достаточно, чтобы получить точную оценку снизу для размерности Хаусдорфа множества действительных чисел x, для которых при w > n неравенство |P (x)| < H w имеет бесконечное число решений. Для получения аналога теоремы Хинчина в случае расходимости в задаче (0.9) необходимо иметь = 0 или, другими словами, оптимальную регулярную систему [49].

В монографии [40] Спринджук поставил проблему об обобщении проблемы Малера с многочленов на более общие функции: (n + 1)-раз непрерывно дифференцируемые и для которых вронскиан для производных почти везде отличен от нуля. Еще ранее в работе [122] В. Шмидт рассмотрел случай n = 2. Шмидт параметризовал кривую F = (f1 (x), f2 (x)), заменив x на аргумент, связанный с длиной кривой, а затем с помощью методов геометрии чисел он оценил количество целых коэффициентов (a0, a1, a2 ) функции F (x) = a2 f2 (x) + a1 f1 (x) + a0 при условии max0in |ai | Q и одновременной малости |F (x)| и |F (x)|. Гипотеза Спринджука для n = 3 была решена Берником и Бересневичем [48]. Вскоре Д. Клейнбок и Г. Маргулис [106] получили полное решение проблемы Спринджука и обобщили свой результат на гиперболические приближения, в которых правая часть в неравенствах выражается не через максимум модулей коэффициентов, а через произведение модулей ненулевых коэффициентов. К решению задач метрической теории диофантовых приближений Д. Клейнбок и Г. Маргулис применили методы теории динамических систем. Их основной результат состоял в том, что аппроксимация нуля функцией F (x) = an fn (x) + an1 fn1 (x) +... + a1 f1 (x) + a0 в любой действительной точке x с помощью принципа Дирихле является наилучшей.

Если в показателе степени правой части вычтем любое > 0, то новая, уже более сильная аппроксимация, возможна бесконечно часто только на множестве нулевой меры. Приведем формулировку результата Д. Клейнбока и Г.

Маргулиса для кривых, удовлетворяющих условиям в гипотезе Спринджука (отметим, что они исследовали многообразия из более широкого класса).

Теорема 0.2. При любом имеет лишь конечное число решений в a = (a0, a1, a2,..., an ) Zn+1.

Далее возникла ситуация аналогичная проблеме Малера. Можно ли функцию H n в правой части неравенства несколько увеличить и довести ее до правой части в неравенстве (0.9)? Какой результат можно ожидать в случае расходимости ряда? Эти обе задачи были решены. В случае сходимости ряда было получено два полных, абсолютно одинаковых, результата, но совершенно разными методами в [50] и [62]. Затем объединившись авторы доказали и случай расходимости [51]. Вскоре был решен комплексный аналог [105] гипотезы Спринджука и p-адический [117].

Выше кратко описаны результаты и методы метрической теории диофантовых приближений на многообразиях. В каждой из последующих глав остановимся на результатах и методах более специальных исследований.

Цель работы.

Обобщить метрическую теорему Хинчина о приближении действительных чисел рациональными на приближения алгебраическими числами в пространстве действительных, комплексных и p-адических чисел. Доказать метрические теоремы с условием сходимости рядов из значений немонотонных функций. Рассмотреть неоднородные приближения в = R C Qp. Построить регулярные и повсеместные системы из точек с алгебраическими координатами, в том числе и в коротких интервалах.

Научная новизна.

В диссертации созданы новые методы, позволяющие исследовать совместные диофантовы приближения в полях действительных, комплексных и pадических чисел. Для доказательства теорем типа Хинчина-Грошева в случае сходимости применяется новая модификация метода существенных и несущественных областей. Решенные в диссертации задачи возникают в теории вероятностей, теории дифференциальных уравнений, в задачах математической физики. Перечислим основные результаты.

1. Получен полный аналог теоремы Хинчина в случае сходимости для многочленов произвольной степени при совместных приближениях в полях действительных, комплексных и p-адических чисел.

2. Построена оптимальная регулярная система из точек с алгебраическими координатами, на основе которой доказан аналог теоремы Хинчина в случае расходимости для совместных приближений в R C Qp. Доказана регулярность алгебраических чисел в коротких интервалах.

3. В пространствах R, C, Zp, R t1 Qpi решены метрические задачи с немонотонной функцией аппроксимации, что является усилением теорем типа Хинчина.

4. Доказан аналог теоремы Хинчина в случае расходимости для неоднородных совместных приближений в R C Qp. Для действительного случая при сходимости ряда решен аналог теоремы Хинчина для неоднородных приближений и немонотонной функции аппроксимации.

5. Доказано существование целочисленных многочленов с близкими сопряженными корнями и найдена оценка снизу для числа многочленов, у которых модули дискриминантов не превосходят заданной величины и делятся на большую степень простого числа.

Теоретическая и практическая ценность.

Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в спецкурсах на математических факультетах университетов.

Разработанные в диссертации методы могут быть использованы при дальнейшем развитии метрической теории диофантовых приближений, а также при нахождении распределения алгебраических чисел, их дискриминантов и результантов. Они имеют отношение к метрическим аспектам, возникающим в задачах с резонансными явлениями. Вопрос о разрешимости граничных задач для дифференциальных уравнений с частными производными связан с так называемой проблемой малых знаменателей [1, 32]. Впервые она возникла в небесной механике в XVIII веке при исследовании дифференциальных уравнений, описывающих движения планетных систем в ньютоновских гравитационных полях [28]. Влияние малых знаменателей состоит в том, что в решениях дифференциальных уравнений, представленных рядами Фурье, имеется бесконечно много членов с коэффициентами, знаменатели которых сколь угодно близки к нулю, что может привести к расходимости данных рядов; с динамической точки зрения в движениях планет появляются эффекты, называемые в физике резонансными. В задачах такого типа малые знаменатели имеют вид линейной формы l(a, x) = a1 x1 +a2 x2 +· · ·+an xn, где a Zn, x Rn ; при этом точка x = (x1, x2,..., xn ) лежит на некотором подмногообразии M Rn. Метрический подход к проблеме малых знаменателей состоит в том, что анализ сходимости рядов в решениях дифференциальных уравнений проводится только для множества точек x, удовлетворяющих некоторым оценкам снизу (где – некоторая функция от коэффициентов ai линейной формы l(a, x)) которые выполняются для всех x M, за исключением некоторого множества нулевой меры.

Результат Гурвица, теоремы типа Хинчина и Грошева для случая сходимости [50, 62] нашли применение в разработке новых способов передачи данных на передающей стороне и выравнивании интерференции на приемной стороне системы связи [118].

Апробация работы.

Результаты, полученные в диссертации, докладывались на российских и международных конференциях: V Международная конференция “Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения” (Тула, 19–24 мая 2003), Международная конференция “Diophantine analysis, uniform distributions and applications” (Минск, Беларусь, 25–30 августа 2003), VI Международная конференция, посвященная 100-летию Н.Г. Чудакова (Саратов, 13–17 сентября 2004), IX Белорусская математическая конференция (Гродно, Беларуссия, 3–6 ноября 2004), Международная конференция “Аналитические методы в теории чисел, теории вероятностей и математической статистике” (Санкт-Петербург, 25–29 апреля 2005), 5th International Algebraic Conference in Ukraine (Одесса, Украина, 20–27 июля 2005), Международная конференция “Аналитические и вероятностные методы в теории чисел” (Паланга, Литва, 25–29 сентября 2006), Международная конференция “Диофантовы и аналитические проблемы теории чисел” (Москва, 29 января – 2 февраля 2007), 59th British Mathematical Colloquium (Суонси, Великобритания, 16–19 апреля 2007), XXXII Дальневосточная математическая школа-семинара имени акад. Е.В. Золотова (Владивосток, 29 августа – 4 сентября 2007), 60th British Mathematical Colloquium (Йорк, Великобритания, 25–28 марта 2008), “International Conference on Number Theory” (Шяуляй, Литва, 11–15 августа 2008), XXXIV Дальневосточная математическая школа-семинара имени акад.

Е.В. Золотова “Фундаментальные проблемы математики и информационных наук”(Хабаровск, 25–30 июня 2009), VII Международная конференция “Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения” (Тула, 11–16 мая 2010), Международная конференция “27th Journees Arithmetiques” (Вильнюс, Литва, 27 июня – 1 июля 2011), Международная конференция “Диофантовы приближения. Современное состояние и приложения” (Минск, Беларусь, 3–8 июля 2011), IX Международная конференция “Алгебра и теория чисел:

современные проблемы и приложения” (Тула, 24–26 апреля 2012), Международная конференция “Диофантов анализ” (Астрахань, 30 июля – 3 августа 2012), Международная конференция “Torus Actions: Topology, Geometry and Number Theory”(Хабаровск, 2–7 сентября 2013).

Результаты обсуждались на специализированных семинарах: под руководством чл.- корр. РАН Ю.В. Нестеренко и д.ф.-м.н. Н.Г. Мощевитина в МГУ (2003 – 2013), под руководством чл.- корр. РАН В.А. Быковского в ХО ИПМ ДВО РАН (2007–2013), под руководством д.ф.-м.н. В.И. Берника в Национальной Академии Наук Беларуси (2003 – 2012), под руководством д.ф.-м.н.

В.Г. Журавлева в ВГУ (2000 – 2013), под руководством д.ф.-м.н. Л.А. Шеметкова в Гомельском государственном университете имени Франциска Скорины (2011), в университете Мейнута (Ирландия, 2005 – 2013), университете Ливерпуля (Великобритания, 2007), университете Корка (Ирландия, 2013), университете Билефельда (Германия, 2013) и университете Йорка (Великобритания, 2006 – 2013).

1 Теорема Хинчина в случае сходимости для совместных приближений 1.1 Основные результаты главы Метрические задачи в поле комплексных чисел начали рассматриваться практически одновременно с задачами в поле действительных чисел. Уже упомянутая проблема Малера доказывалась параллельно для действительных и комплексных чисел. В комплексном случае Малер [111] показал, что supn1 wnn 7/2 для почти всех комплексных чисел. В дальнейшем Коксма [107] получил supn1 wnn 5/2, а Левек [108] улучшил до supn1 wnn 3/2.

Позднее Каш и Фолькман [99] получили wn (x) n 1 для n 2, а затем Фолькман [130] получил более точное неравенство wn (x) 2n/3 1/2 для n 2. Спринджук [34] получил wn (x) 5n/8 11/16 для 2 n 7 и wn (x) 2n/3 1 для n 8. Каш [98] доказал, что w2 (x) = 1/2, а Фолькман [128], что w3 (x) = 1 для почти всех комплексных чисел.

Попытка доказать аналог проблемы Малера в поле p-адических чисел для многочленов третьей степени была предпринята в [101], но в доказательстве оказался существенный пробел. Частичные результаты относительно pадического аналога гипотезы Малера были получены Туркстром [125], Локом [109], Кашем и Фолькманом [100], и Спринджуком [35]. В.Г. Спринджук решил проблему Малера, а также ее аналог в C и Qp [39, 40].

В [39] он поставил задачу об обобщении проблемы Малера на совместные приближения в евклидовом пространстве Rk, 2 k < n, которая была решена в [8]. В [41] Спринджук сформулировал гипотезу о справедливости гипотезы Малера в пространстве R C Qp. Гипотеза была доказана Ф. Желудевичем [133]. Однако методы работ [8, 133] принципиально не позволяли доказать аналог теоремы Хинчина для полиномиальных кривых, поскольку существенно опирались на специальный степенной вид правых частей неравенств.

В первой главе диссертации решаются две задачи, обобщающие теорему Хинчина в случае сходимости.

Введем некоторые обозначения. Пусть µ2 (A2 ) – мера Лебега измеримого множества A2 C; µ3 (A3 ) обозначает меру Хаара измеримого множества A3 Qp (конструкция и свойства меры Хаара описаны в [40]). Будем рассматривать нормированную меру Хаара µ3 в Qp так, что µ3 (Zp ) = 1 (поэтому Zp можно рассматривать как аналог отрезка [0, 1] в R). Используя эти определения, определим произведение мер µ на R C Qp, полагая µ(A) = µ1 (A1 )µ2 (A2 )µ3 (A3 ) для множества A = A1 A2 A3, где A1 R, A2 C и A3 Qp. Зафиксируем параллелепипед T0 = I KD RCQp, где I – интервал в R, K – круг в C и D – цилиндр в Qp. Пусть v = (v1, v2, v3 ) и = (1, 2, 3 ) – векторы с действительными координатами, где i > 0 и vi 0, такие что v1 + 2v2 + v3 = n 3 и 1 + 22 + 3 = 1. Далее, пусть Ln (v,, ) обозначает множество точек (x, z, w) T0, для которых система неравенств выполняется для бесконечно числа многочленов P Pn.

Теорема 1.1. Пусть n 3. Если – положительная монотонно убывающая функция вещественного переменного, такая, что (H) <, тогда Рассмотренная в данной главе задача принципиально отличается от предшествующих метрических задач, решенных Спринджуком, Берником, Бересневичем, Маргулисом, Клейнбоком и Ковалевской. В задачах, ими решенных, показатели степени в аппроксимации были близки к степени рассматриваемых многочленов. Это приводило к тому, что даже в несколько расширенных интервалах(кругах, цилиндрах) могли оказаться один или два корня, поэтому оценку мер достаточно было проводить по первой и второй производной.

В данной задаче из-за произвольности правых частей неравенств происходит разделение показателей аппроксимации на малые значения, и тогда в расширенных областях может оказаться много корней. В таком случае для оценки мер надо привлекать производные высоких порядков, поскольку оценки по первой и второй производной могут оказаться хуже тривиальных. В главе вводится новое понятие линейных и нелинейных систем диофантовых неравенств по типу аппроксимации нуля значениями производных в окрестности корней многочленов. Благодаря этому, появилась возможность создать метрическую теорию диофантовых совместных приближений в различных метриках. В главе предложена модификация метода существенных и несущественных областей, основанная на обобщении метода работы [11] и леммы Гельфонда [27] из теории трансцендентных чисел.

Изучение поведения производных многочленов (и вообще, линейных форм гладких функций) было крайне важно при доказательстве теорем типа Хинчина. Исследуем метрические свойства множества Опираясь на результаты Клейнбока и Маргулиса [106], в 2001 Берник, Клейнбок и Маргулис [62] получили обобщение теоремы Спринджука (гипотезы Малера), включающее условие на производные. Этот результат доказан для линейных форм невырожденных семейств функций и в случае многочленов сводится к следующему утверждению.

Теорема 1.2. Для любого n N где 4 (h) = hw и 5 (h) = h1 для некоторого 0 и w > n 2.

В той же работе Берник, Клейнбок и Маргулис поставили гипотезу о нахождении оптимальных условий для функций 4 и 5, опеспечивающих справедливость (1.3). Другими словами, они поставили проблему о доказательстве теоремы типа Хинчина для An (4, 5 ). В следующей теореме получено решение этой проблемы в случае сходимости для функций 4 и 5 специального вида.

Теорема 1.3. Пусть функции 4, 5 : R+ R+ такие, что 4 5 – монотонно убывающая функция. Пусть n 2 – целое число. Предположим, что 5 (h) h1/2+, > 0, тогда Наибольшая трудность при доказательстве гипотезы возникала при значениях правой части неравенства для производной вблизи ее верхней границы.

Введение новой классификации целочисленных векторов позволило уменьшить величину модуля производной. Далее стало возможным применение леммы Клейнбока-Маргулиса [106].

Отметим, что в случае, когда мера множеств равна нулю, естественно возникает вопрос о размерности Хаусдорфа таких множеств. В работах автора [67, 74, 80] получены оценки для размерности Хаусдорфа множеств точек полиномиальных кривых и поверхностей.

Настоящая глава основана на работах [17, 23, 68, 69, 77, 78].

1.2 Вспомогательные леммы и результаты В силу того, что функция монотонна и ряд (H) сходится, нетрудно показать, что (H) < cH, где константа c не зависит от H. Следовательно, в некоторых случаях для простоты вычислений вместо системы (1.1) будет рассмотрена более слабая система Здесь и далее A B означает, что существует константа C > 0 такая, что A CB; выражение A B эквивалентно A B A.

В общем случае, положительные константы, зависящие только от n, будем обозначать через c(n); обычные формальные правила применимы к константам так, что c(n) + c(n) = c(n) и c(n)c(n) = c(n). Если необходимо, то константы будем нумеровать cj (n), j = 1, 2,....

В этом подразделе сначала будет показано, что достаточно рассмотреть лишь неприводимые многочлены P Z[x]. Это следует непосредственно из нижеприведенной леммы, доказанной в [133].

Лемма 1.1. Пусть G(v) – множество точек (x, z, w), для которых неравенство имеет бесконечно много решений в многочленах P Z[x]. Тогда для v > n Пусть P = P1 P2 – приводимый многочлен, удовлетворяющий (1.1). Пусть deg P1 = d n 1. Тогда, без ограничения общности, можем считать, что |P1 (x)||P1 (z)|2 |P1 (w)|p В силу леммы 1.1, мера множества (x, z, w), для которых неравенство (1.1) имеет бесконечное число решений в приводимых многочленах P, равна нулю.

Далее будем полагать, что P – неприводимый примитивный многочлен, поскольку при переходе от непримитивного к примитивному многочлену получим более сильное в совокупности условие.

Многочлен P называется ведущим, если он удовлетворяет условиям В следующей лемме будет показано, что используя сдвиги и находя обратные величины (если необходимо), каждый многочлен P может быть преобразован в многочлен T, удовлетворяющий (1.5). Поскольку существует конечное число возможных сдвигов, то каждая точка x, удовлетворяющая условию (1.1) бесконечно часто, также удовлетворяет этому условию для бесконечного числа ведущих многочленов для каждого сдвига. Подобное сведение к специального вида многочленам было сделано в [40] отдельно в каждой из рассматриваемых метрик. Поскольку такое сведение одновременно в нескольких метриках немного сложнее, то приведем его ниже.

Лемма 1.2. Пусть p1, p2,..., pk – множество различных простых чисел и P Z[x] – примитивный неприводимый многочлен. Пусть Q(x) = P (x+m) и T (x) = xn Q( x ). Тогда существует натуральное число m C(n, p1,..., pk ) такое, что многочлен T (x) = bn xn +... + b1 x + b0 Z[x] удовлетворяет следующим условиям Доказательство. Предположим, что для некоторого d выполняется система неравенств Следовательно, для каждого i = 1,..., n + где i = pdi i, di 1, i N и (p1, i ) = 1. Поскольку P – примитивный многочлен, то существует j0, 0 j0 n, такое, что |aj0 |p1 = 1. Решим систему (1.7) относительно aj0, и найдем где – определитель матрицы (bij ) размера (n + 1) (n + 1) и bij = ij1, 1 i, j n + 1. Нетрудно проверить, что = n1 (n k)!.

Если pr делит k!, то Следовательно, содержит степень p1 не большую, чем nn. Нетрудно покаn зать, что pd делит j0, и, следовательно, pdn делит aj0. Если d > nn, то получаем противоречие с фактом, что |aj0 |p1 = 1, и, следовательно, равенство (1.6) противоречиво. Поэтому, существует m0 {1,..., n + 1} такое, что |P (m0 )|p1 1.

Определим целое число l1 так, что |P (m0 )|p1 = pl1 и выберем l1 > l1. Даl лее рассмотрим числа вида r1 (m1 ) = m1 p1 + m0, 1 m1 n + 1. Ясно, что |P (r1 (m1 ))|p1 = |P (m0 )|p1 1. Приведенный выше алгоритм для неравенства (1.6), применим к числам r1 (m1 ), 1 m1 n + 1. Предположим, что существует такое число d, что |P (r1 (m1 ))|p2 < pd. Пусть – определитель матрицы (bij ), где bij = (ip11 + m0 )j1, 1 i, j n + 1, тогда Следовательно, получаем существование такого числа m1 {1,..., n + 1}, что |P (r1 (m1 ))|p2 1; т.е. существует l2, удовлетворяющее равенству |P (r1 (m1 ))|p2 = p2.

Опять воспользуемся вышеприведенным алгоритмом; для l2 > l2 рассмотll l рим числа r2 (m2 ) = m2 p11 p22 + m1 p11 + m0, 1 m2 n + 1. По построению получаем, что |P (r2 (m2 ))|p1 1 и |P (r2 (m2 ))|p2 1. Следуя алгоритму также получаем, что |P (r2 (m2 )|p3 1. Продолжим применять этот алгоритм, и в итоге получим существование такого числа mk1, 1 mk1 n + 1, что |P (rk1 (mk1 ))|pi 1 для i = 1,..., k.

Аналогично для архимедовой метрики рассмотрим числа для mk = 1,..., n + 1. Покажем, что среди n + 1 чисел найдется число mk такое, что |P (rk (mk ))| H. Предположим, что система неравенств выполняется для некоторой константы c0 > 0 (будет выбрана позднее). Поскольку P Pn (H), то существует i0, 0 i0 n, такое, что |ai0 | = H.

Решим систему (1.7) относительно ai0, и получим, что P (rk (mk )) = j c1 H, Здесь – определитель матрицы (bij ), где таким образом, Справедливо равенство i0 = c0 c0 H для некоторой константы c0 > 0. Выберем c0 так, что c0 c0 < 1. Так как |ai0 | = H, то неравенство (1.8) противоречиво. Следовательно, существует mk такое, что |P (rk (mk ))| H.

Определим многочлены Q(x) = P (x + rk (mk )) = bn xn + bn1 xn1 +... + b1 x+b0, где b0 = P (rk (mk )), и T (x) = xn Q( x ) = gn xn +gn1 xn1 +...+g1 x+g0, где gn = P (rk (mk )). Тогда для высот многочленов справедлива следующая оценка H(T ) H(Q) H(P ), и многочлен T удовлетворяет всем условиям леммы.

Приведем некоторые понятия из p-адического анализа. Зафиксируем простое число p 2; |w|p – p-адическая норма w Qp. Известны следующие свойства p-адической нормы:

(1)|w|p 0 и |w|p = 0 тогда и только тогда, когда w = 0;

(3)|w1 + w2 |p max{|w1 |p, |w2 |p }, причем, если |w1 |p = |w2 |p, то |w1 + w2 |p = max{|w1 |p, |w2 |p }.

Множество K(, r) = {w Qp : |w |p r} называют кругом (диском или цилиндром) в Qp радиуса r > 0 с центром в точке Qp. Мера Хаара круга K(, pk ) равна pk. Для произвольного r > 0, очевидно, найдется целое число k такое, что pk r < pk+1. Тогда K(, r) = K(, pk ) и, следовательно, µ3 (K(, r)) = pk = p[logp r] r.

Обозначим через Pn (H) множество ведущих неприводимых примитивных многочленов P Pn, для которых H(P ) = H. Пусть Pn = Pn (H) и Ln (v,, ) – множество точек (x, z, w), для которых система неравенств (1.1) выполняется для бесконечного числа многочленов P Pn. Используя лемму 10 [40, стр. 93] и ее аналог в R и C получаем, что если µ(Ln (v,, )) > 0, то множество Ln (v,, ) также имеет положительную меру. Следовательно, для доказательства того, что µ(Ln (v,, )) = 0 достаточно доказать, что µ(Ln (v,, )) = 0.

корни в Q, где Q – наименьшее поле, содержащее Qp и все алгебраические числа. Поскольку множество алгебраических чисел счетно, то в поле Q мож- p но определить нормирование, продолжающее нормирование в Qp. Используя неравенства (1.5), нетрудно показать, что т.е. корни ограничены. Определим множества для корней многочлена P Pn Рассмотрим множества S1 (j ), S2 (s ), S3 (k ) для фиксированного набора j, s, k, и для упрощения обозначений будем полагать, что j = 1, s = 1 и k = 1, где множество корней 1, 2,..., n является перестановкой множества корней 1, 2,..., n.

Упорядочим остальные корни P так, что Для многочлена P Pn (H) определим действительные числа ij, i = 1, 2, 3, из соотношений Для заданного достаточно малого числа 1 > 0 определим a = [1 ]. В силу того, что корни |j |, |s |, |k |p ограничены, получаем, что ij 21 ( i 3, 2 j n) для достаточно большого H. Определим целые числа kj = [a1j ] + 1, lj = [a2j ] + 1 и mj = [a3j ] + 1, 2 j n, из неравенств Далее определим числа qi, ri и si Положим qn = rn = sn = 0. С каждым многочленом P Pn (H) будем связывать три целочисленных вектора q = (k2,..., kn ), r = (l2,..., ln ) и s = (m2,..., mn ). Число таких векторов конечно (и зависит только от n, p и a), см. [40, лемма 24, стр. 46 и лемма 12, стр. 99]. Многочлены P Pn (H) с одним и тем же набором векторов (q, r, s) объединим в подмножество Pn (H, q, r, s) и образуем множество Pn (q, r, s) = Pn (H, q, r, s).

Без ограничения общности, будем считать, что x S1 (1 ), z S2 (1 ) и w S3 (1 ). В ходе доказательства теоремы будем оценивать значения многочленов, часто используя разложение в ряд Тейлора. Для получения оценок сверху для членов разложения в ряд Тейлора (и для других целей) будем использовать следующие две леммы (доказанные в [8] и [30]).

Лемма 1.3. Пусть P Pn. Тогда где u = x или u = z и = 1 или = 1 соответственно.

Лемма 1.4. Пусть P Pn (H, q, r, s). Тогда Следующие две леммы будут использоваться на протяжении всей работы.

Лемма 1.5. Пусть P Pn и z S2 (1 ). Тогда Доказательство. Используя представление P (z) = an (z 1 )... (z n ) и откуда следует (1.12).

Аналогично, в действительном и p-адическом случаях справедливы неравенства:

Лемма 1.6. Если корни i, i = 1,..., n, многочлена P Pn удовлетворяют условию |i | < c, c > 0, то |an | H(P ).

Доказательство. Во-первых, покажем, что существует множество корней неравенству Пусть H(P ) = aj для некоторого 0 j n. Из равенства выразим коэффициент aj и получим Число слагаемых в (1.15) равно Cn. Если абсолютное значение каждой из сумм меньше чем (Cn )1 |an |1 H(P ), то получаем противоречие.

Во-вторых, поскольку корни многочлена P ограничены сверху, то в силу (1.14) и условия |i | < c имеем Следовательно, |an | H(P ).

В следующей лемме, обобщающей результат Гельфонда [27], доказано, что два многочлена без общих корней не могут быть малы во всех метриках на параллелепипедах в R C Qp.

Лемма 1.7 ([15]). Пусть P1 и P2 – два целочисленных многочлена степени не выше n без общих корней и max(H(P1 ), H(P2 )) H. Пусть > 0 и i > 0, i = 1, 2, 3. Пусть I R – интервал, K C – круг и D Qp – цилиндр, где µ1 (I) = H 1, diamK = H 2 и µ3 (D) = H 3. Если существуют такие 1 > 1, 2 > 1 и 3 > 0, что для всех (x, z, w) I K D выполняются неравенства для j = 1, 2, то 1 +22 +3 +3+2 max(1 +11, 0)+4 max(2 +12, 0)+2 max(3 3, 0) < 2n+.

Далее сформулируем два классических результата. Первый из них является модификацией признака Коши, второй – лемма Бореля–Кантелли.

Лемма 1.8. Пусть : R+ R+ – монотонно убывающая функция. Тогда ряды сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. Используя условие, что – монотонно убывающая функция, получим следующее двойное неравенство Удалим из параллелепипеда T множество малой меры так, чтобы в оставшейся части выполнялось неравенство |Im z| 1. Используя лемму 1.3 при j = n, получаем, что |z | < H(P ), где > 0; поскольку правая часть неравенства стремится к нулю при H(P ), то существует корень такой, что |Im | > 2 1. В данном случае, существует также сопряженный корень многочлена P такой, что | | > 1, и для каждого действительного корня многочлена P справедливы оценки | | = | | > 1 1. Объединяя вышесказанное, получаем 1.3.1 Случай n = Сначала докажем, что теорема справедлива при n = 3.

Доказательство. Система (1.1) при n = 3 примет вид В правых частях неравенств стоят величины, стремящиеся к нулю при H. Поэтому, используя лемму 1.3, нетрудно показать, что при H > H0 существуют действительный корень многочлена P, комплексный корень и его сопряженный корень, близкие к x, z и z соответственно. В силу неравенств (1.5) и (1.16), модули разностей | | = | | и | | ограничены снизу величиной c(1 ). Поэтому При |P ()|p < c(n, 1 ) возникшая ситуация полностью аналогична задаче о неравенстве |P (w)|p < H 3 (H), которая рассмотрена в [30, 54]. Поэтому далее считаем, что Зафиксируем H. Для многочлена P P3 (H) обозначим через (P ) множество точек (x, z, w) TS1 ()S2 ()S3 (), удовлетворяющих (1.17). Пусть AH = P P3 (H) (P ). Тогда, L3 (v,, ) – множество точек, принадлежащих бесконечному числу множеств AH. Используя лемму 1.3 и два вышеприведенных неравенства, получаем, что мера множества (P ) удовлетворяет условию Суммируя последнюю оценку по трем оставшимся коэффициентам многочленов P, получаем µ(AH ) P P3 (H) µ((P )) < c(n)(H). Таким образом, в силу условия H=1 (H) < имеем применение леммы Бореля-Кантелли дает требуемый результат, т.е.

µ(L3 (v,, )) = 0.

1.3.2 Случай (0, 0, 0)-линейности Напомним, что далее рассматриваем неприводимые примитивные многочлены P Pn (H), удовлетворяющие (1.5), и n 4. Многочлен P Pn (H, q, r, s) будем называть (i1, i2, i3 )–линейным и ij = 0, j = 1, 2, 3, если выполняется система неравенств и ij = 1, j = 1, 2, 3, если все знаки неравенств в (1.18) заменяются на.

Например, (0, 1, 1)–линейность означает, что в системе неравенств (1.18) в первом неравенстве знак сохраняется, а во втором и третьем – заменяется на. В теореме, в зависимости от соотношений между порядком аппроксимации по каждой переменной и величиной производной в ближайшем корне, возникает 23 типов линейности. Наиболее принципиальными из них являются два случая: (0, 0, 0)-линейность и (1, 1, 1)-линейность. Пусть Pn 1 2 3, ij = 0, 1, j = 1, 2, 3, обозначает класс (i1, i2, i3 )–линейных многочленов P Pn. Если (x, z, w) Ln (v,, ), то существует бесконечно много многочленов для по крайне мере одного из восьми типа линейности. Пусть Ln 1 2 3 (v,, ) обозначает множество точек (x, z, w) T, для которых система неравенств (1.1) выполняется для бесконечного числа многочленов P Pn 1 2 3. Очевидно, что Ln (v,, ) = i1,i2,i3 =0,1 Ln 1 2 3 (v,, ). Следовательно, для доказательi,i,i ) ства теоремы покажем, что каждое множество Ln 1 2 3 (v,, ) имеет нулевую меру.

Величины будут использоваться на протяжении всего доказательства, которое разбивается на ряд предложений с различными условиями линейности и различными диапазонами значений величины d1 + d2.

Сначала рассмотрим (0, 0, 0)-линейные многочлены. Для доказательства µ(Ln (v,, )) = 0 рассмотрим четыре подслучая, каждый из которых соответствует различным значения величины d1 + d2. Если (x, z, w) (v,, ), то существует бесконечно много многочленов P Pn удовлетворяющих системе неравенств (1.1) и одному из условий для d1 + d2.

Таким образом, если мы докажем, что множество точек, для которых существует бесконечное число многочленов P Pn, удовлетворяющих системе (1.1) и каждому диапазону значений величины d1 + d2, имеет меру нуль, то Предложение 1.1. Пусть H=1 (H) (x, z, w) T, для которых система неравенств (1.1) выполняется для бесконечного числа многочленов P Pn, удовлетворяющих условию d1 + d2 > n +, имеет меру нуль.

Доказательство. Для каждого t N {0} определим множество обозначим P1. Пусть (P ) обозначает множество точек u = (x, z, w) T S1 (1 ) S2 (1 ) S3 (1 ), удовлетворяющих (1.4). В силу (1.11) и леммы 1. каждая точка u (P ) удовлетворяет неравенствам Пусть At = P P1 (P ). Тогда множество точек, удовлетворяющих условиt ям в предложении 1.1, есть множество точек, принадлежащих бесконечному числу At. Для того, чтобы воспользоваться леммой Бореля-Кантелли, нужно показать, что µ(At ) <.

Поделим параллелепипед T на параллелепипеды M = IM KM DM такие, что Будем говорить, что многочлен P принадлежит параллелепипеду M, если найдется точка u M, в которой выполняется система неравенств (1.4).

Предположим, что P принадлежит M. Далее разложим P P1 на M в ряд Тейлора по каждой координате. Учитывая, что P (1 ) = P (1 ) = P (1 ) = 0 и для t = x, z, w и 1 = 1, 1, 1 соответсвенно, оценим сверху значения |P (x)|, |P (z)| и |P (w)|p. Например, оценим |P (z)|. Воспользуемся следующими неравенствами которые непосредственно следуют из (1.10). Далее, используя (1.20) и лемму 1.4, получаем Следовательно, выполняется неравенство |P (z)| любой точки z KM. Нетрудно получить аналогичные оценки для |P (x)| и |P (w)|p. Тогда имеем для любой точки (x, z, w) M.

Сначала рассмотрим параллелепипеды M, которым принадлежит два и более многочленов. Эти многочлены неприводимые примитивные и имеют высоту, не превосходящую 2t+1, и их степень не превосходит n. Для таких многочленов на M выполняется система неравенств (1.21). Используя лемму 1.7 для двух различных многочленов P1 и P2, где получаем, что Поскольку q1 k2 a1, 2r1 2l2 a1 и s1 m2 a1, предыдущее неравенство принимает вид Для достаточно малого числа последнее неравенство противоречиво ввиду условия для d1 + d2 в предложении 1.1.

Теперь рассмотрим параллелепипеды M, которым принадлежит не более одного многочлена P P1. Число таких параллелепипедов, а, следовательно, и число многочленов не более чем c(n)2t(k2 +2l2 +m2 )a = c(n)2td2. Используя неравенства (1.19), получаем Из (1.18) следует, что d1 +d2 < n+1 и µ(At ) t(n+1d1 d2 ) применяя лемму Бореля-Кантелли, завершаем доказательство предложения 1.1.

Предложение 1.2. Пусть H=1 (H) (x, z, w) T, для которых система неравенств (1.1) выполняется для бесконечного числа многочленов P Pn, удовлетворяющих условию d1 + d2 <, имеет меру нуль.

Доказательство. Пусть P Pn таких многочленов P обозначим P2. В силу того, что d1 + d2 <, следует, что q1 <, r1 < и s1 <. Для многочлена P определим множество 2 (P ), состоящее из точек (x, z, w) T S1 (1 ) S2 (1 ) S3 (1 ), удовлетворяющих (1.1). Согласно лемме 1.3, каждая точка в 2 (P ) удовлетворяет неравенствам Пусть At = P P2 2 (P ). Тогда множество точек, удовлетворяющих условиt ям предложения 1.2, есть множество точек, принадлежащих бесконечному числу At. Аналогично, как и в предложении 1.1, наша цель – доказать, что t=1 µ(At ) <, и затем воспользоваться леммой Бореля-Кантелли.

Для достаточно большого числа t определим параллелепипед 3 (P ), P как множество точек (x, z, w) T S1 (1 ) S2 (1 ) S3 (1 ), удовлетворяющих неравенствам содержащий 2 (P ). Значение величины c1 (n) будет приведено позднее.

Зафиксируем вектор b = (a3, a4,..., an ), где aj – j-ый коэффициент P P2. Подмножество многочленов из P t с одним и тем же вектором b обозначим P2,b. Разложим многочлены из P2,b на 3 (P ) в ряд Тейлора и оценим сверху значения |P (x)|, |P (z)| и |P (w)|p. Проделаем это только для действительной переменной. Используя лемму 1.4 и факт, что qj q1 < для j 2, получаем |P (j) (1 )||x 1 |j < 2t(1qj +(nj)1 j+jq1 ) c1 (n)c(n) < c1 (n)c(n), 2 j n.

Аналогично получаются оценки для |P (z)| и |P (w)|p, поэтому на 3 (P ) выполняется следующая система неравенств |P (x)| < c1 (n)c(n), |P (z)| < c1 (n)c(n), |P (w)|p < c1 (n)c(n).

Покажем, что параллелепипеды 3 (P1 ) и 3 (P2 ), где P1, P2 P2,b, P1 = P2, не пересекаются при достаточно малом значении c1 (n). Предположим противное, т.е.

Пусть R(f ) = P1 (f ) P2 (f ), т.е. R – многочлен вида R(f ) = b2 f 2 + b1 f + b0, |bi | 2t+2, i = 0, 1, 2. Ясно, что Последнюю систему неравенств перепишем в виде системы уравнений где |k | 1, k = 1, 2. Определитель предыдущей системы равен = 2z2 (z2 + (x z1 )2 )i, где z = z1 + iz2 и z = z1 iz2. Из (1.16) следует, что || > 21. Разрешим систему уравнений (1.23) относительно одного из коэффициентов bj = 0, 0 j 2. Получим неравенство 1 |bj | < c1 (n)c(n)1, которое при достаточно малом c1 (n) = c1 (n, 1 ) противоречиво. Таким образом, параллелепипеды 3 (P1 ) и 3 (P2 ) не пересекаются и Из определения 2 (P ) и 3 (P ) можно получить, что µ(2 (P )) < c1 (n)4 c(n)4 µ(3 (P ))2t(v1 +2v2 +v3 ) 1 +22 +3 (2t ) Поскольку число различных классов P2,b не превосходит c(n)2t(n2), то исt пользуя вышеприведенные два неравенства и лемму 1.8, получаем Следовательно, применяя лемму Бореля-Кантелли, завершаем доказательство.

Предложение 1.3. Пусть H=1 (H) (x, z, w) T, для которых система неравенств (1.1) выполняется для бесконечного числа многочленов P Pn, удовлетворяющих условию d1 + d2 < 4, имеет меру нуль.

Доказательство. Пусть P Pn 4. Класс таких многочленов P обозначим P3. Для многочлена P P определим 2 (P ) как и в предложении 1.2, и пусть At = P P3 2 (P ). Как и ранее, множество точек, удовлетворяющих условиям предложения 1.3, есть множество точек, принадлежащих бесконечному числу At. Далее покажем, что µ(At ) < и затем воспользуемся леммой Бореля-Кантелли.

Выберем числа V1, V2 и V3, такие, что V1 + 2V2 + V3 = 1 и Такой выбор возможен в силу следующего аргумента. Система неравенств (1.24) задает параллелепипед. Рассмотрим пересечение параллелепипеда с плоскостями, задаваемыми уравнениями V1 + 2V2 + V3 = k, где k – изменяющийся параметр. В “верхней правой” вершине параллелепипеда имеем V1 + 2V2 + V3 = n 2 > 1. В “нижней левой” вершине параллелепипеда получаем так как d1 + d2 < 4. Таким образом, по непрерывности, плоскость V1 + 2V2 +V3 = 1 пересекает параллелепипед, и мы можем выбрать числа V1, V2, V3, принадлежащие пересечению.

Определим параллелепипед 4 (P ) как множество точек (x, z, w) T S1 (1 ) S2 (1 ) S3 (1 ), удовлетворяющих неравенствам Очевидно, 2 (P ) 4 (P ). Снова разложим многочлен P на 4 (P ) в ряд Тейлора и оценим каждый член разложения сверху. Проделаем это для комплексной переменной. Используя (1.10), (1.24), (1.25), лемму 1.3 и лемму 1.4, получаем Аналогично получаются оценки для |P (x)| и |P (w)|p, что приводит к системе неравенств Далее оценим P (x) = n (i!)1 P (i) (1 )(x 1 )i1 на 4 (P ). Как и ранее, рассмотрим отдельно каждый член разложения, используя лемму 1.3, лемму 1.4, (1.10) и (1.24). Тогда получаем Из последних неравенств и аналогичных неравенств для P (z) на 4 (P ) получаем Если выполняются одновременно оба неравенства q1 < /2 и r1 < /2, то доказательство проводится как в предложении 1.2. Поэтому далее в предложении 1.3 мы предполагаем, что max(q1, r1 ) /2. Пусть максимум достигается на q1, тогда дополнительно к условиям предположения 1.3 имеем q1 /2. Зафиксируем вектор d = (a4, a5,..., an ), |aj | 2t+1 и обозначим через P3,d подмножество многочленов P P3 с одним и тем же вектором d.

Далее будем использовать метод существенных и несущественных областей Спринджука (см. [40]). Параллелепипед 4 (P1 ) назовем существенным, если для любого другого многочлена P2 P3,d, P2 = P1, выполняется неравенство Если же существует P2 P3,d, P2 = P1, такой, что то параллелепипед 4 (P1 ) будем называть несущественным. Если u принадлежит бесконечному числу параллелепипедов 2 (P ), то u принадлежит бесконечному числу существенных или несущественных параллелепипедов ляется существенным, через E3,d, и множество P P3,d, для которых 4 (P ) является несущественным, через I3,d.

P1 E3,d µ(4 (P1 )) µ(T). Из (1.22) и (1.25) получаем µ(2 (P1 )) Используя последнее неравенство, лемму 1.8 и факт, что число различных классов P3,d не превосходит c(n)2t(n3), получаем Следовательно, согласно лемме Бореля-Кантелли множество точек, принадt лежащих бесконечному числу параллелепипедов 2 (P ), P E3,d, имеет меру нуль.

Далее предположим, что P I t, т.е. существует многочлен P P t такой, что Системы неравенств (1.4) и (1.27) выполняются одновременно на 4 (P, P ) многочлен R удовлетворяет условиям где q1 /2. Если 1, 2, 3 C – корни многочлена R, то Из (1.5) следует, что один из корней обязательно действительный, а два других – комплексно сопряженные. Пусть 1 R, 3 = 2, и будем считать, что |b3 | H(R) (если необходимо воспользуемся сведением к ведущим многочленам как в разделе 1.2). В силу (1.16) величина |1 2 | не может стремиться к нулю. Следовательно, корни 1, 2, и 2 удовлетворяют неравенству |1 2 | = |1 2 | > c2 (1 ) для некоторой константы c2 (1 ), и Откуда, используя (1.5) и лемму 1.3, получаем для x 4 (P1, P2 ). В силу (1.25) неравенство |R(x)| на интервале длины c(n)2tV1 |P (1 )|1. Далее, используя лемму 1.4, имеем 2tV1 H 1 (R) 2t(V1 +1q1 +(n1) 1 ) и H(R) < 2t(1q1 +(n1) 1 ). Перейдем от величины 2t к высоте H(R) в (1.5) и получим, что |R(x)||R(z)|2 |R(w)|p H(R)1/(1q1 +(n1) 1 ) H(R)v, где v > 1, поскольку q1 /2 и выберем 1 < 2(n1). Полученное неравенство с применением леммы 1.7 показывает, что множество точек u, принадлежащих бесконечному числу несущественных параллелепипедов, имеет меру нуль. Вместе с результатом для существенных параллелепипедов, это завершает доказательство предложения 1.3.

Предложение 1.4. Пусть H=1 (H) (x, z, w) T, для которых система неравенств (1.1) выполняется для бесконечного числа многочленов P Pn, удовлетворяющих условию имеет меру нуль.

Доказательство. Результаты этого предложения будут использоваться и в других случаях линейности. Перейдем от системы неравенств (1.1) к системе неравенств (1.4), и будем следовать доказательству предложения 1. до системы (1.21) включительно. Пусть P Pn 4 d1 + d2 n +. Обозначим это множество P4. Пусть At = P P4 (P ), где (P ) определен в (1.19).

Пусть u = n + 1 d1 d2 и зафиксируем = u 2, где 2 > 0 – достаточно малое число. Предположим, что существует не более 2t многочленов, принадлежащих каждому параллелепипеду M. Тогда согласно лемме 1.3, мера множества At не превосходит меры параллелепипеда (P ), умноженной на число параллелепипедов M и на число многочленов, т.е.

жества точек, принадлежащих бесконечному числу множеств At, имеет меру нуль согласно лемме Бореля-Кантелли.

Далее будем считать, что существует параллелепипед M содержащий не менее 2t многочленов. Из (1.29) следует, что 1 u n 3 +. Пусть u1 = u d, где d = 0.23. Запишем u1 в виде суммы целой и дробной части [u1 ] + {u1 } и вычислим Согласно принципу ящиков Дирихле, существует k c(n)2t(d+{u1 }2 ) многочленов P1,..., Pk среди не менее 2t многочленов, у которых коэффициенты при xn, xn1,..., xn[u1 ]+1 совпадают. Рассмотрим k 1 многочленов Rj (f ) = Pj (f ) P1 (f ), 2 j k. Согласно (1.21), имеем где 2 j k, deg Rj n [u1 ] и H(R) 2t+2. Теперь многочлены Rj (f ) = bn[u1 ] f n[u1 ] + · · · + b1 f + b0 поделим на классы. Поделим значения коэффициентов bn[u1 ],..., b1 многочленов Rj (f ) на интервалы длины 2t(1h1 ), где h1 = {u1 }(n [u1 ])1. Ясно, что существует 2th1 интервалов для каждого коэффициента. Снова воспользуеся принципом ящиков Дирихле и получим, что существует m 2t(d2 ) многочленов Rj в каждом таком интервале. Занумеруем многочлены R1,..., Rm. Снова рассмотрим разность этих многочленов и определим многочлены Si (f ) = Ri+1 (f ) R1 (f ), удовлетворяющие мет малые значения в системе (1.32).

Рассмотрим более детально многочлены Si, при этом необходимо рассмотреть три типа многочленов Si. Отметим, что аналогичный аргумент будет использоваться при доказательстве предложения 1.6 и предложения 1.7.

Случай А. Все многочлены Si имеют вид i1 S0, i2 S0,..., im1 S0 для некотоt(d2 ) и рого фиксированного многочлена S0. Тогда i = max1jm1 |ij | выполняется система неравенств (1.32) для i S0, где H(S0 ) (1.32) получаем Из (1.29) и (1.30) имеем Таким образом, согласно лемме 1.1 множество точек u, удовлетворяющих (1.32) для бесконечного числа таких многочленов S, имеет меру нуль.

Случай Б. Один из многочленов Si, 1 i m 1 (скажем, S1 ), является приводимым, т.е. S1 = S1 S1. Из системы (1.32), получаем Заметим, что H(S1 ) H(S1 )H(S1 ). Тогда для одного из многочленов S или S2 выполняется неравенство и deg S1 (f ) n [u1 ] 1. Нетрудно показать, что неравенство справедливо для d = 0.23 и достаточно малых, 1. Снова воспользуемся леммой 1.1 и получим, что множество точек, удовлетворяющих (1.32) для бесконечного числа таких многочленов S, имеет меру нуль.

Случай В. Все многочлены Si являются неприводимыми и по крайней мере два из них, например, S1 и S2, не имеют общих корней. Наша цель в данном случае – получить противоречие с леммой 1.7. Пусть h = 1 h1, перейдем к высоте многочленов Si в (1.32) и (1.20) и определим Согласно лемме 1.7, должно выполняться следующее неравенство 3q1 + k2 a1 + 6r1 + 2l2 a1 + 3s1 + m2 a1 12(n 1)1 9h1 < 2(n [u1 ])h +.

Поскольку q1 k2 a1, 2r1 2l2 a1 и s1 m2 a1, то используя (1.30), получаем Последнее неравенство противоречиво при d = 0.23, n [u1 ] 6 и достаточно малых и 1. Следовательно, множество точек (x, z, w), для которых неравенства выполняются для бесконечного числа таких многочленов Si, удовлетворяющих n [u1 ] 6, имеет меру нуль.

Осталось доказать справедливость результата для n[u1 ] = 4 или 5. Пусть p = n [u1 ]. Вернемся к многочленам Rj, удовлетворяющим (1.31). Первое неравенство системы (1.31) выполняется для каждого многочлена Rj на интервале IM, где M = IM KM DM. Поскольку Rj = Pj P1, разложим производные Pj (x) для каждого многочлена Pj, j = 1,..., k, в ряд Тейлора на IM. Пусть 1j – соответствующий корень многочлена Pj. Тогда и по лемме 1. на IM. Последнее позволяет получить на IM.

Пусть x0 – центр интервала IM. Каждый диапазон значений многочлена Rj и его производной в точке x0 разделим на 2tv интервалов, где v = {u1 }(p + 1)1. Из (1.31) следует, что интервал [c(n)2t(1q1 k2 a +(n1)1 ), c(n)2t(1q1 k2 a +(n1)1 ) ] делится на 2tv интервалов одинаковой длины c(n)2t(1q1 k2 a +(n1)1 v), и диапазон значений l-ой проp) вида [c(n)2t(1ql +(n1)1 ), c(n)2t(1ql +(n1)1 ) ] делится на интервалы длины c(n)2t(1ql +(n1)1 v). В результате, существует не более c(n)2t(p+1)v различных комбинаций малых интервалов. Используя принцип ящиков Дирихле, получаем, что существует как минимум 2t(d2 ) многочленов Rj, принадлежащих некоторой фиксированной комбинации интервалов, где 2 > 0.

Ясно, что для каждой точки x IM многочлены Tj (x) = Rj+1 (x) R1 (x) удовлеворяют неравенствам где Rj+1 и R1 принадлежат одной и той же комбинации интервалов. Разложим многочлен Tj в ряд Тейлора на IM в окрестности точки x0 :

Используя вышеприведенные оценки и (1.10), получаем Таким образом, Как и ранее в этом предложении, необходимо рассмотреть три случая (аналогично случаям А, Б и В для многочленов Tj ). Поэтому ниже некоторые детали будут опущены.

Случай А. Все многочлены Tj имеют вид sT0, для некоторого многочлеt(d2 ) (так как на T0. Следовательно, существует такое число s, что |s| существует не менее 2t(d2 ) многочленов Tj ) и H(T0 ) 2t(1d+2 ), а также выполняется система неравенств Здесь первое неравенство следует из (1.35), а два других получаются из (1.31).

Далее неравенство выполняется для n [u1 ] 5, d = 0.23, и достаточно малых, 1, 2. Следовательно, используя лемму 1.1, получаем, что множество точек, удовлетворяющих системе выше для бесконечного числа таких многочленов T, имеет меру нуль.

Случай Б. Все многочлены Tj приводимы. Если для каждого многочлеk) на Tj существует делитель Tj степени n [u1 ] 2 и удовлетворяющий неравенству (которое следует из (1.31) и (1.35)):

то как и выше лемма 1.1 будет применена непосредственно к многочленам С другой стороны, каждый многочлен Tj является произведением линейного множителя и множителя степени n [u1 ] 1. Если линейные множители одинаковы для двух многочленов, т.е. T1 = T0 T1 и T2 = T0 T2, то многочлены T1 и T2 не имеют общих корней, и противоречие с леммой 1.7 может быть получено. Следовательно, далее мы предполагаем, что все линейные множители различны, поэтому существует многочлен Tj с линейным множителем высоты не менее 2t( 2 ) (так как число различных многочленов Tj не менее 2t(d2 ) ). В силу того, что |Im z| > 1, имеем |az + b|2 a2. Используя прямой подсчет мер множеств, получаем, что множество точек (x, z, w), удовлетвоt1, имеет меру нуль. Следовательно, ряющих |ax + b||az + b|2 |aw + b|p мы можем предположить, что для линейного множителя T0 (f ) = af + b, где |a| > 2t(d2 )/2, выполняется неравенство для любого 1. Пусть Tj = T0 tj. Тогда высота многочлена tj не более 2t(1(d2 )/2) и tj удовлетворяет неравенству (в силу (1.31), (1.35) и предыдущего неравенства):

Для p 5 и достаточно малых 1, 2, имеем Таким образом, в силу леммы 1.1, получаем, что множество точек, для которых существует бесконечное число таких многочленов T, имеет меру нуль.

Случай В. Существует пара неприводимых многочленов T1 и T2 без общих корней. Второе и третье неравенства системы (1.31) оставляем без изменения и первое неравенство заменяем неравенством (1.35). Определим числа 1 = 3 = s1 + m2 a1 (n 1)1. Тогда в силу леммы 1.7, справедливо неравенство Однако, так как q1 k2 a1, r1 l2 a1, s1 m2 a1, то для d = 0.23, p и достаточно малых величин 1 и последнее неравенство противоречиво.

Доказательство предложения 1.4 закончено.

(0,0,0) 1.3.3 Случай (1, 1, 1)-линейности Предположим, что выполняется следующая система одновременно с системой (1.4).

Доказательство. Воспользуемся системой (1.4) и леммой 1.3 и получим Используя (1.36), нетрудно показать, что µ1 > v1 +1 +1q1. Пусть минимум в первом неравенстве в (1.37) достигается при j1, во втором – при j2, в третьем – при j3. Система неравенств (1.37) определяет некоторый палаллелепипед 5 (P ). Множество многочленов P Pn P5. Пусть At = P P5 5 (P ).

Разделим параллелепипед T на параллелепипеды M со сторонами t(µ1 ), 2tµ2, 2tµ3, где = (10n)1. Предположим, что P принадлежит M и разложим P на M в ряд Тейлора. Как и ранее, оценим сверху все члены разложения. Приведем оценки для действительной переменной. Используя лемму 1.4, получаем |P (j) (1 )||x 1 |(j) Аналогично оценим сверху значения |P (z)|, |P (w)|p и получим Рассмотрим параллелепипеды M, каждому из которых принадлежит два и более многочлена P1 и P2 (напомним, что мы можем предположить, что P1 и P2 неприводимы и примитивны). Для обоих многочленов справедлива система неравенств (1.38), и они не имеют общих корней. Мы намерены получить противоречие с леммой 1.7, для этого определим Тогда, применяя лемму 1.7 и выбирая j1 = j2 = j3 = 2 (это дает наиболее слабую оценку), имеем 2v1 +21 0.3+2+4v2 +41 +2v3 +23 12(n1)1 +6+(qj1 +2rj2 +sj3 )3 < 2n+, поэтому Последнее неравенство при малом и достаточно малом 1 противоречиво.

Таким образом, не существует параллелепипедов M, содержащих два и более неприводимых многочлена.

Следовательно, мы можем предположить, что не более одного многочлена P P5 принадлежит каждому параллелепипеду M. Число таких параллелепипедов равно c(n)2t(µ1 +2µ2 +µ3 ). Используя (1.37), находим В силу того, что Ln (v,, ) – множество точек, принадлежащих бесконечному числу множеств At, и µ(At ) t ращаемся к лемме Бореля-Кантелли, и этого достаточно, чтобы завершить доказательство.

1.3.4 Случай (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, 0, 1)-линейностей Рассмотрим только случай (1, 0, 0)–линейности, так как доказательство в двух других случаях аналогично.

Доказательство. Условие (1, 0, 0)-линейности означает, что вместе с системой (1.4) выполняется система неравенств Сначала заменим два последних неравенства в (1.39) на следующие неравенства Далее следуем схеме доказательства предложения 1.5. Поделим параллелепипед T на параллелепипеды M со сторонами 2tµ1, 2t(l2 a 1 ) и 2t(m2 a 1 ), где µ1 = max2jn (v1 + 1 + 1 qj )j 1 и пусть максимум достигается при j = j1.

Рассмотрим сначала такие параллелепипеды M, которым принадлежит не менее двух многочленов. Разложим эти многочлены в ряд Тейлора на M и оценим сверху каждый член разложения. В силу того, что многочлены неприводимы и не имеют общих корней, то можем применить лемму 1.7. В силу (1.40) получаем противоречие (аналогично как и в предложении 1.5).

Следовательно, осталось рассмотреть случай, когда не более одного многочлена принадлежит каждому параллелепипеду M. Множество многочлеt H(P ) < 2t+1, удовлетворяющих (1.39) и (1.40) обонов P Pn значим P6. Пусть (P ) – множество точек u, для которых система (1.4) выполняется. Пусть At = P P6 (P ). Для фиксированного многочлена P P6 мера точек u, для которых выполняется (1.4), оценивается как c(n)2t(µ1 (2v2 +22 +22r1 )(v3 +3 s1 )). Число параллелепипедов M не превосходит 2t(µ1 +(2l2 +m2 )a 31 ). Следовательно, используя (1.39) и вышеприведенные оценки, получаем творяющих (1.4), (1.39) и (1.40) бесконечно часто, имеет меру нуль по лемме Бореля-Кантелли.

Далее исследуем случай, когда выполняется по крайней мере одно из следующих неравенств Эти случаи аналогичны, поэтому проведем доказательство, например, для случая, когда выполняются оба неравенства. Обозначим множество многоt H(P ) < 2t+1, удовлетворяющих (1.39) и (1.41), через членов Pn P7. Разделим параллелепипед T на параллелепипеды M со сторонами 2tµ1, 2tl2 a и 2tm2 a. Зафиксируем u = n v1 1 (2r1 + s1 ) (2l2 + m2 )a1, и пусть = u 2 для некоторой достаточно малой величины 2. Предположим, что параллелепипеду M принадлежит не более 2t многочленов. Пусть At = P P7 (P ). Тогда Ясно, что ряд t=1 2 сходится и применение леммы Бореля-Кантелли завершает доказательство.

Далее предположим, что существует параллелепипед M, которому принадлежит не менее 2t многочленов. Пусть u = u1 + d, где 0 < d < 1. Вычислим где d1 = 2r1 + s1 и d2 = (2l2 + m2 )a1. (Использовали факт, что n 2 = v1 + 2v2 + v3 + 1 + 22 + 3.) Используя формулу Тейлора и (1.39), получаем Заменим первое неравенство (1.21) предыдущим неравенством и получим систему Далее проведем доказательство, аналогичное доказательству предложения 1.4, заменив систему (1.21) вышеприведенной системой. Рассмотрим многочлены Rj (f ) = Pj (f ) P1 (f ), 2 j k, k c(n)2t({u1 }+d2 ), у которых совпадают первые [u1 ] старших коэффициентов. Далее уменьшим высоту многочленов Rj за счет {u1 }, т.е. каждый коэффициент Rj будет лежать в интервале длины 2t(1h1 ), где h = {u1 }(n [u1 ])1. Перенумеруем многочлены Rj и затем рассмотрим многочлены Si = Ri+1 R1. Перейдем от высоты многочлена P к высоте многочленов Si, 1 i m 1, m 2t(d2 ), тогда следующие неравенства справедливы на M, где deg Si n [u1 ], H(Si ) Далее, как и при доказательстве предложения 1.4, рассмотрим три случая.

Случай А. Вместо неравенства (1.33) получим |S0 (x)||S0 (z)|2 |S0 (w)|p Чтобы применить лемму 1.1 надо доказать неравенство Нетрудно показать, что для n[u1 ] 3, d = 0.23 и достаточно малых величин 1, 2 последнее неравенство справедливо. Условие n [u1 ] 3 следует из (1.42), поскольку каждый многочлен, удовлетворяющий (1.42), должен иметь действительный и два комплексно-сопряженных корня.

Случай Б. Когда среди многочленов Si есть приводимые, то снова можно применить лемму 1.1, если верно неравенство аналогичное неравенству (1.34). В силу леммы 1.7, для n [u1 ] 1 3, d = 0.23 и достаточно малого 1 вышеприведенное неравенство выполняется.

Случай В. Если существует два неприводимых многочлена S1 и S2, не имеющих общих корней, то применим лемму 1.7. Здесь Получим неравенство 2v1 + 21 + 2 + 6r1 + 2l2 a1 + 3s1 + m2 a1 12(n 1)1 + q2 (S) наиболее слабая форма которого получается при j1 = 2. Аналогично, как при доказательстве предложения 1.4, мы получаем доказательство в случае n[u1 ] 6. Если же n[u1 ] = 4 или n[u1 ] = 5, то усиливая аппроксимацию по переменной x, как в предложении 1.4, мы завершаем доказательство.

1.3.5 Случай (1, 1, 0), (1, 0, 1) и (0, 1, 1)-линейностей Доказательство этих трех случаев аналогично, поэтому проведем его только для случая (1, 0, 1)–линейности.

Доказательство. Условие (1, 0, 1)–линейности означает, что вместе с системой неравенств (1.4) выполняется система Вначале введем дополнительное ограничение, добавив к системе (1.43) условие Определим и пусть максимальные значения достигаются при j1 и j3 соответственно. Доказательство этого предложения следует из доказательств предложений 1.4, 1.5, 1.6 с небольшими изменениями. Множество многочленов P Pn, 2 H(P ) < 2, удовлетворяющих (1.43) и (1.44), обозначим P8. Разделим параллелепипед T на параллелепипеды M со сторонами 2tµ1, 2t(l2 a 1 ) и 2tµ3.

Следуя предложению 1.5, предположим, что существует параллелепипед M, содержащий два и более многочленов. Разложим их в ряд Тейлора и получим оценки сверху для каждого члена разложения. В силу того, что многочлены P неприводимы и не имеют общих корней, то можно применить лемму 1.7. Вместе с условием (1.44) это приведет к противоречию. Таким образом, можем предположить, что не более одного многочлена принадлежит каждому параллелепипеду M. Тогда Снова получаем µ(At ) <, и доказательство завершается в данном случае, применяя лемму Бореля-Кантелли.

Далее в системе неравенств (1.43) заменим второе неравенство на следующее творяющих (1.43) и (1.45), через P9. Пусть At = P P9 (P ).

Разделим параллелепипед T на параллелепипеды M со сторонами 2tµ1, 2tl2 a и 2tµ3. Зафиксируем u = 2(v2 + 2 + 1 r1 l2 a1 ) и = u для достаточно малой величины 2 > 0. Рассмотрим те параллелепипеды M, которым принадлежит не более 2t многочленов. Тогда Получаем µ(At ) <, поэтому мера точек, принадлежащих бесконечt= ному числу множеств At, имеет меру нуль согласно лемме Бореля-Кантелли.

Далее рассмотрим параллелепипеды M, которым принадлежит более чем 2 многочленов. Пусть u = u1 + d, где 0 < d < 1, и предположим, что P принадлежит M. Разложив многочлен P в ряд Тейлора на M и оценив сверху каждый член разложения, получим Снова следуем схеме доказательства предложения 1.6, используя вышеприведенную систему вместо (1.21). От многочленов P перейдем к многочленам Rj = Pj P1, 2 j k, k 2t(d+{u1 }2 ), затем перенумеруем многочлены Rj и перейдем к многочленам Si = Ri+1 R1, 1 i m 1, m 2t(d2 ), как в (1.31) и (1.32). Получим где deg Si n [u1 ] и H(Si ) Вновь рассмотрим три случая.

Случай А. Во-первых, от системы перейдем к неравенству полученному таким же способом, как и (1.33). Аналогично тому, как была показана справедливость неравенства (1.34), доказывается справедливость неравенства для d = 0.23 и достаточно малых величин 1, 2. Таким образом, применима лемма 1.1.

Случай Б. Далее предположим, что существуют приводимые многочлены среди многочленов Si. Тогда справедливо неравенство для d = 0.23 и достаточно малого 1. Доказательство последнего неравенства совпадает с доказательством неравенства (1.34), и далее снова применяем лемму 1.1.

Случай В. Применим лемму 1.7 к двум неприводимым многочленам S1 и S2, не имеющим общих корней. Пусть Наиболее слабая форма неравенства в лемме 1.7 получается при j1 = j3 = и имеет вид 2v1 + 21 + 2v3 + 23 + 2 + 6r1 + 2l2 a1 + q2 (S) + s2 (S) 12(n 1) Последнее неравенство противоречиво при d = 0.23, n[u1 ] 6 и достаточно малых и 1. Доказательство в случае n [u1 ] = 4 и n [u1 ] = 5 проводится отдельно и аналогично как в предложении 1.4. Предложение 1.7 доказано.

Объединяя все предложения, получаем доказательство теоремы 1.1.

1.4 Доказательство гипотезы Берника-Клейнбока-Маргулиса в случае сходимости Прежде всего отметим, что поскольку ряд H n2 4 (H)5 (H) сходится и 4 5 – монотонно убывающая функция, то Поэтому можно предполагать, что выполнено неравенство для всех достаточно больших h; это неравенство будет использоваться в дальнейшем.

Пусть 5 (H) H 1/2+, > 0. Далее будем различать два случая в зависимости от значения первой производной: |P (x)| < H(P )1/2 и H(P )1/ |P (x)| < 5 (H(P )).

1.4. В этом случае воспользуемся результатом Берника, Клейнбока и Маргулиса [62]. Используя обозначения теоремы 1.4 [62], выберем f = (x, x2,..., xn ), d = 1, T1 =... = Tn = H, и получим следующий результат.

Лемма 1.11. Пусть I R и x0 I. Тогда существует интервал J I, содержащий x0, такой что для любого интервала B J существует постоянная E > 0 такая, что для любого выбора действительных чисел, K, T, удовлетворяющих неравенствам множество Поскольку 5 (H) H 1/2+ и 4 (H) 5 (H)1 H n+1 в силу (1.46), то получаем для всех достаточно больших H N.

Пусть x0 2, 1. Выберем окрестность J 1, 1 точки x0 и рассмотрим интервал B, содержащий точку x0. Для неотрицательного целого числа r обозначим через A(r) множество точек x B, для которых существует многочлен P Pn такой, что выполнена система неравенств где 2r1 H(P ) < 2r. Применяя лемму 1.11, получаем µ1 (A(r)) 2 (n+1)(2n1), где > 0. Множество точек x 1, 1, для которых существует бесконечно много многочленов P Pn, удовлетворяющих (1.48), состоит из точек x 1, 1, принадлежащих бесконечному числу множеств A(r). Ряд µ1 (A(r)) сходится, и из леммы Бореля-Кантелли следует, что почти все точки B принадлежат не более чем конечному числу множеств A(r). Используя факт, что 2, 2 покрывается конечным или счетным числом интервалов B, завершаем доказательство в данном случае.

1.4. Пусть H > 0 – достаточно большое число. Обозначим через Pn (H) множество многочленов P Pn таких, что H(P ) = H. Очевидно, что Pn = Pn (H).

Для фиксированного многочлена P Pn (H), имеющего корни 1, 2,..., n C, определим множества S1 (j ), 1 j n, как и ранее.

При исследовании меры множества точек x Pn (4, 5 ), без ограничения общности, будем считать, что x принадлежит S1 (j ) многочлена P, удовлетворяющего неравенствам (1.2), для фиксированного j. Для упрощения вычислений будем считать, что j = 1.

Пусть P Pn (H) и x [ 2, 1 ]S1 (1 ), где P (1 ) = 0. Нетрудно проверить, k = 1, 2,..., n и H 2. Используя (1.13) и оценки для 4 и |P (x)|, получаем Сначала покажем, что производная в корне, ближайшем к x, имеет тот же самый порядок, что и |P (x)|. Разложим многочлен P в ряд Тейлора в окрестности корня 1, т.е.

Используя (1.49) и факт, что 5 (H) H 1/2+, оценим каждый член разложения:

для H > H0. Тогда из последнего тождества для n 2 и достаточно большого H получаем Для фиксированного многочлена P Pn (H) определим множества Далее покажем, что µ1 (=1 HN P Pn (H) L2 (P )) = 0. Используя лемму 1. и факт, что |P (x)| < 4 (H), получаем Для фиксированного многочлена P Pn (H) обозначим через (P ) множество решений неравенства (1.51). Очевидно, что L1 (P ) L2 (P ) (P ).

Для P Pn (H) рассмотрим интервал 1 (P ), определяемый как множество точек x [ 2, 2 ], удовлетворяющих неравенству Справедливо включение (P ) 1 (P ) для всех H > H0, где H0 – достаточно большое число, зависящее от n.

Во-первых, рассмотрим многочлены P Pn (H) такие, что aj = H для некоторого j 2. Коэффициент a1 многочлена P (x) = an xn +an1 xn1 +...+ a1 x+a0 Pn (H) запишем в виде a1 = [105 (H)]k+t, где 0 t [105 (H)] и |k| < H(105 (H) 1)1.

Два многочлена P1 (x) = a1,n xn +... + Hxj +... + a1,2 x2 + ([105 (H)]k1 + t1 )x + a1,0, P2 (x) = a2,n xn +... + Hxj +... + a2,2 x2 + ([105 (H)]k2 + t2 )x + a2,0, принадлежат одному классу Pbt (H), если они имеют один и тот же вектор bt = (a1,n, a1,n1,..., H,..., a1,2, t1 ), где a1,n = a2,n, a1,n1 = a2,n1,..., a1,j = a2,j = H,..., a1,2 = a2,2, t1 = t2.

Число различных классов Pbt (H) не превосходит Зафиксируем вектор bt = (an, an1,..., H,..., a2, t). Разложим многочлен P Pbt (H) в ряд Тейлора на 1 (P ), т.е.

Для получения оценки сверху для |P (x)|, оценим каждый член разложения Тогда, имеем Далее разложим многочлен P в ряд Тейлора на 1 (P ). Используя (1.50), (1.52), 5 (H) H 1/2+, и оценивая каждый член разложения, получаем для достаточно большого H.

Далее покажем, что интервалы 1 (P ) и 1 (Q) не пересекаются, где P, Q Pbt (H) и P = Q. Предположим противное, т.е. 1 (P ) 1 (Q) =. Пусть R(x) = P (x) Q(x) Z=0, тогда многочлен R имеет вид R(x) = b1 x + b0, где |b1 | = |a1 (P ) a1 (Q)| = [105 (H)]|k(P ) k(Q)|. Применяя неравенства (1.53) и (1.54), находим Поскольку |b1 | = [105 (H)]|k1 | [105 (H)], где k1 Z/{0}, то получили противоречие с неравенством (1.55). Это означает, что 1 (P ) 1 (Q) =.

Тогда имеем оценку Кроме того, из (1.51) и (1.52) следует, что Поскольку число различных классов Pbt (H) не превосходит c(n)H n2 5 (H), то из последних двух неравенств получаем По условию теоремы, ряд H n2 4 (H)5 (H) сходится, следовательно, по лемме Бореля-Кантелли множество точек x, принадлежащих бесконечному числу множеств (P ), имеет меру нуль.

Во-вторых, рассмотрим многочлены P Pn (H) такие, что a0 = H или a1 = H. Зафиксируем > 0. В силу произвольности, можем полагать без ограничения общности, что любое действительное число x из интервала [ 2, 1 ] удовлетворяет условию |x|. При n = 2 доказательство проводится аналогично как и в [40]. При n 3 перейдем от многочлена P к многочлену вида Q(x) = xn P x. При таком преобразовании и ему обратном мера решений x изменяется в c(n, ) раз. Используя оценки H(P ) = H(Q), 5 (H) H 1/2+, |x| 1/2 и (1.46), убеждаемся, что |Q(x)| 4 (H) и |Q (x)| 5 (H). Далее используем для многочлнов Q те же рассуждения, что и для многочленов P, приведенные выше. Доказательство теоремы 1. завершено.

2 Теорема Хинчина в случае расходимости для совместных приближений 2.1 Основные результаты главы Доказательство случая сходимости в теореме Хинчина достаточно простое и является следствием леммы Бореля-Кантелли. В случае расходимости доказательство значительно сложнее. А.Я. Хинчин использовал для доказательства случая расходимости теорию цепных дробей. К настоящему времени ситуация во многом изменилась: были введены понятия регулярных систем и повсеместных систем. Понятие регулярной системы точек было введено в теорию диофантовых приближений А. Бейкером и В. Шмидтом [47], чтобы охарактеризовать равномерность распределения счетных подмножеств на прямой, в частности, множества алгебраических чисел фиксированной степени. Повсеместные системы были введены М. Додсоном, Ринном и Виккерсом [95] для изучения приближений точек Rn рациональными гиперплоскостями.

В [120] показано, что регулярные системы и повсеместные системы эквивалентны в случае приближений рациональными числами. Оказалось, что если удается доказать регулярность или повсеместность систем, то отсюда получаются оценки снизу для размерности Хаусдорфа диофантовых множеств [10, 26, 47, 95, 94, 115]. Дальнейшее развитие регулярные и повсеместне системы нашли в, так называемых, оптимальных регулярных системах [4], регулярных системах резонансных множеств [3] и локально повсеместных системах [55], введение которых позволяет доказывать аналоги теоремы Хинчина в случае расходимости (см. [6, 49, 51, 54, 55, 56, 117]).

В данной главе оптимальные регулярные системы и локально повсеместные системы применены для доказательсва аналогов теоремы Хинчина в случае расходимости. Первый результат – это обобщение теоремы Хинчина на совместные приближения в пространствах действительных, комплексных и p-адических чисел, а второй – это теорема типа Хинчина для приближений нуля значениями многочленов и их первых производных.

Пусть Ln (v,, ) обозначает множество Ln (v,, ) при специальном выборе параметров Теорема 2.1. Пусть : R+ R+ – монотонно убывающая функция, и n 3. Тогда при расходимости ряда (r) множество Ln (v,, ) имеет полную меру в T0, т.е. µ(T0 \ Ln (v,, )) = 0.

Одним из основных моментов доказательства теоремы 2.1 является построение оптимальной регулярной системы из наборов корней (,, ) целочисленных многочленов P, т.е. P () = P () = P () = 0, где R, C, |Im | > 1 1, Qp. В работе [5] дано определение оптимальной регулярной системы. Дадим явную конструкцию оптимальной регулярной системы.

Пусть дана точка u0 = (x0, z0, w0 ) и набор r = (rx, rz, rw ) положительных чисел. Множество будем называть параллелепипедом в. Легко видеть, что µ(T (u0, r)) + (r).

Определение 2.1. Пусть даны счетное множество R, параллелепипед T0, функция h : R N, называемая высотой, и монотонно убывающие функции dx, dz, dw : R+ R+. Тройка (R, h, d) будет называться регулярной системой точек в T0, если существует постоянная c3 > 0 такая, что для любого параллелепипеда T T0 найдется достаточно большое число r0 > 0 такое, что для любого r > r0 можно выбрать набор точек Определение 2.2. Регулярную систему точек (R, h, d) назовем оптимальной, если для любого параллелепипеда T T0 выполняется условие R величину H() := min{H(P )| P Pn, P () = P () = P () = 0 } будем рассматривать как высоту, а сам многочлен P будем называть квазиминимальным.

Доказательство теоремы 2.1 основано на следующей теореме.

Теорема 2.2. Пусть T0 – ограниченный параллелепипед в R C Qp. Определим R как множество наборов P = (,, ), где – действительный, – комплексный, – p-адический корни многочлена P (f ) = i=0 ai f Пусть выполнены условия dx (r) = r(w1 +1), dz (r) = r(w2 +1), dw (r) = rw3, h( P ) = H(P ).

Тогда (R, h, d) – регулярная система в T0.

Замечание 2.1. Заметим, что теорема 2.2 позволяет строить регулярные системы в пространстве без дополнительных условий связи между вектором v и числом рассматриваемых пространств.

Для натурального числа Q > 1 определим класс многочленов Pn (Q) = {P Pn, H(P ) Q}.

Основой для доказательства теоремы 2.2 является следующий метрический результат.

Теорема 2.3. Для каждого n 3 существуют постоянные 0 и c0, зависящие только от n и p (и не зависящие от Q), обладающие следующим свойством. Для любого множества T T0 и для любых w1, w2, w3, удовлетворяющих условиям существует измеримое множество B1 (Q, T ) T такое, что для каждой точки (x, z, w) B1 (Q, T ) существует многочлен P Pn (Q), удовлетворяющий системе и для Q > Q0 верна оцена меры Методика получения результатов типа теоремы Хинчина в случае расходимости разрабатывается давно. В монографии Спринджука [40] приведена схема доказательства случая расходимости.

Второй результат этой главы – это доказательство гипотезы БерникаКлейнбока-Маргулиса для множества An (4, 5 ) в случае расходимости для специального вида функций 4 и 5.

Прежде чем сформулировать основной результат, введем некоторые вспомогательные функции, которые определяются через 4 и 5 и отвечают различным “техническим” ограничениям на 4 и 5 :

где K – достаточно большая постоянная.

Следуя определению в [55], будем говорить, что функция f является 2регулярной, если существует положительная постоянная < 1 такая, что f (2t+1 ) f (2t ) для всех достаточно больших t. Также будем говорить, что функция f является квази-монотонной, если существуют постоянные c4 и c такие, что 0 < c4 < 1 c5 и f (c4 x) c5 f (x) для всех достаточно больших x.

Теорема 2.4. Пусть функции 4, 5 : R+ R+ такие, что 4 5 – монотонно убывающая функция. Пусть n 2 – целое число. Предположим, что Kh 3 5 (h) < k0 Kh и или является 2-регулярной функцией, где k0 – положительная постоянная, зависящая только от n. Кроме того, предположим, что является квази-монотонной функцией. Тогда В основе доказательства теоремы 2.4 лежит два метода: метод повсеместных систем [55] и построение множеств близких сопряженных алгебраических чисел [57].

Теоремы в случае расходимости допускают уточнения, в которых указывается асимптотика числа решений соответствующих диофантовых неравенств или систем неравенств. Однако, в случае приближений зависимых величин асимптотическая формула получена только в работе [7] для почти всех точек многообразия, являющегося топологическим произведением m 4 плоских кривых i = (t, fi (t)), 1 i m. Возможно, этот результат можно обобщить и на многообразия, задаваемые квадратичными формами; для этого будут полезны результаты работ [16, 21, 76].

Настоящая глава основана на работах [17, 24, 71, 78].

2.2 Доказательство теоремы 2. 2.2.1 Получение эффективной оценки меры множества Настоящий раздел посвящен доказательству теоремы 2.3. Зафиксируем 1 > 0. Удалим из параллелепипеда T0 множество малой меры так, чтобы в оставшейся части выполнялось неравенство |Im z| 1, тогда справедливы неравенства (1.16). Далее зафиксируем произвольный параллелепипед T T0. Сначала покажем, используя принцип ящиков Дирихле, что при c0 = c0 (n, p, T ) для каждой точки u множества T существует ненулевой многочлен P Pn (Q) удовлетворяющий (2.6). Затем докажем существование постоянной 0, что является главной трудностью при доказательстве теоремы.

Определим множество B2 (Q, T ) как множество точек u T, для которых существует хотя бы один ненулевой многочлен P Pn (Q), удовлетворяюший системе неравенств (2.6).

Предложение 2.1. Для любого множества T в T0 существует постоянная c0, зависящая только от n, p и T такая, что для всех достаточно больших Q имеет место равенство B2 (Q, T ) = T.

Доказательство. Зафиксируем произвольную точку u T. Поскольку множество T ограничено, значения функций f i и их производных на T ограничены (по абсолютной величине и p-адической норме соответственно) некоторой постоянной, зависящей только от T и n. Следовательно, для любого многочлена P (f ) = n ai f i Pn (Q) точка MP = (P (x), P (z), P (w)) буi= дет принадлежать параллелепипеду T = (0, r ), где r = ((n + 1)c2 Q, c2 (n + 1)Q, pl ), c2 > 0 – постоянная зависящая от T.

Пусть x [c2, c2 ]. Интервал [(n + 1)c2 Q, (n + 1)c2 Q] в R можно покрыть [2(n + 1)c2 Q/(c0 Qw1 )] + 1 интервалами длины c0 Qw1. Обозначим эти интервалы через lx,b1, тогда при Q достаточно большом.

Пусть z C(0, c2 ). Круг радиуса (n + 1)c2 Q в C содержится в квадрате [(n + 1)c2 Q, (n + 1)c2 Q]2 в C. Каждую из сторон этого квадрата можно покрыть отрезками длины c0 Qw2 21/2, при этом число отрезков на каждой из сторон не превосходит [2(n + 1)c2 Q(c0 Qw2 21/2 )1 ] + 1. Разбиение каждой из сторон индуцирует покрытие всего квадрата квадратами, каждый из которых покрывается кругом диаметра c0 Qw2. Обозначим эти круги через lz,b2, тогда число кругов b2 не превосходит при Q достаточно большом.

Далее построим покрытие цилиндра D радиуса c2 в Qp цилиндрами lw,b3 радиуса c0 Qw3. Каждое p-адическое число из данного цилиндра удовлетворяет условию |w|p c2 = plogp c2, откуда |w|p pl0, где l0 = [logp c2 ]. Таким образом, w = 0 w(j) pj, w(j) {0, 1,..., p 1}. В качестве цилиндров покрытия возьмем цилиндры радиуса c0 Qw3 с центрами в точках w = m0 0 w(j) pj, m0 = [ logp (c0 Q )], w {0, 1,..., p 1}. По построению для любой точки w = 0 w(j) pj D точка w(j) {0, 1,..., p 1} будет удовлетворять w w = 0 +1 w(j) pj и |w w |p p(m0 +1) < c0 Qw3. Таким образом, число цилиндров b3 в этом покрытии равно Следовательно, набор параллелепипедов lx,b1 lz,b2 lw,b3 образует покрытие T, число элементов в котором не более Положим c0 = (27(n + 1)3 2(n+1) pc4 ) 4. Поскольку число различных мноn+ гочленов #P = (2Q + 1), то найдется параллелепипед lx,b1 lz,b2 lw,b3, содержащий по крайней мере две точки: MP1 и MP2. Легко видеть, что многочлен P = P1 P2 удовлетворяет системе (2.6).

Для некоторых 0 < vi < 1, i = 1, 2, 3, которые будут выбраны позднее, определим следующие множества:

L0 (Q, T ) := {u B2 (Q, T ) : P Pn (Q) такой, что |P (x)| > Qv1, L1 (Q, T ) := {u L0 (Q, T ) : P Pn (Q) такой, что Qv1 < |P (x)| < 0 Q, L2 (Q, T ) := {u L0 (Q, T ) : P Pn (Q) такой, что |P (x)| > Qv1, L3 (Q, T ) := {u L0 (Q, T ) : P Pn (Q) такой, что |P (x)| > Qv1, Рассматривая случаи линейности/нелинейности как при доказательстве теоремы 1.1 получим, что µ(B2 (Q, T ) \ L0 (Q, T )) 0 при Q, поэтому при достаточно большом Q мера множества будет не превосходить (1 s)µ(T )/2, то при условии µ(Lj (Q, T )) < (1 s)µ(T )/6, j = 1, 2, 3, получим требуемый результат µ(B1 (Q, T )) sµ(T ). Далее покажем, что µ(L1 (Q, T )) < (1 s)µ(T )/6, результат для оставшихся двух множеств доказывается аналогично.

Предложение 2.2. Для любого множества T T0 существует постоянная 0 такая, что верна оценка меры для всех достаточно больших Q.

Доказательство. Достаточно провести доказательство для целочисленных неприводимых примитивных многочленов P Pn, удовлетворяющих условиям Сведение многочленов к таким специальным многочленам обосновано при доказательстве теоремы 1.1.

Зафиксируем многочлен P Pn (Q). Пусть 1 – ближайший корень многочлена P к точке x, 1 – ближайший корень P к z, и – ближайший корень P к w, где Q. Покажем, что производные многочлена P в корнях и производные многочлена P в ближайших к корням точках f (f = x, z, w соответственно) одного порядка. Разложим многочлен P в ряд Тейлора в окрестности корней 1, 1 и 1. Используя (1.12), (1.13), (2.6) и определение множества L1 (Q, T ), получаем 1 )i1, находим |((j 1)!)1 P (j) (1 )||x 1 |j1 < c(n, T )cj1 ((j 1)!) Q 1 1(j1)(w1 +v1 ) для 2v1 > 1 w1 (и w1 1), j = 3,..., n и достаточно большого Q. Отсюда следует, что В p-адическом случае, используя оценки |P (j) (1 )|p < c and |(k!)1 |p pk, находим |((j 1)!)1 P (j) (1 )|p |w 1 |j1 < c cj1 pj1 Q(j1)(w3 +v3 ) < Qv3, для 2v3 < w3 (и w3 0), j = 3,..., n и достаточно большого Q. Заключаем, что |P (1 )|p = |P (w)|p. Таким образом, в комплексном (аналогично как и в действительном случае и используя (2.9)) и p-адическом случаях, для 2v2 > 1 w2 (и w2 1), 2v3 < w3 (и w3 0), и достаточно большого Q получаем Для многочлена P решения u системы неравенств в определении множества L1 (Q, T ) и удовлетворяющие (2.10) и (2.11), принадлежат параллелепипеду (P ):

Для некоторой постоянной c1 > 0 (условия на которую будут наложены позднее) рассмотрим другой параллелепипед 1 (P ), содержащий параллелепипед (P ):

Параллелепипеды 1 (P ) и (P ) корректно определены, если выполняются следующие условия:

и дополнительное условие c1 > 2nc0 в случае выполнения хотя бы одного из равенств: u1 = 0 или u2 = 0 или u3 = 1. Разложим многочлен P в ряд Тейлора на 1 (P ) в окрестности корней 1, 1, 1 и оценим его значения сверху. Оценивая каждый член из разложения P (x) = P (1 )(x 1 ) + i=2 (i!) P (1 )(x 1 ), получим |(j!)1 P (j) (1 )||x 1 |j < c(n, T )(j!)1 (1 )j 2j Q1+j(u1 v1 ) < для u1 < 2v1 1, u1 < v1, j = 2,..., n и достаточно большого Q. Таким образом, находим на 1 (P ):