СРЕДНЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

С. Г. ГРИГОРЬЕВ, С. В. ИВОЛГИНА

МАТЕМАТИКА

Под редакцией проф. В. А. Гусева

УЧЕБНИК

Рекомендовано

Федеральным государственным учреждением «Федеральный институт

развития образования» в качестве учебника для использования

в учебном процессе образовательных учреждений, реализующих

образовательные программы среднего профессионального образования Регистрационный номер рецензии 122 от 14 мая 2010 г. ФГУ «ФИРО»

10 е издание, стереотипное УДК 51(075.32) ББК 22.1я723 Г831 Р е ц е н з е н т ы:

проф., канд. пед. наук Московского городского педагогического университета Т. А. Корешкова;

преподаватель математики ГОУ СПО «Политехнический колледж № 39»

Л. К. Лисицина;

преподаватели математики Мытищинского машиностроительного техникума Л. Г. Осипова, Т. Н. Корчагина Григорьев С. Г.

Математика : учебник для студ. образоват. учреждений Г сред. проф. образования / С. Г. Григорьев, С. В. Иволгина;

под ред. В. А. Гусева. — 10-е изд., стер. — М. : Издательский центр «Академия», 2014. — 416 с.

ISBN 978-5-4468-0624- Материал учебника охватывает все основные разделы математики:

дифференциальное и интегральное исчисление, ряды, обыкновенные дифференциальные уравнения, а также элементы теории вероятностей и математической статистики. Каждый раздел включает разбор практических задач и задачи для самостоятельного решения.

Учебник может быть использован при изучении дисциплины «Математика» в соответствии с требованиями ФГОС СПО для среднего профессионального обучения.

Для студентов образовательных учреждений среднего профессионального образования.

УДК 51(075.32) ББК 22.1я © Григорьева Н. Н. (наследница Григорьева С. Г.), Иволгина С. В., © Образовательно-издательский центр «Академия», ISBN 978 5 4468 0624 9 © Оформление. Издательский центр «Академия»,

ПРЕДИСЛОВИЕ

В настоящее время математика служит фундаментом ряда экономических дисциплин. Овладение ее методами и умение применять их на практике необходимы каждому экономисту, по этому цель предлагаемого учебника — изложение основ совре менной математики и их приложений в экономических областях.

Материал книги разбит на семь глав: дифференциальное и ин тегральное исчисление, ряды, дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, обыкновенные дифференци альные уравнения, основы дискретной математики, численные методы алгебры, основы теории вероятностей и математической статистики.

В учебнике дано большое количество примеров с решениями, в том числе прикладного характера, а также задачи для самосто ятельного решения. Большинство фундаментальных теорем приведено с доказательствами, в конце которых стоит специаль ный знак, заменяющий слова «что и требовалось доказать».

Учебник соответствует требованиям Государственного образо вательного стандарта для студентов образовательных учрежде ний среднего профессионального образования. Может быть реко мендован учителям и школьникам старших классов средних школ, а также служить для целей самообразования.

В учебнике приняты следующие условные обозначения:

О — определение;

Т — теорема;

Л — лемма;

С — следствие.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

1.1. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ

При изучении закономерностей, встречающихся в природе, все время приходится иметь дело с величинами постоянными и величинами переменными.

О Постоянной называется величина, сохраняющая одно и то же числовое значение (или вообще, или в данном примере).

Примеры. 1. Сумма углов в треугольнике есть величина постоян ная ( + + = 180°).

2. Отношение длины окружности к ее диаметру личина постоянная.

Среди постоянных величин полезно различать абсолютно по стоянные и параметры.

Первые в любых условиях и при всяких заданиях сохраняют одно и то же определенное числовое значение, например 2, 3, Параметры лишь условно постоянны (т. е. в пределах одного примера их рассматривают как величины не меняющиеся, но в пределах другого примера они могут иметь совсем другие значе ния, хотя точно так же не меняющиеся). Например, числа k и b в данном уравнении прямой y = kx + b постоянны.

О Переменной называется величина, принимающая различ ные числовые значения.

Примеры. 1. При бросании вверх камня его расстояние до поверх ности Земли есть величина переменная.

2. Скорость автомобиля при движении по городским улицам есть ве личина переменная.

Совокупность числовых значений, принимаемых переменной величиной, называется областью ее значений. Геометрически она изображается в виде некоторого множества точек числовой пря мой.

1.1.2. Функция одной переменной Пусть даны два множества произвольной природы Х и Y, со стоящие из произвольных элементов х и у.

О Если каждому элементу х множества Х по некоторому пра вилу f поставлен в соответствие элемент у множества Y, то го ворят, что на множестве Х определена функция со значения ми в множестве Y, и пишут: у = f (х).

Таким образом, для того чтобы задать функцию, необходимы три компонента: два множества и правило их соответствия.

Переменная х называется независимой переменной, или ар гументом, а переменная у — зависимой переменной, или функ цией.

Множество Х называется областью определения функции, а множество Y — областью значений функции. В дальнейшем область определения функции будем обозначать D(f), а множе ство ее значений — Е(f).

Если множество Х специально не оговорено, то под областью определения функции понимается область допустимых значе ний аргумента х, т. е. множество таких значений х, при которых функция у = f (х) вообще имеет смысл.

Примеры. 1. y = sin x: D ( f ) = (; +); E( f ) = [1; 1].

Замечание. Для обозначения функции не обязательно ис пользовать буквы у и х. Например, каждому значению радиуса шара R соответствует одно значение объема шара: V = R 3.

Следовательно, объем шара является функцией радиуса шара.

Областью определения этой функции является множество D(V ) = = [0; + ), так как радиус шара не может быть отрицательным.

Множество значений E(V ) = [0; + ), так как объем шара не мо жет быть отрицательным.

О Частным значением функции у = f (х) при х = х0, х0 Х, называется то значение у, которое соответствует данному значе нию х0. Оно обозначается через f (х0).

Примеры. 1. Вычислить частное значение функции V = R 3 при R = 3.

Решение. Имеем: V (3) = 33 = 36.

2. Дана функция y = 2 4 х +. Найти ее область определения и частные значения при х = 0; х = 2.

Решение. 1) Данная функция определена для всех значений х, при которых оба слагаемых имеют действительные значения. Поэтому ее областью определения является пересечение двух множеств, представ ляющих области определения каждого слагаемого, т. е.

2) Частными значениями данной функции являются числа:

1.1.3. Способы задания функции Функцию можно задать аналитическим, табличным, графи ческим и словесным способами. Рассмотрим подробнее способы задания функции.

Аналитический. В этом способе функциональная зависимость между переменными х, у выражается в виде формулы, которая указывает совокупность тех математических операций, которые должны быть выполнены, чтобы по заданному значению аргу мента найти соответствующее значение функции. При аналити ческом задании функции обычно не указывается область ее оп ределения.

Функцию не следует отождествлять с формулой, с помощью которой она задана. Например, функции у = х 2, х (; +) и у = х 2, х [1; 3], выраженные одной и той же формулой у = х 2, различны, так как имеют разные области определения.

Наоборот, одна и та же функция может быть задана разными формулами на различных участках ее области определения.

Например, Здесь две формулы задают одну функцию, определенную на всей числовой прямой. При х 0 значения этой функции опре деляются по первой формуле, а при х > 0 — по второй. График этой функции представлен в плоскости хОу (рис. 1.1).

Табличный. Аналитический способ задания удобен тем, что значения функции можно вычислить при любых взятых из об ласти определения значениях аргумента. Этот способ является основным в математическом анализе. Однако для расчетов он часто оказывается неудобным, так как сопряжен с необходимо стью выполнения в каждом отдельном случае многочисленных, часто трудоемких, вычислений. Поэтому на практике опреде ляются значения функций для большого числа выбранных зна чений аргумента х и составляются таблицы этих значений (например, тригонометрические, логарифми ческие таблицы и др.). Когда же опытным путем описывается функ циональная зависимость между пе ременными, то составляются таб лицы величин — аргумента и фун кции, причем в этом случае значе ния функции являются прибли Пример. Рассмотрим взаимосвязь между ценой некоторого продук та p и величиной спроса на этот продукт q, которая может быть пред ставлена в виде таблицы:

q (тыс. шт.) Как видно из таблицы, спрос убывает с возрастанием цены.

Графический. Если функция задана в виде формулы y = f (x), то ее графиком является множество точек плоскости, координа ты которых удовлетворяют соотношению y = f (x).

Примеры. 1. Графиком функции y = 1 х2 является полуокруж ность (рис. 1.2).

2. Графиком функции y = (х > 0) является правая ветвь гипербо лы (рис. 1.3).

3. Однако графически можно представить не только аналитические функции. Изобразим с помощью графика табличную взаимосвязь рас смотренного выше примера между ценой некоторого продукта р и ве личиной спроса на этот продукт q (рис. 1.4).

В данном примере все значения находятся на прямой линии р = = 300 10q.

4. Примером графической зависимости может служить также элек трокардиограмма (ЭКГ), широко используемая в медицине.

Словесный. В этом способе функция описывается правилом ее составления, например функция Дирихле: f (х) = 1, если х — рационально и f (х) = 0, если x — иррационально, т. е.

Рис. 1. 1.1.4. Основные свойства функций Рассмотрим такие свойства функции как четность и монотон ность, ограниченность и периодичность.

Четность и нечетность. Функция у = f(х) называется четной, если для любых значений х из области определения f (х) = f (х), и нечетной, если f(х) = f (х). В противном случае функция у = f (х) называется функцией общего вида.

Примеры. 1. Функция у = х 4 является четной, так как 2. Функция у = х 3 — нечетная, так как 3. Функция у = х 2 + х 3 — является функцией общего вида, так как 4. Установить четность или нечетность функций:

Решение. 1) Заменив х на (х), получим т. е. f (х) = f (х), следовательно, функция является нечетной.

2) f (х) = 3х + 3(х) = 3х + 3х = f (х), т. е. f (х) = f (х), следовательно, функция является четной.

3) f (x) = 2 x + 3е( х) = 2 x + 3ех = f (x), т. е. функция является чет ной.

4) f (х) = 3(х)2 — 2(х) = 3х2 + 2х, т. е. f (х) f(х) и f (х) f (х), следовательно, данная функция не является ни четной, ни нечетной, т. е. является функцией общего вида.

является нечетной.

График четной функции симметричен относительно оси орди нат, например у = х2 (рис. 1.5). График нечетной функции сим метричен относительно начала координат, например у = х (рис. 1.6).

Монотонность. Функция у = f(х) называется возрастающей (убывающей) на некотором промежутке Х из области определе ния, если большему значению аргумента из этого промежутка со ответствует большее (меньшее) значение функции.

Из определения следует, что если х1, х 2 Х и х 2 > х 1, то функ ция возрастает на некотором промежутке Х из области опреде ления, если f(х 2) > f(х1), и убывает на этом промежутке, если f(х 2) < f(х1). Функции возрастающие и убывающие называются монотонными функциями.

Пример. Функция у = х 2 убывает на промежутке Х = (; 0] и воз растает на промежутке Х = [0; +).

Ограниченность. Функция у = f(х) называется ограниченной на некотором промежутке Х из области определения, если суще ствует число М > 0 такое, что |f(x)| M для любого x X.

Пример. Функции у = cos х и у = sin х являются ограниченными на всей числовой прямой, так как |cos х| 1 и |sin х| 1 для любого x R.

Периодичность. Функция у = f(х) называется периодической с периодом Т > 0, если для любых значений х из области опреде ления функции f(х + Т ) = f(х Т ) = f(х).

Основным периодом функции называется наименьшее поло жительное число Т, обладающее указанным свойством.

Например, функции у = cos х и у = sin х имеют период Т = 2, так как для любых значений х: sin(х ± 2) = sin х, cos(х ± 2) = = cos х.

Пример. Найти основные периоды функций:

1) f (х) = cos 6х; 2) f (х) = sin 4х + tg 3x.

Решение. 1) Так как основной период функции cos х равен 2, то ос функции tg 3x основной период равен T2 =.

Тогда основным периодом данной функции f (х) = sin 4х + tg 3x яв ляется наименьшее общее кратное чисел 1.1.5. Классификация функций О Целой рациональной функцией (многочленом) называют такую функцию, над значениями аргумента х которой и некото рыми постоянными числами выполняются операции: сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в целую положи тельную степень (и притом конечное число раз).

Общий вид целой рациональной функции (многочлена п й сте пени):

где п — целое положительное или равное нулю число; а0, а1, а2, …, ап1, ап — коэффициенты (постоянные числа).

Частные случаи: прямая пропорциональная зависимость у = kx; линейная зависимость у = kx + b; квадратичная зависи мость у = ax2 + bx + c.

О Дробной рациональной функцией называют функцию Rn(х), представимую в виде частного от деления двух целых ра циональных функций:

где п Z, т Z; а0, а1, а2, …, ап 1, ап, b1, b2, …, b т 1, bт — коэф фициенты (постоянные числа).

Частные случаи: обратная пропорциональная зависимость ; дробно линейная функция y = Совокупность целых рациональных и дробных рациональных функций образует класс рациональных функций.

Примеры. 1. Функция у = 3х3 2х2 + 2х 3 является целой рацио нальной функцией или многочленом 3 й степени относительно х.

функцией.

О Иррациональной функцией называют такую функцию, над аргументом х которой, кроме перечисленных ранее первых пяти алгебраических операций, производится еще операция из влечения корня конечное число раз и результат не является ра циональной функцией.

Пример. Функция y = нальной функцией.

Совокупность рациональных и иррациональных функций образуют класс алгебраических функций.

Трансцендентная функция — всякая неалгебраическая функция.

Примеры. 1. Показательная функция у = а х (а > 0, а 1), у = е х (эк спонента).

2. Логарифмические функции: у = loga x (а > 0, а 1), у = ln x (нату ральный логарифм), у = lg x (десятичный логарифм).

3. Тригонометрические функции: у = sin x, у = cos x, у = tg x, у = ctg x.

4. Обратные тригонометрические функции: у = arcsin x, у = arccos x, у = arctg x, у = arcctg x.

1.1.6. Понятие сложной функции Пусть и = (х) — некоторая функция от переменной х. Рас смотрим другую функцию у = f(и) такую, что ее область опреде ления совпадает или хотя бы имеет общую часть с множеством значений функции и = (х). Тогда получим функцию у = f (и) = = f((х)) как функцию от х, т. е. задание х определяет функцию и = (х), а задание и, если оно попадает в множество значений функции и = (х), определит функцию у. Таким образом, в ко нечном счете заданием х определяется значение у, т.е. у стано вится функцией от х. Полученная таким образом функция у = = f(и) = f((х)) называется сложной функцией от х (заданной через промежуточную функцию и).

Пример. Функция у = sin2 х является сложной функцией. Ее мож но представить так: у = и 2, где и = sin х.

1.1.7. Обратная функция Рассмотрим монотонную функцию у = f (х), определенную на отрезке [a; b], и пусть отрезок [c; d ] является множеством ее зна чений.

Функция у = f(х) ставит в соответствие каждой точке х0 [a;

b] единственную точку у0 [c; d ] (рис. 1.7).

Можно установить и обратную закономерность: каждому зна чению у0 из отрезка [c; d] соответствует единственное значение х0 [a; b] (в силу монотонности функции) такое, что у0 = f(х0).

Таким образом можно рассматривать х как функцию от у с об ластью определения [c; d ] и множеством значений [a; b]. Функ ция х = f 1(у) называется обратной функцией по отношению к функции у = f (х). Если же в уравнении х = f 1(у) заменить х на у, то функция у = f 1 (х) будет взаимно обратной к функ ции у = f (х).

Графики прямой и взаимно обратной функций симметричны относительно биссектрисы у = х первого и третьего координатных углов.

Пример. Найти взаимно обратную функцию к функции у = sin x c Решение. Из уравнения у = sin x выразим х через у. Получим х = = arcsin y. Заменяя в этом соотношении х на у и у на х будем иметь:

у = arcsin x D( f ) = [1; 1] и Е( f ) = ;. Итак, функции у = sin x являются взаимно обратными. Их графики симметричны относитель но биссектрисы у = х первого и третьего координатных углов (рис. 1.8).

О Функция называется явной, если она задана формулой, пра вая часть которой не содержит у.

Пример. у = sin х.

О Функция называется неявной, если она задана уравнени ем F(х; у) = 0, из которого либо невозможно выразить у, либо в этом нет необходимости.

Примеры.

1.1.9. Однозначные и многозначные функции О Если каждому значению аргумента соответствует одно зна чение функции, то она называется однозначной.

Пример. у = 3х 2.

Рис. 1. Если каждому значению аргумента соответствует несколько значений функции, то она называется многозначной.

Пример. y = ± х (рис. 1.9).

1.1.10. Элементарные функции и их графики Основными элементарными функциями являются:

1) степенная функция у = х п, где п R;

2) показательная функция у = ах (а > 0, а 1), у = ех (экспо нента);

3) логарифмические функции: у = log a x (а > 0, а 1), у = ln x, у = lg x;

4) тригонометрические функции: у = sin x, у = cos x, у = tg x, у = ctg x;

5) обратные тригонометрические (круговые) функции: у = = arcsin x, у = arccos x, у = arctg x, у = arcctg x.

О Элементарными функциями называют функции, кото рые получаются из основных элементарных функций с помощью четырех арифметических действий и суперпозиций (формирова ние сложных функций), примененных конечное число раз.