«СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС для студентов специальности 1-70 02 01 Промышленное и гражданское строительство Часть 1 СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ Составление и общая редакция Л.С. Турищева ...»

рассмотрение понятий полных, частичных и единичных перемещений;

рассмотрение понятий обобщенной силы и обобщенного перемещения;

получение формулы для вычисления работы внутренних сил плоской стержневой конструкции;

получение формул для определения перемещений в плоских стержневых конструкциях от нагрузки, температуры и осадки опор;

Структура изучаемого модуля включает следующие учебные элементы:

1. Общие сведения о перемещениях.

2. Связь между внешними силами и перемещениями в линейнодеформируемых системах.

3. Работа внешних сил линейно-деформируемой конструкции.

4. Работа внутренних сил линейно-деформируемой конструкции.

5. Аналитическая форма определения перемещений в плоских стержневых конструкциях от произвольных внешних воздействий.

6. Матричная форма определения перемещений в плоских стержневых конструкциях от нагрузки.

7. Некоторые теоремы о перемещениях в линейно-деформируемых конструкциях.

При изучении учебных элементов рекомендуется использование следующей литературы: [1, c. 201 – 220, 226 – 237, 248 – 260]; [3, c. 214 – 234, 263 – 268]; [4, c. 203 – 224, 232 – 244]; [5, c. 191 – 201, 207 – 218].

6.1.1. Понятие деформации конструкции Конструкции при приложении к ним внешних воздействий изменяют свою форму и размеры. Эти изменения называются деформацией конструкции. Деформация сопровождается переходом конструкции из начального недеформированного состояния в некоторое деформированное состояние.

В зависимости от способности конструкции сохранять деформацию различают упругие и упруго-пластические деформации. В первом случае конструкция после снятия внешних воздействий полностью восстановит свою форму и размеры и возвратится в начальное недеформированное состояние. Во втором случае происходит частичное восстановление формы и размеров конструкции, и после снятия внешних воздействий она не возвратится в начальное недеформированное состояние.

В зависимости от изменения деформаций конструкции во времени при постоянных внешних воздействиях различают постоянные и переменные во времени деформации. Деформация конструкции переменная во времени включают в себя две составляющие. Первая составляющая характеризует изменения формы и размеров конструкции, возникающие вслед за приложением внешнего воздействия, и называется мгновенной деформацией. Вторая составляющая характеризует происходящие во времени изменения мгновенной деформации вследствие ползучести конструкционного материала и называется запаздывающей деформацией.

6.1.2. Количественные характеристики деформированного состояния конструкции Изменения формы и размеров стержневой конструкции складываются из деформаций ее отдельных стержней. В свою очередь изменения формы и размеров отдельного стержня складываются из деформаций элементарных объемов сплошной гипотетической среды, моделирующей конструкционный материал. Поэтому для количественного описания деформированного состояния конструкции используются две разновидности величин – дифференциальные и интегральные характеристики.

Дифференциальные характеристики описывают происшедшие изменения формы и размеров конструкции в окрестности ее произвольной точки. Ими, как известно из курса сопротивления материалов, являются относительные числовые величины и.

С помощью величины описывается изменение линейных размеров элементарного параллелепипеда, и она называется относительной линейной деформацией. Другая величина используется для описания изменения формы элементарного параллелепипеда за счет сдвига его граней, и она называется сдвиговой деформацией или углом сдвига.

Интегральные характеристики описывают происшедшие изменения формы и размеров конструкции в целом. Ими являются линейное и угловое перемещения. Рассмотрим в недеформированном состоянии некоторой конструкции две точки A и B и соединяющий их отрезок прямой (рис. 6.1, а).

При деформировании конструкции от действия, например, нагрузки эти точки займут новые положения A1 и B1. Линейные перемещения этих точек характеризуются длинами отрезков прямых A A1 и B B1, соединяющих положения точек в недеформированном и деформированном состояниях конструкции (рис. 6.1, б). Угловое перемещение характеризуется величиной угла поворота отрезка прямой AB при переходе конструкции из недеформированного в деформированное состояние (рис. 6.1, б).

6.1.3. Существующие подходы к определению перемещений Умение определять перемещения необходимо для оценки пригодности конструкций к нормальной эксплуатации. Такая пригодность конструкции, как отмечалось ранее, характеризуется ее жесткостью. Понятием противоположным жесткости конструкции является податливость конструкции. И, следовательно, податливость характеризует способность конструкции допускать возникновение в ней перемещений. Таким образом, жесткость и податливость являются характеристиками деформативности конструкции.

Жесткость конструкции зависит от применяемого конструкционного материала, жесткости конструктивных элементов и способов соединения этих элементов между собой.

Влияние конструкционного материала на жесткость конструкции описывается двумя модулями – E и G. Модуль упругости E характеризует способность материала сопротивляться возникновению упругих линейных деформаций, а модуль сдвига G – угловых деформаций.

Жесткость конструктивного элемента зависит от жесткости его поперечного сечения и длины элемента. Жесткость поперечного сечения описывается тремя величинами:

изгибной жесткостью EI, где I – момент инерции поперечного сечения относительно оси, перпендикулярной плоскости изгиба;

продольной жесткостью EA, где A – площадь поперечного сечения;

сдвиговой жесткостью GA.

Жесткость конструктивного элемента характеризуется отношением жесткости поперечного сечения к длине элемента и называется, соответственно, его погонной жесткостью при изгибе, растяжении-сжатии или сдвиге.

В зависимости от жесткости конструкции возможны два подхода к определению перемещений.

Один подход связан с определением малых перемещений, и он справедлив для жестких конструкций. Такие конструкции обычно относятся к линейно-деформируемым системам. Согласно этому подходу определяются перемещения, которые малы по сравнению с размерами самой конструкции.

Второй подход позволяет определять большие перемещения, и он справедлив для гибких конструкций. Такие конструкции обычно относятся к геометрически нелинейным системам. Согласно этому подходу определяются перемещения, которые не малы по сравнению с размерами самой конструкции.

В дальнейшем рассматриваются малые перемещения, возникающие при упругой деформации стержневых конструкций от внешних воздействий – нагрузки, температуры и осадки опор. Для их определения будем использовать аналитическую и матричную формы.

6.2. Связь между внешними силами и перемещениями Рассмотрим произвольную линейно-деформируемую стержневую конструкцию, которую условно изобразим в виде простой балки. Пусть к ней приложены n сосредоточенных сил (рис. 6.2, а). От действия заданных сил конструкция деформируется, и по направлению каждой из них возникнут линейные перемещения точек их приложения.

6.2.1. Полные, частичные и единичные перемещения Линейные перемещения, происходящие в конструкции от действия всех сил одновременно, будем называть полными перемещениями и обозначать i (i = 1,..., n) (рис. 6.2, б). Индекс i указывает номер направления, по которому возникает перемещение.

При раздельном приложении сил Pj ( j = 1,..., n) по рассматриваемым направлениям в конструкции также будут возникать линейные перемещения ij (i, j = 1,..., n) (рис. 6.3), являющиеся частями соответствующих полных перемещений i. Первый индекс i в обозначении частичных перемещений указывает номер направления, по которому перемещение происходит, а второй индекс j – номер направления, по которому действует сила, вызывающая это перемещение.

Частичное перемещение вида ii называется собственным перемещением, и оно возникает от силы Pi по ее направлению. Частичное перемещение вида ij (i j ) называется побочным перемещением.

Если к конструкции по направлению номер j приложить безразмерную силу Pj = 1, то возникающие в конструкции перемещения по указанным выше направлениям называют единичными. Такие перемещения обозначаются ij ( i, j = 1,...,n ) (рис. 6.4) и их индексы указывают те же направления, что и для частичных перемещений ij. Единичные перемещения, как и частичные, подразделяются на собственные и побочные.

6.2.2. Характеристики деформативности линейно-деформируемых систем Полное и частичное перемещения конструкции по некоторому направлению i, согласно принципу независимости действия сил, связаны следующим соотношением В свою очередь произвольное частичное перемещение ij связано линейной зависимостью с соответствующим ему единичным перемещением ij Подставляя (6.2) в (6.1), получим соотношение, связывающее полное перемещение конструкции с действующими силами Соотношение (6.3), согласно которому полное перемещение i является линейной функцией действующих сил Pj ( j = 1,..., n), называется обобщенным законом Гука или законом Гука для конструкции.

Входящие в (6.2) и (6.3) единичные перемещения играют роль коэффициентов пропорциональности между силами и перемещениями. Они позволяют количественно оценивать способность конструкции получать перемещения по определенному направлению и поэтому называются коэффициентами податливости.

Применим (6.3) к каждому полному перемещению конструкции Входящие в полученные линейные соотношения коэффициенты податливости ij образуют квадратную матрицу ( ij ), которая называется матрицей податливости конструкции. Тогда матричная запись соотношений (6.4) имеет вид Входящая в (6.5) квадратная матрица ij называется матрицей податливости конструкции. Ее элементы количественно характеризуют способность конструкции получать перемещения по различным направлениям.

Так как рассматриваемая конструкция является геометрически неизменяемой системой, то матрица податливости ij неособенная и существует обратная ей матрица – матрица жесткости. Из этого следует, что система линейных соотношений (6.4) совместна, и ее можно разрешить относительно заданных сил Соотношения (6.6), согласно которым действующие на конструкцию силы являются линейными функциями ее полных перемещений, являются другой формой обобщенного закона Гука. Входящие в эти соотношения коэффициенты пропорциональности rij количественно характеризуют способность конструкции сопротивляться возникновению перемещений по определенному направлению, называются коэффициентами жесткости и образуют матрицу жесткости конструкции rij. Матричная запись соотношений (6.6) имеет вид 6.3. Работа внешних сил линейно-деформируемой конструкции Основным видом внешнего воздействия, вызывающего деформацию стержневой конструкции, является нагрузка. При деформации конструкции внешние силы совершают работу. Будем полагать действующую на конструкцию нагрузку статической. Нагружение считается статическим, если перемещения конструкции происходят очень медленно. Это позволяет не учитывать силы инерции масс конструкции, возникающие при ее деформировании.

При определении работы внешних сил различают действительную и возможную работу. Определение действительной и возможной работы поясним на примере деформации простой балки от действия простейшей нагрузки – сосредоточенной силы (рис. 6.5, а), а затем обобщим на случай произвольной нагрузки.

6.3.1. Действительная работа внешних сил Действительной работой сосредоточенной силы P является работа, которую она совершает на собственном перемещении (рис. 6.5, б). В процессе выполнения работы считается, что сила и перемещение плавно конечных значений Pк и к.

Поскольку конструкция считается линейно-деформируемой системой, то зависимость перемещений от нагрузки имеет вид где коэффициент пропорциональности c равняется собственному единичному перемещению силы P = 1. Соотношение (6.8) описывается линейным графиком, показанным на рис. 6.6, а. По оси абсцисс этого графика откладываются значения собственного перемещения, а по оси ординат – значения силы P.

Если перемещение получит некоторое приращение d, то сила P выполнит на нем элементарную действительную работу Тогда вся действительная работа, совершаемая силой P, определяется по формуле и, с учетом (6.8), равняется Из формулы (6.10) видно, что действительная работа сосредоточенной силы всегда является положительной величиной.

Применяя соотношение (6.8) для конечных значений Pк, к и подставляя его в (6.10), приведем формулу для вычисления действительной работы к виду Выражение (6.11) называется формулой Клапейрона и из нее следует, что действительная работа равняется площади заштрихованного треугольника на графике рис. 6.6, б.

При действии на конструкцию системы сосредоточенных сил (рис. 6.7) действительная работа внешних сил равняется полусумме произведений каждой силы на перемещение по ее направлению, вызванное действием всех сил, и определяется по формуле 6.3.2. Возможная работа внешних сил Возможной работой является работа, которую сосредоточенная сила P совершает на перемещении, вызванным какой-либо иной причиной, например, осадкой левой опоры (рис. 6.8). В процессе выполнения работы сила P считается неизменной, а перемещение плавно изменяется от нуля до некоторого конечного значения K.

Графически такой процесс описывается прямой линией, показанной на рис. 6.9, а. Тогда возможная работа сосредоточенной силы P равняется Из формулы (6.13) следует, что возможная работа равняется площади заштрихованного прямоугольника (рис. 6.9, б). Эта работа может быть как положительной, так и отрицательной. Знак плюс в (6.13) будет в случае, если направление действия силы совпадает с направлением перемещения.

В противном случае в формуле (6.13) берется знак минус.

При действии на конструкцию системы сосредоточенных сил (рис. 6.10) возможная работа внешних сил равняется алгебраической сумме произведений каждой силы на перемещения по их направлению, вызванные другими причинами, и определяется по формуле 6.3.3. Обобщенная сила и обобщенное перемещение В общем случае при статическом нагружении стержневой конструкции на нее действует некоторая совокупность сосредоточенных сил, моментов и распределенных нагрузок. Если составляющие этой совокупности нагрузок изменяются пропорционально одному параметру P, то она называется обобщенной силой, а параметр P – значением обобщенной силы.

Понятию обобщенной силы соответствует понятие обобщенного перемещения. Под обобщенным перемещением понимают некоторую геометрическую величину, связанную с деформированным состоянием конструкции, произведение которой на параметр обобщенной силы позволяет вычислить действительную или возможную работу заданной совокупности нагрузок по одночленным формулам вида (6.11) или (6.13).

Для иллюстрации понятий обобщенной силы и обобщенного перемещения рассмотрим простую балку (рис. 6.11), нагруженную тремя сосредоточенными силами, которые изменяются пропорционально параметру P От действия осадки левой опоры балка дополнительно деформировалась, в процессе которой силы P, P2, P3 не изменялись. Используя формулу (6.14), запишем величину возможной работы, которую совершат силы, действующие на балку Вынося параметр P за скобки, приведем (6.15) к виду где * = 1 + 32 0,5 – обобщенное перемещение рассматриваемой обобщенной силы. Таким образом, обобщенным перемещением является геометрическая величина, произведение которой на параметр обобщенной силы позволяет определить возможную работу этой обобщенной силы.

Некоторые виды обобщенных щенных перемещений, которые будут встречаться при дальнейшем изложении курса, приведены на рис. 6.12.

Пусть к конструкции в двух точках, лежащих на горизонтальной прямой, приложены две одинаковые горизонтальные силы P противоположного направления (рис. 6.12, а). Тогда взаимное смещение по горизонтали точек приложения этих сил * = A + B является обобщенным перемещением этой обобщенной силы.

Пусть к конструкции в двух точках, лежащих на горизонтальной прямой, приложены две одинаковые вертикальные силы P противоположного направления (рис. 6.12, б). Тогда взаимное смещение по вертикали точек приложения этих сил * = A + B является обобщенным перемещением этой обобщенной силы.

Пусть к конструкции в некотором сечении приложен момент M (рис. 6.12, г). Тогда угол поворота этого сечения * = A является обобщенным перемещением этой обобщенной силы.

Пусть к конструкции в двух сечениях приложены два одинаковых момента M противоположного направления (рис. 6.12, д). Тогда взаимный угол поворота этих сечений * = A + B является обобщенным перемещением этой обобщенной силы.

6.4. Работа внутренних сил линейно-деформируемой конструкции При деформации стержневой конструкции наряду с внешними силами совершают работу и внутренние силы. Так как внутренние силы оказывают сопротивление деформации конструкции при ее загружении, то работа этих сил для линейно-деформируемых систем всегда отрицательна.

Внутренние силы, так же как и внешние силы, могут совершать действительную и возможную работу.

Каждый элемент стержневой конструкции представляет собой некоторое нагруженное упругое тело. Поэтому сначала рассмотрим определение работы внутренних сил для нагруженного упругого тела, а затем определим такую работу для произвольной плоской стержневой конструкции.

6.4.1. Работа внутренних сил упругого тела Пусть имеется произвольное упругое тело (рис. 6.13, а), которое деформируется от внешних воздействий – нагрузки, температуры и осадки опор. Внешние воздействия показаны на рис. 6.13, а схематично в виде символов P, t, c, обведенных кругами. В теле возникают внутренние силы. Выделим элементарный объем с размерами dx, dy, dz вблизи произвольной точки (рис. 6.13, б) и рассмотрим общий случай напряженнодеформированного состояния.

Внутренние силы, действующие по граням элементарного объема, характеризуются тремя нормальными напряжениями x, y, z и шестью касательными Равнодействующие касательных составляющих внутренних сил с учетом закона парности касательных напряжений образуют три пары сил с одинаковыми моментами противоположного направления (рис. 6.15).

Следовательно, они являются обобщенными силами с параметрами, равными моментам соответствующих пар сил Деформация элементарного объема описывается тремя относительными линейными деформациями x, y, z и тремя углами сдвига xy, yz, zx. Изменения размеров его сторон являются обобщенными перемещениями для соответствующих обобщенных сил, образованных равнодействующими (6.16). В свою очередь, углы сдвига характеризующие изменение формы элементарного объема, являются обобщенными перемещениями для соответствующих обобщенных сил с параметрами (6.17).

С учетом установленных обобщенных сил и обобщенных перемещений, возникающих в окрестности произвольной точки при деформировании тела, получим выражение для действительной элементарной работы внутренних сил или где dV = dxdydz. Аналогично получается и выражение для возможной элементарной работы внутренних сил Выражение в квадратных скобках, входящее в полученные формулы, дает величину работы на единицу объема упругого тела и называется удельной работой внутренних сил. Тогда полная действительная и возможная работа для всего упругого тела будут, соответственно, равны 6.4.2. Работа внутренних сил плоской стержневой конструкции Рассмотрим произвольную плоскую стержневую конструкцию (рис. 6.16, а), которая образована из прямых стержней и стержней малой кривизны. По статическим свойствам она может быть как статически определимой, так и статически неопределимой. От внешних воздействий (нагрузки, температуры и осадки опор) конструкция в своей плоскости деформируется, и в стержнях возникают внутренние силы.

Поскольку каждый стержень конструкции является упругим телом, рассмотрим элемент произвольного стержня длиной ds (рис. 6.16, б) и выделим в нем элементарный параллелепипед длиной ds и площадью dA = dydz. Будем считать, что поперечное сечение стержня отнесено к главным центральным осям инерции.

В соответствии с гипотезами сопротивления материалов, вводимыми при изучении напряженно-деформированного состояния плоского призматического стержня, и принятой схемой деформирования стержней конструкции будем считать Тогда внутренние силы, возникающие в конструктивных элементах плоской стержневой системы, будут характеризоваться одним нормальным напряжением и одним касательным напряжением С учетом (6.21) – (6.23) выражения для вычисления действительной и возможной элементарной работы внутренних сил плоской стержневой конструкции примут вид Тогда полная действительная и возможная работа для всей плоской стержневой конструкции будут, соответственно, равны В формулах (6.24) и (6.25) суммирование осуществляется по стержням рассматриваемой конструкции.

6.5.Аналитическая форма определения перемещений в плоских стержневых конструкциях от произвольных В основе аналитической формы определения перемещений в деформируемых системах лежит принцип возможных перемещений. Согласно этому принципу, если деформируемая система находится в равновесии, то сумма работ всех действующих сил, включая и внутренние силы, на возможных перемещениях системы от положения равновесия равняется нулю.

Возможными перемещениями деформируемой системы называются воображаемые бесконечно малые перемещения, которые допускаются наложенными связями системы. Так как рассматриваемые плоские стержневые конструкции являются линейно-деформируемыми системами, то для них, ввиду линейной зависимости между перемещениями и внешними воздействиями, возможными перемещениями являются любые малые конечные перемещения, которые могут возникать в конструкции.

6.5.1. Вывод общей формулы для определения перемещений в плоских стержневых конструкциях от произвольных внешних воздействий Пусть имеется некоторая плоская стержневая конструкция, которая подвергается одновременному воздействию нагрузки, температуры и осадке опор (рис. 6.17, а). При задании перемещений опор их нумерация согласуется с нумерацией реакций конструкции.

Как и ранее, принимается, что по статическим свойствам конструкция может быть как статически определимой, так и статически неопределимой. От внешних воздействий конструкция деформируется, и в ней возникают перемещения. Требуется для некоторого сечения K по произвольному направлению i определить его перемещение i.

Исходное состояние конструкции назовем действительным состоянием. Будем считать, что для этого состояния известны опорные реакции R1,..., R j и внутренние усилия M, Q, N в стержнях конструкции. Тогда, как следствие, можно считать известными напряжения, и деформации, в любой точке конструкции.

Образуем вспомогательное единичное состояние. Для этого в сечении K заданной конструкции по направлению искомого перемещения приложим безразмерную силу, равную единице (рис. 6.17, б). Также считаем, что во вспомогательном состоянии известны следующие величины:

единичные опорные реакции r1i,..., r ji ;

единичные внутренние усилия mi, qi, ni в стержнях конструкции;

единичные напряжения i, i и единичные деформации i, i в произвольной точке конструкции.

Поскольку конструкция во вспомогательном единичном состоянии находится в равновесии, применим к этому состоянию принцип возможных перемещений, задавая в качестве возможных перемещения действительного состояния конструкции. При этом предполагается, что во время придания возможных перемещений температура во всех точках конструкции остается без изменения. Тогда уравнение принципа возможных перемещений будет включать работу единичной силы, единичных опорных реакций, единичных внутренних сил на соответствующих перемещениях действительного состояния и имеет вид В уравнение (6.26) входит единственная неизвестная величина – перемещение i и, следовательно, его решение имеет вид Формула (6.27) не используется непосредственно для вычисления перемещений в стержневых конструкциях. Но она позволяет выразить искомое перемещение для произвольной плоской стержневой конструкции (статически определимой или неопределимой) при одновременном приложении нагрузки, температурного воздействия и осадки опор через характеристики ее действительного и единичного состояний. Поэтому формула (6.27) имеет фундаментальное значение при определении перемещений в линейно-деформируемых системах и является для них общей формулой.

6.5.2. Упрощения общей формулы при раздельном приложении нагрузки, температурного воздействия и осадки опор При воздействии на плоскую стержневую конструкцию только нагрузки а возникающие в действительном состоянии конструкции деформации, и напряжения,, связаны, согласно закону Гука, следующими зависимостями При этом по-прежнему считаем, что по статическим свойствам рассматриваемая стержневая конструкция может быть как статически определимой, так и статически неопределимой. С учетом (6.28) и (6.29) формула (6.27) примет вид При упрощении общей формулы для температурного воздействия или осадки опор будем считать плоскую стержневую конструкцию статически определимой системой. В соответствии со свойствами таких конструкций в них не возникают внутренние усилия от этих внешних воздействий.

Поэтому при температурном воздействии на статически определимую конструкцию не возникает сдвиговых деформаций а линейные деформации связаны с изменениями температуры следующей физической зависимостью Здесь – коэффициент линейного расширения конструкционного материала и t – приращение температуры в произвольной точке конструкции. Кроме того, как и в случае приложения нагрузки, выполняется условие (6.28).

Подставляя (6.28), (6.31), (6.32) в (6.27), получим следующую формулу для температурных перемещений в статически определимых стержневых конструкциях Коэффициент линейного расширения выносить за знак суммы в формуле (6.33) нельзя, так как конструкционный материал стержней конструкции в общем случае может быть разным.

Поскольку при воздействии на статически определимую конструкцию осадки опор в ней не возникают линейные и сдвиговые деформации то общая формула для определения перемещений в этом случае принимает вид Полученная формула, в отличие от формул (6.30) и (6.33), является рабочей, так как по ней можно вычислять значения перемещений. При пользовании формулой (6.34) заданные смещения опор c j считаются положительными, если по направлению они совпадают с соответствующими единичными опорными реакциями r ji.

6.5.3. Вывод рабочей формулы для определения перемещений от действия нагрузки При действии на плоскую стержневую конструкцию произвольной нагрузки нормальные и касательные напряжения, возникающие в ее произвольной точке, связаны с внутренними усилиями известными из сопротивления материалов формулами Аналогичные формулы для единичного состояния имеют вид Подставим (6.34) – (6.38) в формулу (6.30) и вычислим внутренний интеграл по площади.

Интеграл для первого слагаемого подынтегрального выражения (6.30) примет вид После раскрытия скобок и вычисления интеграла в правой части формулы (6.39) получим При выводе (6.40) следует учесть, что встречающийся при преобразованиydA ях интеграл вида является статическим моментом площади попеA речного сечения и равняется нулю, так как сечение отнесено к главным центральным осям инерции.

Интеграл для второго слагаемого подынтегрального выражения (6.30) примет вид и после несложных преобразований в правой части (6.41) получим, что он равен Здесь величина, которая зависит только от формы и размеров поперечного сечения и называется коэффициентом формы поперечного сечения. В частности, для прямоугольного поперечного сечения k = 2.

Подставляя (6.40) и (6.42) в (6.30), получим формулу следующего вида:

Слагаемые в формуле (6.44) отражают влияние на величину перемещения i, соответственно, изгибных, продольных и сдвиговых деформаций, возникающих в стержнях конструкции при различных схемах их нагружения. Каждое слагаемое формулы имеет одинаковую структуру и включает в себя внутренние усилия единичного и действительного состояний, а также соответствующие жесткости стержней конструкции.

Формула (6.44) называется формулой Максвелла-Мора и позволяет вычислять перемещения в плоских стержневых конструкциях от действия произвольной нагрузки. Для этого необходимо рассмотреть действительное и вспомогательное единичное состояния и определить возникающие в них внутренние усилия.

При образовании вспомогательного состояния вид прикладываемой единичной силы зависит от определяемого перемещения. Если искомое перемещение простое, то прикладывается простая единичная сила, а если обобщенное, то – соответствующая этому перемещению обобщенная единичная сила. Например, при отыскании угла поворота нужно прикладывать безразмерный единичный момент.

Доказано, что влиянием отдельных слагаемых в формуле МаксвеллаМора можно пренебрегать при определении перемещений для частных видов стержневых конструкций. Так при определении перемещений в балках можно ограничиваться учетом только изгибных деформаций. Это же справедливо для обычных рамных конструкций и только в случае рам повышенной этажности необходим учет продольных деформаций. Совместный учет изгибных и продольных деформаций необходим при определении перемещений в арках и комбинированных системах. А при определении перемещений в ферменных конструкциях достаточно учитывать влияние только продольных деформаций.

6.5.4. Вывод рабочей формулы для определения перемещений от температурного воздействия Температурное воздействие на стержни конструкции обычно характеризуется двумя независимыми величинами – внутренней температурой t в и наружной температурой tн и зависимой от них величиной – температурой на оси tо. Внутренней температурой всегда считается более высокая температура Поэтому внутренняя температура не всегда совпадает с температурой внутри контура конструкции.

Например, если температура внутри контура рамы равняется 25o C, а снаружи – + 15o C, то в этом случае t в = +15o C, а t н = 25o C.

Для преобразования формулы (6.33) к виду, позволяющему определять численные значения перемещений от температурного воздействия, выразим приращение температуры в произвольной точке конструкции t через t в и tн.

Поскольку температурные изменения в конструкции происходят с того момента, как завершен монтаж конструкции, то величину t будем определять по отношению к температуре завершения монтажа конструкции. Такая температура называется температурой замыкания t з.

Будем считать, что изменение температуры по высоте поперечного сечения некоторого стержня конструкции происходит по линейному закону (рис. 6.18, а). Такой закон справедлив для основных конструкционных материалов, используемых при возведении строительных сооружений. Как и раньше, считаем, что сечение отнесено к главным центральным осям инерции.

Приращения температуры в трех характерных точках рассматриваемого сечения связаны с температурой замыкания следующими соотношениями а график, описывающий изменение величины t по высоте поперечного сечения, имеет вид трапеции (рис. 6.18, б). Скорость изменения приращения температуры по высоте поперечного сечения определяется по формуле и называется удельным температурным перепадом. Эта величина всегда положительная t > 0. С учетом (6.45) величина приращения температуры в произвольной точке, отстоящей от оси на расстоянии y, определяется по формуле Тогда внутренний интеграл по площади в формуле (6.33) с учетом (6.37) и (6.46) примет вид После раскрытия скобок и вычисления интеграла в правой части формулы (6.47), с учетом ydA = 0, получим Подставляя (6.48) в (6.33), получим формулу следующего вида:

Формула (6.49) является рабочей и позволяет вычислять температурные перемещения, возникающие в плоских статически определимых стержневых конструкциях. Поскольку единичное состояние уже рассмотрено, то необходимо дополнительно рассмотреть только действительное состояние.

В действительном состоянии для каждого стержня конструкции определяют удельный температурный перепад t и приращение температуры на оси t о и строятся эпюры этих величин. Эпюра t на каждом стержне строится с стороны его более нагретого волокна и знаки на эпюре не ставятся. На эпюре t о ставятся знаки, и она может строиться на каждом стержне со стороны любого волокна.

6.5.5. Вычисление интегралов, встречающихся при определении перемещений При определении перемещений в плоской стержневой конструкции могут встретиться два типа размеров поперечных сечений ее стержней. В одном случае эти размеры могут быть переменными по длине каждого стержня конструкции, а в другом – они постоянны в пределах каждого стержня, но могут быть переменными для различных стержней.

При переменных размерах поперечных сечений для вычисления интегралов, входящих в формулу Максвелла-Мора, обычно применяют численные методы интегрирования. Подынтегральные функции в этих интегралах являются дробными и для них, как правило, не удается получить аналитические выражения для первообразных функций.

Если в плоской стержневой конструкции жесткости поперечного сечения EI z, EA, GA в пределах каждого стержня постоянны, то интегралы, входящие в формулу Максвелла-Мора, принимают вид Подынтегральные выражения этих интегралов имеют одинаковую структуру и представляют собой произведение функций двух видов.

Функции вида mi, ni, qi описывают закономерности изменения внутренних усилий единичного состояния. Эти функции по длине каждого стержня конструкции всегда являются линейными.

Функции вида M, N, Q описывают закономерности изменения внутренних усилий в действительном состоянии при действии нагрузки. В зависимости от конкретной схемы нагружения эти функции по длине одних стержней конструкции могут быть линейными, а по длине других – нелинейными. Для общности дальнейших рассуждений будем считать функции второго вида нелинейными.

С учетом сделанного анализа структуры подынтегральных выражений в (6.50) эти интегралы могут быть представлены в виде где f – некоторая линейная функция и F – некоторая нелинейная непрерывная функция, заданные в некоторой области определения xa x xb.

За начало отсчета на оси абсцисс примем точку пересечения графика линейной функции с этой осью.

Графики рассматриваемых функций показаны на рис. 6.19. В заданной системе координат линейная функция f имеет вид где k = tg. Подставим (6.52) в (6.51) и получим, что Поскольку Fdx = d есть площадь элементарного участка графика нелинейной функции F (рис. 6.19, а), а интеxв грал представляет собой статичеxа ский момент площади всего графика этой функции, то интеграл вида (6.51) равняется Здесь xC – абсцисса центра тяжести площади графика нелинейной функции F, а – площадь этого графика. С учетом (6.52) формула (6.53) примет вид где fC = kxC – ордината на графике линейной функции f (рис. 6.19, б).

Таким образом, определенный интеграл от произведения двух функций, одна из которых линейная, а вторая нелинейная, равняется произведению площади графика нелинейной функции на ординату графика линейной функции, расположенную под центром тяжести площади графика нелинейной функции. В случае если вторая функция тоже является линейной, то при пользовании формулой (6.54) безразлично площадь графика какой функции следует вычислять.

Рассмотренный графоаналитический прием вычисления определенного интеграла называется правилом Верещагина. Так как при его применении для вычисления интегралов в формуле Максвелла-Мора перемножаемые величины относятся к эпюрам внутренних усилий, возникающих в конструкции, то это правило называют и правилом перемножения эпюр.

Поскольку при вычислении температурных перемещений по формуле (6.49) перемножаемые подынтегральные функции ni, mi, t о, t явmi t ds, входящих в эту формулу, также можно применять правило Верещагина.

6.6. Матричная форма определения перемещений в плоских Матричная форма определения перемещений от нагрузки основана на использовании формулы Максвелла-Мора и приемов дискретизации расчетной схемы конструкции и заданной нагрузки, рассмотренных ранее при определении внутренних усилий. Будем считать, что в результате дискретизации расчетная схема стержневой конструкции состоит из s элементов, соединенных в f узлах, и в ней выделено r расчетных сечений. Применение матричной формы рассмотрим сначала для конструкций, при определении перемещений в которых можно ограничиться учетом только изгибных деформаций.

С учетом дискретизации расчетной схемы конструкции изгибающие моменты M действительного состояния и изгибающие моменты mi вспомогательного единичного состояния в пределах каждого отдельного элемента, полученного при дискретизации расчетной схемы конструкции, описываются линейными функциями. В этом случае эпюры этих внутренних усилий для произвольного j -того элемента имеют вид трапеций, показанный на рис. 6.20, а.

Используем правило Верещагина, предварительно разбив трапеции эпюр действительного и единичного состояний на треугольники (рис. 6.20, б), и вычислим первое слагаемое в формуле (6.44) для j -того элемента Вынесем в правой части (6.55) за скобки l j и, используя операции матричной алгебры, придадим полученному выражению сначала вид а затем В выражении (6.56) введем следующие обозначения для матричных объектов:

где m ji – транспонированный вектор изгибающих моментов j -того элемента единичного вспомогательного состояния; b j – матрица податливости j -того элемента конструкции изгибным деформациям; M j – вектор изгибающих моментов j -того элемента действительного состояния. С учетом введенных обозначений формула (6.56) примет вид С учетом (6.57) запишем, какой вид примет первое слагаемое в формуле (6.44):

Запишем в развернутом виде правую часть полученного выражения и, используя операции матричной алгебры, придадим полученному выражению сначала вид а затем В выражении (6.58) введем следующие обозначения для матричных объектов:

где mi – транспонированный вектор изгибающих моментов единичного вспомогательного состояния; BM – матрица податливости несвязанных элементов конструкции изгибным деформациям; M – вектор изгибающих моментов действительного состояния. С учетом введенных обозначений формула (6.58) примет вид Формула (6.59) является матричным вариантом формулы Максвелла-Мора, и позволяет вычислять перемещения с учетом только изгибных деформаций элементов стержневой конструкции.

Нетрудно показать, что матричный вариант формулы МаксвеллаМора с учетом влияния продольных и сдвиговых деформаций будет иметь вид где ni, qi – транспонированные векторы продольных и поперечных сил единичного вспомогательного состояния; BN, BQ – матрицы податливости несвязанных элементов конструкции продольным и сдвиговым деформациям; N, Q – векторы продольных и поперечных сил действительного состояния.

6.7. Некоторые теоремы о перемещениях в линейно-деформируемых конструкциях Перемещения, возникающие в линейно-деформируемых конструкциях, удовлетворяют ряду теорем, отражающих существенные особенности деформирования таких конструкций. Основополагающее значение среди них имеет теорема о взаимности работ и вытекающее из нее следствие – теорема о взаимности перемещений.

Для выяснения сути и доказательства этих теорем рассмотрим произвольную линейно-деформируемую стержневую конструкцию, нагруженную двумя обобщенными силами Pi и Pk. Такую конструкцию условно изобразим в виде простой балки (рис. 6.21, а). Под действием приложенных сил конструкция деформируется, и в ней возникают соответствующие этим силам полные перемещения i и k (рис. 6.21, б).

6.7.1. Теорема о взаимности работ При нагружении конструкции возможны две последовательности статического приложения сил.

В одном случае сначала прикладывается сила Pi, а затем конструкция догружается силой Pk, в ходе которого сила Pi не изменяется.

В другом случае последовательность приложения сил противоположная. Определим величину работы, производимой внешними силами в процессе деформирования конструкции для обеих схем нагружения.

В первом случае от действия силы Pi возникает собственное перемещение ii (рис. 6.22, а) и на этом перемещении сила совершает действительную работу Pi ii. При дополнительном деформировании конструкции силой Pk возникает собственное перемещение kk и соответствующее силе Pi побочное перемещение ik (рис. 6.22, б). На этих перемещениях можную работу P ik. Тогда полная работа, совершенная силами при перi вой схеме нагружения, описывается выражением Во втором случае сначала приложим силу Pk. При деформировании конструкции возникнет собственное перемещение kk (рис. 6.23, а), на коPk kk. При догружении тором сила совершит действительную работу конструкции силой Pk дополнительно возникнут собственное перемещение kk, и побочное перемещение ki. На этих перемещениях силы соPi ii и возможную равершат, соответственно, действительную работу боту Pk ki. Тогда полная работа внешних сил при второй схеме нагружения описывается выражением В связи с тем, что рассматривается линейно-деформируемая конструкция, то ее конечное деформированное очертание и, следовательно, потенциальная энергия деформации не зависят от схемы нагружения конструкции. Поэтому в обоих случаях на накопление потенциальной энергии деформации конструкции затрачена одинаковая работа внешних сил Отсюда следует, что Полученное соотношение (6.60) отражает суть теоремы о взаимности работ, которая формулируется следующим образом. Возможная работа внешних сил i-того состояния конструкции на перемещениях, вызванных внешними силами k-того состояния, равняется возможной работе внешних сил k-того состояния конструкции на перемещениях, вызванных внешними силами i-того состояния.

6.7.2. Теорема о взаимности перемещений Поскольку рассматривается линейно-деформируемая конструкция, то побочные перемещения ik и ki, входящие в (6.60), описываются следующими линейными соотношениями:

Подставим соотношения (6.61) в (6.60) или после сокращения получим Из соотношения (6.62), отражающего суть теоремы о взаимности перемещений, следует, что побочные единичные перемещения конструкции с различным порядком расположения одинаковых индексов равны между собой.

Конструкции при приложении к ним внешних воздействий изменяют свою форму и размеры. Эти изменения называются деформацией конструкции.

Происшедшие изменения для конструкции в целом описываются линейными и угловыми перемещениями. Умение определять перемещения необходимо для оценки деформативности и пригодности конструкций к нормальной эксплуатации.

При определении малых упругих перемещений конструкции рассматриваются как линейно-деформируемые системы. Перемещения в таких системах описываются линейными зависимостями от действующих внешних сил.

Для определения малых перемещений необходимо рассматривать два состояния конструкции – действительное и вспомогательное единичное.

Перемещения, возникающие в линейно-деформируемых конструкциях, удовлетворяют ряду теорем, которые отражают существенные особенности деформирования таких конструкций.

Проверьте, как Вы усвоили следующие понятия, определения, алгоритмы и формулы:

– деформация конструкции;

– виды нагружения прямолинейного стержня;

– количественные характеристики деформированного состояния конструкции;

– цели определения перемещений;

– жесткость конструкции;

– податливость конструкции;

– два подхода к определению перемещений;

– формы определения малых перемещений;

– собственное перемещение;

– побочное перемещение;

– единичное перемещение;

– обобщенный закон Гука для конструкций;

– коэффициент податливости;

– коэффициент жесткости;

– матрица податливости;

– матрица жесткости;

– действительная работа;

– возможная работа;

– обобщенная сила;

– обобщенное перемещение;

– принцип возможных перемещений для деформируемой системы;

– формула Максвелла-Мора;

– формула для определения малых перемещений от температуры;

– формула для определения малых перемещений от осадки опор;

– матричная формула для определения малых перемещений от нагрузки.

Проверьте, сможете ли Вы вывести:

– формулу для работы сил упругости плоской стержневой системы;

– универсальную формулу для определения перемещений в плоской стержневой системе от произвольных внешних воздействий;

– рабочую формулу для определения перемещений в плоской стержневой системе от нагрузки;

– рабочую формулу для определения перемещений в плоской стержневой системе от температуры;

– рабочую формулу для определения перемещений в плоской стержневой системе от осадки опор;

– правило Верещагина;

– матричную формулу для определения малых перемещений в плоской стержневой системе от нагрузки;

– матричную формулу для определения единичных перемещений в плоской стержневой системе.

Проверьте, сможете ли Вы доказать:

– теорему о взаимности работ;

– теорему о взаимности перемещений.

Проверьте, как Вы умеете определять для статически определимых стержневых систем:

– малые перемещения от нагрузки;

– малые перемещения от температуры;

– малые перемещения от осадки опор.

РУКОВОДСТВО

К ПРАКТИЧЕСКИМ

ЗАНЯТИЯМ

Изучение первой части курса строительной механики сопровождается решением задач и выполнением расчетно-проектировочных работ. Настоящее руководство предназначено для оказания помощи при решении задач на практических занятиях, самостоятельном решении задач и выполнении расчетно-проектировочных работ.

В руководстве рассмотрены типовые задачи, связанные с расчетами статически определимых стержневых конструкций, и даны их решения.

Обращено особое внимание на последовательность выполнения расчетных этапов, форму представления конечных результатов и контроль их правильности.

Для приобретения устойчивых умений и навыков решения задач по первой части курса строительной механики необходимо самостоятельно решить все предлагаемые задачи в руководстве, а затем перейти к решению задач, имеющихся в различных учебных пособиях и задачниках по строительной механике.

2. ЦЕЛИ И СОДЕРЖАНИЕ ЗАНЯТИЙ

Тема № 1. Определение опорных реакций в плоских статически определимых стержневых конструкциях Цель занятия: научиться определять опорные реакции для плоских статически определимых рам.

Исходные уравнения, рабочие формулы и правила. В основе решения задач по определению опорных реакций в статически определимых стержневых конструкциях лежат условия равновесия сил, произвольно расположенных на плоскости. Известно, что такие условия могут описываться следующими разновидностями систем трех независимых уравнений равновесия.

Первая разновидность уравнений включает одно уравнение моментов и два уравнения проекций При составлении системы уравнений (1.1) центр приведения и направления координатных осей могут быть произвольными.

Вторая разновидность уравнений включает два уравнения моментов и одно уравнение проекций При составлении системы уравнений (1.2) ось U не должна быть перпендикулярна прямой, проходящей через точки A и B.

Третья разновидность уравнений включает три уравнения моментов При составлении системы уравнений (1.3) точки A, B и C не должны лежать на одной прямой.

Для определения опорных реакций, как правило, следует выбирать ту разновидность уравнений равновесия, в которой каждое уравнение содержит одну неизвестную величину. Это позволит исключить влияние возможной ошибки при определении одной опорной реакции на остальные величины.

Для включения опорных реакций в уравнения равновесия в качестве неизвестных величин их при помощи принципа освобождаемости от связей переводят в число внешних сил, приложенных к стержневой конструкции в местах присоединения опорных закреплений. Рекомендуемые обозначения составляющих опорных реакций: V – вертикальная составляющая; H – горизонтальная составляющая; M – момент реактивной пары в заделке. Каждая составляющая должна иметь буквенный индекс, соответствующий обозначению опоры.

Первоначальные направления составляющих опорных реакций могут задаваться произвольно. Если найденная реакция положительна, то это показывает, что ее произвольно заданное направление совпадает с действительным, а если отрицательна, то это говорит об обратном. Во втором случае необходимо на расчетной схеме стержневой конструкции изменить направление соответствующей опорной реакции и в дальнейших расчетах считать ее положительной величиной. В дальнейшем при решении задач принимаются следующие первоначальные направления составляющих опорных реакций: V – вниз; H – вправо; M – по часовой стрелке.

При составлении и решении уравнений равновесия рекомендуется следующий порядок. Сначала уравнения записываются в общем виде с использованием буквенных обозначений параметров расчетной схемы и заданной нагрузки. Затем в них подставляются числовые значения параметров задачи и определяются величины искомых реакций.

включить в них все найденные составляющие опорных реакций и заданные нагрузки стержневой конструкции.

Для определения вертикальных составляющих опорных реакций составим для рамы суммы моментов сил относительно левой и правой Для определения горизонтальных составляющих опорных реакций составим суммы моментов сил относительно точки C для левой части рамы и для правой части рамы Для проверки правильности найденных составляющих опорных реакций составим для рамы сумму проекций сил на ось y и на ось x Задачи для самостоятельного решения. Для рам, показанных на рис. 1.2, найти опорные реакции.

Размеры рам и значения нагрузок приведены в табл. 1. Цель занятия: научиться определять для плоских стержневых конструкций кинематические и статические признаки.

Исходные уравнения, рабочие формулы и правила. В основе решения задач по определению кинематических и статических признаков плоских стержневых конструкций лежит подсчет числа степеней свободы и анализ геометрической структуры конструкций.

Формула для подсчета числа степеней свободы таких конструкций, представленных в виде кинематической цепи, имеет вид где Д – число дисков системы, У – число узлов системы, Ш – число шарниров системы с учетом их кратности, С – число стержней внутри системы, Со – число опорных стержней.

Если при подсчете по формуле (2.1) получится то (2.2) является необходимым и достаточным условием для вывода, что конструкция геометрически изменяема и статически противоречива.

Если при подсчете по формуле (2.1) получится или то подсчет W должен быть дополнен анализом геометрической структуры стержневой конструкции. Для этого необходимо использовать приемы, описанные ранее в модуле 1 курса лекций.

В случае (2.3) нужно подтвердить, что конструкция геометрически неизменяема с необходимым числом связей и статически определима. А в случае (2.4) нужно подтвердить, что конструкция геометрически неизменяема с избыточным числом связей и статически неопределима. Если в ходе анализа геометрической структуры конструкции в одном или другом случае обнаружатся дефекты, то в обоих случаях делается вывод, что конструкция геометрически изменяема и статически противоречива.

Пример 2. Для стержневой системы, показанной на рис. 2.1, а, сделать кинематический анализ и вывод о ее кинематических и статических признаках.

Для подсчета числа степеней свободы представим систему в виде кинематической цепи (рис. 2.1, б). Из рис. 2.1, б следует, что Тогда по формуле (2.1) получим Так как подсчитанное число степеней свободы удовлетворяет условию (2.3), то выполним анализ геометрической структуры системы.

Узел У1 крепится к диску Д1 при помощи двух стержней C1 и C 2, не лежащих на одной прямой, и образует с ним единый диск. Узел У 2 крепится к расширенному диску при помощи двух стержней C3 и C 4, не лежащих на одной прямой, и образует с ним единый диск. Рассуждая аналогично, можно показать, что узлы У 3 и У 4 образуют с диском Д 2 единый диск.

Два полученных диска соединены между собой при помощи шарнира Ш1 и стержня C5, ось которого не проходит через центр шарнира. Поэтому система без учета опорных стержней образует единый диск. Этот единый диск крепится к основанию тремя опорными стержнями, не параллельными и не пересекающимися в одной точке и, следовательно, образует с ним единый диск.

Таким образом, на основании подсчета числа степеней свободы и анализа геометрической структуры можно сделать выводы, что рассматриваемая стержневая система геометрически неизменяемая с необходимым числом связей и статически определимая.

Задачи для самостоятельного решения. Для стержневых систем, показанных на рис. 2.2, сделать кинематический анализ и вывод о их кинематических и статических признаках.

Тема № 3. Построение эпюр внутренних усилий в многопролетных Цель занятия: научиться для многопролетных шарнирных балок:

определять изгибающие моменты и поперечные силы от действия неподвижной постоянной нагрузки;

строить эпюры внутренних усилий.

Исходные уравнения, рабочие формулы и правила. В основе определения изгибающих моментов и поперечных сил в многопролетной шарнирной балке лежит использование ее монтажной схемы и статического метода нахождения внутренних усилий.

На монтажной схеме отдельные звенья конструкции, в соответствии с порядком сборки снизу вверх, изображаются условно в разных уровнях. Это позволяет при расположении нагрузки на такой схеме увидеть последовательность ее передачи нагрузки сверху вниз и определить порядок расчета звеньев конструкции как отдельных балок – простых или с консолями.

Сначала рассчитываются нагруженные балки, расположенные на самом верху монтажной схемы конструкции. Таких балок может быть одна или несколько. Для них находят опорные реакции, а затем, используя статический метод, определяют изгибающие моменты, поперечные силы.

При расчетах нижележащих балок, поддерживающих уже рассчитанные звенья конструкции, учитываются силы давления от вышележащих балок. Такие силы численно равны опорным реакциям этих балок и имеют, в соответствии с законом равенства действия и противодействия, противоположное направление.

При определении изгибающих моментов и поперечных сил следует пользоваться правилами знаков, принятыми в сопротивлении материалов. На эпюрах M положительные ординаты откладываются вниз, отрицательные – вверх от оси балки. Таким образом, ординаты на эпюрах M будут всегда отложены со стороны растянутого волокна. Знаки на эпюрах M не проставляются. На эпюрах Q положительные ординаты откладываются вверх, отрицательные – вниз от оси балки и обязательно проставляются знаки.

Эпюры внутренних усилий, построенные в результате расчета звеньев конструкции как отдельных балок, объединяются в сводные эпюры M и Q, которые следует расположить непосредственно под нагруженной расчетной схемой многопролетной шарнирной балкой. Это позволит проверить качественное соответствие схемы нагружения и эпюр M и Q дифференциальным зависимостям.

Пример 3. Для многопролетной шарнирной балки, показанной на рис. 3.1, а, построить эпюры M и Q. Монтажная схема балки и порядок расчета ее звеньев показаны на рис. 3.1, б.

В соответствии с указанным порядком рассчитаем звенья многопролетной балки как однопролетные балки. Ввиду простоты расчетов звеньев сами вычисления не приводятся. Схемы нагружения звеньев и результаты их расчетов показаны на рис. 3.2.

Объединяя полученные эпюры для отдельных звеньев на общей оси, получим эпюры M и Q, которые описывают изменения этих внутренних усилий по длине заданной многопролетной шарнирной балки. Сводные эпюры M и Q приведены на рис. 3.3.

Задачи для самостоятельного решения. Для многопролетных шарнирных балок, показанных на рис. 3.4, построить эпюры M и Q.

Значения нагрузок и размеры многопролетных шарнирных балок приведены в табл. 3. Тема № 4. Построение линий влияния в многопролетных Цель занятия: научиться строить кинематическим способом для многопролетных шарнирных балок линии влияния:

опорных реакций;

изгибающих моментов и поперечных сил.

Исходные уравнения, рабочие формулы и правила. Для построения кинематическим способом линии влияния опорной реакции многопролетной шарнирной балки удаляется соответствующая опорная связь и заменяется реакцией положительного направления. Полученному механизму с одной степенью свободы придается возможное отклонение от положения равновесия в сторону положительного направления реакции удаленной связи. Вертикальное перемещение точки приложения опорной реакции полагается равным единице. Тогда отклоненное положение механизма одновременно является очертанием линии влияния рассматриваемой опорной реакции.

Для получения очертания линии влияния изгибающего момента, возникающего в некотором сечении, необходимо в это сечение ввести шарнир и приложить два положительных момента в торцах участков, примыкающих к шарниру. Возможное отклонение полученному механизму задается таким образом, чтобы заменяющие моменты при поворотах соответствующих торцов совершали положительную работу. Если положить взаимный угол поворота торцов равным единице, то отклоненное положение механизма одновременно будет являться очертанием линии влияния рассматриваемого изгибающего момента.

При построении кинематическим способом линии влияния поперечной силы в требуемое сечение вводится «качель» и в торцах примыкающих к ней участков прикладываются положительные поперечные силы. Для получения возможного отклонения механизма торцы смещаются по вертикали так, чтобы поперечные силы совершали положительную работу. Полагая взаимное вертикальное удаление торцов равным единице, получим очертание линии влияния поперечной силы.

Числовые значения характерных ординат построенных линий влияния опорных реакций, изгибающих моментов и поперечных сил находят с использованием заданного перемещения по направлению реакции удаленной связи, равного 1, и геометрических соотношений между ординатами соответствующих участков линий влияния.

Пример 4. Для многопролетной шарнирной балки, показанной на рис. 4.1, построить кинематическим способом линии влияния опорной реакции VC, изгибающего момента для сечения 1 – M1 и поперечной силы для сечения 2 – Q2.

Для построения линии влияния опорной реакции VC удалим опорный стержень C и заменим его реакцией положительного направления (рис. 4.2, а).

Придадим полученному механизму возможное отклонение по направлению опорной реакции VC и примем перемещение точки ее приложения равным 1. Тогда отклоненное положение механизма, показанное на рис. 4.2, б, является линией влияния опорной реакции VC.

Для построения линии влияния изгибающего момента M1 введем в сечение 1 шарнир и заменим удаленную при этом связь парой положительных моментов (рис. 4.3, а).

Придадим полученному механизму возможное отклонение по направлению моментов M1 и примем взаимный угол поворота торцов, примыкающих к введенному шарниру, равным 1. Тогда отклоненное положение механизма, показанное на рис. 4.3, б, является линией влияния M1.

Для построения линии влияния поперечной силы Q2 введем в сечение «качели» и заменим удаленную при этом связь парой положительных поперечных сил (рис. 4.4, а). Придадим полученному механизму возможное отклонение по направлению поперечных сил Q2 и примем взаимное смещение торцов качели по вертикали равным 1. Тогда отклоненное положение механизма, показанное на рис. 4.4, б, является линией влияния Q2.

Задачи для самостоятельного решения. Для многопролетных шарнирных балок, показанных на рис. 4.5, построить линии влияния опорных реакций, M и Q.

Сечения балок, связанные с построением линий влияния M и Q, а также размеры балок, указаны в табл. 4.1.

Тема № 5. Определение по линиям влияния внутренних усилий в многопролетных шарнирных балках Цель занятия: научиться определять по линиям влияния внутренние усилия от действия:

неподвижной нагрузки;

временной нагрузки.

Исходные уравнения, рабочие формулы и правила. При действии на балку сосредоточенных сил для определения внутреннего усилия используется формула где S – искомое внутреннее усилие; Pi – заданные сосредоточенные силы;

si – ординаты линии влияния усилия S под местами приложения сил Pi.

Заданные силы считаются положительными, если они направлены вниз. В противном случае они считаются отрицательными. Знаки si определяются по линии влияния.

При действии на балку распределенной нагрузки постоянной интенсивности g внутреннее усилие S определяется по формуле где Aab – площадь линии влияния внутреннего усилия S на участке нагружения. Знак Aab определяется по линии влияния, а интенсивность g берется со знаком плюс, если распределенная нагрузка направлена вниз, и со знаком минус – в противном случае.

При действии на балку внешних моментов для определения внутреннего усилия S используется формула где M i – заданные внешние моменты; tg i – тангенсы углов наклона касательных к линии влияния S под местами приложения к конструкции внешних моментов. Внешние моменты считаются положительными, если они направлены по часовой стрелке. В противном случае они считаются отрицательными. Знаки для tg i определяются по правилам тригонометрии.

При действии на балку временной вертикальной нагрузки наибольшее и наименьшее значения внутреннего усилия определяются по формулам Здесь q – интенсивность временной нагрузки; сумма площадей всех положительных участков линии влияния; сумма площадей всех отрицательных участков линии влияния.

Пример 5. Для многопролетной шарнирной балки, показанной на рис. 5.1, используя линии влияния примера 4, определить реакцию на опоре C, изгибающий момент в сечении 1 и поперечную силу в сечении 2.

Полученные значения опорной реакции и внутренних усилий сравнить с аналогичными величинами, найденными для данной балки в примере 3.

Реакция на опоре C, в соответствии со схемой расположения заданной нагрузки над линией влияния VC (рис. 5.2), вычисляется по формуле Изгибающий момент в сечении 1, в соответствии со схемой расположения заданной нагрузки над линией влияния VC (рис. 5.3), вычисляется по формуле Поперечная сила в сечении 2, в соответствии со схемой расположения заданной нагрузки над линией влияния VC (рис. 5.4), вычисляется по формуле Сравнение найденных значений опорной реакции и внутренних усилий с аналогичными величинами, полученными для данной балки в примере 3, приведены в табл. 5.1.

Незначительное расхождение значений опорной реакции VC объясняется округлениями при вычислении отдельных ординат линии влияния этой опорной реакции.

Задачи для самостоятельного решения. Для схем нагружения многопролетных шарнирных балок (см. рис. 3.4) определить по линиям влияния опорные реакции и внутренние усилия M и Q в сечениях, показанных на рис. 4.5.

Тема № 6. Построение эпюр внутренних усилий в статически Цель занятия: научиться для статически определимых рам:

определять статическим методом изгибающие моменты, поперечные и продольные силы от действия неподвижной нагрузки;

строить эпюры внутренних усилий.

Исходные уравнения, рабочие формулы и правила. При определении изгибающих моментов, поперечных и продольных сил в статически определимых рамах будем использовать вторую разновидность статического метода.

Определение внутренних усилий производится по участкам. На каждом участке последовательно применяется метод сечений. Для получения аналитических выражений, описывающих законы изменения внутренних усилий в пределах участка, внешние силы мысленно отбрасываемой части приводятся к центру тяжести поперечного сечения оставшейся части. Рекомендуется отбрасывать ту часть, к которой приложено меньше внешних сил. Участком считается любая часть рамы, на протяжении которой не изменяются аналитические выражения внутренних усилий.

По полученным аналитическим выражениям вычисляются значения внутренних усилий для ряда сечений. При определении внутренних усилий используются следующие правила знаков.

Для различения моментов противоположных направлений вводится правило «отмеченного» волокна. Его суть заключается в том, что для каждого участка рамы произвольно выбирается волокно, при растяжении которого момент условно считается положительным. В пределах каждого участка такие волокна отмечаются пунктирной линией. В сопротивлении материалов при изгибе балок «отмеченным» волокном считается нижнее волокно.

Правила знаков для поперечной и продольной сил совпадают с правилами, принятыми в сопротивлении материалов при определении этих усилий в отдельном стержне.

При построении эпюр внутренних усилий руководствуются следующими правилами:

эпюра моментов строится со стороны растянутых волокон, и знаки на участках эпюры не ставятся;

эпюры поперечных и продольных сил можно строить со стороны любых волокон, и знаки на участках эпюр ставятся обязательно;

ординаты на эпюрах внутренних усилий откладываются по нормали к оси элементов рамы.

Правильность построения эпюр осуществляется проверкой равновесия узлов и стержней рамы.

Для проведения первой проверки каждый узел мысленно вырезается сквозным сечением, проходящим бесконечно близко от центра узла. Рассматривая узел под действием приложенных внешних сосредоточенных сил, моментов и действующих в примыкающих к узлу сечениях внутренних усилиях, проверяют соблюдение трех уравнений равновесия: уравнения моментов относительно центра узла и двух уравнений проекций на ортогональные оси с началом в центре узла.

Для проверки равновесия стержней каждый стержень системы вырезается двумя сечениями, проходящими бесконечно близко от центров соответствующих узлов. Прикладывая к стержню заданную нагрузку и действующие в концевых сечениях внутренние усилия, проверяют соблюдение трех уравнений равновесия: двух уравнений моментов относительно центров тяжести концевых сечений и уравнения проекций на ось стержня.

Пример 6. Для рамы, показанной на рис. 6.1, определить статическим методом внутренние усилия M, Q, N и построить их эпюры. Опорные реакции рамы, вычисленные в примере 1, равны Для рассматриваемой рамы можно выделить 4 участка – АМ, МС, СN, NВ. Пунктирной линией на рис. 6.1 обозначаются «отмеченные» волокна каждого участка рамы.

Применим метод сечений на участке АМ и отбросим нижнюю часть рамы (рис. 6.2). Переменная x, определяющая положение сечения на участке, может изменяться в следующем интервале: 0 x 4 м.

Приводя внешние силы отброшенной части участка к центру тяжести поперечного сечения оставшейся части, получим следующие аналитические выражения для внутренних усилий участка:

Применим метод сечений на участке МС и отбросим левую часть рамы (рис. 6.3). Переменная x, определяющая положение сечения на участке, может изменяться в следующем интервале: 0 x 4 м.

Приводя внешние силы отброшенной части участка к центру тяжести поперечного сечения оставшейся части, получим следующие аналитические выражения для внутренних усилий участка:

Применим метод сечений на участке СN и отбросим правую часть рамы (рис. 6.4). Переменная x, определяющая положение сечения на участке, может изменяться в следующем интервале: 0 x 4 м.

Приводя внешние силы отброшенной части участка к центру тяжести поперечного сечения оставшейся части, получим следующие аналитические выражения для внутренних усилий участка:

Применим метод сечений на участке NB и отбросим нижнюю часть рамы (рис. 6.5). Переменная x, определяющая положение сечения на участке, может изменяться в следующем интервале: 0 x 4 м.

Приводя внешние силы отброшенной части участка к центру тяжести поперечного сечения оставшейся части, получим следующие аналитические выражения для внутренних усилий участка:

Эпюры внутренних усилий рамы, построенные согласно полученным аналитическим выражениям для M, Q и N на каждом участке, приведены на рис. 6.6.

Задачи для самостоятельного решения. Для рам, показанных на рис.

1.2, статическим методом построить эпюры внутренних усилий M, Q и N.

Тема № 7. Определение внутренних усилий в стержнях плоских ферм Цель занятия: научиться определять при узловом нагружении простых ферм:

нулевые стержни;

внутренние усилия методом вырезания узлов;

внутренние усилия методом рассечения на крупные части.

Исходные уравнения, рабочие формулы и правила. Определение нулевых стержней фермы для заданной схемы нагружения осуществляется на основе трех признаков.

Первый признак – в ненагруженном двухстержневом узле фермы оба стержня нулевые.

Второй признак – в двухстержневом узле фермы, нагруженном силой вдоль оси одного из стержней, другой стержень нулевой.

Третий признак – в ненагруженном трехстержневом узле фермы, в котором оси двух стержней направлены по одной прямой, третий стержень нулевой.

В основе определения внутренних усилий методом вырезания узлов лежит использование уравнений равновесия системы сходящихся сил. Каждый узел фермы мысленно вырезается сквозным сечением, проходящим бесконечно близко от центра узла. Для вырезанных узлов составляются по два независимых уравнения проекций сил на оси, проходящие через центры вырезанных узлов фермы. Решение этих уравнений позволяет найти продольные силы в стержнях фермы. Первыми решаются уравнения равновесия для того узла, где сходится не более двух стержней с неизвестными продольными силами.

В основе определения внутренних усилий методом рассечения на крупные части лежит использование уравнений равновесия системы сил, произвольно расположенных на плоскости. Ферма мысленно рассекается через любые три стержня на две части.

Для определения внутренних усилий методом рассечения на крупные части используются уравнения равновесия системы сил, произвольно расположенных на плоскости. Такие уравнения применяются к одной из частей фермы, полученной при мысленном рассечении фермы через любые три стержня.

Для определения продольных сил в рассеченных стержнях составляются уравнения моментов относительно моментных точек. Если рассечение фермы проходит через три стержня, два из которых параллельны, то для определения продольной силы в третьем стержне составляется сумма проекций сил на ось, перпендикулярную параллельным стержням.

При составлении уравнений равновесия обоих методов первоначально все стержни фермы считаются растянутыми. Если при расчете какаялибо продольная сила получится отрицательной, то это означает, что данный стержень фермы сжат.

Пример 7. Для фермы, показанной на рис. 7.1, определить нулевые стержни и продольные силы O1, U 2, D2.

Опорные реакции фермы VA и VB определяем как для простой балки В соответствии с третьим признаком нулевых стержней в рассматриваемой ферме при заданной схеме нагружения такими стержнями являются V1, V2, V3, отмеченные кружками на рис. 7.1.

Для определения внутреннего усилия O1 вырежем опорный узел A и рассмотрим его равновесие (рис. 7.2). Составим уравнение проекций на ось y и найдем Для определения внутренних усилий U 2, D2 рассечем ферму через третью панель верхнего пояса и вторую панель нижнего пояса на две части (рис. 7.3) и рассмотрим равновесие левой части фермы.

Для определения внутреннего усилия U 2 составим уравнение моментов относительно моментной точки этого усилия и найдем Для определения внутреннего усилия D2 составим уравнение проекций на ось y и найдем Задачи для самостоятельного решения. Для ферм, показанных на рис. 7.4, определить нулевые стержни и внутренние усилия в отмеченных стержнях.

Значения нагрузок и размеры ферм приведены в табл. 7. Тема № 8. Построение линий влияния внутренних усилий Цель занятия: научиться строить статическим методом линии влияния внутренних усилий простых ферм.

Исходные уравнения, рабочие формулы и правила. Для построения в фермах линий влияния продольных сил применяется статический метод. Построение линии влияния определенной продольной силы основывается на той разновидности статического метода, которая наиболее целесообразна для отыскания этой продольной силы. Рассматриваются два положения единичного груза: на нижнем поясе (груз понизу) и на верхнем поясе (груз поверху).

Кроме того, применяя метод рассечения на крупные части, рассматривают три положения груза на каждом поясе: слева и справа от перерезанной панели и в пределах перерезанной панели. Каждому положению единичного груза соответствует определенный участок линии влияния рассматриваемой продольной силы.

Применяя метод вырезания узлов, также рассматривают различные положения единичного груза. При расположении груза на поясе, которому принадлежит вырезанный узел, таких положений три: груз в узле, груз вне узла и вне пределов перерезанных панелей, груз в пределах перерезанных панелей. При расположении груза на поясе, которому не принадлежит вырезанный узел, он занимает единственное положение вне узла и вне пределов перерезанных панелей.

Пример 8. Для фермы, показанной на рис. 8.1, построить линии влияния продольных сил O1, U 2, D2.

Для построения линии влияния O1 вырежем опорный узел A и рассмотрим его равновесие при трех положениях единичного груза – груз в узле, груз вне узла и вне рассеченных панелей, груз в рассеченных панелях.

При расположении груза в узле (рис. 8.2, а) из уравнения проекций на ось y найдем значение соответствующей ординаты линии влияния O Составляя уравнение проекций на ось y при расположении груза вне узла и вне рассеченных панелей (рис. 8.2, б), получим Из полученного соотношения следует, что очертание линии влияния O при втором положении единичного груза подобно очертанию линии влияния VA, ординаты которой умножены на величину.

Для получения соединительного участка, соответствующего третьему положению единичного груза, используются значения O1, найденные при двух первых положениях единичного груза. Очертание линии влияния O показано на рис. 8.3 и оно одинаковое при движениях груза понизу и поверху Для построения линий влияния U 2 и D2 рассечем ферму на две части через третью панель верхнего и вторую панель нижнего поясов (рис. 8.4, а). При движении единичного груза понизу и поверху будем рассматривать три его положения – слева и справа от рассеченной панели и в пределах этой панели.

При первом положении единичного груза (груз понизу и слева от рассеченной панели) рассмотрим равновесие правой отсеченной части фермы и для определения продольной силы U 2 составим уравнение моментов относительно моментной точки этого усилия RU а для определения продольной силы D2 составим уравнение проекций на ось y При втором положении единичного груза (груз понизу и справа от рассеченной панели) рассмотрим равновесие левой отсеченной части фермы и для определения продольных сил U 2 и D2 составим уравнения Поскольку при движении единичного груза понизу в пределах перерезанной панели продольные силы U 2 и D2 описываются некоторыми линейными функциями от абсциссы x, а концевые значения этих сил могут быть найдены из соответствующих ранее полученных выражений для этих сил, то этого достаточно для получения очертаний соединительных участков линий влияния U 2 и D2.

Очертание линии влияния продольной силы U 2 при движении груза понизу показано на рис. 8.4, б сплошной линией. Левый и правый участки линии влияния пересекаются под моментной точкой RU 2. Очертание соединительного участка, соответствующее движению груза поверху, показано на рис. 8.4, б пунктирной линией.

Очертание линии влияния продольной силы D2 при движении груза понизу показано на рис. 8.4, в сплошной линией. Левый и правый участки линии влияния параллельны друг другу. Очертание соединительного участка, соответствующее движению груза поверху, показано на рис. 8.4, в пунктирной линией.

Задачи для самостоятельного решения. Для ферм, показанных на рис. 7.4, построить линии влияния продольных сил в отмеченных стержнях.

Тема № 9. Определение внутренних усилий в трехшарнирной арке Цель занятия: научиться для трехшарнирной арки от неподвижной вертикальной нагрузки:

определять опорные реакции;

определять изгибающие моменты, поперечные и продольные силы от действия неподвижной нагрузки;

строить эпюры внутренних усилий.

Исходные уравнения, рабочие формулы и правила. При действии вертикальной нагрузки вертикальные составляющие опорных реакций трехшарнирной арки равны опорным реакциям соответствующей балки Распор арки определяется по формуле где M C – изгибающий момент в сечении балки под замковым шарниром арки, f – стрела подъема арки.

Для определения изгибающего момента, поперечной и продольной сил в произвольном сечении K используются следующие формулы:

Здесь M K, QK – изгибающий момент и поперечная сила в сечении балки под рассматриваемым сечением арки; yK, K – ордината сечения K и угол наклона касательной к оси арки в этом сечении.

Для вычисления тригонометрических функций угла, имея аналитическое выражение оси арки y = f ( x ), целесообразно использовать следующие формулы:

Пример 9. Для трехшарнирной арки, показанной на рис. 9.1, определить внутренние усилия в сечениях через 1 пролета арки и построить их эпюры. Арка очерчена по дуге окружности Характерные геометрические величины для заданных сечений приведены в табл. 9.1.

Рассмотрим балку, которая имеет одинаковые с аркой пролет и схему нагружения (рис. 9.2, а). Определим для нее опорные реакции и внутренние усилия от заданной нагрузки в произвольном сечении K Эпюры балочных внутренних усилий показаны на рис. 9.2, б.

Определим для трехшарнирной арки от заданной нагрузки опорные реакции и внутренние усилия в произвольном сечении K Нахождение внутренних усилий в заданных сечениях арки приведено в табл. 9.2.

№ сеч.

Эпюры внутренних усилий арки показаны на рис. 9.3.

Задачи для самостоятельного решения. Для арок, показанных на рис. 9.4, вычислить внутренние усилия в сечениях через 0,1 пролета арки и построить их эпюры. Значения нагрузок, геометрические параметры арок приведены в табл. 9.3.

Тема № 10. Определение перемещений в статически определимых Цель занятия: научиться от действия неподвижной нагрузки определять малые перемещения, возникающие при упругой деформации статически определимых рам.

Исходные уравнения, рабочие формулы и правила. При определении малых упругих перемещений в стержневых конструкциях от действия нагрузки используется формула Максвелла-Мора, которая для рам имеет, как правило, вид Здесь mi и M – изгибающие моменты единичного и действительного состояний рамы; EI z – изгибная жесткость поперечного сечения рамного стержня.

При образовании вспомогательного состояния вид прикладываемой единичной силы зависит от определяемого перемещения. Если искомое перемещение простое, то прикладывается простая единичная сила, а если обобщенное, то – соответствующая этому перемещению обобщенная единичная сила. Например, при отыскании угла поворота прикладывается безразмерный единичный момент.

Если в раме изгибная жесткость поперечного сечения EI z в пределах каждого стержня постоянна, то для вычисления интеграла в формуле Максвелла-Мора применяется правило Верещагина. Согласно этому правилу определенный интеграл от произведения двух функций, одна из которых линейная, а вторая нелинейная, равняется произведению площади графика нелинейной функции на ординату графика линейной функции, расположенную под центром тяжести площади графика нелинейной функции.

Пример 10. Для рамы, показанной на рис. 10.1, определить вертикальное перемещение шарнира C от приложенной нагрузки.

Жесткостные параметры рамы имеют значения – E = 2 105 МПа Действительное состояние заданной рамы было рассмотрено в примере 6. Эпюра изгибающих моментов действительного состояния имеет вид, показанный на рис. 10.2, а Вспомогательное единичное состояние, соответствующее искомому перемещению, и единичная эпюра изгибающих моментов показаны на рис. 10.2, б.

Для определения вертикального перемещения шарнира С перемножим по правилу Верещагина эпюры изгибающих моментов действительного и вспомогательного состояний заданной рамы Тогда числовое значение искомого перемещения равняется Задачи для самостоятельного решения. Для рам, показанных на рис. 1.2, определить перемещения от нагрузки, указанные в табл. 10. задачи 1 Горизонтальное перемещение левого узла рамы 3 Вертикальное перемещение точки приложения силы P 4 Взаимный угол поворота сечений, примыкающих к шарниру ригеля рамы При определении перемещений жесткостные характеристики принимать по табл. 10. Тема № 11. Определение перемещений в статически определимых рамах от действия температуры и осадки опор Цель занятия: научиться от действия температуры и осадки опор определять малые перемещения, возникающие при упругой деформации статически определимых рам.

Исходные уравнения, рабочие формулы и правила. Для определения малых упругих перемещений в рамах от действия температуры используется рабочая формула где ni, mi – внутренние усилия единичного состояния рамы; t о, t – приращение температуры на оси и удельный температурный перепад, характеризующие действительное состояние рамы.

Эпюра t строится на каждом стержне рамы со стороны его более нагретого волокна, и знаки на эпюре не ставятся. На эпюре t о ставятся знаки, и она может строиться на каждом стержне со стороны любого волокна.

При вычислении температурных перемещений для вычисления интегралов ni t о ds и mi t ds, входящих в рабочую формулу, применяется правило Верещагина.

Для определения малых упругих перемещений в рамах от действия осадки опор используется рабочая формула где c j – смещения опор; r ji – единичные опорные реакции. Заданные смещения опор считаются положительными, если по направлению они совпадают с соответствующими единичными опорными реакциями.

Пример 11. Для рамы, показанной на рис. 11.1, определить вертикальное перемещение шарнира C от температурного воздействия со следующими параметрами: tн = 10o C, tв = +17o C, tз = 0o C. Коэффициент линейного расширения материала рамы = 1,18 10 5.

поперечных сечений и их симметрии, удельный температурный перепад t и приращение температуры на оси t о для всех рамных элементов принимают следующие значения:

Эпюры t и t о, характеризующие действительное состояние рамы при температурном воздействии, показаны на рис. 11.2, а. Вспомогательное состояние характеризуется единичными эпюрами m1 и n1 (рис. 11.2, б).

Для определения искомого перемещения перемножим по правилу Верещагина эпюру t с эпюрой m1 и эпюру t о с эпюрой n Тогда числовое значение искомого перемещения равняется Пример 12. Для рамы, показанной на рис. 11.3, определить вертикальное перемещение шарнира C от горизонтального смещения опоры A влево на величину 15 см.

Действительное состояние рамы (рис. 11.4, а), где смещения опор могут происходить по четырем направлениям, характеризуется следующими значениями:

Вспомогательное состояние рамы (рис. 11.4, б) характеризуется единичными опорными реакциями Тогда числовое значение искомого перемещения равняется Задачи для самостоятельного решения. Для рам, показанных на рис. 1.2, определить перемещения, указанные в табл. 10.1, от температуры и осадки опор. При определении перемещений параметры температурного воздействия и задаваемые характеристики смещения опор принимать по табл. 11.1.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К РАСЧЕТНОПРОЕКТИРОВОЧНЫМ

РАБОТАМ

Выполняемые в процессе изучения курса расчетно-проектировочные работы служат целям закрепления теоретических знаний и выработки умений самостоятельно решать задачи строительной механики. Умение решать такие задачи и формирует умение рассчитывать реальные строительные конструкции и оценивать их прочность, жесткость, устойчивость.

Одной из особенностей современных расчетов строительных конструкций является применение ЭВМ. Поэтому при выполнении РПР является обязательным использование интегрированной системы MathCAD. Эта система не требует знания языков программирования и составления специальных программ для выполнения расчетов на компьютере. В то же время ее использование развивает навыки алгоритмического мышления, прививает умение строить и анализировать алгоритмы расчетов строительных конструкций.

Методические указания описывают содержание и последовательность выполнения расчетно-проектировочных работ, посвященных расчетам такой разновидности несущих конструкций как статически определимые стержневые системы. Они также содержат общие требования, предъявляемые к оформлению каждой работы.

Расчетно-проектировочные работы должны выполняться в строгом соответствии с излагаемыми ниже требованиями.

Содержание выполненных работ при оформлении подразделяется на те же разделы и подразделы, что указаны в соответствующих условиях выполнения. Наименование разделов и подразделов необходимо отделять от основного текста дополнительными межстрочными интервалами.

Выполненная работа оформляется на листах писчей бумаги формата А4 (297210) по типу пояснительной записки к курсовому проекту. Текст, формулы и вычисления аккуратно пишутся ручкой на одной стороне листа или набираются на компьютере.

Графический материал расчетно-проектировочной работы (схемы, эпюры, линии влияния и др.) выполняется черной пастой или с помощью стандартных графических редакторов и вставляется в том месте текстовой части работы, где на него впервые делается ссылка.

Все схемы и графики вычерчиваются в определенном масштабе с указанием характерных размеров и величин, необходимых для последующего расчета. Расчетные схемы стержневых конструкций изображаются вместе со схемой внешних воздействий и схемой составляющих опорных реакций.

Схемы и графики, расположенные в одном месте работы, именуются рисунком. Все рисунки последовательно нумеруются арабскими цифрами.

Схемы и графики в пределах одного рисунка могут подразделяться с помощью малых латинских букв с круглой скобкой. При необходимости схемы и графики рисунка сопровождаются подписями.

Общее количество рисунков в каждой работе, их содержание, указания по компоновке графического материала даются в частных рекомендациях к соответствующей работе.

Титульный лист расчетно-проектировочной работы оформляется на листе того же формата, что и листы работы, и заполняется по форме, приведенной в приложении 1.

3. РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНАЯ РАБОТА №

«РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМОЙ МНОГОПРОЛЕТНОЙ

1. Изображение расчетной схемы балки.

2. Задание параметров внешних воздействий.

1. Изображение расчетной схемы балки в виде кинематической цепи 2. Подсчет числа степеней свободы.

3. Анализ геометрической структуры.

4. Вывод о кинематических и статических свойствах расчетной схемы § 3. Аналитическое определение внутренних усилий 1. Изображение расчетной схемы балки с неподвижной нагрузкой (рис. 2, а).

2. Изображение монтажной схемы балки (рис. 2, б) и определение порядка расчета звеньев.

3. Получение для каждого звена балки аналитических выражений для M и Q и вычисление их характерных значений*.

4. Построение эпюр M и Q (рис. 2, в).

5. Изображение балки с неподвижной нагрузкой и опорными реакциями (рис. 3) и проверка равновесия балки в целом.

§ 4. Матричное определение изгибающих моментов 1. Разбиение каждого пролета балки на три участка, нумерация расчетных сечений, получение системы приведенных узловых сил (рис. 4, а).

2. Замена заданной многопролетной балки эквивалентной консольной 3. Составление дополнительных уравнений для определения реакций отброшенных связей заданной балки.

4. Решение дополнительных уравнений и определение реакций отброшенных связей заданной балки†.

5. Формирование вектора внешней нагрузки для эквивалентной консольной балки.

6. Формирование матрицы влияния изгибающих моментов.

7. Получение вектора изгибающих моментов и построение эпюры (рис. 4, в).

8. Составление таблицы сравнения ординат эпюр M, полученных двумя § 5. Определение внутренних усилий от совместного действия 1. Определение опасных расчетных сечений по изгибающему моменту от неподвижной нагрузки.

2. Построение кинематическим способом линий влияния M и Q для опасных расчетных сечений (рис. 5).

С использованием среды MathCAD 3. Схемы неблагоприятного расположения временной нагрузки над линиями влияния M и Q (рис. 5).

4. Вычисление наибольших и наименьших значений M и Q в опасных расчетных сечениях от действия временной нагрузки.

5. Вычисление наибольших и наименьших значений M и Q в опасных расчетных сечениях от совместного действия неподвижной и временной нагрузок.

4. РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНАЯ РАБОТА №

«РАСЧЕТ ПЛОСКОЙ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМОЙ РАМЫ»

1. Изображение расчетной схемы рамы.

2. Задание параметров внешних воздействий.

3. Задание параметров физических свойств материала рамы.

1. Изображение расчетной схемы рамы в виде кинематической цепи 2. Подсчет числа степеней свободы.

3. Анализ геометрической структуры.

4. Вывод о кинематических и статических свойствах расчетной схемы § 3. Аналитическое определение внутренних усилий от неподвижной 1. Изображение расчетной схемы рамы с неподвижной нагрузкой 2. Вычисление опорных реакций и проверка их правильности.

3. Получение для каждого участка рамы аналитических выражений для внутренних усилий M, Q, N и вычисление их характерных значений*.

4. Построение эпюр M, Q, N (рис. 2, б).

5. Изображение узлов и стержней рамы (рис. 3) и проверка их равновесия.

С использованием среды MathCAD § 4. Определение перемещения для сечения 1 от неподвижной 1. Образование первого вспомогательного единичного состояния 2. Вычисление единичных опорных реакций и проверка их правильности.

3. Получение для каждого участка рамы аналитических выражений для внутренних усилий m1, q1, n1 и вычисление их характерных значений.

4. Построение единичных эпюр m1, q1, n1 (рис. 3, б).

5. Определение перемещения от нагрузки без учета влияния поперечных и продольных сил*.

§ 5. Определение перемещения для сечения 1 от температурного 1. Изображение расчетной схемы рамы с заданными параметрами температурного воздействия (рис. 4, а).

2. Вычисление для каждого участка рамы удельного температурного перепада t и изменения температуры на оси to.

4. Определение температурного перемещения.

§ 6. Определение перемещения для сечения 2 от кинематического 1. Изображение расчетной схемы рамы с заданными параметрами кинематического воздействия (рис. 5, а).

2. Образование второго вспомогательного единичного состояния (рис. 5, б).

3. Вычисление единичных опорных реакций и проверка их правильности.

4. Определение перемещения от кинематического воздействия.

5. Изображение рамы в смещенном положении с выделением на схеме найденного перемещения (рис. 5, в).

С использованием среды MathCAD

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

«ПОЛОЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНАЯ РАБОТА №

«РАСЧЕТ ПЛОСКОЙ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМОЙ РАМЫ»

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ

арка внешние воздействия внутренние силы внутренние усилия возможная работа геометрически изменяемая система геометрически неизменяемая система геометрически нелинейная система действительная работа деформация конструкции диск дискретизация внешней нагрузки дискретизация расчетной схемы единичное перемещение жесткость конструкции затяжка инженерная модель материала кинематический анализ кинематическая связь кинематическая цепь кривая равновесных состояний коэффициент жесткости коэффициент податливости линейно деформируемая система линия влияния матрица податливости матрица жесткости метод сечений несущая система несущая конструкция нелинейно деформируемая система нулевые стержни обобщенный закон Гука для конструкций обобщенная сила обобщенное перемещение опасное положение подвижной нагрузки принцип независимости действия сил принцип неизменности начальных размеров побочное перемещение подвижная нагрузка податливость конструкции полное перемещение распор расчетная модель расчетная схема расчетная схема фермы рациональное очертание оси арки свойства статически определимых систем собственное перемещение статически определимая система статически неопределимая система статически противоречивая система строительная механика узел ферма физически нелинейная система число степеней свободы

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС