«ВЕСТНИК II МЕЖВУЗОВСКОЙ КОНФЕРЕНЦИИ МОЛОДЫХ УЧЕНЫХ Сборник научных трудов Том O САНКТ-ПЕТЕРБУРГ OMMR Выпуск содержит материалы II межвузовской конференции молодых учёных, посвященной 100-летию первого выпуска ...»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ

ВЕСТНИК II МЕЖВУЗОВСКОЙ

КОНФЕРЕНЦИИ МОЛОДЫХ

УЧЕНЫХ

Сборник научных трудов Том O

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

OMMR Выпуск содержит материалы II межвузовской конференции молодых учёных, посвященной 100-летию первого выпуска механико-оптического и часового отделения Ремесленного училища цесаревича Николая – предшественника Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики.

Конференция была проведена 28–31 марта 2005 г. Санкт-Петербургским государственным университетом информационных технологий, механики и оптики.

ПРОГРАММНЫЙ КОМИТЕТ КОНФЕРЕНЦИИ

Председатель Ректор СПбГУ ИТМО, д.т.н., профессор В.Н. Васильев Сопредседатели Проректор по развитию, д.т.н., проф. В.О. Никифоров Проректор по УО и АР, д.ф.-м.н., проф. Ю.Л. Колесников Декан факультета ППО, д.т.н., проф. В.Л. Ткалич Члены программного комитета Д.ф.-м.н., проф. Л.Н. Андреев, д.т.н., проф. В.А. Зверев, д.т.н., проф. В.А. Иванов, д.т.н., проф. В.К. Кирилловский, д.т.н., проф. А.Г. Коробейников, д.т.н., проф. Д.Д. Куликов, д.т.н., проф. С.М. Латыев, д.т.н., проф. В.М. Мусалимов, д.ф.-м.н., проф. Н.В.

Никоноров, д.т.н., проф. Э.Д. Панков, д.т.н., проф. Э.С. Путилин, д.ф.-м.н., проф.

В.С. Сизиков, д.т.н., проф. А.М. Скворцов, д.т.н., проф. С.Б. Смирнов, д.т.н., проф.

С.К. Стафеев, д.т.н., проф. В.А. Тарлыков, д.т.н., проф. А.А. Шалыто, д.т.н., проф.

А.В. Шарков, д.т.н., проф. Е.Б. Яковлев, к.т.н., доц. В.М. Домненко, к.т.н., доц. М.Я.

Марусина, к.т.н., проф. Б.С. Падун, к.т.н., проф. М.И. Потеев, к.ф.н., доц. В.Н.

Садовников, к.т.н., доц. И.Н. Тимощук, к.т.н., доц. Б.Д. Тимченко, к.т.н. Т.В.

Точилина, к.т.н., доц. Е.Ф. Чуфаров, к.т.н., доц. Е.В. Шалобаев

ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ КОМИТЕТ КОНФЕРЕНЦИИ

Председатель Зам. проректора по НР Л.М. Студеникин Зам. председателя К.т.н. Т.В. Точилина Члены организационного комитета К.В. Богданов, П.А. Борисов, Н.Н. Валентик, Н.Ф. Гусарова, И.Н. Жданов, С.Ю.

Керпелева, Н.В. Когай, Д.В. Лукичев, А.Г. Метляков, Н.Б. Нечаева, М.В. Никитина, А.В. Перепелкин, Т.А. Прудентова ISBN 5-7577-0259- © Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики,

СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ, ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ

5 И ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО-АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ

ПРОЦЕССА ТРЕНИЯ ПОВЕРХНОСТНОГО СЛОЯ ОБРАЗЦОВ

И СТРУКТУРНАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ ЕГО ДИНАМИЧЕСКОЙ

СИСТЕМЫ

И.А. Абдурахманов, Д.В. Король

Научный руководитель – д.т.н., профессор В.М. Мусалимов Изучены процессы, происходящие в трущихся поверхностях. С помощью трибометрической системы «Трибал», осуществлена структурная и параметрическая идентификация процесса. Результат анализа показал, что для адекватного описания процесса необходимо учитывать в системе взаимодействующих тел наличие и третьего тела.

Целью исследования было зарегистрировать процессы, происходящие на границе двух трущихся образцов, а также в поверхностном слое материала образцов, и построить математические модели процессов. Для решения этих задач была использована система «Трибал», схема которой приведена на рис. 1.

Рис. 1. Схема установки «Трибал»

Здесь на основании 1 закреплены две направляющие 2, по которым движется ползун (платформа) 3. К ползуну жестко крепится держатель 4 образца 5. Держатель 7 образца 6 нагружается через шарикоподшипники 22 нагрузочной площадки 10 винтовым домкратом 14. Нагрузка измеряется динамометром 16. Нагружение производится двигателем 17, закрепленным на стойке 15. Перемещение нижнего держателя осуществляется двигателем 19 с помощью шатунно-кривошипного механизма 18 и фиксируется датчиком-индикатором 11 через стержень 8, жестко соединенным с держателем 4. Сила трения, действующая на образцы, измеряется датчиком-индикатором 12, закрепленным на стойке 13. Информация с датчиков 11, 12 вводится в персональный компьютер 20.

Платформа представляет собой тележку на четырех катках 21, передвигающихся по направляющим 2. Платформа служит для закрепления на ней нижнего держателя 4 образца 5 и в то же время является ползуном в кривошипно-шатунном механизме, обеспечивающем ей возвратно-поступательное движение. Система «Трибал» имеет, таким образом, один вход u (датчик 11) и один выход y (датчик 12). Пара сигналов u (t ), y (t ) далее исследуется как сигналы объекта (трибопары) автоматического регулирования. Такое представление объекта позволяет поставить задачу структурной и параметрической идентификации динамической системы процесса фрикционного взаимодействия и получить ее динамические характеристики.

Динамические свойства линейных механических объектов и систем автоматического регулирования в целом могут быть описаны дифференциальными уравнениями.

';

В этом, собственно, и состоит структурная идентификация. Были поставлены задачи:

1. построить систему дифференциальных уравнений для динамической системы с одной степенью свободы – здесь узел трения рассматривается как «черный ящик» с одним входом u(t) и одним выходом y(t);

2. построить систему дифференциальных уравнений для динамической системы с двумя степенями свободы – здесь узел трения рассматривается как реальная трибопара, имеющая массы m1 и m2 контртел;

3. построить систему дифференциальных уравнений для динамической системы с тремя степенями свободы – здесь, наряду с массами контртел m1 и m2 , учитывается масса m третьего тела.

Исследования производились на примере двух образцов оптического стекла. Полученные экспериментальные данные представляют собой записи двух сигналов: входного u(t) и выходного y(t) (см. рис. 2).

На первом этапе была рассмотрена модель с одной степенью свободы. В этом случае были получены следующие значения коэффициентов демпфирования и частоты собственных колебаний, показанные в табл. 1 в столбце I. Здесь видно, что в этом случае его значение достаточно велико, а значение частоты собственных колебаний, наоборот, мало (см. рис. 3).

Во втором случае (столбец II) была исследована система с двумя степенями свободы, одна из которых соответствует первому образцу, а вторая – второму. Здесь наблюдается более интересная картина. В первом образце имеет место последовательное (по сравнению с предыдущей системой) уменьшение значения коэффициента демпфирования и увеличение частоты собственных колебаний. С другой стороны, на выходе коэффициент демпфирования оказывается еще большим. При этом частота собственных колебаний пренебрежимо мала (см. рис. 4).

Рис. P. Реакция системы 1 на единичный импульс Рис. 4. Реакция системы O на единичный импульс Рис. 5. Реакция системы P на единичный импульс В третьем случае (столбец III) вводится дополнительная, третья, степень свободы, которая соответствует так называемому третьему телу. Третье тело – это отработанные частицы поверхностного слоя трущихся поверхностей, которые влияют на всю систему трения. Это тело и накладывает третью степень свободы. При введении этой степени свободы в рассмотрение получается, что коэффициенты демпфирования резко уменьшаются. В свою очередь, частоты собственных колебаний растут и начинают играть ключевую роль (см. рис. 5).

Итак, как видно из проведенного исследования, по мере увеличения количества степеней свободы коэффициенты демпфирования плавно уменьшаются, а частоты собственных колебаний, наоборот, увеличиваются, а в третьем случае коэффициент демпфирования вообще перестает влиять на систему. Таким образом, в третьем случае мы имеем неустойчивую систему.

Структурная идентификация позволила получить следующие модели в пространстве состояний:

где в первом случае:

во втором случае:

а в третьем случае:

- 0.6331 0.8121 0.9078 - 1.642 - 0.3615 1. При исследовании систем с различными степенями свободы были получены значения коэффициентов демпфирования, полюсов и частот собственных колебаний, представленные в табл. 1. Случай 1 соответствует системе с одной степенью свободы, случай 2 – системе с двумя степенями свободы, а случай 3 – системе с тремя степенями свободы.

Таким образом, были смоделированы динамические системы с различным числом степеней свободы. При помощи снятых экспериментальным путем зависимостей с использованием ППП Matlab эти математические модели, учитывающие последовательно одну, две и три степени свободы, исследованы на отклик при действии ступенчатой нагрузки. На основе изучения решений можно сделать вывод: существенно влияет на систему лишь третья, дополнительная степень свободы, соответствующая третьему телу.

I II III

Таблица 1. Коэффициенты демпфирования, полюса и частоты собственных колебаний систем Литература Бесекерский В. А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления. М.: Профессия, 2004.

Мусалимов В. М. Бифуркационный механизм разрушения поверхностного слоя при трении» // Инструмент и технологии. 2004. Т.5. № 9. С. 143–146.

ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПАРЫ ТРЕНИЯ

Научный руководитель – д.т.н., профессор В.М. Мусалимов Рассмотрен принцип работы исследовательской установки и его преимущества перед известными методами определения трибологических характеристик различных материалов. С использованием программной среды MATLAB показан результат идентификации (в разные промежутки времени трибологического процесса) в виде графиков, а также дан его анализ.

Исследование трибологических характеристик стекла является перспективным для оптической промышленности, а именно в области обработки оптических стекол – с позиций повышения точности и снижения себестоимости продукции.

В настоящее время для исследования трибологических характеристик материала в основном используется один и тот же принцип. На диск из исследуемого материала подается вращательное движение с определенным усилием (чтобы диск вращался с определенной скоростью при условии, что на него не будут воздействовать внешние силы), при этом на диск давит палец с определенным усилием. В итоге измеряется скорость диска, которая из-за силы трения меньше, и эти данные обрабатываются (к примеру, находится коэффициент трения). Таким образом, образуется система с двумя и более входами и одним и более выходами, что затрудняет процесс измерения. К тому же, чтобы измерить некоторые (например, изменение шероховатости в результате процесса) параметры материала, необходимо остановить процесс.

Представленное исследование проводилось на установке «ТРИБАЛ-2» [1], собранной студентами и аспирантами ГИТМО, работа которой основывается на применении компьютерных и мехатронных технологий. Принципиальным отличием используемой трибометрической установки от вышеупомянутого метода является то, что в установке «ТРИБАЛ-2» имеется один вход и один выход, которые и позволяют снять динамические характеристики. Еще одним отличием является снятие этих характеристик без остановки процесса, а также возможность осуществлять постоянный мониторинг узла трения трибологической системы путем отслеживая динамических характеристик на мониторе компьютера. Принцип работы установки заключается в том, что есть два образца (в представленном исследовании это стекло-стекло), на один из которых подается возвратно-поступательное движение, а второй образец прижат к первому таким образом, чтобы осуществлялось проскальзывание (более подробное описание работы установки «ТРИБАЛ-2» приведено ниже). С обоих образцов снимаются результаты их движения, после чего они обрабатываются в программной среде MATLAB, где строится модель в пространстве состояний, в котором лучше всего чувствуется физика процесса.

Стоит отметить, что проводилось много работ по исследованию трения металлов и очень мало – по исследованию трения стекол, к тому же в динамике таких исследований ранее не было.

В представленной работе данные с установки (рис. 1а) снимались через каждые минут в течение полутора часов. Частота ведущего образца составляла 0,029 Гц, при усилии нагружения образцов, обусловленном обратной связью в режиме трения, но не в режиме истирания. В исследовании использовались образцы из оптического стекла с геометрическими размерами 110156 мм.

Используемую установку можно представить в виде блок-схемы (рис. 1б), состоящей из четырех основных блоков.

· Блок управления и обработки данных состоит из блока управления 1, компьютера 17 и датчиков 16, 29.

· Редуктор включает в себя двигатель 3 и зубчатые колеса 4,5,8,9.

· Нагрузочное устройство содержит двигатель 19, зубчатые колеса 21,22, гайку 22, винт 23, муфту 24 и нагрузочный стержень 25.

· В рабочий блок входят образцы 15, 18, шатун 12, а также верхняя и нижней тележки Рис. 1. Кинематическая схема (а) и блок-схема (б) трибологической установки «ТРИБАЛ-O»

Работа трибологической системы осуществляется следующим образом. С блока управления (1) подаем электрический сигнал на двигатель (3), который в итоге через зубчатые колеса (4–6) передает вращательное движение на зубчатое колесо (9). К последнему прикреплен со смещением относительно его центра шатун (12), который, в свою очередь, передает возвратно-поступательное движение на нижнюю тележку (13), на которой жестко закреплен нижний образец (15).

С блока управления (1) электрический сигнал также поступает на двигатель (19), который передает вращательное движение через червяк (20) на зубчатое колесо (21). С помощью пары винт (23) – гайка (22) вращательное движение преобразуется в поступательное, обеспечивая тем самым движение нагрузочной стойки (25). К последней посредством пружин (27) прикреплена верхняя тележка (28) с жестко закрепленным на ней верхним образцом (18). Сигналы входного и выходного поступательного движения снимаются с помощью датчиков (29, 16), после чего поступают на компьютер (17).

На рис. 2–5 представлены динамические характеристики (амплитудно-частотная, фазово-частотная и переходная) процесса трения стекло – стекло в моменты снятия данных 0, 30, 60, 90 минут, соответственно.

Рис. O. Динамические характеристики, снятые в начальный момент времени : 47%, Рис. P. Динамические характеристики, снятые через PM минут после начала процесса трения:

Рис. 4. Динамические характеристики, снятые через 6M минут после начала процесса трения:

Рис. 5. Динамические характеристики, снятые через PM минут после начала процесса трения:

Анализируя амплитудно–частотные характеристики, можно заметить, что во время снятия данных 0, 30 и 90 минут наблюдается вполне классическая картина, т.е. до и после резонансной частоты, характеризующейся пиком (при этом он направлен в положительную сторону оси ординат), амплитуда выходного сигнала меньше амплитуды входного. На графике, данные для которого снимались через 60 минут после начала трения, наблюдается аномалия, а именно: во время резонанса амплитуда выходного сигнала не увеличивается по сравнению с амплитудой входного, как это происходило в остальных случаях, а уменьшается, на графике это направление пика, перевернутого в обратную сторону. С точки зрения систем автоматического регулирования [2] это объясняется положительной обратной связью, что не характерно для представленного процесса; это обстоятельство требует самостоятельного рассмотрения.

На фазово-частотных характеристиках выявляется не менее интересная картина. А именно, в моменты снятия данных 0, 30 и 90 минут, в начале наблюдается очень незначительное опережение фазы выходного сигнала по сравнению с входным, затем осуществляется относительно плавный переход к отставанию фазы, в то время как из теории известно, что у инерционной системы всегда имеет место отставание по фазе, что и подтверждают данные, снятые в момент времени равный 60 минутам.

На рис. 2–5, кроме графиков, также представлены основные параметры, характеризующие систему и найденные по переходной характеристике – это перерегулирование, максимальное значение регулируемой величины Хmax и время переходного процесса п. По этой же характеристике видно, что в течение всего процесса система устойчива, что и подтверждается временем переходного процесса.

Таким образом, в представленных графиках динамических характеристик наблюдаются (учитывая, что данные снимались с одной и той же установки одного и того же процесса) значительные различия. Этот разброс является причиной того, что обратная связь осуществляется оператором на глаз, и пока что невозможно оперировать усилием как постоянной величиной, поэтому в статье не приведены данные по шероховатости.

В дальнейшем планируется это исправить при помощи ввода автоматической обратной связи.

На момент написания статьи существует очень мало работ по исследованию трибологических свойств пары трения стекло-стекло, и, подводя общие итоги, можно сказать, что данный процесс представляется достаточно интересным и незавершенным, определяя дальнейшее направление изучения.

Литература Мусалимов В.М., Ларичкин М.П., Аникеенко А.Д. Трибометрическая система идентификации динамики процесса циклического изнашивания // Труды шестой сессии международной научной школы.

Фундаментальные и прикладные проблемы теории точности процессов, машин, приборов и систем. / Под ред. В. М. Мусалимова и Б. С. Падуна СПб. ИТМО. 2003. С. 52–59.

Б.А. Бесекерский, Е П. Попов. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1972.

АНАЛИЗ ДИНАМИКИ ПЛОСКИХ УПРУГИХ ЧУВСТВИТЕЛЬНЫХ

ЭЛЕМЕНТОВ ГЕРКОНОВ И АКСЕЛЕРОМЕТРОВ

Научный руководитель – д.т.н., профессор В.Л. Ткалич В работе осуществлён вывод уравнений динамики плоских упругих чувствительных элементов (УЧЭ).

Проведён анализ АЧХ контактных сердечников герконов и акселерометров.

Динамические характеристики герконов для процесса срабатывания находятся решением системы трех уравнений. Первое уравнение системы – уравнение электрических процессов в обмотке, второе – уравнение движения подвижного звена, третье – уравнение магнитных процессов в магнитной системе [1].

Новый подход к исследованию упругих чувствительных элементов герконов, основанный на применении абелевых функций [1], позволяет достичь наиболее корректного и адекватного аналитического описания как самих УЧЭ, так и происходящих в них динамических процессов. При этом подходе аналитические выражения, описывающие рабочие поверхности УЧЭ, решения нелинейного уравнения движения, а также решение вариационной задачи порядка p, используемые для оценки устойчивости и надежности УЧЭ, строятся из абелевых функций от p-переменных.

Найдем АЧХ для нелинейного дифференциального уравнения, описывающего динамику плоских УЧЭ [6]:

Для этого воспользуемся методом комплексных амплитуд [2, 3]. Положим, что возмущающая сила меняется по закону F(t)=F0 coswt, и перепишем уравнение (1) в виде Введем в рассмотрение комплексную величину y*, действительная часть которой совпадает с выражением для смещения Re y* = y. Зависимость возмущающей силы от времени также представим в комплексной форме F*(t)=F0exp(iwt), так что F(t)=Re F*(t) = F0coswt.

Действительная часть решения уравнения совпадает с решением уравнения (2), так как. коэффициенты уравнения являются действительными величинами. Искомое решение запишем в виде Соответственно, получаем:

откуда определяется комплексная амплитуда в виде или в показательной форме:

где В качестве модели, отражающей динамику чувствительного элемента акселерометра и инерционного элемента микромеханического сенсора (рис.1, 2), используется нелинейное дифференциальное уравнение:

АЧХ рассматриваемой модели акселерометра имеет вид Частоту собственных колебаний приведенных моделей можно определить по методу Релея из условия постоянства полной энергии системы (при отсутствии сопротивления и возмущающих сил).

Для построения графиков АЧХ герконов различных типов разработан ППП (Приложение 4) на языке программирования Visual C++ 6.0 Enterprise Edition. При расчете функции A(w, p k ) использовался метод половинного деления [2, 3]:

Рис.1. Акселерометр с УЧЭ в виде плоской балки (1 – УЧЭ, O – вязкая среда, Начальными данными в алгоритме расчета АЧХ являются коэффициенты уравнения и требуемый уровень точности вычислений.

Рис. O. Балочный инерционный элемент кремниевого микромеханического сенсора (1 – УЧЭ, O – контактная площадка, P – подложка микромеханического сенсора) АЧХ для геркона типа МКА-27101, полученные с помощью разработанного ППП, опубликованы в работах автора [1, 4, 5].

Разработанные математические модели для АЧХ плоских пружин герконов и акселерометров позволяют выявить влияние конструктивных параметров магнитоуправляемых контактов и датчиков ускорения на их АЧХ, что очень важно при разработке инженерной методики подбора коэффициента демпфирования данных устройств в зависимости от рабочего диапазона.

Литература 1. Ткалич В.Л. Надежность магнитоуправляемых контактов в системах управления. СПб: СПб ГИТМО (ТУ), 2000. 98 с.

2. Бидерман В.А. Механика тонкостенных конструкций. М.: Машиностроение, 1977. 488 с.

3. Бидерман В.А. Прикладная теория механических колебаний.- М.: Высшая школа, 1972. 416 с.

4. Ткалич В.Л., Лобанцев А.В., Галин Ю.В. Построение уточненного аналитического выражения АЧХ газонаполненных герконов. // Тезисы доклада на Всероссийской на учной конференции (ComputerBased Conference) «Методы и средства измерений» в разделе 11. «Мат. модели и численное моделирование измерительных приборов и датчиков», Нижний Новгород, 1 мая 2000 г., с.17.

5. Ткалич В.Л., Михеева О.Д., Лобанцев А.В., Галин Ю.В. Анализ АЧХ измерительных устройств на основе плоских УЧЭ компьютерными методами. // Депонирована в ВИНИТИ № 1330 – В00, 06.05.00. – 8с.

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЖЕСТКОСТИ

ГОФРОВ СИЛЬФОНА

Научный руководитель – д.т.н., профессор В.М. Мусалимов В данной статье представлен алгоритм расчета аналитическими методами жесткости гофров сильфона, находящегося под действием системы различных внешних сил. Полученные в статье формулы могут быть использованы для эффективного регулирования жесткости системы изменением физикомеханических свойств и геометрии изучаемого объекта.

Введение Объектом исследования статьи являются цилиндрические гофрированные оболочки (сильфоны). В предыдущих публикациях автора было построено аналитическое описание профилей изучаемых объектов с использованием эллиптических функций, а также установлена связь между параметрами эллиптических функций и геометрическими параметрами сильфонов различной формы [1]. Такое построение имеет ряд существенных преимуществ и выводит инженеров на качественно новый уровень расчета и проектирования упругих чувствительных элементов, позволяющий описывать их поведение при различных нагрузках.

В статье аналитическими методами определяется жесткость гофров сильфона, находящегося под действием системы внешних сил, включающая в себя комбинацию произвольно распределенных по длине гофра единичных и распределенных сил q и P.

Это позволит нам в дальнейшем перейти к описанию его динамики.

Определение жесткости гофра сильфона аналитическими методами Рассмотрим отдельно взятый гофр сильфона, имеющий заданные характеристики:

длину l, ширину h, жесткости при изгибе E1 J1, E2 J2 и представим его в виде расчетной схемы, изображенной на рис.1. Приложим к верхнему горизонтальному стержню полученной конструкции систему внешних сил, включающую в себя различные комбинации распределенных нагрузок qb и единичных сил P.

Определим жесткость гофра сильфона, находящегося под действием описанной выше системы внешних сил, в произвольной точке Х, и найдем зависимость жесткости конструкции от параметров сильфона и нагрузки.

Для решения поставленной задачи сначала определим перемещения заданной произвольным образом точки Х конструкции, находящейся под действием каждой отдельной силы, и воспользуемся принципом суперпозиции. Это поможет существенно упростить расчеты и проследить влияние каждого отдельного вида нагрузки на жесткость конструкции.

Рассмотрим два вида сил, действующих на конструкцию: единичная сила P, находящейся на расстоянии а от вертикального стержня (см. рис.2.а) и распределенная нагрузка qb (см. рис.2.b).

Рис. 2. Расчетные схемы для различных видов нагружения:

а) единичная нагрузкаX b) распределенная нагрузка Независимо от вида нагружения, для определения жесткости мы будем пользоваться одним и тем же алгоритмом, представленным ниже.

1. С учетом статической определимости задачи определяем реакции опор конструкции. Для случая а) они равны:

а для распределенной нагрузки, соответственно:

2. Построим эпюру момента от силы нагружения. Для этого наметим на каждой схеме характерные сечения и определим момент, действующий на каждом из полученных участков, а также найдем зависимости M P = f (x ) на каждом из участков.

3. Построим эпюру момента от единичной силы, приложенной в точке Х, где требуется найти перемещение от заданной нагрузки. Вид эпюры будет зависеть от местоположения точки Х на конструкции, поэтому далее рассмотрим три возможных варианта нахождения точки Х:

3.1. Точка Х находится на стержне АВ на расстоянии d от внешнего края (см. рис. 4).

Данный случай аналогичен нагружению конструкции единичной силой при P = 1, a = d, поэтому реакции опор будут выражаться следующим образом:

Эпюра момента будет иметь вид, представленный на рис. 5.

Рис. 5. Эпюра момента от единичной силы, приложенной в точке Х на расстоянии d от края 3.2. Точка Х находится на стержне ВС. Принимая во внимание то, что все точки рассматриваемой прямой перемещаются в вертикальном направлении одинаково под действием единичной силы, приложенной в точке Х, ей принадлежащей, данный случай может быть рассмотрен как предельный вариант 3.1 при d = 0.

3.3. Точка Х принадлежит горизонтальному стержню CD и находится на расстоянии d от внешнего края (рис. 6).

Рис. 6. Положение точки Х на конструкции в случае P.P.

Рис. T. Эпюра момента от действия единичной силы, приложенной в точке Х для случая P.P В данном случае возникают реакции опор, равные Для построения эпюры момента от действия данной единичной силы наметим характерных сечения, показанных на рис. 6. Искомая эпюра изображена на рис. 7.

4. Найдем перемещение точки Х в вертикальном направлении под действием различных сил. Для этого составим интеграл Мора для каждого из рассмотренных в п.3 случаев нахождения точки Х:

где D1P – перемещение в направлении 1 (вертикально вниз) от силы нагружения Р; M 1 – момент от действия единичной силы функции s; M P – момент от действия силы нагружения P функции s; EJ – жесткость конструкции при изгибе; E – модуль продольной упругости стержня конструкции.

Если точка Х находится на продольном стержне АВ, решающее значение будет иметь ее расположение относительно нагрузки, поэтому при расчете перемещений требуется разбить случай 3.1 на два возможных варианта решения для единичной силы P, когда d a и d p a, а для распределенной нагрузки – на три: d a + b, a d a + b и 0 d a. Составляя интеграл Мора для каждого из указанных случаев, получим выражения перемещений точек конструкции, приводимые ниже.

1. Система нагружена только единичной силой P.

Точка Х находится на продольном стержне AB.

Для случая, когда точка Х находится на поперечном стержне ВС, подставим в выражение перемещений (7) значение d = 0 и рассчитаем перемещения вершины В, принадлежащей продольному стержню АВ и поперечному стержню ВС одновременно:

В случае, когда точка Х находится на продольном стержне CD на расстоянии d от внешнего края, выражение для вычисления вертикальных перемещений точек конструкции имеет вид 2. Система находится под действием распределенной нагрузки qb.

Точка Х находится на продольном стержне АВ, d a + b. Перемещение в вертикальном направлении точки Х будет определяться выражением Точка Х находится на поперечном стержне ВС Точка Х находится на продольном стержне CD Итак, используя формулы (5)–(13), мы можем определить перемещения любой точки конструкции (рис. 1) под действием единичной силы Р и распределенной нагрузки qb. Нетрудно заметить, что данные перемещения зависят от геометрических и физических характеристик конструкции (l, h, E, J), от значения силы нагружения и ее положения на стержне AB. Данные зависимости также позволяют нам определить жесткости гофра сильфона в соответствии с заданными характеристиками и параметрами системы.

5. Определим жесткость системы (рис.1). Для этого воспользуемся формулой:

где Р – сила нагружения; С – жесткость системы, – перемещение под действием 3.1. Система нагружена единичной силой Р.

1) В случае, если точка Х находится на продольном стержне АВ, d a 2) В случае, когда точка Х находится на продольном стержне АВ, d p a :

3) В случае, когда точка Х находится на поперечном стержне ВС:

4) В случае, когда точка Х находится на продольном стержне CD:

где EJ – жесткость системы при изгибе; l – длина продольных стержней системы (см.

рис.1); h – длина поперечного стержня системы (см. рис 1); а – расстояние до точки приложения силы нагружения (см. рис. 2); d – расстояние до точки, в которой требуется посчитать частоту (см. рис.1).

3.2. Система нагружена распределенной нагрузкой qb:

1) Точка Х находится на продольном стержне АВ, d a + b. Жесткость системы в точке Х будет определяться выражением:

2) Точка Х находится на продольном стержне АВ, a d a + b 3) Точка Х находится на продольном стержне АВ, 0 d a.

4) Точка Х находится на поперечном стержне ВС:

5) Точка Х находится на продольном стержне CD где EJ – жесткость системы при изгибе; l – длина продольных стержней системы; h – длина поперечного стержня системы; а – расстояние до точки приложения нагрузки; b – длина действия распределенной нагрузки; d – расстояние до точки, в которой требуется посчитать частоту.

Используя формулы (15)–(23), можно вычислить жесткость в любой точке системы (рис.1), находящейся под действием различных нагрузок. Если действует система нескольких единичных сил и распределенных нагрузок, то необходимо посчитать перемещение точки от каждой нагрузки по отдельности и воспользоваться принципом суперпозиции, т.е. сложить все отдельные перемещения, а далее получить выражения для жесткости системы.

Заключение В статье представлен алгоритм расчета жесткостей гофров сильфона, находящегося под действием системы внешних сил, аналитическими методами. Он включает в себя следующие этапы: 1) определить реакции опор на внешнее воздействие; 2) построить грузовую эпюру; 3) приложить единичную силу в точку, где требуется определить жесткость, в направлении перемещения и построить эпюру момента от действия единичной силы; 4) составить интеграл Мора (4) и вычислить перемещения под действием внешней нагрузки; 5) вычислить жесткость системы в точке под действием заданной системы сил. Из полученных в данной статье формул следует, что жесткость гофров сильфона зависит от точки приложения и величины силы, параметров системы, а также непостоянна во всех точках системы. Из этих формул также следует, что мы можем эффективно регулировать жесткость гофров, изменяя их физико-механические свойства и геометрию.

Данный алгоритм может быть использован для расчета перемещений, жесткости и частоты собственных колебаний рассматриваемой системы (рис.1) с помощью ЭВМ, например в MATLAB.

Литература Кудрявцева И.М., Гвоздев С.С. Математическое моделирование чувствительных элементов приборов как их безопасное испытание. / Труды IV Международной конференции «Приборостроение в экологии и безопасности человека», Санкт – Петербург, 10 – 12 ноября 2004 г. / СПб: СПб ГУИТМО, 2004, с. 171–176.

ДИНАМИКА СИЛЬФОНА, РАБОТАЮЩЕГО В РЕЗОНАНСНОМ

РЕЖИМЕ

Научный руководитель – д.т.н., профессор В.М. Мусалимов В статье представлена расчетная линейная модель сильфона. На примере сильфона 160-12-0,5 показано, что жесткость и частота собственных колебаний исследуемого элемента зависит от его линейных размеров, проанализирована его амплитудно-частотная характеристика и показана зависимость напряжения в элементе сильфона от соответствующих частот его колебаний. Отмечено, что регулирование линейными размерами и схемами нагружения определяет прочностные характеристики исследуемого элемента.

Введение Объектом исследования статьи являются статические и динамические характеристики гофров сильфонов. В предыдущих публикациях автора было построено аналитическое описание профилей изучаемых объектов с использованием эллиптических функций, установлена связь между параметрами эллиптических функций и геометрическими параметрами сильфонов различной формы [1], а также аналитическими методами была определена жесткость гофров сильфона, находящегося под действием системы внешних сил. Это позволяет перейти к описанию его динамики, в том числе и в резонансном режиме.

В статье выводится уравнение динамики сильфона при его малых колебаниях, строится амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) исследуемого элемента на примере однослойного сильфона 160-12-0,5 – 36НХТЮ, изготовленного по ГОСТ 21482а также определяются напряжения изгиба при различных режимах его работы.

Исследование статических характеристик элемента сильфона Рассмотрим отдельно взятый элемент сильфона, имеющий заданные характеристики: длину l, ширину h, жесткости при изгибе E1 J1, E2 J2 и представим его в виде расчетной схемы, изображенной на рис.1.

Рис.1. Расчетная схема элемента сильфона: a – наружный диаметр сильфонаX h – половина Приложим к верхнему горизонтальному стержню GH полученной конструкции единичную силу и с помощью интеграла Мора определим перемещение и жесткость С полученной конструкции в точке приложения силы под действием силы Р:

где D – наружный диаметр сильфона; h – половина шага гофров сильфона; l – длина гофра сильфона; s – толщина сильфона; Р – внешняя сила; Е – модуль Юнга; b =1 – ширина сечения элементов конструкции.

Из формулы (2) видно, что жесткость элемента сильфона зависит от его геометрических параметров. Построим графики зависимости жесткости от вышеназванных параметров, взяв в качестве примера сильфон 160-12-0,5 – 36НХТЮ, изготовленный по ГОСТ 21482-76 (см. рис. 2–5).

Рис.O. Зависимость жесткости С от наружного диаметра a, Рис. 4. Зависимость жесткости С от h, где h изменяется в пределах от 1M до 5M мм Рис. 5. Зависимость жесткости С от толщины сильфона s, где s изменяется в пределах от M.1 до Из выражений (1) и (2) следует, что, меняя геометрические характеристики сильфонов, можно эффективно регулировать его жесткость. Так, если мы хотим повысить жесткость рассматриваемого нами сильфонного элемента, то мы можем либо увеличить его толщину s, либо уменьшить наружный диаметр D, длину гофров l и h.

Исследование динамических характеристик элемента сильфона Так как для упругой системы перемещение точки приложения силы прямо пропорционально силе, то дифференциальное уравнение малых колебаний элемента сильфона можно записать в виде где D – вторая производная по времени от перемещения D, вычисленного нами ранее;

р – частота собственных колебаний системы p 2 = ; С – жесткость элемента сильфоm на; m – масса нагружения ( P = m 9.8H ).

Проведем возбуждение исследуемого элемента гармонической силой.

Уравнение динамики сильфона примет форму Построим АЧХ исследуемого сильфона, она имеет вид, представленный на рис. 6.

Определим динамические характеристики исследуемого сильфона в различных режимах (точках кривой рис. 6). Результаты вычислений можно представить в виде табл. 1.

Таблица 1. Динамические характеристики исследуемого сильфона в различных режимах Если внимательно посмотреть на значения перемещения D дин точки приложения силы при резонансе (К=1), то можно заметить, что оно существенно превышает допустимое, поэтому в таком режиме конструкция разрушается.

Так как жесткость элемента сильфона зависит от его геометрических параметров и эта зависимость была выявлена и математически описана уравнением (2), а от жесткости непосредственно зависит частота собственных колебаний, то теперь представляется возможным исследовать и динамические характеристики сильфонов, а также проектировать элементы с заранее известными характерисиками.

Заключение В статье были исследованы статические и динамические характеристики расчетной схемы сильфона (рис. 1) на примере сильфона 160-12-0.5 – 36НХТЮ, изготовленного по ГОСТ 21482-76. В результате были получены зависимости жесткости исследуемой конструкции от различных геометрических параметров сильфона, графически представленные на рис. 2–5. На графиках явно видно, что, меняя геометрические характеристики сильфонов, можно эффективно регулировать его жесткость, а, следовательно, и динамику.

Также в данной статье была построена амплитудно-частотная характеристика исследуемого элемента при массе нагружения 100 г. и исследованы его динамические характеристики в различных точках полученной кривой. Результаты исследования представлены в табл. 1, где строке при К=1 соответствует резонанс, а при К=0,01 имеем характеристики режима статического нагружения.

Так как формулы, полученные методами сопротивления материалов, не учитывают многих особенностей реальных объектов, то они могут быть эффективно использованы для расчета исследуемых элементов на стадии их проектирования.

Литература Кудрявцева И.М., Гвоздев С.С. Математическое моделирование чувствительных элементов приборов как их безопасное испытание. / Труды IV Международной конференции «Приборостроение в экологии и безопасности человека», Санкт – Петербург, 10–12 ноября 2004 г. / СПб: СПб ГУИТМО,

ОПТИМИЗАЦИЯ ЭНЕРГОПОДСИСТЕМ

ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ НА БАЗЕ

НЕУПРАВЛЯЕМЫХ ВЫПРЯМИТЕЛЕЙ

Научный руководитель – к.т.н., доцент В.С. Томасов Приводится система выражений для анализа электромагнитных и энергетических процессов в энергетических подсистемах на базе неуправляемых выпрямителей. Получены диаграммы зависимости электромагнитных нагрузок, установленных мощностей и энергетических показателей от основных параметров схем.

Введение Оптимизация энергетических подсистем заключается в комплексном решении задач улучшения их массогабаритных показателей, повышения качества потребляемой ими электроэнергии и улучшения тем самым их энергетических показателей. Все эти задачи напрямую связаны с вопросами определения составляющих полной мощности энергетических подсистем, которые решены не в полной мере на сегодняшний день.

Итогом указанного состояния дел с вопросами теории энергетических процессов в вентильных преобразователях стала ситуация, когда устройство преобразования электрической энергии не может быть непосредственно охарактеризовано энергетическими соотношениями общего вида, что обычно необходимо на этапе проектирования, а должно быть подвергнуто трудоемкому расчету во временной или частотной областях [1].

В теории мощности в цепях с несовпадающими формами напряжения и тока выделяются два направления: спектральное (рядов Фурье) и интегральное. Определение составляющих полной мощности на основе разложения на гармоники является сложной и трудоемкой операцией [1]. Однако требования международных стандартов IEC 61000-3, IEEE 519, EN 61000-3-2 жестко регламентируют уровень гармонических составляющих тока вплоть до 49 гармоники. Таким образом, перспективность использования метода гармонического анализа очевидна и этот метод взят, совместно с операторным методом, за базу методики исследований, основные положения которой разработаны в публикации [2].

Решение вопроса об оптимальном выборе структуры и параметров энергоподсистемы должно производится в зависимости от требований, предъявляемых к системе в целом с учетом типа первичного источника питания, характера и режимов работы нагрузки. Энергетическая подсистема, если нет необходимости в автономном источнике питания, реализуется по классической структуре: сеть переменного тока – выпрямитель – силовой фильтр (СФ) – нагрузка. В статье рассмотрены энергетические подсистемы на базе мостовых неуправляемых выпрямителей (НУВ) с емкостными и индуктивноемкостными фильтрами, которые чаще всего используются в современных электротехнических комплексах и системах с полупроводниковыми преобразователями. Получена система выражений для анализа электромагнитных и энергетических процессов в энергоподсистемах на базе НУВ, приводятся зависимости электромагнитных нагрузок, установленных мощностей и энергетических показателей от основных параметров схем.

Достоверность результатов подтверждена сравнением найденных зависимостей с результатами, полученными на имитационных моделях в пакете MATLAB/Simulink, а также с данными из литературы по выпрямителям.

Методика исследований Структуры исследуемых энергетических подсистем, питающихся от сети переменного тока, приведены на (рис. 1). При исследовании полагаются следующие типовые допущения: питающая сеть бесконечной мощности, реактивные элементы являются линейными, время коммутации вентилей пренебрежимо мало. Для универсальности вводятся базовые величины: за базовое напряжение E Б принимается амплитуда э.д.с.

источника для однофазных схем выпрямления и амплитуда линейной э.д.с. для трехфазных схем выпрямления, за базовый принят ток короткого замыкания цепи источника I Б = E Б / Z, где Z – полное сопротивление цепи источника.

Рис. 1. Структуры энергоподсистем: сеть переменного тока – неуправляемый выпрямитель - (необязательный элемент: цепь запуска) – силовой фильтр – нагрузка Передаточная функция, связывающая напряжение на конденсаторе СФ с входной э.д.с., имеет вид:

t L / r = L /(r + r Д ), для схем (рис. 1с, d) t L / r = LФ /(r + rД ). В трехфазных схемах резистивное сопротивление r и индуктивность L определяются соответственно алгебраическими суммами резистивных сопротивлений и индуктивностей проводящих фаз. В случае активно-емкостной нагрузки ( L = 0 ):

Рассмотрим включение энергоподсистемы в питающую однофазную сеть с начальной фазой y И э.д.с. источника, изменяющегося по гармоническому закону:

Напряжение на конденсаторе СФ при открытых диодах схемы возрастает согласно:

+ [U C exp cos(svt ) + U C exp sin( svt )] exp^ (-vt ) где t = w И t – относительное время, w И = 2pf И – угловая частота э.д.с. источника, фициенты из (1). Амплитуды постоянной, принужденных и свободных составляющих напряжения на конденсаторе СФ на первом интервале заряда определяются согласно:

По известному закону изменения напряжения на конденсаторе СФ u C (t ) устанавливаются токи в нагрузке i Н (t ) и через конденсатор СФ i С (t ), далее выпрямленный ток i В (t ). В режиме непрерывных токов, который характерен для схем (рис. 1с, d), выпрямленный ток не прерывается, что используется при исследовании этого режима. В режиме прерывистых токов, который характерен для схемы (рис. 1а, b), угол выключения b группы диодов при пуске, так и на других интервалах заряда определяется из условия:

После выключения диодов схемы напряжение на конденсаторе СФ спадает экспоненциально:

при этом отсчет времени t удобно начать заново от угла b. Когда напряжение на конденсаторе СФ сравняется с выпрямленной э.д.с.:

включатся диоды и начнется заряд конденсатора СФ под воздействием напряжения:

при этом отсчет t также удобно начать заново от угла a. Напряжение на конденсаторе СФ возрастает согласно (4), однако приведение коэффициентов осуществляется уже к частоте Jw И. Амплитуды постоянной, принужденных и свободных составляющих напряжения на конденсаторе СФ определяются согласно:

В дальнейшем зарядно-разрядные процессы протекают в соответствии с (4) и (7), углы b и a определяются соответственно из (6) и (8).

Для энергоподсистемы, питающейся от трехфазной сети переменного тока, выражение для напряжения на конденсаторе СФ может быть получено с учетом того, что эквивалентное э.д.с. источника в этом случае изменяется согласно:

Спектральный состав возмущения f (t ), составляющими которого являются постоянная, принужденные и свободные, определяется с использованием преобразований Фурье и Эйлера. Необходимая система выражений приведена в статье [2]. Расчет действующего значения сетевого тока, установленных мощностей и составляющих полной мощности для всех рассмотренных случаев производится по спектральному составу выпрямленного тока. Определив полную мощность энергоподсистемы S и ее составляющие P – активную мощность, Q – реактивную или мощность сдвига, T – мощность искажения, можно определить основные показатели качества энергопотребления [1]: K МОЩНОСТИ = P / S - коэффициент мощности, K СДВИГА = P / P 2 + Q 2 - коэффициP2 + Q K ГАРМОНИК T / P 2 + Q2 – коэффициент гармоник или K THD (Total Harmonic Distortion).

Результаты исследований, их верификация и выводы На базе полученной системы выражений были произведены расчеты в пакете MathCad, при этом спектр выпрямленного тока ограничивался гармониками по включительно (согласно стандарту IEEE 519). По результатам расчетов получены зависимости электромагнитных нагрузок, установленных мощностей и энергетических показателей для широкого диапазона изменения параметров схем, некоторые из которых представлены на рис. 2-5.

Рис. O. Диаграммы зависимостей от основных параметров схемы однофазного НУВ с активноемкостной нагрузкой: коэффициента мощности, коэффициента сдвига, коэффициента искажения, коэффициента гармоник, К.П.Д., коэффициента пульсаций выходного напряжения по 1-й В публикациях [3–4] предложены модели, разработанные в пакете MATLAB/Simulink, измерителей составляющих полной мощности энергоподсистем, в основу которых заложен классический интегральный метод определения составляющих полной мощности, и вычислитель показателей качества энергопотребления. Сравнение найденных зависимостей с результатами, полученными на имитационных моделях энергоподсистем в пакете MATLAB/Simulink с применением разработанных измерительных схем, подтвердило их достоверность. При этом относительная погрешность в значительной степени определялась: 1) выбранным в пакете MATLAB/Simulink численным методом расчета, 2) выбранным шагом интегрирования. Для различных методов расчета и шаге интегрирования Dh = {p - p (a - b)} / Nw И (при N 500 ) относительная погрешность не превышала 4%.

Рис. P. Диаграммы зависимостей от основных параметров схемы однофазного НУВ с активноемкостной нагрузкой: среднего и максимального напряжения на нагрузке (конденсаторе СФ) в Рис. 4. Диаграммы зависимостей от основных параметров схемы трехфазного НУВ с активноемкостной нагрузкой: коэффициента мощности, коэффициента сдвига, коэффициента искажения, коэффициента гармоник, среднего и максимального напряжения на нагрузке (конденсаторе Рис. 5. Диаграмма зависимости K П 1 от основных параметров схемы однофазного НУВ с активно-емкостной нагрузкой Рис. 6. Диаграмма зависимости K П 1 от основных параметров схемы трехфазного НУВ с активно-емкостной нагрузкой Достоверность результатов подтверждена также сравнением найденных зависимостей с данными из литературы по выпрямителям, так диаграмма (рис. 3) зависимости среднего напряжения на нагрузке (конденсаторе СФ) от параметров схемы однофазного НУВ с активно-емкостной нагрузкой приведена в литературе [5]. Однако, несмотря на большое количество публикаций по выпрямителям, многие из полученных диаграмм в литературе не встречаются.

Рис. T. Диаграмма зависимости полной мощности от основных параметров схемы трехфазного Рис. 8. Диаграмма зависимости активной мощности от основных параметров схемы трехфазного НУВ с активно-емкостной нагрузкой На рис. 5–6 приведены диаграммы зависимости коэффициента пульсаций выходного напряжения по 1-й гармонике K П1 от параметров схем, из которых видно, что величина K П 1 практически не зависит от r, при r 0,01. Обычно это условие обеспечивается, так как определяет высокий КПД системы. Требуемый K П1 обеспечивается соответствующим выбором t CR, т.е. выбором емкости конденсатора СФ при заданном RН. Величина r определяет существенным образом значение полной мощности энергоподсистемы S (рис. 7) и полностью определяет величину ее активной составляющей P (рис. 8). В выбранной системе единиц полная мощность и ее активная составляющая изменяются практически линейно и пропорционально r.

t CR = 10 0,50 10 0, 75, как видно по K СДВИГА (рис. 2 и 4), при этом величина K П 1 не удовлетворительна. Для достижения приемлемого K П 1 идут по пути увеличения емкости конденсатора СФ. При этом увеличивается неактивная составляющая полной мощности в основном за счет мощности искажения T, судя по K ГАРМОНИК (рис. 2 и 4), мощность сдвига вносит незначительный вклад при удовлетворительных K П 1. Применение LC-фильтра позволяет достичь лучших энергетических показателей при обеспечении требуемого K П 1, так как выпрямитель равномерно в течение периода потребляет энергию первичного источника питания, что приводит к улучшению гармонического состава сетевого тока и снижению неактивных мощностей.

Заключение Решение задач оптимизации напрямую связано с вопросами определения составляющих полной мощности энергетических подсистем. В статье получена система выражений для анализа электромагнитных и энергетических процессов в энергоподсистемах на базе НУВ, приводятся зависимости электромагнитных нагрузок, установленных мощностей и энергетических показателей от основных параметров схем. Предложенная методика исследований и найденные зависимости позволяют решать вопросы параметрической оптимизации энергетических подсистем электротехнических устройств на базе НУВ. Оптимальный выбор параметров элементов, при обеспечении требуемых характеристик системы, позволяет снизить габариты и массу всего оборудования энергоподсистемы.

Литература Зиновьев Г.С. Прямые методы расчета энергетических показателей вентильных преобразователей. – Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 1990. – 220 с.

2. Борисов П.А. Методика расчета и проектирования энергоподсистем электротехнических комплексов с RC-нагрузкой. / Сборник I конференции молодых ученых и специалистов СПб ГУ ИТМО. 2004. Т.

2. с. 139 - 148.

3. Борисов П.А., Томасов В.С. Определение составляющих полной мощности энергоподсистем электротехнических комплексов // Exponenta Pro. Математика в приложениях. 2004. № 1. С. 40–44.

4. Борисов П.А. Применение MATLAB/Simulink для измерения и оценки качества электроэнергии в трехфазных симметричных системах с активными преобразователями. // Труды II-й Всероссийской научной конференции. Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB. Москва. 2004. С. 1372–1387.

5. Справочник по полупроводниковой электронике. / Под редакцией Ллойда П. Хантера, проф. Рочестерского университета (Рочестер, Нью-Йорк, США). Сокр. перевод с англ. Под ред. д.т.н. Шаца С.Я., к.т.н. Литвинова И.И. М.: Машиностроение, 1975.

НЕЙРОСЕТЕВОЙ НАБЛЮДАТЕЛЬ ПОТОКОСЦЕПЛЕНИЯ

РОТОРА В СИСТЕМЕ ВЕКТОРНОГО УПРАВЛЕНИЯ

АСИНХРОННЫМ КОРОТКОЗАМКНУТЫМ ДВИГАТЕЛЕМ

Научный руководитель – к.т.н., доцент А.А. Усольцев В статье рассматривается возможность построения наблюдателя магнитного потока асинхронного короткозамкнутого двигателя на основе искусственной нейронной сети. Исследуется поведение наблюдателя, реализованного традиционным способом на DSP-контроллере, а также нейросетевого наблюдателя в условиях вариации активного сопротивления ротора асинхронного двигателя.

Введение Как известно, при проектировании алгоритмов векторного управления асинхронным двигателем (АД), существует необходимость в получении информации о векторе потокосцепления ротора [5]. Поскольку прямое измерение потокосцепления в машине труднодоступно, а его реализация экономически невыгодна, то обычно на практике используют наблюдатели магнитного потока АД, которые должны обеспечить асимптотическую оценку этой переменной. Следует отметить, что достоверность работы таких наблюдателей зависит от точности определения параметров асинхронного двигателя.

Вследствие нагрева машины изменяются активные сопротивления статора и ротора, что приводит к возникновению ошибок оценивания магнитного потока, а это в свою очередь сказывается на снижении энергетической эффективности процесса преобразования энергии и даже потери устойчивости. Исследование семейства наблюдателей магнитного потока АД приводится в работе [2] В последнее время появилось много публикаций, в которых рассматривается использование искусственных нейронных сетей (ИНС) в различных областях техники, в том числе и в системах управления электротехническим оборудованием. Не последнюю роль в распространении ИНС сыграло то, что искусственная нейронная сеть, благодаря присущей ей параллельной обработке информации, позволяет в несколько раз уменьшить время вычисления по сравнению с традиционно применяющимися для этих целей DSP (digital-signal-processor)-процессорами [7]. Также несомненным положительным свойством искусственных нейронных сетей является низкая чувствительность к изменению параметров, что значительно повышает устойчивость работы [4].

В данной работе исследуется поведение наблюдателя, построенного на основе искусственной нейронной сети, а также наблюдателя, реализованного традиционным способом на DSP-контроллере, в условиях вариации активного сопротивления ротора асинхронного двигателя.

1. Модель наблюдателя потокосцепления ротора Математическая модель асинхронного короткозамкнутого двигателя в стационарной системе координат (-) имеет вид [6]:

В (1.1) R – активное сопротивление, y – потокосцепление, L – индуктивность, m – электромагнитный момент АД. Индексом «1» отмечены все величины, относящиеся к статору, а индексом «2» – к ротору. Индексом «m» отмечена взаимная индуктивность статора и ротора. Частота вращения ротора АД с одной парой полюсов w = w 1 - w 2 = zW, где z – число пар полюсов двигателя, W – угловая скорость ротора.

В соответствии с данной системой уравнений существует несколько способов идентификации потокосцепления ротора y 2, которые определяются конкретным набором переменных, используемых при вычислении. Самым распространенным и наиболее часто используемым на практике способом вычисления y 2 является способ, при котором используется информация о двух или трех токах статора и скорости вращения ротора [1]. Все эти сигналы обычно являются сигналами обратных связей системы автоматического регулирования (САР).

Выразив из четвертого уравнения системы (1.1) ток i 2 и подставив его во второе уравнение, а затем переходя к изображениям, получим где T2 = – постоянная времени обмоток ротора. Раскладывая векторы тока статора и потокосцепления ротора на вещественную и мнимую составляющие, получим выражения для проекций потокосцепления в неподвижной системе координат Модуль вектора потокосцепления ротора находится по теореме Пифагора Тригонометрические функции, необходимые для перехода от вращающейся системы координат в неподвижную и наоборот, могут быть найдены как Принцип построения автономного устройства управления (блок УУ) заключается в создании двух каналов ( Y2 d и w 2 ) с передаточными функциями обратными по отношению к передаточным функциям АД. В реальном приводе между выходом устройства управления и статором АД должен быть включен какой-либо усилитель мощности (УМ), имеющий единичную передаточную функцию в зоне отсутствия ограничения тока. Для поставленной цели исследования УМ можно считать идеальным безинерционным звеном. Простейшая система векторного управления типа TRANSVEKTOR с ориентацией системы координат по вектору потокосцепления ротора для обобщенной двухфазной машины приведена на рис. 1.1 [5].

Представленный на данном рисунке наблюдатель потокосцепления ротора (Н) построен в соответствии с уравнениями (1.3)–(1.5). Асинхронный двигатель реализован во вращающейся системе координат, а блоки с передаточными функциями e jJ1 и e - jJ осуществляют переход из вращающейся системы координат в неподвижную и обратно.

Рис. 1.1. Структурная схема системы векторного управления АД с автономным устройством O. Нейросетевой наблюдатель потокосцепления ротора Скорость вращения вала в замкнутой системе электропривода остается постоянной при изменении приложенного к двигателю момента нагрузки, меняется лишь частота и амплитуда токов статора, поэтому если обучать ИНС на сигналах тока статора и скорости вращения ротора, сеть не сможет адекватно оценивать потокосцепление. В отличие от скорости вращения вала двигателя, частота токов ротора напрямую определяется приложенным моментом нагрузки, поэтому именно эту переменную целесообразно использовать в качестве входной величины ИНС. В системе векторного управления необходимая величина w 2 может быть получена на выходе регулятора скорости (рис. 1.1). Таким образом, в качестве входных переменных ИНС будем использовать сигналы статорных обмоток ia, ib а также значение частоты токов ротора w2. По этим данным обученная нейронная сеть должна определять значения проекций вектора потокосцепления ротора в неподвижной системе координат y 2 a и y 2b, которые в дальнейшем используются для вычисления его модуля и пространственного угла.

Зададимся средней погрешностью вычисления потокосцепления ротора 0.5%.

Точность работы обученной нейронной сети будем оценивать с помощью средней ошибки за период выходного сигнала.

Для эффективного решения данной задачи требуется оптимизировать архитектуру ИНС. Количество входов (входных нейронов) и выходов (выходных нейронов) нейросетевого наблюдателя потокосцепления ротора полностью определяются условиями поставленной задачи, в которой входные и выходные переменные оговариваются. Таким образом, архитектура нейронной сети содержит 3 нейрона во входном слое, на которые поступают соответственно сигналы тока в фазных обмотках «a» и «b», а также величина частоты токов ротора w2 и 2 нейрона в выходном слое, на которых фиксируется значения проекций потокосцепления ротора y 2 a и y 2b в каждый момент времени. Для оптимизации нейронной сети требуется выяснить параметры, влияющие на качество нейросетевого решения поставленной задачи. Это, прежде всего: количество слоев нейронной сети, функции активации скрытых и выходных слоев и алгоритм обучения.

Известно, что обучать нейронную сеть можно только на сигналах той системы, где предполагается ее работа [3]. Изменение заданной частоты токов ротора w 2 в системе векторного управления АД с ориентацией системы координат по вектору потокосцепления ротора вызывает изменение как амплитуды, так и частоты токов статора.

Поэтому при составлении выборки для нейросетевого наблюдателя потокосцепления ротора необходимо создать в системе такое изменение частоты токов ротора w 2, которое бы соответствовало всему диапазону работы двигателя, а это прежде всего:

- изменение скорости вращения вала от нулевого значения до скорости холостого - изменение электромагнитного момента двигателя m от - mном до mном.

Во многом свойства и структурная сложность ИНС определяется обучающей выборкой, на которой она была обучена. Выборку предлагается записывать в схеме, приведенной на рис. 2.1. Данная схема представляет собой модель системы TRANSVEKTOR с разомкнутыми обратными связями в канале скорости и потокосцепления. При этом входным сигналом канала потокосцепления является номинальное значение потокосцепления ротора, а на вход канала частоты подается линейно изменяющееся задание w 2, которое соответствует изменению электромагнитного момента m от - mном до m ном.

Рис. O.1. Математическая модель разомкнутой системы векторного управления АД типа На длину обучающей выборки влияют два параметра: время выборки и период дискретизации сигналов. Зададимся частотой дискретизации 1кГц ( T0 = 0.001,с). Тогда, учитывая время, на котором линейно изменяющаяся функция w 2, достигая значений w2ном и - w2ном, возвращается снова в ноль, получаем длину обучающей выборки:

На рис. 2.2 показаны диаграммы сигналов, полученных на данной модели. Все величины приводятся после процедуры нормализации, т.е. отнесенными к своим номинальным (максимальным) значениям. Процедура необходима для обучения ИНС, поскольку все сигналы в обучающей выборке должны находиться в пределах от 0 до 1.

Рис. O.O. Зависимость электромагнитного момента, токов фаз и потокосцепления ротора от времени при формируемом сигнале частоты тока ротора w Рассмотрение сетей с различным числом слоев, различным числом нейронов в скрытых слоях, а также различных функций активации нейронов показало, что при условии минимального количества связей в сети требуемую ошибку обучения демонстрирует ИНС, которая имеет два скрытых слоя с логическими (сигмоидальными) функциями преобразования и линейными функциями активации нейронов выходного слоя.

Наилучшую сходимость при обучении ИНС показал алгоритм алгоритм ЛевенбергаМарквардта.

P. Исследование поведение наблюдателей в условиях изменения параметров АД Исследование поведения наблюдателей в условиях вариации активного сопротивления ротора АД в пределах от R2 до 2R2 проводилось в схеме, представленной на рис.

3.1 а. Необходимо отметить, что моделирование осуществлялось при частоте дискретизации 20кГц, что в 20 раз выше частоты дискретизации сигналов, участвовавших в обучении ИНС. Ошибка наблюдателей рассчитывалась как апертурная погрешность ответственно y 2a, y 2 b.

Исследование наблюдателей состоит из двух тестов. Тест А: задается вариация акR тивного сопротивления ротора (относительное сопротивление ротора k = измеR2 ном няется от 1 до 2), двигатель разгоняется до скорости W 0 и к валу прикладывается заданный момент нагрузки (0, 0.5, 1 mном ); после завершения переходного процесса снимается ошибка оценивания потокосцепления ротора. Тест Б: задается вариация активного сопротивления ротора, двигатель разгоняется до заданной скорости ( 0.002 W 0, 0.5 W 0, 1 W 0 ), после чего к валу прикладывается номинальный момент нагрузки; после завершения переходного процесса снимается величина ошибки оценивания. Графики, полученные по результатам данных тестов, приводятся на рис. 3. Рис. P.1. Структура исследовательской программы а) и нахождение апертурной погрешности Рис. P.O. Зависимость средней ошибки наблюдателей от изменения активного сопротивления Заключение Таким образом, в результате исследования было установлено, что искусственная нейронная сеть, обученная для задачи наблюдения за потокосцеплением ротора, адекватно работает во всем диапазоне скоростей и моментов, а также проявляет свойство толерантности к вариациям активного сопротивления ротора. Можно также отметить, что ошибка оценивания нейросетевого наблюдателя при нагруженном двигателе в несколько раз ниже ошибки оценивания DSP-наблюдателя. Однако в режиме холостого хода в отличие от ошибки DSP-наблюдателя, которая имеет довольно малое значение, которым можно пренебречь, ошибка нейросетевого наблюдателя имеет величину соизмеримую с ошибкой оценивания при ненулевом моменте сопротивления. Это связано со спецификой функционирования устройств, построенных на базе ИНС.

Несомненным достоинством ИНС является то, что погрешность ее работы не зависит от частоты дискретизации сигналов, используемых при вычислениях. Превышение ошибки работы нейросетевого наблюдателя над ошибкой его обучения связано со свойством обобщения ИНС, поэтому иногда целесообразно обучать ИНС с ошибкой, меньше заданной.

Литература Дацковский Л.Х., Роговой В.И., Абрамов Б.И. и др. Современное состояние и тенденции в асинхронном частотно-регулируемом электроприводе (краткий аналитический обзор) / Электротехника. 1996.

№10. с.18-28.

Ковбаса С.Н. Исследование грубости наблюдателей магнитного потока асинхронного двигателя. – Национальный Технический Университет Украины www.el-drive.com.ua.

Лукичев Д.В. Применение методов нейронных сетей для сглаживания сигнала тока в электроприводе. Труды V Международной конференции «Электромеханика, электротехнологии и электроматериаловедение». МКЭЭЭ–2003 (ICEEE-2003), Часть I. Крым, Алушта. 2003. С. 719-720.

Махотило К.В. Анализ параметрической чувствительности нейросетевой системы управления // Труды Международной научно-технической конференции «microCAD’97», часть 3 / Харьков. 1997.

с.137-141.

Усольцев А.А., Лукичев Д.В. Опрокидывание асинхронного двигателя с векторным управлением.

Изв. вузов. Приборостроение. 2002. Т. 45, № 8. С. 18-25.

Чиликин М.Г., Ключев В.И., Сандлер А.С. Теория автоматизированного электропривода. – М.: Энергия, 1979.

7. Shi K.L., Chan T.F., Wong Y.K. Direct Self Control of Induction Motor Based on Neural Network / IEEE Trans. Ind. Applicat., vol. 37, pp. 1290-1258, Sept./Oct. 2001.

АНАЛИЗ ПОГРЕШНОСТИ АМПЛИТУДНОГО ЦИФРОВОГО

ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ УГОЛ-КОД

Научный руководитель – к.т.н., доцент В.А. Синицын В работе исследуется влияние различных алгоритмов обработки сигналов при амплитудном способе преобразования угла в код на точность определения угла положения в цифровой системе, использующей в качестве датчика положения синусно-косинусный вращающийся трансформатор.

Введение К числу актуальных проблем современной электромеханики и преобразовательной техники относится проблема создания комплексов позиционирования и слежения для оптико-механических систем. При этом точность слежения при инфранизких скоростях вращения в значительной степени определяется конструктивными особенностями опорно-поворотного устройства, принципами построения датчиков координат состояния и спецификой реализации алгоритмов управления.

Для получения точной информации о положении и движении вала двигателя широкое распространение получили синусно-косинусные вращающиеся трансформаторы (СКВТ). Созданные на основе этих преобразователей системы удовлетворяют самым высоким стандартам и способны точно функционировать в широком диапазоне воздействий окружающей среды – температуры, влажности, вибраций и ударов. С появлением цифровых систем стали разрабатываться преобразователи с цифровым выходом, в которых базовый первичный преобразователь сохраняется. В настоящее время созданы системы, соперничающие с цифровыми кодирующими преобразователями в разрешении, точности и динамических показателях.

Одна из особенностей СКВТ – сложность преобразований при обработке выходных сигналов этого датчика. Классические системы обработки, реализованные на аналоговых блоках, решают данную задачу путем аналоговых преобразований. Точность всей системы зависит в этом случае от точности операционных усилителей, точности АЦП, аналоговых умножителей и т.д., а параметры этих элементов меняются в зависимости от температуры, с течением времени и др. Отсюда следует сложность и дороговизна интегрированных схем, выполняющих данную задачу. Реализация такой системы с использованием микроконтроллера позволяет существенно снизить стоимость при сохранении той же точности.

Структурная схема системы обработки сигналов СКВТ Рассмотрим принцип действия подобных систем обработки сигналов СКВТ. Датчик состоит из трех обмоток – обмотки возбуждения и двух вторичных обмоток. Для амплитуды опорного несущего напряжения Uо частоты w выходные сигналы в формате СКВТ составляют V1=Uo sin (wt+1)sinq, V2=Uo sin(wt+ 2)cosq, где 1 и 2 – фазовые сдвиги сигналов несущей частоты, вызванные их задержкой в цепях СКВТ.

Для идеальной системы фазовые сдвиги 1 и 2 равны нулю, и в большинстве систем их можно не учитывать. В этом случае выходные сигналы СКВТ можно представить в виде V1=sin (wt)sinq, V2=sin(wt)cosq.

Таким образом, информация об угловом перемещении заложена в соотношении амплитуд модулированных сигналов переменного тока.

Одним из методов решения является построение системы в виде замкнутого контура регулирования, где в качестве регулируемой величины используется вычисляемое цифровое значение угла поворота вала. При данном методе сигнал с цифрового выхода подается на функциональные генераторы. Вырабатываемые генераторами сигналы используются для изменения цифрового сигнала таким образом, чтобы его значение стало точно соответствовать положению вала СКВТ. Равновесное состояние достигается всякий раз, когда выходной сигнал соответствует положению вала.

Схема такой системы показана на рис. 1. Сигналы, соответствующие угловому положению роторного вала q в формате СКВТ, поступают на входы функциональных генераторов. На эти генераторы подается также сигнал, соответствующий углу Ф по цифровому выходу. Сигналы с функциональных генераторов поступают в схему сравнения, формирующую сигнал, определяемый разностью q-Ф, т.е. рассогласованием между положением вала и угловым эквивалентом цифрового кода на выходе.

Цифровой входной сигнал соответствует углу Ф. В умножителе функциями этого угла являются sin(Ф) и cos(Ф). Выходные сигналы отдельных функциональных генераторов Va=v1cos(Ф), Vb=v2sin(Ф), т.е.

Va=sin(wt)sin(q)cos(Ф), Vb=sin(wt)cos(q)sin(Ф).

sinq Рис.1. Преобразователь с функциональными генераторами Оба выходных сигнала подаются затем на дифференциальный усилитель, формирующий сигнал рассогласования Ve=Va-Vb=sin(wt)sin(q-Ф) Микропроцессорная система подразумевает реализацию необходимых функциональных преобразований на основе цифровых сигнальных процессоров.

Структурная схема микропроцессорной системы обработки сигналов СКВТ представлена на рис. 2.

sin(wt) sin sin(wt) cosq Рис. O. Структурная схема микропроцессорной системы обработки сигналов СКВТ На микроконтроллер подаются следующие сигналы:

V1=sin (wt)sinq, V2=sin(wt)cosq, и генерируется опорный сигнал V= sin(wt).

Сигнал V1 умножается на косинус вычисляемого угла Ф, а V2 – на синус Ф (где угол Ф поступает по цепи обратной связи); затем из первого произведения вычитается второе. В итоге получим произведение синуса разности реального и мнимого углов на синус wt:

sin(q-Ф)sin(wt).

Для выделения синуса разности можно воспользоваться несколькими способами.

Один из них – деление полученного сигнала на sin(wt), в результате чего получаем синус разности действительного и вычисляемого углов. Другой способ – считывание информации в точках максимума sin(wt) (аналогично структуре циклического преобразователя), что при достаточно большой его частоте не будет существенно влиять на погрешность определения угла. Третий способ заключается в нахождении среднего за половину периода значения сигнала sin(q-Ф)sin(wt), которое будет пропорционально синусу разности углов.

При малых рассогласованиях sin(q-Ф) практически равен (q-Ф). Согласно схеме на рис. 2, полученная разность подается на ПИ-регулятор, а затем на интегратор.

Моделирование микропроцессорной системы В пакете MatLab была разработана модель микропроцессорной системы обработки сигналов СКВТ с сохранением той же последовательности и разрядности вычислений (рис. 3), что позволяет оценить величину ошибки, возникаемой вследствие конечной разрядности и дискретности цифровой системы. С помощью данной модели производится оценка влияния различных алгоритмов выделения синуса разности sin(q-Ф) на точность определения угла.

На алгоритм с выделением sin(q-Ф) путем деления на sin(wt) при реализации системы на микроконтроллере затрачивается большее время за счет большой длительности выполнения операции деления. Однако преимуществом данного алгоритма является возможность получения результата деления в любой момент времени.

При измерении сигнала в точках максимума результат вычислений на первый взгляд будет наиболее точен, однако между двумя максимумами информация о текущей ошибке будет отсутствовать. Во многих прецизионных системах позиционирования скорости, как правило, не достигают высоких значений; например, при скорости вращения вала 20 об/мин и частоте синусоидального сигнала первичной обмотки СКВТ в 1 кГц величина рассогласования по углу в худшем случае не превысит 7.2. В то же время гармоники, шумы и квадратурные компоненты могут маскировать максимумы сигнала, что может привести в данном случае к значительным погрешностям. Таким образом, зачастую предпочтение отдается, особенно при больших скоростях, первому способу.

Рис. P. Модель микропроцессорной системы обработки сигналов СКВТ Рис. 4. Переходный процесс и ошибка вычисления Ф при неизменном угле поворота. Алгоритм Указанные алгоритмы для 16-ти разрядного вычислительного устройства с 16-ти разрядным АЦП были промоделированы в пакете Matlab, графики переходных процессов, приведены на рис. 4–9. На рис. 4, 5 приведены графики изменения реального, вычисляемого углов и их разности при неизменном и линейно изменяющимся углами поворота вала при расчете sin(q-Ф) путем деления на sin(wt); на рис. 6, 7 приведены аналогичные графики при измерении сигнала в точках максимума; на рис. 8, 9 – при вычислении через среднее значение.

Рис. 5. Переходный процесс и ошибка вычисления Ф при линейно изменяющемся угле поворота. Алгоритм с делением на sin(wt) Рис. 6. Переходный процесс и ошибка вычисления Ф при неизменном угле поворота. Алгоритм Рис. T. Переходный процесс и ошибка вычисления Ф при линейно изменяющемся угле поворота. Алгоритм при измерении сигнала в точках максимума sin(wt) При использовании алгоритма с делением на sin(wt) ошибка определения угла при неподвижном вале составляет 21, при вращении с постоянной скоростью 0.1 об/сек составляет 23.

При алгоритме с измерением sin(wt) в точках максимума ошибка составляет 21, при вращении с постоянной скоростью 42. При этом не учитывалось влияние шумов.

Однако, как видно из графиков, при использовании последнего алгоритма переходный процесс имеет практически в три раза меньшую длительность.

Рис. 8. Переходный процесс и ошибка вычисления Ф при неизменном угле поворота. Алгоритм Рис. 9. Переходный процесс и ошибка вычисления Ф при линейно изменяющемся угле поворота. Алгоритм при вычисление через среднее значение С увеличением скорости вращения алгоритм с делением на sin(wt) сохраняет прежнее значение ошибки, при алгоритме с вычислением через максимальные значения ошибка постепенно возрастает, а при алгоритме с вычислением через среднее значение ошибка практически не изменяется.

Следует отметить, что при повышении разрядности АЦП и вычислительного устройства точность системы значительно повышается.

Литература Ахметжанов А.А., Кочемасов А.В. Следящие системы и регуляторы: Учеб. Пособие для вызов. – М.:

Энергоатомиздат, 1986.

Дж. Вульвет. Датчики в цифровых системах. М.: Энергоиздат, 1981.

Домрачев В.Г., Матвеевский В.Р., Смирнов Ю.С. Схемотехника цифровых преобразователей перемещений: Справочное пособие. М.: Энергоатомиздат, 1987.

Жданов И.Н., Денисов К.М. Математическое описание микропроцессорной системы обработки сигналов СКВТ как датчика положения вала двигателя. // Научно-технический вестник СПбГИТМО(ТУ). Ч.III. СПб.: СПбГИТМО (ТУ), 2001.

Жданов И.Н. Моделирование микропроцессорной системы обработки сигналов СКВТ для прецизионного электропривода. // Вестник конференции молодых ученых СПбГУ ИТМО. Сборник научных трудов. Том 2. СПб.: СПбГУ ИТМО, 2004.

Р. Изерман. Цифровые системы управления. М.: Мир, 1984.

ПОСТРОЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ ПОВЕДЕНИЯ

СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩЕЙ НА МАЯТНИК, ПРИ ДВИЖЕНИИ ЕГО

В СРЕДЕ С СОПРОТИВЛЕНИЕМ, ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫМ

ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ СКОРОСТИ

Научный руководитель – д.т.н., профессор В.А. Иванов В данной работе строится точное аналитическое описание силы, действующей на маятник, при сопротивлении его движению, пропорциональном первой степени скорости, с помощью теории эллиптических функций.

Введение Движение маятника с трением в точке подвеса или в среде с сопротивлением, пропорциональным первой степени скорости, согласно монографиям [1] (стр.17), [2] (стр.377) описывается уравнением Решения такого уравнения при некоторых ограничениях (величина размаха) были впервые получены И. Ньютоном во II книге «Начал» [1]. О необходимости построения точного решения уравнения (1) писал Д.И. Менделеев в связи с задачами службы времени и измерением силы тяжести [2] (см. также [3]).

Точное аналитическое описание такого движения является также актуальным, поскольку трудно обозримое множество измерительных приборов, таких как магнитометры, гравиметры, акселерометры и тому подобное, имеет чувствительные элементы, движение которых описывается уравнением (1) [4].

Однако, несмотря на развитие методов анализа, в частности, теории эллиптических и абелевых функций, искомое описание строится исключительно посредством упрощений, которые можно подразделить на два класса:

1 – подстановка в уравнение (1) отрезков рядов Фурье, 2 – отбрасывание ввиду малости тех или иных слагаемых, входящих в уравнение, и замена функции sin j на угол j [5,6].

Как правило, для построения решения используются оба класса упрощений.

В связи с тем, что упомянутые методы решения уравнения вида (1) не дают адекватного описания движения мятника с трением в точке подвеса [7], мы предприняли попытку определения закона изменения движущей силы как функции времени, опираясь на следующее из теории конических сечений и классической механики определение решения обыкновенного дифференциального уравнения:

Определение I.

Решением обыкновенного дифференциального уравнения порядка n является функция, n-я производная от которой даёт полное алгебраическое выражение данного дифференциального уравнения.

Построение аналитического описания силы сопротивления Как и в работе [7] *, будем исходить из рассмотрения движения маятника по инерции, описывающегося уравнением В работе [7] было проведено построение методом теории эллиптических функций аналитическое описание общей силы, пропорциональной скорости, препятствующей движению маятника, однако оно не было доведено до конца. Кроме того, в тексте был допущен ряд неточностей, и само изложение материала является, на наш взгляд, не самым удачным.

определяющим строго периодическое движение с периодом Решение уравнения (2) определено функцией [7] где sn(u) – эллиптическая функция Якоби, а e – эксцентриситет кинематического эллипса, отображением на который движение маятника спрямляется последующим отображением на окружность. И это действительно так, поскольку оно полностью удовлетворяет Определению I При движении маятника по инерции (уравнение (2)) e есть величина постоянная, определённая равенством где a – начальный угол отклонения. Для построения аналитического описания поведения силы, действующей на маятник, при движении его в среде с сопротивлением, пропорциональным первой степени скорости, определим функцию (4) как функцию двух переменных – аргумента u(t) и эксцентриситета e(t) что предопределит изменение размахов маятника. При таком определении функции j её полная вторая производная по времени имеет вид Так как второе и четвёртое слагаемые определяют силу, пропорциональную скорости, то интересующее нас уравнение имеет вид где ский интеграл II рода, представляющий собой квазипериодическую функцию, предопределяющую необратимые изменения движения.

Подставив выражение этой производной в уравнение (2) и получив явные выражения всех слагаемых, мы получим в силу строения функции (4') дифференциальное уравнение, в котором неизвестной функцией является e(t), которое мы можем записать в виде В правой части последнего уравнения первые три слагаемых определяют явное выражение силы сопротивления, пропорциональной скорости движения маятника – силы трения.

Так как эксцентриситет эллипса e естественно представим эллиптической функцией (на самом деле закон изменения e определён функцией, пропорциональной первой степени скорости), то подстановка его в дифференциальное уравнение (8) преобразует последнее в алгебраическое уравнение степени 4 относительно e с изменяющимися во времени коэффициентами, которые мы можем записать, представив, что маятник остановлен внешним воздействием в момент времени, отличный от t0, т.е. введя в уравнение мгновенное значение движущей силы и силы сопротивления F с обратным знаком в виде Таким образом, мы представили силу, действующую на маятник, в виде уравнения четвёртой степени (11) от эксцентриситета, каковой в силу формулы (5) определяет отклонение маятника от положения равновесия.

Из уравнения (11) следует, что закон изменения силы, действующей на маятник, при движении его в среде с сопротивлением, пропорциональным первой степени скорости, является функцией не ниже четвёртого порядка (ввиду зависимости от времени коэффициентов l i, в которые, кроме периодических эллиптических функций Якоби – тригонометрических функций эллипса I рода, входят тригонометрические функции эллипса II рода, являющиеся квазипериодическими).

Таким образом, мы видим, что выбор аналитического выражения эксцентриситета в виде (9) согласуется с законом изменения во времени действующей на маятник силы, определённым уравнением (11), в виду того, что последнее приводится к виду где e есть корень уравнения (12), которое есть результат преобразования уравнения (11), а k 2 есть модуль, или эксцентриситет, эллиптической функции, выраженный через коэффициенты уравнения (11).

Обращением же канонического якобиева интеграла вида является эллиптический синус e = sn (u ) [8].

Так как уравнение (11) имеет четыре корня, то в зависимости от знаков перед функцией E (j), содержащейся в коэффициентах a и b в уравнении (8), корни уравнения (11) будут убывающими или возрастающими функциями времени, что, соответственно, предопределяет аналитическое поведение функции j – решения уравнения (1).

Заключение В этой работе мы получили методами теории эллиптических функций аналитическое описание кривой, определяющей закон изменения величины силы, движущей маятник, колеблющийся под действием силы сопротивления, пропорциональной первой степени скорости, в предположении, что функция, представляющая собой решение дифференциального уравнения, описывающего это движение, есть функция от двух переменных.

Проведённый анализ подтвердил правильность выбора в качестве варьируемого параметра эксцентриситета кинематического конического сечения, отображением на который спрямляется движение маятника, и показал, что закон изменения движущей силы выражается функцией четвёртого порядка от этого эксцентриситета при сопротивлении трения, пропорциональном первой степени скорости маятника.

Эти результаты будут использоваться в дальнейшей работе над задачей точного аналитического описания закона движения маятника при сопротивлении трения в точке подвеса, пропорциональном первой степени его скорости, поскольку точное решение этой задачи даёт возможность производить расчёт компенсирующих сил во всех механических устройствах, содержащих вращающиеся с трением скольжения элементы – соприкасающиеся по двум цилиндрическим поверхностям поворотные механизмы, штурвалы, ручки управления и так далее.

Литература Ньютон И. Математические начала натуральной философии. Собр. соч. А.Н. Крылова. М-Л.:

ИАНСССР, т.7, 1936. С. 356-368, 392-421.

Менделеев Д.И. Подготовка к определению абсолютного напряжения тяжести. Сочинения, т. VII.

Л.-М., ИАНСССР, 1946. С. 600-620.

Крылов А.Н. Качка корабля. Собр. трудов ак. А.Н. Крылова, т.XI. М-Л., ИАНСССР, 1951.

Бесекерский В.А., Иванов В.А., Самотокин Б.Б. Орбитальное гирокомпасирование. СПб, Политехника, 1993.

Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний.

М, ГИФМЛ, 1958.

Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. М. Мир, 1968.

Иванов В.А., Мануйлов К.В., Несмачный Д.В. Точное решение дифференциального уравнения, описывающего свободные и вынужденные колебания маятника с трением в точке подвеса. // Научнотехнический вестник СПбГИТМО (ТУ) №9. С-Пб, СПбГИТМО, 2003. С.99-104.

Ильина Л.П., Мануйлов К.В. Курс лекций по теории функций комплексной переменной и эллиптическим функциям. СПб: СПбГИТМО, 2000.

pIMULINK-МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ

С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

Научный руководитель – д.т.н., профессор В.М. Мусалимов На примере одной из простейших нелинейных механических систем рассматриваются возможности построения их моделей в среде MatLAB и анализируются результаты моделирования в контексте использования кинетических методов исследования подобных систем.

Компьютерная техника, применяемая для изучения нелинейных динамических систем, обусловливает идеи и методы изучения и интерпретации этих систем как на качественном, так и на вычислительном уровне. Использование компьютера как средства для понимания поведения динамических систем, кажется, теперь не вызывает вопросов.

Многие явления были первоначально открыты при помощи компьютерного моделирования, а затем получили теоретическое объяснение.

Рассмотрим систему (рис. 1), представляющую собой маятник на основании, имеющим возможность горизонтального перемещения.

Рис. 1. Маятник на основании, имеющим возможность горизонтального перемещения На рис. 1 введены следующие обозначения: M – масса ползуна; m – масса маятника; l – длина маятника; g – ускорение свободного падения.

В данной работе мы будем рассматривать случай нелинейной упругой связи, способствующей потенциалу, связанному с катастрофой сборки.

В качестве обобщённых координат примем: x – горизонтальное смещение центра тяжести ползуна относительно положения равновесия, j – угол отклонения маятника от вертикальной оси. Тогда выражение для кинетической энергии данной системы будет иметь вид Далее составляются уравнения Лагранжа второго рода:

Пусть F ( x ) = -( Ax 3 + Bx). Тогда получаем следующую систему уравнений:

Выделяя в явном виде вторые производные, имеем:

Данную систему будем визуализировать при помощи приложения Simulink программного пакета MatLab.

Принимаем M = m = 1 кг, l = 1 м, g = 9.8 м / с 2, A = 3, B = -2. После подстановки численных значений система уравнений принимает следующий вид:

На рис. 2 представлена расчётная схема.

На рис. 3–4 представлены результаты моделирования.

Рис. P. Результаты моделирования – законы изменения x(t ), j (t ) Рис. 4. Результаты моделирования – фазовые портреты x( x) и j (j ) На рис. 3 представлены законы изменения x(t ), j (t ). Для зависимости j (t ) характерно наличие высоких частот, накладываемых на низкочастотную несущую. Это явление не наблюдается для малых углов отклонения маятника j » sin j. Характер изменения x(t ) сопоставим с возникновением квазифрикционного взаимодействия, несмотря на то, что сама постановка задачи полностью исключает учёт трения.

На рис. 4 представлены фазовые портреты системы x( x) и j(j). Характерным для обоих случаев является орбитальность приведённых зависимостей. Мы наблюдаем стохастический характер этих орбит. Поэтому в дальнейшем мы предусматриваем использование уравнений Колмогорова-Фокера-Планка в целях построения функций плотности вероятности для анализа этих орбитально-стохастических явлений.

Литература Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. / Под ред. Е.С. Пятницкого. 3-е изд. – М.:

ФИЗМАТЛИТ, 2001. 264с.

Гультяев А. Визуальное моделирование в среде MATLAB: учебный курс. – СПб: Питер, 2000. 432с.

Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику: От маятника до турбулентности и хаоса. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. 368 с.

Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. – М.: Наука. Главная редакция физикоматематической литературы, 1984.

Мусалимов В.М. Аналитическая теория точности механических систем. / В кн. Фундаментальные проблемы теории точности. – СПб.: Наука, 2004.

СТАБИЛИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ВОЗМУЩЕННОЙ СИСТЕМЫ

С НЕОГРАНИЧЕННОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

Научный руководитель – к.т.н., доцент А.А. Бобцов В работе представлены аналитические условия для решения задачи стабилизации нелинейной возмущенной системы с неизвестными параметрами линейной части, с неограниченной нелинейностью по измерениям выходной переменной системы. Предполагается, что относительная степень объекта управления известна и равна двум, а нелинейность ограничена функцией от выхода произвольной степени.

Введение Данная работа является развитием схем управления нелинейными системами, представляющими собой композицию линейного динамического и нелинейного статического звеньев [1–8]. Как и в статьях [1–8], в предлагаемой работе будут рассматриваться нелинейные системы, в которых нарушены условия согласования нелинейных блоков и управляющего сигнала. В отличие от работ [1–4], в данной работе предполагается, что на объект управления действует возмущающее воздействие. В данной работе, как и в работах [6, 7], предполагается, что относительная степень передаточной функции линейной части равна двум. В развитие результатов, предложенных в работах [6, 7], в данной работе, как и в работе [8], предполагается, что нелинейность ограничивается зависимостью относительно выхода системы произвольной степени. В отличие от работы [8], предполагается, что измерениям доступна только выходная переменная объекта управления, но не ее производные или вектор состояния объекта.

В работе предлагается схема управления, обеспечивающая сходимость выходной траектории нелинейной системы в некоторую область, определяемую разработчиком системы. Регулятор использует информацию о выходной переменной (без измерения производных).

1. Постановка задачи Рассмотрим нелинейный объект управления вида где p = d / dt – оператор дифференцирования; b( p) = bm p m + bm-1 p m-1 +... + b1 p + b0 – гурвицев полином степени m, коэффициент bm > 0 ; a( p ) = p n + an-1 p n-1 +... + a1 p + a0 – полином степени n (может быть неустойчивым); d ( p ) = p r + d r -1 p r -1 +... + d1 p + d 0 – f ( = p + f q-1 p +... + f1 p + f 0 – полином степени q, q n (может быть неустойчиq ты bi, ai, d i, f i предполагаются неизвестными; w(t ) – неизвестное, ограниченное возмущение; j( y ) – неизвестная функция такая, что где C 0 > 0 – положительное число, предполагается известным; t > 0 – положительное целое число, предполагается известным.

Цель управления: используя измерения только выходной переменной модели (1), найти закон управления, обеспечивающий сходимость выходной траектории нелинейной системы в некоторую область e 0, границы которой могут быть уменьшены за счет соответствующего выбора коэффициентов регулятора.

Выдвинем следующие допущения, при которых цель управления будет выполнена.

Допущение 1. Измеряется только выходная переменная y (t ), но не ее производные или вектор состояния системы.

Допущение 2. Относительная степень передаточной функции Допущение 3. Будем полагать, что возмущающее воздействие w(t ) и его первая и вторая производные ограничены.

O. Синтез алгоритма управления Выберем закон управления вида где коэффициент m (принимает в общем случае достаточно большое значение) и полином c ( p ) выбираются таким образом, чтобы полином g ( p ) = a ( p ) + mb( p ) c ( p ) был гурвицевым; функция n формируется алгоритмом оценки вида где функция n = y + C 0 y 2 t-1, а параметр k и функция s выбираются в соответствии с требованиями, представленными ниже.

Подставляя (3) в уравнение (1), получаем где h = n - n – функция отклонения (невязка).

Проводя несложные преобразования, для модели (6) имеем Принимая обозначения g ( p ) = a ( p ) + mc( p)b( p) и b( p) = c( p )b( p ), для системы (6) получаем Преобразуем уравнение (7) следующим образом где функция w (t ) = w(t ) является гладкой и ограниченной, в силу допущения 3 на сигнал w(t ).

Представим модель вход-выход (8) в виде модели вход-состояние-выход где x R – вектор переменных состояния модели (9); A, b, q и c – соответствующие матрицы перехода от модели вход-выход (8) к модели входсостояние-выход (9), причем в силу гурвицевости полинома g ( p ) и строгой минимальной фазовости модели (8), можно указать симметрическую положительно определенную матрицу P, удовлетворяющую двум следующим матричным уравнениям [9]:

где Q1 = Q1 > 0, причем значения матрицы Q1 зависят от параметра m и не зависят от параметра k.

Рассмотрим производную от функции отклонений h Учитывая, что x = n и n = y + C 0 y 2 t-1, для (12) получаем где W = 1 + (2t - 1)C 0 y 2t-2.

Cформулируем теорему, в которой будут указаны условия на расчет параметра k и функции s, обеспечивающих выполнение цели управления (2).

Теорема. Существует параметр k и функция s такие, что все траектории системы (9), (10), (13) могут быть сведены в любую малую область за счет увеличения параметра k.