«Современная математика студентам и аспирантам C. C. КУТАТЕЛАДЗЕ ОСНОВЫ ФУНКЦИОНAЛЬНОГО АНАЛИЗА 4-е издание, исправленное НОВОСИБИРСК Издательство Института математики 2001 УДК 517.98 ББК 22.16 К95 Кутателадзе С. С. ...»

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. С. Л. СОБОЛЕВА

Современная математика студентам и аспирантам

C. C. КУТАТЕЛАДЗЕ

ОСНОВЫ

ФУНКЦИОНAЛЬНОГО АНАЛИЗА

4-е издание,

исправленное

НОВОСИБИРСК

Издательство Института математики 2001 УДК 517.98 ББК 22.16 К95 Кутателадзе С. С. Основы функционального анализа.

4-е изд., испр. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2001.

xii+354 c. (Современная математика студентам и аспирантам).

ISBN 5–86134–103–6.

В монографии изложены основные разделы современного функционального анализа. Особое внимание уделено теории банаховых алгебр и функциональному исчислению, теории нтеровых оператое ров, теории двойственности локально выпуклых пространств, выпуклому анализу, принципам банаховых пространств, теории распределений и ряду смежных вопросов. Около двадцати лет книга служит базой обязательного курса лекций для студентов-математиков Новосибирского государственного университета.

Книга адресована читателю, интересующемуся методами функционального анализа и их приложениями.

Библиогр.: 347.

Ответственный редактор В. В. Иванов Редактор серии Ю. Г. Решетняк К 160208000010 Без объявл.

Я82(03) c Кутателадзе С. С., ISBN 5–86134–103– c Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Содержание Предисловие к первому изданию viii Предисловие к четвертому изданию xii Глава 1. Экскурс в теорию множеств § 1.1. Соответствия

§ 1.2. Упорядоченные множества

§ 1.3. Фильтры

Упражнения

Глава 2. Векторные пространства § 2.1. Пространства и подпространства................ § 2.2. Линейные операторы

§ 2.3. Уравнения в операторах

Упражнения

Глава 3. Выпуклый анализ § 3.1. Множества в векторных пространствах.......... § 3.2. Упорядоченные векторные пространства........ § 3.3. Продолжение положительных функционалов и операторов........................................... § 3.4. Выпуклые функции и сублинейные функционалы § 3.5. Теорема Хана Банаха

iv Содержание § 3.6. Теорема Крейна Мильмана для субдифференциалов.......................... § 3.7. Теорема Хана Банаха для полунормы......... § 3.8. Функционал Минковского и отделимость........ Упражнения

Глава 4. Экскурс в метрические пространства § 4.1. Равномерность и топология метрического пространства...................................... § 4.2. Непрерывность и равномерная непрерывность... § 4.3. Полунепрерывность

§ 4.4. Компактность

Глава 5. Мультинормированные и банаховы § 5.2. Равномерность и топология мультинормированного § 8.3. Идеал компактных операторов и проблема аппроксимации........................................... Глава 10. Двойственность и е приложения § 10.11. Преобразование Фурье умеренных Предисловие к первому изданию Как следует из названия, эта книга посвящена функциональному анализу. Термин функциональный анализ был изобретен в самом начале текущего века Ж. Адамаром, известным всем математикам по формуле для вычисления радиуса сходимости степенного ряда. Функциональным анализом стали называть новую ветвь вариационного исчисления, которую интенсивно разрабатывали в то время В. Вольтерра, Ч. Арцела, П. Леви, С. Пинкерле и ряд других представителей французской и итальянской математических школ.

Вклад Ж. Адамара в создание новой дисциплины не сводится, разумеется, к изобретению слова функционал (точнее, к превращению соответствующего прилагательного в имя существительное). Ж. Адамар хорошо понимал роль зарождающегося направления, интенсивно работал, постоянно пропагандировал вновь возникающие проблемы, идеи и методы. В частности, он поставил перед своим учеником М. Фреше задачу построения того, что все теперь называют теорией метрических пространств. В этой же связи уместно отметить, что окрестности, применяемые в функциональном анализе в смысле Адамара Вольтерра, послужили предтечей известных работ Ф. Хаусдорфа, ознаменовавших оформление общей топологии. Для дальнейшего важно подчеркнуть, что одно из наиболее интересных, трудных и важных направлений классического анализа вариационное исчисление стало первым источником функционального анализа.

Вторым источником функционального анализа были исследования, направленные на создание алгебраической теории функциональных уравнений, точнее говоря, на упрощение и формализацию манипулирования уравнениями в функциях и, в частности, линейными интегральными уравнениями. Теория таких уравнений, восходящая к Н. Абелю и Ж. Лиувиллю, получила существенное развитие в работах И. Фредгольма, К. Неймана, Ф. Нтера, А. Пуанкаре и др. Труды этих математиков подготовие ли почву знаменитым исследованиям Д. Гильберта по теории квадратичных форм от бесконечного числа переменных. Идеи Д. Гильберта, развитые Ф. Риссом, Э. Шмидтом и др., непосредственно предшествовали аксиоматическому построению теории гильбертовых пространств, данному Дж. фон Нейманом и М. Стоуном. Возникший раздел математики оказал и продолжает оказывать сильнейшее воздействие на теоретическую физику и прежде всего на квантовую механику. Небезынтересно и поучительно в этой связи отметить, что термин квант возник в том же 1900 г., что и термин функционал.

Третьим важнейшим источником функционального анализа послужили геометрические идеи Г. Минковского. Развитый им аппарат конечномерной геометрии выпуклых тел подготовил тот круг пространственных представлений, в котором осуществляется современное развитие анализа. Идея выпуклости, разработанная Э. Хелли, Г. Ханом, К. Каратеодори, И. Радоном и др., легла впоследствии в основу теории локально выпуклых пространств. В свою очередь, эта теория способствовала распространению метода обобщенных производных, открытого С. Л. Соболевым и коренным образом изменившего аппарат математической физики. В послевоенные годы геометрическая концепция выпуклости завоевала для математики новую сферу приложений социальные науки и особенно экономику. Исключительную роль при этом сыграло линейное программирование, открытое Л. В. Канторовичем.

Приведенный перечень линий становления функционального анализа схематичен, неполон и приблизителен (так, остались неотмеченными линия принципа суперпозиции Д. Бернулли, линия функций множеств и теории интеграла, линия операционного исчисления, линия исчисления конечных разностей и дробного дифференцирования, линия общего анализа и многое другое). Несмотря на это, перечисленные три источника отражают основную, наиболее существенную закономерность в функциональном анализе осуществлены синтез и развитие идей, представлений и методов классических разделов математики: геометрии, алгебры и анализа. Таким образом, хотя в буквальном смысле слов функциональный анализ это анализ функций и функционалов, даже поверхностный взгляд на его историю дает основания сказать, что функциональный анализ это алгебра, геометрия и анализ функций и функционалов.

Более глубокое и развернутое разъяснение понятия функциональный анализ дает Советский Энциклопедический Словарь: Функциональный анализ, один из основных разделов современной математики.

Возник в результате взаимного влияния, объединения и обобщения идей и методов многих разделов классического математического анализа. Характеризуется использованием понятий, связанных с различными абстрактными пространствами, такими, как векторное пространство и др. Находит разнообразные применения в современной физике, особенно в квантовой механике (с. 1449).

Оформление функционального анализа как самостоятельного раздела математики связано с книгой С. Банаха Теория линейных операций, вышедшей в свет полвека назад. Влияние этой книги на развитие математики огромно представленные в ней концепции С. Банаха пронизывают всю математику.

Выдающийся вклад в развитие функционального анализа внесли советские ученые И. М. Гельфанд, Л. В. Канторович, М. В. Келдыш, А. Н.

Колмогоров, М. Г. Крейн, Л. А. Люстерник, С. Л. Соболев. Для отечественной школы характерно развитие исследований в области функционального анализа в связи с крупными прикладными проблемами. Эти исследования расширили роль функционального анализа он стал основным языком приложений математики. Показателен следующий факт. Хотя в 1948 г. само название широко известной статьи Л. В. Канторовича Функциональный анализ и прикладная математика, заложившей основы современной теории приближенных методов, воспринималось как парадоксальное, уже в 1974 г., по словам С. Л. Соболева, теорию вычислений стало так же невозможно себе представить без банаховых пространств, как и без электронных вычислительных машин.

Наряду с постоянным ростом потребностей в методах и представлениях функционального анализа в последнее время наблюдается экспоненциальное накопление фактического материала в рамках самой этой дисциплины. Таким образом, разрыв между современным уровнем анализа и уровнем, зафиксированным в доступной широкому читателю литературе, постоянно увеличивается. Настоящая книга преследует цель преодоления этой негативной тенденции.

Предисловие ко второму изданию В течение более десятка лет эта книга используется в качестве основы обязательного курса лекций по функциональному анализу в Новосибирском государственном университете. Время подтвердило обоснованность принципов составления монографии. В настоящее издание внесены разделы, трактующие основы теории распределений, добавлены упражнения теоретического характера и существенно обновлен список литературы. Устранены также неточности, указанные мне коллегами.

Пользуюсь случаем поблагодарить всех, кто помог мне в подготовке этой книги. Мой приятный долг особо отметить финансовую поддержку во время подготовки издания со стороны Института математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, Российского фонда фундаментальных исследований, Международного научного фонда и Американского математического общества.

Предисловие к третьему изданию Настоящее третье издание содержит указатель основных обозначений. В нем исправлены некоторые мелкие неточности, выжившие в двух предыдущих русских вариантах и английском переводе, осуществленном издательством Kluwer Academic Publishers в 1996 г.

Надеюсь, что число дефектов, возникших при подготовке нового издания, невелико.

Предисловие к четвертому изданию Настоящее четвертое издание отличается от предыдущего глоссарием английских терминов, а также отсутствием некоторых мелких неточностей и опечаток, борьба с которыми продолжается.

Экскурс в теорию множеств 1.1. Соответствия 1.1.1. Определение. Пусть A и B множества и F подмножество произведения A B. Тогда F называют соответствием с областью отправления A и областью прибытия B или, короче, соответствием из A в B.

1.1.2. Определение. Для соответствия F A B множество называют областью определения F, а множество областью значений или образом F.

1.1.3. Примеры.

соответствие из B в A, называемое обратным к F. Ясно, что F обратно к соответствию F 1.

(3) Пусть F A B. Тогда F называют однозначным соответствием, если для каждого a A из условий (a, b1 ) F и (a, b2 ) F вытекает, что b1 = b2. В частности, если U A и IU := {(a, a) A2 : a U }, то IU однозначное соответствие из A в A, о котором говорят и как о тождественном отношении или тождестве на U. Отношение U 2 называют промискуитетом на U. Соответствие F A B называют отображением множества A в множество B, если F однозначно и dom F = A. Соответствие IU является отображением только при A = U. В этом случае IU называют тождественным отображением. Отображение F A B обозначают символом F : A B. Стоит подчеркнуть, что при этом непременно dom F = A и в то же время образ im F может отличаться от B. Равенство im F = B выделяют словами: F отображение A на B.

Наконец, если соответствие F 1 B A оказывается однозначным, то исходное отображение F : A B называют взаимно однозначным.

(4) Вместо отображений иногда говорят о семействах.

Точнее, отображение F : A B при желании называют семейством элементов B и обозначают просто (ba )aA, или a ba (a A), или даже (ba ). Имеется в виду, что (a, b) F в том и только в том случае, если b = ba. Допуская вольность, не различают семейство и его область значений.

F на U и обозначают F |U. Множество F (U ) := im F |U называют образом множества U при соответствии F. Применяют естественные сокращения. Так, если F отображение, то для элемента a пишут F (a) = b, подразумевая F ({a}) = {b}. Скобки в символе F (a) часто опускают или изображают в ином начертании. Отметьте, наконец, что образ при обратном отображении называют прообразом. Точнее говоря, образ F 1 (U ) множества U в B при соответствии F называют прообразом множества U при соответствии F.

1.1.4. Определение. Для F A B и G C D множество называют композицией или суперпозицией соответствий F и G. При этом G F рассматривают как соответствие из A в D.

1.1.5. Замечание. Объем понятия суперпозиции, по существу, не уменьшится, если в 1.1.4 заранее считать, что B = C.

1.1.6. Пусть F того, F F = I imF в том и только в том случае, если F |dom F это отображение.

соответствия G F A C будет G F (U ) = G(F (U )).

1.1.9. Замечание. В силу 1.1.8 разумно определен символ H G F и ему подобные выражения.

1.1.10. Пусть F, G, H три соответствия. Тогда 1.1.11. Замечание. Предложение 1.1.10 и выкладка, приведенная в качестве его доказательства, с формальной точки зрения вопиюще некорректны, поскольку основываются на неоговоренной явно или на двусмысленной информации (в частности, на определении 1.1.1). Опыт позволяет считать указанную критику поверхностной. Поэтому в дальнейшем аналогичного рода удобные (а на самом деле и неизбежные) некорректности будут, как правило, использоваться без специальных оговорок и сожалений.

1.1.12. Для соответствий G и F выполнено 1.2. Упорядоченные множества 1.2.1. Определение. Пусть отношение в множестве X, т. е.

X 2. Рефлексивность означает включение IX, транзитиввключение, антисимметричность 1 IX и, наконец, симметричность означает равенство 1.2.2. Определение. Рефлексивное и транзитивное отношение называют отношением предпорядка. Симметричный предпорядок называют эквивалентностью. Антисимметричный предпорядок называют порядком.

Если X множество, а порядок в X, то пару (X, ) называют упорядоченным множеством и пишут x y вместо y (x).

Допускают обычные вольности словоупотребления и написания: само X называют упорядоченным множеством, пишут x y и говорят x меньше y или y больше x и т. п. Аналогичные соглашения действуют и для предупорядоченных множеств, т. е. множеств с отношениями предпорядка. При этом в случае отношения эквивалентности используют знаки типа или просто.

1.2.3. Примеры.

(1) Тождественное отношение; подмножество X0 в X с отношением 0 := X0 X0.

(2) Если (пред)порядок на X, то 1 также (пред)порядок на X. При этом отношение 1 называют противоположным к (пред)порядком.

в X следующее отношение: f 1 f. В силу 1.1. Значит, выполнено Таким образом, если это предпорядок, то f 1 f тоже предпорядок, называемый прообразом при отображении f. Ясно, что прообраз эквивалентности является эквивалентностью. В то же время прообраз порядка не обязан быть антисимметричным отношением.

В частности, так, как правило, бывает для следующего отношения эквивалентности: f 1 f = f 1 IY f.

(4) Пусть X произвольное множество и эквивалентность в X. Определим отображение : X 2X правилом (x) := (x) (здесь 2X это множество подмножеств X, обозначаемое также и P(X)). Пусть X := X/ := im фактормножество. Отображение, как известно, называют каноническим (канонической проекцией, факторным отображением и т. п.). Заметим, что считают действующим на X. Множество (x) называют классом эквивалентности или комножеством элемента x. Отметим еще, что Пусть теперь f : X Y отображение. Тогда f допускает снижение f на X, т. е. существует отображение f : X Y такое, что (5) Пусть (X, ) и (Y, ) два предупорядоченных множества. Отображение f : X Y возрастает (т. е. x y f (x) f (y)) в том и только в том случае, если f 1 f.

1.2.4. Определение. Пусть (X, ) упорядоченное множеподмножество в X. Элемент x X называют верхней ство и U границей U, если U 1 (x). Коротко пишут: x U. В частности, x. Элемент x X называют нижней границей U, если x является верхней границей U в противоположном порядке 1. Коротко пишут: x U. В частности, x.

1.2.5. Замечание. В дальнейшем мы будем допускать вольности при введении понятий, получающихся из данных путем перехода к противоположному (пред)порядку. Отметим также, что определение верхней и нижней границ осмыслено и в предупорядоченных множествах.

1.2.6. Определение. Элемент x называют наибольшим в множестве U, если x U и x U. Аналогично определяют наименьший элемент U.

1.2.7. Пусть (U ) совокупность всех верхних границ подмножества U в упорядоченном множестве (X, ). Пусть, далее, x X наибольший элемент U. Тогда, во-первых, x наименьший элемент (U ), а во-вторых, (x) U = {x}.

1.2.8. Замечание. Предложение 1.2.7 является основой двух обобщений понятия наибольшего элемента.

1.2.9. Определение. Элемент x из X называют точной верхней границей множества U в X, если x наименьший элемент множества всех верхних границ U. При этом пишут x = supX U или, короче, x = sup U. Аналогично (при переходе к противоположному порядку) определяют точную нижнюю границу множества U элемент inf U или, более полно, inf X U.

1.2.10. Определение. Элемент x упорядоченного множества (X, ) называют максимальным в подмножестве U множества X, если (x)U = {x}. Аналогично определяют минимальный элемент множества U.

1.2.11. Замечание. Необходимо отчетливо представлять себе различия и общие черты понятий наибольшего и максимального элементов и точной верхней границы множества. В частности, стоит экспериментально удостовериться, что у типичного множества нет наибольшего элемента, однако максимальные элементы встречаются.

1.2.12. Определение. Упорядоченное множество X называют решеткой, если для любых двух элементов x1, x2 из X существуют их точная верхняя граница x1 x2 := sup{x1, x2 } и точная нижняя граница x1 x2 := inf{x1, x2 }.

1.2.13. Определение. Упорядоченное множество X называют полной решеткой, если любое подмножество X имеет точную верхнюю и точную нижнюю границы.

1.2.14. Упорядоченное множество является полной решеткой в том и только в том случае, если любое его подмножество имеет точную верхнюю границу.

1.2.15. Определение. Упорядоченное множество (X, ) такое, логично определяют фильтрованное по убыванию множество. Непустое фильтрованное по возрастанию множество называют направленным или, короче, направлением.

1.2.16. Определение. Отображение направленного множества в данное множество X называют (обобщенной) последовательностью или сетью в X. Отображения (естественным образом) направленного множества натуральных чисел N в X называют (счетными) последовательностями. (Следуя одной из традиций, полагают N := {1, 2, 3... }.) 1.2.17. Решетка является полной в том и только в том случае, если любое фильтрованное по возрастанию множество в ней имеет точную верхнюю границу.

1.2.18. Замечание. Смысл 1.2.17 состоит в том, что для нахождения точной верхней границы любого подмножества в X следует научиться находить такие границы для двухэлементных подмножеств в X и для возрастающих сетей элементов X.

1.2.19. Определение. Пусть (X, ) упорядоченное множество и X 2 = 1. Тогда X называют линейно упорядоченным множеством. Если X0 непустое линейно упорядоченное подмножество X, то X0 называют цепью в X. Непустое упорядоченное множество называют индуктивным, если любая цепь в нем ограничена сверху (т. е. имеет верхнюю границу).

1.2.20. Лемма Куратовского Цорна. Индуктивное множество имеет максимальный элемент.

1.2.21. Замечание. Лемма Куратовского Цорна служит эквивалентом аксиомы выбора, принимаемой в теории множеств.

1.3. Фильтры подмножество непустых элементов 2X. Множество B называют базисом фильтра (в X), если B фильтровано по убыванию при введении в множество 2X подмножеств X отношения порядка по включению.

1.3.2. Подмножество B в 2X является базисом фильтра в том и только в том случае, если 1.3.3. Определение. Подмножество F в 2X называют фильтром (в X), если F представляет собой совокупность надмножеств некоторого базиса фильтра B (в X), т. е.

При этом говорят, что B базис F или что F имеет B своим базисом и т. п.

1.3.4. Подмножество F в 2X является фильтром в том и только в том случае, если 1.3.5. Примеры.

B B}. Видно, что F (B) фильтровано по убыванию. Допускают некоторую вольность в обозначениях, считая F (B) := l F (B). Если фильтр в Y. Этот фильтр называют образом фильтра F при соототображение и B ветствии F. В частности, если F : X Y базис фильтра в X, то F (F ) фильтр в Y.

{(x) : x X} это базис фильтра. Если F : X Y некоторая обобщенная последовательность, то фильтр l F (B) называют фильтром хвостов F.

Пусть (X, ) и F : X Y другие направление и сеть элементов Y. Если фильтр хвостов F содержит фильтр хвостов F, то F называют подсетью (в широком смысле) сети F. Если же существует подсеть (в широком смысле) G : X X тождественной сети (x)xX элементов направления (X, ) такая, что F = F G, то F называют подсетью F (иногда говорят: F подсеть Мура или строгая подсеть F ). Каждая подсеть служит подсетью в широком смысле.

1.3.6. Определение. Пусть F (X) совокупность всех фильтров в множестве X. Если F1, F2 F (X) и F1 F2, то говорят, что F1 тоньше F2 или F1 мажорирует F2 (соответственно F грубее F1 или F2 минорирует F1 ).

1.3.7. Множество F (X) с отношением тоньше является упорядоченным.

1.3.8. Пусть N направление в F (X). Тогда у N есть точная верхняя граница F0 := sup N. При этом Нужно убедиться только, что F0 это фильтр. Ясно, что F0 и, в силу непустоты N, F0 =. Если A F0 и B A, то, подбирая F из N, для которого A F, заключаем: B F F0. Если же A1, A2 F0, то можно найти элемент F в N такой, что A1, A2 F, ибо N это направление. На основании 1.3.4, 1.3.9. Определение. Максимальные элементы в упорядоченном множестве F (X) всех фильтров в X называют ультрафильтрами.

1.3.10. Каждый фильтр грубее некоторого ультрафильтра.

Ввиду 1.3.8 множество фильтров, содержащих данный, является индуктивным. Остается сослаться на лемму Куратовского Цорна 1.2.20.

1.3.11. Фильтр F является ультрафильтром в том и только в том случае, если для каждого A X либо A F, либо X \ A F.

F1 и B F1 F1 =. Столь же просто проверить 1.3.4 (2) и 1.3.4 (3). Итак, F1 фильтр. По построению F1 F. Раз F ультрафильтр, то F1 = F. Получилось противоречие: B F и X \A F по условию. Отсюда X \A F1, т. е. = A(X \A) F1, чего быть не может.

в X, то f (F ) ультрафильтр в Y.

1.3.13. Пусть X := XF0 := {F F (X) : F F0 } для некоторого F0 F (X). Тогда X полная решетка.

Понятно, что F0 наибольший, а {X} наименьший элементы в X. Стало быть, пустое множество в X имеет точную верхнюю и точную нижнюю границы: sup = inf X = {X} и inf = sup X = F0. В силу 1.2.17 и 1.3.8 достаточно установить существование F1 F2 для любых F1, F2 X. Рассмотрим F := {A1 A2 : A1 F1, A2 F2 }. Нет сомнений, что F F0 и F F1, F F2. Поэтому для проверки равенства F = F1 F нужно доказать, что F фильтр.

Соотношения F = и F очевидны. Ясно также, что (B1, B2 F B1 B2 F ). Помимо этого, если C A1 A2, где Поскольку A1 C F1, а A2 C F2, выводим: C F. Апелляция к 1.3.4 дает требуемое.

Упражнения 1.1. Привести примеры множеств и не множеств, теоретико-множественных свойств и не теоретико-множественных свойств.

1.2. Может ли отрезок [0, 1] быть элементом отрезка [0, 1]? А отрезок [0, 2]?

1.3. Найти композиции простейших соответствий и отношений: квадратов, кругов и окружностей с общими и с несовпадающими центрами, шаров в RM RN при различных допустимых наборах M, N.

1.4. Для соответствий R, S, T установить соотношения:

1.5. Пусть X X X. Доказать, что X =.

1.6. Выяснить условия разрешимости уравнений XA = B и AX = B относительно X в соответствиях, в функциях.

1.7. Найти число отношений эквивалентности на конечном множестве.

1.8. Будет ли эквивалентностью пересечение эквивалентностей? Объединение эквивалентностей?

Упражнения 1.9. Найти условие коммутативности эквивалентностей (относительно композиции).

1.10. Сколько порядков и предпорядков на двух- и трехэлементном множествах? Предъявить их. Что можно сказать о числе предпорядков на конечном множестве?

1.11. Пусть F возрастающее, идемпотентное отображение упорядоченного множества X в себя. Допустим, что F мажорирует тождественное отображение: F IX. Такие F называют операторами (абстрактного) замыкания или, короче, оболочками. Исследовать свойства неподвижных точек оператора замыкания.

1.12. Пусть X, Y упорядоченные множества и M (X, Y ) множество возрастающих отображений X в Y с естественным упорядочением (каким?). Доказать, что 1.13. Установить, что для упорядоченных множеств X, Y, Z справедливы следующие утверждения:

1.14. Сколько фильтров на конечном множестве?

1.15. Как устроены точные границы множества фильтров?

1.16. Пусть f отображает X на Y. Доказать, что каждый ультрафильтр в Y есть образ относительно f некоторого ультрафильтра в X.

1.17. Доказать, что каждый ультрафильтр, мажорирующий пересечение двух фильтров, тоньше хотя бы одного из них.

1.18. Доказать, что каждый фильтр представляет собою пересечение содержащих его ультрафильтров.

1.19. Пусть A ультрафильтр в N, содержащий дополнения конечных подмножеств. Для x, y s := RN положим x A y := ( A A ) x|A = y|A.

Обозначим R := RN /A. Для t R знак t символизирует класс, содержащий постоянную последовательность t(n) := t (n N). Доказать, что R \ {t : t R} =. Ввести в R алгебраические и порядковую структуры. Как связаны свойства R и R?

Векторные пространства 2.1. Пространства и подпространства 2.1.1. Замечание. В алгебре, в частности, изучают модули над кольцами. Модуль X над кольцом A определяют указанием абелевой группы (X, +) и представления A в кольце эндоморфизмов X, заданного отображением левого умножения · : AX X. При этом заранее обеспечивают естественное согласование операций сложения и умножения. С учетом сказанного трактуют фразу: модуль X над кольцом A описывается четверкой (X, A, +, ·).

2.1.2. Определение. Поле вещественных чисел R и поле комплексных чисел C называют основными полями. Для обозначения основного поля используют также символ F. Считают, что поле R стандартным (и общеизвестным) способом вложено в C.

2.1.3. Определение. Пусть F основное поле. Модуль X над полем F называют векторным пространством (над F). Элементы F называют скалярами, а элементы X векторами. Векторное пространство над R называют вещественным векторным пространством, а векторное пространство над полем C комплексным векторным пространством. Употребляют соответствующие развернутые записи: (X, F, +, ·), (X, R, +, ·) и (X, C, +, ·). Все же, как правило, допускают бльшую вольность, отождествляя множество векторов X с отвечающим ему векторным пространством.

2.1.4. Примеры.

(1) Основное поле F векторное пространство над F.

смотрим набор (X, F, +, · ), где · : (, x) x для s F и x X, а комплексно сопряженное к число. Полученное векторное пространство называют дуальным к X и обозначают X. При F := R пространство X совпадает с X.

(3) Векторное пространство (X0, F, +, ·) называют подпространством векторного пространства (X, F, +, ·), если X это подгруппа в X и умножение на скаляр в X0 это сужение на F X0 умножения на скаляр в X. Множество X0 называют линейным множеством в X. Очень удобно, хотя и не вполне корректно, рассматривать линейное множество X0 как векторное подпространство в X. Более того, нейтральный элемент нуль группы X считают подпространством X и обозначают символом 0. Поскольку связь нуля с X явно не отражена, все векторные пространства, включая и основные поля, можно воспринять как зацепленные за один общий нуль.

(4) Пусть (X ) семейство векторных пространств над полем F. Пусть, далее, X := X произведение соответствующих множеств, т. е. совокупность отображений x :

X, для которых x := x() X при каждом (в подобных ситуациях всегда молчаливо подразумевают, что = ). Наделим X покоординатными операциями сложения и умножения на скаляр:

(ниже, как правило, вместо выражений типа ·x будем писать сокращенно: x и изредка x). Полученное векторное пространство X над F называют произведением семейства векторных пространств случае, когда X = X для любого, используют обозначение X := X. Если к тому же := {1, 2,..., N }, полагают X N := X.

(5) Пусть (X ) семейство векторных пространств над полем F. Рассмотрим прямую сумму множеств X0 := X, т. е. подмножество в произведении X := X, состоящее из таких элементов x0, что найдется (вообще говоря, свое для каждого x0 ) конечное подмножество 0 в такое, что x0 ( \ 0 ) 0. Видно, что X0 линейное множество в произведении X. Соответствующее векторное пространство подпространство произведения векторных пространств (X ) называют прямой суммой семейства векторных пространств (X ).

(6) Пусть (X, F, +, ·) векторное пространство и задано подпространство (X0, F, +, ·) в X. Положим Тогда X0 эквивалентность в X. Пусть X := X/ X0 и : X X каноническое отображение. Определим в X операции Здесь, как обычно, для множеств S1, S2 в X, множества вFи элемента F считается, что Таким образом в X введена структура векторного пространства над F. Это пространство называют фактор-пространством пространства X по подпространству X0 и обозначают X/X0.

2.1.5. Пусть X векторное пространство и Lat(X) совокупность всех подпространств в X с отношением порядка по включению.

Тогда упорядоченное множество Lat(X) является полной решеткой.

Ясно, что inf Lat(X) = 0 и sup Lat(X) = X. Помимо этого, пересечение непустого множества подпространств также подпространство. Привлекая 1.2.17, получаем требуемое.

2.1.6. Замечание. Для X1, X2 Lat(X) справедливо соотношение X1 X2 = X1 + X2. Столь же несомненно, что для непустого множества E в Lat(X) выполнено inf E = {X0 : X0 E }. Если к тому же E фильтровано по возрастанию, то sup E = {X0 : X 2.1.7. Определение. Подпространства X1 и X2 данного векторного пространства X разлагают X в (алгебраическую) прямую сумму (символическая запись: X = X1 X2 ), если X1 X2 = 0 и X1 X2 = X. При этом X2 называют (алгебраическим) дополнением X1, а X1 (алгебраическим) дополнением X2.

2.1.8. Любое подпространство векторного пространства имеет алгебраическое дополнение.

Пусть X1 подпространство X. Положим Очевидно, 0 E и для каждой цепи E0 в E, в силу 2.1.6, X1 sup E0 = 0, т. е. sup E0 E. Таким образом, E индуктивно, и на основании 1.2.20 в E есть максимальный элемент X2. Если x X \ (X1 + X2 ), В самом деле, если для некоторых F и x1 X1, x2 X2 выполнено x2 + x = x1, то x X1 + X2 и, стало быть, = 0. Отсюда x1 = x2 = 0, ибо X1 X2 = 0. Следовательно, X2 +{x : F} = X в силу максимальности X2. Последнее означает, что x = 0. В то же время явно x = 0. Окончательно X1 X2 = X1 + X2 = X.

2.2. Линейные операторы 2.2.1. Определение. Пусть X, Y векторные пространства над F. Соответствие T X Y называют линейным, если T линейное множество в произведении векторных пространств X Y.

Отображение T : X Y, являющееся линейным соответствием, называют линейным оператором (или просто оператором, если линейность ясна из контекста). Желая отличить такой T от линейных однозначных соответствий S X Y с областью определения dom S = X, говорят: T всюду определенный линейный оператор (из X в Y ) и S линейный оператор из X в Y, или даже S не всюду определенный линейный оператор.

2.2.2. Отображение T : X Y является линейным оператором в том и только в том случае, если выполнено 2.2.3. Множество L (X, Y ) всех линейных операторов из X в Y представляет собой векторное пространство подпространство 2.2.4. Определение. Операторы из L (X, F) называют линейными функционалами на X, а пространство X # := L (X, F) (алгебраически) сопряженным пространством. Линейные функционалы на X называют линейными функционалами на X.

Если хотят подчеркнуть природу основного поля F, то говорят о вещественно линейных функционалах, о комплексно сопряженном пространстве и т. п. Понятно, что при F = R термин -линейный функционал, как правило, не употребляют.

2.2.5. Определение. Линейный оператор T L (X, Y ) называют (алгебраическим) изоморфизмом, если соответствие T 1 является линейным оператором из L (Y, X).

2.2.6. Определение. Векторные пространства X и Y называют (алгебраически) изоморфными и пишут X Y, если существует изоморфизм между X и Y.

2.2.7. Пространства X и Y являются изоморфными в том и только в том случае, если найдутся операторы T L (X, Y ) и S L (Y, X) такие, что S T = IX и T S = IY. При этом выполнено 2.2.8. Замечание. Пусть X, Y, Z векторные пространства, причем заданы T L (X, Y ) и S L (Y, Z). Бесспорно, что соотэто элемент L (X, Z). Оператор S T в дальнейветствие S T шем для простоты будет обозначен символом ST. Отметим здесь же, что композицию (S, T ) ST, как правило, считают отображением : L (Y, Z) L (X, Y ) L (X, Z). В частности, если E L (Y, Z), а T L (X, Y ), то полагают E T := (E {T }).

2.2.9. Примеры.

нейное соответствие.

(2) Если X1 подпространство векторного пространства X и X2 его алгебраическое дополнение, то X2 изоморфно X/X1.

Действительно, если : X X/X1 каноническое отображение, то его сужение на X2, т. е. оператор x2 (x2 ), где x2 X2, осуществляет требуемый изоморфизм.

(3) Пусть X := X произведение семейства векторных пространств (X ). Отображение Pr : X X, определяемое соотношением Pr x := x, называют координатным проеклинейный оператор: Pr тором (= проекцией). Ясно, что Pr L (X, X ). Отметим, что часто этот оператор рассматривают как элемент пространства L (X ) := L (X, X ), имея в виду естественный изоморфизм X и X, где X := X, а X := 0 при = осуществляет изоморфизм X и X1 X2, то определены линейные операторы PX1 := PX1 ||X2 := Pr1 (+1 ), PX2 := PX2 ||X1 := Pr2 (+1 ), действующие из X в X. Оператор PX1 называют проектором X на X1 параллельно X2, а PX2 дополнительным проектором к PX1. В свою очередь, PX1 дополнителен к PX2, а PX2 осуществляет проектирование X на X2 параллельно X1. Отметим также, что PX1 + PX2 = IX. Кроме того, PX1 := PX1 PX1 = PX1, т. е. проектор идемпотентный оператор. Наоборот, любой идемпотентный оператор P L (X) является проектором на P (X) параллельно P 1 (0).

Если T L (X), то PX1 T PX1 = T PX1 в том и только в том случае, если T (X1 ) X1, т. е. X1 инвариантно относительно T.

Равенство T PX1 = PX1 T справедливо в том и только в том случае, если как X1, так и дополнение X2 инвариантны относительно T.

В последнем случае говорят, что разложение X = X1 X2 приводит оператор T.

Со следом T на X1 работают как с элементом T1 пространства L (X1 ). При этом T1 называют частью T в X1. Если T2 L (X2 ) часть T в X2, то оператор T мыслят как матрицу Именно, элемент x из X1 X2 рассматривают как вектор-столбец с компонентами x1 X1, x2 X2, где x1 = PrX1 x, x2 = PrX2 x.

Умножение матриц проводят обычным способом по закону строка на столбец, а результат умножения указанной матрицы на векторстолбец x, т. е. вектор-столбец с компонентами T1 x1, T2 x2 (или, что в данном случае то же самое, T x1, T x2 ), естественно трактуют как элемент T x.

Иными словами, T отождествляют с отображением X1 X2 в X1 X2, действующим по правилу Аналогичным образом вводят матричные представления общих операторов T L (X1 X2, Y1 Y2 ).

(5) Конечное множество E в X называют линейно независимым, если из условия eE e e = 0, где e F (e E ), вытекает, что e = 0 для всех e E. Множество E называют линейно независимым, если любое конечное подмножество E линейно независимо.

Максимальное по включению линейно независимое множество в X называют базисом Гамеля (или алгебраическим базисом) в X. Любое линейно независимое множество содержится в некотором базисе Гамеля.

У всех базисов Гамеля в X одинаковая мощность, называемая размерностью X. Размерность X обозначают dim X.

Каждое векторное пространство X изоморфно прямой сумме семейства (F), где имеет мощность dim X.

Если X1 подпространство X, то размерность X/X1 называют коразмерностью X1 и обозначают codim X1. Если X = X1 X2, то codim X1 = dim X2 и dim X = dim X1 + codim X1.

2.3. Уравнения в операторах 2.3.1. Определение. Для оператора T L (X, Y ) определяют: ker T := T 1 (0) ядро, coker T := Y / im T коядро, coim T := X/ ker T кообраз T.

Оператор T называют мономорфизмом, если ker T = 0. Оператор T называют эпиморфизмом, если im T = Y.

2.3.2. Оператор является изоморфизмом в том и только в том случае, если он мономорфизм и эпиморфизм одновременно.

2.3.3. Замечание. В дальнейшем иногда удобно пользоваться языком коммутативных диаграмм. Научиться им пользоваться можно, разобрав подходящий пример.

Так, фраза следующая диаграмма коммутативна означает, что 1 L (X, Y ), 2 L (Y, W ), 2.3.4. Определение. Диаграмму X Y Z называют точной (в члене Y ) последовательностью, если ker S = im T. Последовательность... Xk1 Xk Xk+1... называют точной в члене Xk, если точна последовательность Xk1 Xk Xk+ (наименования операторов опущены). Рассматриваемую последовательность называют точной, если она точна в каждом члене (кроме первого и последнего, если таковые, разумеется, есть).

2.3.5. Примеры.

(1) Точная последовательность X Y Z полуточна, т. е. ST = 0. Обратное утверждение неверно.

(2) Последовательность 0 X Y точна в том и только в том случае, если T мономорфизм. (Здесь и в дальнейшем запись 0 X это, конечно же, еще одно обозначение нуля единственного элемента пространства L (0, X) (см. 2.1.4 (3)).) (3) Последовательность X Y 0 точна в том и только в том случае, если T эпиморфизм. (Понятно, что под символом Y 0 тут снова скрывается нуль единственный элемент пространства L (Y, 0).) (4) Оператор T L (X, Y ) является изоморфизмом в том и только в том случае, если 0 X Y 0 это точная последовательность.

(5) Пусть X0 подпространство в X. Символом : X X обозначим оператор (тождественного) вложения: x0 := x0 для всех x0 X0. Пусть теперь X/X0 фактор-пространство и :

X X/X0 соответствующее каноническое отображение. Тогда последовательность является точной. (Знаки и ниже в подобных случаях, как правило, опущены.) Указанная последовательность в известном смысле уникальна. Именно, рассмотрим произвольную, как говорят, короткую последовательность и допустим, что она точна. Полагая Y0 := im T, легко построить изоморфизмы,, так, что получается следующая коммутативная диаграмма:

Иными словами, короткая точная последовательность по сути дела то же, что подпространство и фактор-пространство по нему.

(6) Пусть T L (X, Y ) оператор. С ним связана точная последовательность называемая канонической точной последовательностью для T.

2.3.6. Определение. Оператор T называют продолжением T (пишут T T0 ), если коммутативна диаграмма 2.3.7. Пусть X, Y векторные пространства и X0 подпространство в X. Для любого T0 L (X0, Y ) существует продолжение T L (X, Y ).

Предъявим T := T0 PX0, где PX0 оператор проектирования на X0.

2.3.8. Теорема о разрешимости уравнения XA = B.

Пусть X, Y, Z L (X, Z). Диаграмма коммутативна для некоторого X L (Y, Z) в том и только в том случае, если ker A ker B.

: То, что при B = X A выполнено ker A ker B, очевидно.

A(x) = B (A1 A)x = B(x + ker A) = Bx. Проверим, что X0 := X |im A линейный оператор. Следует проверить только однозначность X. Пусть y im A и z1, z2 X (y). Тогда z1 = Bx1, z2 = Bx2, а Ax1 = Ax2 = y. По условию B(x1 x2 ) = 0. Значит, z1 = z2.

Применяя 2.3.7, возьмем какое-либо продолжение X оператора X на пространство Y.

2.3.9. Замечание. Если в условиях 2.3.8 оператор A эпиморфизм, то оператор X единствен.

2.3.10. Линейный оператор допускает единственное снижение на свой кообраз.

2.3.11. Линейный оператор T допускает (каноническое) разложение в композицию эпиморфизма, изоморфизма T и мономорфизма, т. е. коммутативна следующая диаграмма:

для единственного оператора T.

2.3.12. Пусть X некоторое векторное пространство и заданы f0, f1,..., fN X #. Функционал f0 является линейной комбинацией f1,..., fN в том и только в том случае, если ker f0 N ker fj.

соотношением Видно, что ker(f1,..., fN ) = N ker fj. Используя теорему 2.3. для задачи и учитывая строение пространства FN #, получаем требуемое.

2.3.13. Теорема о разрешимости уравнения AX = B.

Пусть X, Y, Z L (Z, X). Диаграмма коммутативна для некоторого X L (Z, Y ) в том и только в том случае, если im A im B.

: Пусть Y0 алгебраическое дополнение ker A в Y и A0 := A|Y0.

Тогда A0 взаимно однозначно отображает Y0 на im A. Оператор X := A1 B, очевидно, искомый.

2.3.14. Замечание. Если в условиях 2.3.13 оператор A мономорфизм, то оператор X единствен.

2.3.15. Замечание. Теоремы 2.3.8 и 2.3.13 связаны формальной двойственностью. Каждая из них получается из другой обращением стрелок, перестановкой ядер и образов и переходом к противоположному включению.

2.3.16. Лемма о снежинке. Пусть заданы S L (Y, Z) и T L (X, Y ). Существуют, и притом единственные, операторы 1,..., 6, для которых коммутативна диаграмма:

При этом (выделенная) последовательность является точной.

Упражнения 2.1. Привести примеры векторных пространств, а также и не векторных пространств. Какие конструкции приводят к векторным пространствам?

2.2. Изучить векторные пространства над двухэлементным полем Z2.

2.3. Описать векторное пространство со счетным базисом Гамеля.

2.4. Доказать существование разрывных решений f : R R функционального уравнения Как представить такие f графически?

2.5. Доказать, что пространство, алгебраически сопряженное к прямой сумме, реализуется как прямое произведение.

2.6. Пусть X X0 X00. Доказать, что X/X00 и (X/X0 )/(X00 /X0 ) изоморфные пространства.

2.7. Пусть отображение двойной диез определено правилом:

Установить, что это отображение осуществляет вложение векторного пространства X во второе сопряженное пространство X ##.

2.8. Доказать, что алгебраически рефлексивными являются конечномерные пространства и только они, т. е.

2.9. Есть ли аналоги базисов Гамеля в общих модулях?

2.10. При каких условиях сумма проекторов будет проектором?

2.11. Пусть T эндоморфизм некоторого векторного пространства, причем T n1 = 0 и T n = 0 для какого-то натурального n. Доказать, что операторы T 0, T,..., T n1 линейно независимы.

2.12. Описать строение линейных операторов, определенных на прямой сумме пространств и действующих в произведение пространств.

2.13. Найти условия единственности решений следующих уравнений в операторах XA = B и AX = B (здесь неизвестным является оператор X ).

2.14. Как устроено пространство билинейных операторов?

2.15. Охарактеризовать векторные пространства, возникающие в результате овеществления комплексных векторных пространств.

Упражнения 2.16. Для семейства линейно независимых векторов (xe )eE подыскать такое семейство функционалов (x# )eE, чтобы выполнялись соотношения:

2.17. Для семейства линейно независимых функционалов (x# )eE подысe кать такое семейство векторов (xe )eE, чтобы выполнялись соотношения:

2.18. Найти условия совместности системы линейных уравнений и линейных неравенств в вещественных векторных пространствах.

2.19. Пусть дана коммутативная диаграмма с точными сторонами, причем эпиморфизм, а мономорфизм. Доказать, Выпуклый анализ 3.1. Множества в векторных пространствах 3.1.1. Определение. Пусть подмножество векторного пространства. Множество U называют множеством (и пишут U ( )), если выполнено 3.1.2. Примеры.

(1) Любое множество входит в (). (Таким образом, () не является множеством.) (2) При := F 2 непустые -множества это в точности линейные подмножества векторных пространств.

ном пространстве X называют вещественными подпространствами (4) Если := R2, то непустые -множества называют конусами. Иными словами, непустое множество K является конусом в том и только в том случае, если K + K K и K K при всех R+. Непустые R2 \ 0-множества (иногда) называют незаостренными конусами, а непустые R+ 0-множества невыпуклыми конусами. (Здесь и в дальнейшем использовано обычное обозначение R+ := {t R : t 0}.) (5) Пусть := {(1, 2 ) F 2 : 1 + 2 = 1}. Непустые -множества называют аффинными многообразиями. Если X подпространство в X и x X, то x + X0 := {x} + X0 аффинное многообразие в X. Наоборот, если L аффинное многообразие в X и x L, то L x := L + {x} линейное множество в X.

непустые -множества называют абсолютно выпуклыми.

называют уравновешенными (при F := R говорят также о звездных множествах; используют и термин симметричное множество, что не вполне оправдано).

1}. Тогда -множества называют выпуклыми.

-множества называют коническими отрезками. Множество является коническим отрезком в том и только в том случае, если оно выпукло и содержит нуль.

пространства X над F выполнено X ( ). Отметим еще, что в 3.1. (1)–3.1.2 (9) множество является -множеством.

im E } ( ). Если, кроме того, im E фильтровано по возрастанию (относительно включения множеств), то {U : U im E } ( ).

3.1.4. Замечание. Предложение 3.1.3, в частности, означает, что совокупность -множеств данного векторного пространства, будучи упорядочена по включению, становится полной решеткой.

3.1.5. Пусть X и Y некоторые -множества. Тогда U V ( ).

доказывать нечего. Пусть теперь u1, u2 U и v1, v2 V, а (1, 2 ) 3.1.6. Определение. Пусть X, Y векторные пространства называют -соответствием.

3.1.7. Замечание. Если -множества (при фиксированном ) носят специальное название, то это название сохраняют и для соответствий. В этом смысле говорят о линейных и выпуклых соответствиях, аффинных отображениях и т. п. Уместно подчеркнуть особенность терминологии: выпуклая функция одной переменной не является выпуклым соответствием, за исключением тривиальных случаев (см. 3.4.2).

некоторое 2 -множество. Если 2 1, то T (U ) ( 2 ).

значит, 1 (x1, y1 )+2 (x2, y2 ) T. Отсюда следует, что 1 y1 +2 y T (U ).

3.1.9. Суперпозиция -соответствий -соответствие.

Умножая первую строчку на 1, вторую на 2, где (1, 2 ), и складывая результаты, последовательно получаем требуемое.

3.1.10. Если U, V то для любых, F выполнено U + V ( ).

Следует сослаться на 3.1.5, 3.1.8 и 3.1.9.

3.1.11. Определение. Пусть X векторное пространство, подмножество F 2 и U подмножество X. Множество называют -оболочкой U.

3.1.12. Справедливы утверждения:

(2) H (U ) наименьшее -множество, содержащее U ;

3.1.13. Имеет место формула Моцкина:

Обозначим через V множество, стоящее в правой части формулы Моцкина. Так как U0 U, то, по 3.1.12 (3), H (U0 ) H (U ), а потому H (U ) V. В силу 3.1.12 (2) необходимо (и, разумеется, достаточно) проверить, что V ( ). Но последнее следует из 3.1. и того факта, что H (U0 ) H (U1 ) H (U0 U1 ).

3.1.14. Замечание. Формула Моцкина показывает, что для описания произвольных -оболочек следует найти лишь -оболочки конечных множеств. Подчеркнем, что при конкретных используют специальные (но естественные) названия для -оболочек. Так, при := {(1, 2 ) R2 : 1 + 2 = 1} говорят о выпуклых оболочках и вместо H (U ) пишут co(U ). Вместо HF 2 (U ) пишут L (U ) или lin(U ), если U =, кроме того, полагают для удобства L () := 0.

Множество L (U ) называют линейной оболочкой U (и по возможности не путают с пространством эндоморфизмов L (X) векторного пространства X). Аналогично вводят понятия аффинной оболочки, конической оболочки и т. п. Отметим здесь же, что выпуклая оболочка конечного множества точек составлена из их же выпуклых комбинаций, т. е.

3.2. Упорядоченные векторные пространства 3.2.1. Определение. Пусть (X, R, +, · ) векторное пространство. Пусть, далее, предпорядок в X. Говорят, что согласован с векторной структурой, если случае пространство X называют упорядоченным векторным пространством. (Точнее говорить о предупорядоченном векторном пространстве (X, R, +, ·, ), сохраняя термин упорядоченное векторное пространство для тех ситуаций, когда это отношение порядка.) 3.2.2. Пусть X упорядоченное векторное пространство и соответствующий предпорядок. Тогда (0) конус. При этом (x) = x + (0) для всякого x X.

Множество (0) конус в силу 3.1.3. Помимо того, из тождества (x, y) = (x, x) + (0, y x) выводим (x, y) y x (0).

3.2.3. Пусть K конус в векторном пространстве X. Положим Тогда предпорядок, согласованный с векторной структурой, причем K совпадает с конусом положительных элементов (0). Более того, является порядком в том и только в том случае, если K (K) = 0.

также представление 1 = {(x, y) X 2 : x y K}. Значит, С этой целью возьмем (x1, y1 ), (x2, y2 ) и 1, 2 R+. Тогда 3.2.4. Определение. Заданный конус K называют упорядочивающим или острым, если K (K) = 0.

3.2.5. Замечание. На основании 3.2.2 и 3.2.3 задание в векторном пространстве структуры предупорядоченного векторного пространства равносильно выделению в нем конуса положительных элементов. Структуру упорядоченного векторного пространства создают выделением острого конуса. В этой связи о (пред)упорядоченном векторном пространстве X часто говорят как о паре (X, X+ ), где X+ конус положительных элементов.

3.2.6. Примеры.

(1) Пространство функций R с конусом R+ := (R+ ) функций, принимающих положительные значения.

(2) Пусть X упорядоченное векторное пространство с конусом положительных элементов X+. Если X0 подпространство X, то порядок, индуцируемый в X0 из X, задан конусом X X+. В этом смысле X0 рассматривают как упорядоченное векторное пространство.

(3) Пусть X и Y (пред)упорядоченные векторные пространства. Оператор T L (X, Y ) называют положительным (пишут T 0), если выполнено T (X+ ) Y+. Множество всех положительных операторов образует конус L+ (X, Y ). Линейную оболочку L+ (X, Y ) обозначают символом Lr (X, Y ). Операторы из Lr (X, Y ) называют регулярными.

3.2.7. Определение. Упорядоченное векторное пространство называют векторной решеткой, если решеткой является упорядоченное множество векторов рассматриваемого пространства.

3.2.8. Определение. Векторную решетку называют пространством Канторовича или, короче, K-пространством, если любое непустое ограниченное сверху множество в ней имеет точную верхнюю границу.

3.2.9. В K-пространстве каждое непустое ограниченное снизу множество имеет точную нижнюю границу.

Пусть x U. Тогда x U. Значит, по 3.2.8 существует sup(U ). При этом x sup(U ). Отсюда очевидно следует, что sup(U ) = inf U.

3.2.10. В K-пространстве для непустых ограниченных сверху множеств U и V выполнено В случае, когда множество U или множество V состоит из одного элемента, требуемое равенство ясно. Общий случай получаем теперь в силу ассоциативности точных верхних границ. Именно, 3.2.11. Замечание. Вывод предложения 3.2.10 можно считать справедливым в произвольном упорядоченном векторном пространстве при условии, что у исходных множеств имеются точные верхние границы. Аналогично трактуют соотношение: sup U = sup U для 3.2.12. Определение. Для элемента x векторной решетки вектор x+ := x 0 называют положительной частью x, элемент x := отрицательной частью, а |x| := x (x) модулем x.

(x)+ 3.2.13. В векторной решетке для любых элементов x и y имеет место тождество Первое равенство получается из 3.2.13 при y := 0. Помимо x+ + x.

3.2.15. Лемма о сумме промежутков. Для положительных элементов x, y в векторной решетке X будет (Как обычно, [u, v] := (u) 1 (v) (порядковый) промежуток или интервал.) Включение [0, x] + [0, y] [0, x + y] несомненно. Если же 0 z x + y, то положим z1 := z x. Видно, что z1 [0, x].

Пусть теперь z2 := z z1. Тогда z2 0. При этом z2 = z z x = 3.2.16. Теорема Рисса Канторовича. Пусть X векторная решетка, а Y некоторое K-пространство. Пространство регулярных операторов Lr (X, Y ) с конусом L+ (X, Y ) положительных операторов является K-пространством.

3.3. Продолжение положительных функционалов и 3.3.1. Контрпримеры.

(1) Пусть X пространство B([0, 1], R) ограниченных вещественных функций на [0, 1], а X0 := C([0, 1], R) подпространство X, составленное из непрерывных функций. Положим Y := X и наделим X0, X и Y естественными отношениями порядка (ср. 3.2. (1) и 3.2.6 (2)). Рассмотрим задачу о продолжении тождественного оператора T0 : X0 Y до положительного оператора T L+ (X, Y ).

Если бы эта задача имела решение T, то у каждого непустого ограниченного множества E в X0 нашлась бы точная верхняя граница supX0 E, вычисленная в X0. Именно, supX0 E = T supX E, где supX E точная верхняя граница E в X. В то же время нет сомнений, что Y не является K-пространством.

(2) Пусть s := RN пространство последовательностей, наделенное естественным порядком. Пусть, далее, c подпространство в s, составленное из сходящихся последовательностей. Установим, что положительный функционал f0 : c R, определенный соотношением f0 (x) := lim x(n), не допускает положительного продолжения на s. В самом деле, пусть f s#, f 0 и f f0. Положим x0 (n) := n и xk (n) := k n для k, n N. Ясно, что f0 (xk ) = k.

Помимо этого, f (x0 ) f (xk ) 0, так как x0 xk 0. Получили противоречие.

3.3.2. Определение. Подпространство X0 упорядоченного векторного пространства X с конусом положительных элементов X+ называют массивным (в X), если X0 + X+ = X.

3.3.3. Подпространство X0 массивно в X в том и только в том случае, если для всякого x X найдутся элементы x0, x0 X такие, что выполнено x0 x x0.

3.3.4. Теорема Канторовича. Пусть X упорядоченное векторное пространство, X0 массивное подпространство в X и Y некоторое K-пространство. Любой положительный оператор T L+ (X0, Y ) допускает положительное продолжение T L+ (X, Y ).

Этап I. Пусть сначала X := X0 X1, где X1 одномерное подпространство, X1 := {x : R}. Так как подпространство X0 массивно и оператор T0 положителен, то множество U := {T0 x0 :

x0 X0, x0 x} ограничено снизу и, значит, определен элемент y := inf U. Положим однозначное линейное соответствие, причем T T Очевидно, T и dom T = X. Осталось убедиться в положительности T.

Если x = x0 + x и x 0, то при = 0 доказывать нечего. Если же > 0, то x x0 /. Отсюда следует, что T0 x0 / y, т. е.

T x Y+. Аналогично при < 0 имеем x x0 /. Стало быть, Этап II. Пусть теперь E совокупность таких однозначных линейных соответствий S X Y, что S T0 и S(X+ ) Y+.

В силу 3.1.3 при упорядочении по включению E индуктивно, и по лемме Куратовского Если x X \ dom T, то можно применить доказанное на этапе I к случаю X := dom T X1, X0 := dom T, T0 := T и X1 := {x : R}.

Возникает противоречие с максимальностью T. Итак, T искомое продолжение.

3.3.5. Замечание. При Y := R о 3.3.4 иногда говорят как о теореме Крейна Рутмана.

3.3.6. Определение. Элемент x из конуса положительных элементов называют дискретным, если [0, x] = [0, 1]x.

3.3.7. Если на пространстве (X, X+ ) имеется дискретный функционал, то X = X+ X+.

f X #. Достаточно показать, что ker f X f = 0. По условию T + f [0, T ], т. е. для некоторого [0, 1] будет T + f = T. Если T |X = 0, то 2T [0, T ]. Отсюда T = 0 и f = 0. Если же T (x0 ) = для какого-либо x0 X, то = 1 и вновь f = 0.

3.3.8. Теорема Крейна – Рутмана для дискретного функционала. Пусть X упорядоченное векторное пространство, X массивное подпространство в X и T0 дискретный функционал на X0. Тогда существует дискретный функционал T на X, продолжающий T0.

Подправим доказательство 3.3.4.

Этап I. Предъявленный функционал T дискретен. В самом деле, при T [0, T ] для подходящего [0, 1] при всех x0 X0 будет T (x0 ) = T (x0 ) и (T T )(x0 ) = (1 )T (x0 ). Оцениваем:

Таким образом, T = T и [0, T ] [0, 1]T. Противоположное включение справедливо всегда. Итак, функционал T дискретен.

Этап II. Пусть E множество, введенное при доказательстве 3.3.4. Рассмотрим множество Ed, состоящее из таких элементов S E, что след S|dom S представляет собой дискретный функционал на пространстве dom S. Следует установить индуктивность Ed. В соответствии с 1.2.19 возьмем цепь E0 в Ed. Положим S := {S0 :

3.4. Выпуклые функции и сублинейные функционалы S0 E0 }. Очевидно, что S E. Убедимся в дискретности S, что и завершит доказательство.

Пусть S (dom S)# таков, что 0 S (x0 ) S(x0 ) для всех x0 (dom S)+. Если S(x0 ) = 0 для любого такого x0, то S = 0S, что и нужно. Если же S(x0 ) = 0 для некоторого x0 (dom S)+, то выберем S0 E0 из условия S0 (x0 ) = S(x0 ). Тогда в силу дискретности S0 можно записать: S (x ) = S(x ) для всех x dom S0. При этом = S (x0 )/S(x0 ), т. е. не зависит от выбора S0. Поскольку E0 цепь, заключаем: S = S.

3.4. Выпуклые функции и сублинейные 3.4.1. Определение. Полурасширенной числовой прямой R· называют множество R· с присоединенным наибольшим элементом +. При этом полагают (+) := + ( R+ ), + + x := x + (+) := + (x R· ).

3.4.2. Определение. Пусть f : X R· некоторое отображение. Множество называют надграфиком f, а множество эффективной областью определения функции f.

3.4.3. Замечание. Непоследовательность в применении символа dom f кажущаяся. Именно, эффективная область определения функции f : X R· совпадает с областью определения однозначного соответствия f X R из X в R. В этой связи при dom f = X будем, как и прежде, писать f : X R, опуская точку в R·.

3.4.4. Определение. Пусть X вещественное векторное пространство. Отображение f : X R· называют выпуклой функцией, если надграфик epi f это выпуклое множество.

3.4.5. Отображение f : X R· является выпуклой функцией в том и только в том случае, если имеет место неравенство Йенсена, т. е.

: Если выбраны числа 1, 2 0, 1 +2 = 1 и один из векторов x1, x2 не входит в dom f, то доказывать нечего неравенство Йенсена очевидно. Пусть x1, x2 dom f. Тогда (x1, f (x1 )) epi f и (x2, f (x2 )) epi f. Стало быть, с учетом 3.1.2 (8), 1 (x1, f (x1 )) + 2 (x2, f (x2 )) epi f.

epi f, т. е. t1 f (x1 ) и t2 f (x2 ) (в случае dom f = будет f (x) = + (x X) и epi f = ). Привлекая неравенство Йенсена, видим, что для 1, 2 0, 1 + 2 = 1 справедливо (1 x1 + 2 x2, 1 t1 + 3.4.6. Определение. Отображение p : X R· называют сублинейным функционалом, если надграфик epi p это конус.

3.4.7. При dom p = 0 эквивалентны утверждения:

(1) p является сублинейным функционалом;

(2) p выпуклая функция, удовлетворяющая условию положительной однородности; т. е. p(x) = p(x) (4) p положительно однородный функционал, удовлетворяющий условию субаддитивности: p(x1 + x2 ) 3.4.8. Примеры.

(1) Линейный функционал сублинеен, в то время как аффинный функционал выпуклая функция.

(2) Пусть U выпуклое множество в X. Положим Отображение (U ) : X R· называют индикаторной функцией множества U. Ясно, что (U ) выпуклая функция. Если U конус, то (U ) сублинейный функционал. Если U аффинное множество, то (U ) аффинный функционал.

(3) Сумма конечного числа выпуклых функций и точная верхняя граница (или верхняя огибающая) семейства выпуклых функций (вычисляемая поточечно, т. е. в (R· )X ) суть выпуклые функции. Аналогичные свойства наблюдают у сублинейных функционалов.

(4) Суперпозиция выпуклой функции с аффинным оператором (т. е. со всюду определенным однозначным аффинным соответствием) является выпуклой функцией. Суперпозиция сублинейного функционала с линейным оператором сублинейный функционал.

3.4.9. Определение. Пусть X векторное пространство, а U иV два подмножества в X. Говорят, что U поглощает V, если найдется n N, для которого V nU. Множество U называют поглощающим (в X), если U поглощает каждую точку в X, т. е.

X = nN nU.

3.4.10. Пусть T X Y линейное соответствие, причем im T = Y. Если U поглощающее (в X), то T (U ) поглощающее (в Y ).

3.4.11. Определение. Пусть U подмножество векторного пространства X. Точка x из U принадлежит ядру core U множества U (или алгебраически внутренняя в U ), если множество U x поглощающее в X.

3.4.12. Пусть f : X R· произвольная выпуклая функция и x core dom f. Для всякого h X существует При этом отображение f (x) : h f (x)h является сублинейным функционалом f (x) : X R.

Пусть () := f (x + h). В силу 3.4.8 (4) отображение : R R· это выпуклая функция. При этом 0 core dom. Отображение (() (0))/ ( > 0) возрастает и ограничено снизу, т. е.

имеется (0)(1). По определению f (x)(h) = (0)(1).

Для > 0 и h H последовательно получаем Кроме того, для h1, h2 X в силу уже установленного Ссылка на 3.4.7 завершает доказательство.

3.5.1. Определение. Пусть X вещественное векторное пространство, f : X R· выпуклая функция и x dom f. Множество x (f ) := {l X # : ( y X) l(y) l(x) f (y) f (x)} называют субдифференциалом функции f в точке x.

3.5.2. Примеры.

(1) Пусть p : X R· сублинейный функционал. Определим субдифференциал p соотношением (p) := 0 (p). Тогда выполнено x core dom f. Тогда такова, что T x core dom f. Тогда На основании 3.4.10 заключаем, что x core dom f. Применяя 3.5.2 (4), имеем x (f T ) = ((f T ) (x)). Помимо этого, для h X выполнено Положим p := f (T x). Вновь апеллируя к 3.5.2 (4) и учитывая, что, в силу 3.4.12, p это сублинейный функционал, выводим:

Таким образом, осталось доказать равенство для любого y Y. В частности, l(x) l1 (T x) p(T x) = p T (x) при p(0) = 0, т. е. l(x) 0. То же верно для элемента x. Окончательно l(x) = 0. Другими словами, ker l ker T. Значит, по теореме 2.3.8, l = l1 T для некоторого l1 Y #. Полагая Y0 := T (X) и обозначая символом вложение Y0 в Y, видим, что функционал l1 входит в (p ). Если мы покажем, что (p ) (p), то для подходящего Таким образом, для завершения доказательства теоремы Хана Банаха следует установить только, что (p ) (p).

Возьмем элемент l0 из (p ) и в подпространстве Y0 := Y0 R пространства Y := Y R рассмотрим функционал T0 : (y0, t) t l0 (y0 ). Упорядочим Y с помощью конуса Y+ := epi p. Заметим, во-первых, что подпространство Y0 является массивным в силу тождества Во-вторых, при (y0, t) Y0 Y+, на основании 3.4.2, t p(y0 ) и, стало быть, T0 (y0, t) = t l0 (y0 ) 0, т. е. T0 положительный функционал на Y0. По теореме 3.3.4 найдется положительный функционал T на Y, продолжающий T0. Положим l(y) := T (y, 0) для y Y. Ясно, что l = l0. Помимо этого, T (0, t) = T0 (0, t) = t.

Следовательно, 0 T (y, p(y)) = p(y) l(y), т. е. l (p).

3.5.4. Замечание. Утверждение теоремы 3.5.3 именуют также формулой линейной замены переменной под знаком субдифференциала, подразумевая бросающуюся в глаза связь со стандартным цепным правилом дифференциального исчисления. Отметим здесь же, что включение (p ) (p) часто называют теоремой Хана Банаха в аналитической форме и выражают словами: линейный функционал, заданный на подпространстве векторного пространства и мажорируемый там сублинейным функционалом, допускает продолжение на все пространство до линейного функционала, мажорируемого исходным сублинейным функционалом.

3.5.5. Следствие. Пусть X векторное пространство, X подпространство в X и p : X R сублинейный функционал.

Имеет место (несимметричная) формула Хана Банаха:

Включение правой части искомой формулы в ее левую часть очевидно. Для доказательства противоположного включения возьмем l (p + (X0 )). Тогда l (p ), где вложение X в X. По 3.5.3, l (p), т. е. для подходящего l1 (p) выполнено l = l1. Положим l2 := l l1. Из определения получаем в 3.5.2 (3), это означает, что l2 ((X0 )).

3.5.6. Следствие. Пусть f : X R· некоторая выпуклая функция и x core dom f. Тогда x (f ) =.

т. е. (p ) =. По 3.5.3, (p) = (иначе было бы = (p) = (p )). Осталось привлечь 3.5.2 (4).

3.5.7. Следствие. Пусть f, f : X R· выпуклые функции и x core dom f1 core dom f2. Тогда p(x1, x2 ) := p1 (x1 ) + p2 (x2 ) и (x1 ) := (x1, x1 ). Используя 3.5.2 (4) и 3.5.3, последовательно выводим:

3.5.8. Замечание. Следствие 3.5.6 иногда называют теоремой о непустоте субдифференциала. С одной стороны, ее можно установить непосредственным применением леммы Куратовского Цорна. С другой стороны, имея следствие 3.5.6, можно доказать, что (p T ) = (p) T, следующим образом. Положим где l (p) и приняты обозначения из 3.5.3. Ясно, что функционал pT сублинеен и любой элемент l1 из (pT ) удовлетворяет соотношению l = l1 T. Итак, непустота субдифференциала и теорема Хана Банаха в субдифференциальной форме образуют удобный (и не порочный) круг.

3.6. Теорема Крейна Мильмана для субдифференциалов 3.6.1. Определение. Пусть X вещественное векторное пространство и seg X 2 X соответствие, действующее по закону Пусть, далее, V выпуклое множество в X и segV сужение seg на V 2. Выпуклое множество U, лежащее в V, называют крайним в V, если seg1 (U ) U 2. Крайние множества иногда называют гранями. Точку x из V называют крайней точкой V, если {x} крайнее подмножество V. Множество крайних точек V обозначают символом ext(V ).

3.6.2. Множество U является крайним в V в том и только в том случае, если из условий v1, v2 V, 1, 2 > 0, 1 + 2 = 1 и 1 v1 + 2 v2 V вытекает, что v1 U и v2 U.

3.6.3. Примеры.

(p).

Действительно, если для 1, 2 > 0 и 1 +2 = 1 известно, что 1 (p(x) l1 (x)) + 2 (p(x) l2 (x)) 0. Помимо этого, p(x) l1 (x) и p(x) l2 (x) 0. Следовательно, l1 x (p) и l2 x (p).

(2) Пусть U крайнее множество в V и, в свою очередь, V крайнее множество в W. Тогда U крайнее множество в W.

Элемент x X+ является дискретным в том и только в том случае, если луч {x : R+ } представляет собой крайнее множество в конусе X+.

В силу 3.6.2, 2y = x и 2(x y) = x для некоторых, R+.

Итак, 2x = ( + )x. Если x = 0, то доказывать нечего. Если же x = 0, то /2 [0, 1] и, стало быть, [0, x] [0, 1]x. Обратное включение очевидно.

2 = 1 и элементов y1, y2 X+ выполнено x = 1 y1 + 2 y2. Если = 0, то 1 y1 [0, x] и 2 y2 [0, x] и, стало быть, y1 и y2 лежат на рассматриваемом луче. Если же > 0, то (1 /)y1 = tx при подходящем t [0, 1]. Наконец, (2 /)y2 = (1 t)x.

множество.

Точка x в U является крайней в том и только в том случае, если {x} шапка множества U.

3.6.4. Лемма о крайней точке субдифференциала. Пусть p:XR сублинейный функционал и l (p). Пусть, далее, Тогда l крайняя точка (p) в том и только в том случае, если Tl дискретный функционал.

: Возьмем функционал T X # такой, что T [0, Tl ].

Положим Ясно, что t1 0, t2 0, t1 +t2 = 1; l1 (t1 p), l2 (t2 p) и l1 +l2 = l.

Если t1 = 0, то l1 = 0, т. е. T = 0 и T [0, 1]Tl. Если же t2 = 0, то t1 = 1, т. е. T = Tl и вновь T [0, 1]Tl. Пусть теперь t1, t2 > 0.

Тогда 1/t1 l1 (p) и 1/t2 l2 (p), причем l = t1 (1/t1 l1 )+t2 (1/t2 l2 ).

Поскольку по условию l ext((p)), из 3.6.2 выводим l1 = t1 l, т. е.

Функционалы T := 1 Tl1 и T := 2 Tl2 положительны, причем T [0, Tl ], ибо T + T = Tl. Значит, найдется [0, 1], для которого T = Tl. Рассматривая точку (0, 1), получаем 1 =.

Следовательно, l1 = l. Аналогично l2 = l.

3.6.5. Теорема Крейна Мильмана для субдифференциалов. Пусть p : X R сублинейный функционал. Для всякого x X найдется крайний функционал l ext((p)) такой, что l(x) = p(x).

Установим сначала теорему Крейна Мильмана в узком смысле, т. е. докажем, что в субдифференциале любого сублинейного функционала p есть крайние точки: ext((p)) =.

Введем в пространство X := X R конус X+ := epi p и выделим подпространство X0 := 0R. Заметим, что X+ X0 = 0R+ = epi 0.

Применяя 3.6.4 для случая X := 0, l := 0 и p := 0, видим, что T это дискретный функционал на X0. Подпространство X0 в X массивное (ср. доказательство 3.5.3). Апеллируя к 3.3.8, подыщем дискретное продолжение T X # функционала T0. Понятно, что T = Tl, где l(x) := T (x, 0) при x X. Вновь привлекая 3.6.4, приходим к соотношению l ext((p)).

Установим теперь теорему в полном объеме. На основании 3.4. и уже доказанного выберем элемент l из ext(x (p (x))). Из 3.5.2 (2) и 3.5.2 (4) вытекает: l ext(x (p)). По 3.6.3 (1), x (p) крайнее множество в (p). Таким образом, в силу 3.6.3 (2) функционал l является крайней точкой субдифференциала (p).

3.6.6. Следствие. Пусть p1, p2 : X R сублинейные функционалы. Неравенство p1 p2 (в RX ) справедливо в том и только в том случае, если (p1 ) ext((p2 )).

Бесспорно, что p1 p2 (p1 ) (p2 ). Кроме того, по 3.6.5, p2 (x) = sup{l(x) : l ext((p2 ))}.

3.7. Теорема Хана Банаха для полунормы 3.7.1. Определение. Пусть (X, F, +, · ) векторное пространство над F. Векторное пространство (X, R, +, · |R X ) называют вещественной основой пространства (X, F, +, · ) и обозначают коротко символом XR.

3.7.2. Определение. Пусть X векторное пространство и f X# линейный функционал. Положим Re f : x Re f (x) (x X). Возникающее отображение Re : (X # )R (XR )# называют овеществлением.

3.7.3. Овеществление Re это изоморфизм вещественных векторных пространств (X # )R и (XR )#.

Следует разобрать только случай F := C, ибо при F := R оператор Re тождественное отображение.

Линейность оператора Re не вызывает сомнений. Убедимся в том, что Re мономорфизм и эпиморфизм одновременно (ср.

2.3.2).

Отсюда f = 0 и Re мономорфизм.

Если теперь g (XR )#, то положим f (x) := g(x) ig(ix). Очевидно, что f L (XR, CR ) и Re f (x) = g(x) при x X. Осталось проверить, что f (ix) = if (x), ибо тогда f X #. Прямое вычисление f (ix) = g(ix) + ig(x) = i(g(x) ig(ix)) = if (x) позволяет заключить, что Re эпиморфизм.

3.7.4. Определение. Оператор Re1 : (XR )# (X # )R называют комплексификатором.

3.7.5. Замечание. В силу 3.7.3 для комплексного поля скаляров В случае F := R комплексификатор Re1 тождественный оператор.

3.7.6. Определение. Пусть (X, F, +, · ) векторное пространство над F. Функцию p : X R· называют полунормой, если 3.7.7. Замечание. Каждая полунорма является сублинейным функционалом (на вещественной основе рассматриваемого пространства).

3.7.8. Определение. Пусть p : X R· полунорма. Множество называют субдифференциалом полунормы p.

3.7.9. Лемма о субдифференциале полунормы. Для любой полунормы p : X R· субдифференциалы ||(p) и (p) связаны соотношениями При F := R очевидно равенство ||(p) = (p). Осталось вспомнить, что в этом случае отображение Re тождественное.

Пусть F := C. Если l ||(p), то (Re l)(x) = Re l(x) |l(x)| p(x) для всех x X, т. е. Re (||(p)) (p). Пусть теперь g (p) и f := Re1 g. Если f (x) = 0, то |f (x)| p(x). Если же f (x) = 0, то положим := |f (x)|/f (x). Тогда |f (x)| = f (x) = f (x) = Re f (x) = g(x) p(x) = ||p(x) = p(x), ибо || = 1. Итак, f ||(p).

норма и X0 подпространство в X. Имеет место (несимметричная) формула Хана Банаха для полунормы С помощью 3.7.9 и 3.5.5, выводим:

||(p + (X0 )) = Re1 ((p + (X0 ))) = Re1 ((p) + ((X0 ))) = = Re1 ((p)) + Re1 (((X0 ))) = ||(p) + ||((X0 )).

3.7.11. Пусть X, Y линейный оператор и p : Y R полунорма. Тогда p T полунорма, причем Привлекая 2.3.8 и 3.7.10, последовательно имеем 3.7.12. Замечание. В случае оператора вложения и комплексного поля скаляров 3.7.11 называют теоремой Сухомлинова Боненблюста Собчика.

3.7.13. Теорема Хана Банаха для полунормы. Пусть X векторное пространство, p : X R полунорма и X0 подпространство в X. Пусть, далее, l0 линейный функционал на X0, для которого |l0 (x0 )| p(x0 ) при x0 X0. Тогда существует такой линейный функционал l на X, что |l(x)| p(x) для всякого x X и, кроме того, l(x0 ) = l0 (x0 ), как только x0 X0.

3.8. Функционал Минковского и отделимость 3.8.1. Определение. Пусть R расширенная числовая прямая (т. е. R· с присоединенным наименьшим элементом ). Если X произвольное множество и f : X R некоторое отображение, то для t R полагают Множества {f t}, {f = t}, {f < t} называют лебеговыми множествами f. Помимо этого, множества {f = t} называют множествами уровня.

3.8.2. Лемма о задании функции лебеговыми множествами. Даны T R и t Ut (t T ) семейство подмножеств X.

Существует функция f : X R такая, что в том и только в том случае, если отображение t Ut возрастает.

: Пусть T содержит не менее двух элементов s и t (в противном случае нечего доказывать). Если s < t, то : Положим f (x) := inf{t T : x Ut }. Тем самым задано отображение f : X R. Если для некоторого t T множество {f < t} пусто, то {f < t} Ut. Если же x {f < t}, то f (x) < +, а потому найдется элемент s T, удовлетворяющий соотношениям x Us и s < t. Итак, {f < t} Us Ut. Помимо этого, если x Ut, то по определению f будет f (x) t, т. е. выполнено Ut {f t}.

3.8.3. Лемма о сравнении функций, заданных лебеговыми множествами. Пусть функции f, g : X R определены семействами (Ut )tT и (Vt )tT соответственно:

Пусть, далее, T плотно в R (т. е. ( r, t R, r < t) ( s T ) (r < s < t)). Неравенство f g (в R, т. е. f (x) g(x) для x X) имеет место в том и только в том случае, если : Следует из включений : Пусть g(x) = + (иначе заведомо f (x) g(x)). Для t R такого, что g(x) < t < +, выберем t1, t2 T из условий g(x) < t1 < t2 < t. Имеем Итак, f (x) < t. Из-за произвольности t получаем: f (x) g(x).

3.8.4. Следствие. Пусть T плотно в R и семейство t Ut (t T ) возрастает. Существует, и притом единственная, функция f : X R, для которой Для лебеговых множеств f выполнены соотношения Существование и единственность f обеспечены 3.8.2 и 3.8.3.

в силу плотности T найдется s T так, что f (x) < s < t. Значит, x {f < s} Us, что доказывает формулу для {f < t}. Пусть теперь r > t, r T. Тогда {f t} {f < r} Ur. В свою очередь, если x Ur для r T, r > t, то будет выполнено f (x) r для всех r > t, откуда f (x) t.

3.8.5. Пусть X векторное пространство и S некоторый конический отрезок в нем. Для t R положим Ut :=, если t < 0, и Ut := tS при t 0. Отображение t Ut (t R) возрастающее.

x t2 S.

3.8.6. Определение. Функционал pS : X R такой, что и {p < 0} =, называют функционалом Минковского конического отрезка S. (Существование и единственность этого функционала обеспечивают 3.8.2, 3.8.4 и 3.8.5.) Иными словами, 3.8.7. Теорема о функционале Минковского. Функционал Минковского конического отрезка сублинеен и принимает положительные значения. Если, в свою очередь, p некоторый сублинейный функционал с положительными значениями, то множества {p < 1} и {p 1} суть конические отрезки. При этом p является функционалом Минковского любого конического отрезка S такого, Пусть S некоторый конический отрезок и pS его функционал Минковского. Пусть x X. Неравенство pS (x) 0 очевидно.

Возьмем > 0. Тогда Для проверки субаддитивности pS возьмем x1, x2 X и, заметив, что для t1, t2 > 0 выполнено t1 S + t2 S (t1 + t2 )S (ибо имеет место тождество последовательно получаем = inf{t1 > 0 : x1 t1 S} + inf{t2 > 0 : x2 t2 S} = pS (x1 ) + pS (x2 ).

Пусть теперь p : X R· произвольный сублинейный функционал с положительными значениями. Пусть {p < 1} S {p 1}.

Положим Vt := {p < t}, Ut := tS для t R+ и Vt := Ut := при t < 0.

Ясно, что Значит, в силу 3.8.3 и 3.8.4, p = pS.

3.8.8. Замечание. Конический отрезок S в X является поглощающим множеством в том и только в том случае, если dom pS = X.

Если же известно, что S абсолютно выпукло, то pS полунорма.

При этом для любой полунормы p множества {p < 1} и {p 1} являются абсолютно выпуклыми.

3.8.9. Определение. Подпространство H данного векторного пространства X называют гиперподпространством, если X/H изоморфно основному полю. Элементы X/H называют гиперплоскостями в X (параллельными H). Под гиперплоскостью в X понимают аффинное многообразие, параллельное какому-либо гиперподпространству X. При необходимости гиперплоскости в вещественной основе XR пространства X именуют вещественными гиперплоскостями в X.

3.8.10. Гиперплоскости в X суть в точности множества уровня ненулевых элементов из X #.

3.8.11. Теорема отделимости. Пусть X векторное пространство, U непустое выпуклое множество в X и L аффинное многообразие в X. Если L U =, то найдется гиперплоскость H Не нарушая общности, можно считать, что core U = (иначе нечего доказывать) и, более того, что 0 core U. Возьмем точку x L и положим X0 := L x. Рассмотрим вектор-пространство X/X0 и соответствующее каноническое отображение : X X/X0.

Привлекая 3.1.8 и 3.4.10, видим, что (U ) является поглощающим коническим отрезком. Значит, в силу 3.8.7 и 3.8.8 функционал Минковского p := p(U ) таков, что dom p = X/X0 и, кроме того, Упражнения Отсюда, в частности, следует, что p((x)) 1 либо (x) (U ).

На основании 3.5.6 имеется функционал f из субдифференциала x (p ). Учитывая теорему Хана Банаха 3.5.3, выводим Положим H := {f = p (x)}. Ясно, что H это вещественная гиперплоскость в X. То, что H L, несомненно. Осталось сослаться на 3.5.2 (1), чтобы заключить: H core U =. Пусть теперь f := Re1 f и H := {f = f (x)}. Нет сомнений, что L H H. Таким образом, гиперплоскость H искомая.

3.8.12. Замечание. В условиях теоремы отделимости 3.8. можно считать, что core U L =. Отметим здесь же, что теорему 3.8.11 часто называют теоремой Хана Банаха в геометрической форме или же теоремой Минковского Асколи Мазура.

3.8.13. Определение. Пусть U, V множества в X и H вещественная гиперплоскость в X. Говорят, что H разделяет U и V, если эти множества лежат в разных полупространствах, определяемых H, т. е. если существует представление H = {f = t}, где f 3.8.14. Теорема отделимости Эйдельгайта. Пусть U и V непустые выпуклые множества, причем ядро V не пусто и не пересекается с U. Тогда найдется вещественная гиперплоскость, разделяющая U и V и не содержащая точек ядра V.

Упражнения 3.1. Установить, что гиперплоскостями служат в точности максимальные по включению аффинные множества, не совпадающие со всем пространством.

3.2. Доказать, что каждое аффинное множество представляет собой пересечение гиперплоскостей.

3.3. Доказать, что в вещественном векторном пространстве дополнение гиперплоскости состоит из двух выпуклых множеств, каждое из которых совпадает со своим ядром. Такие множества именуют открытыми полупространствами.

Объединение открытого полупространства с исходной гиперплоскостью называют замкнутым полупространством. Найти способы задания полупространств.

3.4. Найти возможные представления элементов выпуклой оболочки конечного числа точек. Как учесть конечномерность пространства, в котором ведется рассмотрение?

3.5. Для множеств S1 и S2 полагают S = 01 S1 (1)S2. Доказать, что S выпукло при условии выпуклости S1 и S2.

3.6. Вычислить функционалы Минковского полупространства, конуса, выпуклой оболочки объединения и пересечения конических отрезков.

3.7. Пусть S := {p + q 1}, где p, q функционалы Минковского конических отрезков Sp и Sq. Выразить S через Sp и Sq.

3.8. Описать сублинейные функционалы, определенные на RN.

3.9. Вычислить субдифференциал максимума конечного числа линейных функционалов.

3.10. Пусть p, q сублинейные функционалы, находящиеся в общем положении, т. е. такие, что Доказать симметричную формулу Хана Банаха (ср. 3.5.7) 3.11. Пусть p, q : X R всюду определенные на X сублинейные функционалы. Тогда выполнено равенство 3.12. Найти функционал Минковского шара с необязательно нулевым центром симметрии в гильбертовом пространстве.

3.13. Симметричную квадратную 2 2-матрицу назовем положительной, если у нее положительные собственные числа. Согласован ли возникающий порядок в пространстве таких матриц с векторной структурой? Определяет ли он структуру пространства Канторовича?

3.14. На каждом ли упорядоченном векторном пространстве можно задать нетривиальный положительный функционал?

3.15. Какими способами RN можно превратить в K-пространство?

3.16. При каких условиях заключение теоремы Хана Банаха в аналитической форме выполнено для не всюду определенного сублинейного функционала?

3.17. Для стандартной нормы в l найти крайние точки ее субдифференциала.

3.18. Найти возможные обобщения теоремы Хана Банаха для отображений, действующих в пространства Канторовича.

3.19. Для множества C в пространстве X определить преобразование Хре мандера H(C) соотношением Изучить свойства преобразования Хрмандера.

Экскурс в метрические пространства 4.1. Равномерность и топология метрического 4.1.1. Определение. Отображение d : X 2 R+ называют метрикой на X, если Пару (X, d) называют метрическим пространством. Вещественное число d(x, y) обычно именуют расстоянием между x и y.

Допуская вольность речи, само множество X в этой ситуации также называют метрическим пространством.

4.1.2. Отображение d : X 2 R+ является метрикой в том и только в том случае, если Свойства 4.1.2 (1)–4.1.2 (3) суть переформулировки 4.1.1 (1)– 4.1.1 (3) соответственно.

4.1.3. Определение. Пусть (X, d) метрическое пространство и R+ \ 0. Множество B := Bd, := {d } называют замкнутым цилиндром (порядка ), а множество B := B d, := {d < } открытым цилиндром (порядка ). Образ B (x) точки x при соответствии B называют замкнутым шаром радиуса с центром в x.

Аналогично множество B (x) называют открытым шаром радиуса с центром x.

4.1.4. Открытые цилиндры, рвно как и замкнутые цилиндры непустого метрического пространства, составляют базисы одного и того же фильтра.

4.1.5. Определение. Фильтр, порожденный цилиндрами непустого метрического пространства (X, d) в множестве X 2, называют метрической равномерностью и обозначают UX, или Ud, или, наконец, просто U, если нет сомнений, о каком пространстве идет речь.

При X := полагают UX := {}. Элементы равномерности UX называют окружениями (диагонали).

4.1.6. Пусть U метрическая равномерность. Тогда 4.1.7. Замечание. Свойство 4.1.6 (4), связанное с 4.1.1 (1), часто называют хаусдорфовостью U.

4.1.8. Для пространства X с равномерностью UX положим Тогда (x) 4.1.9. Определение. Отображение : x (x) называют метрической топологией, а элементы (x) окрестностями точки x. Для обозначения топологии используют также и более полные обозначения: X, (U ) и т. п.

4.1. Равномерность и топология метрического пространства 4.1.10. Замечание. Замкнутые шары с центром в некоторой точке составляют базис фильтра окрестностей этой точки. То же верно и для открытых шаров. Отметим еще, что у различных точек в X существуют непересекающиеся окрестности. Это свойство, связанное с 4.1.6 (4), называют хаусдорфовостью X.

4.1.11. Определение. Множество G в X называют открытым, если оно является окрестностью каждой своей точки (символически: G Op( ) (( x G) G (x))). Множество F в X называют замкнутым, если его дополнение открыто (символически:

4.1.12. Объединение любого семейства и пересечение конечного семейства открытых множеств суть множества открытые. Пересечение любого семейства и объединение конечного семейства замкнутых множеств суть множества замкнутые.

4.1.13. Определение. Для множества U в X полагают Множество int U называют внутренностью U, а его элементы внутренними точками U. Множество cl U называют замыканием U, а его элементы точками прикосновения U. Внутренность дополнения X \ U называют внешностью U, а элементы внешности внешними точками U. Точки пространства X, не являющиеся ни внешними, ни внутренними для U, называют граничными точками U. Совокупность всех граничных точек U называют границей U и обозначают fr U или U.

4.1.14. Множество U является окрестностью точки x в том и только в том случае, если x внутренняя точка U.

4.1.15. Замечание. В связи с предложением 4.1.14 множество Op(X ) также часто называют топологией X, имея в виду, что X однозначно восстанавливается по Op(X ). Последнее, разумеется, относится и к совокупности Cl(X ) всех замкнутых множеств в X.

4.1.16. Определение. Пусть B базис фильтра в X. Говорят, что B сходится к точке x из X или что x это предел B (и пишут:

B x), если l B тоньше фильтра окрестностей точки x, т. е. l B (x).

4.1.17. Определение. Пусть (x ) это (обобщенная) последовательность в X. Говорят, что рассматриваемая последовательность сходится к x (пишут: x x), если к x сходится фильтр хвостов этой последовательности. Используют и другие распространенные обозначения и обороты. Например, x = lim x и x предел (x ), когда пробегает.

4.1.18. Замечание. Предел фильтра, как и предел обобщенной последовательности, единствен. Этот факт есть другое выражение хаусдорфовости топологии.

4.1.19. Для непустого множества U и точки x равносильны следующие утверждения:

(1) точка x является точкой прикосновения U ;

(3) существует последовательность (x ) элементов U, (1) (2): Так как x не является внешней точкой U, то фильтры (x) и l {U } имеют точную верхнюю границу F := (x)l {U }.

(2) (3): Пусть F x и U F. Превратим F в направление с помощью порядка, противоположного порядку по включению.

Возьмем xV V U для V F. Ясно, что xV x.

(3) (1): Пусть V замкнутое множество, (x ) последовательность элементов V и x x. Достаточно показать, что в этом случае x V. Последнее очевидно, ибо при x X \ V хотя бы для одного было бы x X \ V.

4.1.20. Замечание. В условиях метрического пространства в 4.1.19 (2) можно считать, что фильтр F имеет счетный базис, а в 4.1.19 (3) что := N. Указанное обстоятельство иногда выражают словами: метрические пространства удовлетворяют первой аксиоме счетности.

4.2. Непрерывность и равномерная 4.2.1. Пусть f : X Y и X, Y топологии в X и Y соответственно. Эквивалентны утверждения:

f (x ) f (x), каковы бы ни были точка x и сходящаяся к ней последовательность (x ).

Эквивалентность (1) (2) вытекает из 4.1.11. Остается проверить, что (1) (3) (4) (5) (2).

Отсюда f 1 (W ) Op(X ) и x f 1 (W ). Иначе говоря, f 1 (W ) X (x) (см. 4.1.14). Помимо этого, f 1 (V ) f 1 (W ) и, следовательно, f 1 (V ) X (x). Наконец, V f (f 1 (V )).

(3) (4): Если F x, то l F X (x) по определению 4.1.16.

Привлекая условие, выводим f (F ) f (X (x)) Y (f (x)). Повторная апелляция к 4.1.16 дает f (F ) f (x).

(4) (5): Образ фильтра хвостов последовательности (x ) при отображении f грубее фильтра хвостов (f (x )).

(5) (2): Пусть F замкнутое подмножество в Y. Если F =, то f 1 (F ) также пусто, а потому и замкнуто. Пусть F непусто и точка прикосновения f 1 (F ). Рассмотрим последовательность (x ) точек из f 1 (F ), сходящуюся к x (ее существование обеспечено 4.1.18). Тогда f (x ) F и f (x ) f (x). Вновь применяя 4.1.18, видим, что f (x) F и, стало быть, x f 1 (F ).

4.2.2. Определение. Отображение f : X Y, удовлетворяющее одному (а значит, и любому) из эквивалентных утверждений 4.2.1 (1)–4.2.1 (5), (как хорошо известно) называют непрерывным.

Если при этом 4.2.1 (5) выполнено в фиксированной точке x X, то говорят, что f непрерывно в точке x. Стало быть, f непрерывно на X в том и только в том случае, если f непрерывно в каждой точке X.

4.2.3. Суперпозиция непрерывных отображений непрерывна.

Следует трижды применить 4.2.1 (5).

соответственно. Эквивалентны утверждения:

Достаточно заметить, что по 1.1.10 для U X 2 и V Y выполнено 4.2.5. Определение. Отображение f : X Y, удовлетворяющее одному (а значит, и любому) из эквивалентных утверждений 4.2.4 (1)–4.2.4 (4), (как хорошо известно) называют равномерно непрерывным.

4.2.6. Суперпозиция равномерно непрерывных отображений равномерно непрерывна.

для всех x, y из X. Значит, h (UX ) = g (f (UX )) g (UY ) UZ в силу 4.2.4 (3). Вновь апеллируя к 4.2.4 (3), видим, что h равномерно непрерывно.

4.2.7. Равномерно непрерывное отображение непрерывно.

4.2.8. Определение. Пусть E множество отображений из X в Y и UX, UY соответствующие равномерности. Множество E называют равностепенно (равномерно) непрерывным, если 4.2.9. Равностепенно непрерывное множество отображений состоит из равномерно непрерывных отображений. Конечное множество равномерно непрерывных отображений равностепенно непрерывно.

4.3. Полунепрерывность 4.3.1. Пусть (X1, d1 ) и (X2, d2 ) метрические пространства.

Пусть, далее, X := X1 X2. Для x := (x1, x2 ) и y := (y1, y2 ) положим Тогда d справедливо представление 4.3.2. Определение. Топологию X называют произведением топологий X1 и X2 или топологией произведения X1 и X2 и обозначают X1 X2.

4.3.3. Определение. Функцию f : X R· называют полунепрерывной снизу, если ее надграфик epi f замкнутое множество в топологии произведения X и R.

4.3.4. Примеры.

(1) Непрерывная функция f : X R полунепрерывна снизу.

(2) Если f : X R· полунепрерывная снизу функция для каждого, то верхняя огибающая f (x) := sup{f (x) :

} (x X) также полунепрерывная снизу функция, так как epi f = epi f.

4.3.5. Функция f : X R· полунепрерывна снизу в том и только в том случае, если выполнено Здесь, как обычно, нижний предел функции f в точке x (по фильтру (x)).

Значит, имеется окрестность Ut точки x, где inf f (Ut ) > t. Отсюда вытекает: limyx inf f (y) = + = f (x). Если же x dom f, то inf f (V ) > для подходящей окрестности V точки x. Выберем > 0 и для любой U (x), лежащей в V, подыщем точку xU U из условия inf f (U ) f (xU ). По построению xU dom f и, кроме того, xU x (при введении естественного порядка в множество окрестностей точки x). Положим tU := inf f (U ) +. Ясно, что tU t := limyx inf f (y) +. Поскольку (xU, tU ) epi f, то (x, t) epi f в силу замкнутости надграфика f. Окончательно Таким образом, inf f (U ) > t для некоторой окрестности U точки x.

Отсюда вытекает, что дополнение (X R) \ epi f открыто.

4.3.6. Замечание. Свойство, указанное в предложении 4.3.5, можно принять за основу определения полунепрерывности снизу в точке.

4.3.7. Функция f : X R непрерывна в том и только в том случае, если f и f полунепрерывны снизу.

4.3.8. Функция f : X R· полунепрерывна снизу в том и только в том случае, если для всякого t R замкнуто лебегово множество {f t}.

подходящей окрестности U точки x будет t < inf f (U ). Иначе говоря, дополнение X \ {f t} открыто.

: Пусть для каких-нибудь x X и t R выполнены соотношения limyx inf f (y) t < f (x).

Возьмем > 0 из условия t + < f (x) и, используя рассуждения доказательства 4.3.5, для U (x) найдем точку xU из U {f inf f (U ) + }. Бесспорно, xU {f t + } и xU x. Приходим к противоречию.

4.4. Компактность 4.4.1. Определение. Пусть C множество в X. Множество C называют компактным, если для каждого множества E Op(X ) такого, что C {G : G E }, существует конечное подмножество E0 в E, удовлетворяющее соотношению C {G : G E0 }.

4.4.2. Замечание. Определение 4.4.1 часто выражают словами: множество компактно, если из любого его открытого покрытия можно выделить конечное подпокрытие.

4.4.3. Замкнутое подмножество компактного множества является компактным. Компактное множество замкнуто.

4.4.4. Замечание. В связи с 4.4.3 используют понятие относительно компактного множества, т. е. множества, замыкание которого компактно.

4.4.5. Теорема Вейерштрасса. Образ компактного множества при непрерывном отображении компактен.

Прообразы множеств из открытого покрытия образа составляют открытое покрытие исходного множества.

4.4.6. Полунепрерывная снизу функция принимает на непустом компактном множестве наименьшее значение (т. е. образ такого множества имеет наименьший элемент).

Будем считать, что f : X R· и X компактно. Пусть t := inf f (X). Если t0 = +, то доказывать нечего. Если же t0 < +, то положим T := {t R : t > t0 }. Множество Ut := {f t} для t T непусто и замкнуто. Докажем, что {Ut : t T } непусто (тогда любой элемент x указанного пересечения искомый: f (x) = inf f (X)).

Предположим противное. Тогда множество {Gt := X \ Ut : t T } образует открытое покрытие X. Выделяя из него конечное подпокрытие {Gt : t T0 }, выводим: {Ut : t T0 } =. Последнее соотношение ложно, поскольку Ut1 Ut2 = Ut1 t2 при t1, t2 T.

4.4.7. Критерий Бурбаки. Пространство является компактным в том и только в том случае, если каждый ультрафильтр в нем сходится (ср. 9.4.4).

4.4.8. Произведение компактных пространств компактно.

Достаточно дважды применить критерий Бурбаки.

4.4.9. Теорема Кантора. Непрерывное отображение компакта равномерно непрерывно.

4.5. Полнота 4.5.1. Пусть B базис фильтра в X. Тогда {B 2 : B B} базис фильтра B в X.