[ 1. Цели освоения дисциплины
Целью освоения дисциплины «Неевклидовы геометрии» является формирование и
развитие у студентов профессиональных и специальных компетенций, формирование
систематизированных знаний, умений и навыков в области геометрии и е основных методов,
позволяющих подготовить конкурентноспособного выпускника для сферы образования,
готового к инновационной творческой реализации в образовательных учреждениях различного
уровня и профиля.
Задачи изучаемой дисциплины:
Исходя из общих целей подготовки бакалавра педагогического образования по профилю «Математика»:
содействовать средствами дисциплина «Неевклидовы геометрии» развитию у студентов мотивации к педагогической деятельности, профессионального мышления, коммуникативной готовности, общей культуры;
научить студентов ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи.
Исходя из конкретного содержания дисциплины:
сформировать знания основных понятий и фактов сферической геометрии и геометрии Лобачевского, расширяющих и углубляющих представления о пространственных формах и количественных соотношениях реального мира;
познакомить студентов с примами аналитико-синтетической деятельности при доказательстве теории и решении задач;
научить студентов доказательно рассуждать, выдвигать гипотезы и их обоснования;
научить поиску, систематизации и анализу информации, используя разнообразные информационные источники, включая учебную и справочную литературу;
научить использовать информационные технологии в будущей профессиональной деятельности.
2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата Дисциплина «Неевклидовы геометрии» входит в вариативную часть профессионального цикла (дисциплины по выбору студентов).
Для усвоения дисциплины «Неевклидовы геометрии» студенты используют знания, полученные в процессе изучения основного курса геометрии, линейной алгебры и математического анализа.
В результате изучения данных дисциплин обучающийся должен:
знать основные факты и строгие доказательства некоторых фактов, геометрии Лобачевского, сферической геометрии;
уметь применять теоретические знания к решению геометрических задач по курсу;
владеть:
основными принципами аксиоматического построения неевклидовых геометрий таких как геометрия Лобачевского, сферическая геометрия, проективная геометрия.
Освоение данной дисциплины является необходимым прохождения для учебной практики, производственной (педагогической) практики, подготовки к итоговой государственной аттестации.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины «Неевклидовы геометрии»
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование элементов следующих компетенций в соответствии с ФГОС ВПО по данному направлению:
Структурные элементы компетенции Коды (в результате освоения дисциплины Наименование компетенции компетенции обучающийся должен знать, уметь, владеть) Профессиональные компетенции Осознает социальную значимость Знать:
ОПК- своей будущей профессии, обладает социальную значимость своей мотивацией к осуществлению будущей профессии.
профессиональной деятельности. Уметь:
реализовывать учебные программы базовых и элективных курсов в различных образовательных учреждениях.
Владеть:
мотивацией к осуществлению профессиональной деятельности.
Способен реализовывать учебные Знать:
ПК- программы базовых и элективных фактический материал для курсов в различных образовательных разработки элективных курсов.
учреждениях. Уметь:
решать задачи и доказывать утверждения и теоремы в объме, необходимом для разработки и реализации элективных курсов.
Владеть:
Методами решения задач и доказательства теорем в объме, необходимом для разработки и реализации элективных курсов Специальные компетенции Владеет основными положениями Знать:
классических разделов различные приемы использования математической науки, базовыми идеологии сферической и идеями и методами математики, гиперболической геометрии в решении системой основных математических задач, в том числе практического структур и аксиоматическим методом. содержания;
СК-1 технику применения элементарной и дифференциальной геометрии сферы и плоскости Лобачевского к решению задач.
Уметь:
применять теоретические знания к решению геометрических задач.
Владеть:
основными понятиями и фактами геометрии сферы и геометрии плоскости Лобачевского.
СК- культурой, способен понимать общую строгие доказательства.
структуру математического знания, Уметь:
основе общих методов научного пользоваться языком математики, имеющиеся знания.
СК- средством моделирования явлений и идеологии курса сферической и построением математических моделей решении прикладных задач;
Общая трудоемкость дисциплины составляет _5_ зачетных единиц, _180_ часов.
п/п 1.1.
Раздел 2. Геометрия Лобачевского.
Тема 2.1. Простейшие факты геометрии 2.1.
плоскости Лобачевского.
Тема 2.3. Дифференциальная геометрия 2.3.
плоскости Лобачевского.
Тема 1.1. Элементарная геометрия на сфере.
Элементарная геометрия на сфере. Простейшие фигуры на сфере. Двуугольники и треугольники. Расстояние между точками. Прямоугольные треугольники.
Тригонометрические соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора. Теоремы синусов и косинусов.
Тема 1.2. Дифференциальная геометрия сферы.
Дифференциальная геометрия сферы. Первая и вторая квадратичная формы сферы.
Полная и средняя кривизна. Геодезические линии.
Тема 2.1. Простейшие факты геометрии плоскости Лобачевского.
Начала Евклида. Проблема V постулата Евклида и ее решение Н.И. Лобачевским.
Аксиоматическое определение плоскости Лобачевского. Абсолютная геометрия.
Простейшие факты геометрии плоскости Лобачевского. Параллельные по Лобачевскому.
Тема 2.2. Модели плоскости Лобачевского.
Модели плоскости Лобачевского. Решение простейших задач в моделях. Реализация в малом геометрии Лобачевского на псевдосфере.
Тема 2.3. Дифференциальная геометрия плоскости Лобачевского.
Дифференциальная геометрия плоскости Лобачевского. Первая квадратичная форма.
Линейная связность, кривизна, геодезические линии.
Тема 2.4. Неметрические геометрии.
Понятие проективного пространства. Модели проективной прямой и плоскости.
Проективные координаты. Проективная прямая на проективной плоскости. Теорема Дезарга.
В ходе освоения дисциплины «Неевклидовы геометрии», при проведении аудиторных занятий, используются технологии традиционных и нетрадиционных учебных занятий.
Технология традиционного обучения предусматривает такие методы и формы изучения материала как лекция, практические занятия:
информационная лекция (тема 2.4 Неметрические геометрии);
проблемная лекция (тема 1.2 Дифференциальная геометрия сферы);
лекция-визуализация (тема 1.1 Элементарная геометрия сферы; тема 2.1 Простейшие факты геометрии Лобачевского).
Практические занятия проводятся в форме семинарских занятий и направлены на формирование у студентов самостоятельности мышления, умений и навыков решения задач, в том числе с практическим содержанием и исследовательских задач. В ходе проведения практических занятий используются задания учебно-тренировочного характера и задания творческого характера.
При изучении дисциплины «Неевклидовы геометрии» используются активные и интерактивные технологии обучения, такие как:
технология сотрудничества, включающая работу в малых группах (тема 1. Дифференциальная геометрия сферы, тема 2.2 Модели плоскости Лобачевского) и коллективную мыслительную деятельность (тема 1.1 Элементарная геометрия сферы);
медиатехнология (подготовка и демонстрация презентаций);
кейс-технология (проблемный метод, работа в парах и группах).
Занятия, проводимые в интерактивной форме, в том числе с использованием интерактивных технологий составляют 25% от общего количества аудиторных занятий.
Самостоятельная работа студентов подразумевает работу под руководством преподавателя (консультации) и индивидуальную работу студента, выполняемую, в том числе, в компьютерном классе с выходом в сеть «Интернет» на физико-математическом факультете университета.
При реализации образовательных технологий используются следующие виды самостоятельной работы:
работа с конспектом лекции;
работа с учебником;
решение задач и упражнений по образцу;
решение вариативных задач и упражнений;
подготовка доклада по заданной теме с компьютерной презентацией;
поиск информации в сети «Интернет» и дополнительной и справочной литературе;
мини-исследование;
подготовка к сдаче экзамена.
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов.
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины.
Доказательство теоремы синусов и косинусов дополнительной и справочной литературе История развития сферической геометрии.
Полная и средняя кривизна сферы, главные дополнительной и справочной литературе треугольника, четырехугольника на плоскости Лобачевского. Определение параллельных прямых различные попытки доказательства V постулата Евклида; доказательство некоторых теорем дополнительной и справочной литературе Краткая биография открывателей неевклидовой геометрии (Лобачевский, Гаусс, Больяи).
построение трех типов пучков прямых плоскости [4] стр. Полная и средняя кривизна псевдосферы, главные Тригонометрические соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора. Теоремы синусов и косинусов. Простейшие факты геометрии плоскости Лобачевского. Модели плоскости Лобачевского.
Модель Бельтрами-Клейна плоскости Лобачевского.
Модель Пуанкаре плоскости Лобачевского.
Реализация геометрии Лобачевского на псевдосфере евклидова пространства.
«Начала» Евклида. Сущность аксиоматического метода.
Проблема пятого постулата Евклида и е решение.
Жизненный путь Н.И.Лобачевского Параллельные по Лобачевскому.
Применение теорем проективной геометрии к решению элементарных задач.
1. Доказать теорему синусов для сферического треугольника 2. Доказать, что на плоскости Лобачевского сумма углов четырехугольника меньше 4d.
3. В модели Бельтрами Клейна плоскости Лобачевского построить серединный перпендикуляр к отрезку.
1. Элементарная геометрия на сфере. Простейшие фигуры на сфере. Двуугольники и треугольники. Расстояние между точками.
2. Прямоугольные треугольники. Тригонометрические соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора.
3. Теоремы синусов и косинусов.
4. Первая и вторая квадратичные формы сферы. Полная и средняя кривизна.
5. Геодезические линии на сфере.
6. Возникновение и развитие геометрии. "Начала" Евклида. Общая характеристика.
Достоинства и недостатки "Начал".
7. Проблема пятого постулата Евклида Различные попытки доказательств постулата.
Решение проблемы V постулата Н.И.Лобачевским.
8. Аксиоматическое определение плоскости Лобачевского. Основные факты абсолютной геометрии (теорема Дедекинда, теорема Лежандра, теорема Саккери-Лежандра).
9. Простейшие факты планиметрии Лобачевского.
10. Параллельные прямые по Лобачевскому. Свойства параллельных прямых на плоскости Лобачевского (без доказательства).
11. Свойства параллельных прямых на плоскости Лобачевского (с доказательством).
12. Сверпараллельные прямые и их свойства (с доказательством).
13. Простейшие кривые на плоскости Лобачевского: окружность, эквидистанта, орицикл.
14. Модель Бельтрами-Клейна планиметрии Лобачевского. Независимость аксиомы параллельности Евклида от остальных аксиом.
15. Модель Анри Пуанкаре плоскости Лобачевского.
16. В модели Бельрами-Клейна;
а) для данной точки построить симметричную точку относительно данной прямой, б) опустить перпендикуляр из данной точки на данную прямую, в) построить пучки прямых I,II и III рода, г) Построить общий перпендикуляр пучка сверхпараллельных прямых.
д) Построить угол параллельности.
17. В модели Пуанкаре на полуплоскости:
а) для данной точки построить симметричную точку относительно данной прямой, б) опустить перпендикуляр из данной точки на данную прямую, в) построить середину данного отрезка, г) построить пучки прямых I,II и III рода.
1. Элементарная геометрия на сфере. Простейшие фигуры на сфере. Двуугольники и треугольники. Расстояние между точками.
2. Прямоугольные треугольники. Тригонометрические соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора.
3. Теоремы синусов и косинусов.
4. Первая и вторая квадратичные формы сферы. Полная и средняя кривизна.
5. Геодезические линии на сфере.
6. Возникновение и развитие геометрии. "Начала" Евклида. Общая характеристика.
Достоинства и недостатки "Начал".
7. Проблема пятого постулата Евклида Различные попытки доказательств постулата.
Решение проблемы V постулата Н.И.Лобачевским.
8. Аксиоматическое определение плоскости Лобачевского. Основные факты абсолютной геометрии (теорема Дедекинда, теорема Лежандра, теорема Саккери-Лежандра).
9. Простейшие факты планиметрии Лобачевского.
10. Параллельные прямые по Лобачевскому. Свойства параллельных прямых на плоскости Лобачевского (без доказательства).
11. Свойства параллельных прямых на плоскости Лобачевского (с доказательством).
12. Сверпараллельные прямые и их свойства (с доказательством).
13. Простейшие кривые на плоскости Лобачевского: окружность, эквидистанта, орицикл.
14. Модель Бельтрами-Клейна планиметрии Лобачевского. Независимость аксиомы параллельности Евклида от остальных аксиом.
15. Модель Анри Пуанкаре плоскости Лобачевского.
16. В модели Бельрами-Клейна;
а) для данной точки построить симметричную точку относительно данной прямой, б) опустить перпендикуляр из данной точки на данную прямую, в) построить пучки прямых I,II и III рода, г) Построить общий перпендикуляр пучка сверхпараллельных прямых.
д) Построить угол параллельности.
17. В модели Пуанкаре на полуплоскости:
а) для данной точки построить симметричную точку относительно данной прямой, б) опустить перпендикуляр из данной точки на данную прямую, в) построить середину данного отрезка, г) построить пучки прямых I,II и III рода.
18. Дифференциальная геометрия плоскости Лобачевского. Первая и вторая квадратичные 19. Параллельное перенесение на плоскости Лобачевского.
20. Геодезические линии на плоскости Лобачевского.
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение 1. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. - Проспект, КноРус, 2011. - Ч.II.
2. Атанасян Л.С., Глизбург В.И. Сборник задач по геометрии. -Эксмо, 2007. - Ч.II.
3. Сборник задач по геометрии / Под ред. В.Т. Базылева. - Лань, 2008.
4. Горшкова Л.С., Сорокина М.В. Основания геометрии.- ПГПУ, 2009.
5. Паньженский В.И. Введение в дифференциальную геометрию. – ПГПУ, 2008.
6. Горшкова Л.С., Титова Н.В. Неевклидова геометрия. Пенза – 2005.
7. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии. Лань, 2010.
8. Горшкова Л.С., Паньженский В.И., Марина Е.В. Проективная геометрия. – ЛКИ, 2007.
9.Сорокина М.В. Основы топологии и дифференциальной геометрии в упражнениях и задачах. - ПГПУ, 2008.
1. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. - М.: Наука,2001.
2. Ефимов Н.В. Высшая геометрия. – М.:ФИЗМАТЛИТ, 2004.
2. Паньженский В.И., Сурина О.П. Тензоры. Пенза – 2001.
3. Сурина О.П. Введение в тензорное исчисление. Пенза – 2003.
4. Школьные учебники по геометрии.
5. Франгулов С.А. Сборник задач по геометрии. – М.: «Просвещение», 2002.
Exponenta.ru Математика www.mathematics.ru Geometry.ru образование.
Математика www.xplusy.isnet.ru 8. Материально-техническое обеспечение дисциплины «Неевклидовы Для освоения данной дисциплины необходимы:
– мультимедийные средства обучения геометрии (компьютер и проектор; интерактивная доска; Интернет - ресурсы);
– геометрические инструменты (циркуль, линейка, треугольник);
«