«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ Кафедра прикладной математики ( x - a )2 1 f N ( a ; ...»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ

Кафедра прикладной математики

( x - a )2

1 f N ( a ; ) ( x) = 2 2

e,

2 В. И. СОЛОВЬЕВ ( x-a ) / z2 1 FN ( a ; ) ( x) = e dz 2 2 -• Прикладная математика z = c1 x1 + c2 x2 + + cn xn max a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn b1, a x + Электронный учебныйa x b, курс 21 1 a22 x2 + + 2 n n am1 x1 + am 2 x2 + + amn xn bm, 0, …, x1 0, x2 МОСКВА – 2003 xn Оглавление Организационно-методические указания

Распределение часов по темам и видам учебных занятий

Содержание тем программы

Рекомендуемая литература

Раздел I ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА В ЭКОНОМИКЕ И УПРАВЛЕНИИ

Глава 1. Случайные события и их вероятности

§ 1.1. Элементы комбинаторики

§ 1.2. Случайные события и операции над ними

§ 1.3. Классическая, геометрическая и статистическая вероятность

§ 1.4. Основные формулы теории вероятностей

§ 1.5. Испытания Бернулли

Глава 2. Случайные величины и их характеристики

§ 2.1. Понятие случайной величины

§ 2.2. Дискретные случайные величины

§ 2.3. Канонические законы распределения дискретных случайных величин

§ 2.4. Непрерывные случайные величины

§ 2.5. Канонические законы распределения непрерывных случайных величин

§ 2.6. Меры связи случайных величин

Глава 3. Нормальный закон. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема

§ 3.1. Нормальный закон

§ 3.2. Закон больших чисел

§ 3.3. Центральная предельная теорема

Глава 4. Основы выборочного метода. Точечные оценки параметров

§ 4.1. Выборка

§ 4.2. Оценки функции распределения и плотности распределения

§ 4.3. Точечные оценки параметров

Глава 5. Интервальные оценки параметров. Проверка статистических гипотез

§ 5.1. Интервальные оценки параметров

§ 5.2. Проверка статистических гипотез

Глава 6. Основы корреляционно-регрессионного анализа

§ 6.1. Парная корреляция и регрессия

§ 6.2. Множественная корреляция и регрессия

Раздел II МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В ЭКОНОМИКЕ И УПРАВЛЕНИИ

Глава 7. Векторы и матрицы. Системы линейных алгебраических уравнений и неравенств

§ 7.1. Векторы и матрицы

§ 7.2. Системы линейных алгебраических уравнений и неравенств

§ 7.3. Обратная матрица

Глава 8. Линейное программирование

§ 8.1. Модели линейного программирования в экономике и управлении

§ 8.2. Симплексный метод линейного программирования

§ 8.3. Теория двойственности в линейном программировании

§ 8.4. Транспортная задача

Глава 9. Динамическое и нелинейное программирование. Графы и потоки в сетях

§ 9.1. Динамическое программирование

§ 9.2. Нелинейное программирование

§ 9.3. Оптимизационные задачи на графах

Глава 10. Теория игр. Теория принятия решений в условиях неопределенности

§ 10.1. Конфликтные ситуации в экономике и теория игр

§ 10.2. Принятие решений в условиях неопределенности

Глава 11. Введение в финансовую математику

§ 11.1. Финансовый рынок. Основы финансовых расчетов

§ 11.2. Диверсификация

§ 11.3. Хеджирование

§ 11.4. Страхование

Тесты

Организация выполнения курсового проекта

Задание на курсовой проект

Приложения. Исходные данные к курсовому проекту

Об авторе

Организационно-методические указания Согласно Государственному образовательному стандарту высшего профессионального образования по специальности «Менеджмент организации» – 061100, «область профессиональной деятельности менеджера — обеспечение эффективного управления организацией, организация систем управления, совершенствование управления в соответствии с тенденциями социально-экономического развития… Менеджер должен быть готов к следующим видам деятельности: управленческая, организационная, экономическая, планово-финансовая, маркетинговая, информационноаналитическая, проектно-исследовательская, диагностическая, инновационная, методическая, консультационная, образовательная,… должен знать принципы принятия и реализации экономических и управленческих решений, уметь выявлять проблемы экономического характера при анализе конкретных ситуаций, предлагать способы их решения и оценивать ожидаемые результаты, использовать основные и специальные методы экономического анализа информации в сфере профессиональной деятельности, разрабатывать и обосновывать варианты эффективных хозяйственных решений, критически оценивать поведение экономических агентов, тенденции развития объектов в сфере профессиональной деятельности, уметь использовать компьютерную технику в режиме пользователя для решения экономических задач». Аналогичные требования содержатся в Государственном образовательном стандарте высшего профессионального образования по другим экономическим специальностям («Маркетинг», «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», «Национальная экономика», «Государственное и муниципальное управление», «Управление персоналом» и др.).

В Государственном образовательном стандарте определяются требования к содержанию и уровню математического образования экономистов и менеджеров, в соответствии с которыми экономист и менеджер должен иметь представление о месте современной математики в общечеловеческой культуре и ее роли в экономических исследованиях, об истории развития математики и ее экономических приложений, знать и уметь использовать основы теории вероятностей и математической статистики, методы принятия решений.

Программа составлена в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по экономическим специальностям.

Целью преподавания дисциплины является обучение студентов основным математическим понятиям и методам применительно к решению задач принятия и реализации экономических и управленческих решений, анализа, прогнозирования и эффективного управления экономическими системами с учетом неопределенности внешней среды и ограниченности внутренних возможностей управляемого объекта. Овладение дисциплиной развивает у студентов аналитическое мышление, прививает навыки количественного обоснования принимаемых управленческих решений. Знания, умения и навыки, полученные в результате освоения дисциплины, могут быть использованы выпускниками во всех видах их деятельности в соответствии с Государственными образовательными стандартами.

Дисциплина состоит из двух разделов («Теория вероятностей и математическая статистика в экономике и управлении», «Математические методы принятия решений в экономике и управлении»). Общий объем нагрузки, необходимой для освоения программы, составляет 180 ч.

Формой промежуточного контроля является подготовка и защита курсового проекта по дисциплине, по окончании изучения дисциплины студент должен сдать экзамен.

Особенностью программы является ее прикладная направленность, позволяющая развить у студентов навыки анализа экономических проблем, повысить мотивацию к изучению дисциплины, тем самым повысить эффективность обучения.

Дисциплина «Прикладная математика» изучается параллельно с общепрофессиональными дисциплинами, что позволяет активизировать освоение математических методов применительно к решению экономических задач и выработке управленческих решений на основе математического моделирования. В свою очередь, после изучения дисциплины «Прикладная математика» студенты смогут легче осваивать все последующие дисциплины специальностей (умея формализовать экономические постановки задач и делать выводы на основе исследования соответствующих экономико-математических моделей), а также использовать математические методы и модели при курсовом и дипломном проектировании.

Основной теоретический материал курса изложен в соответствии с настоящей программой в учебном пособии [3]. В этом же пособии приводится разбор практических примеров применения изучаемых математических методов в экономической, управленческой и финансовой практике.

Для более подробного изучения первого раздела («Теория вероятностей и математическая статистика в экономике и управлении») в дополнение к учебному пособию [3] рекомендуются учебник [1], а также учебники и учебные пособия [4] – [10]. Большое количество практических экономических задач, требующих применения теории вероятностей и математической статистики, содержится с решениями в учебных пособиях [7] – [9].

Для более подробного изучения второго раздела («Математические методы принятия решений в экономике и управлении») мы советуем, помимо учебного пособия [3], воспользоваться учебником [11], а также задачником [12] и электронным учебником [13]. Учебник [14] и учебные пособия [15], [16] содержат расширенный материал по применения изучаемых математических методов для исследования экономических и финансовых систем.

В настоящем электронном курсе по каждой теме приводятся краткие теоретические сведения, после чего подробно разбираются примеры практического применения соответствующих математических методов к решению задач из области управления, экономики, финансов и т. п. Затем приводятся задачи для самостоятельного решения. По окончании изучения каждой темы студент должен ответить на вопросы тестового задания, и изучение новой темы возможно только после получения положительной оценки за выполнение тестового задания.

Рекомендуется изучение курса в следующей последовательности: вначале студент должен прочитать главу пособия [3], затем перейти к разбору задач, приведенных в соответствующей главе настоящего электронного курса, по мере необходимости возвращаясь к кратким теоретическим сведениям, приведенным перед разбором задач. К ответам на тестовые вопросы рекомендуется приступать после того, как были разобраны задачи для самостоятельного решения.

При решении задач по дисциплине необходимо активное использование компьютера и, в особенности, пакета Microsoft Excel. По всем темам приводятся сведения о компьютерной реализации изучаемых математических методов и решения задач с помощью пакета Microsoft Excel. Этот же пакет окажется полезным при курсовом проектировании. Предполагается, что студент перед началом курса владеет базовыми навыками работы в этом пакете, в курсе же он используется в качестве и н с т р у м е н т а, поэтому даются лишь указания по вероятностно-статистическим и оптимизационным вычислениям в Microsoft Excel, необходимым при освоении курса, а базовые сведения студент может почерпнуть из любого учебника по пакету.

И т о г о в ы й т е с т вызывается по ссылке «Тесты», приведенной и в оглавлении курса, после нажатия в появившемся окне кнопки «Старт». Чтобы пройти промежуточные тесты нужно перед нажатием кнопки «Старт»

выбрать в появившемся верхнем меню «Файл | Открыть» файлы test1.psw — test6.psw.

В конце курса приводится задание на к у р с о в о е п р о е к т и р о в а н и е.

При подготовке к экзамену следует повторить каждую тему, особое внимание обращая на контрольные вопросы, которые приведены в программе учебной дисциплины.

Для работы с курсом на компьютере должна быть установлена программа Adobe Acrobat Reader.

Наименование раздела/темы Раздел I. Теория вероятностей и математическая статистика в экономике и управлении Тема 1. Случайные события и их вероятности Тема 2. Случайные величины и их характеристики Тема 3. Нормальный закон. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема Тема 4. Основы выборочного метода. Точечные оценки параметров Тема 5. Интервальные оценки параметров. Проверка гипотез Тема 6. Введение в корреляционный и регрессионный анализ Раздел II. Математические методы принятия решений в экономике и управлении Тема 7. Векторы и матрицы.

Системы линейных алгебраических уравнений и неравенств Тема 8. Линейное программирование в экономике Тема 9. Динамическое и нелинейное программирование.

Графы и потоки в сетях Тема 11. Принятие решений в условиях неопределенности Тема 12. Введение в финансовую математику

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

В ЭКОНОМИКЕ И УПРАВЛЕНИИ

Предмет теории вероятностей и математической статистики.

Элементы комбинаторики. Правило сложения. Правило умножения. Перестановки, размещения и сочетания.

Случайные события. Понятие вероятности случайного события. Операции над событиями, диаграммы Вьенна — Эйлера.

Классическая формула вероятности.

Статистический и геометрический подходы к определению вероятности.

Основные формулы теории вероятностей. Аксиоматическое определение вероятности. Теорема сложения вероятностей.

Условная вероятность, независимость событий. Теоремы о вероятности пересечения событий.

Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Испытания Бернулли. Формула Бернулли. Формула Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра — Лапласа.

1. Случайные события. Понятие вероятности.

2. Классическая формула вероятности.

3. Формулы комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания.

4. Статистический и геометрический подходы к вычислению вероятности.

5. Операции над событиями.

6. Аксиомы теории вероятностей.

7. Теорема сложения вероятностей.

8. Условная вероятность. Зависимость и независимость событий. Теоремы о вероятности пересечения событий.

9. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

10. Испытания Бернулли. Формула Бернулли. Формула Пуассона.

11. Локальная и интегральная теоремы Муавра — Лапласа.

Литература: [3, с. 5–32].

Случайные величины и их характеристики Понятие случайной величины.

Дискретные случайные величины. Способы задания дискретных случайных величин: ряд распределения и функция распределения вероятностей, их свойства.

Числовые характеристики дискретных случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение.

Канонические законы распределения дискретных случайных величин. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Геометрическое распределение.

Непрерывные случайные величины. Способы задания непрерывных случайных величин: функция плотности и функция распределения вероятностей, соотношения между ними.

Числовые характеристики дискретных случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение.

Канонические законы распределения непрерывных случайных величин.

Равномерное распределение. Показательное распределение.

Меры связи случайных величин. Многомерные случайные величины. Ковариация. Коэффициент корреляции.

1. Дискретная случайная величина. Ряд распределения и функция распределения, их свойства.

2. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства.

3. Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства.

4. Биноминальное распределение. Распределение Пуассона. Геометрическое распределение.

5. Непрерывная случайная величина. Плотность распределения и функция распределения вероятностей, соотношения между ними.

6. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины.

7. Равномерный закон распределения.

8. Показательный закон распределения.

9. Ковариация. Коэффициент корреляции, его свойства.

Литература: [3, с. 33–53].

Нормальный закон. Закон больших чисел.

Нормальное распределение. Функция плотности и функция распределения вероятностей нормальной случайной величины, их графики, параметры закона.

Математическое ожидание и дисперсия нормальной случайной величины.

Функция Лапласа, ее вычисление с помощью пакета Microsoft Excel.

Вычисление вероятностей для нормального закона.

Правило трех сигм.

Неравенство Чебышёва.

Теоремы закона больших чисел. Сущность теорем Чебышёва и Бернулли.

Центральная предельная теорема. Сущность центральной предельной теоремы, теорем Муавра — Лапласа.

1. Нормальный закон. Вычисление вероятности попадания нормально распределенной величины в заданный интервал. Правило трех сигм.

2. Неравенство Чебышёва. Теоремы закона больших чисел.

3. Сущность центральной предельной теоремы.

Литература: [3, с. 54–62].

Выборка. Репрезентативность. Вариационный ряд. Выборочная случайная величина (статистический ряд распределения). Интервальный вариационный ряд.

Относительная частота (частость).

Выборочное среднее. Выборочная дисперсия.

Выборочная ковариация. Выборочный коэффициент корреляции.

Формулы расчета объема выборки для обеспечения репрезентативности.

Оценки функции плотности и функции распределения вероятностей.

Точечные оценки параметров. Определение точечной оценки. Состоятельность, несмещенность, эффективность точечных оценок.

Методы построения точечных оценок: метод моментов и метод максимального правдоподобия.

1. Выборочная случайная величина. Формулы вычисления выборочной средней и выборочной дисперсии.

2. Точечные оценки вероятности, математического ожидания и генеральной дисперсии, их статистические свойства.

3. Формулы расчета объема выборки, используемые при оценивании математического ожидания и вероятности.

4. Оценивание функции плотности и функции распределения вероятностей. Полигон, гистограмма, кумулятивная кривая.

5. Выборочный коэффициент корреляции, его свойства.

Литература: [3, с. 63–77].

Интервальные оценки параметров. Проверка гипотез Интервальные оценки параметров. Понятие интервальной оценки генеральной характеристики. Интервальная оценка математического ожидания при большом объеме выборки. Интерваль6ная оценка вероятности. Интервальная оценка математического ожидания при малом объеме выборки. Интервальная оценка дисперсии. Интервальная оценка коэффициента корреляции.

Общая схема проверки гипотез. Основные понятия проверки гипотез: основная и альтернативные гипотезы, критерий проверки гипотезы, критическая область, ошибки первого и второго рода, уровень значимости.

Параметрические гипотезы. Проверка гипотезы о числовом значении вероятности. Проверка гипотезы о числовом значении математического ожидания. Проверка гипотезы о числовом значении генерального коэффициента корреляции.

Непараметрические гипотезы. Проверка гипотезы о равенстве двух генеральных средних. Критерий Пирсона.

1. Интервальная оценка математического ожидания в большой и малой выборках.

2. Интервальная оценка вероятности при большой выборке.

3. Интервальная оценка генерального коэффициента корреляции.

4. Понятие статистической гипотезы. Логика её проверки. Ошибки первого и второго рода. Уровень значимости.

5. Проверка гипотез о числовом значении вероятности, генеральной средней, генерального коэффициента корреляции.

6. Проверка гипотезы о равенстве двух генеральных средних.

7. Критерий согласия Пирсона.

Литература: [3, с. 78–92].

Введение в корреляционно-регрессионный анализ Предмет корреляционного и регрессионного анализа.

Парная корреляция и регрессия. Ковариация и коэффициент корреляции как меры связи нормальных случайных величин.

Задача парной линейной регрессии, оценки параметров регрессии методом наименьших квадратов.

Множественная корреляция и регрессия. Парный, частный и множественный коэффициенты корреляции: их смысл, способы вычисления, соотношения между ними.

Задача множественной линейной регрессии.

Решение задачи множественной линейной регрессии ее решение с помощью надстройки «Анализ данных» пакета Microsoft Excel.

Регрессионные модели в экономике и финансах.

1. Парный, частный и множественный коэффициенты корреляции: их смысл, формулы для вычисления, соотношения между ними.

2. Задача парной линейной регрессии. Оценка параметров регрессии методом наименьших квадратов.

3. Задача множественной линейной регрессии.

Литература: [3, с. 93–102].

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

В ЭКОНОМИКЕ И УПРАВЛЕНИИ

Системы линейных алгебраических уравнений и неравенств Векторы. Векторы. Сложение двух векторов. Умножение вектора на число.

Арифметические линейные пространства.

Матрицы. Матрицы. Сложение матриц. Умножение матрицы на число. Умножение двух матриц.

Системы линейных алгебраических уравнений. Определение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Матричная форма записи СЛАУ.

Элементарные преобразования СЛАУ. Формулы исключения. Исследование и решение СЛАУ методом Жордана.

Поиск различных базисных решений СЛАУ.

Поиск неотрицательных базисных решений СЛАУ.

Системы линейных алгебраических неравенств.

Линейная зависимость векторов.

Определитель матрицы. Общая схема исследования СЛАУ.

Обратная матрица. Определение обратной матрицы. Свойства обратной матрицы. Методы обращения матрицы.

Решение совместной СЛАУ с помощью обратной матрицы.

1. Векторы и действия над ними.

2. Матрицы и действия над ними.

3. Определитель матрицы.

4. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ): основные определения, матричная форма записи СЛАУ. Исследование и решение СЛАУ методом последовательного исключения неизвестных Жордана.

5. Преобразования СЛАУ с сохранением неотрицательности правых частей уравнений.

6. Системы линейных алгебраических неравенств.

7. Обратная матрица. Способы обращения матрицы.

Литература: [3, с. 103–140].

Линейное программирование в экономике Модели линейного программирования в экономике и управлении. Линейная производственная задача, задача о диете, задача об оптимальном раскрое, задача о распределении производственной программы и др. Формы записи задач линейного программирования.

Симплексный метод линейного программирования. Алгоритм симплексного метода и его обоснование. Применение искусственных базисных неизвестных.

Симплексные множители.

Двойственность в линейном программировании. Двойственная задача. Двойственные оценки ресурсов. Основные результаты теории двойственности. Приложения теории двойственности: расшивка узких мест, транспортная задача.

Современные пакеты прикладных программ, реализация в них численных методов условной и безусловной оптимизации. Решение задач линейного, нелинейного и целочисленного программирования с помощью надстройки «Поиск решения» Microsoft Excel.

1. Различные формулировки задачи линейного программирования (ЛП).

2. Геометрическая интерпретация задачи ЛП и симплексного метода. Графическое решение задачи ЛП с двумя переменными.

3. Симплексный метод ЛП. Обоснование алгоритма симплексного метода.

4. Применение искусственных базисных неизвестных к решению основной задачи ЛП.

5. Двойственные (расчетные) оценки ресурсов., правила составления двойственной задачи. Основные теоремы двойственности.

6. Транспортная задача по критерию стоимости. Метод потенциалов для решения транспортной задачи.

Литература: [3, с. 141–194].

Динамическое и нелинейное программирование.

Динамическое программирование. Специфика задач динамического программирования. Принцип оптимальности Беллмана. Задача об оптимальном распределении инвестиций. Динамическая задача управления запасами и ее решение методом динамического программирования.

Оптимизационные задачи на графах и сетях. Основные понятия теории графов. Задача о максимальном потоке в сети.

Нелинейное программирование. Градиентные методы безусловной оптимизации. Методы штрафных функций. Многокритериальная оптимизация.

1. Динамическое программирование как метод решения многошаговых задач управления. Принцип оптимальности и рекуррентные соотношения.

2. Задача об оптимальном распределении инвестиций: постановка, математическая модель и решение методом динамического программирования.

3. Задача о максимальном потоке в сети: постановка, математическая модель, алгоритм решения.

4. Оптимальность по Парето.

5. Метод последовательных уступок.

Литература: [3, с. 195–228].

Конфликтные ситуации в экономике и теория игр Конфликтные ситуации и их математические модели.

Матричные игры. Матричная игра. Чистые стратегии игроков. Седловая точка. Оптимальность чистых стратегий.

Смешанные стратегии игроков. Оптимальность смешанных стратегий.

Методы решения матричных игр.

1. Матричная игра как модель конфликтной ситуации. Матрица игры двух лиц с нулевой суммой. Верхняя и нижняя цена игры, седловая точка.

2. Чистые и смешанные стратегии игроков. Средний ожидаемый выигрыш. Оптимальные стратегии игроков и цена игры.

3. Графическое решение матричной игры с двумя стратегиями первого игрока.

Литература: [3, с. 229–234].

Принятие решений в условиях неопределенности Принятие решений в условиях полной неопределенности. Матрица последствий. Риск и его оценка. Матрица рисков (матрица сожалений). Критерии Вальда, Сэвиджа, Гурвица.

Принятие решений в условиях частичной неопределенности. Вероятностная неопределенность. Ожидаемый доход, упущенная выгода, средний риск. Правила принятия решений в условиях частичной неопределенности.

1. Принятие решений в условиях полной неопределенности. Матрица последствий и матрица сожалений. Критерии Вальда, Сэ-виджа и Гурвица.

2. Принятие решений в условиях частичной неопределенности. Критерии максимизации ожидаемй эффективности, минимизации ожидаемого риска.

Литература: [3, с. 235–247].

Финансовый рынок. Стоимость денег во времени. Измерение эффективности и риска финансовых операций. Принятие финансовых решений в условиях неопределенности.

Принцип диверсификации: минимизация риска. Задачи об оптимальных портфелях ценных бумаг.

Принцип хеджирования: избавление от риска. Производные финансовые инструменты. Опционы. Биномиальная модель оценки активов Формула для оценки стоимости опциона покупателя.

Принцип страхования: разделение риска между членами большой группы.

Вероятность разорения страховой компании. Теоремы о вероятности разорения и о соотношении между страховой премией и страховой выплатой в простейшей модели страхования жизни.

1. Ожидаемая эффективность и риск финансовой операции. Оптимальность финансовых операций по Парето.

2. Задача об оптимальном портфеле ценных бумаг.

3. Биномиальная модель стоимости акции.

4. Рациональная цена опционов покупателя и продавца в биномиальной модели.

5. Вероятность разорения страховой компании. Соотношение между страховой премией и страховой выплатой в простейшей модели страхования жизни.

Литература: [3, с. 235–247].

1. Колемаев В. А., Калинина В. Н. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник. – М.: ИНФРА-М, 2002.

2. Колемаев В. А., Малыхин В. И., Бодров А. П. и др. Математические методы принятия решений в экономике: Учебник / Под ред. В. А. Колемаева. – М.: Финстатинформ, 1999.

3. Карандаев И. С., Малыхин В. И., Соловьев В. И. Прикладная математика: Учебное пособие. – М.: ИНФРА-М, 2002.

4. Айвазян С. А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика. Основы эконометрики: В 2-х т. Т. 1. Теория вероятностей и прикладная статистика. – М.: ЮНИТИДАНА, 2001.

5. Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Задачи и упражнения по теории вероятностей:

Учебное пособие. – М.: Высшая школа, 2000.

6. Калинина В. Н., Панкин В. Ф. Математическая статистика: Учебник. – М.:

Дрофа, 2002.

7. Соловьев В. И. Курс теории вероятностей и математической статистики для экономистов: Учебное пособие. – М.: ИГУМО, 2003.

8. Колемаев В. А., Калинина В. Н., Соловьев В. И. и др. Теория вероятностей в примерах и задачах: Учебное пособие. – М.: ГУУ, 2001.

9. Колемаев В. А., Калинина В. Н., Соловьев В. И. Математическая статистика в примерах и задачах: Учебное пособие. – М.: ГУУ, 2001.

10. Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник.

– М.: ЮНИТИ–ДАНА, 2000.

11. Кузнецов А. В., Сакович В. А., Холод Н. И. Высшая математика: Математическое программирование: Учебник. – Минск: Вышэйшая школа, 2001.

12. Карандаев И. С., Малыхин В. И., Юнисов Х. Х. Задачник по дисциплине «Прикладная математика». Ч. 2. Математические методы принятия решений в экономике: Учебное пособие. – М.: ГУУ, 2002.

13. Афанасьев М. Ю. Компьютерный курс исследования операций / ЦЭМИ РАН. – http://ask.cemi.rssi.ru/.

14. Колемаев В. А. Математическая экономика: Учебник. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002.

15. Малыхин В. И. Финансовая математика: Учебное пособие. – М.: ЮНИТИДАНА, 1999.

16. Соловьёв В. И. Математические методы управления рисками: Учебное пособие. – М.: ГУУ, 2003.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

СТАТИСТИКА В ЭКОНОМИКЕ И УПРАВЛЕНИИ

Глава 1. Случайные события и их вероятности В теории вероятностей часто приходится иметь дело с задачами, в которых необходимо подсчитывать число возможных способов совершения каких-либо действий.

Задачи такого типа называются комбинатрными, а раздел математики, занимающийся решением таких задач, — комбинатрикой. Сформулируем два универсальных правила, применяемых при решении комбинаторных задач.

ПРАВИЛО СУММЫ. Пусть требуется выполнить одно из каких-либо m действий, взаимно исключающих друг друга. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе действие — n2 способами и так до m-го действия, которое можно выполнить nm способами, то выполнить о д н о и з этих m действий можно (n1 + n2 + ··· + nm) способами.

ПРАВИЛО ПРОИЗВЕДЕНИЯ. Пусть требуется выполнить одно за другим какие-либо m действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе действие — n2 способами и так до m-го действия, которое можно выполнить nm способами, то в с е m действий могут быть выполнены n1n2 ··· nm способами.

Напомним понятие факториала, активно используемое в комбинаторике. Факториалом натурального числа n называется число По определению, факториалом нуля является единица:

Рассмотрим некоторое множество S, состоящее из n р а з л и ч н ы х элементов.

Пусть 1 k 1. Назовём множество, состоящее из k элементов, упорядоченным, если каждому элементу этого множества поставлено в соответствие число от 1 до k, причём различным элементам множества соответствуют разные числа.

Размещениями из n элементов по k называются упорядоченные подмножества множества S, состоящие из k р а з л и ч н ы х элементов и отличающиеся друг от друга составом элементов или порядком их расположения.

Перестановками из n элементов называются размещения из n элементов по n, т. е.

упорядоченные подмножества множества S, состоящие из всех элементов данного множества и отличающиеся друг от друга только порядком их расположения.

Сочетаниями из n элементов по k называются подмножества множества S, состоящие из k р а з л и ч н ы х элементов и отличающиеся друг от друга только составом элементов.

1. В информационно-технологическом управлении банка работают три аналитика, десять программистов и 20 инженеров. Для сверхурочной работы в праздничный день начальник управления должен выделить одного сотрудника. Определить, сколько способов существует у начальника управления.

РЕШЕНИЕ. Начальник управления может отобрать одного аналитика n1 = 3 способами, одного программиста — n2 = 10 способами, а одного инженера — n3 = 20 способами. Поскольку по условию задачи начальник управления может выделить любого из своих сотрудников, согласно правилу суммы у него существует n1 + n2 +n3 = 3 + 10 + 20 = 33 различных способа выбрать сотрудника для сверхурочной работы.

2. Маша поссорилась с Петей и не хочет ехать с ним в одном автобусе. От общежития до института с 7 до 8 ч отправляется пять автобусов. Не успевший на последний из этих автобусов опаздывает на лекцию. Определить, сколькими способами Маша и Петя могут доехать до института в разных автобусах и не опоздать на лекцию.

РЕШЕНИЕ. Петя может доехать до института n1 = 5 различными способами (на одном из пяти автобусов), при этом Маше остается только n2 = 4 способа (так как один из автобусов занят Петей). Таким образом, по правилу произведения у Пети и Маши есть n1n2 = 5·4 = 20 различных способов добраться до института в разных автобусах и не опоздать на лекцию.

3. Начальник службы безопасности банка должен ежедневно расставлять десять охранников по десяти постам. В целях усиления безопасности одна и та же комбинация расстановки охранников по постам не может повторяться чаще одного раза в месяц. Чтобы оценить, возможно ли это, найти число различных комбинаций расстановки охранников.

РЕШЕНИЕ. Первый способ. На первый пост начальник службы безопасности может назначить любого из n1 = 10 охранников, на второй пост — любого из оставшихся n2 = 9 охранников и так до 9-го поста, на который можно назначить любого из оставшихся n9 = 2 охранников, при этом оставшийся n10 = 1 охранник будет назначен на 10-й пост. Поэтому, согласно правилу произведения, у начальника службы безопасности есть n1n2···n10 = 10·9···2·1 = 10! = 3 628 800 способов расстановки охранников по постам.

Поскольку количество дней в месяце не превышает 31, у начальника службы безопасности заведомо существует достаточное число способов расстановки своих подчиненных по постам.

Второй способ. Число способов расстановки десяти охранников по десяти постам, существующих у начальника службы безопасности, описывается числом перестановок из 10 элементов, т. е. P10 = 10! = 3 628 800.

4. Новый президент банка должен назначить двух новых вицепрезидентов из числа десяти директоров. Сколько способов существует у президента, если: а) один из вице-президентов (первый) выше другого по должности; б) вице-президенты по должности равны между собой.

РЕШЕНИЕ. Первый способ. а) Первого вице-президента можно выбрать из n1 = претендентов, при этом на пост второго вице-президента будут претендовать n2 = 9 оставшихся директоров. Поэтому, согласно правилу произведения, у нового президента банка есть n1n2 = 10·9 = 90 способов назначения двух вице-президентов, один из которых подчиняется другому, из числа десяти директоров. б) Пусть первое действие заключается в том, что президент отбирает двух человек из 10 на должности вицепрезидентов, а второе действие — в том, что президент говорит отобранным людям, кто из них является первым вице-президентом, а кто — вторым. Пусть первое действие можно выполнить n1 способами, второе действие, очевидно, можно выполнить n2 = способами, и по правилу произведения число способов назначения двух вицепрезидентов, один из которых подчиняется другому, из числа 10 директоров составляет n1n2 =2n1. С другой стороны, в пункте а) мы нашли это число, и оно оказалось равным 90, поэтому n1 = 90/2 = 45.

Второй способ. а) Число способов выбора двух кандидатов на две различные должности из 10 претендентов описывается числом размещений из 10 элементов по 2, т. е. A10 = = 90. б) Число способов выбора двух кандидатов на две одинаковые должности из 10 претендентов описывается числом сочетаний из 10 элементов по 2, Задачи для самостоятельного решения 5. В кредитном отделе банка работают восемь человек. Определить, сколько существует способов распределить между ними три премии:

а) одинакового размера; б) разных размеров, известных заранее?

6. Одна из воюющих сторон захватила в плен 12 солдат, а другая 15.

Определить, сколькими способами стороны могут обменять семерых военнопленных.

7. В сессию в течение 20 дней студенты одной группы должны сдать пять экзаменов. Сколькими способами можно составить расписание экзаменов, если запрещается сдавать два экзамена в один день.

§ 1.2. Случайные события и операции над ними Случайное событие A, связанное с опытом S, — это такое событие, которое может произойти или не произойти в результате опыта S, причем заранее, до проведения опыта, неизвестно, произойдет оно или нет. Всюду в дальнейшем при рассмотрении случайных событий мы будем опускать слово «случайное». Достоверным событием, связанным с опытом S, называется такое событие, которое обязательно произойдет которое обязательно не произойдет в результате опыта S.

ределены следующие о п е р а ц и и.

Событие A влечет за собой соB бытие B (или событие A вложено в события A сопровождается появлением события B. Это обозначается ся как A = B.

бытий A и B называется событие всегда, когда наступает либо событие A, либо событие B.

Пересечением (или произведением) A«B (или AB), которое наступает всегда, когда события A и B наступа- A Дополнением события B до события A (или разностью событий торое наступает всегда, когда на- Рис. 1.2.1. Диаграммы Вьенна – Эйлера ступает событие A и при этом не наступает событие B.

Противоположным событию A называется событие A = \ A (читается «не A»), которое наступает всегда, когда событие A не наступает.

События A и B называются несовместными, если A«B =, т. е. если в результате опыта события A и B не могут наступить одновременно.

Случайное событие, связанное с опытом S, которое невозможно представить как объединение или пересечение более простых событий, связанных с тем же опытом, называется элементарным событием. Очевидно, достоверное событие = {} — это множество всех элементарных событий (поэтому называют еще пространством элементарных событий), а невозможное событие — это пустое множество. Любое событие, связанное с опытом S, можно представить как некоторое подмножество достоверного события, т. е. как множество некоторых элементарных событий.

Для наглядного представления событий, операций над событиями и отношений между ними используются диаграммы Вьенна – Эйлера (рис. 1.2.1). На этих диаграммах достоверное событие изображается в виде некоторой области на плоскости, элементарные события i — точками внутри области, соответствующей. При этом любому случайному событию A будет соответствовать некоторая геометрическая фигура внутри области, соответствующей (заштрихованная фигура на рис. 1.2.1, а). Невозможное событие не соответствует никакой фигуре. Событие A влечет за собой событие B, если все элементарные события, входящие в A, входят и в B (рис. 1.2.1, б). Объединение A»B событий A и B состоит из всех элементарных событий, принадлежащих, по крайней мере, одному из событий A или B (заштрихованная фигура на рис. 1.2.1, в). Пересечение A«B событий A и B состоит из всех элементарных событий, принадлежащих одновременно обоим событиям A и B (рис. 1.2.1, г). Дополнение A \ B события B до события A состоит из всех элементарных событий, принадлежащих событию A и при этом не принадлежащих событию B (рис. 1.2.1, д). Событие A, противоположное событию A, состоит из всех элементарных событий, не принадлежащих событию A (рис. 1.2.1, е). Несовместные события не имеют общих элементарных событий (рис. 1.2.1, ж).

Операции над событиями обладают следующими с в о й с т в а м и:

(A»B)»C = A»(B»C) (ассоциативность объединения событий); (1.2.2) (A«B)«C = A«(B«C) (ассоциативность пересечения событий); (1.2.4) (дистрибутивность пересечения событий относительно объединения);

Говорят, что события H1, H2, …, Hn образуют полную группу, если они попарно несовместны (Hi «Hj =, i j), и их объединение эквивалентно достоверному событию (H1»H2» ··· »Hn = ). Полная группа событий представлена на рис. 1.2.1, з.

РЕШЕНИЕ. Событие A»B заштриховано на рис. 1.2.2, а, событие A«B — на рис. 1.2.2, б, откуда следует, очевидно, что A»B = B, A«B = A.

9. Проверить, являются ли события A и A » B (где A и B — произвольные события) несовместными.

РЕШЕНИЕ. A « ( A » B ) = {по правилу де Моргна} = A « ( A « B ) = {по свойству ассоциативности пересечения событий} = ( A « A) « B = « B =, значит, события A и A » B являются несовместными.

Задачи для самостоятельного решения 10. Привести примеры противоположных случайных событий.

11. Привести примеры несовместных случайных событий.

12. Пусть A, B — произвольные события. Проверить, образуют ли события A, A « B, A » B полную группу.

Вероятность наступления события характеризует меру возможности наступления этого события при проведении некоторого опыта. Если множество элементарных событий (исходов опыта) = {1, 2, …, N} конечно, и все элементарные события одинаково возможны, то такая вероятностная схема носит название классической. В этом случае вероятность P{A} наступления события A, состоящего из M элементарных событий, входящих в, определяется как отношение числа M элементарных событий, благоприятствующих наступлению события A, к общему числу N элементарных событий. Эта формула носит название классической формулы вероятности:

В частности, согласно классической формуле вероятности, В случае когда множество элементарных событий бесконечно и даже несчетно (но эти события являются одинаково возможными), вероятность наступления события можно рассчитать, пользуясь г е о м е т р и ч е с к и м п о д х о д о м, который состоит в следующем. Пусть множество элементарных событий представляет собой некоторую область в d-мерном пространстве, имеющую ненулевой объем1 V(): Rd, 0 < V() 0.

Очевидно, при P{B} > 0 теорема умножения вероятностей (1.4.12) означает, что условная вероятность события A при условии B совпадает с безусловной вероятностью события A:

Формулу умножения вероятностей легко обобщить на случай произвольного конечного числа событий:

P{A1«A2« ··· «An} = P{A1}P{A2|A1}P{A3|A1«A2} ··· P{An|A1«A2« ··· «An – 1}. (1.4.14) Следует обратить внимание на следующие факты:

• из условия несовместности не следует условие независимости;

• из условия независимости не следует условие несовместности.

Если события H1, H2, …, Hn образуют полную группу, то для вычисления вероятности произвольного события A можно использовать формулу полной вероятности:

в соответствии с которой вероятность наступления события A может быть представлена как сумма произведений условных вероятностей события A при условии наступления событий Hi на безусловные вероятности этих событий Hi. Поскольку среди событий H1, H2, …, Hn, образующих полную группу, в результате опыта должно наступить одно и только одно, эти события Hi называют гипотезами (i = 1, 2, …, n).

Формула полной вероятности (1.4.15) остается справедливой и в случае, если условие, состоящее в том, что события H1, H2, …, Hn образуют полную группу, заменить более слабым: гипотезы H1, H2, …, Hn попарно несовместны (Hi «Hj = при i j), а их объединение содержит событие A (A H1»H2» ··· »Hn).

Из формулы полной вероятности следует формула Байеса:

Вероятности P{Hi} гипотез Hi называют априорными вероятностями (вероятностями гипотез Hi до проведения опыта) в отличие от апостериорных вероятностей P{Hi|A} (вероятностей гипотез Hi, уточненных в результате опыта, исходом которого стало событие A).

23. Известно, что курс евро к рублю может возрасти с вероятностью 0,55, а курс доллара к рублю может возрасти с вероятностью 0,35. Вероятность того, что возрастут оба курса, составляет 0,3. Найти вероятность того, что курс евро или доллара по отношению к рублю возрастет.

РЕШЕНИЕ. Пусть событие A€ состоит в том, курс евро к рублю возрастет, а событие A$ — в том, что курс доллара к рублю возрастет. Тогда по условию P{A€} = 0,55, P{A$} = 0,35, P{A€ «A$} = 0,3. Вероятность того, что курс евро или доллара по отношению к рублю возрастет, по теореме сложения вероятностей составляет P{A€ «A$} = P{A€} + P{A$} – P{A€ «A$} = 0,55 + 0,35 – 0,3 = 0,6.

P{A«B}, P{A|B}, P{B|A} и выяснить, зависимы ли события A и B.

РЕШЕНИЕ. По теореме сложения вероятностей P{A»B} = P{A} + P{B} – P{A«B}, откуда P{A«B} = P{A} + P{B} – P{A»B} = 0,8 + 0,6 – 0,9 = 0,5. По определению условной события A и B были независимыми, необходимо выполнение теоремы умножения вероятностей: P{A«B} = P{A}P{B}. В нашем случае P{A«B} = 0,5, P{A}P{B} = 0,8·0,6 = = 0,48 0,5, т. е. теорема умножения вероятностей не выполняется, значит, события A и B являются зависимыми.

25. Среди сотрудников некоторой крупной фирмы 23% получают высокую заработную плату. При этом 40% сотрудников фирмы — женщины, а 8% всех сотрудников — женщины, получающие высокую заработную плату. Определить, существует ли на этой фирме дискриминация женщин в оплате труда.

РЕШЕНИЕ. По условию задачи вероятность события A, состоящего в том, что случайно выбранный сотрудник получает высокую заработную плату, равна (согласно статистическому подходу к определению вероятности) P{A} = 0,23. Пусть событие B состоит в том, что случайно выбранный сотрудник фирмы является женщиной, тогда если P{A|B} окажется меньше безусловной вероятности P{A}, то это и будет означать дискриминацию женщин в оплате труда. По определению условной вероятности что женщины, работающие на данной фирме, имеют меньшую вероятность получать высокую заработную плату, нежели мужчины.

26. Брокерская компания проводит операции с ценными бумагами:

10% сделок заключается с государственными органами, 20% — с негосударственными финансовыми организациями, остальные — с физическими лицами. Вероятности того, что контрагент не выполнит условия сделки, составляют для указанных групп контрагентов 0,01, 0,05 и 0,2 соответственно. Определить, какая доля сделок в среднем не исполняется.

РЕШЕНИЕ. Пусть событие A состоит в том, что условия сделки не выполняются контрагентом, гипотеза H1 — в том, что контрагентом по этой сделке выступает государственный орган, гипотеза H2 — в том, что контрагентом является негосударственная финансовая организация, гипотеза H3 — в том, что контрагентом является физическое лицо. По условию вероятности гипотез составляют P{H1} = 0,1, P{H2} = 0,2, P{H3} = 1 – P{H1} – P{H2} = 0,7. Апостериорные вероятности, в свою очередь, по условию равны P{A|H1} = 0,01, P{A|H2} = 0,05, P{A|H3} = 0,2. По формуле полной вероятности P{A} = P{A|H1}P{H1} + P{A|H2}P{H2} + P{A|H3}P{H3} = 0,01·0,1 + 0,05·0,2 + + 0,2·0,7 = 0,151.

27. В условиях предыдущей задачи начальнику отдела управления рисками доложили, что по одной из сделок контрагент не выполняет своих обязательств. Найти вероятность того, что таким контрагентом является негосударственная финансовая организация.

РЕШЕНИЕ. Пусть событие A состоит в том, что условия сделки не выполняются контрагентом, гипотеза H1 — в том, что контрагентом по этой сделке выступает государственный орган, гипотеза H2 — в том, что контрагентом является негосударственная финансовая организация, гипотеза H3 — в том, что контрагентом является физическое лицо. По условию вероятности гипотез составляют P{H1} = = 0,1, P{H2} = 0,2, P{H3} = 1 – P{H1} – P{H2} = 0,7. Апостериорные вероятности, в свою очередь, по условию равны P{A|H1} = 0,01, P{A|H2} = 0,05, P{A|H3} = 0,2. По формуле Байеса P{H2|A} = P{A|H2}P{H2} = 10/131 0,066, где вероятность P{A} = 0,151 была рассчитана по формуле полной вероятности в задаче 26.

Задачи для самостоятельного решения 28. Петя ищет работу. Он побывал на собеседованиях в банке и страховой компании. Вероятность своего успеха в банке он оценивает в 0,5, а в страховой компании — в 0,6. Кроме того, он рассчитывает, что с вероятностью 0,3 ему поступят предложения от двух организаций сразу. Найти вероятность того, что Петя получит хотя бы одно предложение работы.

29. Событие A состоит в том, что потенциальный покупатель увидел рекламу товара по телевизору, а событие B — в том, что он увидел рекламу в газете. Известно, что P{A} > 0,8, P{B} > 0,4. Проверить справедливость следующих утверждений: а) A и B несовместны; б) A и B противоположны; в) P{A«B} > 0,2.

30. Пусть A, B, C — произвольные события. Расположить следующие события в порядке возрастания их вероятностей: A»C,, A\B, A\(B\C),, A»B»C, A\B\C.

31. Крупный производитель автомобилей перед разработкой новой модели провел маркетинговый опрос потенциальных покупателей, в результате которого выяснилось, что 30% покупателей в основном оценивают автомобиль по его техническим характеристикам, 50% — по его дизайну, а 28% принимают во внимание и технические характеристики, и дизайн. Определить, являются ли предпочтения покупателей зависимыми или независимыми.

32. Из корзины, содержащей три красных яблока и семь зеленых, вынимают по очереди все яблоки. Найти вероятность того, что вторым по счету будет вынуто красное яблоко.

33. Студенты считают, что из 50 экзаменационных билетов 10 являются «хорошими». Петя и Маша по очереди тянут по одному билету. Найти вероятности следующих событий: а) Пете достался «хороший» билет; б) Маше достался «хороший» билет; в) им обоим достались «хорошие» билеты.

34. Вероятность того, что дневной оборот торговца мороженым превысит 2000 руб., при солнечной погоде равна 80%, при переменной облачности — 50%, а при пасмурной погоде — 10%. Найти вероятность того, что на следующий день оборот превысит 2000 руб., если вероятность солнечной погоды в данное время года составляет 20%, вероятность переменной облачности и вероятность пасмурной погоды — по 40%.

35. Магазин получает однотипный товар от трех поставщиков: 55% товара поступает от первого поставщика, 20% от второго и 25% от третьего. Продукция, поступающая от первого поставщика, содержит 5% брака, поступающая от второго поставщика — 6% брака, а поступающая от третьего поставщика — 8% брака. Покупатель оставил в книге пожеланий покупателей жалобу о неудовлетворительном качестве приобретенного товара. Найти вероятность того, что плохой товар, вызвавший нарекания покупателя, поступил от второго поставщика.

Пусть проводится конечное число n последовательных испытаний, в каждом из которых некоторое событие A может либо наступить (такую ситуацию назовем успехом) либо не наступить (такую ситуацию назовем неудачей), причем эти испытания удовлетворяют следующим у с л о в и я м :

• каждое испытание случайно относительно события A, т. е. до проведения испытания нельзя сказать, закончится ли оно успехом или неудачей;

• испытания проводятся в одинаковых, с вероятностной точки зрения, условиях, т. е. вероятность успеха в каждом отдельно взятом испытании равна p и не меняется от испытания к испытанию;

• испытания независимы, т. е. события A1, A2, …, An, где Ai состоит в успехе на i-м испытании (i = 1, 2, …, n), независимы в совокупности.

Такая последовательность испытаний называются схемой Бернулли или биномиальной схемой, а сами испытания — испытаниями Бернулли.

Вероятность Pn(k) того, что в серии из n испытаний Бернулли окажется ровно k успешных, рассчитывается по формуле Бернулли:

Наивероятнейшее число k* успехов в серии из n испытаний Бернулли удовлетворяет неравенствам В случае, когда число n испытаний Бернулли велико, расчеты по формуле Бернулли становятся затруднительными. Если при этом вероятность p успеха в каждом испытании мала, так что можно считать, что n, np = const, для расчета Pn(k) можно пользоваться п р и б л и ж е н н о й формулой Пуассона:

где = np.

На практике формулой Пуассона пользуются в случае, когда число n испытаний Бернулли составляет несколько десятков или более, а произведение = np < 10. В случае, когда n велико, а = np 10, формула Пуассона дает очень грубое приближение, и для расчета Pn(k) используют локальную и интегральную теоремы Муавра – Лапласа.

ЛОКАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА МУАВРА – ЛАПЛАСА. Если вероятность p успеха в каждом испытании отлична от нуля и единицы, а число испытаний n достаточно велико, то для расчета вероятности Pn (k ) появления ровно k успехов в серии из n испытаний можно пользоваться приближенной формулой где ( z ) — функция плотности стандартного нормального распределения с параметрами a = 0, = 1.

При использовании пакета Microsoft Excel функция плотности нормального распределения с параметрами a и вычисляется с помощью функции поэтому вероятность Pn (k ) можно вычислить как На практике, очевидно, вероятность появления любого конкретного числа успехов близка к нулю. Это имеет простое объяснение — ведь всего есть (n + 1) различных событий (может наступить 0, 1, 2, …, n успехов), и сумма вероятностей этих (n + 1) событий должна быть равна единице. Поэтому важно уметь вычислять вероятности Pn (k1, k 2 ) того, что число успехов в серии из n испытаний будет заключено между числами k1 и k2. Для этого используется ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА МУАВРА – ЛАПЛАСА. Если вероятность p успеха в каждом испытании отлична от нуля и единицы, а число испытаний n достаточно велико, то для расчета вероятности Pn (k1, k 2 ) того, что число успехов в серии из n испытаний будет заключено в промежутке [k1; k 2 ), можно пользоваться приближенной формулой где 0 ( z ) — функция Лапласа.

При использовании пакета Microsoft Excel вместо функции Лапласа 0 ( z ) удобнее пользоваться функцией равной функции нормального распределения с параметрами a и. При этом вероятность Pn (k1, k2 ) может быть вычислена как 36. Известно, что из числа зрителей определенной телепрограммы 70% смотрят и рекламные блоки. Группы, состоящие из трех наугад выбранных телезрителей, опрашивают относительно содержания рекламного блока. Рассчитать вероятности того, что рекламные блоки смотрели 0, 1, и 3 человека из группы.

РЕШЕНИЕ. Вероятность того, что наугад выбранный зритель данной телепрограммы смотрит и рекламные блоки, согласно статистическому определению вероятности, равна p = 0,7. Интерпретируя опрос трех телезрителей как три испытания Бернулли и считая успехом ситуацию, когда телезритель смотрит рекламные блоки, найдем искомые вероятности по формуле Бернулли (1.5.1), в которой n = 3, p = 0,7:

P3 (k ) = C3 0,7 k 0,33- k (k = 0,1, 2,3) ; P3 (0) = C3 0,7 00,33 = 0,027, P3 (1) = C1 0,710,32 = 0,189, P3 (2) = C3 0,7 20,31 = 0, 441, P3 (3) = C3 0,730,30 = 0,343.

37. В условиях предыдущей задачи найти наивероятнейшее число лиц в группе, которые смотрят рекламные блоки.

РЕШЕНИЕ. Наивероятнейшее число k* лиц в группе, которые смотрят рекламные блоки, подчиняется неравенствам (1.5.2): np – (1 – p) k* np + p, в которых n = 3, p = 0,7, т. е. 3·0,7 – 0,3 k* 3·0,7 + 0,7 или 1,8 k* 2,8, откуда k* = 2. Это подтверждается и решением задачи 36.

38. Из 1000 опрошенных 700 человек поддерживают некоторую правительственную программу. Для участия в телевизионной передаче необходимо собрать группу, в которую бы вошли и сторонники, и противники данной правительственной программы. Найти минимальную численность группы, в которой с вероятностью, не меньшей 0,9, хотя бы один респондент не поддерживает эту программу.

РЕШЕНИЕ. Пусть численность группы равна n. Будем интерпретировать опрос группы из n человек как испытания Бернулли, считая успехом то, что случайно выбранный респондент поддерживает правительственную программу. Согласно статистическому определению вероятности, вероятность успеха равна p = 700/1000 = = 0,7.

Пусть событие A состоит в том, что в группе из n человек хотя бы один не поддерживает правительственную программу, тогда событие A означает, что в группе из n человек все n поддерживают эту программу. P{ A} = 1 - P{ A} = 1 - Pn (n) = {по формуле Бернулли} = 1 - Cn p n (1 - p )0 = 1 – pn = 1 – 0,7n. По условию вероятность P{A} должна быть не меньше 0,9, поэтому 1 – (0,7)n 0,9 или (0,7)n 0,1. Чтобы найти минимальное значение n, при котором выполняется это неравенство, будем последовательно подставлять в него числа 1, 2, 3 и т. д., пока неравенство не удовлетворится:

(0,7)1 = 0,7, (0,7)2 = 0,49, (0,7)2 = 0,343; (0,7)4 = 0,240, (0,7)5 = 0,168, (0,7)6 0,118, (0,7)7 0,082. Видно, что неравенство (0,7)n 0,1 не выполняется при n = 1, 2, …, 6, но выполняется при n = 7, поэтому минимальная численность группы, в которой с вероятностью, не меньшей 0,9, хотя бы один респондент не поддерживает эту программу, равна 7 чел.

39. На лекции по теории вероятностей присутствует 200 человек. Вероятность того, что день рождения случайно выбранного студента приходится на определенный день года, составляет 1/365. Найти вероятность того, что один человек из присутствующих родился 1 января, и два человека родились 8 марта.

РЕШЕНИЕ. Пусть событие A состоит в том, что случайно выбранный студент родился 1 января, событие B — в том, что k человек из 200 родились 1 января. Тогда по условию p = P{A} = 1/365. Предположим, что опрос n = 200 студентов относительно даты их рождения удовлетворяет условиям, которые накладываются на испытания Бернулли, где успехом единичного испытания считается наступление события A. Тогда, поскольку n = 200 велико, а произведение np = 200/365 = 0,548 < 10, для подсчета тие C состоит в том, что m человек из 200 родились 8 марта. Тогда в соответствии с формулой умножения вероятностей, P{B«C} = P{B}P{C|B}, где P{C|B} = Pn – k(m) — вероятность того, что из (n – k) студентов m родились 8 марта. Так как число n – k = 200 – 1 = 199 велико, а (n – k)p = 198/365 = 0,542 < 10, для расчета вероятности (0,542) 2 -0, = = 0,086, поэтому искомая вероятность P{B«C} = 0,317·0,086 = = 0,027.

40. Строительная фирма для привлечения инвестиций в строительство нового дома собирается воспользоваться банковским кредитом. Вероятность того, что какой-либо банк в ответ на поступление бизнес-плана примет положительное решение о кредитовании фирмы, равна 0,3. Строительная фирма обратилась в 100 банков. Найти вероятности того, что решения о предоставлении кредитов этой фирме примут: а) один банк; б) банков; в) 30 банков; г) 50 банков.

РЕШЕНИЕ. Данную ситуацию можно рассматривать как серию из n = 100 испытаний Бернулли, в которых успехом считается принятие банком решения о кредитовании. Вероятность успеха в единичном испытании равна по условию p = 0, 3. Поскольку число испытаний n велико, а произведение np = 30 > 10, можно воспользоваться = 0, 22(0) = 0, 22 0,3989 = 0,088, P100 (50) Эти же вероятности в пакете Microsoft Excel можно было рассчитать, как показано на рис. 1.5.1 (формулы, по которым проводились расчеты, приводятся справа от соответствующих ячеек). Естественно, значения вероятностей, рассчитанные в Microsoft Excel, точнее, чем рассчитанные вручную с помощью таблиц, поскольку в таблице значения функции (z) округляются всего лишь на четвертом знаке после запятой.

1 P100(1) 0,0000000002 =НОРМРАСП (1; 30; КОРЕНЬ(100*0,3*(1 - 0,3)); ЛОЖЬ) 2 P100(15) 0,0004104146 =НОРМРАСП(15; 30; КОРЕНЬ(100*0,3*(1 - 0,3)); ЛОЖЬ) 3 P100(30) 0,0870563428 =НОРМРАСП(30; 30; КОРЕНЬ(100*0,3*(1 - 0,3)); ЛОЖЬ) 4 P100(50) 0,0000063630 =НОРМРАСП(50; 30; КОРЕНЬ(100*0,3*(1 - 0,3)); ЛОЖЬ) 41. Вероятность смерти тридцатилетнего мужчины составляет 0,006.

Страховая компания заключила 10 000 страховых контрактов с мужчинами в возрасте тридцати лет, согласно которым в случае смерти застрахованного лица в течение ближайшего года его наследникам выплачивается 100 000 руб. Стоимость одного контракта равна 1 200 руб. Найти вероятности следующих событий: а) к концу года страховая компания окажется в убытке; б) доход страховой компании превысит 4 000 000 руб.

РЕШЕНИЕ. Пусть за год наступило k страховых случаев, тогда доход страховой компании составит П =- 10 000·1200 – 100 000k = 100 000(120 – k) руб. Поэтому компания окажется в убытке (П < 0), если за год наступит более 120 страховых случаев (т. е. от 121 до 10 000 страховых случаев). Доход страховой компании превысит 4 000 000 руб.

(П > 4 000 000), если за год наступит менее 80 страховых случаев. Вероятность наступления страхового случая p = 0,006. Всего проводится n = 10 000 испытаний. Поскольку число испытаний n велико, а произведение np = 60 > 10, можно воспользоваться интегральной чит, доход страховой компании превысит 4 000 000 руб. с вероятностью, очень близкой к единице, т. е. почти наверное.

Эти же вероятности в пакете Microsoft Excel можно было рассчитать, как показано на рис. 1.5.2 (формулы, по которым проводились расчеты, приводятся справа от соответствующих ячеек). Естественно, значения вероятностей, рассчитанные в Microsoft Excel, точнее, чем рассчитанные вручную с помощью таблиц, поскольку в таблице значения функции 0(z) округляются всего лишь на четвертом знаке после запятой.

1 P10 000(121; 10 000) 0,0000000000 НОРМРАСП(121; 10000*0,006; КОРЕНЬ(10000*0,006*(1 - 0,006)); ИСТИНА) P10 000(0; 80) 0, 42. В городе работают 1000 коммерческих банков, из которых 330 допускают нарушения налогового законодательства. Определить число банков, которые должна отобрать для проверки налоговая инспекция, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,99, среди них оказался хотя бы один нарушитель законодательства.

43. Владельцы кредитных карт ценят их и теряют весьма редко — вероятность потерять кредитную карту в течение недели для случайно выбранного вкладчика составляет 0,001. Банк выдал кредитные карты 2000 клиентам. Найти: а) вероятность того, что за предстоящую неделю будет утеряна ровно одна кредитная карта; б) вероятность того, что за предстоящую неделю будет утеряна хотя бы одна кредитная карта.

44. Менеджер ресторана по своему опыту знает, что в среднем около 70% клиентов, заказавших в ресторане столик на вечер, приходят вечером в ресторан. В ресторане 30 столиков, но сегодня менеджер принял заказы у 35 клиентов. Определить, с какой вероятностью вечером в ресторан придут более чем 30 посетителей, заказавших столики.

45. В страховой компании 10 000 клиентов, взнос каждого из которых составляет 1000 руб. Вероятность наступления страхового случая равна (по оценкам экспертов компании) 0,005, а страховая выплата при наступлении страхового случая составляет 100 000 руб. Определить, на какую прибыль может рассчитывать страховая компания с вероятностью 0,99.

Определить минимальный размер страховой премии, при котором страховая компания получит прибыль, не меньшую 1 000 000 руб., с вероятностью 0,999.

Случайной величиной называется числовая функция X(), заданная на пространстве элементарных событий и измеримая4 относительно -поля событий S. Далее случайные величины будут обозначаться прописными латинскими буквами (например, X, Y, Z) или строчными греческими (например,,, ).

Законом распределения вероятностей случайной величины называется правило, устанавливающее соответствие между значениями этой случайной величины (или множествами значений) и вероятностями того, что случайная величина примет данное значение (или попадет в соответствующее множество).

Функцией распределения вероятностей (или, короче, функцией распределения) случайной величины X называется функция Если известно, о какой случайной величине идет речь, то индекс, обозначающий эту случайную величину, опускается: F(x) = FX(x).

Как числовая функция от числового аргумента x, функция распределения F(x) произвольной случайной величины обладает следующими свойствами:

F(x) является неубывающей функцией, т. е. для любых x1, x2 R, таких что x1 < x Найти все возможные значения параметра c.

РЕШЕНИЕ. Из условия (2.1.2) следует, что cx2 0, x [0; 2), откуда c [0; 0,25). Из условия (2.1.5) следует, что производная F'(x) 0, значит, 2cx 0. Условия (2.1.3), (2.1.4), (2.1.6), очевидно, выполнены. Поэтому c [0; 0,25).

Задача для самостоятельного решения 47. В условиях задачи 46 известно, что F(x) непрерывна в точке x = 2.

Найти значение постоянной c, а также P{X 1}.

Дискретная случайная величина X — это случайная величина, принимающая значения из конечного или счетного множества. З а к о н р а с п р е д е л е н и я дискретной случайной величины задается чаще всего не функцией распределения, а рядом распределения, т. е. таблицей в которой x1, x2, …, xn, … — расположенные по возрастанию значения дискретной случайной величины X, а p1, p2, …, pn, … — отвечающие этим значениям вероятности.

Число столбцов в этой таблице может быть конечным (если соответствующая случайная величина принимает конечное число значений) или бесконечным.

Очевидно, все pi 0 (i = 1, 2, …), и Кривой распределения вероятностей дискретной случайной величины X называется при этом ломаная, соединяющая точки (xi; pi) в порядке возрастания xi.

По ряду распределения дискретной случайной величины можно восстановить ее функцию распределения, и наоборот.

Наиболее употребительной ч и с л о в о й х а р а к т е р и с т и к о й ц е н т р а г р у п п и р о в а н и я значений случайной величины является математическое ожидание.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины X называется число равное средневзвешенному значению случайной величины с весами-вероятностями.

Математическое ожидание дискретной случайной величины обладает следующими с в о й с т в а м и (здесь X, Y — дискретные случайные величины, а c R — произвольная (н е с л у ч а й н а я ) постоянная):

Наиболее употребительной ч и с л о в о й х а р а к т е р и с т и к о й с т е п е н и в а р и а ц и и значений случайной величины (произвольной, не обязательно дискретной) вокруг центра группирования является дисперсия. Дисперсией случайной величины X называется число равное математическому ожиданию квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания.

Для вычисления дисперсии иногда проще использовать формулу Для дискретных случайных величин формулы (2.2.8) и (2.2.9) принимают вид соответственно.

Дисперсия дискретной случайной величины обладает следующими с в о й с т в а м и (как и раньше, X, Y — дискретные случайные величины, c R — неслучайная постоянная):

Средним квадратичным отклонением (или стандартным отклонением) случайной величины X называется неотрицательное значение квадратного корня из дисперсии:

48. В лотерее на каждые 100 билетов приходится 15 выигрышей. Количество и размеры выигрышей таковы:

Случайная величина X описывает размер выигрыша на один случайно выбранный билет. Составить ряд распределения случайной величины X.

Построить многоугольник распределения вероятностей. Найти функцию распределения F(x) и построить ее график. Найти P{X > 100}, P{X = 55}, P{X > 2500}. Оценить средний выигрыш игрока и разброс этого выигрыша, вычислив математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение случайной величины X.

РЕШЕНИЕ. Случайная величина X может принимать значения 2000, 500, 100 и 0 руб.

Вероятности этих значений можно вычислить по классической формуле вероятности:

1/100 = 0,01, 4/100 = 0,04, 10/100 = 0,10 (1 – 0,01 – 0,04 – 0,10) = 0,85 соответственно.

Расположив пары (значение; вероятность) в порядке возрастания значений случайцной величины X, получим ее ряд распределения:

Соединив точки (значение; вероятность) отрезками, получим многоугольник распределения случайной величины X (рис. 2.2.1, а).

Функция распределения случайной величины X имеет следующий вид:

Ее график представлен на рис. 2.2.1, б.

Далее вычисляем P{X > 100} = P{X = 500} + P{X = 2000} =0,04 + 0,01 = 0,05.

Выигрыш X ни при каких условиях не может оказаться равным 55 руб. или превысит 2500 руб, поэтому вычисляем P{X = 55} = P{X > 2500} = 0.

Оценим средний выигрыш на один билет с помощью математического ожидания выигрыша X: MX = 0·0,85 + 100·0,1 + 500·0,04 + 2000·0,01 = 0 + 10 + 20 + 20 = (при расчете математического ожидания случайной величины X мы перемножаем возможные значения xi случайной величины X на соответствующие этим значениям вероятности pi и все эти произведения складываем). Далее находим M(X2) = 02·0,85 + +1002·0,1 + 5002·0,04 + 20002·0,01 = 0 + 1000 + 10 000 + 40 000 = 51 000 (при расчете математического ожидания случайной величины X2 мы перемножаем возможные значения xi2 случайной величины X2 на соответствующие этим значениям вероятности pi (ведь случайная величина X2 принимает значения xi2 тогда и только тогда, когда случайная величина X принимает значения xi, а это происходит с вероятностями pi) и все эти произведения складываем). Дисперсия DX = M(X2) – (MX)2 = 51 000 – (50)2 = 51 000 – 2500 = = 48 500, и, наконец, среднее квадратичное отклонение X = DX = 48 500 220, 23.

49. Независимые случайные величины X и Y распределены одинаково:

Составить ряды распределения случайных величин Z = X2 и V = XY.

РЕШЕНИЕ. Случайная величина Z = X2 может принимать значения (–5)2, 02, 52 и 102 с теми же вероятностями, с которыми случайная величина X принимает значения (–5), 0, и 10 соответственно. Поэтому случайная величина Z имеет ряд распределения (здесь P{Z = 25} = P{X2 = 25} = P{X = –5} + P{X = 5}=0,1 + 0,5 =0,6).

Случайная величина V = XY может иметь в качестве значений произведения любых пар чисел из множества {–5; 0; 5; 10}, при этом вероятности этих значений вычисляются по теореме умножения вероятностей для независимых событий:

V ( -5)( -5) ( -5)0 ( -5)5 ( -5)10 0( -5) p 0,10,1 0,10,2 0,10,5 0,10,2 0,20,1 0,20,2 0,20,5 0,20,2 0,50,1 0,50,2 0,50,5 0,50,2 0,20,1 0,20,2 0,20,5 0,20, или p 0,01 0,02 0,05 0,02 0,02 0,04 0,1 0,04 0,05 0,1 0, 25 0,1 0,02 0,04 0,1 0, Чтобы получить ряд распределения случайной величины V, сложим вероятности, соответствующие одинаковым значениям этой случайной величины:

Задачи для самостоятельного решения 50. Банк выдал ссуду в 510 000 руб. под 10% годовых сроком на один год под залог дома клиента. В случае, если дом сгорит, разрушится и т. п. (т. е.

произойдет страховой случай), клиент ничего не вернет банку, поэтому для уменьшения риска банк обязал клиента приобрести страховой полис на 500 000 руб., заплатив за него 10 000 руб. Дом был оценен экспертами страховой компании в 500 000 руб., а вероятность наступления страхового случая с таким домом в течение года — в 0,001. Составить ряды распределения дохода банка Xб и дохода страховой компании Xс/к за год. Найти ожидаемые доходы банка и страховой компании.

51. Независимые случайные величины X и Y имеют распределения где знаком «?» отмечены неизвестные вероятности.

Найти MX, MY, DX, DY. Составить ряд распределения случайной величины Z = X + Y, найти MZ и DZ, убедиться в справедливости (2.2.6) и (2.2.14). Составить ряд распределения случайной величины V = XY, найти MV и DV, убедиться в справедливости (2.2.7). Составить ряд распределения случайной величины W = min {0; X}, найти MW и DW.

52. Начальный капитал торговца-челнока составляет 10 000 руб.

Опытные коллеги сказали ему, что после каждой поездки капитал с вероятностью 1/2 увеличивается в полтора раза, с вероятностью 1/4 остается без изменений и с вероятностью 1/4 уменьшается в полтора раза. Составить ряд распределения капитала торговца после двух поездок и найти его математическое ожидание.

53. Случайная величина X принимает значения 7; 9; 10; 11 и 13 (каждое с вероятностью 1/5), а случайная величина Y принимает значения 22;

24; 25; 26; 28 (также каждое с вероятностью 1/5). Найти DX и DY, проверить, выполняется ли равенство DY = DX.

Наиболее часто встречающиеся законы распределения дискретных случайных величин приведены в табл. 2.3.1.

Основные законы распределения дискретных случайных величин альный геометX ~ G(p) рический Вычисление функций вероятностей и функций распределения дискретных случайных величин в пакете Microsoft Excel пределения X ~ Bi(n; p) P{X = x} = БИНОМРАСП(x; n; p; ЛОЖЬ) P{X x} = БИНОМРАСП(x; n; p; ИСТИНА) В таблице 2.3.2 приведены функции пакета Microsoft Excel, которые используются для вычисления функций вероятности p(x) = P{X = x} и интегральных функций вероятности F(x) = P{X x} для случайных величин, распределенных по биномиальному и геометрическому законам, а также по закону Пуассона.

54. Построить ожидаемое распределение результатов испытаний, которое было бы получено для 256 абсолютно невежественных экзаменующихся, случайно угадывающих ответы на четыре вопроса с четырьмя возможными вариантами ответа на каждый вопрос (из которых один и только один верен).

РЕШЕНИЕ. Угадывание каждым экзаменующимся ответов на четыре вопроса можно интерпретировать как n = 4 испытания Бернулли. При этом, поскольку экзаменующийся невежествен, для него равновероятны все четыре ответа на каждый вопрос, т. е. вероятность успеха (правильного ответа на вопрос) равна p = 1/4. Тогда число X угаданных одним экзаменующимся ответов на четыре вопроса представляет собой биномиальную 3, 4, а ожидаемое распределение результатов для 256 экзаменующихся, учитывая их независимость друг от друга, будет иметь следующий вид:

Число экзаменующихся, 256P{ X = xi } 81 108 54 12 1 256P{ X = xi } = 55. Случайная величина X ~ ( = 3). Определить вероятности P{X = 2}, P{X > 1}, P{0 < X < 3} и P{X = 1|X > 0}. Найти функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины, построить график ее функции распределения.

График функции распределения представлен на рис. 2.3.1.

Расчеты с помощью Microsoft Excel приведены на рис. 2.3.2 (формулы, по которым проводились расчеты, приводятся справа от соответствующих ячеек). Естественно, значения вероятностей, рассчитанные в Microsoft Excel, точнее, чем рассчитанные вручную с помощью таблиц, поскольку действия в Microsoft Excel производятся с большим количеством значащих цифр, чем при ручных вычислениях.

Для построения графика функции распределения достаточно воспользоваться функцией ПУАССОН(x; ; ИСТИНА), равной функции распределения случайной величины X ~ ().

4 P{X = 1|X > 0} = 0,157187 =ПУАССОН(1; 3; ЛОЖЬ)/(1 - ПУАССОН(0; 3; ЛОЖЬ)) 56. В среднем левши составляют 1% всего населения. Сколько в среднем нужно опросить людей, чтобы набрать десятерых левшей?

РЕШЕНИЕ. При интерпретации опроса как последовательности независимых испытаний с вероятностью успеха p = 1% = 0,01 число X опрошенных до появления левши в первый раз (так же, как и число опрошенных после появления левши в i-й раз до появления левши в (i + 1)-й раз) — это геометрическая случайная величина X ~ G(p = 0,01), MX = 1/p = 1/0,01 = 100. Для того, чтобы отобрать десять левшей, учитывая свойство аддитивности математических ожиданий (0.15), в среднем нужно опросить в 10 раз больше людей, т. е. 1000 людей.

Задачи для самостоятельного решения 57. В группе из 16 человек 12 поддерживают некоторую правительственную программу. Из этой группы наудачу отбирают троих человек. Составить ряд распределения числа людей в выборке, поддерживающих программу, найти среднее число таких людей и дисперсию числа таких людей.

58. Случайная величина X ~ Bi(n = 5; p = 2/3). Составить ряд распределения этой случайной величины, найти ее функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию. Построить график ее функции распределения.

59. Среди выпускаемых заводом автомобилей 80% некомплектны. Определить, сколько автомобилей должен в среднем осмотреть покупатель, чтобы выбрать комплектный автомобиль.

60. Петя захотел найти человека, день рождения которого совпадает с Петиным. Составить ряд распределения числа N незнакомцев, которых придется опросить Пете, и найти среднее число опрошенных незнакомцев.

61. Пивной завод отправил в магазин 400 ящиков пива. Вероятность того, что ящик будет разбит при транспортировке в данных условиях, равна 0,005. По приезде в магазин экспедитор, перевозивший груз, заявил, что семь ящиков с пивом были разбиты при транспортировке. Размышляя, можно ли доверять экспедитору, директор магазина хочет найти вероятность разбить семь ящиков, вероятность разбить не менее семи ящиков, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение количества ящиков, разбитых при транспортировке, чтобы оценить возможность потерь, заявленных экспедитором. Найти указанные величины.

62. Для продвижения своей продукции на рынок фирма раскладывает по почтовым ящикам рекламные листки. Прежний опыт работы фирмы показывает, что примерно в одном случае из 2000 за прочтением рекламного листка следует заказ. Найти: а) вероятность того, что при размещении 10 000 рекламных листков поступит хотя бы один заказ; б) среднее число поступивших заказов; в) дисперсию числа поступивших заказов.

§ 2.4. Непрерывные случайные величины Случайная величина X называется непрерывной, если она принимает более, чем счетное число значений.

Случайная величина X называется абсолютно непрерывной, если ее функция распределения может быть представлена в виде При этом функция fX(x) называется плотностью распределения вероятностей (или, короче, плотностью распределения) случайной величины X. График плотности распределения случайной величины X называется кривой распределения вероятностей (или, короче, кривой распределения) случайной величины X. Всюду ниже в данном параграфе будут рассматриваться абсолютно непрерывные случайные величины, при этом слово «абсолютно» будет опускаться.

Как и раньше, если известно, о какой случайной величине идет речь, то индекс, обозначающий эту случайную величину, опускается: f(x) = fX(x).

Плотность распределения обладает следующими свойствами:

Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет конкретное числовое значение, равна нулю:

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в числовой промежуток можно рассчитать по формуле Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X называется число Математическое ожидание непрерывной случайной величины обладает теми же свойствами (2.2.4) – (2.2.7), что и математическое ожидание дискретной случайной величины.

Формулы (2.2.8) и (2.2.9) для вычисления дисперсии непрерывных случайных величин принимают вид соответственно.

Дисперсия непрерывной случайной величины обладает теми же свойствами (2.2.12)—(2.2.14), что и дисперсия дискретной случайной величины.

63. Годовой доход случайно выбранного налогоплательщика описывается случайной величиной X с плотностью распределения Найти значение параметра c и функцию распределения годового дохода.

Определить размер годового дохода xmin, не ниже которого с вероятностью 0,5 окажется годовой доход случайно выбранного налогоплательщика.

РЕШЕНИЕ.

64. В условиях предыдущей задачи оценить средний годовой доход и среднее квадратичное отклонение годового дохода.

65. Годовой доход случайно выбранного налогоплательщика описывается случайной величиной X с плотностью распределения Найти значение параметра c, средний годовой доход и среднее квадратичное отклонение годового дохода. Определить размер годового дохода xmin, не ниже которого с вероятностью 0,6 окажется годовой доход случайно выбранного налогоплательщика.

66. Плотность распределения случайной величины X Найти значение параметра a, функцию распределения F(x), MX и DX, построить графики функций f(x) и F(x). Вычислить вероятность P{|X – MX| < 0,5} двумя способами: используя f(x) и F(x), отметить эту вероятность на обоих графиках.

67. Найти плотность распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины с функцией распределения Наиболее часто встречающиеся законы распределения непрерывных случайных величин приведены в табл. 2.5.1.

Основные законы распределения непрерывных случайных величин Назва- Краткое Обозначение случайной Функция и плотность Выражение мание за- обозначе- величины, механизм её распределения тематического В пакете Microsoft Excel плотность показательного распределения можно вычислить с помощью функции f(x) = ЭКСПРАСП(x; µ; ЛОЖЬ), а функцию показательного распределения — с помощью функции F(x) = ЭКСПРАСП(x; µ; ИСТИНА).

68. Случайная величина X ~ R(0; 100). Найти вероятности P{X > 10}, P{40 < X < 90}, P{X = 50} и P{X > 50|X < 80}, а также математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

69. Обычно папа ругает Петю за принесенную «двойку» около 6 мин.

На этот раз нотация длится больше 6 мин. Найти дисперсию длительности нотации. Определить, с какой вероятностью папа закончит «читать нотацию» в течение ближайшей минуты.

РЕШЕНИЕ. Длительность нотации X можно считать распределенной по показательному закону. По условию обычная средняя длительность нотации (или ее математическое ожидание) составляет MX = 6 мин. Но для показательного распределения MX = 1/µ, откуда µ = 1/MX = 1/6. Дисперсия длительности нотации при этом равна DX = 2 = = 36. Вероятность того, что папа закончит «читать нотацию» в течение ближайшей (седьмой) минуты при условии, что нотация длится больше В пакете Microsoft Excel последнюю вероятность можно вычислить как =(ЭКСПРАСП(7;1/6;ИСТИНА)-ЭКСПРАСП(7;1/6;ИСТИНА))/(1-ЭКСПРАСП(6;1/6;ИСТИНА)).

Задачи для самостоятельного решения 70. Случайная величина X ~ R(2; 8). Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины, а также вероятности ее попадания на отрезок [6; 9] и в интервал (3; 5).

71. Обычно брокер получает от своего клиента приказы об операциях на фондовой бирже раз в неделю. Найти вероятность того, что сегодня поступит приказ, если последний приказ поступил два дня назад. Поток приказов считать простейшим.

72. Обычно совещание длится час. На этот раз за час оно не закончилось. Найти вероятность того, что оно закончится в ближайшие 15 мин.

(длительность совещания считать распределенной по показательному закону).

Многомерная случайная величина X = (X1, X2, …, Xn) — это совокупность случайных величин Xi (i = 1, 2, …, n), заданных на одном и том же вероятностном пространстве.

Двумерные дискретные случайные величины удобно задавать с помощью таблиц распределения В такой таблице заголовки столбцов xj соответствуют всем возможным значениям первой компоненты X, а названия строк yi — всем возможным значениям второй компоненты Y. При этом в клетку, находящуюся в i-й строке и в j-м столбце, записывается значение вероятности pij = P{(X = xj)«(Y = yi)}. Естественно, все pij 0 и Функция распределения двумерной дискретной случайной величины равна Законы распределения каждой из компонент такой двумерной случайной величины (так называемые маргинальные законы распределения) восстанавливаются по таблице распределения (2.6.1) при помощи формул Напомним6, что две случайные величины X и Y называются независимыми, если для всех x, y R т. е. если для всех x, y R события {X < x} и {Y < y} независимы.

Для дискретных случайных величин X и Y условие независимости (0.1.8) эквивалентно условию Для измерения зависимости случайных величин вводится ковариация случайных величин X и Y Последняя формула легко преобразуется к виду Ковариация случайных величин обладает следующими свойствами:

См. формулу (2.1.8).

Для случайных величин X и Y, имеющих тенденцию изменяться одновременно в о д н у и т у ж е с т о р о н у, cov(X, Y) > 0, для случайных величин X и Y, имеющих тенденцию изменяться одновременно в р а з н ы е с т о р о н ы, cov(X, Y) < 0.

Дисперсия суммы произвольных (зависимых или независимых) случайных величин рассчитывается по формуле Ковариация может принимать произвольные вещественные значения, поэтому не вполне пригодна к использованию в качестве меры связи случайных величин. Для этого лучше подходит коэффициент корреляции случайных величин X и Y

X Y X Y X Y

Коэффициент корреляции обладает следующими свойствами:

для линейно связанных случайных величин X и Y = aX + b (a, b R, a 0) и только для них:

Если коэффициент корреляции (X, Y) = 0, то это не обязательно означает независимость случайных величин X и Y. В этом случае говорят, что данные случайные величины некоррелированны. Из независимости следует некоррелированность, но наоборот — не всегда.

73. Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины (X, Y):

Составить ряды распределения ее компонент X и Y. Определить вероятность P{X < Y}.

РЕШЕНИЕ. Вначале составим ряды распределения случайных величин X и Y. Случайная величина X принимает значения (–1); 0 и 1 с вероятностями 0,2 = 0 + 0,2;

0,3 = 0,1 + 0,2 и 0,5 = 0,4 + 0,1 соответственно. Таким образом, эта случайная величина имеет ряд распределения Аналогично получаем ряд распределения случайной величины Y:

P{X < Y} = P{(X = –1)«(Y = 0)} + P{(X = –1)«(Y = 1)} + P{(X = 0)«(Y = 1)} = 0 + 0,2 + + 0,2 = 0,4.

74. В условиях задачи 73 найти ковариацию случайных величин X и Y.

РЕШЕНИЕ. Чтобы найти M(XY), перемножим все возможные значения xj, yi и соответствующих вероятностей pij из таблицы распределения данной случайной величины и произведения сложим: M ( XY ) = x j yi P{( X = x j ) « (Y = yi )} = x j yi pij = 0·(– 1)·0 + + 0·0·0,1 + 0·1·0,4 + 1·(–1)·0,2 + 1·0·0,2 + 1·1·0,1 = 0 + 0 + 0 – 0,2 + 0 + 0,1 = –0,1.

Значения MX и MY найдем по рядам распределения случайных величин X и Y, полученным в задаче 73: MX = –1·0,2 + 0·0,3 + 1·0,5 = 0,3, MY = 0·0,5 + 1·0,5 = 0,5. Поэтому cov(X, Y) = M(XY) – MX·MY = –0,1 –0,3·0,5 = –0,25.

75. В условиях задач 73—74 найти коэффициент корреляции случайных величин X и Y.

РЕШЕНИЕ. Найдем M(X2) = (–1)2·0,2 + 02·0,3 + 12·0,5 = 0,7 и M(Y2) = 02·0,5 + 12·0,5 = = 0,5. Отсюда DX = M(X2) – (MX)2 = 0,7 – (0,3)2 = 0,61, DY = M(Y2) – (MY)2 = = 0,5 – (0,5)2 = 0,25 (MX = 0,3 и MY = 0,5 были получены в решении задачи 74). Поэтому X = DX = 0,61 0,78, Y = DY = 0, 25 0,5. Окончательно получаем Задачи для самостоятельного решения 76. Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины (X, Y):

Здесь случайная величина X описывает доход инвестиционной компании на рынке акций, а случайная величина Y — доход на рынке облигаций. Составить ряды распределения ее компонент X и Y, а также условный закон распределения компоненты X при условии Y = 2. Выяснить, зависимы ли компоненты X и Y. Найти закон распределения суммарного дохода компании X + Y.

77. Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины (X, Y):

Найти ковариацию и коэффициент корреляции ее компонент X и Y.

78. Петя вычислил ковариацию роста X спортсменов из институтской баскетбольной команды, измеренного в см, и скорости бега Y (тех же спортсменов), измеренной в м/с. Маша для той же совокупности баскетболистов вычислила ковариацию роста X, измеренного в м, и скорости бега Y, измеренной в м/с. Определить, в каком отношении находятся эти ковариации.

79. В условиях предыдущей задачи сравнить коэффициенты корреляции, полученные Петей и Машей.

80. Ожидаемая доходность первого актива равна 8% со средним квадратичным отклонением 7%, ожидаемая доходность второго актива равна 11% со средним квадратичным отклонением 10%. Коэффициент корреляции между этими активами составляет 0,7. Найти ожидаемую доходность и среднее квадратичное отклонение портфеля7, состоящего на 35% из первого актива и на 65% — из второго.

Очень многие случайные величины имеют так называемое н о р м а л ь н о е р а с п р е д е л е н и е, как мы увидим ниже в данной главе, нормальный закон является предельным, к которому приближаются другие законы распределения при часто встречающихся одинаковых условиях.

Случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами a и, если её плотность распределения имеет вид Функция распределения при этом равна Значения функций ( x) и 0 ( x) приведены в табл. П.1 пособия [3].

Для вычисления плотности и функции нормального распределения можно воспользоваться пакетом Microsoft Excel, в котором f(x) = НОРМРАСП(x; a; ; ЛОЖЬ), а F(x) = НОРМРАСП(x; a; ; ИСТИНА).

Несложно вычислить математическое ожидание и дисперсию нормально распределённой случайной величины: MX = a, DX = 2.

Из формул (2.4.1) и (3.1.1) следует, что для случайной величины X, распределённой по нормальному закону с параметрами a и, Портфелем называется набор ценных бумаг, которым обладает инвестор.

Для нормальных случайных величин справедливо

ПРАВИЛО ТРЕХ СИГМ:

т. е. отклонение случайной величины от своего математического ожидания более, чем на три средних квадратичных отклонения, может произойти лишь с очень малой вероятностью 1 - 0,9973 = 0,0027 0,3%.

81. Значения теста IQ (коэффициента интеллекта) Стэнфорда – Бине распределены приблизительно по нормальному закону с математическим ожиданием a = 100 и средним квадратичным отклонением = 16. Записать выражения для функции распределения коэффициента интеллекта и плотности его распределения. Построить графики этих функций.

0, Рис. 3.1.1. График функции распределения (а) и кривая распределения (б) взадаче графики этих функций представлены на рис. 3.1.1.

При использовании пакета Microsoft Excel F(x) = НОРМРАСП(x; 100; 16; ИСТИНА), f(x) = НОРМРАСП(x; 100; 16; ЛОЖЬ).

82. В условиях задачи 81 найти долю людей, у которых коэффициент интеллекта окажется: а) меньше 60; б) меньше 75; в) меньше 95; г) меньше 100; д) меньше 120; е) в пределах от 80 до 120.

P{0 < X < 3}.

84. Случайная величина X ~ N(a = 1; = 1). Найти вероятности P{X > 2}, P{X < 2}, P{0 < X < 2} и P{X < 2 | X > 0}.

85. ПРАВИЛО ТРЁХ СИГМ. Случайная величина X ~ N(a; ). Найти P{|X – MX| < 3X}.

86. Случайная величина X ~ N(a = 2; = 3). Найти вероятности P{X > 1}, P{–2 < X 2}, P{X < 2} и P{X 0}. Записать «правило трёх сигм» для этой случайной величины.

87. Текущая цена акции может быть приближена нормальным распределением с математическим ожиданием 15,28 руб. и средним квадратичным отклонением 0,12 руб. Рассчитать вероятности того, что цена акции окажется: а) не ниже 15,50 руб.; б) не выше 15,00 руб.; в) между 15,10 руб.

и 15,40 руб.; г) между 15,05 руб. и 15,10 руб.

88. Цена некоторой акции распределена по нормальному закону. В течение последнего года в 20% рабочих дней цена была меньше 20 руб., а в 75% рабочих дней она была больше 25 руб. Найти математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение цены этой акции.

89. Инвестор покупает ценные бумаги за счёт кредита, взятого с процентной ставкой r под залог своей недвижимости. Доходность ценных бумаг X представляет собой случайную величину с математическим ожиданием a > r и средним квадратичным отклонением. Оценить вероятность того, что инвестор не сможет вернуть кредит, предполагая случайную величину X распределённой по нормальному закону.

НЕРАВЕНСТВО ЧЕБЫШЁВА. Если случайная величина X имеет конечное математическое ожидание MX и дисперсию DX, то для любого > 0 справедливо неравенство Под законом больших чисел понимается обобщённое название группы теорем, утверждающих, что при неограниченном увеличении числа испытаний средние величины сходятся (в каком-то из смыслов, рассмотренных в предыдущем параграфе) к некоторым постоянным. Наиболее общей из этих теорем является теорема Чебышёва, также называемая просто законом больших чисел:

Если дисперсии некоррелированных случайных величин X 1, X 2,…, X n ограничены сверху числом B, то для произвольного сколь угодно малого > 0 справедливо неравенство и предельное равенство Такой вид сходимости называется сходимостью по вероятности.

Теорема Чебышёва утверждает, что среднее арифметическое случайных величин при возрастании их числа обладает свойством статистической устойчивости, т. е.

сходится по вероятности к неслучайной величине — среднему арифметическому математических ожиданий этих случайных величин. Практическое применение законов больших чисел состоит в том, что среднее арифметическое, вычисленное по достаточно большому числу результатов измерений какой-либо величины, будет сколь угодно близко к измеряемой величине.

Статистическая устойчивость относительной частоты появления успеха в серии независимых испытаний доказывается в теореме Бернулли:

Если вероятность успеха в каждом из n независимых испытаний постоянна и равна p, то для произвольного сколь угодно малого > 0 справедливо предельное равенство где m — число успехов в серии из n испытаний.