«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ Кафедра прикладной математики ( x - a )2 1 f N ( a ; ...»

Предположение о том, что на рынке отсутствуют арбитражные возможности, означает, что математическое ожидание цены акции на таком рынке к концу периода MS1 должно совпадать с суммой, которая оказалась бы на банковском счете к концу этого периода, если в его начале на счет была бы положена сумма S0, т. е. с суммой S0(1 + i): MS1 = S0(1 + i). Истинные вероятности того, что в течение данного периода акция подорожает и подешевеет, нам неизвестны, но в предположении отсутствия арбитражных возможностей можно с помощью только что полученного условия вычислить так называемые вероятности, нейтральные к риску: пусть p — вероятность того, что в начале следующего периода цена акции окажется равной S0u, тогда вероятность того, что цена акции будет равна S0d, составит (1 – p); при этом Отсюда Разделим обе части этого равенства на S0:

поэтому Предположим теперь, что рассматриваемый промежуток времени от 0 до T разбит на n периодов, в каждом из которых стоимость акции может увеличиться в u или в d раз. Вероятность того, что стоимость акции увеличится в u или в d раз, неизвестна, однако можно вновь воспользоваться принципом вероятности, нейтральной к риску.

Основное отличие состоит в том, что корректируются процентные ставки, то есть проценты, выплачиваемые за год, естественно, больше, чем проценты, выплачиваемые за часть года.

Теперь разобьем отрезок времени [0; T] на n периодов, в каждый из которых цена может возрасти в u или d раз (u < d).

Процесс изменения цены акции в течение n периодов (для случая n = 4) проиллюстрирован рис. 11.1.2.

Рис. 11.1.2. Изменение цены акции в течение четырех периодов При этом процесс изменения цены акции в течение n периодов можно представить как последовательность n н е з а в и с и м ы х и с п ы т а н и й, в которых считать успехом повышение цены акции в u раз, а неудачей — ее понижение в 1/d раз. Если в течение n периодов цена акции поднималась k раз и опускалась (n – k) раз, то ее цена к концу последнего периода составит Sn = S0ukdn – k. Вероятность наступления k повышений и (n – k) понижений цены акции составит по формуле Бернулли Pn (k ) = Cn p k (1 - p)n - k. Вероятность успеха p здесь имеет смысл оценить с помощью вероятности, нейтральной к риску p(n) (индекс (n) здесь означает, что проведена коррекция годовой ставки с учетом, что рассматриваемый отрезок времени [0; T] разбивается на n периодов).

Данная модель, называется биномиальной моделью ценообразования акции.

Банковский счет, акции и облигации называются основными финансовыми инструментами. На их базе могут быть построены сложные финансовые инструменты — производные.

Наиболее распространенные типы производных финансовых инструментов — форварды, фьючерсы и опционы.

Форвард — это ценная бумага, представляющая собой соглашение о приобретении или продаже в определенный момент времени в будущем определенной ценности по фиксированной цене, определяемой в момент заключения контракта.

Форвардный контракт, заключенный на бирже, называется фьючерсом. Биржа при этом берет на себя роль п о с р е д н и к а между покупателем и продавцом, каждый из которых заключает отдельный договор с биржей. Эти договоры являются с т а н д а р т и з о в а н н ы м и, т. е. их условия (количество и качество поставляемого товара и т. п. одинаковы для всех участников).

Опцион — это ценная бумага, представляющая собой договор, по которому одна из сторон (продавец) продает опцион за определенную премию, а другая сторона (покупатель или владелец) при этом п о л у ч а е т п р а в о (но не обязанность) в течение срока, оговоренного в условиях опциона, либо купить определенный актив по фиксированной цене, определяемой в момент заключения договора и называемой терминальной стоимостью опциона (такой опцион называется опционом покупателя), либо продать актив по терминальной стоимости (такой опцион называется опционом продавца). По срокам исполнения опционы делятся на европейские и американские. Американский опцион может быть предъявлен к исполнению в любое время до истечения срока опциона, европейский опцион может быть использован только в день истечения его срока.

Основным отличием фьючерсов и опционов является то, что первый представляет собой о б я з а т е л ь с т в о покупки или продажи актива по фиксированной цене, а второй — п р а в о.

Широко распространены и другие производные финансовые инструменты, в частности, инструменты, производные от производных, например, опцион на фьючерс.

Финансовый рынок представляет собой систему (организованную или неформальную) торговли финансовыми инструментами на основе четких правил. Рынок — это не обязательно какое-то место типа фондовой биржи, где встречаются покупатели и продавцы, в качестве рынка могут выступать (и активно выступают) телекоммуникационные и компьютерные сети.

Как правило, покупка ценных бумаг привлекает инвесторов не только и не столько выплатой дивидендов или купонного дохода, а возможностью совершения инвестиционных операций — извлечения дохода от покупки и продажи по разным ценам.

О росте активности на финансовых рынках говорят следующие данные. На Ньюйоркской фондовой бирже в 1987 г. в день продавалось в среднем 190 000 000 акций.

В 1995 г. эта цифра возросла до 340 000 000 (при этом в торгах были представлены акции 2 600 компаний).

Еще динамичнее развивается торговля производными финансовыми инструментами. Хотя фьючерсы и опционы используются в качестве финансовых инструментов очень давно, организованная же торговля, например, опционами началась в 1973 г. на Чикагской опционной бирже. В день ее открытия 26 апреля 1973 г. было заключено 911 опционных контрактов, через год в день продавалось более 20 000 контрактов, в 1987 г. дневной оборот составил около 700 000 опционных контрактов.

При таких больших объемах заключаемых контрактов динамика стоимостей ценных бумаг неминуемо становится стохастической, т. е. носящей с л у ч а й н ы й характер, связанный с большим количеством участников рынка, различием их интересов, различной реакцией на изменение цен, различной интерпретацией получаемой информации и т. п. Необходимость учета влияния случайных факторов на стоимости ценных бумаг привела к появлению с т о х а с т и ч е с к и х м о д е л е й финансовых рынков и финансовых инструментов.

Стохастическое моделирование рынка ценных бумаг основано на т е о р и и э ф ф е к т и в н о г о р ы н к а, которая предполагает, что рынок эффективно реагирует на обновление информации. На эффективном рынке мгновенно происходит коррекция цен, которые становятся с п р а в е д л и в ы м и, не оставляя участникам рынка арбитражных возможностей, а участники такого рынка однородны в своих установках и однородно интерпретируют поступающую информацию, мгновенно корректируя свои решения при поступлении новой информации.

Любая инвестиционная операция представляет собой покупку и продажу некоторого актива. Если покупка и продажа происходят одновременно на разных рынках (естественно, по разным ценам), то такая операция называется арбитражной, если же моменты покупки и продажи не совпадают — то спекулятивной (рис. 11.1.3).

Приведем несколько примеров арбитражных операций. В начале приватизационной кампании в России (начало 90-х гг. XX в.) к уже существовавшему теневому рынку иностранной валюты добавился теневой рынок приватизационных чеков (которые в народе называли «ваучерами»). Рынки эти действовали подпольно в крупных российских городах, и автор хорошо помнит момент, когда цены ваучера в Москве была ниже, чем в Ленинграде, а цена доллара — выше. Многие предприимчивые молодые люди приезжали в Москву, покупали ваучеры, ехали с ними в Ленинград, продавали их там и на вырученные деньги покупали доллары; затем в столице эти доллары продавались и покупались ваучеры, после чего «предприниматель» ехал в город на Неве и т. д. За непродолжительное время, в течение которого существовала разница в ценах одних и тех же активов в разных городах, многие из студентов Московского университета, в котором автор в то время учился, заработали таким способом весьма значительные суммы.

Рис. 11.1.3. Классификация финансовых операций Чуть позже стал активно развиваться рынок недвижимости. Одной из самых популярных операций на этом рынке была операция по расселению коммунальных квартир. К примеру, в центре Москвы в трехкомнатной квартире, рыночная стоимость которой составляла, скажем, 100 000 долл., проживало три семьи, которые очень хотели разъехаться и получить по отдельной квартире. Риэлтор покупал этим семьям три однокомнатных квартиры (в отдаленных от центра районах) по 20 000 долл. каждая, а взамен получал квартиру стоимостью 100 000 долл., которую тут же продавал по рыночной цене. В результате все оставались довольны — неискушенные жильцы коммунальной квартиры, имевшие ранее по комнате, получали по отдельной квартире, а риэлтор — прибыль в размере 100 000 – 3·20 000 = 40 000 долл. за вычетом скромных накладных расходов (объявления о покупке и продаже, оформление документов и даже организация переезда с оплатой транспорта обходились меньше, чем в 1000 долл.).

Обратим внимание, что описанные примеры арбитражных операций относятся ко времени, когда рыночные отношения только начинали развиваться, и рынки были плохо организованными.

Главной особенностью арбитражных операций является извлечение дохода п р и о т с у т с т в и и р и с к а, т. е. при полной определенности.

В качестве аксиомы примем, что н а с о в е р ш е н н о м р ы н к е арбитражных возможностей не существует. Р е а л ь н ы е р ы н к и при этом допускают возможность совершения арбитражных операций, но стремятся к тому, чтобы не допускать арбитражных возможностей.

Как только за ленинградскими ваучерами и московскими долларами начали выстраиваться длинные очереди, торговцы повысили соответствующие цены, и возможность совершения арбитражных операций исчезла.

Как только жильцы коммунальных квартир начали догадываться, что риэлторы на сделках по расселению зарабатывают намного больше, чем стоимость каждой из квартир, в которые эти жильцы разъезжаются, в договорах на оказание риэлторских услуг стали четко указывать вознаграждение риэлтора — либо фиксированную сумму, либо определенный процент от стоимости продаваемой квартиры.

Перейдем к рассмотрению с п е к у л я т и в н ы х о п е р а ц и й — длинной и короткой продажи.

Длинная продажа состоит в том, что некоторый актив вначале покупается (например, в надежде на то, что в будущем цена на него возрастет), а затем (когда цена действительно возрастает) — продается.

Например, инвестор кладет некоторую сумму на банковский счет (т. е. покупает банковский счет) и знает, что в соответствии с договором эта сумма через определенное время (после начисления процентов) увеличится, и тогда деньги со счета можно будет снять (т. е. продать купленный актив).

В качестве другого примера длинной продажи приведем покупку акции в надежде на то, что компания, выпустившая эту акцию, будет работать успешно, и со временем цена акции возрастет, и тогда ее можно будет продать.

Но возможна и иная спекулятивная операция — короткая продажа: в этом случае инвестор вначале продает некоторый актив, которого у него в н а л и ч и и н е т (например, в надежде, что цена на этот актив в будущем понизится), а затем (через некоторое время) приобретает этот актив на рынке и поставляет его покупателю (если при этом надежды сбылись и актив действительно упал в цене, то инвестор получает прибыль, иначе остается в убытке).

Пусть текущая рыночная цена тонны бензина составляет 10 000 руб., и мы знаем, что на этой неделе в город прибудет очень крупная партия бензина, которая будет продаваться по 8 000 руб. за тонну. Если бы у нас был какой-либо запас бензина, мы бы, конечно, постарались его как можно скорее продать по текущей цене в 10 000 руб., чтобы не потерпеть убытков. А если у нас бензина нет? Тогда мы можем одолжить у какого-нибудь крупного торговца бензином несколько тонн (у него этот товар все равно пока находится на складе и в ближайшую неделю распродан не будет, а мы пообещаем ему за пользование каждой тонной в течение недели заплатить по 200 руб.), этот бензин тут же продать по 10 000 руб., а затем, когда ожидаемая крупная партия бензина придет в город и средняя цена бензина понизится до 9 000 руб. за тонну, — купить бензин по 9 000 руб., вернуть торговцу этот бензин, а также по 200 руб. за пользование каждой тонной одолженного бензина. В результате мы б е з = 900 руб. за каждую тонну бензина, которую нам одолжил торговец. Если же наши ожидания не оправдаются, и цена бензина, вопреки нашим ожиданиям, останется на прежнем уровне, то тогда нам придется купить бензин по 10 000 руб., вернуть торговцу этот бензин, а также по 200 руб. за каждую тонну, — и на каждой тонне мы потеряем 200 руб. В случае же, если рыночная цена повысится, мы потерпим еще большие убытки. Как правило, чтобы уберечься от чрезмерных повышений цены в договоре на короткую продажу указывается, что в случае неисполнения обязательств с нарушителя условий договора взимается штраф (в нашем случае, например, 5 000 руб. за тонну), тогда если цена повысится, но не выше, чем до 15 000 руб., то нам проще будет этот бензин купить на рынке, и наши потери окажутся (с учетом платы за пользование бензином) не более 5 200 руб. за тонну, а в случае, когда цена возрастет более чем до 15 000 руб., мы заплатим штраф, и наши потери составят ровно 5 200 руб. за тонну.

Аналогичная операция может быть проведена, если мы найдем кого-нибудь, кто согласится сегодня заплатить нам по 9 800 руб. за тонну бензина, а сам бензин получить через неделю.

Если при длинной продаже актив не успел достаточно высоко подняться в цене, то можно еще подождать, и такая операция может продолжаться сколь угодно долго (до тех пор, пока инвестор не решит продать актив) — потому она и называется д л и н н о й. При короткой продаже покупатель не согласится ждать нас бесконечно долго;

как правило, крайний срок операции специально оговаривается, т. е. короткая продажа может продолжаться лишь в течение к о р о т к о г о срока. Покупатель готов ждать поступления купленного и уже оплаченного им бензина в течение недели, но не в течение неопределенно долгого срока.

Короткая продажа возможна только н а о р г а н и з о в а н н ы х р ы н к а х, участники которых гарантируют исполнение сделки определенными обязательствами. Например, сложно себе представить торговца продовольственными товарами, совершающего короткую продажу — ведь никто из покупателей не поверит, что через три дня он принесет на это же место обещанную колбасу.

Иное дело — организованные площадки по торговле ценными бумагами, участники которых уплачивают значительный вступительный взнос, обязуются соблюдать определенный кодекс поведения, и где есть действенные меры борьбы с нарушителями этого кодекса — о таком нарушителе информируются все аналогичные площадки, и он уже ни на одной из них никогда не сможет работать. Впрочем, и на таких площадках часто стремятся избежать рисков, связанных с короткими продажами — если, например, короткая продажа совершается на бирже, инвестор должен положить на свой денежный счет на этой бирже определенную долю от стоимости операции — маржу.

Измерить эффективность инвестиционной операции можно например, при помощи такой характеристики, как доход — разность между ценой, по которой актив был продан, и ценой, по которой он был куплен.

При этом в доход включаются не только сумма, уплаченная при покупке актива и сумма, полученная при его продаже, но и все промежуточные выплаты по активу, например, дивиденды и купонные платежи.

Эта характеристика не очень удобна, поскольку, например, следующие две операции:

• купить актив за 1 000 руб. и продать его за 2 000 руб.;

• купить актив за 1 000 000 руб. и продать его за 1 001 000 руб.

приносят инвестору одинаковый доход в 1 000 руб., однако здравый смысл подсказывает, что первая операция эффективнее второй.

Поэтому вводят о т н о с и т е л ь н у ю характеристику эффективности операции — доходность, которая равна отношению дохода к цене покупки.

Доходность первой из рассмотренных выше операций составляет = 100%, а Доходность является вполне адекватной характеристикой а р б и т р а ж н ы х операций, но в качестве характеристики эффективности спекулятивных операций она не очень удобна, поскольку, например, такие две операции:

• купить актив за 1 000 руб. и продать его через год за 2 000 руб.;

• купить актив за 1 000 руб. и продать его через 5 лет за 2 000 руб.

имеют одинаковую доходность, равную 100%, при том, что первая операция явно эффективнее второй.

Поэтому вводят доходность в процентах годовых, которая по определению равна доходности, умноженной на 365 и деленной на срок в днях, которые занимает проведение операции.

1000 5· Эта величина является наиболее употребительной характеристикой эффективности с п е к у л я т и в н ы х операций, в частности, регулирующие органы требуют от инвестора рассчитывать именно ее, однако и она не лишена недостатков.

Она никак не учитывает инфляцию, которой можно пренебречь в случае краткосрочных операций, но в случае длительных операций, например длительных инвестиционных проектов, инфляция может оказаться весьма существенной.

Доходность в процентах годовых никак не учитывает налогообложение, однако одну и ту же операцию может провести закрытое акционерное общество, аккуратно уплачивающее налоги, составляющие в современной России около 35% от дохода, и предприниматель без образования юридического лица, уплативший в начале года налог на вмененный доход (патент) в размере около 12 000 руб., который после этого считается полностью уплатившим все налоги за всю свою деятельность в течение данного года. Кроме того, согласно законодательству многих стран, некоторые инвестиционные операции облагаются налогом, а другие — не облагаются.

Доходность в процентах годовых никак не учитывает процентную ставку, начисляемую на депозитные счета надежными банками — а ведь при рассмотрении многих инвестиционных проектов может иметь смысл рассматривать эффективную доходность — доходность в процентах годовых за вычетом процентной ставки (также в процентах годовых), начисляемой надежным банком на сумму, лежащую на банковском счете в течение соответствующего времени — имеет смысл инвестировать только в такие р и с к о в а н н ы е проекты, эффективная доходность которых положительна.

При расчете доходности в процентах годовых срок операции (в знаменателе) может исчисляться в к а л е н д а р н ы х днях, и тогда в числителе должно стоять число 365, или в р а б о ч и х д н я х — тогда в числителе должно стоять число 250 (число рабочих дней в году). В этом есть определенный смысл — зачем учитывать дни, когда рынок не работает, и цены финансовых инструментов не изменяются.

Спекулятивная операция, состоящая в том, что в момент времени (t – 1) инвестор покупает некоторую акцию по цене St–1, а в момент t продает ее по цене St, обеспечивает доходность, которая может быть гораздо выше процентной ставки, выплачиваемой по банковским счетам.

Так, в России за 1996 г. цены на акции выросли в среднем более чем в четыре раза, т. е. средняя доходность по операциям с акциями была выше 300 процентов годовых, что намного выше доходности по вложениям в банки или облигации1.

При этом инфляция за этот год составила около 20%, и примерно такой процент (20 процентов годовых) начисляли надежные банки по депозитным счетам. Доходность с учетом инфляции составила, таким образом, 280 процентов годовых, эффективная доходность — также 280 процентов годовых.

Под риском инвестиционных операций мы понимаем отклонение реальных значений эффективности инвестиционной операции от прогнозируемой эффективности (как в меньшую сторону, так и в бльшую).

Обозначим буквой E некоторую обобщенную характеристику произвольной инвестиционной операции, которую назовем эффективностью операции (в качестве E можно взять доход, доходность в процентах от вложенной суммы, доходность в процентах годовых и т. п.). Часто невозможно заранее точно предсказать эффективность той или иной операции, и такие операции рассматривают как с л у ч а й н ы е в е л и ч и н ы. При этом в качестве ожидаемой эффективности такой инвестиционной операции используют м а т е м а т и ч е с к о е о ж и д а н и е ME случайной величины E, а измерителем риска операции служит с р е д н е е к в а д р а т и ч н о е о т к л о н е н и е E = DE.

Будем в дальнейшем отождествлять инвестиционные операции с их случайными эффективностями.

Предположим, что некто должен нам 100 000 руб. и ставит нас перед выбором — мы можем либо просто получить эту сумму, либо сыграть в игру: подбросить монету, и если выпадет орел, то получить 200 000 руб., а если выпадет решка — то ничего не получить. Какое решение выберет читатель?

Математическое ожидание выигрыша в обоих случаях равно 100 000 руб., среднее квадратичное отклонение в первом случае равно нулю, а во втором случае оно равно 100 000 руб. Когда речь идет о значительных суммах, большинство людей отказываются от игры, предпочитая получение гарантированного дохода. В этом проявляется н е расположенность человека к риску.

Очень редко при принятии решений мы находимся в ситуации, когда решение принимается по единственному критерию, гораздо чаще мы встречаемся с м н о г о к р и т е р и а л ь н о й о п т и м и з а ц и е й, когда таких критериев много, например, покупая квартиру, мы хотим, чтобы она одновременно была как можно ближе к центру города; имела как можно большую площадь и т. п..

О сложности принятия решений в подобных ситуациях говорит и народная мудрость: «За двумя зайцами погонишься — ни одного не поймаешь».

С такими ситуациями мы встречаемся и при принятии финансовых решений.

Несмотря на то, что приведенные в предыдущем пункте примеры показали недостатки рассмотрения риска как неопределенности11, на сегодняшний день считается аксиомой, что при выборе инвестиционных операций инвестор старается одновременно достичь двух целей:

• получить наибольшую прогнозируемую эффективность;

• избежать риска.

При этом прогнозируемая (или ожидаемая) эффективность операции измеряется математическим ожиданием случайной эффективности, а риск операции (понимаемый как отклонение реальных значений эффективности операции от прогнозируемых) измеряется средним квадратичным отклонением эффективности.

Пусть на финансовом рынке существует возможность осуществить несколько инвестиционных операций E1, E2, …, En, ожидаемые эффективности и риски которых известны и равны соответственно ME1, ME2, …, MEn и 1, 2, …, n.

Говорят, что операция Ei доминирует операцию Ej, если Операция Ei называется оптимальной по Парето, если не существует операций, которые бы ее доминировали.

Отметим, что операции, оптимальные по Парето, не обязательно являются «самыми лучшими» (и даже просто «хорошими») — эти операции н е я в л я ю т с я х у д ш и м и. Выбор операций среди оптимальных по Парето осуществляется на основе склонности лица, принимающего соответствующее решение, к риску.

В некоторых ситуациях предпочтительной оказывается операция, в которой ожидаемая эффективность вообще отрицательная. Например, если перед нами стоит выбор из жвух операций:

• потерять 1 руб.;

• с вероятностью 0,5 получить 1 000 000 руб. и с вероятностью 0,5 потерять 100 000 руб., то обе эти операции окажутся оптимальными по Парето (MQ1 = –1, 1 = 0, MQ2 = 550 000, 2 = 450 000), но, скорее всего, мы склонимся к выбору первой операции, несмотря на то, что ожидаемый доход по ней составляет отрицательное число (–1 руб.), тогда как ожидаемый доход от исполнения второй операции составляет 550 000 руб. — слишком велик риск у второй операции, слишком велика вероятность потерь.

Рассмотренный подход может быть применен и при анализе других задач многокритериальной оптимизации.

В произвольной задаче выбора операции по нескольким критериям операция i доминирует операцию j, если операция i по каждому из критериев н е х у ж е операции j и хотя бы по оlному из критериев — строго л у ч ш е.

Операция i называется оптимальной по Парето, если не существует операций, которые бы ее доминировали.

Например, в ситуации с частичной неопределенностью можно рассмотреть в качестве критериев ожидаемый средний доход MQ (операция i не хуже операции j по этоВ особенности, когда речь идет об операциях, эффективность которых можно измерить количественно, но не в денежном выражении.

му критерию, если MQi MQj, и лучше операции j по этому критерию, если MQi > MQj) и ожидаемые средние сожаления MI (операция i не хуже операции j по этому критерию, если MIi MIj, и лучше операции j по этому критерию, если MIi < MIj).

200. Составить ряд распределения цены акции к концу года, разбив этот год на четыре периода, если текущая цена акции составляет S0 = 35 ден. ед., годовая безрисковая процентная ставка составляет i = 10% = 0,1 и известно, что в каждом периоде акция может возрасти в цене в u = 1,105 раз или упасть в цене u = 1,105 раз.

РЕШЕНИЕ. Скорректируем годовую безрисковую процентную ставку в соответствии с более короткими периодами времени. Как было показано, ставка безрисковых вложений под сложные проценты на один из n периодов выражается через годовую ставку по формуле (11.1.2). Поэтому i4 = (1 + i)1/4 – 1 = (1 + 0,1)0,25 – 1 1,024 – 1 = = 0,024.

Теперь мы можем составить ряд распределения цены акции к концу четвертого периода: цена принимает значения S0ukd4 – k (k = 0, 1, 2, 3, 4) соответственно с вероятностями P4 (k ) = C4 p k (1 - p) 4 - k.

Окончательно имеем:

201. Инвестор рассматривает четыре операции со случайными эффективностями, описываемыми случайными величинами E1, E2, E3, E4 с рядами распределения Найти ожидаемые эффективности и риски операций. Нанести точки (MEi; i) на единый рисунок. Определить операции, оптимальные по Парето.

РЕШЕНИЕ. Ожидаемые эффективности и риски равны соответственно ME1 = 4,81, 1 = 1,77, ME2 = 4,16, 2 = 3,57, ME3 = 7,00, 3 = 2,30, ME4 = 2,81, 4 = 2,54. Нанесем точки (MEi; i) на единый график (рис. 11.1.4). i-я операция доминирует j-ю, если точка, соответствующая i-й операции, находится на графике правее и ниже точки, соответствующей j-й операции.

Видно, что первая операция доминирует вторую и четвертую, третья операция также доминирует вторую и четвертую. При этом первая операция не доминирует третью, а третья не доминирует первую. Первая и третья операции, таким образом, оптимальны по Парето.

Рис. 11.1.4. График «риск — доходность» в задаче Задачи для самостоятельного решения 202. Составить ряд распределения цены акции к концу года, разбив этот год на пять периодов, если текущая цена акции составляет S0 = 40 ден. ед., годовая безрисковая процентная ставка составляет i = 10% = 0,1 и известно, что в каждом периоде акция может возрасти в цене в u = 1,05 раз или упасть в цене в u раз.

203. Инвестор рассматривает четыре операции со случайными эффективностями, описываемыми случайными величинами E1, E2, E3, E4 с рядами распределения Найти ожидаемые эффективности и риски операций. Нанести точки (MEi; i) на единый рисунок. Определить операции, оптимальные по Парето.

На финансовом рынке обращается, как правило, множество ценных бумаг: государственные ценные бумаги, акции частных фирм, векселя и т. п. Ценная бумага удостоверяет возможность получения владельцем этой бумаги некоторого дохода, вообще говоря, случайного.

Рассмотрим общую задачу распределения капитала, который участник рынка хочет потратить на покупку ценных бумаг, по различным видам ценных бумаг.

Пусть на рынке обращаются n ценных бумаг, xi — доля капитала, потраченная на покупку ценных бумаг i -го вида, Ei — эффективность ценных бумаг i -го вида в расчёте на одну денежную единицу, Vij = cov( Ei ; E j ), mi = MEi E p и i = Vii, где Vii = cov( Ei ; Ei ) = DEi — вариация (или дисперсия) этой эффективности Ei. Рискованность ценной бумаги i -го вида отождествим со средним квадратичным отклонением i.

Набор ценных бумаг, находящихся у участника рынка, называется его портфелем.

Эффективность портфеля (в простейшем случае это доход, приносимый ценными бумагами портфеля за некоторый промежуток времени), вообще говоря, есть случайная величина, обозначим ее через E p, тогда ожидаемое значение этой эффективноn сти m p = ME p = xi mi. Дисперсия портфеля есть DE p = xi x jVij. Величина p = DE p может быть названа риском портфеля. Обычно DE p обозначается V p.

Итак, мы выразили эффективность и риск портфеля через эффективности составляющих его ценных бумаг и их ковариации.

Каждый владелец портфеля ценных бумаг сталкивается с дилеммой: хочется иметь эффективность побольше, а риск поменьше. Однако поскольку «нельзя поймать двух зайцев сразу», необходимо сделать определенный выбор между эффективностью и риском.

Математическая формализация задачи формирования оптимального портфеля такова:

Найти xi, минимизирующие вариацию эффективности портфеля при условии, что обеспечивается заданное значение ожидаемой эффективности портфеля m p, т. е.

При этом, поскольку xi — доли, то в сумме они должны составлять единицу:

Оптимальное решение поставленной задачи обозначим звёздочкой. Если xi* > 0, то это означает рекомендацию вложить долю xi* наличного капитала в ценные бумаги iго вида. Если же xi* < 0, то содержательно это означает провести короткую продажу, т. е. инвестор, формирующий портфель, обязуется через какое-то время поставить ценные бумаги i-го вида (вместе с доходом, какой они бы принесли их владельцу за это время), за что сейчас он получает их денежный эквивалент, на эти деньги покупает более доходные ценные бумаги и оказывается в выигрыше, получая по ним доход!

Если короткие продажи запрещены, необходимо ввести ограничения xi 0.

Если на рынке есть безрисковые бумаги (к таким можно с некоторой натяжкой отнести государственные ценные бумаги), то решение задачи об оптимальном портфеле сильно упрощается и приобретает замечательное новое качество.

Пусть m0 — эффективность безрисковых бумаг, а x0 — доля капитала, в них вложенного. Пусть mr — средняя ожидаемая эффективность рисковой части портфеля, Vr — вариация (дисперсия), r — среднее квадратичное отклонение эффективности, в рисковую часть портфеля вложена доля (1 - x0 ) всего капитала. Тогда ожидаемая эффективность всего портфеля V p = (1 - x0 ) 2 Vr, и риск портфеля r = (1 - x0 ) r (считается, что безрисковые бумаги некоррелированы с остальными). Исключая x0, получим:

т. е. ожидаемая эффективность портфеля линейно зависит от его риска.

Рассмотрим задачу об оптимальном портфеле в этом случае (рисковые виды ценных бумаг будем нумеровать числами 1, 2,…, n ).

Приведём окончательное решение этой задачи. Пусть V — матрица ковариаций тала, вкладываемых в i -й вид рисковых ценных бумаг и ожидаемых эффективностей этого вида, i = 1, 2,…, n. Пусть также I = — n -мерный вектор-столбец, компоненты которого есть единицы. Тогда оптимальное значение вектора долей В числителе дроби стоит число, в знаменателе, если выполнить все действия, также получится число, причём константа, определяемая рынком и не зависящая от инвестора, V -1 ( M - m0 I ) — вектор-столбец размерности n. Видно, что этот вектор не зависит от эффективности портфеля m p. Таким образом, вектор долей рисковых видов ценных бумаг пропорциональный этому вектору также не зависит от m p. Следовательно, структура рисковой части портфеля не зависит от m p. Однако сумма компонент вектора X * зависит от m p, именно, компоненты вектора X * пропорционально увеличиваются с ростом m p, поэтому доля x0 безрисковых вложений будет при этом сокращаться.

Можно доказать, что риск оптимального портфеля в зависимости от его доходноm p - m Постановку задачи формирования оптимального портфеля (11.2.1) можно сформулировать так: Сформировать портфель минимального риска из всех имеющих эффективность не менее заданной.

Но столь же естественна и задача формирования портфеля максимальной эффективности из всех имеющих риск не более заданного, т. е. найти xi, максимизирующие ожидаемую эффективность портфеля при условии, что обеспечивается значение риска портфеля не более заданного, т. е.

при этом, так как xi — доли, то в сумме они должны составлять единицу:

Если на рынке есть безрисковые бумаги, то в данной постановке задача формирования такого оптимального портфеля имеет решение, очень похожее на (11.2.2): оптимальное значение долей X * рисковых бумаг есть Можно доказать, что эффективность портфеля максимальной эффективности в зависимости от заданного его риска rp равна m0 + rp d.

204. Сформировать оптимальный портфель заданной эффективности m p из трех видов ценных бумаг: безрисковых эффективности 2 и некоррелированных рисковых ожидаемой эффективности 4 и 10 с рисками 2 и 4 соответственно. Как устроена рисковая часть оптимального портфеля? При какой ожидаемой эффективности портфеля возникает необходимость в короткой продаже, и с какими ценными бумагами?

РЕШЕНИЕ. Итак, m0 = 2, M =, V =. Зададимся эффективностью портфеля m p. Теперь найдём матрицу, обратную к матрице V : V -1 =. Вычислим знаменатель выражения (11.2.2):

Итак, вектор долей рисковых бумаг есть X * =. Таким образом, рискоmp - вые доли должны быть одинаковы и каждая из них равна. Следовательно, X0 =1-. Понятно, что необходимость в короткой продаже возникнет, если Задача для самостоятельного решения 205. Сформировать оптимальный портфель заданной эффективности mp из трех видов ценных бумаг: безрисковых эффективности 10 и некоррелированных рисковых ожидаемой эффективности 16 и 20 с рисками 6 и 10.

При какой ожидаемой эффективности портфеля возникает необходимость в короткой продаже и с какими ценными бумагами?

Теория диверсификации предлагает подход к редуцированию инвестиционного риска путем диверсификации (инвестирования в различные активы пропорционально их доле на рынке). При этом составленный таким образом портфель ценных бумаг может оказаться менее рискованным, чем каждый из входящих в него рисковых активов, однако, как правило, полностью избавиться от риска не удается.

В 60-е гг. XX в. мировые финансовые рынки отличались высокой стабильностью, процентные ставки были очень устойчивыми, а обменные курсы валют — вообще фиксированными, начиная с Бреттон-Вудской конференции 1944 г.

В 70-е гг. XX в. произошли события, в результате которых ситуация на финансовых рынках кардинально изменилась: всемирный нефтяной кризис, вызванный политикой ОПЕК12 — законодателя цен на нефть, повлек за собой мировой валютнофинансовый кризис, и в 1973 г. Бреттон-Вудскую систему фиксированных обменных курсов сменили современные плавающие курсы. В 1971 г. Государственное казначейство США окончательно отменило практику покупки и продажи золота по фиксированной цене 35 долл. за унцию золота, в результате чего доллар сильно обесценился — нынешняя цена золота составляет 300–400 долл. за унцию.

В этих условиях стандартные методы регрессионного анализа, которые применялись в то время к оценке активов, перестали давать адекватные результаты. Торговля обычными финансовыми инструментами стала чрезвычайно рискованной.

Естественно, все это привело инвесторов к необходимости использовать другие методы минимизации риска, обусловленного неопределенностью будущих значений цен.

Среди таких методов уменьшения риска особого внимания заслуживает хеджирование, которое состоит в том, что на определенное время из некоторого актива и некоторого количества производных финансовых инструментов составляется портфель, причем производный инструмент подбирается таким образом, что одновременно с изменением стоимости базового актива в противоположную сторону меняется стоимость производного инструмента.

Рассмотрим конкретный пример. Российская фирма проводит на Украине крупный консалтинговый проект. Согласно договору, расчет (в размере 1 000 000 гривен) будет произведен в украинских гривнах по окончании работ (через 1 год). Текущий обменный курс гривны равен 5 руб. Фирма опасается, что через год курс гривны по отношению к российскому рублю уменьшится.

Чтобы уберечься от возможных потерь, связанным с уменьшением курса гривны, фирма может перед началом проекта заключить каким-либо украинским банком форвардное соглашение на продажу 1 000 000 гривен через год по курсу 5 руб. за гривну.

Таким образом, что бы ни произошло с гривной, российская фирма получит ровно 5 000 000 руб.

При этом, конечно, исполнитель проекта сознательно отказывается не только от возможных потерь, но и от возможной дополнительной прибыли (например, если курс гривны через год возрастет до 6 руб., то испольнитель получит не 6 000 000 руб, а 5 000 000 руб.).

Если же российская фирма до начала проекта заплатит украинскому банку некоторую относительно небольшую сумму (например, 50 000 гривен) и заключит опционный контракт на продажу 1 000 000 гривен по курсу 5 руб. за гривну, то этим опционом можно будет воспользоваться только в случае, если курс гривны через год уменьшится по сравнению с текущим. Если же курс гривны повысится (например, до 6 руб.), то правом, заложенным в опционе, можно не пользоваться, а продать 1 000 000 гривен по рыночной цене и получить 6 000 000 руб.

Важно уметь рассчитывать стоимости производных финансовых инструментов, для чего создаются соответствующие математические модели этих инструментов.

Рациональной считается такая стоимость финансового инструмента, которая исключает возможность арбитража без риска, иными словами, доходность безрискового финансового инструмента, имеющего рациональную стоимость, должна совпадать с доходностью банковского счета.

ОПЕК (OPEC) — Организация стран-экспортёров нефти (Oiganization of the Petioleum Expoiting Countiies), созданная в 1960 г. для координации нефтяной политики членов этой организации.

Очевидно, рациональная стоимость опциона в момент его исполнения совпадает с прибылью, которую можно получить, исполнив опцион. Эта прибыль называется платежной функцией опциона и обозначается fT. Пусть в момент исполнения T цена акции, на которую выписан европейский опцион покупателя, составляет ST, а цена исполнения этого опциона равна X. Тогда если ST окажется не больше X, исполнять опцион бессмысленно, т. е. его платежная функция равна нулю. Если же ST будет больше X, то выигрыш от исполнения такого опциона составит (ST – X). Объединяя эти два случая, получаем формулу для платежной функции европейского опциона покупателя:

ФОРМУЛА КОКСА — РОССА — РУБИНШТЕЙНА ДЛЯ ОПЦИОНОВ

ПОКУПАТЕЛЯ. Рациональная стоимость T стандартного европейского опциона покупателя на биномиальном (B, S)-рынке определяется формулой где S0 — стоимость акции в начальный момент, n — количество периодов, на которые делится срок действия опциона (в каждый из периодов цена акции, на которую выписан опцион, может повыситься в u или в d раз), X — цена исполнения опциона, i — безрисковая процентная ставка, выплачиваемая за срок действия опциона.

Следующая теорема помогает, зная стоимость европейского опциона покупателя на акцию, найти стоимость соответствующего опциона продавца.

ТЕОРЕМА О ПАРИТЕТЕ ОПЦИОНОВ ПОКУПАТЕЛЯ И ПРОДАВЦА. Если одновременно заключаются два опционных контракта (опцион покупателя и опцион продавца) с одной и той же ценой исполнения X и одним и тем же сроком исполнения T на одну и ту же акцию, стоимость которой в начальный момент равна S0, безрисковая процентная ставка за срок действия опциона составляет i, то для рациональной стоимости T опциона покупателя и рациональной стоимости PT опциона продавца справедливо равенство Отметим, что данное соотношение паритета справедливо только для европейских опционов.

ФОРМУЛА КОКСА — РОССА — РУБИНШТЕЙНА ДЛЯ ОПЦИОНОВ

ПРОДАВЦА. Рациональная стоимость P T стандартного европейского опциона продавца на биномиальном (B, S)-рынке определяется формулой где S0 — стоимость акции в начальный момент, n — количество периодов, на которые делится срок действия опциона (в каждый из периодов цена акции, на которую выписан опцион, может повыситься в u или в d раз), X — цена исполнения опциона, i — безрисковая процентная ставка, выплачиваемая за срок действия опциона.

206. Вычислить рациональную стоимость опциона покупателя с терминальной стоимостью X = 40 ден. ед. и сроком исполнения 1 год, выписанного на акцию из задачи 200 (напомним, что в задаче 200 был получен ряд распределения стоимости акции к концу года).

РЕШЕНИЕ. Опцион покупателя имеет смысл исполнять, т. е. пользоваться заложенным в нем правом покупки акции по цене X, лишь в том случае, когда рыночная цена Sn этой акции к моменту окончания срока действия опциона, т. е. к концу последнего периода, будет больше X. Если рыночная цена акции Sn окажется больше X, держатель опциона, исполнив его, получит доход (Sn – X). Если же рыночная цена акции Sn окажется меньше X, держатель опциона просто не будет его исполнять и получит нулевой доход. Таким образом, если цена акции в момент исполнения опциона известна и равна Sn, то доход от исполнения такого опциона составит C(n) = max{Sn – X; 0}.

Поскольку цена акции Sn является случайной величиной, доход от исполнения опциона покупателя также является случайной величиной, которая принимает значения ck = max{S0ukdn – k – X; 0} (k = 0, 1, 2, …, n) с вероятностями Pn (k ) = Ck p k (1 - p)n - k.

Ряд распределения дохода от исполнения опциона при расчетах по четырехпериодной биномиальной модели имеет следующий вид:

Ожидаемый доход от исполнения опциона покупателя, равный математическому ожиданию случайной величины C(4), составляет MC(4) = max{S0 u k d n - k - X ; 0}C n p k (1 - p ) n - k = 0·0,027 + 0·0,158 + 2,737·0,341 + + 12,182·0,126 = 2,468.

Оценка опциона происходит перед началом первого периода, поэтому для получения его рациональной стоимости T достаточно дисконтировать ожидаемый доход от исполнения опциона на n периодов. Для случая n = 4 периодов окончательно получаем T = 2, 244.

207. Вычислить рациональную стоимость опциона покупателя с терминальной стоимостью X = 40 ден. ед. и сроком исполнения 1 год, выписанного на акцию, текущая цена которой составляет S0 = 40 ден. ед., годовая безрисковая процентная ставка составляет i = 10% = 0,1 и известно, что год разбивается на пять периодов, в каждом из которых акция может возрасти в цене в u = 1,05 раз или упасть в цене в u раз (Эта акция рассматривалась в задаче 1 к § 11.1).

208. Вычислить рациональную стоимость опциона продавца из предыдущей задачи (с той же терминальной стоимостью).

Страхование — это «социальный механизм, позволяющий индивидуумам и организациям компенсировать экономические потери, вызванные теми или иными неблагоприятными обстоятельствами».

Довольно давно стало ясно, что самый эффективный способ уменьшения потерь от неопределенностей — это объединение отдельных людей и организаций в страховые сообщества, поскольку трудно предсказать время, место и характер событий, способных повлиять на экономическое состояние индивидуумов, вместе с тем, по з а к о н у б о л ь ш и х ч и с е л (см. § 3.2), средние или суммарные потери большой группы индивидуумов предсказать можно. В страховых сообществах каждый индивидуум вносит сумму, намного меньшую его возможного ущерба, и в случае наступления ущерба убытки возмещаются из средств, собранных всеми членами сообщества, в случае же, когда для кого-то из членов страхового сообщества ущерб не наступает, первоначально выплаченная этим индивидуумом сумма распределяется между теми членами сообщества, которые понесли убытки.

Иными словами, страхование заменяет неопределенность будущих возможных потерь вполне определенными (относительно небольшими) разовыми выплатами в определенные моменты.

Первые формы страхования представляли собой страхование морских грузов и датируются примерно четвертым тысячелетием до н. э., зарождение страхования жизни относится примерно к 600 г. до н. э.

Довольно быстро страховые сообщества трансформировались в страховые компании, извлекающие прибыль из страхования. В 1689 г. торговцы, судовладельцы и морские страховщики стали собираться в кофейном магазине британца Э. Ллойда для заключения страховых сделок по морским перевозкам. В 1774 г. Корпорация «Ллойдс» была официально утверждена Королевским указом, а в 1871 г. — зарегистрирована Актом Парламента. В настоящее время «Ллойдс» является крупнейшей страховой корпорацией, оперируя почти со всеми видами рисков. Сегодня компании типа «Ллойдс» страхуют (кроме обычных видов рисков) ноги балерин, пальцы пианистов, зубы фотомоделей, приемы для гостей на открытом воздухе от потерь в ненастье и т. п.

В России первая страховая компания, «Страховое акционерное общество от огня», была организована в Сибири в 1827 г. В 1835 г. появилось «Российское общество страхования капиталов и доходов», которое занималось страхованием жизни и финансовых операций.

Слово actuaiius (актуарий) в Древнем Риме относилось к тем, кто вел записи актов в Сенате, и к офицерам, которые оперировали с военными счетами и вели контроль военных поставок. В своей английской версии (actuaiy) это слово претерпевало различные изменения, пока не стало обозначать эксперта по математике страхования (или актуарной математике), которая, образуя теоретическую основу страхового дела, изучает различные вероятностные характеристики возможного ущерба и методы страхования от этого ущерба.

По договору страхования (или страховому полису) одна сторона (страхователь) платит другой стороне (страховщик) определенную денежную сумму (страховую премию), и за это страховщик гарантирует возмещение возможных убытков страхователя (в случае их возникновения). Смысл страхового полиса состоит в том, что страхователь подвержен определенному риску (который заключается в возможном наступлении некоторого страхового случая) и стремится от этого риска защититься, а задачей страховщика является предоставление такой защиты. В качестве страхового случая может выступать болезнь, смерть, автомобильная авария, потеря имущества при пожаре, потеря финансовых средств при неблагоприятно складывающейся рыночной ситуации, а также отмеченные выше переломы ног у балерин, пальцев у пианистов, зубов у фотомоделей и т. п. В страховом полисе указываются срок его действия, условия и способ возмещения ущерба. Например, в полисе на страхование гражданской ответственности водителя транспортного средства обычно указывается, что если в момент наступления страхового случая (при аварии) водитель находился в состоянии алкогольного опьянения, то страховщик ответственности по полису не несет.

Если в указанный в полисе срок страховой случай не наступил, страхователь теряет уплаченную премию.

Наибольшее развитие получило с т р а х о в а н и е ж и з н и. Математические модели такого страхования мы и рассмотрим ниже более подробно. Договор страхования жизни может быть обязательным (в силу действия определенного закона) или добровольным (по взаимному волеизъявлению страховщика и страхователя), краткосрочным (как правило, на один год) или долгосрочным.

Основным источником случайности в страховании жизни является неопределенность момента смерти отдельного человека. Однако в случае, когда одновременно у одного и того же страховщика страхуется большая о д н о р о д н а я (по возрасту, полу, типу профессии, месту проживания и т. п.) группа страхователей, в силу закона больших чисел можно говорить об устойчивости относительных частот (см. § 3.2) и рассматривать продолжительность жизни как неотрицательную случайную величину X с функцией распределения F(x) = P{X < x}. В актуарной математике работают с так называемой функцией выживания которая равна вероятности того, что человек из данной однородной группы проживет не менее x лет. Функция выживания (11.4.1) предполагается монотонно возрастающей (иначе в определенных интервалах времени смерть будет невозможна) и непрерывной (иначе возможны моменты, в которые смерть наступает с положительной вероятностью). Кроме того, функция выживания (11.4.1) должна удовлетворять всем свойствам, которые следуют из того, что F(x) = 1 – s(x) является функцией распределения случайной величины X.

Пусть T(x) = X – x — остаточное время жизни человека в возрасте x лет. Символом обозначается вероятность того, что человек в возрасте x лет проживет еще не менее t лет.

По определению условной вероятности В таблицах продолжительности жизни рассматривается группа новорожденных одного пола, проживающих в одинаковой местности, в количестве l0 чел. Пусть X i — продолжительность жизни i-го человека из данной группы (i = 1, 2, …, l0 i = 1; l0 ). Количество доживших до возраста x обозначим L(x), и в таблицах продолжительности жизни приводится математическое ожидание случайной величины L(x):

Фрагмент такой таблицы продолжительности жизни для городского населения Российской Федерации в 1993 г. приведен в табл. 11.4.1.

Фрагмент таблицы продолжительности жизни городского населения Российской Федерации в 1993 г.

в следующем. Страхователь (некоторый человек) платит страховщику (страховой компании) страховую премию в сумме c ден. ед., а страховщик соглашается выплатить наследникам страхователя страховую выплату (или страховое пособие) в сумме b ден. ед. в случае его смерти в течение года и не платит ничего в противном случае.

Величина страховой выплаты, конечно, должна быть много больше страховой премии. Одной из важнейших задач актуарной математики является вычисление соотношений между страховой выплатой b и страховой премией c.

ТЕОРЕМА. Пусть страховщик продал страхователям одного пола, одного возраста (x лет), проживающим в одинаковой местности, N договоров страхования, согласно которым в случае смерти страхователя в течение ближайшего года его наследникам выплачивается страховая выплата b ден. ед. Стоимость одного договора равна c ден. ед., а годовая ставка безрисковых вложений составляет i.

Тогда при N • вероятность того, что к концу года доход U страховой компании окажется не менее u ден. ед., равна соответствующей таблице продолжительности жизни.

ТЕОРЕМА. Пусть страховщик продал страхователям одного пола, одного возраста (x лет), проживающим в одинаковой местности, N договоров страхования, согласно которым в случае смерти страхователя в течение ближайшего года его наследникам выплачивается страховая выплата b ден. ед. Стоимость одного договора равна c ден. ед., а годовая ставка безрисковых вложений составляет i.

Тогда при N • для того, чтобы с вероятностью (надежностью) обеспечить доход, не меньший u ден. ед., страховщик должен обеспечить соотношение между страховой выплатой b и страховой премией c на один договор, где x — кванNpx тиль13 нормального распределения уровня = -.

Естественно, в реальных страховых компаниях стоимость договора страхования складывается из теоретической оценки страховой премии и оценки средних трансакционных издержек на один договор. Первое из этих слагаемых одинаково для всех страховых компаний, действующих на одном рынке, и компания может обеспечить конкурентоспособность своих страховых продуктов только за счет снижения трансакционных издержек.

209. Вероятность смерти тридцатилетнего мужчины составляет 0,006.

Страховая компания заключила 10 000 договоров страхования с мужчинами в возрасте тридцати лет, согласно которым в случае смерти застрахованного лица в течение ближайшего года его наследникам в конце этого года выплачивается 120 000 руб. Стоимость одного договора равна 1200 руб, а годовая ставка по банковским депозитам равна 20%. Найти вероятности следующих событий: а) к концу года страховая компания окажется в убытке; б) доход страховой компании превысит 4 000 000 руб.

РЕШЕНИЕ. Пусть за год наступило k страховых случаев, тогда доход страховой компании составит U = [10 000·1200 – 120 000(120 – k)/1,2] руб. Поэтому компания окажется в убытке (U < 0), если за год наступит более 120 страховых случаев (т. е. от 121 до 10 000). Доход страховой компании превысит 4 000 000 руб. (U > 4 000 000), если за год наступит менее 80 страховых случаев. Вероятность наступления страховоx - z распределения.

го случая px = 0,006. Всего проводится N = 10 000 испытаний. Поскольку число испытаний N велико, можно воспользоваться интегральной теоремой Муавра – Лапласа:

= 0 (1287, 56) - 0 (7,90) 0, т. е. страховая компания окажется в убытке с нулевой вероятностью;

значит, доход страховой компании превысит 4 000 000 руб. с вероятностью, очень близкой к единице, т. е. почти наверное.

210. В условиях задачи 209 определить, на какую минимальную прибыль может рассчитывать страховая компания с вероятностью 0,9.

211. В страховой компании 10 000 клиентов, взнос каждого из которых составляет 1000 руб. Вероятность наступления страхового случая равна (по оценкам экспертов компании) 0,005, а страховая выплата при наступлении страхового случая составляет 100 000 руб. Определить, на какую прибыль может рассчитывать страховая компания с вероятностью 0,99.

Определить минимальный размер страховой премии, при котором страховая компания получит прибыль, не меньшую 1 000 000 руб., с вероятностью 0,999.

Организация выполнения курсового проекта Студент выполняет 5-8 пунктов задания в любом наборе в соответствии со своей специальностью и своими интересами по согласованию с руководителем, при этом пункты 1—5 являются обязательными для студентов всех специальностей. Номера вариантов исходных данных выбираются либо по номеру студента в списке группы, либо по начальной букве фамилии по схеме:

1. Предприятие может выпускать четыре вида продукции, используя для этого три вида ресурсов. Известны технологическая матрица затрат ресурсов на производство единицы каждой продукции, каждый элемент которой aij равен количеству ресурса i-го вида (i = 1, 2, 3), которое необходимо затратить в процессе производства единицы продукции j-го вида (j = 1, 2, 3, 4), вектор b = (b1, b2, b3)T объемов ресурсов и вектор c = (c1, c2, c3, c4) удельной прибыли на единицу продукции. Исходные данные для каждого варианта компактно записаны в приложении 1 в следующем виде:

Требуется составить производственную программу, обеспечивающую предприятию наибольшую прибыль с учетом ограниченности запасов ресурсов.

Для этого необходимо сформулировать математическую модель линейной производственной задачи, преобразовать данную задачу к виду основной задачи линейного программирования, решить ее симплексным методом, обосновывая каждый шаг вычислительного процесса, найти оптимальную производственную программу, максимальную прибыль, остатки ресурсов различных видов и определить узкие места производства.

Затем требуется сформулировать задачу, двойственную линейной производственной задаче, и найти ее решение, пользуясь второй основной теоремой двойственности; в ответе указать двойственные оценки ресурсов, минимальную суммарную оценку всех ресурсов, оценки технологий, определить область устойчивости двойственных оценок. После этого необходимо обсудить экономический смысл всех полученных величин.

2. Однородный продукт, сосредоточенный на трех складах фирмы в количествах a1, a2, a3 единиц, необходимо распределить между четырьмя магазинами, которым необходимо соответственно b1, b2, b3, b4 единиц продукта. Стоимость перевозки единицы продукта из i-го пункта отправления (i = 1, 2, 3) в j-й пункт назначения (j = 1, 2, 3, 4) равна cij и известна для всех маршрутов. Вектор запасов продукта на складах a = (a1, a2, a3)T = (54, 60, 63)T; вектор запросов продукта магазинами b = (b1, b2, b3, b4) = (41, 50, 44, 30) ; матрица транспортных тарифов Требуется определить оптимальный план перевозок, при котором запросы магазинов были бы удовлетворены в наибольшей степени за счет имеющегося на складах количества продукта, и при этом обязательно были бы удовлетворены запросы первого магазина, а общие транспортные расходы по доставке продукта были минимальны.

Для этого необходимо составить математическую модель транспортной задачи и найти решение этой задачи с помощью метода потенциалов.

3. Руководство производственного холдинга, в который входят четыре предприятия, решает вопрос об инвестициях в основные производственные фонды этих предприятий.

На все предприятия выделено 700 тыс. ден. ед., при этом сумма, выделяемая каждому предприятию, должна быть кратна 100 тыс. ден. ед.

Если в основные производственные фонды i-го предприятия (i = 1, 2, 3, 4) будут произведены инвестиции в размере xj тыс. ден. ед. (xj = 100, 200, 300, …, 700 тыс. ден. ед.), то прирост ежегодной прибыли на этом предприятии составит, по экспертным оценкам, fi(xj) тыс. ден. ед. Значения fi(xj) для всех возможных i и xj приведены в приложении 3.

Требуется определить такое распределение инвестиций между предприятиями (x1, x2, x3, x4), которое обеспечило бы наибольший суммарный прирост ежегодной прибыли при ограничении по общей сумме капитальных вложений.

Для этого необходимо составить математическую модель задачи распределения инвестиций и найти решение этой задачи методом динамического программирования.

4. Некоторая конфликтная ситуация формализована в виде матричной игры, которая задана своей платежной матрицей приведенной в приложении 4.

Требуется рассмотреть возможности сотрудничества и конкуренции участников данной конфликтной ситуации.

Для этого необходимо определить нижнюю и верхнюю цены игры и проверить наличие седловой точки. При наличии седловой точки найти решение игры, указав чистые стратегии игроков и цену игры. При отсутствии седловой точки поставить пару двойственных задач линейного программирования, соответствующую данной матричной игре, и найти решение игры графическим способом, указав оптимальные смешанные стратегии игроков и цену игры.

5. Провести анализ доходности и риска четырех инвестиционных операций, ряды распределения которых приведены в компактном виде в прилоp p1 p2 p3 p жении 5 под номерами N, N + 1, N + 2, N + 3 в виде (e1, p1)(e2, p2)(e3, p3)(e4, p4).

6. Решить задачу формирования оптимального портфеля ценных бумаг: безрисковых с эффективностью m0, и некоррелированных рисковых с ожидаемыми эффективностями m1, m2 и рисками 1, 2 по исходным данным, приведенным в приложении 7. Рассмотреть задачу о максимальном потоке в сети. Решить конкретную задачу на сети с 8—9 вершинами, предложив исходные данные самостоятельно.

8. Рассмотреть задачу о кратчайшем пути. Решить конкретную задачу, предложив исходные данные самостоятельно.

9. Рассмотреть задачу о критическом пути. Решить конкретную задачу, предложив исходные данные самостоятельно.

10. Рассмотреть линейную задачу многокритериальной оптимизации. Составить самостоятельно конкретную задачу с двумя переменными и тремя критериями и решить методом последовательных уступок.

№3.1.

5.1.(0,1/2)(2,1/4)(4,1/8)(16,1/8) 5.2. (2,1/2)(4,1/4)(6,1/8)(18,1/8) 5.3.(0,1/4)(4,1/4)(6,1/3)(12,1/6) 5.4. (2,1/4)(6,1/4)(8,1/3)(14,1/6) 5.5.(0,1/3)(1,1/3)(2,1/6)(8,1/6) 5.6. (2,1/3)(3,1/3)(4,1/6)(10,1/6) 5.5.(0,1/5)(4,1/5)(6,1/5)(10,2/5) 5.8. (2,1/5)(6,1/5)(8,1/5)(12,2/5) 5.9.(0,1/5)(1,2/5)(5,1/5)(14,1/5) 5.10.(2,1/5)(4,2/5)(6,1/5)(18,1/5) 5.11.(0,1/2)(8,1/8)(16,1/8)(20,1/4) 5.12.(2,1/2)(12,1/8)(18,1/8)(22,1/4) 5.13.(0,1/4)(4,1/4)(10,1/4)(14,1/4) 5.14.(2,1/4)(6,1/4)(12,1/4)(20,1/4) 5.15.(0,1/2)(4,1/4)(5,1/5)(20,1/20) 5.16.(2,1/2)(6,1/4)(8,1/5)(22,1/20) 5.15.(0,1/2)(4,1/4)(8,1/8)(32,1/8) 5.18.(–6,1/2)(–4,1/4)(–2,1/8)(10,1/8) 5.19.(0,1/4)(8,1/4)(12,1/3)(24,1/6) 5.20.(–6,1/4)(–2,1/4)(0,1/3)(–6,1/6) 5.21.(0,1/3)(2,1/3)(4,1/6)(16,1/6) 5.22.(–6,1/3)(–5,1/3)(–4,1/6)(3,1/6) 5.23.(0,1/5)(8,1/5)(12,1/5)(20,2/5) 5.24.(–6,1/5)(–2,1/5)(0,1/5)(4,2/5) 5.25.(0,1/5)(2,2/5)(10,1/5)(28,1/5) 5.26.(–6,1/5)(–5,2/5)(–1,1/5)(8,1/5) 5.25.(0,1/2)(16,1/8)(32,1/8)(40,1/4) 5.28.(–6,1/2)(2,1/8)(10,1/8)(14,1/4) 5.29.(0,1/4)(8,1/4)(20,1/4)(28,1/4) 5.30.(–6,1/4)(–2,1/4)(4,1/4)(8,1/4) 5.31.(0,1/2)(8,1/4)(10,1/5)(40,1/20) 5.32.(–6,1/2)(–2,1/4)(–1,1/5)(14,1/20) Выпускник факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова, кандидат экономических наук, доцент, заместитель заведующего кафедрой прикладной математики Государственного университета управления по научной работе.

Специалист по математическим методам исследования экономики, область научных интересов — математические методы управления Автор более 40 научных и учебно-методических работ, среди которых — учебные пособия Карандаев И. С., Малыхин В. И., Соловьев В. И. Прикладная математика. – М.:

ИНФРА-М, 2002.

Колемаев В. А., Калинина В. Н., Соловьев В. И. и др. Теория вероятностей в примерах и задачах. – М.: ГУУ, 2001.

Колемаев В. А., Калинина В. Н., Соловьев В. И. Математическая статистика в примерах и задачах. – М.: ГУУ, 2001.

Соловьев В. И. Стохастические модели математической экономики и финансовой математики. – М.: ГУУ, 2001.

Соловьев В. И. Курс теории вероятностей и математической статистики для экономистов. – М.: ИГУМО, 2003.

Калинина В. Н., Соловьев В. И. Введение в многомерный статистический анализ. – М.: ГУУ, 2003.

Соловьев В. И. Математические методы управления рисками. – М.: ГУУ, 2003.

Читает лекции и проводит практические занятия по теории вероятностей и математической статистике, многомерным статистическим методам, эконометрике, методам оптимизации и исследования операций, теории игр, финансовой математике, математической экономике, финансовому менеджменту, управлению финансовыми рисками, другим математическим и финансовым дисциплинам для студентов Государственного университета управления и ряда других московских вузов.

Работал руководителем проектов компании «Ренессанс Капитал», директором компаний «Вега Текнолоджис» и «Кассис Системз», начальником отдела автоматизированных систем Всероссийской государственной телевизионной и радиовещательной компании, начальником информационно-аналитического департамента строительной компании «Баркли» и др.

Руководил разработкой информационных систем для ряда крупных российских и зарубежных банков и финансовых компаний (в том числе, «Ренессанс Капитал», «Объединенная Финансовая Группа», «Национальный Резервный Банк» (Москва), «Масс Метрополитен Банк» (Люксембург), «Минарет» (Азербайджан) и др.) в качестве IT-менеджера и внешнего поставщика IT-услуг. Консультировал ряд российских финансовых и производственных компаний (среди которых «Лаборатория Касперского», «Российские лотереи» и др.).

Стажировался в Российской экономической школе, Министерстве образования Российской Федерации, Академии народного хозяйства при Правительстве РФ и др.