[ «СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС для студентов специальности 1-70 02 01 Промышленное и гражданское строительство Часть 1 СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ Составление и общая редакция Л.С. Турищева ...»
3.1.3. Понятие о линии влияния Для линейно деформируемых систем рассматривается простейшая подвижная нагрузка – сосредоточенный груз, равный единице, который перемещается по конструкции и сохраняет неизменное направление (как правило, вертикальное) (рис. 3.4, а). При движении такой простейшей нагрузки любая величина Z (внутреннее усилие или перемещение), возникающая в конструкции, зависит только от абсциссы x и описывается некоторой функцией Z = f ( x ).
Линией влияния некоторой величины Z, возникающей в определенном месте конструкции, называется график (рис. 3.4, б), описывающий изменение этой величины в зависимости от положения движущегося по конструкции вертикального сосредоточенного единичного груза. Каждая ордината линии влияния указывает значение величины Z при расположении единичного груза на конструкции над этой ординатой.
Линии влияния внутренних усилий по сравнению с эпюрами аналогичных внутренних усилий имеют два существенных отличия.
Во-первых, эпюра некоторого внутреннего усилия описывает его изменение по длине всей конструкции, а линия влияния описывает изменение этого внутреннего усилия в одном определенном месте конструкции Рис. 3. (опора, сечение, стержень).
Во-вторых, если эпюра внутренних усилий связана с действием реальной неподвижной нагрузки, заданной в одном определенном положении, то линия влияния порождается действием искусственной подвижной нагрузки, которая может занимать различные положения на конструкции.
Рассмотрим способы построения линий влияния внутренних усилий в плоских статически определимых стержневых конструкциях. Существует два способа их построения – статический и кинематический.
3.2. Статический способ построения линий влияния Статический способ основан на составлении уравнений равновесия для конструкции, нагруженной в произвольном месте с абсциссой x неподвижным единичным грузом, и определении из этих уравнений внутреннего усилия как некоторой функции от x. График такой функции, по определению, является линией влияния этого внутреннего усилия.
Применение статического способа к построению линий влияния рассмотрим на примере двухконсольной балки. Для такой балки построим линии влияния опорных реакций, изгибающих моментов и поперечных сил.
3.2.1. Линии влияния опорных реакций Нагрузим двухконсольную балку в произвольном сечении с абсциссой x неподвижным единичным грузом (рис. 3.5, а). Тогда в опорных закреплениях возникнут переменные опорные реакции, зависящие от абсциссы x. Составив два уравнения равновесия найдем эти опорные реакции Из (3.1) следует, что линии влияния опорных реакций простой балки описываются уравнениями прямых линий и для их построения достаточно найти на каждой из них по две произвольных точки, например, соответствующие расположению единичного груза на опорах балки – V A (0) = 1, VB (0) = и V A (l ) = 0, VB (l ) = 1. Построенные очертания линий влияния опорных реакций показаны на рис. 3.5, б.
3.2.2. Линии влияния изгибающих моментов Построим линию влияния изгибающего момента, возникающего в сечении 1 двухконсольной балки (рис. 3.6, а).
Поскольку при изменении положения единичного груза по отношению к сечению меняется число сил, расположенных по обе стороны от него, необходимо рассматривать два положения груза – слева и справа от сечения. Как обычно будем считать момент положительным, если он вызывает растяжение в нижнем волокне.
Рассмотрим положение единичного груза слева от сечения 1 и мысленно проведем сквозной разрез в этом сечении. Из условия равновесия правой отсеченной части балки получим Поступая аналогичным образом при расположении единичного груза справа от сечения 1, из условия равновесия левой отсеченной части балки получим Из (3.2) и (3.3) следует, что очертание линии влияния изгибающего момента состоит из двух прямолинейных участков, пересекающихся под сечением 1. Очертания этих участков подобны очертаниям аналогичных участков линий влияния опорных реакций VA и VB, Различие заключается только в значениях ординат линий влияния. Очертание линии влияния изгибающего момента в сечении 1 показано на рис. 3.6, б.
3.2.3. Линии влияния поперечных сил Построение линии влияния поперечной силы, возникающей в сечении 1 двухконсольной балки (рис. 3.7, а), проводится аналогично рассмотренному выше построению линии влияния изгибающего момента. При этом поперечная сила считается положительной, если она вращает прилегающую к ней отсеченную часть балки по часовой стрелке.
Участок линии влияния поперечной силы при расположении единичного груза слева от сечения 1 описывается выражением а при расположении справа – выражением Из (3.4) и (3.5) следует, что очертание линии влияния поперечной силы состоит из двух прямолинейных параллельных участков, претерпевающих под сечением 1 разрыв на единицу. Очертание линии влияния поперечной силы в сечении 1 показано на рис. 3.7, б.
3.3. Кинематический способ построения линий влияния Суть кинематического способа заключается в получении очертания линии влияния без явного нахождения функциональной зависимости внутреннего усилия от абсциссы x. Такой способ основан на применении принципа возможных перемещений для определения внутреннего усилия, линию влияния которого требуется построить.
Применение кинематического способа к построению линий влияния также рассмотрим на примере двухконсольной балки. Для такой балки построим линии влияния опорных реакций, изгибающих моментов и поперечных сил.
3.3.1. Линии влияния опорных реакций Рассмотрим двухконсольную балку, нагруженную в произвольном сечении с абсциссой x неподвижным единичным грузом (рис. 3.8, а).
Применим принцип возможных перемещений для определения ее правой опорной реакции.
Удалим опорную связь и заменим ее положительной опорной реакцией (рис. 3.8, б). Полученный при этом механизм с одной степенью свободы находится в равновесии. Придадим ему возможное отклонение (рис. 3.8, в) и запишем уравнение работ Здесь c – возможное перемещение механизма, связанное с положительным направлением опорной реакции, а y (x) описывает форму отклоненного положения механизма.
Из уравнения (3.6) найдем опорную реакцию Так как масштаб перемещений для возможного отклонения может быть произвольным, то положим c = 1. Тогда Из (3.7) следует, что очертание линии влияния правой опорной реакции балки описывается формой отклоненного положения механизма и, следовательно, имеет вид, показанный на рис. 3.8, г.
3.3.2. Линии влияния изгибающих моментов Любое сечение внутри в пролете балки можно рассматривать как два жестко соединенных торца ее частей, примыкающих к сечению с двух сторон. Для построения линии влияния изгибающего момента сечения 1 введем в него шарнир и тем самым удалим связь, препятствующую взаимному повороту торцов. Заменим удаленную связь реакцией положительного направления (рис. 3.9, а).
Такой реакцией и является изгибающий момент в рассматриваемом сечении.
Придадим полученному механизму возможное отклонение (рис. 3.9, б) и запишем уравнение работ где c = 1 + 2 – возможное перемещение механизма, связанное с положительным направлением реакции удаленной связи, а y (x) описывает форму отклоненного положения механизма, полученного при введении шарнира в сечение 1.
Из уравнения (3.8) найдем изгибающий момент и выбирая специальный масштаб для возможного отклонения ( c = 1 ), получим Из (3.9) следует, что очертание линии влияния изгибающего момента балки в сечении 1 описывается формой отклоненного положения механизма, полученного при введении в сечение шарнира, и, следовательно, она имеет вид, показанный на рис. 3.9, в.
3.3.3. Линии влияния поперечных сил Для построения линии влияния поперечной силы сечения 1, нужно в этом сечении удалить связь, благодаря которой в этом сечении и возникает поперечная сила. Заменим жесткое соединение торцов в сечении эквивалентным стержневым соединением (рис. 3.10, а) и удалим стержень, препятствующий взаимному вертикальному перемещению торцов. Соответствующей реакцией и является поперечная сила сечения 1. Получившееся соединение торцов будем называть «качелями» (рис. 3.10, б). В дальнейшем «качели» будем изображать схематично согласно рис. 3.10, в.
Дальнейшее построение линии влияния поперечной силы аналогично рассмотренному выше построению линии влияния изгибающего момента.
Введем в сечение 1 «качели» (рис. 3.11, а), придадим полученному механизму возможное отклонение (рис. 3.11, б) и запишем уравнение работ Здесь c = 1 + 2 – возможное перемещение механизма, связанное с положительным направлением реакции удаленной связи, а y (x) описывает форму отклоненного положения механизма, полученного при введении «качелей» в сечение 1.
Выбирая специальный масштаб для возможного отклонения ( c = 1 ), из уравнения (3.10) получим Из (3.11) следует, что очертание линии влияния поперечной силы балки в сечении 1 описывается формой отклоненного положения механизма, полученного при введении в сечение «качелей», и, следовательно, она имеет вид, показанный на рис. 3.11, в.
3.3.4. Общий порядок построения линии влияния внутренних усилий кинематическим способом Для построения кинематическим способом линий влияния внутренних усилий, возникающих в плоских статически определимых стержневых системах, необходимо:
1. Удалить связь, линию влияния реакции которой требуется построить, и заменить удаленную связь соответствующей реакцией положительного направления. Приемами удаления связей являются отбрасывание опорного стержня, введение в сечение шарнира или «качелей».
2. Придать полученному механизму возможное отклонение, направление которого задается в соответствии с положительным направлением реакции удаленной связи.
3. Выбрать специальный масштаб для отклоненного положения механизма, при котором перемещение по направлению реакции удаленной связи полагается равным 1.
Кинематический способ построения линий влияния кроме простых балок целесообразно применять в многопролетных шарнирных балках.
3.4. Применение линий влияния к определению Линии влияния позволяют достаточно просто находить опасные положения простейшей подвижной нагрузки – единичного вертикального груза. Такие положения достигаются при расположении единичного груза на конструкции над экстремальными ординатами линии влияния.
Применение линий влияния распространяется на линейно-деформируемые системы. Поведение таких систем при нагружении характеризуется прямой пропорциональной зависимостью между нагрузкой и внутренними усилиями, а также справедливостью для них принципа независимости действия сил.
Используя указанные особенности линейно-деформируемых систем, можно с помощью линий влияния находить внутренние усилия для произвольного положения подвижной нагрузки. Внутренние усилия будут описываться некоторыми аналитическими выражениями, характеризующими зависимость внутренних усилий от абсциссы x. Полученные выражения можно использовать двояко.
Во-первых, придавая абсциссе x конкретные значения, можно находить численные значения внутренних усилий при определенных положениях подвижной нагрузки. Это позволяет применять линии влияния для определения внутренних усилий от неподвижных нагрузок, рассматривая последние как частные случаи аналогичных подвижных нагрузок в фиксированных положениях.
Во-вторых, можно исследовать, при каких значениях x полученное выражение принимает экстремальные значения. Это позволяет находить опасные положения подвижной нагрузки и соответствующие им расчетные значения внутренних усилий.
3.4.1. Применение линии влияния к определению внутренних усилий от неподвижных нагрузок стержневую конструкцию. К конструкции приложена произвольная неподвижная нагрузка, изображенная символически, которая вызывает в определенном б). Покажем применение линии влияния для определения внутреннего усилия S от действия основных видов неподвижной нагрузки – сосредоточенной силы, системы сосредоточенных сил, распределенной нагрузки, внешнего момента и системы внешних моментов.
Сосредоточенная сила (рис. 3.13, а). Пусть к конструкции приложена сосредоточенная сила P на расстоянии a1 от левой опоры. Ордината линии влияния под местом приложения силы имеет некоторое значение s1.
Исходя из смысла ординаты линии влияния и существования прямой пропорциональной зависимости внутреннего усилия S от силы P, получим следующую формулу для определения S :
При пользовании формулой (3.12) знаки для силы P принимаются согласно рис. 3.13, б, а знак s1 определяется по линии влияния. Если в точке приложения силы на линии влияния имеется разрыв, то определяемое внутреннее усилие может иметь два значения, соответствующие расположению силы бесконечно близко слева и справа от точки разрыва.
Система сосредоточенных сил (рис. 3.14). Пусть к конструкции приложена система сосредоточенных сил Pi (i = 1,..., n) на расстояниях ai от левой опоры. Ординаты линии влияния под местами приложения сил имеют значения si. Исходя из принципа независимости действия сил и с учетом (3.12), получим следующую формулу для определения S :
Правила знаков при пользовании формулой (3.13) аналогичны введенным правилам для формулы (3.12).
При расположении системы сосредоточенных сил над прямолинейным участком линии влияния (рис. 3.15) можно для определения внутреннего усилия заменять систему сил ее равнодействующей. Для доказательства этого свойства прямолинейного участка линии влияния подставим в (3.13) соотношение и получим где – сумма моментов сил относительно точки O (рис. 3.15), котоi = рая равняется моменту равнодействующей этих сил Отсюда следует, что усилие S равняется Распределенная нагрузка (рис. 3.16). Пусть к конструкции на некотором ее участке [a,b] приложена распределенная нагрузка с переменной интенсивностью g(x). Выделим элементарный участок dx и определим для него равнодействующую нагрузки R = g ( x)dx. Тогда, применяя (3.12) и выполняя интегрирование на участке [a,b], получим следующую формулу для определения S :
Здесь g (x) – функция, описывающая закон нагружения, s (x) – функция, описывающая линию влияния внутреннего усилия на участке нагружения.
Если распределенная нагрузка имеет постоянную интенсивность g (рис. 3.17, а), то ее можно вынести за знак интеграла в формуле (3.14) и она принимает вид где Aab – площадь линии влияния внутреннего усилия на участке нагружения. При пользовании формулой (3.15) знак Aab определяется по линии влияния, а знаки для интенсивности g принимаются согласно рис. 3.17, б.
Доказанное выше свойство прямолинейного участка линии влияния справедливо и для распределенной нагрузки как переменной, так и постоянной интенсивности.
Внешний момент (рис. 3.18, а). Пусть к конструкции приложен момент M 1 на расстоянии a1 от левой опоры. Представим заданный момент в виде пары вертикальных сил с плечом dx. Ординаты линии влияния под местами приложения заменяющих сил 1, соответственно, имеют значеdx ния s и s + ds. Тогда, применяя (3.13), получим следующую формулу для определения S :
где tg1 – тангенс угла наклона касательной к линии влияния под местом приложения к конструкции момента M 1. При пользовании формулой (3.16) знаки для входящих в нее величин принимаются согласно рис. 3.18, б. Если в точке приложения момента на линии влияния имеется разрыв, то определяемое внутреннее усилие может иметь два значения, соответствующие расположению момента бесконечно близко слева и справа от точки разрыва.
Система внешних моментов (рис. 3.19). Пусть к конструкции приложена система моментов M i (i = 1,..., n) на расстояниях ai от левой опоры.
Тангенсы углов наклона касательных к линии влияния под местами их приложения имеют значения tg i. Исходя из принципа независимости действия сил и с учетом (3.16), получим следующую формулу для определения S :
Правила знаков при пользовании формулой (3.17) аналогичны введенным правилам для формулы (3.16).
В случае действия на конструкцию неподвижной нагрузки, включающей одновременно несколько видов, внутреннее усилие от ее действия, согласно принципу независимости действия сил, находится сложением внутренних усилий, найденных от действия каждого вида нагрузки отдельно.
3.4.2. Применение линии влияния к определению расчетных значений внутренних усилий от подвижных нагрузок Определяя внутренние усилия согласно формулам (3.12) – (3.17) для произвольных положений подвижных нагрузок, можно получить функциональные зависимости этих усилий от абсциссы x.
Исследуя полученные зависимости приемами математического анализа разыскания наибольшего и наименьшего значений функции, можно найти опасные положения подвижных нагрузок. Однако разнообразие подвижных нагрузок, отсутствие общих закономерностей в очертаниях линий влияния не позволяют конкретизировать эти приемы для отыскания опасного положения подвижной нагрузки произвольного вида далее общей схемы исследования функций.
Поэтому рассмотрим применение линий влияния определенного очертания для отыскания опасных положений подвижных нагрузок конкретных видов, имеющих практическое значение для статического расчета конструкций.
Треугольная линия влияния. Такие очертания имеют линии влияния изгибающих моментов, а также линии влияния продольных сил, возникающих в поясах ряда ферм. Будем отыскивать опасные положения двухосной и многоосной подвижных нагрузок и определять расчетные значения внутреннего усилия S расч.
Сначала рассмотрим произвольное положение двухосной нагрузки с одинаковыми значениями сил P = P2 = P (рис. 3.20).
При произвольном положении двухосной нагрузки (рис. 3.20, а) внутреннее усилие S согласно (3.13) описывается зависимостью где s1 и s 2 – переменные ординаты линии влияния под левым и правым грузами подвижной нагрузки.
Из (3.18) очевидно, что усилие S принимает наибольшее значение, когда такое значение принимает сумма ординат s1 и s 2. Это достигается при расположении подвижной нагрузки одним грузом над вершиной линии влияния, а вторым – над более пологим участком линии влияния. Такое положение двухосной нагрузки будет опасным (рис. 3.20, б) и ему соответствует следующее расчетное значение внутреннего усилия А теперь рассмотрим произвольное положение многоосной нагрузки с различными значениями сил Pi (i = 1,..., n). При произвольном положении такой нагрузки (рис. 3.21) s j (i = k + 1,..., n) – аналогичные величины, связанные с правым участком линии влияния.
Продифференцируем (3.20) по x и получим Из (3.21) следует, что внутреннее усилие S при движении нагрузки не достигнет своего наибольшего значения, пока первая производная не поменяет знак Здесь Rлев и Rпр – равнодействующие сил, расположенные слева и справа от критической силы.
Расчетное значение внутреннего усилия с учетом свойства прямолинейного участка линии влияния определяется по формуле где s лев и sпр – ординаты линии влияния, соответственно, под равнодействующими сил, расположенных слева и справа от критической нагрузки.
Знакопеременная линия влияния произвольного очертания. Такое очертание имеют линии влияния внутренних усилий многопролетных балок, как статически определимых, так и неопределимых. Будем разыскивать опасные положения временной вертикальной нагрузки и определять соответствующие этим положениям внутренние усилия.
При произвольном положении временной нагрузки (рис. 3.22) внутреннее усилие S согласно (3.15) описывается зависимостью где q – интенсивность временной нагрузки; A1+ – площадь загруженной части положительного участка линии влияния, A2 – площадь загруженной части отрицательного участка линии влияния. Из (3.24) следует, что для временной нагрузки возможны два расчетных положения.
В одном случае временная нагрузка должна располагаться над всеми положительными участками линии влияния. Такому ее расположению соответствует наибольшее значение внутреннего усилия, которое определяется по формуле Ai+ – сумма площадей всех положительных участков линии влияния.
Во втором случае временная нагрузка должна располагаться над всеми отрицательными участками линии влияния. Такому ее расположению соответствует наименьшее значение внутреннего усилия, которое определяется по формуле Здесь сумма площадей всех отрицательных участков линии влияния.
3.4.3. Связь линий влияния с матрицами влияния Связь линий влияния внутренних усилий с соответствующими матрицами влияния рассмотрим на примере изгибающих моментов простой балки. Для этого разобьем пролет балки на n частей и построим линии полученной для этой балки матрицей влияния изгибающих моментов (2.10), то можно сделать вывод, что они одинаковые.
Таким образом, с помощью линий влияния внутренних усилий можно формировать матрицы влияния этих усилий по строкам. Использование единичных эпюр внутренних усилий позволяет формировать матрицы влияния по столбцам.
Расчет на действие подвижной нагрузки связан с определением ее опасных положений, при которых внутренние усилия принимают экстремальные значения.
Для линейно деформируемых систем отыскание опасных положений любых подвижных нагрузок основано на использовании линии влияния.
Линией влияния некоторой величины, возникающей в определенном месте конструкции, называется график, описывающий изменение этой величины в зависимости от положения движущегося по конструкции вертикального сосредоточенного единичного груза.
Существует два способа построения линий влияния – статический и кинематический.
Линии влияния можно применять для определения внутренних усилий от неподвижных нагрузок.
Проверьте, как Вы усвоили следующие понятия, определения, алгоритмы и формулы:
– подвижная нагрузка;
– временная нагрузка;
– опасное положение подвижной нагрузки;
– линия влияния;
– ордината линии влияния;
– способы построения линий влияния;
– определение по линиям влияния внутренних усилий от различных видов неподвижной нагрузки;
– определение по линиям влияния внутренних усилий от различных видов подвижной нагрузки;
– размерность ординат линий влияния.
Проверьте, как Вы умеете для статически определимых стержневых конструкций:
– строить линии влияния M, Q статическим способом;
– строить линии влияния M, Q кинематическим способом;
– определять по линиям влияния внутренние усилия от неподвижной нагрузки;
– определять по линиям влияния внутренние усилия от подвижной нагрузки.
М-4. РАСЧЕТ ПЛОСКИХ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ ФЕРМ
Основными целями модуля являются:рассмотрение понятия фермы и ее расчетной схемы;
изучение методов определения внутренних усилий в фермах от неподвижной нагрузки;
рассмотрение особенностей построения линий влияния внутренних усилий простых ферм статическим методом;
изучение закономерностей распределения продольных сил в простых фермах.
Структура изучаемого модуля включает следующие учебные элементы:
1. Отличительные особенности фермы.
2. Определение внутренних усилий в простых и сложных фермах от неподвижной нагрузки.
3. Аналитическое определение внутренних усилий в составных фермах от неподвижной нагрузки.
4. Построение линий влияния внутренних усилий в стержнях простых ферм.
5. Анализ распределения продольных сил в стержнях простых ферм.
При изучении учебных элементов рекомендуется использование следующей литературы: [1, c. 145 – 177]; [3, c. 120 – 191]; [4, c. 97 – 102, 139 – 141]; [5, c. 104 – 110, 117 – 121, 127 – 129].
4.1.1. Понятие о ферме и ее расчетной схеме Одной из распространенных стержневых конструкций, которая применяется при возведении промышленных и общественных зданий, является ферма. Такие конструкции могут быть железобетонными, металлическими, деревянными и металлодеревянными.
Реальная ферма представляет собой геометрически неизменяемую стержневую конструкцию с жестким соединением прямолинейных стержней в узлах. Особенностью фермы является то, что она остается геометрически неизменяемой при условной замене жестких узлов шарнирами (рис. 4.1). У рамных и других реальных стержневых конструкций такой особенности нет.
Полученная при замене жестких узлов шарнирами система является расчетной схемой фермы. Проведенные в первой половине XX столетия теоретические и экспериментальные исРис. 4. следования подтвердили возможность такой замены. Теоретическое обоснование замены жестких узлов шарнирами и пределы ее применимости будут рассмотрены позже при изучении методов расчета статически неопределимых стержневых систем.
При дальнейшем изложении фермой будет называться геометрически неизменяемая шарнирно стержневая система, все стержни которой соединяются шарнирами по концам (рис. 4.2, а).
В случае несоблюдения этого условия и соединения стержней с помощью шарниров в промежуточных сечениях (рис. 4.2, б) шарнирно стержневая система не является фермой, а относится к комбинированным системам.
4.1.2. Особенности работы фермы при узловой нагрузке При расчете ферм возможно узловое и внеузловое приложение нагрузки. В первом случае действующая нагрузка представляет собой систему сосредоточенных сил, приложенных к узлам фермы. Во втором случае действующая нагрузка может прикладываться к стержням фермы в произвольных сечениях.
При узловой нагрузке в прямолинейных стержнях фермы не возникают изгибающие моменты и поперечные силы, а продольные силы постоянны по длине каждого стержня. Обоснуем такую особенность работы на примере фермы, показанной на рис. 4.3, а.
Вырежем прямолинейный стержень, примыкающий к узлам m и n двумя бесконечно близкими от них сечениями, и рассмотрим его равновесие (рис. 4.3, б). Поскольку главные моменты внутренних сил в концевых сечениях стержня тождественно равны нулю, то из условия равновесия стержня получим, что главные векторы внутренних сил равны по величине Rm = Rn = R и направлены вдоль оси стержня в противоположные стороны. Отсюда следует, что во всех сечениях стержня M и Q тождественно равны нулю, а продольная сила N постоянна по длине стержня.
Рассуждая аналогично, можно показать, что изгибающие моменты и поперечные силы в случае прямолинейного стержня ij с внеузловой нагрузкой (рис. 4.3, в) или криволинейного стержня km (рис. 4.3, г) не равны нулю, а продольные силы переменны по их длине.
4.1.3. Терминология и система обозначений При расчете ферм используется специальная терминология и система обозначений. Их применение также относится к числу отличительных особенностей фермы.
Введем систему обозначений на примере фермы, показанной на рис. 4.4.
Элементы фермы, расположенные по ее внешнему контуру, образуют ее пояса. Различают верхний и нижний пояса. Элементы поясов обозначают, соответственно, прописными латинскими буквами O и U и нумеруют слева направо. Участок пояса между смежными узлами называется панелью этого пояса.
Элементы, расположенные внутри контура и соединяющие пояса, образуют решетку фермы.
Наклонные элементы решетки называются раскосами и обозначаются латинской буквой D. Различают восходящие (рис. 4.4) и нисходящие раскосы (рис. 4.5, в).
Вертикальные элементы решетки называются стойками и обозначаются латинской буквой V. Различают основные стойки (рис. 4.5, в), дополнительные стойки (рис. 4.5, б) и опорные стойки (рис. 4.5, а).
Нумерация элементов решетки также осуществляется слева направо.
Введенная система обозначений элементов фермы используется и для обозначения продольных сил, возникающих в этих элементах при узловой схеме нагружения. Это позволяет исключить для ферм необходимость построения громоздких эпюр продольных сил.
Характерными геометрическими размерами фермы являются ее пролет, высота и длины панелей поясов.
Пролетом фермы называется расстояние по горизонтали между осями ее опор. Будем обозначать его строчной латинской буквой l.
Высотой фермы называется расстояние по вертикали между центрами наиболее удаленных друг от друга узлов верхнего и нижнего поясов.
Для ее обозначения будем использовать строчную латинскую букву h.
Длиной панели пояса называется расстояние по горизонтали между смежными узлами этого пояса. Для ее обозначения можно использовать строчные латинские буквы аналогичные прописным, обозначающим элемент пояса между этими узлами. На рис. 4.4 длина второй панели нижнего пояса обозначена u2.
4.1.4. Классификация ферм Фермы принято классифицировать по назначению, по очертанию внешнего контура, по системе решетки, по схеме опирания и по способу образования геометрической структуры.
Прежде всего, о классификации по назначению. Поскольку области применения ферм самые разнообразные, ограничимся тремя основными случаями – мостовые фермы, стропильные фермы, крановые фермы. В первом случае они являются пролетными конструкциями мостов. Во втором случае фермы используются в качестве конструкций покрытий зданий.
И в третьем случае они образуют каркас мостовых и башенных кранов.
По очертанию внешнего контура различают фермы с параллельными поясами (рис. 4.5, а) и фермы с полигональным или ломаным очертанием обоих поясов или одного из них (рис. 4.5, б). Частным случаем таких ферм являются фермы треугольного очертания (рис. 4.5, в).
По системе решетки различают фермы с простой и сложной решетками. Простыми решетками являются треугольная решетка (рис. 4.5, а), треугольная решетка с дополнительными стойками (рис. 4.5, б) и раскосная решетка (рис. 4.5, в). Сложные решетки получаются при объединении нескольких раскосных или треугольных решеток. При объединении двух решеток бывают двухраскосные фермы (рис. 4.6, а) и двухрешетчатые фермы (рис. 4.6, б). В случае большего числа решеток фермы бывают многораскосными и многорешетчатыми.
По схеме опирания фермы могут быть безраспорными и распорными.
К безраспорным фермам относятся балочные (рис. 4.5), консольные (рис. 4.7, а) и консольно-балочные фермы (рис. 4.7, б).
Распорные фермы делятся на арочные (рис. 4.8, а) и висячие фермы (рис. 4.8, б).
И, наконец, о классификации ферм по способу образования геометрической структуры. Различают простые, сложные и составные фермы.
Ферма является простой, если в ней можно выделить шарнирно стержневой треугольник и образовать ее остальную структуру последовательным наращиванием двухстержневых шарнирных узлов. В противном случае ферма считается сложной. Большинство ферм, применяемых в промышленных и общественных зданиях, – простые фермы.
Пример простой фермы, структура которой образована присоединением к шарнирно стержневому треугольнику ABC двухстержневых шарнирных узлов 1, 2, 3, 4, 5, 6, показан на рис. 4.9, а.
Пример сложной фермы показан на рис. 4.9, б. Структура такой фермы образована из трех дисков 1, 2, 3, соединенных при помощи трех шарниров, не лежащих на одной прямой – шарнира C и двух фиктивных шарниров на пересечениях прямых BM, AM и DM, EN.
Ферма является составной, если в простой ферме один или несколько стержней ее поясов заменены простыми фермами (рис. 4.10). Необходимость такой замены может возникать при больших значениях внеузловой нагрузки на простую ферму.
Простая исходная ферма называется главной, а фермы, заменяющие стержни поясов с внеузловой нагрузкой, называются вспомогательными.
4.2. Определение внутренних усилий в простых и сложных фермах Для расчета ферм на действие неподвижной нагрузки используются аналитическая и матричная формы определения внутренних усилий. При аналитической форме расчета простых ферм обычно применяется статический метод, а в случае сложных ферм – метод замены связей. При матричной форме расчета на узловое нагружение простых и сложных ферм применяются оба ее варианта. В одном случае для определения ферменных внутренних усилий используется матрица влияния этих усилий, а в другом – матрица коэффициентов уравнений равновесия, которые составлены для узлов фермы.
4.2.1. Аналитическое определение внутренних усилий в простых фермах при узловой нагрузке Статический метод определения внутренних усилий в стержнях простых ферм от действия узловой нагрузки имеет три разновидности – метод вырезания узлов, метод рассечения на крупные части (метод моментной точки, метод Риттера) и комбинированный метод. Рассмотрим суть каждого метода.
Метод вырезания узлов. В основе метода лежит использование уравнений равновесия системы сходящихся сил и применение их к узлам фермы, мысленно вырезанным из нее сквозными сечениями. Для каждого узла фермы можно составить по два независимых уравнения равновесия.
Обычно в качестве таких уравнений используются уравнения проекций сил на некоторые оси, проходящие через центры вырезанных узлов фермы и позволяющие раздельно определить продольные силы. Поскольку входящие в такие уравнения продольные силы неизвестны, как по величине, так и по знаку, то первоначально они все полагаются положительными, направляются в сторону от узлов, а стержни фермы считаются растянутыми. Если при расчете какая-либо продольная сила получится отрицательной, то это означает, что выбранное для нее направление было неправильным и данный стержень фермы сжат.
Применение метода покажем на примере фермы с ломаным очертанием верхнего пояса и треугольной решеткой (рис. 4.11, а). Определение опорных реакций такой фермы аналогично определению опорных реакций простой балки, поэтому будем считать их известными. Поскольку равновесие каждого узла описывается только двумя независимыми уравнениями, то необходимо начинать вырезание узлов, где сходится не более двух стержней с неизвестными продольными силами. Такими узлами для рассматриваемой фермы являются опорные узлы.
Вырежем первым для определенности левый опорный узел (рис. 4.12) и составим уравнения равновесия Решая уравнения (4.1), найдем независимо друг от друга продольные силы, возникающие в стержнях этого узла Последовательность вырезания остальных узлов фермы и составления для них уравнений равновесия показана на рис. 4.11, б. При этом следует иметь в виду, что уравнения равновесия для последнего узла являются контрольными и позволяют проверить правильность определения продольных сил.
Метод рассечения на крупные части. В основе метода лежит использование уравнений равновесия системы сил, произвольно расположенных на плоскости, и применение их к одной из частей фермы, полученной при ее мысленном рассечении через любые три стержня. Оси таких стержней не должны пересекаться в одной точке.
Для каждой отсеченной части фермы можно составить по три независимых уравнения равновесия. Обычно для определения продольной силы в каждом рассеченном стержне составляют уравнение моментов относительно точки пересечения осей двух оставшихся стержней. Такая точка называется моментной точкой определяемой продольной силы. Использование моментных точек позволяет раздельно находить продольные силы в рассеченных стержнях.
Если рассечение фермы осуществляется через три стержня, два из которых параллельны, то в этом случае моментная точка для продольной силы в трех перерезанных стержнях – O2, U 2, D2, используя уравнения равновесия одной из отсеченных частей.
Рассмотрим для определенности левую отсеченную часть фермы.
Определим внутренние усилия в поясах, составляя уравнения моментов относительно моментных точек этих усилий Для определения внутреннего усилия в раскосе составим уравнение проекций сил на вертикальную ось Комбинированный метод. Метод используется для определения продольных сил в стержнях фермы, когда их нельзя найти сразу ни методом вырезания узлов, ни методом рассечения на крупные части. Суть метода заключается в одновременном использовании рассмотренных двух методов для отыскания требуемой продольной силы.
Применение метода покажем на примере определения для фермы с параллельными поясами и полураскосной решеткой проРис. 4. дольных сил в раскосах D3 и D (рис. 4.14, а). Вырежем узел фермы, в котором пересекаются раскосы (рис.
4.14, б), и составим уравнение проекций сил на горизонтальную ось Для получения второго уравнения, содержащего определяемые внутренние усилия, рассечем ферму через третью панель верхнего и нижнего поясов и составим уравнение проекций сил левой отсеченной части на вертикальную ось Решая совместно уравнения (4.2) и (4.3), найдем требуемые продольные силы 4.2.2. Понятие и признаки нулевых стержней Стержни, в которых продольные силы при данной схеме узловой нагрузки тождественно равны нулю, для краткости называются нулевыми стержнями. Однако такие стержни нельзя считать неработающими вообще.
При других схемах нагружения в них могут появиться продольные силы с ненулевыми значениями. Важно уметь до начала расчета фермы определять нулевые стержни, так как это позволит дополнительно контролировать его правильность. Сформулируем признаки таких стержней.
Рассмотрим ненагруженный двухстержневой узел фермы (рис. 4.15, а).
Составим для него уравнения проекций сил на оси y и y, перпендикулярные, соответственно, одному и второму стержню. Из этих уравнений получим Отсюда вытекает первый признак – в ненагруженном двухстержневом узле фермы оба стержня нулевые.
Рассмотрим двухстержневой узел фермы, нагруженный силой вдоль оси одного из стержней (рис. 4.15, б). Составим для него уравнение проекций сил на ось y, перпендикулярную линии действия силы Отсюда вытекает второй признак – в двухстержневом узле фермы, нагруженном силой вдоль оси одного из стержней, другой стержень нулевой.
Рассмотрим ненагруженный трехстержневой узел фермы (рис. 4.15, в), в котором оси двух стержней направлены по одной прямой. Составим для него уравнение проекций сил на ось y, перпендикулярную стержням, направленным по одной прямой Отсюда вытекает третий признак – в ненагруженном трехстержневом узле фермы, в котором оси двух стержней направлены по одной прямой, третий стержень нулевой.
Понятие нулевых стержней, строго говоря, справедливо только для линейно деформируемых систем, у которых при составлении уравнений равновесия не учитываются изменения формы и размеров вследствие деформирования. Покажем это на частном примере.
Рассмотрим простейшую двухстержневую ферму (рис. 4.16, а), нагруженную вдоль оси вертикального стержня сжимающей его силой. Согласно второму признаку наклонный стержень фермы является нулевым.
Но если отказаться от использования принципа начальных размеров и рассматривать ферму как геометрически нелинейную систему, то из схемы равновесия узла фермы в деформированном состоянии (рис. 4.16, б) очевидно, что величина продольной силы в наклонном стержне N 2 0. Однако ввиду малости этой величины в данном случае ее можно не учитывать.
4.2.3. Аналитическое определение внутренних усилий при внеузловом нагружении простых ферм Примером внеузлового приложения нагрузки к ферме может служить опирание плит покрытия на панели верхнего пояса, если ширина плит покрытия меньше длины панели этого пояса. Кроме того, внеузловое нагружение фермы может возникать вследствие крепления к промежуточным сечениям панелей нижнего пояса различных технологических коммуникаций (вентиляционные воздуховоды, монорельсы, кран-балки).
Суть расчета простых ферм на внеузловую нагрузку заключается в разбиении его на два этапа. На первом этапе рассчитываются панели фермы на действие внеузловой нагрузки как простые балки. На втором этапе рассчитывается ферма на действие узловых сил, характеризующих влияние внеузловой нагрузки на всю ферму. Такие силы равны по величине и противоположны по направлению соответствующим балочным опорным реакциям, полученным при расчете на первом этапе. Окончательные внутренние усилия в ферме находятся сложением соответствующих величин, полученных на первом и втором этапах расчета.
Обоснование правомерности такого подхода к расчету покажем на примере фермы с ломаным очертанием верхнего пояса и треугольной решеткой (рис. 4.17, а). Внеузловая нагрузка приложена ко второй панели верхнего пояса. Рассчитаем панель как балку и определим опорные реакции и внутренние усилия. Качественное очертание эпюр внутренних усилий показаны на рис. 4.17, б.
Сделаем эквивалентное преобразование нагрузки, не изменяющее опорных реакций и внутренних усилий заданной фермы. Для этого к каждому узлу примыкания второй панели верхнего пояса добавим по две вертикальные силы, направленные в противоположные стороны. Такие силы по величине, соответственно, равны левой и правой опорным реакциям балки.
Разобьем преобразованную нагрузку на две составляющие. Первая составляющая включает заданную внеузловую нагрузку и узловые силы, равные опорным реакциям балки (рис. 4.18, а), а вторая составляющая включает заданную узловую нагрузку и оставшиеся узловые силы, равные по величине и противоположные по направлению опорным реакциям балки (рис. 4.18, б).
Так как первая составляющая нагрузки является взаимно уравновешенной системой сил, то опорные реакции в ферме не возникают V A = VB 0, а все ненагруженные стержни являются нулевыми. Поэтому внутренние усилия возникают только в панели с внеузловой нагрузкой, и они равняются балочным внутренним усилиям M, Q, N.
грузки в стержнях фермы возникают только продольные силы. Их можно найти с помощью одного из методов определения внутренних усилий в простых фермах при узловой нагрузке.
Поскольку рассматриваемая ферма считается линейно деформируемой системой, то согласно принципу независимости действия сил внутренние усилия при действии внеузловой нагрузки получаются сложением соответствующих величин, полученных раздельно от расчета на каждую составляющую нагрузки.
4.2.4. Аналитическое определение внутренних усилий в сложных фермах при узловой нагрузке В основе расчета сложных ферм лежит метод замены связей. Согласно этому методу осуществляется переход от заданной сложной фермы к некоторой заменяющей эквивалентной простой ферме. Заменяющая простая ферма получается удалением определенного числа стержней в одних местах сложной фермы и введением их в других местах. Для обеспечения эквивалентности полученной простой фермы к ней прикладываются в качестве дополнительных внешних воздействий неизвестные продольные силы удаленных стержней и вводятся условия обращения в нуль продольных сил в заменяющих стержнях.
Рассмотрим пример определения продольных сил в сложной ферме, показанной на рис. 4.19, а. Для образования заменяющей фермы удалим стержень, соединяющий узлы 1 и 4 заданной фермы, введем заменяющий стержень, соединяющий узлы 2 и 6 (рис. 4.19, б). Полученная ферма является простой, так как в ней имеется шарнирный треугольник, связывающий узлы 1, 2, 6, а остальные узлы последовательно присоединяются к нему двумя стержнями каждый.
Приложим как внешнее воздействие неизвестную продольную силу X 1 удаленного стержня к узлам 1 и 4 (см. рис. 4.19, б) и приравняем нулю продольную силу, возникающую в заменяющем стержне от действия X 1 и заданной нагрузки Применяя к (4.4) принцип независимости действия сил, получим уравнение для определения X где n11 – продольная сила в заменяющем стержне от действия X 1 = 1, N1зам – продольная сила в заменяющем стержне от действия заданной нагрузки.
После решения (4.4) и определения X 1 продольные силы N в остальных стержнях фермы можно найти по формуле где n1 – единичные продольные силы в соответствующих стержнях заменяющей фермы; N P – продольные силы от нагрузки в соответствующих стержнях заменяющей фермы.
4.2.5. Матричная форма определения внутренних усилий в простых фермах при узловой нагрузке Применение обоих вариантов матричной формы определения внутренних усилий покажем на примере фермы с трапецеидальным очертанием поясов, треугольной решеткой и дополнительной стойкой. Нагрузка в виде вертикальных сосредоточенных сил, каждая из которых равна P = P2 = P3 = P, приложена к узлам верхнего пояса (рис. 4.20).
Использование матрицы влияния. Для формирования матрицы влияния продольных сил фермы последовательно загрузим узлы верхнего пояса вертикальными безразмерными силами, равными единице (рис. 4.21), и определим внутренние усилия в стержнях фермы.
Для первой схемы нагружения, показанной на рис. 4.21, а, единичные продольные силы будут равны Для обозначения единичных продольных сил использованы строчные латинские буквы, соответствующие введенной ранее системе обозначений элементов фермы. Второй индекс указывает номер схемы нагружения фермы.
Для второй схемы нагружения, показанной на рис. 4.21, б, единичные продольные силы будут равны Для третьей схемы нагружения, показанной на рис. 4.21, в, единичные продольные силы будут равны Для определения продольных сил от заданной нагрузки сформируем по столбцам из найденных единичных продольных сил матрицу влияния и вектор нагрузки Тогда вектор продольных сил будет равен Использование матрицы коэффициентов уравнений равновесия.
Для получения требуемой матрицы коэффициентов рассмотрим равновесие узлов фермы (рис. 4.22).
Сначала составим уравнения проекций сил на координатные оси y и x для внутренних узлов фермы C, D, E, F и уравнение проекций на ось x для опорного узла B Решая эти уравнения можно определить все неизвестные продольные силы фермы O1, O2, O3, O4, U1, U 2, D1, V1, D2.
Запишем полученные уравнения в матричной форме где Элементами матрицы A являются коэффициенты при неизвестных продольных силах в уравнениях равновесия узлов, и они зависят только от геометрии фермы. Элементы вектора нагрузки берутся положительными, если направления сил, приложенных к узлам фермы, совпадают с положительными направлениями соответствующих координатных осей. В противном случае они берутся отрицательными. Если к узлу по направлениям координатных осей не приложены силы, то соответствующий элемент вектора нагрузки считается равным нулю.
Имея матрицу коэффициентов уравнений равновесия внутренних узлов фермы, можно найти вектор продольных сил Для определения в матричной форме опорных реакций фермы составим уравнения проекций сил на координатные оси y и x для опорного узла A и уравнение проекций на ось y для опорного узла B Матричная запись полученных уравнений имеет вид где R – вектор опорных реакций фермы, AR – матрица коэффициентов уравнений равновесия для опорных узлов фермы.
Имея матрицу AR и вектор продольных сил N, можно найти вектор опорных реакций фермы 4.3. Аналитическое определение внутренних усилий в составных фермах от неподвижной нагрузки Как уже отмечалось, составные фермы применяют при больших значениях внеузловой нагрузки. Делается это с целью исключения изгибающих моментов в стержнях главной фермы и снижения ее веса. Различают две разновидности составных ферм. В одном случае главная и вспомогательные фермы не имеют объединенных элементов (рис. 4.23), во втором – такие элементы есть (рис. 4.25). Составные фермы второго вида называются шпренгельными фермами, а вспомогательные фермы в этом случае называют шпренгелями.
Расчет составных ферм обоих видов подобен расчету соответствующих простых ферм на действие внеузловой нагрузки и состоит из двух этапов.
Суть этих этапов и их особенности покажем на отдельных примерах.
4.3.1. Определение внутренних усилий в составных фермах первого вида Рассмотрим составную ферму, образованную заменой сплошного стержня второй панели верхнего пояса вспомогательной фермой, не имеющей с главной фермой объединенных элементов (рис. 4.23, а). На ферму действует нагрузка, приложенная как к узлам вспомогательной, так и главной ферм. Расчет фермы, как и в случае ее расчета на действие внеузловой нагрузки, разбивается на два этапа. Обоснование правомерности такого подхода к расчету аналогично сделанному в 4.2.3.
На первом этапе вспомогательная ферма, заменяющая стержень второй панели верхнего пояса, рассчитывается как самостоятельная простая ферма на действие собственной узловой нагрузки (рис. 4.23, б). Возникающие продольные силы в ее стержнях обозначим N i (i = 1,...,13) и назовем внутренними усилиями первого рода. При этом продольные силы в стержнях главной фермы равны нулю, так как ее схема нагружения, соответствующая этому этапу расчета, представляет собой взаимно уравновешенную систему сил аналогичную рассмотренной в 4.2.3.
На втором этапе рассчитывается главная ферма на действие собственной узловой нагрузки и узловых сил, характеризующих влияние нагружения вспомогательной фермы на главную ферму и приложенных в местах их примыкания (рис. 4.24, а). Такие силы равны по величине опорным реакциям вспомогательной фермы и противоположны им по направлению.
При выполнении второго этапа расчета условно заменим вспомогательную ферму во второй панели верхнего пояса сплошным прямолинейным стержнем, показанным на рис. 4.24, а пунктирной линией. Возникающие продольные силы в стержнях главной фермы, включая условный заменяющий стержень, обозначим N j ( j = 1,...,11) и назовем внутренними усилиями второго рода.
Продольная сила N 2, возникающая в условном заменяющем стержне второй панели верхнего пояса главной фермы, в действительности воспринимается вспомогательной фермой. Следовательно, вспомогательная ферма подвергается дополнительному действию двух противоположных сил N 2, приложенных по ее концам (рис. 4.24, б). Их действие приводит к возникновению в стержнях вспомогательной фермы внутренних усилий второго рода N i (i = 1,...,13).
Таким образом, продольные силы в стержнях вспомогательной фермы, согласно принципу независимости действия сил, получаются сложением соответствующих продольных сил первого и второго рода, полученных раздельно на каждом этапе расчета Продольные силы в стержнях главной фермы равны продольным силам, полученным при выполнении второго этапа расчета 4.3.2. Определение внутренних усилий в шпренгельных фермах Рассмотрим составную ферму, во второй панели верхнего пояса которой включен шпренгель. Объединенными элементами являются элементы верхнего пояса шпренгеля и второй элемент верхнего пояса главной фермы, а также первый и четвертый элементы нижнего пояса шпренгеля, объединенные, соответственно, с первым и вторым раскосами главной фермы. На ферму действует нагрузка, приложенная как к узлам шпренгеля, так и главной фермы (рис. 4.25, а).
Первый этап расчета шпренгельной фермы ничем не отличается от выполненного выше аналогичного этапа расчета составной фермы первого вида (рис. 4.25, б). Конечным результатом расчета также являются внутренние усилия первого рода N i (i = 1,...,13).
Выполнение второго этапа, связанного с расчетом главной фермы на действие узловой нагрузки, включающей узловые силы, которые характеризуют влияние нагружения шпренгеля (рис. 4.26, а), имеет две особенности.
Прежде всего, увеличивается число условных сплошных стержней, заменяющих шпренгель при расчете главной фермы. Оно равно числу объединенных элементов главной фермы. В нашем случае такими элементами являются стержни O2, D1, D2, показанные на рис. 4.26, а пунктирными линиями.
Возникающие в заменяющих стержнях продольные силы второго рода O2, D1, D2, одновременно воспринимаются и соответствующими элементами шпренгеля (рис. 4.26, б). Следовательно, другая особенность второго этапа расчета заключается в том, что шпренгель подвергается дополнительному воздействию нескольких групп равных и противоположных продольных сил, возникающих в объединенных стержнях. Поэтому внутренние усилия второго рода в стержнях шпренгеля получаются сложением величин, найденных от действия каждой группы в отдельности.
4.4. Построение линий влияния внутренних усилий Необходимость построения линий влияния в фермах вызывается тем, что они могут подвергаться действию как подвижной, так и временной нагрузок. Учитывая узловой характер передачи таких нагрузок на реальные фермы, построение линий влияния в фермах связано только с продольными силами, возникающими в их стержнях. Поскольку линии влияния опорных реакций простой фермы имеют такое же очертание, как и для аналогичной балки, то их построение не рассматривается.
Линии влияния продольных сил в фермах обычно строятся статическим методом. При построении линии влияния заданной продольной силы выбирается та его разновидность, которая наиболее целесообразна для отыскания этой продольной силы. Применение разновидностей статического метода к построению линий влияния в фермах покажем на конкретных примерах.
4.4.1. Применение для построения линий влияния метода рассечения на крупные части Рассмотрим ферму трапециевидного очертания с треугольной решеткой и тремя дополнительными стойками. Движение сосредоточенного вертикального груза, равного единице, может происходить по нижнему поясу (груз понизу) и по верхнему поясу (груз поверху) (рис. 4.27, а).
Предполагается, что движение единичного груза происходит по вспомогательным балочкам, которые опираются на узлы фермы. Таким образом обеспечивается узловое нагружение фермы.
Применение метода рассечения на крупные части к построению линий влияния рассмотрим для продольных сил, возникающих в стержнях O3 и D3. Рассечем ферму на две части через третью панель верхнего и четвертую панель нижнего поясов (рис. 4.27, б). При нахождении продольных сил O3 и D3 как некоторых функций от абсциссы x произвольного положения единичного груза будем рассматривать три его положения – слева и справа от рассеченной панели и в пределах этой панели.
Линия влияния O 3. Рассмотрим первое произвольное положение единичного груза – груз понизу и слева от рассеченной панели (4.27, б).
Для определения продольной силы O3 рассмотрим равновесие правой отсеченной части фермы и составим уравнение моментов относительно моментной точки этого усилия RO откуда Из (4.5) следует, что левый участок линии влияния O3 имеет очертание линии влияния правой опорной реакции фермы VB (x), ординаты которой должны быть умножены на величину (рис. 4.28).
Рассмотрим второе произвольное положение единичного груза – груз понизу и справа от рассеченной панели. Для определения продольной силы O3 рассмотрим равновесие левой отсеченной части фермы и составим уравнение моментов относительно моментной точки этого усилия откуда Из (4.6) следует, что правый участок линии влияния O3 имеет очертание линии влияния левой опорной реакции фермы, ординаты которой должны быть умножены на величину (рис. 4.28).
Рассмотрим третье произвольное положение единичного груза – груз понизу и в пределах рассеченной панели. Так как изменение продольной силы O3 будет описываться некоторой линейной функцией от абсциссы x единичного груза, а концевые значения ординат этой функции могут быть найдены из (4.5) и (4.6), то этого достаточно для получения очертания соединительного участка линии влияния.
Очертание линии влияния продольной силы O3 при движении груза понизу показано на рис. 4.28 сплошной линией. Левый и правый участки линии влияния пересекаются под моментной точкой RO3.
Поскольку при движении единичного груза поверху при составлении уравнений равновесия для трех рассмотренных произвольных положений единичного груза ничего не изменяется, то полученные соотношения (4.5) и (4.6) справедливы для такого движения груза. Однако при этом изменяются границы рассеченной третьей панели верхнего пояса по сравнению с аналогичной панелью нижнего пояса. Поэтому на линии влияния O3 изменится очертание соединительного участка, который показан на рис. 4. пунктирной линией.
Линия влияния D 3. Для определения продольной силы D3 при положении единичного груза понизу и слева от рассеченной панели (рис. 4.27, б) составим сумму проекций сил правой отсеченной части фермы на ось y откуда Из (4.7) следует, что левый участок линии влияния D3 имеет очертание линии влияния правой опорной реакции фермы, ординаты которой умножены на величину (рис. 4.29).
Для определения продольной силы D3 при положении единичного груза понизу и справа от рассеченной панели составим сумму проекций сил левой отсеченной части фермы на ось y откуда Из (4.8) следует, что правый участок линии влияния D3 имеет очертание линии влияния левой опорной реакции фермы, ординаты которой умножены на величину (см. рис. 4.29).
Для получения соединительного участка, как и в предыдущем случае построения линии влияния, используются концевые значения D3, полученные из (4.7) и (4.8). Очертание линии влияния D3 при движении груза понизу показано на рис. 4.29 сплошной линией. Очертание соединительного участка, соответствующее движению единичного груза поверху, показано на рис. 4.29 пунктирной линией.
4.4.2. Применение для построения линий влияния метода вырезания узлов Будем по-прежнему рассматривать ферму, показанную на рис. 4.27, а.
Применим метод вырезания узлов для построения линии влияния продольной силы, возникающей в дополнительной стойке V3. Вырежем узел нижнего пояса фермы, к которому примыкает эта стойка (рис. 4.30). При нахождении продольной силы V3 будем рассматривать три положения движущегося единичного груза по отношению к вырезанному узлу – груз в узле, груз вне узла и вне рассеченных панелей, груз в рассеченных панелях.
Рассмотрим первое положение единичного груза – груз понизу и в узле (рис. 4.30, а). Для определения продольной силы V3 рассмотрим равновесие узла и составим сумму проекций сил, приложенных к узлу, на ось y откуда Соотношение (4.9) дает значение одной ординаты линии влияния V3, соответствующей расположению единичного груза в узле.
Рассмотрим второе положение единичного груза – груз понизу и вне узла и вне рассеченных панелей (рис. 4.30, б). Для определения продольной силы V3 также составим сумму проекций узловых сил на ось y откуда Из соотношения (4.10) следует, что очертание линии влияния V3 при втором положении единичного груза совмещается с осью x. Такой результат очевиден, так как имеем трехстержневой ненагруженный узел, в котором оси двух стержней нижнего пояса направлены по одной прямой. Следовательно, дополнительная стойка V3 является нулевой при движении единичного груза вне рассеченных панелей, полученных при вырезании узла.
Для получения двух соединительных участков используются концевые значения V3, найденные из (4.9) и (4.10). Очертание линии влияния V показано на рис. 4.31.
Поскольку при движении единичного груза поверху по отношению к вырезанному узлу он может занимать только положение вне узла и вне рассеченных панелей, то продольная сила V3 при любом его положении описывается соотношением V3 ( x) = 0 и очертание линии влияния совмещается с осью x. На рис. 4.31 оно показано пунктирной линией.
4.5. Анализ распределения продольных сил В простых фермах при узловой нагрузке можно без численного определения продольных сил, возникающих в элементах поясов и решеток, устанавливать знаки этих сил и закономерности в изменениях их величин. Умение выполнять такой анализ позволит качественно предвидеть результаты расчетов ферм и, следовательно, осуществлять контроль их правильности.
4.5.1. Анализ знаков усилий в поясах ферм Изобразим произвольную простую ферму в виде двух дисков, соединенных стержневым участком, включающим элемент верхнего пояса O, элемент нижнего пояса U и раскос D (рис. 4.32, а). Будем считать, что к ферме приложена некоторая узловая нагрузка. Одновременно рассмотрим балку (рис. 4.32, б), имеющую одинаковые с фермой пролет, схему нагружения и, следовательно, опорные реакции.
Рассечем ферму на две части и составим уравнения моментов, например, для левой части, относительно моментных точек усилий элементов поясов O и U сечениях балки под соответствующими моментными точками (рис. 4.33).
Тогда выражения для внутренних усилий O и U принимают вид Из (4.11) следует, что знаки продольных сил, возникающих в поясах простых ферм, следующим образом зависят от знаков балочных изгибающих моментов под моментными точками этих усилий Следовательно, при положительных балочных моментах соответствующие элементы верхнего пояса сжаты, а нижнего – растянуты. При отрицательных балочных моментах картина распределения знаков усилий в поясах обратная. Важно подчеркнуть, что очертание решетки фермы не влияет на картину распределения знаков усилий в поясах.
Поскольку для анализа знаков продольных сил в поясах ферм величины балочных моментов не требуются, то для его проведения достаточно иметь только качественное очертание эпюр балочных моментов. Получение такого очертания балочных эпюр не представляет особой сложности.
Поэтому с помощью соотношений (4.11) можно достаточно просто для заданной схемы нагружения фермы без вычислений проанализировать, какие элементы поясов будут растянуты, а какие – сжаты.
4.5.2. Анализ распределения величин усилий в поясах ферм Для установления качественной картины изменения величин усилий в поясах фермы по длине пролета будем в пределах каждой панели пренебрегать разницей высот и различием в положениях моментных точек.
Второе позволяет отказаться от необходимости рассмотрения конкретного очертания решетки. Кроме того, будем считать угол наклона элементов поясов постоянным в пределах половины пролета. Последнее условие не справедливо только для ферм с полигональным очертанием поясов.
С учетом введенных предположений соотношения (4.11) принимают вид где C – константа. Из (4.12) следует, что величина усилий в поясах характеризуется величиной дроби Качественно величина дроби описывается разностью отрезков, изображающих графически величины, стоящие в знаменателе и числителе.
Поскольку изменение числителя дроби графически описывается очертанием эпюры балочных изгибающих моментов, а знаменателя – очертанием внешнего контура фермы, то изменение величин продольных сил в поясах будет описываться фигурой, заключенной между внешним контуром фермы и эпюрой балочных изгибающих моментов. Чем больше разность соответствующих ординат, тем меньше величины продольных сил, и наоборот.
Покажем применение рассмотренного подхода к анализу распределения величин усилий в поясах фермы, внешний контур которой имеет треугольное очертание. Нагрузку считаем близкой к равномерной и поэтому балочная эпюра моментов будет иметь ментов в контур фермы, получим, что величины усилий в поясах уменьшаются по модулю от опор к средине пролета фермы (рис. 4.34). Фактическое изменение усилий в поясах будет не непрерывным, а ступенчатым, так как величины балочных моментов должны браться только под соответствующими моментными точками.
4.5.3. Анализ знаков усилий в раскосах и основных стойках ферм Знаки усилий в раскосах и основных стойках произвольной простой фермы связаны с закономерностями изменения величин усилий в поясах этой фермы. Рассмотрим некоторую ферму с треугольной решеткой и узловой схемой нагружения одного из ее поясов. Считая поочередно нагруженными верхний и нижний пояс, вырежем по одному узлу, соответственно, из ненагруженного нижнего пояса (рис. 4.35, а) и ненагруженного верхнего пояса (рис. 4.35, б). На рис. 4.35 раскосы приняты растянутыми, восходящие раскосы обозначены Dв, а нисходящие – Dн.
При рассмотрении равновесия вырезанных узлов сначала будем считать, что величины усилий в поясах увеличиваются к средине пролета фермы. Следовательно, для рассматриваемых узлов усилия в элементах поясов получают некоторые приращения U > 0 и O > 0. Тогда из силовых вых треугольников этих узлов следует, что нисходящие раскосы растянуты, а восходящие раскосы сжаты (рис. 4.36).
Если при рассмотрении равновесия вырезанных узлов принять, что величины усилий в поясах уменьшаются к средине пролета фермы, то приращения усилий в элементах поясов должны удовлетворять условиям U < 0 и O < 0. В этом случае из силовых треугольников рассматриваемых узлов следует, что нисходящие раскосы сжаты, а восходящие раскосы растянуты (рис. 4.37).
Поскольку основные стойки можно рассматривать как частные случаи раскосов с углом наклона 90°, то все сформулированные критерии распространяются и на них.
Так, например, для треугольной фермы с раскосной решеткой (рис. 4.38) основные стойки играют роль восходящих раскосов.
Поскольку усилия в поясах такой фермы уменьшаются к средине пролета, то все основные стойки растянуты.
Особенностью фермы является то, что она остается геометрически неизменяемой при условной замене жестких узлов шарнирами.
При узловой нагрузке в прямолинейных стержнях фермы не возникают изгибающие моменты и поперечные силы, а продольные силы постоянны по длине каждого стержня.
По способу образования геометрической структуры различают простые, сложные и составные фермы.
Определение внутренних усилий в стержнях простых ферм от действия узловой нагрузки может осуществляться методом вырезания узлов, методом рассечения на крупные части и комбинированным методом.
Расчет простых ферм на внеузловую нагрузку разбивается на два этапа. На первом этапе рассчитываются панели фермы на действие внеузловой нагрузки как простые балки. На втором этапе рассчитывается ферма на действие узловых сил, характеризующих влияние внеузловой нагрузки на всю ферму.
В основе расчета сложных фермах лежит метод замены связей.
Согласно этому методу осуществляется переход от заданной сложной фермы к некоторой заменяющей эквивалентной простой ферме.
Расчет составных ферм подобен расчету соответствующих простых ферм на действие внеузловой нагрузки и также проводится в два этапа.
В простых фермах при узловой нагрузке можно без численного определения продольных сил, возникающих в элементах поясов и решеток, устанавливать знаки этих сил и закономерности в изменениях их величин.
Проверьте, как Вы усвоили следующие понятия, определения, алгоритмы и формулы:
– расчетная схема фермы;
– основная теорема теории расчета ферм;
– терминология теории расчета ферм;
– классификация ферм;
– особенности работы ферм при узловой нагрузке;
– методы определения внутренних усилий в простых фермах при узловом нагружении;
– нулевые стержни;
– определение внутренних усилий в простых фермах при внеузловом нагружении;
– определение внутренних усилий в сложных фермах при узловом нагружении;
– определение внутренних усилий в составных фермах при узловом нагружении;
– методы анализа распределения продольных сил в стержнях простых ферм.
Проверьте, можете ли Вы вывести:
– формулы для определения внутренних усилий в простых фермах при действии внеузловой нагрузки.
Проверьте, как Вы умеете для простых ферм:
– определять “нулевые” стержни;
– определять внутренние усилия;
– строить линии влияния продольных сил.
М-5. РАСЧЕТ ТРЕХШАРНИРНЫХ АРОК
Основными целями модуля являются:рассмотрение понятия арки и ее разновидностей;
сопоставление работы трехшарнирной арки и простой балки при действии неподвижной нагрузки;
рассмотрение понятия рационального очертания оси арки;
изучение закономерностей распределения внутренних усилий в трехшарнирной арке при действии неподвижной вертикальной нагрузки;
построение линий влияния внутренних усилий трехшарнирной арки.
Структура изучаемого модуля включает следующие учебные элементы:
1. Общие сведения об арке.
2. Определение внутренних усилий в трехшарнирной арке от неподвижной нагрузки.
3. Анализ распределения внутренних усилий в трехшарнирной арке от неподвижной вертикальной нагрузки.
4. Расчет трехшарнирной арки на подвижную нагрузку.
При изучении учебных элементов рекомендуется использование следующей литературы – [1, c. 182 – 200]; [3, c. 89 – 112]; [4, c. 77 – 85, 158 – 166]; [5, c. 137 – 139, 142 – 151, 156 – 166].
5.1.1. Понятие об арке и ее разновидностях Для перекрытия пролетов в зданиях различного назначения, наряду с рассмотренными ранее стержневыми конструкциями (балки, рамы, фермы), широко применяются арки. Арочные системы возникли еще до нашей эры как архитектурно-строительные формы, применявшиеся при возведении акведуков и мостов, дворцов и соборов.
Арка представляет собой кривой брус, опертый на две опоры, исключающие горизонтальные перемещения опорных сечений. Особенностью таких опорных закреплений является возникновение в них при действии вертикальной нагрузки горизонтальных составляющих опорных реакций, именуемых распором. Таким образом, аркой называется распорная система, имеющая вид кривого бруса. При возведении строительных сооружений применяются следующие разновидности арок:
1. Бесшарнирная арка (рис. 5.1, а) представляет собой кривой брус, опирающийся на две защемляющие неподвижные опоры. Число степеней свободы у такой системы W = 3 и она является статически неопределимой системой.
2. Двухшарнирная арка (рис. 5.1, б) представляет собой кривой брус, опирающийся на две шарнирно неподвижные опоры. Число степеней свободы у такой системы W = 1 и она тоже является статически неопределимой системой.
3. Двухшарнирная арка с затяжкой (рис. 5.1, в) представляет собой кривой брус с присоединенным к нему горизонтальным стержнем, опирающийся на шарнирно неподвижную и шарнирно подвижную опоры.
Присоединенный горизонтальный стержень называется затяжкой, и она может располагаться как в уровне опорных сечений, так и выше. Число степеней свободы у такой системы W = 1 и она, как и обычная двухшарнирная арка, является статически неопределимой системой.
4. Трехшарнирная арка (рис. 5.1, г) представляет собой два кривых бруса, соединенных шарниром и опирающихся на две шарнирно неподвижные опоры. Число степеней свободы у такой системы W = 0 и она является статически определимой системой.
5. Трехшарнирная арка с затяжкой (рис. 5.1, д) представляет собой два кривых бруса, соединенных шарниром и затяжкой и опирающихся на шарнирно неподвижную и шарнирно подвижную опоры. Число степеней свободы у такой системы W = 0 и она тоже является статически определимой системой.
Современные реальные арки бывают железобетонными, деревянными и металлическими. По конструктивной форме они могут быть сплошными массивными, сплошными тонкостенными и решетчатыми.
5.1.2. Терминология и система координат При расчете арок используется ряд сложившихся терминов и обозначений. Рассмотрим основные термины и обозначения на примере бесшарнирной арки (рис. 5.2).
Опорные сечения арки A и B принято называть пятовыми сечениями или пятами арки. Наиболее удаленное сечение кривого бруса C от линии, соединяющей центры опор, называется замковым сечением или замком арки. В случае если в названных сечениях располагаются шарниры, то они, соответственно, называются пятовыми и замковыми шарнирами.
Расстояние между пятами арки называется пролетом арки и обозначено на рис. 5.2 как 2l. Расстояние между пятой и замком арки называется стрелой подъема арки и обозначено как f. Важной характеристикой арки является соотношение f 2l, которое зависит от назначения сооружения и может изменяться в широких пределах. В зависимости от его величины различают пологие, обычные и крутые арки.
При расчете арки, кроме пролета и стрелы подъема, требуется знание закона очертания оси. По очертанию оси реальные арки бывают, например, круговыми, параболическими, синусоидальными. Для задания закона очертания оси арки в виде некоторой явной функции y = f ( x ) будем использовать координатную систему с началом в замке арки. Положение произвольного сечения арки характеризуется двумя координатами x и y, а также углом наклона касательной к оси арки.
5.2. Определение внутренних усилий в трехшарнирной арке Будем рассматривать трехшарнирную арку с опорами в одном уровне и имеющую некоторое симметричное очертание согласно заданному закону y = f ( x ) (рис. 5.3, а).
На арку действует произвольная неподвижная вертикальная нагрузка, показанная на рис. 5.3, а условно как совокупность сосредоточенных сил. Трехшарнирные арки симметричного очертания с опорами в одном уровне имеют широкое распространение в строительной практике, а действующие на них реальные неподвижные нагрузки, как правило, являются вертикальными.
От действия неподвижной нагрузки в опорах трехшарнирной арки возникают реакции, которые характеризуются вертикальными V A, VB и горизонтальными H A, H B составляющими. В произвольном сечении K возникает изгибающий момент M K, поперечная сила QK и продольная сила N K.
Для определения опорных реакций и внутренних усилий используем статический метод. Одновременно будем рассматривать балку, имеющую одинаковые с аркой пролет и схему нагружения (рис. 5.3, б).
5.2.1. Определение опорных реакций Для определения составляющих опорных реакций арки V A, V B, H A, H B и сопоставления их с опорными реакциями балки V A, VB, составим для каждой конструкции уравнения моментов относительно их правых опор и относительно левых опор Из этих уравнений следует, что Таким образом, вертикальные составляющие опорных реакций трехшарнирной арки равны опорным реакциям соответствующей балки.
Соотношения (5.1) справедливы только для вертикальной нагрузки. Это объясняется следующим образом. Появление горизонтальных составляющих нагрузки порождает в арке дополнительный момент внешних сил относительно ее опор. В балке такой момент не возникает, так как линии действия этих составляющих будут направлены вдоль ее оси.
Составим для арки сумму проекций сил на ось x Из полученного уравнения следует, что H A = H B = H. Горизонтальная составляющая H опорных реакций трехшарнирной арки называется ее распором.
Для определения распора трехшарнирной арки рассматривается равновесие одной из полуарок и используется уравнение моментов относительно замкового шарнира. Составим такое уравнение для левой полуарки ковым шарниром арки. Тогда распор арки определяется по формуле Из (5.2) следует, что величина распора трехшарнирной арки не зависит от очертания оси. При заданной нагрузке его величина зависит только от взаимного расположения пятовых и замкового шарниров.
5.2.2. Определение внутренних усилий Для определения изгибающего момента, поперечной и продольной сил в произвольном сечении K разделим арку и балку в этом сечении на две части (рис. 5.4).
Приведем внешние силы левой части арки к центру тяжести поперечного сечения правой части. Вычисляя с учетом (5.1) главный момент внешних сил, найдем изгибающий момент арки в сечении K балки под рассматриваемым сечением арки (рис. 5.4, б). Второй член в правой части (5.3) характеризует влияние распора на величину изгибающего момента арки.
Вычисляя с учетом (5.1) проекцию главного вектора внешних сил на нормаль n-n к оси арки в сечении K (рис. 5.4, а), найдем поперечную силу арки в этом сечении где QK мым сечением арки (рис. 5.4, б). Слагаемые алгебраической суммы в правой части (5.4) характеризуют влияние заданной нагрузки и распора на величину поперечной силы арки.
Вычисляя с учетом (5.1) проекцию главного вектора внешних сил на касательную - к оси арки в сечении K (рис. 5.4, а), найдем продольную силу арки в этом сечении Согласно (5.5) продольная сила арки складывается из двух частей, учитывающих влияние заданной вертикальной нагрузки и распора арки на величину продольной силы.
5.2.3. Сопоставление арки с балкой В полученных формулах (5.1) – (5.5) арочные опорные реакции и внутренние усилия выражены через соответствующие балочные величины.
Это позволяет сопоставить работу двух конструкций при одинаковых пролетах и схемах нагружения и выяснить преимущества и недостатки каждой из них.
Сравним величины изгибающих моментов и поперечных сил, возникающих в арке и в балке. Поскольку слагаемые алгебраических сумм, стоящих в правых частях формул (5.3) и (5.4), будут при действии вертикальной нагрузки всегда иметь разные знаки, то изгибающие моменты и поперечные силы в арке меньше изгибающих моментов и поперечных сил в балке.
Наиболее заметно уменьшаются изгибающие моменты арки в средней части пролета, где балочные изгибающие моменты обычно имеют наибольшие значения. Вследствие этого в арке резко уменьшаются нормальные изгибные напряжения. Как известно, возникновение именно таких напряжений, из-за неравномерности их распределения в поперечном сечении и наличия среди них растягивающих напряжений, существенно влияет на увеличение размеров поперечного сечения.
Вместе с тем уменьшение изгибающих моментов и поперечных сил в арке сопровождается возникновением значительных сжимающих продольных сил, которые отсутствуют в балке при действии вертикальной нагрузки. Следовательно, в поперечных сечениях арки дополнительно возникают нормальные напряжения. Однако эти напряжения имеют равномерный характер распределения в поперечном сечении и они сжимающие. Поэтому их появление приводит не к увеличению, а, наоборот, к уменьшению размеров поперечных сечений арки по сравнению с аналогичной балкой, что является преимуществом арки.
Но зато возникновение распора в арке требует более массивных опорных конструкций, которые должны его воспринять. А это является уже недостатком арки по сравнению с аналогичной балкой и его нужно учитывать при сравнении арки и балки.
5.2.4. Особенности расчета трехшарнирной арки с затяжкой Разновидности затяжек – сплошная и шарнирно-стержневая, в уровне пятовых сечений и в произвольном уровне.
Рассмотрим трехшарнирную арку с затяжкой в уровне пятовых сечений, находящуюся под действием произвольной вертикальной нагрузки (рис. 5.5, а). При действии такой нагрузки в ее опорных закреплениях возникают вертикальные реакции и, в отличие от обычной трехшарнирной арки, не возникает распор. Но зато в этом случае в затяжке возникает растягивающая продольная сила.
Для ее определения проведем сквозное сечение через замковый шарнир и затяжку (рис. 5.5, б) и составим для левой полуарки уравнение моментов относительно шарнира C Отсюда найдем Сравнивая (5.2) и (5.6), можно сделать вывод, что усилие в затяжке равняется по величине распору трехшарнирной арки Из (5.7) следует, что для определения внутренних усилий в трехшарнирной арке с затяжкой можно использовать формулы (5.3) – (5.5). Поэтому такая конструкция имеет то же преимущество перед балкой, что и арка без затяжки. В свою очередь появление затяжки позволяет разгрузить опорные конструкции арки и, следовательно, избавиться от ее недостатка.
5.2.5. Особенности расчета трехшарнирной арки в других случаях При расчете трехшарнирных арок иной геометрии или на действие нагрузок произвольного вида затруднительно получить единые формулы типа (5.1) – (5.5). Поэтому определение арочных опорных реакций и внутренних усилий статическим методом целесообразно осуществлять в каждом конкретном случае индивидуально. Покажем это на примере определения внутренних усилий в арке симметричного очертания с опорами в одном уровне при действии произвольной нагрузки.
При определении изгибающего момента, поперечной и продольной сил в произвольном сечении K в трехшарнирной арке симметричного очертания с опорами в одном уровне на действие произвольной нагрузки (рис. 5.6, а) следует иметь в виду следующие две особенности опорных реакций. Во-первых, вертикальные составляющие опорных реакций трехшарнирной арки не равны опорным реакциям соответствующей балки И, во-вторых, горизонтальные составляющие опорных реакций не равны между собой и, следовательно, у арки отсутствует единый распор.
Разделим арку в сечении K на две части (рис. 5.6, б). Приводя внешние силы левой части арки к центру тяжести поперечного сечения правой части и вычисляя их главный момент, получим следующую формулу для изгибающего момента арки в сечении K Для определения поперечной силы найдем проекцию главного вектора внешних сил левой части на нормаль n-n к оси арки в сечении K Вычисляя проекцию главного вектора внешних сил на касательную - к оси арки в сечении K, найдем продольную силу арки в этом сечении 5.3. Анализ распределения внутренних усилий в трехшарнирной арке от неподвижной вертикальной нагрузки Для трехшарнирной арки с опорами на одном уровне при действии произвольной неподвижной вертикальной нагрузки можно без расчетов установить некоторые закономерности в изменениях величин изгибающих моментов и продольных сил. Это позволяет получить качественную картину распределения этих усилий по длине пролета и, следовательно, осуществлять контроль правильности расчета арки.
5.3.1. Понятие о рациональном очертании оси арки Рассмотрим трехшарнирную арку, нагруженную равномерно распределенной нагрузкой (рис. 5.7, а).
Арка очерчена по закону квадратной параболы и угол наклона касательной к оси арки характеризуется выражением Используя формулы (5.3) и (5.4), определим для рассматриваемой арки изгибающие моменты и поперечные силы. Формулу (5.4) преобразуем к виду Сначала найдем в балке (рис. 5.7, б) опорные реакции изгибающие моменты в произвольном сечении K и сечении С а также поперечную силу в произвольном сечении K С учетом (5.12) распор арки будет равняться Для определения изгибающего момента и поперечной силы арки в произвольном сечении K подставим (5.8), (5.11), (5.14) в формулу (5.3) и (5.9), (5.13), (5.14) в формулу (5.10). После несложных преобразований получим Из (5.15) и (5.16) следует, что при нагружении арки, очерченной по квадратной параболе, равномерно распределенной нагрузкой по всему пролету, в ней не возникают изгибающие моменты и поперечные силы.
Следовательно, преимущество арки перед балкой становится максимальным, и арка наиболее рационально воспринимает нагрузку.
Поскольку соотношение (5.16) не является независимым, так как изгибающие моменты поперечные силы связаны между собой дифференциальной зависимостью то основным признаком рациональности восприятия аркой нагрузки является соотношение (5.15). Поэтому очертание оси арки, при котором для заданной схемы нагружения в сечениях арки не возникают изгибающие моменты, называется рациональным очертанием.
При произвольной вертикальной нагрузке уравнение рационального очертания оси арки можно получить согласно (5.15), приравняв нулю правую часть формулы (5.3) Поскольку величина ( f y K ) описывает очертание оси арки относительно горизонтальной линии AB, то рациональное очертание в общем случае описывается уравнением Таким образом, очертание оси арки будет рациональным при определенной схеме вертикального нагружения, если оно будет подобно очертанию балочной эпюры моментов для той же схемы нагружения.
5.3.2. Анализ изменения изгибающих моментов Изгибающий момент в сечении трехшарнирной арки произвольного очертания согласно (5.3) представляет алгебраическую сумму двух величин где M K – балочный изгибающий момент, M K = H ( f y K ) – изгибающий момент от действия распора. Тогда согласно (5.18) арочные изгибающие моменты могут быть получены при наложении эпюры изгибающих моментов от действия распора, которая подобна очертанию оси арки, на эпюру балочных изгибающих моментов. При наложении эпюры пересекутся под замковым шарниром C, так как арочный момент M C 0.
График, заключенный между очертаниями двух налагаемых эпюр, показывает качественную картину изменения арочных изгибающих моментов по длине пролета арки. Перенеся ординаты построенного графика на горизонтальную линию, получим очертание эпюры изгибающих моментов арки.
Тогда согласно (5.18) качественное очертание эпюры арочных изгибающих моментов получится при наложении эпюры изгибающих моментов от действия распора, очертание которой подобно очертанию оси арки, на эпюру балочных изгибающих моментов. При наложении эпюры пересекутся под замковым шарниром C, так как M C 0.
Покажем применение изложенного для анализа изменения изгибающих моментов, возникающих в трехшарнирной арке при нагружении ее сосредоточенной силой (рис. 5.8, а).
В рассматриваемом случае эпюра балочных изгибающих моментов имеет треугольное очертание (рис. 5.8, б), а очертание эпюры моментов от распора подобно очертанию оси арки (рис. 5.8, в).
Картина изменения арочных изгибающих моментов показана на рис. 5.8, г. Из нее следует, что изгибающие моменты левой полуарки растягивают нижние волокна, а правой – верхние волокна.
Наибольшее значение изгибающего момента возникает в сечении левой полуарки, где приложена сосредоточенная сила.
5.3.3. Анализ изменения продольных сил Выясним закономерности в изменении продольных сил трехшарнирной арки при действии на нее произвольной вертикальной нагрузки (рис. 5.9, а). С этой целью рассечем арку в сечении K и рассмотрим равновесие правой части (рис. 5.9, б). Для этой части арки составим сумму проекций сил на ось x и получим Формула (5.19) позволяет осуществить качественный анализ изменения продольных сил при действии произвольной вертикальной нагрузки.
Сначала рассмотрим частный случай, когда ось арки имеет рациональное очертание и, следовательно, QK 0. Тогда формула (5.19) принимает вид Из (5.20) видно, что при действии вертикальной нагрузки во всех сечениях арки возникают сжимающие продольные силы. Величины этих сил увеличиваются по модулю от замка к пятовым шарнирам. Наименьшая по модулю продольная сила, равная распору арки, возникает в замке Качественное очертание эпюры продольных сил имеет вид, показанный на рис. 5.10, а.
В общем случае, когда очертание оси арки не является рациональным, можно для качественного анализа в первом приближении также использовать формулу (5.20). Количественные поправки величин продольных сил, приносимые первым членом формулы (5.19), малы, особенно для пологих арок. Поэтому общий характер изменения продольных сил сохраняется. Однако наименьшая по модулю продольная сила возникает уже не в замке, и она не равняется распору. В зависимости от конкретной схемы нагружения такая продольная сила возникает в сечении арки левее или правее замкового шарнира. Возможное качественное очертание эпюры продольных сил показано на рис. 5.10, б.
5.4. Расчет трехшарнирной арки на подвижную нагрузку В основе расчета трехшарнирной арки на действие подвижной нагрузки лежит использование линий влияния. Рассмотрим построение статическим способом линий влияния опорных реакций и внутренних усилий трехшарнирной арки с опорами в одном уровне и имеющей симметричное очертание согласно заданному закону y = f (x).
5.4.1. Линии влияния опорных реакций Поскольку при действии вертикальной нагрузки вертикальные составляющие опорных реакций арки равны балочным опорным реакциям то линии влияния V A и VB ничем не отличаются от линий влияния опорных реакций простой балки того же пролета и имеют вид, показанный на рис. 5.11, а, б.
Очертание линии влияния распора согласно формуле можно получить, используя линию влияния балочного изгибающего момента M C, поделив ее ординаты на стрелу подъема арки. Построенная линия влияния распора трехшарнирной арки показана на рис. 5.11, в.
5.4.2. Линия влияния изгибающего момента В основе построения линии влияния изгибающего момента лежит использование формулы для определения момента в произвольном сечении K от действия вертикальной нагрузки Согласно этой формуле линия влияния арочного изгибающего момента в заданном сечении может быть получена наложением линии влияния балочного момента M 0 (рис. 5.12, а) и линии влияния распора, ординаты которой умножены на f y K (рис. 5.12, б). Отрезки прямых между очертаниями двух наложенных линий влияния являются ординатами линии влияния арочного изгибающего момента. Очертание линии влияния М, построенной на горизонтальной оси, показано на рис. 5.12, в.
При наложении линии влияния балочного изгибающего момента и распора арки пересекаются в некоторой точке. Точка пересечения соответствует положению единичного груза, при котором арочный момент в сечении K равен нулю, и называется нулевой точкой линии влияния M K. Для отыскания положения нулевой точки поступают следующим образом.
При действии единичного груза в опорных закреплениях арки возникают две уравновешивающие его наклонные опорные реакции RA и RB (рис. 5.13). Арочный момент M K будет равняться нулю, если линия действия реакции R A пройдет через сечение K, а линия действия реакции RB пройдет через шарнир С. Тогда из условия равновесия трех сил следует, что единичный груз должен находиться в точке пересечения указанных направлений опорных реакций R A и RB.
5.4.3. Линия влияния поперечной силы В основе построения линии влияния поперечной силы лежит использование формулы для определения поперечной силы в произвольном сечении K от действия вертикальной нагрузки Согласно этой формуле линия влияния арочной поперечной силы в заданном сечении может быть получена наложением линии влияния балочной поперечной силы QK, ординаты которой умножены на cos K (рис. 5.14, а), и линии влияния распора, ординаты которой умножены на sin K (рис. 5.14, б).
Отрезки прямых между очертаниями двух наложенных линий влияния являются ординатам линии влияния арочной поперечной силы.
Очертание линии влияния QK, построенной на горизонтальной оси, показано на рис. 5.14, в.
При построении линии влияния арочной поперечной силы накладываемые графики также пересекаются в некоторой точке. Точка пересечения соответствует положению единичного груза, при котором арочная поперечная сила в сечении K равна нулю. Она называется нулевой точкой линии влияния QK. Для отыскания ее положения поступают следующим образом.
Арочная поперечная сила QK будет равняться нулю, если линия действия реакции R A пройдет параллельно касательной к оси арки в сечении K, а линия действия реакции RB по-прежнему пройдет через шарнир С. Точка пересечения указанных направлений опорных реакций RA и RB является искомой нулевой точкой линии влияния QK (рис. 5.15, а).
Начиная с определенного положения сечения K в окрестности замкового шарнира, нулевая точка линии влияния QK становится фиктивной (рис. 5.15, б). Это означает, что линии действия опорных реакций RA и RB пересекаются под правой полуаркой и, следовательно, при любых положениях единичного груза на арке QK 0.
5.4.3. Линия влияния продольной силы В основе построения линии влияния продольной силы лежит использование формулы для определения продольной силы в произвольном сечении K от действия вертикальной нагрузки Согласно этой формуле линия влияния арочной продольной силы в заданном сечении может быть получена сложением линии влияния балочной поперечной силы QK, ординаты которой умножены на sin K (рис. 5.16, а), и линии влияния распора, ординаты которой умножены на cos K (рис. 5.16, б).
Отрезки прямых между очертаниями двух сложенных линий влияния являются ординатами линии влияния арочной продольной силы. Очертание линии влияния N K, построенной на горизонтальной оси, показано на рис. 5.16, в.
Нулевая точка линии влияния N K является фиктивной (рис. 5.17).
Положение груза, при котором арочная продольная сила в сечении K равна нулю, лежит за пределами арки. Для отыскания этого положения направим линию действия реакции R A параллельно нормали к оси арки в сечении K, а линию действия реакции RB – через шарнир С. Полученная точка пересечения и определяет положение нулевой точки, но попасть в нее единичный груз может, только двигаясь по жесткой фиктивной консоли MO.
Арка представляет собой кривой брус, опертый на две опоры, исключающие горизонтальные перемещения опорных сечений. Особенностью таких опорных закреплений является возникновение в них при действии вертикальной нагрузки горизонтальных составляющих опорных реакций, именуемых распором.
При одинаковых пролетах и схемах нагружения вертикальной нагрузкой поперечные сечения арки существенно меньше балочных. Но зато возникновение распора в арке требует более массивных опорных конструкций, которые должны его воспринять.
Использование затяжки позволяет разгрузить опорные конструкции арки и, следовательно, избавиться от ее недостатка.
Для трехшарнирной арки с опорами на одном уровне при действии произвольной неподвижной вертикальной нагрузки можно без расчетов установить некоторые закономерности в изменениях величин изгибающих моментов и продольных сил.
В основе расчета трехшарнирной арки на действие подвижной нагрузки лежит использование линий влияния.
Проверьте, как Вы усвоили следующие понятия, определения, алгоритмы и формулы:
– терминология теории расчета арки;
– классификация арок;
– формулы для определения опорных реакций при действии вертикальной нагрузки;
– формулы для определения M, Q, N при действии вертикальной нагрузки;
– формулы для определения усилия в затяжке при действии вертикальной нагрузки;
– преимущества и недостатки арки в сравнении с простой балкой;
– особенности расчета арки с затяжкой;
– рациональное очертание оси арки;
– особенности расчета арки при действии произвольных нагрузок;
– закономерности в изменении продольных сил арки при действии вертикальной нагрузки;
Проверьте, можете ли Вы вывести:
– формулы для определения опорных реакций трехшарнирной арки при действии вертикальной нагрузки;
– формулы для определения M, Q, N в трехшарнирной арке при действии вертикальной нагрузки;
– формулы для определения R, M, Q, N в трехшарнирной арке с затяжкой при действии вертикальной нагрузки.
Проверьте, как Вы умеете для трехшарнирной арки:
– находить рациональное очертание оси арки;
– получать качественное очертание эпюры М;
– строить линии влияния M, Q, N.
М-6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В СТЕРЖНЕВЫХ
КОНСТРУКЦИЯХ
Основными целями модуля являются:рассмотрение понятия деформации конструкции и ее количественных характеристик;
«