«СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС для студентов специальности 1-70 02 01 Промышленное и гражданское строительство Часть 1 СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ Составление и общая редакция Л.С. Турищева ...»

Второй этап расчета для стержневых конструкций осуществляется так же, как и для отдельного стержня – простейшей стержневой конструкции. Различные виды простых и сложных нагружений (растяжение, сжатие, изгиб, кручение, кручение с изгибом и т.д.) отдельного стержня изучались в курсе сопротивления материалов. Рассмотренные там методы определения геометрических характеристик поперечных сечений отдельного стержня или проверки их достаточности, исходя из условий прочности, жесткости и устойчивости, применимы и для стержневых конструкций.

Расчет конструкции с использованием строгого описания геометрической формы, учетом всех свойств конструкционных материалов и точного задания внешних воздействий, как правило, практически невозможен из-за чрезмерной сложности. Поэтому при описании конструкции применяется схематизация – основной прием, используемый при изучении реальных объектов и процессов. Это позволяет исключить из расчета второстепенные факторы, оказывающие несущественное влияние на его достоверность и точность.

Совокупность схематизированных описаний геометрической формы, материала и внешних воздействий реальной конструкции, используемых при ее расчете, образует расчетную модель конструкции.

1.2.1. Расчетная схема конструкции Геометрическая форма конструкции образуется совокупностью отдельных элементов, соединенных между собой и с основанием в единое целое. Основные типы простейших конструктивных элементов (массивное тело, пластина, оболочка, прямолинейный и криволинейный стержни) приведены на рис. 1. Как уже отмечалось, при расчете конструкции используется не ее реальное, а упрощенное изображение, которое отражает наиболее существенные особенности геометрической формы, определяющие восприятие конструкцией внешних воздействий. Это упрощенное идеализированное изображение формы конструкции, применяемое при ее расчете, и называется расчетной схемой конструкции.

Упрощение геометрической формы конструкции осуществляется за счет схематизации изображения образующих ее элементов, их узловых соединений и опорных закреплений. Так, например, при изображении рамной конструкции стержни заменяются осями, поперечные сечения стержней независимо от их формы характеризуются в общем виде численными значениями площадей и моментов инерции, реальные узловые и опорные соединения заменяются их идеализированными образами. Основные типы идеализированных узловых соединений конструктивных элементов – жесткий узел, шарнирный узел (цилиндрический или шаровой шарниры), комбинированный узел, упругоподатлиРис. 1.2 вый узел – приведены на рис. 1.2.

Основные типы опирания – защемляющая неподвижная и подвижная опоры, цилиндрическая неподвижная и подвижная опоры, шаровая неподвижная, линейно и плоско подвижные опоры, показаны на рис. 1.3.

1.2.2. Инженерная модель материала Большое значение для обеспечения долговечности работы конструкции играет материал, из которого она выполнена. Поэтому схематизация свойств реальных материалов является важным моментом при образовании расчетной модели конструкции.

Основными конструкционными материалами строительных сооружений являются сталь, бетон, железобетон, древесина, кирпичная кладка.

В строительной механике принято рассматривать все материалы, независимо от особенностей их микроструктуры, как воображаемую сплошную однородную среду.

Среда называется сплошной, если она непрерывна в любом объеме и обладает в нем массой. Вследствие свойства непрерывности к такой среде для анализа ее поведения можно применять дифференциальное исчисление.

Под однородностью среды понимается независимость механических свойств от величины выделенного из нее объема. Кроме того, сплошная среда, в случае независимости механических свойств реальных материалов от угловой ориентации, наделяется свойством изотропии. В противном случае среда считается анизотропной.

Сплошная однородная среда, наделенная основными свойствами деформируемости реальных материалов – упругостью, пластичностью и ползучестью, – образует инженерную модель материала. Некоторые виды простейших инженерных моделей материала приведены на рис 1.4: линейноупругий материал (рис. 1.4, а), нелинейно-упругий материал (рис. 1.4, б), идеальный упруго-пластический материал (рис. 1.4, в), упруго-пластический материал с линейным упрочнением (рис. 1.4, г).

1.2.3. Виды внешних воздействий Ответственным моментом при расчете конструкции является численное задание внешних воздействий, которые возможны при эксплуатации строительного сооружения.

Различают следующие основные виды внешних воздействий:

силовое воздействие;

температурное воздействие;

кинематическое воздействие.

Силовое воздействие порождается активными внешними силами, действующими на строительные сооружения, и называется нагрузкой. Нагрузка характеризуется тремя параметрами – величиной, направлением и местом приложения. Нагрузки принято различать по характеру изменения во времени, по продолжительности действия на сооружение и по условиям эксплуатации сооружения.

По характеру изменения нагрузки во времени различают статическое и динамическое нагружения сооружений и соответствующие им методы статического и динамического расчетов. При статическом нагружении величина, направление и положение внешних сил принимаются при расчете не зависящими от времени. При динамическом нагружении хотя бы один из трех параметров внешних сил изменяется во времени с конечной скоростью.

По продолжительности действия на сооружение нагрузки подразделяются на постоянные и временные. Постоянные нагрузки действуют на сооружение в течение всего времени эксплуатации, а временные – в отдельные промежутки времени его эксплуатации.

По условиям эксплуатации сооружения нагрузки бывают нормативными и расчетными. Нормативные нагрузки соответствуют нормальным условиям эксплуатации сооружения, а расчетные нагрузки – условиям эксплуатации сооружения в предельном состоянии.

Температурное воздействие является результатом теплового взаимодействия строительного сооружения с окружающей средой.

Различают следующие виды таких воздействий:

климатические воздействия, обусловленные изменением температуры окружающего воздуха вследствие солнечной радиации;

технологические воздействия, обусловленные изменением температуры окружающего воздуха вследствие тепловых технологических излучений.

В дальнейшем для краткости такие воздействия будем называть температурой.

Перемещения, действующие на конструктивные элементы сооружения или на его опорные закрепления, называются кинематическим воздействием.

Различают следующие виды кинематических воздействий:

неравномерная деформация основания сооружения, которую часто называют осадкой опор;

воздействие усадки и ползучести материала сооружения.

Перечисленные виды внешних воздействий являются результатом проявления во времени взаимодействия сооружения с окружающей его средой и находящихся на нем материальных тел. Точное задание внешних воздействий связано с большими трудностями, так как они представляют собой сложные процессы, а характеризующие их числовые величины, как правило, принимают недетерминированные значения.

Поэтому схематизация внешних воздействий, прежде всего, заключается в том, что они не оцениваются в каждом частном случае многочисленными случайными величинами, а задаются детерминировано согласно узаконенным строительным нормам и правилам «Нагрузки и воздействия».

В этих нормах параметры реальных внешних воздействий заменяются эквивалентными значениями, полученными на основе обработки статистических данных для различных типов сооружений и их конструкций. Кроме того, может упрощаться способ приложения нагрузки. Эквивалентная нагрузка обычно прикладывается равномерно распределенной по площади, хотя в действительности это бывает не часто. В случае малости площади приложения распределенная нагрузка заменяется сосредоточенной силой, чего для реальных конструкций не бывает вообще.

Вычисление величин внешних воздействий, как правило, не входит в задачу строительной механики. Методы расчета конструкций, предлагаемые строительной механикой, являются универсальными и не зависят от конкретных числовых значений внешних воздействий и способов их приложения. Внешние воздействия в строительной механике считаются заданными в общем виде. Вопросы задания конкретных внешних воздействий рассматриваются в курсах, посвященных проектированию строительных конструкций из определенного конструкционного материала (металл, железобетон и т.д.).

1.3. Существующие подходы к расчету конструкций 1.3.1. Понятие о линейно и нелинейно деформируемых системах Основным видом внешнего воздействия на конструкцию является нагрузка. При статическом нагружении конструкция деформируется и находится в состоянии равновесия, которое характеризуется внутренними различным уровням нагружения конструкции вплоть до исчерпания несущей способности, будет описываться некоторой линией (рис. 1.5, б).

Такую линию принято называть кривой состояний равновесия. По виду очертания этой кривой конструкции, а точнее их расчетные модели, подразделяются на линейно и нелинейно деформируемые системы.

Расчетная модель конструкции, у которой между нагрузкой и вызываемыми ею перемещениями, а также внутренними усилиями принимается прямая пропорциональная зависимость, называется линейно деформируемой системой. Данная модель лежит в основе линейной теории расчета конструкций.

Для того чтобы реальную конструкцию можно было рассматривать как линейно деформируемую, необходимо чтобы материал конструкции подчинялся закону Гука, а возникающие перемещения были малы по сравнению с первоначальными размерами конструкции.

Применение линейной теории позволяет существенным образом упростить расчет реальных конструкций. Это связано с использованием принципа независимости действия сил и принципа неизменности начальных размеров, которые справедливы только для линейно деформируемых систем.

Суть принципа независимости действия сил (принципа суперпозиции) заключается в том, что при действии на конструкцию нескольких нагрузок возникающие внутренние усилия и перемещения равняются сумме внутренних усилий и перемещений от действия каждой нагрузки в отдельности.

Суть принципа неизменности начальных размеров (принципа малости перемещений) заключается в том, что при составлении уравнений равновесия конструкции не учитываются изменения ее формы и размеров вследствие деформирования. Он позволяет вести расчет конструкции не по неизвестному конечному деформированному состоянию, а по ее заданному начальному состоянию. Принцип был сформулирован в первой четверти XIX века французским инженером и ученым Луи Навье.

Однако применение линейной теории расчета конструкций имеет свои границы. Во-первых, начиная с определенного уровня напряженного состояния, закон Гука для строительных материалов перестает соблюдаться и зависимость между напряжениями и деформациями становится нелинейной. И, во-вторых, форма и размеры конструкции могут в процессе нагружения существенно изменяться, и в этом случае принцип неизменности начальных размеров становится неприемлемым. В этих случаях расчет реальных конструкций ведут с использованием методов нелинейной строительной механики. Такие методы расчета основываются на понятии нелинейно деформируемой системы.

Нелинейно деформируемой системой называется расчетная модель конструкции, у которой между нагрузкой и вызываемыми ею перемещениями принимается нелинейная зависимость. Принято различать геометрически и физически нелинейные системы.

Геометрически нелинейная система – это система, у которой нелинейная зависимость между нагрузкой и перемещениями обусловливается отказом от принципа неизменности начальных размеров. В этом случае в расчет вводятся нелинейные соотношения между деформациями и перемещениями, которые позволяют учитывать влияние изменения формы и размеров конструкции при деформировании на ее напряженно-деформированное состояние.

Физически нелинейная система – это система, у которой появление нелинейной зависимости между нагрузкой и перемещениями связано с заменой закона Гука нелинейными зависимостями между напряжениями и деформациями.

1.3.2. Методы расчета конструкций Расчеты конструкций производят для обеспечения прочности, устойчивости и жесткости при их дальнейшей эксплуатации. Существует три метода расчета конструкций – метод расчета по допускаемым напряжениям, метод расчета по разрушающим нагрузкам, метод расчета по предельным состояниям.

Метод допускаемых напряжений. Суть данного метода расчета конструкции состоит в сравнении наибольших напряжений, возникающих в поперечных сечениях ее элементов от действия эксплуатационных нагрузок, с допускаемым напряжением. Допускаемое напряжение получается делением некоторого предельного напряжения конструкционного материала на коэффициент запаса прочности. Несущая способность конструкции считается обеспеченной при выполнении условия где max – наибольшее напряжение в опасном поперечном сечении некоторого элемента конструкции от действия эксплуатационных нагрузок; [] – допускаемое напряжение конструкционного материала; пред – предельное напряжение конструкционного материала (предел текучести, предел прочности или предел выносливости); k – коэффициент запаса прочности для материала.

Коэффициент запаса прочности k > 1 и обеспечивает безопасное функционирование конструкции при отклонении напряжений, соответствующих действительным условиям ее работы, от расчетных величин. Численные значения коэффициента запаса прочности принимаются на основе имеющегося опыта эксплуатации зданий и сооружений и регламентируются специальными нормами.

Основные недостатки метода – учет при расчете конструкций только упругих деформаций материала, игнорирование его пластических свойств и использование коэффициента запаса прочности для материала. Игнорирование пластических свойств материала приводит к излишним запасам прочности, а используемый коэффициент запаса прочности позволяет лишь приближенно учесть изменчивость прочностных характеристик материала и не учитывает изменчивость внешних воздействий и условий работы конструкции. Поэтому метод допускаемых напряжений, как правило, приводит к значительному фактическому перерасходу конструкционного материала и дает приемлемые результаты только при равномерном распределении внутренних сил в элементах конструкций.

Метод расчета по допускаемым напряжениям был разработан в начале XIX века. Применялся для расчета железобетонных конструкций до 1938 года. Металлические и деревянные конструкции рассчитывались по методу допускаемых напряжений до 1955 года.

Метод разрушающих нагрузок. Суть данного метода расчета конструкции состоит в сравнении расчетного внутреннего усилия, возникающего в ее наиболее опасном месте (элементе, поперечном сечении), с предельным внутренним усилием, возникающем в этом месте при разрушении конструкции. Несущая способность конструкции считается обеспеченной при выполнении условия Здесь S max – внутреннее усилие (продольная, поперечная сила, изгибающий момент) в опасном месте конструкции от действия наиболее неблагоприятного сочетания внешних нагрузок; S пред – предельное внутреннее усилие для опасного места конструкции, возникающее при ее разрушении; K – коэффициент запаса прочности для конструкции.

Основное преимущество этого метода по сравнению с методом расчета по допускаемым напряжениям является учет пластических свойств конструкционного материала. Это позволяет в ряде случаев при расчете конструкций сократить расход конструкционного материала. Вместе с тем использование единого коэффициента запаса прочности по-прежнему не позволяет учесть изменчивость всех факторов, связанных с расчетом конструкций. Поэтому данный метод также не обеспечивает в полной мере достаточной надежности конструкций.

Идея метода расчета по разрушающим нагрузкам была сформулирована в 1931 году советским ученым А.Ф. Лолейтом. После проведения обширных экспериментальных и теоретических исследований метод вошел в расчетную практику и с 1938 по 1955 год применялся для расчета железобетонных конструкций.

Метод предельных состояний. Данный метод является дальнейшим развитием метода расчета по разрушающим нагрузкам и состоит в том, что расчет конструкций проводят по так называемым предельным состояниям.

Основное его отличие заключается в том, что единый коэффициент запаса заменен системой из нескольких коэффициентов, раздельно учитывающих условия возведения и эксплуатации конструкций, изменчивость внешних воздействий, прочностных характеристик материалов и условия их работы.

Введение системы расчетных коэффициентов позволяет не допустить наступления предельных состояний конструкций при самых неблагоприятных условиях эксплуатации, сочетаниях внешних воздействий и минимальных значениях прочностных характеристик материалов.

Предельными состояниям считаются такие состояния конструкции, при которых она перестает удовлетворять заданным требованиям эксплуатации или изготовления. Различают две группы предельных состояний:

по потере несущей способности;

по непригодности к нормальной эксплуатации.

Цель расчета по предельным состояниям первой группы – исключить разрушение конструкции. Условие соблюдения таких предельных состояний имеет вид Здесь S max – возможное наибольшее усилие (продольная, поперечная сила, изгибающий момент), возникающее в рассчитываемом элементе конструкции от наиболее неблагоприятного сочетания расчетных внешних воздействий; min – наименьшая величина несущей способности рассчитываемого элемента, являющаяся функцией механических характеристик материала, условий его работы и размеров элемента.

Цель расчета по предельным состояниям второй группы – не допустить возникновения в конструкции чрезмерных перемещений, а также образования или раскрытия трещин, затрудняющих нормальную эксплуатацию конструкции при сохранении ее несущей способности. Условие соблюдения таких предельных состояний имеет вид где – величина перемещений или ширина раскрытия трещин от действия нормативных (эксплуатационных) внешних воздействий; [ ] – соответствующая предельная величина, установленная нормами и гарантирующая нормальную эксплуатацию конструкции.

1.4.1. Разделение расчетных схем конструкций по статическим признакам По статическим признакам расчетные схемы конструкций подразделяются на статически определимые, статически неопределимые и статически противоречивые системы. В основе такого разделения расчетных схем лежит разрешимость уравнений статики, которые описывают состояние равновесия рассматриваемой конструкции.

Расчетная схема конструкции считается статически определимой системой, если при произвольной статической нагрузке опорные реакции и внутренние усилия, возникающие в конструкции, могут быть найдены из уравнений статики единственным и определенным образом.

Расчетная схема конструкции считается статически неопределимой системой, если уравнений статики недостаточно для однозначного определения опорных реакций и внутренних усилий, возникающих в конструкции при произвольной статической нагрузке. Определение искомых величин единственным и определенным образом возможно лишь из совместного рассмотрения уравнений статики и условий, характеризующих деформацию конструкции.

Расчетная схема конструкции считается статически противоречивой системой, если она, из-за встречающихся противоречий или наложения ограничений на вид нагрузки, не удовлетворяет уравнениям статики.

Поскольку такие системы при действии произвольной статической нагрузки не могут находиться в равновесии, то они не допускаются в качестве расчетных схем строительных конструкций.

Таким образом, статический признак расчетной схемы конструкции существенным образом влияет как на метод определения внутренних усилий, так и на возможность ее использования при расчете конструкции. Поэтому расчет конструкции следует начинать с выяснения статического признака применяемой расчетной схемы.

Установление такого признака обычно осуществляется путем сопоставления числа уравнений статики и числа неизвестных величин, подлежащих определению. Считается, что в случае статически определимых систем число уравнений статики и число неизвестных величин одинаковые, а в случае статически неопределимых систем число уравнений статики меньше числа неизвестных величин. Однако такие соотношения являются необходимым, но недостаточным условием для заключения о статическом признаке расчетной схемы конструкции и поэтому могут приводить к неправильным выводам.

1.4.2. Разделение расчетных схем конструкций по кинематическим признакам По кинематическим признакам расчетные схемы конструкций подразделяются на геометрически неизменяемые и геометрически изменяемые системы. В основе такого разделения расчетных схем лежит возможность возникновения в них перемещений без учета деформаций материала.

Расчетная схема конструкции считается геометрически изменяемой системой, если она допускает относительные перемещения элементов без деформации материала. Такие системы бывают двух типов – с конечной изменяемостью и с мгновенной изменяемостью.

В геометрически изменяемых системах с конечной изменяемостью могут возникать конечные относительные перемещения элементов без их деформации. В геометрически изменяемых системах с мгновенной изменяемостью могут возникать бесконечно малые относительные перемещения элементов без их деформации, после чего система становится геометрически неизменяемой. Любая мгновенно изменяемая система представляет собой вырожденный случай некоторой неизменяемой системы.

Геометрически изменяемые системы с любым типом изменяемости не допускаются в качестве расчетных схем строительных конструкций.

Хотя после нагружения мгновенно изменяемые системы и становятся геометрически неизменяемыми, но возникающие при этом в них внутренние усилия имеют очень большие значения и конструкция или разрушится, или значительно деформируется.

Расчетная схема конструкции считается геометрически неизменяемой системой, если она не допускает относительные перемещения элементов без деформации материала. Такие системы бывают двух типов – с необходимым числом элементов и с избыточным числом элементов. В системах первого типа удаление одного элемента обращает ее в геометрически изменяемую систему, а для систем второго типа этого не происходит.

1.4.3. Взаимосвязь кинематических и статических признаков расчетных схем конструкций Кинематические признаки по сравнению со статическими признаками расчетных схем являются более глубокими и физически более естественными. На их основании могут устанавливаться и статические признаки расчетных схем.

Так как геометрически изменяемые системы допускают относительные перемещения элементов без деформации материала, то при действии произвольной статической нагрузки они не могут находиться в равновесии. Поэтому геометрически изменяемые системы с любым типом изменяемости являются статически противоречивыми системами.

Так как геометрически неизменяемые системы с необходимым числом связей не допускают относительные перемещения элементов без деформации материала, то при действии произвольной статической нагрузки они будут находиться в равновесии. Однако равновесие системы нарушается после удаления одного элемента, и она становится статически противоречивой. Поэтому геометрически неизменяемые системы с необходимым числом связей являются статически определимыми системами.

Геометрически неизменяемые системы с избыточными связями при действии произвольной статической нагрузки также будут находиться в равновесии. Однако равновесие такой системы не нарушается после удаления одного элемента. Поэтому геометрически неизменяемые системы с избыточным числом элементов являются статически неопределимыми системами.

1.4.4. Цель кинематического анализа и его основные понятия Раздел строительной механики, в котором предлагаются специальные приемы для установления кинематических признаков конструкций, называется кинематическим анализом. Его основными понятиями являются число степеней свободы, диск, узел, кинематическая связь.

Числом степеней свободы какого-либо тела или системы тел называется количество независимых возможных перемещений тела или системы, которые происходят без деформаций материала. Будем обозначать число степеней свободы символом W.

Диском является абсолютно твердое тело. На плоскости он обладает тремя степенями свободы W = 3. Его положение при движении может описываться двумя линейными перемещениями xC и yC некоторой произвольной точки C и углом поворота C любой прямой, проходящей через точку С (рис. 1.6, а).

Примерами дисков служат различные конструктивные элементы, например, прямолинейный или криволинейный стержни, а также любая геометрически неизменяемая часть конструкции, например, шарнирно стержневой треугольник.

Особое место среди дисков занимает основание, к которому крепится рассматриваемая система тел. Поскольку для реальных конструкций таким основанием является земная поверхность и при их расчетах не учитывается движение нашей планеты, то основание считается условно неподвижным диском. Число степеней свободы такого диска принимается W = 0, и в дальнейшем для краткости он будет называться «земля».

Узлом считается любая точка системы тел, положение которой описывается независимо от тел системы. На плоскости узел обладает двумя степенями свободы W = 2. Его положение при движении характеризуется двумя линейными перемещениями xC и yC (рис. 1.6, б). Например, узлами могут являться центры шарнирных узлов конструкции, если сходящиеся в них стержни относить не к числу дисков, а рассматривать как кинематические связи.

Кинематической связью является механическое устройство, уничтожающее одну степень свободы. Если какое-либо устройство уничтожает более одной степени свободы, то оно эквивалентно соответствующему количеству связей.

1.4.5. Виды кинематических связей Различают два вида кинематических связей – внутренние и внешние.

Внутренние связи соединяют диски и узлы рассматриваемой системы, а внешние – это связи, соединяющие систему с «землей», т.е. опорные устройства конструкции.

Основными типами внутренних связей служат стержень, цилиндрический шарнир и монолитное соединение тел, или «припайка». Покажем, сколько степеней свободы уничтожает каждый тип внутренней связи на примере соединения с их помощью двух дисков.

Стержень уничтожает одну степень свободы. Положение двух несвязанных дисков характеризуется шестью независимыми перемещениями После соединения дисков стержнем число таких перемещений уменьшается на единицу и положение системы характеризуется двумя линейными перемещениями xC, yC и тремя угловыми перемещениями C,, (рис. 1.7, б).

Цилиндрический шарнир уничтожает две степени свободы. После соединения двух дисков цилиндрическим шарниром число независимых перемещений, описывающих положение системы, уменьшается на две единицы и характеризуется двумя линейными перемещениями xC, yC и двумя угловыми перемещениями C, (рис. 1.8, а).

Таким образом, цилиндрический шарнир эквивалентен двум кинематическим связям и может изображаться в виде двух стержней (рис. 1.8, б).

И наоборот, два любых стержня, соединяющие два диска, могут рассматриваться как некоторый фиктивный шарнир. Такой шарнир располагается в точке пересечения этих стержней, которая определяет положение мгновенного центра вращения системы. В случае параллельности стержней такая точка лежит в бесконечности.

Монолитное соединение уничтожает три степени свободы. После соединения двух дисков с помощью «припайки» число независимых перемещений, описывающих положение системы, уменьшается на три единицы и характеризуется двумя линейными перемещениями xC, yC и одним угловым перемещением C (рис. 1.9, а).

Таким образом, монолитное соединение эквивалентно трем кинематическим связям и может изображаться в виде трех стержней (рис. 1.9, б).

Такие стержни не должны быть параллельны друг другу или пересекаться в одной точке.

Простейшими типами опорных устройств плоских стержневых конструкций являются цилиндрическая шарнирно подвижная и неподвижная опоры, подвижная и неподвижная защемляющие опоры. Рассмотрим, сколько степеней свободы уничтожает каждый тип опорного устройства.

Цилиндрическая шарнирно подвижная опора уничтожает одну степень свободы. В дальнейшем для краткости такую опору будем называть шарнирно подвижной. Положение свободного диска характеризуется тремя независимыми перемещениями. После его присоединения к «земле»

с помощью шарнирно подвижной опоры число таких перемещений уменьшается на единицу, так как опора допускает вращение вокруг некоторой оси и поступательное перемещение параллельно определенной прямой. Поэтому положение присоединенного к «земле» диска характеризуется одним линейным и одним угловым перемещениями.

Таким образом, шарнирно подвижная опора эквивалентна одной кинематической связи и может изображаться в виде стержня (рис. 1.10, а).

Ось такого стержня направлена перпендикулярно к допускаемому опорой поступательному перемещению.

Цилиндрическая шарнирно неподвижная опора уничтожает две степени свободы. В дальнейшем для краткости такую опору будем называть шарнирно неподвижной. После присоединения диска к «земле» с помощью шарнирно неподвижной опоры число таких перемещений уменьшается на две единицы, так как такая опора допускает только вращение вокруг некоторой оси. Поэтому положение присоединенного к «земле»

диска характеризуется одним угловым перемещением.

Таким образом, шарнирно неподвижная опора эквивалентна двум кинематическим связям и может изображаться в виде двух стержней (рис. 1.10, б).

Подвижная защемляющая опора уничтожает две степени свободы.

После присоединения диска к «земле» с помощью подвижной защемляющей опоры число таких перемещений уменьшается на две единицы, так как такая опора допускает только поступательное перемещение параллельно определенной прямой. Поэтому положение присоединенного к «земле»

диска характеризуется одним линейным перемещением.

Таким образом, подвижная защемляющая опора эквивалентна двум кинематическим связям и может изображаться в виде двух параллельных стержней перпендикулярно к допускаемому опорой поступательному перемещению (рис. 1.10, в). Расстояние между стержнями считается бесконечно малой величиной.

Неподвижная защемляющая опора уничтожает три степени свободы, так как она не допускает никаких перемещений диска после присоединения к «земле». Неподвижная защемляющая опора эквивалентна трем кинематическим связям и может изображаться в виде сочетания шарнирно подвижной и шарнирно неподвижной опор, расстояние между которыми считается бесконечно малой величиной (рис. 1.10, г).

1.4.6. Подсчет числа степеней свободы для плоских стержневых конструкций Для подсчета числа степеней свободы конструкция представляется в виде кинематической цепи – совокупности дисков и узлов с наложенными на них внутренними и внешними связями. Внешние связи представляются в эквивалентном стержневом изображении.

Кинематическая цепь состоит из элементов, приносящих степени свободы (диски, узлы) и уничтожающих их (шарниры, стержни, опорные стержни). С учетом числа степеней свободы, приносимых и уничтожаемых соответствующими элементами цепи, формула для подсчета числа степеней свободы плоской стержневой конструкции в общем случае имеет вид Здесь Д – число дисков, У – число узлов, Ш – число шарниров, С – число стержней внутри цепи, Со – число опорных стержней.

Определение числа шарниров производится с учетом их кратности. Шарнир считается кратным, если он соединяет более двух дисков. Степень кратности такого шарнира на единицу меньше числа соединяемых дисков (рис. 1.11).

Подсчет числа степеней свободы по формуле (1.1) не зависит от способа образования кинематической цепи и может приводить к следующим результатам:

В случае W > 0 система является геометрически изменяемой, так как число степеней свободы, приносимых элементами цепи, превышает число степеней свободы, выключаемых кинематическими связями. Условие геометрической изменяемости W > 0 является необходимым и достаточным.

В случае W 0 система является геометрически неизменяемой, так как число степеней свободы, уничтоженных кинематическими связями, превышает число степеней свободы, приносимых элементами цепи. Однако условие геометрической неизменяемости W 0 является необходимым, но не достаточным. Покажем это на частном примере.

Для систем, показанных на рис. 1.12, число W = 0 и, следовательно, их все можно считать геометрически неизменяемыми системами. Однако в случае, показанном на рис. 1.12, а, система действительно геометрически неизменяемая, а в двух других случаях (рис. 1.12, б, в) системы геометрически изменяемые, с мгновенной и конечной изменяемостью соответственно. Причиной является неправильное или дефектное присоединение балки к основанию опорными стержнями, приводящее к возникновению перемещений балки относительно основания.

Рассмотренные примеры подтверждают недостаточность подсчета числа степеней свободы для правильного заключения о кинематических свойствах конструкции при выполнении условия W 0. Поэтому подсчет числа степеней свободы в этих случаях дополняется анализом геометрической структуры конструкции.

1.4.7. Анализ геометрической структуры плоских стержневых конструкций Анализ геометрической структуры конструкции заключается в последовательном рассмотрении схем соединения кинематическими связями дисков и узлов кинематической цепи конструкции между собой и с основанием. Целью такого рассмотрения является поиск схем соединения, приводящих к возникновению мгновенного центра скоростей для системы в целом или для отдельных ее частей. В случае обнаружения таких схем соединения делается вывод о геометрической изменяемости стержневой конструкции, несмотря на полученный результат подсчета числа степеней свободы W 0. Поэтому для проведения анализа геометрической структуры нужно иметь некоторые исходные схемы соединения, приводящие или не приводящие к появлению мгновенного центра скоростей.

Основные схемы соединения элементов кинематической цепи между собой Два диска, соединенные между собой тремя непараллельными и не пересекающимися в одной точке стержнями, образуют единый диск (рис. 1.13, а).

Неправильное расположение стержней между дисками, приводящее к возникновению мгновенного центра, показано на рис. 1.13, б, в.

Три диска, соединенные между собой тремя шарнирами, не лежащими на одной прямой, образуют единый диск (рис. 1.14, а).

Неправильное расположение шарниров между дисками, приводящее к возникновению мгновенного центра, показано на рис. 1.14, б.

Два диска, соединенные между собой при помощи шарнира и стержня, ось которого не проходит через центр шарнира, образуют единый диск (рис. 1.15, а).

Неправильное расположение связей между дисками, приводящее к возникновению мгновенного центра, показано на рис. 1.15, б.

ку с помощью двух стержней, не образуют единый диск (рис. 1.16, а).

Неправильное присоединение узла к диску, приводящее к возникновению мгновенного центра, показано на рис. 1.16, б.

Три узла, соединенные между собой тремя стержнями и образующие шарнирно стержневой треугольник, являются диском.

Основные схемы присоединения элементов кинематической цепи к основанию Диск, присоединенный к основанию с помощью неподвижной защемляющей опоры, образует с ним единый диск.

Диск, присоединенный к основанию с помощью шарнирно неподвижной и шарнирно подвижной опор, образует с ним единый диск (рис. 1.17, а). Такое присоединение диска к основанию называется балочной схемой опирания, и оно эквивалентно соединению двух дисков с помощью трех стержней, непараллельных и не пересекающихся в одной точке. Неправильное расположение опор, приводящее к образованию мгновенно изменяемой системы, показано на рис. 17, б.

Два диска, соединенные шарниром и присоединенные к основанию с помощью двух шарнирно неподвижных опор, образуют с ним единый диск (рис. 1.18, а).

Такое присоединение двух дисков к основанию называется трехшарнирной схемой опирания, и оно эквивалентно соединению трех дисков с помощью трех шарниров, не лежащих на одной прямой. Неправильное взаимное расположение шарнира и опор, приводящее к образованию мгновенно изменяемой системы, показано на рис. 1.18, б.

1.4.8. Порядок установления кинематических и статических признаков конструкции Для установления кинематических и статических признаков плоской стержневой конструкции необходимо:

изобразить расчетную схему конструкции в виде кинематической цепи;

подсчитать число дисков Д, число узлов У, число шарниров Ш, число стержней внутри цепи С, число опорных стержней Со;

подсчитать число степеней свободы кинематической цепи W;

если W > 0, сделать вывод о геометрической изменяемости и статической противоречивости конструкции;

если W 0, провести анализ геометрической структуры конструкции;

сделать вывод о кинематических и статических свойствах конструкции с учетом результатов анализа геометрической структуры конструкции.

1.5. ЭВМ и матрицы в задачах строительной механики Середина XX столетия ознаменовалась появлением электронных вычислительных машин, оказавших серьезное влияние на развитие многих областей науки и техники. Претерпела и продолжает претерпевать такие изменения и строительная механика. Вычислительные машины значительно облегчили расчеты сложных конструкций. С успехом решен ряд задач строительной механики, достаточно надежное решение которых до появления ЭВМ было практически невыполнимым.

Условно в истории развития строительной механики можно выделить два периода – до и после появления компьютеров. Постоянно увеличивающиеся вычислительные возможности современных ЭВМ, мощные программные продукты и их «дружественный» интерфейс снимают практически все ограничения на сложность решаемых задач строительной механики, связанных с расчетами сооружений на прочность, жесткость и устойчивость.

1.5.1. Особенности развития строительной механики, связанные с использованием в расчетах ЭВМ Появление ЭВМ принципиально изменило положение границ областей рационального применения классических методов строительной механики. Если совсем недавно считался трудновыполнимым статический расчет конструкций, связанный с определением более десяти совместных неизвестных величин, то сейчас рассчитываются системы со многими сотнями и тысячами таких неизвестных. Классические методы строительной механики, применявшиеся лишь к стержневым системам, с успехом стали применяться при расчете конструкций, в состав которых входят не только стержни, но и тонкостенные элементы – пластины и оболочки.

Возрос интерес к нелинейным задачам строительной механики. Напряженно-деформированное состояние конструкций стало рассматриваться как физический процесс. Появились методы расчета конструкций, описывающие их поведение в различные периоды существования.

Для гибких конструкций был осуществлен переход от расчета по заданному недеформированному состоянию к расчету по деформированному состоянию. Введение в расчет нелинейных соотношений между деформациями и перемещениями позволило учесть влияние изменения формы и размеров конструкции на ее напряженно-деформированное состояние.

Для жестких конструкций, в которых возможно возникновение неупругих деформаций, появились методы расчета, основанные на замене закона Гука нелинейными зависимостями между напряжениями и деформациями. Это позволило получать параметры напряженно-деформированного состояния конструкции на всех этапах нагружения, включая и этап разрушения.

Наряду с решением задач, позволявшим более глубоко анализировать напряженно-деформированное состояние конструкций, существенное разрешение получили проблемы оптимального проектирования конструкций. Был решен ряд задач, связанных с оптимизацией действующих нагрузок на конструкцию, ее физических параметров и конфигурации. Без ЭВМ решение таких задач было трудно довести до практического применения.

Появление ЭВМ способствовало развитию методов расчета строительных конструкций на надежность. В основе таких методов лежит вероятностный подход к оценке прочности, устойчивости и жесткости конструкций. Был решен ряд задач, посвященных анализу напряженно-деформированного состояния различных конструкций с учетом случайного характера внешних воздействий и случайной природы физических и геометрических параметров этих конструкций.

1.5.2. Матричная форма расчетов в строительной механике С появлением вычислительных машин существенно изменилась и форма расчетов конструкций. Наиболее приспособленной к применению ЭВМ оказалась матричная форма расчетов конструкций. Такая форма обладает двумя серьезными достоинствами. С одной стороны, расчет, представленный в такой форме, легко программируется. С другой стороны, эта форма удобна для выполнения вычислений на компьютере.

Матричная форма позволяет разбивать весь расчет на две, резко отличные одна от другой части.

В первой рассматриваются и решаются вопросы строительной механики – выбор метода расчета, формирование массивов исходных данных, построение алгоритма расчета, позволяющего получать массивы искомых результатов.

Во второй части сосредоточена вся вычислительная работа, выполняемая в соответствии с алгоритмом расчета.

Матричная форма расчета обеспечивает компактность записи математических соотношений, связанных с расчетом конструкций, простоту выполнения промежуточных преобразований. Расчет конструкций, представленный в такой форме, легко обозрим независимо от степени сложности рассчитываемой конструкции.

С помощью матриц при расчетах строительных конструкций задаются массивы чисел, которые упорядоченно описывают внешние воздействия, геометрические и физические параметры конструкции и описываются полученные величины, характеризующие ее напряженно-деформированное состояние. При матричной форме расчетов конструкций используются следующие разновидности матриц:

Прямоугольная матрица с размерами m n Первый индекс элементов определяет номер строки, второй – номер столбца матрицы. Если в матрице число столбцов n = 1, то она приобретает вид и называется матрицей-столбцом или вектором. Второй индекс у элементов в этом случае опускается.

Особую роль в расчетах строительных конструкций играет квадратная матрица n -ного порядка, являющаяся частным случаем прямоугольной матрицы при m = n.

Если элементы матрицы обладают свойством взаимности aij = a ji (i, j = 1,..., n), то матрица называется симметрической. Таковы, например, матрицы коэффициентов канонических уравнений методов сил и методов перемещений, применяемых при статическом расчете конструкций.

Существенное значение для квадратной матрицы играет величина определителя. Если ее определитель равен нулю, то матрица называется особенной или вырожденной. В противном случае она называется не особенной.

Если у квадратной матрицы все элементы, кроме диагональных, равны нулю aij = 0 (i j; i, j = 1,..., n), то она называется диагональной.

Если в диагональной матрице все элементы положить равными единице aii = 1 ( i = 1,..., n), то такая матрица называется единичной и обычно обозначается буквой E Квадратная матрица, у которой все элементы aij 0 (i, j = 1,..., n), называется нулевой. Единичная и нулевая матрицы играют в матричной форме расчетов конструкций такую же роль, какую играют единица и нуль в обычной скалярной форме таких расчетов.

Над матрицами, встречающимися при расчетах строительных конструкций, в соответствии с алгоритмами таких расчетов производят определенные операции: сложение, вычитание, перемножение, обращение, возведение в степень, образование функций от матриц и другие операции. Выполнение этих операций и их физический смысл, который они приобретают в задачах строительной механики, будут показаны при рассмотрении конкретных методов расчета конструкций.

Конструктивные элементы жилых, общественных и промышленных зданий, прежде всего, выполняют две функции – ограждающую и несущую.

Конструктивные элементы, выполняющие несущую функцию и обеспечивающие безопасное восприятие зданиями внешних воздействий, называются несущими конструкциями.

Для того чтобы здание могло после возведения длительное время надежно функционировать, его несущие конструкции должны обладать тремя свойствами – прочностью, устойчивостью и жесткостью.

Разработкой принципов и методов расчета конструкций на прочность, устойчивость и жесткость занимается строительная механика.

Совокупность схематизированных описаний геометрической формы, материала и внешних воздействий реальной конструкции, используемых при ее расчете, образует расчетную модель конструкции.

Расчетная модель конструкции, у которой между нагрузкой и вызываемыми ею перемещениями, а также внутренними усилиями принимается прямая пропорциональная зависимость, называется линейно деформируемой системой.

Нелинейно деформируемой системой называется расчетная модель конструкции, у которой между нагрузкой и вызываемыми ею перемещениями принимается нелинейная зависимость.

По статическим признакам расчетные схемы конструкций подразделяются на статически определимые, статически неопределимые и статически противоречивые системы.

По кинематическим признакам расчетные схемы конструкций подразделяются на геометрически неизменяемые и геометрически изменяемые системы.

Кинематические признаки по сравнению со статическими признаками расчетных схем являются более глубокими. На их основании могут устанавливаться и статические признаки расчетных схем.

Появление ЭВМ практически сняло все ограничения на сложность решаемых задач строительной механики, связанных с расчетами сооружений на прочность, жесткость и устойчивость.

Проверьте, как Вы усвоили следующие понятия, определения, алгоритмы и формулы:

– строительная механика;

– цели расчета сооружений;

– основная задача строительной механики;

– несущая система;

– несущая конструкция;

– внешнее воздействие;

– расчетная модель;

– расчетная схема;

– инженерная модель материала;

– состояние равновесия;

– напряженно-деформированное состояние;

– кривая равновесных состояний;

– линейно деформируемая система;

– принцип суперпозиции;

– правило относительной жесткости;

– нелинейно деформируемая система;

– несущая способность сооружения;

– методы определения несущей способности;

– предельные состояния сооружения;

– алгоритм расчета сооружения;

– кинематический анализ;

– число степеней свободы;

– диск, узел, “земля”;

– кинематическая связь;

– кинематическая цепь;

– формула для подсчета числа степеней свободы;

– анализ геометрической структуры;

– алгоритм кинематического анализа.

Проверьте, как Вы умеете определять в стержневых системах:

– опорные реакции;

– число степеней свободы;

– кинематические и статические свойства.

М-2. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ

ОТ НЕПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКИ В ПЛОСКИХ СТАТИЧЕСКИ

ОПРЕДЕЛИМЫХ СТЕРЖНЕВЫХ КОНСТРУКЦИЯХ

рассмотрение числовых характеристик внутренних сил плоских стержневых конструкций;

знакомство с видами статически определимых стержневых конструкций и их свойствами;

изучение методов определения внутренних усилий в статически определимых стержневых конструкциях;

Структура изучаемого модуля включает следующие учебные элементы:

1. Особенности расчета статически определимых конструкций.

2. Аналитическая форма определения внутренних усилий.

3. Матричная форма определения внутренних усилий.

При изучении учебных элементов рекомендуется использование следующей литературы: [1, c. 98 – 119]; [2, c. 43 – 58]; [3, c. 54 – 58, 63 – 88];

[4, c. 69 – 76]; [5, c. 36 – 48].

2.1. Особенности расчета статически определимых конструкций 2.1.1. Внутренние силы и их числовые характеристики При расчете стержневой конструкции заданной геометрической формы из определенного конструкционного материала и с известными внешними воздействиями неизвестными величинами могут являться:

1. Опорные реакции.

2. Внутренние силы.

3. Размеры поперечных сечений конструктивных элементов.

4. Перемещения конструкции.

Из курса сопротивления материалов известно, что внутренние силы, возникающие в элементах стержневой конструкции, с помощью метода сечений могут рассматриваться как внешние силы (рис. 2.1, а, б). Такой прием позволяет включать внутренние силы в уравнения равновесия конструкции.

Числовой мерой внутренних сил в произвольной точке поперечного сечения конструктивного элемента являются напряжения – полные p, нормальные и касательные (рис. 2.1, в). Напряжения численно характеризуют интенсивность внутренних сил, приходящихся на единицу площади поперечного сечения.

Для поперечного сечения в целом числовой мерой внутренних сил являются составляющие главного вектора и главного момента таких сил при их приведении к центру тяжести поперечного сечения. В плоских стержневых конструкциях такими составляющими являются продольная сила N, поперечная сила Q и изгибающий момент M (рис. 2.2). Их принято называть внутренними усилиями конструкции, и они связаны с напряжениями следующими интегральными зависимостями:

Отличительной особенностью расчета статически определимых стержневых конструкций является независимость определения опорных реакций и внутренних усилий от перемещений, возникающих в конструкции, и размеров поперечных сечений ее конструктивных элементов. Это радикальным образом упрощает расчет таких конструкций, так как опорные реакции и внутренние усилия могут быть найдены из условий равновесия.

При определении внутренних усилий в статически определимых стержневых конструкциях могут использоваться три формы – аналитическая, графическая и матричная. Графическая форма в настоящее время утратила свою актуальность и практически при расчетах реальных конструкций не применяется.

2.1.2. Виды статически определимых конструкций и их свойства По геометрической структуре статически определимые стержневые конструкции можно разделить на два вида – простые и составные. Конструкции первого вида, мысленно отделенные от «земли», являются диском (рис. 2.3). Примерами таких конструкций являются консольная балка и рама с балочной схемой опирания, показанные на рис. 2.4.

Конструкции второго вида состоят из элементов двух типов – основных и дополнительных. Отличительным признаком основных элементов является их геометрическая неизменяемость по отношению к «земле» без учета остальных элементов конструкции. Следовательно, основные элементы служат основанием для опирания дополнительных элементов. Поэтому при расчете составных статически определимых стержневых конструкций целесообразно использование монтажной схемы. Такая схема показывает последовательность опирания частей составной конструкции на «землю» и друг на друга. Пример составной конструкции и ее монтажной схемы показан на рис. 2.5.

Все статически определимые стержневые конструкции обладают рядом общих свойств, существенно отличающих их от статически неопределимых стержневых конструкций. Следуя [4], рассмотрим эти свойства без доказательств.

Первое свойство. Каждой нагрузке, приложенной к конструкции, соответствует единственная система значений опорных реакций и внутренних усилий этой конструкции.

Второе свойство. Нагрузка, приложенная к основному элементу составной конструкции, вызывает внутренние усилия только в этом элементе, а нагрузка, приложенная к дополнительному элементу, вызывает внутренние усилия, как в нем, так и в элементах, на которые он опирается. Иллюстрация свойства приведена на рис. 2.6.

Третье свойство. Уравновешенная нагрузка, приложенная к геометрически неизменяемой части конструкции, вызывает внутренние усилия только в этой части, а в остальных частях конструкции они равны нулю.

Иллюстрация свойства приведена на рис. 2.7.

Четвертое свойство. Замена нагрузки, приложенной к некоторой геометрически неизменяемой части конструкции, эквивалентной нагрузкой не изменяет внутренних усилий в остальных частях конструкции. Иллюстрация свойства приведена на рис. 2.8.

Пятое свойство. В статически определимых стержневых конструкциях не возникают внутренние усилия от температурного воздействия, осадки опор и вследствие неточностей изготовления конструктивных элементов.

2.2. Аналитическая форма определения внутренних усилий Такая форма определения внутренних усилий основана на использовании уравнений и условий, описывающих функциональные зависимости для плоской стержневой конструкции, находящейся в равновесии при действии произвольной нагрузки.

Существует три разновидности аналитической формы – статический метод, кинематический метод и метод замены связей.

2.2.1. Статический метод определения внутренних усилий Статический метод определения внутренних усилий основан на использовании метода сечений и рассмотрении условий равновесия конструкции в целом или отдельных ее частей. Искомые внутренние усилия находятся в виде функций, описывающих изменение внутренних усилий по длине конструктивных элементов. Графики таких функций называются эпюрами соответствующих внутренних усилий.

Сначала рассмотрим применение метода для расчета простых статически определимых конструкций. Расчет таких конструкций начинается с определения опорных реакций. Используем для этого одну из разновидностей уравнений равновесия системы сил, произвольно расположенных на плоскости. Для включения опорных реакций в уравнения равновесия в качестве неизвестных величин их при помощи принципа освобождаемости от связей переводят в число внешних сил, приложенных к стержневой конструкции в местах присоединения опорных закреплений.

Для определения внутренних усилий в произвольном сечении K некоторого элемента плоской стержневой конструкции разделяем ее в этом сечении на две части (рис. 2.9) и заменяем удаленные связи их реакциями – внутренними усилиями этого сечения. Обе части конструкции под действием приложенных к ним внешних сил и внутренних усилий находятся в равновесии. Возможны три разновидности определения внутренних усилий статическим методом.

Первая разновидность основана на применении уравнений равновесия к одной из отделенных частей конструкции. Такие уравнения имеют вид где – сумма моментов внешних сил отделенной части конструкi проекций внешних сил отделенной части конструкции, соответственно, на нормаль и касательную к оси стержня в сечении K. Решая уравнения (2.2), определяем внутренние усилия в сечении как некоторые функции величин, описывающих его положение – координат сечения, угла наклона касательной или нормали.

Вторая разновидность основана на использовании приема приведения системы сил к точке. Из условия равновесия конструкции в целом следует, что главный вектор и главный момент внешних сил одной части как по величине, так и по направлению, совпадают с главным вектором и главным моментом внутренних сил другой части. Поэтому, приводя внешние силы одной части конструкции к центру тяжести поперечного сечения другой части конструкции (рис. 2.10), можно найти внутренние усилия без составления и решения уравнений равновесия.

Третья разновидность носит смешанный характер. В этом случае изгибающие моменты находятся одним из названных выше способов. Затем, используя найденные изгибающие моменты, из условия равновесия стержней системы находятся поперечные силы. Тогда продольные силы можно найти из условия равновесия узлов системы с использованием соответствующих значений поперечных сил.

определимых конструкций статическим методом наиболее просто выполнять в обратном порядке их образования согласно монтажной схеме ных перемещений для несвободной механической системы. Согласно этому принципу, если механическая система с двусторонними идеальными связями под действием приложенных сил находится в покое, то на любом возможном перемещении из этого положения сумма работ этих сил равна нулю.

Для применения этого принципа к определению опорных реакций и внутренних усилий статически определимой стержневой конструкции при действии заданной нагрузки отбрасывают ту связь, реакцию которой требуется определить. Удаленная связь заменяется положительной реакцией, которая рассматривается как заданная сила.

В результате удаления связи конструкция превращается в систему с одной степенью свободы. Полученной системе сообщают возможное перемещение, соответствующее имеющейся степени свободы, и составляют уравнение работ для заданных сил, включая реакцию отброшенной связи Здесь S – реакция отброшенной связи; S – возможное перемещение, соответствующее реакции S; Pi i – работа заданных сил на соответстi вующих им возможных перемещениях. Решая уравнение (2.3), определяют искомую величину S – опорную реакцию или внутреннее усилие рассчитываемой конструкции.

Кинематический метод позволяет сравнительно просто определять опорные реакции и внутренние усилия в статически определимых стержневых конструкциях. Простота такого метода наиболее наглядна при расчете составных конструкций.

2.2.3. Определение внутренних усилий методом замены связей Метод замены связей основан на переходе от расчета заданной сложной конструкции к расчету некоторой простой эквивалентной конструкции. Такая конструкция получается из заданной перестановкой некоторого числа связей n – удалением в одних частях и введением их в других частях конструкции. Полученная конструкция называется заменяющей.

Эквивалентность заменяющей конструкции достигается следующим образом. Во-первых, к ней прикладываются в качестве дополнительных внешних воздействий неизвестные реакции удаленных связей заданной конструкции X 1,..., X n. Во-вторых, вводятся условия обращения в нуль реакций заменяющей конструкции во введенных связях от действия нагрузки и неизвестных реакций X 1,..., X n Применяя к условиям (2.4) принцип независимости действия сил, получим систему уравнений для определения X 1,..., X n Коэффициенты системы (2.5) rij (i, j = 1,..., n) являются единичными реакциями, а свободные члены RiP (i = 1,..., n) – грузовыми реакциями, возникающими во введенных связях заменяющей конструкции.

Для определения коэффициентов rij рассматриваются единичные состояния заменяющей конструкции, получаемые последовательным приложением к ней сил X i = 1 (i = 1,..., n). Для определения свободных членов RiP рассматривается грузовое состояние заменяющей конструкции, получаемое приложением к ней заданной нагрузки.

После решения системы (2.5) и определения X 1,..., X n произвольное внутреннее усилие S заданной конструкции можно найти, согласно принципу независимости действия сил, по формуле где si (i = 1,..., n) – соответствующие внутренние усилия единичных состояний заменяющей конструкции; S P – соответствующее внутреннее усилие грузового состояния заменяющей конструкции.

Метод замены связей обычно применяется при расчете составных статически определимых стержневых конструкций. В качестве заменяющей конструкции берется соответствующая простая статически определимая конструкция.

2.3. Матричная форма определения внутренних усилий Аналитическая форма определения внутренних усилий в статически определимых стержневых конструкциях позволяет их находить как функции координат сечений отдельных стержней. Имея такие функции, можно вычислять внутренние усилия в произвольном месте конструкции.

Матричная форма расчета позволяет вычислять внутренние усилия в определенных, заранее установленных местах конструкции. При расчете статически определимых стержневых конструкций возможно применение двух вариантов матричной формы определения внутренних усилий. В первом варианте для определения внутренних усилий используются матрицы влияния этих усилий. Второй вариант матричной формы основан на использовании матрицы коэффициентов уравнений равновесия узлов и стержней рассчитываемой конструкции.

Применение аппарата матричной алгебры и получение конечного множества искомых величин внутренних усилий основано на использовании приемов дискретизации расчетной схемы конструкции и заданной нагрузки.

2.3.1. Дискретизация расчетной схемы конструкции и заданной нагрузки Дискретизация расчетной схемы стержневой конструкции предполагает ее разбиение на отдельные элементы, введение мест их соединения и выделение расчетных сечений конструкции.

Отдельными элементами могут служить как стержни конструкции, так и их участки, на которые они могут разбиваться с целью повышения точности результатов расчета конструкции. Пусть их число равняется r.

Места соединения отдельных элементов, полученных при образовании дискретной расчетной схемы, называются ее узлами. Пусть их число равняется f.

Расчетными сечениями конструкции являются концевые сечения отдельных элементов, примыкающих к узлам дискретной расчетной схемы.

Дискретизация нагрузки заключается в замене заданной нагрузки статически эквивалентной системой сосредоточенных сил, приложенных в узлах дискретной расчетной схемы. Это позволяет описать нагрузку в виде вектора В случае действия на конструкцию некоторого сочетания k нагрузок они описываются с помощью матрицы Каждый столбец матрицы описывает эквивалентную систему сосредоточенных сил, соответствующую одной из заданных нагрузок Пример дискретизации расчетной схемы и нагрузки балки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой, показан на рис. 2.12. Дискретная расчетная схема балки включает четыре элемента и три узла. Узловая нагрузка Gi = (i = 1,2,3). В общем случае число сосредоточенных узловых сил, заменяющих заданную нагрузку, должно обеспечивать достаточную точность реРис. 2. зультатов расчета конструкции.

2.3.2. Определение внутренних усилий с помощью матриц влияния системы сосредоточенных сил, согласно принципу независимости действия сил, можно представить как суммы моментов от действия каждой силы в отдельности

Здесь M iGk (i, k = 1,..., n) – изгибающий момент, возникающий в i-том Подставляя (2.7) в выражения (2.6), получим

Матричная форма линейных соотношений (2.8) имеет вид Входящая в (2.9) матрица осуществляет линейное преобразование вектора нагрузки G в искомый вектор балочных изгибающих моментов и называется матрицей влияния изгибающих моментов. Каждый столбец такой матрицы образован ординатами единичной эпюры изгибающих моментов, номер которой совпадает с номером столбца.

В случае действия на балку сочетания нагрузок, описываемых матрицей G, зависимость (2.9) примет вид и позволит получить матрицу изгибающих моментов Каждый столбец такой матрицы описывает балочные изгибающие моменты, соответствующие одной из нагрузок заданного сочетания.

Обобщая полученные соотношения для любого внутреннего усилия S, возникающего в произвольной плоской стержневой конструкции, получим следующие формулы:

Здесь S, S – соответственно, вектор и матрица внутреннего усилия S, а LS – матрица влияния этого усилия. Элементами этой матрицы являются внутренние усилия в расчетных сечениях конструкции, возникающие от единичных сил, последовательно прикладываемых к ее узлам.

Отличительной особенностью расчета статически определимых стержневых конструкций является независимость определения опорных реакций и внутренних усилий от перемещений, возникающих в конструкции, и размеров поперечных сечений ее конструктивных элементов.

Все статически определимые стержневые конструкции обладают рядом общих свойств, существенно отличающих их от статически неопределимых стержневых конструкций.

Аналитическая форма определения внутренних усилий в статически определимых стержневых конструкциях при действии произвольной нагрузки основана на использовании уравнений равновесия и позволяет находить внутренние усилия как функции координат сечений отдельных стержней.

Матричная форма расчета позволяет вычислять внутренние усилия в определенных, заранее установленных местах конструкции и основана на использовании приемов дискретизации расчетной схемы конструкции и заданной нагрузки.

Проверьте, как Вы усвоили следующие понятия, определения, алгоритмы и формулы:

– внутренние силы;

– метод сечений;

– интегральные характеристики внутренних сил;

– изгибающий момент;

– поперечная сила;

– продольная сила;

– этапы определения внутренних усилий;

– особенности статически определимых систем;

– виды статически определимых систем;

– свойства статически определимых систем;

– формы определения внутренних усилий;

– дискретизация расчетной схемы;

– конечный элемент;

– расчетное сечение;

– дискретизация внешней нагрузки;

– вектор нагрузки;

– матрица нагрузок;

– вектор внутренних усилий;

– матрица внутренних усилий;

– матрица влияния внутренних усилий;

– способы формирования матриц влияния.

Проверьте, как Вы умеете для статически определимых стержневых конструкций:

– строить эпюры M, Q, N;

– проводить дискретизацию расчетной схемы;

– проводить дискретизацию внешней нагрузки;

– формировать матрицу влияния внутренних усилий.

М-3. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ

ОТ ПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКИ

В ПЛОСКИХ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ

СТЕРЖНЕВЫХ КОНСТРУКЦИЯХ

рассмотрение понятия подвижной нагрузки и ее опасного положения;

рассмотрение понятия линии влияния;

изучение способов построения линий влияния внутренних усилий;

применение линий влияния для определения внутренних усилий от неподвижной нагрузки;

отыскание опасного положения различных видов подвижных нагрузок;

отыскание опасного положения временной нагрузки;

рассмотрение связи понятий линии влияния и матрицы влияния.

Структура изучаемого модуля включает следующие учебные элементы:

1. Особенности расчета конструкций на подвижную нагрузку.

2. Статический способ построения линий влияния.

3. Кинематический способ построения линий влияния.

4. Применение линий влияния к определению внутренних усилий.

При изучении учебных элементов рекомендуется использование следующей литературы: [1, c. 120 – 144]; [3, c. 206 – 213]; [4, c. 42 – 64]; [5, c. 54 – 83].

3.1. Особенности расчета конструкций на подвижную нагрузку 3.1.1. Понятие о подвижной нагрузке Подвижная нагрузка характеризуется непрерывным изменением места приложения вследствие перемещения по конструкции с некоторой конечной скоростью. Примером такой нагрузки может служить движущийся мостовой кран.

Реальные подвижные нагрузки в расчетах конструкций схематизируются и заменяются их моделями. Будем различать следующие виды таких моделей:

1. Двухосная подвижная нагрузка (рис. 3.1), моделирующая различные виды движущихся двухосных механических экипажей (мостовые краны общего назначения, кары, автомобили).

Положение такой нагрузки на конструкции описывается абсциссой x. Сама нагрузка состоит из двух параллельных вертикальных сил Pi (i = 1,2), характеризующих величины давления на каждое колесо.

Расстояние a между силами при движении сохраняется неизменным.

2. Многоосная подвижная нагрузка (рис. 3.2), моделирующая одновременное движение нескольких двухосных механических экипажей или различные виды движущихся многоосных механических экипажей (тяжелые мостовые краны, автомобильные колонны, многоосные автомобили, железнодорожные составы).

Такая нагрузка состоит из системы параллельных вертикальных сил Pi (i = 1,..., n), между которыми сохраняются неизменные расстояния a j ( j = 1,..., n 1), а ее положение также описывается абсциссой x.

3. Гусеничная подвижная нагрузка, моделирующая различные виды движущихся механических экипажей на гусеничном ходу (тракторы, вездеходы) (рис. 3.3).

Она описывается участком заданной длины l равномерно распределенной нагрузки постоянной интенсивности q. Положение такой нагрузки на конструкции по-прежнему описывается абсциссой x.

Любая подвижная нагрузка порождает в конструкции внутренние усилия и перемещения, зависящие от ее положения x. А поскольку подвижная нагрузка по своей природе является динамической, то эти величины зависят и от времени t.

При статическом расчете конструкций на действие подвижной нагрузки, порождаемые ею динамические эффекты (колебания и силы инерции), не учитываются. С этой целью полагают, что нагрузка изменяет свое положение на конструкции с бесконечно малой скоростью. В этом случае возникающие в конструкции внутренние усилия зависят только от положения нагрузки.

К нагрузкам, которые могут изменять свое положение на конструкции и которые учитываются при статическом расчете конструкций, относится и ряд временных нагрузок. В их числе, например, снеговая нагрузка, вес оборудования, вес людей.

Особенностью временной вертикальной нагрузки является ее непостоянное действие на конструкцию. Такая нагрузка схематизируется и задается в виде равномерно распределенной нагрузки интенсивности q, которая может занимать произвольные положения на одном или нескольких участках конструкции. Поэтому временную вертикальную нагрузку условно можно рассматривать как специфичную разновидность подвижной нагрузки.

3.1.2. Опасное положение подвижной нагрузки Для статического расчета конструкций на прочность и жесткость требуются наибольшие величины возникающих в них внутренних усилий и перемещений. Поэтому расчет на действие подвижной нагрузки связан с определением ее положений, при которых требуемые величины принимают экстремальные значения. Такие положения подвижной нагрузки называются опасными положениями, а соответствующие им величины определяемых внутренних усилий или перемещений являются расчетными значениями. Возможны два подхода к определению опасного положения подвижной нагрузки.

Первый подход основан на получении аналитических выражений, определяющих непрерывные изменения искомых величин в зависимости от положения подвижной нагрузки на конструкции. Исследуя полученные функции методами математического анализа, можно найти их наибольшие и наименьшие значения.

Такой подход является общим для отыскания расчетных положений подвижной нагрузки как для линейно, так и нелинейно деформируемых систем. Однако практически его можно осуществить только в простых частных случаях.

Второй подход основан на понятии линии влияния. Он справедлив только для линейно деформируемых систем, но дает для них общий метод отыскания опасных положений любых подвижных нагрузок.